Assicurazione vita e mercato del risparmio gestito

Lezione 12

Teoria dell’utilità attesa

Scelte d’investimento e utilità attesa

• Alla base delle tecniche di allocazione del portafoglio c’è un sistema di regole che consente di ordinare titoli e le loro combinazioni

• Questo sistema di regole è alla base di quella che è nota come teoria dell’utilità attesa. Secondo questa teoria la scelta tra alternative rischiose può essere rappresentata confrontando i valori attesi di una funzione, detta funzione di utilità.

• Se A e B sono due alternative rischiose la teoria dell’utilità attesa consente di affermare che

A B E[U(A)] < E[U(B)]

dove il simbolo indica la preferenza di B rispetto ad A e la funzione U(.) rappresenta la funzione di utilità.

Scelta tra alternative rischiose

• Utilità attesa: scelta tra lotterie A e B,

A < B (B è preferito ad A) se E(u(A)) < E(u(B))• La funzione u(.) è crescente e concava nel caso

dell’avversione al rischio. • La regola di scelta è determinata da assiomi.

Particolare importanza ha l’assioma di independenza:

A < B A +(1- )C < B +(1- )C

Probabilità equivalente

• Assumiamo una lotteria che dà valore WH e WL.

• La probabilità di WH è p.

• Un investitore è avverso al rischio se

pU(WH)+ (1 – p) U(WL) < U(pWH+ (1 – p)WL)

• Si consideri un cambio di probabilità da p a q

qU(WH)+ (1 – q) U(WL) = U(pWH+ (1 – p)WL)

Equivalente certo

• Assumiamo una lotteria che dà valore WH e WL.

• La probabilità di WH è p.

• Un investitore è avverso al rischio se

pU(WH)+ (1 – p) U(WL) < U(pWH+ (1 – p)WL)

• L’equivalente certo WCE è tale che

pU(WH)+ (1 – p) U(WL) = U(WCE)

L’avversione al rischio implica WCE < E(W)

Utilità attesa e avversione al rischio• Consideriamo una lotteria W, con valore medio E(W).• Un individuo è detto neutrale al rischio se è indifferente a percepire

sicuramente una somma pari a E(W) o la lotteria W. QuindiE[U(W)] = U(E(W))

• Uni individuo è avverso al rischio se preferisce la somma pari a E(W) alla lotteria W, per cui

E[U(W)] < U(E(W))• Un risultato matematico (disuguaglianza di Jensen) consente di affermare che

nel caso di avversione al rischio la funzione di utilità è concava, mentre nel caso di neutralità a rischio è lineare.

• Per misurare il grado di avversione al rischio cerchiamo di determinare un valore π tale che

E[U(W)] = U(E(W) – π )• Con un’espansione di Taylor possiamo verificare che

π = ½ (– U’’/U’)Var(W)dove U’ e U’’ rappresentano la derivata prima e seconda della funzione di utilità.

Misure di avversione al rischio

• Il termine – U’’/U’ misura la concavità della funzione ed è noto come misura di avversione al rischio assoluta (ARA) di Arrow-Pratt

• Altre definizioni misurano l’avversione al rischio in proporzione alla ricchezza, definendo relative risk aversion

RRA = W*ARA• Le diverse funzioni di utilità si differenziano per il diverso

comportamento dell’avversione al rischio, assoluta o relativa, al variare della ricchezza. In particolare ricordiamo– La funzione di utilità quadratica (è facile da usare, ma ha la caratteristica

irrealistica di un’avversione al rischio crescente con la ricchezza)– La funzione esponenziale, o CARA (constant absolute risk aversion)– La power utility, o CRRA (constant relative risk aversion)– La funzione di utilità logaritmica (un caso limite di CRRA)– HARA (hyperbolic absolute risk-aversion): il caso più generale che

ingloba i casi precedenti con particolari specificazioni dei parametri)

Funzioni di utilità

• Quadratica

• CARA

• CRRA

– Logaritmica

• HARA

• U(W) = W – b W2

• U (W) =a – exp (– b W)

• U(W) = [W – 1 ]/

• U(W) = ln(W)

•

1

1 WWU

Funzioni di utilità

• Funzioni di utilità differenti differiscono nel modo in cui l’avversione al rischio cambia con la ricchezza– Utilità quadratica (facile da usare, con due problemi:

preferenze non monotone, titoli rischiosi sono beni inferiori)

– Utilità esponenziale o CARA (constant absolute risk aversion)

– Power utility, o CRRA (constant relative risk aversion)• Neutralità al rischio e utilità logaritmica come casi speciali

– HARA (hyperbolic absolute risk-aversion): (caso più generale, tolleranza al rischio lineare nella ricchezza)

Prospect theory

• Kahneman e Tversky hanno proposto un nuovo approccio alla teoria dell’utilità

• I principi fondamentali sono– Esistenza di un “reference point” che

discrimina tra guadagni e perdite– Deformazione delle probabilità, differente per

guadagni e perdite– Avversione alle perdite (le perdite sono pesate

più dei guadagni)

Reference point

• Uno può cambiare la propria attitudine al rischio a seconda che la perdita sia sotto (perdita) o sopra (guadagni) un “reference point”.

• Qual è il “reference point”?– Per guadagni di borsa può essere ritorno zero (cash), o

un tasso risk-free return, o un benchmark.

– Per una lotteria generale, può essere il reddito medio o i guadagni passati (“house money”)

La funzione di utilità

• La “Prospect theory” propone la seguente funzione di utilità

U(r) + w+(p) (U(WH) – U(r))

– w–(1 – p)(U(r)–U(WH)) con

– r il “reference point” – w+(p) e w–(1 – p) deformazione di probabilità “loss aversion”

Deformazione di probabilità

• Tversky e Kahneman proposero la seguente forma funzionale per la deformazione di probabilità

/11 pp

ppw

Expected utility: no loss aversion

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Prospect Theory

Power Utility

Expected utility: loss aversion

-17

-12

-7

-2

3

8

13

18

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Prospect Theory

Power Utility

Rischio e incertezza

• Knight, un economista degli anni 20, in una polemica con Keynes, distingueva rischio e incertezza.

• Rischio è quando si conoscono le probabilità di successo. Incertezza è quando non si conoscono queste probabilità (incertezza in senso di Knight)

• Come si comportano gli individui davanti all’incertezza? Il paradosso di Ellsberg riguarda la scelta tra lotterie ambigue e non ambigue. E’ il ruolo della informazione nella scelta

Paradosso di EllsbergB < Z?...

Probability Z A B

State H 1/3 0.6 0 0

State M ? 0 0.6 0

State L ? 0 0 0.6

… 0.5Z + 0.5A < 0.5B + 0.5A?

Probability 50% A50% Z

50% A50% B

State H 1/3 0.3 0

State M ? 0.3 0.3

State L ? 0 0.3

Financial puzzles

• Home bias: – Gli investitori detengono una quota spoporzionatamente alta del

loro portafoglio in titoli domestici

• IPO underpricing– Azioni alla prima quotazione danno un rendimento medio molto

più elevato del mercato

• Seasoned securities– Titoli poco scambiati hanno un rendimento più elevato degli altri

• Fondi chiusi: la somma del valore di mercato dell’attivo dei fondi è tipicamente minore del valore complessivo delle quote dei fondi. Lo stesso non avviene per i fondi aperti.