Aspetti Storici dell’Algebra Moderna · Il Secondo Teorema di Sylow Sia G un gruppo finito di...

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Aspetti Storici dell’Algebra Moderna Giovanni Frattini, Ludwig Sylow, Sophus Lie Francesco de Giovanni Universit` a di Napoli Federico II Congresso Nazionale Mathesis Milano, 15 novembre 2018

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Aspetti Storici dell’Algebra ModernaGiovanni Frattini, Ludwig Sylow, Sophus Lie

Francesco de Giovanni

Universita di Napoli Federico II

Congresso Nazionale MathesisMilano, 15 novembre 2018

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Georg CantorSan Pietroburgo, 3 marzo 1845 – Halle, 6 gennaio 1918

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Ludwig SylowChristiania, 12 dicembre 1832 – 7 settembre 1918

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Giovanni FrattiniRoma, 8 gennaio 1852 – 21 luglio 1925

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Rodolfo Bettazzi

1861–1941

Il primo presidente della Mathesisfu Rodolfo Bettazzi, e nel primoperiodo Frattini fu vicepresidenteal suo fianco (1896–1900), divenen-do poi presidente per il periodo1900–1902

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Sophus LieNordfjordeid, 17 dicembre 1842

Christiania, 18 febbraio 1899

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Ferdinand G. FrobeniusCharlottensburg, 26 ottobre 1849

Berlino, 3 agosto 1917

“Come ogni persona istruita conosce ilteorema di Pitagora, cosı ogni matemati-co dovrebbe essere in grado di parlare delteorema di Abel e del teorema di Sylow”

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Joseph–Louis LagrangeTorino, 25 gennaio 1736

Parigi, 10 aprile 1813

Il Teorema di Lagrange

Sia G un gruppo finito di ordine m,e sia X un sottogruppo di G.

Allora l’ordine di X divide l’ordine di G

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Il Problema dell’Inversione del Teorema di Lagrange

Sia G un gruppo finito di ordine m,e sia n un divisore positivo di m.E vero che in questa situazione

esiste in G un sottogruppo di ordine n?

La risposta e negativa in generale

Il gruppo alterno Alt(4) ha ordine 12ma non contiene sottogruppi di ordine 6

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Il Problema dell’Inversione del Teorema di Lagrange

Sia G un gruppo finito di ordine m,e sia n un divisore positivo di m.E vero che in questa situazione

esiste in G un sottogruppo di ordine n?

La risposta e negativa in generale

Il gruppo alterno Alt(4) ha ordine 12ma non contiene sottogruppi di ordine 6

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Il Problema dell’Inversione del Teorema di Lagrange

Sia G un gruppo finito di ordine m,e sia n un divisore positivo di m.E vero che in questa situazione

esiste in G un sottogruppo di ordine n?

La risposta e negativa in generale

Il gruppo alterno Alt(4) ha ordine 12ma non contiene sottogruppi di ordine 6

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Il Primo Teorema di Sylow

Sia G un gruppo finito di ordine m, e sia p un numero primo.Se k e un numero naturale tale che pk divide m,

allora G ha un sottogruppo di ordine pk

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Se n e un numero intero positivo tale cheogni gruppo finito il cui ordine sia divisibile per n

contenga un sottogruppo di ordine n,allora n e potenza di un numero primo

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Il Secondo Teorema di Sylow

Sia G un gruppo finito di ordine m, e siano p un numero primoe pk la massima potenza di p che divide m.

Se X e Y sono due sottogruppi di G di ordine pk,allora esiste un elemento g di G tale che

Y = g−1Xg = {g−1xg | x ∈ X}

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Mostro di Tarski (A.I. Ol’shanskiı, 1990)

. . . . . . . . . . . . . . .

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Nel database MathSciNet dell’American Mathematical Society,che raccoglie le recensioni degli articoli di ricerca matematicapubblicati nelle piu qualificate riviste scientifiche del mondo,

sono ad oggi ben 6879 le citazioni della parola Sylow.

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George A. MillerLynnville, 31 luglio 1863

Urbana, 10 febbraio 1951

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Eugen O. NettoHalle, 30 giugno 1848 – Giessen, 13 maggio 1919

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Alfredo CapelliMilano, 5 agosto 1855 – Napoli, 28 gennaio 1910

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Tra il 1873 ed il 1881, Sylow e Lie curarono insieme,su incarico dell’Accademia Norvegese delle Scienze,

la pubblicazione dell’opera omnia di Abel,un lavoro difficile cui i due dedicarono molte energie.

Lie dichiaro in seguito che la maggior parte del lavoro,che aveva consentito tra l’altro il ritrovamento

di molto materiale inedito,era stato di fatto svolto da Sylow

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Sophus Lie, giovane studente, seguı nel 1862un corso di Sylow sui risultati di Abel e Galois.

Convinto di voler intraprendere la carriera accademica,ma incerto sulla disciplina da scegliere per il suo futuro,

oscillo per vario tempo tra astronomia, botanica e zoologia

Solo nel 1866 fu definitivamente attratto dalla matematica,in particolare dalle relazioni che legano

profondamente analisi, algebra e geometria

Come egli stesso ebbe a dire“solo allora scoprii che in me si celava un matematico”

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Sophus Lie, giovane studente, seguı nel 1862un corso di Sylow sui risultati di Abel e Galois.

Convinto di voler intraprendere la carriera accademica,ma incerto sulla disciplina da scegliere per il suo futuro,

oscillo per vario tempo tra astronomia, botanica e zoologia

Solo nel 1866 fu definitivamente attratto dalla matematica,in particolare dalle relazioni che legano

profondamente analisi, algebra e geometria

Come egli stesso ebbe a dire“solo allora scoprii che in me si celava un matematico”

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Sophus Lie, giovane studente, seguı nel 1862un corso di Sylow sui risultati di Abel e Galois.

Convinto di voler intraprendere la carriera accademica,ma incerto sulla disciplina da scegliere per il suo futuro,

oscillo per vario tempo tra astronomia, botanica e zoologia

Solo nel 1866 fu definitivamente attratto dalla matematica,in particolare dalle relazioni che legano

profondamente analisi, algebra e geometria

Come egli stesso ebbe a dire“solo allora scoprii che in me si celava un matematico”

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Sophus Lie, giovane studente, seguı nel 1862un corso di Sylow sui risultati di Abel e Galois.

Convinto di voler intraprendere la carriera accademica,ma incerto sulla disciplina da scegliere per il suo futuro,

oscillo per vario tempo tra astronomia, botanica e zoologia

Solo nel 1866 fu definitivamente attratto dalla matematica,in particolare dalle relazioni che legano

profondamente analisi, algebra e geometria

Come egli stesso ebbe a dire“solo allora scoprii che in me si celava un matematico”

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A Lie si deve l’introduzionedei gruppi continui di trasformazioni,

quelli che oggi chiamiamo gruppi di Lie,

cioe gruppi dotati di una struttura differenzialecompatibile con l’operazione,

ed anche l’utilizzo delle algebre di Lieper lo studio della differenziabilita

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A Lie si deve l’introduzionedei gruppi continui di trasformazioni,

quelli che oggi chiamiamo gruppi di Lie,

cioe gruppi dotati di una struttura differenzialecompatibile con l’operazione,

ed anche l’utilizzo delle algebre di Lieper lo studio della differenziabilita

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A Lie si deve l’introduzionedei gruppi continui di trasformazioni,

quelli che oggi chiamiamo gruppi di Lie,

cioe gruppi dotati di una struttura differenzialecompatibile con l’operazione,

ed anche l’utilizzo delle algebre di Lieper lo studio della differenziabilita

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Lie si proponeva di sviluppareun analogo della teoria di Galois

per le equazioni differenziali alle derivate parziali

Egli ebbe a dichiarare chela teoria delle equazioni differenziali

e la piu importante tra le discipline della matematica moderna

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Lie si proponeva di sviluppareun analogo della teoria di Galois

per le equazioni differenziali alle derivate parziali

Egli ebbe a dichiarare chela teoria delle equazioni differenziali

e la piu importante tra le discipline della matematica moderna

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Lie ebbe importanti contatti con famosi matematicidell’epoca, tra cui Felix Klein e Camille Jordan

che ebbero su di lui una forte influenza

Jordan lo convinse dell’importanzadella teoria dei gruppi per la geometria,

cosa che non era riuscita a Sylow

La collaborazione con Klein e con Engelfu fondamentale per Lie,

ed egli ottenne la cattedra a Leipzig,al ritiro di Klein

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Lie ebbe importanti contatti con famosi matematicidell’epoca, tra cui Felix Klein e Camille Jordan

che ebbero su di lui una forte influenza

Jordan lo convinse dell’importanzadella teoria dei gruppi per la geometria,

cosa che non era riuscita a Sylow

La collaborazione con Klein e con Engelfu fondamentale per Lie,

ed egli ottenne la cattedra a Leipzig,al ritiro di Klein

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Lie ebbe importanti contatti con famosi matematicidell’epoca, tra cui Felix Klein e Camille Jordan

che ebbero su di lui una forte influenza

Jordan lo convinse dell’importanzadella teoria dei gruppi per la geometria,

cosa che non era riuscita a Sylow

La collaborazione con Klein e con Engelfu fondamentale per Lie,

ed egli ottenne la cattedra a Leipzig,al ritiro di Klein

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Sylow ottenne una cattedra universitariasolo nel 1897, grazie all’intervento dell’ormai celebre Lie

Nel 1899, alla morte di Lie,Sylow pubblico un articolo (in norvegese)sulla vita e l’opera del grande matematico

“Egli e stato largamente riconosciuto come uno dei piu grandimatematici del nostro tempo”

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Sylow ottenne una cattedra universitariasolo nel 1897, grazie all’intervento dell’ormai celebre Lie

Nel 1899, alla morte di Lie,Sylow pubblico un articolo (in norvegese)sulla vita e l’opera del grande matematico

“Egli e stato largamente riconosciuto come uno dei piu grandimatematici del nostro tempo”

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Sylow ottenne una cattedra universitariasolo nel 1897, grazie all’intervento dell’ormai celebre Lie

Nel 1899, alla morte di Lie,Sylow pubblico un articolo (in norvegese)sulla vita e l’opera del grande matematico

“Egli e stato largamente riconosciuto come uno dei piu grandimatematici del nostro tempo”

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