REA DE UNA SUPERFICIEDada una parametrizacin de una superficie S: r(u,v) = ( x(u,v); y(u,v); z(u,v) )Se denomina ELEMENTO DE AREA de la superficie S y se le denota por: S = l l uvO tambin: dS = l l dudv llamado tambin DIFERENCIAL DE AREA

DEFINICION DEL AREA DE UNA SUPERFICIE PARAMETRICA

Sea S una superficie suave r(u,v) = ( x(u,v); y(u,v); z(u,v) ) definida sobre una regin abierta D del plano UV, si cada punto de S corresponde exactamente a un punto del dominio D, el rea de la superficie S se define como:AREA(S) = sobre la regin S = sobre la regin DDonde:

AREA DE UNA SUPERFICIE DEFINIDA POR UNA FUNCION REAL

Cuando una superficie S es la grafica de una funcin z= f(x,y) definida sobre una regin del plano XY, se puede tomar u=x , v=y como parmetros, de modo que: S : r(x,y)=( x, y, f(x,y)) (x,y) D

El rea de la superficie S estar dado por la integral doble: AREA(S) = dxdy sobre la regin D

AREA DE UNA SUPERFICIE DEFINIDA IMPLICITAMENTEUna superficie S puede estar definida en forma implcita por una ecuacin de la forma: F(x,y,z)=0 (*)Que es la superficie de nivel cero de alguna funcin F(x,y,z), como por ejemplo, la esfera S: x2+y2+z2-a2=0, de tal modo que sobre una cierta regin D del plano XY (o algn otro plano coordenado) es posible resolver para z mediante una funcin S: z=f(x,y) , (x,y) DQue satisface (*), es decir: S: F(x,y,f(x,y))=0 , (x,y) D

Derivando parcialmente obtenemos: ; Que al reemplazar en la formula general obtenemos una expresin para el rea en trminos solamente de la funcin F: AREA(S) = dxdy sobre la region D EJERCICIOS

1.-Hallar el rea de la superficie de la porcin del plano que se encuentra sobre el crculo en el primer cuadrante, como se muestra en la figura:

SOLUCINUsando la definicin, para eso calculemos las derivadas parciales de la funcin dada.

luego el rea de la superficie es dada por

2.-Hallar el rea de la porcin de la superficie que se encuentra sobre la regin triangular cuyos vrtices son (1,0,0), (0, -1, 0) y (0, 1,0), como se muestra la figura

SOLUCINPrimero calculamos las derivadas parciales de la funcin dada

Reemplazando en la definicin se tiene

Luego, hallando la regin R con sus respectivos lmites o cotas

Por lo que la integral ser

Se tiene:

Luego el rea es A(S)=1.618

3.-Hallar el rea de la superficie del paraboloide que se encuentra sobre el circulo unitario, como se muestra la figura

SOLUCINPrimero calculamos las derivadas parciales de la funcin dada

Reemplazando en la definicin se tiene:

Luego, hallando la regin R con sus respectivos lmites o cotas en coordenadas polares

Por lo que la integral ser

Luego el rea es A(S)=5.33 4.-Hallar el rea de la superficie correspondiente a la porcin del hemisferio

que se encuentra sobre la regin limitada o acotada por el circulo , como se muestraen la figura

SOLUCIN

Calculando las derivadas parciales de la funcin

y Y usando la definicin se tiene

Encontrando los limites o cotas de la regin R en coordenadas polares

Luego el rea de la superficie ser

5.-Calcular el rea de la superficie sobre la porcin del plano r(u,v)= (2u,-,), donde 0 u 2 y 0 v 1SOLUCIONArea de la superficie:

= (o,-1.-1)

A(S) = = 26.-Calcular el area de la superficie sobre la porcin del paraboloide r(u,v) = (4u,,4u) donde 0 u 4 y 0 v 2SOLUCIONA(S) =

= (4u2cos(v),-16u,4u2sen(v))4uA(S) = = =

7.-Pruebe que el rea de la superficie de una esfera de radio a es 4a2.SOLUCIONComo S: x2 + y2 = a2, su parametrizacion es:R(u,v)= ( asen(v)cos(u), asen(v)sen(u), acos(v)), dondeD=

= (-a2sen2(v)cos(u),-a2sen2(v)sen(u),-a2sen(v)cos(v))

a2sen(v)A(S) = = = 4a2

R

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