A.S.E.

ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI

LEZIONE N° 7• Algebra delle commutazioni• Funzione AND, OR, NOT• Tabella di Verità• Forme canoche “SP” e “PS”• Passaggi da forma SP a PS e viceversa• insieme funzionalmente completo• Funzione NAND, NOR, XOR e XNOR

7.1

A.S.E.

Richiami

• Algebra Booleana• Insieme di Elementi• Insieme di Operatori• Insieme di Postulati• Teoremi

7.2

Algebra delle commutazioni• Elementi (2)

• 0 (logico) 1 (logico)• Falso Vero• Livello logico Basso Livello logico Alto• 0 V 5 V

• Costanti Possono assumere due valori

• Variabili Possono assumere due valori

0110

01

10

xsex

xsex

A.S.E. 7.3

Definizione di “OR”

• Operazione– OR o SOMMA LOGICA

• definizione– l’operazione OR è definita dalla tabella

x+y y0 1

x0 0 1

1 1 1

yx

x y x+y

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

A.S.E. 7.4

Osservazioni

1. x +y è uguale a “0” se e solo se x e y sono uguali a “0”, altrimenti x +y è uguale a “1”

2. Si può estendere a “n” variabili:x1+x2 + . . +xn è uguale “0” se e solo se x1, x2, ..xn sono uguali a “0”

• La funzione OR corrisponde al concetto:perché un evento si verifica è sufficiente che una sola condizioni sia verificata

A.S.E. 7.5

Definizione di “AND”

• Operazione– AND o PRODOTTO LOGICO

• Definizione– l’operazione AND è definita dalla tabella

xyyx

x y xy0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

xy y0 1

x0 0 0

1 0 1

A.S.E. 7.6

Osservazioni

1. x ·y è uguale a “1” se e solo se x e y sono uguali a “1”, altrimenti x ·y è uguale a “0”

2. Si può estendere a “n” variabili:x1·x2· . . . ·xn è uguale “1” se e solo se x1, x2, ..xn sono uguali a “1”

• La funzione AND corrisponde al concetto:un evento si verifica se e solo se tutte le condizioni sono verificate

A.S.E. 7.7

“NOT”

• Operazione– NOT o Complemento Logico , o Negazione, o

Inversione

• Osservazione– In base alla definizione iniziale si ha

x

x `x

0 1

1 0

A.S.E. 7.8

A.S.E. 7.9

Riassunto• POSTULATI

0 5b 1 5a

4b 4a

3b 3a

1 2b 0 2a

)( logico Prodotto 1b )( logica Somma 1adistinti elementi due Almeno

xxxx

zxyxzyxzxyxzyx

xyyxxyyx

xxxx

Verifica P1

• Le funzioni AND e OR sono chiuse OK– Per qualunque valore degli ingressi le

funzioni sono definite– I valori delle uscite appartengono a “B”

xy y0 1

x0 0 0

1 0 1

x+y y0 1

x0 0 1

1 1 1

A.S.E. 7.10

Verifica P2

• “0” elemento identità della funzione OR e “1” elemento identità della funzione AND

• OK – Nella OR per x = 0 (y = 0) le uscite coincidono con y (x) – Nella AND per x = 1 (y = 1) le uscite coincidono con y (x)

xy y0 1

x0 0 0

1 0 1

x+y y0 1

x0 0 1

1 1 1

yyxxyyxx 1,1;0,0

A.S.E. 7.11

Verifica P3

• Le funzioni OR e AND sono commutative• OK

– Le tabelle sono simmetriche rispetto alla diagonale principale

xy y0 1

x0 0 0

1 0 1

x+y y0 1

x0 0 1

1 1 1

A.S.E. 7.12

Verifica P4• Le funzioni OR e AND sono distributive• OK • Metodo dell’induzione perfetta

)()()(),()()( zxyxzyxzxyxzyx

x y z yz

x+yz

x+y

x+z

(x+y)(x+z)

y+z

x(y+z)

xy

xz

xy+xz

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

A.S.E. 7.13

Verifica P5

• Il complemento di x deve soddisfare le condizioni

• • OK• Metodo dell’induzione perfetta

0,1 xxxx

x x x + x

x x

0 1 1 0

1 0 1 0

A.S.E. 7.14

Funzione logica (o Boleana)

• Una funzione Boleana (completa)

è una legge che fa corrispondere un valore logico (0 o 1) di u ad ogni combinazione di valori x1,…..,xn.

• La funzione f è costituita da variabili logiche, costanti e le tre operazioni logiche fondamentali

nxxfu ,......,1

321321 xxxxxxu

A.S.E. 7.15

Osservazioni

• Nelle funzioni logiche le parentesi indicano una gerarchia di esecuzione uguale a quella comunemente usata nelle espressioni aritmetiche note

• Fra le operazioni logiche AND, OR e NOT esiste la gerarchia: 1) NOT, 2) AND, 3) OR

• La gerarchia prima descritta consente di ridurre l’uso di parentesi nelle funzioni logiche

A.S.E. 7.16

Tabella di Verità 1

• Una funzione logica può sempre essere espressa da una tabella che prende il nome di:TABELLA DI VERITÀ (TRUTH TABLE)

• Osservazione• Una funzione di “n” variabili ammette 2n

possibili configurazioni • Una funzione di “n” variabili è

completamente descritta da una tabella che ha sulla sinistra le 2n possibili configurazioni degli ingressi e a destra i valori (0 o1) a secondo del valore della funzione A.S.E. 7.17

Tabella di verità 2

• Funzione di tre variabili

zyxfu ,,x y z u

0 0 0 f (0,0,0)

0 0 1 f (0,0,1)

0 1 0 f (0,1,0)

0 1 1 f (0,1,1)

1 0 0 f (1,0,0)

1 0 1 f (1,0,1)

1 1 0 f (1,1,0)

1 1 1 f (1,1,1)

A.S.E. 7.18

Esempio

yzzxyxzyxfu ,,

x y z x y x + y

x + z

(x + y )(x + z )

yz u

0 0 0 1 1 1 1 1 0 1

0 0 1 1 1 1 1 1 0 1

0 1 0 1 0 0 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1 1 1 0 1

1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 1 1 1 1 1

110110111001110101,1,0 f

A.S.E. 7.19

Passo 1

yzzxyxzyxfu ,,

x y z x y x + y

x + z

(x + y )(x + z )

yz u

0 0 0 1 1 1 1 1 0 1

0 0 1 1 1 1 1 1 0 1

0 1 0 1 0 0 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1 1 1 0 1

1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 1 1 1 1 1

A.S.E. 7.20

Passo 2

yzzxyxzyxfu ,,

x y z x y x + y

x + z

(x + y )(x + z )

yz u

0 0 0 1 1 1 1 1 0 1

0 0 1 1 1 1 1 1 0 1

0 1 0 1 0 0 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1 1 1 0 1

1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 1 1 1 1 1

A.S.E. 7.21

Passo 3

yzzxyxzyxfu ,,

x y z x y x + y

x + z

(x + y )(x + z )

yz u

0 0 0 1 1 1 1 1 0 1

0 0 1 1 1 1 1 1 0 1

0 1 0 1 0 0 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1 1 1 0 1

1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 1 1 1 1 1

A.S.E. 7.22

Passo 4

yzzxyxzyxfu ,,

x y z x y x + y

x + z

(x + y )(x + z )

yz u

0 0 0 1 1 1 1 1 0 1

0 0 1 1 1 1 1 1 0 1

0 1 0 1 0 0 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1 1 1 0 1

1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 1 1 1 1 1

A.S.E. 7.23

Passo 5

yzzxyxzyxfu ,,

x y z x y x + y

x + z

(x + y )(x + z )

yz u

0 0 0 1 1 1 1 1 0 1

0 0 1 1 1 1 1 1 0 1

0 1 0 1 0 0 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1 1 1 0 1

1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 1 1 1 1 1

A.S.E. 7.24

Passo 6

yzzxyxzyxfu ,,

x y z x y x + y

x + z

(x + y )(x + z )

yz u

0 0 0 1 1 1 1 1 0 1

0 0 1 1 1 1 1 1 0 1

0 1 0 1 0 0 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1 1 1 0 1

1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 1 1 1 1 1

A.S.E. 7.25

Fine

yzzxyxzyxfu ,,

x y z x y x + y

x + z

(x + y )(x + z )

yz u

0 0 0 1 1 1 1 1 0 1

0 0 1 1 1 1 1 1 0 1

0 1 0 1 0 0 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1 1 1 0 1

1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 1 1 1 1 1

A.S.E. 7.26

Osservazione

• La tabella di verità consente di provare la veridicità di una relazione logica, poiché verifica se la relazione è vera per TUTTE le possibili combinazioni dei valori delle variabili

• Tale proprietà è stata utilizzata nel • Metodo dell’INDUZIONE PERFETTE

A.S.E. 7.27

Teorema 9(dimostrazione

• 9a 9b

yxyx yxyx

x y x+

y

( x+

y)

x y x •

y

0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0

x y x •

y

( x

•y)

x y x +

y

0 0 0 1 1 1 1

0 1 0 1 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1

1 1 1 0 0 0 0

A.S.E. 7.28

Tabella dei Prodotti e delle Sommen = 3

n x y z p s

0 0 0 0 `x •`y •`z

p0 1 x + y + z

s0

0

1 0 0 1 `x •`y • z

p1 1 x + y +`z s1

0

2 0 1 0 `x • y •`z

p2 1 x +`y + z s2

0

3 0 1 1 `x • y • z

p3 1 x +`y +`z s3

0

4 1 0 0 x •`y •`z p4 1 `x + y + z

s4

0

5 1 0 1 x •`y • z p5 1 `x + y +`z

s5

0

6 1 1 0 x • y •`z p6 1 `x +`y + z

s6

0

7 1 1 1 x • y • z p7 1 `x +`y +`z

s7

0

A.S.E. 7.29

Definizioni 1

• LETTERALE– Variabile complementata o non complementata

presente nella formula• FORMA NORMALE DISGIUNTIVA

– Somma di prodotti

• FORMA NORMALE CONGIUNTIVA– Prodotto di somme

zywywxzwyxf ,,,

))((,,, yxwyxzzwyxf

A.S.E. 7.30

Definizione 2

• MINTERMINE “pi ” è una funzione (prodotto) che vale “1” in corrispondenza alla sola configurazione “i ” di valori delle variabili

• MAXTERMINE “si ” è una funzione (somma) che vale “0” in corrispondenza alla sola configurazione “i ” di valori delle variabili

A.S.E. 7.31

Forma Canonica “Somma di Prodotti”

“SP” x y z u

0 0 0 1 p0

0 0 1 1 p1

0 1 0 0

0 1 1 1 p3

1 0 0 0

1 0 1 1 p5

1 1 0 0

1 1 1 1 p7

xyzzyxyzxzyxzyxpppppu 75310

A.S.E. 7.32

Forma Canonica “Prodotto di Somme”

“PS” x y z u

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 0 s2

0 1 1 1

1 0 0 0 s4

1 0 1 1

1 1 0 0 s6

1 1 1 1

zyxzyxzyxsssu 642

A.S.E. 7.33

Osservazioni

• La legittimità di rappresentare le funzioni nella forma canonica “SP” o “PS” deriva direttamente dalle proprietà delle operazioni OR, AND, NOT

• Una stessa funzione logica può essere scritta in molta forme

• La manipolazioni delle espressioni booleane si basa sui teoremi

A.S.E. 7.34

Osservazioni

• Se l’espressione in esame e funzione di tre variabili

• L’espressione di partenza è nella forma canonica PS

• L’espressione di arrivo non è nella forma canonica SP, perché i termini di prodotto non sono costituiti da tre letterali

A.S.E. 7.35

Trasformazione SP – PS e PS - SP• Dalla tabella dei prodotti e delle somme

n x y z p s

0 0 0 0 `x •`y •`z

p0 1 x + y + z

s0 0

1 0 0 1 `x •`y • z

p1 1 x + y +`z

s1 0

2 0 1 0 `x • y •`z

p2 1 x +`y + z

s2 0

3 0 1 1 `x • y • z

p3 1 x +`y +`z

s3 0

4 1 0 0 x •`y •`z p4 1 `x + y + z

s4 0

5 1 0 1 x •`y • z p5 1 `x + y +`z

s5 0

6 1 1 0 x • y •`z p6 1 `x +`y + z

s6 0

7 1 1 1 x • y • z p7 1 `x +`y +`z

s7 0

A.S.E. 7.36

Osservazione• Data un’espressine nella forma SP

• Si può scrivere come SP complementata dei 2n-k prodotti non impiegati nell’espressione precedente

• Applicando il teorema di De Morgan

• Applicando De Morgan si ottiene la forma PS

kba PPP

knPPP

221

kk nn PPPPPP

221221

2 4 5 0 1 3 6 7P P P P P P P P

A.S.E. 7.37

Esempio• Data l’espressione

• Si ha zyxzyxzyx

zxyxyx

zyxzyxzyxzyxzyxzyx

zyxzyxzyxzyxzyx

zyxzyxzyxzyxzyx

zyxzyxzyxzyxzyx

zyxzyxzyx

S(6) S(1)

S(0)

S(2) S(7)S(4) S(5)S(3)

A.S.E. 7.38

Osservazioni

• Si ha quindi la seguente regola• Passaggio da SP a PS

– Applicare il Th di De Morgan al complemento di ciascun mintermine assente nella forma SP

– Formare il prodotto dei maxtermini ottenuti• Passaggio da PS a SP

– Applicare il Th di De Morgan al complemento di ciascun maxtermine assente nella forma PS

– Formare la somma dei mintermini ottenuti

A.S.E. 7.39

Premessa 1

• Osservazioni– le funzioni AND, OR e NOT costituiscono un

insieme funzionalmente completo di operatori logici

– In base al teorema di De Morgan si ha:

– ovvero la funzione OR si può realizzare con le funzioni AND e NOT quindi:

– le funzioni AND e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici

yxyx

A.S.E. 7.40

Premessa 2

• Osservazioni– Sempre in base al teorema di De Morgan si

ha:

– ovvero la funzione AND si può realizzare con le funzioni OR e NOT quindi

– le funzioni OR e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici

– le funzioni OR e AND non costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici perché non è possibile realizzare la funzione NOT

yxyx

A.S.E. 7.41

Definizione

• Le funzioni NAND e NOR sono definite dalle seguenti tabelle di verità

x y u

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

x y u

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

yxu NAND yxu NOR

A.S.E. 7.42

Osservazioni

• NAND e NOR sono contrazioni di NOT-AND e NOT-OR

• la funzione NAND costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logici

• la funzione NOR costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logici

xxx yxyx

xxx yxyx

A.S.E. 7.43

Funzioni “complesse” 1

• L’operatore “XOR”, OR ESCLUSIVO è:

• Definizioneyx

x y u

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

yxyxyxyxyxyxyx

A.S.E. 7.44

Funzioni “complesse” 2

• L’operatore “XNOR”, NOR ESCLUSIVO è:

• Definizioneyx

x y u

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

yxyxyxyxyx A.S.E. 7.45

Proprietà dello XOR / XNOR

i

ii 0 1

iii 0 1

iv

v

vi

vii

viii

ix se e solo se 0

x se , allora o

a b

X Y XY XY X Y X Y X Y XY XY X Y X Y

X X X X

X X X X

X Y X Y X Y X Y X Y

X Y Y X

X Y Z X Y Z X Y Z

X Y Z XY XZ

X Y X Y XY

X Y X Y XY

X Y Z X Z X X Z Y

A.S.E. 7.46

Generatore di disparità 1

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 0

x y z w D D

xyzw

xyzw

xyzw

D xyzw xyzw xyzw xyzw xyzw xyzw xyzw xyzwxyzw

xyzw

xyzw

xyzw

xyzw

A.S.E. 7.47

Generatore di disparità 2

D xyzw xyzw xyzw xyzw xyzw xyzw xyzw xyzw

xy zw zw zw xy xy zw xy xy x y zw zw

xy xy zw zw xy xy zw zw

x y z w x y z w

x y z w x y z w

A.S.E. 7.48

Conclusioni

• Algebra delle commutazioni• Funzione AND, OR, NOT• Tabella di Verità• Forme canoche “SP” e “PS”• Passaggi da forma SP a PS e viceversa• insieme funzionalmente completo• Funzione NAND, NOR, XOR e XNOR

A.S.E. 7.49

Quesiti 1

• Costruire la tabella di verità per le seguenti funzioni.

32143214321

31321321

,,,

,,

,,

xxxxxxxxxxxfc

yzxyxzyxfb

xxxxxxxxfa

32143214321

31321321

,,,

,,

,,

xxxxxxxxxxxfc

yzxyxzyxfb

xxxxxxxxfa

A.S.E. 7.50

Quesiti 2• Scrivere le forme canoniche PS e SP per

le due tabelle di verità seguenti:

x y z f

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

x y z f

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

A.S.E. 7.51

Quesiti 3

• Verificare le seguenti identità

313221313221

4241421431431

21313121

xxxxxxxxxxxxc

xxxxxxxxxxxxxb

xxxxxxxxa

A.S.E. 7.52