Como, 7 febbraio 2012
La progressione della moltiplicazione
(Classe 3a )
La moltiplicazione e l'addizione sono due operazioni essenzialmente diverse, anche se, operativamente, posso sostituire la moltiplicazione con un'addizione iterata (che l’allievo può scoprire per conto proprio, contrariamente al concetto di prodotto).
L'addizione corrisponde alla riunione di due insiemi disgiunti.
La moltiplicazione è la messa in relazione di ogni elemento di un insieme con ogni elemento di un altro insieme, essa è legata al prodotto cartesiano.
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[1] Osservazione: L'addizione reiterata (somma di addendi uguali) interviene in un secondo tempo. Essa non è in nessun caso suggerita dal docente, ma viene accettata al momento in cui è proposta dagli allievi (ciò avviene sempre, in genere).
- Scoprire uguaglianze e diversità tra addizione e moltiplicazione.1
Se aggiungo un elemento ad un insieme, risultato (nell'addizione) e prodotto (nella moltiplicazione) come cambiano?Se inverto i termini dell'operazione, cosa succede? (commutatività)
OBIETTIVIOBIETTIVI(Apprendimento della moltiplicazione dalla 2a alla 4a elementare)
- Capire il concetto di moltiplicazione come prodotto di una combinatoria in cui ogni elemento di un insieme è messo in relazione con i singoli elementi di un altro insieme.
- Introdurre l'operatore x simultaneamente alla duplice scrittura: 3 x 4 = 3
. x 4
- Istituzionalizzare il termine prodotto.
OBIETTIVIOBIETTIVI(Apprendimento della moltiplicazione dalla 2a alla 4a elementare)
[1] E' consigliabile costruire prima la tavola soltanto con i primi 5 numeri in modo che si ha un numero inferiori di dati sui quali fare le prime scoperte (non viene quindi insegnata prima la casellina del 2, poi del 3 ecc…. . Si inizierà con le caselline “facili” per passare poi a quelle “difficili”)
- Costruire e capire cosa sia una tavola a doppia entrata attraverso l'uso di varie rappresentazioni grafiche.
- Costruire la tavola pitagorica e analizzare le sue particolarità (coppie di prodotti, simmetria).1
- Apprendimento delle caselline (automatismo).
- Costruzione di algoritmi spontanei per la risoluzione di moltiplicazioni scritte.
- Primi accenni al concetto di area (Si tratta di aspetti impliciti nelle azioni precedenti che si ricollegano con quanto affrontato in geometria). Quando ho trovato la forma della "coperta rettangolare" e ho determinato lunghezza e larghezza, non posso calcolare la somma, ma devo trovare il prodotto. (Basandoci sulle "griglie" costruite possiamo inoltre associare i concetti di verticale e orizzontale.)
IL GIOCO DELLE COMBINAZIONIIL GIOCO DELLE COMBINAZIONI
Accidenti! Che disordine! Prova a metterli in ordine per tipo
Adesso per colore Ora per colore e per tipo
IL GIOCO DELLE COMBINAZIONIIL GIOCO DELLE COMBINAZIONI
IL GIOCO DELLE COMBINAZIONIIL GIOCO DELLE COMBINAZIONI
Per tipo
Adesso proviamo con 4 colori e 6 oggetti
Per colore
… … E adesso per tipo e coloreE adesso per tipo e colore
ISTITUZIONALIZZAZIONEISTITUZIONALIZZAZIONE
Questa è larappresentazione che
noi usiamo
IL GIOCOIL GIOCO DELL’ANTICIPAZIONEDELL’ANTICIPAZIONEProva tu adesso ad anticipare la soluzione
5 MEZZI DI TRASPORTO, 8 COLORI
SOLUZIONE: ....................................
5 OGGETTI, 3 COLORI
SOLUZIONE: ....................................
..... ADESSO CON 7 OGGETTI
SOLUZIONE: ....................................
PROVIAMO CON I NUMERIPROVIAMO CON I NUMERI
COSTRUISCI TUTTE LE CASELLINE CHE TI VENGONO IN MENTE
La costruzione delle CASELLINELa costruzione delle CASELLINE
Combina in tutti i modi possibili 1,2,3,4,5 ... fino a 25
La costruzione delle CASELLINELa costruzione delle CASELLINE
IL GIOCO DELLE CASELLINEIL GIOCO DELLE CASELLINESovrapponi le tabelle scoperte fino al 2525
1 2 3 4 5
2 4 6 8 10
3 6 9 12 15
4 8 12 16 20
5 10 15 20 25
Mescolare tre giochi e poi rimettere assieme in modo ordinato
CASELLINE FACILICASELLINE FACILI
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 6 9 12 15 30
4 8 12 16 20 40
5 10 15 20 25 50
6 12 60
7 14 70
8 16 80
9 18 90
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
CASELLINE DIFFICILICASELLINE DIFFICILI
18 21 24 27
24 28 32 36
30 35 40 45
18 24 30 36 42 48 54
21 28 35 42 49 56 63
24 32 40 48 56 64 72
27 36 45 54 63 72 81
Memorizzazione delle caselline Memorizzazione delle caselline (automatismi)(automatismi)
Il gioco delle carte colorate
Preparare tante carte come questa
Prova a vedere, quanti sono?Prova a vedere, quanti sono?
Scrivi il risultato nell’ultima casellina
… … Quanto sei bravo?Quanto sei bravo?
6
4
Scrivi il risultato nella casellina rossa
… … Infine solo con i numeriInfine solo con i numeriDue modi di rappresentare
4 X6 =
4 X 6 =
1.Abbandono della rappresentazione grafica2.Si mantiene il quadratino (per marcare il collegamento con le precedenti attività)3.Inevitabilmente questo percorso sarà compiuto dai bambini in tempi diversi.4.Va seguito il percorso senza interruzione per permettere al bambino di collegare meglio le diverse esperienze. Il lavoro fatto la settimana prima deve quindi essere rievocato.
La moltiplicazioneLa moltiplicazione
E’ essenziale che gli allievi (soprattutto
quelli meno esperti) possano associare una rappresentazione grafica (es. tavola a
doppia entrata) o una scrittura simbolica a un’azione direttamente vissuta.
Prima di imporre una scrittura convenzionale (es. 5x4) il bambino dovrebbe essere posto nella condizione di trovarne, inventarne una propria (es. algoritmi spontanei).
Affinché ciò sia possibile, egli deve incontrare l’ostacolo (il concetto) all’interno di una situazione.
La moltiplicazioneLa moltiplicazione
ObiettivoObiettivo
Con quali numeri (entro il 100) posso costruire delle "forme"?
Con quali numeri (entro il 100) posso costruire delle "forme"?
7
(3x2)+1 6 +1
14
20
31
11 11
11
La moltiplicazioneLa moltiplicazioneEsempioEsempio
1. Situazione introduttivaAbbiamo tanti pezzi di lana, di forma quadrata e desideriamo formare, cucire, delle coperte (rettangolari).Consegna:Dovremo avere tre tipi di coperte: - larghe 4 (per i letti dei bambini), - larghe 7 (per letti a una piazza), - larghe 9 (per letti “francesi”) ,- larghe 12 (per i letti a due piazze).La lunghezza può variare, guardate un po’ voi (pensate alle misure dei letti). Cercate la varie soluzioni possibili e calcolate quanti quadrati sono necessari per ogni modello.2. Situazioni di sviluppo- Con 94 pezze che possibilità ho di ... avendo minor spreco ...- Sono state ordinate 5 coperte del modello “bambini” e 7 del modello “francese” , ....- ecc...3. Situazioni “astratte”- Con quali numeri (numero di pezze) posso formare delle coperte a una piazza senza nessun spreco ?
Sviluppi ulteriori (in 4a) Sviluppi ulteriori (in 4a) (Apprendimento della moltiplicazione)(Apprendimento della moltiplicazione)
- Addizione e moltiplicazione nella scomposizione di quantità numeriche:
14
4x3 + 2
3x2 + 6x4 + 3 = 33 oppure 3x6 + 3x4 + 3
L'associazione delle due operazioni è quanto è già stato probabilmente messo in atto dagli allievi durante l'invenzione di alcuni algoritmi spontanei. In ogni caso le due operazioni saranno coinvolte al momento dell'apprendimento dell'algoritmo tradizionale.
Sviluppi ulteriori (in 4a) Sviluppi ulteriori (in 4a) (Apprendimento della moltiplicazione)(Apprendimento della moltiplicazione)
- Attività con le grandi collezioni:
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
14 x 15
10x16 + ......
Inversamente:"Trovate il numero corrispondente a 46 x 25" ecc.....
Sviluppi ulteriori (in 4a) Sviluppi ulteriori (in 4a) (Apprendimento della moltiplicazione)(Apprendimento della moltiplicazione)
- Attività di approssimazione (controllo) sulla base dei prodotti conosciuti.
- "Dall'algoritmo spontaneo all'algoritmo tradizionale."Apprendimento della tecnica tradizionale sulla base delle conoscenze sviluppato durante tutte le attività precedenti. (Non avere fretta di arrivare alla moltiplicazione tradizionale!)
- Calcolo delle superfici:
- Attività di scoperta su altri algoritmi possibili (in particolare quello mussulmano).
835 x 43=35.905
“Di algoritmi convenzionali ce ne sono e ce ne sono stati diversi, a dipendenza delle culture e dei paesi. Ecco quello chiamato “musulmano”.(Portiamo gli allievi ad approfondire il senso dell’algoritmo da un lato e dall’altro proponiamo una interessante attività di ricerca-scoperta.“Ora, dopo aver prima eseguito la moltiplicazione come la svolgiamo noi, guardate quest’altro modo e cercate di capire se funziona e come funziona. Mettetevi a coppie.”
ALGORITMO CONVENZIONALE MUSULMANO(Soltanto in 4a-5a!)
8 3 5
33
21
22
04
52
40
91
53
9 0 5
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