Avvertenza - UniTrentotoffolon/didattica/Idrodina/Esercizi... · di studio (conservazione...

Avvertenza

Trento, 31 maggio 2012

Queste dispense sono state preparate da Luca Sittoni e Alvise Bozzo nel 2005-2006

come supporto per il corso di Idrodinamica tenuto dal prof. Marco Tubino.

Si noti che gli esercizi d’esame hanno subito un’evoluzione nel corso degli anni verso

casi più complessi. Per questo motivo la casistica degli esercizi svolti non può essere

ritenuta esaustiva.

Si prega di segnalare eventuali errori a [email protected]

mailto:[email protected]

Esercizi di Idrodinamica

Bozza 16 gennaio 2006

Facolta di Ingegneria

Universita degli Studi di Trento

2

BOZZA - 16 gennaio 2006

Indice

Introduzione 4

1 Tracciamento dei profili di rigurgito in alvei cilindrici 111.1 Natura dell’alveo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Profili di rigurgito in alvei cilindrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 Alveo fluviale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Alveo torrentizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3 Alveo critico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Localizzazione dei risalti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Problema di imbocco 192.1 Alveo fluviale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Alveo torrentizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Salto di fondo 233.1 Schema di svolgimento dislivello positivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1 Salto basso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.2 Salto alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Schema di svolgimento dislivello negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.1 Salto basso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.2 Salto alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Deflusso laterale di portata 314.1 Nota L, determinare Qu e il profilo della corrente . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1.1 Alveo fluviale a monte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1.2 Alveo torrentizio a monte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Nota Qu, determinare la L necessaria e il profilo della corrente . . . . . . . 354.2.1 Alveo torrentizio a monte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.2 Alveo fluviale a monte e a valle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Afflusso laterale di portata 395.1 Corrente lenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2 Corrente veloce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3

4 INDICE

5.2.1 Corrente veloce senza transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2.2 Corrente veloce con transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6 Luce di fondo 436.1 Luce libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.2 Luce rigurgitata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7 Brusco restringimento di sezione 477.1 Corrente lenta e veloce con transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.2 Corrente lenta senza transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.3 Corrente veloce senza transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8 Soluzione di prove di esame 538.1 Esame 09-10-02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.2 Esame 05-02-03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.3 Esame 16-04-03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.4 Esame 07-01-04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808.5 Esame 04-07-02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.6 Esame 12-09-02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.7 Esame 26-02-03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.8 Esame 02-07-03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106


Introduzione

Queste dispense iniziano con la presentazione di un possibile approccio generale alla so-luzione dei problemi sui profili di rigurgito. Lo scopo e quello di evidenziare le domandeche e utile porsi nell’affrontare un esercizio qualunque, per poter reperire le informazioninecessarie nella giusta sequenza. L’approccio proposto ha un carattere generale e indi-cativo al tempo stesso, nel senso che non intende essere una forzatura agli stili personalidi apprendimento, ne un limite alla creativita di ognuno nel proprio modo di affrontare erisolvere i problemi.

L’analisi di un profilo di rigurgito fa riferimento ai principi generali di conservazionedella quantita di moto e della massa liquida. Tali principi sono espressi da equazioni cheassumono forma differente nelle diverse regioni in cui si puo suddividere l’alveo oggettodi studio (conservazione dell’energia, equazione dei profili, bilancio delle spinte, etc...).

Un possibile approccio al problema, del tutto generale, e quello di affrontare in se-quenza le seguenti domande:

1. Conosco la portata? (se no, come la calcolo?)

2. Qual e la natura degli alvei con cui ho a che fare? (torrentizio, fluviale, critico: sidetermina calcolando e confrontando i valori del tirante critico e di moto uniforme,oppure calcolando la pendenza critica e confrontandola con quella dell’alveo)

3. Da dove parto a tracciare i profili?Si individuano le sezioni di controllo che e possibile definire con certezza con i datia disposizione, esaminando per esempio cambi di pendenza, imbocchi da serbatoi,luci di fondo, etc... Dall’analisi sono inizialmente esclusi fenomeni localizzati e/odistribuiti in tronchi brevi (restringimenti, afflussi, salti di fondo, etc.) per la cuisoluzione e necessario un primo tracciamento dei profili possibili.

4. Quali sono i possibili profili a partire dalle condizioni al contorno (quote del pelolibero) imposte nelle sezioni di controllo individuate?La risposta consente di precisare le condizioni di moto indisturbato o di riferimentoper lo studio degli eventuali fenomeni localizzati e/o distribuiti in tronchi brevi(restringimenti, afflussi, etc.).

5. In quali condizioni si svolge il deflusso in corrispondenza degli eventuali fenomenilocalizzati e/o distribuiti in tronchi brevi (restringimenti, afflussi, etc.)?L’analisi si puo svolgere secondo la traccia seguente:

5

6 INDICE

a. Con quali ipotesi analizzo il fenomeno? (quale grandezza si ipotizza costante?)

b. Quali sono le condizioni di moto indisturbato o di riferimento? (qual e il valoredella grandezza che si mantiene costante?)

c. I valori di portata in gioco possono defluire in quelle condizioni?

d. Determinazione del profilo e delle quote della superficie libera imposte comecondizioni al contorno per il tracciamento dei profili a monte e/o a valle

6. Quali sono i profili possibili con le condizioni al contorno appena determinate?

7. Quale profilo si realizza effettivamente?Si determina localizzando la posizione di eventuali risalti (con la massima precisioneconsentita), attraverso il principio di conservazione della spinta in forma integrale(o ”bilancio delle spinte”).

Dopo questo cappello introduttivo, viene sviluppato l’approccio proposto attraversola suddivisione in 3 capitoli:

• Capitolo 1Richiami teorici sulla determinazione della natura degli alvei (1.1), dei profili dirigurgito (1.2) e sulla localizzazione di eventuali risalti (1.3).

• Capitoli 2 ÷ 7Richiami teorici sulla determinazione delle condizioni imposte da fenomeni localiz-zati e distribuiti in tronchi brevi.

• Capitolo 8Soluzione di alcune prove di esame degli anni 2002, 2003, 2004.

Di seguito vengono riportati i principali simboli e notazioni utilizzati.


INDICE 7

Simbologia grafica

Simbologia adottata nelle relazioni principali


8 INDICE

Q [m3

s] portata

q [m3

sm] portata specifica

Y [m] tirante o profondita

Ω [m2] area della sezione bagnata

B [m] contorno bagnato della sezione

b [m] larghezza della sezione

C [−] conduttanza idraulica (coefficiente adimensionale di Chezy)

g [ms2 ] accelerazione di gravita

ρ [Kgm3 ] densita del fluido

γ [ Nm3 ] peso specifico

if [−] pendenza del fondo

S [N ] spinta

Ks [m13

s] Coefficiente di Strickler

H [m] energia meccanica totale

E [m] energia meccanica specifica

Fr [−] numero di Froude

c [−] coefficiente di contrazione della vena

a [m] altezza della luce di fondo

cq [−] coefficiente di portata

ξ [−] coefficiente perdita localizzata

Rr [−] rapporto di restringimento


INDICE 9

Elenco dei pedici piu diffusi

Si riportano due esempi di lettura dei pedici:

YM ⇒ tirante di monte

Emin|Q ⇒ energia minima a portata costante

0 valore relativo al moto di riferimento

M monte

V valle

max massimo

min minimo

u uniforme

cr critico

r ristretta

l luce

co coniugata

luce luce

lago lago-serbatoio

L laterale


10 INDICE


Capitolo 1

TRACCIAMENTO DEI PROFILIDI RIGURGITO IN ALVEICILINDRICI

1.1 Natura dell’alveo

La natura del canale puo essere calcolata attraverso 2 procedure equivalenti:

– dal confronto tra la pendenza del canale, if , e la pendenza critica, funzione dellecaratteristiche geometriche e di scabrezza dello stesso, nonche della portatatransitante:

if cr|Q =

(Ω

C2bRh

)

Ycr|Q

=

(B

C2b

)

Ycr|Q

(1.1)

– confronto fra il tirante critico Ycr e il tirante di moto uniforme Yu, per l’asse-gnata portata Q. In alveo rettangolare:

Yu =

[Q

bks

√ifo

] 35

Ycr = 3

√Q2

gb2

Per un alveo con pendenza pari alla pendenza critica relativa alla portata in esame, iltirante di moto uniforme coincide col tirante critico.Dal confronto tra la pendenza del corso d’acqua e la pendenza critica a portata assegnatao tra il tirante di moto uniforme e quello critico, si ha:

11

12 1.2. Profili di rigurgito in alvei cilindrici

if > if cr|Q Yu < Ycr alveo torrentizio per la portata assegnata

if < if cr|Q Yu > Ycr alveo fluviale per la portata assegnata

if = if cr|Q Yu = Ycr alveo critico per la portata assegnata

Si ricorda che variazioni di portata possono far variare la natura dell’alveo; in particolareun aumento di Q puo far diventare torrentizio un alveo fluviale e viceversa. Quindi, tuttele volte che nei capitoli 2 ÷ 7 si fara riferimento ad ”alvei di natura fluviale o torrentizia”,si intendera piu correttamente alvei che ”per la portata a cui si fa riferimento assumonoun assetto di moto indisturbato fluviale o torrentizio”.

Indipendentemente dalla sua natura un alveo puo essere percorso da:

⇒ correnti lente o subcritiche: corrispondono a valori di profondita maggiori del tirantecritico. Sono governate dalla condizione al contorno di valle e devono pertanto esseretracciate da valle verso monte.

⇒ correnti veloci o supercritiche: corrispondono a valori di profondita minori del tirantecritico. Sono governate dalla condizione al contorno di monte e devono pertanto esseretracciate da monte verso valle.

1.2 Profili di rigurgito in alvei cilindrici

1.2.1 Alveo fluviale

Per un alveo fluviale, in funzione dell’altezza del tirante che si vuole raccordare al motouniforme, si individuano 3 tipologie di profili, due di corrente lenta, uno di corrente veloce.

(N.B.:riguardo le problematiche di tracciamento dei profili M1 nei temi d’esame, si riman-da alla nota introduttiva)


1. TRACCIAMENTO DEI PROFILI DI RIGURGITO IN ALVEI CILINDRICI13

Figura 1.1: Profilo M1 di corrente lenta in alveo fluviale

Figura 1.2: Profilo M2 di corrente lenta in alveo fluviale



Figura 1.3: Profilo M3 di corrente veloce in alveo fluviale

1.2.2 Alveo torrentizio

Per un alveo torrentizio, in funzione dell’altezza del tirante che si vuole raccordare al motouniforme, si individuano 3 tipologie di profili, due di corrente veloce, uno di corrente lenta.

Figura 1.4: Profilo S1 di corrente lenta in alveo torrentizio



Figura 1.5: Profilo S2 di corrente veloce in alveo torrentizio

Figura 1.6: Profilo S3 di corrente veloce in alveo torrentizio



1.2.3 Alveo critico

La pendenza e pari alla pendenza critica per la portata assegnata; questo tipo di al-veo e caratterizzato dalla coincidenza del tirante di moto uniforme con l’altezza critica.L’assetto di moto uniforme non e condizione di equlibrio stabile, poiche ad una picco-la perturbazione energetica il corso d’acqua risponde con grandi variazioni altimetriche;pertanto l’assetto di moto uniforme viene riprodotto, nelle figure seguenti, in manieraondulata.Per quanto riguarda i profili di raccordo si individuano 2 sole correnti, una lenta ed unaveloce, in quanto dalla coincidenza tra tirante di moto uniforme e tirante critico derivano2 sole zone, una di corrente sub-critica ed una di corrente super-critica. Caratteristicacomune a questi due profili, in ipotesi di alveo rettangolare largo e coefficiente di condut-tanza C costante, e l’andamento orizzontale del profilo di raccordo rispetto al piano diriferimento dell’energia meccanica totale, per tiranti disversi dal tirante critico ovvero dimoto uniforme :

dh

dx|Y 6=YU

= 0 → dY

dx|Y 6=YU

= if

Figura 1.7: Profilo C1 di corrente lenta in alveo critico



Figura 1.8: Profilo C1 di corrente veloce in alveo critico

I profili possibili in alveo fluviale, torrentizio e critico sono riassunti nella seguente tabella.

Corrente lenta Corrente veloce

Ycr < Yu < Y M1

Alveo fluviale Ycr < Y < Yu M2

Y < Ycr < Yu M3

Alveo critico Ycr = Yu < Y C1

Y < Ycr = Yu C2

Yu < Ycr < Y S1

Alveo torrentizio Yu < Y < Ycr S2

Y < Yu < Ycr S3

Tabella 1.2: Tabella riassuntiva dei diversi profili, in funzione della natura delcanale


18 1.3. Localizzazione dei risalti

1.3 Localizzazione dei risalti

I risalti idraulici raccordano tra loro un profilo supercritico con uno subcritico. Si loca-lizano dove i 2 profili raggiungono valori di profondita caratterizzati dalla stessa spintaidrodinamica: le 2 profondita si definiscono ”coniugate” e soddisfano la seguente relazione:

Y1

Y2

=1

2

(−1 +

√1 + 8Fr2

1

)(1.2)

Tra i profili trattati in precedenza, si localizzano dei risalti nel profilo M3 e nell’S1,per raccordare correnti di natura discorde rispetto a quella del moto indisturbato (M3 ecorrente veloce in alveo fluviale, S1 e corrente lenta in alveo torrentizio).


Capitolo 2

PROBLEMA DI IMBOCCO

Il problema d’imbocco si studia ipotizzando la costanza dell’energia specifica, Elago, parialla profondita che si realizza all’imbocco del canale:

Elago = HM −HV (2.1)

La seconda informazione e fornita dal canale di valle, se sufficientemente lungo: si assumela condizione asintotica di moto uniforme.

Le incognite del problema sono la profondita di moto uniforme Yu e la portata defluenteQ, che si trovano dunque a partire dalle due condizioni:

Elago = Yu − Q2

gb2Y 2u

Yu =

(Q

KS

√if b

) 35 (2.2)

Elago = Yu − Q2

gb2Y 2u

(2.3)

La portata massima che puo defluire dal lago (cioe con energia Elago) corrisponde alpassaggio per le condizioni critiche:

Ycr|E =2

3Elago (2.4)

Qmax =2

3Elagob

√2

3Elagog (2.5)

Il lago a monte del canale puo immaginarsi come caso particolare di alveo fluviale incorrente lenta (acqua ferma).

19

20 2.1. Alveo fluviale

A valle dell’imbocco possono verificarsi due condizioni:

⇒ Yu|qmax> Ycr|E : alveo fluviale;

⇒ Yu|qmax< Ycr|E : alveo torrentizio.

2.1 Alveo fluviale

Il sistema e controllato da valle: si realizzano (Q, Yu) date dalla soluzione del sistema(2.2).

YuM

H v

H m

Elago

Q[m3/s]

Y [m]

Elago

Qusc

YM

Ycr

E=cost=Elago

Figura 2.1: prolfilo di imbocco in alveo fluviale

2.2 Alveo torrentizio

Nella sezione d’imbocco si ha il raccordo tra la corrente lenta di monte (acqua ferma nellago) e la condizione asintotica del moto uniforme veloce di valle.

Nella sezione d’imbocco si ha quindi passaggio per la profondita critica:

Ycr|E =2

3Elago (2.6)


2. PROBLEMA DI IMBOCCO 21

Il passaggio per le condizioni critiche impone che la portata defluente sia la portatamassima compatibile con Elago secondo la (2.5) indipendentemente dalle condizioni divalle (controlla monte).La profondita di moto uniforme e data da

Yu =

(Q

KS

√ifb

) 35

(2.7)

Elago

YuM

S2

H v

H m

Q[m3/s]

Y [m]

Elago

Qusc=QMAX

Ym

E=cost=Elago

Ycr

Figura 2.2: prolfilo di imbocco in alveo fluviale


22 2.2. Alveo torrentizio


Capitolo 3

SALTO DI FONDO

Ipotesi: conservazione dell’energia meccanica totale a monte e a valle del salto:

HM = HV (3.1)

3.1 Dislivello positivo

Figura 3.1: conservazione dell’energia meccanica totale per dislivello positivo

23

24 3.1. Schema di svolgimento dislivello positivo

L’energia meccanica totale, H, e la somma dell’energia meccanica specifica, E, piu l’al-tezza geodetica, s, misurata dal fondo rispetto ad un piano di riferimento coincidente conil letto di valle :

HM = EM + s HV = EV (3.2)

La (3.1) si riscrive:

EM + s = EV (3.3)

Il passaggio del salto puo avvenire con transizione attraverso la stato critico (salto alto)solo nel caso di corrente indisturbata lenta quando puo verificarsi, se il salto e troppo alto:

EM = EV − s < Emin|Q (3.4)

dove, per canale rettangolare, l’energia minima a portata assegnata e pari a

Emin|Q =3

2Ycr|Q =

3

23

√Q2

2gb2(3.5)

Nei casi di corrente indisturbata veloce si ha sempre

EV > EM > Emin|Q (3.6)

In ognuno dei 4 casi possibili, esaminati di seguito, l’obiettivo e calcolare le quote YM eYV , imposte rispettivamente a monte e a valle del salto, che possono costituire (se idonee)le condizioni al contorno per il tracciamento dei profili nelle livellette a monte e a valle.

3.1.1 Salto basso

Alveo torrentizio

L’assetto idrodinamico del torrente e governato da monte: esso si mantiene in codizioniindisturbate fino alla sezione di discontinuita; se la livelletta e sufficientemente lunga,l’assetto indisturbato coincide col moto uniforme, per cui

YM = Yu

costituisce la condizione al contorno per il tratto a monte e impone il valore di EM diriferimento:


3. SALTO DI FONDO 25

EM = Yu +Q2

2gb2Y 2u

(3.7)

con Yu tirante di moto uniforme. L’energia nella sezione a valle del salto e pari, comedalla relazione iniziale, a:

EV = EM + s (3.8)

Il calcolo del tirante di valle avviene invertendo la formula dell’energia meccanica specifica,scegliendo la soluzione di corrente veloce tra le due radici positive dell’equazione cubica:

Y 3V − Y 2

V EV +Q2

2gb2= 0 (3.9)

E

Y

Ecr Ev

s

Em

Ym

Yv

Ycr

Q=cost

s3

Figura 3.2: profilo in alveo torrentizio a monte e a valle di un salto

Alveo fluviale

L’assetto idrodinamico del canale e governato da valle e vale la condizione

EM = EV − s > Emin|Q (3.10)

Se la livelletta di valle e sufficientemente lunga, vale

YV = Yu

per cui l’energia specifica di valle e di monte sono date da


26 3.1. Schema di svolgimento dislivello positivo

EV = Yu +Q2

2gb2Y 2u

(3.11)

EM = EV − s (3.12)

Il valore del tirante di monte, maggiore del tirante critico, viene calcolato invertendo l’e-spressione dell’energia specifica, scegliendo la radice positiva che corrisponde a condizionisub critiche:

Y 3M − Y 2

MEV +Q2

2gb2= 0 (3.13)

E

Y

Em Ev

m2

S

Ecr

Ycr

Ym

Yv

Figura 3.3: profilo in alveo fluviale a monte e a valle di un salto basso

3.1.2 Salto alto

Si puo verificare quando il moto indisturbato e una corrente lenta, nel caso in cui l’energiadi monte sia minore dell’energia critica per la Q assegnata:

EM = EV − s < Emin|Q (3.14)

Il fenomeno e quindi controllato da monte, dove avviene transizione per lo stato critico:

YM = Ycr|Q; EM = Emin|Q

Il passaggio per lo stato critico impone un livello energetico maggiore a valle:

EV = EM + s (3.15)

Il tirante di valle si ottiene in modo analogo alla (3.9).



E

Y

Em

s

EvEcr=Em Ev'

risalto

m3

sYm

YcoYv

Yu

m2

Q=cost

Figura 3.4: profilo in alveo fluviale a monte e a valle di un salto alto

3.2 Dislivello negativo

Figura 3.5: conservazione dell’energia meccanica totale per dislivello negativo

Il caso di dislivello negativo si affronta in modo analogo al precedente, con la differenzache la conservazione dell’energia fornisce

EM = EV + s (3.16)

Le correnti indisturbate a rischio di transizione sono pertanto in questo caso le correntiveloci, per le quali e possibile che

EV < Emin|Q


28 3.2. Schema di svolgimento dislivello negativo

Cio premesso, nel seguito si riportano solo le formule per il calcolo di YM e YV e i relativigrafici, poiche le considerazioni sulla metodologia sono analoghe al caso precedente.

3.2.1 Salto basso

Vale

EV = EM − s > Emin|Q =3

2Ycr|Q (3.17)

Alveo torrentizio

YM = Yu

EM = YM +Q2

2gb2Y 2M

(3.18)

EM = EV + s (3.19)

YV e soluzione positiva supercritica di

Y 3V − Y 2

V EV +Q2

2gb2= 0 (3.20)

E

Y

Ev Em

s2

s

Ecr

YcrYvYm

Q=cost

Figura 3.6: Profilo di corrente veloce a monte e a valle di un salto basso



Alveo fluviale

YV = Yu

EV = YV +Q2

2gb2Y 2V

(3.21)

EM = EV + s (3.22)

YM e soluzione positiva subcritica di

Y 3M − Y 2

MEM +Q2

2gb2= 0 (3.23)

E

Y

Ecr Em

m1

sYcr

Y

Ym

Ev

Figura 3.7: Profilo di corrente lenta a monte e a valle di un salto

3.2.2 Salto alto

Si verifica che

EV = EM − s < Emin|Q =3

2Ycr|Q (3.24)

Si ha deflusso attraverso le condizioni critiche nella sezione di valle, che diventa sezionedi controllo:


30 3.2. Schema di svolgimento dislivello negativo

EV = Emin|Q =3

2Ycr|Q =

3

23

√Q2

gb2(3.25)

YV = Ycr|Q (3.26)

A monte si ha:

EM = EV + s (3.27)

e YM soluzione positiva subcritica di

Y 3M − Y 2

MEM +Q2

2gb2= 0 (3.28)

E

Y

Ev

s

EmEcr=Ev' Em

s1

risalto

s2

s

Yu

Yv

Yco

YmQ=cost

Figura 3.8: Profilo di corrente veloce a monte e a valle di un salto alto


Capitolo 4

DEFLUSSO LATERALE DIPORTATA

Consiste nel deflusso di una portata Qu esternamente all’alveo in esame, attraverso unostramazzo di lunghezza L e altezza d.

Il deflusso laterale si studia ad E = cost, e pari al valore del moto di riferimento. Ladefinizione del moto di riferimento richiede alcuni passaggi, che dipendono dal tipo diproblema considerato.

Si hanno in genere 2 classi di problemi:

:e nota la lunghezza L dello sfioratore, non e nota la portata uscente Q, perchedipende dal profilo della corrente lungo lo sfioratore, che e incognita; e nota laportata Qu che si vuole far uscire, bisogna dimensionare la lunghezza L dellosfioratore per quel tipo di corrente.

4.1 Nota L, determinare Qu e il profilo della corrente

4.1.1 Alveo fluviale a monte

Se l’alveo di monte e fluviale, tale sara sicuramente a valle. Il moto di riferimento e quindiil moto uniforme di valle, che e tuttavia ignoto, dato che non si conosce Qu.Si procede quindi attraverso un procedimento iterativo, ipotizzando un valore di primotentativo per Qu: quello che si avrebbe ipotizzando la profondita della corrente costanteall’interno della regione di deflusso e pari al valore noto del moto uniforme di monte Yu,M :

QIu = Lcq

√g(Yu,M − d)3/2 (4.1)

QIL = QM −QI

u (4.2)

31

32 4.1. Nota L, determinare Qu e il profilo della corrente

Y IV = Yu|QL

(4.3)

EIV = Y I

V +QI

L2

2g(bY IV )2

(4.4)

Ycr|EIV

=2

3EI

V (4.5)

Qmax|EIV

= b√

g(Ycr|EIV)3/2 (4.6)

dove l’apice I indica la stima di primo tentativo di ogni grandezza. Perche il deflussoavvenga da valle, bisogna verificare che

QM < Qmax|EIV

(4.7)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

Q*=Q / Q max E=cost

Y* =Y

/Yc

E=c

ost

E = costante

Figura 4.1: grafico adimensionale Y*(Q*) ad E cost

In questo caso si integra il profilo verso monte utilizzando il grafico adimensionale Y ∗(Q∗)ad E costante e pari a EI

V . Le grandezze adimensionali sul grafico sono:


4. DEFLUSSO LATERALE DI PORTATA 33

Y ∗ = Y/Ycr|EIV

Q∗ = Q/Qmax|EIV

La distanza L si divide in n step di lunghezza ∆x, con xn = L, avendo stabilito l’originedelle x all’inizio dello sfioratore (figura 4.2).

∆

Figura 4.2: convenzioni geometriche nel tratto di deflusso

Il calcolo del profilo si accoppia al calcolo della portata attraverso l’equazione di continuita,in cui la portata uscente qi per ogni tratto ∆x e ottenuta attraverso la formula deglistramazzi, con cq = 0.45.

xn−1 = L−∆x (4.8)

Yn = Y IV (4.9)

qn−1 = ∆xcq√

g(Yn − d)3/2 (4.10)

Qn−1 = QIL + qn−1 (4.11)

Noto Q∗n−1 dalla 4.11, si ricava Y ∗

n−1 attraverso il grafico (4.1) e quindi Yn−1; il conto siripete analogamente nella sezione xn−2 (nella 4.11 al posto di QI

L si inserisce il valore


34 4.1. Nota L, determinare Qu e il profilo della corrente

Qn−1, che sommato alla qn−2, da calcolarsi, porge il valore della portata nella sezionexn−2, Qn−2) ,... e cosı via fino a raggiungere la sezione iniziale x0 = 0.

Qui si confrontano il valore cosı calcolato nella sezione iniziale del deflusso QI(x = x0)con il valore noto QM della portata di monte. Se la differenza fra i 2 valori e inferiore aduna tolleranza (percentuale) accettabile, la soluzione e terminata.

Altrimenti si ripete la procedura a partire dall’equazione (4.1) con un valore di secondotentativo per Qu, corrispondente a quello appena calcolato:

QIIu = QI(x = x0)−QI

L (4.12)

da cui le nuova condizioni di valle:

QIIL = QM −QII

u (4.13)

YV = Yu|QIIL

(4.14)

Le interazioni si ripetono fino alla j-esima, cioe la prima per la quale

QM −Qj(x = x0)

QM

≤ tolleranza(%) (4.15)

4.1.2 Alveo torrentizio a monte

Se l’alveo di monte e torrentizio, il moto di riferimento e il moto uniforme di monte percui si assume:

YM = Yu,M (4.16)

EM = E|Yu (4.17)

Ycr|EM=

2

3EM (4.18)

Qmax|EM= b

√g(Ycr|EM

)3/2 (4.19)

La soluzione, diversamente al caso precedente, prevede un’unica integrazione, da monteverso valle, senza la procedura iterativa.



Si utilizza il grafico adimensionale (4.1) Y ∗(Q∗) ad E = cost = EM ; le grandezze usate perl’adimensionalizzazione sono Ycr|EM

e Qmax|EM. In modo analogo all’integrazione numerica

descritta si ha:

x1 = x0 + ∆x (4.20)

Y0 = YM (4.21)

q1 = ∆xcq√

g(Y0 − d)3/2 (4.22)

Q1 = QM − q1 (4.23)

Nota Q∗1 si ricava Y ∗

1 dal grafico (4.1) e quindi Y1; ipotizzando Y = Y1 =costante nell’in-tervallo tra x1 e x2 = x1 +∆x si ricava q2 attraverso la (4.22), con Y1 al posto di Y0 e cosıvia. Il conto si ripete fino alla sezione xL, dove si completa il tracciamento del profilo e sideterminano le condizioni di valle QL e YL; si ha:

YV = YL (4.24)

Qu = QM − qL (4.25)

dove Qu e la portata uscente. E’ opportuno verificare, infine, che la natura dell’alveo avalle non sia cambiata rispetto a monte.

4.2 Nota Qu, determinare la L necessaria e il profilo

della corrente

Il problema e semplificato rispetto al caso 4.1 dato che il moto di riferimento e semprenoto.

4.2.1 Alveo torrentizio a monte

Bisogna verificare che l’alveo rimanga torrentizio anche a valle, ovvero che

Yu|QL< Ycr|QL

(4.26)


36 4.2. Nota Qu, determinare la L necessaria e il profilo della corrente

Se la (4.26) e verificata, il moto di riferimento e il moto uniforme di monte e si inte-gra da monte verso valle secondo la procedura indicata nel paragrafo (4.1.2), arrestandol’integrazione nella sezione xk che verifica

Qk = QM −Qu (4.27)

Si ha dunque L = xk e un andamento del profilo della corrente rappresentato in figura(4.3)

Q

Y

Q m

c. lentac. veloce

Ecost = Em

scala di deflusso

Q v

∆Qs3

Ym

YvYu,

Ycr

Figura 4.3: profilo di deflusso in alveo torrentizio a monte e a valle

Se la (4.26) non e verificata e risulta QM > Qmax|EV, il moto di riferimento e sempre il

moto uniforme di monte e la procedura e analoga a quella appena indicata; l’andamentoqualitativo della corrente e visualizzato in figura (4.4).

Q [m3/s]

Y [m]

Q m

E cost = E m

Scala di deflusso

Q v

∆Q

Yu,v

Yv m3 + risalto

Ycr,mYm

Ycr,v

Figura 4.4: profilo di deflusso in alveo torrentizio a monte e fluviale a valle



4.2.2 Alveo fluviale a monte e a valle

Il moto di riferimento e il moto uniforme di valle; si determina il profilo integrando davalle verso monte secondo la consueta procedura e arrestando l’integrazione nella sezionexn−k dove

Qn−k = QV (4.28)

Si ha quindi L = xn−k e un andamento qualitativo del profilo della corente rappresentatoin figura (4.5).

Q

Y

Qm

c. lentac. veloce

Ecost =Em

scala di deflusso

Qv

∆Q

m2

Yu,m

YmY v

Ycr

Figura 4.5: profilo di deflusso in alveo fluviale a monte e a valle


38 4.2. Nota Qu, determinare la L necessaria e il profilo della corrente


Capitolo 5

AFFLUSSO LATERALE DIPORTATA

In un tratto di lunghrzza L la portata del canale passa da Q0 a QL, che si assumono note.

Il fenomeno si studia a Spinta costante.

I casi trattati sono quelli di corrente di riferimento lenta e veloce e di transizione attraversolo stato critico (fig.5.1).

CORRENTE LENTA

Q[m3/s]

Y [m]

QL QV=Q0 QMAX|S0

S=S0

CORRENTE VELOCE

Q[m3/s]

Y [m]

QM=Q0 QL(1) QL

(2)QMAX|S0

S=S0

Figura 5.1: Implicazioni della conservazione della spinta totale nei problemi di afflussolaterale di portata

Se il moto di riferimento e una corrente lenta, non si pongono problemi di transizione(fig.5.1, a sinistra), in quanto il valore della Spinta e imposto da valle.

Se il moto di riferimento e una corrente veloce, la Spinta associata al moto uniforme dimonte puo non essere compatibile con l’afflusso di portata (caso Q

(2)L in fig.5.1, a destra):

39

40 5.1. Corrente lenta

QL > Qmax|S0 (5.1)

In questo caso, nel tratto di monte avverra la transizione da corrente veloce a lenta, alfine di accumulare l’energia necessaria per fronteggiare il processo di afflusso e la Spintaminima esercitata dalla portata di valle.

5.1 Corrente lenta

Il moto e controllato da valle dove sono note QL e YV (di moto uniforme se la livelletta esufficientemente lunga). Il valore della Spinta che si assume costante e quello della sezionedi valle:

S = SV =1

2ρgbY 2

V + ρQ2

L

bYV

(5.2)

Q[m3/s]

Y [m]

QM QV

YM

YV

YuM

m1

Ycr

S=cost=Sv

Figura 5.2: Profilo della corrente nel caso di afflusso laterale di portata in alveofluviale a monte e a valle

A monte si ha:

SM = SV (5.3)

YM soluzione positiva sub-critica di

Y 3M − 2

SM

γb+ 2

Q20

gb2= 0 (5.4)

che si ottiene a partire dalla (5.2) precisata per Y = YM e Q = Q0.

Il tirante a monte dell’afflusso eccede il tirante di moto uniforme di una quantita:

∆Y = YM − Yu|Q0(5.5)


5. AFFLUSSO LATERALE DI PORTATA 41

5.2 Corrente veloce

Il moto e controllato da monte; occorre verificare che la Spinta di monte sia sufficienteper il deflusso della portata QL in caratteristiche di corrente veloce.

Si deve dunque verificare se

QL > Qmax|S0 (5.6)

dove

Qmax|SM = b√

gY 3cr|SM

(5.7)

Ycr|SM =

√2

3

SM

ρgb(5.8)

SM =1

2ρgbY 2

M + ρQ2

0

bYM

(5.9)

5.2.1 Corrente veloce senza transizione

Si ha quando QL < Qmax|SM . Noti Q0 e YM , portata di monte e corrispondente tirantedi moto uniforme, si calcola SM attraverso la (5.9). Da cui:

SV = SM (5.10)

Il tirante a valle YV si ricava come soluzione positiva supercritica della:

Y 3M − 2

SM

γb+ 2

Q20

gb2= 0 (5.11)

Il tirante a valle dell’afflusso sara maggiore del tirante di moto uniforme di una quantita

∆Y = YV − Yu|QL(5.12)


42 5.2. Corrente veloce

Q[m3/s]

Y [m]

QM QV

YM

YV

YuV

S=cost=Sm

Figura 5.3: Profilo della corrente nel caso di afflusso laterale di portata in alveotorrentizio a monte e a valle

5.2.2 Corrente veloce con transizione

Si verifica quando QL > Qmax|SM . La Spinta di monte (5.9) non consente il deflussodella portata QL. Il controllo passa alla sezione di valle, dove il sistema assume il minimovalore di spinta che consente il passaggio di QL.

Si calcola:

SV =1

2ρgbY 2

cr|QL

+ ρQ2

L

bYcr

(5.13)

YV = Ycr|QL= 3

√Q2

L

gb2(5.14)

A monte YM e la soluzione positiva sub-critica dell’eqazione (5.11).

Y [m]

QM QV

YuM

YV

YuV

YM

s1 + risalto

s2

S=cost=Sv

S=cost=Sm

Figura 5.4: Profilo di afflusso per alveo torrentizio con transizione


Capitolo 6

LUCE DI FONDO

La presenza di una luce di fondo puo costituire una sezione di controllo che impone unaprofondita di corrente lenta a monte (YM) e una di corrente veloce a valle, dove si hala vena contratta (ca: c=coefficiente di contrazione, a=altezza della luce di fondo) (eq6.3). Una luce che impone entrambe le condizioni e libera, mentre, se il controllo versovalle e annegato, la luce e rigurgitata. Il fenomeno di rigurgito della vena in uscita dallaluce puo interessare esclusivamente alvei di natura fluviale a valle della luce. Infatti unalveo torrentizio e governato da monte, dalla condizione imposta dal tirante associato allasezione di vena contratta; in un alveo fluviale l’effettivo realizzarsi del controllo di monteva verificato attraverso un bilancio delle spinte relative alla sezione di vena contratta ealla condizione esistente a valle di questa (moto uniforme se la livelletta e sufficientementelunga).

6.1 Luce libera

Si parla di luce libera quando l’alveo di valle e di natura torrentizia o quando, per alveodi valle fluviale, si verifica:

SM > SV (6.1)

1

2γb(ca)2 + ρ

Q2

b(ca)>

1

2γbY 2

u + ρQ2

bYu

(6.2)

Sono in genere noti la ca e Q; YM si ricava ipotizzando la costanza dell’energia specificatra la sezione a monte e la sezione di vena contratta a valle della luce:

EV = EM → YM +Q2

2gb2Y 2M

= ca +Q2

2gb2(ca)2(6.3)

43

44 6.1. Luce libera

c = 0.61 (6.4)

Si puo calcolare agevolmente un valore di primo tentativo del tirante YM a monte dellaluce, trascurando il termine cinetico nel membro di monte dell’equazione dell’energia,poiche generalmente YM À ca.

YM = ca +Q2

2gb2(ca)2(6.5)

Questa ipotesi va comunque sempre verificata a posteriori.

Raccogliendo i due termini cinetici nella (6.3), si puo esprimere la portata Q come fun-zione esclusivamente del triante di monte, YM , e del tirante di vena contratta, ca, ovvero,delle caratteristiche geometriche della luce. Si definisce in tal modo una scala di deflus-so indipendente dalle condizioni di valle (il termine

√2gYM prende il nome di velocita

Torricelliana):

Q = cqab√

2gYM (6.6)

cq =c√

(1 + caYM

(6.7)

→ Q = f(YM , ca) (6.8)

Q

Y

Q

Ecost=Em=Evscala di deflussom1

Yu

Yv

Y

m3 + risalto

Figura 6.1: luce libera in alveo fluviale.


6. LUCE DI FONDO 45

Q

Y Ecost=Em=Ev

scala di deflusso

Q

s1 + risalto

Yu

Ym

s3Yv

Figura 6.2: luce libera in alveo torrentizio.

6.2 Luce rigurgitata

Si parla di luce rigurgitata quando:

SM < SV (6.9)

1

2γb(ac)2 + ρ

Q2

b(ca)<

1

2γbY 2

u + ρQ2

bYu

(6.10)

Il moto uniforme di valle (Yu) e in grado di opporre una spinta idrodinamica maggioredi quella associata alla sezione di vena contratta, ovvero il tirante di vena contratta emaggiore dell’altezza coniugata al tirante di moto uniforme.

La soluzione di un problema di luce rigurgitata richiede, quindi, un’analisi diversa daquella consentita in caso di luce libera. Si procede con delle considerazioni energeticheche riguardano la sezione a monte della luce di fondo (pedice M), la sezione di venacontratta-rigurgitata (pedice L) e la sezione di moto uniforme a valle del rigurgito (pediceV ). La variazione energetica tra sezione di vena contratta e la sezione di ripristino del motouniforme e assimilata a quella che si verifica in caso di brusca variazione planimetrica dellasezione di un canale (perdita di Borda), dove in questo caso si ha un brusco allargamentoin direzione verticale. Si ha:

EM = EL (6.11)

EL = EV + ξU2

2g= EV +

Q2

2g(bca)2[1− ca

YV

]2 (6.12)

Questa doppia relazione consente di calcolare il valore del tirante a monte della luce difondo:


46 6.2. Luce rigurgitata

YM +Q2

2gb2Y 2M

= YV +Q2

2gb2Y 2V

+Q2

2g(bca)2[1− ca

YV

]2 (6.13)

Risulta evidente una sostanziale differenza tra questo caso di luce rigurgitata e la condi-zione in cui la contrazione della vena avvenga liberamente. Raccogliendo i termini cineticinella (6.13), si puo ricavare un’espressione che presenta la portata che defluisce attraversola luce come funzione del tirante di monte, delle caratteristiche geometriche della luce,ma anche, diversamente dal caso di luce libera, del tirante del moto indisturbato di valle:si conclude, quindi, che la luce rigurgitata non e una sezione di controllo della portata.

Q = cqab√

2gYM (6.14)

cq =c√

(YM−YV )YM√

(1− caYV

)2 + ( caYV

)2 − ( caYM

)2(6.15)

→ Q = f(YM , YV , ca) (6.16)


Capitolo 7

BRUSCO RESTRINGIMENTO DISEZIONE

Il restringimento brusco di sezione si studia nell’ipotesi di energia specifica (E) costante,e pari al valore corrispondente del moto indisturbato.

Si lavora in termini di portata specifica per unita di larghezza della sezione: q = Qb

da

cui: q0(moto indisturbato)= Qb0

, qr (sezione ristretta)= Qbr

e dove br

b0indica il rapporto di

restringimento.

Il deflusso attraverso la sezione ristretta avviene con transizione attraverso lo stato criticose: qr|E0 > qmax|E0 dove qmax|E0 corrisponde alla massima portata che puo defluire nellasezione ristretta con l’energia E0.

qmax = YcrUcr =2

3E0

√2

3E0g (7.1)

La condizione limite della (7.1) si puo riscrivere in termini di numero di Froude del motoindisturbato, Fr0:

1 +1

2Fr2 − 3

2

(Fr

b0

br

) 23

= 0 (7.2)

dove

Fr = Fr0 =

(Q2

gY 30 b2

0

) 12

(7.3)

La (7.2) e riportata in fig. (7.1):

47

48 7.1. Corrente lenta e veloce con transizione

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

Fro

br /

b0

br/b0

Fr''LFr'L

Figura 7.1: Grafico di Marchi

Dato br

b0dal grafico in figura (7.1) si ricavano Fr

′L e Fr

′′L. Si verificano le seguenti

condizioni:

7.1 Fr′L < Fr0 < Fr

′′L qr > qmax|E0 transizione

7.2 Fr0 < Fr′L qr < qmax|E0 , F r0 < 1 corrente lenta (no trans.)

7.3 Fr0 > Fr′′L qr < qmax|E0 , F r0 > 1 corrente veloce (no trans.)

7.1 Corrente lenta e veloce con transizione

La sezione ristretta diventa sezione di controllo, in corrispondenza della quale si hapassaggio per la critica; il deflusso avviene con energia E

′> E0:

E′=

3

2Ycr|qr (7.4)


7. BRUSCO RESTRINGIMENTO DI SEZIONE 49

Ycr|qr = 3

√q2r

g(7.5)

I valori di profondita YM e YV di corrente lenta e corrente veloce rispettivamente si ricavanorisolvendo la seguente equazione:

E′= Y +

Q2

gb2Y 2(7.6)

I valori di YM e YV possono equivalentemente essere calcolati a partire dai valori limite diFr

′L e Fr

′′L:

Fr′L =

(kQ2

gY 30 b2

0

) 12

(7.7)

Fr′′L =

(Q2

gY 30 b2

0

) 12

(7.8)

con k=fattore di forma delle pile.

Il ricongiungimento delle altezze YM e YV con il moto indisturbato a monte e a valle delrestringimento avviene in conformita con la natura, fluviale o torrentizia, della corrente,come raffigurato nelle figure seguenti:

q[m3/sm]

Y [m]

Ymu

qrqo

Yr

YM

YV

m1

m3 + risalto

Figura 7.2: Profilo dovuto a restringimento di sezione, con transizione attraverso lostato critico, per corrente lenta nello stato indisturbato


50 7.2. Corrente lenta senza transizione

q[m3/sm]

Y [m]

Yu

qrqo

Yr

YM

Y

Figura 7.3: Profilo dovuto a restringimento di sezione, con transizione attraverso lostato critico, con corrente veloce nello stato indisturbato

7.2 Corrente lenta senza transizione

Il deflusso nella sezione ristretta avviene con l’energia E0 :

E0 = Y0 +Q2

gb20Y

20

(7.9)

dove Y0 = YuM = YuV e la profondita di moto indisturbato. L’altezza idrica Yr nelrestringimento si calcola pertanto come segue:

E0 = Yr +Q2

gb2Y 2r

(7.10)

E’ bene ricordare che vengono qui trascurate le dissipazioni localizzate causate dal processodi rapido restringimento e soprattutto di successivo riallargamento.

Qualora si volesse, invece, tener conto delle dissipazioni energetiche la profndita a monteassumera un valore maggiore rispetto a quello di moto uniforme (la corrente deve guada-gnare energia a monte per ovviare alle perdite successive); il valore del tirante a montedel restringimento e fornito dalla formula di Yarnel:

YM − Y0

Y0

= k(k − 0, 6 + 5Fr2o)

(1− br

b0

+ 15

(1− br

b0

)4)

Fr20 (7.11)

dove k=fattore di forma delle pile e Fr20 = Q2

gb20(b0Y0)3.


7. BRUSCO RESTRINGIMENTO DI SEZIONE 51

q[m3/sm]

Y [m]

Ymu

qrqo

Yr

E=cost

Figura 7.4: Profilo dovuto a restringimento di sezione in corrente lenta

q[m3/sm]

Y [m]

Ym

qrqo

Yr

E=cost

Yu

Figura 7.5: Profilo dovuto a restringimento di sezione in corrente lenta, calcolando leperdite energetiche secondo Yarnel

7.3 Corrente veloce senza transizione

Considerazioni analoghe a quelle appena fatte valgono anche per il deflusso, senza transi-zione, che riguardi una corrente con moto indisturbato di natura torrentizia. La situazionee schematizzata in fig. (7.6)


52 7.3. Corrente veloce senza transizione

q[m3/sm]

Y [m]

Ymu

qrq

Yr

E=cost

Figura 7.6: Profilo dovuto a restringimento di sezione in corrente veloce


Capitolo 8

SOLUZIONE DI PROVE DIESAME

53

54

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8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME 55

8.1 Esame 09-10-02

1) Calcolo portata defluente: Ipotizzando la conservazione dell’energia fra le sezioni amonte e a valle della luce di fondo, si puo calcolare la portata defluente dalla seguenteespressione, che suppone la trascurabilita del termine cinetico a monte della luce:

Q = cqab√

2gYM (8.1)

cq = 0.61

→ (8.1) Q=129.8 m3/s

A riprova della validita del calcolo fatto, si verifica che il carico cinetico a monte vale:

EM,cin =Q2

2gb2Y 2M

= 0.021m

effettivamente trascurabile rispetto a YM = 4 m.

2) Quote di moto uniforme e livelli critici. Con le seguenti note formule, valide nell’ap-prossimazione di canale rettangolare largo, si calcolano i livelli idrici del moto uniforme edello stato critico:

Yu =

[Q

bks

√ifo

] 35

(8.2)

Ycr = 3

√Q2

gb2(8.3)

→ (8.3) Ycr=0.88 m→ (8.2) Yu1=1.54 m: alveo fluviale→ (8.2) Yu2=0.63 m: alveo torrentizio→ (8.2) Yu3=1.65 m: alveo fluviale

3) Risalti e profondita coniugate.Noto il valore del tirante uniforme nella livelletta 1, si procede al controllo se la luce sia omeno rigurgitata; il controllo avviene confrontando le spinte associate al tirante di motouniforme ed al tirante di vena contratta, utilizzando le formule:

SM =1

2γb(ca)2 + ρ

Q2

b(ca)SV =

1

2γbY 2

u + ρQ2

bYu

(8.4)


56 8.1. Esame 09-10-02

risulta: S(Yu1)=800 kN < S(Yca)= 1128 kN. La luce e libera, si instaura un profilo M3di corrente veloce in alveo fluviale, fino al valore di altezza coniugata al tirante di motouniforme, ricavabile dalla formula:

Y1

Y2

=1

2

(−1 +

√1 + 8Fr2

)(8.5)

Fr =Q

Y b√

gY(8.6)

→(8.6) Fr(Yu2)=0.43 → (8.5) Yco=0.45 m

Il cambiamento di pendenza tra la livelletta 1 e 2 da luogo ad una variazione nella naturadel canale che passa da fluviale a torrentizio. Nella sezione di confine tra le due livellettedeve verificarsi la transizione per l’altezza critica, unico tirante compatibile con la necessitadi un controllo da valle, nella livelletta 1, da monte nella livelletta 2. Un profilo M2raccorda il tirante critico nella sezione di cambio di pendenza, con le condizioni di motouniforme fluviale a monte, mentre un profilo S2 collega sempre il tirante critico, condizioneal contorno di monte per la livelletta 2, con il tirante di moto uniforme torrentizio, che siinstaura nella livelletta 2, ad una certa distanza dalla sezione di discontinuita.

Il salto di fondo a valle della livelletta 2, coincide con un nuovo cambiamento nella naturadel canale, che da torrentizio, ridiventa fluviale, per la minore pendenza caratterizzantela livelletta 3.Prima di occuparsi del problema rappresentato dal salto di fondo, e opportuno risolverela questione della localizzazione del risalto idraulico, attraverso il quale il controllo passada monte a valle. A seconda che il risalto si localizzi a monte o a valle del salto di fondo,questo fenomeno sara risolto con un controllo da valle o da monte.Si confrontano le spinte che e in grado di esercitare il canale in moto uniforme nellaseconda e nella terza livelletta:

SM =1

2γbY 2

u2 + ρQ2

bYu2

SV =1

2γbY 2

u3 + ρQ2

bYu3

(8.7)

→(8.7) SM=634 kN → (8.7) SV =869 kN

Risulta SM < SV : il risalto idraulico si localizza a monte del salto coincidente con ilcambio di pendenza.

Passando quindi alla soluzione del profilo relativo all’ostacolo determinato dal salto difondo, si impone, come visto, un controllo da valle: il moto uniforme associato alla livel-letta 2, di natura fluviale, si mantiene fino alla prima sezione a valle del salto. Essendo



nota l’energia di valle, si ricava l’energia nella sezione immediatamente a monte del saltosecondo la seguente formula:

EM = EV − s (8.8)

EV = Yu3 +Q2

2gb2Y 2u3

(8.9)

→(8.9) EV =1.77 m →(8.8) EM=1.47 m

Si controlla se l’energia di monte cosı calcolata sia maggiore dell’energia minima associataalla portata in esame, ovvero l’energia nello stato critico:

Emin|Q =3

2Ycr =

3

23

√Q2

2gb2(8.10)

→(8.10) Emin|Q=1.32 m <1.47 m =EM

esistono, pertanto, tiranti compatibili con il livello energetico di monte appena calcolato,come puo essere visualizzato nel grafico adimensionalizzato a portata costante (figura8.1) oppure calcolato con la formula seguente, derivante dall’inversione dell’equazione diBernoulli (delle 2 radici positive si sceglie quella corripsondente ad un tirante sub critico):

Y 3M − Y 2

MEM +Q2

2gb2= 0 (8.11)

→(8.11) YM=1.25 m

Infine, un profilo S1 di corrente lenta in alveo torrentizio raccorda il tirante YM conl’altezza coniugata al tirante di moto uniforme della livelletta 2:

Y1

Y2

=1

2

(−1 +

√1 + 8Fr2

)

→ Fr(Yu2)=1.67 → Yco=1.200 m

Lo stesso risalto idraulico, in precedenza localizzato a monte del salto di fondo (8.7),completa il ricongiungimento con le condizioni di moto indisturbato.

4)Valore limite di ks nella livelletta 1 perche si abbia rigurgito della luce difondo.Noto il valore del tirante di vena contratta ca=0.305 m a valle della luce, in condizionidi assenza di rigurgito, dall’analisi condotta al punto 3, risulta che la luce resta liberafintantoche la spinta associata al moto uniforme che si instaura nella livelletta 1 risulta


58 8.1. Esame 09-10-02

minore del valore di spinta associato al tirante di vena contratta, ovvero finche il tirantedi moto uniforme Yu1 resta minore dell’altezza coniugata al tirante di vena contratta (lealtezze coniugate sono caratterizzate dall’uguaglianza nelle spinte idrodinamiche).Si calcola, quindi, l’altezza coniugata al tirante di vena contratta:

Yco

ca=

1

2

(−1 +

√1 + 8Fr2

)(8.12)

Fr(ca) =Q

cab√

gca(8.13)

→(8.13) Fr(ca)=4.92 → (8.12) Yco=1.97 m

e si impone questo valore di tirante come altezza di moto uniforme nella livelletta 1; ilvalore di scabrezza limite che da luogo ad un moto uniforme con queste caratterisitiche equello che soddisfa la relazione:

Yu1 = Yco =

[Q

bks,lim

√ifo

] 35

(8.14)

→(8.14) ks,lim=26.4 m13 /s.

Per valori di scabrezza nella livelletta 1 minori di ks,lim=26.4 m13 /s, la luce risulta rigur-

gitata.



0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5

E / Ec

Y / Yc

Q = costante

YM/Yc, EM/Ec

YV/Yc, EV/Ec

Figura 8.1: Grafico adimensionale a portata costante


60 8.1. Esame 09-10-02

Figura 8.2: Profilo 09-10-02



!" #

#$%% &$'%(')

$%%% *$%%'

$%+,$

"- ./-#01#/

*/'/-

2/#

!/ *!0/3(#4 5


62 8.1. Esame 09-10-02



8.2 Esame 05-02-03

1) Calcolo portata defluente.

Ipotizzando la conservazione dell’energia fra le sezioni a monte e a valle della luce difondo, si puo calcolare la portata defluente dalla seguente espressione, che suppone latrascurabilita del termine cinetico a monte della luce:

Q = cqab√

2gYM (8.15)

cq = 0.61

→ (8.15) Q=417,5 m3/s

A riprova della validita del calcolo fatto, si verifica che il carico cinetico a monte vale:

EM,cin =Q2

2gb2Y 2M

= 0.018m

effettivamente trascurabile rispetto a YM = 7 m.

2) Quote di moto uniforme e livelli critici.

Con le seguenti note formule, valide nell’approssimazione di canale rettangolare largo, sicalcolano i livelli idrici del moto uniforme e dello stato critico:

Yu =

[Q

bks

√ifo

] 35

(8.16)

Ycr = 3

√Q2

gb2(8.17)

→ (8.17) Ycr=1.21 m→ (8.16) Yu1=1.30 m: alveo fluviale→ (8.16) Yu2=0.87 m: alveo torrentizio

3) Risalti e profondita coniugate.

Noto il valore del tirante uniforme nella I livelletta, si procede a controllare se la luce siao meno rigurgitata; la verifica avviene confrontando le spinte associate al tirante di motouniforme ed al tirante di vena contratta, utilizzando le formule:

SM =1

2γb(ca)2 + ρ

Q2

b(ca)SV =

1

2γbY 2

u + ρQ2

bYu

(8.18)


64 8.2. Esame 05-02-03

risulta: S(Yu)=2171 kN < S(Yca)= 4829 kN.

La luce e libera: a valle della sezione di vena contratta si instaura un profilo M3 dicorrente veloce in alveo fluviale, fino al valore di altezza coniugata al tirante di motouniforme, ricavabile dalla formula:

Y1

Y2

=1

2

(−1 +

√1 + 8Fr2

)(8.19)

Fr =Q

Y b√

gY(8.20)

→(8.20) Fr(Yu2)=0,89 → (8.19) Yco=1.12 m

Il cambiamento di pendenza tra la livelletta 1 e la 2 da luogo ad una variazione nellanatura del canale che passa da fluviale a torrentizio. Nella sezione di confine tra le duelivellette deve verificarsi la transizione per l’altezza critica, unico tirante compatibile conla necessita di un controllo da valle, nella prima livelletta, da monte nella seconda livel-letta. Un profilo M2 raccorda il tirante critico nella sezione di cambio di pendenza, conle condizioni di moto uniforme fluviale a monte; un profilo S2 collega il tirante critico conil tirante di moto uniforme torrentizio, che si instaura appunto nella livelletta 2, ad unacerta distanza dalla sezione di discontinuita.

4) Assetto della superficie libera in corrispondenza del ponte.Il ponte viene affrontato da un canale di natura torrentizia. La portata specifica perunita di larghezza nel canale e pari a Q/b=417/100= 4.17 m3/sm ; la portata specificaall’altezza del ponte e Q/(b− 2 · 7) = 417/(100− 2 · 7)=4.85 m3/sm.Si deve verificare se l’energia associata al moto uniforme a monte del ponte sia sufficientea far transitare quella portata specifica attraverso il ponte. Si calcola, quindi, il massimovalore di portata specifica associabile al livello energetico in questione, ovvero la portatatransitante in condizioni critiche ad energia pari a EM :

EM = YM +q20

2gb2Y 2M

(8.21)

→ (8.21) EM=2.032 m

Ycr|E =2

3EM = 1.35 m

qmax|E = Ycr

√gYcr (8.22)

→ (8.22) qmax|E = 4.93 m3/sm > qr = 4.85 m3/sm



Risulta che la portata massima specifica in grado di fluire sotto il ponte, compatibilmentecon l’energia a disposizione a monte, e maggiore della portata specifica che si verifica nelnostro caso all’altezza del ponte: l’energia del moto uniforme e sufficiente per il supera-mento dell’ostacolo costituito dal restringimento del ponte e non si rende necessario alcunprofilo di risparmio energetico.Tale risultato puo essere ricavato anche dal grafico di Marchi (figura 8.5), riportando inascissa e ordinata rispettivamente i valori del numero di Froude del moto indisturbato edil coefficiente di restringimento proprio del ponte; se il punto individuato e esterno all’areasottesa dalla curva, come in questo caso, non avviene transizione per lo stato critico.Si calcola, quindi, il tirante all’altezza del restringimento dal grafico ad energia costan-te (figura 8.3) oppure, nota l’energia meccanica specifica in quella sezione e la portataspecifica, invertendo la formula dell’energia di Bernoulli:

Y 3 − Y 2EM +q2r

2g= 0 (8.23)

Si sceglie la radice che corrisponde ad un tirante supercritico e risulta: Yr = 1.20 m.Questo valore di tirante e minore dell’altezza dell’impalcato del ponte: pertanto il pontee in sicurezza per questo valore di portata.

5) Afflusso di portata.

Un afflusso laterale di 25 m di lunghezza porta ad un aumento della portata fino al valore diQ2 = 442.5 m3/s. Servendosi delle formule menzionate al punto 2, si calcola la nuova Ycr2,che risulta essere pari a 1.39 m, mentre il tirante di moto uniforme associato alla nuovaportata e: Yu = 0.91 m (permangono condizioni torrentizie anche a valle dell’afflusso).

Il processo di afflusso avviene a spinta costante; il valore della spinta e quello associato almoto uniforme a monte dell’afflusso, se la portata massima compatibile con quel valoredi spinta e minore della portata che si instaura a valle dell’afflusso. Risulta:

S =1

2γbY 2 + ρ

Q2

bY(8.24)

→ (8.24) S=2365 kN

YC|S =

√2S

3γb(8.25)

→ (8.25) Ycr|S=1.267 m

Qmax|S = bYcr|S√

gYcr|S (8.26)


66 8.2. Esame 05-02-03

→ (8.26) Qmax|S=447.12 m3/s

La portata massima per spinta pari a S di monte e maggiore della portata a valle del-l’afflusso. Il fenomeno e quindi governato da monte. A valle dell’afflusso si instauraun tirante, il cui valore e deducibile dal grafico a spinta costante o dall’inversione dellaseguente espressione:

SV = SM =1

2γbY 2

V + ρQ2

2

bYV

(8.27)

→ (8.27) YV =1.12 m

Come gia visto al punto 4, si calcolano le portate specifiche nel canale indisturbato e incorrispondenza del ponte; rislutano:

q0 = Q2/b = 442.559/100 = 4.42 m3/sm

qr = Q2/(b− 2 · 7) = 442.559/(100− 2 · 7) = 5.14 m3/sm

Si calcola l’energia di monte, assumendo come tirante nella sezione a monte del ponte iltirante risultante dalla soluzione del profilo di afflusso (YM = 1.12 m):

EM = YM +q20

2gb2Y 2M

(8.28)

→ (8.28) EM=1.92 m

La portata massima specifica associata a questo livello energetico e:

Ycr|E =2

3EM = 1.28 m

qmax|E = Ycr

√gYcr (8.29)

→ (8.29) qmax|E=4.52 m3/sm < qr = 5.14 m3/sm

e risulta essere minore della portata specifica all’altezza del ponte.

Il canale si organizza, quindi, in maniera tale da garantire in corrsipondenza della sezio-ne di restringimento il minimo valore energetico necessario, ovvero quello associato allatransizione per il tirante critico, relativo alla portata specifica che deve passare:



Ycr = 3

√q2r

g2= 1, 39 m

Emin|qr =3

23

√q2r

g2(8.30)

→ (8.30) Emin|qr=2.09 m

Noto il valore energetico necessario per il superamento dell’ostacolo ponte, si ricavano ivalori di tirante a monte e a valle della sezione di restringimento, desumendoli dal graficoad energia costante o dalla seguente espressione, derivante dall’inversione dell’equazionedi Bernoulli :

Y 3 − Y 2Emin|qr +q20

2g= 0

La radice maggiore corrisponde al tirante sub critico a monte del ponte, la radice piupiccola, al tirante super critico a valle del ponte:

→ YM=1.77 m → YV =0.93 m

Tali valori possono essere calcolati anche attraverso il grafico di Marchi (figura 8.6). Anchein questo caso il tirante di monte e minore dell’altezza dell’impalcato del ponte (1.8 m).

Sulla base di queste informazioni si scopre che l’ipotesi poc’anzi avanzata di un controlloda monte del processo di afflusso non e compatibile con la realta, poiche da luogo adun tirante nella sezione di valle dell’afflusso (sezione di monte per il ponte) al qualecorrisponde un’energia insufficiente per il superamento del restringimento costituito dallepile del ponte.Quindi, il controllo del processo di afflusso passa a valle: nella sezione di valle dell’afflussoil tirante e un tirante subcritico, imposto dal passaggio del ponte e pertanto in gradodi garantire l’energia minima necessaria per il restringimento. Si ricostruisce il profiloin corrispondenza dell’afflusso, assumendo come valore di spinta, costante lungo tutto ilprocesso, quella associata al tirante di valle:

SV = SM =1

2γbY 2

V + ρQ2

bYV

(8.31)

→ (8.31) SV = 2643 kN

Il tirante subcritico che a monte dell’afflusso, con una portata pari a Q = 417, 5 m3/s, ein grado di esercitare una spinta pari ad SV , si ottiene dal grafico a spinta costante (figura8.4) o risolvendo l’equzione cubica derivante dall’inversione dell’espressione della spintaed e pari a:


68 8.2. Esame 05-02-03

1

2γbY 3

M − SV YM + ρQ2

b= 0 (8.32)

→ (8.32) YM=1.86 m

Un profilo S1, raccorda il tirante a monte dell’afflusso con l’altezza coniugata al motouniforme:

Y1

Y2

=1

2

(−1 +

√1 + 8Fr2

)(8.33)

→ Fr(Yu2)=1.623 →(8.33) Yco=1.621 m

A valle del ponte un profilo S3 raccorda il tirante YV con il tirante di moto uniforme.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

q / q max E=cost

Y /Y

c E

=co

st E = costante

Yr, qo

Yu2, qo

Figura 8.3: Grafico adimensionale ad energia costante, con risultati relativi al punto4



0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

Q / Q max S=cost

Y /Y

c S

=co

st

S = costante

YM, Q1

Figura 8.4: Grafico adimensionale a spinta costante, con risultati relativi al punto 5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Fr

br/bobr/bo-Fr2

Figura 8.5: Grafico di Marchi, con risultato relativo al punto 4


70 8.2. Esame 05-02-03

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Fr

br/bo

FrM-FrV

Figura 8.6: Grafico di Marchi


72 8.2. Esame 05-02-03

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8.3 Esame 16-04-03

1)Calcolo della portata.

Per calcolare la portata in uscita dal serbatoio, si valuta dapprima l’energia a disposizionedel canale all’imbocco; questa e data da:

E = hm − hi (8.34)

→(8.34) E= 2.4 m

Se si ipotizza che il canale abbia natura torrentizia, per la portata uscente, nella sezioned’imbocco si instaura un tirante critico e la portata che fluisce dal serbatoio e quellamassima associabile al livello energetico della sezione d’ingresso. Sotto quest’ipotesi, sicalcola il tirante critico:

Ycr =2

3E (8.35)

→(8.35) Ycr=1.6 m

e la corrispondente portata massima:

Qmax|E = bYcr

√gYcr (8.36)

→(8.36) Qmax|E=633.9 m3/s

Per verificare se questa ipotesi sia compatibile con la realta, si calcola il tirante di motouniforme che si instaura nella I livelletta, a portata pari a quella massima appena calcolata;risulta:

Yu =

[Q

bks

√ifo

] 35

(8.37)

→(8.37) Yu1=1.43 m: alveo torrentizio

Il tirante uniforme e minore del tirante critico: l’ ipotesi di alveo torrentizio e corretta ela portata in uscita e quella massima associata al livello energetico d’imbocco.

2) Quote di moto uniforme e livelli critici.

Nota la portata in uscita dal serbatoio e le caratteristiche idrodinamiche e geometriche diogni tratto, si calcolano i tiranti di moto uniforme, fino alla sezione a monte dell’afflusso:

→(8.37) Yu2=1.16 m: alveo torrentizio→(8.37) Yu3=1.66 m: alveo fluviale

L’afflusso distribuito di 20 m3/sm per 100 m di lunghezza porta ad un incremento dellaportata di 2000 m3/s;


74 8.3. Esame 16-04-03

→ Q2=2633.9 m3/s

Il tirante critico a valle dell’afflusso risulta essere:

Ycr2 = 3

√Q2

2

gb2(8.38)

→(8.38) Ycr2=4.13 m

mentre il tirante di moto uniforme nella III livelletta a portata incrementata e di

→(8.37) Yu3,b=3.91 m: alveo torrentizio

3) Luce di fondo.

La luce di fondo a valle della livelletta 1 genera una sezione di vena contratta a montedella livelletta 2, con tirante pari a

→(8.36) Yca = 0.61 · a = 0.488 m

L’energia meccanica specifica nella sezione di vena contratta deve essere pari all’energiaa monte della luce, la quale, nell’approssimazione di trascurabilita del termine cinetico, epari all’altezza del pelo libero a monte della paratoia:

EM = EV YM = ca +Q2

2gb2(ca)2(8.39)

→(8.39) YM=9.09 m

Il tirante cosı calcolato risulta maggiore dell’altezza critica nella livelletta 1: pertanto siinstaura un profilo S1 di corrente lenta in alveo torrentizio.Si verifica la validita dell’ipotesi avanzata in precedenza, calcolando il termine cineticorelativo al livello energetico a monte della luce:

EM,cin =Q2

2gb2Y 2M

= 0.025 m

che risulta essere effettivamente trascurabile se paragonato ad YM .Si ricorda inoltre che, essendo la livellatta 2 di natura torrentizia, non si pone il problemadi un eventuale rigurgito della luce.

Afflusso.

L’afflusso di portata determina una variazione nella natura della livelletta 3 che passa dafluviale a monte a torrentizia a valle dell’afflusso. Il fenomeno dell’afflusso laterale vienerisolto imponendo l’uguaglianza nella spinta tra sezione di monte e sezione di valle.



In generale, la transizione nella natura di un corso d’acqua da fluviale a torrentizia avvieneattraverso lo stato critico: l’altezza critica e condizione al contorno di monte per il torrente,di valle per il fiume. Nel caso in esame la transizione avviene non per una variazione dellecaratteristiche dell’alveo, ma per un aumento di portata. Se si ipotizza che il tirante criticosi instauri a monte dell’afflusso, si cade in un assurdo: in condizioni critiche la portatatransitante e la massima possibile per quel valore di spinta e non si potrebbe avere, quindi,un aumento di portata a spinta costante. Si conclude che il passaggio per lo stato criticodeve avvenire a valle dell’afflusso. La spinta associata al fenomeno e dunque:

SV =1

2γbY 2

C2 + ρQ2

2

bYC2

(8.40)

→(8.40) SV =25163 kN

A monte dell’afflusso si realizza un tirante che, a portata pari a Q, da luogo ad unaspinta pari a SM = SV : il valore del tirante si evince dal grafico adimensionale a spin-ta costante (figura 8.8) o come soluzione dell’equazione cubica derivante dall’inversionedell’espressione della spinta:

1

2γbY 3

M − SV YM + ρQ2

b= 0 (8.41)

→(8.41) YM=7.08 m

4)Risalti e profondita coniugate.

A valle dell’imbocco il tirante critico nella sezione iniziale della livelletta 1 e raccordatocon il tirante di moto uniforme in una sezione indisturbata con un profilo S2. Il tirantesubcritico a monte della luce di fondo da luogo, come visto, ad un profilo S1, di correntelenta in alveo torrentizio. Tale profilo si raccorda al moto uniforme di monte tramite unrisalto, che si localizza dove le spinte dei due profili si eguagliano, ovvero dove il profiloS1 raggiunge il valore dell’altezza coniugata al tirante di moto uniforme, valore dato dallaseguente formula:

Y1

Y2

=1

2

(−1 +

√1 + 8Fr2

)(8.42)

→ Fr(Yu1)=1.18 →(8.42) Yco=1.78 m

A valle della luce di fondo, un profilo S3 unisce il tirante di vena contratta con l’altezzadi pelo libero di moto indisturbato.

La variazione di pendenza tra la livelletta 2 e 3 da luogo ad una transizione del canale datorrentizio a fluviale; il passaggio di controllo da monte a valle avviene in maniera brusca


76 8.3. Esame 16-04-03

tramite un risalto idraulico, di collegamento tra 2 altezze coniugate, vale a dire tra untirante sub critico ed uno super critico. Tale risalto si puo localizzare a monte o a valledel cambio di pendenza, in funzione dei valori di spinta associati al moto uniforme dellalivelletta 2 e 3:

S =1

2γbY 2

u + ρQ2

bYu

(8.43)

→(8.43) SYu2=4123 kN →(8.43) SYu3= 3773 kN

Risulta che la spinta di moto uniforme della livelletta 2 e maggiore della spinta in gradodi opporre il canale in moto uniforme nella livelletta 3: il risalto si localizza a valle dellasezione di cambio di pendenza. Il moto indisturbato nel secondo tratto permane finoall’ultima sezione; nella prima sezione del terzo tratto si instaura un tirante di altezzapari al tirante di moto uniforme della livelletta 2, il quale, essendo la natura del terzotratto fluviale, da luogo ad un profilo M3 di corrente veloce in alveo fluviale. Tale profilocollega il tirante della prima sezione del terzo tratto con l’altezza coniugata al tirante dimoto uniforme della livelletta 3;

Y1

Y2

=1

2

(−1 +

√1 + 8Fr2

)(8.44)

→ Fr(Yu3)=0.94 →(8.44) Yco=1.54 m

Un risalto idraulico completa, infine, il ripristino delle condizioni di moto indisturbato.

A monte dell’afflusso il canale ha natura fluviale: e controllato da valle, tramite un profiloM1 di raccordo tra il tirante a monte dell’afflusso ed il tirante di moto uniforme. A valledell’afflusso un profilo S2 collega il tirante critico con il moto uniforme in una sezioneindisturbata.



0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

Q / Q max S=cost

Y /Y

c S

=co

st

S = costante

Ym, Q1

Figura 8.8: Grafico adimensionale a spinta costante, con risultati relativi al punto 3


78 8.3. Esame 16-04-03




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80 8.4. Esame 07-01-04

8.4 Esame 07-01-04

1)Quote di moto uniforme e livelli critici.Con le seguenti note formule, valide nell’approssimazione di canale rettangolare largo, sicalcolano i livelli idrici del moto uniforme e dello stato critico (Ycr1 e Ycr2 si riferisconoalle due altezze critiche prima e dopo l’afflusso, cosı come il pedice a e b per il tirante dimoto uniforme del I tratto):

Yu =

[Q

bks

√ifo

] 35

(8.45)

Ycr = 3

√Q2

gb2(8.46)

→ (8.46) Ycr1=2.17 m→ (8.46) Ycr2=2.25 m→ (8.45) Yu1,a=1.56 m: alveo torrentizio→ (8.45) Yu1,b=1.62 m: alveo torrentizio→ (8.45) Yu2=2.63 m: alveo fluviale→ (8.45) Yu3=2.39 m: alveo torrentizio

2), 3) Risalti e profondita coniugate e andamento della superficie libera nei pressi dei ponti

A) L’afflusso laterale in prossimita del ponte va risolto imponendo l’equilibrio alle spinte.Essendo il canale di natura torrentizia nel primo tratto, si ipotizza che il processo siagovernato da monte e che quindi la spinta, che si mantiene costante lungo l’intero trattod’afflusso, sia quella associata al moto uniforme a monte dell’afflusso:

S =1

2γbY 2

u1,a + ρQ2

bYu1,a

(8.47)

→(8.47) S(Yu1,a)=3796 kN

Si calcola la portata massima compatibile con questo valore di spinta, ricavandosi primail tirante critico a spinta costante:

Ycr|S =

√2S

3γb(8.48)

→(8.48) Ycr|S=2.27 m



Qmax|S = bYcr|S√

gYcr|S (8.49)

→(8.49) Qmax|S=536.1 m3/s

Risulta: Qmax|S > Q2=530 m3/s e quindi l’ipotesi di un controllo da monte del fenomenoe plausibile dal punto di vista energetico; si ricava il valore del tirante a valle dell’afflusso,per via grafica o risolvendo l’equazione cubica derivante dall’inversione della formula dellaspinta (delle due radici positive si sceglie quella corrispondente ad un tirante super-critico):

1

2γbY 3

V − SMYV + ρQ2

b= 0 (8.50)

→(8.50) YV =1.98 m

A questo punto, pero, si nota che il tirante cosı trovato e maggiore dell’altezza dell’impal-cato del ponte a valle dell’afflusso: il ponte va in pressione e impone al canale un passaggioobbligato; questo fenomeno e analizzabile con la teoria della luce di fondo.

A valle del ponte si instaura un tirante di vena contratta, noto il quale si puo ricavarel’altezza del pelo idrico a monte del ponte (essendo l’alveo a valle del ponte di naturatorrentizia, non si pone il problema di un eventuale rigurgito della luce):

YM = ca +Q2

2

2gb2(ca)2(8.51)

→(8.51) YM=5.848 m

Nell’equazione appena utilizzata si e supposta la trascurabilita del termine cinetico amonte della luce; a riprova della validita dell’assunzione fatta, il termine cinetico risultaessere:

EM,cin =Q2

2gb2Y 2M

= 0.172m

effettivamente trascurabile rispetto a YM .

La sezione immediatamente a monte del ponte coincide con la I sezione di valle dell’afflussoe il tirante appena calcolato risulta molto maggiore del tirante calcolato in precedenza,sotto l’ipotesi di un controllo da monte del processo di afflusso. Si conclude che la presenzadel ponte a valle dell’afflusso impone l’istaurarsi di un determinato tirante nella sezione divalle, il quale governa da valle il fenomeno di aumento di portata. La spinta che rimanecostante lungo tutto il processo e, quindi, cosı calcolata (YV = 5.848 m):


82 8.4. Esame 07-01-04

SV =1

2γbY 2

V + ρQ2

2

bYV

(8.52)

→(8.52) S(YV )=9348 kN

A monte dell’afflusso si calcola il valore dell’altezza idrica in grado di esercitare unaspinta pari a SV , a portata Q < Q2, per via grafica (figura 8.10 o attraverso la seguenteespressione (delle due radici positive dell’equazione cubica si sceglie quella corrispondentead un tirante sub-critico, coerentemente con il controllo da valle del processo):

1

2γbY 3

M − SV YM + ρQ2

b= 0 (8.53)

→(8.53) YM=5.886 m

A monte dell’afflusso, si instaura un profilo S1, che incomincia dalla sezione iniziale del-l’afflusso laterale, risale la corrente fino ad intercettare il valore dell’altezza coniugata altirante di moto uniforme, al quale infine si raccorda con un risalto idraulico:

Y1

Y2

=1

2

(−1 +

√1 + 8Fr2

)(8.54)

Fr =Q

Y b√

gY(8.55)

→(8.55) Fr(Yu1,a)=1.63 → (8.54)Yco=2.91 m

B) La variazione di pendenza tra livelletta 1 e la 2 da luogo ad una transizione della naturadel canale da torrentizia a fluviale; il passaggio di controllo da monte a valle avviene inmaniera brusca tramite un salto idraulico, di collegamento tra 2 altezze coniugate, vale adire tra un tirante sub-critico ed uno super-critico. Per capire dove si localizza tale risalto,se a monte o a valle del cambio di pendenza, si procede ad un confronto tra i valori dispinta associati al moto uniforme della livelletta 1 e 2. Risulta:

S =1

2γbY 2

u + ρQ2

bYu

(8.56)

→(8.56) SYu1,b=4111 kN →(8.56) SYu2= 3830 kN

Risulta che la spinta di moto uniforme della livelletta 1 e maggiore della spinta in gradodi opporre il canale in moto uniforme nella livelletta 2: il risalto si localizza a valle dellasezione di cambio di pendenza. Il moto indisturbato nel I tratto permane fino all’ultima



sezione; nella prima sezione del II tratto si instaura un tirante di altezza pari al tirantedi moto uniforme della livelletta 1, il quale, essendo la natura del II tratto fluviale, daluogo ad un profilo M3 di corrente veloce in alveo fluviale. Tale profilo collega il tirantedella prima sezione del II tratto con l’altezza coniugata al tirante di moto uniforme dellalivelletta 2;

Y1

Y2

=1

2

(−1 +

√1 + 8Fr2

)(8.57)

Fr =Q

Y b√

gY(8.58)

→(8.58) Fr(Yu2)=0.79 → (8.57)Yco=1.92 m

Un risalto idraulico completa, infine, il ripristino delle condizioni di moto indisturbato.

C) Cambio di scabrezza: la variazione del coefficiente di Strickler tra la livelletta 2 e3 porta ad un abbassamento del tirante di moto uniforme (da 2.62 m a 2.39 m), cheresta, pero, sempre maggiore del tirante critico e quindi mantiene la natura fluviale dellalivelletta 2. Il logico profilo di raccordo e un profilo di corrente lenta in canale fluvialeM2, tracciato dal tirante uniforme della livelletta 3 al tirante uniforme della livelletta 2.

D) Secondo ponte: l’energia a disposizione del corso d’acqua a monte del ponte e:

EM = Yu3 +Q2

2

2gb2Y 2u3

(8.59)

→(8.59) EM=3.39 m

Le portate specifiche in una sezione indisturbata a monte del ponte e nella sezione direstringimento risultano:

→ q0=Q2/b=530/50= 10.60 m3/sm→ qr = Q/(b− 2 · 6) = 530/(50− 2 · 6) = 13.95 m3/sm

mentre la massima portata specifica compatibile con l’energia di monte e quella relativaall’assetto critico, ad energia di monte, ed e pari a :

qmax|EM=

2

3EM

√g2

3EM (8.60)

→(8.60) qmax|EM=10.63 m3/sm


84 8.4. Esame 07-01-04

Essendo qmax|EM< qr, il canale si organizza in maniera tale da garantire in corrsipon-

denza della sezione di restringimento il minimo valore energetico necessario, ovvero quelloassociato alla transizione per il tirante critico, relativo alla portata specifica che devepassare:

Ycr = 3

√q2r

g2= 2.707 m

Emin|qr =3

23

√q2r

g2(8.61)

→(8.61) Emin|qr=4.06 m

Noto il valore energetico necessario per il superamento dell’ostacolo ponte, si ricavano ivalori di tirante a monte e a valle della sezione di restringimento, per via grafica (figura8.12) o dalla seguente espressione:

Y 3 − Y 2Emin|qr +q20

2g= 0 (8.62)

La radice maggiore corrisponde al tirante sub-critico a monte del ponte, la radice piupiccola, al tirante super-critico a valle del ponte:

→(8.62) YM=3.62 m →(8.62) YV =1.49 m

Il raccordo di questi due tiranti con il livello di moto uniforme avviene, a monte tramite unprofilo M1, tracciato dall’inizio del restringimento fino al valore di Yu3, mentre a valle unprofilo M3 di corrente veloce in alveo fluviale raccorda il tirante a valle del restringimentocon l’altezza coniugata al moto uniforme Yu3, pari a:

Y1

Y2

=1

2

(−1 +

√1 + 8Fr2

)(8.63)

Fr =Q

Y b√

gY(8.64)

→(8.64) Fr(Yu2)=0.91 → (8.63) Yco=2.12 m

Il risalto idraulico che si realizza in prossimita dell’altezza coniugata al tirante uniformefinisce di dissipare l’energia meccanica specifica accumulata dal fiume a monte del pontee necessaria per il superamento del restringimento da esso rappresentato.

4)Massimo valore di portata affluente perche il ponte non vada in pressione.



Il massimo valore di portata laterale in ingresso, che mantenga un valore del tirante avalle dell’afflusso minore dell’altezza dell’impalcato del ponte, e un valore di portata ingrado di soddisfare questa relazione:

SM = SV =1

2γbY 2

V + ρ(Q + ∆q)2

bYV

(8.65)

dove SM e la spinta gia calcolata al punto 2 e relativa al tirante di moto uniforme del Itratto (S(Yu1,a) = 3796 kN), mentre YV e il tirante massimo ammissibile perche il pontenon vada in pressione (YV = 1.8 m). Invertendo quest’espressione, risulta:

→ Q + ∆q=519.8 m3/s.

Altrimenti si puo ricorrere alla soluzione grafica: si calcola il rapporto tra il tirante limitenoto (=1.8 m, luce del ponte) ed il tirante critico a spinta pari a S(Yu1,a, si entra nelgrafico adimensionale a spinta costante e si desume il valore del rapporto tra la portataincognita Q + ∆q e la portata massima a spinta costante pari a S(Yu1,a (figura 8.11).

5)Valore di scabrezza che non da luogo a transizione nel ponte2.

Il valore di scabrezza del fondo della livelletta 3 che non da luogo alla transizione peril tirante critico all’altezza del ponte, e un valore compreso in un range definito, taleda garantire un’energia di moto uniforme maggiore o uguale a quella necessaria per ilsuperamento dell’ostacolo. Quest’energia si e visto al punto 4 essere pari all’energiaminima in grado di trasportare la portata specifica qr:

Emin|qr =3

23

√q2r

g2(8.66)

→(8.66) Emin|qr=4.06 m

Se il moto uniforme, che si instaura nel III tratto a monte del ponte, avviene ad un livelloenergetico pari o maggiore di Emin|qr , il canale e in grado di affrontare il restringimentorappresentato dal ponte e il conseguente aumento di portata specifica senza transizioneper lo stato critico.

Risolvendo l’equazione cubica derivante dall’inversione della formula dell’energia, si tro-vano i due tiranti sub e super critici in grado di traspotare la portata specifica qo conenergia pari a Emin|qr ; queste altezze sono gia state calcolate al punto 3 e corrispondonoal tirante a monte ed a valle del ponte:

→(8.62) YM=3.62 m →(8.62) YV =1.49 m

Per rispondere al quesito di partenza si devono, quindi, trovare quei valori di scabrezzache consentono al canale di assumere questi due tiranti come altezza di moto uniforme;invertendo la formula del moto uniforme si ottiene:


86 8.4. Esame 07-01-04

ks =Q2

bY53

√ifo

(8.67)

→(8.67) ks(YV )=76 m13 →(8.67) ks(YM)=17 m

13 /s

Valori di scabrezza minori di 17 e maggiori di 76 m13 /s, danno luogo a stati idrodinamici di

moto indisturbato caraterizzati da un’energia che consente al canale di superare il pontesenza transizione per lo stato critico.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

Q / Q max S=cost

Y /Y

c S

=co

st

S = costante

Ym, Q1 Yv, Q2

Figura 8.10: Grafico adimensionale a spinta costante, con risultati relativi al punto3,A



0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

Q / Q max S=cost

Y /Y

c S

=co

stS = costante

Y=1.8, Q1+∆∆∆∆q

Figura 8.11: Grafico adimensionale a spinta costante, con risultati relativi al punto4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Fr

br/bo

Frm - Frv

Figura 8.12: Grafico di Marchi, con risultati relativi al punto 3,D


88 8.4. Esame 07-01-04




!" #$ %!&'!( # # ! # )* + #* , -

!* -

a

hihm

1

3

2


90 8.5. Esame 04-07-02

8.5 Esame 04-07-02

1) Problema d’imbocco:

Elago = EM − EV (8.68)

Ycr|Elago =2

3Elago (8.69)

Qmax = YCRb√

YCRg (8.70)

Yu|Qmax=

[Q

bks

√if1

] 35

(8.71)

→ (8.68) Elago=2.4 m→ (8.69) Ycr|Elago

=1.6 m

→ (8.70) Qmax=633.9 m3/s→ (8.71) Yu|Qmax

=1.16 m

Yu|Qmax< Ycr|Elago quindi si ha passaggio per la critica, che diventa sezione di controllo e

conseguente corrente veloce nella livelletta a valle.

2) Calcolo dei tiranti di moto uniforme:

Yu =

[Q

bks

√if

] 35

(8.72)

→ (8.72) Yu1 = Yu3=1.16 m : alveo torrentizio→ (8.72) Yu2=2.85 m : alveo fluviale

Luce

Yca = ca = 0.61a (8.73)

Eluce =

(Q2

gb2(ca)2+ ca

)(8.74)

Ipotesi: Energia costante



Eluce = EM (8.75)

calcolo della YM trascurando il carico cinetico a monte della luce:

YM = EM (8.76)

si verifica ora se il carico cinetico e davvero trascurabile

caricocin =Q2

gb2Y 2M

(8.77)

→ (8.73) Yca=0.61 m→ (8.74) Eluce=6.11 m→ (8.76) YM=6.11 m→ (8.77) caricocin=0.056 m

il carico cinetico risulta essere di 5.6 cm, errore quindi del tutto accettabile.

Luce libera o rigurgitata?:

YCOluce =ca

2

(−1 +

√1 + 8Fr2

ca

)(8.78)

Fr2ca =

Q2

gb2Y 2ca

(8.79)

→ (8.78) YCOluce=3.37 m→ (8.79) Fr2

ca=18.06

si verifica che YCOluce > Yu3, la luce risulta essere quindi libera.

Localizzazione risalti

Esistono due risalti: il primo in prossimita del cambio di pendenza tra la livelletta 1 e lalivelletta 2, il secondo a valle della luce causato dalla stessa essendo questa libera.La localizzazione dei risalti viene effettuata confrontando le spinte della corrente secondola:

S =1

2γbY 2 + ρ

Q2

bY(8.80)

quindi il calcolo del tirante coniugato tramite la:


92 8.5. Esame 04-07-02

Yco =Y

2

(−1 +

√1 + 8Fr2

Y

)(8.81)

i→ (8.80) Su1=4123.957 kN→ (8.80) Su2=5392.810 kN

quindi il risalto si verifica a monte con altezza coniugata pari a:→ (8.81) Yco1=2.14 m

ii→ (8.80) Sca=6769.688 kN→ (8.80) Su3=4123.957 kN

il risalto si verifica, come gia visto, a valle della luce con altezza coniugata al moto uni-forme 3 pari a:→ (8.81) Yco3=0.79 m

3) Determinazione dell’altezza a sopra la quale la luce risulta rigurgitata:

Modificando opportunamente la 8.81 si isola l’incognita a:

a =Yu2

2c

(−1 +

√1 + 8Fr2

u2

)(8.82)

→ (8.82) a=1.295 m


94 8.5. Esame 04-07-02

!!" !#$ # %# #& '#(

&#( )#'$

&* )'#'$

&* )&#(

&* !!#+

,- . ! '- "&- " ! /

0- 1

1

3 2

restringimento (br/bo)

afflusso

A

L = 100 m



8.6 Esame 12-09-02

1) Quota della superficie libera nel punto A:

Si tratta di un afflusso laterale a pendenza nulla, quindi di corrente lenta; occorre per-tanto fissare una condizione di valle. Calcolando altezza critica e di moto uniforme dellalivelletta 1 (la portata e nota e pari a 100 m3/s) ci accorgiamo che questa presenta carat-teristiche di corrente veloce; deduciamo allora che la corrente passera per l’altezza criticanel cambio di pendenza che diventa sezione di controllo.Dal grafico spinta=cost o dalla relazione della spinta imponiamo portata nulla a montee deduciamo il valore della superficie libera nel punto A sponstandoci verso sinistra nelgrafico fino ad incontrare l’asse delle ordinate.

→ YA= 1.28 m

2) Quote di moto uniforme e livelli critici:

Yu =

[Q

bks

√if

] 35

(8.83)

Ycr = 3

√Q2

gb2(8.84)

→ (8.83) Yu1= 0.63 m : alveo torrentizio→ (8.83) Yu2= 1.02 m : alveo fluviale→ (8.83) Yu3= 0.6 m : alveo torrentizio→ (8.84) Ycr= 0.74 m

3) Andamento della superficie libera nei pressi del ponte:

Il ponte e posto in un tratto a pendenza costante ma, a causa della variazione di Ks, ilmoto da corrente lenta in livelletta 2 diventa di corrente veloce in livelletta 3 costringendoil profilo a passare per l’altezza critica in sezione ristretta.

Risoluzione tramite grafico di Marchi:

Rapporto di restringimento:

Rr =br

b0

(8.85)

Fr =

√Q2

gb2Y 2(8.86)

Dal grafico di Marchi si ricavano i due valori di Fr:


96 8.6. Esame 12-09-02

→ (8.85) Rr= 0.9→ (grafico) Fr1= 0.65→ (grafico) Fr2= 1.47

Inserendo i valori di Fr1 e Fr2 nella (8.86) e risolvendo in Y si ricavano le quote di YM eYV .

→ YM = 0.99 YV = 0.57

Risoluzione tramite trattazione razionale:

Lavorando con portate specifiche:

q =Q

b(8.87)

si ottiene

→ (8.87) q0= 2 m3/sm→ (8.87) qr= 2.2 m3/sm

Si ha, come gia evidenziato, passaggio per la critica in sezione ristretta che diventa sezionedi controllo e fissa l’energia ad un valore piu elevato minimo sufficiente per il passaggiodella corrente.

E ′ =3

23

√q2r

g(8.88)

→ (8.88) E′= 1.19 m

Risolvendo in Y la

E ′ =(

q2

2gY 2+ Y

)(8.89)

si ricavano i valori di YM e YV .

→ YM= 0.98 m → YV = 0.57 m

4) Risalti e profondita coniugate:

E’ presente un risalto in prossimita del cambio di pendenza tra la livelletta 1 e 2Calcolo delle spinte:

S =1

2γbY 2 + ρ

Q2

bY(8.90)



si ottiene→ (8.90) Su1= 414.976 kN→ (8.90) Su2= 451.098 kNquindi il risalto e localizzato a monte del cambio di pendenza. Il calcolo del tiranteconiugato viene effettuato tramite la:

Yco =Y

2

(−1 +

√1 + 8Fr2

)(8.91)

→ (8.91) Yco1= 0.86 m


98 8.6. Esame 12-09-02



!"##%$

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100 8.6. Esame 12-09-02



8.7 Esame 26-02-03

0) CHIEDERE!!!!! la livelletta 1 e gia veloce!!!!, correggere il testo che io non ho qui inversione digitale

1) Portata defluente:

Data Ytr si calcola la portata defluente secondo la:

Q = cqYtrb√

2gYM (8.92)

cq = 0.4 (8.93)

→ (8.92) Q= 460.3 m3/s


Yu =

[Q

bks

√if

] 35

(8.94)

Ycr = 3

√Q2

gb2(8.95)

→ (8.94) Yu1= 1.73 m : alveo torrentizio→ (8.94) Yu2= 2.41 m : alveo fluviale→ (8.94) Yu3= 1.59 m : alveo torrentizio→ (8.95) Ycrii

= 2.05 m

3) Assetto della superficie libera in corrispondenza del ponte e del salto di fondo:

Ponte:

Prima di affrontare il problema occorre verificare la situazione di moto indisturbato perdecidere se partire da valle o da monte. Calcolando le spinte di moto uniforme 1 e 2secondo la:

S =1

2γbY 2 + ρ

Q2

bY(8.96)

si ottiene→ (8.96) Su1= 3180.740 kN→ (8.96) Su2= 3184.104 kNquindi il moto e comandato da valle con corrente lenta.

Risoluzione tramite grafico di Marchi:


102 8.7. Esame 26-02-03

Rapporto di restringimento:

Rr =br

b0

(8.97)

Dal grafico di Marchi si ricavano i due valori di Fr, mentre dalla condizione di motoindisturrbato si ricava Fr0 :

Fr0 =

√Q2

gb2Y 2u2

(8.98)

→ (8.97) Rr= 0.92→ (8.98) Fr0= 0.78→ (grafico) Fr1= 0.68→ (grafico) Fr2= 1.42Fr1 < Fr0 < 1 < Fr2 ⇒ restringimento governato da corrente lenta con transizione.

Inserendo i valori di Fr1 e Fr2 nella (8.98) e risolvendo in Y si ricavano le quote di YM eYV .

→ YM= 2.65 m YV = 1.62 m

Risoluzione tramite trattazione razionale:

Lavorando con portate specifiche:

q =Q

b(8.99)

si ottiene

→ (8.99) q0= 9.2 m3/sm→ (8.99) qr= 10 m3/sm

qmax = Ycr

√gYcr (8.100)

→ (8.100) qmax= 9.62 m3/sm

Qmax < Qr ⇒ transizione. Si ha passaggio per la critica in sezione ristretta che diventasezione di controllo e fissa l’energia al valore minimo sufficiente per il passaggio dellacorrente.



E′=

3

23

√q2r

g(8.101)

→ (8.101) E′= 3.25 m

Risolvendo in Y la

E′=

(q2

gY 2+ Y

)(8.102)

si ricavano i valori di YM e YV .

→ YM= 2.63 m → YV = 1.63 m

Salto di fondo:

Partendo analizzando il moto indisturbato si ha passaggio da corrente lenta a monte a cor-rente veloce a valle con conseguente attraversamento della critica. Data la configurazionedel salto si ha:

EM = EV + s (8.103)

quindi EM > EV . Evidente risulta allora l’attraversamento della critica nella sezione divalle.

→ (8.103) EM= 3.57 m

Da grafico o invertendo l’equazione dell’energia si ricava YM :

→ (8.102) EM= 3.12 m


Si realizzano tre risalti: a monte e a valle del restringimento e a monte della traversaIl calcolo del tirante coniugato viene effettuato tramite la:

Yco =Y

2

(−1 +

√1 + 8Fr2

)(8.104)

i) risalto a monte del restringimento→ (8.104) Yco1= 2.4 m

ii) risalto a valle del restringimento→ (8.104) Yco2= 1.79 m


104 8.7. Esame 26-02-03

iii) risalto a monte della traversa→ (8.104) Yco2= 2.59 m

5) Valore di Ks che rende il deflusso veloce in livelletta2:

Risolvendo in Ks la (8.94) si ottiene:

→ (8.94) Ks= 39.3 m13 /s

6) Andamento qualitativo dei profili di rigurgito nel caso 5:

Il primo trato rimane identico fino al ponte. Ora a valle di questo si ha corrente criticacon spinta minima e quindi inferiore alla spinta di monte che viene a comandare il moto.L’energia di monte comunque non risulta sufficiente per evitare la transizione nel restrin-gimento; al di la di questo percio si ha un profilo di tipo c2. L’alveo permane critico finoal salto di fondo dove e costretto a guadagnare energia attraverso un profilo c1. I dettaglidel restringimento e della livelletta centrale sono evidenziati nel disegno.


106 8.8. Esame 02-07-03

8.8 Esame 02-07-03


Yu =

[Q

bks

√if

] 35

(8.105)

Ycr = 3

√Q2

gb2(8.106)

le quote di moto uniforme delle livelletta 1 e 3 vengono calcolate con portate di 50 m3

se

80 m3

srispettivamente. La livelletta 2 e invece supposta livelletta critica per la portata di

50m3

s(prima cioe dell’afflusso di portata); il valore della pendenza viene allora calcolato

invertendo opportunamente la ??.

→ (8.106) Ycri= 0.51 m

→ (8.105) Yu1= 0.83 m : alveo fluviale→ (8.105) Yu2i

= Ycr= 0.51 m : alveo critico→ (8.105) ifc= 0.01→ (8.106) Ycrii

= 0.7 m→ (8.105) Yu2ii

= 0.68 m : alveo torrentizio→ (8.105) Yu3= 1.17 m : alveo fluviale

2) Assetto della superficie libera in corrispondenza dell’afflusso:

(CTRL se giusto e tutto necessario) Andando ad analizzare il moto indisturbato si notacorrente critica a monte e veloce a valle, si deduce percio un passaggio per la critica.La corrente a monte dell’afflusso che, essendo critica, non ha l’energia sufficiente peraccogliere nuova portata, e costretta a guadagnare energia passando cosı il controllo allasezione di valle; propiro qui si ha allora passaggio per la critica.Ipotesi afflusso: Spinta costante calcolata secondo la:

S =1

2γbY 2 + ρ

Q2

bY(8.107)

nella sezione di valle con portata pari a 80 m3

se tirante critico pari 0.7 m.

Si risale a questo punto al valore del tirante di monte dell’afflusso:

i)Per via grafica: QQmax

= 0.625 ⇒ YYcr

= 1.59

ii)invertendo la (8.107) inserendo la portata di 50 m3

s. E’ possibile ora calcolare il dislivello

tra moto indisturbato a monte dell’afflusso e livello idrico causato dallo stesso:



∆Y = YV − YuV (8.108)

→ (8.107) SV = 314.730 KN→ YM= 1.11 m→ (8.108) ∆Y = 0.6 m

Luce di fondo:

Yca = ca = 0.61a (8.109)

Eluce =

(Q2

gb2(ca)2+ ca

)(8.110)

Ipotesi: Energia Costante

Eluce = EM (8.111)

calcolo della YM trascurando il carico cinetico a monte della luce:

YM = EM (8.112)

si verifica ora se il carico cinetico e davvero trascurabile

caricocin =Q2

gb2Y 2M

(8.113)

Luce tra livelletta 1 e 2:→ (8.109) Yca= 0.183 m→ (8.110) Eluce= 2.19 m→ (8.112) YM= 2.19 m→ (8.113) caricocin= 0.01 mil carico cinetico risulta essere di 1 cm, errore quindi del tutto accettabile.


Ycoluce=

ca

2

(−1 +

√1 + 8Fr2

ca

)

Fr2ca =

Q2

gb2Y 2ca

(8.114)


108 8.8. Esame 02-07-03

→ (8.114) Ycoluce= 1.12 m

→ (8.114) Fr2ca= 22

si verifica che Ycoluce> Yu2i

, la luce risulta essere quindi libera.

Luce tra livelletta 2 e 3:→ (8.109) Yca= 0.366 m→ (8.110) Eluce= 1.65 m→ (8.112) YM= 1.65 m→ (8.113) caricocin= 0.07 mil carico cinetico risulta essere di 7 cm, errore quindi del tutto accettabile.


→ (8.114) Ycoluce= 1.20 m

→ (8.114) Fr2ca= 7


Esistono due risalti a monte e a valle della luce tra la livelletta 2 e 3.Il calcolo del tirante coniugato viene effettuato tramite la:

Yco =Y

2

(−1 +

√1 + 8Fr2

)(8.115)

i) risalto a monte della luce→ (8.115) Yco1=0.72 m

ii) risalto a valle della luce→ (8.115) Yco2=0.41 m

4) Valore limite di ∆Q perche si abbia rigurgito della luce di valle:

Per ricavare il valore limite di ∆ Q si risolve la(??)dove l’incognita e rappresentata dallaportata, Y1 dal valore della vena contratta e Y2 dalla relazione di moto uniforme chetuttavia dipende a sua volta dalla portata. L’equazione risulta allora implicita e richiedeun procedimento iterattivo(CTRL:ho pensato ad un procedimento esplicito ma per ilmomento non mi e venuto in mente!!!!).

→ (8.115) ∆Q=11.84 m

5) Andamento qualitativo dei profili di rigurgito nel caso 4:

L’andamento qualitativo dei profili e riportato nel disegno con riferimento alla luce difondo a valle che di fatto e l’unica a risentire di tale evento. Le quote indicate nel disegno



sono puramente qualitative e valide solo se messe in relazione di minore-maggiore rispettoallo schema della stessa luce con portata originale anch’esso riportato nel disegno.


110 8.8. Esame 02-07-03


Avvertenza - UniTrentotoffolon/didattica/Idrodina/Esercizi... · di studio (conservazione...

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