AArrcchhiimmeeddee aarriittmmeettiiccaa ddii ssaabbbbiiaa

Aritmetica di sabbia

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Sabbia e acqua

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Una miriade

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Stomachion

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Archimede di Siracusa traduzione

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Il grande matematico fisico e filosofo Archimede di Siracusa - Archimede-di-Siracusapdf

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Cicerone scopre la Tomba di Archimede

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Le opere di Archimede

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Cerchio circonferenza pi greco

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Aritmetica di sabbia

Il sistema numerico elaborato da Archimede nellrsquoArenario permise al genio siracusano

di ottenere risultati mai immaginati prima di lui Egli sfidograve le convinzioni comuni del suo tempo

anche quelle piugrave ardite sul piano filosofico Il trattato essenzialmente si occupa di combattere alcune

radicate opinioni circa lrsquoinfinito concetto di straordinaria importanza tanto matematica che filosofica

e che aveva dato prima del suo intervento luogo a numerosi paradossi fra tutti vale la pena ricordare

quelli del filosofo di Zenone Elea ed in particolare il paradosso della freccia e del bersaglio poicheacute

infiniti sono i punti che una freccia deve percorrere per raggiungere il bersaglio la freccia ndash per quanta

possa essere la forza che lrsquoarciere impiega nel tendere lrsquoarma ndash il bersaglio non lo raggiungeragrave

mai Questa che alla nostra mentalitagrave puograve apparire una bislacca forzatura egrave invece indice di

un problema che il pensiero greco ha vissuto sino ad Aristotele compreso con estremo imbarazzo

negli scritti dei piugrave grandi filosofi greci si constata una certa difficoltagrave nel rapportarsi al concetto di

infinito e ndash piugrave particolarmente sul piano filosofico ndash di ldquoindeterminatordquo La mentalitagrave

greca costantemente alla ricerca dei percheacute dei fenomeni delle proporzioni fra elementi del reale e

delle segrete armonie che reggono il cosmo viveva la possibilitagrave di un il-limite di un che di non

determinabile con autentico terrore una forma acuta di horror vacui Archimede forte del suo metodo

e della sua ardimentosa concezione del mondo affermograve che persino il numero dei granelli di

sabbia necessari a riempire lrsquouniverso per quanto enorme sia egrave comunque identificabile con

un numero finito una volta individuato il modo di indicare i grandi numeri necessari ad esprimerlo

Archimede riuscigrave a calcolare il numero di grani di sabbia necessari per riempire dapprima una sfera

del diametro di un dito successivamente di cento poi di uno stadio di diecimila stadi e cosigrave via

giungendo al risultato finale che lrsquouniverso (ristretto allora al sistema solare) per essere riempito

per intero necessiterebbe di ldquoappenardquo 1063 granelli di sabbia il calcolo matematico assicurava cosigrave la

sua superioritagrave su qualsiasi realtagrave fisica

Sabbia e acqua

Archimede egrave protagonista di numerose leggende di cui diverse hanno a che fare con lrsquoacqua e

con la sabbia La scoperta del principio della spinta idrostatica che ancora oggi chiamiamo principio di

Archimede viene dalla tradizione accostato al famoso bagno durante il quale lo scienziato avrebbe fatto

risuonare il suo immortale laquoEurekaraquo e delle varie versioni dellrsquoepisodio della morte di Archimede

alcune lo ritraggono mentre studia dei cerchi disegnandoli nella sabbia al cospetto del soldato romano

che lo uccideragrave Le esatte parole differiscono nei vari Autori che riportano lrsquoaneddoto ma concordano nel

descrivere lrsquoaccorato appello di uno studioso che anche nel momento estremo chiede che i suoi studi

non siano turbati dallrsquoirruzione della brutalitagrave della vita rappresentata qui icasticamente da un gladio

sguainato E non si puograve dimenticare lrsquoArenario trattato nel quale Archimede calcola il numero di granelli

di sabbia che sarebbero necessari a riempire lrsquointero universo Le intuizioni di Archimede sulla spinta

idrostatica sono di capitale importanza per lo sviluppo della fisica e dellrsquoingegneria il modo in cui un

corpo si comporta quando si trova immerso in un fluido egrave determinato proprio da questa interazione che

dipende largamente dalla conformazione della materia del solido il suo peso specifico il suo peso la sua

forma Anche il comportamento di semplici granelli di sabbia di diverse dimensioni e densitagrave immersi

nello stesso recipiente rendono immediatamente chiaro il significato della spinta di Archimede La

velocitagrave con cui ogni granello si deposita dipende dalle sue dimensioni e deriva dal bilanciamento che si

viene a creare fra le tre forze principali che agiscono su di esso la spinta idrostatica che agisce dal basso

verso lrsquoalto (scoperta da Archimede) la forza di gravitagrave e la forza di attrito causata dalla viscositagrave del

materiale

Una miriade

La numerazione greca era molto differente da quella che

attualmente impieghiamo e decisamente meno efficace I numeri

dei quali ci serviamo tutti i giorni vennero importati dagli arabi

insieme allo ldquozerordquo Dunque i greci ndash come del resto anche i romani

ndash non avendo a disposizione simboli dedicati esclusivamente alla

rappresentazione dei numeri impiegavano le lettere del loro

alfabeto Se questa soluzione appare a noi scarsamente pratica giagrave

in rapporto a piccole quantitagrave essa si presenta decisamente inadatta

a calcoli che riguardano i grandi numeri numeri che drsquoaltra parte

sono essenziali per lo svolgimento di indagini astronomiche sempre

piugrave accurate Con i trentasei caratteri di cui disponevano i greci

esprimevano tutti i numeri al di sotto di 10000 (ovvero una miriade) per esprimere numeri di decine di

migliaia ndash poi ndash apponevano la lettera ldquoMrdquo sotto il carattere rendendo il numero diecimila volte

maggiore NellrsquoArenario Archimede mostra di aver avuto unrsquoaltra brillante intuizione partigrave dal numero

10000 che chiamograve laquonumero di primo ordineraquo e - moltiplicandolo per se stesso - ottenne il numero di

centomilioni che chiamograve laquonumero di secondo ordineraquo Prendendo questo numero come unitagrave di nuovo

giunse ai numeri di terzo ordine con i quali riuscigrave a giungere ad un numero che altrimenti avrebbe

richiesto milioni di cifre Indubbiamente ottenne il vantaggio di poter semplificare i calcoli avendo reso

molto piugrave agile la scrittura dei numeri ma la portata dellrsquoilluminazione archimedea non si limita a questo

pur importante risultato Infatti Archimede nellrsquoArenario introduce un sistema di numerazione

equivalente non solo al nostro metodo posizionale ma anche allrsquoattuale notazione esponenziale

Archimede sostanzialmente precorre lrsquoidea di utilizzare i logaritmi per abbassare il rango delle

operazioni numeriche Le tavole dei logaritmi saranno pubblicate solamente nel 1614 fu allora che si

cominciograve a risolvere con lrsquoalgebra anche i problemi geometrici con la possibilitagrave di eseguire rapidamente

complessi calcoli numerici

SSttoommaacchhiioonn

Il ritrovamento e lo studio del ldquoCodice Crdquo ha riportato lrsquoattenzione su un antico gioco greco lo

Stomachion Il nome deriva da Stomachos che significa ldquoirritazionerdquo Nel codice rinvenuto e studiato da

Heiberg troviamo alcune pagine dedicate a questo curioso puzzle composto da quattordici pezzi tagliati

in forme geometriche (undici triangoli due quadrilateri e un pentagono) le cui possibili combinazioni

rappresentano immagini di vario genere che differiscono in base allrsquoabilitagrave del giocatore Lo Stomachion

presenta notevolissime affinitagrave con un antico gioco cinese il Tangram che significa ldquogioco delle sette

saggezzerdquo composta appunto di sette tasselli di diversa forma geometrica Quel che Heiberg poteacute leggere

in proposito con il solo ausilio di una lente di ingrandimento di fronte ad una pergamena deteriorata

sulla quale per di piugrave erano state in epoca medievale trascritte preghiere offrigrave pochi indizi sullrsquointeresse

di Archimede per lrsquoenigma Apparentemente si trattava di un semplice passatempo colto il che indusse

gli studiosi a non dare troppa importanza alle pagine sullo Stomachion Tuttavia con il riapparire del

Codice C nel 1998 e con il progredire delle tecniche applicate alla decifrazione degli antichi

manoscritti gli studi sullo Stomachion stanno progressivamente rettificando il punto di vista che lo

considera semplicemente un arguto ldquorompicapordquo Non crsquoegrave certezza che sia stato proprio il geniale

siracusano ad inventare lo Stomachion ed anzi si tende a ritenere che il supporto esistesse giagrave prima che

se ne occupasse Archimede Tuttavia il punto drsquointeresse non egrave stabilire o meno se Archimede sia stato

lrsquoideatore dello Stomachion egrave ben piugrave rilevante comprendere a che scopo se ne servisse In effetti gli

studi che attualmente si stanno conducendo sul Codice C stanno offrendo importanti novitagrave in

particolare relative alle tecniche di calcolo Una nuova lettura del codice dimostrerebbe che Archimede

si interessava di calcolo combinatorio un ramo della matematica che prende in considerazione le

combinazioni e le sistemazioni degli oggetti e che ha trovato riconoscimento negli ambienti accademici

solo negli ultimi cinquanta anni Si tratta di capire se Archimede fu in grado di calcolare il numero dei

diversi quadrati che si sarebbero potuti creare con i pezzi del puzzle Un gruppo di studiosi egrave attualmente

allrsquoopera sullo Stomachion alcuni rilevano che vi sono degli indizi che farebbero pensare che Archimede

avesse studiato i suoi teoremi geometrici proprio grazie allo Stomachion

VViittaa ddaa sscciieennzziiaattoo AArrcchhiimmeeddee ddii SSiirraaccuussaa

Laboratorio Vita da scienziato Archimede di Siracusa (in greco Ἀ ρχιμήδης Siracusa circa 287 aC

ndash Siracusa 212 aC) Chi egrave Archimede Ersquo un matematico astronomo fisico e inve ntore greco antico Si

hanno pochi dati certi sulla vita di Archimede ma da tutti viene riconosciu to come uno dei piugrave grandi

scienziato della storia umana infatti ha realizzato sia invenzioni e scoperte molto importanti in

matematica e fisica (dalla leva al galleggiamento dei corpi) sia soluzioni tecniche uti li e brillanti che ha

applicato alle sue macchine (dalla vite alle carrucole) In quale ambiente egrave nato e cresciuto (0 ‐ 30

anni) La data di nascita non egrave certa Viene di solito accettata quella del 287 aC sulla base

dellrsquoinformazione sulla su a morte allrsquoetagrave di settantaci nque anni Forse egrave figlio di un astronomo

siracusano di nome Fidia e ha eredit ato dal padre lrsquoamore per le scienze esatte Secondo Plutarco egrave

imparentato col re Gerone tesi controvers a ma supportata dalla stretta amicizia che li lega Di che cosa

si egrave occupato in gioventugrave (30 ‐ 40 anni) Dalle opere conservate e dalle testimonianze appare che fin da

giovane si egrave occupato di scienze matemati che lrsquoaritmetica la geometria piana la geometria solida ma

anche la meccanica lrsquoottica lrsquoidrostatic a lrsquoastronomia Mostra un grande interesse per le applicazioni

tecnologiche Trascorre qualche anno in Eg itto ad Alessandria drsquoEgitto stringe amicizia con il

matematico e astronomo Conone di Samo ricordato anche nelle sue opere

Percheacute la vita di Archimede egrave cosigrave utile (40

‐ 50 anni) Tornato a Siracusa entra una

corrispondenza con vari scienziati di

Alessandria tra i quali Dositeo ed

Eratostene al qual e dedica il trattato Il

metodo e rivolge il problema dei buoi del

sole Archimede si interessa della gestione

delle acqua e si impegna a progettare e

costruire macchine capaci di spostare grandi

pesi con piccole forze Lo storico Pappo di

Alessandria racconta che Archimede

entusiasta per le possibilit agrave offerte dalle

macchine che ha costruito abbia esclamato

laquodatemi un punto drsquoappoggio e vi solleverograve il

mondoraquo Come ha smascherato il finto oro

della corona (50 ‐ 60 anni) Vitruvio

racconta nel trattato Sui corpi galleggianti che Archimede ha iniziato a occuparsi di id rostatica percheacute il

re Gerone gli chiede di determinare se la sua corona egrave stata realizzata co n oro puro oppure il fabbro ha

utilizzando internamente altri metalli mettendo lrsquooro solo sulla superficie Sc opre come risolvere il

problema mentre fa un bagno notando che una sua immersione provoca un innalzamento del livello

dellrsquoacqua Questa osservazione lrsquoha reso cosigrave felice che esce nudo dallrsquoacqua esclamando ldquo ε ὕ ρηκα rdquo (

heacuteureka ho trovato ) Come ha aiutato Siracusa a co mbattere contro i romani (60 ‐ 70 anni) Vari

autori romani (Polibio Tito Livio Plutarco)

riferiscono che durante la seconda gue rra

punica su richiesta del re Gerone di Siracusa

alleato dei cartaginesi Archimede si dedica

(con minore entusiasmo ma co n significativi

successi) a realizzare macchine belliche per

aiutare la sua cittagrave a di fendersi dallrsquoattacco di

Roma Contro le legioni e la potente flotta di

Roma Siracusa dispone di poche migliaia di

uomini e il genio di un vecchio le macchine

di Archimede che scagliano massi ciclopici

una tempesta di ferro e raggi solari concentrati

contro le sessanta grandi navi a remi di Marco

Claudio Marcello Come egrave morto Archimede

(70 ‐ 75 anni) Nel 212 aC viene ucciso da un

soldato romano durante il sacco di Siracusa

quando viene conquistata Si narrano tre

differe nti versioni della morte di Archimede

Nella prima un soldato romano intima ad Archimede di seguirlo da Ma rcello al suo rifiuto di farlo prima

di finire di risolto il problema cui si sta applicando il soldato lo u ccide appena saputa la notizia

Marcello fa uccidere il soldato visto che il suo ordi ne egrave stato di catturarlo vivo per poter sfruttare la sue

capacitagrave Nella seconda un soldato romano si presenta per uccidere Archimede che lo prega invano di

lasciargli almeno terminare la dimostrazione nella quale era impegnato Nella terz a il soldato incontra

Archimede mentre sta portando a Marcello alcuni strumenti scientifici (meridiane sf ere e squadre) in

una casse tta il soldato pensando a una cassetta piena drsquooro lo uccide per impadronirsene In ogni caso

Marcello profondamente addolorato per la sua morte fa dare onorevole sepoltura allo scienziato

Archimede di Siracusa

Archimede di Siracusa

Gli studiosi sono uomini privilegiati pochi

di loro conoscono il Greco e la maggior

parte di loro non sa nientrsquoaltro

Quando Newton disserdquo Se ho visto piugrave di altri egrave percheacute

stavo sulle spalle dei giganti ldquo uno dei giganti che doveva avere in

mente era Archimede di Siracusa il piugrave brillante matematico fisico e

ingegnere dellrsquoantichitagrave Poco si sa della sua vita Nacque intorno al

287 aC a Siracusa figlio dellrsquoastronomo Fidia e a quanto pare

trascorse gran parte della sua vita a Siracusa Studiograve presso

lrsquoUniversitagrave di Alessandria sia sotto gli immediati successori di

Euclide sia sotto Euclide stesso Era un amico e parente di Gerone II

re di Siracusa per il quale progettograve le macchine da guerra utilizzate

contro gli aggressori romani e la cui corona fu coinvolta nella

scoperta della legge della spinta verso lrsquoalto che porta il suo nome

Gerone (correttamente) sospettograve che la sua corona non fosse drsquooro

puro e chiese ad Archimede di indagare senza danneggiarla Si sa che Archimede meditograve sul problema

mentre si faceva un bagno e trovograve la risposta non appena osservograve il livello dellrsquoacqua alzarsi sino a

sommergere il suo corpo GridandordquoEUREKA Ho trovatordquo dice questa leggenda corse nudo per le

strade di Siracusa per dire a Gerone della sua scoperta Il suo libro sui corpi galleggianti va ben oltre la

legge di Archimede e comprende complicati problemi di stabilitagrave Allo stesso modo SullrsquoEquilibrio dei

Piani va oltre il principio della leva e risolve complicati problemi come trovare il baricentro di un

segmento parabolico In queste come in altre sue opere Archimede utilizza lrsquoapproccio euclideo da un

insieme di semplici postulati deduce le sue affermazioni con logica impeccabile Come primo scrittore

che costantemente legograve matematica e fisica Archimede egrave diventato il padre della fisica come scienza La

fisica di Aristotele fu pubblicata un secolo prima ma egrave solo una lunga sfilza di speculazioni infondate

totalmente prive di qualsiasi relazione quantitativa Archimede egrave stato anche il primo ingegnere

scientifico lrsquouomo alla ricerca di principi generali che applicograve a specifici problemi drsquoingegneria La sua

applicazione del principio della leva per le macchine da guerra in difesa di Siracusa sono ben noti inoltre

applicograve ancora lo stesso principio per trovare il volume del segmento di una sfera con un metodo di

bilanciamento insolitamente bello di cui avremo piugrave da dire piugrave avanti in questo capitolo Ha usato lo

stesso metodo per determinare i volumi di altri solidi di rotazione (ellissoide paraboloide iperboloide) e

per trovare il centro di gravitagrave del semicerchio e dellrsquoemisfera Non egrave noto quante opere di Archimede

siano andate perdute (una delle piugrave importanti Il Metodo egrave venuta alla luce solo nel 1906) ma i suoi libri

rimasti tra cui Sulle Spirali Sulla Misurazione del Cerchio La Quadratura della Parabola Sui Conoidi e

Sferoidi Sulla Sfera e il Cilindro Il Libro dei Lemmi e altri sono ineguagliate da qualsiasi altro prodotto

dellrsquoantichitagrave

Il metodo di Archimede per calcolare

Non solo a causa dei risultati meravigliosi contenuti in questi libri ma anche percheacute Archimede fu un

pioniere del Metodo Partendo dal concetto di ldquougualerdquo arrivograve a quello di ldquoarbitrariamente vicino ardquo o

ldquotanto vicino quanto desideratordquo (che Euclide aveva enunciato ma non attivamente usato) e quindi

raggiunse la soglia del calcolo differenziale proprio come il suo metodo di quadratura della parabola

raggiunse la soglia del calcolo integrale (alcuni ritengono che la abbia superata)

Ersquo stato anche il primo a ideare un metodo per calcolare π con un qualunque grado desiderato di

precisione Esso si basa sul fatto che il perimetro di un poligono regolare di n lati inscritto in una

circonferenza egrave minore della circonferenza mentre il perimetro di un poligono simile circoscritto alla

circonferenza egrave maggiore della circonferenza (vedi figura sotto) Rendendo n sufficientemente grande i

due perimetri si avvicineranno alla circonferenza arbitrariamente uno per difetto lrsquoaltro per eccesso

Archimede iniziograve con un esagono e progressivamente raddoppiando il numero dei lati arrivograve a un

poligono di 96 lati il che diede

(1)

Ciograve che Archimede ha fatto senza trigonometria e senza notazione decimale (o altra notazione

posizionale) egrave unrsquoillustrazione della sua tenacia (vedi la traduzione di Heath ldquoSulla Misura del Cerchiordquo

proposizione 3 e seguenti) Tuttavia potremmo utilizzarle entrambe per procedere con i calcoli Se egrave

metagrave dellrsquoangolo sotteso da un lato di un poligono regolare di n lati nel centro della circonferenza allora

la lunghezza del lato inscritto egrave

(3)

e quella del lato circoscritto egrave

(4)

Un poligono regolare di 40 lati Non egrave stata disegnata la circonferenza interna

Per lrsquoesagono Archimede ha approssimato col valore leggermente inferiore di 265153 un poligono a

12 lati lo impegnograve nel rapporto che ha semplificato a e il poligono finale di 96 lati coinvolge una

radice quadrata di un numero che nel sistema decimale ha dieci cifre

Come sia riuscito ad estrarre le sue radici quadrate con tale accuratezza sempre avendo cura di

rispettare cosigrave sottilmente il lato piccolo o il lato grande come richiesto dai limiti egrave uno degli enigmi che

questo straordinario uomo ci ha lasciato Ma sembra che Archimede sia andato anche oltre Erone di

Alessandria nella sua Metrica (circa il 60 AC ma non scoperta fino al 1896) si riferisce a un lavoro di

Archimede che da allora egrave andato perso in cui Archimede dagrave i limiti

Tuttavia questo egrave evidentemente un errore che si deve essere insinuato durante la trascrizione

della copia perchegrave egrave molto piugrave scadente rispetto al limite superiore 3+17 trovato da Archimede in

precedenza Erone aggiungerdquo poicheacute questi numeri sono scomodi per le misurazioni p viene ridotto al

rapporto di numeri piugrave piccoli ossia 227

Archimede ha anche mostrato che una curva scoperta da Conone di Alessandria poteva come la

quadratrice di Ippia essere utilizzata per rettificare (e quindi quadrare) il cerchio La curva egrave oggi

chiamata la spirale di Archimede egrave definita come il luogo geometrico piano di un punto che si sposta di

moto rettilineo uniforme lungo un raggio mentre il raggio ruota di moto circolare uniforme attorno alla

sua estremitagrave Egrave questa la curva tracciata da una puntina che striscia radialmente verso lrsquoesterno su un

disco fonografico rotante Sia P un punto della spirale (vedi figura sopra) e la tangente in P intersechi la

perpendicolare alla retta OP in R Archimede mostrograve nel suo libro ldquoSulle Spiralirdquo che il segmento OR

(cioegrave la sottotangente polare nel punto P) egrave uguale alla lunghezza dellrsquoarco circolare PS di raggio OP

dove S egrave lrsquointersezione con il raggio iniziale OU

Rettificazione della circonferenza per mezzo della Spirale di Archimede

Tali furono alcuni dei contributi del piugrave grande genio dellrsquoantichitagrave alla storia del pi greco e della

quadratura del cerchio Anche se gli investigatori successivamente hanno trovato approssimazioni

numeriche migliori il metodo poligonale di Archimede egrave rimasto insuperato fino a quando diciannove

secoli piugrave tardi furono trovati in Inghilterra un prodotto infinito e una frazione continua infinita poco

prima che la scoperta del calcolo differenziale portasse a un approccio totalmente nuovo al problema

In fisica nessuno egrave giunto vicino alla statura di Archimede per piugrave di 18 secoli fino a quando

Galileo Galilei osograve sfidare le menzogne di Aristotele Le ombre di quelle menzogne sono con noi persino

adesso Crsquoegrave la storia della matematica che non scusa Archimede per essersi sporcato le mani con il lavoro

sperimentale Nel tardo 1968 ci viene detto che ldquoegli mise poco valore nei suoi congegni meccanicirdquo e

che rdquoconsiderava i suoi congegni e invenzioni come sordidamente commercialirdquo (1965) Commenti

simili si trovano in quasi tutti i libri sullrsquoargomento sostenendo lrsquoosservazione di Philip Guedella ldquoLa

storia si ripete gli storici si ripetono lrsquoun lrsquoaltrordquo Il mito ripetitivo egrave stato iniziato da Plutarco che nel

primo secolo dC ha scritto che

Considerando la meccanica e ogni arte utilitaristica come ignobile e volgare egli dette la sua

zelante devozione solo a quei soggetti la eleganza e sottigliezza sono non impastoiate dalle necessitagrave

della vita

Ora Plutarco non poteva forse sapere cosa Archimede avesse considerato ignobile e volgare il

suo credo era buono come il vostro o il mio Ma proprio come per diciannove secoli gli storici hanno

riecheggiato Plutarco cosigrave Plutarco fa eco allrsquoatteggiamento di Platone e Aristotele i padri dello

snobismo intellettuale Essi hanno insegnato che la sperimentazione era adatta solo per gli schiavi e che

le leggi della natura potevano essere dedotte soltanto dallrsquouomo di alto intelletto e Aristotele ha usato il

suo nobile intelletto per scoprire che i corpi piugrave pesanti cadono a terra piugrave velocemente che gli uomini

hanno piugrave denti rispetto alla donna che la Terra egrave al centro dellrsquouniverso che i corpi celesti non

cambiano mai e molto di piugrave di tale saggezza percheacute era uno scrittore molto prolifico Di fatto Aristotele

egrave stato sconfitto sul proprio terreno per mezzo della pura deduzione intellettuale dellrsquoosservazione

sperimentale Molto tempo prima che Galileo Galilei facesse cadere delle palle di legno e di piombo dalla

Torre pendente di Pisa egli pose la seguente domandardquo Se una pietra di 10 libbre cade 10 volte piugrave

velocemente di una da 1 libbra cosa succede se lego insieme le due pietre La combinazione cadragrave piugrave

velocemente della pietra di 10 libbre percheacute pesa 11 libbre o cadragrave piugrave lentamente percheacute la pietra da 1

libbra ritarderagrave la pietra da 10 libbrerdquo

Il commento di Plutarco sullrsquoatteggiamento di Archimede per lrsquoingegneria egrave una elaborazione

con nessun fondamento diverso dallo snobismo aristotelico

Archimede saluta Eratostene

Ti ho spedito nella precedente occasione alcuni dei teoremi scoperti da me semplicemente

scrivendoti gli enunciati e invitandoti a scoprire le dimostrazioni che a quel tempo non ti diedi

Poi le dimostrazioni di questi teoremi le ho scritte in questo libro e ora te lo invio Inoltre

vedendo in te come giagrave dissi uno studente volenteroso[hellip] ho ritenuto opportuno scriverti e spiegare in

dettaglio nello stesso libro la particolaritagrave di un certo metodo con cui saragrave possibile per te indagare alcuni

dei problemi di matematica mediante la meccanica Questa procedura egrave sono convinto non meno utile

persino delle stesse dimostrazioni dei teoremi percheacute certe cose prima mi sono diventate chiare con un

metodo meccanico malgrado dovessero essere dimostrate dopo tramite la geometria percheacute la loro

indagine col sopraccitato metodo non forniva una vera dimostrazione Ma quando abbiamo acquisito col

metodo alcune conoscenze dei problemi egrave la strada piugrave facile per fornire la dimostrazione anziccheacute

trovarla senza alcuna conoscenza precedente

Un chiaro esempio di questo metodo egrave lrsquoapplicazione di Archimede del principio della leva per

ricavare il volume di un segmento sferico oltre che dellrsquointera sfera come indicato nella figura di pag 71

Cosigrave grande valore dette Archimede a questa scoperta che chiese che una sfera inscritta in un cilindro

fosse incisa sulla sua lapide e questo egrave stato fatto percheacute anche se la lapide egrave andata perduta abbiamo

una descrizione della tomba da parte di Cicerone che la visitograve nel I secolo aC durante il suo incarico di

questore in Sicilia

Non egrave senza interesse ricordare come egrave stato recuperato Il Metodo Fu trovato nel 1906 a

Costantinopoli su un palinsesto che egrave una pergamena il cui testo originale egrave stato lavato (per recuperare

la pergamena) e sostituito con un testo diverso Se lrsquooriginale egrave stato lavato via non perfettamente esso

puograve essere ripristinato con una speciale fotografia In questo caso il testo originale era una copia del X

secolo di alcune opere note di Archimede ma pure includente lrsquounico testo superstite de Il Metodo Gli

zeloti medievali non sempre come il vescovo dello Yucatan o i Crociati a Costantinopoli bruciavano i

libri scientifici come opera del diavolo A volte essi pulivano il testo per la pergamena in modo che da

poterla sporcare con la loro immondizia superstiziosa

Il grande matematico fisico e filosofo Archimede di Siracusa1

Il personaggio e il contesto storico

Il contributo scientifico Il contributo metodologico e la

sua applicazione aziendale Bibliografia Allegato 1 Curricu lum Vitae

di Archimede da Siracusa

Il personaggio e il contesto storico Il grande matematico fisico e filosofo

Archimede di Siracusa (287 AC - 212 AC ) si

colloca storicamente secondo la tabella

riportata di seguito nel contesto culturale

sicuramente fecondo della Magna Grecia del

terzo secolo Avanti Cristo Il suo contributo

nel campo delle scienze applicate della fisica

e della matematica costituisce la base di

alcune delle tecnologie oggi di piugrave ampia

scala di utilizzo e a ragione di questo

contributo al sapere umano la sua effigie egrave ancora oggi riprodotta addirittura su i francobolli ed in passato

venne riprodo tta p r aticam ente in tutte le epoche storiche

1 IL CONTRIBUTO DELLA TECNOLOGIA APPLICATA AI SISTEMI ORGANIZZATI ARCHIMEDE DI SIRACUSA

Michel e Cibrari o MASTER MEDEA 2005-2006 Eni Corp orate Uni v ersity - Scuola Enrico Mattei

Questo ha consentito di conservare memoria nei secoli anche del suo aspetto fisico e non sono del suo

contributo cognitivo e scientifico peraltro forse piugrave im portante Il suo m e todo di calcolo delle aree e dei

volume ha anticipato di 2000 anni prima di Newton e Leibniz il calcolo integrale Per la straordinarietagrave

delle sue intuizi oni fisiche e per le applicazioni belliche d a lui r ealizza te Archimede egrave citato da tutti i

piugrave importa nti storiografi dellrsquoantichitagrave nei loro scritti

bull Diodorus Siculus (circa 1deg secolo A C ) Bibliotheke bull Athenaeus of Naucratis (circa 200 AC)

Deipnosophistae bull Eulero (1707-1783) XIV ldquoQuaestio nes Mathem aticaerdquo bull Vitruvio (circa 1deg secolo

AC) De Architectura bull Plutarco vari scritti I lavori di A r chimede che sono giunti fi no a noi d i rettam

e nte sono i seguenti bull DellrsquoEquilibrio dei pi ani (due libri) bull Quadratura della parabola bull Delle sfere e

dei cilindri (due libri) bull Delle spiral i bull Dei conoidi e degli sferoidi bull Dei corpi galleggianti (due libri)

bull Della misura del cerchio bull Il Palinsesto bull Il Metodo bull LrsquoArenario bull Lo Stomachion

Ci sono poi citazioni d i altri lavori di Archimede che son o invece andati perduti nei secoli lo storiografo

antico Pappus riporta di un lavoro sui Poliedri Semi -regolari Delle Leve e dellrsquoEquilibrio

Degli Sp ecchi Archimede venne ucciso nel 212 Avanti Cristo durante la presa della cittagrave di Siracusa da

parte dei Romani durante la seconda Guerra Punica quando tutti i suo i sforzi di tenerli a bada con le

macchine belliche erano falliti La storia della sua morte egrave raccontata da Plutarco e Cicerone in segno di

omaggio cercograve e trovo la tomba di Archimede nel 75 Avanti Cristo

Tutte le suddette opere furono tradotte in latino nel medioevo e studiate a fondo durante il Rinascimento

Ersquo singolare che lrsquoenorme contributo di Archimede sia s tato rivalutato e riscoperto solo dopo che Euclide

pubblicograve ldquoGli Elementirdquo Francobolli di vari paesi con lrsquoeffigie di Archimede

Archimede nei secoli Ersquo noto che nel mondo ellenistico in particolare fra la Magna Grecia e lrsquoEgitto

crsquoera un ricco e complesso sviluppo di ricerca scientifica con un im pegno anche nellrsquoevoluzione

tecnologica Strumenti di calcolo (o di rilevazione astronomica) non servivano solo per applicazioni

pratiche di ingegneria ma anche allrsquoevoluzione del pensiero filosofico Archimede si colloca in quel

contesto Quel processo si egrave in gran parte interrotto nel medioevo NellrsquoEuropa che si era formata dopo

le ldquoinvasioni barbaricherdquo il pensiero d e lla cultura classica non era d e l tutto perduto ma conservato solo

in alc une ristre tte com unitagrave monastiche o in societagrave segrete sospettate di eresia Le sperim entazioni

scientifiche e tecniche erano viste con diffidenza co me magie stregonerie o pratiche demoniache ndash me

ntre le corporazioni di ldquoarti e mestieri rdquo custodivano gelosamente i loro segreti e spesso assumevano il

carattere di comunitagrave esoteriche ed iniziatiche In queste epoche storiche gli scri tti di Archim ede sono

stati visti per le applicazioni tecnologiche suggerite ma non certo per il metodo scientifico che egli

propugnava Andiamo ora ad esaminare il con t ributo scien tifico di Archimede ed a vederne la estrema

attualitagrave con cui oggi vengono utilizzate le sue tecniche ed il suo approccio di problem-solving di stampo

galileano Il contributo scientifico Le intuizioni di Archimede spaziavano su campi diversificati Tra le

invenzioni e le app licazioni meccaniche attribuitegli si trov ano Il principio della leva La vite se nza fine

Il principio dell a spinta di galleggiamento e la stabilitagrave dei corpi nei fluidi di cui lo studio sul la

liquefazione e sui cedimenti del terreno Gli studi sulle sfere e sui cilindri I meccanismi in movimento un

esempio egrave lrsquo orologio ad a c q u a Tra le m acchine bellich e da lui d i segnate e co struite s i ricordano

specialmente Gli specchi ustori I ganci ed i bracci meccanici hellip e le rispettive applicazioni belliche tanto

tem u te dai Ro m a ni Tra gli studi di geometria si annoverano Studi sulle aree e sui volumi ldquoeccellentirdquo

I solidi regolari La spirale

Cicerone scopre la Tomba di Archimede

Olim dum quaestor Syracusis sum Archimedem insignem illus urbis civem a pulvere excitavi

Nam sepulcrum eius ignoratum a Syracusanis saeptum undique et vestitum vepribus ac dumetis

indagavi syracusani omnino negabant id esse sed ego tenebam senariolos inscriptos in eius monumento

ex quibus in summo Archimedis sepulcro sphaera cum cylindro posita erat ego autem omnia oculis

collustravi ( est enim apud portam sacram urbis magna frequentia sepulcrorum) et paululum postea

columellam non multum e dumis eminentem animadverti in ea erat sphaerae figura et cylindri Atque

ego statim syracusanis ( erant autem mecum principes civitatis) dixi ldquoEcce illud quod quaerebamrdquo

Immissi cum falcibus multi purgaverunt et aperuerunt locum deinde ad sepulcrum accessimus

Apparebat in illo epigramma fere dimidiatum erat illud Archimedis sepulcrumIta nobilis Siciliae civitas

ab homine Arpinati locum monumenti unius insignis civis sui didicit

Una volta mentre ero questore a Siracusa ho tirato fuori dalla polvere Archimede insigne

cittadino di quella cittagrave Infatti ho scoperto il suo sepolcro ignorato dai Siracusani ricoperto da ogni

parte da rovi e cespugli I siracusani affermavano che quello non esistesse ma io ricordavo dei senari

iscritti sulla sua tomba secondo i quali nella sommitagrave del sepolcro di Archimede vi era posta una sfera

con un cilindro Io tuttavia ho scrutato ogni cosa con lo sguardo (vi egrave infatti presso la porta sacra della

cittagrave una grande numero di sepolcri) e a poco a poco mi sono accorto di una colonnetta che non

sporgeva molto dai cespugli In quella vi era lrsquoeffigie di una sfera e di un cilindro

E io subito dissi ai Siracusani (erano infatti con me i cittadini piugrave ragguardevoli della cittagrave) ecco

quello che cercavo Entrati molti con le falci ripulirono e sgombrarono il luogo infine entrammo nel

sepolcro Appariva in quello unrsquo iscrizione quasi dimezzata era quello il sepolcro di Archimede Cosigrave la

celebre cittagrave della Sicilia conobbe il luogo del monumento di un suo insigne cittadino da un uomo di

Arpino

trattto da Tusculanae Disputationesrdquo di Cicerone

Trad Lo Giudice ndash Ferdico ndash Castellese IV H

Le opere di Archimede2

II 3 Archimede di Siracusa

Scarsi sono i particolari sulla vita di

Archimede ma possiamo ricavare qualche

informazione su di lui dalle storie di Plutarco Livio e

altri autori Plutarco descrivendo lrsquoassedio di Siracusa

da parte dei romani durante le Seconda Guerra Punica

ci dice che Archimede abbia inventato ingegnose

macchine da guerra per tenere lontano il nemico

catapulte [29] per lanciare pietre corde carrucole e

ganci per sollevare e schiantare le navi romane

dispositivi per sviluppare incendi sulle navi (come

questi dispositivi potessero essere realizzati e se

realmente Archimede sia stato in grado di realizzarli

ci egrave spiegato da Archimede e gli specchi ustori [30])

Durante il saccheggio della cittagrave Archimede venne

trucidato da un soldato romano nonostante che il

generale Marcello avesse dato lrsquoordine di salvare la

vita del matematico Poicheacute a quanto viene riferito

Archimede aveva settantacinque anni egrave molto

probabile che fosse nato nel 287 aC

Alcuni autori riportano che abbia visitato lrsquoEgitto e

che abbia studiato ad Alessandria con gli allievi di

Euclide fu probabilmente in questa occasione che

2 webunifeit

inventograve il dispositivo oggi noto come ldquovite di Archimederdquo [31] fatto di canali o tubi avvolti

elicoidalmente attorno ad un asse inclinato munito di una manovella per farlo girare

I vari resoconti rimastici sulla vita di Archimede sono drsquoaccordo nel dipingerlo come persona che

attribuiva scarso valore ai suoi congegni meccanici rispetto ai prodotti della sua attivitagrave intellettuale

Anche quando trattava di leve e di altre macchine semplici era molto piugrave interessato ai principi generali

che le governavano che alle loro applicazioni pratiche

Le opere di Archimede sopravvissute sono le seguenti Sullrsquoequilibrio dei piani

Di questo trattato in due libri fanno parte gli studi di Archimede sul principio della leva [32] Il

primo libro prende in considerazione figure rettilinee e si chiude con la discussione sui centri di gravitagrave

del triangolo e del trapezio Il secondo libro concentra lrsquoattenzione sul centro di gravitagrave di un segmento di

parabola e comprende una dimostrazione del fatto che questo centro si trova sul diametro del segmento e

divide questo diametro in segmenti che stanno nel rapporto di 3 a 2 Il procedimento usato per la

dimostrazione egrave il metodo di esaustione

Sui galleggianti

Questrsquoopera in due libri contiene dei risultati molto importanti Fra le proposizioni iniziali ve ne

sono due che formulano il noto principio della spinta idrostatica di Archimede [33]

Qualsiasi solido piugrave leggero di un fluido se collocato nel fluido si immergeragrave in misura tale che

il peso del solido saragrave uguale al peso del fluido spostato (Lib I Prop 5)

Un solido piugrave pesante di un fluido se collocato in esso discenderagrave in fondo al fluido e se si

peseragrave il solido nel fluido risulteragrave piugrave leggero del suo vero peso e la differenza di peso saragrave uguale al

peso del fluido spostato (Lib I Prop 7)

Oltre alle proprietagrave dei fluidi questo trattato contiene molte altre scoperte Quasi tutto il secondo

libro per esempio tratta della posizione di equilibrio di segmenti di paraboloidi quando siano immersi in

un fluido mostrando che la posizione di quiete dipende dal peso specifico relativo del paraboloide solido

e del fluido in cui galleggia

Sulla misura del cerchio

Questo piccolo trattato che egrave probabilmente incompleto nella forma in cui ci egrave pervenuto

comprende solo tre proposizioni ( egrave possibile vedere gli enunciati nel sito Sulla misura del cerchio [34])

una delle quali egrave la dimostrazione mediante il metodo di esaustione del teorema secondo cui lrsquoarea del

cerchio egrave uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come lati la circonferenza e il raggio del

cerchio stesso

Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra circonferenza di un cerchio e diametro Archimede diede

una ulteriore prova della sua abilitagrave nel calcolo Partendo dallrsquoesagono regolare inscritto egli calcolograve i

perimetri dei poligoni ottenuti raddoppiando successivamente il numero dei lati fino a raggiungere

novantasei lati Il risultato dal calcolo archimedeo relativo alla circonferenza era costituito da

unrsquoapprossimazione del valore di espressa dalla disuguaglianza che era un valore migliore di quello

ottenuto dagli egiziani e dai babilonesi (Va tenuto presente che neacute Archimede neacute alcun matematico

greco fece mai uso della notazione per indicare il valore del rapporto tra circonferenza di un cerchio e il

suo diametro)

Sulle spirali

Questo trattato fu molto ammirato ma poco letto poicheacute veniva considerato come la piugrave difficile

fra tutte le opere di Archimede La spirale viene definita come il luogo piano di un punto che partendo

dallrsquoestremo di un raggio o semiretta si sposta uniformemente lungo questo raggio mentre il raggio a sua

volta ruota uniformemente intorno al suo estremo

Lo studio che Archimede fece della spirale curva che attribuiva allrsquoamico Conone di Alessandria si

inquadrava nella scia delle ricerche tipiche della matematica greca volte a trovare le soluzioni dei tre

famosi problemi classici La curva si presta facilmente a effettuare molteplici sezioni dellrsquoangolo Come

nel caso della quadratrice perograve essa puograve anche servire a quadrare il cerchio come mostrograve lo stesso

Archimede

Nel punto P si tracci la tangente alla spirale OPR e questa tangente intersechi nel punto Q la retta che

passa per O ed egrave perpendicolare a OP (vedi Fig 1)

Archimede mostrava mediante una dimostrazione per duplice reductio ad absurdum che il

segmento OQ (noto come la sottotangente polare relativa al punto P) era uguale in lunghezza allrsquoarco di

cerchio PS del cerchio avente come centro O e come raggio OP

Se sulla spirale si sceglie un punto P come intersezione della spirale con la retta a 90deg in coordinate

polari la sottotangente polare OQ saragrave esattamente uguale a un quarto della circonferenza del cerchio di

raggio OP Pertanto lrsquointera circonferenza puograve essere costruita prendendo quattro volte il segmento OQ e

per mezzo del teorema di Archimede si trova un triangolo di area uguale allrsquoarea del cerchio Una

semplice trasformazione geometrica permetteragrave poi di sostituire il triangolo con un quadrato Ersquo cosigrave

effettuata la quadratura del cerchio

Gran parte dellrsquoopera di Archimede egrave di natura tale che oggi verrebbe inclusa in un corso di analisi

infinitesimale ciograve egrave particolarmente vero per il trattato Sulle spirali

Si puograve analizzare la spirale di Archimede e le curve ad essa associate visitando il sito La spirale di

Archimede [35] attraverso Java (un linguaggio di programmazione progettato per eseguire operazioni

evolute indipendente dalla macchina su cui si opera) si possono manipolare i dati ed ottenere tutte le

variazioni desiderate

Quadratura della parabola Al tempo in cui scriveva Archimede le sezioni coniche erano note da quasi un secolo e tuttavia

non era stato fatto nessun progresso nel calcolo delle loro aree Ci volle Archimede per quadrare una

sezione conica ossia un segmento della parabola e lo fece nella Proposizione 17 dellrsquoopera in cui la

quadratura costituiva lrsquoobiettivo principale La dimostrazione per mezzo del solito metodo di esaustione

egrave lunga e complessa comunque Archimede riuscigrave a dimostrare rigorosamente che lrsquoarea K di un

segmento parabolico APBQC egrave uguale a quattro terzi dellrsquoarea di un triangolo avente la stessa base e

uguale altezza

Nelle successive sette (e ultime) proposizioni Archimede dava una seconda ma diversa dimostrazione

del medesimo teorema Egli dimostrava che lrsquoarea del triangolo inscritto maggiore ABC con base AC egrave

quattro volte la somma dei corrispondenti triangoli inscritti aventi come basi rispettivamente AB e BC

Continuando il processo suggerito da questa relazione risulta chiaro che lrsquoarea H del segmento

parabolico ABC egrave data dalla somma della serie infinita che egrave Archimede non parla di somma della serie

infinita percheacute ai suoi tempi i processi non finiti venivano disapprovati Ricorrendo invece a una duplice

reductio ad absurdum Archimede dimostrava che H non poteva essere neacute maggiore neacute minore di

(Archimede come i suoi predecessori non usava il termine ldquoparabolardquo ma lrsquoespressione ldquoortotomordquo

ossia ldquosezione di un cono rettordquo)

Nel preambolo alla Quadratura della parabola incontriamo lrsquoassunzione che oggi egrave comunemente noto

come lrsquoassioma di Archimede

Lrsquoeccesso per cui la maggiore di due aree disuguali supera la minore puograve se sommato a se

stesso diventare superiore a qualsiasi area finita data

Nel sito La teoria della misura da Archimede a Bonaventura Cavalieri [36] si puograve esaminare

il procedimento di dimostrazione per la quadratura della parabola

Sui conoidi e sferoidi

Nonostante Archimede non sia stato in grado di trovare lrsquoarea di un segmento qualsiasi di ellisse

o di iperbole in questo trattato riuscigrave a determinare lrsquoarea di tutta lrsquoellisse

Le aree delle ellissi sono come i rettangoli formati dai loro assi (Prop 6)

Ciograve equivale a dire che lrsquoarea di unrsquoellisse egrave uguale allrsquoarea di un cerchio il cui raggio sia la media

geometrica dei semiassi dellrsquoellisse Inoltre mostrava come trovare il volume di segmenti tagliati da un

ellissoide da un paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno allrsquoasse principale Il

processo da lui usato egrave molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di integrazione differisce

principalmente per la mancanza del concetto di limite di una funzione

Sulla sfera e sul cilindro

Archimede volle che sulla sua tomba fosse incisa la figura che rappresentava una sfera inscritta in

un cilindro circolare retto la cui altezza egrave uguale al diametro della sfera ( per maggiori dettagli si veda La

lapide di Archimede [37]) egli aveva infatti scoperto e dimostrato che il rapporto tra i volumi del

cilindro e della sfera era uguale al rapporto tra le rispettive aree cioegrave era un rapporto di tre a due Inoltre

sembra che Archimede sia stato il primo a scoprire e a dimostrare che lrsquoarea di una sfera egrave quattro volte

lrsquoarea del suo cerchio massimo e che

la superficie di una qualsiasi calotta sferica egrave uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al

segmento tracciato dal vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa

Un teorema molto importante relativo alla superficie della sfera compare nella Proposizione 33

dopo una lunga serie di teoremi preliminari riguardanti la funzione seno

Se in un segmento di cerchio LrsquoALrsquo viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati

esclusa la base siano uguali e il loro numero sia pari come LKhellipAhellipKrsquoLrsquo ove A egrave il punto di mezzo del

segmento e se si tracciano le linee BBrsquo CCrsquo hellip parallele alla base LLrsquo e congiungenti coppie di punti

angolari allora (BBrsquo+CCrsquo+hellip+LM)AM=ArsquoBBA ove M egrave il punto di mezzo di LLrsquo e AArsquo egrave il diametro

passante per M

La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34 del Libro I

Qualsiasi sfera egrave uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della

sfera e lrsquoaltezza uguale al raggio della sfera

Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario ne segue il

rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto

LrsquoArenario

In questrsquoopera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri superiori a

nella notazione moderna Egli sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i

granelli di sabbia richiesti per riempire lrsquouniverso Ciograve era in risposta allrsquoipotesi avanzata da Aristarco di

Srsquoamo che la Terra si muovesse attorno al Sole

Ersquo possibile leggere lrsquointera opera tradotta in inglese visitando il sito lrsquoArenario [38]

Il libro dei lemmi

La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica superiore

Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari In questrsquoopera per esempio

troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del calzolaio) Questo egrave la regione delimitata da tre

semicerchi che sono reciprocamente tangenti a due a due lrsquoarea in questione egrave quella che si trova

allrsquointerno del semicerchio piugrave grande e allrsquoesterno dei semicerchi piugrave piccoli Vi egrave anche un teorema su

quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione archimedea dellrsquoangolo

Il libro dei lemmi non ci egrave pervenuto nel testo originale greco ma attraverso una traduzione araba che

piugrave tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum Di fatto questrsquoopera come ci egrave pervenuta

non puograve essere genuinamente archimedea percheacute il nome di Archimede viene citato piugrave volte nel corso

del testo Nondimeno anche se questo trattato non egrave altro che una miscellanea di teoremi attribuiti ad

Archimede dagli arabi lrsquoopera nella sua sostanza egrave probabilmente autentica

Il Metodo

Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di Archimede vi egrave

la scoperta fatta nel nostro secolo di uno dei suoi trattati piugrave importanti intitolato Il Metodo di cui si

erano perdute le tracce fin dai primi secoli dellrsquoEra cristiana fincheacute non venne riscoperto nel 1906

Qui Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini ldquomeccanicherdquo preliminari che lo

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

Le opere di Archimede

webunifeit

Cerchio circonferenza pi greco

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Solidi di Archimede

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Lavventura dellArkimedeion

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Death of Archimedes (Sources)

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Tomb of Archimedes (Sources)

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Spheres and Planetaria (Introduction)

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Spheres and Planetaria (Sources)

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Archimedes Crater

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Aritmetica di sabbia

Il sistema numerico elaborato da Archimede nellrsquoArenario permise al genio siracusano

di ottenere risultati mai immaginati prima di lui Egli sfidograve le convinzioni comuni del suo tempo

anche quelle piugrave ardite sul piano filosofico Il trattato essenzialmente si occupa di combattere alcune

radicate opinioni circa lrsquoinfinito concetto di straordinaria importanza tanto matematica che filosofica

e che aveva dato prima del suo intervento luogo a numerosi paradossi fra tutti vale la pena ricordare

quelli del filosofo di Zenone Elea ed in particolare il paradosso della freccia e del bersaglio poicheacute

infiniti sono i punti che una freccia deve percorrere per raggiungere il bersaglio la freccia ndash per quanta

possa essere la forza che lrsquoarciere impiega nel tendere lrsquoarma ndash il bersaglio non lo raggiungeragrave

mai Questa che alla nostra mentalitagrave puograve apparire una bislacca forzatura egrave invece indice di

un problema che il pensiero greco ha vissuto sino ad Aristotele compreso con estremo imbarazzo

negli scritti dei piugrave grandi filosofi greci si constata una certa difficoltagrave nel rapportarsi al concetto di

infinito e ndash piugrave particolarmente sul piano filosofico ndash di ldquoindeterminatordquo La mentalitagrave

greca costantemente alla ricerca dei percheacute dei fenomeni delle proporzioni fra elementi del reale e

delle segrete armonie che reggono il cosmo viveva la possibilitagrave di un il-limite di un che di non

determinabile con autentico terrore una forma acuta di horror vacui Archimede forte del suo metodo

e della sua ardimentosa concezione del mondo affermograve che persino il numero dei granelli di

sabbia necessari a riempire lrsquouniverso per quanto enorme sia egrave comunque identificabile con

un numero finito una volta individuato il modo di indicare i grandi numeri necessari ad esprimerlo

Archimede riuscigrave a calcolare il numero di grani di sabbia necessari per riempire dapprima una sfera

del diametro di un dito successivamente di cento poi di uno stadio di diecimila stadi e cosigrave via

giungendo al risultato finale che lrsquouniverso (ristretto allora al sistema solare) per essere riempito

per intero necessiterebbe di ldquoappenardquo 1063 granelli di sabbia il calcolo matematico assicurava cosigrave la

sua superioritagrave su qualsiasi realtagrave fisica

Sabbia e acqua

Archimede egrave protagonista di numerose leggende di cui diverse hanno a che fare con lrsquoacqua e

con la sabbia La scoperta del principio della spinta idrostatica che ancora oggi chiamiamo principio di

Archimede viene dalla tradizione accostato al famoso bagno durante il quale lo scienziato avrebbe fatto

risuonare il suo immortale laquoEurekaraquo e delle varie versioni dellrsquoepisodio della morte di Archimede

alcune lo ritraggono mentre studia dei cerchi disegnandoli nella sabbia al cospetto del soldato romano

che lo uccideragrave Le esatte parole differiscono nei vari Autori che riportano lrsquoaneddoto ma concordano nel

descrivere lrsquoaccorato appello di uno studioso che anche nel momento estremo chiede che i suoi studi

non siano turbati dallrsquoirruzione della brutalitagrave della vita rappresentata qui icasticamente da un gladio

sguainato E non si puograve dimenticare lrsquoArenario trattato nel quale Archimede calcola il numero di granelli

di sabbia che sarebbero necessari a riempire lrsquointero universo Le intuizioni di Archimede sulla spinta

idrostatica sono di capitale importanza per lo sviluppo della fisica e dellrsquoingegneria il modo in cui un

corpo si comporta quando si trova immerso in un fluido egrave determinato proprio da questa interazione che

dipende largamente dalla conformazione della materia del solido il suo peso specifico il suo peso la sua

forma Anche il comportamento di semplici granelli di sabbia di diverse dimensioni e densitagrave immersi

nello stesso recipiente rendono immediatamente chiaro il significato della spinta di Archimede La

velocitagrave con cui ogni granello si deposita dipende dalle sue dimensioni e deriva dal bilanciamento che si

viene a creare fra le tre forze principali che agiscono su di esso la spinta idrostatica che agisce dal basso

verso lrsquoalto (scoperta da Archimede) la forza di gravitagrave e la forza di attrito causata dalla viscositagrave del

materiale

Una miriade

La numerazione greca era molto differente da quella che

attualmente impieghiamo e decisamente meno efficace I numeri

dei quali ci serviamo tutti i giorni vennero importati dagli arabi

insieme allo ldquozerordquo Dunque i greci ndash come del resto anche i romani

ndash non avendo a disposizione simboli dedicati esclusivamente alla

rappresentazione dei numeri impiegavano le lettere del loro

alfabeto Se questa soluzione appare a noi scarsamente pratica giagrave

in rapporto a piccole quantitagrave essa si presenta decisamente inadatta

a calcoli che riguardano i grandi numeri numeri che drsquoaltra parte

sono essenziali per lo svolgimento di indagini astronomiche sempre

piugrave accurate Con i trentasei caratteri di cui disponevano i greci

esprimevano tutti i numeri al di sotto di 10000 (ovvero una miriade) per esprimere numeri di decine di

migliaia ndash poi ndash apponevano la lettera ldquoMrdquo sotto il carattere rendendo il numero diecimila volte

maggiore NellrsquoArenario Archimede mostra di aver avuto unrsquoaltra brillante intuizione partigrave dal numero

10000 che chiamograve laquonumero di primo ordineraquo e - moltiplicandolo per se stesso - ottenne il numero di

centomilioni che chiamograve laquonumero di secondo ordineraquo Prendendo questo numero come unitagrave di nuovo

giunse ai numeri di terzo ordine con i quali riuscigrave a giungere ad un numero che altrimenti avrebbe

richiesto milioni di cifre Indubbiamente ottenne il vantaggio di poter semplificare i calcoli avendo reso

molto piugrave agile la scrittura dei numeri ma la portata dellrsquoilluminazione archimedea non si limita a questo

pur importante risultato Infatti Archimede nellrsquoArenario introduce un sistema di numerazione

equivalente non solo al nostro metodo posizionale ma anche allrsquoattuale notazione esponenziale

Archimede sostanzialmente precorre lrsquoidea di utilizzare i logaritmi per abbassare il rango delle

operazioni numeriche Le tavole dei logaritmi saranno pubblicate solamente nel 1614 fu allora che si

cominciograve a risolvere con lrsquoalgebra anche i problemi geometrici con la possibilitagrave di eseguire rapidamente

complessi calcoli numerici

SSttoommaacchhiioonn

Il ritrovamento e lo studio del ldquoCodice Crdquo ha riportato lrsquoattenzione su un antico gioco greco lo

Stomachion Il nome deriva da Stomachos che significa ldquoirritazionerdquo Nel codice rinvenuto e studiato da

Heiberg troviamo alcune pagine dedicate a questo curioso puzzle composto da quattordici pezzi tagliati

in forme geometriche (undici triangoli due quadrilateri e un pentagono) le cui possibili combinazioni

rappresentano immagini di vario genere che differiscono in base allrsquoabilitagrave del giocatore Lo Stomachion

presenta notevolissime affinitagrave con un antico gioco cinese il Tangram che significa ldquogioco delle sette

saggezzerdquo composta appunto di sette tasselli di diversa forma geometrica Quel che Heiberg poteacute leggere

in proposito con il solo ausilio di una lente di ingrandimento di fronte ad una pergamena deteriorata

sulla quale per di piugrave erano state in epoca medievale trascritte preghiere offrigrave pochi indizi sullrsquointeresse

di Archimede per lrsquoenigma Apparentemente si trattava di un semplice passatempo colto il che indusse

gli studiosi a non dare troppa importanza alle pagine sullo Stomachion Tuttavia con il riapparire del

Codice C nel 1998 e con il progredire delle tecniche applicate alla decifrazione degli antichi

manoscritti gli studi sullo Stomachion stanno progressivamente rettificando il punto di vista che lo

considera semplicemente un arguto ldquorompicapordquo Non crsquoegrave certezza che sia stato proprio il geniale

siracusano ad inventare lo Stomachion ed anzi si tende a ritenere che il supporto esistesse giagrave prima che

se ne occupasse Archimede Tuttavia il punto drsquointeresse non egrave stabilire o meno se Archimede sia stato

lrsquoideatore dello Stomachion egrave ben piugrave rilevante comprendere a che scopo se ne servisse In effetti gli

studi che attualmente si stanno conducendo sul Codice C stanno offrendo importanti novitagrave in

particolare relative alle tecniche di calcolo Una nuova lettura del codice dimostrerebbe che Archimede

si interessava di calcolo combinatorio un ramo della matematica che prende in considerazione le

combinazioni e le sistemazioni degli oggetti e che ha trovato riconoscimento negli ambienti accademici

solo negli ultimi cinquanta anni Si tratta di capire se Archimede fu in grado di calcolare il numero dei

diversi quadrati che si sarebbero potuti creare con i pezzi del puzzle Un gruppo di studiosi egrave attualmente

allrsquoopera sullo Stomachion alcuni rilevano che vi sono degli indizi che farebbero pensare che Archimede

avesse studiato i suoi teoremi geometrici proprio grazie allo Stomachion

VViittaa ddaa sscciieennzziiaattoo AArrcchhiimmeeddee ddii SSiirraaccuussaa

Laboratorio Vita da scienziato Archimede di Siracusa (in greco Ἀ ρχιμήδης Siracusa circa 287 aC

ndash Siracusa 212 aC) Chi egrave Archimede Ersquo un matematico astronomo fisico e inve ntore greco antico Si

hanno pochi dati certi sulla vita di Archimede ma da tutti viene riconosciu to come uno dei piugrave grandi

scienziato della storia umana infatti ha realizzato sia invenzioni e scoperte molto importanti in

matematica e fisica (dalla leva al galleggiamento dei corpi) sia soluzioni tecniche uti li e brillanti che ha

applicato alle sue macchine (dalla vite alle carrucole) In quale ambiente egrave nato e cresciuto (0 ‐ 30

anni) La data di nascita non egrave certa Viene di solito accettata quella del 287 aC sulla base

dellrsquoinformazione sulla su a morte allrsquoetagrave di settantaci nque anni Forse egrave figlio di un astronomo

siracusano di nome Fidia e ha eredit ato dal padre lrsquoamore per le scienze esatte Secondo Plutarco egrave

imparentato col re Gerone tesi controvers a ma supportata dalla stretta amicizia che li lega Di che cosa

si egrave occupato in gioventugrave (30 ‐ 40 anni) Dalle opere conservate e dalle testimonianze appare che fin da

giovane si egrave occupato di scienze matemati che lrsquoaritmetica la geometria piana la geometria solida ma

anche la meccanica lrsquoottica lrsquoidrostatic a lrsquoastronomia Mostra un grande interesse per le applicazioni

tecnologiche Trascorre qualche anno in Eg itto ad Alessandria drsquoEgitto stringe amicizia con il

matematico e astronomo Conone di Samo ricordato anche nelle sue opere

Percheacute la vita di Archimede egrave cosigrave utile (40

‐ 50 anni) Tornato a Siracusa entra una

corrispondenza con vari scienziati di

Alessandria tra i quali Dositeo ed

Eratostene al qual e dedica il trattato Il

metodo e rivolge il problema dei buoi del

sole Archimede si interessa della gestione

delle acqua e si impegna a progettare e

costruire macchine capaci di spostare grandi

pesi con piccole forze Lo storico Pappo di

Alessandria racconta che Archimede

entusiasta per le possibilit agrave offerte dalle

macchine che ha costruito abbia esclamato

laquodatemi un punto drsquoappoggio e vi solleverograve il

mondoraquo Come ha smascherato il finto oro

della corona (50 ‐ 60 anni) Vitruvio

racconta nel trattato Sui corpi galleggianti che Archimede ha iniziato a occuparsi di id rostatica percheacute il

re Gerone gli chiede di determinare se la sua corona egrave stata realizzata co n oro puro oppure il fabbro ha

utilizzando internamente altri metalli mettendo lrsquooro solo sulla superficie Sc opre come risolvere il

problema mentre fa un bagno notando che una sua immersione provoca un innalzamento del livello

dellrsquoacqua Questa osservazione lrsquoha reso cosigrave felice che esce nudo dallrsquoacqua esclamando ldquo ε ὕ ρηκα rdquo (

heacuteureka ho trovato ) Come ha aiutato Siracusa a co mbattere contro i romani (60 ‐ 70 anni) Vari

autori romani (Polibio Tito Livio Plutarco)

riferiscono che durante la seconda gue rra

punica su richiesta del re Gerone di Siracusa

alleato dei cartaginesi Archimede si dedica

(con minore entusiasmo ma co n significativi

successi) a realizzare macchine belliche per

aiutare la sua cittagrave a di fendersi dallrsquoattacco di

Roma Contro le legioni e la potente flotta di

Roma Siracusa dispone di poche migliaia di

uomini e il genio di un vecchio le macchine

di Archimede che scagliano massi ciclopici

una tempesta di ferro e raggi solari concentrati

contro le sessanta grandi navi a remi di Marco

Claudio Marcello Come egrave morto Archimede

(70 ‐ 75 anni) Nel 212 aC viene ucciso da un

soldato romano durante il sacco di Siracusa

quando viene conquistata Si narrano tre

differe nti versioni della morte di Archimede

Nella prima un soldato romano intima ad Archimede di seguirlo da Ma rcello al suo rifiuto di farlo prima

di finire di risolto il problema cui si sta applicando il soldato lo u ccide appena saputa la notizia

Marcello fa uccidere il soldato visto che il suo ordi ne egrave stato di catturarlo vivo per poter sfruttare la sue

capacitagrave Nella seconda un soldato romano si presenta per uccidere Archimede che lo prega invano di

lasciargli almeno terminare la dimostrazione nella quale era impegnato Nella terz a il soldato incontra

Archimede mentre sta portando a Marcello alcuni strumenti scientifici (meridiane sf ere e squadre) in

una casse tta il soldato pensando a una cassetta piena drsquooro lo uccide per impadronirsene In ogni caso

Marcello profondamente addolorato per la sua morte fa dare onorevole sepoltura allo scienziato

Archimede di Siracusa

Archimede di Siracusa

Gli studiosi sono uomini privilegiati pochi

di loro conoscono il Greco e la maggior

parte di loro non sa nientrsquoaltro

Quando Newton disserdquo Se ho visto piugrave di altri egrave percheacute

stavo sulle spalle dei giganti ldquo uno dei giganti che doveva avere in

mente era Archimede di Siracusa il piugrave brillante matematico fisico e

ingegnere dellrsquoantichitagrave Poco si sa della sua vita Nacque intorno al

287 aC a Siracusa figlio dellrsquoastronomo Fidia e a quanto pare

trascorse gran parte della sua vita a Siracusa Studiograve presso

lrsquoUniversitagrave di Alessandria sia sotto gli immediati successori di

Euclide sia sotto Euclide stesso Era un amico e parente di Gerone II

re di Siracusa per il quale progettograve le macchine da guerra utilizzate

contro gli aggressori romani e la cui corona fu coinvolta nella

scoperta della legge della spinta verso lrsquoalto che porta il suo nome

Gerone (correttamente) sospettograve che la sua corona non fosse drsquooro

puro e chiese ad Archimede di indagare senza danneggiarla Si sa che Archimede meditograve sul problema

mentre si faceva un bagno e trovograve la risposta non appena osservograve il livello dellrsquoacqua alzarsi sino a

sommergere il suo corpo GridandordquoEUREKA Ho trovatordquo dice questa leggenda corse nudo per le

strade di Siracusa per dire a Gerone della sua scoperta Il suo libro sui corpi galleggianti va ben oltre la

legge di Archimede e comprende complicati problemi di stabilitagrave Allo stesso modo SullrsquoEquilibrio dei

Piani va oltre il principio della leva e risolve complicati problemi come trovare il baricentro di un

segmento parabolico In queste come in altre sue opere Archimede utilizza lrsquoapproccio euclideo da un

insieme di semplici postulati deduce le sue affermazioni con logica impeccabile Come primo scrittore

che costantemente legograve matematica e fisica Archimede egrave diventato il padre della fisica come scienza La

fisica di Aristotele fu pubblicata un secolo prima ma egrave solo una lunga sfilza di speculazioni infondate

totalmente prive di qualsiasi relazione quantitativa Archimede egrave stato anche il primo ingegnere

scientifico lrsquouomo alla ricerca di principi generali che applicograve a specifici problemi drsquoingegneria La sua

applicazione del principio della leva per le macchine da guerra in difesa di Siracusa sono ben noti inoltre

applicograve ancora lo stesso principio per trovare il volume del segmento di una sfera con un metodo di

bilanciamento insolitamente bello di cui avremo piugrave da dire piugrave avanti in questo capitolo Ha usato lo

stesso metodo per determinare i volumi di altri solidi di rotazione (ellissoide paraboloide iperboloide) e

per trovare il centro di gravitagrave del semicerchio e dellrsquoemisfera Non egrave noto quante opere di Archimede

siano andate perdute (una delle piugrave importanti Il Metodo egrave venuta alla luce solo nel 1906) ma i suoi libri

rimasti tra cui Sulle Spirali Sulla Misurazione del Cerchio La Quadratura della Parabola Sui Conoidi e

Sferoidi Sulla Sfera e il Cilindro Il Libro dei Lemmi e altri sono ineguagliate da qualsiasi altro prodotto

dellrsquoantichitagrave

Il metodo di Archimede per calcolare

Non solo a causa dei risultati meravigliosi contenuti in questi libri ma anche percheacute Archimede fu un

pioniere del Metodo Partendo dal concetto di ldquougualerdquo arrivograve a quello di ldquoarbitrariamente vicino ardquo o

ldquotanto vicino quanto desideratordquo (che Euclide aveva enunciato ma non attivamente usato) e quindi

raggiunse la soglia del calcolo differenziale proprio come il suo metodo di quadratura della parabola

raggiunse la soglia del calcolo integrale (alcuni ritengono che la abbia superata)

Ersquo stato anche il primo a ideare un metodo per calcolare π con un qualunque grado desiderato di

precisione Esso si basa sul fatto che il perimetro di un poligono regolare di n lati inscritto in una

circonferenza egrave minore della circonferenza mentre il perimetro di un poligono simile circoscritto alla

circonferenza egrave maggiore della circonferenza (vedi figura sotto) Rendendo n sufficientemente grande i

due perimetri si avvicineranno alla circonferenza arbitrariamente uno per difetto lrsquoaltro per eccesso

Archimede iniziograve con un esagono e progressivamente raddoppiando il numero dei lati arrivograve a un

poligono di 96 lati il che diede

(1)

Ciograve che Archimede ha fatto senza trigonometria e senza notazione decimale (o altra notazione

posizionale) egrave unrsquoillustrazione della sua tenacia (vedi la traduzione di Heath ldquoSulla Misura del Cerchiordquo

proposizione 3 e seguenti) Tuttavia potremmo utilizzarle entrambe per procedere con i calcoli Se egrave

metagrave dellrsquoangolo sotteso da un lato di un poligono regolare di n lati nel centro della circonferenza allora

la lunghezza del lato inscritto egrave

(3)

e quella del lato circoscritto egrave

(4)

Un poligono regolare di 40 lati Non egrave stata disegnata la circonferenza interna

Per lrsquoesagono Archimede ha approssimato col valore leggermente inferiore di 265153 un poligono a

12 lati lo impegnograve nel rapporto che ha semplificato a e il poligono finale di 96 lati coinvolge una

radice quadrata di un numero che nel sistema decimale ha dieci cifre

Come sia riuscito ad estrarre le sue radici quadrate con tale accuratezza sempre avendo cura di

rispettare cosigrave sottilmente il lato piccolo o il lato grande come richiesto dai limiti egrave uno degli enigmi che

questo straordinario uomo ci ha lasciato Ma sembra che Archimede sia andato anche oltre Erone di

Alessandria nella sua Metrica (circa il 60 AC ma non scoperta fino al 1896) si riferisce a un lavoro di

Archimede che da allora egrave andato perso in cui Archimede dagrave i limiti

Tuttavia questo egrave evidentemente un errore che si deve essere insinuato durante la trascrizione

della copia perchegrave egrave molto piugrave scadente rispetto al limite superiore 3+17 trovato da Archimede in

precedenza Erone aggiungerdquo poicheacute questi numeri sono scomodi per le misurazioni p viene ridotto al

rapporto di numeri piugrave piccoli ossia 227

Archimede ha anche mostrato che una curva scoperta da Conone di Alessandria poteva come la

quadratrice di Ippia essere utilizzata per rettificare (e quindi quadrare) il cerchio La curva egrave oggi

chiamata la spirale di Archimede egrave definita come il luogo geometrico piano di un punto che si sposta di

moto rettilineo uniforme lungo un raggio mentre il raggio ruota di moto circolare uniforme attorno alla

sua estremitagrave Egrave questa la curva tracciata da una puntina che striscia radialmente verso lrsquoesterno su un

disco fonografico rotante Sia P un punto della spirale (vedi figura sopra) e la tangente in P intersechi la

perpendicolare alla retta OP in R Archimede mostrograve nel suo libro ldquoSulle Spiralirdquo che il segmento OR

(cioegrave la sottotangente polare nel punto P) egrave uguale alla lunghezza dellrsquoarco circolare PS di raggio OP

dove S egrave lrsquointersezione con il raggio iniziale OU

Rettificazione della circonferenza per mezzo della Spirale di Archimede

Tali furono alcuni dei contributi del piugrave grande genio dellrsquoantichitagrave alla storia del pi greco e della

quadratura del cerchio Anche se gli investigatori successivamente hanno trovato approssimazioni

numeriche migliori il metodo poligonale di Archimede egrave rimasto insuperato fino a quando diciannove

secoli piugrave tardi furono trovati in Inghilterra un prodotto infinito e una frazione continua infinita poco

prima che la scoperta del calcolo differenziale portasse a un approccio totalmente nuovo al problema

In fisica nessuno egrave giunto vicino alla statura di Archimede per piugrave di 18 secoli fino a quando

Galileo Galilei osograve sfidare le menzogne di Aristotele Le ombre di quelle menzogne sono con noi persino

adesso Crsquoegrave la storia della matematica che non scusa Archimede per essersi sporcato le mani con il lavoro

sperimentale Nel tardo 1968 ci viene detto che ldquoegli mise poco valore nei suoi congegni meccanicirdquo e

che rdquoconsiderava i suoi congegni e invenzioni come sordidamente commercialirdquo (1965) Commenti

simili si trovano in quasi tutti i libri sullrsquoargomento sostenendo lrsquoosservazione di Philip Guedella ldquoLa

storia si ripete gli storici si ripetono lrsquoun lrsquoaltrordquo Il mito ripetitivo egrave stato iniziato da Plutarco che nel

primo secolo dC ha scritto che

Considerando la meccanica e ogni arte utilitaristica come ignobile e volgare egli dette la sua

zelante devozione solo a quei soggetti la eleganza e sottigliezza sono non impastoiate dalle necessitagrave

della vita

Ora Plutarco non poteva forse sapere cosa Archimede avesse considerato ignobile e volgare il

suo credo era buono come il vostro o il mio Ma proprio come per diciannove secoli gli storici hanno

riecheggiato Plutarco cosigrave Plutarco fa eco allrsquoatteggiamento di Platone e Aristotele i padri dello

snobismo intellettuale Essi hanno insegnato che la sperimentazione era adatta solo per gli schiavi e che

le leggi della natura potevano essere dedotte soltanto dallrsquouomo di alto intelletto e Aristotele ha usato il

suo nobile intelletto per scoprire che i corpi piugrave pesanti cadono a terra piugrave velocemente che gli uomini

hanno piugrave denti rispetto alla donna che la Terra egrave al centro dellrsquouniverso che i corpi celesti non

cambiano mai e molto di piugrave di tale saggezza percheacute era uno scrittore molto prolifico Di fatto Aristotele

egrave stato sconfitto sul proprio terreno per mezzo della pura deduzione intellettuale dellrsquoosservazione

sperimentale Molto tempo prima che Galileo Galilei facesse cadere delle palle di legno e di piombo dalla

Torre pendente di Pisa egli pose la seguente domandardquo Se una pietra di 10 libbre cade 10 volte piugrave

velocemente di una da 1 libbra cosa succede se lego insieme le due pietre La combinazione cadragrave piugrave

velocemente della pietra di 10 libbre percheacute pesa 11 libbre o cadragrave piugrave lentamente percheacute la pietra da 1

libbra ritarderagrave la pietra da 10 libbrerdquo

Il commento di Plutarco sullrsquoatteggiamento di Archimede per lrsquoingegneria egrave una elaborazione

con nessun fondamento diverso dallo snobismo aristotelico

Archimede saluta Eratostene

Ti ho spedito nella precedente occasione alcuni dei teoremi scoperti da me semplicemente

scrivendoti gli enunciati e invitandoti a scoprire le dimostrazioni che a quel tempo non ti diedi

Poi le dimostrazioni di questi teoremi le ho scritte in questo libro e ora te lo invio Inoltre

vedendo in te come giagrave dissi uno studente volenteroso[hellip] ho ritenuto opportuno scriverti e spiegare in

dettaglio nello stesso libro la particolaritagrave di un certo metodo con cui saragrave possibile per te indagare alcuni

dei problemi di matematica mediante la meccanica Questa procedura egrave sono convinto non meno utile

persino delle stesse dimostrazioni dei teoremi percheacute certe cose prima mi sono diventate chiare con un

metodo meccanico malgrado dovessero essere dimostrate dopo tramite la geometria percheacute la loro

indagine col sopraccitato metodo non forniva una vera dimostrazione Ma quando abbiamo acquisito col

metodo alcune conoscenze dei problemi egrave la strada piugrave facile per fornire la dimostrazione anziccheacute

trovarla senza alcuna conoscenza precedente

Un chiaro esempio di questo metodo egrave lrsquoapplicazione di Archimede del principio della leva per

ricavare il volume di un segmento sferico oltre che dellrsquointera sfera come indicato nella figura di pag 71

Cosigrave grande valore dette Archimede a questa scoperta che chiese che una sfera inscritta in un cilindro

fosse incisa sulla sua lapide e questo egrave stato fatto percheacute anche se la lapide egrave andata perduta abbiamo

una descrizione della tomba da parte di Cicerone che la visitograve nel I secolo aC durante il suo incarico di

questore in Sicilia

Non egrave senza interesse ricordare come egrave stato recuperato Il Metodo Fu trovato nel 1906 a

Costantinopoli su un palinsesto che egrave una pergamena il cui testo originale egrave stato lavato (per recuperare

la pergamena) e sostituito con un testo diverso Se lrsquooriginale egrave stato lavato via non perfettamente esso

puograve essere ripristinato con una speciale fotografia In questo caso il testo originale era una copia del X

secolo di alcune opere note di Archimede ma pure includente lrsquounico testo superstite de Il Metodo Gli

zeloti medievali non sempre come il vescovo dello Yucatan o i Crociati a Costantinopoli bruciavano i

libri scientifici come opera del diavolo A volte essi pulivano il testo per la pergamena in modo che da

poterla sporcare con la loro immondizia superstiziosa

Il grande matematico fisico e filosofo Archimede di Siracusa1

Il personaggio e il contesto storico

Il contributo scientifico Il contributo metodologico e la

sua applicazione aziendale Bibliografia Allegato 1 Curricu lum Vitae

di Archimede da Siracusa

Il personaggio e il contesto storico Il grande matematico fisico e filosofo

Archimede di Siracusa (287 AC - 212 AC ) si

colloca storicamente secondo la tabella

riportata di seguito nel contesto culturale

sicuramente fecondo della Magna Grecia del

terzo secolo Avanti Cristo Il suo contributo

nel campo delle scienze applicate della fisica

e della matematica costituisce la base di

alcune delle tecnologie oggi di piugrave ampia

scala di utilizzo e a ragione di questo

contributo al sapere umano la sua effigie egrave ancora oggi riprodotta addirittura su i francobolli ed in passato

venne riprodo tta p r aticam ente in tutte le epoche storiche

1 IL CONTRIBUTO DELLA TECNOLOGIA APPLICATA AI SISTEMI ORGANIZZATI ARCHIMEDE DI SIRACUSA

Michel e Cibrari o MASTER MEDEA 2005-2006 Eni Corp orate Uni v ersity - Scuola Enrico Mattei

Questo ha consentito di conservare memoria nei secoli anche del suo aspetto fisico e non sono del suo

contributo cognitivo e scientifico peraltro forse piugrave im portante Il suo m e todo di calcolo delle aree e dei

volume ha anticipato di 2000 anni prima di Newton e Leibniz il calcolo integrale Per la straordinarietagrave

delle sue intuizi oni fisiche e per le applicazioni belliche d a lui r ealizza te Archimede egrave citato da tutti i

piugrave importa nti storiografi dellrsquoantichitagrave nei loro scritti

bull Diodorus Siculus (circa 1deg secolo A C ) Bibliotheke bull Athenaeus of Naucratis (circa 200 AC)

Deipnosophistae bull Eulero (1707-1783) XIV ldquoQuaestio nes Mathem aticaerdquo bull Vitruvio (circa 1deg secolo

AC) De Architectura bull Plutarco vari scritti I lavori di A r chimede che sono giunti fi no a noi d i rettam

e nte sono i seguenti bull DellrsquoEquilibrio dei pi ani (due libri) bull Quadratura della parabola bull Delle sfere e

dei cilindri (due libri) bull Delle spiral i bull Dei conoidi e degli sferoidi bull Dei corpi galleggianti (due libri)

bull Della misura del cerchio bull Il Palinsesto bull Il Metodo bull LrsquoArenario bull Lo Stomachion

Ci sono poi citazioni d i altri lavori di Archimede che son o invece andati perduti nei secoli lo storiografo

antico Pappus riporta di un lavoro sui Poliedri Semi -regolari Delle Leve e dellrsquoEquilibrio

Degli Sp ecchi Archimede venne ucciso nel 212 Avanti Cristo durante la presa della cittagrave di Siracusa da

parte dei Romani durante la seconda Guerra Punica quando tutti i suo i sforzi di tenerli a bada con le

macchine belliche erano falliti La storia della sua morte egrave raccontata da Plutarco e Cicerone in segno di

omaggio cercograve e trovo la tomba di Archimede nel 75 Avanti Cristo

Tutte le suddette opere furono tradotte in latino nel medioevo e studiate a fondo durante il Rinascimento

Ersquo singolare che lrsquoenorme contributo di Archimede sia s tato rivalutato e riscoperto solo dopo che Euclide

pubblicograve ldquoGli Elementirdquo Francobolli di vari paesi con lrsquoeffigie di Archimede

Archimede nei secoli Ersquo noto che nel mondo ellenistico in particolare fra la Magna Grecia e lrsquoEgitto

crsquoera un ricco e complesso sviluppo di ricerca scientifica con un im pegno anche nellrsquoevoluzione

tecnologica Strumenti di calcolo (o di rilevazione astronomica) non servivano solo per applicazioni

pratiche di ingegneria ma anche allrsquoevoluzione del pensiero filosofico Archimede si colloca in quel

contesto Quel processo si egrave in gran parte interrotto nel medioevo NellrsquoEuropa che si era formata dopo

le ldquoinvasioni barbaricherdquo il pensiero d e lla cultura classica non era d e l tutto perduto ma conservato solo

in alc une ristre tte com unitagrave monastiche o in societagrave segrete sospettate di eresia Le sperim entazioni

scientifiche e tecniche erano viste con diffidenza co me magie stregonerie o pratiche demoniache ndash me

ntre le corporazioni di ldquoarti e mestieri rdquo custodivano gelosamente i loro segreti e spesso assumevano il

carattere di comunitagrave esoteriche ed iniziatiche In queste epoche storiche gli scri tti di Archim ede sono

stati visti per le applicazioni tecnologiche suggerite ma non certo per il metodo scientifico che egli

propugnava Andiamo ora ad esaminare il con t ributo scien tifico di Archimede ed a vederne la estrema

attualitagrave con cui oggi vengono utilizzate le sue tecniche ed il suo approccio di problem-solving di stampo

galileano Il contributo scientifico Le intuizioni di Archimede spaziavano su campi diversificati Tra le

invenzioni e le app licazioni meccaniche attribuitegli si trov ano Il principio della leva La vite se nza fine

Il principio dell a spinta di galleggiamento e la stabilitagrave dei corpi nei fluidi di cui lo studio sul la

liquefazione e sui cedimenti del terreno Gli studi sulle sfere e sui cilindri I meccanismi in movimento un

esempio egrave lrsquo orologio ad a c q u a Tra le m acchine bellich e da lui d i segnate e co struite s i ricordano

specialmente Gli specchi ustori I ganci ed i bracci meccanici hellip e le rispettive applicazioni belliche tanto

tem u te dai Ro m a ni Tra gli studi di geometria si annoverano Studi sulle aree e sui volumi ldquoeccellentirdquo

I solidi regolari La spirale

Cicerone scopre la Tomba di Archimede

Olim dum quaestor Syracusis sum Archimedem insignem illus urbis civem a pulvere excitavi

Nam sepulcrum eius ignoratum a Syracusanis saeptum undique et vestitum vepribus ac dumetis

indagavi syracusani omnino negabant id esse sed ego tenebam senariolos inscriptos in eius monumento

ex quibus in summo Archimedis sepulcro sphaera cum cylindro posita erat ego autem omnia oculis

collustravi ( est enim apud portam sacram urbis magna frequentia sepulcrorum) et paululum postea

columellam non multum e dumis eminentem animadverti in ea erat sphaerae figura et cylindri Atque

ego statim syracusanis ( erant autem mecum principes civitatis) dixi ldquoEcce illud quod quaerebamrdquo

Immissi cum falcibus multi purgaverunt et aperuerunt locum deinde ad sepulcrum accessimus

Apparebat in illo epigramma fere dimidiatum erat illud Archimedis sepulcrumIta nobilis Siciliae civitas

ab homine Arpinati locum monumenti unius insignis civis sui didicit

Una volta mentre ero questore a Siracusa ho tirato fuori dalla polvere Archimede insigne

cittadino di quella cittagrave Infatti ho scoperto il suo sepolcro ignorato dai Siracusani ricoperto da ogni

parte da rovi e cespugli I siracusani affermavano che quello non esistesse ma io ricordavo dei senari

iscritti sulla sua tomba secondo i quali nella sommitagrave del sepolcro di Archimede vi era posta una sfera

con un cilindro Io tuttavia ho scrutato ogni cosa con lo sguardo (vi egrave infatti presso la porta sacra della

cittagrave una grande numero di sepolcri) e a poco a poco mi sono accorto di una colonnetta che non

sporgeva molto dai cespugli In quella vi era lrsquoeffigie di una sfera e di un cilindro

E io subito dissi ai Siracusani (erano infatti con me i cittadini piugrave ragguardevoli della cittagrave) ecco

quello che cercavo Entrati molti con le falci ripulirono e sgombrarono il luogo infine entrammo nel

sepolcro Appariva in quello unrsquo iscrizione quasi dimezzata era quello il sepolcro di Archimede Cosigrave la

celebre cittagrave della Sicilia conobbe il luogo del monumento di un suo insigne cittadino da un uomo di

Arpino

trattto da Tusculanae Disputationesrdquo di Cicerone

Trad Lo Giudice ndash Ferdico ndash Castellese IV H

Le opere di Archimede2

II 3 Archimede di Siracusa

Scarsi sono i particolari sulla vita di

Archimede ma possiamo ricavare qualche

informazione su di lui dalle storie di Plutarco Livio e

altri autori Plutarco descrivendo lrsquoassedio di Siracusa

da parte dei romani durante le Seconda Guerra Punica

ci dice che Archimede abbia inventato ingegnose

macchine da guerra per tenere lontano il nemico

catapulte [29] per lanciare pietre corde carrucole e

ganci per sollevare e schiantare le navi romane

dispositivi per sviluppare incendi sulle navi (come

questi dispositivi potessero essere realizzati e se

realmente Archimede sia stato in grado di realizzarli

ci egrave spiegato da Archimede e gli specchi ustori [30])

Durante il saccheggio della cittagrave Archimede venne

trucidato da un soldato romano nonostante che il

generale Marcello avesse dato lrsquoordine di salvare la

vita del matematico Poicheacute a quanto viene riferito

Archimede aveva settantacinque anni egrave molto

probabile che fosse nato nel 287 aC

Alcuni autori riportano che abbia visitato lrsquoEgitto e

che abbia studiato ad Alessandria con gli allievi di

Euclide fu probabilmente in questa occasione che

2 webunifeit

inventograve il dispositivo oggi noto come ldquovite di Archimederdquo [31] fatto di canali o tubi avvolti

elicoidalmente attorno ad un asse inclinato munito di una manovella per farlo girare

I vari resoconti rimastici sulla vita di Archimede sono drsquoaccordo nel dipingerlo come persona che

attribuiva scarso valore ai suoi congegni meccanici rispetto ai prodotti della sua attivitagrave intellettuale

Anche quando trattava di leve e di altre macchine semplici era molto piugrave interessato ai principi generali

che le governavano che alle loro applicazioni pratiche

Le opere di Archimede sopravvissute sono le seguenti Sullrsquoequilibrio dei piani

Di questo trattato in due libri fanno parte gli studi di Archimede sul principio della leva [32] Il

primo libro prende in considerazione figure rettilinee e si chiude con la discussione sui centri di gravitagrave

del triangolo e del trapezio Il secondo libro concentra lrsquoattenzione sul centro di gravitagrave di un segmento di

parabola e comprende una dimostrazione del fatto che questo centro si trova sul diametro del segmento e

divide questo diametro in segmenti che stanno nel rapporto di 3 a 2 Il procedimento usato per la

dimostrazione egrave il metodo di esaustione

Sui galleggianti

Questrsquoopera in due libri contiene dei risultati molto importanti Fra le proposizioni iniziali ve ne

sono due che formulano il noto principio della spinta idrostatica di Archimede [33]

Qualsiasi solido piugrave leggero di un fluido se collocato nel fluido si immergeragrave in misura tale che

il peso del solido saragrave uguale al peso del fluido spostato (Lib I Prop 5)

Un solido piugrave pesante di un fluido se collocato in esso discenderagrave in fondo al fluido e se si

peseragrave il solido nel fluido risulteragrave piugrave leggero del suo vero peso e la differenza di peso saragrave uguale al

peso del fluido spostato (Lib I Prop 7)

Oltre alle proprietagrave dei fluidi questo trattato contiene molte altre scoperte Quasi tutto il secondo

libro per esempio tratta della posizione di equilibrio di segmenti di paraboloidi quando siano immersi in

un fluido mostrando che la posizione di quiete dipende dal peso specifico relativo del paraboloide solido

e del fluido in cui galleggia

Sulla misura del cerchio

Questo piccolo trattato che egrave probabilmente incompleto nella forma in cui ci egrave pervenuto

comprende solo tre proposizioni ( egrave possibile vedere gli enunciati nel sito Sulla misura del cerchio [34])

una delle quali egrave la dimostrazione mediante il metodo di esaustione del teorema secondo cui lrsquoarea del

cerchio egrave uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come lati la circonferenza e il raggio del

cerchio stesso

Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra circonferenza di un cerchio e diametro Archimede diede

una ulteriore prova della sua abilitagrave nel calcolo Partendo dallrsquoesagono regolare inscritto egli calcolograve i

perimetri dei poligoni ottenuti raddoppiando successivamente il numero dei lati fino a raggiungere

novantasei lati Il risultato dal calcolo archimedeo relativo alla circonferenza era costituito da

unrsquoapprossimazione del valore di espressa dalla disuguaglianza che era un valore migliore di quello

ottenuto dagli egiziani e dai babilonesi (Va tenuto presente che neacute Archimede neacute alcun matematico

greco fece mai uso della notazione per indicare il valore del rapporto tra circonferenza di un cerchio e il

suo diametro)

Sulle spirali

Questo trattato fu molto ammirato ma poco letto poicheacute veniva considerato come la piugrave difficile

fra tutte le opere di Archimede La spirale viene definita come il luogo piano di un punto che partendo

dallrsquoestremo di un raggio o semiretta si sposta uniformemente lungo questo raggio mentre il raggio a sua

volta ruota uniformemente intorno al suo estremo

Lo studio che Archimede fece della spirale curva che attribuiva allrsquoamico Conone di Alessandria si

inquadrava nella scia delle ricerche tipiche della matematica greca volte a trovare le soluzioni dei tre

famosi problemi classici La curva si presta facilmente a effettuare molteplici sezioni dellrsquoangolo Come

nel caso della quadratrice perograve essa puograve anche servire a quadrare il cerchio come mostrograve lo stesso

Archimede

Nel punto P si tracci la tangente alla spirale OPR e questa tangente intersechi nel punto Q la retta che

passa per O ed egrave perpendicolare a OP (vedi Fig 1)

Archimede mostrava mediante una dimostrazione per duplice reductio ad absurdum che il

segmento OQ (noto come la sottotangente polare relativa al punto P) era uguale in lunghezza allrsquoarco di

cerchio PS del cerchio avente come centro O e come raggio OP

Se sulla spirale si sceglie un punto P come intersezione della spirale con la retta a 90deg in coordinate

polari la sottotangente polare OQ saragrave esattamente uguale a un quarto della circonferenza del cerchio di

raggio OP Pertanto lrsquointera circonferenza puograve essere costruita prendendo quattro volte il segmento OQ e

per mezzo del teorema di Archimede si trova un triangolo di area uguale allrsquoarea del cerchio Una

semplice trasformazione geometrica permetteragrave poi di sostituire il triangolo con un quadrato Ersquo cosigrave

effettuata la quadratura del cerchio

Gran parte dellrsquoopera di Archimede egrave di natura tale che oggi verrebbe inclusa in un corso di analisi

infinitesimale ciograve egrave particolarmente vero per il trattato Sulle spirali

Si puograve analizzare la spirale di Archimede e le curve ad essa associate visitando il sito La spirale di

Archimede [35] attraverso Java (un linguaggio di programmazione progettato per eseguire operazioni

evolute indipendente dalla macchina su cui si opera) si possono manipolare i dati ed ottenere tutte le

variazioni desiderate

Quadratura della parabola Al tempo in cui scriveva Archimede le sezioni coniche erano note da quasi un secolo e tuttavia

non era stato fatto nessun progresso nel calcolo delle loro aree Ci volle Archimede per quadrare una

sezione conica ossia un segmento della parabola e lo fece nella Proposizione 17 dellrsquoopera in cui la

quadratura costituiva lrsquoobiettivo principale La dimostrazione per mezzo del solito metodo di esaustione

egrave lunga e complessa comunque Archimede riuscigrave a dimostrare rigorosamente che lrsquoarea K di un

segmento parabolico APBQC egrave uguale a quattro terzi dellrsquoarea di un triangolo avente la stessa base e

uguale altezza

Nelle successive sette (e ultime) proposizioni Archimede dava una seconda ma diversa dimostrazione

del medesimo teorema Egli dimostrava che lrsquoarea del triangolo inscritto maggiore ABC con base AC egrave

quattro volte la somma dei corrispondenti triangoli inscritti aventi come basi rispettivamente AB e BC

Continuando il processo suggerito da questa relazione risulta chiaro che lrsquoarea H del segmento

parabolico ABC egrave data dalla somma della serie infinita che egrave Archimede non parla di somma della serie

infinita percheacute ai suoi tempi i processi non finiti venivano disapprovati Ricorrendo invece a una duplice

reductio ad absurdum Archimede dimostrava che H non poteva essere neacute maggiore neacute minore di

(Archimede come i suoi predecessori non usava il termine ldquoparabolardquo ma lrsquoespressione ldquoortotomordquo

ossia ldquosezione di un cono rettordquo)

Nel preambolo alla Quadratura della parabola incontriamo lrsquoassunzione che oggi egrave comunemente noto

come lrsquoassioma di Archimede

Lrsquoeccesso per cui la maggiore di due aree disuguali supera la minore puograve se sommato a se

stesso diventare superiore a qualsiasi area finita data

Nel sito La teoria della misura da Archimede a Bonaventura Cavalieri [36] si puograve esaminare

il procedimento di dimostrazione per la quadratura della parabola

Sui conoidi e sferoidi

Nonostante Archimede non sia stato in grado di trovare lrsquoarea di un segmento qualsiasi di ellisse

o di iperbole in questo trattato riuscigrave a determinare lrsquoarea di tutta lrsquoellisse

Le aree delle ellissi sono come i rettangoli formati dai loro assi (Prop 6)

Ciograve equivale a dire che lrsquoarea di unrsquoellisse egrave uguale allrsquoarea di un cerchio il cui raggio sia la media

geometrica dei semiassi dellrsquoellisse Inoltre mostrava come trovare il volume di segmenti tagliati da un

ellissoide da un paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno allrsquoasse principale Il

processo da lui usato egrave molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di integrazione differisce

principalmente per la mancanza del concetto di limite di una funzione

Sulla sfera e sul cilindro

Archimede volle che sulla sua tomba fosse incisa la figura che rappresentava una sfera inscritta in

un cilindro circolare retto la cui altezza egrave uguale al diametro della sfera ( per maggiori dettagli si veda La

lapide di Archimede [37]) egli aveva infatti scoperto e dimostrato che il rapporto tra i volumi del

cilindro e della sfera era uguale al rapporto tra le rispettive aree cioegrave era un rapporto di tre a due Inoltre

sembra che Archimede sia stato il primo a scoprire e a dimostrare che lrsquoarea di una sfera egrave quattro volte

lrsquoarea del suo cerchio massimo e che

la superficie di una qualsiasi calotta sferica egrave uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al

segmento tracciato dal vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa

Un teorema molto importante relativo alla superficie della sfera compare nella Proposizione 33

dopo una lunga serie di teoremi preliminari riguardanti la funzione seno

Se in un segmento di cerchio LrsquoALrsquo viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati

esclusa la base siano uguali e il loro numero sia pari come LKhellipAhellipKrsquoLrsquo ove A egrave il punto di mezzo del

segmento e se si tracciano le linee BBrsquo CCrsquo hellip parallele alla base LLrsquo e congiungenti coppie di punti

angolari allora (BBrsquo+CCrsquo+hellip+LM)AM=ArsquoBBA ove M egrave il punto di mezzo di LLrsquo e AArsquo egrave il diametro

passante per M

La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34 del Libro I

Qualsiasi sfera egrave uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della

sfera e lrsquoaltezza uguale al raggio della sfera

Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario ne segue il

rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto

LrsquoArenario

In questrsquoopera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri superiori a

nella notazione moderna Egli sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i

granelli di sabbia richiesti per riempire lrsquouniverso Ciograve era in risposta allrsquoipotesi avanzata da Aristarco di

Srsquoamo che la Terra si muovesse attorno al Sole

Ersquo possibile leggere lrsquointera opera tradotta in inglese visitando il sito lrsquoArenario [38]

Il libro dei lemmi

La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica superiore

Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari In questrsquoopera per esempio

troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del calzolaio) Questo egrave la regione delimitata da tre

semicerchi che sono reciprocamente tangenti a due a due lrsquoarea in questione egrave quella che si trova

allrsquointerno del semicerchio piugrave grande e allrsquoesterno dei semicerchi piugrave piccoli Vi egrave anche un teorema su

quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione archimedea dellrsquoangolo

Il libro dei lemmi non ci egrave pervenuto nel testo originale greco ma attraverso una traduzione araba che

piugrave tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum Di fatto questrsquoopera come ci egrave pervenuta

non puograve essere genuinamente archimedea percheacute il nome di Archimede viene citato piugrave volte nel corso

del testo Nondimeno anche se questo trattato non egrave altro che una miscellanea di teoremi attribuiti ad

Archimede dagli arabi lrsquoopera nella sua sostanza egrave probabilmente autentica

Il Metodo

Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di Archimede vi egrave

la scoperta fatta nel nostro secolo di uno dei suoi trattati piugrave importanti intitolato Il Metodo di cui si

erano perdute le tracce fin dai primi secoli dellrsquoEra cristiana fincheacute non venne riscoperto nel 1906

Qui Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini ldquomeccanicherdquo preliminari che lo

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

Aritmetica di sabbia

Il sistema numerico elaborato da Archimede nellrsquoArenario permise al genio siracusano

di ottenere risultati mai immaginati prima di lui Egli sfidograve le convinzioni comuni del suo tempo

anche quelle piugrave ardite sul piano filosofico Il trattato essenzialmente si occupa di combattere alcune

radicate opinioni circa lrsquoinfinito concetto di straordinaria importanza tanto matematica che filosofica

e che aveva dato prima del suo intervento luogo a numerosi paradossi fra tutti vale la pena ricordare

quelli del filosofo di Zenone Elea ed in particolare il paradosso della freccia e del bersaglio poicheacute

infiniti sono i punti che una freccia deve percorrere per raggiungere il bersaglio la freccia ndash per quanta

possa essere la forza che lrsquoarciere impiega nel tendere lrsquoarma ndash il bersaglio non lo raggiungeragrave

mai Questa che alla nostra mentalitagrave puograve apparire una bislacca forzatura egrave invece indice di

un problema che il pensiero greco ha vissuto sino ad Aristotele compreso con estremo imbarazzo

negli scritti dei piugrave grandi filosofi greci si constata una certa difficoltagrave nel rapportarsi al concetto di

infinito e ndash piugrave particolarmente sul piano filosofico ndash di ldquoindeterminatordquo La mentalitagrave

greca costantemente alla ricerca dei percheacute dei fenomeni delle proporzioni fra elementi del reale e

delle segrete armonie che reggono il cosmo viveva la possibilitagrave di un il-limite di un che di non

determinabile con autentico terrore una forma acuta di horror vacui Archimede forte del suo metodo

e della sua ardimentosa concezione del mondo affermograve che persino il numero dei granelli di

sabbia necessari a riempire lrsquouniverso per quanto enorme sia egrave comunque identificabile con

un numero finito una volta individuato il modo di indicare i grandi numeri necessari ad esprimerlo

Archimede riuscigrave a calcolare il numero di grani di sabbia necessari per riempire dapprima una sfera

del diametro di un dito successivamente di cento poi di uno stadio di diecimila stadi e cosigrave via

giungendo al risultato finale che lrsquouniverso (ristretto allora al sistema solare) per essere riempito

per intero necessiterebbe di ldquoappenardquo 1063 granelli di sabbia il calcolo matematico assicurava cosigrave la

sua superioritagrave su qualsiasi realtagrave fisica

Sabbia e acqua

Archimede egrave protagonista di numerose leggende di cui diverse hanno a che fare con lrsquoacqua e

con la sabbia La scoperta del principio della spinta idrostatica che ancora oggi chiamiamo principio di

Archimede viene dalla tradizione accostato al famoso bagno durante il quale lo scienziato avrebbe fatto

risuonare il suo immortale laquoEurekaraquo e delle varie versioni dellrsquoepisodio della morte di Archimede

alcune lo ritraggono mentre studia dei cerchi disegnandoli nella sabbia al cospetto del soldato romano

che lo uccideragrave Le esatte parole differiscono nei vari Autori che riportano lrsquoaneddoto ma concordano nel

descrivere lrsquoaccorato appello di uno studioso che anche nel momento estremo chiede che i suoi studi

non siano turbati dallrsquoirruzione della brutalitagrave della vita rappresentata qui icasticamente da un gladio

sguainato E non si puograve dimenticare lrsquoArenario trattato nel quale Archimede calcola il numero di granelli

di sabbia che sarebbero necessari a riempire lrsquointero universo Le intuizioni di Archimede sulla spinta

idrostatica sono di capitale importanza per lo sviluppo della fisica e dellrsquoingegneria il modo in cui un

corpo si comporta quando si trova immerso in un fluido egrave determinato proprio da questa interazione che

dipende largamente dalla conformazione della materia del solido il suo peso specifico il suo peso la sua

forma Anche il comportamento di semplici granelli di sabbia di diverse dimensioni e densitagrave immersi

nello stesso recipiente rendono immediatamente chiaro il significato della spinta di Archimede La

velocitagrave con cui ogni granello si deposita dipende dalle sue dimensioni e deriva dal bilanciamento che si

viene a creare fra le tre forze principali che agiscono su di esso la spinta idrostatica che agisce dal basso

verso lrsquoalto (scoperta da Archimede) la forza di gravitagrave e la forza di attrito causata dalla viscositagrave del

materiale

Una miriade

La numerazione greca era molto differente da quella che

attualmente impieghiamo e decisamente meno efficace I numeri

dei quali ci serviamo tutti i giorni vennero importati dagli arabi

insieme allo ldquozerordquo Dunque i greci ndash come del resto anche i romani

ndash non avendo a disposizione simboli dedicati esclusivamente alla

rappresentazione dei numeri impiegavano le lettere del loro

alfabeto Se questa soluzione appare a noi scarsamente pratica giagrave

in rapporto a piccole quantitagrave essa si presenta decisamente inadatta

a calcoli che riguardano i grandi numeri numeri che drsquoaltra parte

sono essenziali per lo svolgimento di indagini astronomiche sempre

piugrave accurate Con i trentasei caratteri di cui disponevano i greci

esprimevano tutti i numeri al di sotto di 10000 (ovvero una miriade) per esprimere numeri di decine di

migliaia ndash poi ndash apponevano la lettera ldquoMrdquo sotto il carattere rendendo il numero diecimila volte

maggiore NellrsquoArenario Archimede mostra di aver avuto unrsquoaltra brillante intuizione partigrave dal numero

10000 che chiamograve laquonumero di primo ordineraquo e - moltiplicandolo per se stesso - ottenne il numero di

centomilioni che chiamograve laquonumero di secondo ordineraquo Prendendo questo numero come unitagrave di nuovo

giunse ai numeri di terzo ordine con i quali riuscigrave a giungere ad un numero che altrimenti avrebbe

richiesto milioni di cifre Indubbiamente ottenne il vantaggio di poter semplificare i calcoli avendo reso

molto piugrave agile la scrittura dei numeri ma la portata dellrsquoilluminazione archimedea non si limita a questo

pur importante risultato Infatti Archimede nellrsquoArenario introduce un sistema di numerazione

equivalente non solo al nostro metodo posizionale ma anche allrsquoattuale notazione esponenziale

Archimede sostanzialmente precorre lrsquoidea di utilizzare i logaritmi per abbassare il rango delle

operazioni numeriche Le tavole dei logaritmi saranno pubblicate solamente nel 1614 fu allora che si

cominciograve a risolvere con lrsquoalgebra anche i problemi geometrici con la possibilitagrave di eseguire rapidamente

complessi calcoli numerici

SSttoommaacchhiioonn

Il ritrovamento e lo studio del ldquoCodice Crdquo ha riportato lrsquoattenzione su un antico gioco greco lo

Stomachion Il nome deriva da Stomachos che significa ldquoirritazionerdquo Nel codice rinvenuto e studiato da

Heiberg troviamo alcune pagine dedicate a questo curioso puzzle composto da quattordici pezzi tagliati

in forme geometriche (undici triangoli due quadrilateri e un pentagono) le cui possibili combinazioni

rappresentano immagini di vario genere che differiscono in base allrsquoabilitagrave del giocatore Lo Stomachion

presenta notevolissime affinitagrave con un antico gioco cinese il Tangram che significa ldquogioco delle sette

saggezzerdquo composta appunto di sette tasselli di diversa forma geometrica Quel che Heiberg poteacute leggere

in proposito con il solo ausilio di una lente di ingrandimento di fronte ad una pergamena deteriorata

sulla quale per di piugrave erano state in epoca medievale trascritte preghiere offrigrave pochi indizi sullrsquointeresse

di Archimede per lrsquoenigma Apparentemente si trattava di un semplice passatempo colto il che indusse

gli studiosi a non dare troppa importanza alle pagine sullo Stomachion Tuttavia con il riapparire del

Codice C nel 1998 e con il progredire delle tecniche applicate alla decifrazione degli antichi

manoscritti gli studi sullo Stomachion stanno progressivamente rettificando il punto di vista che lo

considera semplicemente un arguto ldquorompicapordquo Non crsquoegrave certezza che sia stato proprio il geniale

siracusano ad inventare lo Stomachion ed anzi si tende a ritenere che il supporto esistesse giagrave prima che

se ne occupasse Archimede Tuttavia il punto drsquointeresse non egrave stabilire o meno se Archimede sia stato

lrsquoideatore dello Stomachion egrave ben piugrave rilevante comprendere a che scopo se ne servisse In effetti gli

studi che attualmente si stanno conducendo sul Codice C stanno offrendo importanti novitagrave in

particolare relative alle tecniche di calcolo Una nuova lettura del codice dimostrerebbe che Archimede

si interessava di calcolo combinatorio un ramo della matematica che prende in considerazione le

combinazioni e le sistemazioni degli oggetti e che ha trovato riconoscimento negli ambienti accademici

solo negli ultimi cinquanta anni Si tratta di capire se Archimede fu in grado di calcolare il numero dei

diversi quadrati che si sarebbero potuti creare con i pezzi del puzzle Un gruppo di studiosi egrave attualmente

allrsquoopera sullo Stomachion alcuni rilevano che vi sono degli indizi che farebbero pensare che Archimede

avesse studiato i suoi teoremi geometrici proprio grazie allo Stomachion

VViittaa ddaa sscciieennzziiaattoo AArrcchhiimmeeddee ddii SSiirraaccuussaa

Laboratorio Vita da scienziato Archimede di Siracusa (in greco Ἀ ρχιμήδης Siracusa circa 287 aC

ndash Siracusa 212 aC) Chi egrave Archimede Ersquo un matematico astronomo fisico e inve ntore greco antico Si

hanno pochi dati certi sulla vita di Archimede ma da tutti viene riconosciu to come uno dei piugrave grandi

scienziato della storia umana infatti ha realizzato sia invenzioni e scoperte molto importanti in

matematica e fisica (dalla leva al galleggiamento dei corpi) sia soluzioni tecniche uti li e brillanti che ha

applicato alle sue macchine (dalla vite alle carrucole) In quale ambiente egrave nato e cresciuto (0 ‐ 30

anni) La data di nascita non egrave certa Viene di solito accettata quella del 287 aC sulla base

dellrsquoinformazione sulla su a morte allrsquoetagrave di settantaci nque anni Forse egrave figlio di un astronomo

siracusano di nome Fidia e ha eredit ato dal padre lrsquoamore per le scienze esatte Secondo Plutarco egrave

imparentato col re Gerone tesi controvers a ma supportata dalla stretta amicizia che li lega Di che cosa

si egrave occupato in gioventugrave (30 ‐ 40 anni) Dalle opere conservate e dalle testimonianze appare che fin da

giovane si egrave occupato di scienze matemati che lrsquoaritmetica la geometria piana la geometria solida ma

anche la meccanica lrsquoottica lrsquoidrostatic a lrsquoastronomia Mostra un grande interesse per le applicazioni

tecnologiche Trascorre qualche anno in Eg itto ad Alessandria drsquoEgitto stringe amicizia con il

matematico e astronomo Conone di Samo ricordato anche nelle sue opere

Percheacute la vita di Archimede egrave cosigrave utile (40

‐ 50 anni) Tornato a Siracusa entra una

corrispondenza con vari scienziati di

Alessandria tra i quali Dositeo ed

Eratostene al qual e dedica il trattato Il

metodo e rivolge il problema dei buoi del

sole Archimede si interessa della gestione

delle acqua e si impegna a progettare e

costruire macchine capaci di spostare grandi

pesi con piccole forze Lo storico Pappo di

Alessandria racconta che Archimede

entusiasta per le possibilit agrave offerte dalle

macchine che ha costruito abbia esclamato

laquodatemi un punto drsquoappoggio e vi solleverograve il

mondoraquo Come ha smascherato il finto oro

della corona (50 ‐ 60 anni) Vitruvio

racconta nel trattato Sui corpi galleggianti che Archimede ha iniziato a occuparsi di id rostatica percheacute il

re Gerone gli chiede di determinare se la sua corona egrave stata realizzata co n oro puro oppure il fabbro ha

utilizzando internamente altri metalli mettendo lrsquooro solo sulla superficie Sc opre come risolvere il

problema mentre fa un bagno notando che una sua immersione provoca un innalzamento del livello

dellrsquoacqua Questa osservazione lrsquoha reso cosigrave felice che esce nudo dallrsquoacqua esclamando ldquo ε ὕ ρηκα rdquo (

heacuteureka ho trovato ) Come ha aiutato Siracusa a co mbattere contro i romani (60 ‐ 70 anni) Vari

autori romani (Polibio Tito Livio Plutarco)

riferiscono che durante la seconda gue rra

punica su richiesta del re Gerone di Siracusa

alleato dei cartaginesi Archimede si dedica

(con minore entusiasmo ma co n significativi

successi) a realizzare macchine belliche per

aiutare la sua cittagrave a di fendersi dallrsquoattacco di

Roma Contro le legioni e la potente flotta di

Roma Siracusa dispone di poche migliaia di

uomini e il genio di un vecchio le macchine

di Archimede che scagliano massi ciclopici

una tempesta di ferro e raggi solari concentrati

contro le sessanta grandi navi a remi di Marco

Claudio Marcello Come egrave morto Archimede

(70 ‐ 75 anni) Nel 212 aC viene ucciso da un

soldato romano durante il sacco di Siracusa

quando viene conquistata Si narrano tre

differe nti versioni della morte di Archimede

Nella prima un soldato romano intima ad Archimede di seguirlo da Ma rcello al suo rifiuto di farlo prima

di finire di risolto il problema cui si sta applicando il soldato lo u ccide appena saputa la notizia

Marcello fa uccidere il soldato visto che il suo ordi ne egrave stato di catturarlo vivo per poter sfruttare la sue

capacitagrave Nella seconda un soldato romano si presenta per uccidere Archimede che lo prega invano di

lasciargli almeno terminare la dimostrazione nella quale era impegnato Nella terz a il soldato incontra

Archimede mentre sta portando a Marcello alcuni strumenti scientifici (meridiane sf ere e squadre) in

una casse tta il soldato pensando a una cassetta piena drsquooro lo uccide per impadronirsene In ogni caso

Marcello profondamente addolorato per la sua morte fa dare onorevole sepoltura allo scienziato

Archimede di Siracusa

Archimede di Siracusa

Gli studiosi sono uomini privilegiati pochi

di loro conoscono il Greco e la maggior

parte di loro non sa nientrsquoaltro

Quando Newton disserdquo Se ho visto piugrave di altri egrave percheacute

stavo sulle spalle dei giganti ldquo uno dei giganti che doveva avere in

mente era Archimede di Siracusa il piugrave brillante matematico fisico e

ingegnere dellrsquoantichitagrave Poco si sa della sua vita Nacque intorno al

287 aC a Siracusa figlio dellrsquoastronomo Fidia e a quanto pare

trascorse gran parte della sua vita a Siracusa Studiograve presso

lrsquoUniversitagrave di Alessandria sia sotto gli immediati successori di

Euclide sia sotto Euclide stesso Era un amico e parente di Gerone II

re di Siracusa per il quale progettograve le macchine da guerra utilizzate

contro gli aggressori romani e la cui corona fu coinvolta nella

scoperta della legge della spinta verso lrsquoalto che porta il suo nome

Gerone (correttamente) sospettograve che la sua corona non fosse drsquooro

puro e chiese ad Archimede di indagare senza danneggiarla Si sa che Archimede meditograve sul problema

mentre si faceva un bagno e trovograve la risposta non appena osservograve il livello dellrsquoacqua alzarsi sino a

sommergere il suo corpo GridandordquoEUREKA Ho trovatordquo dice questa leggenda corse nudo per le

strade di Siracusa per dire a Gerone della sua scoperta Il suo libro sui corpi galleggianti va ben oltre la

legge di Archimede e comprende complicati problemi di stabilitagrave Allo stesso modo SullrsquoEquilibrio dei

Piani va oltre il principio della leva e risolve complicati problemi come trovare il baricentro di un

segmento parabolico In queste come in altre sue opere Archimede utilizza lrsquoapproccio euclideo da un

insieme di semplici postulati deduce le sue affermazioni con logica impeccabile Come primo scrittore

che costantemente legograve matematica e fisica Archimede egrave diventato il padre della fisica come scienza La

fisica di Aristotele fu pubblicata un secolo prima ma egrave solo una lunga sfilza di speculazioni infondate

totalmente prive di qualsiasi relazione quantitativa Archimede egrave stato anche il primo ingegnere

scientifico lrsquouomo alla ricerca di principi generali che applicograve a specifici problemi drsquoingegneria La sua

applicazione del principio della leva per le macchine da guerra in difesa di Siracusa sono ben noti inoltre

applicograve ancora lo stesso principio per trovare il volume del segmento di una sfera con un metodo di

bilanciamento insolitamente bello di cui avremo piugrave da dire piugrave avanti in questo capitolo Ha usato lo

stesso metodo per determinare i volumi di altri solidi di rotazione (ellissoide paraboloide iperboloide) e

per trovare il centro di gravitagrave del semicerchio e dellrsquoemisfera Non egrave noto quante opere di Archimede

siano andate perdute (una delle piugrave importanti Il Metodo egrave venuta alla luce solo nel 1906) ma i suoi libri

rimasti tra cui Sulle Spirali Sulla Misurazione del Cerchio La Quadratura della Parabola Sui Conoidi e

Sferoidi Sulla Sfera e il Cilindro Il Libro dei Lemmi e altri sono ineguagliate da qualsiasi altro prodotto

dellrsquoantichitagrave

Il metodo di Archimede per calcolare

Non solo a causa dei risultati meravigliosi contenuti in questi libri ma anche percheacute Archimede fu un

pioniere del Metodo Partendo dal concetto di ldquougualerdquo arrivograve a quello di ldquoarbitrariamente vicino ardquo o

ldquotanto vicino quanto desideratordquo (che Euclide aveva enunciato ma non attivamente usato) e quindi

raggiunse la soglia del calcolo differenziale proprio come il suo metodo di quadratura della parabola

raggiunse la soglia del calcolo integrale (alcuni ritengono che la abbia superata)

Ersquo stato anche il primo a ideare un metodo per calcolare π con un qualunque grado desiderato di

precisione Esso si basa sul fatto che il perimetro di un poligono regolare di n lati inscritto in una

circonferenza egrave minore della circonferenza mentre il perimetro di un poligono simile circoscritto alla

circonferenza egrave maggiore della circonferenza (vedi figura sotto) Rendendo n sufficientemente grande i

due perimetri si avvicineranno alla circonferenza arbitrariamente uno per difetto lrsquoaltro per eccesso

Archimede iniziograve con un esagono e progressivamente raddoppiando il numero dei lati arrivograve a un

poligono di 96 lati il che diede

(1)

Ciograve che Archimede ha fatto senza trigonometria e senza notazione decimale (o altra notazione

posizionale) egrave unrsquoillustrazione della sua tenacia (vedi la traduzione di Heath ldquoSulla Misura del Cerchiordquo

proposizione 3 e seguenti) Tuttavia potremmo utilizzarle entrambe per procedere con i calcoli Se egrave

metagrave dellrsquoangolo sotteso da un lato di un poligono regolare di n lati nel centro della circonferenza allora

la lunghezza del lato inscritto egrave

(3)

e quella del lato circoscritto egrave

(4)

Un poligono regolare di 40 lati Non egrave stata disegnata la circonferenza interna

Per lrsquoesagono Archimede ha approssimato col valore leggermente inferiore di 265153 un poligono a

12 lati lo impegnograve nel rapporto che ha semplificato a e il poligono finale di 96 lati coinvolge una

radice quadrata di un numero che nel sistema decimale ha dieci cifre

Come sia riuscito ad estrarre le sue radici quadrate con tale accuratezza sempre avendo cura di

rispettare cosigrave sottilmente il lato piccolo o il lato grande come richiesto dai limiti egrave uno degli enigmi che

questo straordinario uomo ci ha lasciato Ma sembra che Archimede sia andato anche oltre Erone di

Alessandria nella sua Metrica (circa il 60 AC ma non scoperta fino al 1896) si riferisce a un lavoro di

Archimede che da allora egrave andato perso in cui Archimede dagrave i limiti

Tuttavia questo egrave evidentemente un errore che si deve essere insinuato durante la trascrizione

della copia perchegrave egrave molto piugrave scadente rispetto al limite superiore 3+17 trovato da Archimede in

precedenza Erone aggiungerdquo poicheacute questi numeri sono scomodi per le misurazioni p viene ridotto al

rapporto di numeri piugrave piccoli ossia 227

Archimede ha anche mostrato che una curva scoperta da Conone di Alessandria poteva come la

quadratrice di Ippia essere utilizzata per rettificare (e quindi quadrare) il cerchio La curva egrave oggi

chiamata la spirale di Archimede egrave definita come il luogo geometrico piano di un punto che si sposta di

moto rettilineo uniforme lungo un raggio mentre il raggio ruota di moto circolare uniforme attorno alla

sua estremitagrave Egrave questa la curva tracciata da una puntina che striscia radialmente verso lrsquoesterno su un

disco fonografico rotante Sia P un punto della spirale (vedi figura sopra) e la tangente in P intersechi la

perpendicolare alla retta OP in R Archimede mostrograve nel suo libro ldquoSulle Spiralirdquo che il segmento OR

(cioegrave la sottotangente polare nel punto P) egrave uguale alla lunghezza dellrsquoarco circolare PS di raggio OP

dove S egrave lrsquointersezione con il raggio iniziale OU

Rettificazione della circonferenza per mezzo della Spirale di Archimede

Tali furono alcuni dei contributi del piugrave grande genio dellrsquoantichitagrave alla storia del pi greco e della

quadratura del cerchio Anche se gli investigatori successivamente hanno trovato approssimazioni

numeriche migliori il metodo poligonale di Archimede egrave rimasto insuperato fino a quando diciannove

secoli piugrave tardi furono trovati in Inghilterra un prodotto infinito e una frazione continua infinita poco

prima che la scoperta del calcolo differenziale portasse a un approccio totalmente nuovo al problema

In fisica nessuno egrave giunto vicino alla statura di Archimede per piugrave di 18 secoli fino a quando

Galileo Galilei osograve sfidare le menzogne di Aristotele Le ombre di quelle menzogne sono con noi persino

adesso Crsquoegrave la storia della matematica che non scusa Archimede per essersi sporcato le mani con il lavoro

sperimentale Nel tardo 1968 ci viene detto che ldquoegli mise poco valore nei suoi congegni meccanicirdquo e

che rdquoconsiderava i suoi congegni e invenzioni come sordidamente commercialirdquo (1965) Commenti

simili si trovano in quasi tutti i libri sullrsquoargomento sostenendo lrsquoosservazione di Philip Guedella ldquoLa

storia si ripete gli storici si ripetono lrsquoun lrsquoaltrordquo Il mito ripetitivo egrave stato iniziato da Plutarco che nel

primo secolo dC ha scritto che

Considerando la meccanica e ogni arte utilitaristica come ignobile e volgare egli dette la sua

zelante devozione solo a quei soggetti la eleganza e sottigliezza sono non impastoiate dalle necessitagrave

della vita

Ora Plutarco non poteva forse sapere cosa Archimede avesse considerato ignobile e volgare il

suo credo era buono come il vostro o il mio Ma proprio come per diciannove secoli gli storici hanno

riecheggiato Plutarco cosigrave Plutarco fa eco allrsquoatteggiamento di Platone e Aristotele i padri dello

snobismo intellettuale Essi hanno insegnato che la sperimentazione era adatta solo per gli schiavi e che

le leggi della natura potevano essere dedotte soltanto dallrsquouomo di alto intelletto e Aristotele ha usato il

suo nobile intelletto per scoprire che i corpi piugrave pesanti cadono a terra piugrave velocemente che gli uomini

hanno piugrave denti rispetto alla donna che la Terra egrave al centro dellrsquouniverso che i corpi celesti non

cambiano mai e molto di piugrave di tale saggezza percheacute era uno scrittore molto prolifico Di fatto Aristotele

egrave stato sconfitto sul proprio terreno per mezzo della pura deduzione intellettuale dellrsquoosservazione

sperimentale Molto tempo prima che Galileo Galilei facesse cadere delle palle di legno e di piombo dalla

Torre pendente di Pisa egli pose la seguente domandardquo Se una pietra di 10 libbre cade 10 volte piugrave

velocemente di una da 1 libbra cosa succede se lego insieme le due pietre La combinazione cadragrave piugrave

velocemente della pietra di 10 libbre percheacute pesa 11 libbre o cadragrave piugrave lentamente percheacute la pietra da 1

libbra ritarderagrave la pietra da 10 libbrerdquo

Il commento di Plutarco sullrsquoatteggiamento di Archimede per lrsquoingegneria egrave una elaborazione

con nessun fondamento diverso dallo snobismo aristotelico

Archimede saluta Eratostene

Ti ho spedito nella precedente occasione alcuni dei teoremi scoperti da me semplicemente

scrivendoti gli enunciati e invitandoti a scoprire le dimostrazioni che a quel tempo non ti diedi

Poi le dimostrazioni di questi teoremi le ho scritte in questo libro e ora te lo invio Inoltre

vedendo in te come giagrave dissi uno studente volenteroso[hellip] ho ritenuto opportuno scriverti e spiegare in

dettaglio nello stesso libro la particolaritagrave di un certo metodo con cui saragrave possibile per te indagare alcuni

dei problemi di matematica mediante la meccanica Questa procedura egrave sono convinto non meno utile

persino delle stesse dimostrazioni dei teoremi percheacute certe cose prima mi sono diventate chiare con un

metodo meccanico malgrado dovessero essere dimostrate dopo tramite la geometria percheacute la loro

indagine col sopraccitato metodo non forniva una vera dimostrazione Ma quando abbiamo acquisito col

metodo alcune conoscenze dei problemi egrave la strada piugrave facile per fornire la dimostrazione anziccheacute

trovarla senza alcuna conoscenza precedente

Un chiaro esempio di questo metodo egrave lrsquoapplicazione di Archimede del principio della leva per

ricavare il volume di un segmento sferico oltre che dellrsquointera sfera come indicato nella figura di pag 71

Cosigrave grande valore dette Archimede a questa scoperta che chiese che una sfera inscritta in un cilindro

fosse incisa sulla sua lapide e questo egrave stato fatto percheacute anche se la lapide egrave andata perduta abbiamo

una descrizione della tomba da parte di Cicerone che la visitograve nel I secolo aC durante il suo incarico di

questore in Sicilia

Non egrave senza interesse ricordare come egrave stato recuperato Il Metodo Fu trovato nel 1906 a

Costantinopoli su un palinsesto che egrave una pergamena il cui testo originale egrave stato lavato (per recuperare

la pergamena) e sostituito con un testo diverso Se lrsquooriginale egrave stato lavato via non perfettamente esso

puograve essere ripristinato con una speciale fotografia In questo caso il testo originale era una copia del X

secolo di alcune opere note di Archimede ma pure includente lrsquounico testo superstite de Il Metodo Gli

zeloti medievali non sempre come il vescovo dello Yucatan o i Crociati a Costantinopoli bruciavano i

libri scientifici come opera del diavolo A volte essi pulivano il testo per la pergamena in modo che da

poterla sporcare con la loro immondizia superstiziosa

Il grande matematico fisico e filosofo Archimede di Siracusa1

Il personaggio e il contesto storico

Il contributo scientifico Il contributo metodologico e la

sua applicazione aziendale Bibliografia Allegato 1 Curricu lum Vitae

di Archimede da Siracusa

Il personaggio e il contesto storico Il grande matematico fisico e filosofo

Archimede di Siracusa (287 AC - 212 AC ) si

colloca storicamente secondo la tabella

riportata di seguito nel contesto culturale

sicuramente fecondo della Magna Grecia del

terzo secolo Avanti Cristo Il suo contributo

nel campo delle scienze applicate della fisica

e della matematica costituisce la base di

alcune delle tecnologie oggi di piugrave ampia

scala di utilizzo e a ragione di questo

contributo al sapere umano la sua effigie egrave ancora oggi riprodotta addirittura su i francobolli ed in passato

venne riprodo tta p r aticam ente in tutte le epoche storiche

1 IL CONTRIBUTO DELLA TECNOLOGIA APPLICATA AI SISTEMI ORGANIZZATI ARCHIMEDE DI SIRACUSA

Michel e Cibrari o MASTER MEDEA 2005-2006 Eni Corp orate Uni v ersity - Scuola Enrico Mattei

Questo ha consentito di conservare memoria nei secoli anche del suo aspetto fisico e non sono del suo

contributo cognitivo e scientifico peraltro forse piugrave im portante Il suo m e todo di calcolo delle aree e dei

volume ha anticipato di 2000 anni prima di Newton e Leibniz il calcolo integrale Per la straordinarietagrave

delle sue intuizi oni fisiche e per le applicazioni belliche d a lui r ealizza te Archimede egrave citato da tutti i

piugrave importa nti storiografi dellrsquoantichitagrave nei loro scritti

bull Diodorus Siculus (circa 1deg secolo A C ) Bibliotheke bull Athenaeus of Naucratis (circa 200 AC)

Deipnosophistae bull Eulero (1707-1783) XIV ldquoQuaestio nes Mathem aticaerdquo bull Vitruvio (circa 1deg secolo

AC) De Architectura bull Plutarco vari scritti I lavori di A r chimede che sono giunti fi no a noi d i rettam

e nte sono i seguenti bull DellrsquoEquilibrio dei pi ani (due libri) bull Quadratura della parabola bull Delle sfere e

dei cilindri (due libri) bull Delle spiral i bull Dei conoidi e degli sferoidi bull Dei corpi galleggianti (due libri)

bull Della misura del cerchio bull Il Palinsesto bull Il Metodo bull LrsquoArenario bull Lo Stomachion

Ci sono poi citazioni d i altri lavori di Archimede che son o invece andati perduti nei secoli lo storiografo

antico Pappus riporta di un lavoro sui Poliedri Semi -regolari Delle Leve e dellrsquoEquilibrio

Degli Sp ecchi Archimede venne ucciso nel 212 Avanti Cristo durante la presa della cittagrave di Siracusa da

parte dei Romani durante la seconda Guerra Punica quando tutti i suo i sforzi di tenerli a bada con le

macchine belliche erano falliti La storia della sua morte egrave raccontata da Plutarco e Cicerone in segno di

omaggio cercograve e trovo la tomba di Archimede nel 75 Avanti Cristo

Tutte le suddette opere furono tradotte in latino nel medioevo e studiate a fondo durante il Rinascimento

Ersquo singolare che lrsquoenorme contributo di Archimede sia s tato rivalutato e riscoperto solo dopo che Euclide

pubblicograve ldquoGli Elementirdquo Francobolli di vari paesi con lrsquoeffigie di Archimede

Archimede nei secoli Ersquo noto che nel mondo ellenistico in particolare fra la Magna Grecia e lrsquoEgitto

crsquoera un ricco e complesso sviluppo di ricerca scientifica con un im pegno anche nellrsquoevoluzione

tecnologica Strumenti di calcolo (o di rilevazione astronomica) non servivano solo per applicazioni

pratiche di ingegneria ma anche allrsquoevoluzione del pensiero filosofico Archimede si colloca in quel

contesto Quel processo si egrave in gran parte interrotto nel medioevo NellrsquoEuropa che si era formata dopo

le ldquoinvasioni barbaricherdquo il pensiero d e lla cultura classica non era d e l tutto perduto ma conservato solo

in alc une ristre tte com unitagrave monastiche o in societagrave segrete sospettate di eresia Le sperim entazioni

scientifiche e tecniche erano viste con diffidenza co me magie stregonerie o pratiche demoniache ndash me

ntre le corporazioni di ldquoarti e mestieri rdquo custodivano gelosamente i loro segreti e spesso assumevano il

carattere di comunitagrave esoteriche ed iniziatiche In queste epoche storiche gli scri tti di Archim ede sono

stati visti per le applicazioni tecnologiche suggerite ma non certo per il metodo scientifico che egli

propugnava Andiamo ora ad esaminare il con t ributo scien tifico di Archimede ed a vederne la estrema

attualitagrave con cui oggi vengono utilizzate le sue tecniche ed il suo approccio di problem-solving di stampo

galileano Il contributo scientifico Le intuizioni di Archimede spaziavano su campi diversificati Tra le

invenzioni e le app licazioni meccaniche attribuitegli si trov ano Il principio della leva La vite se nza fine

Il principio dell a spinta di galleggiamento e la stabilitagrave dei corpi nei fluidi di cui lo studio sul la

liquefazione e sui cedimenti del terreno Gli studi sulle sfere e sui cilindri I meccanismi in movimento un

esempio egrave lrsquo orologio ad a c q u a Tra le m acchine bellich e da lui d i segnate e co struite s i ricordano

specialmente Gli specchi ustori I ganci ed i bracci meccanici hellip e le rispettive applicazioni belliche tanto

tem u te dai Ro m a ni Tra gli studi di geometria si annoverano Studi sulle aree e sui volumi ldquoeccellentirdquo

I solidi regolari La spirale

Cicerone scopre la Tomba di Archimede

Olim dum quaestor Syracusis sum Archimedem insignem illus urbis civem a pulvere excitavi

Nam sepulcrum eius ignoratum a Syracusanis saeptum undique et vestitum vepribus ac dumetis

indagavi syracusani omnino negabant id esse sed ego tenebam senariolos inscriptos in eius monumento

ex quibus in summo Archimedis sepulcro sphaera cum cylindro posita erat ego autem omnia oculis

collustravi ( est enim apud portam sacram urbis magna frequentia sepulcrorum) et paululum postea

columellam non multum e dumis eminentem animadverti in ea erat sphaerae figura et cylindri Atque

ego statim syracusanis ( erant autem mecum principes civitatis) dixi ldquoEcce illud quod quaerebamrdquo

Immissi cum falcibus multi purgaverunt et aperuerunt locum deinde ad sepulcrum accessimus

Apparebat in illo epigramma fere dimidiatum erat illud Archimedis sepulcrumIta nobilis Siciliae civitas

ab homine Arpinati locum monumenti unius insignis civis sui didicit

Una volta mentre ero questore a Siracusa ho tirato fuori dalla polvere Archimede insigne

cittadino di quella cittagrave Infatti ho scoperto il suo sepolcro ignorato dai Siracusani ricoperto da ogni

parte da rovi e cespugli I siracusani affermavano che quello non esistesse ma io ricordavo dei senari

iscritti sulla sua tomba secondo i quali nella sommitagrave del sepolcro di Archimede vi era posta una sfera

con un cilindro Io tuttavia ho scrutato ogni cosa con lo sguardo (vi egrave infatti presso la porta sacra della

cittagrave una grande numero di sepolcri) e a poco a poco mi sono accorto di una colonnetta che non

sporgeva molto dai cespugli In quella vi era lrsquoeffigie di una sfera e di un cilindro

E io subito dissi ai Siracusani (erano infatti con me i cittadini piugrave ragguardevoli della cittagrave) ecco

quello che cercavo Entrati molti con le falci ripulirono e sgombrarono il luogo infine entrammo nel

sepolcro Appariva in quello unrsquo iscrizione quasi dimezzata era quello il sepolcro di Archimede Cosigrave la

celebre cittagrave della Sicilia conobbe il luogo del monumento di un suo insigne cittadino da un uomo di

Arpino

trattto da Tusculanae Disputationesrdquo di Cicerone

Trad Lo Giudice ndash Ferdico ndash Castellese IV H

Le opere di Archimede2

II 3 Archimede di Siracusa

Scarsi sono i particolari sulla vita di

Archimede ma possiamo ricavare qualche

informazione su di lui dalle storie di Plutarco Livio e

altri autori Plutarco descrivendo lrsquoassedio di Siracusa

da parte dei romani durante le Seconda Guerra Punica

ci dice che Archimede abbia inventato ingegnose

macchine da guerra per tenere lontano il nemico

catapulte [29] per lanciare pietre corde carrucole e

ganci per sollevare e schiantare le navi romane

dispositivi per sviluppare incendi sulle navi (come

questi dispositivi potessero essere realizzati e se

realmente Archimede sia stato in grado di realizzarli

ci egrave spiegato da Archimede e gli specchi ustori [30])

Durante il saccheggio della cittagrave Archimede venne

trucidato da un soldato romano nonostante che il

generale Marcello avesse dato lrsquoordine di salvare la

vita del matematico Poicheacute a quanto viene riferito

Archimede aveva settantacinque anni egrave molto

probabile che fosse nato nel 287 aC

Alcuni autori riportano che abbia visitato lrsquoEgitto e

che abbia studiato ad Alessandria con gli allievi di

Euclide fu probabilmente in questa occasione che

2 webunifeit

inventograve il dispositivo oggi noto come ldquovite di Archimederdquo [31] fatto di canali o tubi avvolti

elicoidalmente attorno ad un asse inclinato munito di una manovella per farlo girare

I vari resoconti rimastici sulla vita di Archimede sono drsquoaccordo nel dipingerlo come persona che

attribuiva scarso valore ai suoi congegni meccanici rispetto ai prodotti della sua attivitagrave intellettuale

Anche quando trattava di leve e di altre macchine semplici era molto piugrave interessato ai principi generali

che le governavano che alle loro applicazioni pratiche

Le opere di Archimede sopravvissute sono le seguenti Sullrsquoequilibrio dei piani

Di questo trattato in due libri fanno parte gli studi di Archimede sul principio della leva [32] Il

primo libro prende in considerazione figure rettilinee e si chiude con la discussione sui centri di gravitagrave

del triangolo e del trapezio Il secondo libro concentra lrsquoattenzione sul centro di gravitagrave di un segmento di

parabola e comprende una dimostrazione del fatto che questo centro si trova sul diametro del segmento e

divide questo diametro in segmenti che stanno nel rapporto di 3 a 2 Il procedimento usato per la

dimostrazione egrave il metodo di esaustione

Sui galleggianti

Questrsquoopera in due libri contiene dei risultati molto importanti Fra le proposizioni iniziali ve ne

sono due che formulano il noto principio della spinta idrostatica di Archimede [33]

Qualsiasi solido piugrave leggero di un fluido se collocato nel fluido si immergeragrave in misura tale che

il peso del solido saragrave uguale al peso del fluido spostato (Lib I Prop 5)

Un solido piugrave pesante di un fluido se collocato in esso discenderagrave in fondo al fluido e se si

peseragrave il solido nel fluido risulteragrave piugrave leggero del suo vero peso e la differenza di peso saragrave uguale al

peso del fluido spostato (Lib I Prop 7)

Oltre alle proprietagrave dei fluidi questo trattato contiene molte altre scoperte Quasi tutto il secondo

libro per esempio tratta della posizione di equilibrio di segmenti di paraboloidi quando siano immersi in

un fluido mostrando che la posizione di quiete dipende dal peso specifico relativo del paraboloide solido

e del fluido in cui galleggia

Sulla misura del cerchio

Questo piccolo trattato che egrave probabilmente incompleto nella forma in cui ci egrave pervenuto

comprende solo tre proposizioni ( egrave possibile vedere gli enunciati nel sito Sulla misura del cerchio [34])

una delle quali egrave la dimostrazione mediante il metodo di esaustione del teorema secondo cui lrsquoarea del

cerchio egrave uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come lati la circonferenza e il raggio del

cerchio stesso

Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra circonferenza di un cerchio e diametro Archimede diede

una ulteriore prova della sua abilitagrave nel calcolo Partendo dallrsquoesagono regolare inscritto egli calcolograve i

perimetri dei poligoni ottenuti raddoppiando successivamente il numero dei lati fino a raggiungere

novantasei lati Il risultato dal calcolo archimedeo relativo alla circonferenza era costituito da

unrsquoapprossimazione del valore di espressa dalla disuguaglianza che era un valore migliore di quello

ottenuto dagli egiziani e dai babilonesi (Va tenuto presente che neacute Archimede neacute alcun matematico

greco fece mai uso della notazione per indicare il valore del rapporto tra circonferenza di un cerchio e il

suo diametro)

Sulle spirali

Questo trattato fu molto ammirato ma poco letto poicheacute veniva considerato come la piugrave difficile

fra tutte le opere di Archimede La spirale viene definita come il luogo piano di un punto che partendo

dallrsquoestremo di un raggio o semiretta si sposta uniformemente lungo questo raggio mentre il raggio a sua

volta ruota uniformemente intorno al suo estremo

Lo studio che Archimede fece della spirale curva che attribuiva allrsquoamico Conone di Alessandria si

inquadrava nella scia delle ricerche tipiche della matematica greca volte a trovare le soluzioni dei tre

famosi problemi classici La curva si presta facilmente a effettuare molteplici sezioni dellrsquoangolo Come

nel caso della quadratrice perograve essa puograve anche servire a quadrare il cerchio come mostrograve lo stesso

Archimede

Nel punto P si tracci la tangente alla spirale OPR e questa tangente intersechi nel punto Q la retta che

passa per O ed egrave perpendicolare a OP (vedi Fig 1)

Archimede mostrava mediante una dimostrazione per duplice reductio ad absurdum che il

segmento OQ (noto come la sottotangente polare relativa al punto P) era uguale in lunghezza allrsquoarco di

cerchio PS del cerchio avente come centro O e come raggio OP

Se sulla spirale si sceglie un punto P come intersezione della spirale con la retta a 90deg in coordinate

polari la sottotangente polare OQ saragrave esattamente uguale a un quarto della circonferenza del cerchio di

raggio OP Pertanto lrsquointera circonferenza puograve essere costruita prendendo quattro volte il segmento OQ e

per mezzo del teorema di Archimede si trova un triangolo di area uguale allrsquoarea del cerchio Una

semplice trasformazione geometrica permetteragrave poi di sostituire il triangolo con un quadrato Ersquo cosigrave

effettuata la quadratura del cerchio

Gran parte dellrsquoopera di Archimede egrave di natura tale che oggi verrebbe inclusa in un corso di analisi

infinitesimale ciograve egrave particolarmente vero per il trattato Sulle spirali

Si puograve analizzare la spirale di Archimede e le curve ad essa associate visitando il sito La spirale di

Archimede [35] attraverso Java (un linguaggio di programmazione progettato per eseguire operazioni

evolute indipendente dalla macchina su cui si opera) si possono manipolare i dati ed ottenere tutte le

variazioni desiderate

Quadratura della parabola Al tempo in cui scriveva Archimede le sezioni coniche erano note da quasi un secolo e tuttavia

non era stato fatto nessun progresso nel calcolo delle loro aree Ci volle Archimede per quadrare una

sezione conica ossia un segmento della parabola e lo fece nella Proposizione 17 dellrsquoopera in cui la

quadratura costituiva lrsquoobiettivo principale La dimostrazione per mezzo del solito metodo di esaustione

egrave lunga e complessa comunque Archimede riuscigrave a dimostrare rigorosamente che lrsquoarea K di un

segmento parabolico APBQC egrave uguale a quattro terzi dellrsquoarea di un triangolo avente la stessa base e

uguale altezza

Nelle successive sette (e ultime) proposizioni Archimede dava una seconda ma diversa dimostrazione

del medesimo teorema Egli dimostrava che lrsquoarea del triangolo inscritto maggiore ABC con base AC egrave

quattro volte la somma dei corrispondenti triangoli inscritti aventi come basi rispettivamente AB e BC

Continuando il processo suggerito da questa relazione risulta chiaro che lrsquoarea H del segmento

parabolico ABC egrave data dalla somma della serie infinita che egrave Archimede non parla di somma della serie

infinita percheacute ai suoi tempi i processi non finiti venivano disapprovati Ricorrendo invece a una duplice

reductio ad absurdum Archimede dimostrava che H non poteva essere neacute maggiore neacute minore di

(Archimede come i suoi predecessori non usava il termine ldquoparabolardquo ma lrsquoespressione ldquoortotomordquo

ossia ldquosezione di un cono rettordquo)

Nel preambolo alla Quadratura della parabola incontriamo lrsquoassunzione che oggi egrave comunemente noto

come lrsquoassioma di Archimede

Lrsquoeccesso per cui la maggiore di due aree disuguali supera la minore puograve se sommato a se

stesso diventare superiore a qualsiasi area finita data

Nel sito La teoria della misura da Archimede a Bonaventura Cavalieri [36] si puograve esaminare

il procedimento di dimostrazione per la quadratura della parabola

Sui conoidi e sferoidi

Nonostante Archimede non sia stato in grado di trovare lrsquoarea di un segmento qualsiasi di ellisse

o di iperbole in questo trattato riuscigrave a determinare lrsquoarea di tutta lrsquoellisse

Le aree delle ellissi sono come i rettangoli formati dai loro assi (Prop 6)

Ciograve equivale a dire che lrsquoarea di unrsquoellisse egrave uguale allrsquoarea di un cerchio il cui raggio sia la media

geometrica dei semiassi dellrsquoellisse Inoltre mostrava come trovare il volume di segmenti tagliati da un

ellissoide da un paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno allrsquoasse principale Il

processo da lui usato egrave molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di integrazione differisce

principalmente per la mancanza del concetto di limite di una funzione

Sulla sfera e sul cilindro

Archimede volle che sulla sua tomba fosse incisa la figura che rappresentava una sfera inscritta in

un cilindro circolare retto la cui altezza egrave uguale al diametro della sfera ( per maggiori dettagli si veda La

lapide di Archimede [37]) egli aveva infatti scoperto e dimostrato che il rapporto tra i volumi del

cilindro e della sfera era uguale al rapporto tra le rispettive aree cioegrave era un rapporto di tre a due Inoltre

sembra che Archimede sia stato il primo a scoprire e a dimostrare che lrsquoarea di una sfera egrave quattro volte

lrsquoarea del suo cerchio massimo e che

la superficie di una qualsiasi calotta sferica egrave uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al

segmento tracciato dal vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa

Un teorema molto importante relativo alla superficie della sfera compare nella Proposizione 33

dopo una lunga serie di teoremi preliminari riguardanti la funzione seno

Se in un segmento di cerchio LrsquoALrsquo viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati

esclusa la base siano uguali e il loro numero sia pari come LKhellipAhellipKrsquoLrsquo ove A egrave il punto di mezzo del

segmento e se si tracciano le linee BBrsquo CCrsquo hellip parallele alla base LLrsquo e congiungenti coppie di punti

angolari allora (BBrsquo+CCrsquo+hellip+LM)AM=ArsquoBBA ove M egrave il punto di mezzo di LLrsquo e AArsquo egrave il diametro

passante per M

La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34 del Libro I

Qualsiasi sfera egrave uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della

sfera e lrsquoaltezza uguale al raggio della sfera

Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario ne segue il

rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto

LrsquoArenario

In questrsquoopera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri superiori a

nella notazione moderna Egli sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i

granelli di sabbia richiesti per riempire lrsquouniverso Ciograve era in risposta allrsquoipotesi avanzata da Aristarco di

Srsquoamo che la Terra si muovesse attorno al Sole

Ersquo possibile leggere lrsquointera opera tradotta in inglese visitando il sito lrsquoArenario [38]

Il libro dei lemmi

La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica superiore

Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari In questrsquoopera per esempio

troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del calzolaio) Questo egrave la regione delimitata da tre

semicerchi che sono reciprocamente tangenti a due a due lrsquoarea in questione egrave quella che si trova

allrsquointerno del semicerchio piugrave grande e allrsquoesterno dei semicerchi piugrave piccoli Vi egrave anche un teorema su

quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione archimedea dellrsquoangolo

Il libro dei lemmi non ci egrave pervenuto nel testo originale greco ma attraverso una traduzione araba che

piugrave tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum Di fatto questrsquoopera come ci egrave pervenuta

non puograve essere genuinamente archimedea percheacute il nome di Archimede viene citato piugrave volte nel corso

del testo Nondimeno anche se questo trattato non egrave altro che una miscellanea di teoremi attribuiti ad

Archimede dagli arabi lrsquoopera nella sua sostanza egrave probabilmente autentica

Il Metodo

Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di Archimede vi egrave

la scoperta fatta nel nostro secolo di uno dei suoi trattati piugrave importanti intitolato Il Metodo di cui si

erano perdute le tracce fin dai primi secoli dellrsquoEra cristiana fincheacute non venne riscoperto nel 1906

Qui Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini ldquomeccanicherdquo preliminari che lo

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

un numero finito una volta individuato il modo di indicare i grandi numeri necessari ad esprimerlo

Archimede riuscigrave a calcolare il numero di grani di sabbia necessari per riempire dapprima una sfera

del diametro di un dito successivamente di cento poi di uno stadio di diecimila stadi e cosigrave via

giungendo al risultato finale che lrsquouniverso (ristretto allora al sistema solare) per essere riempito

per intero necessiterebbe di ldquoappenardquo 1063 granelli di sabbia il calcolo matematico assicurava cosigrave la

sua superioritagrave su qualsiasi realtagrave fisica

Sabbia e acqua

Archimede egrave protagonista di numerose leggende di cui diverse hanno a che fare con lrsquoacqua e

con la sabbia La scoperta del principio della spinta idrostatica che ancora oggi chiamiamo principio di

Archimede viene dalla tradizione accostato al famoso bagno durante il quale lo scienziato avrebbe fatto

risuonare il suo immortale laquoEurekaraquo e delle varie versioni dellrsquoepisodio della morte di Archimede

alcune lo ritraggono mentre studia dei cerchi disegnandoli nella sabbia al cospetto del soldato romano

che lo uccideragrave Le esatte parole differiscono nei vari Autori che riportano lrsquoaneddoto ma concordano nel

descrivere lrsquoaccorato appello di uno studioso che anche nel momento estremo chiede che i suoi studi

non siano turbati dallrsquoirruzione della brutalitagrave della vita rappresentata qui icasticamente da un gladio

sguainato E non si puograve dimenticare lrsquoArenario trattato nel quale Archimede calcola il numero di granelli

di sabbia che sarebbero necessari a riempire lrsquointero universo Le intuizioni di Archimede sulla spinta

idrostatica sono di capitale importanza per lo sviluppo della fisica e dellrsquoingegneria il modo in cui un

corpo si comporta quando si trova immerso in un fluido egrave determinato proprio da questa interazione che

dipende largamente dalla conformazione della materia del solido il suo peso specifico il suo peso la sua

forma Anche il comportamento di semplici granelli di sabbia di diverse dimensioni e densitagrave immersi

nello stesso recipiente rendono immediatamente chiaro il significato della spinta di Archimede La

velocitagrave con cui ogni granello si deposita dipende dalle sue dimensioni e deriva dal bilanciamento che si

viene a creare fra le tre forze principali che agiscono su di esso la spinta idrostatica che agisce dal basso

verso lrsquoalto (scoperta da Archimede) la forza di gravitagrave e la forza di attrito causata dalla viscositagrave del

materiale

Una miriade

La numerazione greca era molto differente da quella che

attualmente impieghiamo e decisamente meno efficace I numeri

dei quali ci serviamo tutti i giorni vennero importati dagli arabi

insieme allo ldquozerordquo Dunque i greci ndash come del resto anche i romani

ndash non avendo a disposizione simboli dedicati esclusivamente alla

rappresentazione dei numeri impiegavano le lettere del loro

alfabeto Se questa soluzione appare a noi scarsamente pratica giagrave

in rapporto a piccole quantitagrave essa si presenta decisamente inadatta

a calcoli che riguardano i grandi numeri numeri che drsquoaltra parte

sono essenziali per lo svolgimento di indagini astronomiche sempre

piugrave accurate Con i trentasei caratteri di cui disponevano i greci

esprimevano tutti i numeri al di sotto di 10000 (ovvero una miriade) per esprimere numeri di decine di

migliaia ndash poi ndash apponevano la lettera ldquoMrdquo sotto il carattere rendendo il numero diecimila volte

maggiore NellrsquoArenario Archimede mostra di aver avuto unrsquoaltra brillante intuizione partigrave dal numero

10000 che chiamograve laquonumero di primo ordineraquo e - moltiplicandolo per se stesso - ottenne il numero di

centomilioni che chiamograve laquonumero di secondo ordineraquo Prendendo questo numero come unitagrave di nuovo

giunse ai numeri di terzo ordine con i quali riuscigrave a giungere ad un numero che altrimenti avrebbe

richiesto milioni di cifre Indubbiamente ottenne il vantaggio di poter semplificare i calcoli avendo reso

molto piugrave agile la scrittura dei numeri ma la portata dellrsquoilluminazione archimedea non si limita a questo

pur importante risultato Infatti Archimede nellrsquoArenario introduce un sistema di numerazione

equivalente non solo al nostro metodo posizionale ma anche allrsquoattuale notazione esponenziale

Archimede sostanzialmente precorre lrsquoidea di utilizzare i logaritmi per abbassare il rango delle

operazioni numeriche Le tavole dei logaritmi saranno pubblicate solamente nel 1614 fu allora che si

cominciograve a risolvere con lrsquoalgebra anche i problemi geometrici con la possibilitagrave di eseguire rapidamente

complessi calcoli numerici

SSttoommaacchhiioonn

Il ritrovamento e lo studio del ldquoCodice Crdquo ha riportato lrsquoattenzione su un antico gioco greco lo

Stomachion Il nome deriva da Stomachos che significa ldquoirritazionerdquo Nel codice rinvenuto e studiato da

Heiberg troviamo alcune pagine dedicate a questo curioso puzzle composto da quattordici pezzi tagliati

in forme geometriche (undici triangoli due quadrilateri e un pentagono) le cui possibili combinazioni

rappresentano immagini di vario genere che differiscono in base allrsquoabilitagrave del giocatore Lo Stomachion

presenta notevolissime affinitagrave con un antico gioco cinese il Tangram che significa ldquogioco delle sette

saggezzerdquo composta appunto di sette tasselli di diversa forma geometrica Quel che Heiberg poteacute leggere

in proposito con il solo ausilio di una lente di ingrandimento di fronte ad una pergamena deteriorata

sulla quale per di piugrave erano state in epoca medievale trascritte preghiere offrigrave pochi indizi sullrsquointeresse

di Archimede per lrsquoenigma Apparentemente si trattava di un semplice passatempo colto il che indusse

gli studiosi a non dare troppa importanza alle pagine sullo Stomachion Tuttavia con il riapparire del

Codice C nel 1998 e con il progredire delle tecniche applicate alla decifrazione degli antichi

manoscritti gli studi sullo Stomachion stanno progressivamente rettificando il punto di vista che lo

considera semplicemente un arguto ldquorompicapordquo Non crsquoegrave certezza che sia stato proprio il geniale

siracusano ad inventare lo Stomachion ed anzi si tende a ritenere che il supporto esistesse giagrave prima che

se ne occupasse Archimede Tuttavia il punto drsquointeresse non egrave stabilire o meno se Archimede sia stato

lrsquoideatore dello Stomachion egrave ben piugrave rilevante comprendere a che scopo se ne servisse In effetti gli

studi che attualmente si stanno conducendo sul Codice C stanno offrendo importanti novitagrave in

particolare relative alle tecniche di calcolo Una nuova lettura del codice dimostrerebbe che Archimede

si interessava di calcolo combinatorio un ramo della matematica che prende in considerazione le

combinazioni e le sistemazioni degli oggetti e che ha trovato riconoscimento negli ambienti accademici

solo negli ultimi cinquanta anni Si tratta di capire se Archimede fu in grado di calcolare il numero dei

diversi quadrati che si sarebbero potuti creare con i pezzi del puzzle Un gruppo di studiosi egrave attualmente

allrsquoopera sullo Stomachion alcuni rilevano che vi sono degli indizi che farebbero pensare che Archimede

avesse studiato i suoi teoremi geometrici proprio grazie allo Stomachion

VViittaa ddaa sscciieennzziiaattoo AArrcchhiimmeeddee ddii SSiirraaccuussaa

Laboratorio Vita da scienziato Archimede di Siracusa (in greco Ἀ ρχιμήδης Siracusa circa 287 aC

ndash Siracusa 212 aC) Chi egrave Archimede Ersquo un matematico astronomo fisico e inve ntore greco antico Si

hanno pochi dati certi sulla vita di Archimede ma da tutti viene riconosciu to come uno dei piugrave grandi

scienziato della storia umana infatti ha realizzato sia invenzioni e scoperte molto importanti in

matematica e fisica (dalla leva al galleggiamento dei corpi) sia soluzioni tecniche uti li e brillanti che ha

applicato alle sue macchine (dalla vite alle carrucole) In quale ambiente egrave nato e cresciuto (0 ‐ 30

anni) La data di nascita non egrave certa Viene di solito accettata quella del 287 aC sulla base

dellrsquoinformazione sulla su a morte allrsquoetagrave di settantaci nque anni Forse egrave figlio di un astronomo

siracusano di nome Fidia e ha eredit ato dal padre lrsquoamore per le scienze esatte Secondo Plutarco egrave

imparentato col re Gerone tesi controvers a ma supportata dalla stretta amicizia che li lega Di che cosa

si egrave occupato in gioventugrave (30 ‐ 40 anni) Dalle opere conservate e dalle testimonianze appare che fin da

giovane si egrave occupato di scienze matemati che lrsquoaritmetica la geometria piana la geometria solida ma

anche la meccanica lrsquoottica lrsquoidrostatic a lrsquoastronomia Mostra un grande interesse per le applicazioni

tecnologiche Trascorre qualche anno in Eg itto ad Alessandria drsquoEgitto stringe amicizia con il

matematico e astronomo Conone di Samo ricordato anche nelle sue opere

Percheacute la vita di Archimede egrave cosigrave utile (40

‐ 50 anni) Tornato a Siracusa entra una

corrispondenza con vari scienziati di

Alessandria tra i quali Dositeo ed

Eratostene al qual e dedica il trattato Il

metodo e rivolge il problema dei buoi del

sole Archimede si interessa della gestione

delle acqua e si impegna a progettare e

costruire macchine capaci di spostare grandi

pesi con piccole forze Lo storico Pappo di

Alessandria racconta che Archimede

entusiasta per le possibilit agrave offerte dalle

macchine che ha costruito abbia esclamato

laquodatemi un punto drsquoappoggio e vi solleverograve il

mondoraquo Come ha smascherato il finto oro

della corona (50 ‐ 60 anni) Vitruvio

racconta nel trattato Sui corpi galleggianti che Archimede ha iniziato a occuparsi di id rostatica percheacute il

re Gerone gli chiede di determinare se la sua corona egrave stata realizzata co n oro puro oppure il fabbro ha

utilizzando internamente altri metalli mettendo lrsquooro solo sulla superficie Sc opre come risolvere il

problema mentre fa un bagno notando che una sua immersione provoca un innalzamento del livello

dellrsquoacqua Questa osservazione lrsquoha reso cosigrave felice che esce nudo dallrsquoacqua esclamando ldquo ε ὕ ρηκα rdquo (

heacuteureka ho trovato ) Come ha aiutato Siracusa a co mbattere contro i romani (60 ‐ 70 anni) Vari

autori romani (Polibio Tito Livio Plutarco)

riferiscono che durante la seconda gue rra

punica su richiesta del re Gerone di Siracusa

alleato dei cartaginesi Archimede si dedica

(con minore entusiasmo ma co n significativi

successi) a realizzare macchine belliche per

aiutare la sua cittagrave a di fendersi dallrsquoattacco di

Roma Contro le legioni e la potente flotta di

Roma Siracusa dispone di poche migliaia di

uomini e il genio di un vecchio le macchine

di Archimede che scagliano massi ciclopici

una tempesta di ferro e raggi solari concentrati

contro le sessanta grandi navi a remi di Marco

Claudio Marcello Come egrave morto Archimede

(70 ‐ 75 anni) Nel 212 aC viene ucciso da un

soldato romano durante il sacco di Siracusa

quando viene conquistata Si narrano tre

differe nti versioni della morte di Archimede

Nella prima un soldato romano intima ad Archimede di seguirlo da Ma rcello al suo rifiuto di farlo prima

di finire di risolto il problema cui si sta applicando il soldato lo u ccide appena saputa la notizia

Marcello fa uccidere il soldato visto che il suo ordi ne egrave stato di catturarlo vivo per poter sfruttare la sue

capacitagrave Nella seconda un soldato romano si presenta per uccidere Archimede che lo prega invano di

lasciargli almeno terminare la dimostrazione nella quale era impegnato Nella terz a il soldato incontra

Archimede mentre sta portando a Marcello alcuni strumenti scientifici (meridiane sf ere e squadre) in

una casse tta il soldato pensando a una cassetta piena drsquooro lo uccide per impadronirsene In ogni caso

Marcello profondamente addolorato per la sua morte fa dare onorevole sepoltura allo scienziato

Archimede di Siracusa

Archimede di Siracusa

Gli studiosi sono uomini privilegiati pochi

di loro conoscono il Greco e la maggior

parte di loro non sa nientrsquoaltro

Quando Newton disserdquo Se ho visto piugrave di altri egrave percheacute

stavo sulle spalle dei giganti ldquo uno dei giganti che doveva avere in

mente era Archimede di Siracusa il piugrave brillante matematico fisico e

ingegnere dellrsquoantichitagrave Poco si sa della sua vita Nacque intorno al

287 aC a Siracusa figlio dellrsquoastronomo Fidia e a quanto pare

trascorse gran parte della sua vita a Siracusa Studiograve presso

lrsquoUniversitagrave di Alessandria sia sotto gli immediati successori di

Euclide sia sotto Euclide stesso Era un amico e parente di Gerone II

re di Siracusa per il quale progettograve le macchine da guerra utilizzate

contro gli aggressori romani e la cui corona fu coinvolta nella

scoperta della legge della spinta verso lrsquoalto che porta il suo nome

Gerone (correttamente) sospettograve che la sua corona non fosse drsquooro

puro e chiese ad Archimede di indagare senza danneggiarla Si sa che Archimede meditograve sul problema

mentre si faceva un bagno e trovograve la risposta non appena osservograve il livello dellrsquoacqua alzarsi sino a

sommergere il suo corpo GridandordquoEUREKA Ho trovatordquo dice questa leggenda corse nudo per le

strade di Siracusa per dire a Gerone della sua scoperta Il suo libro sui corpi galleggianti va ben oltre la

legge di Archimede e comprende complicati problemi di stabilitagrave Allo stesso modo SullrsquoEquilibrio dei

Piani va oltre il principio della leva e risolve complicati problemi come trovare il baricentro di un

segmento parabolico In queste come in altre sue opere Archimede utilizza lrsquoapproccio euclideo da un

insieme di semplici postulati deduce le sue affermazioni con logica impeccabile Come primo scrittore

che costantemente legograve matematica e fisica Archimede egrave diventato il padre della fisica come scienza La

fisica di Aristotele fu pubblicata un secolo prima ma egrave solo una lunga sfilza di speculazioni infondate

totalmente prive di qualsiasi relazione quantitativa Archimede egrave stato anche il primo ingegnere

scientifico lrsquouomo alla ricerca di principi generali che applicograve a specifici problemi drsquoingegneria La sua

applicazione del principio della leva per le macchine da guerra in difesa di Siracusa sono ben noti inoltre

applicograve ancora lo stesso principio per trovare il volume del segmento di una sfera con un metodo di

bilanciamento insolitamente bello di cui avremo piugrave da dire piugrave avanti in questo capitolo Ha usato lo

stesso metodo per determinare i volumi di altri solidi di rotazione (ellissoide paraboloide iperboloide) e

per trovare il centro di gravitagrave del semicerchio e dellrsquoemisfera Non egrave noto quante opere di Archimede

siano andate perdute (una delle piugrave importanti Il Metodo egrave venuta alla luce solo nel 1906) ma i suoi libri

rimasti tra cui Sulle Spirali Sulla Misurazione del Cerchio La Quadratura della Parabola Sui Conoidi e

Sferoidi Sulla Sfera e il Cilindro Il Libro dei Lemmi e altri sono ineguagliate da qualsiasi altro prodotto

dellrsquoantichitagrave

Il metodo di Archimede per calcolare

Non solo a causa dei risultati meravigliosi contenuti in questi libri ma anche percheacute Archimede fu un

pioniere del Metodo Partendo dal concetto di ldquougualerdquo arrivograve a quello di ldquoarbitrariamente vicino ardquo o

ldquotanto vicino quanto desideratordquo (che Euclide aveva enunciato ma non attivamente usato) e quindi

raggiunse la soglia del calcolo differenziale proprio come il suo metodo di quadratura della parabola

raggiunse la soglia del calcolo integrale (alcuni ritengono che la abbia superata)

Ersquo stato anche il primo a ideare un metodo per calcolare π con un qualunque grado desiderato di

precisione Esso si basa sul fatto che il perimetro di un poligono regolare di n lati inscritto in una

circonferenza egrave minore della circonferenza mentre il perimetro di un poligono simile circoscritto alla

circonferenza egrave maggiore della circonferenza (vedi figura sotto) Rendendo n sufficientemente grande i

due perimetri si avvicineranno alla circonferenza arbitrariamente uno per difetto lrsquoaltro per eccesso

Archimede iniziograve con un esagono e progressivamente raddoppiando il numero dei lati arrivograve a un

poligono di 96 lati il che diede

(1)

Ciograve che Archimede ha fatto senza trigonometria e senza notazione decimale (o altra notazione

posizionale) egrave unrsquoillustrazione della sua tenacia (vedi la traduzione di Heath ldquoSulla Misura del Cerchiordquo

proposizione 3 e seguenti) Tuttavia potremmo utilizzarle entrambe per procedere con i calcoli Se egrave

metagrave dellrsquoangolo sotteso da un lato di un poligono regolare di n lati nel centro della circonferenza allora

la lunghezza del lato inscritto egrave

(3)

e quella del lato circoscritto egrave

(4)

Un poligono regolare di 40 lati Non egrave stata disegnata la circonferenza interna

Per lrsquoesagono Archimede ha approssimato col valore leggermente inferiore di 265153 un poligono a

12 lati lo impegnograve nel rapporto che ha semplificato a e il poligono finale di 96 lati coinvolge una

radice quadrata di un numero che nel sistema decimale ha dieci cifre

Come sia riuscito ad estrarre le sue radici quadrate con tale accuratezza sempre avendo cura di

rispettare cosigrave sottilmente il lato piccolo o il lato grande come richiesto dai limiti egrave uno degli enigmi che

questo straordinario uomo ci ha lasciato Ma sembra che Archimede sia andato anche oltre Erone di

Alessandria nella sua Metrica (circa il 60 AC ma non scoperta fino al 1896) si riferisce a un lavoro di

Archimede che da allora egrave andato perso in cui Archimede dagrave i limiti

Tuttavia questo egrave evidentemente un errore che si deve essere insinuato durante la trascrizione

della copia perchegrave egrave molto piugrave scadente rispetto al limite superiore 3+17 trovato da Archimede in

precedenza Erone aggiungerdquo poicheacute questi numeri sono scomodi per le misurazioni p viene ridotto al

rapporto di numeri piugrave piccoli ossia 227

Archimede ha anche mostrato che una curva scoperta da Conone di Alessandria poteva come la

quadratrice di Ippia essere utilizzata per rettificare (e quindi quadrare) il cerchio La curva egrave oggi

chiamata la spirale di Archimede egrave definita come il luogo geometrico piano di un punto che si sposta di

moto rettilineo uniforme lungo un raggio mentre il raggio ruota di moto circolare uniforme attorno alla

sua estremitagrave Egrave questa la curva tracciata da una puntina che striscia radialmente verso lrsquoesterno su un

disco fonografico rotante Sia P un punto della spirale (vedi figura sopra) e la tangente in P intersechi la

perpendicolare alla retta OP in R Archimede mostrograve nel suo libro ldquoSulle Spiralirdquo che il segmento OR

(cioegrave la sottotangente polare nel punto P) egrave uguale alla lunghezza dellrsquoarco circolare PS di raggio OP

dove S egrave lrsquointersezione con il raggio iniziale OU

Rettificazione della circonferenza per mezzo della Spirale di Archimede

Tali furono alcuni dei contributi del piugrave grande genio dellrsquoantichitagrave alla storia del pi greco e della

quadratura del cerchio Anche se gli investigatori successivamente hanno trovato approssimazioni

numeriche migliori il metodo poligonale di Archimede egrave rimasto insuperato fino a quando diciannove

secoli piugrave tardi furono trovati in Inghilterra un prodotto infinito e una frazione continua infinita poco

prima che la scoperta del calcolo differenziale portasse a un approccio totalmente nuovo al problema

In fisica nessuno egrave giunto vicino alla statura di Archimede per piugrave di 18 secoli fino a quando

Galileo Galilei osograve sfidare le menzogne di Aristotele Le ombre di quelle menzogne sono con noi persino

adesso Crsquoegrave la storia della matematica che non scusa Archimede per essersi sporcato le mani con il lavoro

sperimentale Nel tardo 1968 ci viene detto che ldquoegli mise poco valore nei suoi congegni meccanicirdquo e

che rdquoconsiderava i suoi congegni e invenzioni come sordidamente commercialirdquo (1965) Commenti

simili si trovano in quasi tutti i libri sullrsquoargomento sostenendo lrsquoosservazione di Philip Guedella ldquoLa

storia si ripete gli storici si ripetono lrsquoun lrsquoaltrordquo Il mito ripetitivo egrave stato iniziato da Plutarco che nel

primo secolo dC ha scritto che

Considerando la meccanica e ogni arte utilitaristica come ignobile e volgare egli dette la sua

zelante devozione solo a quei soggetti la eleganza e sottigliezza sono non impastoiate dalle necessitagrave

della vita

Ora Plutarco non poteva forse sapere cosa Archimede avesse considerato ignobile e volgare il

suo credo era buono come il vostro o il mio Ma proprio come per diciannove secoli gli storici hanno

riecheggiato Plutarco cosigrave Plutarco fa eco allrsquoatteggiamento di Platone e Aristotele i padri dello

snobismo intellettuale Essi hanno insegnato che la sperimentazione era adatta solo per gli schiavi e che

le leggi della natura potevano essere dedotte soltanto dallrsquouomo di alto intelletto e Aristotele ha usato il

suo nobile intelletto per scoprire che i corpi piugrave pesanti cadono a terra piugrave velocemente che gli uomini

hanno piugrave denti rispetto alla donna che la Terra egrave al centro dellrsquouniverso che i corpi celesti non

cambiano mai e molto di piugrave di tale saggezza percheacute era uno scrittore molto prolifico Di fatto Aristotele

egrave stato sconfitto sul proprio terreno per mezzo della pura deduzione intellettuale dellrsquoosservazione

sperimentale Molto tempo prima che Galileo Galilei facesse cadere delle palle di legno e di piombo dalla

Torre pendente di Pisa egli pose la seguente domandardquo Se una pietra di 10 libbre cade 10 volte piugrave

velocemente di una da 1 libbra cosa succede se lego insieme le due pietre La combinazione cadragrave piugrave

velocemente della pietra di 10 libbre percheacute pesa 11 libbre o cadragrave piugrave lentamente percheacute la pietra da 1

libbra ritarderagrave la pietra da 10 libbrerdquo

Il commento di Plutarco sullrsquoatteggiamento di Archimede per lrsquoingegneria egrave una elaborazione

con nessun fondamento diverso dallo snobismo aristotelico

Archimede saluta Eratostene

Ti ho spedito nella precedente occasione alcuni dei teoremi scoperti da me semplicemente

scrivendoti gli enunciati e invitandoti a scoprire le dimostrazioni che a quel tempo non ti diedi

Poi le dimostrazioni di questi teoremi le ho scritte in questo libro e ora te lo invio Inoltre

vedendo in te come giagrave dissi uno studente volenteroso[hellip] ho ritenuto opportuno scriverti e spiegare in

dettaglio nello stesso libro la particolaritagrave di un certo metodo con cui saragrave possibile per te indagare alcuni

dei problemi di matematica mediante la meccanica Questa procedura egrave sono convinto non meno utile

persino delle stesse dimostrazioni dei teoremi percheacute certe cose prima mi sono diventate chiare con un

metodo meccanico malgrado dovessero essere dimostrate dopo tramite la geometria percheacute la loro

indagine col sopraccitato metodo non forniva una vera dimostrazione Ma quando abbiamo acquisito col

metodo alcune conoscenze dei problemi egrave la strada piugrave facile per fornire la dimostrazione anziccheacute

trovarla senza alcuna conoscenza precedente

Un chiaro esempio di questo metodo egrave lrsquoapplicazione di Archimede del principio della leva per

ricavare il volume di un segmento sferico oltre che dellrsquointera sfera come indicato nella figura di pag 71

Cosigrave grande valore dette Archimede a questa scoperta che chiese che una sfera inscritta in un cilindro

fosse incisa sulla sua lapide e questo egrave stato fatto percheacute anche se la lapide egrave andata perduta abbiamo

una descrizione della tomba da parte di Cicerone che la visitograve nel I secolo aC durante il suo incarico di

questore in Sicilia

Non egrave senza interesse ricordare come egrave stato recuperato Il Metodo Fu trovato nel 1906 a

Costantinopoli su un palinsesto che egrave una pergamena il cui testo originale egrave stato lavato (per recuperare

la pergamena) e sostituito con un testo diverso Se lrsquooriginale egrave stato lavato via non perfettamente esso

puograve essere ripristinato con una speciale fotografia In questo caso il testo originale era una copia del X

secolo di alcune opere note di Archimede ma pure includente lrsquounico testo superstite de Il Metodo Gli

zeloti medievali non sempre come il vescovo dello Yucatan o i Crociati a Costantinopoli bruciavano i

libri scientifici come opera del diavolo A volte essi pulivano il testo per la pergamena in modo che da

poterla sporcare con la loro immondizia superstiziosa

Il grande matematico fisico e filosofo Archimede di Siracusa1

Il personaggio e il contesto storico

Il contributo scientifico Il contributo metodologico e la

sua applicazione aziendale Bibliografia Allegato 1 Curricu lum Vitae

di Archimede da Siracusa

Il personaggio e il contesto storico Il grande matematico fisico e filosofo

Archimede di Siracusa (287 AC - 212 AC ) si

colloca storicamente secondo la tabella

riportata di seguito nel contesto culturale

sicuramente fecondo della Magna Grecia del

terzo secolo Avanti Cristo Il suo contributo

nel campo delle scienze applicate della fisica

e della matematica costituisce la base di

alcune delle tecnologie oggi di piugrave ampia

scala di utilizzo e a ragione di questo

contributo al sapere umano la sua effigie egrave ancora oggi riprodotta addirittura su i francobolli ed in passato

venne riprodo tta p r aticam ente in tutte le epoche storiche

1 IL CONTRIBUTO DELLA TECNOLOGIA APPLICATA AI SISTEMI ORGANIZZATI ARCHIMEDE DI SIRACUSA

Michel e Cibrari o MASTER MEDEA 2005-2006 Eni Corp orate Uni v ersity - Scuola Enrico Mattei

Questo ha consentito di conservare memoria nei secoli anche del suo aspetto fisico e non sono del suo

contributo cognitivo e scientifico peraltro forse piugrave im portante Il suo m e todo di calcolo delle aree e dei

volume ha anticipato di 2000 anni prima di Newton e Leibniz il calcolo integrale Per la straordinarietagrave

delle sue intuizi oni fisiche e per le applicazioni belliche d a lui r ealizza te Archimede egrave citato da tutti i

piugrave importa nti storiografi dellrsquoantichitagrave nei loro scritti

bull Diodorus Siculus (circa 1deg secolo A C ) Bibliotheke bull Athenaeus of Naucratis (circa 200 AC)

Deipnosophistae bull Eulero (1707-1783) XIV ldquoQuaestio nes Mathem aticaerdquo bull Vitruvio (circa 1deg secolo

AC) De Architectura bull Plutarco vari scritti I lavori di A r chimede che sono giunti fi no a noi d i rettam

e nte sono i seguenti bull DellrsquoEquilibrio dei pi ani (due libri) bull Quadratura della parabola bull Delle sfere e

dei cilindri (due libri) bull Delle spiral i bull Dei conoidi e degli sferoidi bull Dei corpi galleggianti (due libri)

bull Della misura del cerchio bull Il Palinsesto bull Il Metodo bull LrsquoArenario bull Lo Stomachion

Ci sono poi citazioni d i altri lavori di Archimede che son o invece andati perduti nei secoli lo storiografo

antico Pappus riporta di un lavoro sui Poliedri Semi -regolari Delle Leve e dellrsquoEquilibrio

Degli Sp ecchi Archimede venne ucciso nel 212 Avanti Cristo durante la presa della cittagrave di Siracusa da

parte dei Romani durante la seconda Guerra Punica quando tutti i suo i sforzi di tenerli a bada con le

macchine belliche erano falliti La storia della sua morte egrave raccontata da Plutarco e Cicerone in segno di

omaggio cercograve e trovo la tomba di Archimede nel 75 Avanti Cristo

Tutte le suddette opere furono tradotte in latino nel medioevo e studiate a fondo durante il Rinascimento

Ersquo singolare che lrsquoenorme contributo di Archimede sia s tato rivalutato e riscoperto solo dopo che Euclide

pubblicograve ldquoGli Elementirdquo Francobolli di vari paesi con lrsquoeffigie di Archimede

Archimede nei secoli Ersquo noto che nel mondo ellenistico in particolare fra la Magna Grecia e lrsquoEgitto

crsquoera un ricco e complesso sviluppo di ricerca scientifica con un im pegno anche nellrsquoevoluzione

tecnologica Strumenti di calcolo (o di rilevazione astronomica) non servivano solo per applicazioni

pratiche di ingegneria ma anche allrsquoevoluzione del pensiero filosofico Archimede si colloca in quel

contesto Quel processo si egrave in gran parte interrotto nel medioevo NellrsquoEuropa che si era formata dopo

le ldquoinvasioni barbaricherdquo il pensiero d e lla cultura classica non era d e l tutto perduto ma conservato solo

in alc une ristre tte com unitagrave monastiche o in societagrave segrete sospettate di eresia Le sperim entazioni

scientifiche e tecniche erano viste con diffidenza co me magie stregonerie o pratiche demoniache ndash me

ntre le corporazioni di ldquoarti e mestieri rdquo custodivano gelosamente i loro segreti e spesso assumevano il

carattere di comunitagrave esoteriche ed iniziatiche In queste epoche storiche gli scri tti di Archim ede sono

stati visti per le applicazioni tecnologiche suggerite ma non certo per il metodo scientifico che egli

propugnava Andiamo ora ad esaminare il con t ributo scien tifico di Archimede ed a vederne la estrema

attualitagrave con cui oggi vengono utilizzate le sue tecniche ed il suo approccio di problem-solving di stampo

galileano Il contributo scientifico Le intuizioni di Archimede spaziavano su campi diversificati Tra le

invenzioni e le app licazioni meccaniche attribuitegli si trov ano Il principio della leva La vite se nza fine

Il principio dell a spinta di galleggiamento e la stabilitagrave dei corpi nei fluidi di cui lo studio sul la

liquefazione e sui cedimenti del terreno Gli studi sulle sfere e sui cilindri I meccanismi in movimento un

esempio egrave lrsquo orologio ad a c q u a Tra le m acchine bellich e da lui d i segnate e co struite s i ricordano

specialmente Gli specchi ustori I ganci ed i bracci meccanici hellip e le rispettive applicazioni belliche tanto

tem u te dai Ro m a ni Tra gli studi di geometria si annoverano Studi sulle aree e sui volumi ldquoeccellentirdquo

I solidi regolari La spirale

Cicerone scopre la Tomba di Archimede

Olim dum quaestor Syracusis sum Archimedem insignem illus urbis civem a pulvere excitavi

Nam sepulcrum eius ignoratum a Syracusanis saeptum undique et vestitum vepribus ac dumetis

indagavi syracusani omnino negabant id esse sed ego tenebam senariolos inscriptos in eius monumento

ex quibus in summo Archimedis sepulcro sphaera cum cylindro posita erat ego autem omnia oculis

collustravi ( est enim apud portam sacram urbis magna frequentia sepulcrorum) et paululum postea

columellam non multum e dumis eminentem animadverti in ea erat sphaerae figura et cylindri Atque

ego statim syracusanis ( erant autem mecum principes civitatis) dixi ldquoEcce illud quod quaerebamrdquo

Immissi cum falcibus multi purgaverunt et aperuerunt locum deinde ad sepulcrum accessimus

Apparebat in illo epigramma fere dimidiatum erat illud Archimedis sepulcrumIta nobilis Siciliae civitas

ab homine Arpinati locum monumenti unius insignis civis sui didicit

Una volta mentre ero questore a Siracusa ho tirato fuori dalla polvere Archimede insigne

cittadino di quella cittagrave Infatti ho scoperto il suo sepolcro ignorato dai Siracusani ricoperto da ogni

parte da rovi e cespugli I siracusani affermavano che quello non esistesse ma io ricordavo dei senari

iscritti sulla sua tomba secondo i quali nella sommitagrave del sepolcro di Archimede vi era posta una sfera

con un cilindro Io tuttavia ho scrutato ogni cosa con lo sguardo (vi egrave infatti presso la porta sacra della

cittagrave una grande numero di sepolcri) e a poco a poco mi sono accorto di una colonnetta che non

sporgeva molto dai cespugli In quella vi era lrsquoeffigie di una sfera e di un cilindro

E io subito dissi ai Siracusani (erano infatti con me i cittadini piugrave ragguardevoli della cittagrave) ecco

quello che cercavo Entrati molti con le falci ripulirono e sgombrarono il luogo infine entrammo nel

sepolcro Appariva in quello unrsquo iscrizione quasi dimezzata era quello il sepolcro di Archimede Cosigrave la

celebre cittagrave della Sicilia conobbe il luogo del monumento di un suo insigne cittadino da un uomo di

Arpino

trattto da Tusculanae Disputationesrdquo di Cicerone

Trad Lo Giudice ndash Ferdico ndash Castellese IV H

Le opere di Archimede2

II 3 Archimede di Siracusa

Scarsi sono i particolari sulla vita di

Archimede ma possiamo ricavare qualche

informazione su di lui dalle storie di Plutarco Livio e

altri autori Plutarco descrivendo lrsquoassedio di Siracusa

da parte dei romani durante le Seconda Guerra Punica

ci dice che Archimede abbia inventato ingegnose

macchine da guerra per tenere lontano il nemico

catapulte [29] per lanciare pietre corde carrucole e

ganci per sollevare e schiantare le navi romane

dispositivi per sviluppare incendi sulle navi (come

questi dispositivi potessero essere realizzati e se

realmente Archimede sia stato in grado di realizzarli

ci egrave spiegato da Archimede e gli specchi ustori [30])

Durante il saccheggio della cittagrave Archimede venne

trucidato da un soldato romano nonostante che il

generale Marcello avesse dato lrsquoordine di salvare la

vita del matematico Poicheacute a quanto viene riferito

Archimede aveva settantacinque anni egrave molto

probabile che fosse nato nel 287 aC

Alcuni autori riportano che abbia visitato lrsquoEgitto e

che abbia studiato ad Alessandria con gli allievi di

Euclide fu probabilmente in questa occasione che

2 webunifeit

inventograve il dispositivo oggi noto come ldquovite di Archimederdquo [31] fatto di canali o tubi avvolti

elicoidalmente attorno ad un asse inclinato munito di una manovella per farlo girare

I vari resoconti rimastici sulla vita di Archimede sono drsquoaccordo nel dipingerlo come persona che

attribuiva scarso valore ai suoi congegni meccanici rispetto ai prodotti della sua attivitagrave intellettuale

Anche quando trattava di leve e di altre macchine semplici era molto piugrave interessato ai principi generali

che le governavano che alle loro applicazioni pratiche

Le opere di Archimede sopravvissute sono le seguenti Sullrsquoequilibrio dei piani

Di questo trattato in due libri fanno parte gli studi di Archimede sul principio della leva [32] Il

primo libro prende in considerazione figure rettilinee e si chiude con la discussione sui centri di gravitagrave

del triangolo e del trapezio Il secondo libro concentra lrsquoattenzione sul centro di gravitagrave di un segmento di

parabola e comprende una dimostrazione del fatto che questo centro si trova sul diametro del segmento e

divide questo diametro in segmenti che stanno nel rapporto di 3 a 2 Il procedimento usato per la

dimostrazione egrave il metodo di esaustione

Sui galleggianti

Questrsquoopera in due libri contiene dei risultati molto importanti Fra le proposizioni iniziali ve ne

sono due che formulano il noto principio della spinta idrostatica di Archimede [33]

Qualsiasi solido piugrave leggero di un fluido se collocato nel fluido si immergeragrave in misura tale che

il peso del solido saragrave uguale al peso del fluido spostato (Lib I Prop 5)

Un solido piugrave pesante di un fluido se collocato in esso discenderagrave in fondo al fluido e se si

peseragrave il solido nel fluido risulteragrave piugrave leggero del suo vero peso e la differenza di peso saragrave uguale al

peso del fluido spostato (Lib I Prop 7)

Oltre alle proprietagrave dei fluidi questo trattato contiene molte altre scoperte Quasi tutto il secondo

libro per esempio tratta della posizione di equilibrio di segmenti di paraboloidi quando siano immersi in

un fluido mostrando che la posizione di quiete dipende dal peso specifico relativo del paraboloide solido

e del fluido in cui galleggia

Sulla misura del cerchio

Questo piccolo trattato che egrave probabilmente incompleto nella forma in cui ci egrave pervenuto

comprende solo tre proposizioni ( egrave possibile vedere gli enunciati nel sito Sulla misura del cerchio [34])

una delle quali egrave la dimostrazione mediante il metodo di esaustione del teorema secondo cui lrsquoarea del

cerchio egrave uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come lati la circonferenza e il raggio del

cerchio stesso

Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra circonferenza di un cerchio e diametro Archimede diede

una ulteriore prova della sua abilitagrave nel calcolo Partendo dallrsquoesagono regolare inscritto egli calcolograve i

perimetri dei poligoni ottenuti raddoppiando successivamente il numero dei lati fino a raggiungere

novantasei lati Il risultato dal calcolo archimedeo relativo alla circonferenza era costituito da

unrsquoapprossimazione del valore di espressa dalla disuguaglianza che era un valore migliore di quello

ottenuto dagli egiziani e dai babilonesi (Va tenuto presente che neacute Archimede neacute alcun matematico

greco fece mai uso della notazione per indicare il valore del rapporto tra circonferenza di un cerchio e il

suo diametro)

Sulle spirali

Questo trattato fu molto ammirato ma poco letto poicheacute veniva considerato come la piugrave difficile

fra tutte le opere di Archimede La spirale viene definita come il luogo piano di un punto che partendo

dallrsquoestremo di un raggio o semiretta si sposta uniformemente lungo questo raggio mentre il raggio a sua

volta ruota uniformemente intorno al suo estremo

Lo studio che Archimede fece della spirale curva che attribuiva allrsquoamico Conone di Alessandria si

inquadrava nella scia delle ricerche tipiche della matematica greca volte a trovare le soluzioni dei tre

famosi problemi classici La curva si presta facilmente a effettuare molteplici sezioni dellrsquoangolo Come

nel caso della quadratrice perograve essa puograve anche servire a quadrare il cerchio come mostrograve lo stesso

Archimede

Nel punto P si tracci la tangente alla spirale OPR e questa tangente intersechi nel punto Q la retta che

passa per O ed egrave perpendicolare a OP (vedi Fig 1)

Archimede mostrava mediante una dimostrazione per duplice reductio ad absurdum che il

segmento OQ (noto come la sottotangente polare relativa al punto P) era uguale in lunghezza allrsquoarco di

cerchio PS del cerchio avente come centro O e come raggio OP

Se sulla spirale si sceglie un punto P come intersezione della spirale con la retta a 90deg in coordinate

polari la sottotangente polare OQ saragrave esattamente uguale a un quarto della circonferenza del cerchio di

raggio OP Pertanto lrsquointera circonferenza puograve essere costruita prendendo quattro volte il segmento OQ e

per mezzo del teorema di Archimede si trova un triangolo di area uguale allrsquoarea del cerchio Una

semplice trasformazione geometrica permetteragrave poi di sostituire il triangolo con un quadrato Ersquo cosigrave

effettuata la quadratura del cerchio

Gran parte dellrsquoopera di Archimede egrave di natura tale che oggi verrebbe inclusa in un corso di analisi

infinitesimale ciograve egrave particolarmente vero per il trattato Sulle spirali

Si puograve analizzare la spirale di Archimede e le curve ad essa associate visitando il sito La spirale di

Archimede [35] attraverso Java (un linguaggio di programmazione progettato per eseguire operazioni

evolute indipendente dalla macchina su cui si opera) si possono manipolare i dati ed ottenere tutte le

variazioni desiderate

Quadratura della parabola Al tempo in cui scriveva Archimede le sezioni coniche erano note da quasi un secolo e tuttavia

non era stato fatto nessun progresso nel calcolo delle loro aree Ci volle Archimede per quadrare una

sezione conica ossia un segmento della parabola e lo fece nella Proposizione 17 dellrsquoopera in cui la

quadratura costituiva lrsquoobiettivo principale La dimostrazione per mezzo del solito metodo di esaustione

egrave lunga e complessa comunque Archimede riuscigrave a dimostrare rigorosamente che lrsquoarea K di un

segmento parabolico APBQC egrave uguale a quattro terzi dellrsquoarea di un triangolo avente la stessa base e

uguale altezza

Nelle successive sette (e ultime) proposizioni Archimede dava una seconda ma diversa dimostrazione

del medesimo teorema Egli dimostrava che lrsquoarea del triangolo inscritto maggiore ABC con base AC egrave

quattro volte la somma dei corrispondenti triangoli inscritti aventi come basi rispettivamente AB e BC

Continuando il processo suggerito da questa relazione risulta chiaro che lrsquoarea H del segmento

parabolico ABC egrave data dalla somma della serie infinita che egrave Archimede non parla di somma della serie

infinita percheacute ai suoi tempi i processi non finiti venivano disapprovati Ricorrendo invece a una duplice

reductio ad absurdum Archimede dimostrava che H non poteva essere neacute maggiore neacute minore di

(Archimede come i suoi predecessori non usava il termine ldquoparabolardquo ma lrsquoespressione ldquoortotomordquo

ossia ldquosezione di un cono rettordquo)

Nel preambolo alla Quadratura della parabola incontriamo lrsquoassunzione che oggi egrave comunemente noto

come lrsquoassioma di Archimede

Lrsquoeccesso per cui la maggiore di due aree disuguali supera la minore puograve se sommato a se

stesso diventare superiore a qualsiasi area finita data

Nel sito La teoria della misura da Archimede a Bonaventura Cavalieri [36] si puograve esaminare

il procedimento di dimostrazione per la quadratura della parabola

Sui conoidi e sferoidi

Nonostante Archimede non sia stato in grado di trovare lrsquoarea di un segmento qualsiasi di ellisse

o di iperbole in questo trattato riuscigrave a determinare lrsquoarea di tutta lrsquoellisse

Le aree delle ellissi sono come i rettangoli formati dai loro assi (Prop 6)

Ciograve equivale a dire che lrsquoarea di unrsquoellisse egrave uguale allrsquoarea di un cerchio il cui raggio sia la media

geometrica dei semiassi dellrsquoellisse Inoltre mostrava come trovare il volume di segmenti tagliati da un

ellissoide da un paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno allrsquoasse principale Il

processo da lui usato egrave molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di integrazione differisce

principalmente per la mancanza del concetto di limite di una funzione

Sulla sfera e sul cilindro

Archimede volle che sulla sua tomba fosse incisa la figura che rappresentava una sfera inscritta in

un cilindro circolare retto la cui altezza egrave uguale al diametro della sfera ( per maggiori dettagli si veda La

lapide di Archimede [37]) egli aveva infatti scoperto e dimostrato che il rapporto tra i volumi del

cilindro e della sfera era uguale al rapporto tra le rispettive aree cioegrave era un rapporto di tre a due Inoltre

sembra che Archimede sia stato il primo a scoprire e a dimostrare che lrsquoarea di una sfera egrave quattro volte

lrsquoarea del suo cerchio massimo e che

la superficie di una qualsiasi calotta sferica egrave uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al

segmento tracciato dal vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa

Un teorema molto importante relativo alla superficie della sfera compare nella Proposizione 33

dopo una lunga serie di teoremi preliminari riguardanti la funzione seno

Se in un segmento di cerchio LrsquoALrsquo viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati

esclusa la base siano uguali e il loro numero sia pari come LKhellipAhellipKrsquoLrsquo ove A egrave il punto di mezzo del

segmento e se si tracciano le linee BBrsquo CCrsquo hellip parallele alla base LLrsquo e congiungenti coppie di punti

angolari allora (BBrsquo+CCrsquo+hellip+LM)AM=ArsquoBBA ove M egrave il punto di mezzo di LLrsquo e AArsquo egrave il diametro

passante per M

La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34 del Libro I

Qualsiasi sfera egrave uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della

sfera e lrsquoaltezza uguale al raggio della sfera

Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario ne segue il

rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto

LrsquoArenario

In questrsquoopera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri superiori a

nella notazione moderna Egli sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i

granelli di sabbia richiesti per riempire lrsquouniverso Ciograve era in risposta allrsquoipotesi avanzata da Aristarco di

Srsquoamo che la Terra si muovesse attorno al Sole

Ersquo possibile leggere lrsquointera opera tradotta in inglese visitando il sito lrsquoArenario [38]

Il libro dei lemmi

La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica superiore

Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari In questrsquoopera per esempio

troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del calzolaio) Questo egrave la regione delimitata da tre

semicerchi che sono reciprocamente tangenti a due a due lrsquoarea in questione egrave quella che si trova

allrsquointerno del semicerchio piugrave grande e allrsquoesterno dei semicerchi piugrave piccoli Vi egrave anche un teorema su

quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione archimedea dellrsquoangolo

Il libro dei lemmi non ci egrave pervenuto nel testo originale greco ma attraverso una traduzione araba che

piugrave tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum Di fatto questrsquoopera come ci egrave pervenuta

non puograve essere genuinamente archimedea percheacute il nome di Archimede viene citato piugrave volte nel corso

del testo Nondimeno anche se questo trattato non egrave altro che una miscellanea di teoremi attribuiti ad

Archimede dagli arabi lrsquoopera nella sua sostanza egrave probabilmente autentica

Il Metodo

Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di Archimede vi egrave

la scoperta fatta nel nostro secolo di uno dei suoi trattati piugrave importanti intitolato Il Metodo di cui si

erano perdute le tracce fin dai primi secoli dellrsquoEra cristiana fincheacute non venne riscoperto nel 1906

Qui Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini ldquomeccanicherdquo preliminari che lo

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

Una miriade

La numerazione greca era molto differente da quella che

attualmente impieghiamo e decisamente meno efficace I numeri

dei quali ci serviamo tutti i giorni vennero importati dagli arabi

insieme allo ldquozerordquo Dunque i greci ndash come del resto anche i romani

ndash non avendo a disposizione simboli dedicati esclusivamente alla

rappresentazione dei numeri impiegavano le lettere del loro

alfabeto Se questa soluzione appare a noi scarsamente pratica giagrave

in rapporto a piccole quantitagrave essa si presenta decisamente inadatta

a calcoli che riguardano i grandi numeri numeri che drsquoaltra parte

sono essenziali per lo svolgimento di indagini astronomiche sempre

piugrave accurate Con i trentasei caratteri di cui disponevano i greci

esprimevano tutti i numeri al di sotto di 10000 (ovvero una miriade) per esprimere numeri di decine di

migliaia ndash poi ndash apponevano la lettera ldquoMrdquo sotto il carattere rendendo il numero diecimila volte

maggiore NellrsquoArenario Archimede mostra di aver avuto unrsquoaltra brillante intuizione partigrave dal numero

10000 che chiamograve laquonumero di primo ordineraquo e - moltiplicandolo per se stesso - ottenne il numero di

centomilioni che chiamograve laquonumero di secondo ordineraquo Prendendo questo numero come unitagrave di nuovo

giunse ai numeri di terzo ordine con i quali riuscigrave a giungere ad un numero che altrimenti avrebbe

richiesto milioni di cifre Indubbiamente ottenne il vantaggio di poter semplificare i calcoli avendo reso

molto piugrave agile la scrittura dei numeri ma la portata dellrsquoilluminazione archimedea non si limita a questo

pur importante risultato Infatti Archimede nellrsquoArenario introduce un sistema di numerazione

equivalente non solo al nostro metodo posizionale ma anche allrsquoattuale notazione esponenziale

Archimede sostanzialmente precorre lrsquoidea di utilizzare i logaritmi per abbassare il rango delle

operazioni numeriche Le tavole dei logaritmi saranno pubblicate solamente nel 1614 fu allora che si

cominciograve a risolvere con lrsquoalgebra anche i problemi geometrici con la possibilitagrave di eseguire rapidamente

complessi calcoli numerici

SSttoommaacchhiioonn

Il ritrovamento e lo studio del ldquoCodice Crdquo ha riportato lrsquoattenzione su un antico gioco greco lo

Stomachion Il nome deriva da Stomachos che significa ldquoirritazionerdquo Nel codice rinvenuto e studiato da

Heiberg troviamo alcune pagine dedicate a questo curioso puzzle composto da quattordici pezzi tagliati

in forme geometriche (undici triangoli due quadrilateri e un pentagono) le cui possibili combinazioni

rappresentano immagini di vario genere che differiscono in base allrsquoabilitagrave del giocatore Lo Stomachion

presenta notevolissime affinitagrave con un antico gioco cinese il Tangram che significa ldquogioco delle sette

saggezzerdquo composta appunto di sette tasselli di diversa forma geometrica Quel che Heiberg poteacute leggere

in proposito con il solo ausilio di una lente di ingrandimento di fronte ad una pergamena deteriorata

sulla quale per di piugrave erano state in epoca medievale trascritte preghiere offrigrave pochi indizi sullrsquointeresse

di Archimede per lrsquoenigma Apparentemente si trattava di un semplice passatempo colto il che indusse

gli studiosi a non dare troppa importanza alle pagine sullo Stomachion Tuttavia con il riapparire del

Codice C nel 1998 e con il progredire delle tecniche applicate alla decifrazione degli antichi

manoscritti gli studi sullo Stomachion stanno progressivamente rettificando il punto di vista che lo

considera semplicemente un arguto ldquorompicapordquo Non crsquoegrave certezza che sia stato proprio il geniale

siracusano ad inventare lo Stomachion ed anzi si tende a ritenere che il supporto esistesse giagrave prima che

se ne occupasse Archimede Tuttavia il punto drsquointeresse non egrave stabilire o meno se Archimede sia stato

lrsquoideatore dello Stomachion egrave ben piugrave rilevante comprendere a che scopo se ne servisse In effetti gli

studi che attualmente si stanno conducendo sul Codice C stanno offrendo importanti novitagrave in

particolare relative alle tecniche di calcolo Una nuova lettura del codice dimostrerebbe che Archimede

si interessava di calcolo combinatorio un ramo della matematica che prende in considerazione le

combinazioni e le sistemazioni degli oggetti e che ha trovato riconoscimento negli ambienti accademici

solo negli ultimi cinquanta anni Si tratta di capire se Archimede fu in grado di calcolare il numero dei

diversi quadrati che si sarebbero potuti creare con i pezzi del puzzle Un gruppo di studiosi egrave attualmente

allrsquoopera sullo Stomachion alcuni rilevano che vi sono degli indizi che farebbero pensare che Archimede

avesse studiato i suoi teoremi geometrici proprio grazie allo Stomachion

VViittaa ddaa sscciieennzziiaattoo AArrcchhiimmeeddee ddii SSiirraaccuussaa

Laboratorio Vita da scienziato Archimede di Siracusa (in greco Ἀ ρχιμήδης Siracusa circa 287 aC

ndash Siracusa 212 aC) Chi egrave Archimede Ersquo un matematico astronomo fisico e inve ntore greco antico Si

hanno pochi dati certi sulla vita di Archimede ma da tutti viene riconosciu to come uno dei piugrave grandi

scienziato della storia umana infatti ha realizzato sia invenzioni e scoperte molto importanti in

matematica e fisica (dalla leva al galleggiamento dei corpi) sia soluzioni tecniche uti li e brillanti che ha

applicato alle sue macchine (dalla vite alle carrucole) In quale ambiente egrave nato e cresciuto (0 ‐ 30

anni) La data di nascita non egrave certa Viene di solito accettata quella del 287 aC sulla base

dellrsquoinformazione sulla su a morte allrsquoetagrave di settantaci nque anni Forse egrave figlio di un astronomo

siracusano di nome Fidia e ha eredit ato dal padre lrsquoamore per le scienze esatte Secondo Plutarco egrave

imparentato col re Gerone tesi controvers a ma supportata dalla stretta amicizia che li lega Di che cosa

si egrave occupato in gioventugrave (30 ‐ 40 anni) Dalle opere conservate e dalle testimonianze appare che fin da

giovane si egrave occupato di scienze matemati che lrsquoaritmetica la geometria piana la geometria solida ma

anche la meccanica lrsquoottica lrsquoidrostatic a lrsquoastronomia Mostra un grande interesse per le applicazioni

tecnologiche Trascorre qualche anno in Eg itto ad Alessandria drsquoEgitto stringe amicizia con il

matematico e astronomo Conone di Samo ricordato anche nelle sue opere

Percheacute la vita di Archimede egrave cosigrave utile (40

‐ 50 anni) Tornato a Siracusa entra una

corrispondenza con vari scienziati di

Alessandria tra i quali Dositeo ed

Eratostene al qual e dedica il trattato Il

metodo e rivolge il problema dei buoi del

sole Archimede si interessa della gestione

delle acqua e si impegna a progettare e

costruire macchine capaci di spostare grandi

pesi con piccole forze Lo storico Pappo di

Alessandria racconta che Archimede

entusiasta per le possibilit agrave offerte dalle

macchine che ha costruito abbia esclamato

laquodatemi un punto drsquoappoggio e vi solleverograve il

mondoraquo Come ha smascherato il finto oro

della corona (50 ‐ 60 anni) Vitruvio

racconta nel trattato Sui corpi galleggianti che Archimede ha iniziato a occuparsi di id rostatica percheacute il

re Gerone gli chiede di determinare se la sua corona egrave stata realizzata co n oro puro oppure il fabbro ha

utilizzando internamente altri metalli mettendo lrsquooro solo sulla superficie Sc opre come risolvere il

problema mentre fa un bagno notando che una sua immersione provoca un innalzamento del livello

dellrsquoacqua Questa osservazione lrsquoha reso cosigrave felice che esce nudo dallrsquoacqua esclamando ldquo ε ὕ ρηκα rdquo (

heacuteureka ho trovato ) Come ha aiutato Siracusa a co mbattere contro i romani (60 ‐ 70 anni) Vari

autori romani (Polibio Tito Livio Plutarco)

riferiscono che durante la seconda gue rra

punica su richiesta del re Gerone di Siracusa

alleato dei cartaginesi Archimede si dedica

(con minore entusiasmo ma co n significativi

successi) a realizzare macchine belliche per

aiutare la sua cittagrave a di fendersi dallrsquoattacco di

Roma Contro le legioni e la potente flotta di

Roma Siracusa dispone di poche migliaia di

uomini e il genio di un vecchio le macchine

di Archimede che scagliano massi ciclopici

una tempesta di ferro e raggi solari concentrati

contro le sessanta grandi navi a remi di Marco

Claudio Marcello Come egrave morto Archimede

(70 ‐ 75 anni) Nel 212 aC viene ucciso da un

soldato romano durante il sacco di Siracusa

quando viene conquistata Si narrano tre

differe nti versioni della morte di Archimede

Nella prima un soldato romano intima ad Archimede di seguirlo da Ma rcello al suo rifiuto di farlo prima

di finire di risolto il problema cui si sta applicando il soldato lo u ccide appena saputa la notizia

Marcello fa uccidere il soldato visto che il suo ordi ne egrave stato di catturarlo vivo per poter sfruttare la sue

capacitagrave Nella seconda un soldato romano si presenta per uccidere Archimede che lo prega invano di

lasciargli almeno terminare la dimostrazione nella quale era impegnato Nella terz a il soldato incontra

Archimede mentre sta portando a Marcello alcuni strumenti scientifici (meridiane sf ere e squadre) in

una casse tta il soldato pensando a una cassetta piena drsquooro lo uccide per impadronirsene In ogni caso

Marcello profondamente addolorato per la sua morte fa dare onorevole sepoltura allo scienziato

Archimede di Siracusa

Archimede di Siracusa

Gli studiosi sono uomini privilegiati pochi

di loro conoscono il Greco e la maggior

parte di loro non sa nientrsquoaltro

Quando Newton disserdquo Se ho visto piugrave di altri egrave percheacute

stavo sulle spalle dei giganti ldquo uno dei giganti che doveva avere in

mente era Archimede di Siracusa il piugrave brillante matematico fisico e

ingegnere dellrsquoantichitagrave Poco si sa della sua vita Nacque intorno al

287 aC a Siracusa figlio dellrsquoastronomo Fidia e a quanto pare

trascorse gran parte della sua vita a Siracusa Studiograve presso

lrsquoUniversitagrave di Alessandria sia sotto gli immediati successori di

Euclide sia sotto Euclide stesso Era un amico e parente di Gerone II

re di Siracusa per il quale progettograve le macchine da guerra utilizzate

contro gli aggressori romani e la cui corona fu coinvolta nella

scoperta della legge della spinta verso lrsquoalto che porta il suo nome

Gerone (correttamente) sospettograve che la sua corona non fosse drsquooro

puro e chiese ad Archimede di indagare senza danneggiarla Si sa che Archimede meditograve sul problema

mentre si faceva un bagno e trovograve la risposta non appena osservograve il livello dellrsquoacqua alzarsi sino a

sommergere il suo corpo GridandordquoEUREKA Ho trovatordquo dice questa leggenda corse nudo per le

strade di Siracusa per dire a Gerone della sua scoperta Il suo libro sui corpi galleggianti va ben oltre la

legge di Archimede e comprende complicati problemi di stabilitagrave Allo stesso modo SullrsquoEquilibrio dei

Piani va oltre il principio della leva e risolve complicati problemi come trovare il baricentro di un

segmento parabolico In queste come in altre sue opere Archimede utilizza lrsquoapproccio euclideo da un

insieme di semplici postulati deduce le sue affermazioni con logica impeccabile Come primo scrittore

che costantemente legograve matematica e fisica Archimede egrave diventato il padre della fisica come scienza La

fisica di Aristotele fu pubblicata un secolo prima ma egrave solo una lunga sfilza di speculazioni infondate

totalmente prive di qualsiasi relazione quantitativa Archimede egrave stato anche il primo ingegnere

scientifico lrsquouomo alla ricerca di principi generali che applicograve a specifici problemi drsquoingegneria La sua

applicazione del principio della leva per le macchine da guerra in difesa di Siracusa sono ben noti inoltre

applicograve ancora lo stesso principio per trovare il volume del segmento di una sfera con un metodo di

bilanciamento insolitamente bello di cui avremo piugrave da dire piugrave avanti in questo capitolo Ha usato lo

stesso metodo per determinare i volumi di altri solidi di rotazione (ellissoide paraboloide iperboloide) e

per trovare il centro di gravitagrave del semicerchio e dellrsquoemisfera Non egrave noto quante opere di Archimede

siano andate perdute (una delle piugrave importanti Il Metodo egrave venuta alla luce solo nel 1906) ma i suoi libri

rimasti tra cui Sulle Spirali Sulla Misurazione del Cerchio La Quadratura della Parabola Sui Conoidi e

Sferoidi Sulla Sfera e il Cilindro Il Libro dei Lemmi e altri sono ineguagliate da qualsiasi altro prodotto

dellrsquoantichitagrave

Il metodo di Archimede per calcolare

Non solo a causa dei risultati meravigliosi contenuti in questi libri ma anche percheacute Archimede fu un

pioniere del Metodo Partendo dal concetto di ldquougualerdquo arrivograve a quello di ldquoarbitrariamente vicino ardquo o

ldquotanto vicino quanto desideratordquo (che Euclide aveva enunciato ma non attivamente usato) e quindi

raggiunse la soglia del calcolo differenziale proprio come il suo metodo di quadratura della parabola

raggiunse la soglia del calcolo integrale (alcuni ritengono che la abbia superata)

Ersquo stato anche il primo a ideare un metodo per calcolare π con un qualunque grado desiderato di

precisione Esso si basa sul fatto che il perimetro di un poligono regolare di n lati inscritto in una

circonferenza egrave minore della circonferenza mentre il perimetro di un poligono simile circoscritto alla

circonferenza egrave maggiore della circonferenza (vedi figura sotto) Rendendo n sufficientemente grande i

due perimetri si avvicineranno alla circonferenza arbitrariamente uno per difetto lrsquoaltro per eccesso

Archimede iniziograve con un esagono e progressivamente raddoppiando il numero dei lati arrivograve a un

poligono di 96 lati il che diede

(1)

Ciograve che Archimede ha fatto senza trigonometria e senza notazione decimale (o altra notazione

posizionale) egrave unrsquoillustrazione della sua tenacia (vedi la traduzione di Heath ldquoSulla Misura del Cerchiordquo

proposizione 3 e seguenti) Tuttavia potremmo utilizzarle entrambe per procedere con i calcoli Se egrave

metagrave dellrsquoangolo sotteso da un lato di un poligono regolare di n lati nel centro della circonferenza allora

la lunghezza del lato inscritto egrave

(3)

e quella del lato circoscritto egrave

(4)

Un poligono regolare di 40 lati Non egrave stata disegnata la circonferenza interna

Per lrsquoesagono Archimede ha approssimato col valore leggermente inferiore di 265153 un poligono a

12 lati lo impegnograve nel rapporto che ha semplificato a e il poligono finale di 96 lati coinvolge una

radice quadrata di un numero che nel sistema decimale ha dieci cifre

Come sia riuscito ad estrarre le sue radici quadrate con tale accuratezza sempre avendo cura di

rispettare cosigrave sottilmente il lato piccolo o il lato grande come richiesto dai limiti egrave uno degli enigmi che

questo straordinario uomo ci ha lasciato Ma sembra che Archimede sia andato anche oltre Erone di

Alessandria nella sua Metrica (circa il 60 AC ma non scoperta fino al 1896) si riferisce a un lavoro di

Archimede che da allora egrave andato perso in cui Archimede dagrave i limiti

Tuttavia questo egrave evidentemente un errore che si deve essere insinuato durante la trascrizione

della copia perchegrave egrave molto piugrave scadente rispetto al limite superiore 3+17 trovato da Archimede in

precedenza Erone aggiungerdquo poicheacute questi numeri sono scomodi per le misurazioni p viene ridotto al

rapporto di numeri piugrave piccoli ossia 227

Archimede ha anche mostrato che una curva scoperta da Conone di Alessandria poteva come la

quadratrice di Ippia essere utilizzata per rettificare (e quindi quadrare) il cerchio La curva egrave oggi

chiamata la spirale di Archimede egrave definita come il luogo geometrico piano di un punto che si sposta di

moto rettilineo uniforme lungo un raggio mentre il raggio ruota di moto circolare uniforme attorno alla

sua estremitagrave Egrave questa la curva tracciata da una puntina che striscia radialmente verso lrsquoesterno su un

disco fonografico rotante Sia P un punto della spirale (vedi figura sopra) e la tangente in P intersechi la

perpendicolare alla retta OP in R Archimede mostrograve nel suo libro ldquoSulle Spiralirdquo che il segmento OR

(cioegrave la sottotangente polare nel punto P) egrave uguale alla lunghezza dellrsquoarco circolare PS di raggio OP

dove S egrave lrsquointersezione con il raggio iniziale OU

Rettificazione della circonferenza per mezzo della Spirale di Archimede

Tali furono alcuni dei contributi del piugrave grande genio dellrsquoantichitagrave alla storia del pi greco e della

quadratura del cerchio Anche se gli investigatori successivamente hanno trovato approssimazioni

numeriche migliori il metodo poligonale di Archimede egrave rimasto insuperato fino a quando diciannove

secoli piugrave tardi furono trovati in Inghilterra un prodotto infinito e una frazione continua infinita poco

prima che la scoperta del calcolo differenziale portasse a un approccio totalmente nuovo al problema

In fisica nessuno egrave giunto vicino alla statura di Archimede per piugrave di 18 secoli fino a quando

Galileo Galilei osograve sfidare le menzogne di Aristotele Le ombre di quelle menzogne sono con noi persino

adesso Crsquoegrave la storia della matematica che non scusa Archimede per essersi sporcato le mani con il lavoro

sperimentale Nel tardo 1968 ci viene detto che ldquoegli mise poco valore nei suoi congegni meccanicirdquo e

che rdquoconsiderava i suoi congegni e invenzioni come sordidamente commercialirdquo (1965) Commenti

simili si trovano in quasi tutti i libri sullrsquoargomento sostenendo lrsquoosservazione di Philip Guedella ldquoLa

storia si ripete gli storici si ripetono lrsquoun lrsquoaltrordquo Il mito ripetitivo egrave stato iniziato da Plutarco che nel

primo secolo dC ha scritto che

Considerando la meccanica e ogni arte utilitaristica come ignobile e volgare egli dette la sua

zelante devozione solo a quei soggetti la eleganza e sottigliezza sono non impastoiate dalle necessitagrave

della vita

Ora Plutarco non poteva forse sapere cosa Archimede avesse considerato ignobile e volgare il

suo credo era buono come il vostro o il mio Ma proprio come per diciannove secoli gli storici hanno

riecheggiato Plutarco cosigrave Plutarco fa eco allrsquoatteggiamento di Platone e Aristotele i padri dello

snobismo intellettuale Essi hanno insegnato che la sperimentazione era adatta solo per gli schiavi e che

le leggi della natura potevano essere dedotte soltanto dallrsquouomo di alto intelletto e Aristotele ha usato il

suo nobile intelletto per scoprire che i corpi piugrave pesanti cadono a terra piugrave velocemente che gli uomini

hanno piugrave denti rispetto alla donna che la Terra egrave al centro dellrsquouniverso che i corpi celesti non

cambiano mai e molto di piugrave di tale saggezza percheacute era uno scrittore molto prolifico Di fatto Aristotele

egrave stato sconfitto sul proprio terreno per mezzo della pura deduzione intellettuale dellrsquoosservazione

sperimentale Molto tempo prima che Galileo Galilei facesse cadere delle palle di legno e di piombo dalla

Torre pendente di Pisa egli pose la seguente domandardquo Se una pietra di 10 libbre cade 10 volte piugrave

velocemente di una da 1 libbra cosa succede se lego insieme le due pietre La combinazione cadragrave piugrave

velocemente della pietra di 10 libbre percheacute pesa 11 libbre o cadragrave piugrave lentamente percheacute la pietra da 1

libbra ritarderagrave la pietra da 10 libbrerdquo

Il commento di Plutarco sullrsquoatteggiamento di Archimede per lrsquoingegneria egrave una elaborazione

con nessun fondamento diverso dallo snobismo aristotelico

Archimede saluta Eratostene

Ti ho spedito nella precedente occasione alcuni dei teoremi scoperti da me semplicemente

scrivendoti gli enunciati e invitandoti a scoprire le dimostrazioni che a quel tempo non ti diedi

Poi le dimostrazioni di questi teoremi le ho scritte in questo libro e ora te lo invio Inoltre

vedendo in te come giagrave dissi uno studente volenteroso[hellip] ho ritenuto opportuno scriverti e spiegare in

dettaglio nello stesso libro la particolaritagrave di un certo metodo con cui saragrave possibile per te indagare alcuni

dei problemi di matematica mediante la meccanica Questa procedura egrave sono convinto non meno utile

persino delle stesse dimostrazioni dei teoremi percheacute certe cose prima mi sono diventate chiare con un

metodo meccanico malgrado dovessero essere dimostrate dopo tramite la geometria percheacute la loro

indagine col sopraccitato metodo non forniva una vera dimostrazione Ma quando abbiamo acquisito col

metodo alcune conoscenze dei problemi egrave la strada piugrave facile per fornire la dimostrazione anziccheacute

trovarla senza alcuna conoscenza precedente

Un chiaro esempio di questo metodo egrave lrsquoapplicazione di Archimede del principio della leva per

ricavare il volume di un segmento sferico oltre che dellrsquointera sfera come indicato nella figura di pag 71

Cosigrave grande valore dette Archimede a questa scoperta che chiese che una sfera inscritta in un cilindro

fosse incisa sulla sua lapide e questo egrave stato fatto percheacute anche se la lapide egrave andata perduta abbiamo

una descrizione della tomba da parte di Cicerone che la visitograve nel I secolo aC durante il suo incarico di

questore in Sicilia

Non egrave senza interesse ricordare come egrave stato recuperato Il Metodo Fu trovato nel 1906 a

Costantinopoli su un palinsesto che egrave una pergamena il cui testo originale egrave stato lavato (per recuperare

la pergamena) e sostituito con un testo diverso Se lrsquooriginale egrave stato lavato via non perfettamente esso

puograve essere ripristinato con una speciale fotografia In questo caso il testo originale era una copia del X

secolo di alcune opere note di Archimede ma pure includente lrsquounico testo superstite de Il Metodo Gli

zeloti medievali non sempre come il vescovo dello Yucatan o i Crociati a Costantinopoli bruciavano i

libri scientifici come opera del diavolo A volte essi pulivano il testo per la pergamena in modo che da

poterla sporcare con la loro immondizia superstiziosa

Il grande matematico fisico e filosofo Archimede di Siracusa1

Il personaggio e il contesto storico

Il contributo scientifico Il contributo metodologico e la

sua applicazione aziendale Bibliografia Allegato 1 Curricu lum Vitae

di Archimede da Siracusa

Il personaggio e il contesto storico Il grande matematico fisico e filosofo

Archimede di Siracusa (287 AC - 212 AC ) si

colloca storicamente secondo la tabella

riportata di seguito nel contesto culturale

sicuramente fecondo della Magna Grecia del

terzo secolo Avanti Cristo Il suo contributo

nel campo delle scienze applicate della fisica

e della matematica costituisce la base di

alcune delle tecnologie oggi di piugrave ampia

scala di utilizzo e a ragione di questo

contributo al sapere umano la sua effigie egrave ancora oggi riprodotta addirittura su i francobolli ed in passato

venne riprodo tta p r aticam ente in tutte le epoche storiche

1 IL CONTRIBUTO DELLA TECNOLOGIA APPLICATA AI SISTEMI ORGANIZZATI ARCHIMEDE DI SIRACUSA

Michel e Cibrari o MASTER MEDEA 2005-2006 Eni Corp orate Uni v ersity - Scuola Enrico Mattei

Questo ha consentito di conservare memoria nei secoli anche del suo aspetto fisico e non sono del suo

contributo cognitivo e scientifico peraltro forse piugrave im portante Il suo m e todo di calcolo delle aree e dei

volume ha anticipato di 2000 anni prima di Newton e Leibniz il calcolo integrale Per la straordinarietagrave

delle sue intuizi oni fisiche e per le applicazioni belliche d a lui r ealizza te Archimede egrave citato da tutti i

piugrave importa nti storiografi dellrsquoantichitagrave nei loro scritti

bull Diodorus Siculus (circa 1deg secolo A C ) Bibliotheke bull Athenaeus of Naucratis (circa 200 AC)

Deipnosophistae bull Eulero (1707-1783) XIV ldquoQuaestio nes Mathem aticaerdquo bull Vitruvio (circa 1deg secolo

AC) De Architectura bull Plutarco vari scritti I lavori di A r chimede che sono giunti fi no a noi d i rettam

e nte sono i seguenti bull DellrsquoEquilibrio dei pi ani (due libri) bull Quadratura della parabola bull Delle sfere e

dei cilindri (due libri) bull Delle spiral i bull Dei conoidi e degli sferoidi bull Dei corpi galleggianti (due libri)

bull Della misura del cerchio bull Il Palinsesto bull Il Metodo bull LrsquoArenario bull Lo Stomachion

Ci sono poi citazioni d i altri lavori di Archimede che son o invece andati perduti nei secoli lo storiografo

antico Pappus riporta di un lavoro sui Poliedri Semi -regolari Delle Leve e dellrsquoEquilibrio

Degli Sp ecchi Archimede venne ucciso nel 212 Avanti Cristo durante la presa della cittagrave di Siracusa da

parte dei Romani durante la seconda Guerra Punica quando tutti i suo i sforzi di tenerli a bada con le

macchine belliche erano falliti La storia della sua morte egrave raccontata da Plutarco e Cicerone in segno di

omaggio cercograve e trovo la tomba di Archimede nel 75 Avanti Cristo

Tutte le suddette opere furono tradotte in latino nel medioevo e studiate a fondo durante il Rinascimento

Ersquo singolare che lrsquoenorme contributo di Archimede sia s tato rivalutato e riscoperto solo dopo che Euclide

pubblicograve ldquoGli Elementirdquo Francobolli di vari paesi con lrsquoeffigie di Archimede

Archimede nei secoli Ersquo noto che nel mondo ellenistico in particolare fra la Magna Grecia e lrsquoEgitto

crsquoera un ricco e complesso sviluppo di ricerca scientifica con un im pegno anche nellrsquoevoluzione

tecnologica Strumenti di calcolo (o di rilevazione astronomica) non servivano solo per applicazioni

pratiche di ingegneria ma anche allrsquoevoluzione del pensiero filosofico Archimede si colloca in quel

contesto Quel processo si egrave in gran parte interrotto nel medioevo NellrsquoEuropa che si era formata dopo

le ldquoinvasioni barbaricherdquo il pensiero d e lla cultura classica non era d e l tutto perduto ma conservato solo

in alc une ristre tte com unitagrave monastiche o in societagrave segrete sospettate di eresia Le sperim entazioni

scientifiche e tecniche erano viste con diffidenza co me magie stregonerie o pratiche demoniache ndash me

ntre le corporazioni di ldquoarti e mestieri rdquo custodivano gelosamente i loro segreti e spesso assumevano il

carattere di comunitagrave esoteriche ed iniziatiche In queste epoche storiche gli scri tti di Archim ede sono

stati visti per le applicazioni tecnologiche suggerite ma non certo per il metodo scientifico che egli

propugnava Andiamo ora ad esaminare il con t ributo scien tifico di Archimede ed a vederne la estrema

attualitagrave con cui oggi vengono utilizzate le sue tecniche ed il suo approccio di problem-solving di stampo

galileano Il contributo scientifico Le intuizioni di Archimede spaziavano su campi diversificati Tra le

invenzioni e le app licazioni meccaniche attribuitegli si trov ano Il principio della leva La vite se nza fine

Il principio dell a spinta di galleggiamento e la stabilitagrave dei corpi nei fluidi di cui lo studio sul la

liquefazione e sui cedimenti del terreno Gli studi sulle sfere e sui cilindri I meccanismi in movimento un

esempio egrave lrsquo orologio ad a c q u a Tra le m acchine bellich e da lui d i segnate e co struite s i ricordano

specialmente Gli specchi ustori I ganci ed i bracci meccanici hellip e le rispettive applicazioni belliche tanto

tem u te dai Ro m a ni Tra gli studi di geometria si annoverano Studi sulle aree e sui volumi ldquoeccellentirdquo

I solidi regolari La spirale

Cicerone scopre la Tomba di Archimede

Olim dum quaestor Syracusis sum Archimedem insignem illus urbis civem a pulvere excitavi

Nam sepulcrum eius ignoratum a Syracusanis saeptum undique et vestitum vepribus ac dumetis

indagavi syracusani omnino negabant id esse sed ego tenebam senariolos inscriptos in eius monumento

ex quibus in summo Archimedis sepulcro sphaera cum cylindro posita erat ego autem omnia oculis

collustravi ( est enim apud portam sacram urbis magna frequentia sepulcrorum) et paululum postea

columellam non multum e dumis eminentem animadverti in ea erat sphaerae figura et cylindri Atque

ego statim syracusanis ( erant autem mecum principes civitatis) dixi ldquoEcce illud quod quaerebamrdquo

Immissi cum falcibus multi purgaverunt et aperuerunt locum deinde ad sepulcrum accessimus

Apparebat in illo epigramma fere dimidiatum erat illud Archimedis sepulcrumIta nobilis Siciliae civitas

ab homine Arpinati locum monumenti unius insignis civis sui didicit

Una volta mentre ero questore a Siracusa ho tirato fuori dalla polvere Archimede insigne

cittadino di quella cittagrave Infatti ho scoperto il suo sepolcro ignorato dai Siracusani ricoperto da ogni

parte da rovi e cespugli I siracusani affermavano che quello non esistesse ma io ricordavo dei senari

iscritti sulla sua tomba secondo i quali nella sommitagrave del sepolcro di Archimede vi era posta una sfera

con un cilindro Io tuttavia ho scrutato ogni cosa con lo sguardo (vi egrave infatti presso la porta sacra della

cittagrave una grande numero di sepolcri) e a poco a poco mi sono accorto di una colonnetta che non

sporgeva molto dai cespugli In quella vi era lrsquoeffigie di una sfera e di un cilindro

E io subito dissi ai Siracusani (erano infatti con me i cittadini piugrave ragguardevoli della cittagrave) ecco

quello che cercavo Entrati molti con le falci ripulirono e sgombrarono il luogo infine entrammo nel

sepolcro Appariva in quello unrsquo iscrizione quasi dimezzata era quello il sepolcro di Archimede Cosigrave la

celebre cittagrave della Sicilia conobbe il luogo del monumento di un suo insigne cittadino da un uomo di

Arpino

trattto da Tusculanae Disputationesrdquo di Cicerone

Trad Lo Giudice ndash Ferdico ndash Castellese IV H

Le opere di Archimede2

II 3 Archimede di Siracusa

Scarsi sono i particolari sulla vita di

Archimede ma possiamo ricavare qualche

informazione su di lui dalle storie di Plutarco Livio e

altri autori Plutarco descrivendo lrsquoassedio di Siracusa

da parte dei romani durante le Seconda Guerra Punica

ci dice che Archimede abbia inventato ingegnose

macchine da guerra per tenere lontano il nemico

catapulte [29] per lanciare pietre corde carrucole e

ganci per sollevare e schiantare le navi romane

dispositivi per sviluppare incendi sulle navi (come

questi dispositivi potessero essere realizzati e se

realmente Archimede sia stato in grado di realizzarli

ci egrave spiegato da Archimede e gli specchi ustori [30])

Durante il saccheggio della cittagrave Archimede venne

trucidato da un soldato romano nonostante che il

generale Marcello avesse dato lrsquoordine di salvare la

vita del matematico Poicheacute a quanto viene riferito

Archimede aveva settantacinque anni egrave molto

probabile che fosse nato nel 287 aC

Alcuni autori riportano che abbia visitato lrsquoEgitto e

che abbia studiato ad Alessandria con gli allievi di

Euclide fu probabilmente in questa occasione che

2 webunifeit

inventograve il dispositivo oggi noto come ldquovite di Archimederdquo [31] fatto di canali o tubi avvolti

elicoidalmente attorno ad un asse inclinato munito di una manovella per farlo girare

I vari resoconti rimastici sulla vita di Archimede sono drsquoaccordo nel dipingerlo come persona che

attribuiva scarso valore ai suoi congegni meccanici rispetto ai prodotti della sua attivitagrave intellettuale

Anche quando trattava di leve e di altre macchine semplici era molto piugrave interessato ai principi generali

che le governavano che alle loro applicazioni pratiche

Le opere di Archimede sopravvissute sono le seguenti Sullrsquoequilibrio dei piani

Di questo trattato in due libri fanno parte gli studi di Archimede sul principio della leva [32] Il

primo libro prende in considerazione figure rettilinee e si chiude con la discussione sui centri di gravitagrave

del triangolo e del trapezio Il secondo libro concentra lrsquoattenzione sul centro di gravitagrave di un segmento di

parabola e comprende una dimostrazione del fatto che questo centro si trova sul diametro del segmento e

divide questo diametro in segmenti che stanno nel rapporto di 3 a 2 Il procedimento usato per la

dimostrazione egrave il metodo di esaustione

Sui galleggianti

Questrsquoopera in due libri contiene dei risultati molto importanti Fra le proposizioni iniziali ve ne

sono due che formulano il noto principio della spinta idrostatica di Archimede [33]

Qualsiasi solido piugrave leggero di un fluido se collocato nel fluido si immergeragrave in misura tale che

il peso del solido saragrave uguale al peso del fluido spostato (Lib I Prop 5)

Un solido piugrave pesante di un fluido se collocato in esso discenderagrave in fondo al fluido e se si

peseragrave il solido nel fluido risulteragrave piugrave leggero del suo vero peso e la differenza di peso saragrave uguale al

peso del fluido spostato (Lib I Prop 7)

Oltre alle proprietagrave dei fluidi questo trattato contiene molte altre scoperte Quasi tutto il secondo

libro per esempio tratta della posizione di equilibrio di segmenti di paraboloidi quando siano immersi in

un fluido mostrando che la posizione di quiete dipende dal peso specifico relativo del paraboloide solido

e del fluido in cui galleggia

Sulla misura del cerchio

Questo piccolo trattato che egrave probabilmente incompleto nella forma in cui ci egrave pervenuto

comprende solo tre proposizioni ( egrave possibile vedere gli enunciati nel sito Sulla misura del cerchio [34])

una delle quali egrave la dimostrazione mediante il metodo di esaustione del teorema secondo cui lrsquoarea del

cerchio egrave uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come lati la circonferenza e il raggio del

cerchio stesso

Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra circonferenza di un cerchio e diametro Archimede diede

una ulteriore prova della sua abilitagrave nel calcolo Partendo dallrsquoesagono regolare inscritto egli calcolograve i

perimetri dei poligoni ottenuti raddoppiando successivamente il numero dei lati fino a raggiungere

novantasei lati Il risultato dal calcolo archimedeo relativo alla circonferenza era costituito da

unrsquoapprossimazione del valore di espressa dalla disuguaglianza che era un valore migliore di quello

ottenuto dagli egiziani e dai babilonesi (Va tenuto presente che neacute Archimede neacute alcun matematico

greco fece mai uso della notazione per indicare il valore del rapporto tra circonferenza di un cerchio e il

suo diametro)

Sulle spirali

Questo trattato fu molto ammirato ma poco letto poicheacute veniva considerato come la piugrave difficile

fra tutte le opere di Archimede La spirale viene definita come il luogo piano di un punto che partendo

dallrsquoestremo di un raggio o semiretta si sposta uniformemente lungo questo raggio mentre il raggio a sua

volta ruota uniformemente intorno al suo estremo

Lo studio che Archimede fece della spirale curva che attribuiva allrsquoamico Conone di Alessandria si

inquadrava nella scia delle ricerche tipiche della matematica greca volte a trovare le soluzioni dei tre

famosi problemi classici La curva si presta facilmente a effettuare molteplici sezioni dellrsquoangolo Come

nel caso della quadratrice perograve essa puograve anche servire a quadrare il cerchio come mostrograve lo stesso

Archimede

Nel punto P si tracci la tangente alla spirale OPR e questa tangente intersechi nel punto Q la retta che

passa per O ed egrave perpendicolare a OP (vedi Fig 1)

Archimede mostrava mediante una dimostrazione per duplice reductio ad absurdum che il

segmento OQ (noto come la sottotangente polare relativa al punto P) era uguale in lunghezza allrsquoarco di

cerchio PS del cerchio avente come centro O e come raggio OP

Se sulla spirale si sceglie un punto P come intersezione della spirale con la retta a 90deg in coordinate

polari la sottotangente polare OQ saragrave esattamente uguale a un quarto della circonferenza del cerchio di

raggio OP Pertanto lrsquointera circonferenza puograve essere costruita prendendo quattro volte il segmento OQ e

per mezzo del teorema di Archimede si trova un triangolo di area uguale allrsquoarea del cerchio Una

semplice trasformazione geometrica permetteragrave poi di sostituire il triangolo con un quadrato Ersquo cosigrave

effettuata la quadratura del cerchio

Gran parte dellrsquoopera di Archimede egrave di natura tale che oggi verrebbe inclusa in un corso di analisi

infinitesimale ciograve egrave particolarmente vero per il trattato Sulle spirali

Si puograve analizzare la spirale di Archimede e le curve ad essa associate visitando il sito La spirale di

Archimede [35] attraverso Java (un linguaggio di programmazione progettato per eseguire operazioni

evolute indipendente dalla macchina su cui si opera) si possono manipolare i dati ed ottenere tutte le

variazioni desiderate

Quadratura della parabola Al tempo in cui scriveva Archimede le sezioni coniche erano note da quasi un secolo e tuttavia

non era stato fatto nessun progresso nel calcolo delle loro aree Ci volle Archimede per quadrare una

sezione conica ossia un segmento della parabola e lo fece nella Proposizione 17 dellrsquoopera in cui la

quadratura costituiva lrsquoobiettivo principale La dimostrazione per mezzo del solito metodo di esaustione

egrave lunga e complessa comunque Archimede riuscigrave a dimostrare rigorosamente che lrsquoarea K di un

segmento parabolico APBQC egrave uguale a quattro terzi dellrsquoarea di un triangolo avente la stessa base e

uguale altezza

Nelle successive sette (e ultime) proposizioni Archimede dava una seconda ma diversa dimostrazione

del medesimo teorema Egli dimostrava che lrsquoarea del triangolo inscritto maggiore ABC con base AC egrave

quattro volte la somma dei corrispondenti triangoli inscritti aventi come basi rispettivamente AB e BC

Continuando il processo suggerito da questa relazione risulta chiaro che lrsquoarea H del segmento

parabolico ABC egrave data dalla somma della serie infinita che egrave Archimede non parla di somma della serie

infinita percheacute ai suoi tempi i processi non finiti venivano disapprovati Ricorrendo invece a una duplice

reductio ad absurdum Archimede dimostrava che H non poteva essere neacute maggiore neacute minore di

(Archimede come i suoi predecessori non usava il termine ldquoparabolardquo ma lrsquoespressione ldquoortotomordquo

ossia ldquosezione di un cono rettordquo)

Nel preambolo alla Quadratura della parabola incontriamo lrsquoassunzione che oggi egrave comunemente noto

come lrsquoassioma di Archimede

Lrsquoeccesso per cui la maggiore di due aree disuguali supera la minore puograve se sommato a se

stesso diventare superiore a qualsiasi area finita data

Nel sito La teoria della misura da Archimede a Bonaventura Cavalieri [36] si puograve esaminare

il procedimento di dimostrazione per la quadratura della parabola

Sui conoidi e sferoidi

Nonostante Archimede non sia stato in grado di trovare lrsquoarea di un segmento qualsiasi di ellisse

o di iperbole in questo trattato riuscigrave a determinare lrsquoarea di tutta lrsquoellisse

Le aree delle ellissi sono come i rettangoli formati dai loro assi (Prop 6)

Ciograve equivale a dire che lrsquoarea di unrsquoellisse egrave uguale allrsquoarea di un cerchio il cui raggio sia la media

geometrica dei semiassi dellrsquoellisse Inoltre mostrava come trovare il volume di segmenti tagliati da un

ellissoide da un paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno allrsquoasse principale Il

processo da lui usato egrave molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di integrazione differisce

principalmente per la mancanza del concetto di limite di una funzione

Sulla sfera e sul cilindro

Archimede volle che sulla sua tomba fosse incisa la figura che rappresentava una sfera inscritta in

un cilindro circolare retto la cui altezza egrave uguale al diametro della sfera ( per maggiori dettagli si veda La

lapide di Archimede [37]) egli aveva infatti scoperto e dimostrato che il rapporto tra i volumi del

cilindro e della sfera era uguale al rapporto tra le rispettive aree cioegrave era un rapporto di tre a due Inoltre

sembra che Archimede sia stato il primo a scoprire e a dimostrare che lrsquoarea di una sfera egrave quattro volte

lrsquoarea del suo cerchio massimo e che

la superficie di una qualsiasi calotta sferica egrave uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al

segmento tracciato dal vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa

Un teorema molto importante relativo alla superficie della sfera compare nella Proposizione 33

dopo una lunga serie di teoremi preliminari riguardanti la funzione seno

Se in un segmento di cerchio LrsquoALrsquo viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati

esclusa la base siano uguali e il loro numero sia pari come LKhellipAhellipKrsquoLrsquo ove A egrave il punto di mezzo del

segmento e se si tracciano le linee BBrsquo CCrsquo hellip parallele alla base LLrsquo e congiungenti coppie di punti

angolari allora (BBrsquo+CCrsquo+hellip+LM)AM=ArsquoBBA ove M egrave il punto di mezzo di LLrsquo e AArsquo egrave il diametro

passante per M

La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34 del Libro I

Qualsiasi sfera egrave uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della

sfera e lrsquoaltezza uguale al raggio della sfera

Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario ne segue il

rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto

LrsquoArenario

In questrsquoopera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri superiori a

nella notazione moderna Egli sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i

granelli di sabbia richiesti per riempire lrsquouniverso Ciograve era in risposta allrsquoipotesi avanzata da Aristarco di

Srsquoamo che la Terra si muovesse attorno al Sole

Ersquo possibile leggere lrsquointera opera tradotta in inglese visitando il sito lrsquoArenario [38]

Il libro dei lemmi

La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica superiore

Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari In questrsquoopera per esempio

troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del calzolaio) Questo egrave la regione delimitata da tre

semicerchi che sono reciprocamente tangenti a due a due lrsquoarea in questione egrave quella che si trova

allrsquointerno del semicerchio piugrave grande e allrsquoesterno dei semicerchi piugrave piccoli Vi egrave anche un teorema su

quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione archimedea dellrsquoangolo

Il libro dei lemmi non ci egrave pervenuto nel testo originale greco ma attraverso una traduzione araba che

piugrave tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum Di fatto questrsquoopera come ci egrave pervenuta

non puograve essere genuinamente archimedea percheacute il nome di Archimede viene citato piugrave volte nel corso

del testo Nondimeno anche se questo trattato non egrave altro che una miscellanea di teoremi attribuiti ad

Archimede dagli arabi lrsquoopera nella sua sostanza egrave probabilmente autentica

Il Metodo

Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di Archimede vi egrave

la scoperta fatta nel nostro secolo di uno dei suoi trattati piugrave importanti intitolato Il Metodo di cui si

erano perdute le tracce fin dai primi secoli dellrsquoEra cristiana fincheacute non venne riscoperto nel 1906

Qui Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini ldquomeccanicherdquo preliminari che lo

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

SSttoommaacchhiioonn

Il ritrovamento e lo studio del ldquoCodice Crdquo ha riportato lrsquoattenzione su un antico gioco greco lo

Stomachion Il nome deriva da Stomachos che significa ldquoirritazionerdquo Nel codice rinvenuto e studiato da

Heiberg troviamo alcune pagine dedicate a questo curioso puzzle composto da quattordici pezzi tagliati

in forme geometriche (undici triangoli due quadrilateri e un pentagono) le cui possibili combinazioni

rappresentano immagini di vario genere che differiscono in base allrsquoabilitagrave del giocatore Lo Stomachion

presenta notevolissime affinitagrave con un antico gioco cinese il Tangram che significa ldquogioco delle sette

saggezzerdquo composta appunto di sette tasselli di diversa forma geometrica Quel che Heiberg poteacute leggere

in proposito con il solo ausilio di una lente di ingrandimento di fronte ad una pergamena deteriorata

sulla quale per di piugrave erano state in epoca medievale trascritte preghiere offrigrave pochi indizi sullrsquointeresse

di Archimede per lrsquoenigma Apparentemente si trattava di un semplice passatempo colto il che indusse

gli studiosi a non dare troppa importanza alle pagine sullo Stomachion Tuttavia con il riapparire del

Codice C nel 1998 e con il progredire delle tecniche applicate alla decifrazione degli antichi

manoscritti gli studi sullo Stomachion stanno progressivamente rettificando il punto di vista che lo

considera semplicemente un arguto ldquorompicapordquo Non crsquoegrave certezza che sia stato proprio il geniale

siracusano ad inventare lo Stomachion ed anzi si tende a ritenere che il supporto esistesse giagrave prima che

se ne occupasse Archimede Tuttavia il punto drsquointeresse non egrave stabilire o meno se Archimede sia stato

lrsquoideatore dello Stomachion egrave ben piugrave rilevante comprendere a che scopo se ne servisse In effetti gli

studi che attualmente si stanno conducendo sul Codice C stanno offrendo importanti novitagrave in

particolare relative alle tecniche di calcolo Una nuova lettura del codice dimostrerebbe che Archimede

si interessava di calcolo combinatorio un ramo della matematica che prende in considerazione le

combinazioni e le sistemazioni degli oggetti e che ha trovato riconoscimento negli ambienti accademici

solo negli ultimi cinquanta anni Si tratta di capire se Archimede fu in grado di calcolare il numero dei

diversi quadrati che si sarebbero potuti creare con i pezzi del puzzle Un gruppo di studiosi egrave attualmente

allrsquoopera sullo Stomachion alcuni rilevano che vi sono degli indizi che farebbero pensare che Archimede

avesse studiato i suoi teoremi geometrici proprio grazie allo Stomachion

VViittaa ddaa sscciieennzziiaattoo AArrcchhiimmeeddee ddii SSiirraaccuussaa

Laboratorio Vita da scienziato Archimede di Siracusa (in greco Ἀ ρχιμήδης Siracusa circa 287 aC

ndash Siracusa 212 aC) Chi egrave Archimede Ersquo un matematico astronomo fisico e inve ntore greco antico Si

hanno pochi dati certi sulla vita di Archimede ma da tutti viene riconosciu to come uno dei piugrave grandi

scienziato della storia umana infatti ha realizzato sia invenzioni e scoperte molto importanti in

matematica e fisica (dalla leva al galleggiamento dei corpi) sia soluzioni tecniche uti li e brillanti che ha

applicato alle sue macchine (dalla vite alle carrucole) In quale ambiente egrave nato e cresciuto (0 ‐ 30

anni) La data di nascita non egrave certa Viene di solito accettata quella del 287 aC sulla base

dellrsquoinformazione sulla su a morte allrsquoetagrave di settantaci nque anni Forse egrave figlio di un astronomo

siracusano di nome Fidia e ha eredit ato dal padre lrsquoamore per le scienze esatte Secondo Plutarco egrave

imparentato col re Gerone tesi controvers a ma supportata dalla stretta amicizia che li lega Di che cosa

si egrave occupato in gioventugrave (30 ‐ 40 anni) Dalle opere conservate e dalle testimonianze appare che fin da

giovane si egrave occupato di scienze matemati che lrsquoaritmetica la geometria piana la geometria solida ma

anche la meccanica lrsquoottica lrsquoidrostatic a lrsquoastronomia Mostra un grande interesse per le applicazioni

tecnologiche Trascorre qualche anno in Eg itto ad Alessandria drsquoEgitto stringe amicizia con il

matematico e astronomo Conone di Samo ricordato anche nelle sue opere

Percheacute la vita di Archimede egrave cosigrave utile (40

‐ 50 anni) Tornato a Siracusa entra una

corrispondenza con vari scienziati di

Alessandria tra i quali Dositeo ed

Eratostene al qual e dedica il trattato Il

metodo e rivolge il problema dei buoi del

sole Archimede si interessa della gestione

delle acqua e si impegna a progettare e

costruire macchine capaci di spostare grandi

pesi con piccole forze Lo storico Pappo di

Alessandria racconta che Archimede

entusiasta per le possibilit agrave offerte dalle

macchine che ha costruito abbia esclamato

laquodatemi un punto drsquoappoggio e vi solleverograve il

mondoraquo Come ha smascherato il finto oro

della corona (50 ‐ 60 anni) Vitruvio

racconta nel trattato Sui corpi galleggianti che Archimede ha iniziato a occuparsi di id rostatica percheacute il

re Gerone gli chiede di determinare se la sua corona egrave stata realizzata co n oro puro oppure il fabbro ha

utilizzando internamente altri metalli mettendo lrsquooro solo sulla superficie Sc opre come risolvere il

problema mentre fa un bagno notando che una sua immersione provoca un innalzamento del livello

dellrsquoacqua Questa osservazione lrsquoha reso cosigrave felice che esce nudo dallrsquoacqua esclamando ldquo ε ὕ ρηκα rdquo (

heacuteureka ho trovato ) Come ha aiutato Siracusa a co mbattere contro i romani (60 ‐ 70 anni) Vari

autori romani (Polibio Tito Livio Plutarco)

riferiscono che durante la seconda gue rra

punica su richiesta del re Gerone di Siracusa

alleato dei cartaginesi Archimede si dedica

(con minore entusiasmo ma co n significativi

successi) a realizzare macchine belliche per

aiutare la sua cittagrave a di fendersi dallrsquoattacco di

Roma Contro le legioni e la potente flotta di

Roma Siracusa dispone di poche migliaia di

uomini e il genio di un vecchio le macchine

di Archimede che scagliano massi ciclopici

una tempesta di ferro e raggi solari concentrati

contro le sessanta grandi navi a remi di Marco

Claudio Marcello Come egrave morto Archimede

(70 ‐ 75 anni) Nel 212 aC viene ucciso da un

soldato romano durante il sacco di Siracusa

quando viene conquistata Si narrano tre

differe nti versioni della morte di Archimede

Nella prima un soldato romano intima ad Archimede di seguirlo da Ma rcello al suo rifiuto di farlo prima

di finire di risolto il problema cui si sta applicando il soldato lo u ccide appena saputa la notizia

Marcello fa uccidere il soldato visto che il suo ordi ne egrave stato di catturarlo vivo per poter sfruttare la sue

capacitagrave Nella seconda un soldato romano si presenta per uccidere Archimede che lo prega invano di

lasciargli almeno terminare la dimostrazione nella quale era impegnato Nella terz a il soldato incontra

Archimede mentre sta portando a Marcello alcuni strumenti scientifici (meridiane sf ere e squadre) in

una casse tta il soldato pensando a una cassetta piena drsquooro lo uccide per impadronirsene In ogni caso

Marcello profondamente addolorato per la sua morte fa dare onorevole sepoltura allo scienziato

Archimede di Siracusa

Archimede di Siracusa

Gli studiosi sono uomini privilegiati pochi

di loro conoscono il Greco e la maggior

parte di loro non sa nientrsquoaltro

Quando Newton disserdquo Se ho visto piugrave di altri egrave percheacute

stavo sulle spalle dei giganti ldquo uno dei giganti che doveva avere in

mente era Archimede di Siracusa il piugrave brillante matematico fisico e

ingegnere dellrsquoantichitagrave Poco si sa della sua vita Nacque intorno al

287 aC a Siracusa figlio dellrsquoastronomo Fidia e a quanto pare

trascorse gran parte della sua vita a Siracusa Studiograve presso

lrsquoUniversitagrave di Alessandria sia sotto gli immediati successori di

Euclide sia sotto Euclide stesso Era un amico e parente di Gerone II

re di Siracusa per il quale progettograve le macchine da guerra utilizzate

contro gli aggressori romani e la cui corona fu coinvolta nella

scoperta della legge della spinta verso lrsquoalto che porta il suo nome

Gerone (correttamente) sospettograve che la sua corona non fosse drsquooro

puro e chiese ad Archimede di indagare senza danneggiarla Si sa che Archimede meditograve sul problema

mentre si faceva un bagno e trovograve la risposta non appena osservograve il livello dellrsquoacqua alzarsi sino a

sommergere il suo corpo GridandordquoEUREKA Ho trovatordquo dice questa leggenda corse nudo per le

strade di Siracusa per dire a Gerone della sua scoperta Il suo libro sui corpi galleggianti va ben oltre la

legge di Archimede e comprende complicati problemi di stabilitagrave Allo stesso modo SullrsquoEquilibrio dei

Piani va oltre il principio della leva e risolve complicati problemi come trovare il baricentro di un

segmento parabolico In queste come in altre sue opere Archimede utilizza lrsquoapproccio euclideo da un

insieme di semplici postulati deduce le sue affermazioni con logica impeccabile Come primo scrittore

che costantemente legograve matematica e fisica Archimede egrave diventato il padre della fisica come scienza La

fisica di Aristotele fu pubblicata un secolo prima ma egrave solo una lunga sfilza di speculazioni infondate

totalmente prive di qualsiasi relazione quantitativa Archimede egrave stato anche il primo ingegnere

scientifico lrsquouomo alla ricerca di principi generali che applicograve a specifici problemi drsquoingegneria La sua

applicazione del principio della leva per le macchine da guerra in difesa di Siracusa sono ben noti inoltre

applicograve ancora lo stesso principio per trovare il volume del segmento di una sfera con un metodo di

bilanciamento insolitamente bello di cui avremo piugrave da dire piugrave avanti in questo capitolo Ha usato lo

stesso metodo per determinare i volumi di altri solidi di rotazione (ellissoide paraboloide iperboloide) e

per trovare il centro di gravitagrave del semicerchio e dellrsquoemisfera Non egrave noto quante opere di Archimede

siano andate perdute (una delle piugrave importanti Il Metodo egrave venuta alla luce solo nel 1906) ma i suoi libri

rimasti tra cui Sulle Spirali Sulla Misurazione del Cerchio La Quadratura della Parabola Sui Conoidi e

Sferoidi Sulla Sfera e il Cilindro Il Libro dei Lemmi e altri sono ineguagliate da qualsiasi altro prodotto

dellrsquoantichitagrave

Il metodo di Archimede per calcolare

Non solo a causa dei risultati meravigliosi contenuti in questi libri ma anche percheacute Archimede fu un

pioniere del Metodo Partendo dal concetto di ldquougualerdquo arrivograve a quello di ldquoarbitrariamente vicino ardquo o

ldquotanto vicino quanto desideratordquo (che Euclide aveva enunciato ma non attivamente usato) e quindi

raggiunse la soglia del calcolo differenziale proprio come il suo metodo di quadratura della parabola

raggiunse la soglia del calcolo integrale (alcuni ritengono che la abbia superata)

Ersquo stato anche il primo a ideare un metodo per calcolare π con un qualunque grado desiderato di

precisione Esso si basa sul fatto che il perimetro di un poligono regolare di n lati inscritto in una

circonferenza egrave minore della circonferenza mentre il perimetro di un poligono simile circoscritto alla

circonferenza egrave maggiore della circonferenza (vedi figura sotto) Rendendo n sufficientemente grande i

due perimetri si avvicineranno alla circonferenza arbitrariamente uno per difetto lrsquoaltro per eccesso

Archimede iniziograve con un esagono e progressivamente raddoppiando il numero dei lati arrivograve a un

poligono di 96 lati il che diede

(1)

Ciograve che Archimede ha fatto senza trigonometria e senza notazione decimale (o altra notazione

posizionale) egrave unrsquoillustrazione della sua tenacia (vedi la traduzione di Heath ldquoSulla Misura del Cerchiordquo

proposizione 3 e seguenti) Tuttavia potremmo utilizzarle entrambe per procedere con i calcoli Se egrave

metagrave dellrsquoangolo sotteso da un lato di un poligono regolare di n lati nel centro della circonferenza allora

la lunghezza del lato inscritto egrave

(3)

e quella del lato circoscritto egrave

(4)

Un poligono regolare di 40 lati Non egrave stata disegnata la circonferenza interna

Per lrsquoesagono Archimede ha approssimato col valore leggermente inferiore di 265153 un poligono a

12 lati lo impegnograve nel rapporto che ha semplificato a e il poligono finale di 96 lati coinvolge una

radice quadrata di un numero che nel sistema decimale ha dieci cifre

Come sia riuscito ad estrarre le sue radici quadrate con tale accuratezza sempre avendo cura di

rispettare cosigrave sottilmente il lato piccolo o il lato grande come richiesto dai limiti egrave uno degli enigmi che

questo straordinario uomo ci ha lasciato Ma sembra che Archimede sia andato anche oltre Erone di

Alessandria nella sua Metrica (circa il 60 AC ma non scoperta fino al 1896) si riferisce a un lavoro di

Archimede che da allora egrave andato perso in cui Archimede dagrave i limiti

Tuttavia questo egrave evidentemente un errore che si deve essere insinuato durante la trascrizione

della copia perchegrave egrave molto piugrave scadente rispetto al limite superiore 3+17 trovato da Archimede in

precedenza Erone aggiungerdquo poicheacute questi numeri sono scomodi per le misurazioni p viene ridotto al

rapporto di numeri piugrave piccoli ossia 227

Archimede ha anche mostrato che una curva scoperta da Conone di Alessandria poteva come la

quadratrice di Ippia essere utilizzata per rettificare (e quindi quadrare) il cerchio La curva egrave oggi

chiamata la spirale di Archimede egrave definita come il luogo geometrico piano di un punto che si sposta di

moto rettilineo uniforme lungo un raggio mentre il raggio ruota di moto circolare uniforme attorno alla

sua estremitagrave Egrave questa la curva tracciata da una puntina che striscia radialmente verso lrsquoesterno su un

disco fonografico rotante Sia P un punto della spirale (vedi figura sopra) e la tangente in P intersechi la

perpendicolare alla retta OP in R Archimede mostrograve nel suo libro ldquoSulle Spiralirdquo che il segmento OR

(cioegrave la sottotangente polare nel punto P) egrave uguale alla lunghezza dellrsquoarco circolare PS di raggio OP

dove S egrave lrsquointersezione con il raggio iniziale OU

Rettificazione della circonferenza per mezzo della Spirale di Archimede

Tali furono alcuni dei contributi del piugrave grande genio dellrsquoantichitagrave alla storia del pi greco e della

quadratura del cerchio Anche se gli investigatori successivamente hanno trovato approssimazioni

numeriche migliori il metodo poligonale di Archimede egrave rimasto insuperato fino a quando diciannove

secoli piugrave tardi furono trovati in Inghilterra un prodotto infinito e una frazione continua infinita poco

prima che la scoperta del calcolo differenziale portasse a un approccio totalmente nuovo al problema

In fisica nessuno egrave giunto vicino alla statura di Archimede per piugrave di 18 secoli fino a quando

Galileo Galilei osograve sfidare le menzogne di Aristotele Le ombre di quelle menzogne sono con noi persino

adesso Crsquoegrave la storia della matematica che non scusa Archimede per essersi sporcato le mani con il lavoro

sperimentale Nel tardo 1968 ci viene detto che ldquoegli mise poco valore nei suoi congegni meccanicirdquo e

che rdquoconsiderava i suoi congegni e invenzioni come sordidamente commercialirdquo (1965) Commenti

simili si trovano in quasi tutti i libri sullrsquoargomento sostenendo lrsquoosservazione di Philip Guedella ldquoLa

storia si ripete gli storici si ripetono lrsquoun lrsquoaltrordquo Il mito ripetitivo egrave stato iniziato da Plutarco che nel

primo secolo dC ha scritto che

Considerando la meccanica e ogni arte utilitaristica come ignobile e volgare egli dette la sua

zelante devozione solo a quei soggetti la eleganza e sottigliezza sono non impastoiate dalle necessitagrave

della vita

Ora Plutarco non poteva forse sapere cosa Archimede avesse considerato ignobile e volgare il

suo credo era buono come il vostro o il mio Ma proprio come per diciannove secoli gli storici hanno

riecheggiato Plutarco cosigrave Plutarco fa eco allrsquoatteggiamento di Platone e Aristotele i padri dello

snobismo intellettuale Essi hanno insegnato che la sperimentazione era adatta solo per gli schiavi e che

le leggi della natura potevano essere dedotte soltanto dallrsquouomo di alto intelletto e Aristotele ha usato il

suo nobile intelletto per scoprire che i corpi piugrave pesanti cadono a terra piugrave velocemente che gli uomini

hanno piugrave denti rispetto alla donna che la Terra egrave al centro dellrsquouniverso che i corpi celesti non

cambiano mai e molto di piugrave di tale saggezza percheacute era uno scrittore molto prolifico Di fatto Aristotele

egrave stato sconfitto sul proprio terreno per mezzo della pura deduzione intellettuale dellrsquoosservazione

sperimentale Molto tempo prima che Galileo Galilei facesse cadere delle palle di legno e di piombo dalla

Torre pendente di Pisa egli pose la seguente domandardquo Se una pietra di 10 libbre cade 10 volte piugrave

velocemente di una da 1 libbra cosa succede se lego insieme le due pietre La combinazione cadragrave piugrave

velocemente della pietra di 10 libbre percheacute pesa 11 libbre o cadragrave piugrave lentamente percheacute la pietra da 1

libbra ritarderagrave la pietra da 10 libbrerdquo

Il commento di Plutarco sullrsquoatteggiamento di Archimede per lrsquoingegneria egrave una elaborazione

con nessun fondamento diverso dallo snobismo aristotelico

Archimede saluta Eratostene

Ti ho spedito nella precedente occasione alcuni dei teoremi scoperti da me semplicemente

scrivendoti gli enunciati e invitandoti a scoprire le dimostrazioni che a quel tempo non ti diedi

Poi le dimostrazioni di questi teoremi le ho scritte in questo libro e ora te lo invio Inoltre

vedendo in te come giagrave dissi uno studente volenteroso[hellip] ho ritenuto opportuno scriverti e spiegare in

dettaglio nello stesso libro la particolaritagrave di un certo metodo con cui saragrave possibile per te indagare alcuni

dei problemi di matematica mediante la meccanica Questa procedura egrave sono convinto non meno utile

persino delle stesse dimostrazioni dei teoremi percheacute certe cose prima mi sono diventate chiare con un

metodo meccanico malgrado dovessero essere dimostrate dopo tramite la geometria percheacute la loro

indagine col sopraccitato metodo non forniva una vera dimostrazione Ma quando abbiamo acquisito col

metodo alcune conoscenze dei problemi egrave la strada piugrave facile per fornire la dimostrazione anziccheacute

trovarla senza alcuna conoscenza precedente

Un chiaro esempio di questo metodo egrave lrsquoapplicazione di Archimede del principio della leva per

ricavare il volume di un segmento sferico oltre che dellrsquointera sfera come indicato nella figura di pag 71

Cosigrave grande valore dette Archimede a questa scoperta che chiese che una sfera inscritta in un cilindro

fosse incisa sulla sua lapide e questo egrave stato fatto percheacute anche se la lapide egrave andata perduta abbiamo

una descrizione della tomba da parte di Cicerone che la visitograve nel I secolo aC durante il suo incarico di

questore in Sicilia

Non egrave senza interesse ricordare come egrave stato recuperato Il Metodo Fu trovato nel 1906 a

Costantinopoli su un palinsesto che egrave una pergamena il cui testo originale egrave stato lavato (per recuperare

la pergamena) e sostituito con un testo diverso Se lrsquooriginale egrave stato lavato via non perfettamente esso

puograve essere ripristinato con una speciale fotografia In questo caso il testo originale era una copia del X

secolo di alcune opere note di Archimede ma pure includente lrsquounico testo superstite de Il Metodo Gli

zeloti medievali non sempre come il vescovo dello Yucatan o i Crociati a Costantinopoli bruciavano i

libri scientifici come opera del diavolo A volte essi pulivano il testo per la pergamena in modo che da

poterla sporcare con la loro immondizia superstiziosa

Il grande matematico fisico e filosofo Archimede di Siracusa1

Il personaggio e il contesto storico

Il contributo scientifico Il contributo metodologico e la

sua applicazione aziendale Bibliografia Allegato 1 Curricu lum Vitae

di Archimede da Siracusa

Il personaggio e il contesto storico Il grande matematico fisico e filosofo

Archimede di Siracusa (287 AC - 212 AC ) si

colloca storicamente secondo la tabella

riportata di seguito nel contesto culturale

sicuramente fecondo della Magna Grecia del

terzo secolo Avanti Cristo Il suo contributo

nel campo delle scienze applicate della fisica

e della matematica costituisce la base di

alcune delle tecnologie oggi di piugrave ampia

scala di utilizzo e a ragione di questo

contributo al sapere umano la sua effigie egrave ancora oggi riprodotta addirittura su i francobolli ed in passato

venne riprodo tta p r aticam ente in tutte le epoche storiche

1 IL CONTRIBUTO DELLA TECNOLOGIA APPLICATA AI SISTEMI ORGANIZZATI ARCHIMEDE DI SIRACUSA

Michel e Cibrari o MASTER MEDEA 2005-2006 Eni Corp orate Uni v ersity - Scuola Enrico Mattei

Questo ha consentito di conservare memoria nei secoli anche del suo aspetto fisico e non sono del suo

contributo cognitivo e scientifico peraltro forse piugrave im portante Il suo m e todo di calcolo delle aree e dei

volume ha anticipato di 2000 anni prima di Newton e Leibniz il calcolo integrale Per la straordinarietagrave

delle sue intuizi oni fisiche e per le applicazioni belliche d a lui r ealizza te Archimede egrave citato da tutti i

piugrave importa nti storiografi dellrsquoantichitagrave nei loro scritti

bull Diodorus Siculus (circa 1deg secolo A C ) Bibliotheke bull Athenaeus of Naucratis (circa 200 AC)

Deipnosophistae bull Eulero (1707-1783) XIV ldquoQuaestio nes Mathem aticaerdquo bull Vitruvio (circa 1deg secolo

AC) De Architectura bull Plutarco vari scritti I lavori di A r chimede che sono giunti fi no a noi d i rettam

e nte sono i seguenti bull DellrsquoEquilibrio dei pi ani (due libri) bull Quadratura della parabola bull Delle sfere e

dei cilindri (due libri) bull Delle spiral i bull Dei conoidi e degli sferoidi bull Dei corpi galleggianti (due libri)

bull Della misura del cerchio bull Il Palinsesto bull Il Metodo bull LrsquoArenario bull Lo Stomachion

Ci sono poi citazioni d i altri lavori di Archimede che son o invece andati perduti nei secoli lo storiografo

antico Pappus riporta di un lavoro sui Poliedri Semi -regolari Delle Leve e dellrsquoEquilibrio

Degli Sp ecchi Archimede venne ucciso nel 212 Avanti Cristo durante la presa della cittagrave di Siracusa da

parte dei Romani durante la seconda Guerra Punica quando tutti i suo i sforzi di tenerli a bada con le

macchine belliche erano falliti La storia della sua morte egrave raccontata da Plutarco e Cicerone in segno di

omaggio cercograve e trovo la tomba di Archimede nel 75 Avanti Cristo

Tutte le suddette opere furono tradotte in latino nel medioevo e studiate a fondo durante il Rinascimento

Ersquo singolare che lrsquoenorme contributo di Archimede sia s tato rivalutato e riscoperto solo dopo che Euclide

pubblicograve ldquoGli Elementirdquo Francobolli di vari paesi con lrsquoeffigie di Archimede

Archimede nei secoli Ersquo noto che nel mondo ellenistico in particolare fra la Magna Grecia e lrsquoEgitto

crsquoera un ricco e complesso sviluppo di ricerca scientifica con un im pegno anche nellrsquoevoluzione

tecnologica Strumenti di calcolo (o di rilevazione astronomica) non servivano solo per applicazioni

pratiche di ingegneria ma anche allrsquoevoluzione del pensiero filosofico Archimede si colloca in quel

contesto Quel processo si egrave in gran parte interrotto nel medioevo NellrsquoEuropa che si era formata dopo

le ldquoinvasioni barbaricherdquo il pensiero d e lla cultura classica non era d e l tutto perduto ma conservato solo

in alc une ristre tte com unitagrave monastiche o in societagrave segrete sospettate di eresia Le sperim entazioni

scientifiche e tecniche erano viste con diffidenza co me magie stregonerie o pratiche demoniache ndash me

ntre le corporazioni di ldquoarti e mestieri rdquo custodivano gelosamente i loro segreti e spesso assumevano il

carattere di comunitagrave esoteriche ed iniziatiche In queste epoche storiche gli scri tti di Archim ede sono

stati visti per le applicazioni tecnologiche suggerite ma non certo per il metodo scientifico che egli

propugnava Andiamo ora ad esaminare il con t ributo scien tifico di Archimede ed a vederne la estrema

attualitagrave con cui oggi vengono utilizzate le sue tecniche ed il suo approccio di problem-solving di stampo

galileano Il contributo scientifico Le intuizioni di Archimede spaziavano su campi diversificati Tra le

invenzioni e le app licazioni meccaniche attribuitegli si trov ano Il principio della leva La vite se nza fine

Il principio dell a spinta di galleggiamento e la stabilitagrave dei corpi nei fluidi di cui lo studio sul la

liquefazione e sui cedimenti del terreno Gli studi sulle sfere e sui cilindri I meccanismi in movimento un

esempio egrave lrsquo orologio ad a c q u a Tra le m acchine bellich e da lui d i segnate e co struite s i ricordano

specialmente Gli specchi ustori I ganci ed i bracci meccanici hellip e le rispettive applicazioni belliche tanto

tem u te dai Ro m a ni Tra gli studi di geometria si annoverano Studi sulle aree e sui volumi ldquoeccellentirdquo

I solidi regolari La spirale

Cicerone scopre la Tomba di Archimede

Olim dum quaestor Syracusis sum Archimedem insignem illus urbis civem a pulvere excitavi

Nam sepulcrum eius ignoratum a Syracusanis saeptum undique et vestitum vepribus ac dumetis

indagavi syracusani omnino negabant id esse sed ego tenebam senariolos inscriptos in eius monumento

ex quibus in summo Archimedis sepulcro sphaera cum cylindro posita erat ego autem omnia oculis

collustravi ( est enim apud portam sacram urbis magna frequentia sepulcrorum) et paululum postea

columellam non multum e dumis eminentem animadverti in ea erat sphaerae figura et cylindri Atque

ego statim syracusanis ( erant autem mecum principes civitatis) dixi ldquoEcce illud quod quaerebamrdquo

Immissi cum falcibus multi purgaverunt et aperuerunt locum deinde ad sepulcrum accessimus

Apparebat in illo epigramma fere dimidiatum erat illud Archimedis sepulcrumIta nobilis Siciliae civitas

ab homine Arpinati locum monumenti unius insignis civis sui didicit

Una volta mentre ero questore a Siracusa ho tirato fuori dalla polvere Archimede insigne

cittadino di quella cittagrave Infatti ho scoperto il suo sepolcro ignorato dai Siracusani ricoperto da ogni

parte da rovi e cespugli I siracusani affermavano che quello non esistesse ma io ricordavo dei senari

iscritti sulla sua tomba secondo i quali nella sommitagrave del sepolcro di Archimede vi era posta una sfera

con un cilindro Io tuttavia ho scrutato ogni cosa con lo sguardo (vi egrave infatti presso la porta sacra della

cittagrave una grande numero di sepolcri) e a poco a poco mi sono accorto di una colonnetta che non

sporgeva molto dai cespugli In quella vi era lrsquoeffigie di una sfera e di un cilindro

E io subito dissi ai Siracusani (erano infatti con me i cittadini piugrave ragguardevoli della cittagrave) ecco

quello che cercavo Entrati molti con le falci ripulirono e sgombrarono il luogo infine entrammo nel

sepolcro Appariva in quello unrsquo iscrizione quasi dimezzata era quello il sepolcro di Archimede Cosigrave la

celebre cittagrave della Sicilia conobbe il luogo del monumento di un suo insigne cittadino da un uomo di

Arpino

trattto da Tusculanae Disputationesrdquo di Cicerone

Trad Lo Giudice ndash Ferdico ndash Castellese IV H

Le opere di Archimede2

II 3 Archimede di Siracusa

Scarsi sono i particolari sulla vita di

Archimede ma possiamo ricavare qualche

informazione su di lui dalle storie di Plutarco Livio e

altri autori Plutarco descrivendo lrsquoassedio di Siracusa

da parte dei romani durante le Seconda Guerra Punica

ci dice che Archimede abbia inventato ingegnose

macchine da guerra per tenere lontano il nemico

catapulte [29] per lanciare pietre corde carrucole e

ganci per sollevare e schiantare le navi romane

dispositivi per sviluppare incendi sulle navi (come

questi dispositivi potessero essere realizzati e se

realmente Archimede sia stato in grado di realizzarli

ci egrave spiegato da Archimede e gli specchi ustori [30])

Durante il saccheggio della cittagrave Archimede venne

trucidato da un soldato romano nonostante che il

generale Marcello avesse dato lrsquoordine di salvare la

vita del matematico Poicheacute a quanto viene riferito

Archimede aveva settantacinque anni egrave molto

probabile che fosse nato nel 287 aC

Alcuni autori riportano che abbia visitato lrsquoEgitto e

che abbia studiato ad Alessandria con gli allievi di

Euclide fu probabilmente in questa occasione che

2 webunifeit

inventograve il dispositivo oggi noto come ldquovite di Archimederdquo [31] fatto di canali o tubi avvolti

elicoidalmente attorno ad un asse inclinato munito di una manovella per farlo girare

I vari resoconti rimastici sulla vita di Archimede sono drsquoaccordo nel dipingerlo come persona che

attribuiva scarso valore ai suoi congegni meccanici rispetto ai prodotti della sua attivitagrave intellettuale

Anche quando trattava di leve e di altre macchine semplici era molto piugrave interessato ai principi generali

che le governavano che alle loro applicazioni pratiche

Le opere di Archimede sopravvissute sono le seguenti Sullrsquoequilibrio dei piani

Di questo trattato in due libri fanno parte gli studi di Archimede sul principio della leva [32] Il

primo libro prende in considerazione figure rettilinee e si chiude con la discussione sui centri di gravitagrave

del triangolo e del trapezio Il secondo libro concentra lrsquoattenzione sul centro di gravitagrave di un segmento di

parabola e comprende una dimostrazione del fatto che questo centro si trova sul diametro del segmento e

divide questo diametro in segmenti che stanno nel rapporto di 3 a 2 Il procedimento usato per la

dimostrazione egrave il metodo di esaustione

Sui galleggianti

Questrsquoopera in due libri contiene dei risultati molto importanti Fra le proposizioni iniziali ve ne

sono due che formulano il noto principio della spinta idrostatica di Archimede [33]

Qualsiasi solido piugrave leggero di un fluido se collocato nel fluido si immergeragrave in misura tale che

il peso del solido saragrave uguale al peso del fluido spostato (Lib I Prop 5)

Un solido piugrave pesante di un fluido se collocato in esso discenderagrave in fondo al fluido e se si

peseragrave il solido nel fluido risulteragrave piugrave leggero del suo vero peso e la differenza di peso saragrave uguale al

peso del fluido spostato (Lib I Prop 7)

Oltre alle proprietagrave dei fluidi questo trattato contiene molte altre scoperte Quasi tutto il secondo

libro per esempio tratta della posizione di equilibrio di segmenti di paraboloidi quando siano immersi in

un fluido mostrando che la posizione di quiete dipende dal peso specifico relativo del paraboloide solido

e del fluido in cui galleggia

Sulla misura del cerchio

Questo piccolo trattato che egrave probabilmente incompleto nella forma in cui ci egrave pervenuto

comprende solo tre proposizioni ( egrave possibile vedere gli enunciati nel sito Sulla misura del cerchio [34])

una delle quali egrave la dimostrazione mediante il metodo di esaustione del teorema secondo cui lrsquoarea del

cerchio egrave uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come lati la circonferenza e il raggio del

cerchio stesso

Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra circonferenza di un cerchio e diametro Archimede diede

una ulteriore prova della sua abilitagrave nel calcolo Partendo dallrsquoesagono regolare inscritto egli calcolograve i

perimetri dei poligoni ottenuti raddoppiando successivamente il numero dei lati fino a raggiungere

novantasei lati Il risultato dal calcolo archimedeo relativo alla circonferenza era costituito da

unrsquoapprossimazione del valore di espressa dalla disuguaglianza che era un valore migliore di quello

ottenuto dagli egiziani e dai babilonesi (Va tenuto presente che neacute Archimede neacute alcun matematico

greco fece mai uso della notazione per indicare il valore del rapporto tra circonferenza di un cerchio e il

suo diametro)

Sulle spirali

Questo trattato fu molto ammirato ma poco letto poicheacute veniva considerato come la piugrave difficile

fra tutte le opere di Archimede La spirale viene definita come il luogo piano di un punto che partendo

dallrsquoestremo di un raggio o semiretta si sposta uniformemente lungo questo raggio mentre il raggio a sua

volta ruota uniformemente intorno al suo estremo

Lo studio che Archimede fece della spirale curva che attribuiva allrsquoamico Conone di Alessandria si

inquadrava nella scia delle ricerche tipiche della matematica greca volte a trovare le soluzioni dei tre

famosi problemi classici La curva si presta facilmente a effettuare molteplici sezioni dellrsquoangolo Come

nel caso della quadratrice perograve essa puograve anche servire a quadrare il cerchio come mostrograve lo stesso

Archimede

Nel punto P si tracci la tangente alla spirale OPR e questa tangente intersechi nel punto Q la retta che

passa per O ed egrave perpendicolare a OP (vedi Fig 1)

Archimede mostrava mediante una dimostrazione per duplice reductio ad absurdum che il

segmento OQ (noto come la sottotangente polare relativa al punto P) era uguale in lunghezza allrsquoarco di

cerchio PS del cerchio avente come centro O e come raggio OP

Se sulla spirale si sceglie un punto P come intersezione della spirale con la retta a 90deg in coordinate

polari la sottotangente polare OQ saragrave esattamente uguale a un quarto della circonferenza del cerchio di

raggio OP Pertanto lrsquointera circonferenza puograve essere costruita prendendo quattro volte il segmento OQ e

per mezzo del teorema di Archimede si trova un triangolo di area uguale allrsquoarea del cerchio Una

semplice trasformazione geometrica permetteragrave poi di sostituire il triangolo con un quadrato Ersquo cosigrave

effettuata la quadratura del cerchio

Gran parte dellrsquoopera di Archimede egrave di natura tale che oggi verrebbe inclusa in un corso di analisi

infinitesimale ciograve egrave particolarmente vero per il trattato Sulle spirali

Si puograve analizzare la spirale di Archimede e le curve ad essa associate visitando il sito La spirale di

Archimede [35] attraverso Java (un linguaggio di programmazione progettato per eseguire operazioni

evolute indipendente dalla macchina su cui si opera) si possono manipolare i dati ed ottenere tutte le

variazioni desiderate

Quadratura della parabola Al tempo in cui scriveva Archimede le sezioni coniche erano note da quasi un secolo e tuttavia

non era stato fatto nessun progresso nel calcolo delle loro aree Ci volle Archimede per quadrare una

sezione conica ossia un segmento della parabola e lo fece nella Proposizione 17 dellrsquoopera in cui la

quadratura costituiva lrsquoobiettivo principale La dimostrazione per mezzo del solito metodo di esaustione

egrave lunga e complessa comunque Archimede riuscigrave a dimostrare rigorosamente che lrsquoarea K di un

segmento parabolico APBQC egrave uguale a quattro terzi dellrsquoarea di un triangolo avente la stessa base e

uguale altezza

Nelle successive sette (e ultime) proposizioni Archimede dava una seconda ma diversa dimostrazione

del medesimo teorema Egli dimostrava che lrsquoarea del triangolo inscritto maggiore ABC con base AC egrave

quattro volte la somma dei corrispondenti triangoli inscritti aventi come basi rispettivamente AB e BC

Continuando il processo suggerito da questa relazione risulta chiaro che lrsquoarea H del segmento

parabolico ABC egrave data dalla somma della serie infinita che egrave Archimede non parla di somma della serie

infinita percheacute ai suoi tempi i processi non finiti venivano disapprovati Ricorrendo invece a una duplice

reductio ad absurdum Archimede dimostrava che H non poteva essere neacute maggiore neacute minore di

(Archimede come i suoi predecessori non usava il termine ldquoparabolardquo ma lrsquoespressione ldquoortotomordquo

ossia ldquosezione di un cono rettordquo)

Nel preambolo alla Quadratura della parabola incontriamo lrsquoassunzione che oggi egrave comunemente noto

come lrsquoassioma di Archimede

Lrsquoeccesso per cui la maggiore di due aree disuguali supera la minore puograve se sommato a se

stesso diventare superiore a qualsiasi area finita data

Nel sito La teoria della misura da Archimede a Bonaventura Cavalieri [36] si puograve esaminare

il procedimento di dimostrazione per la quadratura della parabola

Sui conoidi e sferoidi

Nonostante Archimede non sia stato in grado di trovare lrsquoarea di un segmento qualsiasi di ellisse

o di iperbole in questo trattato riuscigrave a determinare lrsquoarea di tutta lrsquoellisse

Le aree delle ellissi sono come i rettangoli formati dai loro assi (Prop 6)

Ciograve equivale a dire che lrsquoarea di unrsquoellisse egrave uguale allrsquoarea di un cerchio il cui raggio sia la media

geometrica dei semiassi dellrsquoellisse Inoltre mostrava come trovare il volume di segmenti tagliati da un

ellissoide da un paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno allrsquoasse principale Il

processo da lui usato egrave molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di integrazione differisce

principalmente per la mancanza del concetto di limite di una funzione

Sulla sfera e sul cilindro

Archimede volle che sulla sua tomba fosse incisa la figura che rappresentava una sfera inscritta in

un cilindro circolare retto la cui altezza egrave uguale al diametro della sfera ( per maggiori dettagli si veda La

lapide di Archimede [37]) egli aveva infatti scoperto e dimostrato che il rapporto tra i volumi del

cilindro e della sfera era uguale al rapporto tra le rispettive aree cioegrave era un rapporto di tre a due Inoltre

sembra che Archimede sia stato il primo a scoprire e a dimostrare che lrsquoarea di una sfera egrave quattro volte

lrsquoarea del suo cerchio massimo e che

la superficie di una qualsiasi calotta sferica egrave uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al

segmento tracciato dal vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa

Un teorema molto importante relativo alla superficie della sfera compare nella Proposizione 33

dopo una lunga serie di teoremi preliminari riguardanti la funzione seno

Se in un segmento di cerchio LrsquoALrsquo viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati

esclusa la base siano uguali e il loro numero sia pari come LKhellipAhellipKrsquoLrsquo ove A egrave il punto di mezzo del

segmento e se si tracciano le linee BBrsquo CCrsquo hellip parallele alla base LLrsquo e congiungenti coppie di punti

angolari allora (BBrsquo+CCrsquo+hellip+LM)AM=ArsquoBBA ove M egrave il punto di mezzo di LLrsquo e AArsquo egrave il diametro

passante per M

La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34 del Libro I

Qualsiasi sfera egrave uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della

sfera e lrsquoaltezza uguale al raggio della sfera

Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario ne segue il

rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto

LrsquoArenario

In questrsquoopera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri superiori a

nella notazione moderna Egli sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i

granelli di sabbia richiesti per riempire lrsquouniverso Ciograve era in risposta allrsquoipotesi avanzata da Aristarco di

Srsquoamo che la Terra si muovesse attorno al Sole

Ersquo possibile leggere lrsquointera opera tradotta in inglese visitando il sito lrsquoArenario [38]

Il libro dei lemmi

La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica superiore

Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari In questrsquoopera per esempio

troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del calzolaio) Questo egrave la regione delimitata da tre

semicerchi che sono reciprocamente tangenti a due a due lrsquoarea in questione egrave quella che si trova

allrsquointerno del semicerchio piugrave grande e allrsquoesterno dei semicerchi piugrave piccoli Vi egrave anche un teorema su

quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione archimedea dellrsquoangolo

Il libro dei lemmi non ci egrave pervenuto nel testo originale greco ma attraverso una traduzione araba che

piugrave tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum Di fatto questrsquoopera come ci egrave pervenuta

non puograve essere genuinamente archimedea percheacute il nome di Archimede viene citato piugrave volte nel corso

del testo Nondimeno anche se questo trattato non egrave altro che una miscellanea di teoremi attribuiti ad

Archimede dagli arabi lrsquoopera nella sua sostanza egrave probabilmente autentica

Il Metodo

Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di Archimede vi egrave

la scoperta fatta nel nostro secolo di uno dei suoi trattati piugrave importanti intitolato Il Metodo di cui si

erano perdute le tracce fin dai primi secoli dellrsquoEra cristiana fincheacute non venne riscoperto nel 1906

Qui Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini ldquomeccanicherdquo preliminari che lo

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

VViittaa ddaa sscciieennzziiaattoo AArrcchhiimmeeddee ddii SSiirraaccuussaa

Laboratorio Vita da scienziato Archimede di Siracusa (in greco Ἀ ρχιμήδης Siracusa circa 287 aC

ndash Siracusa 212 aC) Chi egrave Archimede Ersquo un matematico astronomo fisico e inve ntore greco antico Si

hanno pochi dati certi sulla vita di Archimede ma da tutti viene riconosciu to come uno dei piugrave grandi

scienziato della storia umana infatti ha realizzato sia invenzioni e scoperte molto importanti in

matematica e fisica (dalla leva al galleggiamento dei corpi) sia soluzioni tecniche uti li e brillanti che ha

applicato alle sue macchine (dalla vite alle carrucole) In quale ambiente egrave nato e cresciuto (0 ‐ 30

anni) La data di nascita non egrave certa Viene di solito accettata quella del 287 aC sulla base

dellrsquoinformazione sulla su a morte allrsquoetagrave di settantaci nque anni Forse egrave figlio di un astronomo

siracusano di nome Fidia e ha eredit ato dal padre lrsquoamore per le scienze esatte Secondo Plutarco egrave

imparentato col re Gerone tesi controvers a ma supportata dalla stretta amicizia che li lega Di che cosa

si egrave occupato in gioventugrave (30 ‐ 40 anni) Dalle opere conservate e dalle testimonianze appare che fin da

giovane si egrave occupato di scienze matemati che lrsquoaritmetica la geometria piana la geometria solida ma

anche la meccanica lrsquoottica lrsquoidrostatic a lrsquoastronomia Mostra un grande interesse per le applicazioni

tecnologiche Trascorre qualche anno in Eg itto ad Alessandria drsquoEgitto stringe amicizia con il

matematico e astronomo Conone di Samo ricordato anche nelle sue opere

Percheacute la vita di Archimede egrave cosigrave utile (40

‐ 50 anni) Tornato a Siracusa entra una

corrispondenza con vari scienziati di

Alessandria tra i quali Dositeo ed

Eratostene al qual e dedica il trattato Il

metodo e rivolge il problema dei buoi del

sole Archimede si interessa della gestione

delle acqua e si impegna a progettare e

costruire macchine capaci di spostare grandi

pesi con piccole forze Lo storico Pappo di

Alessandria racconta che Archimede

entusiasta per le possibilit agrave offerte dalle

macchine che ha costruito abbia esclamato

laquodatemi un punto drsquoappoggio e vi solleverograve il

mondoraquo Come ha smascherato il finto oro

della corona (50 ‐ 60 anni) Vitruvio

racconta nel trattato Sui corpi galleggianti che Archimede ha iniziato a occuparsi di id rostatica percheacute il

re Gerone gli chiede di determinare se la sua corona egrave stata realizzata co n oro puro oppure il fabbro ha

utilizzando internamente altri metalli mettendo lrsquooro solo sulla superficie Sc opre come risolvere il

problema mentre fa un bagno notando che una sua immersione provoca un innalzamento del livello

dellrsquoacqua Questa osservazione lrsquoha reso cosigrave felice che esce nudo dallrsquoacqua esclamando ldquo ε ὕ ρηκα rdquo (

heacuteureka ho trovato ) Come ha aiutato Siracusa a co mbattere contro i romani (60 ‐ 70 anni) Vari

autori romani (Polibio Tito Livio Plutarco)

riferiscono che durante la seconda gue rra

punica su richiesta del re Gerone di Siracusa

alleato dei cartaginesi Archimede si dedica

(con minore entusiasmo ma co n significativi

successi) a realizzare macchine belliche per

aiutare la sua cittagrave a di fendersi dallrsquoattacco di

Roma Contro le legioni e la potente flotta di

Roma Siracusa dispone di poche migliaia di

uomini e il genio di un vecchio le macchine

di Archimede che scagliano massi ciclopici

una tempesta di ferro e raggi solari concentrati

contro le sessanta grandi navi a remi di Marco

Claudio Marcello Come egrave morto Archimede

(70 ‐ 75 anni) Nel 212 aC viene ucciso da un

soldato romano durante il sacco di Siracusa

quando viene conquistata Si narrano tre

differe nti versioni della morte di Archimede

Nella prima un soldato romano intima ad Archimede di seguirlo da Ma rcello al suo rifiuto di farlo prima

di finire di risolto il problema cui si sta applicando il soldato lo u ccide appena saputa la notizia

Marcello fa uccidere il soldato visto che il suo ordi ne egrave stato di catturarlo vivo per poter sfruttare la sue

capacitagrave Nella seconda un soldato romano si presenta per uccidere Archimede che lo prega invano di

lasciargli almeno terminare la dimostrazione nella quale era impegnato Nella terz a il soldato incontra

Archimede mentre sta portando a Marcello alcuni strumenti scientifici (meridiane sf ere e squadre) in

una casse tta il soldato pensando a una cassetta piena drsquooro lo uccide per impadronirsene In ogni caso

Marcello profondamente addolorato per la sua morte fa dare onorevole sepoltura allo scienziato

Archimede di Siracusa

Archimede di Siracusa

Gli studiosi sono uomini privilegiati pochi

di loro conoscono il Greco e la maggior

parte di loro non sa nientrsquoaltro

Quando Newton disserdquo Se ho visto piugrave di altri egrave percheacute

stavo sulle spalle dei giganti ldquo uno dei giganti che doveva avere in

mente era Archimede di Siracusa il piugrave brillante matematico fisico e

ingegnere dellrsquoantichitagrave Poco si sa della sua vita Nacque intorno al

287 aC a Siracusa figlio dellrsquoastronomo Fidia e a quanto pare

trascorse gran parte della sua vita a Siracusa Studiograve presso

lrsquoUniversitagrave di Alessandria sia sotto gli immediati successori di

Euclide sia sotto Euclide stesso Era un amico e parente di Gerone II

re di Siracusa per il quale progettograve le macchine da guerra utilizzate

contro gli aggressori romani e la cui corona fu coinvolta nella

scoperta della legge della spinta verso lrsquoalto che porta il suo nome

Gerone (correttamente) sospettograve che la sua corona non fosse drsquooro

puro e chiese ad Archimede di indagare senza danneggiarla Si sa che Archimede meditograve sul problema

mentre si faceva un bagno e trovograve la risposta non appena osservograve il livello dellrsquoacqua alzarsi sino a

sommergere il suo corpo GridandordquoEUREKA Ho trovatordquo dice questa leggenda corse nudo per le

strade di Siracusa per dire a Gerone della sua scoperta Il suo libro sui corpi galleggianti va ben oltre la

legge di Archimede e comprende complicati problemi di stabilitagrave Allo stesso modo SullrsquoEquilibrio dei

Piani va oltre il principio della leva e risolve complicati problemi come trovare il baricentro di un

segmento parabolico In queste come in altre sue opere Archimede utilizza lrsquoapproccio euclideo da un

insieme di semplici postulati deduce le sue affermazioni con logica impeccabile Come primo scrittore

che costantemente legograve matematica e fisica Archimede egrave diventato il padre della fisica come scienza La

fisica di Aristotele fu pubblicata un secolo prima ma egrave solo una lunga sfilza di speculazioni infondate

totalmente prive di qualsiasi relazione quantitativa Archimede egrave stato anche il primo ingegnere

scientifico lrsquouomo alla ricerca di principi generali che applicograve a specifici problemi drsquoingegneria La sua

applicazione del principio della leva per le macchine da guerra in difesa di Siracusa sono ben noti inoltre

applicograve ancora lo stesso principio per trovare il volume del segmento di una sfera con un metodo di

bilanciamento insolitamente bello di cui avremo piugrave da dire piugrave avanti in questo capitolo Ha usato lo

stesso metodo per determinare i volumi di altri solidi di rotazione (ellissoide paraboloide iperboloide) e

per trovare il centro di gravitagrave del semicerchio e dellrsquoemisfera Non egrave noto quante opere di Archimede

siano andate perdute (una delle piugrave importanti Il Metodo egrave venuta alla luce solo nel 1906) ma i suoi libri

rimasti tra cui Sulle Spirali Sulla Misurazione del Cerchio La Quadratura della Parabola Sui Conoidi e

Sferoidi Sulla Sfera e il Cilindro Il Libro dei Lemmi e altri sono ineguagliate da qualsiasi altro prodotto

dellrsquoantichitagrave

Il metodo di Archimede per calcolare

Non solo a causa dei risultati meravigliosi contenuti in questi libri ma anche percheacute Archimede fu un

pioniere del Metodo Partendo dal concetto di ldquougualerdquo arrivograve a quello di ldquoarbitrariamente vicino ardquo o

ldquotanto vicino quanto desideratordquo (che Euclide aveva enunciato ma non attivamente usato) e quindi

raggiunse la soglia del calcolo differenziale proprio come il suo metodo di quadratura della parabola

raggiunse la soglia del calcolo integrale (alcuni ritengono che la abbia superata)

Ersquo stato anche il primo a ideare un metodo per calcolare π con un qualunque grado desiderato di

precisione Esso si basa sul fatto che il perimetro di un poligono regolare di n lati inscritto in una

circonferenza egrave minore della circonferenza mentre il perimetro di un poligono simile circoscritto alla

circonferenza egrave maggiore della circonferenza (vedi figura sotto) Rendendo n sufficientemente grande i

due perimetri si avvicineranno alla circonferenza arbitrariamente uno per difetto lrsquoaltro per eccesso

Archimede iniziograve con un esagono e progressivamente raddoppiando il numero dei lati arrivograve a un

poligono di 96 lati il che diede

(1)

Ciograve che Archimede ha fatto senza trigonometria e senza notazione decimale (o altra notazione

posizionale) egrave unrsquoillustrazione della sua tenacia (vedi la traduzione di Heath ldquoSulla Misura del Cerchiordquo

proposizione 3 e seguenti) Tuttavia potremmo utilizzarle entrambe per procedere con i calcoli Se egrave

metagrave dellrsquoangolo sotteso da un lato di un poligono regolare di n lati nel centro della circonferenza allora

la lunghezza del lato inscritto egrave

(3)

e quella del lato circoscritto egrave

(4)

Un poligono regolare di 40 lati Non egrave stata disegnata la circonferenza interna

Per lrsquoesagono Archimede ha approssimato col valore leggermente inferiore di 265153 un poligono a

12 lati lo impegnograve nel rapporto che ha semplificato a e il poligono finale di 96 lati coinvolge una

radice quadrata di un numero che nel sistema decimale ha dieci cifre

Come sia riuscito ad estrarre le sue radici quadrate con tale accuratezza sempre avendo cura di

rispettare cosigrave sottilmente il lato piccolo o il lato grande come richiesto dai limiti egrave uno degli enigmi che

questo straordinario uomo ci ha lasciato Ma sembra che Archimede sia andato anche oltre Erone di

Alessandria nella sua Metrica (circa il 60 AC ma non scoperta fino al 1896) si riferisce a un lavoro di

Archimede che da allora egrave andato perso in cui Archimede dagrave i limiti

Tuttavia questo egrave evidentemente un errore che si deve essere insinuato durante la trascrizione

della copia perchegrave egrave molto piugrave scadente rispetto al limite superiore 3+17 trovato da Archimede in

precedenza Erone aggiungerdquo poicheacute questi numeri sono scomodi per le misurazioni p viene ridotto al

rapporto di numeri piugrave piccoli ossia 227

Archimede ha anche mostrato che una curva scoperta da Conone di Alessandria poteva come la

quadratrice di Ippia essere utilizzata per rettificare (e quindi quadrare) il cerchio La curva egrave oggi

chiamata la spirale di Archimede egrave definita come il luogo geometrico piano di un punto che si sposta di

moto rettilineo uniforme lungo un raggio mentre il raggio ruota di moto circolare uniforme attorno alla

sua estremitagrave Egrave questa la curva tracciata da una puntina che striscia radialmente verso lrsquoesterno su un

disco fonografico rotante Sia P un punto della spirale (vedi figura sopra) e la tangente in P intersechi la

perpendicolare alla retta OP in R Archimede mostrograve nel suo libro ldquoSulle Spiralirdquo che il segmento OR

(cioegrave la sottotangente polare nel punto P) egrave uguale alla lunghezza dellrsquoarco circolare PS di raggio OP

dove S egrave lrsquointersezione con il raggio iniziale OU

Rettificazione della circonferenza per mezzo della Spirale di Archimede

Tali furono alcuni dei contributi del piugrave grande genio dellrsquoantichitagrave alla storia del pi greco e della

quadratura del cerchio Anche se gli investigatori successivamente hanno trovato approssimazioni

numeriche migliori il metodo poligonale di Archimede egrave rimasto insuperato fino a quando diciannove

secoli piugrave tardi furono trovati in Inghilterra un prodotto infinito e una frazione continua infinita poco

prima che la scoperta del calcolo differenziale portasse a un approccio totalmente nuovo al problema

In fisica nessuno egrave giunto vicino alla statura di Archimede per piugrave di 18 secoli fino a quando

Galileo Galilei osograve sfidare le menzogne di Aristotele Le ombre di quelle menzogne sono con noi persino

adesso Crsquoegrave la storia della matematica che non scusa Archimede per essersi sporcato le mani con il lavoro

sperimentale Nel tardo 1968 ci viene detto che ldquoegli mise poco valore nei suoi congegni meccanicirdquo e

che rdquoconsiderava i suoi congegni e invenzioni come sordidamente commercialirdquo (1965) Commenti

simili si trovano in quasi tutti i libri sullrsquoargomento sostenendo lrsquoosservazione di Philip Guedella ldquoLa

storia si ripete gli storici si ripetono lrsquoun lrsquoaltrordquo Il mito ripetitivo egrave stato iniziato da Plutarco che nel

primo secolo dC ha scritto che

Considerando la meccanica e ogni arte utilitaristica come ignobile e volgare egli dette la sua

zelante devozione solo a quei soggetti la eleganza e sottigliezza sono non impastoiate dalle necessitagrave

della vita

Ora Plutarco non poteva forse sapere cosa Archimede avesse considerato ignobile e volgare il

suo credo era buono come il vostro o il mio Ma proprio come per diciannove secoli gli storici hanno

riecheggiato Plutarco cosigrave Plutarco fa eco allrsquoatteggiamento di Platone e Aristotele i padri dello

snobismo intellettuale Essi hanno insegnato che la sperimentazione era adatta solo per gli schiavi e che

le leggi della natura potevano essere dedotte soltanto dallrsquouomo di alto intelletto e Aristotele ha usato il

suo nobile intelletto per scoprire che i corpi piugrave pesanti cadono a terra piugrave velocemente che gli uomini

hanno piugrave denti rispetto alla donna che la Terra egrave al centro dellrsquouniverso che i corpi celesti non

cambiano mai e molto di piugrave di tale saggezza percheacute era uno scrittore molto prolifico Di fatto Aristotele

egrave stato sconfitto sul proprio terreno per mezzo della pura deduzione intellettuale dellrsquoosservazione

sperimentale Molto tempo prima che Galileo Galilei facesse cadere delle palle di legno e di piombo dalla

Torre pendente di Pisa egli pose la seguente domandardquo Se una pietra di 10 libbre cade 10 volte piugrave

velocemente di una da 1 libbra cosa succede se lego insieme le due pietre La combinazione cadragrave piugrave

velocemente della pietra di 10 libbre percheacute pesa 11 libbre o cadragrave piugrave lentamente percheacute la pietra da 1

libbra ritarderagrave la pietra da 10 libbrerdquo

Il commento di Plutarco sullrsquoatteggiamento di Archimede per lrsquoingegneria egrave una elaborazione

con nessun fondamento diverso dallo snobismo aristotelico

Archimede saluta Eratostene

Ti ho spedito nella precedente occasione alcuni dei teoremi scoperti da me semplicemente

scrivendoti gli enunciati e invitandoti a scoprire le dimostrazioni che a quel tempo non ti diedi

Poi le dimostrazioni di questi teoremi le ho scritte in questo libro e ora te lo invio Inoltre

vedendo in te come giagrave dissi uno studente volenteroso[hellip] ho ritenuto opportuno scriverti e spiegare in

dettaglio nello stesso libro la particolaritagrave di un certo metodo con cui saragrave possibile per te indagare alcuni

dei problemi di matematica mediante la meccanica Questa procedura egrave sono convinto non meno utile

persino delle stesse dimostrazioni dei teoremi percheacute certe cose prima mi sono diventate chiare con un

metodo meccanico malgrado dovessero essere dimostrate dopo tramite la geometria percheacute la loro

indagine col sopraccitato metodo non forniva una vera dimostrazione Ma quando abbiamo acquisito col

metodo alcune conoscenze dei problemi egrave la strada piugrave facile per fornire la dimostrazione anziccheacute

trovarla senza alcuna conoscenza precedente

Un chiaro esempio di questo metodo egrave lrsquoapplicazione di Archimede del principio della leva per

ricavare il volume di un segmento sferico oltre che dellrsquointera sfera come indicato nella figura di pag 71

Cosigrave grande valore dette Archimede a questa scoperta che chiese che una sfera inscritta in un cilindro

fosse incisa sulla sua lapide e questo egrave stato fatto percheacute anche se la lapide egrave andata perduta abbiamo

una descrizione della tomba da parte di Cicerone che la visitograve nel I secolo aC durante il suo incarico di

questore in Sicilia

Non egrave senza interesse ricordare come egrave stato recuperato Il Metodo Fu trovato nel 1906 a

Costantinopoli su un palinsesto che egrave una pergamena il cui testo originale egrave stato lavato (per recuperare

la pergamena) e sostituito con un testo diverso Se lrsquooriginale egrave stato lavato via non perfettamente esso

puograve essere ripristinato con una speciale fotografia In questo caso il testo originale era una copia del X

secolo di alcune opere note di Archimede ma pure includente lrsquounico testo superstite de Il Metodo Gli

zeloti medievali non sempre come il vescovo dello Yucatan o i Crociati a Costantinopoli bruciavano i

libri scientifici come opera del diavolo A volte essi pulivano il testo per la pergamena in modo che da

poterla sporcare con la loro immondizia superstiziosa

Il grande matematico fisico e filosofo Archimede di Siracusa1

Il personaggio e il contesto storico

Il contributo scientifico Il contributo metodologico e la

sua applicazione aziendale Bibliografia Allegato 1 Curricu lum Vitae

di Archimede da Siracusa

Il personaggio e il contesto storico Il grande matematico fisico e filosofo

Archimede di Siracusa (287 AC - 212 AC ) si

colloca storicamente secondo la tabella

riportata di seguito nel contesto culturale

sicuramente fecondo della Magna Grecia del

terzo secolo Avanti Cristo Il suo contributo

nel campo delle scienze applicate della fisica

e della matematica costituisce la base di

alcune delle tecnologie oggi di piugrave ampia

scala di utilizzo e a ragione di questo

contributo al sapere umano la sua effigie egrave ancora oggi riprodotta addirittura su i francobolli ed in passato

venne riprodo tta p r aticam ente in tutte le epoche storiche

1 IL CONTRIBUTO DELLA TECNOLOGIA APPLICATA AI SISTEMI ORGANIZZATI ARCHIMEDE DI SIRACUSA

Michel e Cibrari o MASTER MEDEA 2005-2006 Eni Corp orate Uni v ersity - Scuola Enrico Mattei

Questo ha consentito di conservare memoria nei secoli anche del suo aspetto fisico e non sono del suo

contributo cognitivo e scientifico peraltro forse piugrave im portante Il suo m e todo di calcolo delle aree e dei

volume ha anticipato di 2000 anni prima di Newton e Leibniz il calcolo integrale Per la straordinarietagrave

delle sue intuizi oni fisiche e per le applicazioni belliche d a lui r ealizza te Archimede egrave citato da tutti i

piugrave importa nti storiografi dellrsquoantichitagrave nei loro scritti

bull Diodorus Siculus (circa 1deg secolo A C ) Bibliotheke bull Athenaeus of Naucratis (circa 200 AC)

Deipnosophistae bull Eulero (1707-1783) XIV ldquoQuaestio nes Mathem aticaerdquo bull Vitruvio (circa 1deg secolo

AC) De Architectura bull Plutarco vari scritti I lavori di A r chimede che sono giunti fi no a noi d i rettam

e nte sono i seguenti bull DellrsquoEquilibrio dei pi ani (due libri) bull Quadratura della parabola bull Delle sfere e

dei cilindri (due libri) bull Delle spiral i bull Dei conoidi e degli sferoidi bull Dei corpi galleggianti (due libri)

bull Della misura del cerchio bull Il Palinsesto bull Il Metodo bull LrsquoArenario bull Lo Stomachion

Ci sono poi citazioni d i altri lavori di Archimede che son o invece andati perduti nei secoli lo storiografo

antico Pappus riporta di un lavoro sui Poliedri Semi -regolari Delle Leve e dellrsquoEquilibrio

Degli Sp ecchi Archimede venne ucciso nel 212 Avanti Cristo durante la presa della cittagrave di Siracusa da

parte dei Romani durante la seconda Guerra Punica quando tutti i suo i sforzi di tenerli a bada con le

macchine belliche erano falliti La storia della sua morte egrave raccontata da Plutarco e Cicerone in segno di

omaggio cercograve e trovo la tomba di Archimede nel 75 Avanti Cristo

Tutte le suddette opere furono tradotte in latino nel medioevo e studiate a fondo durante il Rinascimento

Ersquo singolare che lrsquoenorme contributo di Archimede sia s tato rivalutato e riscoperto solo dopo che Euclide

pubblicograve ldquoGli Elementirdquo Francobolli di vari paesi con lrsquoeffigie di Archimede

Archimede nei secoli Ersquo noto che nel mondo ellenistico in particolare fra la Magna Grecia e lrsquoEgitto

crsquoera un ricco e complesso sviluppo di ricerca scientifica con un im pegno anche nellrsquoevoluzione

tecnologica Strumenti di calcolo (o di rilevazione astronomica) non servivano solo per applicazioni

pratiche di ingegneria ma anche allrsquoevoluzione del pensiero filosofico Archimede si colloca in quel

contesto Quel processo si egrave in gran parte interrotto nel medioevo NellrsquoEuropa che si era formata dopo

le ldquoinvasioni barbaricherdquo il pensiero d e lla cultura classica non era d e l tutto perduto ma conservato solo

in alc une ristre tte com unitagrave monastiche o in societagrave segrete sospettate di eresia Le sperim entazioni

scientifiche e tecniche erano viste con diffidenza co me magie stregonerie o pratiche demoniache ndash me

ntre le corporazioni di ldquoarti e mestieri rdquo custodivano gelosamente i loro segreti e spesso assumevano il

carattere di comunitagrave esoteriche ed iniziatiche In queste epoche storiche gli scri tti di Archim ede sono

stati visti per le applicazioni tecnologiche suggerite ma non certo per il metodo scientifico che egli

propugnava Andiamo ora ad esaminare il con t ributo scien tifico di Archimede ed a vederne la estrema

attualitagrave con cui oggi vengono utilizzate le sue tecniche ed il suo approccio di problem-solving di stampo

galileano Il contributo scientifico Le intuizioni di Archimede spaziavano su campi diversificati Tra le

invenzioni e le app licazioni meccaniche attribuitegli si trov ano Il principio della leva La vite se nza fine

Il principio dell a spinta di galleggiamento e la stabilitagrave dei corpi nei fluidi di cui lo studio sul la

liquefazione e sui cedimenti del terreno Gli studi sulle sfere e sui cilindri I meccanismi in movimento un

esempio egrave lrsquo orologio ad a c q u a Tra le m acchine bellich e da lui d i segnate e co struite s i ricordano

specialmente Gli specchi ustori I ganci ed i bracci meccanici hellip e le rispettive applicazioni belliche tanto

tem u te dai Ro m a ni Tra gli studi di geometria si annoverano Studi sulle aree e sui volumi ldquoeccellentirdquo

I solidi regolari La spirale

Cicerone scopre la Tomba di Archimede

Olim dum quaestor Syracusis sum Archimedem insignem illus urbis civem a pulvere excitavi

Nam sepulcrum eius ignoratum a Syracusanis saeptum undique et vestitum vepribus ac dumetis

indagavi syracusani omnino negabant id esse sed ego tenebam senariolos inscriptos in eius monumento

ex quibus in summo Archimedis sepulcro sphaera cum cylindro posita erat ego autem omnia oculis

collustravi ( est enim apud portam sacram urbis magna frequentia sepulcrorum) et paululum postea

columellam non multum e dumis eminentem animadverti in ea erat sphaerae figura et cylindri Atque

ego statim syracusanis ( erant autem mecum principes civitatis) dixi ldquoEcce illud quod quaerebamrdquo

Immissi cum falcibus multi purgaverunt et aperuerunt locum deinde ad sepulcrum accessimus

Apparebat in illo epigramma fere dimidiatum erat illud Archimedis sepulcrumIta nobilis Siciliae civitas

ab homine Arpinati locum monumenti unius insignis civis sui didicit

Una volta mentre ero questore a Siracusa ho tirato fuori dalla polvere Archimede insigne

cittadino di quella cittagrave Infatti ho scoperto il suo sepolcro ignorato dai Siracusani ricoperto da ogni

parte da rovi e cespugli I siracusani affermavano che quello non esistesse ma io ricordavo dei senari

iscritti sulla sua tomba secondo i quali nella sommitagrave del sepolcro di Archimede vi era posta una sfera

con un cilindro Io tuttavia ho scrutato ogni cosa con lo sguardo (vi egrave infatti presso la porta sacra della

cittagrave una grande numero di sepolcri) e a poco a poco mi sono accorto di una colonnetta che non

sporgeva molto dai cespugli In quella vi era lrsquoeffigie di una sfera e di un cilindro

E io subito dissi ai Siracusani (erano infatti con me i cittadini piugrave ragguardevoli della cittagrave) ecco

quello che cercavo Entrati molti con le falci ripulirono e sgombrarono il luogo infine entrammo nel

sepolcro Appariva in quello unrsquo iscrizione quasi dimezzata era quello il sepolcro di Archimede Cosigrave la

celebre cittagrave della Sicilia conobbe il luogo del monumento di un suo insigne cittadino da un uomo di

Arpino

trattto da Tusculanae Disputationesrdquo di Cicerone

Trad Lo Giudice ndash Ferdico ndash Castellese IV H

Le opere di Archimede2

II 3 Archimede di Siracusa

Scarsi sono i particolari sulla vita di

Archimede ma possiamo ricavare qualche

informazione su di lui dalle storie di Plutarco Livio e

altri autori Plutarco descrivendo lrsquoassedio di Siracusa

da parte dei romani durante le Seconda Guerra Punica

ci dice che Archimede abbia inventato ingegnose

macchine da guerra per tenere lontano il nemico

catapulte [29] per lanciare pietre corde carrucole e

ganci per sollevare e schiantare le navi romane

dispositivi per sviluppare incendi sulle navi (come

questi dispositivi potessero essere realizzati e se

realmente Archimede sia stato in grado di realizzarli

ci egrave spiegato da Archimede e gli specchi ustori [30])

Durante il saccheggio della cittagrave Archimede venne

trucidato da un soldato romano nonostante che il

generale Marcello avesse dato lrsquoordine di salvare la

vita del matematico Poicheacute a quanto viene riferito

Archimede aveva settantacinque anni egrave molto

probabile che fosse nato nel 287 aC

Alcuni autori riportano che abbia visitato lrsquoEgitto e

che abbia studiato ad Alessandria con gli allievi di

Euclide fu probabilmente in questa occasione che

2 webunifeit

inventograve il dispositivo oggi noto come ldquovite di Archimederdquo [31] fatto di canali o tubi avvolti

elicoidalmente attorno ad un asse inclinato munito di una manovella per farlo girare

I vari resoconti rimastici sulla vita di Archimede sono drsquoaccordo nel dipingerlo come persona che

attribuiva scarso valore ai suoi congegni meccanici rispetto ai prodotti della sua attivitagrave intellettuale

Anche quando trattava di leve e di altre macchine semplici era molto piugrave interessato ai principi generali

che le governavano che alle loro applicazioni pratiche

Le opere di Archimede sopravvissute sono le seguenti Sullrsquoequilibrio dei piani

Di questo trattato in due libri fanno parte gli studi di Archimede sul principio della leva [32] Il

primo libro prende in considerazione figure rettilinee e si chiude con la discussione sui centri di gravitagrave

del triangolo e del trapezio Il secondo libro concentra lrsquoattenzione sul centro di gravitagrave di un segmento di

parabola e comprende una dimostrazione del fatto che questo centro si trova sul diametro del segmento e

divide questo diametro in segmenti che stanno nel rapporto di 3 a 2 Il procedimento usato per la

dimostrazione egrave il metodo di esaustione

Sui galleggianti

Questrsquoopera in due libri contiene dei risultati molto importanti Fra le proposizioni iniziali ve ne

sono due che formulano il noto principio della spinta idrostatica di Archimede [33]

Qualsiasi solido piugrave leggero di un fluido se collocato nel fluido si immergeragrave in misura tale che

il peso del solido saragrave uguale al peso del fluido spostato (Lib I Prop 5)

Un solido piugrave pesante di un fluido se collocato in esso discenderagrave in fondo al fluido e se si

peseragrave il solido nel fluido risulteragrave piugrave leggero del suo vero peso e la differenza di peso saragrave uguale al

peso del fluido spostato (Lib I Prop 7)

Oltre alle proprietagrave dei fluidi questo trattato contiene molte altre scoperte Quasi tutto il secondo

libro per esempio tratta della posizione di equilibrio di segmenti di paraboloidi quando siano immersi in

un fluido mostrando che la posizione di quiete dipende dal peso specifico relativo del paraboloide solido

e del fluido in cui galleggia

Sulla misura del cerchio

Questo piccolo trattato che egrave probabilmente incompleto nella forma in cui ci egrave pervenuto

comprende solo tre proposizioni ( egrave possibile vedere gli enunciati nel sito Sulla misura del cerchio [34])

una delle quali egrave la dimostrazione mediante il metodo di esaustione del teorema secondo cui lrsquoarea del

cerchio egrave uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come lati la circonferenza e il raggio del

cerchio stesso

Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra circonferenza di un cerchio e diametro Archimede diede

una ulteriore prova della sua abilitagrave nel calcolo Partendo dallrsquoesagono regolare inscritto egli calcolograve i

perimetri dei poligoni ottenuti raddoppiando successivamente il numero dei lati fino a raggiungere

novantasei lati Il risultato dal calcolo archimedeo relativo alla circonferenza era costituito da

unrsquoapprossimazione del valore di espressa dalla disuguaglianza che era un valore migliore di quello

ottenuto dagli egiziani e dai babilonesi (Va tenuto presente che neacute Archimede neacute alcun matematico

greco fece mai uso della notazione per indicare il valore del rapporto tra circonferenza di un cerchio e il

suo diametro)

Sulle spirali

Questo trattato fu molto ammirato ma poco letto poicheacute veniva considerato come la piugrave difficile

fra tutte le opere di Archimede La spirale viene definita come il luogo piano di un punto che partendo

dallrsquoestremo di un raggio o semiretta si sposta uniformemente lungo questo raggio mentre il raggio a sua

volta ruota uniformemente intorno al suo estremo

Lo studio che Archimede fece della spirale curva che attribuiva allrsquoamico Conone di Alessandria si

inquadrava nella scia delle ricerche tipiche della matematica greca volte a trovare le soluzioni dei tre

famosi problemi classici La curva si presta facilmente a effettuare molteplici sezioni dellrsquoangolo Come

nel caso della quadratrice perograve essa puograve anche servire a quadrare il cerchio come mostrograve lo stesso

Archimede

Nel punto P si tracci la tangente alla spirale OPR e questa tangente intersechi nel punto Q la retta che

passa per O ed egrave perpendicolare a OP (vedi Fig 1)

Archimede mostrava mediante una dimostrazione per duplice reductio ad absurdum che il

segmento OQ (noto come la sottotangente polare relativa al punto P) era uguale in lunghezza allrsquoarco di

cerchio PS del cerchio avente come centro O e come raggio OP

Se sulla spirale si sceglie un punto P come intersezione della spirale con la retta a 90deg in coordinate

polari la sottotangente polare OQ saragrave esattamente uguale a un quarto della circonferenza del cerchio di

raggio OP Pertanto lrsquointera circonferenza puograve essere costruita prendendo quattro volte il segmento OQ e

per mezzo del teorema di Archimede si trova un triangolo di area uguale allrsquoarea del cerchio Una

semplice trasformazione geometrica permetteragrave poi di sostituire il triangolo con un quadrato Ersquo cosigrave

effettuata la quadratura del cerchio

Gran parte dellrsquoopera di Archimede egrave di natura tale che oggi verrebbe inclusa in un corso di analisi

infinitesimale ciograve egrave particolarmente vero per il trattato Sulle spirali

Si puograve analizzare la spirale di Archimede e le curve ad essa associate visitando il sito La spirale di

Archimede [35] attraverso Java (un linguaggio di programmazione progettato per eseguire operazioni

evolute indipendente dalla macchina su cui si opera) si possono manipolare i dati ed ottenere tutte le

variazioni desiderate

Quadratura della parabola Al tempo in cui scriveva Archimede le sezioni coniche erano note da quasi un secolo e tuttavia

non era stato fatto nessun progresso nel calcolo delle loro aree Ci volle Archimede per quadrare una

sezione conica ossia un segmento della parabola e lo fece nella Proposizione 17 dellrsquoopera in cui la

quadratura costituiva lrsquoobiettivo principale La dimostrazione per mezzo del solito metodo di esaustione

egrave lunga e complessa comunque Archimede riuscigrave a dimostrare rigorosamente che lrsquoarea K di un

segmento parabolico APBQC egrave uguale a quattro terzi dellrsquoarea di un triangolo avente la stessa base e

uguale altezza

Nelle successive sette (e ultime) proposizioni Archimede dava una seconda ma diversa dimostrazione

del medesimo teorema Egli dimostrava che lrsquoarea del triangolo inscritto maggiore ABC con base AC egrave

quattro volte la somma dei corrispondenti triangoli inscritti aventi come basi rispettivamente AB e BC

Continuando il processo suggerito da questa relazione risulta chiaro che lrsquoarea H del segmento

parabolico ABC egrave data dalla somma della serie infinita che egrave Archimede non parla di somma della serie

infinita percheacute ai suoi tempi i processi non finiti venivano disapprovati Ricorrendo invece a una duplice

reductio ad absurdum Archimede dimostrava che H non poteva essere neacute maggiore neacute minore di

(Archimede come i suoi predecessori non usava il termine ldquoparabolardquo ma lrsquoespressione ldquoortotomordquo

ossia ldquosezione di un cono rettordquo)

Nel preambolo alla Quadratura della parabola incontriamo lrsquoassunzione che oggi egrave comunemente noto

come lrsquoassioma di Archimede

Lrsquoeccesso per cui la maggiore di due aree disuguali supera la minore puograve se sommato a se

stesso diventare superiore a qualsiasi area finita data

Nel sito La teoria della misura da Archimede a Bonaventura Cavalieri [36] si puograve esaminare

il procedimento di dimostrazione per la quadratura della parabola

Sui conoidi e sferoidi

Nonostante Archimede non sia stato in grado di trovare lrsquoarea di un segmento qualsiasi di ellisse

o di iperbole in questo trattato riuscigrave a determinare lrsquoarea di tutta lrsquoellisse

Le aree delle ellissi sono come i rettangoli formati dai loro assi (Prop 6)

Ciograve equivale a dire che lrsquoarea di unrsquoellisse egrave uguale allrsquoarea di un cerchio il cui raggio sia la media

geometrica dei semiassi dellrsquoellisse Inoltre mostrava come trovare il volume di segmenti tagliati da un

ellissoide da un paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno allrsquoasse principale Il

processo da lui usato egrave molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di integrazione differisce

principalmente per la mancanza del concetto di limite di una funzione

Sulla sfera e sul cilindro

Archimede volle che sulla sua tomba fosse incisa la figura che rappresentava una sfera inscritta in

un cilindro circolare retto la cui altezza egrave uguale al diametro della sfera ( per maggiori dettagli si veda La

lapide di Archimede [37]) egli aveva infatti scoperto e dimostrato che il rapporto tra i volumi del

cilindro e della sfera era uguale al rapporto tra le rispettive aree cioegrave era un rapporto di tre a due Inoltre

sembra che Archimede sia stato il primo a scoprire e a dimostrare che lrsquoarea di una sfera egrave quattro volte

lrsquoarea del suo cerchio massimo e che

la superficie di una qualsiasi calotta sferica egrave uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al

segmento tracciato dal vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa

Un teorema molto importante relativo alla superficie della sfera compare nella Proposizione 33

dopo una lunga serie di teoremi preliminari riguardanti la funzione seno

Se in un segmento di cerchio LrsquoALrsquo viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati

esclusa la base siano uguali e il loro numero sia pari come LKhellipAhellipKrsquoLrsquo ove A egrave il punto di mezzo del

segmento e se si tracciano le linee BBrsquo CCrsquo hellip parallele alla base LLrsquo e congiungenti coppie di punti

angolari allora (BBrsquo+CCrsquo+hellip+LM)AM=ArsquoBBA ove M egrave il punto di mezzo di LLrsquo e AArsquo egrave il diametro

passante per M

La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34 del Libro I

Qualsiasi sfera egrave uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della

sfera e lrsquoaltezza uguale al raggio della sfera

Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario ne segue il

rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto

LrsquoArenario

In questrsquoopera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri superiori a

nella notazione moderna Egli sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i

granelli di sabbia richiesti per riempire lrsquouniverso Ciograve era in risposta allrsquoipotesi avanzata da Aristarco di

Srsquoamo che la Terra si muovesse attorno al Sole

Ersquo possibile leggere lrsquointera opera tradotta in inglese visitando il sito lrsquoArenario [38]

Il libro dei lemmi

La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica superiore

Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari In questrsquoopera per esempio

troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del calzolaio) Questo egrave la regione delimitata da tre

semicerchi che sono reciprocamente tangenti a due a due lrsquoarea in questione egrave quella che si trova

allrsquointerno del semicerchio piugrave grande e allrsquoesterno dei semicerchi piugrave piccoli Vi egrave anche un teorema su

quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione archimedea dellrsquoangolo

Il libro dei lemmi non ci egrave pervenuto nel testo originale greco ma attraverso una traduzione araba che

piugrave tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum Di fatto questrsquoopera come ci egrave pervenuta

non puograve essere genuinamente archimedea percheacute il nome di Archimede viene citato piugrave volte nel corso

del testo Nondimeno anche se questo trattato non egrave altro che una miscellanea di teoremi attribuiti ad

Archimede dagli arabi lrsquoopera nella sua sostanza egrave probabilmente autentica

Il Metodo

Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di Archimede vi egrave

la scoperta fatta nel nostro secolo di uno dei suoi trattati piugrave importanti intitolato Il Metodo di cui si

erano perdute le tracce fin dai primi secoli dellrsquoEra cristiana fincheacute non venne riscoperto nel 1906

Qui Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini ldquomeccanicherdquo preliminari che lo

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

Percheacute la vita di Archimede egrave cosigrave utile (40

‐ 50 anni) Tornato a Siracusa entra una

corrispondenza con vari scienziati di

Alessandria tra i quali Dositeo ed

Eratostene al qual e dedica il trattato Il

metodo e rivolge il problema dei buoi del

sole Archimede si interessa della gestione

delle acqua e si impegna a progettare e

costruire macchine capaci di spostare grandi

pesi con piccole forze Lo storico Pappo di

Alessandria racconta che Archimede

entusiasta per le possibilit agrave offerte dalle

macchine che ha costruito abbia esclamato

laquodatemi un punto drsquoappoggio e vi solleverograve il

mondoraquo Come ha smascherato il finto oro

della corona (50 ‐ 60 anni) Vitruvio

racconta nel trattato Sui corpi galleggianti che Archimede ha iniziato a occuparsi di id rostatica percheacute il

re Gerone gli chiede di determinare se la sua corona egrave stata realizzata co n oro puro oppure il fabbro ha

utilizzando internamente altri metalli mettendo lrsquooro solo sulla superficie Sc opre come risolvere il

problema mentre fa un bagno notando che una sua immersione provoca un innalzamento del livello

dellrsquoacqua Questa osservazione lrsquoha reso cosigrave felice che esce nudo dallrsquoacqua esclamando ldquo ε ὕ ρηκα rdquo (

heacuteureka ho trovato ) Come ha aiutato Siracusa a co mbattere contro i romani (60 ‐ 70 anni) Vari

autori romani (Polibio Tito Livio Plutarco)

riferiscono che durante la seconda gue rra

punica su richiesta del re Gerone di Siracusa

alleato dei cartaginesi Archimede si dedica

(con minore entusiasmo ma co n significativi

successi) a realizzare macchine belliche per

aiutare la sua cittagrave a di fendersi dallrsquoattacco di

Roma Contro le legioni e la potente flotta di

Roma Siracusa dispone di poche migliaia di

uomini e il genio di un vecchio le macchine

di Archimede che scagliano massi ciclopici

una tempesta di ferro e raggi solari concentrati

contro le sessanta grandi navi a remi di Marco

Claudio Marcello Come egrave morto Archimede

(70 ‐ 75 anni) Nel 212 aC viene ucciso da un

soldato romano durante il sacco di Siracusa

quando viene conquistata Si narrano tre

differe nti versioni della morte di Archimede

Nella prima un soldato romano intima ad Archimede di seguirlo da Ma rcello al suo rifiuto di farlo prima

di finire di risolto il problema cui si sta applicando il soldato lo u ccide appena saputa la notizia

Marcello fa uccidere il soldato visto che il suo ordi ne egrave stato di catturarlo vivo per poter sfruttare la sue

capacitagrave Nella seconda un soldato romano si presenta per uccidere Archimede che lo prega invano di

lasciargli almeno terminare la dimostrazione nella quale era impegnato Nella terz a il soldato incontra

Archimede mentre sta portando a Marcello alcuni strumenti scientifici (meridiane sf ere e squadre) in

una casse tta il soldato pensando a una cassetta piena drsquooro lo uccide per impadronirsene In ogni caso

Marcello profondamente addolorato per la sua morte fa dare onorevole sepoltura allo scienziato

Archimede di Siracusa

Archimede di Siracusa

Gli studiosi sono uomini privilegiati pochi

di loro conoscono il Greco e la maggior

parte di loro non sa nientrsquoaltro

Quando Newton disserdquo Se ho visto piugrave di altri egrave percheacute

stavo sulle spalle dei giganti ldquo uno dei giganti che doveva avere in

mente era Archimede di Siracusa il piugrave brillante matematico fisico e

ingegnere dellrsquoantichitagrave Poco si sa della sua vita Nacque intorno al

287 aC a Siracusa figlio dellrsquoastronomo Fidia e a quanto pare

trascorse gran parte della sua vita a Siracusa Studiograve presso

lrsquoUniversitagrave di Alessandria sia sotto gli immediati successori di

Euclide sia sotto Euclide stesso Era un amico e parente di Gerone II

re di Siracusa per il quale progettograve le macchine da guerra utilizzate

contro gli aggressori romani e la cui corona fu coinvolta nella

scoperta della legge della spinta verso lrsquoalto che porta il suo nome

Gerone (correttamente) sospettograve che la sua corona non fosse drsquooro

puro e chiese ad Archimede di indagare senza danneggiarla Si sa che Archimede meditograve sul problema

mentre si faceva un bagno e trovograve la risposta non appena osservograve il livello dellrsquoacqua alzarsi sino a

sommergere il suo corpo GridandordquoEUREKA Ho trovatordquo dice questa leggenda corse nudo per le

strade di Siracusa per dire a Gerone della sua scoperta Il suo libro sui corpi galleggianti va ben oltre la

legge di Archimede e comprende complicati problemi di stabilitagrave Allo stesso modo SullrsquoEquilibrio dei

Piani va oltre il principio della leva e risolve complicati problemi come trovare il baricentro di un

segmento parabolico In queste come in altre sue opere Archimede utilizza lrsquoapproccio euclideo da un

insieme di semplici postulati deduce le sue affermazioni con logica impeccabile Come primo scrittore

che costantemente legograve matematica e fisica Archimede egrave diventato il padre della fisica come scienza La

fisica di Aristotele fu pubblicata un secolo prima ma egrave solo una lunga sfilza di speculazioni infondate

totalmente prive di qualsiasi relazione quantitativa Archimede egrave stato anche il primo ingegnere

scientifico lrsquouomo alla ricerca di principi generali che applicograve a specifici problemi drsquoingegneria La sua

applicazione del principio della leva per le macchine da guerra in difesa di Siracusa sono ben noti inoltre

applicograve ancora lo stesso principio per trovare il volume del segmento di una sfera con un metodo di

bilanciamento insolitamente bello di cui avremo piugrave da dire piugrave avanti in questo capitolo Ha usato lo

stesso metodo per determinare i volumi di altri solidi di rotazione (ellissoide paraboloide iperboloide) e

per trovare il centro di gravitagrave del semicerchio e dellrsquoemisfera Non egrave noto quante opere di Archimede

siano andate perdute (una delle piugrave importanti Il Metodo egrave venuta alla luce solo nel 1906) ma i suoi libri

rimasti tra cui Sulle Spirali Sulla Misurazione del Cerchio La Quadratura della Parabola Sui Conoidi e

Sferoidi Sulla Sfera e il Cilindro Il Libro dei Lemmi e altri sono ineguagliate da qualsiasi altro prodotto

dellrsquoantichitagrave

Il metodo di Archimede per calcolare

Non solo a causa dei risultati meravigliosi contenuti in questi libri ma anche percheacute Archimede fu un

pioniere del Metodo Partendo dal concetto di ldquougualerdquo arrivograve a quello di ldquoarbitrariamente vicino ardquo o

ldquotanto vicino quanto desideratordquo (che Euclide aveva enunciato ma non attivamente usato) e quindi

raggiunse la soglia del calcolo differenziale proprio come il suo metodo di quadratura della parabola

raggiunse la soglia del calcolo integrale (alcuni ritengono che la abbia superata)

Ersquo stato anche il primo a ideare un metodo per calcolare π con un qualunque grado desiderato di

precisione Esso si basa sul fatto che il perimetro di un poligono regolare di n lati inscritto in una

circonferenza egrave minore della circonferenza mentre il perimetro di un poligono simile circoscritto alla

circonferenza egrave maggiore della circonferenza (vedi figura sotto) Rendendo n sufficientemente grande i

due perimetri si avvicineranno alla circonferenza arbitrariamente uno per difetto lrsquoaltro per eccesso

Archimede iniziograve con un esagono e progressivamente raddoppiando il numero dei lati arrivograve a un

poligono di 96 lati il che diede

(1)

Ciograve che Archimede ha fatto senza trigonometria e senza notazione decimale (o altra notazione

posizionale) egrave unrsquoillustrazione della sua tenacia (vedi la traduzione di Heath ldquoSulla Misura del Cerchiordquo

proposizione 3 e seguenti) Tuttavia potremmo utilizzarle entrambe per procedere con i calcoli Se egrave

metagrave dellrsquoangolo sotteso da un lato di un poligono regolare di n lati nel centro della circonferenza allora

la lunghezza del lato inscritto egrave

(3)

e quella del lato circoscritto egrave

(4)

Un poligono regolare di 40 lati Non egrave stata disegnata la circonferenza interna

Per lrsquoesagono Archimede ha approssimato col valore leggermente inferiore di 265153 un poligono a

12 lati lo impegnograve nel rapporto che ha semplificato a e il poligono finale di 96 lati coinvolge una

radice quadrata di un numero che nel sistema decimale ha dieci cifre

Come sia riuscito ad estrarre le sue radici quadrate con tale accuratezza sempre avendo cura di

rispettare cosigrave sottilmente il lato piccolo o il lato grande come richiesto dai limiti egrave uno degli enigmi che

questo straordinario uomo ci ha lasciato Ma sembra che Archimede sia andato anche oltre Erone di

Alessandria nella sua Metrica (circa il 60 AC ma non scoperta fino al 1896) si riferisce a un lavoro di

Archimede che da allora egrave andato perso in cui Archimede dagrave i limiti

Tuttavia questo egrave evidentemente un errore che si deve essere insinuato durante la trascrizione

della copia perchegrave egrave molto piugrave scadente rispetto al limite superiore 3+17 trovato da Archimede in

precedenza Erone aggiungerdquo poicheacute questi numeri sono scomodi per le misurazioni p viene ridotto al

rapporto di numeri piugrave piccoli ossia 227

Archimede ha anche mostrato che una curva scoperta da Conone di Alessandria poteva come la

quadratrice di Ippia essere utilizzata per rettificare (e quindi quadrare) il cerchio La curva egrave oggi

chiamata la spirale di Archimede egrave definita come il luogo geometrico piano di un punto che si sposta di

moto rettilineo uniforme lungo un raggio mentre il raggio ruota di moto circolare uniforme attorno alla

sua estremitagrave Egrave questa la curva tracciata da una puntina che striscia radialmente verso lrsquoesterno su un

disco fonografico rotante Sia P un punto della spirale (vedi figura sopra) e la tangente in P intersechi la

perpendicolare alla retta OP in R Archimede mostrograve nel suo libro ldquoSulle Spiralirdquo che il segmento OR

(cioegrave la sottotangente polare nel punto P) egrave uguale alla lunghezza dellrsquoarco circolare PS di raggio OP

dove S egrave lrsquointersezione con il raggio iniziale OU

Rettificazione della circonferenza per mezzo della Spirale di Archimede

Tali furono alcuni dei contributi del piugrave grande genio dellrsquoantichitagrave alla storia del pi greco e della

quadratura del cerchio Anche se gli investigatori successivamente hanno trovato approssimazioni

numeriche migliori il metodo poligonale di Archimede egrave rimasto insuperato fino a quando diciannove

secoli piugrave tardi furono trovati in Inghilterra un prodotto infinito e una frazione continua infinita poco

prima che la scoperta del calcolo differenziale portasse a un approccio totalmente nuovo al problema

In fisica nessuno egrave giunto vicino alla statura di Archimede per piugrave di 18 secoli fino a quando

Galileo Galilei osograve sfidare le menzogne di Aristotele Le ombre di quelle menzogne sono con noi persino

adesso Crsquoegrave la storia della matematica che non scusa Archimede per essersi sporcato le mani con il lavoro

sperimentale Nel tardo 1968 ci viene detto che ldquoegli mise poco valore nei suoi congegni meccanicirdquo e

che rdquoconsiderava i suoi congegni e invenzioni come sordidamente commercialirdquo (1965) Commenti

simili si trovano in quasi tutti i libri sullrsquoargomento sostenendo lrsquoosservazione di Philip Guedella ldquoLa

storia si ripete gli storici si ripetono lrsquoun lrsquoaltrordquo Il mito ripetitivo egrave stato iniziato da Plutarco che nel

primo secolo dC ha scritto che

Considerando la meccanica e ogni arte utilitaristica come ignobile e volgare egli dette la sua

zelante devozione solo a quei soggetti la eleganza e sottigliezza sono non impastoiate dalle necessitagrave

della vita

Ora Plutarco non poteva forse sapere cosa Archimede avesse considerato ignobile e volgare il

suo credo era buono come il vostro o il mio Ma proprio come per diciannove secoli gli storici hanno

riecheggiato Plutarco cosigrave Plutarco fa eco allrsquoatteggiamento di Platone e Aristotele i padri dello

snobismo intellettuale Essi hanno insegnato che la sperimentazione era adatta solo per gli schiavi e che

le leggi della natura potevano essere dedotte soltanto dallrsquouomo di alto intelletto e Aristotele ha usato il

suo nobile intelletto per scoprire che i corpi piugrave pesanti cadono a terra piugrave velocemente che gli uomini

hanno piugrave denti rispetto alla donna che la Terra egrave al centro dellrsquouniverso che i corpi celesti non

cambiano mai e molto di piugrave di tale saggezza percheacute era uno scrittore molto prolifico Di fatto Aristotele

egrave stato sconfitto sul proprio terreno per mezzo della pura deduzione intellettuale dellrsquoosservazione

sperimentale Molto tempo prima che Galileo Galilei facesse cadere delle palle di legno e di piombo dalla

Torre pendente di Pisa egli pose la seguente domandardquo Se una pietra di 10 libbre cade 10 volte piugrave

velocemente di una da 1 libbra cosa succede se lego insieme le due pietre La combinazione cadragrave piugrave

velocemente della pietra di 10 libbre percheacute pesa 11 libbre o cadragrave piugrave lentamente percheacute la pietra da 1

libbra ritarderagrave la pietra da 10 libbrerdquo

Il commento di Plutarco sullrsquoatteggiamento di Archimede per lrsquoingegneria egrave una elaborazione

con nessun fondamento diverso dallo snobismo aristotelico

Archimede saluta Eratostene

Ti ho spedito nella precedente occasione alcuni dei teoremi scoperti da me semplicemente

scrivendoti gli enunciati e invitandoti a scoprire le dimostrazioni che a quel tempo non ti diedi

Poi le dimostrazioni di questi teoremi le ho scritte in questo libro e ora te lo invio Inoltre

vedendo in te come giagrave dissi uno studente volenteroso[hellip] ho ritenuto opportuno scriverti e spiegare in

dettaglio nello stesso libro la particolaritagrave di un certo metodo con cui saragrave possibile per te indagare alcuni

dei problemi di matematica mediante la meccanica Questa procedura egrave sono convinto non meno utile

persino delle stesse dimostrazioni dei teoremi percheacute certe cose prima mi sono diventate chiare con un

metodo meccanico malgrado dovessero essere dimostrate dopo tramite la geometria percheacute la loro

indagine col sopraccitato metodo non forniva una vera dimostrazione Ma quando abbiamo acquisito col

metodo alcune conoscenze dei problemi egrave la strada piugrave facile per fornire la dimostrazione anziccheacute

trovarla senza alcuna conoscenza precedente

Un chiaro esempio di questo metodo egrave lrsquoapplicazione di Archimede del principio della leva per

ricavare il volume di un segmento sferico oltre che dellrsquointera sfera come indicato nella figura di pag 71

Cosigrave grande valore dette Archimede a questa scoperta che chiese che una sfera inscritta in un cilindro

fosse incisa sulla sua lapide e questo egrave stato fatto percheacute anche se la lapide egrave andata perduta abbiamo

una descrizione della tomba da parte di Cicerone che la visitograve nel I secolo aC durante il suo incarico di

questore in Sicilia

Non egrave senza interesse ricordare come egrave stato recuperato Il Metodo Fu trovato nel 1906 a

Costantinopoli su un palinsesto che egrave una pergamena il cui testo originale egrave stato lavato (per recuperare

la pergamena) e sostituito con un testo diverso Se lrsquooriginale egrave stato lavato via non perfettamente esso

puograve essere ripristinato con una speciale fotografia In questo caso il testo originale era una copia del X

secolo di alcune opere note di Archimede ma pure includente lrsquounico testo superstite de Il Metodo Gli

zeloti medievali non sempre come il vescovo dello Yucatan o i Crociati a Costantinopoli bruciavano i

libri scientifici come opera del diavolo A volte essi pulivano il testo per la pergamena in modo che da

poterla sporcare con la loro immondizia superstiziosa

Il grande matematico fisico e filosofo Archimede di Siracusa1

Il personaggio e il contesto storico

Il contributo scientifico Il contributo metodologico e la

sua applicazione aziendale Bibliografia Allegato 1 Curricu lum Vitae

di Archimede da Siracusa

Il personaggio e il contesto storico Il grande matematico fisico e filosofo

Archimede di Siracusa (287 AC - 212 AC ) si

colloca storicamente secondo la tabella

riportata di seguito nel contesto culturale

sicuramente fecondo della Magna Grecia del

terzo secolo Avanti Cristo Il suo contributo

nel campo delle scienze applicate della fisica

e della matematica costituisce la base di

alcune delle tecnologie oggi di piugrave ampia

scala di utilizzo e a ragione di questo

contributo al sapere umano la sua effigie egrave ancora oggi riprodotta addirittura su i francobolli ed in passato

venne riprodo tta p r aticam ente in tutte le epoche storiche

1 IL CONTRIBUTO DELLA TECNOLOGIA APPLICATA AI SISTEMI ORGANIZZATI ARCHIMEDE DI SIRACUSA

Michel e Cibrari o MASTER MEDEA 2005-2006 Eni Corp orate Uni v ersity - Scuola Enrico Mattei

Questo ha consentito di conservare memoria nei secoli anche del suo aspetto fisico e non sono del suo

contributo cognitivo e scientifico peraltro forse piugrave im portante Il suo m e todo di calcolo delle aree e dei

volume ha anticipato di 2000 anni prima di Newton e Leibniz il calcolo integrale Per la straordinarietagrave

delle sue intuizi oni fisiche e per le applicazioni belliche d a lui r ealizza te Archimede egrave citato da tutti i

piugrave importa nti storiografi dellrsquoantichitagrave nei loro scritti

bull Diodorus Siculus (circa 1deg secolo A C ) Bibliotheke bull Athenaeus of Naucratis (circa 200 AC)

Deipnosophistae bull Eulero (1707-1783) XIV ldquoQuaestio nes Mathem aticaerdquo bull Vitruvio (circa 1deg secolo

AC) De Architectura bull Plutarco vari scritti I lavori di A r chimede che sono giunti fi no a noi d i rettam

e nte sono i seguenti bull DellrsquoEquilibrio dei pi ani (due libri) bull Quadratura della parabola bull Delle sfere e

dei cilindri (due libri) bull Delle spiral i bull Dei conoidi e degli sferoidi bull Dei corpi galleggianti (due libri)

bull Della misura del cerchio bull Il Palinsesto bull Il Metodo bull LrsquoArenario bull Lo Stomachion

Ci sono poi citazioni d i altri lavori di Archimede che son o invece andati perduti nei secoli lo storiografo

antico Pappus riporta di un lavoro sui Poliedri Semi -regolari Delle Leve e dellrsquoEquilibrio

Degli Sp ecchi Archimede venne ucciso nel 212 Avanti Cristo durante la presa della cittagrave di Siracusa da

parte dei Romani durante la seconda Guerra Punica quando tutti i suo i sforzi di tenerli a bada con le

macchine belliche erano falliti La storia della sua morte egrave raccontata da Plutarco e Cicerone in segno di

omaggio cercograve e trovo la tomba di Archimede nel 75 Avanti Cristo

Tutte le suddette opere furono tradotte in latino nel medioevo e studiate a fondo durante il Rinascimento

Ersquo singolare che lrsquoenorme contributo di Archimede sia s tato rivalutato e riscoperto solo dopo che Euclide

pubblicograve ldquoGli Elementirdquo Francobolli di vari paesi con lrsquoeffigie di Archimede

Archimede nei secoli Ersquo noto che nel mondo ellenistico in particolare fra la Magna Grecia e lrsquoEgitto

crsquoera un ricco e complesso sviluppo di ricerca scientifica con un im pegno anche nellrsquoevoluzione

tecnologica Strumenti di calcolo (o di rilevazione astronomica) non servivano solo per applicazioni

pratiche di ingegneria ma anche allrsquoevoluzione del pensiero filosofico Archimede si colloca in quel

contesto Quel processo si egrave in gran parte interrotto nel medioevo NellrsquoEuropa che si era formata dopo

le ldquoinvasioni barbaricherdquo il pensiero d e lla cultura classica non era d e l tutto perduto ma conservato solo

in alc une ristre tte com unitagrave monastiche o in societagrave segrete sospettate di eresia Le sperim entazioni

scientifiche e tecniche erano viste con diffidenza co me magie stregonerie o pratiche demoniache ndash me

ntre le corporazioni di ldquoarti e mestieri rdquo custodivano gelosamente i loro segreti e spesso assumevano il

carattere di comunitagrave esoteriche ed iniziatiche In queste epoche storiche gli scri tti di Archim ede sono

stati visti per le applicazioni tecnologiche suggerite ma non certo per il metodo scientifico che egli

propugnava Andiamo ora ad esaminare il con t ributo scien tifico di Archimede ed a vederne la estrema

attualitagrave con cui oggi vengono utilizzate le sue tecniche ed il suo approccio di problem-solving di stampo

galileano Il contributo scientifico Le intuizioni di Archimede spaziavano su campi diversificati Tra le

invenzioni e le app licazioni meccaniche attribuitegli si trov ano Il principio della leva La vite se nza fine

Il principio dell a spinta di galleggiamento e la stabilitagrave dei corpi nei fluidi di cui lo studio sul la

liquefazione e sui cedimenti del terreno Gli studi sulle sfere e sui cilindri I meccanismi in movimento un

esempio egrave lrsquo orologio ad a c q u a Tra le m acchine bellich e da lui d i segnate e co struite s i ricordano

specialmente Gli specchi ustori I ganci ed i bracci meccanici hellip e le rispettive applicazioni belliche tanto

tem u te dai Ro m a ni Tra gli studi di geometria si annoverano Studi sulle aree e sui volumi ldquoeccellentirdquo

I solidi regolari La spirale

Cicerone scopre la Tomba di Archimede

Olim dum quaestor Syracusis sum Archimedem insignem illus urbis civem a pulvere excitavi

Nam sepulcrum eius ignoratum a Syracusanis saeptum undique et vestitum vepribus ac dumetis

indagavi syracusani omnino negabant id esse sed ego tenebam senariolos inscriptos in eius monumento

ex quibus in summo Archimedis sepulcro sphaera cum cylindro posita erat ego autem omnia oculis

collustravi ( est enim apud portam sacram urbis magna frequentia sepulcrorum) et paululum postea

columellam non multum e dumis eminentem animadverti in ea erat sphaerae figura et cylindri Atque

ego statim syracusanis ( erant autem mecum principes civitatis) dixi ldquoEcce illud quod quaerebamrdquo

Immissi cum falcibus multi purgaverunt et aperuerunt locum deinde ad sepulcrum accessimus

Apparebat in illo epigramma fere dimidiatum erat illud Archimedis sepulcrumIta nobilis Siciliae civitas

ab homine Arpinati locum monumenti unius insignis civis sui didicit

Una volta mentre ero questore a Siracusa ho tirato fuori dalla polvere Archimede insigne

cittadino di quella cittagrave Infatti ho scoperto il suo sepolcro ignorato dai Siracusani ricoperto da ogni

parte da rovi e cespugli I siracusani affermavano che quello non esistesse ma io ricordavo dei senari

iscritti sulla sua tomba secondo i quali nella sommitagrave del sepolcro di Archimede vi era posta una sfera

con un cilindro Io tuttavia ho scrutato ogni cosa con lo sguardo (vi egrave infatti presso la porta sacra della

cittagrave una grande numero di sepolcri) e a poco a poco mi sono accorto di una colonnetta che non

sporgeva molto dai cespugli In quella vi era lrsquoeffigie di una sfera e di un cilindro

E io subito dissi ai Siracusani (erano infatti con me i cittadini piugrave ragguardevoli della cittagrave) ecco

quello che cercavo Entrati molti con le falci ripulirono e sgombrarono il luogo infine entrammo nel

sepolcro Appariva in quello unrsquo iscrizione quasi dimezzata era quello il sepolcro di Archimede Cosigrave la

celebre cittagrave della Sicilia conobbe il luogo del monumento di un suo insigne cittadino da un uomo di

Arpino

trattto da Tusculanae Disputationesrdquo di Cicerone

Trad Lo Giudice ndash Ferdico ndash Castellese IV H

Le opere di Archimede2

II 3 Archimede di Siracusa

Scarsi sono i particolari sulla vita di

Archimede ma possiamo ricavare qualche

informazione su di lui dalle storie di Plutarco Livio e

altri autori Plutarco descrivendo lrsquoassedio di Siracusa

da parte dei romani durante le Seconda Guerra Punica

ci dice che Archimede abbia inventato ingegnose

macchine da guerra per tenere lontano il nemico

catapulte [29] per lanciare pietre corde carrucole e

ganci per sollevare e schiantare le navi romane

dispositivi per sviluppare incendi sulle navi (come

questi dispositivi potessero essere realizzati e se

realmente Archimede sia stato in grado di realizzarli

ci egrave spiegato da Archimede e gli specchi ustori [30])

Durante il saccheggio della cittagrave Archimede venne

trucidato da un soldato romano nonostante che il

generale Marcello avesse dato lrsquoordine di salvare la

vita del matematico Poicheacute a quanto viene riferito

Archimede aveva settantacinque anni egrave molto

probabile che fosse nato nel 287 aC

Alcuni autori riportano che abbia visitato lrsquoEgitto e

che abbia studiato ad Alessandria con gli allievi di

Euclide fu probabilmente in questa occasione che

2 webunifeit

inventograve il dispositivo oggi noto come ldquovite di Archimederdquo [31] fatto di canali o tubi avvolti

elicoidalmente attorno ad un asse inclinato munito di una manovella per farlo girare

I vari resoconti rimastici sulla vita di Archimede sono drsquoaccordo nel dipingerlo come persona che

attribuiva scarso valore ai suoi congegni meccanici rispetto ai prodotti della sua attivitagrave intellettuale

Anche quando trattava di leve e di altre macchine semplici era molto piugrave interessato ai principi generali

che le governavano che alle loro applicazioni pratiche

Le opere di Archimede sopravvissute sono le seguenti Sullrsquoequilibrio dei piani

Di questo trattato in due libri fanno parte gli studi di Archimede sul principio della leva [32] Il

primo libro prende in considerazione figure rettilinee e si chiude con la discussione sui centri di gravitagrave

del triangolo e del trapezio Il secondo libro concentra lrsquoattenzione sul centro di gravitagrave di un segmento di

parabola e comprende una dimostrazione del fatto che questo centro si trova sul diametro del segmento e

divide questo diametro in segmenti che stanno nel rapporto di 3 a 2 Il procedimento usato per la

dimostrazione egrave il metodo di esaustione

Sui galleggianti

Questrsquoopera in due libri contiene dei risultati molto importanti Fra le proposizioni iniziali ve ne

sono due che formulano il noto principio della spinta idrostatica di Archimede [33]

Qualsiasi solido piugrave leggero di un fluido se collocato nel fluido si immergeragrave in misura tale che

il peso del solido saragrave uguale al peso del fluido spostato (Lib I Prop 5)

Un solido piugrave pesante di un fluido se collocato in esso discenderagrave in fondo al fluido e se si

peseragrave il solido nel fluido risulteragrave piugrave leggero del suo vero peso e la differenza di peso saragrave uguale al

peso del fluido spostato (Lib I Prop 7)

Oltre alle proprietagrave dei fluidi questo trattato contiene molte altre scoperte Quasi tutto il secondo

libro per esempio tratta della posizione di equilibrio di segmenti di paraboloidi quando siano immersi in

un fluido mostrando che la posizione di quiete dipende dal peso specifico relativo del paraboloide solido

e del fluido in cui galleggia

Sulla misura del cerchio

Questo piccolo trattato che egrave probabilmente incompleto nella forma in cui ci egrave pervenuto

comprende solo tre proposizioni ( egrave possibile vedere gli enunciati nel sito Sulla misura del cerchio [34])

una delle quali egrave la dimostrazione mediante il metodo di esaustione del teorema secondo cui lrsquoarea del

cerchio egrave uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come lati la circonferenza e il raggio del

cerchio stesso

Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra circonferenza di un cerchio e diametro Archimede diede

una ulteriore prova della sua abilitagrave nel calcolo Partendo dallrsquoesagono regolare inscritto egli calcolograve i

perimetri dei poligoni ottenuti raddoppiando successivamente il numero dei lati fino a raggiungere

novantasei lati Il risultato dal calcolo archimedeo relativo alla circonferenza era costituito da

unrsquoapprossimazione del valore di espressa dalla disuguaglianza che era un valore migliore di quello

ottenuto dagli egiziani e dai babilonesi (Va tenuto presente che neacute Archimede neacute alcun matematico

greco fece mai uso della notazione per indicare il valore del rapporto tra circonferenza di un cerchio e il

suo diametro)

Sulle spirali

Questo trattato fu molto ammirato ma poco letto poicheacute veniva considerato come la piugrave difficile

fra tutte le opere di Archimede La spirale viene definita come il luogo piano di un punto che partendo

dallrsquoestremo di un raggio o semiretta si sposta uniformemente lungo questo raggio mentre il raggio a sua

volta ruota uniformemente intorno al suo estremo

Lo studio che Archimede fece della spirale curva che attribuiva allrsquoamico Conone di Alessandria si

inquadrava nella scia delle ricerche tipiche della matematica greca volte a trovare le soluzioni dei tre

famosi problemi classici La curva si presta facilmente a effettuare molteplici sezioni dellrsquoangolo Come

nel caso della quadratrice perograve essa puograve anche servire a quadrare il cerchio come mostrograve lo stesso

Archimede

Nel punto P si tracci la tangente alla spirale OPR e questa tangente intersechi nel punto Q la retta che

passa per O ed egrave perpendicolare a OP (vedi Fig 1)

Archimede mostrava mediante una dimostrazione per duplice reductio ad absurdum che il

segmento OQ (noto come la sottotangente polare relativa al punto P) era uguale in lunghezza allrsquoarco di

cerchio PS del cerchio avente come centro O e come raggio OP

Se sulla spirale si sceglie un punto P come intersezione della spirale con la retta a 90deg in coordinate

polari la sottotangente polare OQ saragrave esattamente uguale a un quarto della circonferenza del cerchio di

raggio OP Pertanto lrsquointera circonferenza puograve essere costruita prendendo quattro volte il segmento OQ e

per mezzo del teorema di Archimede si trova un triangolo di area uguale allrsquoarea del cerchio Una

semplice trasformazione geometrica permetteragrave poi di sostituire il triangolo con un quadrato Ersquo cosigrave

effettuata la quadratura del cerchio

Gran parte dellrsquoopera di Archimede egrave di natura tale che oggi verrebbe inclusa in un corso di analisi

infinitesimale ciograve egrave particolarmente vero per il trattato Sulle spirali

Si puograve analizzare la spirale di Archimede e le curve ad essa associate visitando il sito La spirale di

Archimede [35] attraverso Java (un linguaggio di programmazione progettato per eseguire operazioni

evolute indipendente dalla macchina su cui si opera) si possono manipolare i dati ed ottenere tutte le

variazioni desiderate

Quadratura della parabola Al tempo in cui scriveva Archimede le sezioni coniche erano note da quasi un secolo e tuttavia

non era stato fatto nessun progresso nel calcolo delle loro aree Ci volle Archimede per quadrare una

sezione conica ossia un segmento della parabola e lo fece nella Proposizione 17 dellrsquoopera in cui la

quadratura costituiva lrsquoobiettivo principale La dimostrazione per mezzo del solito metodo di esaustione

egrave lunga e complessa comunque Archimede riuscigrave a dimostrare rigorosamente che lrsquoarea K di un

segmento parabolico APBQC egrave uguale a quattro terzi dellrsquoarea di un triangolo avente la stessa base e

uguale altezza

Nelle successive sette (e ultime) proposizioni Archimede dava una seconda ma diversa dimostrazione

del medesimo teorema Egli dimostrava che lrsquoarea del triangolo inscritto maggiore ABC con base AC egrave

quattro volte la somma dei corrispondenti triangoli inscritti aventi come basi rispettivamente AB e BC

Continuando il processo suggerito da questa relazione risulta chiaro che lrsquoarea H del segmento

parabolico ABC egrave data dalla somma della serie infinita che egrave Archimede non parla di somma della serie

infinita percheacute ai suoi tempi i processi non finiti venivano disapprovati Ricorrendo invece a una duplice

reductio ad absurdum Archimede dimostrava che H non poteva essere neacute maggiore neacute minore di

(Archimede come i suoi predecessori non usava il termine ldquoparabolardquo ma lrsquoespressione ldquoortotomordquo

ossia ldquosezione di un cono rettordquo)

Nel preambolo alla Quadratura della parabola incontriamo lrsquoassunzione che oggi egrave comunemente noto

come lrsquoassioma di Archimede

Lrsquoeccesso per cui la maggiore di due aree disuguali supera la minore puograve se sommato a se

stesso diventare superiore a qualsiasi area finita data

Nel sito La teoria della misura da Archimede a Bonaventura Cavalieri [36] si puograve esaminare

il procedimento di dimostrazione per la quadratura della parabola

Sui conoidi e sferoidi

Nonostante Archimede non sia stato in grado di trovare lrsquoarea di un segmento qualsiasi di ellisse

o di iperbole in questo trattato riuscigrave a determinare lrsquoarea di tutta lrsquoellisse

Le aree delle ellissi sono come i rettangoli formati dai loro assi (Prop 6)

Ciograve equivale a dire che lrsquoarea di unrsquoellisse egrave uguale allrsquoarea di un cerchio il cui raggio sia la media

geometrica dei semiassi dellrsquoellisse Inoltre mostrava come trovare il volume di segmenti tagliati da un

ellissoide da un paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno allrsquoasse principale Il

processo da lui usato egrave molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di integrazione differisce

principalmente per la mancanza del concetto di limite di una funzione

Sulla sfera e sul cilindro

Archimede volle che sulla sua tomba fosse incisa la figura che rappresentava una sfera inscritta in

un cilindro circolare retto la cui altezza egrave uguale al diametro della sfera ( per maggiori dettagli si veda La

lapide di Archimede [37]) egli aveva infatti scoperto e dimostrato che il rapporto tra i volumi del

cilindro e della sfera era uguale al rapporto tra le rispettive aree cioegrave era un rapporto di tre a due Inoltre

sembra che Archimede sia stato il primo a scoprire e a dimostrare che lrsquoarea di una sfera egrave quattro volte

lrsquoarea del suo cerchio massimo e che

la superficie di una qualsiasi calotta sferica egrave uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al

segmento tracciato dal vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa

Un teorema molto importante relativo alla superficie della sfera compare nella Proposizione 33

dopo una lunga serie di teoremi preliminari riguardanti la funzione seno

Se in un segmento di cerchio LrsquoALrsquo viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati

esclusa la base siano uguali e il loro numero sia pari come LKhellipAhellipKrsquoLrsquo ove A egrave il punto di mezzo del

segmento e se si tracciano le linee BBrsquo CCrsquo hellip parallele alla base LLrsquo e congiungenti coppie di punti

angolari allora (BBrsquo+CCrsquo+hellip+LM)AM=ArsquoBBA ove M egrave il punto di mezzo di LLrsquo e AArsquo egrave il diametro

passante per M

La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34 del Libro I

Qualsiasi sfera egrave uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della

sfera e lrsquoaltezza uguale al raggio della sfera

Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario ne segue il

rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto

LrsquoArenario

In questrsquoopera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri superiori a

nella notazione moderna Egli sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i

granelli di sabbia richiesti per riempire lrsquouniverso Ciograve era in risposta allrsquoipotesi avanzata da Aristarco di

Srsquoamo che la Terra si muovesse attorno al Sole

Ersquo possibile leggere lrsquointera opera tradotta in inglese visitando il sito lrsquoArenario [38]

Il libro dei lemmi

La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica superiore

Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari In questrsquoopera per esempio

troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del calzolaio) Questo egrave la regione delimitata da tre

semicerchi che sono reciprocamente tangenti a due a due lrsquoarea in questione egrave quella che si trova

allrsquointerno del semicerchio piugrave grande e allrsquoesterno dei semicerchi piugrave piccoli Vi egrave anche un teorema su

quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione archimedea dellrsquoangolo

Il libro dei lemmi non ci egrave pervenuto nel testo originale greco ma attraverso una traduzione araba che

piugrave tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum Di fatto questrsquoopera come ci egrave pervenuta

non puograve essere genuinamente archimedea percheacute il nome di Archimede viene citato piugrave volte nel corso

del testo Nondimeno anche se questo trattato non egrave altro che una miscellanea di teoremi attribuiti ad

Archimede dagli arabi lrsquoopera nella sua sostanza egrave probabilmente autentica

Il Metodo

Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di Archimede vi egrave

la scoperta fatta nel nostro secolo di uno dei suoi trattati piugrave importanti intitolato Il Metodo di cui si

erano perdute le tracce fin dai primi secoli dellrsquoEra cristiana fincheacute non venne riscoperto nel 1906

Qui Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini ldquomeccanicherdquo preliminari che lo

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

Archimede di Siracusa

Archimede di Siracusa

Gli studiosi sono uomini privilegiati pochi

di loro conoscono il Greco e la maggior

parte di loro non sa nientrsquoaltro

Quando Newton disserdquo Se ho visto piugrave di altri egrave percheacute

stavo sulle spalle dei giganti ldquo uno dei giganti che doveva avere in

mente era Archimede di Siracusa il piugrave brillante matematico fisico e

ingegnere dellrsquoantichitagrave Poco si sa della sua vita Nacque intorno al

287 aC a Siracusa figlio dellrsquoastronomo Fidia e a quanto pare

trascorse gran parte della sua vita a Siracusa Studiograve presso

lrsquoUniversitagrave di Alessandria sia sotto gli immediati successori di

Euclide sia sotto Euclide stesso Era un amico e parente di Gerone II

re di Siracusa per il quale progettograve le macchine da guerra utilizzate

contro gli aggressori romani e la cui corona fu coinvolta nella

scoperta della legge della spinta verso lrsquoalto che porta il suo nome

Gerone (correttamente) sospettograve che la sua corona non fosse drsquooro

puro e chiese ad Archimede di indagare senza danneggiarla Si sa che Archimede meditograve sul problema

mentre si faceva un bagno e trovograve la risposta non appena osservograve il livello dellrsquoacqua alzarsi sino a

sommergere il suo corpo GridandordquoEUREKA Ho trovatordquo dice questa leggenda corse nudo per le

strade di Siracusa per dire a Gerone della sua scoperta Il suo libro sui corpi galleggianti va ben oltre la

legge di Archimede e comprende complicati problemi di stabilitagrave Allo stesso modo SullrsquoEquilibrio dei

Piani va oltre il principio della leva e risolve complicati problemi come trovare il baricentro di un

segmento parabolico In queste come in altre sue opere Archimede utilizza lrsquoapproccio euclideo da un

insieme di semplici postulati deduce le sue affermazioni con logica impeccabile Come primo scrittore

che costantemente legograve matematica e fisica Archimede egrave diventato il padre della fisica come scienza La

fisica di Aristotele fu pubblicata un secolo prima ma egrave solo una lunga sfilza di speculazioni infondate

totalmente prive di qualsiasi relazione quantitativa Archimede egrave stato anche il primo ingegnere

scientifico lrsquouomo alla ricerca di principi generali che applicograve a specifici problemi drsquoingegneria La sua

applicazione del principio della leva per le macchine da guerra in difesa di Siracusa sono ben noti inoltre

applicograve ancora lo stesso principio per trovare il volume del segmento di una sfera con un metodo di

bilanciamento insolitamente bello di cui avremo piugrave da dire piugrave avanti in questo capitolo Ha usato lo

stesso metodo per determinare i volumi di altri solidi di rotazione (ellissoide paraboloide iperboloide) e

per trovare il centro di gravitagrave del semicerchio e dellrsquoemisfera Non egrave noto quante opere di Archimede

siano andate perdute (una delle piugrave importanti Il Metodo egrave venuta alla luce solo nel 1906) ma i suoi libri

rimasti tra cui Sulle Spirali Sulla Misurazione del Cerchio La Quadratura della Parabola Sui Conoidi e

Sferoidi Sulla Sfera e il Cilindro Il Libro dei Lemmi e altri sono ineguagliate da qualsiasi altro prodotto

dellrsquoantichitagrave

Il metodo di Archimede per calcolare

Non solo a causa dei risultati meravigliosi contenuti in questi libri ma anche percheacute Archimede fu un

pioniere del Metodo Partendo dal concetto di ldquougualerdquo arrivograve a quello di ldquoarbitrariamente vicino ardquo o

ldquotanto vicino quanto desideratordquo (che Euclide aveva enunciato ma non attivamente usato) e quindi

raggiunse la soglia del calcolo differenziale proprio come il suo metodo di quadratura della parabola

raggiunse la soglia del calcolo integrale (alcuni ritengono che la abbia superata)

Ersquo stato anche il primo a ideare un metodo per calcolare π con un qualunque grado desiderato di

precisione Esso si basa sul fatto che il perimetro di un poligono regolare di n lati inscritto in una

circonferenza egrave minore della circonferenza mentre il perimetro di un poligono simile circoscritto alla

circonferenza egrave maggiore della circonferenza (vedi figura sotto) Rendendo n sufficientemente grande i

due perimetri si avvicineranno alla circonferenza arbitrariamente uno per difetto lrsquoaltro per eccesso

Archimede iniziograve con un esagono e progressivamente raddoppiando il numero dei lati arrivograve a un

poligono di 96 lati il che diede

(1)

Ciograve che Archimede ha fatto senza trigonometria e senza notazione decimale (o altra notazione

posizionale) egrave unrsquoillustrazione della sua tenacia (vedi la traduzione di Heath ldquoSulla Misura del Cerchiordquo

proposizione 3 e seguenti) Tuttavia potremmo utilizzarle entrambe per procedere con i calcoli Se egrave

metagrave dellrsquoangolo sotteso da un lato di un poligono regolare di n lati nel centro della circonferenza allora

la lunghezza del lato inscritto egrave

(3)

e quella del lato circoscritto egrave

(4)

Un poligono regolare di 40 lati Non egrave stata disegnata la circonferenza interna

Per lrsquoesagono Archimede ha approssimato col valore leggermente inferiore di 265153 un poligono a

12 lati lo impegnograve nel rapporto che ha semplificato a e il poligono finale di 96 lati coinvolge una

radice quadrata di un numero che nel sistema decimale ha dieci cifre

Come sia riuscito ad estrarre le sue radici quadrate con tale accuratezza sempre avendo cura di

rispettare cosigrave sottilmente il lato piccolo o il lato grande come richiesto dai limiti egrave uno degli enigmi che

questo straordinario uomo ci ha lasciato Ma sembra che Archimede sia andato anche oltre Erone di

Alessandria nella sua Metrica (circa il 60 AC ma non scoperta fino al 1896) si riferisce a un lavoro di

Archimede che da allora egrave andato perso in cui Archimede dagrave i limiti

Tuttavia questo egrave evidentemente un errore che si deve essere insinuato durante la trascrizione

della copia perchegrave egrave molto piugrave scadente rispetto al limite superiore 3+17 trovato da Archimede in

precedenza Erone aggiungerdquo poicheacute questi numeri sono scomodi per le misurazioni p viene ridotto al

rapporto di numeri piugrave piccoli ossia 227

Archimede ha anche mostrato che una curva scoperta da Conone di Alessandria poteva come la

quadratrice di Ippia essere utilizzata per rettificare (e quindi quadrare) il cerchio La curva egrave oggi

chiamata la spirale di Archimede egrave definita come il luogo geometrico piano di un punto che si sposta di

moto rettilineo uniforme lungo un raggio mentre il raggio ruota di moto circolare uniforme attorno alla

sua estremitagrave Egrave questa la curva tracciata da una puntina che striscia radialmente verso lrsquoesterno su un

disco fonografico rotante Sia P un punto della spirale (vedi figura sopra) e la tangente in P intersechi la

perpendicolare alla retta OP in R Archimede mostrograve nel suo libro ldquoSulle Spiralirdquo che il segmento OR

(cioegrave la sottotangente polare nel punto P) egrave uguale alla lunghezza dellrsquoarco circolare PS di raggio OP

dove S egrave lrsquointersezione con il raggio iniziale OU

Rettificazione della circonferenza per mezzo della Spirale di Archimede

Tali furono alcuni dei contributi del piugrave grande genio dellrsquoantichitagrave alla storia del pi greco e della

quadratura del cerchio Anche se gli investigatori successivamente hanno trovato approssimazioni

numeriche migliori il metodo poligonale di Archimede egrave rimasto insuperato fino a quando diciannove

secoli piugrave tardi furono trovati in Inghilterra un prodotto infinito e una frazione continua infinita poco

prima che la scoperta del calcolo differenziale portasse a un approccio totalmente nuovo al problema

In fisica nessuno egrave giunto vicino alla statura di Archimede per piugrave di 18 secoli fino a quando

Galileo Galilei osograve sfidare le menzogne di Aristotele Le ombre di quelle menzogne sono con noi persino

adesso Crsquoegrave la storia della matematica che non scusa Archimede per essersi sporcato le mani con il lavoro

sperimentale Nel tardo 1968 ci viene detto che ldquoegli mise poco valore nei suoi congegni meccanicirdquo e

che rdquoconsiderava i suoi congegni e invenzioni come sordidamente commercialirdquo (1965) Commenti

simili si trovano in quasi tutti i libri sullrsquoargomento sostenendo lrsquoosservazione di Philip Guedella ldquoLa

storia si ripete gli storici si ripetono lrsquoun lrsquoaltrordquo Il mito ripetitivo egrave stato iniziato da Plutarco che nel

primo secolo dC ha scritto che

Considerando la meccanica e ogni arte utilitaristica come ignobile e volgare egli dette la sua

zelante devozione solo a quei soggetti la eleganza e sottigliezza sono non impastoiate dalle necessitagrave

della vita

Ora Plutarco non poteva forse sapere cosa Archimede avesse considerato ignobile e volgare il

suo credo era buono come il vostro o il mio Ma proprio come per diciannove secoli gli storici hanno

riecheggiato Plutarco cosigrave Plutarco fa eco allrsquoatteggiamento di Platone e Aristotele i padri dello

snobismo intellettuale Essi hanno insegnato che la sperimentazione era adatta solo per gli schiavi e che

le leggi della natura potevano essere dedotte soltanto dallrsquouomo di alto intelletto e Aristotele ha usato il

suo nobile intelletto per scoprire che i corpi piugrave pesanti cadono a terra piugrave velocemente che gli uomini

hanno piugrave denti rispetto alla donna che la Terra egrave al centro dellrsquouniverso che i corpi celesti non

cambiano mai e molto di piugrave di tale saggezza percheacute era uno scrittore molto prolifico Di fatto Aristotele

egrave stato sconfitto sul proprio terreno per mezzo della pura deduzione intellettuale dellrsquoosservazione

sperimentale Molto tempo prima che Galileo Galilei facesse cadere delle palle di legno e di piombo dalla

Torre pendente di Pisa egli pose la seguente domandardquo Se una pietra di 10 libbre cade 10 volte piugrave

velocemente di una da 1 libbra cosa succede se lego insieme le due pietre La combinazione cadragrave piugrave

velocemente della pietra di 10 libbre percheacute pesa 11 libbre o cadragrave piugrave lentamente percheacute la pietra da 1

libbra ritarderagrave la pietra da 10 libbrerdquo

Il commento di Plutarco sullrsquoatteggiamento di Archimede per lrsquoingegneria egrave una elaborazione

con nessun fondamento diverso dallo snobismo aristotelico

Archimede saluta Eratostene

Ti ho spedito nella precedente occasione alcuni dei teoremi scoperti da me semplicemente

scrivendoti gli enunciati e invitandoti a scoprire le dimostrazioni che a quel tempo non ti diedi

Poi le dimostrazioni di questi teoremi le ho scritte in questo libro e ora te lo invio Inoltre

vedendo in te come giagrave dissi uno studente volenteroso[hellip] ho ritenuto opportuno scriverti e spiegare in

dettaglio nello stesso libro la particolaritagrave di un certo metodo con cui saragrave possibile per te indagare alcuni

dei problemi di matematica mediante la meccanica Questa procedura egrave sono convinto non meno utile

persino delle stesse dimostrazioni dei teoremi percheacute certe cose prima mi sono diventate chiare con un

metodo meccanico malgrado dovessero essere dimostrate dopo tramite la geometria percheacute la loro

indagine col sopraccitato metodo non forniva una vera dimostrazione Ma quando abbiamo acquisito col

metodo alcune conoscenze dei problemi egrave la strada piugrave facile per fornire la dimostrazione anziccheacute

trovarla senza alcuna conoscenza precedente

Un chiaro esempio di questo metodo egrave lrsquoapplicazione di Archimede del principio della leva per

ricavare il volume di un segmento sferico oltre che dellrsquointera sfera come indicato nella figura di pag 71

Cosigrave grande valore dette Archimede a questa scoperta che chiese che una sfera inscritta in un cilindro

fosse incisa sulla sua lapide e questo egrave stato fatto percheacute anche se la lapide egrave andata perduta abbiamo

una descrizione della tomba da parte di Cicerone che la visitograve nel I secolo aC durante il suo incarico di

questore in Sicilia

Non egrave senza interesse ricordare come egrave stato recuperato Il Metodo Fu trovato nel 1906 a

Costantinopoli su un palinsesto che egrave una pergamena il cui testo originale egrave stato lavato (per recuperare

la pergamena) e sostituito con un testo diverso Se lrsquooriginale egrave stato lavato via non perfettamente esso

puograve essere ripristinato con una speciale fotografia In questo caso il testo originale era una copia del X

secolo di alcune opere note di Archimede ma pure includente lrsquounico testo superstite de Il Metodo Gli

zeloti medievali non sempre come il vescovo dello Yucatan o i Crociati a Costantinopoli bruciavano i

libri scientifici come opera del diavolo A volte essi pulivano il testo per la pergamena in modo che da

poterla sporcare con la loro immondizia superstiziosa

Il grande matematico fisico e filosofo Archimede di Siracusa1

Il personaggio e il contesto storico

Il contributo scientifico Il contributo metodologico e la

sua applicazione aziendale Bibliografia Allegato 1 Curricu lum Vitae

di Archimede da Siracusa

Il personaggio e il contesto storico Il grande matematico fisico e filosofo

Archimede di Siracusa (287 AC - 212 AC ) si

colloca storicamente secondo la tabella

riportata di seguito nel contesto culturale

sicuramente fecondo della Magna Grecia del

terzo secolo Avanti Cristo Il suo contributo

nel campo delle scienze applicate della fisica

e della matematica costituisce la base di

alcune delle tecnologie oggi di piugrave ampia

scala di utilizzo e a ragione di questo

contributo al sapere umano la sua effigie egrave ancora oggi riprodotta addirittura su i francobolli ed in passato

venne riprodo tta p r aticam ente in tutte le epoche storiche

1 IL CONTRIBUTO DELLA TECNOLOGIA APPLICATA AI SISTEMI ORGANIZZATI ARCHIMEDE DI SIRACUSA

Michel e Cibrari o MASTER MEDEA 2005-2006 Eni Corp orate Uni v ersity - Scuola Enrico Mattei

Questo ha consentito di conservare memoria nei secoli anche del suo aspetto fisico e non sono del suo

contributo cognitivo e scientifico peraltro forse piugrave im portante Il suo m e todo di calcolo delle aree e dei

volume ha anticipato di 2000 anni prima di Newton e Leibniz il calcolo integrale Per la straordinarietagrave

delle sue intuizi oni fisiche e per le applicazioni belliche d a lui r ealizza te Archimede egrave citato da tutti i

piugrave importa nti storiografi dellrsquoantichitagrave nei loro scritti

bull Diodorus Siculus (circa 1deg secolo A C ) Bibliotheke bull Athenaeus of Naucratis (circa 200 AC)

Deipnosophistae bull Eulero (1707-1783) XIV ldquoQuaestio nes Mathem aticaerdquo bull Vitruvio (circa 1deg secolo

AC) De Architectura bull Plutarco vari scritti I lavori di A r chimede che sono giunti fi no a noi d i rettam

e nte sono i seguenti bull DellrsquoEquilibrio dei pi ani (due libri) bull Quadratura della parabola bull Delle sfere e

dei cilindri (due libri) bull Delle spiral i bull Dei conoidi e degli sferoidi bull Dei corpi galleggianti (due libri)

bull Della misura del cerchio bull Il Palinsesto bull Il Metodo bull LrsquoArenario bull Lo Stomachion

Ci sono poi citazioni d i altri lavori di Archimede che son o invece andati perduti nei secoli lo storiografo

antico Pappus riporta di un lavoro sui Poliedri Semi -regolari Delle Leve e dellrsquoEquilibrio

Degli Sp ecchi Archimede venne ucciso nel 212 Avanti Cristo durante la presa della cittagrave di Siracusa da

parte dei Romani durante la seconda Guerra Punica quando tutti i suo i sforzi di tenerli a bada con le

macchine belliche erano falliti La storia della sua morte egrave raccontata da Plutarco e Cicerone in segno di

omaggio cercograve e trovo la tomba di Archimede nel 75 Avanti Cristo

Tutte le suddette opere furono tradotte in latino nel medioevo e studiate a fondo durante il Rinascimento

Ersquo singolare che lrsquoenorme contributo di Archimede sia s tato rivalutato e riscoperto solo dopo che Euclide

pubblicograve ldquoGli Elementirdquo Francobolli di vari paesi con lrsquoeffigie di Archimede

Archimede nei secoli Ersquo noto che nel mondo ellenistico in particolare fra la Magna Grecia e lrsquoEgitto

crsquoera un ricco e complesso sviluppo di ricerca scientifica con un im pegno anche nellrsquoevoluzione

tecnologica Strumenti di calcolo (o di rilevazione astronomica) non servivano solo per applicazioni

pratiche di ingegneria ma anche allrsquoevoluzione del pensiero filosofico Archimede si colloca in quel

contesto Quel processo si egrave in gran parte interrotto nel medioevo NellrsquoEuropa che si era formata dopo

le ldquoinvasioni barbaricherdquo il pensiero d e lla cultura classica non era d e l tutto perduto ma conservato solo

in alc une ristre tte com unitagrave monastiche o in societagrave segrete sospettate di eresia Le sperim entazioni

scientifiche e tecniche erano viste con diffidenza co me magie stregonerie o pratiche demoniache ndash me

ntre le corporazioni di ldquoarti e mestieri rdquo custodivano gelosamente i loro segreti e spesso assumevano il

carattere di comunitagrave esoteriche ed iniziatiche In queste epoche storiche gli scri tti di Archim ede sono

stati visti per le applicazioni tecnologiche suggerite ma non certo per il metodo scientifico che egli

propugnava Andiamo ora ad esaminare il con t ributo scien tifico di Archimede ed a vederne la estrema

attualitagrave con cui oggi vengono utilizzate le sue tecniche ed il suo approccio di problem-solving di stampo

galileano Il contributo scientifico Le intuizioni di Archimede spaziavano su campi diversificati Tra le

invenzioni e le app licazioni meccaniche attribuitegli si trov ano Il principio della leva La vite se nza fine

Il principio dell a spinta di galleggiamento e la stabilitagrave dei corpi nei fluidi di cui lo studio sul la

liquefazione e sui cedimenti del terreno Gli studi sulle sfere e sui cilindri I meccanismi in movimento un

esempio egrave lrsquo orologio ad a c q u a Tra le m acchine bellich e da lui d i segnate e co struite s i ricordano

specialmente Gli specchi ustori I ganci ed i bracci meccanici hellip e le rispettive applicazioni belliche tanto

tem u te dai Ro m a ni Tra gli studi di geometria si annoverano Studi sulle aree e sui volumi ldquoeccellentirdquo

I solidi regolari La spirale

Cicerone scopre la Tomba di Archimede

Olim dum quaestor Syracusis sum Archimedem insignem illus urbis civem a pulvere excitavi

Nam sepulcrum eius ignoratum a Syracusanis saeptum undique et vestitum vepribus ac dumetis

indagavi syracusani omnino negabant id esse sed ego tenebam senariolos inscriptos in eius monumento

ex quibus in summo Archimedis sepulcro sphaera cum cylindro posita erat ego autem omnia oculis

collustravi ( est enim apud portam sacram urbis magna frequentia sepulcrorum) et paululum postea

columellam non multum e dumis eminentem animadverti in ea erat sphaerae figura et cylindri Atque

ego statim syracusanis ( erant autem mecum principes civitatis) dixi ldquoEcce illud quod quaerebamrdquo

Immissi cum falcibus multi purgaverunt et aperuerunt locum deinde ad sepulcrum accessimus

Apparebat in illo epigramma fere dimidiatum erat illud Archimedis sepulcrumIta nobilis Siciliae civitas

ab homine Arpinati locum monumenti unius insignis civis sui didicit

Una volta mentre ero questore a Siracusa ho tirato fuori dalla polvere Archimede insigne

cittadino di quella cittagrave Infatti ho scoperto il suo sepolcro ignorato dai Siracusani ricoperto da ogni

parte da rovi e cespugli I siracusani affermavano che quello non esistesse ma io ricordavo dei senari

iscritti sulla sua tomba secondo i quali nella sommitagrave del sepolcro di Archimede vi era posta una sfera

con un cilindro Io tuttavia ho scrutato ogni cosa con lo sguardo (vi egrave infatti presso la porta sacra della

cittagrave una grande numero di sepolcri) e a poco a poco mi sono accorto di una colonnetta che non

sporgeva molto dai cespugli In quella vi era lrsquoeffigie di una sfera e di un cilindro

E io subito dissi ai Siracusani (erano infatti con me i cittadini piugrave ragguardevoli della cittagrave) ecco

quello che cercavo Entrati molti con le falci ripulirono e sgombrarono il luogo infine entrammo nel

sepolcro Appariva in quello unrsquo iscrizione quasi dimezzata era quello il sepolcro di Archimede Cosigrave la

celebre cittagrave della Sicilia conobbe il luogo del monumento di un suo insigne cittadino da un uomo di

Arpino

trattto da Tusculanae Disputationesrdquo di Cicerone

Trad Lo Giudice ndash Ferdico ndash Castellese IV H

Le opere di Archimede2

II 3 Archimede di Siracusa

Scarsi sono i particolari sulla vita di

Archimede ma possiamo ricavare qualche

informazione su di lui dalle storie di Plutarco Livio e

altri autori Plutarco descrivendo lrsquoassedio di Siracusa

da parte dei romani durante le Seconda Guerra Punica

ci dice che Archimede abbia inventato ingegnose

macchine da guerra per tenere lontano il nemico

catapulte [29] per lanciare pietre corde carrucole e

ganci per sollevare e schiantare le navi romane

dispositivi per sviluppare incendi sulle navi (come

questi dispositivi potessero essere realizzati e se

realmente Archimede sia stato in grado di realizzarli

ci egrave spiegato da Archimede e gli specchi ustori [30])

Durante il saccheggio della cittagrave Archimede venne

trucidato da un soldato romano nonostante che il

generale Marcello avesse dato lrsquoordine di salvare la

vita del matematico Poicheacute a quanto viene riferito

Archimede aveva settantacinque anni egrave molto

probabile che fosse nato nel 287 aC

Alcuni autori riportano che abbia visitato lrsquoEgitto e

che abbia studiato ad Alessandria con gli allievi di

Euclide fu probabilmente in questa occasione che

2 webunifeit

inventograve il dispositivo oggi noto come ldquovite di Archimederdquo [31] fatto di canali o tubi avvolti

elicoidalmente attorno ad un asse inclinato munito di una manovella per farlo girare

I vari resoconti rimastici sulla vita di Archimede sono drsquoaccordo nel dipingerlo come persona che

attribuiva scarso valore ai suoi congegni meccanici rispetto ai prodotti della sua attivitagrave intellettuale

Anche quando trattava di leve e di altre macchine semplici era molto piugrave interessato ai principi generali

che le governavano che alle loro applicazioni pratiche

Le opere di Archimede sopravvissute sono le seguenti Sullrsquoequilibrio dei piani

Di questo trattato in due libri fanno parte gli studi di Archimede sul principio della leva [32] Il

primo libro prende in considerazione figure rettilinee e si chiude con la discussione sui centri di gravitagrave

del triangolo e del trapezio Il secondo libro concentra lrsquoattenzione sul centro di gravitagrave di un segmento di

parabola e comprende una dimostrazione del fatto che questo centro si trova sul diametro del segmento e

divide questo diametro in segmenti che stanno nel rapporto di 3 a 2 Il procedimento usato per la

dimostrazione egrave il metodo di esaustione

Sui galleggianti

Questrsquoopera in due libri contiene dei risultati molto importanti Fra le proposizioni iniziali ve ne

sono due che formulano il noto principio della spinta idrostatica di Archimede [33]

Qualsiasi solido piugrave leggero di un fluido se collocato nel fluido si immergeragrave in misura tale che

il peso del solido saragrave uguale al peso del fluido spostato (Lib I Prop 5)

Un solido piugrave pesante di un fluido se collocato in esso discenderagrave in fondo al fluido e se si

peseragrave il solido nel fluido risulteragrave piugrave leggero del suo vero peso e la differenza di peso saragrave uguale al

peso del fluido spostato (Lib I Prop 7)

Oltre alle proprietagrave dei fluidi questo trattato contiene molte altre scoperte Quasi tutto il secondo

libro per esempio tratta della posizione di equilibrio di segmenti di paraboloidi quando siano immersi in

un fluido mostrando che la posizione di quiete dipende dal peso specifico relativo del paraboloide solido

e del fluido in cui galleggia

Sulla misura del cerchio

Questo piccolo trattato che egrave probabilmente incompleto nella forma in cui ci egrave pervenuto

comprende solo tre proposizioni ( egrave possibile vedere gli enunciati nel sito Sulla misura del cerchio [34])

una delle quali egrave la dimostrazione mediante il metodo di esaustione del teorema secondo cui lrsquoarea del

cerchio egrave uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come lati la circonferenza e il raggio del

cerchio stesso

Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra circonferenza di un cerchio e diametro Archimede diede

una ulteriore prova della sua abilitagrave nel calcolo Partendo dallrsquoesagono regolare inscritto egli calcolograve i

perimetri dei poligoni ottenuti raddoppiando successivamente il numero dei lati fino a raggiungere

novantasei lati Il risultato dal calcolo archimedeo relativo alla circonferenza era costituito da

unrsquoapprossimazione del valore di espressa dalla disuguaglianza che era un valore migliore di quello

ottenuto dagli egiziani e dai babilonesi (Va tenuto presente che neacute Archimede neacute alcun matematico

greco fece mai uso della notazione per indicare il valore del rapporto tra circonferenza di un cerchio e il

suo diametro)

Sulle spirali

Questo trattato fu molto ammirato ma poco letto poicheacute veniva considerato come la piugrave difficile

fra tutte le opere di Archimede La spirale viene definita come il luogo piano di un punto che partendo

dallrsquoestremo di un raggio o semiretta si sposta uniformemente lungo questo raggio mentre il raggio a sua

volta ruota uniformemente intorno al suo estremo

Lo studio che Archimede fece della spirale curva che attribuiva allrsquoamico Conone di Alessandria si

inquadrava nella scia delle ricerche tipiche della matematica greca volte a trovare le soluzioni dei tre

famosi problemi classici La curva si presta facilmente a effettuare molteplici sezioni dellrsquoangolo Come

nel caso della quadratrice perograve essa puograve anche servire a quadrare il cerchio come mostrograve lo stesso

Archimede

Nel punto P si tracci la tangente alla spirale OPR e questa tangente intersechi nel punto Q la retta che

passa per O ed egrave perpendicolare a OP (vedi Fig 1)

Archimede mostrava mediante una dimostrazione per duplice reductio ad absurdum che il

segmento OQ (noto come la sottotangente polare relativa al punto P) era uguale in lunghezza allrsquoarco di

cerchio PS del cerchio avente come centro O e come raggio OP

Se sulla spirale si sceglie un punto P come intersezione della spirale con la retta a 90deg in coordinate

polari la sottotangente polare OQ saragrave esattamente uguale a un quarto della circonferenza del cerchio di

raggio OP Pertanto lrsquointera circonferenza puograve essere costruita prendendo quattro volte il segmento OQ e

per mezzo del teorema di Archimede si trova un triangolo di area uguale allrsquoarea del cerchio Una

semplice trasformazione geometrica permetteragrave poi di sostituire il triangolo con un quadrato Ersquo cosigrave

effettuata la quadratura del cerchio

Gran parte dellrsquoopera di Archimede egrave di natura tale che oggi verrebbe inclusa in un corso di analisi

infinitesimale ciograve egrave particolarmente vero per il trattato Sulle spirali

Si puograve analizzare la spirale di Archimede e le curve ad essa associate visitando il sito La spirale di

Archimede [35] attraverso Java (un linguaggio di programmazione progettato per eseguire operazioni

evolute indipendente dalla macchina su cui si opera) si possono manipolare i dati ed ottenere tutte le

variazioni desiderate

Quadratura della parabola Al tempo in cui scriveva Archimede le sezioni coniche erano note da quasi un secolo e tuttavia

non era stato fatto nessun progresso nel calcolo delle loro aree Ci volle Archimede per quadrare una

sezione conica ossia un segmento della parabola e lo fece nella Proposizione 17 dellrsquoopera in cui la

quadratura costituiva lrsquoobiettivo principale La dimostrazione per mezzo del solito metodo di esaustione

egrave lunga e complessa comunque Archimede riuscigrave a dimostrare rigorosamente che lrsquoarea K di un

segmento parabolico APBQC egrave uguale a quattro terzi dellrsquoarea di un triangolo avente la stessa base e

uguale altezza

Nelle successive sette (e ultime) proposizioni Archimede dava una seconda ma diversa dimostrazione

del medesimo teorema Egli dimostrava che lrsquoarea del triangolo inscritto maggiore ABC con base AC egrave

quattro volte la somma dei corrispondenti triangoli inscritti aventi come basi rispettivamente AB e BC

Continuando il processo suggerito da questa relazione risulta chiaro che lrsquoarea H del segmento

parabolico ABC egrave data dalla somma della serie infinita che egrave Archimede non parla di somma della serie

infinita percheacute ai suoi tempi i processi non finiti venivano disapprovati Ricorrendo invece a una duplice

reductio ad absurdum Archimede dimostrava che H non poteva essere neacute maggiore neacute minore di

(Archimede come i suoi predecessori non usava il termine ldquoparabolardquo ma lrsquoespressione ldquoortotomordquo

ossia ldquosezione di un cono rettordquo)

Nel preambolo alla Quadratura della parabola incontriamo lrsquoassunzione che oggi egrave comunemente noto

come lrsquoassioma di Archimede

Lrsquoeccesso per cui la maggiore di due aree disuguali supera la minore puograve se sommato a se

stesso diventare superiore a qualsiasi area finita data

Nel sito La teoria della misura da Archimede a Bonaventura Cavalieri [36] si puograve esaminare

il procedimento di dimostrazione per la quadratura della parabola

Sui conoidi e sferoidi

Nonostante Archimede non sia stato in grado di trovare lrsquoarea di un segmento qualsiasi di ellisse

o di iperbole in questo trattato riuscigrave a determinare lrsquoarea di tutta lrsquoellisse

Le aree delle ellissi sono come i rettangoli formati dai loro assi (Prop 6)

Ciograve equivale a dire che lrsquoarea di unrsquoellisse egrave uguale allrsquoarea di un cerchio il cui raggio sia la media

geometrica dei semiassi dellrsquoellisse Inoltre mostrava come trovare il volume di segmenti tagliati da un

ellissoide da un paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno allrsquoasse principale Il

processo da lui usato egrave molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di integrazione differisce

principalmente per la mancanza del concetto di limite di una funzione

Sulla sfera e sul cilindro

Archimede volle che sulla sua tomba fosse incisa la figura che rappresentava una sfera inscritta in

un cilindro circolare retto la cui altezza egrave uguale al diametro della sfera ( per maggiori dettagli si veda La

lapide di Archimede [37]) egli aveva infatti scoperto e dimostrato che il rapporto tra i volumi del

cilindro e della sfera era uguale al rapporto tra le rispettive aree cioegrave era un rapporto di tre a due Inoltre

sembra che Archimede sia stato il primo a scoprire e a dimostrare che lrsquoarea di una sfera egrave quattro volte

lrsquoarea del suo cerchio massimo e che

la superficie di una qualsiasi calotta sferica egrave uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al

segmento tracciato dal vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa

Un teorema molto importante relativo alla superficie della sfera compare nella Proposizione 33

dopo una lunga serie di teoremi preliminari riguardanti la funzione seno

Se in un segmento di cerchio LrsquoALrsquo viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati

esclusa la base siano uguali e il loro numero sia pari come LKhellipAhellipKrsquoLrsquo ove A egrave il punto di mezzo del

segmento e se si tracciano le linee BBrsquo CCrsquo hellip parallele alla base LLrsquo e congiungenti coppie di punti

angolari allora (BBrsquo+CCrsquo+hellip+LM)AM=ArsquoBBA ove M egrave il punto di mezzo di LLrsquo e AArsquo egrave il diametro

passante per M

La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34 del Libro I

Qualsiasi sfera egrave uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della

sfera e lrsquoaltezza uguale al raggio della sfera

Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario ne segue il

rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto

LrsquoArenario

In questrsquoopera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri superiori a

nella notazione moderna Egli sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i

granelli di sabbia richiesti per riempire lrsquouniverso Ciograve era in risposta allrsquoipotesi avanzata da Aristarco di

Srsquoamo che la Terra si muovesse attorno al Sole

Ersquo possibile leggere lrsquointera opera tradotta in inglese visitando il sito lrsquoArenario [38]

Il libro dei lemmi

La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica superiore

Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari In questrsquoopera per esempio

troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del calzolaio) Questo egrave la regione delimitata da tre

semicerchi che sono reciprocamente tangenti a due a due lrsquoarea in questione egrave quella che si trova

allrsquointerno del semicerchio piugrave grande e allrsquoesterno dei semicerchi piugrave piccoli Vi egrave anche un teorema su

quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione archimedea dellrsquoangolo

Il libro dei lemmi non ci egrave pervenuto nel testo originale greco ma attraverso una traduzione araba che

piugrave tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum Di fatto questrsquoopera come ci egrave pervenuta

non puograve essere genuinamente archimedea percheacute il nome di Archimede viene citato piugrave volte nel corso

del testo Nondimeno anche se questo trattato non egrave altro che una miscellanea di teoremi attribuiti ad

Archimede dagli arabi lrsquoopera nella sua sostanza egrave probabilmente autentica

Il Metodo

Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di Archimede vi egrave

la scoperta fatta nel nostro secolo di uno dei suoi trattati piugrave importanti intitolato Il Metodo di cui si

erano perdute le tracce fin dai primi secoli dellrsquoEra cristiana fincheacute non venne riscoperto nel 1906

Qui Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini ldquomeccanicherdquo preliminari che lo

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

Il metodo di Archimede per calcolare

Non solo a causa dei risultati meravigliosi contenuti in questi libri ma anche percheacute Archimede fu un

pioniere del Metodo Partendo dal concetto di ldquougualerdquo arrivograve a quello di ldquoarbitrariamente vicino ardquo o

ldquotanto vicino quanto desideratordquo (che Euclide aveva enunciato ma non attivamente usato) e quindi

raggiunse la soglia del calcolo differenziale proprio come il suo metodo di quadratura della parabola

raggiunse la soglia del calcolo integrale (alcuni ritengono che la abbia superata)

Ersquo stato anche il primo a ideare un metodo per calcolare π con un qualunque grado desiderato di

precisione Esso si basa sul fatto che il perimetro di un poligono regolare di n lati inscritto in una

circonferenza egrave minore della circonferenza mentre il perimetro di un poligono simile circoscritto alla

circonferenza egrave maggiore della circonferenza (vedi figura sotto) Rendendo n sufficientemente grande i

due perimetri si avvicineranno alla circonferenza arbitrariamente uno per difetto lrsquoaltro per eccesso

Archimede iniziograve con un esagono e progressivamente raddoppiando il numero dei lati arrivograve a un

poligono di 96 lati il che diede

(1)

Ciograve che Archimede ha fatto senza trigonometria e senza notazione decimale (o altra notazione

posizionale) egrave unrsquoillustrazione della sua tenacia (vedi la traduzione di Heath ldquoSulla Misura del Cerchiordquo

proposizione 3 e seguenti) Tuttavia potremmo utilizzarle entrambe per procedere con i calcoli Se egrave

metagrave dellrsquoangolo sotteso da un lato di un poligono regolare di n lati nel centro della circonferenza allora

la lunghezza del lato inscritto egrave

(3)

e quella del lato circoscritto egrave

(4)

Un poligono regolare di 40 lati Non egrave stata disegnata la circonferenza interna

Per lrsquoesagono Archimede ha approssimato col valore leggermente inferiore di 265153 un poligono a

12 lati lo impegnograve nel rapporto che ha semplificato a e il poligono finale di 96 lati coinvolge una

radice quadrata di un numero che nel sistema decimale ha dieci cifre

Come sia riuscito ad estrarre le sue radici quadrate con tale accuratezza sempre avendo cura di

rispettare cosigrave sottilmente il lato piccolo o il lato grande come richiesto dai limiti egrave uno degli enigmi che

questo straordinario uomo ci ha lasciato Ma sembra che Archimede sia andato anche oltre Erone di

Alessandria nella sua Metrica (circa il 60 AC ma non scoperta fino al 1896) si riferisce a un lavoro di

Archimede che da allora egrave andato perso in cui Archimede dagrave i limiti

Tuttavia questo egrave evidentemente un errore che si deve essere insinuato durante la trascrizione

della copia perchegrave egrave molto piugrave scadente rispetto al limite superiore 3+17 trovato da Archimede in

precedenza Erone aggiungerdquo poicheacute questi numeri sono scomodi per le misurazioni p viene ridotto al

rapporto di numeri piugrave piccoli ossia 227

Archimede ha anche mostrato che una curva scoperta da Conone di Alessandria poteva come la

quadratrice di Ippia essere utilizzata per rettificare (e quindi quadrare) il cerchio La curva egrave oggi

chiamata la spirale di Archimede egrave definita come il luogo geometrico piano di un punto che si sposta di

moto rettilineo uniforme lungo un raggio mentre il raggio ruota di moto circolare uniforme attorno alla

sua estremitagrave Egrave questa la curva tracciata da una puntina che striscia radialmente verso lrsquoesterno su un

disco fonografico rotante Sia P un punto della spirale (vedi figura sopra) e la tangente in P intersechi la

perpendicolare alla retta OP in R Archimede mostrograve nel suo libro ldquoSulle Spiralirdquo che il segmento OR

(cioegrave la sottotangente polare nel punto P) egrave uguale alla lunghezza dellrsquoarco circolare PS di raggio OP

dove S egrave lrsquointersezione con il raggio iniziale OU

Rettificazione della circonferenza per mezzo della Spirale di Archimede

Tali furono alcuni dei contributi del piugrave grande genio dellrsquoantichitagrave alla storia del pi greco e della

quadratura del cerchio Anche se gli investigatori successivamente hanno trovato approssimazioni

numeriche migliori il metodo poligonale di Archimede egrave rimasto insuperato fino a quando diciannove

secoli piugrave tardi furono trovati in Inghilterra un prodotto infinito e una frazione continua infinita poco

prima che la scoperta del calcolo differenziale portasse a un approccio totalmente nuovo al problema

In fisica nessuno egrave giunto vicino alla statura di Archimede per piugrave di 18 secoli fino a quando

Galileo Galilei osograve sfidare le menzogne di Aristotele Le ombre di quelle menzogne sono con noi persino

adesso Crsquoegrave la storia della matematica che non scusa Archimede per essersi sporcato le mani con il lavoro

sperimentale Nel tardo 1968 ci viene detto che ldquoegli mise poco valore nei suoi congegni meccanicirdquo e

che rdquoconsiderava i suoi congegni e invenzioni come sordidamente commercialirdquo (1965) Commenti

simili si trovano in quasi tutti i libri sullrsquoargomento sostenendo lrsquoosservazione di Philip Guedella ldquoLa

storia si ripete gli storici si ripetono lrsquoun lrsquoaltrordquo Il mito ripetitivo egrave stato iniziato da Plutarco che nel

primo secolo dC ha scritto che

Considerando la meccanica e ogni arte utilitaristica come ignobile e volgare egli dette la sua

zelante devozione solo a quei soggetti la eleganza e sottigliezza sono non impastoiate dalle necessitagrave

della vita

Ora Plutarco non poteva forse sapere cosa Archimede avesse considerato ignobile e volgare il

suo credo era buono come il vostro o il mio Ma proprio come per diciannove secoli gli storici hanno

riecheggiato Plutarco cosigrave Plutarco fa eco allrsquoatteggiamento di Platone e Aristotele i padri dello

snobismo intellettuale Essi hanno insegnato che la sperimentazione era adatta solo per gli schiavi e che

le leggi della natura potevano essere dedotte soltanto dallrsquouomo di alto intelletto e Aristotele ha usato il

suo nobile intelletto per scoprire che i corpi piugrave pesanti cadono a terra piugrave velocemente che gli uomini

hanno piugrave denti rispetto alla donna che la Terra egrave al centro dellrsquouniverso che i corpi celesti non

cambiano mai e molto di piugrave di tale saggezza percheacute era uno scrittore molto prolifico Di fatto Aristotele

egrave stato sconfitto sul proprio terreno per mezzo della pura deduzione intellettuale dellrsquoosservazione

sperimentale Molto tempo prima che Galileo Galilei facesse cadere delle palle di legno e di piombo dalla

Torre pendente di Pisa egli pose la seguente domandardquo Se una pietra di 10 libbre cade 10 volte piugrave

velocemente di una da 1 libbra cosa succede se lego insieme le due pietre La combinazione cadragrave piugrave

velocemente della pietra di 10 libbre percheacute pesa 11 libbre o cadragrave piugrave lentamente percheacute la pietra da 1

libbra ritarderagrave la pietra da 10 libbrerdquo

Il commento di Plutarco sullrsquoatteggiamento di Archimede per lrsquoingegneria egrave una elaborazione

con nessun fondamento diverso dallo snobismo aristotelico

Archimede saluta Eratostene

Ti ho spedito nella precedente occasione alcuni dei teoremi scoperti da me semplicemente

scrivendoti gli enunciati e invitandoti a scoprire le dimostrazioni che a quel tempo non ti diedi

Poi le dimostrazioni di questi teoremi le ho scritte in questo libro e ora te lo invio Inoltre

vedendo in te come giagrave dissi uno studente volenteroso[hellip] ho ritenuto opportuno scriverti e spiegare in

dettaglio nello stesso libro la particolaritagrave di un certo metodo con cui saragrave possibile per te indagare alcuni

dei problemi di matematica mediante la meccanica Questa procedura egrave sono convinto non meno utile

persino delle stesse dimostrazioni dei teoremi percheacute certe cose prima mi sono diventate chiare con un

metodo meccanico malgrado dovessero essere dimostrate dopo tramite la geometria percheacute la loro

indagine col sopraccitato metodo non forniva una vera dimostrazione Ma quando abbiamo acquisito col

metodo alcune conoscenze dei problemi egrave la strada piugrave facile per fornire la dimostrazione anziccheacute

trovarla senza alcuna conoscenza precedente

Un chiaro esempio di questo metodo egrave lrsquoapplicazione di Archimede del principio della leva per

ricavare il volume di un segmento sferico oltre che dellrsquointera sfera come indicato nella figura di pag 71

Cosigrave grande valore dette Archimede a questa scoperta che chiese che una sfera inscritta in un cilindro

fosse incisa sulla sua lapide e questo egrave stato fatto percheacute anche se la lapide egrave andata perduta abbiamo

una descrizione della tomba da parte di Cicerone che la visitograve nel I secolo aC durante il suo incarico di

questore in Sicilia

Non egrave senza interesse ricordare come egrave stato recuperato Il Metodo Fu trovato nel 1906 a

Costantinopoli su un palinsesto che egrave una pergamena il cui testo originale egrave stato lavato (per recuperare

la pergamena) e sostituito con un testo diverso Se lrsquooriginale egrave stato lavato via non perfettamente esso

puograve essere ripristinato con una speciale fotografia In questo caso il testo originale era una copia del X

secolo di alcune opere note di Archimede ma pure includente lrsquounico testo superstite de Il Metodo Gli

zeloti medievali non sempre come il vescovo dello Yucatan o i Crociati a Costantinopoli bruciavano i

libri scientifici come opera del diavolo A volte essi pulivano il testo per la pergamena in modo che da

poterla sporcare con la loro immondizia superstiziosa

Il grande matematico fisico e filosofo Archimede di Siracusa1

Il personaggio e il contesto storico

Il contributo scientifico Il contributo metodologico e la

sua applicazione aziendale Bibliografia Allegato 1 Curricu lum Vitae

di Archimede da Siracusa

Il personaggio e il contesto storico Il grande matematico fisico e filosofo

Archimede di Siracusa (287 AC - 212 AC ) si

colloca storicamente secondo la tabella

riportata di seguito nel contesto culturale

sicuramente fecondo della Magna Grecia del

terzo secolo Avanti Cristo Il suo contributo

nel campo delle scienze applicate della fisica

e della matematica costituisce la base di

alcune delle tecnologie oggi di piugrave ampia

scala di utilizzo e a ragione di questo

contributo al sapere umano la sua effigie egrave ancora oggi riprodotta addirittura su i francobolli ed in passato

venne riprodo tta p r aticam ente in tutte le epoche storiche

1 IL CONTRIBUTO DELLA TECNOLOGIA APPLICATA AI SISTEMI ORGANIZZATI ARCHIMEDE DI SIRACUSA

Michel e Cibrari o MASTER MEDEA 2005-2006 Eni Corp orate Uni v ersity - Scuola Enrico Mattei

Questo ha consentito di conservare memoria nei secoli anche del suo aspetto fisico e non sono del suo

contributo cognitivo e scientifico peraltro forse piugrave im portante Il suo m e todo di calcolo delle aree e dei

volume ha anticipato di 2000 anni prima di Newton e Leibniz il calcolo integrale Per la straordinarietagrave

delle sue intuizi oni fisiche e per le applicazioni belliche d a lui r ealizza te Archimede egrave citato da tutti i

piugrave importa nti storiografi dellrsquoantichitagrave nei loro scritti

bull Diodorus Siculus (circa 1deg secolo A C ) Bibliotheke bull Athenaeus of Naucratis (circa 200 AC)

Deipnosophistae bull Eulero (1707-1783) XIV ldquoQuaestio nes Mathem aticaerdquo bull Vitruvio (circa 1deg secolo

AC) De Architectura bull Plutarco vari scritti I lavori di A r chimede che sono giunti fi no a noi d i rettam

e nte sono i seguenti bull DellrsquoEquilibrio dei pi ani (due libri) bull Quadratura della parabola bull Delle sfere e

dei cilindri (due libri) bull Delle spiral i bull Dei conoidi e degli sferoidi bull Dei corpi galleggianti (due libri)

bull Della misura del cerchio bull Il Palinsesto bull Il Metodo bull LrsquoArenario bull Lo Stomachion

Ci sono poi citazioni d i altri lavori di Archimede che son o invece andati perduti nei secoli lo storiografo

antico Pappus riporta di un lavoro sui Poliedri Semi -regolari Delle Leve e dellrsquoEquilibrio

Degli Sp ecchi Archimede venne ucciso nel 212 Avanti Cristo durante la presa della cittagrave di Siracusa da

parte dei Romani durante la seconda Guerra Punica quando tutti i suo i sforzi di tenerli a bada con le

macchine belliche erano falliti La storia della sua morte egrave raccontata da Plutarco e Cicerone in segno di

omaggio cercograve e trovo la tomba di Archimede nel 75 Avanti Cristo

Tutte le suddette opere furono tradotte in latino nel medioevo e studiate a fondo durante il Rinascimento

Ersquo singolare che lrsquoenorme contributo di Archimede sia s tato rivalutato e riscoperto solo dopo che Euclide

pubblicograve ldquoGli Elementirdquo Francobolli di vari paesi con lrsquoeffigie di Archimede

Archimede nei secoli Ersquo noto che nel mondo ellenistico in particolare fra la Magna Grecia e lrsquoEgitto

crsquoera un ricco e complesso sviluppo di ricerca scientifica con un im pegno anche nellrsquoevoluzione

tecnologica Strumenti di calcolo (o di rilevazione astronomica) non servivano solo per applicazioni

pratiche di ingegneria ma anche allrsquoevoluzione del pensiero filosofico Archimede si colloca in quel

contesto Quel processo si egrave in gran parte interrotto nel medioevo NellrsquoEuropa che si era formata dopo

le ldquoinvasioni barbaricherdquo il pensiero d e lla cultura classica non era d e l tutto perduto ma conservato solo

in alc une ristre tte com unitagrave monastiche o in societagrave segrete sospettate di eresia Le sperim entazioni

scientifiche e tecniche erano viste con diffidenza co me magie stregonerie o pratiche demoniache ndash me

ntre le corporazioni di ldquoarti e mestieri rdquo custodivano gelosamente i loro segreti e spesso assumevano il

carattere di comunitagrave esoteriche ed iniziatiche In queste epoche storiche gli scri tti di Archim ede sono

stati visti per le applicazioni tecnologiche suggerite ma non certo per il metodo scientifico che egli

propugnava Andiamo ora ad esaminare il con t ributo scien tifico di Archimede ed a vederne la estrema

attualitagrave con cui oggi vengono utilizzate le sue tecniche ed il suo approccio di problem-solving di stampo

galileano Il contributo scientifico Le intuizioni di Archimede spaziavano su campi diversificati Tra le

invenzioni e le app licazioni meccaniche attribuitegli si trov ano Il principio della leva La vite se nza fine

Il principio dell a spinta di galleggiamento e la stabilitagrave dei corpi nei fluidi di cui lo studio sul la

liquefazione e sui cedimenti del terreno Gli studi sulle sfere e sui cilindri I meccanismi in movimento un

esempio egrave lrsquo orologio ad a c q u a Tra le m acchine bellich e da lui d i segnate e co struite s i ricordano

specialmente Gli specchi ustori I ganci ed i bracci meccanici hellip e le rispettive applicazioni belliche tanto

tem u te dai Ro m a ni Tra gli studi di geometria si annoverano Studi sulle aree e sui volumi ldquoeccellentirdquo

I solidi regolari La spirale

Cicerone scopre la Tomba di Archimede

Olim dum quaestor Syracusis sum Archimedem insignem illus urbis civem a pulvere excitavi

Nam sepulcrum eius ignoratum a Syracusanis saeptum undique et vestitum vepribus ac dumetis

indagavi syracusani omnino negabant id esse sed ego tenebam senariolos inscriptos in eius monumento

ex quibus in summo Archimedis sepulcro sphaera cum cylindro posita erat ego autem omnia oculis

collustravi ( est enim apud portam sacram urbis magna frequentia sepulcrorum) et paululum postea

columellam non multum e dumis eminentem animadverti in ea erat sphaerae figura et cylindri Atque

ego statim syracusanis ( erant autem mecum principes civitatis) dixi ldquoEcce illud quod quaerebamrdquo

Immissi cum falcibus multi purgaverunt et aperuerunt locum deinde ad sepulcrum accessimus

Apparebat in illo epigramma fere dimidiatum erat illud Archimedis sepulcrumIta nobilis Siciliae civitas

ab homine Arpinati locum monumenti unius insignis civis sui didicit

Una volta mentre ero questore a Siracusa ho tirato fuori dalla polvere Archimede insigne

cittadino di quella cittagrave Infatti ho scoperto il suo sepolcro ignorato dai Siracusani ricoperto da ogni

parte da rovi e cespugli I siracusani affermavano che quello non esistesse ma io ricordavo dei senari

iscritti sulla sua tomba secondo i quali nella sommitagrave del sepolcro di Archimede vi era posta una sfera

con un cilindro Io tuttavia ho scrutato ogni cosa con lo sguardo (vi egrave infatti presso la porta sacra della

cittagrave una grande numero di sepolcri) e a poco a poco mi sono accorto di una colonnetta che non

sporgeva molto dai cespugli In quella vi era lrsquoeffigie di una sfera e di un cilindro

E io subito dissi ai Siracusani (erano infatti con me i cittadini piugrave ragguardevoli della cittagrave) ecco

quello che cercavo Entrati molti con le falci ripulirono e sgombrarono il luogo infine entrammo nel

sepolcro Appariva in quello unrsquo iscrizione quasi dimezzata era quello il sepolcro di Archimede Cosigrave la

celebre cittagrave della Sicilia conobbe il luogo del monumento di un suo insigne cittadino da un uomo di

Arpino

trattto da Tusculanae Disputationesrdquo di Cicerone

Trad Lo Giudice ndash Ferdico ndash Castellese IV H

Le opere di Archimede2

II 3 Archimede di Siracusa

Scarsi sono i particolari sulla vita di

Archimede ma possiamo ricavare qualche

informazione su di lui dalle storie di Plutarco Livio e

altri autori Plutarco descrivendo lrsquoassedio di Siracusa

da parte dei romani durante le Seconda Guerra Punica

ci dice che Archimede abbia inventato ingegnose

macchine da guerra per tenere lontano il nemico

catapulte [29] per lanciare pietre corde carrucole e

ganci per sollevare e schiantare le navi romane

dispositivi per sviluppare incendi sulle navi (come

questi dispositivi potessero essere realizzati e se

realmente Archimede sia stato in grado di realizzarli

ci egrave spiegato da Archimede e gli specchi ustori [30])

Durante il saccheggio della cittagrave Archimede venne

trucidato da un soldato romano nonostante che il

generale Marcello avesse dato lrsquoordine di salvare la

vita del matematico Poicheacute a quanto viene riferito

Archimede aveva settantacinque anni egrave molto

probabile che fosse nato nel 287 aC

Alcuni autori riportano che abbia visitato lrsquoEgitto e

che abbia studiato ad Alessandria con gli allievi di

Euclide fu probabilmente in questa occasione che

2 webunifeit

inventograve il dispositivo oggi noto come ldquovite di Archimederdquo [31] fatto di canali o tubi avvolti

elicoidalmente attorno ad un asse inclinato munito di una manovella per farlo girare

I vari resoconti rimastici sulla vita di Archimede sono drsquoaccordo nel dipingerlo come persona che

attribuiva scarso valore ai suoi congegni meccanici rispetto ai prodotti della sua attivitagrave intellettuale

Anche quando trattava di leve e di altre macchine semplici era molto piugrave interessato ai principi generali

che le governavano che alle loro applicazioni pratiche

Le opere di Archimede sopravvissute sono le seguenti Sullrsquoequilibrio dei piani

Di questo trattato in due libri fanno parte gli studi di Archimede sul principio della leva [32] Il

primo libro prende in considerazione figure rettilinee e si chiude con la discussione sui centri di gravitagrave

del triangolo e del trapezio Il secondo libro concentra lrsquoattenzione sul centro di gravitagrave di un segmento di

parabola e comprende una dimostrazione del fatto che questo centro si trova sul diametro del segmento e

divide questo diametro in segmenti che stanno nel rapporto di 3 a 2 Il procedimento usato per la

dimostrazione egrave il metodo di esaustione

Sui galleggianti

Questrsquoopera in due libri contiene dei risultati molto importanti Fra le proposizioni iniziali ve ne

sono due che formulano il noto principio della spinta idrostatica di Archimede [33]

Qualsiasi solido piugrave leggero di un fluido se collocato nel fluido si immergeragrave in misura tale che

il peso del solido saragrave uguale al peso del fluido spostato (Lib I Prop 5)

Un solido piugrave pesante di un fluido se collocato in esso discenderagrave in fondo al fluido e se si

peseragrave il solido nel fluido risulteragrave piugrave leggero del suo vero peso e la differenza di peso saragrave uguale al

peso del fluido spostato (Lib I Prop 7)

Oltre alle proprietagrave dei fluidi questo trattato contiene molte altre scoperte Quasi tutto il secondo

libro per esempio tratta della posizione di equilibrio di segmenti di paraboloidi quando siano immersi in

un fluido mostrando che la posizione di quiete dipende dal peso specifico relativo del paraboloide solido

e del fluido in cui galleggia

Sulla misura del cerchio

Questo piccolo trattato che egrave probabilmente incompleto nella forma in cui ci egrave pervenuto

comprende solo tre proposizioni ( egrave possibile vedere gli enunciati nel sito Sulla misura del cerchio [34])

una delle quali egrave la dimostrazione mediante il metodo di esaustione del teorema secondo cui lrsquoarea del

cerchio egrave uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come lati la circonferenza e il raggio del

cerchio stesso

Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra circonferenza di un cerchio e diametro Archimede diede

una ulteriore prova della sua abilitagrave nel calcolo Partendo dallrsquoesagono regolare inscritto egli calcolograve i

perimetri dei poligoni ottenuti raddoppiando successivamente il numero dei lati fino a raggiungere

novantasei lati Il risultato dal calcolo archimedeo relativo alla circonferenza era costituito da

unrsquoapprossimazione del valore di espressa dalla disuguaglianza che era un valore migliore di quello

ottenuto dagli egiziani e dai babilonesi (Va tenuto presente che neacute Archimede neacute alcun matematico

greco fece mai uso della notazione per indicare il valore del rapporto tra circonferenza di un cerchio e il

suo diametro)

Sulle spirali

Questo trattato fu molto ammirato ma poco letto poicheacute veniva considerato come la piugrave difficile

fra tutte le opere di Archimede La spirale viene definita come il luogo piano di un punto che partendo

dallrsquoestremo di un raggio o semiretta si sposta uniformemente lungo questo raggio mentre il raggio a sua

volta ruota uniformemente intorno al suo estremo

Lo studio che Archimede fece della spirale curva che attribuiva allrsquoamico Conone di Alessandria si

inquadrava nella scia delle ricerche tipiche della matematica greca volte a trovare le soluzioni dei tre

famosi problemi classici La curva si presta facilmente a effettuare molteplici sezioni dellrsquoangolo Come

nel caso della quadratrice perograve essa puograve anche servire a quadrare il cerchio come mostrograve lo stesso

Archimede

Nel punto P si tracci la tangente alla spirale OPR e questa tangente intersechi nel punto Q la retta che

passa per O ed egrave perpendicolare a OP (vedi Fig 1)

Archimede mostrava mediante una dimostrazione per duplice reductio ad absurdum che il

segmento OQ (noto come la sottotangente polare relativa al punto P) era uguale in lunghezza allrsquoarco di

cerchio PS del cerchio avente come centro O e come raggio OP

Se sulla spirale si sceglie un punto P come intersezione della spirale con la retta a 90deg in coordinate

polari la sottotangente polare OQ saragrave esattamente uguale a un quarto della circonferenza del cerchio di

raggio OP Pertanto lrsquointera circonferenza puograve essere costruita prendendo quattro volte il segmento OQ e

per mezzo del teorema di Archimede si trova un triangolo di area uguale allrsquoarea del cerchio Una

semplice trasformazione geometrica permetteragrave poi di sostituire il triangolo con un quadrato Ersquo cosigrave

effettuata la quadratura del cerchio

Gran parte dellrsquoopera di Archimede egrave di natura tale che oggi verrebbe inclusa in un corso di analisi

infinitesimale ciograve egrave particolarmente vero per il trattato Sulle spirali

Si puograve analizzare la spirale di Archimede e le curve ad essa associate visitando il sito La spirale di

Archimede [35] attraverso Java (un linguaggio di programmazione progettato per eseguire operazioni

evolute indipendente dalla macchina su cui si opera) si possono manipolare i dati ed ottenere tutte le

variazioni desiderate

Quadratura della parabola Al tempo in cui scriveva Archimede le sezioni coniche erano note da quasi un secolo e tuttavia

non era stato fatto nessun progresso nel calcolo delle loro aree Ci volle Archimede per quadrare una

sezione conica ossia un segmento della parabola e lo fece nella Proposizione 17 dellrsquoopera in cui la

quadratura costituiva lrsquoobiettivo principale La dimostrazione per mezzo del solito metodo di esaustione

egrave lunga e complessa comunque Archimede riuscigrave a dimostrare rigorosamente che lrsquoarea K di un

segmento parabolico APBQC egrave uguale a quattro terzi dellrsquoarea di un triangolo avente la stessa base e

uguale altezza

Nelle successive sette (e ultime) proposizioni Archimede dava una seconda ma diversa dimostrazione

del medesimo teorema Egli dimostrava che lrsquoarea del triangolo inscritto maggiore ABC con base AC egrave

quattro volte la somma dei corrispondenti triangoli inscritti aventi come basi rispettivamente AB e BC

Continuando il processo suggerito da questa relazione risulta chiaro che lrsquoarea H del segmento

parabolico ABC egrave data dalla somma della serie infinita che egrave Archimede non parla di somma della serie

infinita percheacute ai suoi tempi i processi non finiti venivano disapprovati Ricorrendo invece a una duplice

reductio ad absurdum Archimede dimostrava che H non poteva essere neacute maggiore neacute minore di

(Archimede come i suoi predecessori non usava il termine ldquoparabolardquo ma lrsquoespressione ldquoortotomordquo

ossia ldquosezione di un cono rettordquo)

Nel preambolo alla Quadratura della parabola incontriamo lrsquoassunzione che oggi egrave comunemente noto

come lrsquoassioma di Archimede

Lrsquoeccesso per cui la maggiore di due aree disuguali supera la minore puograve se sommato a se

stesso diventare superiore a qualsiasi area finita data

Nel sito La teoria della misura da Archimede a Bonaventura Cavalieri [36] si puograve esaminare

il procedimento di dimostrazione per la quadratura della parabola

Sui conoidi e sferoidi

Nonostante Archimede non sia stato in grado di trovare lrsquoarea di un segmento qualsiasi di ellisse

o di iperbole in questo trattato riuscigrave a determinare lrsquoarea di tutta lrsquoellisse

Le aree delle ellissi sono come i rettangoli formati dai loro assi (Prop 6)

Ciograve equivale a dire che lrsquoarea di unrsquoellisse egrave uguale allrsquoarea di un cerchio il cui raggio sia la media

geometrica dei semiassi dellrsquoellisse Inoltre mostrava come trovare il volume di segmenti tagliati da un

ellissoide da un paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno allrsquoasse principale Il

processo da lui usato egrave molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di integrazione differisce

principalmente per la mancanza del concetto di limite di una funzione

Sulla sfera e sul cilindro

Archimede volle che sulla sua tomba fosse incisa la figura che rappresentava una sfera inscritta in

un cilindro circolare retto la cui altezza egrave uguale al diametro della sfera ( per maggiori dettagli si veda La

lapide di Archimede [37]) egli aveva infatti scoperto e dimostrato che il rapporto tra i volumi del

cilindro e della sfera era uguale al rapporto tra le rispettive aree cioegrave era un rapporto di tre a due Inoltre

sembra che Archimede sia stato il primo a scoprire e a dimostrare che lrsquoarea di una sfera egrave quattro volte

lrsquoarea del suo cerchio massimo e che

la superficie di una qualsiasi calotta sferica egrave uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al

segmento tracciato dal vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa

Un teorema molto importante relativo alla superficie della sfera compare nella Proposizione 33

dopo una lunga serie di teoremi preliminari riguardanti la funzione seno

Se in un segmento di cerchio LrsquoALrsquo viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati

esclusa la base siano uguali e il loro numero sia pari come LKhellipAhellipKrsquoLrsquo ove A egrave il punto di mezzo del

segmento e se si tracciano le linee BBrsquo CCrsquo hellip parallele alla base LLrsquo e congiungenti coppie di punti

angolari allora (BBrsquo+CCrsquo+hellip+LM)AM=ArsquoBBA ove M egrave il punto di mezzo di LLrsquo e AArsquo egrave il diametro

passante per M

La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34 del Libro I

Qualsiasi sfera egrave uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della

sfera e lrsquoaltezza uguale al raggio della sfera

Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario ne segue il

rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto

LrsquoArenario

In questrsquoopera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri superiori a

nella notazione moderna Egli sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i

granelli di sabbia richiesti per riempire lrsquouniverso Ciograve era in risposta allrsquoipotesi avanzata da Aristarco di

Srsquoamo che la Terra si muovesse attorno al Sole

Ersquo possibile leggere lrsquointera opera tradotta in inglese visitando il sito lrsquoArenario [38]

Il libro dei lemmi

La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica superiore

Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari In questrsquoopera per esempio

troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del calzolaio) Questo egrave la regione delimitata da tre

semicerchi che sono reciprocamente tangenti a due a due lrsquoarea in questione egrave quella che si trova

allrsquointerno del semicerchio piugrave grande e allrsquoesterno dei semicerchi piugrave piccoli Vi egrave anche un teorema su

quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione archimedea dellrsquoangolo

Il libro dei lemmi non ci egrave pervenuto nel testo originale greco ma attraverso una traduzione araba che

piugrave tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum Di fatto questrsquoopera come ci egrave pervenuta

non puograve essere genuinamente archimedea percheacute il nome di Archimede viene citato piugrave volte nel corso

del testo Nondimeno anche se questo trattato non egrave altro che una miscellanea di teoremi attribuiti ad

Archimede dagli arabi lrsquoopera nella sua sostanza egrave probabilmente autentica

Il Metodo

Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di Archimede vi egrave

la scoperta fatta nel nostro secolo di uno dei suoi trattati piugrave importanti intitolato Il Metodo di cui si

erano perdute le tracce fin dai primi secoli dellrsquoEra cristiana fincheacute non venne riscoperto nel 1906

Qui Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini ldquomeccanicherdquo preliminari che lo

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

Per lrsquoesagono Archimede ha approssimato col valore leggermente inferiore di 265153 un poligono a

12 lati lo impegnograve nel rapporto che ha semplificato a e il poligono finale di 96 lati coinvolge una

radice quadrata di un numero che nel sistema decimale ha dieci cifre

Come sia riuscito ad estrarre le sue radici quadrate con tale accuratezza sempre avendo cura di

rispettare cosigrave sottilmente il lato piccolo o il lato grande come richiesto dai limiti egrave uno degli enigmi che

questo straordinario uomo ci ha lasciato Ma sembra che Archimede sia andato anche oltre Erone di

Alessandria nella sua Metrica (circa il 60 AC ma non scoperta fino al 1896) si riferisce a un lavoro di

Archimede che da allora egrave andato perso in cui Archimede dagrave i limiti

Tuttavia questo egrave evidentemente un errore che si deve essere insinuato durante la trascrizione

della copia perchegrave egrave molto piugrave scadente rispetto al limite superiore 3+17 trovato da Archimede in

precedenza Erone aggiungerdquo poicheacute questi numeri sono scomodi per le misurazioni p viene ridotto al

rapporto di numeri piugrave piccoli ossia 227

Archimede ha anche mostrato che una curva scoperta da Conone di Alessandria poteva come la

quadratrice di Ippia essere utilizzata per rettificare (e quindi quadrare) il cerchio La curva egrave oggi

chiamata la spirale di Archimede egrave definita come il luogo geometrico piano di un punto che si sposta di

moto rettilineo uniforme lungo un raggio mentre il raggio ruota di moto circolare uniforme attorno alla

sua estremitagrave Egrave questa la curva tracciata da una puntina che striscia radialmente verso lrsquoesterno su un

disco fonografico rotante Sia P un punto della spirale (vedi figura sopra) e la tangente in P intersechi la

perpendicolare alla retta OP in R Archimede mostrograve nel suo libro ldquoSulle Spiralirdquo che il segmento OR

(cioegrave la sottotangente polare nel punto P) egrave uguale alla lunghezza dellrsquoarco circolare PS di raggio OP

dove S egrave lrsquointersezione con il raggio iniziale OU

Rettificazione della circonferenza per mezzo della Spirale di Archimede

Tali furono alcuni dei contributi del piugrave grande genio dellrsquoantichitagrave alla storia del pi greco e della

quadratura del cerchio Anche se gli investigatori successivamente hanno trovato approssimazioni

numeriche migliori il metodo poligonale di Archimede egrave rimasto insuperato fino a quando diciannove

secoli piugrave tardi furono trovati in Inghilterra un prodotto infinito e una frazione continua infinita poco

prima che la scoperta del calcolo differenziale portasse a un approccio totalmente nuovo al problema

In fisica nessuno egrave giunto vicino alla statura di Archimede per piugrave di 18 secoli fino a quando

Galileo Galilei osograve sfidare le menzogne di Aristotele Le ombre di quelle menzogne sono con noi persino

adesso Crsquoegrave la storia della matematica che non scusa Archimede per essersi sporcato le mani con il lavoro

sperimentale Nel tardo 1968 ci viene detto che ldquoegli mise poco valore nei suoi congegni meccanicirdquo e

che rdquoconsiderava i suoi congegni e invenzioni come sordidamente commercialirdquo (1965) Commenti

simili si trovano in quasi tutti i libri sullrsquoargomento sostenendo lrsquoosservazione di Philip Guedella ldquoLa

storia si ripete gli storici si ripetono lrsquoun lrsquoaltrordquo Il mito ripetitivo egrave stato iniziato da Plutarco che nel

primo secolo dC ha scritto che

Considerando la meccanica e ogni arte utilitaristica come ignobile e volgare egli dette la sua

zelante devozione solo a quei soggetti la eleganza e sottigliezza sono non impastoiate dalle necessitagrave

della vita

Ora Plutarco non poteva forse sapere cosa Archimede avesse considerato ignobile e volgare il

suo credo era buono come il vostro o il mio Ma proprio come per diciannove secoli gli storici hanno

riecheggiato Plutarco cosigrave Plutarco fa eco allrsquoatteggiamento di Platone e Aristotele i padri dello

snobismo intellettuale Essi hanno insegnato che la sperimentazione era adatta solo per gli schiavi e che

le leggi della natura potevano essere dedotte soltanto dallrsquouomo di alto intelletto e Aristotele ha usato il

suo nobile intelletto per scoprire che i corpi piugrave pesanti cadono a terra piugrave velocemente che gli uomini

hanno piugrave denti rispetto alla donna che la Terra egrave al centro dellrsquouniverso che i corpi celesti non

cambiano mai e molto di piugrave di tale saggezza percheacute era uno scrittore molto prolifico Di fatto Aristotele

egrave stato sconfitto sul proprio terreno per mezzo della pura deduzione intellettuale dellrsquoosservazione

sperimentale Molto tempo prima che Galileo Galilei facesse cadere delle palle di legno e di piombo dalla

Torre pendente di Pisa egli pose la seguente domandardquo Se una pietra di 10 libbre cade 10 volte piugrave

velocemente di una da 1 libbra cosa succede se lego insieme le due pietre La combinazione cadragrave piugrave

velocemente della pietra di 10 libbre percheacute pesa 11 libbre o cadragrave piugrave lentamente percheacute la pietra da 1

libbra ritarderagrave la pietra da 10 libbrerdquo

Il commento di Plutarco sullrsquoatteggiamento di Archimede per lrsquoingegneria egrave una elaborazione

con nessun fondamento diverso dallo snobismo aristotelico

Archimede saluta Eratostene

Ti ho spedito nella precedente occasione alcuni dei teoremi scoperti da me semplicemente

scrivendoti gli enunciati e invitandoti a scoprire le dimostrazioni che a quel tempo non ti diedi

Poi le dimostrazioni di questi teoremi le ho scritte in questo libro e ora te lo invio Inoltre

vedendo in te come giagrave dissi uno studente volenteroso[hellip] ho ritenuto opportuno scriverti e spiegare in

dettaglio nello stesso libro la particolaritagrave di un certo metodo con cui saragrave possibile per te indagare alcuni

dei problemi di matematica mediante la meccanica Questa procedura egrave sono convinto non meno utile

persino delle stesse dimostrazioni dei teoremi percheacute certe cose prima mi sono diventate chiare con un

metodo meccanico malgrado dovessero essere dimostrate dopo tramite la geometria percheacute la loro

indagine col sopraccitato metodo non forniva una vera dimostrazione Ma quando abbiamo acquisito col

metodo alcune conoscenze dei problemi egrave la strada piugrave facile per fornire la dimostrazione anziccheacute

trovarla senza alcuna conoscenza precedente

Un chiaro esempio di questo metodo egrave lrsquoapplicazione di Archimede del principio della leva per

ricavare il volume di un segmento sferico oltre che dellrsquointera sfera come indicato nella figura di pag 71

Cosigrave grande valore dette Archimede a questa scoperta che chiese che una sfera inscritta in un cilindro

fosse incisa sulla sua lapide e questo egrave stato fatto percheacute anche se la lapide egrave andata perduta abbiamo

una descrizione della tomba da parte di Cicerone che la visitograve nel I secolo aC durante il suo incarico di

questore in Sicilia

Non egrave senza interesse ricordare come egrave stato recuperato Il Metodo Fu trovato nel 1906 a

Costantinopoli su un palinsesto che egrave una pergamena il cui testo originale egrave stato lavato (per recuperare

la pergamena) e sostituito con un testo diverso Se lrsquooriginale egrave stato lavato via non perfettamente esso

puograve essere ripristinato con una speciale fotografia In questo caso il testo originale era una copia del X

secolo di alcune opere note di Archimede ma pure includente lrsquounico testo superstite de Il Metodo Gli

zeloti medievali non sempre come il vescovo dello Yucatan o i Crociati a Costantinopoli bruciavano i

libri scientifici come opera del diavolo A volte essi pulivano il testo per la pergamena in modo che da

poterla sporcare con la loro immondizia superstiziosa

Il grande matematico fisico e filosofo Archimede di Siracusa1

Il personaggio e il contesto storico

Il contributo scientifico Il contributo metodologico e la

sua applicazione aziendale Bibliografia Allegato 1 Curricu lum Vitae

di Archimede da Siracusa

Il personaggio e il contesto storico Il grande matematico fisico e filosofo

Archimede di Siracusa (287 AC - 212 AC ) si

colloca storicamente secondo la tabella

riportata di seguito nel contesto culturale

sicuramente fecondo della Magna Grecia del

terzo secolo Avanti Cristo Il suo contributo

nel campo delle scienze applicate della fisica

e della matematica costituisce la base di

alcune delle tecnologie oggi di piugrave ampia

scala di utilizzo e a ragione di questo

contributo al sapere umano la sua effigie egrave ancora oggi riprodotta addirittura su i francobolli ed in passato

venne riprodo tta p r aticam ente in tutte le epoche storiche

1 IL CONTRIBUTO DELLA TECNOLOGIA APPLICATA AI SISTEMI ORGANIZZATI ARCHIMEDE DI SIRACUSA

Michel e Cibrari o MASTER MEDEA 2005-2006 Eni Corp orate Uni v ersity - Scuola Enrico Mattei

Questo ha consentito di conservare memoria nei secoli anche del suo aspetto fisico e non sono del suo

contributo cognitivo e scientifico peraltro forse piugrave im portante Il suo m e todo di calcolo delle aree e dei

volume ha anticipato di 2000 anni prima di Newton e Leibniz il calcolo integrale Per la straordinarietagrave

delle sue intuizi oni fisiche e per le applicazioni belliche d a lui r ealizza te Archimede egrave citato da tutti i

piugrave importa nti storiografi dellrsquoantichitagrave nei loro scritti

bull Diodorus Siculus (circa 1deg secolo A C ) Bibliotheke bull Athenaeus of Naucratis (circa 200 AC)

Deipnosophistae bull Eulero (1707-1783) XIV ldquoQuaestio nes Mathem aticaerdquo bull Vitruvio (circa 1deg secolo

AC) De Architectura bull Plutarco vari scritti I lavori di A r chimede che sono giunti fi no a noi d i rettam

e nte sono i seguenti bull DellrsquoEquilibrio dei pi ani (due libri) bull Quadratura della parabola bull Delle sfere e

dei cilindri (due libri) bull Delle spiral i bull Dei conoidi e degli sferoidi bull Dei corpi galleggianti (due libri)

bull Della misura del cerchio bull Il Palinsesto bull Il Metodo bull LrsquoArenario bull Lo Stomachion

Ci sono poi citazioni d i altri lavori di Archimede che son o invece andati perduti nei secoli lo storiografo

antico Pappus riporta di un lavoro sui Poliedri Semi -regolari Delle Leve e dellrsquoEquilibrio

Degli Sp ecchi Archimede venne ucciso nel 212 Avanti Cristo durante la presa della cittagrave di Siracusa da

parte dei Romani durante la seconda Guerra Punica quando tutti i suo i sforzi di tenerli a bada con le

macchine belliche erano falliti La storia della sua morte egrave raccontata da Plutarco e Cicerone in segno di

omaggio cercograve e trovo la tomba di Archimede nel 75 Avanti Cristo

Tutte le suddette opere furono tradotte in latino nel medioevo e studiate a fondo durante il Rinascimento

Ersquo singolare che lrsquoenorme contributo di Archimede sia s tato rivalutato e riscoperto solo dopo che Euclide

pubblicograve ldquoGli Elementirdquo Francobolli di vari paesi con lrsquoeffigie di Archimede

Archimede nei secoli Ersquo noto che nel mondo ellenistico in particolare fra la Magna Grecia e lrsquoEgitto

crsquoera un ricco e complesso sviluppo di ricerca scientifica con un im pegno anche nellrsquoevoluzione

tecnologica Strumenti di calcolo (o di rilevazione astronomica) non servivano solo per applicazioni

pratiche di ingegneria ma anche allrsquoevoluzione del pensiero filosofico Archimede si colloca in quel

contesto Quel processo si egrave in gran parte interrotto nel medioevo NellrsquoEuropa che si era formata dopo

le ldquoinvasioni barbaricherdquo il pensiero d e lla cultura classica non era d e l tutto perduto ma conservato solo

in alc une ristre tte com unitagrave monastiche o in societagrave segrete sospettate di eresia Le sperim entazioni

scientifiche e tecniche erano viste con diffidenza co me magie stregonerie o pratiche demoniache ndash me

ntre le corporazioni di ldquoarti e mestieri rdquo custodivano gelosamente i loro segreti e spesso assumevano il

carattere di comunitagrave esoteriche ed iniziatiche In queste epoche storiche gli scri tti di Archim ede sono

stati visti per le applicazioni tecnologiche suggerite ma non certo per il metodo scientifico che egli

propugnava Andiamo ora ad esaminare il con t ributo scien tifico di Archimede ed a vederne la estrema

attualitagrave con cui oggi vengono utilizzate le sue tecniche ed il suo approccio di problem-solving di stampo

galileano Il contributo scientifico Le intuizioni di Archimede spaziavano su campi diversificati Tra le

invenzioni e le app licazioni meccaniche attribuitegli si trov ano Il principio della leva La vite se nza fine

Il principio dell a spinta di galleggiamento e la stabilitagrave dei corpi nei fluidi di cui lo studio sul la

liquefazione e sui cedimenti del terreno Gli studi sulle sfere e sui cilindri I meccanismi in movimento un

esempio egrave lrsquo orologio ad a c q u a Tra le m acchine bellich e da lui d i segnate e co struite s i ricordano

specialmente Gli specchi ustori I ganci ed i bracci meccanici hellip e le rispettive applicazioni belliche tanto

tem u te dai Ro m a ni Tra gli studi di geometria si annoverano Studi sulle aree e sui volumi ldquoeccellentirdquo

I solidi regolari La spirale

Cicerone scopre la Tomba di Archimede

Olim dum quaestor Syracusis sum Archimedem insignem illus urbis civem a pulvere excitavi

Nam sepulcrum eius ignoratum a Syracusanis saeptum undique et vestitum vepribus ac dumetis

indagavi syracusani omnino negabant id esse sed ego tenebam senariolos inscriptos in eius monumento

ex quibus in summo Archimedis sepulcro sphaera cum cylindro posita erat ego autem omnia oculis

collustravi ( est enim apud portam sacram urbis magna frequentia sepulcrorum) et paululum postea

columellam non multum e dumis eminentem animadverti in ea erat sphaerae figura et cylindri Atque

ego statim syracusanis ( erant autem mecum principes civitatis) dixi ldquoEcce illud quod quaerebamrdquo

Immissi cum falcibus multi purgaverunt et aperuerunt locum deinde ad sepulcrum accessimus

Apparebat in illo epigramma fere dimidiatum erat illud Archimedis sepulcrumIta nobilis Siciliae civitas

ab homine Arpinati locum monumenti unius insignis civis sui didicit

Una volta mentre ero questore a Siracusa ho tirato fuori dalla polvere Archimede insigne

cittadino di quella cittagrave Infatti ho scoperto il suo sepolcro ignorato dai Siracusani ricoperto da ogni

parte da rovi e cespugli I siracusani affermavano che quello non esistesse ma io ricordavo dei senari

iscritti sulla sua tomba secondo i quali nella sommitagrave del sepolcro di Archimede vi era posta una sfera

con un cilindro Io tuttavia ho scrutato ogni cosa con lo sguardo (vi egrave infatti presso la porta sacra della

cittagrave una grande numero di sepolcri) e a poco a poco mi sono accorto di una colonnetta che non

sporgeva molto dai cespugli In quella vi era lrsquoeffigie di una sfera e di un cilindro

E io subito dissi ai Siracusani (erano infatti con me i cittadini piugrave ragguardevoli della cittagrave) ecco

quello che cercavo Entrati molti con le falci ripulirono e sgombrarono il luogo infine entrammo nel

sepolcro Appariva in quello unrsquo iscrizione quasi dimezzata era quello il sepolcro di Archimede Cosigrave la

celebre cittagrave della Sicilia conobbe il luogo del monumento di un suo insigne cittadino da un uomo di

Arpino

trattto da Tusculanae Disputationesrdquo di Cicerone

Trad Lo Giudice ndash Ferdico ndash Castellese IV H

Le opere di Archimede2

II 3 Archimede di Siracusa

Scarsi sono i particolari sulla vita di

Archimede ma possiamo ricavare qualche

informazione su di lui dalle storie di Plutarco Livio e

altri autori Plutarco descrivendo lrsquoassedio di Siracusa

da parte dei romani durante le Seconda Guerra Punica

ci dice che Archimede abbia inventato ingegnose

macchine da guerra per tenere lontano il nemico

catapulte [29] per lanciare pietre corde carrucole e

ganci per sollevare e schiantare le navi romane

dispositivi per sviluppare incendi sulle navi (come

questi dispositivi potessero essere realizzati e se

realmente Archimede sia stato in grado di realizzarli

ci egrave spiegato da Archimede e gli specchi ustori [30])

Durante il saccheggio della cittagrave Archimede venne

trucidato da un soldato romano nonostante che il

generale Marcello avesse dato lrsquoordine di salvare la

vita del matematico Poicheacute a quanto viene riferito

Archimede aveva settantacinque anni egrave molto

probabile che fosse nato nel 287 aC

Alcuni autori riportano che abbia visitato lrsquoEgitto e

che abbia studiato ad Alessandria con gli allievi di

Euclide fu probabilmente in questa occasione che

2 webunifeit

inventograve il dispositivo oggi noto come ldquovite di Archimederdquo [31] fatto di canali o tubi avvolti

elicoidalmente attorno ad un asse inclinato munito di una manovella per farlo girare

I vari resoconti rimastici sulla vita di Archimede sono drsquoaccordo nel dipingerlo come persona che

attribuiva scarso valore ai suoi congegni meccanici rispetto ai prodotti della sua attivitagrave intellettuale

Anche quando trattava di leve e di altre macchine semplici era molto piugrave interessato ai principi generali

che le governavano che alle loro applicazioni pratiche

Le opere di Archimede sopravvissute sono le seguenti Sullrsquoequilibrio dei piani

Di questo trattato in due libri fanno parte gli studi di Archimede sul principio della leva [32] Il

primo libro prende in considerazione figure rettilinee e si chiude con la discussione sui centri di gravitagrave

del triangolo e del trapezio Il secondo libro concentra lrsquoattenzione sul centro di gravitagrave di un segmento di

parabola e comprende una dimostrazione del fatto che questo centro si trova sul diametro del segmento e

divide questo diametro in segmenti che stanno nel rapporto di 3 a 2 Il procedimento usato per la

dimostrazione egrave il metodo di esaustione

Sui galleggianti

Questrsquoopera in due libri contiene dei risultati molto importanti Fra le proposizioni iniziali ve ne

sono due che formulano il noto principio della spinta idrostatica di Archimede [33]

Qualsiasi solido piugrave leggero di un fluido se collocato nel fluido si immergeragrave in misura tale che

il peso del solido saragrave uguale al peso del fluido spostato (Lib I Prop 5)

Un solido piugrave pesante di un fluido se collocato in esso discenderagrave in fondo al fluido e se si

peseragrave il solido nel fluido risulteragrave piugrave leggero del suo vero peso e la differenza di peso saragrave uguale al

peso del fluido spostato (Lib I Prop 7)

Oltre alle proprietagrave dei fluidi questo trattato contiene molte altre scoperte Quasi tutto il secondo

libro per esempio tratta della posizione di equilibrio di segmenti di paraboloidi quando siano immersi in

un fluido mostrando che la posizione di quiete dipende dal peso specifico relativo del paraboloide solido

e del fluido in cui galleggia

Sulla misura del cerchio

Questo piccolo trattato che egrave probabilmente incompleto nella forma in cui ci egrave pervenuto

comprende solo tre proposizioni ( egrave possibile vedere gli enunciati nel sito Sulla misura del cerchio [34])

una delle quali egrave la dimostrazione mediante il metodo di esaustione del teorema secondo cui lrsquoarea del

cerchio egrave uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come lati la circonferenza e il raggio del

cerchio stesso

Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra circonferenza di un cerchio e diametro Archimede diede

una ulteriore prova della sua abilitagrave nel calcolo Partendo dallrsquoesagono regolare inscritto egli calcolograve i

perimetri dei poligoni ottenuti raddoppiando successivamente il numero dei lati fino a raggiungere

novantasei lati Il risultato dal calcolo archimedeo relativo alla circonferenza era costituito da

unrsquoapprossimazione del valore di espressa dalla disuguaglianza che era un valore migliore di quello

ottenuto dagli egiziani e dai babilonesi (Va tenuto presente che neacute Archimede neacute alcun matematico

greco fece mai uso della notazione per indicare il valore del rapporto tra circonferenza di un cerchio e il

suo diametro)

Sulle spirali

Questo trattato fu molto ammirato ma poco letto poicheacute veniva considerato come la piugrave difficile

fra tutte le opere di Archimede La spirale viene definita come il luogo piano di un punto che partendo

dallrsquoestremo di un raggio o semiretta si sposta uniformemente lungo questo raggio mentre il raggio a sua

volta ruota uniformemente intorno al suo estremo

Lo studio che Archimede fece della spirale curva che attribuiva allrsquoamico Conone di Alessandria si

inquadrava nella scia delle ricerche tipiche della matematica greca volte a trovare le soluzioni dei tre

famosi problemi classici La curva si presta facilmente a effettuare molteplici sezioni dellrsquoangolo Come

nel caso della quadratrice perograve essa puograve anche servire a quadrare il cerchio come mostrograve lo stesso

Archimede

Nel punto P si tracci la tangente alla spirale OPR e questa tangente intersechi nel punto Q la retta che

passa per O ed egrave perpendicolare a OP (vedi Fig 1)

Archimede mostrava mediante una dimostrazione per duplice reductio ad absurdum che il

segmento OQ (noto come la sottotangente polare relativa al punto P) era uguale in lunghezza allrsquoarco di

cerchio PS del cerchio avente come centro O e come raggio OP

Se sulla spirale si sceglie un punto P come intersezione della spirale con la retta a 90deg in coordinate

polari la sottotangente polare OQ saragrave esattamente uguale a un quarto della circonferenza del cerchio di

raggio OP Pertanto lrsquointera circonferenza puograve essere costruita prendendo quattro volte il segmento OQ e

per mezzo del teorema di Archimede si trova un triangolo di area uguale allrsquoarea del cerchio Una

semplice trasformazione geometrica permetteragrave poi di sostituire il triangolo con un quadrato Ersquo cosigrave

effettuata la quadratura del cerchio

Gran parte dellrsquoopera di Archimede egrave di natura tale che oggi verrebbe inclusa in un corso di analisi

infinitesimale ciograve egrave particolarmente vero per il trattato Sulle spirali

Si puograve analizzare la spirale di Archimede e le curve ad essa associate visitando il sito La spirale di

Archimede [35] attraverso Java (un linguaggio di programmazione progettato per eseguire operazioni

evolute indipendente dalla macchina su cui si opera) si possono manipolare i dati ed ottenere tutte le

variazioni desiderate

Quadratura della parabola Al tempo in cui scriveva Archimede le sezioni coniche erano note da quasi un secolo e tuttavia

non era stato fatto nessun progresso nel calcolo delle loro aree Ci volle Archimede per quadrare una

sezione conica ossia un segmento della parabola e lo fece nella Proposizione 17 dellrsquoopera in cui la

quadratura costituiva lrsquoobiettivo principale La dimostrazione per mezzo del solito metodo di esaustione

egrave lunga e complessa comunque Archimede riuscigrave a dimostrare rigorosamente che lrsquoarea K di un

segmento parabolico APBQC egrave uguale a quattro terzi dellrsquoarea di un triangolo avente la stessa base e

uguale altezza

Nelle successive sette (e ultime) proposizioni Archimede dava una seconda ma diversa dimostrazione

del medesimo teorema Egli dimostrava che lrsquoarea del triangolo inscritto maggiore ABC con base AC egrave

quattro volte la somma dei corrispondenti triangoli inscritti aventi come basi rispettivamente AB e BC

Continuando il processo suggerito da questa relazione risulta chiaro che lrsquoarea H del segmento

parabolico ABC egrave data dalla somma della serie infinita che egrave Archimede non parla di somma della serie

infinita percheacute ai suoi tempi i processi non finiti venivano disapprovati Ricorrendo invece a una duplice

reductio ad absurdum Archimede dimostrava che H non poteva essere neacute maggiore neacute minore di

(Archimede come i suoi predecessori non usava il termine ldquoparabolardquo ma lrsquoespressione ldquoortotomordquo

ossia ldquosezione di un cono rettordquo)

Nel preambolo alla Quadratura della parabola incontriamo lrsquoassunzione che oggi egrave comunemente noto

come lrsquoassioma di Archimede

Lrsquoeccesso per cui la maggiore di due aree disuguali supera la minore puograve se sommato a se

stesso diventare superiore a qualsiasi area finita data

Nel sito La teoria della misura da Archimede a Bonaventura Cavalieri [36] si puograve esaminare

il procedimento di dimostrazione per la quadratura della parabola

Sui conoidi e sferoidi

Nonostante Archimede non sia stato in grado di trovare lrsquoarea di un segmento qualsiasi di ellisse

o di iperbole in questo trattato riuscigrave a determinare lrsquoarea di tutta lrsquoellisse

Le aree delle ellissi sono come i rettangoli formati dai loro assi (Prop 6)

Ciograve equivale a dire che lrsquoarea di unrsquoellisse egrave uguale allrsquoarea di un cerchio il cui raggio sia la media

geometrica dei semiassi dellrsquoellisse Inoltre mostrava come trovare il volume di segmenti tagliati da un

ellissoide da un paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno allrsquoasse principale Il

processo da lui usato egrave molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di integrazione differisce

principalmente per la mancanza del concetto di limite di una funzione

Sulla sfera e sul cilindro

Archimede volle che sulla sua tomba fosse incisa la figura che rappresentava una sfera inscritta in

un cilindro circolare retto la cui altezza egrave uguale al diametro della sfera ( per maggiori dettagli si veda La

lapide di Archimede [37]) egli aveva infatti scoperto e dimostrato che il rapporto tra i volumi del

cilindro e della sfera era uguale al rapporto tra le rispettive aree cioegrave era un rapporto di tre a due Inoltre

sembra che Archimede sia stato il primo a scoprire e a dimostrare che lrsquoarea di una sfera egrave quattro volte

lrsquoarea del suo cerchio massimo e che

la superficie di una qualsiasi calotta sferica egrave uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al

segmento tracciato dal vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa

Un teorema molto importante relativo alla superficie della sfera compare nella Proposizione 33

dopo una lunga serie di teoremi preliminari riguardanti la funzione seno

Se in un segmento di cerchio LrsquoALrsquo viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati

esclusa la base siano uguali e il loro numero sia pari come LKhellipAhellipKrsquoLrsquo ove A egrave il punto di mezzo del

segmento e se si tracciano le linee BBrsquo CCrsquo hellip parallele alla base LLrsquo e congiungenti coppie di punti

angolari allora (BBrsquo+CCrsquo+hellip+LM)AM=ArsquoBBA ove M egrave il punto di mezzo di LLrsquo e AArsquo egrave il diametro

passante per M

La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34 del Libro I

Qualsiasi sfera egrave uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della

sfera e lrsquoaltezza uguale al raggio della sfera

Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario ne segue il

rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto

LrsquoArenario

In questrsquoopera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri superiori a

nella notazione moderna Egli sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i

granelli di sabbia richiesti per riempire lrsquouniverso Ciograve era in risposta allrsquoipotesi avanzata da Aristarco di

Srsquoamo che la Terra si muovesse attorno al Sole

Ersquo possibile leggere lrsquointera opera tradotta in inglese visitando il sito lrsquoArenario [38]

Il libro dei lemmi

La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica superiore

Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari In questrsquoopera per esempio

troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del calzolaio) Questo egrave la regione delimitata da tre

semicerchi che sono reciprocamente tangenti a due a due lrsquoarea in questione egrave quella che si trova

allrsquointerno del semicerchio piugrave grande e allrsquoesterno dei semicerchi piugrave piccoli Vi egrave anche un teorema su

quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione archimedea dellrsquoangolo

Il libro dei lemmi non ci egrave pervenuto nel testo originale greco ma attraverso una traduzione araba che

piugrave tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum Di fatto questrsquoopera come ci egrave pervenuta

non puograve essere genuinamente archimedea percheacute il nome di Archimede viene citato piugrave volte nel corso

del testo Nondimeno anche se questo trattato non egrave altro che una miscellanea di teoremi attribuiti ad

Archimede dagli arabi lrsquoopera nella sua sostanza egrave probabilmente autentica

Il Metodo

Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di Archimede vi egrave

la scoperta fatta nel nostro secolo di uno dei suoi trattati piugrave importanti intitolato Il Metodo di cui si

erano perdute le tracce fin dai primi secoli dellrsquoEra cristiana fincheacute non venne riscoperto nel 1906

Qui Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini ldquomeccanicherdquo preliminari che lo

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

Tali furono alcuni dei contributi del piugrave grande genio dellrsquoantichitagrave alla storia del pi greco e della

quadratura del cerchio Anche se gli investigatori successivamente hanno trovato approssimazioni

numeriche migliori il metodo poligonale di Archimede egrave rimasto insuperato fino a quando diciannove

secoli piugrave tardi furono trovati in Inghilterra un prodotto infinito e una frazione continua infinita poco

prima che la scoperta del calcolo differenziale portasse a un approccio totalmente nuovo al problema

In fisica nessuno egrave giunto vicino alla statura di Archimede per piugrave di 18 secoli fino a quando

Galileo Galilei osograve sfidare le menzogne di Aristotele Le ombre di quelle menzogne sono con noi persino

adesso Crsquoegrave la storia della matematica che non scusa Archimede per essersi sporcato le mani con il lavoro

sperimentale Nel tardo 1968 ci viene detto che ldquoegli mise poco valore nei suoi congegni meccanicirdquo e

che rdquoconsiderava i suoi congegni e invenzioni come sordidamente commercialirdquo (1965) Commenti

simili si trovano in quasi tutti i libri sullrsquoargomento sostenendo lrsquoosservazione di Philip Guedella ldquoLa

storia si ripete gli storici si ripetono lrsquoun lrsquoaltrordquo Il mito ripetitivo egrave stato iniziato da Plutarco che nel

primo secolo dC ha scritto che

Considerando la meccanica e ogni arte utilitaristica come ignobile e volgare egli dette la sua

zelante devozione solo a quei soggetti la eleganza e sottigliezza sono non impastoiate dalle necessitagrave

della vita

Ora Plutarco non poteva forse sapere cosa Archimede avesse considerato ignobile e volgare il

suo credo era buono come il vostro o il mio Ma proprio come per diciannove secoli gli storici hanno

riecheggiato Plutarco cosigrave Plutarco fa eco allrsquoatteggiamento di Platone e Aristotele i padri dello

snobismo intellettuale Essi hanno insegnato che la sperimentazione era adatta solo per gli schiavi e che

le leggi della natura potevano essere dedotte soltanto dallrsquouomo di alto intelletto e Aristotele ha usato il

suo nobile intelletto per scoprire che i corpi piugrave pesanti cadono a terra piugrave velocemente che gli uomini

hanno piugrave denti rispetto alla donna che la Terra egrave al centro dellrsquouniverso che i corpi celesti non

cambiano mai e molto di piugrave di tale saggezza percheacute era uno scrittore molto prolifico Di fatto Aristotele

egrave stato sconfitto sul proprio terreno per mezzo della pura deduzione intellettuale dellrsquoosservazione

sperimentale Molto tempo prima che Galileo Galilei facesse cadere delle palle di legno e di piombo dalla

Torre pendente di Pisa egli pose la seguente domandardquo Se una pietra di 10 libbre cade 10 volte piugrave

velocemente di una da 1 libbra cosa succede se lego insieme le due pietre La combinazione cadragrave piugrave

velocemente della pietra di 10 libbre percheacute pesa 11 libbre o cadragrave piugrave lentamente percheacute la pietra da 1

libbra ritarderagrave la pietra da 10 libbrerdquo

Il commento di Plutarco sullrsquoatteggiamento di Archimede per lrsquoingegneria egrave una elaborazione

con nessun fondamento diverso dallo snobismo aristotelico

Archimede saluta Eratostene

Ti ho spedito nella precedente occasione alcuni dei teoremi scoperti da me semplicemente

scrivendoti gli enunciati e invitandoti a scoprire le dimostrazioni che a quel tempo non ti diedi

Poi le dimostrazioni di questi teoremi le ho scritte in questo libro e ora te lo invio Inoltre

vedendo in te come giagrave dissi uno studente volenteroso[hellip] ho ritenuto opportuno scriverti e spiegare in

dettaglio nello stesso libro la particolaritagrave di un certo metodo con cui saragrave possibile per te indagare alcuni

dei problemi di matematica mediante la meccanica Questa procedura egrave sono convinto non meno utile

persino delle stesse dimostrazioni dei teoremi percheacute certe cose prima mi sono diventate chiare con un

metodo meccanico malgrado dovessero essere dimostrate dopo tramite la geometria percheacute la loro

indagine col sopraccitato metodo non forniva una vera dimostrazione Ma quando abbiamo acquisito col

metodo alcune conoscenze dei problemi egrave la strada piugrave facile per fornire la dimostrazione anziccheacute

trovarla senza alcuna conoscenza precedente

Un chiaro esempio di questo metodo egrave lrsquoapplicazione di Archimede del principio della leva per

ricavare il volume di un segmento sferico oltre che dellrsquointera sfera come indicato nella figura di pag 71

Cosigrave grande valore dette Archimede a questa scoperta che chiese che una sfera inscritta in un cilindro

fosse incisa sulla sua lapide e questo egrave stato fatto percheacute anche se la lapide egrave andata perduta abbiamo

una descrizione della tomba da parte di Cicerone che la visitograve nel I secolo aC durante il suo incarico di

questore in Sicilia

Non egrave senza interesse ricordare come egrave stato recuperato Il Metodo Fu trovato nel 1906 a

Costantinopoli su un palinsesto che egrave una pergamena il cui testo originale egrave stato lavato (per recuperare

la pergamena) e sostituito con un testo diverso Se lrsquooriginale egrave stato lavato via non perfettamente esso

puograve essere ripristinato con una speciale fotografia In questo caso il testo originale era una copia del X

secolo di alcune opere note di Archimede ma pure includente lrsquounico testo superstite de Il Metodo Gli

zeloti medievali non sempre come il vescovo dello Yucatan o i Crociati a Costantinopoli bruciavano i

libri scientifici come opera del diavolo A volte essi pulivano il testo per la pergamena in modo che da

poterla sporcare con la loro immondizia superstiziosa

Il grande matematico fisico e filosofo Archimede di Siracusa1

Il personaggio e il contesto storico

Il contributo scientifico Il contributo metodologico e la

sua applicazione aziendale Bibliografia Allegato 1 Curricu lum Vitae

di Archimede da Siracusa

Il personaggio e il contesto storico Il grande matematico fisico e filosofo

Archimede di Siracusa (287 AC - 212 AC ) si

colloca storicamente secondo la tabella

riportata di seguito nel contesto culturale

sicuramente fecondo della Magna Grecia del

terzo secolo Avanti Cristo Il suo contributo

nel campo delle scienze applicate della fisica

e della matematica costituisce la base di

alcune delle tecnologie oggi di piugrave ampia

scala di utilizzo e a ragione di questo

contributo al sapere umano la sua effigie egrave ancora oggi riprodotta addirittura su i francobolli ed in passato

venne riprodo tta p r aticam ente in tutte le epoche storiche

1 IL CONTRIBUTO DELLA TECNOLOGIA APPLICATA AI SISTEMI ORGANIZZATI ARCHIMEDE DI SIRACUSA

Michel e Cibrari o MASTER MEDEA 2005-2006 Eni Corp orate Uni v ersity - Scuola Enrico Mattei

Questo ha consentito di conservare memoria nei secoli anche del suo aspetto fisico e non sono del suo

contributo cognitivo e scientifico peraltro forse piugrave im portante Il suo m e todo di calcolo delle aree e dei

volume ha anticipato di 2000 anni prima di Newton e Leibniz il calcolo integrale Per la straordinarietagrave

delle sue intuizi oni fisiche e per le applicazioni belliche d a lui r ealizza te Archimede egrave citato da tutti i

piugrave importa nti storiografi dellrsquoantichitagrave nei loro scritti

bull Diodorus Siculus (circa 1deg secolo A C ) Bibliotheke bull Athenaeus of Naucratis (circa 200 AC)

Deipnosophistae bull Eulero (1707-1783) XIV ldquoQuaestio nes Mathem aticaerdquo bull Vitruvio (circa 1deg secolo

AC) De Architectura bull Plutarco vari scritti I lavori di A r chimede che sono giunti fi no a noi d i rettam

e nte sono i seguenti bull DellrsquoEquilibrio dei pi ani (due libri) bull Quadratura della parabola bull Delle sfere e

dei cilindri (due libri) bull Delle spiral i bull Dei conoidi e degli sferoidi bull Dei corpi galleggianti (due libri)

bull Della misura del cerchio bull Il Palinsesto bull Il Metodo bull LrsquoArenario bull Lo Stomachion

Ci sono poi citazioni d i altri lavori di Archimede che son o invece andati perduti nei secoli lo storiografo

antico Pappus riporta di un lavoro sui Poliedri Semi -regolari Delle Leve e dellrsquoEquilibrio

Degli Sp ecchi Archimede venne ucciso nel 212 Avanti Cristo durante la presa della cittagrave di Siracusa da

parte dei Romani durante la seconda Guerra Punica quando tutti i suo i sforzi di tenerli a bada con le

macchine belliche erano falliti La storia della sua morte egrave raccontata da Plutarco e Cicerone in segno di

omaggio cercograve e trovo la tomba di Archimede nel 75 Avanti Cristo

Tutte le suddette opere furono tradotte in latino nel medioevo e studiate a fondo durante il Rinascimento

Ersquo singolare che lrsquoenorme contributo di Archimede sia s tato rivalutato e riscoperto solo dopo che Euclide

pubblicograve ldquoGli Elementirdquo Francobolli di vari paesi con lrsquoeffigie di Archimede

Archimede nei secoli Ersquo noto che nel mondo ellenistico in particolare fra la Magna Grecia e lrsquoEgitto

crsquoera un ricco e complesso sviluppo di ricerca scientifica con un im pegno anche nellrsquoevoluzione

tecnologica Strumenti di calcolo (o di rilevazione astronomica) non servivano solo per applicazioni

pratiche di ingegneria ma anche allrsquoevoluzione del pensiero filosofico Archimede si colloca in quel

contesto Quel processo si egrave in gran parte interrotto nel medioevo NellrsquoEuropa che si era formata dopo

le ldquoinvasioni barbaricherdquo il pensiero d e lla cultura classica non era d e l tutto perduto ma conservato solo

in alc une ristre tte com unitagrave monastiche o in societagrave segrete sospettate di eresia Le sperim entazioni

scientifiche e tecniche erano viste con diffidenza co me magie stregonerie o pratiche demoniache ndash me

ntre le corporazioni di ldquoarti e mestieri rdquo custodivano gelosamente i loro segreti e spesso assumevano il

carattere di comunitagrave esoteriche ed iniziatiche In queste epoche storiche gli scri tti di Archim ede sono

stati visti per le applicazioni tecnologiche suggerite ma non certo per il metodo scientifico che egli

propugnava Andiamo ora ad esaminare il con t ributo scien tifico di Archimede ed a vederne la estrema

attualitagrave con cui oggi vengono utilizzate le sue tecniche ed il suo approccio di problem-solving di stampo

galileano Il contributo scientifico Le intuizioni di Archimede spaziavano su campi diversificati Tra le

invenzioni e le app licazioni meccaniche attribuitegli si trov ano Il principio della leva La vite se nza fine

Il principio dell a spinta di galleggiamento e la stabilitagrave dei corpi nei fluidi di cui lo studio sul la

liquefazione e sui cedimenti del terreno Gli studi sulle sfere e sui cilindri I meccanismi in movimento un

esempio egrave lrsquo orologio ad a c q u a Tra le m acchine bellich e da lui d i segnate e co struite s i ricordano

specialmente Gli specchi ustori I ganci ed i bracci meccanici hellip e le rispettive applicazioni belliche tanto

tem u te dai Ro m a ni Tra gli studi di geometria si annoverano Studi sulle aree e sui volumi ldquoeccellentirdquo

I solidi regolari La spirale

Cicerone scopre la Tomba di Archimede

Olim dum quaestor Syracusis sum Archimedem insignem illus urbis civem a pulvere excitavi

Nam sepulcrum eius ignoratum a Syracusanis saeptum undique et vestitum vepribus ac dumetis

indagavi syracusani omnino negabant id esse sed ego tenebam senariolos inscriptos in eius monumento

ex quibus in summo Archimedis sepulcro sphaera cum cylindro posita erat ego autem omnia oculis

collustravi ( est enim apud portam sacram urbis magna frequentia sepulcrorum) et paululum postea

columellam non multum e dumis eminentem animadverti in ea erat sphaerae figura et cylindri Atque

ego statim syracusanis ( erant autem mecum principes civitatis) dixi ldquoEcce illud quod quaerebamrdquo

Immissi cum falcibus multi purgaverunt et aperuerunt locum deinde ad sepulcrum accessimus

Apparebat in illo epigramma fere dimidiatum erat illud Archimedis sepulcrumIta nobilis Siciliae civitas

ab homine Arpinati locum monumenti unius insignis civis sui didicit

Una volta mentre ero questore a Siracusa ho tirato fuori dalla polvere Archimede insigne

cittadino di quella cittagrave Infatti ho scoperto il suo sepolcro ignorato dai Siracusani ricoperto da ogni

parte da rovi e cespugli I siracusani affermavano che quello non esistesse ma io ricordavo dei senari

iscritti sulla sua tomba secondo i quali nella sommitagrave del sepolcro di Archimede vi era posta una sfera

con un cilindro Io tuttavia ho scrutato ogni cosa con lo sguardo (vi egrave infatti presso la porta sacra della

cittagrave una grande numero di sepolcri) e a poco a poco mi sono accorto di una colonnetta che non

sporgeva molto dai cespugli In quella vi era lrsquoeffigie di una sfera e di un cilindro

E io subito dissi ai Siracusani (erano infatti con me i cittadini piugrave ragguardevoli della cittagrave) ecco

quello che cercavo Entrati molti con le falci ripulirono e sgombrarono il luogo infine entrammo nel

sepolcro Appariva in quello unrsquo iscrizione quasi dimezzata era quello il sepolcro di Archimede Cosigrave la

celebre cittagrave della Sicilia conobbe il luogo del monumento di un suo insigne cittadino da un uomo di

Arpino

trattto da Tusculanae Disputationesrdquo di Cicerone

Trad Lo Giudice ndash Ferdico ndash Castellese IV H

Le opere di Archimede2

II 3 Archimede di Siracusa

Scarsi sono i particolari sulla vita di

Archimede ma possiamo ricavare qualche

informazione su di lui dalle storie di Plutarco Livio e

altri autori Plutarco descrivendo lrsquoassedio di Siracusa

da parte dei romani durante le Seconda Guerra Punica

ci dice che Archimede abbia inventato ingegnose

macchine da guerra per tenere lontano il nemico

catapulte [29] per lanciare pietre corde carrucole e

ganci per sollevare e schiantare le navi romane

dispositivi per sviluppare incendi sulle navi (come

questi dispositivi potessero essere realizzati e se

realmente Archimede sia stato in grado di realizzarli

ci egrave spiegato da Archimede e gli specchi ustori [30])

Durante il saccheggio della cittagrave Archimede venne

trucidato da un soldato romano nonostante che il

generale Marcello avesse dato lrsquoordine di salvare la

vita del matematico Poicheacute a quanto viene riferito

Archimede aveva settantacinque anni egrave molto

probabile che fosse nato nel 287 aC

Alcuni autori riportano che abbia visitato lrsquoEgitto e

che abbia studiato ad Alessandria con gli allievi di

Euclide fu probabilmente in questa occasione che

2 webunifeit

inventograve il dispositivo oggi noto come ldquovite di Archimederdquo [31] fatto di canali o tubi avvolti

elicoidalmente attorno ad un asse inclinato munito di una manovella per farlo girare

I vari resoconti rimastici sulla vita di Archimede sono drsquoaccordo nel dipingerlo come persona che

attribuiva scarso valore ai suoi congegni meccanici rispetto ai prodotti della sua attivitagrave intellettuale

Anche quando trattava di leve e di altre macchine semplici era molto piugrave interessato ai principi generali

che le governavano che alle loro applicazioni pratiche

Le opere di Archimede sopravvissute sono le seguenti Sullrsquoequilibrio dei piani

Di questo trattato in due libri fanno parte gli studi di Archimede sul principio della leva [32] Il

primo libro prende in considerazione figure rettilinee e si chiude con la discussione sui centri di gravitagrave

del triangolo e del trapezio Il secondo libro concentra lrsquoattenzione sul centro di gravitagrave di un segmento di

parabola e comprende una dimostrazione del fatto che questo centro si trova sul diametro del segmento e

divide questo diametro in segmenti che stanno nel rapporto di 3 a 2 Il procedimento usato per la

dimostrazione egrave il metodo di esaustione

Sui galleggianti

Questrsquoopera in due libri contiene dei risultati molto importanti Fra le proposizioni iniziali ve ne

sono due che formulano il noto principio della spinta idrostatica di Archimede [33]

Qualsiasi solido piugrave leggero di un fluido se collocato nel fluido si immergeragrave in misura tale che

il peso del solido saragrave uguale al peso del fluido spostato (Lib I Prop 5)

Un solido piugrave pesante di un fluido se collocato in esso discenderagrave in fondo al fluido e se si

peseragrave il solido nel fluido risulteragrave piugrave leggero del suo vero peso e la differenza di peso saragrave uguale al

peso del fluido spostato (Lib I Prop 7)

Oltre alle proprietagrave dei fluidi questo trattato contiene molte altre scoperte Quasi tutto il secondo

libro per esempio tratta della posizione di equilibrio di segmenti di paraboloidi quando siano immersi in

un fluido mostrando che la posizione di quiete dipende dal peso specifico relativo del paraboloide solido

e del fluido in cui galleggia

Sulla misura del cerchio

Questo piccolo trattato che egrave probabilmente incompleto nella forma in cui ci egrave pervenuto

comprende solo tre proposizioni ( egrave possibile vedere gli enunciati nel sito Sulla misura del cerchio [34])

una delle quali egrave la dimostrazione mediante il metodo di esaustione del teorema secondo cui lrsquoarea del

cerchio egrave uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come lati la circonferenza e il raggio del

cerchio stesso

Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra circonferenza di un cerchio e diametro Archimede diede

una ulteriore prova della sua abilitagrave nel calcolo Partendo dallrsquoesagono regolare inscritto egli calcolograve i

perimetri dei poligoni ottenuti raddoppiando successivamente il numero dei lati fino a raggiungere

novantasei lati Il risultato dal calcolo archimedeo relativo alla circonferenza era costituito da

unrsquoapprossimazione del valore di espressa dalla disuguaglianza che era un valore migliore di quello

ottenuto dagli egiziani e dai babilonesi (Va tenuto presente che neacute Archimede neacute alcun matematico

greco fece mai uso della notazione per indicare il valore del rapporto tra circonferenza di un cerchio e il

suo diametro)

Sulle spirali

Questo trattato fu molto ammirato ma poco letto poicheacute veniva considerato come la piugrave difficile

fra tutte le opere di Archimede La spirale viene definita come il luogo piano di un punto che partendo

dallrsquoestremo di un raggio o semiretta si sposta uniformemente lungo questo raggio mentre il raggio a sua

volta ruota uniformemente intorno al suo estremo

Lo studio che Archimede fece della spirale curva che attribuiva allrsquoamico Conone di Alessandria si

inquadrava nella scia delle ricerche tipiche della matematica greca volte a trovare le soluzioni dei tre

famosi problemi classici La curva si presta facilmente a effettuare molteplici sezioni dellrsquoangolo Come

nel caso della quadratrice perograve essa puograve anche servire a quadrare il cerchio come mostrograve lo stesso

Archimede

Nel punto P si tracci la tangente alla spirale OPR e questa tangente intersechi nel punto Q la retta che

passa per O ed egrave perpendicolare a OP (vedi Fig 1)

Archimede mostrava mediante una dimostrazione per duplice reductio ad absurdum che il

segmento OQ (noto come la sottotangente polare relativa al punto P) era uguale in lunghezza allrsquoarco di

cerchio PS del cerchio avente come centro O e come raggio OP

Se sulla spirale si sceglie un punto P come intersezione della spirale con la retta a 90deg in coordinate

polari la sottotangente polare OQ saragrave esattamente uguale a un quarto della circonferenza del cerchio di

raggio OP Pertanto lrsquointera circonferenza puograve essere costruita prendendo quattro volte il segmento OQ e

per mezzo del teorema di Archimede si trova un triangolo di area uguale allrsquoarea del cerchio Una

semplice trasformazione geometrica permetteragrave poi di sostituire il triangolo con un quadrato Ersquo cosigrave

effettuata la quadratura del cerchio

Gran parte dellrsquoopera di Archimede egrave di natura tale che oggi verrebbe inclusa in un corso di analisi

infinitesimale ciograve egrave particolarmente vero per il trattato Sulle spirali

Si puograve analizzare la spirale di Archimede e le curve ad essa associate visitando il sito La spirale di

Archimede [35] attraverso Java (un linguaggio di programmazione progettato per eseguire operazioni

evolute indipendente dalla macchina su cui si opera) si possono manipolare i dati ed ottenere tutte le

variazioni desiderate

Quadratura della parabola Al tempo in cui scriveva Archimede le sezioni coniche erano note da quasi un secolo e tuttavia

non era stato fatto nessun progresso nel calcolo delle loro aree Ci volle Archimede per quadrare una

sezione conica ossia un segmento della parabola e lo fece nella Proposizione 17 dellrsquoopera in cui la

quadratura costituiva lrsquoobiettivo principale La dimostrazione per mezzo del solito metodo di esaustione

egrave lunga e complessa comunque Archimede riuscigrave a dimostrare rigorosamente che lrsquoarea K di un

segmento parabolico APBQC egrave uguale a quattro terzi dellrsquoarea di un triangolo avente la stessa base e

uguale altezza

Nelle successive sette (e ultime) proposizioni Archimede dava una seconda ma diversa dimostrazione

del medesimo teorema Egli dimostrava che lrsquoarea del triangolo inscritto maggiore ABC con base AC egrave

quattro volte la somma dei corrispondenti triangoli inscritti aventi come basi rispettivamente AB e BC

Continuando il processo suggerito da questa relazione risulta chiaro che lrsquoarea H del segmento

parabolico ABC egrave data dalla somma della serie infinita che egrave Archimede non parla di somma della serie

infinita percheacute ai suoi tempi i processi non finiti venivano disapprovati Ricorrendo invece a una duplice

reductio ad absurdum Archimede dimostrava che H non poteva essere neacute maggiore neacute minore di

(Archimede come i suoi predecessori non usava il termine ldquoparabolardquo ma lrsquoespressione ldquoortotomordquo

ossia ldquosezione di un cono rettordquo)

Nel preambolo alla Quadratura della parabola incontriamo lrsquoassunzione che oggi egrave comunemente noto

come lrsquoassioma di Archimede

Lrsquoeccesso per cui la maggiore di due aree disuguali supera la minore puograve se sommato a se

stesso diventare superiore a qualsiasi area finita data

Nel sito La teoria della misura da Archimede a Bonaventura Cavalieri [36] si puograve esaminare

il procedimento di dimostrazione per la quadratura della parabola

Sui conoidi e sferoidi

Nonostante Archimede non sia stato in grado di trovare lrsquoarea di un segmento qualsiasi di ellisse

o di iperbole in questo trattato riuscigrave a determinare lrsquoarea di tutta lrsquoellisse

Le aree delle ellissi sono come i rettangoli formati dai loro assi (Prop 6)

Ciograve equivale a dire che lrsquoarea di unrsquoellisse egrave uguale allrsquoarea di un cerchio il cui raggio sia la media

geometrica dei semiassi dellrsquoellisse Inoltre mostrava come trovare il volume di segmenti tagliati da un

ellissoide da un paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno allrsquoasse principale Il

processo da lui usato egrave molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di integrazione differisce

principalmente per la mancanza del concetto di limite di una funzione

Sulla sfera e sul cilindro

Archimede volle che sulla sua tomba fosse incisa la figura che rappresentava una sfera inscritta in

un cilindro circolare retto la cui altezza egrave uguale al diametro della sfera ( per maggiori dettagli si veda La

lapide di Archimede [37]) egli aveva infatti scoperto e dimostrato che il rapporto tra i volumi del

cilindro e della sfera era uguale al rapporto tra le rispettive aree cioegrave era un rapporto di tre a due Inoltre

sembra che Archimede sia stato il primo a scoprire e a dimostrare che lrsquoarea di una sfera egrave quattro volte

lrsquoarea del suo cerchio massimo e che

la superficie di una qualsiasi calotta sferica egrave uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al

segmento tracciato dal vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa

Un teorema molto importante relativo alla superficie della sfera compare nella Proposizione 33

dopo una lunga serie di teoremi preliminari riguardanti la funzione seno

Se in un segmento di cerchio LrsquoALrsquo viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati

esclusa la base siano uguali e il loro numero sia pari come LKhellipAhellipKrsquoLrsquo ove A egrave il punto di mezzo del

segmento e se si tracciano le linee BBrsquo CCrsquo hellip parallele alla base LLrsquo e congiungenti coppie di punti

angolari allora (BBrsquo+CCrsquo+hellip+LM)AM=ArsquoBBA ove M egrave il punto di mezzo di LLrsquo e AArsquo egrave il diametro

passante per M

La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34 del Libro I

Qualsiasi sfera egrave uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della

sfera e lrsquoaltezza uguale al raggio della sfera

Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario ne segue il

rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto

LrsquoArenario

In questrsquoopera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri superiori a

nella notazione moderna Egli sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i

granelli di sabbia richiesti per riempire lrsquouniverso Ciograve era in risposta allrsquoipotesi avanzata da Aristarco di

Srsquoamo che la Terra si muovesse attorno al Sole

Ersquo possibile leggere lrsquointera opera tradotta in inglese visitando il sito lrsquoArenario [38]

Il libro dei lemmi

La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica superiore

Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari In questrsquoopera per esempio

troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del calzolaio) Questo egrave la regione delimitata da tre

semicerchi che sono reciprocamente tangenti a due a due lrsquoarea in questione egrave quella che si trova

allrsquointerno del semicerchio piugrave grande e allrsquoesterno dei semicerchi piugrave piccoli Vi egrave anche un teorema su

quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione archimedea dellrsquoangolo

Il libro dei lemmi non ci egrave pervenuto nel testo originale greco ma attraverso una traduzione araba che

piugrave tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum Di fatto questrsquoopera come ci egrave pervenuta

non puograve essere genuinamente archimedea percheacute il nome di Archimede viene citato piugrave volte nel corso

del testo Nondimeno anche se questo trattato non egrave altro che una miscellanea di teoremi attribuiti ad

Archimede dagli arabi lrsquoopera nella sua sostanza egrave probabilmente autentica

Il Metodo

Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di Archimede vi egrave

la scoperta fatta nel nostro secolo di uno dei suoi trattati piugrave importanti intitolato Il Metodo di cui si

erano perdute le tracce fin dai primi secoli dellrsquoEra cristiana fincheacute non venne riscoperto nel 1906

Qui Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini ldquomeccanicherdquo preliminari che lo

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

Ti ho spedito nella precedente occasione alcuni dei teoremi scoperti da me semplicemente

scrivendoti gli enunciati e invitandoti a scoprire le dimostrazioni che a quel tempo non ti diedi

Poi le dimostrazioni di questi teoremi le ho scritte in questo libro e ora te lo invio Inoltre

vedendo in te come giagrave dissi uno studente volenteroso[hellip] ho ritenuto opportuno scriverti e spiegare in

dettaglio nello stesso libro la particolaritagrave di un certo metodo con cui saragrave possibile per te indagare alcuni

dei problemi di matematica mediante la meccanica Questa procedura egrave sono convinto non meno utile

persino delle stesse dimostrazioni dei teoremi percheacute certe cose prima mi sono diventate chiare con un

metodo meccanico malgrado dovessero essere dimostrate dopo tramite la geometria percheacute la loro

indagine col sopraccitato metodo non forniva una vera dimostrazione Ma quando abbiamo acquisito col

metodo alcune conoscenze dei problemi egrave la strada piugrave facile per fornire la dimostrazione anziccheacute

trovarla senza alcuna conoscenza precedente

Un chiaro esempio di questo metodo egrave lrsquoapplicazione di Archimede del principio della leva per

ricavare il volume di un segmento sferico oltre che dellrsquointera sfera come indicato nella figura di pag 71

Cosigrave grande valore dette Archimede a questa scoperta che chiese che una sfera inscritta in un cilindro

fosse incisa sulla sua lapide e questo egrave stato fatto percheacute anche se la lapide egrave andata perduta abbiamo

una descrizione della tomba da parte di Cicerone che la visitograve nel I secolo aC durante il suo incarico di

questore in Sicilia

Non egrave senza interesse ricordare come egrave stato recuperato Il Metodo Fu trovato nel 1906 a

Costantinopoli su un palinsesto che egrave una pergamena il cui testo originale egrave stato lavato (per recuperare

la pergamena) e sostituito con un testo diverso Se lrsquooriginale egrave stato lavato via non perfettamente esso

puograve essere ripristinato con una speciale fotografia In questo caso il testo originale era una copia del X

secolo di alcune opere note di Archimede ma pure includente lrsquounico testo superstite de Il Metodo Gli

zeloti medievali non sempre come il vescovo dello Yucatan o i Crociati a Costantinopoli bruciavano i

libri scientifici come opera del diavolo A volte essi pulivano il testo per la pergamena in modo che da

poterla sporcare con la loro immondizia superstiziosa

Il grande matematico fisico e filosofo Archimede di Siracusa1

Il personaggio e il contesto storico

Il contributo scientifico Il contributo metodologico e la

sua applicazione aziendale Bibliografia Allegato 1 Curricu lum Vitae

di Archimede da Siracusa

Il personaggio e il contesto storico Il grande matematico fisico e filosofo

Archimede di Siracusa (287 AC - 212 AC ) si

colloca storicamente secondo la tabella

riportata di seguito nel contesto culturale

sicuramente fecondo della Magna Grecia del

terzo secolo Avanti Cristo Il suo contributo

nel campo delle scienze applicate della fisica

e della matematica costituisce la base di

alcune delle tecnologie oggi di piugrave ampia

scala di utilizzo e a ragione di questo

contributo al sapere umano la sua effigie egrave ancora oggi riprodotta addirittura su i francobolli ed in passato

venne riprodo tta p r aticam ente in tutte le epoche storiche

1 IL CONTRIBUTO DELLA TECNOLOGIA APPLICATA AI SISTEMI ORGANIZZATI ARCHIMEDE DI SIRACUSA

Michel e Cibrari o MASTER MEDEA 2005-2006 Eni Corp orate Uni v ersity - Scuola Enrico Mattei

Questo ha consentito di conservare memoria nei secoli anche del suo aspetto fisico e non sono del suo

contributo cognitivo e scientifico peraltro forse piugrave im portante Il suo m e todo di calcolo delle aree e dei

volume ha anticipato di 2000 anni prima di Newton e Leibniz il calcolo integrale Per la straordinarietagrave

delle sue intuizi oni fisiche e per le applicazioni belliche d a lui r ealizza te Archimede egrave citato da tutti i

piugrave importa nti storiografi dellrsquoantichitagrave nei loro scritti

bull Diodorus Siculus (circa 1deg secolo A C ) Bibliotheke bull Athenaeus of Naucratis (circa 200 AC)

Deipnosophistae bull Eulero (1707-1783) XIV ldquoQuaestio nes Mathem aticaerdquo bull Vitruvio (circa 1deg secolo

AC) De Architectura bull Plutarco vari scritti I lavori di A r chimede che sono giunti fi no a noi d i rettam

e nte sono i seguenti bull DellrsquoEquilibrio dei pi ani (due libri) bull Quadratura della parabola bull Delle sfere e

dei cilindri (due libri) bull Delle spiral i bull Dei conoidi e degli sferoidi bull Dei corpi galleggianti (due libri)

bull Della misura del cerchio bull Il Palinsesto bull Il Metodo bull LrsquoArenario bull Lo Stomachion

Ci sono poi citazioni d i altri lavori di Archimede che son o invece andati perduti nei secoli lo storiografo

antico Pappus riporta di un lavoro sui Poliedri Semi -regolari Delle Leve e dellrsquoEquilibrio

Degli Sp ecchi Archimede venne ucciso nel 212 Avanti Cristo durante la presa della cittagrave di Siracusa da

parte dei Romani durante la seconda Guerra Punica quando tutti i suo i sforzi di tenerli a bada con le

macchine belliche erano falliti La storia della sua morte egrave raccontata da Plutarco e Cicerone in segno di

omaggio cercograve e trovo la tomba di Archimede nel 75 Avanti Cristo

Tutte le suddette opere furono tradotte in latino nel medioevo e studiate a fondo durante il Rinascimento

Ersquo singolare che lrsquoenorme contributo di Archimede sia s tato rivalutato e riscoperto solo dopo che Euclide

pubblicograve ldquoGli Elementirdquo Francobolli di vari paesi con lrsquoeffigie di Archimede

Archimede nei secoli Ersquo noto che nel mondo ellenistico in particolare fra la Magna Grecia e lrsquoEgitto

crsquoera un ricco e complesso sviluppo di ricerca scientifica con un im pegno anche nellrsquoevoluzione

tecnologica Strumenti di calcolo (o di rilevazione astronomica) non servivano solo per applicazioni

pratiche di ingegneria ma anche allrsquoevoluzione del pensiero filosofico Archimede si colloca in quel

contesto Quel processo si egrave in gran parte interrotto nel medioevo NellrsquoEuropa che si era formata dopo

le ldquoinvasioni barbaricherdquo il pensiero d e lla cultura classica non era d e l tutto perduto ma conservato solo

in alc une ristre tte com unitagrave monastiche o in societagrave segrete sospettate di eresia Le sperim entazioni

scientifiche e tecniche erano viste con diffidenza co me magie stregonerie o pratiche demoniache ndash me

ntre le corporazioni di ldquoarti e mestieri rdquo custodivano gelosamente i loro segreti e spesso assumevano il

carattere di comunitagrave esoteriche ed iniziatiche In queste epoche storiche gli scri tti di Archim ede sono

stati visti per le applicazioni tecnologiche suggerite ma non certo per il metodo scientifico che egli

propugnava Andiamo ora ad esaminare il con t ributo scien tifico di Archimede ed a vederne la estrema

attualitagrave con cui oggi vengono utilizzate le sue tecniche ed il suo approccio di problem-solving di stampo

galileano Il contributo scientifico Le intuizioni di Archimede spaziavano su campi diversificati Tra le

invenzioni e le app licazioni meccaniche attribuitegli si trov ano Il principio della leva La vite se nza fine

Il principio dell a spinta di galleggiamento e la stabilitagrave dei corpi nei fluidi di cui lo studio sul la

liquefazione e sui cedimenti del terreno Gli studi sulle sfere e sui cilindri I meccanismi in movimento un

esempio egrave lrsquo orologio ad a c q u a Tra le m acchine bellich e da lui d i segnate e co struite s i ricordano

specialmente Gli specchi ustori I ganci ed i bracci meccanici hellip e le rispettive applicazioni belliche tanto

tem u te dai Ro m a ni Tra gli studi di geometria si annoverano Studi sulle aree e sui volumi ldquoeccellentirdquo

I solidi regolari La spirale

Cicerone scopre la Tomba di Archimede

Olim dum quaestor Syracusis sum Archimedem insignem illus urbis civem a pulvere excitavi

Nam sepulcrum eius ignoratum a Syracusanis saeptum undique et vestitum vepribus ac dumetis

indagavi syracusani omnino negabant id esse sed ego tenebam senariolos inscriptos in eius monumento

ex quibus in summo Archimedis sepulcro sphaera cum cylindro posita erat ego autem omnia oculis

collustravi ( est enim apud portam sacram urbis magna frequentia sepulcrorum) et paululum postea

columellam non multum e dumis eminentem animadverti in ea erat sphaerae figura et cylindri Atque

ego statim syracusanis ( erant autem mecum principes civitatis) dixi ldquoEcce illud quod quaerebamrdquo

Immissi cum falcibus multi purgaverunt et aperuerunt locum deinde ad sepulcrum accessimus

Apparebat in illo epigramma fere dimidiatum erat illud Archimedis sepulcrumIta nobilis Siciliae civitas

ab homine Arpinati locum monumenti unius insignis civis sui didicit

Una volta mentre ero questore a Siracusa ho tirato fuori dalla polvere Archimede insigne

cittadino di quella cittagrave Infatti ho scoperto il suo sepolcro ignorato dai Siracusani ricoperto da ogni

parte da rovi e cespugli I siracusani affermavano che quello non esistesse ma io ricordavo dei senari

iscritti sulla sua tomba secondo i quali nella sommitagrave del sepolcro di Archimede vi era posta una sfera

con un cilindro Io tuttavia ho scrutato ogni cosa con lo sguardo (vi egrave infatti presso la porta sacra della

cittagrave una grande numero di sepolcri) e a poco a poco mi sono accorto di una colonnetta che non

sporgeva molto dai cespugli In quella vi era lrsquoeffigie di una sfera e di un cilindro

E io subito dissi ai Siracusani (erano infatti con me i cittadini piugrave ragguardevoli della cittagrave) ecco

quello che cercavo Entrati molti con le falci ripulirono e sgombrarono il luogo infine entrammo nel

sepolcro Appariva in quello unrsquo iscrizione quasi dimezzata era quello il sepolcro di Archimede Cosigrave la

celebre cittagrave della Sicilia conobbe il luogo del monumento di un suo insigne cittadino da un uomo di

Arpino

trattto da Tusculanae Disputationesrdquo di Cicerone

Trad Lo Giudice ndash Ferdico ndash Castellese IV H

Le opere di Archimede2

II 3 Archimede di Siracusa

Scarsi sono i particolari sulla vita di

Archimede ma possiamo ricavare qualche

informazione su di lui dalle storie di Plutarco Livio e

altri autori Plutarco descrivendo lrsquoassedio di Siracusa

da parte dei romani durante le Seconda Guerra Punica

ci dice che Archimede abbia inventato ingegnose

macchine da guerra per tenere lontano il nemico

catapulte [29] per lanciare pietre corde carrucole e

ganci per sollevare e schiantare le navi romane

dispositivi per sviluppare incendi sulle navi (come

questi dispositivi potessero essere realizzati e se

realmente Archimede sia stato in grado di realizzarli

ci egrave spiegato da Archimede e gli specchi ustori [30])

Durante il saccheggio della cittagrave Archimede venne

trucidato da un soldato romano nonostante che il

generale Marcello avesse dato lrsquoordine di salvare la

vita del matematico Poicheacute a quanto viene riferito

Archimede aveva settantacinque anni egrave molto

probabile che fosse nato nel 287 aC

Alcuni autori riportano che abbia visitato lrsquoEgitto e

che abbia studiato ad Alessandria con gli allievi di

Euclide fu probabilmente in questa occasione che

2 webunifeit

inventograve il dispositivo oggi noto come ldquovite di Archimederdquo [31] fatto di canali o tubi avvolti

elicoidalmente attorno ad un asse inclinato munito di una manovella per farlo girare

I vari resoconti rimastici sulla vita di Archimede sono drsquoaccordo nel dipingerlo come persona che

attribuiva scarso valore ai suoi congegni meccanici rispetto ai prodotti della sua attivitagrave intellettuale

Anche quando trattava di leve e di altre macchine semplici era molto piugrave interessato ai principi generali

che le governavano che alle loro applicazioni pratiche

Le opere di Archimede sopravvissute sono le seguenti Sullrsquoequilibrio dei piani

Di questo trattato in due libri fanno parte gli studi di Archimede sul principio della leva [32] Il

primo libro prende in considerazione figure rettilinee e si chiude con la discussione sui centri di gravitagrave

del triangolo e del trapezio Il secondo libro concentra lrsquoattenzione sul centro di gravitagrave di un segmento di

parabola e comprende una dimostrazione del fatto che questo centro si trova sul diametro del segmento e

divide questo diametro in segmenti che stanno nel rapporto di 3 a 2 Il procedimento usato per la

dimostrazione egrave il metodo di esaustione

Sui galleggianti

Questrsquoopera in due libri contiene dei risultati molto importanti Fra le proposizioni iniziali ve ne

sono due che formulano il noto principio della spinta idrostatica di Archimede [33]

Qualsiasi solido piugrave leggero di un fluido se collocato nel fluido si immergeragrave in misura tale che

il peso del solido saragrave uguale al peso del fluido spostato (Lib I Prop 5)

Un solido piugrave pesante di un fluido se collocato in esso discenderagrave in fondo al fluido e se si

peseragrave il solido nel fluido risulteragrave piugrave leggero del suo vero peso e la differenza di peso saragrave uguale al

peso del fluido spostato (Lib I Prop 7)

Oltre alle proprietagrave dei fluidi questo trattato contiene molte altre scoperte Quasi tutto il secondo

libro per esempio tratta della posizione di equilibrio di segmenti di paraboloidi quando siano immersi in

un fluido mostrando che la posizione di quiete dipende dal peso specifico relativo del paraboloide solido

e del fluido in cui galleggia

Sulla misura del cerchio

Questo piccolo trattato che egrave probabilmente incompleto nella forma in cui ci egrave pervenuto

comprende solo tre proposizioni ( egrave possibile vedere gli enunciati nel sito Sulla misura del cerchio [34])

una delle quali egrave la dimostrazione mediante il metodo di esaustione del teorema secondo cui lrsquoarea del

cerchio egrave uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come lati la circonferenza e il raggio del

cerchio stesso

Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra circonferenza di un cerchio e diametro Archimede diede

una ulteriore prova della sua abilitagrave nel calcolo Partendo dallrsquoesagono regolare inscritto egli calcolograve i

perimetri dei poligoni ottenuti raddoppiando successivamente il numero dei lati fino a raggiungere

novantasei lati Il risultato dal calcolo archimedeo relativo alla circonferenza era costituito da

unrsquoapprossimazione del valore di espressa dalla disuguaglianza che era un valore migliore di quello

ottenuto dagli egiziani e dai babilonesi (Va tenuto presente che neacute Archimede neacute alcun matematico

greco fece mai uso della notazione per indicare il valore del rapporto tra circonferenza di un cerchio e il

suo diametro)

Sulle spirali

Questo trattato fu molto ammirato ma poco letto poicheacute veniva considerato come la piugrave difficile

fra tutte le opere di Archimede La spirale viene definita come il luogo piano di un punto che partendo

dallrsquoestremo di un raggio o semiretta si sposta uniformemente lungo questo raggio mentre il raggio a sua

volta ruota uniformemente intorno al suo estremo

Lo studio che Archimede fece della spirale curva che attribuiva allrsquoamico Conone di Alessandria si

inquadrava nella scia delle ricerche tipiche della matematica greca volte a trovare le soluzioni dei tre

famosi problemi classici La curva si presta facilmente a effettuare molteplici sezioni dellrsquoangolo Come

nel caso della quadratrice perograve essa puograve anche servire a quadrare il cerchio come mostrograve lo stesso

Archimede

Nel punto P si tracci la tangente alla spirale OPR e questa tangente intersechi nel punto Q la retta che

passa per O ed egrave perpendicolare a OP (vedi Fig 1)

Archimede mostrava mediante una dimostrazione per duplice reductio ad absurdum che il

segmento OQ (noto come la sottotangente polare relativa al punto P) era uguale in lunghezza allrsquoarco di

cerchio PS del cerchio avente come centro O e come raggio OP

Se sulla spirale si sceglie un punto P come intersezione della spirale con la retta a 90deg in coordinate

polari la sottotangente polare OQ saragrave esattamente uguale a un quarto della circonferenza del cerchio di

raggio OP Pertanto lrsquointera circonferenza puograve essere costruita prendendo quattro volte il segmento OQ e

per mezzo del teorema di Archimede si trova un triangolo di area uguale allrsquoarea del cerchio Una

semplice trasformazione geometrica permetteragrave poi di sostituire il triangolo con un quadrato Ersquo cosigrave

effettuata la quadratura del cerchio

Gran parte dellrsquoopera di Archimede egrave di natura tale che oggi verrebbe inclusa in un corso di analisi

infinitesimale ciograve egrave particolarmente vero per il trattato Sulle spirali

Si puograve analizzare la spirale di Archimede e le curve ad essa associate visitando il sito La spirale di

Archimede [35] attraverso Java (un linguaggio di programmazione progettato per eseguire operazioni

evolute indipendente dalla macchina su cui si opera) si possono manipolare i dati ed ottenere tutte le

variazioni desiderate

Quadratura della parabola Al tempo in cui scriveva Archimede le sezioni coniche erano note da quasi un secolo e tuttavia

non era stato fatto nessun progresso nel calcolo delle loro aree Ci volle Archimede per quadrare una

sezione conica ossia un segmento della parabola e lo fece nella Proposizione 17 dellrsquoopera in cui la

quadratura costituiva lrsquoobiettivo principale La dimostrazione per mezzo del solito metodo di esaustione

egrave lunga e complessa comunque Archimede riuscigrave a dimostrare rigorosamente che lrsquoarea K di un

segmento parabolico APBQC egrave uguale a quattro terzi dellrsquoarea di un triangolo avente la stessa base e

uguale altezza

Nelle successive sette (e ultime) proposizioni Archimede dava una seconda ma diversa dimostrazione

del medesimo teorema Egli dimostrava che lrsquoarea del triangolo inscritto maggiore ABC con base AC egrave

quattro volte la somma dei corrispondenti triangoli inscritti aventi come basi rispettivamente AB e BC

Continuando il processo suggerito da questa relazione risulta chiaro che lrsquoarea H del segmento

parabolico ABC egrave data dalla somma della serie infinita che egrave Archimede non parla di somma della serie

infinita percheacute ai suoi tempi i processi non finiti venivano disapprovati Ricorrendo invece a una duplice

reductio ad absurdum Archimede dimostrava che H non poteva essere neacute maggiore neacute minore di

(Archimede come i suoi predecessori non usava il termine ldquoparabolardquo ma lrsquoespressione ldquoortotomordquo

ossia ldquosezione di un cono rettordquo)

Nel preambolo alla Quadratura della parabola incontriamo lrsquoassunzione che oggi egrave comunemente noto

come lrsquoassioma di Archimede

Lrsquoeccesso per cui la maggiore di due aree disuguali supera la minore puograve se sommato a se

stesso diventare superiore a qualsiasi area finita data

Nel sito La teoria della misura da Archimede a Bonaventura Cavalieri [36] si puograve esaminare

il procedimento di dimostrazione per la quadratura della parabola

Sui conoidi e sferoidi

Nonostante Archimede non sia stato in grado di trovare lrsquoarea di un segmento qualsiasi di ellisse

o di iperbole in questo trattato riuscigrave a determinare lrsquoarea di tutta lrsquoellisse

Le aree delle ellissi sono come i rettangoli formati dai loro assi (Prop 6)

Ciograve equivale a dire che lrsquoarea di unrsquoellisse egrave uguale allrsquoarea di un cerchio il cui raggio sia la media

geometrica dei semiassi dellrsquoellisse Inoltre mostrava come trovare il volume di segmenti tagliati da un

ellissoide da un paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno allrsquoasse principale Il

processo da lui usato egrave molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di integrazione differisce

principalmente per la mancanza del concetto di limite di una funzione

Sulla sfera e sul cilindro

Archimede volle che sulla sua tomba fosse incisa la figura che rappresentava una sfera inscritta in

un cilindro circolare retto la cui altezza egrave uguale al diametro della sfera ( per maggiori dettagli si veda La

lapide di Archimede [37]) egli aveva infatti scoperto e dimostrato che il rapporto tra i volumi del

cilindro e della sfera era uguale al rapporto tra le rispettive aree cioegrave era un rapporto di tre a due Inoltre

sembra che Archimede sia stato il primo a scoprire e a dimostrare che lrsquoarea di una sfera egrave quattro volte

lrsquoarea del suo cerchio massimo e che

la superficie di una qualsiasi calotta sferica egrave uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al

segmento tracciato dal vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa

Un teorema molto importante relativo alla superficie della sfera compare nella Proposizione 33

dopo una lunga serie di teoremi preliminari riguardanti la funzione seno

Se in un segmento di cerchio LrsquoALrsquo viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati

esclusa la base siano uguali e il loro numero sia pari come LKhellipAhellipKrsquoLrsquo ove A egrave il punto di mezzo del

segmento e se si tracciano le linee BBrsquo CCrsquo hellip parallele alla base LLrsquo e congiungenti coppie di punti

angolari allora (BBrsquo+CCrsquo+hellip+LM)AM=ArsquoBBA ove M egrave il punto di mezzo di LLrsquo e AArsquo egrave il diametro

passante per M

La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34 del Libro I

Qualsiasi sfera egrave uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della

sfera e lrsquoaltezza uguale al raggio della sfera

Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario ne segue il

rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto

LrsquoArenario

In questrsquoopera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri superiori a

nella notazione moderna Egli sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i

granelli di sabbia richiesti per riempire lrsquouniverso Ciograve era in risposta allrsquoipotesi avanzata da Aristarco di

Srsquoamo che la Terra si muovesse attorno al Sole

Ersquo possibile leggere lrsquointera opera tradotta in inglese visitando il sito lrsquoArenario [38]

Il libro dei lemmi

La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica superiore

Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari In questrsquoopera per esempio

troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del calzolaio) Questo egrave la regione delimitata da tre

semicerchi che sono reciprocamente tangenti a due a due lrsquoarea in questione egrave quella che si trova

allrsquointerno del semicerchio piugrave grande e allrsquoesterno dei semicerchi piugrave piccoli Vi egrave anche un teorema su

quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione archimedea dellrsquoangolo

Il libro dei lemmi non ci egrave pervenuto nel testo originale greco ma attraverso una traduzione araba che

piugrave tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum Di fatto questrsquoopera come ci egrave pervenuta

non puograve essere genuinamente archimedea percheacute il nome di Archimede viene citato piugrave volte nel corso

del testo Nondimeno anche se questo trattato non egrave altro che una miscellanea di teoremi attribuiti ad

Archimede dagli arabi lrsquoopera nella sua sostanza egrave probabilmente autentica

Il Metodo

Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di Archimede vi egrave

la scoperta fatta nel nostro secolo di uno dei suoi trattati piugrave importanti intitolato Il Metodo di cui si

erano perdute le tracce fin dai primi secoli dellrsquoEra cristiana fincheacute non venne riscoperto nel 1906

Qui Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini ldquomeccanicherdquo preliminari che lo

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

Il grande matematico fisico e filosofo Archimede di Siracusa1

Il personaggio e il contesto storico

Il contributo scientifico Il contributo metodologico e la

sua applicazione aziendale Bibliografia Allegato 1 Curricu lum Vitae

di Archimede da Siracusa

Il personaggio e il contesto storico Il grande matematico fisico e filosofo

Archimede di Siracusa (287 AC - 212 AC ) si

colloca storicamente secondo la tabella

riportata di seguito nel contesto culturale

sicuramente fecondo della Magna Grecia del

terzo secolo Avanti Cristo Il suo contributo

nel campo delle scienze applicate della fisica

e della matematica costituisce la base di

alcune delle tecnologie oggi di piugrave ampia

scala di utilizzo e a ragione di questo

contributo al sapere umano la sua effigie egrave ancora oggi riprodotta addirittura su i francobolli ed in passato

venne riprodo tta p r aticam ente in tutte le epoche storiche

1 IL CONTRIBUTO DELLA TECNOLOGIA APPLICATA AI SISTEMI ORGANIZZATI ARCHIMEDE DI SIRACUSA

Michel e Cibrari o MASTER MEDEA 2005-2006 Eni Corp orate Uni v ersity - Scuola Enrico Mattei

Questo ha consentito di conservare memoria nei secoli anche del suo aspetto fisico e non sono del suo

contributo cognitivo e scientifico peraltro forse piugrave im portante Il suo m e todo di calcolo delle aree e dei

volume ha anticipato di 2000 anni prima di Newton e Leibniz il calcolo integrale Per la straordinarietagrave

delle sue intuizi oni fisiche e per le applicazioni belliche d a lui r ealizza te Archimede egrave citato da tutti i

piugrave importa nti storiografi dellrsquoantichitagrave nei loro scritti

bull Diodorus Siculus (circa 1deg secolo A C ) Bibliotheke bull Athenaeus of Naucratis (circa 200 AC)

Deipnosophistae bull Eulero (1707-1783) XIV ldquoQuaestio nes Mathem aticaerdquo bull Vitruvio (circa 1deg secolo

AC) De Architectura bull Plutarco vari scritti I lavori di A r chimede che sono giunti fi no a noi d i rettam

e nte sono i seguenti bull DellrsquoEquilibrio dei pi ani (due libri) bull Quadratura della parabola bull Delle sfere e

dei cilindri (due libri) bull Delle spiral i bull Dei conoidi e degli sferoidi bull Dei corpi galleggianti (due libri)

bull Della misura del cerchio bull Il Palinsesto bull Il Metodo bull LrsquoArenario bull Lo Stomachion

Ci sono poi citazioni d i altri lavori di Archimede che son o invece andati perduti nei secoli lo storiografo

antico Pappus riporta di un lavoro sui Poliedri Semi -regolari Delle Leve e dellrsquoEquilibrio

Degli Sp ecchi Archimede venne ucciso nel 212 Avanti Cristo durante la presa della cittagrave di Siracusa da

parte dei Romani durante la seconda Guerra Punica quando tutti i suo i sforzi di tenerli a bada con le

macchine belliche erano falliti La storia della sua morte egrave raccontata da Plutarco e Cicerone in segno di

omaggio cercograve e trovo la tomba di Archimede nel 75 Avanti Cristo

Tutte le suddette opere furono tradotte in latino nel medioevo e studiate a fondo durante il Rinascimento

Ersquo singolare che lrsquoenorme contributo di Archimede sia s tato rivalutato e riscoperto solo dopo che Euclide

pubblicograve ldquoGli Elementirdquo Francobolli di vari paesi con lrsquoeffigie di Archimede

Archimede nei secoli Ersquo noto che nel mondo ellenistico in particolare fra la Magna Grecia e lrsquoEgitto

crsquoera un ricco e complesso sviluppo di ricerca scientifica con un im pegno anche nellrsquoevoluzione

tecnologica Strumenti di calcolo (o di rilevazione astronomica) non servivano solo per applicazioni

pratiche di ingegneria ma anche allrsquoevoluzione del pensiero filosofico Archimede si colloca in quel

contesto Quel processo si egrave in gran parte interrotto nel medioevo NellrsquoEuropa che si era formata dopo

le ldquoinvasioni barbaricherdquo il pensiero d e lla cultura classica non era d e l tutto perduto ma conservato solo

in alc une ristre tte com unitagrave monastiche o in societagrave segrete sospettate di eresia Le sperim entazioni

scientifiche e tecniche erano viste con diffidenza co me magie stregonerie o pratiche demoniache ndash me

ntre le corporazioni di ldquoarti e mestieri rdquo custodivano gelosamente i loro segreti e spesso assumevano il

carattere di comunitagrave esoteriche ed iniziatiche In queste epoche storiche gli scri tti di Archim ede sono

stati visti per le applicazioni tecnologiche suggerite ma non certo per il metodo scientifico che egli

propugnava Andiamo ora ad esaminare il con t ributo scien tifico di Archimede ed a vederne la estrema

attualitagrave con cui oggi vengono utilizzate le sue tecniche ed il suo approccio di problem-solving di stampo

galileano Il contributo scientifico Le intuizioni di Archimede spaziavano su campi diversificati Tra le

invenzioni e le app licazioni meccaniche attribuitegli si trov ano Il principio della leva La vite se nza fine

Il principio dell a spinta di galleggiamento e la stabilitagrave dei corpi nei fluidi di cui lo studio sul la

liquefazione e sui cedimenti del terreno Gli studi sulle sfere e sui cilindri I meccanismi in movimento un

esempio egrave lrsquo orologio ad a c q u a Tra le m acchine bellich e da lui d i segnate e co struite s i ricordano

specialmente Gli specchi ustori I ganci ed i bracci meccanici hellip e le rispettive applicazioni belliche tanto

tem u te dai Ro m a ni Tra gli studi di geometria si annoverano Studi sulle aree e sui volumi ldquoeccellentirdquo

I solidi regolari La spirale

Cicerone scopre la Tomba di Archimede

Olim dum quaestor Syracusis sum Archimedem insignem illus urbis civem a pulvere excitavi

Nam sepulcrum eius ignoratum a Syracusanis saeptum undique et vestitum vepribus ac dumetis

indagavi syracusani omnino negabant id esse sed ego tenebam senariolos inscriptos in eius monumento

ex quibus in summo Archimedis sepulcro sphaera cum cylindro posita erat ego autem omnia oculis

collustravi ( est enim apud portam sacram urbis magna frequentia sepulcrorum) et paululum postea

columellam non multum e dumis eminentem animadverti in ea erat sphaerae figura et cylindri Atque

ego statim syracusanis ( erant autem mecum principes civitatis) dixi ldquoEcce illud quod quaerebamrdquo

Immissi cum falcibus multi purgaverunt et aperuerunt locum deinde ad sepulcrum accessimus

Apparebat in illo epigramma fere dimidiatum erat illud Archimedis sepulcrumIta nobilis Siciliae civitas

ab homine Arpinati locum monumenti unius insignis civis sui didicit

Una volta mentre ero questore a Siracusa ho tirato fuori dalla polvere Archimede insigne

cittadino di quella cittagrave Infatti ho scoperto il suo sepolcro ignorato dai Siracusani ricoperto da ogni

parte da rovi e cespugli I siracusani affermavano che quello non esistesse ma io ricordavo dei senari

iscritti sulla sua tomba secondo i quali nella sommitagrave del sepolcro di Archimede vi era posta una sfera

con un cilindro Io tuttavia ho scrutato ogni cosa con lo sguardo (vi egrave infatti presso la porta sacra della

cittagrave una grande numero di sepolcri) e a poco a poco mi sono accorto di una colonnetta che non

sporgeva molto dai cespugli In quella vi era lrsquoeffigie di una sfera e di un cilindro

E io subito dissi ai Siracusani (erano infatti con me i cittadini piugrave ragguardevoli della cittagrave) ecco

quello che cercavo Entrati molti con le falci ripulirono e sgombrarono il luogo infine entrammo nel

sepolcro Appariva in quello unrsquo iscrizione quasi dimezzata era quello il sepolcro di Archimede Cosigrave la

celebre cittagrave della Sicilia conobbe il luogo del monumento di un suo insigne cittadino da un uomo di

Arpino

trattto da Tusculanae Disputationesrdquo di Cicerone

Trad Lo Giudice ndash Ferdico ndash Castellese IV H

Le opere di Archimede2

II 3 Archimede di Siracusa

Scarsi sono i particolari sulla vita di

Archimede ma possiamo ricavare qualche

informazione su di lui dalle storie di Plutarco Livio e

altri autori Plutarco descrivendo lrsquoassedio di Siracusa

da parte dei romani durante le Seconda Guerra Punica

ci dice che Archimede abbia inventato ingegnose

macchine da guerra per tenere lontano il nemico

catapulte [29] per lanciare pietre corde carrucole e

ganci per sollevare e schiantare le navi romane

dispositivi per sviluppare incendi sulle navi (come

questi dispositivi potessero essere realizzati e se

realmente Archimede sia stato in grado di realizzarli

ci egrave spiegato da Archimede e gli specchi ustori [30])

Durante il saccheggio della cittagrave Archimede venne

trucidato da un soldato romano nonostante che il

generale Marcello avesse dato lrsquoordine di salvare la

vita del matematico Poicheacute a quanto viene riferito

Archimede aveva settantacinque anni egrave molto

probabile che fosse nato nel 287 aC

Alcuni autori riportano che abbia visitato lrsquoEgitto e

che abbia studiato ad Alessandria con gli allievi di

Euclide fu probabilmente in questa occasione che

2 webunifeit

inventograve il dispositivo oggi noto come ldquovite di Archimederdquo [31] fatto di canali o tubi avvolti

elicoidalmente attorno ad un asse inclinato munito di una manovella per farlo girare

I vari resoconti rimastici sulla vita di Archimede sono drsquoaccordo nel dipingerlo come persona che

attribuiva scarso valore ai suoi congegni meccanici rispetto ai prodotti della sua attivitagrave intellettuale

Anche quando trattava di leve e di altre macchine semplici era molto piugrave interessato ai principi generali

che le governavano che alle loro applicazioni pratiche

Le opere di Archimede sopravvissute sono le seguenti Sullrsquoequilibrio dei piani

Di questo trattato in due libri fanno parte gli studi di Archimede sul principio della leva [32] Il

primo libro prende in considerazione figure rettilinee e si chiude con la discussione sui centri di gravitagrave

del triangolo e del trapezio Il secondo libro concentra lrsquoattenzione sul centro di gravitagrave di un segmento di

parabola e comprende una dimostrazione del fatto che questo centro si trova sul diametro del segmento e

divide questo diametro in segmenti che stanno nel rapporto di 3 a 2 Il procedimento usato per la

dimostrazione egrave il metodo di esaustione

Sui galleggianti

Questrsquoopera in due libri contiene dei risultati molto importanti Fra le proposizioni iniziali ve ne

sono due che formulano il noto principio della spinta idrostatica di Archimede [33]

Qualsiasi solido piugrave leggero di un fluido se collocato nel fluido si immergeragrave in misura tale che

il peso del solido saragrave uguale al peso del fluido spostato (Lib I Prop 5)

Un solido piugrave pesante di un fluido se collocato in esso discenderagrave in fondo al fluido e se si

peseragrave il solido nel fluido risulteragrave piugrave leggero del suo vero peso e la differenza di peso saragrave uguale al

peso del fluido spostato (Lib I Prop 7)

Oltre alle proprietagrave dei fluidi questo trattato contiene molte altre scoperte Quasi tutto il secondo

libro per esempio tratta della posizione di equilibrio di segmenti di paraboloidi quando siano immersi in

un fluido mostrando che la posizione di quiete dipende dal peso specifico relativo del paraboloide solido

e del fluido in cui galleggia

Sulla misura del cerchio

Questo piccolo trattato che egrave probabilmente incompleto nella forma in cui ci egrave pervenuto

comprende solo tre proposizioni ( egrave possibile vedere gli enunciati nel sito Sulla misura del cerchio [34])

una delle quali egrave la dimostrazione mediante il metodo di esaustione del teorema secondo cui lrsquoarea del

cerchio egrave uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come lati la circonferenza e il raggio del

cerchio stesso

Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra circonferenza di un cerchio e diametro Archimede diede

una ulteriore prova della sua abilitagrave nel calcolo Partendo dallrsquoesagono regolare inscritto egli calcolograve i

perimetri dei poligoni ottenuti raddoppiando successivamente il numero dei lati fino a raggiungere

novantasei lati Il risultato dal calcolo archimedeo relativo alla circonferenza era costituito da

unrsquoapprossimazione del valore di espressa dalla disuguaglianza che era un valore migliore di quello

ottenuto dagli egiziani e dai babilonesi (Va tenuto presente che neacute Archimede neacute alcun matematico

greco fece mai uso della notazione per indicare il valore del rapporto tra circonferenza di un cerchio e il

suo diametro)

Sulle spirali

Questo trattato fu molto ammirato ma poco letto poicheacute veniva considerato come la piugrave difficile

fra tutte le opere di Archimede La spirale viene definita come il luogo piano di un punto che partendo

dallrsquoestremo di un raggio o semiretta si sposta uniformemente lungo questo raggio mentre il raggio a sua

volta ruota uniformemente intorno al suo estremo

Lo studio che Archimede fece della spirale curva che attribuiva allrsquoamico Conone di Alessandria si

inquadrava nella scia delle ricerche tipiche della matematica greca volte a trovare le soluzioni dei tre

famosi problemi classici La curva si presta facilmente a effettuare molteplici sezioni dellrsquoangolo Come

nel caso della quadratrice perograve essa puograve anche servire a quadrare il cerchio come mostrograve lo stesso

Archimede

Nel punto P si tracci la tangente alla spirale OPR e questa tangente intersechi nel punto Q la retta che

passa per O ed egrave perpendicolare a OP (vedi Fig 1)

Archimede mostrava mediante una dimostrazione per duplice reductio ad absurdum che il

segmento OQ (noto come la sottotangente polare relativa al punto P) era uguale in lunghezza allrsquoarco di

cerchio PS del cerchio avente come centro O e come raggio OP

Se sulla spirale si sceglie un punto P come intersezione della spirale con la retta a 90deg in coordinate

polari la sottotangente polare OQ saragrave esattamente uguale a un quarto della circonferenza del cerchio di

raggio OP Pertanto lrsquointera circonferenza puograve essere costruita prendendo quattro volte il segmento OQ e

per mezzo del teorema di Archimede si trova un triangolo di area uguale allrsquoarea del cerchio Una

semplice trasformazione geometrica permetteragrave poi di sostituire il triangolo con un quadrato Ersquo cosigrave

effettuata la quadratura del cerchio

Gran parte dellrsquoopera di Archimede egrave di natura tale che oggi verrebbe inclusa in un corso di analisi

infinitesimale ciograve egrave particolarmente vero per il trattato Sulle spirali

Si puograve analizzare la spirale di Archimede e le curve ad essa associate visitando il sito La spirale di

Archimede [35] attraverso Java (un linguaggio di programmazione progettato per eseguire operazioni

evolute indipendente dalla macchina su cui si opera) si possono manipolare i dati ed ottenere tutte le

variazioni desiderate

Quadratura della parabola Al tempo in cui scriveva Archimede le sezioni coniche erano note da quasi un secolo e tuttavia

non era stato fatto nessun progresso nel calcolo delle loro aree Ci volle Archimede per quadrare una

sezione conica ossia un segmento della parabola e lo fece nella Proposizione 17 dellrsquoopera in cui la

quadratura costituiva lrsquoobiettivo principale La dimostrazione per mezzo del solito metodo di esaustione

egrave lunga e complessa comunque Archimede riuscigrave a dimostrare rigorosamente che lrsquoarea K di un

segmento parabolico APBQC egrave uguale a quattro terzi dellrsquoarea di un triangolo avente la stessa base e

uguale altezza

Nelle successive sette (e ultime) proposizioni Archimede dava una seconda ma diversa dimostrazione

del medesimo teorema Egli dimostrava che lrsquoarea del triangolo inscritto maggiore ABC con base AC egrave

quattro volte la somma dei corrispondenti triangoli inscritti aventi come basi rispettivamente AB e BC

Continuando il processo suggerito da questa relazione risulta chiaro che lrsquoarea H del segmento

parabolico ABC egrave data dalla somma della serie infinita che egrave Archimede non parla di somma della serie

infinita percheacute ai suoi tempi i processi non finiti venivano disapprovati Ricorrendo invece a una duplice

reductio ad absurdum Archimede dimostrava che H non poteva essere neacute maggiore neacute minore di

(Archimede come i suoi predecessori non usava il termine ldquoparabolardquo ma lrsquoespressione ldquoortotomordquo

ossia ldquosezione di un cono rettordquo)

Nel preambolo alla Quadratura della parabola incontriamo lrsquoassunzione che oggi egrave comunemente noto

come lrsquoassioma di Archimede

Lrsquoeccesso per cui la maggiore di due aree disuguali supera la minore puograve se sommato a se

stesso diventare superiore a qualsiasi area finita data

Nel sito La teoria della misura da Archimede a Bonaventura Cavalieri [36] si puograve esaminare

il procedimento di dimostrazione per la quadratura della parabola

Sui conoidi e sferoidi

Nonostante Archimede non sia stato in grado di trovare lrsquoarea di un segmento qualsiasi di ellisse

o di iperbole in questo trattato riuscigrave a determinare lrsquoarea di tutta lrsquoellisse

Le aree delle ellissi sono come i rettangoli formati dai loro assi (Prop 6)

Ciograve equivale a dire che lrsquoarea di unrsquoellisse egrave uguale allrsquoarea di un cerchio il cui raggio sia la media

geometrica dei semiassi dellrsquoellisse Inoltre mostrava come trovare il volume di segmenti tagliati da un

ellissoide da un paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno allrsquoasse principale Il

processo da lui usato egrave molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di integrazione differisce

principalmente per la mancanza del concetto di limite di una funzione

Sulla sfera e sul cilindro

Archimede volle che sulla sua tomba fosse incisa la figura che rappresentava una sfera inscritta in

un cilindro circolare retto la cui altezza egrave uguale al diametro della sfera ( per maggiori dettagli si veda La

lapide di Archimede [37]) egli aveva infatti scoperto e dimostrato che il rapporto tra i volumi del

cilindro e della sfera era uguale al rapporto tra le rispettive aree cioegrave era un rapporto di tre a due Inoltre

sembra che Archimede sia stato il primo a scoprire e a dimostrare che lrsquoarea di una sfera egrave quattro volte

lrsquoarea del suo cerchio massimo e che

la superficie di una qualsiasi calotta sferica egrave uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al

segmento tracciato dal vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa

Un teorema molto importante relativo alla superficie della sfera compare nella Proposizione 33

dopo una lunga serie di teoremi preliminari riguardanti la funzione seno

Se in un segmento di cerchio LrsquoALrsquo viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati

esclusa la base siano uguali e il loro numero sia pari come LKhellipAhellipKrsquoLrsquo ove A egrave il punto di mezzo del

segmento e se si tracciano le linee BBrsquo CCrsquo hellip parallele alla base LLrsquo e congiungenti coppie di punti

angolari allora (BBrsquo+CCrsquo+hellip+LM)AM=ArsquoBBA ove M egrave il punto di mezzo di LLrsquo e AArsquo egrave il diametro

passante per M

La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34 del Libro I

Qualsiasi sfera egrave uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della

sfera e lrsquoaltezza uguale al raggio della sfera

Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario ne segue il

rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto

LrsquoArenario

In questrsquoopera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri superiori a

nella notazione moderna Egli sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i

granelli di sabbia richiesti per riempire lrsquouniverso Ciograve era in risposta allrsquoipotesi avanzata da Aristarco di

Srsquoamo che la Terra si muovesse attorno al Sole

Ersquo possibile leggere lrsquointera opera tradotta in inglese visitando il sito lrsquoArenario [38]

Il libro dei lemmi

La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica superiore

Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari In questrsquoopera per esempio

troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del calzolaio) Questo egrave la regione delimitata da tre

semicerchi che sono reciprocamente tangenti a due a due lrsquoarea in questione egrave quella che si trova

allrsquointerno del semicerchio piugrave grande e allrsquoesterno dei semicerchi piugrave piccoli Vi egrave anche un teorema su

quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione archimedea dellrsquoangolo

Il libro dei lemmi non ci egrave pervenuto nel testo originale greco ma attraverso una traduzione araba che

piugrave tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum Di fatto questrsquoopera come ci egrave pervenuta

non puograve essere genuinamente archimedea percheacute il nome di Archimede viene citato piugrave volte nel corso

del testo Nondimeno anche se questo trattato non egrave altro che una miscellanea di teoremi attribuiti ad

Archimede dagli arabi lrsquoopera nella sua sostanza egrave probabilmente autentica

Il Metodo

Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di Archimede vi egrave

la scoperta fatta nel nostro secolo di uno dei suoi trattati piugrave importanti intitolato Il Metodo di cui si

erano perdute le tracce fin dai primi secoli dellrsquoEra cristiana fincheacute non venne riscoperto nel 1906

Qui Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini ldquomeccanicherdquo preliminari che lo

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

Questo ha consentito di conservare memoria nei secoli anche del suo aspetto fisico e non sono del suo

contributo cognitivo e scientifico peraltro forse piugrave im portante Il suo m e todo di calcolo delle aree e dei

volume ha anticipato di 2000 anni prima di Newton e Leibniz il calcolo integrale Per la straordinarietagrave

delle sue intuizi oni fisiche e per le applicazioni belliche d a lui r ealizza te Archimede egrave citato da tutti i

piugrave importa nti storiografi dellrsquoantichitagrave nei loro scritti

bull Diodorus Siculus (circa 1deg secolo A C ) Bibliotheke bull Athenaeus of Naucratis (circa 200 AC)

Deipnosophistae bull Eulero (1707-1783) XIV ldquoQuaestio nes Mathem aticaerdquo bull Vitruvio (circa 1deg secolo

AC) De Architectura bull Plutarco vari scritti I lavori di A r chimede che sono giunti fi no a noi d i rettam

e nte sono i seguenti bull DellrsquoEquilibrio dei pi ani (due libri) bull Quadratura della parabola bull Delle sfere e

dei cilindri (due libri) bull Delle spiral i bull Dei conoidi e degli sferoidi bull Dei corpi galleggianti (due libri)

bull Della misura del cerchio bull Il Palinsesto bull Il Metodo bull LrsquoArenario bull Lo Stomachion

Ci sono poi citazioni d i altri lavori di Archimede che son o invece andati perduti nei secoli lo storiografo

antico Pappus riporta di un lavoro sui Poliedri Semi -regolari Delle Leve e dellrsquoEquilibrio

Degli Sp ecchi Archimede venne ucciso nel 212 Avanti Cristo durante la presa della cittagrave di Siracusa da

parte dei Romani durante la seconda Guerra Punica quando tutti i suo i sforzi di tenerli a bada con le

macchine belliche erano falliti La storia della sua morte egrave raccontata da Plutarco e Cicerone in segno di

omaggio cercograve e trovo la tomba di Archimede nel 75 Avanti Cristo

Tutte le suddette opere furono tradotte in latino nel medioevo e studiate a fondo durante il Rinascimento

Ersquo singolare che lrsquoenorme contributo di Archimede sia s tato rivalutato e riscoperto solo dopo che Euclide

pubblicograve ldquoGli Elementirdquo Francobolli di vari paesi con lrsquoeffigie di Archimede

Archimede nei secoli Ersquo noto che nel mondo ellenistico in particolare fra la Magna Grecia e lrsquoEgitto

crsquoera un ricco e complesso sviluppo di ricerca scientifica con un im pegno anche nellrsquoevoluzione

tecnologica Strumenti di calcolo (o di rilevazione astronomica) non servivano solo per applicazioni

pratiche di ingegneria ma anche allrsquoevoluzione del pensiero filosofico Archimede si colloca in quel

contesto Quel processo si egrave in gran parte interrotto nel medioevo NellrsquoEuropa che si era formata dopo

le ldquoinvasioni barbaricherdquo il pensiero d e lla cultura classica non era d e l tutto perduto ma conservato solo

in alc une ristre tte com unitagrave monastiche o in societagrave segrete sospettate di eresia Le sperim entazioni

scientifiche e tecniche erano viste con diffidenza co me magie stregonerie o pratiche demoniache ndash me

ntre le corporazioni di ldquoarti e mestieri rdquo custodivano gelosamente i loro segreti e spesso assumevano il

carattere di comunitagrave esoteriche ed iniziatiche In queste epoche storiche gli scri tti di Archim ede sono

stati visti per le applicazioni tecnologiche suggerite ma non certo per il metodo scientifico che egli

propugnava Andiamo ora ad esaminare il con t ributo scien tifico di Archimede ed a vederne la estrema

attualitagrave con cui oggi vengono utilizzate le sue tecniche ed il suo approccio di problem-solving di stampo

galileano Il contributo scientifico Le intuizioni di Archimede spaziavano su campi diversificati Tra le

invenzioni e le app licazioni meccaniche attribuitegli si trov ano Il principio della leva La vite se nza fine

Il principio dell a spinta di galleggiamento e la stabilitagrave dei corpi nei fluidi di cui lo studio sul la

liquefazione e sui cedimenti del terreno Gli studi sulle sfere e sui cilindri I meccanismi in movimento un

esempio egrave lrsquo orologio ad a c q u a Tra le m acchine bellich e da lui d i segnate e co struite s i ricordano

specialmente Gli specchi ustori I ganci ed i bracci meccanici hellip e le rispettive applicazioni belliche tanto

tem u te dai Ro m a ni Tra gli studi di geometria si annoverano Studi sulle aree e sui volumi ldquoeccellentirdquo

I solidi regolari La spirale

Cicerone scopre la Tomba di Archimede

Olim dum quaestor Syracusis sum Archimedem insignem illus urbis civem a pulvere excitavi

Nam sepulcrum eius ignoratum a Syracusanis saeptum undique et vestitum vepribus ac dumetis

indagavi syracusani omnino negabant id esse sed ego tenebam senariolos inscriptos in eius monumento

ex quibus in summo Archimedis sepulcro sphaera cum cylindro posita erat ego autem omnia oculis

collustravi ( est enim apud portam sacram urbis magna frequentia sepulcrorum) et paululum postea

columellam non multum e dumis eminentem animadverti in ea erat sphaerae figura et cylindri Atque

ego statim syracusanis ( erant autem mecum principes civitatis) dixi ldquoEcce illud quod quaerebamrdquo

Immissi cum falcibus multi purgaverunt et aperuerunt locum deinde ad sepulcrum accessimus

Apparebat in illo epigramma fere dimidiatum erat illud Archimedis sepulcrumIta nobilis Siciliae civitas

ab homine Arpinati locum monumenti unius insignis civis sui didicit

Una volta mentre ero questore a Siracusa ho tirato fuori dalla polvere Archimede insigne

cittadino di quella cittagrave Infatti ho scoperto il suo sepolcro ignorato dai Siracusani ricoperto da ogni

parte da rovi e cespugli I siracusani affermavano che quello non esistesse ma io ricordavo dei senari

iscritti sulla sua tomba secondo i quali nella sommitagrave del sepolcro di Archimede vi era posta una sfera

con un cilindro Io tuttavia ho scrutato ogni cosa con lo sguardo (vi egrave infatti presso la porta sacra della

cittagrave una grande numero di sepolcri) e a poco a poco mi sono accorto di una colonnetta che non

sporgeva molto dai cespugli In quella vi era lrsquoeffigie di una sfera e di un cilindro

E io subito dissi ai Siracusani (erano infatti con me i cittadini piugrave ragguardevoli della cittagrave) ecco

quello che cercavo Entrati molti con le falci ripulirono e sgombrarono il luogo infine entrammo nel

sepolcro Appariva in quello unrsquo iscrizione quasi dimezzata era quello il sepolcro di Archimede Cosigrave la

celebre cittagrave della Sicilia conobbe il luogo del monumento di un suo insigne cittadino da un uomo di

Arpino

trattto da Tusculanae Disputationesrdquo di Cicerone

Trad Lo Giudice ndash Ferdico ndash Castellese IV H

Le opere di Archimede2

II 3 Archimede di Siracusa

Scarsi sono i particolari sulla vita di

Archimede ma possiamo ricavare qualche

informazione su di lui dalle storie di Plutarco Livio e

altri autori Plutarco descrivendo lrsquoassedio di Siracusa

da parte dei romani durante le Seconda Guerra Punica

ci dice che Archimede abbia inventato ingegnose

macchine da guerra per tenere lontano il nemico

catapulte [29] per lanciare pietre corde carrucole e

ganci per sollevare e schiantare le navi romane

dispositivi per sviluppare incendi sulle navi (come

questi dispositivi potessero essere realizzati e se

realmente Archimede sia stato in grado di realizzarli

ci egrave spiegato da Archimede e gli specchi ustori [30])

Durante il saccheggio della cittagrave Archimede venne

trucidato da un soldato romano nonostante che il

generale Marcello avesse dato lrsquoordine di salvare la

vita del matematico Poicheacute a quanto viene riferito

Archimede aveva settantacinque anni egrave molto

probabile che fosse nato nel 287 aC

Alcuni autori riportano che abbia visitato lrsquoEgitto e

che abbia studiato ad Alessandria con gli allievi di

Euclide fu probabilmente in questa occasione che

2 webunifeit

inventograve il dispositivo oggi noto come ldquovite di Archimederdquo [31] fatto di canali o tubi avvolti

elicoidalmente attorno ad un asse inclinato munito di una manovella per farlo girare

I vari resoconti rimastici sulla vita di Archimede sono drsquoaccordo nel dipingerlo come persona che

attribuiva scarso valore ai suoi congegni meccanici rispetto ai prodotti della sua attivitagrave intellettuale

Anche quando trattava di leve e di altre macchine semplici era molto piugrave interessato ai principi generali

che le governavano che alle loro applicazioni pratiche

Le opere di Archimede sopravvissute sono le seguenti Sullrsquoequilibrio dei piani

Di questo trattato in due libri fanno parte gli studi di Archimede sul principio della leva [32] Il

primo libro prende in considerazione figure rettilinee e si chiude con la discussione sui centri di gravitagrave

del triangolo e del trapezio Il secondo libro concentra lrsquoattenzione sul centro di gravitagrave di un segmento di

parabola e comprende una dimostrazione del fatto che questo centro si trova sul diametro del segmento e

divide questo diametro in segmenti che stanno nel rapporto di 3 a 2 Il procedimento usato per la

dimostrazione egrave il metodo di esaustione

Sui galleggianti

Questrsquoopera in due libri contiene dei risultati molto importanti Fra le proposizioni iniziali ve ne

sono due che formulano il noto principio della spinta idrostatica di Archimede [33]

Qualsiasi solido piugrave leggero di un fluido se collocato nel fluido si immergeragrave in misura tale che

il peso del solido saragrave uguale al peso del fluido spostato (Lib I Prop 5)

Un solido piugrave pesante di un fluido se collocato in esso discenderagrave in fondo al fluido e se si

peseragrave il solido nel fluido risulteragrave piugrave leggero del suo vero peso e la differenza di peso saragrave uguale al

peso del fluido spostato (Lib I Prop 7)

Oltre alle proprietagrave dei fluidi questo trattato contiene molte altre scoperte Quasi tutto il secondo

libro per esempio tratta della posizione di equilibrio di segmenti di paraboloidi quando siano immersi in

un fluido mostrando che la posizione di quiete dipende dal peso specifico relativo del paraboloide solido

e del fluido in cui galleggia

Sulla misura del cerchio

Questo piccolo trattato che egrave probabilmente incompleto nella forma in cui ci egrave pervenuto

comprende solo tre proposizioni ( egrave possibile vedere gli enunciati nel sito Sulla misura del cerchio [34])

una delle quali egrave la dimostrazione mediante il metodo di esaustione del teorema secondo cui lrsquoarea del

cerchio egrave uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come lati la circonferenza e il raggio del

cerchio stesso

Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra circonferenza di un cerchio e diametro Archimede diede

una ulteriore prova della sua abilitagrave nel calcolo Partendo dallrsquoesagono regolare inscritto egli calcolograve i

perimetri dei poligoni ottenuti raddoppiando successivamente il numero dei lati fino a raggiungere

novantasei lati Il risultato dal calcolo archimedeo relativo alla circonferenza era costituito da

unrsquoapprossimazione del valore di espressa dalla disuguaglianza che era un valore migliore di quello

ottenuto dagli egiziani e dai babilonesi (Va tenuto presente che neacute Archimede neacute alcun matematico

greco fece mai uso della notazione per indicare il valore del rapporto tra circonferenza di un cerchio e il

suo diametro)

Sulle spirali

Questo trattato fu molto ammirato ma poco letto poicheacute veniva considerato come la piugrave difficile

fra tutte le opere di Archimede La spirale viene definita come il luogo piano di un punto che partendo

dallrsquoestremo di un raggio o semiretta si sposta uniformemente lungo questo raggio mentre il raggio a sua

volta ruota uniformemente intorno al suo estremo

Lo studio che Archimede fece della spirale curva che attribuiva allrsquoamico Conone di Alessandria si

inquadrava nella scia delle ricerche tipiche della matematica greca volte a trovare le soluzioni dei tre

famosi problemi classici La curva si presta facilmente a effettuare molteplici sezioni dellrsquoangolo Come

nel caso della quadratrice perograve essa puograve anche servire a quadrare il cerchio come mostrograve lo stesso

Archimede

Nel punto P si tracci la tangente alla spirale OPR e questa tangente intersechi nel punto Q la retta che

passa per O ed egrave perpendicolare a OP (vedi Fig 1)

Archimede mostrava mediante una dimostrazione per duplice reductio ad absurdum che il

segmento OQ (noto come la sottotangente polare relativa al punto P) era uguale in lunghezza allrsquoarco di

cerchio PS del cerchio avente come centro O e come raggio OP

Se sulla spirale si sceglie un punto P come intersezione della spirale con la retta a 90deg in coordinate

polari la sottotangente polare OQ saragrave esattamente uguale a un quarto della circonferenza del cerchio di

raggio OP Pertanto lrsquointera circonferenza puograve essere costruita prendendo quattro volte il segmento OQ e

per mezzo del teorema di Archimede si trova un triangolo di area uguale allrsquoarea del cerchio Una

semplice trasformazione geometrica permetteragrave poi di sostituire il triangolo con un quadrato Ersquo cosigrave

effettuata la quadratura del cerchio

Gran parte dellrsquoopera di Archimede egrave di natura tale che oggi verrebbe inclusa in un corso di analisi

infinitesimale ciograve egrave particolarmente vero per il trattato Sulle spirali

Si puograve analizzare la spirale di Archimede e le curve ad essa associate visitando il sito La spirale di

Archimede [35] attraverso Java (un linguaggio di programmazione progettato per eseguire operazioni

evolute indipendente dalla macchina su cui si opera) si possono manipolare i dati ed ottenere tutte le

variazioni desiderate

Quadratura della parabola Al tempo in cui scriveva Archimede le sezioni coniche erano note da quasi un secolo e tuttavia

non era stato fatto nessun progresso nel calcolo delle loro aree Ci volle Archimede per quadrare una

sezione conica ossia un segmento della parabola e lo fece nella Proposizione 17 dellrsquoopera in cui la

quadratura costituiva lrsquoobiettivo principale La dimostrazione per mezzo del solito metodo di esaustione

egrave lunga e complessa comunque Archimede riuscigrave a dimostrare rigorosamente che lrsquoarea K di un

segmento parabolico APBQC egrave uguale a quattro terzi dellrsquoarea di un triangolo avente la stessa base e

uguale altezza

Nelle successive sette (e ultime) proposizioni Archimede dava una seconda ma diversa dimostrazione

del medesimo teorema Egli dimostrava che lrsquoarea del triangolo inscritto maggiore ABC con base AC egrave

quattro volte la somma dei corrispondenti triangoli inscritti aventi come basi rispettivamente AB e BC

Continuando il processo suggerito da questa relazione risulta chiaro che lrsquoarea H del segmento

parabolico ABC egrave data dalla somma della serie infinita che egrave Archimede non parla di somma della serie

infinita percheacute ai suoi tempi i processi non finiti venivano disapprovati Ricorrendo invece a una duplice

reductio ad absurdum Archimede dimostrava che H non poteva essere neacute maggiore neacute minore di

(Archimede come i suoi predecessori non usava il termine ldquoparabolardquo ma lrsquoespressione ldquoortotomordquo

ossia ldquosezione di un cono rettordquo)

Nel preambolo alla Quadratura della parabola incontriamo lrsquoassunzione che oggi egrave comunemente noto

come lrsquoassioma di Archimede

Lrsquoeccesso per cui la maggiore di due aree disuguali supera la minore puograve se sommato a se

stesso diventare superiore a qualsiasi area finita data

Nel sito La teoria della misura da Archimede a Bonaventura Cavalieri [36] si puograve esaminare

il procedimento di dimostrazione per la quadratura della parabola

Sui conoidi e sferoidi

Nonostante Archimede non sia stato in grado di trovare lrsquoarea di un segmento qualsiasi di ellisse

o di iperbole in questo trattato riuscigrave a determinare lrsquoarea di tutta lrsquoellisse

Le aree delle ellissi sono come i rettangoli formati dai loro assi (Prop 6)

Ciograve equivale a dire che lrsquoarea di unrsquoellisse egrave uguale allrsquoarea di un cerchio il cui raggio sia la media

geometrica dei semiassi dellrsquoellisse Inoltre mostrava come trovare il volume di segmenti tagliati da un

ellissoide da un paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno allrsquoasse principale Il

processo da lui usato egrave molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di integrazione differisce

principalmente per la mancanza del concetto di limite di una funzione

Sulla sfera e sul cilindro

Archimede volle che sulla sua tomba fosse incisa la figura che rappresentava una sfera inscritta in

un cilindro circolare retto la cui altezza egrave uguale al diametro della sfera ( per maggiori dettagli si veda La

lapide di Archimede [37]) egli aveva infatti scoperto e dimostrato che il rapporto tra i volumi del

cilindro e della sfera era uguale al rapporto tra le rispettive aree cioegrave era un rapporto di tre a due Inoltre

sembra che Archimede sia stato il primo a scoprire e a dimostrare che lrsquoarea di una sfera egrave quattro volte

lrsquoarea del suo cerchio massimo e che

la superficie di una qualsiasi calotta sferica egrave uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al

segmento tracciato dal vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa

Un teorema molto importante relativo alla superficie della sfera compare nella Proposizione 33

dopo una lunga serie di teoremi preliminari riguardanti la funzione seno

Se in un segmento di cerchio LrsquoALrsquo viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati

esclusa la base siano uguali e il loro numero sia pari come LKhellipAhellipKrsquoLrsquo ove A egrave il punto di mezzo del

segmento e se si tracciano le linee BBrsquo CCrsquo hellip parallele alla base LLrsquo e congiungenti coppie di punti

angolari allora (BBrsquo+CCrsquo+hellip+LM)AM=ArsquoBBA ove M egrave il punto di mezzo di LLrsquo e AArsquo egrave il diametro

passante per M

La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34 del Libro I

Qualsiasi sfera egrave uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della

sfera e lrsquoaltezza uguale al raggio della sfera

Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario ne segue il

rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto

LrsquoArenario

In questrsquoopera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri superiori a

nella notazione moderna Egli sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i

granelli di sabbia richiesti per riempire lrsquouniverso Ciograve era in risposta allrsquoipotesi avanzata da Aristarco di

Srsquoamo che la Terra si muovesse attorno al Sole

Ersquo possibile leggere lrsquointera opera tradotta in inglese visitando il sito lrsquoArenario [38]

Il libro dei lemmi

La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica superiore

Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari In questrsquoopera per esempio

troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del calzolaio) Questo egrave la regione delimitata da tre

semicerchi che sono reciprocamente tangenti a due a due lrsquoarea in questione egrave quella che si trova

allrsquointerno del semicerchio piugrave grande e allrsquoesterno dei semicerchi piugrave piccoli Vi egrave anche un teorema su

quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione archimedea dellrsquoangolo

Il libro dei lemmi non ci egrave pervenuto nel testo originale greco ma attraverso una traduzione araba che

piugrave tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum Di fatto questrsquoopera come ci egrave pervenuta

non puograve essere genuinamente archimedea percheacute il nome di Archimede viene citato piugrave volte nel corso

del testo Nondimeno anche se questo trattato non egrave altro che una miscellanea di teoremi attribuiti ad

Archimede dagli arabi lrsquoopera nella sua sostanza egrave probabilmente autentica

Il Metodo

Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di Archimede vi egrave

la scoperta fatta nel nostro secolo di uno dei suoi trattati piugrave importanti intitolato Il Metodo di cui si

erano perdute le tracce fin dai primi secoli dellrsquoEra cristiana fincheacute non venne riscoperto nel 1906

Qui Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini ldquomeccanicherdquo preliminari che lo

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

carattere di comunitagrave esoteriche ed iniziatiche In queste epoche storiche gli scri tti di Archim ede sono

stati visti per le applicazioni tecnologiche suggerite ma non certo per il metodo scientifico che egli

propugnava Andiamo ora ad esaminare il con t ributo scien tifico di Archimede ed a vederne la estrema

attualitagrave con cui oggi vengono utilizzate le sue tecniche ed il suo approccio di problem-solving di stampo

galileano Il contributo scientifico Le intuizioni di Archimede spaziavano su campi diversificati Tra le

invenzioni e le app licazioni meccaniche attribuitegli si trov ano Il principio della leva La vite se nza fine

Il principio dell a spinta di galleggiamento e la stabilitagrave dei corpi nei fluidi di cui lo studio sul la

liquefazione e sui cedimenti del terreno Gli studi sulle sfere e sui cilindri I meccanismi in movimento un

esempio egrave lrsquo orologio ad a c q u a Tra le m acchine bellich e da lui d i segnate e co struite s i ricordano

specialmente Gli specchi ustori I ganci ed i bracci meccanici hellip e le rispettive applicazioni belliche tanto

tem u te dai Ro m a ni Tra gli studi di geometria si annoverano Studi sulle aree e sui volumi ldquoeccellentirdquo

I solidi regolari La spirale

Cicerone scopre la Tomba di Archimede

Olim dum quaestor Syracusis sum Archimedem insignem illus urbis civem a pulvere excitavi

Nam sepulcrum eius ignoratum a Syracusanis saeptum undique et vestitum vepribus ac dumetis

indagavi syracusani omnino negabant id esse sed ego tenebam senariolos inscriptos in eius monumento

ex quibus in summo Archimedis sepulcro sphaera cum cylindro posita erat ego autem omnia oculis

collustravi ( est enim apud portam sacram urbis magna frequentia sepulcrorum) et paululum postea

columellam non multum e dumis eminentem animadverti in ea erat sphaerae figura et cylindri Atque

ego statim syracusanis ( erant autem mecum principes civitatis) dixi ldquoEcce illud quod quaerebamrdquo

Immissi cum falcibus multi purgaverunt et aperuerunt locum deinde ad sepulcrum accessimus

Apparebat in illo epigramma fere dimidiatum erat illud Archimedis sepulcrumIta nobilis Siciliae civitas

ab homine Arpinati locum monumenti unius insignis civis sui didicit

Una volta mentre ero questore a Siracusa ho tirato fuori dalla polvere Archimede insigne

cittadino di quella cittagrave Infatti ho scoperto il suo sepolcro ignorato dai Siracusani ricoperto da ogni

parte da rovi e cespugli I siracusani affermavano che quello non esistesse ma io ricordavo dei senari

iscritti sulla sua tomba secondo i quali nella sommitagrave del sepolcro di Archimede vi era posta una sfera

con un cilindro Io tuttavia ho scrutato ogni cosa con lo sguardo (vi egrave infatti presso la porta sacra della

cittagrave una grande numero di sepolcri) e a poco a poco mi sono accorto di una colonnetta che non

sporgeva molto dai cespugli In quella vi era lrsquoeffigie di una sfera e di un cilindro

E io subito dissi ai Siracusani (erano infatti con me i cittadini piugrave ragguardevoli della cittagrave) ecco

quello che cercavo Entrati molti con le falci ripulirono e sgombrarono il luogo infine entrammo nel

sepolcro Appariva in quello unrsquo iscrizione quasi dimezzata era quello il sepolcro di Archimede Cosigrave la

celebre cittagrave della Sicilia conobbe il luogo del monumento di un suo insigne cittadino da un uomo di

Arpino

trattto da Tusculanae Disputationesrdquo di Cicerone

Trad Lo Giudice ndash Ferdico ndash Castellese IV H

Le opere di Archimede2

II 3 Archimede di Siracusa

Scarsi sono i particolari sulla vita di

Archimede ma possiamo ricavare qualche

informazione su di lui dalle storie di Plutarco Livio e

altri autori Plutarco descrivendo lrsquoassedio di Siracusa

da parte dei romani durante le Seconda Guerra Punica

ci dice che Archimede abbia inventato ingegnose

macchine da guerra per tenere lontano il nemico

catapulte [29] per lanciare pietre corde carrucole e

ganci per sollevare e schiantare le navi romane

dispositivi per sviluppare incendi sulle navi (come

questi dispositivi potessero essere realizzati e se

realmente Archimede sia stato in grado di realizzarli

ci egrave spiegato da Archimede e gli specchi ustori [30])

Durante il saccheggio della cittagrave Archimede venne

trucidato da un soldato romano nonostante che il

generale Marcello avesse dato lrsquoordine di salvare la

vita del matematico Poicheacute a quanto viene riferito

Archimede aveva settantacinque anni egrave molto

probabile che fosse nato nel 287 aC

Alcuni autori riportano che abbia visitato lrsquoEgitto e

che abbia studiato ad Alessandria con gli allievi di

Euclide fu probabilmente in questa occasione che

2 webunifeit

inventograve il dispositivo oggi noto come ldquovite di Archimederdquo [31] fatto di canali o tubi avvolti

elicoidalmente attorno ad un asse inclinato munito di una manovella per farlo girare

I vari resoconti rimastici sulla vita di Archimede sono drsquoaccordo nel dipingerlo come persona che

attribuiva scarso valore ai suoi congegni meccanici rispetto ai prodotti della sua attivitagrave intellettuale

Anche quando trattava di leve e di altre macchine semplici era molto piugrave interessato ai principi generali

che le governavano che alle loro applicazioni pratiche

Le opere di Archimede sopravvissute sono le seguenti Sullrsquoequilibrio dei piani

Di questo trattato in due libri fanno parte gli studi di Archimede sul principio della leva [32] Il

primo libro prende in considerazione figure rettilinee e si chiude con la discussione sui centri di gravitagrave

del triangolo e del trapezio Il secondo libro concentra lrsquoattenzione sul centro di gravitagrave di un segmento di

parabola e comprende una dimostrazione del fatto che questo centro si trova sul diametro del segmento e

divide questo diametro in segmenti che stanno nel rapporto di 3 a 2 Il procedimento usato per la

dimostrazione egrave il metodo di esaustione

Sui galleggianti

Questrsquoopera in due libri contiene dei risultati molto importanti Fra le proposizioni iniziali ve ne

sono due che formulano il noto principio della spinta idrostatica di Archimede [33]

Qualsiasi solido piugrave leggero di un fluido se collocato nel fluido si immergeragrave in misura tale che

il peso del solido saragrave uguale al peso del fluido spostato (Lib I Prop 5)

Un solido piugrave pesante di un fluido se collocato in esso discenderagrave in fondo al fluido e se si

peseragrave il solido nel fluido risulteragrave piugrave leggero del suo vero peso e la differenza di peso saragrave uguale al

peso del fluido spostato (Lib I Prop 7)

Oltre alle proprietagrave dei fluidi questo trattato contiene molte altre scoperte Quasi tutto il secondo

libro per esempio tratta della posizione di equilibrio di segmenti di paraboloidi quando siano immersi in

un fluido mostrando che la posizione di quiete dipende dal peso specifico relativo del paraboloide solido

e del fluido in cui galleggia

Sulla misura del cerchio

Questo piccolo trattato che egrave probabilmente incompleto nella forma in cui ci egrave pervenuto

comprende solo tre proposizioni ( egrave possibile vedere gli enunciati nel sito Sulla misura del cerchio [34])

una delle quali egrave la dimostrazione mediante il metodo di esaustione del teorema secondo cui lrsquoarea del

cerchio egrave uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come lati la circonferenza e il raggio del

cerchio stesso

Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra circonferenza di un cerchio e diametro Archimede diede

una ulteriore prova della sua abilitagrave nel calcolo Partendo dallrsquoesagono regolare inscritto egli calcolograve i

perimetri dei poligoni ottenuti raddoppiando successivamente il numero dei lati fino a raggiungere

novantasei lati Il risultato dal calcolo archimedeo relativo alla circonferenza era costituito da

unrsquoapprossimazione del valore di espressa dalla disuguaglianza che era un valore migliore di quello

ottenuto dagli egiziani e dai babilonesi (Va tenuto presente che neacute Archimede neacute alcun matematico

greco fece mai uso della notazione per indicare il valore del rapporto tra circonferenza di un cerchio e il

suo diametro)

Sulle spirali

Questo trattato fu molto ammirato ma poco letto poicheacute veniva considerato come la piugrave difficile

fra tutte le opere di Archimede La spirale viene definita come il luogo piano di un punto che partendo

dallrsquoestremo di un raggio o semiretta si sposta uniformemente lungo questo raggio mentre il raggio a sua

volta ruota uniformemente intorno al suo estremo

Lo studio che Archimede fece della spirale curva che attribuiva allrsquoamico Conone di Alessandria si

inquadrava nella scia delle ricerche tipiche della matematica greca volte a trovare le soluzioni dei tre

famosi problemi classici La curva si presta facilmente a effettuare molteplici sezioni dellrsquoangolo Come

nel caso della quadratrice perograve essa puograve anche servire a quadrare il cerchio come mostrograve lo stesso

Archimede

Nel punto P si tracci la tangente alla spirale OPR e questa tangente intersechi nel punto Q la retta che

passa per O ed egrave perpendicolare a OP (vedi Fig 1)

Archimede mostrava mediante una dimostrazione per duplice reductio ad absurdum che il

segmento OQ (noto come la sottotangente polare relativa al punto P) era uguale in lunghezza allrsquoarco di

cerchio PS del cerchio avente come centro O e come raggio OP

Se sulla spirale si sceglie un punto P come intersezione della spirale con la retta a 90deg in coordinate

polari la sottotangente polare OQ saragrave esattamente uguale a un quarto della circonferenza del cerchio di

raggio OP Pertanto lrsquointera circonferenza puograve essere costruita prendendo quattro volte il segmento OQ e

per mezzo del teorema di Archimede si trova un triangolo di area uguale allrsquoarea del cerchio Una

semplice trasformazione geometrica permetteragrave poi di sostituire il triangolo con un quadrato Ersquo cosigrave

effettuata la quadratura del cerchio

Gran parte dellrsquoopera di Archimede egrave di natura tale che oggi verrebbe inclusa in un corso di analisi

infinitesimale ciograve egrave particolarmente vero per il trattato Sulle spirali

Si puograve analizzare la spirale di Archimede e le curve ad essa associate visitando il sito La spirale di

Archimede [35] attraverso Java (un linguaggio di programmazione progettato per eseguire operazioni

evolute indipendente dalla macchina su cui si opera) si possono manipolare i dati ed ottenere tutte le

variazioni desiderate

Quadratura della parabola Al tempo in cui scriveva Archimede le sezioni coniche erano note da quasi un secolo e tuttavia

non era stato fatto nessun progresso nel calcolo delle loro aree Ci volle Archimede per quadrare una

sezione conica ossia un segmento della parabola e lo fece nella Proposizione 17 dellrsquoopera in cui la

quadratura costituiva lrsquoobiettivo principale La dimostrazione per mezzo del solito metodo di esaustione

egrave lunga e complessa comunque Archimede riuscigrave a dimostrare rigorosamente che lrsquoarea K di un

segmento parabolico APBQC egrave uguale a quattro terzi dellrsquoarea di un triangolo avente la stessa base e

uguale altezza

Nelle successive sette (e ultime) proposizioni Archimede dava una seconda ma diversa dimostrazione

del medesimo teorema Egli dimostrava che lrsquoarea del triangolo inscritto maggiore ABC con base AC egrave

quattro volte la somma dei corrispondenti triangoli inscritti aventi come basi rispettivamente AB e BC

Continuando il processo suggerito da questa relazione risulta chiaro che lrsquoarea H del segmento

parabolico ABC egrave data dalla somma della serie infinita che egrave Archimede non parla di somma della serie

infinita percheacute ai suoi tempi i processi non finiti venivano disapprovati Ricorrendo invece a una duplice

reductio ad absurdum Archimede dimostrava che H non poteva essere neacute maggiore neacute minore di

(Archimede come i suoi predecessori non usava il termine ldquoparabolardquo ma lrsquoespressione ldquoortotomordquo

ossia ldquosezione di un cono rettordquo)

Nel preambolo alla Quadratura della parabola incontriamo lrsquoassunzione che oggi egrave comunemente noto

come lrsquoassioma di Archimede

Lrsquoeccesso per cui la maggiore di due aree disuguali supera la minore puograve se sommato a se

stesso diventare superiore a qualsiasi area finita data

Nel sito La teoria della misura da Archimede a Bonaventura Cavalieri [36] si puograve esaminare

il procedimento di dimostrazione per la quadratura della parabola

Sui conoidi e sferoidi

Nonostante Archimede non sia stato in grado di trovare lrsquoarea di un segmento qualsiasi di ellisse

o di iperbole in questo trattato riuscigrave a determinare lrsquoarea di tutta lrsquoellisse

Le aree delle ellissi sono come i rettangoli formati dai loro assi (Prop 6)

Ciograve equivale a dire che lrsquoarea di unrsquoellisse egrave uguale allrsquoarea di un cerchio il cui raggio sia la media

geometrica dei semiassi dellrsquoellisse Inoltre mostrava come trovare il volume di segmenti tagliati da un

ellissoide da un paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno allrsquoasse principale Il

processo da lui usato egrave molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di integrazione differisce

principalmente per la mancanza del concetto di limite di una funzione

Sulla sfera e sul cilindro

Archimede volle che sulla sua tomba fosse incisa la figura che rappresentava una sfera inscritta in

un cilindro circolare retto la cui altezza egrave uguale al diametro della sfera ( per maggiori dettagli si veda La

lapide di Archimede [37]) egli aveva infatti scoperto e dimostrato che il rapporto tra i volumi del

cilindro e della sfera era uguale al rapporto tra le rispettive aree cioegrave era un rapporto di tre a due Inoltre

sembra che Archimede sia stato il primo a scoprire e a dimostrare che lrsquoarea di una sfera egrave quattro volte

lrsquoarea del suo cerchio massimo e che

la superficie di una qualsiasi calotta sferica egrave uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al

segmento tracciato dal vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa

Un teorema molto importante relativo alla superficie della sfera compare nella Proposizione 33

dopo una lunga serie di teoremi preliminari riguardanti la funzione seno

Se in un segmento di cerchio LrsquoALrsquo viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati

esclusa la base siano uguali e il loro numero sia pari come LKhellipAhellipKrsquoLrsquo ove A egrave il punto di mezzo del

segmento e se si tracciano le linee BBrsquo CCrsquo hellip parallele alla base LLrsquo e congiungenti coppie di punti

angolari allora (BBrsquo+CCrsquo+hellip+LM)AM=ArsquoBBA ove M egrave il punto di mezzo di LLrsquo e AArsquo egrave il diametro

passante per M

La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34 del Libro I

Qualsiasi sfera egrave uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della

sfera e lrsquoaltezza uguale al raggio della sfera

Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario ne segue il

rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto

LrsquoArenario

In questrsquoopera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri superiori a

nella notazione moderna Egli sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i

granelli di sabbia richiesti per riempire lrsquouniverso Ciograve era in risposta allrsquoipotesi avanzata da Aristarco di

Srsquoamo che la Terra si muovesse attorno al Sole

Ersquo possibile leggere lrsquointera opera tradotta in inglese visitando il sito lrsquoArenario [38]

Il libro dei lemmi

La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica superiore

Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari In questrsquoopera per esempio

troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del calzolaio) Questo egrave la regione delimitata da tre

semicerchi che sono reciprocamente tangenti a due a due lrsquoarea in questione egrave quella che si trova

allrsquointerno del semicerchio piugrave grande e allrsquoesterno dei semicerchi piugrave piccoli Vi egrave anche un teorema su

quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione archimedea dellrsquoangolo

Il libro dei lemmi non ci egrave pervenuto nel testo originale greco ma attraverso una traduzione araba che

piugrave tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum Di fatto questrsquoopera come ci egrave pervenuta

non puograve essere genuinamente archimedea percheacute il nome di Archimede viene citato piugrave volte nel corso

del testo Nondimeno anche se questo trattato non egrave altro che una miscellanea di teoremi attribuiti ad

Archimede dagli arabi lrsquoopera nella sua sostanza egrave probabilmente autentica

Il Metodo

Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di Archimede vi egrave

la scoperta fatta nel nostro secolo di uno dei suoi trattati piugrave importanti intitolato Il Metodo di cui si

erano perdute le tracce fin dai primi secoli dellrsquoEra cristiana fincheacute non venne riscoperto nel 1906

Qui Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini ldquomeccanicherdquo preliminari che lo

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

ego statim syracusanis ( erant autem mecum principes civitatis) dixi ldquoEcce illud quod quaerebamrdquo

Immissi cum falcibus multi purgaverunt et aperuerunt locum deinde ad sepulcrum accessimus

Apparebat in illo epigramma fere dimidiatum erat illud Archimedis sepulcrumIta nobilis Siciliae civitas

ab homine Arpinati locum monumenti unius insignis civis sui didicit

Una volta mentre ero questore a Siracusa ho tirato fuori dalla polvere Archimede insigne

cittadino di quella cittagrave Infatti ho scoperto il suo sepolcro ignorato dai Siracusani ricoperto da ogni

parte da rovi e cespugli I siracusani affermavano che quello non esistesse ma io ricordavo dei senari

iscritti sulla sua tomba secondo i quali nella sommitagrave del sepolcro di Archimede vi era posta una sfera

con un cilindro Io tuttavia ho scrutato ogni cosa con lo sguardo (vi egrave infatti presso la porta sacra della

cittagrave una grande numero di sepolcri) e a poco a poco mi sono accorto di una colonnetta che non

sporgeva molto dai cespugli In quella vi era lrsquoeffigie di una sfera e di un cilindro

E io subito dissi ai Siracusani (erano infatti con me i cittadini piugrave ragguardevoli della cittagrave) ecco

quello che cercavo Entrati molti con le falci ripulirono e sgombrarono il luogo infine entrammo nel

sepolcro Appariva in quello unrsquo iscrizione quasi dimezzata era quello il sepolcro di Archimede Cosigrave la

celebre cittagrave della Sicilia conobbe il luogo del monumento di un suo insigne cittadino da un uomo di

Arpino

trattto da Tusculanae Disputationesrdquo di Cicerone

Trad Lo Giudice ndash Ferdico ndash Castellese IV H

Le opere di Archimede2

II 3 Archimede di Siracusa

Scarsi sono i particolari sulla vita di

Archimede ma possiamo ricavare qualche

informazione su di lui dalle storie di Plutarco Livio e

altri autori Plutarco descrivendo lrsquoassedio di Siracusa

da parte dei romani durante le Seconda Guerra Punica

ci dice che Archimede abbia inventato ingegnose

macchine da guerra per tenere lontano il nemico

catapulte [29] per lanciare pietre corde carrucole e

ganci per sollevare e schiantare le navi romane

dispositivi per sviluppare incendi sulle navi (come

questi dispositivi potessero essere realizzati e se

realmente Archimede sia stato in grado di realizzarli

ci egrave spiegato da Archimede e gli specchi ustori [30])

Durante il saccheggio della cittagrave Archimede venne

trucidato da un soldato romano nonostante che il

generale Marcello avesse dato lrsquoordine di salvare la

vita del matematico Poicheacute a quanto viene riferito

Archimede aveva settantacinque anni egrave molto

probabile che fosse nato nel 287 aC

Alcuni autori riportano che abbia visitato lrsquoEgitto e

che abbia studiato ad Alessandria con gli allievi di

Euclide fu probabilmente in questa occasione che

2 webunifeit

inventograve il dispositivo oggi noto come ldquovite di Archimederdquo [31] fatto di canali o tubi avvolti

elicoidalmente attorno ad un asse inclinato munito di una manovella per farlo girare

I vari resoconti rimastici sulla vita di Archimede sono drsquoaccordo nel dipingerlo come persona che

attribuiva scarso valore ai suoi congegni meccanici rispetto ai prodotti della sua attivitagrave intellettuale

Anche quando trattava di leve e di altre macchine semplici era molto piugrave interessato ai principi generali

che le governavano che alle loro applicazioni pratiche

Le opere di Archimede sopravvissute sono le seguenti Sullrsquoequilibrio dei piani

Di questo trattato in due libri fanno parte gli studi di Archimede sul principio della leva [32] Il

primo libro prende in considerazione figure rettilinee e si chiude con la discussione sui centri di gravitagrave

del triangolo e del trapezio Il secondo libro concentra lrsquoattenzione sul centro di gravitagrave di un segmento di

parabola e comprende una dimostrazione del fatto che questo centro si trova sul diametro del segmento e

divide questo diametro in segmenti che stanno nel rapporto di 3 a 2 Il procedimento usato per la

dimostrazione egrave il metodo di esaustione

Sui galleggianti

Questrsquoopera in due libri contiene dei risultati molto importanti Fra le proposizioni iniziali ve ne

sono due che formulano il noto principio della spinta idrostatica di Archimede [33]

Qualsiasi solido piugrave leggero di un fluido se collocato nel fluido si immergeragrave in misura tale che

il peso del solido saragrave uguale al peso del fluido spostato (Lib I Prop 5)

Un solido piugrave pesante di un fluido se collocato in esso discenderagrave in fondo al fluido e se si

peseragrave il solido nel fluido risulteragrave piugrave leggero del suo vero peso e la differenza di peso saragrave uguale al

peso del fluido spostato (Lib I Prop 7)

Oltre alle proprietagrave dei fluidi questo trattato contiene molte altre scoperte Quasi tutto il secondo

libro per esempio tratta della posizione di equilibrio di segmenti di paraboloidi quando siano immersi in

un fluido mostrando che la posizione di quiete dipende dal peso specifico relativo del paraboloide solido

e del fluido in cui galleggia

Sulla misura del cerchio

Questo piccolo trattato che egrave probabilmente incompleto nella forma in cui ci egrave pervenuto

comprende solo tre proposizioni ( egrave possibile vedere gli enunciati nel sito Sulla misura del cerchio [34])

una delle quali egrave la dimostrazione mediante il metodo di esaustione del teorema secondo cui lrsquoarea del

cerchio egrave uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come lati la circonferenza e il raggio del

cerchio stesso

Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra circonferenza di un cerchio e diametro Archimede diede

una ulteriore prova della sua abilitagrave nel calcolo Partendo dallrsquoesagono regolare inscritto egli calcolograve i

perimetri dei poligoni ottenuti raddoppiando successivamente il numero dei lati fino a raggiungere

novantasei lati Il risultato dal calcolo archimedeo relativo alla circonferenza era costituito da

unrsquoapprossimazione del valore di espressa dalla disuguaglianza che era un valore migliore di quello

ottenuto dagli egiziani e dai babilonesi (Va tenuto presente che neacute Archimede neacute alcun matematico

greco fece mai uso della notazione per indicare il valore del rapporto tra circonferenza di un cerchio e il

suo diametro)

Sulle spirali

Questo trattato fu molto ammirato ma poco letto poicheacute veniva considerato come la piugrave difficile

fra tutte le opere di Archimede La spirale viene definita come il luogo piano di un punto che partendo

dallrsquoestremo di un raggio o semiretta si sposta uniformemente lungo questo raggio mentre il raggio a sua

volta ruota uniformemente intorno al suo estremo

Lo studio che Archimede fece della spirale curva che attribuiva allrsquoamico Conone di Alessandria si

inquadrava nella scia delle ricerche tipiche della matematica greca volte a trovare le soluzioni dei tre

famosi problemi classici La curva si presta facilmente a effettuare molteplici sezioni dellrsquoangolo Come

nel caso della quadratrice perograve essa puograve anche servire a quadrare il cerchio come mostrograve lo stesso

Archimede

Nel punto P si tracci la tangente alla spirale OPR e questa tangente intersechi nel punto Q la retta che

passa per O ed egrave perpendicolare a OP (vedi Fig 1)

Archimede mostrava mediante una dimostrazione per duplice reductio ad absurdum che il

segmento OQ (noto come la sottotangente polare relativa al punto P) era uguale in lunghezza allrsquoarco di

cerchio PS del cerchio avente come centro O e come raggio OP

Se sulla spirale si sceglie un punto P come intersezione della spirale con la retta a 90deg in coordinate

polari la sottotangente polare OQ saragrave esattamente uguale a un quarto della circonferenza del cerchio di

raggio OP Pertanto lrsquointera circonferenza puograve essere costruita prendendo quattro volte il segmento OQ e

per mezzo del teorema di Archimede si trova un triangolo di area uguale allrsquoarea del cerchio Una

semplice trasformazione geometrica permetteragrave poi di sostituire il triangolo con un quadrato Ersquo cosigrave

effettuata la quadratura del cerchio

Gran parte dellrsquoopera di Archimede egrave di natura tale che oggi verrebbe inclusa in un corso di analisi

infinitesimale ciograve egrave particolarmente vero per il trattato Sulle spirali

Si puograve analizzare la spirale di Archimede e le curve ad essa associate visitando il sito La spirale di

Archimede [35] attraverso Java (un linguaggio di programmazione progettato per eseguire operazioni

evolute indipendente dalla macchina su cui si opera) si possono manipolare i dati ed ottenere tutte le

variazioni desiderate

Quadratura della parabola Al tempo in cui scriveva Archimede le sezioni coniche erano note da quasi un secolo e tuttavia

non era stato fatto nessun progresso nel calcolo delle loro aree Ci volle Archimede per quadrare una

sezione conica ossia un segmento della parabola e lo fece nella Proposizione 17 dellrsquoopera in cui la

quadratura costituiva lrsquoobiettivo principale La dimostrazione per mezzo del solito metodo di esaustione

egrave lunga e complessa comunque Archimede riuscigrave a dimostrare rigorosamente che lrsquoarea K di un

segmento parabolico APBQC egrave uguale a quattro terzi dellrsquoarea di un triangolo avente la stessa base e

uguale altezza

Nelle successive sette (e ultime) proposizioni Archimede dava una seconda ma diversa dimostrazione

del medesimo teorema Egli dimostrava che lrsquoarea del triangolo inscritto maggiore ABC con base AC egrave

quattro volte la somma dei corrispondenti triangoli inscritti aventi come basi rispettivamente AB e BC

Continuando il processo suggerito da questa relazione risulta chiaro che lrsquoarea H del segmento

parabolico ABC egrave data dalla somma della serie infinita che egrave Archimede non parla di somma della serie

infinita percheacute ai suoi tempi i processi non finiti venivano disapprovati Ricorrendo invece a una duplice

reductio ad absurdum Archimede dimostrava che H non poteva essere neacute maggiore neacute minore di

(Archimede come i suoi predecessori non usava il termine ldquoparabolardquo ma lrsquoespressione ldquoortotomordquo

ossia ldquosezione di un cono rettordquo)

Nel preambolo alla Quadratura della parabola incontriamo lrsquoassunzione che oggi egrave comunemente noto

come lrsquoassioma di Archimede

Lrsquoeccesso per cui la maggiore di due aree disuguali supera la minore puograve se sommato a se

stesso diventare superiore a qualsiasi area finita data

Nel sito La teoria della misura da Archimede a Bonaventura Cavalieri [36] si puograve esaminare

il procedimento di dimostrazione per la quadratura della parabola

Sui conoidi e sferoidi

Nonostante Archimede non sia stato in grado di trovare lrsquoarea di un segmento qualsiasi di ellisse

o di iperbole in questo trattato riuscigrave a determinare lrsquoarea di tutta lrsquoellisse

Le aree delle ellissi sono come i rettangoli formati dai loro assi (Prop 6)

Ciograve equivale a dire che lrsquoarea di unrsquoellisse egrave uguale allrsquoarea di un cerchio il cui raggio sia la media

geometrica dei semiassi dellrsquoellisse Inoltre mostrava come trovare il volume di segmenti tagliati da un

ellissoide da un paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno allrsquoasse principale Il

processo da lui usato egrave molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di integrazione differisce

principalmente per la mancanza del concetto di limite di una funzione

Sulla sfera e sul cilindro

Archimede volle che sulla sua tomba fosse incisa la figura che rappresentava una sfera inscritta in

un cilindro circolare retto la cui altezza egrave uguale al diametro della sfera ( per maggiori dettagli si veda La

lapide di Archimede [37]) egli aveva infatti scoperto e dimostrato che il rapporto tra i volumi del

cilindro e della sfera era uguale al rapporto tra le rispettive aree cioegrave era un rapporto di tre a due Inoltre

sembra che Archimede sia stato il primo a scoprire e a dimostrare che lrsquoarea di una sfera egrave quattro volte

lrsquoarea del suo cerchio massimo e che

la superficie di una qualsiasi calotta sferica egrave uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al

segmento tracciato dal vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa

Un teorema molto importante relativo alla superficie della sfera compare nella Proposizione 33

dopo una lunga serie di teoremi preliminari riguardanti la funzione seno

Se in un segmento di cerchio LrsquoALrsquo viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati

esclusa la base siano uguali e il loro numero sia pari come LKhellipAhellipKrsquoLrsquo ove A egrave il punto di mezzo del

segmento e se si tracciano le linee BBrsquo CCrsquo hellip parallele alla base LLrsquo e congiungenti coppie di punti

angolari allora (BBrsquo+CCrsquo+hellip+LM)AM=ArsquoBBA ove M egrave il punto di mezzo di LLrsquo e AArsquo egrave il diametro

passante per M

La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34 del Libro I

Qualsiasi sfera egrave uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della

sfera e lrsquoaltezza uguale al raggio della sfera

Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario ne segue il

rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto

LrsquoArenario

In questrsquoopera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri superiori a

nella notazione moderna Egli sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i

granelli di sabbia richiesti per riempire lrsquouniverso Ciograve era in risposta allrsquoipotesi avanzata da Aristarco di

Srsquoamo che la Terra si muovesse attorno al Sole

Ersquo possibile leggere lrsquointera opera tradotta in inglese visitando il sito lrsquoArenario [38]

Il libro dei lemmi

La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica superiore

Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari In questrsquoopera per esempio

troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del calzolaio) Questo egrave la regione delimitata da tre

semicerchi che sono reciprocamente tangenti a due a due lrsquoarea in questione egrave quella che si trova

allrsquointerno del semicerchio piugrave grande e allrsquoesterno dei semicerchi piugrave piccoli Vi egrave anche un teorema su

quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione archimedea dellrsquoangolo

Il libro dei lemmi non ci egrave pervenuto nel testo originale greco ma attraverso una traduzione araba che

piugrave tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum Di fatto questrsquoopera come ci egrave pervenuta

non puograve essere genuinamente archimedea percheacute il nome di Archimede viene citato piugrave volte nel corso

del testo Nondimeno anche se questo trattato non egrave altro che una miscellanea di teoremi attribuiti ad

Archimede dagli arabi lrsquoopera nella sua sostanza egrave probabilmente autentica

Il Metodo

Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di Archimede vi egrave

la scoperta fatta nel nostro secolo di uno dei suoi trattati piugrave importanti intitolato Il Metodo di cui si

erano perdute le tracce fin dai primi secoli dellrsquoEra cristiana fincheacute non venne riscoperto nel 1906

Qui Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini ldquomeccanicherdquo preliminari che lo

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

inventograve il dispositivo oggi noto come ldquovite di Archimederdquo [31] fatto di canali o tubi avvolti

elicoidalmente attorno ad un asse inclinato munito di una manovella per farlo girare

I vari resoconti rimastici sulla vita di Archimede sono drsquoaccordo nel dipingerlo come persona che

attribuiva scarso valore ai suoi congegni meccanici rispetto ai prodotti della sua attivitagrave intellettuale

Anche quando trattava di leve e di altre macchine semplici era molto piugrave interessato ai principi generali

che le governavano che alle loro applicazioni pratiche

Le opere di Archimede sopravvissute sono le seguenti Sullrsquoequilibrio dei piani

Di questo trattato in due libri fanno parte gli studi di Archimede sul principio della leva [32] Il

primo libro prende in considerazione figure rettilinee e si chiude con la discussione sui centri di gravitagrave

del triangolo e del trapezio Il secondo libro concentra lrsquoattenzione sul centro di gravitagrave di un segmento di

parabola e comprende una dimostrazione del fatto che questo centro si trova sul diametro del segmento e

divide questo diametro in segmenti che stanno nel rapporto di 3 a 2 Il procedimento usato per la

dimostrazione egrave il metodo di esaustione

Sui galleggianti

Questrsquoopera in due libri contiene dei risultati molto importanti Fra le proposizioni iniziali ve ne

sono due che formulano il noto principio della spinta idrostatica di Archimede [33]

Qualsiasi solido piugrave leggero di un fluido se collocato nel fluido si immergeragrave in misura tale che

il peso del solido saragrave uguale al peso del fluido spostato (Lib I Prop 5)

Un solido piugrave pesante di un fluido se collocato in esso discenderagrave in fondo al fluido e se si

peseragrave il solido nel fluido risulteragrave piugrave leggero del suo vero peso e la differenza di peso saragrave uguale al

peso del fluido spostato (Lib I Prop 7)

Oltre alle proprietagrave dei fluidi questo trattato contiene molte altre scoperte Quasi tutto il secondo

libro per esempio tratta della posizione di equilibrio di segmenti di paraboloidi quando siano immersi in

un fluido mostrando che la posizione di quiete dipende dal peso specifico relativo del paraboloide solido

e del fluido in cui galleggia

Sulla misura del cerchio

Questo piccolo trattato che egrave probabilmente incompleto nella forma in cui ci egrave pervenuto

comprende solo tre proposizioni ( egrave possibile vedere gli enunciati nel sito Sulla misura del cerchio [34])

una delle quali egrave la dimostrazione mediante il metodo di esaustione del teorema secondo cui lrsquoarea del

cerchio egrave uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come lati la circonferenza e il raggio del

cerchio stesso

Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra circonferenza di un cerchio e diametro Archimede diede

una ulteriore prova della sua abilitagrave nel calcolo Partendo dallrsquoesagono regolare inscritto egli calcolograve i

perimetri dei poligoni ottenuti raddoppiando successivamente il numero dei lati fino a raggiungere

novantasei lati Il risultato dal calcolo archimedeo relativo alla circonferenza era costituito da

unrsquoapprossimazione del valore di espressa dalla disuguaglianza che era un valore migliore di quello

ottenuto dagli egiziani e dai babilonesi (Va tenuto presente che neacute Archimede neacute alcun matematico

greco fece mai uso della notazione per indicare il valore del rapporto tra circonferenza di un cerchio e il

suo diametro)

Sulle spirali

Questo trattato fu molto ammirato ma poco letto poicheacute veniva considerato come la piugrave difficile

fra tutte le opere di Archimede La spirale viene definita come il luogo piano di un punto che partendo

dallrsquoestremo di un raggio o semiretta si sposta uniformemente lungo questo raggio mentre il raggio a sua

volta ruota uniformemente intorno al suo estremo

Lo studio che Archimede fece della spirale curva che attribuiva allrsquoamico Conone di Alessandria si

inquadrava nella scia delle ricerche tipiche della matematica greca volte a trovare le soluzioni dei tre

famosi problemi classici La curva si presta facilmente a effettuare molteplici sezioni dellrsquoangolo Come

nel caso della quadratrice perograve essa puograve anche servire a quadrare il cerchio come mostrograve lo stesso

Archimede

Nel punto P si tracci la tangente alla spirale OPR e questa tangente intersechi nel punto Q la retta che

passa per O ed egrave perpendicolare a OP (vedi Fig 1)

Archimede mostrava mediante una dimostrazione per duplice reductio ad absurdum che il

segmento OQ (noto come la sottotangente polare relativa al punto P) era uguale in lunghezza allrsquoarco di

cerchio PS del cerchio avente come centro O e come raggio OP

Se sulla spirale si sceglie un punto P come intersezione della spirale con la retta a 90deg in coordinate

polari la sottotangente polare OQ saragrave esattamente uguale a un quarto della circonferenza del cerchio di

raggio OP Pertanto lrsquointera circonferenza puograve essere costruita prendendo quattro volte il segmento OQ e

per mezzo del teorema di Archimede si trova un triangolo di area uguale allrsquoarea del cerchio Una

semplice trasformazione geometrica permetteragrave poi di sostituire il triangolo con un quadrato Ersquo cosigrave

effettuata la quadratura del cerchio

Gran parte dellrsquoopera di Archimede egrave di natura tale che oggi verrebbe inclusa in un corso di analisi

infinitesimale ciograve egrave particolarmente vero per il trattato Sulle spirali

Si puograve analizzare la spirale di Archimede e le curve ad essa associate visitando il sito La spirale di

Archimede [35] attraverso Java (un linguaggio di programmazione progettato per eseguire operazioni

evolute indipendente dalla macchina su cui si opera) si possono manipolare i dati ed ottenere tutte le

variazioni desiderate

Quadratura della parabola Al tempo in cui scriveva Archimede le sezioni coniche erano note da quasi un secolo e tuttavia

non era stato fatto nessun progresso nel calcolo delle loro aree Ci volle Archimede per quadrare una

sezione conica ossia un segmento della parabola e lo fece nella Proposizione 17 dellrsquoopera in cui la

quadratura costituiva lrsquoobiettivo principale La dimostrazione per mezzo del solito metodo di esaustione

egrave lunga e complessa comunque Archimede riuscigrave a dimostrare rigorosamente che lrsquoarea K di un

segmento parabolico APBQC egrave uguale a quattro terzi dellrsquoarea di un triangolo avente la stessa base e

uguale altezza

Nelle successive sette (e ultime) proposizioni Archimede dava una seconda ma diversa dimostrazione

del medesimo teorema Egli dimostrava che lrsquoarea del triangolo inscritto maggiore ABC con base AC egrave

quattro volte la somma dei corrispondenti triangoli inscritti aventi come basi rispettivamente AB e BC

Continuando il processo suggerito da questa relazione risulta chiaro che lrsquoarea H del segmento

parabolico ABC egrave data dalla somma della serie infinita che egrave Archimede non parla di somma della serie

infinita percheacute ai suoi tempi i processi non finiti venivano disapprovati Ricorrendo invece a una duplice

reductio ad absurdum Archimede dimostrava che H non poteva essere neacute maggiore neacute minore di

(Archimede come i suoi predecessori non usava il termine ldquoparabolardquo ma lrsquoespressione ldquoortotomordquo

ossia ldquosezione di un cono rettordquo)

Nel preambolo alla Quadratura della parabola incontriamo lrsquoassunzione che oggi egrave comunemente noto

come lrsquoassioma di Archimede

Lrsquoeccesso per cui la maggiore di due aree disuguali supera la minore puograve se sommato a se

stesso diventare superiore a qualsiasi area finita data

Nel sito La teoria della misura da Archimede a Bonaventura Cavalieri [36] si puograve esaminare

il procedimento di dimostrazione per la quadratura della parabola

Sui conoidi e sferoidi

Nonostante Archimede non sia stato in grado di trovare lrsquoarea di un segmento qualsiasi di ellisse

o di iperbole in questo trattato riuscigrave a determinare lrsquoarea di tutta lrsquoellisse

Le aree delle ellissi sono come i rettangoli formati dai loro assi (Prop 6)

Ciograve equivale a dire che lrsquoarea di unrsquoellisse egrave uguale allrsquoarea di un cerchio il cui raggio sia la media

geometrica dei semiassi dellrsquoellisse Inoltre mostrava come trovare il volume di segmenti tagliati da un

ellissoide da un paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno allrsquoasse principale Il

processo da lui usato egrave molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di integrazione differisce

principalmente per la mancanza del concetto di limite di una funzione

Sulla sfera e sul cilindro

Archimede volle che sulla sua tomba fosse incisa la figura che rappresentava una sfera inscritta in

un cilindro circolare retto la cui altezza egrave uguale al diametro della sfera ( per maggiori dettagli si veda La

lapide di Archimede [37]) egli aveva infatti scoperto e dimostrato che il rapporto tra i volumi del

cilindro e della sfera era uguale al rapporto tra le rispettive aree cioegrave era un rapporto di tre a due Inoltre

sembra che Archimede sia stato il primo a scoprire e a dimostrare che lrsquoarea di una sfera egrave quattro volte

lrsquoarea del suo cerchio massimo e che

la superficie di una qualsiasi calotta sferica egrave uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al

segmento tracciato dal vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa

Un teorema molto importante relativo alla superficie della sfera compare nella Proposizione 33

dopo una lunga serie di teoremi preliminari riguardanti la funzione seno

Se in un segmento di cerchio LrsquoALrsquo viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati

esclusa la base siano uguali e il loro numero sia pari come LKhellipAhellipKrsquoLrsquo ove A egrave il punto di mezzo del

segmento e se si tracciano le linee BBrsquo CCrsquo hellip parallele alla base LLrsquo e congiungenti coppie di punti

angolari allora (BBrsquo+CCrsquo+hellip+LM)AM=ArsquoBBA ove M egrave il punto di mezzo di LLrsquo e AArsquo egrave il diametro

passante per M

La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34 del Libro I

Qualsiasi sfera egrave uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della

sfera e lrsquoaltezza uguale al raggio della sfera

Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario ne segue il

rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto

LrsquoArenario

In questrsquoopera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri superiori a

nella notazione moderna Egli sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i

granelli di sabbia richiesti per riempire lrsquouniverso Ciograve era in risposta allrsquoipotesi avanzata da Aristarco di

Srsquoamo che la Terra si muovesse attorno al Sole

Ersquo possibile leggere lrsquointera opera tradotta in inglese visitando il sito lrsquoArenario [38]

Il libro dei lemmi

La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica superiore

Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari In questrsquoopera per esempio

troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del calzolaio) Questo egrave la regione delimitata da tre

semicerchi che sono reciprocamente tangenti a due a due lrsquoarea in questione egrave quella che si trova

allrsquointerno del semicerchio piugrave grande e allrsquoesterno dei semicerchi piugrave piccoli Vi egrave anche un teorema su

quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione archimedea dellrsquoangolo

Il libro dei lemmi non ci egrave pervenuto nel testo originale greco ma attraverso una traduzione araba che

piugrave tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum Di fatto questrsquoopera come ci egrave pervenuta

non puograve essere genuinamente archimedea percheacute il nome di Archimede viene citato piugrave volte nel corso

del testo Nondimeno anche se questo trattato non egrave altro che una miscellanea di teoremi attribuiti ad

Archimede dagli arabi lrsquoopera nella sua sostanza egrave probabilmente autentica

Il Metodo

Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di Archimede vi egrave

la scoperta fatta nel nostro secolo di uno dei suoi trattati piugrave importanti intitolato Il Metodo di cui si

erano perdute le tracce fin dai primi secoli dellrsquoEra cristiana fincheacute non venne riscoperto nel 1906

Qui Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini ldquomeccanicherdquo preliminari che lo

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

nel caso della quadratrice perograve essa puograve anche servire a quadrare il cerchio come mostrograve lo stesso

Archimede

Nel punto P si tracci la tangente alla spirale OPR e questa tangente intersechi nel punto Q la retta che

passa per O ed egrave perpendicolare a OP (vedi Fig 1)

Archimede mostrava mediante una dimostrazione per duplice reductio ad absurdum che il

segmento OQ (noto come la sottotangente polare relativa al punto P) era uguale in lunghezza allrsquoarco di

cerchio PS del cerchio avente come centro O e come raggio OP

Se sulla spirale si sceglie un punto P come intersezione della spirale con la retta a 90deg in coordinate

polari la sottotangente polare OQ saragrave esattamente uguale a un quarto della circonferenza del cerchio di

raggio OP Pertanto lrsquointera circonferenza puograve essere costruita prendendo quattro volte il segmento OQ e

per mezzo del teorema di Archimede si trova un triangolo di area uguale allrsquoarea del cerchio Una

semplice trasformazione geometrica permetteragrave poi di sostituire il triangolo con un quadrato Ersquo cosigrave

effettuata la quadratura del cerchio

Gran parte dellrsquoopera di Archimede egrave di natura tale che oggi verrebbe inclusa in un corso di analisi

infinitesimale ciograve egrave particolarmente vero per il trattato Sulle spirali

Si puograve analizzare la spirale di Archimede e le curve ad essa associate visitando il sito La spirale di

Archimede [35] attraverso Java (un linguaggio di programmazione progettato per eseguire operazioni

evolute indipendente dalla macchina su cui si opera) si possono manipolare i dati ed ottenere tutte le

variazioni desiderate

Quadratura della parabola Al tempo in cui scriveva Archimede le sezioni coniche erano note da quasi un secolo e tuttavia

non era stato fatto nessun progresso nel calcolo delle loro aree Ci volle Archimede per quadrare una

sezione conica ossia un segmento della parabola e lo fece nella Proposizione 17 dellrsquoopera in cui la

quadratura costituiva lrsquoobiettivo principale La dimostrazione per mezzo del solito metodo di esaustione

egrave lunga e complessa comunque Archimede riuscigrave a dimostrare rigorosamente che lrsquoarea K di un

segmento parabolico APBQC egrave uguale a quattro terzi dellrsquoarea di un triangolo avente la stessa base e

uguale altezza

Nelle successive sette (e ultime) proposizioni Archimede dava una seconda ma diversa dimostrazione

del medesimo teorema Egli dimostrava che lrsquoarea del triangolo inscritto maggiore ABC con base AC egrave

quattro volte la somma dei corrispondenti triangoli inscritti aventi come basi rispettivamente AB e BC

Continuando il processo suggerito da questa relazione risulta chiaro che lrsquoarea H del segmento

parabolico ABC egrave data dalla somma della serie infinita che egrave Archimede non parla di somma della serie

infinita percheacute ai suoi tempi i processi non finiti venivano disapprovati Ricorrendo invece a una duplice

reductio ad absurdum Archimede dimostrava che H non poteva essere neacute maggiore neacute minore di

(Archimede come i suoi predecessori non usava il termine ldquoparabolardquo ma lrsquoespressione ldquoortotomordquo

ossia ldquosezione di un cono rettordquo)

Nel preambolo alla Quadratura della parabola incontriamo lrsquoassunzione che oggi egrave comunemente noto

come lrsquoassioma di Archimede

Lrsquoeccesso per cui la maggiore di due aree disuguali supera la minore puograve se sommato a se

stesso diventare superiore a qualsiasi area finita data

Nel sito La teoria della misura da Archimede a Bonaventura Cavalieri [36] si puograve esaminare

il procedimento di dimostrazione per la quadratura della parabola

Sui conoidi e sferoidi

Nonostante Archimede non sia stato in grado di trovare lrsquoarea di un segmento qualsiasi di ellisse

o di iperbole in questo trattato riuscigrave a determinare lrsquoarea di tutta lrsquoellisse

Le aree delle ellissi sono come i rettangoli formati dai loro assi (Prop 6)

Ciograve equivale a dire che lrsquoarea di unrsquoellisse egrave uguale allrsquoarea di un cerchio il cui raggio sia la media

geometrica dei semiassi dellrsquoellisse Inoltre mostrava come trovare il volume di segmenti tagliati da un

ellissoide da un paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno allrsquoasse principale Il

processo da lui usato egrave molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di integrazione differisce

principalmente per la mancanza del concetto di limite di una funzione

Sulla sfera e sul cilindro

Archimede volle che sulla sua tomba fosse incisa la figura che rappresentava una sfera inscritta in

un cilindro circolare retto la cui altezza egrave uguale al diametro della sfera ( per maggiori dettagli si veda La

lapide di Archimede [37]) egli aveva infatti scoperto e dimostrato che il rapporto tra i volumi del

cilindro e della sfera era uguale al rapporto tra le rispettive aree cioegrave era un rapporto di tre a due Inoltre

sembra che Archimede sia stato il primo a scoprire e a dimostrare che lrsquoarea di una sfera egrave quattro volte

lrsquoarea del suo cerchio massimo e che

la superficie di una qualsiasi calotta sferica egrave uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al

segmento tracciato dal vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa

Un teorema molto importante relativo alla superficie della sfera compare nella Proposizione 33

dopo una lunga serie di teoremi preliminari riguardanti la funzione seno

Se in un segmento di cerchio LrsquoALrsquo viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati

esclusa la base siano uguali e il loro numero sia pari come LKhellipAhellipKrsquoLrsquo ove A egrave il punto di mezzo del

segmento e se si tracciano le linee BBrsquo CCrsquo hellip parallele alla base LLrsquo e congiungenti coppie di punti

angolari allora (BBrsquo+CCrsquo+hellip+LM)AM=ArsquoBBA ove M egrave il punto di mezzo di LLrsquo e AArsquo egrave il diametro

passante per M

La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34 del Libro I

Qualsiasi sfera egrave uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della

sfera e lrsquoaltezza uguale al raggio della sfera

Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario ne segue il

rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto

LrsquoArenario

In questrsquoopera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri superiori a

nella notazione moderna Egli sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i

granelli di sabbia richiesti per riempire lrsquouniverso Ciograve era in risposta allrsquoipotesi avanzata da Aristarco di

Srsquoamo che la Terra si muovesse attorno al Sole

Ersquo possibile leggere lrsquointera opera tradotta in inglese visitando il sito lrsquoArenario [38]

Il libro dei lemmi

La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica superiore

Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari In questrsquoopera per esempio

troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del calzolaio) Questo egrave la regione delimitata da tre

semicerchi che sono reciprocamente tangenti a due a due lrsquoarea in questione egrave quella che si trova

allrsquointerno del semicerchio piugrave grande e allrsquoesterno dei semicerchi piugrave piccoli Vi egrave anche un teorema su

quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione archimedea dellrsquoangolo

Il libro dei lemmi non ci egrave pervenuto nel testo originale greco ma attraverso una traduzione araba che

piugrave tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum Di fatto questrsquoopera come ci egrave pervenuta

non puograve essere genuinamente archimedea percheacute il nome di Archimede viene citato piugrave volte nel corso

del testo Nondimeno anche se questo trattato non egrave altro che una miscellanea di teoremi attribuiti ad

Archimede dagli arabi lrsquoopera nella sua sostanza egrave probabilmente autentica

Il Metodo

Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di Archimede vi egrave

la scoperta fatta nel nostro secolo di uno dei suoi trattati piugrave importanti intitolato Il Metodo di cui si

erano perdute le tracce fin dai primi secoli dellrsquoEra cristiana fincheacute non venne riscoperto nel 1906

Qui Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini ldquomeccanicherdquo preliminari che lo

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

ellissoide da un paraboloide o da un iperboloide (a due falde) di rivoluzione attorno allrsquoasse principale Il

processo da lui usato egrave molto simile a quello impiegato dal metodo moderno di integrazione differisce

principalmente per la mancanza del concetto di limite di una funzione

Sulla sfera e sul cilindro

Archimede volle che sulla sua tomba fosse incisa la figura che rappresentava una sfera inscritta in

un cilindro circolare retto la cui altezza egrave uguale al diametro della sfera ( per maggiori dettagli si veda La

lapide di Archimede [37]) egli aveva infatti scoperto e dimostrato che il rapporto tra i volumi del

cilindro e della sfera era uguale al rapporto tra le rispettive aree cioegrave era un rapporto di tre a due Inoltre

sembra che Archimede sia stato il primo a scoprire e a dimostrare che lrsquoarea di una sfera egrave quattro volte

lrsquoarea del suo cerchio massimo e che

la superficie di una qualsiasi calotta sferica egrave uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al

segmento tracciato dal vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa

Un teorema molto importante relativo alla superficie della sfera compare nella Proposizione 33

dopo una lunga serie di teoremi preliminari riguardanti la funzione seno

Se in un segmento di cerchio LrsquoALrsquo viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati

esclusa la base siano uguali e il loro numero sia pari come LKhellipAhellipKrsquoLrsquo ove A egrave il punto di mezzo del

segmento e se si tracciano le linee BBrsquo CCrsquo hellip parallele alla base LLrsquo e congiungenti coppie di punti

angolari allora (BBrsquo+CCrsquo+hellip+LM)AM=ArsquoBBA ove M egrave il punto di mezzo di LLrsquo e AArsquo egrave il diametro

passante per M

La nota formula per calcolare il volume della sfera compare nella Proposizione 34 del Libro I

Qualsiasi sfera egrave uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della

sfera e lrsquoaltezza uguale al raggio della sfera

Il teorema viene dimostrato mediante il solito metodo di esaustione e come corollario ne segue il

rapporto archimedeo fra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto

LrsquoArenario

In questrsquoopera Archimede propone un sistema numerico capace di esprimere numeri superiori a

nella notazione moderna Egli sosteneva che questo numero era sufficientemente grande per contare i

granelli di sabbia richiesti per riempire lrsquouniverso Ciograve era in risposta allrsquoipotesi avanzata da Aristarco di

Srsquoamo che la Terra si muovesse attorno al Sole

Ersquo possibile leggere lrsquointera opera tradotta in inglese visitando il sito lrsquoArenario [38]

Il libro dei lemmi

La maggior parte dei trattati di Archimede rientrano nel campo della matematica superiore

Tuttavia il matematico non disdegnava di trattare problemi elementari In questrsquoopera per esempio

troviamo uno studio del cosiddetto arbelos (coltello del calzolaio) Questo egrave la regione delimitata da tre

semicerchi che sono reciprocamente tangenti a due a due lrsquoarea in questione egrave quella che si trova

allrsquointerno del semicerchio piugrave grande e allrsquoesterno dei semicerchi piugrave piccoli Vi egrave anche un teorema su

quello che Archimede chiama salinon (saliera) e la nota trisezione archimedea dellrsquoangolo

Il libro dei lemmi non ci egrave pervenuto nel testo originale greco ma attraverso una traduzione araba che

piugrave tardi venne tradotta in latino col titolo Liber assumptorum Di fatto questrsquoopera come ci egrave pervenuta

non puograve essere genuinamente archimedea percheacute il nome di Archimede viene citato piugrave volte nel corso

del testo Nondimeno anche se questo trattato non egrave altro che una miscellanea di teoremi attribuiti ad

Archimede dagli arabi lrsquoopera nella sua sostanza egrave probabilmente autentica

Il Metodo

Fra gli aspetti curiosi della tradizione attraverso la quale ci sono giunte le opere di Archimede vi egrave

la scoperta fatta nel nostro secolo di uno dei suoi trattati piugrave importanti intitolato Il Metodo di cui si

erano perdute le tracce fin dai primi secoli dellrsquoEra cristiana fincheacute non venne riscoperto nel 1906

Qui Archimede aveva reso pubblica una descrizione delle indagini ldquomeccanicherdquo preliminari che lo

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

avevano portato a fare la maggior parte delle sue principali scoperte matematiche

Cosigrave come ci egrave pervenuto contiene la maggior parte del testo di una quindicina di proposizioni inviate

sotto forma di lettera a Eratostene matematico e bibliotecario del Museo di Alessandria Lrsquoautore

iniziava dicendo che egrave piugrave facile trovare la dimostrazione di un teorema se si ha giagrave qualche conoscenza

di ciograve che esso comporta e che egli stesso possedeva un metodo o approccio meccanico che apriva la

strada ad alcune delle sue dimostrazioni

Ci sono dei riferimenti ad altre opere di Archimede andate perdute Pappo riferisce di un lavoro

sui poliedri semiregolari e di un trattato Sulle bilance e le leve Teone menziona un trattato sugli specchi

lo stesso Archimede riferisce ne lrsquoArenario di un lavoro sul sistema numerico

Diversamente dagli Elementi di Euclide i trattati di Archimede sono pervenuti fino a noi tramite una

tradizione manoscritta molto esile quasi tutte le copie derivano da un unico originale greco che era

ancora esistente allrsquoinizio del XVI secolo e che era stato a sua volta copiato da un originale piugrave antico

risalente al IX o X secolo circa Questa poca fortuna egrave dovuta probabilmente al fatto che le opere di

Archimede non avevano un carattere didattico

I risultati di Archimede comunque sono davvero notevoli Egli egrave considerato da molti storici

della matematica come uno dei piugrave grandi matematici di tutti i tempi era in grado di usare il metodo di

esaustione che era una prima forma di integrazione per ottenere una grande quantitagrave di risultati aveva

dato unrsquoaccurata approssimazione di aveva inventato un sistema per esprimere grandi numeri in

meccanica egrave considerato il fondatore della statica e dellrsquoidrostatica

Solidi di Archimede Platone nel Timeo dialogo che influenzograve molto le concezioni cosmogoniche

dellrsquoantichitagrave descrive i solidi cosiddetti ldquoregolarirdquo poicheacute le loro facce sono formate da poligoni

regolari congruenti (cioegrave sovrapponibili esattamente) e che hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti

Ne consegue che anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza I solidi platonici sono per tanto

cinque il cubo (formato da sei quadrati) il tetraedro (formato da quattro triangoli equilateri) lrsquoottaedro

(formato da otto triangoli equilateri) il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e lrsquoicosaedro

(formato da venti triangoli equilateri) Il filosofo associavo a queste figure un v a l o r e particolarmente

importante nel Timeo associograve ad ognuno di essi un elemento al tetraedro il fuoco al cubo la terra

allrsquoottaedro lrsquoaria allrsquoicosaedro lrsquoacqua mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma

dellrsquouniverso Archimede fece progredire il sapere dei greci anche in questo campo con lo studio dei

solidi geometrici o stereometria Col suo rigoroso metodo scientifico che pur vedendo nel mondo una

tessitura geometrica rifuggiva misticisimi di sapore pitagorico studiograve i poliedri quasi perfetti come

quelli platonici In particolare il genio siracusano lavorograve sulle troncature possibili delle figure platoniche

Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici e sette di loro si ottengono troncando gli angoli dei

solidi platonici tetraedro troncato (formato da quattro triangoli e quattro esagoni) cubottaedro (formato

da otto triangoli e sei quadrati) icosidodecaedro (formato da venti triangoli e dodici pentagoni) cubo

troncato [o esaedro troncato] (formato da otto triangoli e sei ottagoni) ottaedro troncato (formato da sei

quadrati e otto esagoni) dodecaedro troncato (formato da venti triangoli e dodici decagoni) icosaedro

troncato (formato da dodici pentagoni e venti esagoni) rombicubottaedro (formato da otto triangoli e

diciotto quadrati) cubottaedro troncato (formato da dodici quadrati otto esagoni sei ottagoni)

rombicosidodecaedro (formato da venti triangoli trenta quadrati dodici p e n t a g o n i ) i c o s i d o d e

c a e d r o troncato (formato da trenta quadrati venti esagoni dodici decagoni) cubo ottusangolo o

cubottaedro ottusangolo (formato da trentadue triangoli e sei quadrati) dodecaedro ottusangolo o

icosidodecaedro ottusangolo (formato da ottanta triangoli e dodici pentagoni) Il solido piugrave popolare di

Archimede egrave senza dubbio il classico pallone da calcio una superficie quasi sferica composta da

pentagoni circondata da cinque esagoni (icosaedro troncato)

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

Lrsquoavventura dellrsquoArkimedeion

Intervista a Marco Bianucci

Marco Bianucci Primo ricercatore presso lrsquoIstituto di Scienze Marine ISMAR - CNR di La

Spezia ha seguito la realizzazione del museo di Archimede di Siracusa fin dallrsquoinizio In questa lunga

intervista racconta come si egrave giunti alla nascita del museo soffermandosi sia sugli aspetti

propriamente scientifici (che sono di piugrave diretta competenza del CNR) che su quelli legati alla parte

imprenditoriale ed istituzionale LrsquoArkimedeion egrave stato inaugurato alla fine del 2011 nella sede di

Palazzo Pupillo in piazza Archimede a Ortigia

Come egrave nato il progetto dellrsquoArkimedeion

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

laquoIl progetto dellrsquoArkimedeion risale ormai allrsquoinizio degli anni duemila quando Gaetano

Mercadante [Presidente del Gruppo Thesauron ndr] pensograve di partecipare ad un bando POR della Regione

Sicilia con un progetto finalizzato alla realizzazione di un museo dedicato al grande personaggio

Archimede a Siracusa Allora si informograve su chi in Italia come istituzione pubblica poteva fargli da

partner e vide che lrsquoInfm (Istituto Nazionale per la Fisica della Materia) aveva giagrave realizzato numerose

attivitagrave di comunicazione o divulgazione (mi riferisco a progetti come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e

complessordquo i numerosi multimediali che giravano per le scuole) E quindi contattograve lrsquoInfm appunto che

oggi non esiste piugrave ed egrave in parte accorpato al CNR Contattograve la responsabile dellrsquoorganizzazione delle

mostre scientifiche la professoressa Graziella Dondi dellrsquoUniversitagrave di Genova Quindi il progetto venne

scritto insieme da Infm e Gruppo Thesauron La parte ldquoscientificardquo del progetto la definizione degli

Exhibit dei contenuti fu a carico soprattutto dellrsquoInfm che ovviamente ne aveva le competenze e fu

costituita la societagrave Agorasophia che partecipograve al bando e che poi vinse Questa egrave la genesi Poi ci fu una

pausa abbastanza lunga ndash di qualche anno ndash dovuta al fatto che lrsquoInfm con un decreto ministeriale fu

accorpato al CNR e quindi di fatto sparigrave come riferimento giuridico Fu un periodo di limbo in cui si

cercograve di dare una definizione allrsquointerno del CNR di quello che era il vecchio Istituto nazionale di fisica

della materia Agorasophia pur essendo latitante lrsquoInfm cercograve di andare comunque avanti continuando

nella messa a punto sia dei contenuti (partendo dalle tracce che erano state scritte e dai documenti lasciati

dallrsquoInfm) sia nella definizione di tutto quello che era previsto nel bando come le opere che erano

necessarie a livello di progetto per ristrutturare Palazzo Orsi a Siracusa cioegrave il luogo che era stato

inizialmente scelto come sede del museo Dopo alcuni anni superato il periodo di transizione dellrsquoInfm

verso il CNR il dottor Mercadante avendo a cuore di non perdere lrsquoopportunitagrave importante di poter

realizzare il museo tornograve alla carica col CNR per cercare di portare a termine il progettoraquo

Puograve descriverci come si egrave svolta la vicenda che ha portato allrsquoaccorpamento dellrsquoInfm nel

CNR laquoQuella dellrsquoInfm egrave una vicenda molto particolare nella storia degli istituti di ricerca italiani

percheacute egrave nata allrsquointerno dellrsquouniversitagrave Era originariamente un consorzio interuniversitario destinato a

organizzare le attivitagrave di ricerca e la distribuzione dei fondi ed egrave stato riconosciuto come Istituto

Pubblico per la Ricerca dal 1994 LrsquoInfm fin dallrsquoinizio aveva creduto molto nellrsquoattivitagrave di

comunicazione e divulgazione nel portare fuori dai laboratori e dalle sedi accademiche la conoscenza di

quello che si fa allrsquointerno del mondo della ricerca Unrsquoattivitagrave che ha avuto subito molto successo

attorno alla quale si sono formate delle figure professionali importanti divulgatori ma anche allo stesso

tempo scienziati con la capacitagrave di comunicare delle notizie piuttosto ostiche Ecco io credo che sia stata

lrsquoesperienza in questo settore alla base della felice collaborazione che ha portato a realizzare i contenuti

del museo di Archimede Contenuti che non sono cosigrave semplici come qualcuno potrebbe pensare in

quanto Archimede egrave una figura molto piugrave complessa di quella raffigurata dallrsquoimmaginario collettivo di

una specie di Leonardo dei tempi antichi In realtagrave egrave stato un matematico che ha fatto cose di grandissima

importanza Spesso egrave considerato il matematico piugrave grande che sia mai esistito ma proprio per capire

bene la sua grandezza bisogna affrontare dei temi e degli argomenti che sono tuttrsquoaltro che immediati

richiedono un porsquo di sforzo Questa capacitagrave di comunicare in modo comprensibile e a volte anche

coinvolgente contenuti che sono di per seacute piuttosto ostici e complicati da parte di scienziati che trattano di

fisica e matematica credo sia stata preziosa per realizzare questo percorso sia espositivo sia di

comunicazione attraverso i multimedialiraquo

Quale egrave stato il contributo del CNR come si sono distribuiti i ruoli fra pubblico e privato laquoIl CNR come ho giagrave detto in un primissimo momento ha definito i contenuti e scritto proprio la

traccia di quello che doveva essere il percorso museale e il contenuto dei vari exhibit Poi questa traccia egrave

stata sviluppata da Agorasophia nel periodo in cui lrsquoInfm egrave stato assente e poi egrave stata ripresa in mano

assumendo la responsabilitagrave scientifica sulla definizione finale degli exhibit dei contenuti multimediali e

del percorso In questo egrave stato importante anche il contributo del prof Fieschi dellrsquoUniversitagrave di Parma

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

uno dei grandi promotori dellrsquoattivitagrave di divulgazione del vecchio Infm che alle conoscenze scientifiche

specialistiche unisce una vasta e profonda cultura generale La ripresa della collaborazione tra

Agorasophia e il CNR per portare avanti il progetto ldquoArchimederdquo avviene quando lrsquoInfm-CNR aveva

ormai maturato da tempo lrsquoimportante esperienza del Festival della Scienza di Genova la cui prima

edizione risale al 2003 Oggi il Festival della Scienza di Genova che ricorre intorno a novembre di ogni

anno egrave diventato uno degli eventi di comunicazione scientifica piugrave importanti drsquoEuropa La parte privata

del progetto Archimede cioegrave il socio Novamusa che fa parte del piugrave grande gruppo Thesauron ha avuto

il merito di portare avanti il progetto con forza nonostante il periodo detto di latitanza della parte

pubblica Ersquo cosigrave riuscita a consegnare allo stesso CNR del materiale abbastanza elaborato da consentire

a noi di arrivare alla stesura finale e alla realizzazione materiale degli exhibit nei tempi molto limitati che

erano a disposizione Il ruolo privato egrave stato sempre quello della concretezza con la costante

consapevolezza di quali fossero lrsquoobiettivo ed i tempi da rispettare E quindi ha avuto una parte

fondamentale nel risultato raggiunto Risultato che abbiamo oggi nonostante quello che egrave successo

relativamente al finanziamento pubblico che non egrave stato poi erogato Questrsquoultimo fatto nonostante

abbia chiaramente cambiato radicalmente le prospettive e soprattutto la definizione economica del

progetto non ha scoraggiato la parte privata la quale ha cercato unrsquoalternativa che poi ha trovato

mostrando una forte capacitagrave nel riuscire a reperire i fondi gli appoggi e creare le circostanze per

superare ostacoli che sembravano ormai insormontabiliraquo

Il vostro lavoro egrave durato diversi anni puograve raccontarci lrsquoavventura del museo di Archimede

dal punto di vista dello staff scientifico laquoIl progetto egrave stato realizzato nei tempi del previsti dal POR regionale che per noi risultarono poi

molto brevi a causa dellrsquoimpasse dovuta al periodo di accorpamento al CNR Una volta che quel progetto

POR era saltato noi del CNR non siamo stati comunque con le mani in mano ci siamo appassionati dei

contenuti e siamo diventati sostanzialmente degli esperti fra virgolette del grande matematico

siracusano Abbiamo cosigrave cominciato a collaborare con i veri esperti gli storici della matematica come

Ken Saito lo studioso giapponese o Pier Daniele Napolitani dellrsquouniversitagrave di Pisa ampliando i

contenuti che stavano diventando sempre piugrave oltre che dei contenuti di divulgazione dei contenuti

scientifici veri e propri soprattutto nella parte multimediale Sempre pensando comunque che

dovevano essere dei contenuti messi a disposizione in un museo a persone che a priori potevano non

avere nessuna competenza nel campo della matematica e delle scienze in generale La parte dei

contenuti soprattutto multimediale ha cominciato quindi a strutturarsi a piugrave livelli arricchendosi sia

nella parte piugrave interattiva e divertente caratteristica dei musei interattivi sia nella parte specialistica in

modo che anche lrsquoesperto di Archimede possa trovare in alcune sezioni di questi multimediali degli

approfondimenti delle curiositagrave o comunque dei punti di vista che possano contribuire ad arricchirne la

conoscenzaraquo

Come egrave stata concepita lrsquointerattivitagrave delle macchine da voi realizzate per lrsquoArkimedeion

Avevate dei modelli di riferimento in qualche altro museo scientifico laquoLrsquointerattivitagrave delle macchine non egrave una specifica caratteristica dellrsquoArkimedeion noi abbiamo

realizzato delle macchine facendo quello che giagrave sapevamo fare le macchine che lrsquoInfm ha realizzato da

anni per mostre come ldquoImpara giocandordquo ldquoSemplice e complessordquo e ldquoLe meraviglie della scienzardquo e cosigrave

via Mostre che hanno girato lrsquoItalia grazie al festival della scienza e altre iniziative del genere Sono

macchine tipicamente interattive dove egrave proibito non toccare E lrsquoidea egrave che ci si debba anche stupirehellip

ecco non mi piace tanto il termine ldquodivertirerdquo non egrave un parco giochi il nostro obiettivo principale egrave

sempre la comunicazione scientifica piugrave rigorosa possibile Stupire stimolare la curiositagrave stimolare

lrsquoapprofondimento della conoscenza stimolare a cambiare qualche parametro e vedere cosa succede Noi

abbiamo visto che queste mostre interattive che abbiamo portato in giro per lrsquoItalia per anni hanno avuto

sempre un enorme successo Hanno riscontrato molto piugrave successo di quello che ci si poteva aspettare

Questo dimostra che non egrave vero che la scienza non egrave interessante crsquoegrave unrsquoenorme curiositagrave intorno alla

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

scienza Forse non crsquoegrave molta offerta qualificata Possiamo quindi concludere che lrsquointerattivitagrave egrave una

componente fondamentale di tutti gli exhibit di un moderno museo interattivo una modalitagrave didattica e di

comunicazione ampiamente sondata e assodata Lrsquoesperienza consolidata dellrsquoInfm nel campo degli

exhibit interattivi egrave stata riportata nella realizzazione dellrsquoArkimedeionraquo

Qual egrave la caratteristica dellrsquointerattivitagrave dellrsquoArkimedeion laquoLrsquoinsieme del percorso museale interattivo ha una sua specificitagrave nel senso che lsquoidea era quella

che il visitatore fosse accompagnato e coinvolto grazie a un insieme di contenuti un percorso ndash appunto

ndash informativo didattico e anche ludico programmato Quindi la tipologia di animazioni e interattivitagrave di

questo museo egrave abbastanza omogenea In realtagrave non egrave un museo ndash come in altri circuiti come a La

Villette o altri musei della scienza ndash dove effettivamente si puograve andare come in un parco giochi ma egrave

piuttosto un museo dove lrsquointerattivitagrave egrave studiata per passare dei contenuti molto legati al personaggio di

Archimede cioegrave quei contenuti ampiamente sviluppati allrsquointerno dei multimediali Questo egrave stato il

percorso di partenza su cui abbiamo lavorato Poi perograve egrave possibile ricombinare gli elementi del museo

interattivo con finalitagrave completamente differenti Penso ad esempio allrsquoexhibit ldquoSolleva il mondo con una

levardquo che egrave qualcosa di poco piugrave elaborato di unrsquoaltalena per bambini Lrsquoorganizzazione di questi exhibit

potrebbe quindi essere studiata anche per un percorso piugrave leggero dove i contenuti magari possano

passare piugrave in secondo piano In ogni caso noi naturalmente come parte scientifica ci teniamo a

sottolineare lrsquoimportanza che ha allrsquointerno del museo lrsquoallestimento in tutti i suoi contenuti scientifici

dai cartelloni ai multimediali agli exhibit Credo che si stiano studiando anche utilizzazioni alternative

questo dimostra semplicemente la flessibilitagrave di questi prodottiraquo

Come lei diceva al team di esperti e studiosi che hanno contribuito alla costituzione del

museo sta giustamente molto a cuore una corretta impostazione scientifica Egrave possibile a suo

parere conciliare questo indispensabile approccio con la divulgazione rivolta ad un pubblico di

massa ed orientata allrsquoedutainment laquoLa risposta per noi egrave sigrave Io ho seguito lrsquoinizio dellrsquoattivitagrave in questo settore a partire dalla fine

degli anni Ottanta Non egrave stata unrsquoattivitagrave studiata a tavolino con unrsquooperazione di marketing con cui si

volesse arrivare a certi obiettivi per valorizzare lrsquoattivitagrave dellrsquoistituto cercando di pensare a ciograve che piugrave

poteva coinvolgere le persone Non egrave stato affatto cosigrave percheacute allrsquointerno di una comunitagrave scientifica non

crsquoegrave questa mentalitagrave Abbiamo cominciato a scrivere dei contenuti a fare degli exhibit e a provare a

comunicare queste cose a portarle in piazza E quindi portare in piazza non qualche cosa che giagrave il

pubblico conosce e che si aspetta come si fa quando si porta un grande personaggio della scienza o uno

che scrive bestseller scientifici In quel caso infatti tutti vengono percheacute lo conoscono e si vuole ascoltare

ciograve che giagrave si sa Noi invece abbiamo voluto portare in piazza delle novitagrave delle informazioni vere cosa

si sta facendo nei laboratori e negli uffici in cui si fa ricerca Egrave stata una sfida Ebbene la sfida egrave stata

vinta vinta veramente Percheacute la risposta del pubblico egrave sempre stata molto al di lagrave delle aspettative Sia

alle conferenze sia alle mostre il problema egrave sempre stato quello di gestire il numero delle presenze che

andavano oltre il programmato Questo ha comportato allrsquointerno dellrsquoInfm la nascita di una struttura

molto importante voluta fortemente da Manuela Arata allora direttore generale dellrsquoInfm in cui pian

piano si sono formati dei professionisti che erano scienziati ma avevano ormai la consuetudine

lrsquoabitudine a divulgare e lavoravano fianco a fianco coi giornalisti di scienza Ha funzionato molto bene

Percheacute andare a raccontare le cose pazze che si fanno in certi laboratori i risultati della ricerca scientifica

di punta dai sistemi complessi alle questioni teoriche semantiche ed epistemologiche della meccanica

quantistica o piuttosto della tecnologia piugrave avanzata egrave qualcosa intrinsecamente assolutamente

interessante Di questo ce ne siamo resi conto Forse manca un progetto di comunicazione e dunque un

progetto culturale intorno a contenuti di questo tipo che possa effettivamente aumentare un porsquo la

consapevolezza del cittadino medio sulle questioni scientifiche Forse manca soprattutto in Italia Percheacute

in Italia sebbene siamo pessimisti e a volte ci svalutiamo troppo rispetto agli altri paesi credo sia vero

che rispetto ai paesi piugrave avanzati manchi una programmazione volta a far crescere culturalmente la

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

popolazione civile Per rimanere ne campo della scienza manca un progetto per accrescere la

consapevolezza e la conoscenza media delle questioni scientifiche questioni che sempre di piugrave in realtagrave

permeano la vita comune dei cittadini e che spesso entrano in causa in modo rilevante nei processi

decisionali anche di grande portata Comunque sigrave la risposta lo ripeto egrave che si possono conciliare Lo

dico non dopo una digressione teorica ma proprio sulla base dellrsquoesperienzaraquo

Su un piano piugrave generale ritiene sia soddisfacente la situazione dei musei scientifici in

Italia laquoPer quanto riguarda i musei scientifici in particolare bisogna fare dei distinguo Ci sono delle

eccellenze come il Museo della scienza e della tecnologia Leonardo da Vinci di Milano la Cittagrave della

Scienza di Napoli o il Museo di storia della scienza di Firenze e mi fermo appositamente percheacute non ne

ho citati altri che pure ci sono Perograve non sono molti e alcuni soprattutto quelli legati allrsquoambito

accademico sono ancora impostati in modo inadeguato rispetto ai di un moderno museo della scienza e

questo li rende poco invitanti e di conseguenza poco visitati Attorno ai musei della scienza egrave nata una

disciplina ndash la museologia ndash che mira a studiare proprio come devono essere organizzati al meglio quali

sono gli standard piugrave efficaci per la definizione del percorso museale quale deve essere lrsquointerattivitagrave

affincheacute il coinvolgimento dei visitatori sia migliore La maggior parte dei musei italiani egrave legata

allrsquoambito accademico ndash quindi un pochino autoreferenziale ndash e spesso risulta cosigrave fuori dal giro dei

musei piugrave moderni Questo si constata nel fatto che raramente superano le centinaia di visitatori lrsquoanno o

qualche migliaio Un museo che non ha affluenza puograve essere depositario di oggetti bellissimi e avere un

valore enorme perograve risultando ldquonon visibilerdquo non fruibile di fatto al cittadino non offre il servizio che

dovrebbe e compromette anche la sua capacitagrave economica cosa che si ripercuote sulla possibilitagrave di una

buona conservazione degli oggetti e sul mantenimento del museo stesso in generale Questo vale anche

si sa per le opere drsquoarte In Italia siamo nella posizione di abbondare talmente di questa materia che

comunque il turismo nel campo dellrsquoarte egrave assicurato Nel campo della scienza bisogna darsi da fare per

tirar fuori i tesori che ci sono e migliorare lrsquoorganizzazione e la modalitagrave di comunicazione museale che

hanno queste struttureraquo

Continua ad essere sottolineato un ritardo del nostro paese nel campo della cultura

scientifica laquoSu questo tema tutti dicono tutto mentre a mio parere la situazione non puograve essere risolta con

qualche battuta Ogni paese in Europa e anche gli Stati Uniti ha i suoi problemi nel portare avanti una

classe di eccellenza nel campo delle formazione scientifica Ad esempio rendere piugrave popolare lrsquoaccesso

agli studi egrave democratico e giusto ma non sempre facilmente conciliabile con lrsquoinnalzamento del livello

medio del laureato o dellrsquoistruito Negli Stati uniti ci sono delle eccellenze perograve la media culturale non

credo assolutamente possa essere considerata superiore al livello medio europeo e forse anche italiano

Quindi il problema egrave certamente molto complesso Comunque lrsquoItalia soffre del fatto che la comunitagrave

scientifica egrave un porsquo ghettizzata Lo egrave sia percheacute viene vista come una casta sia percheacute egrave molto

autoreferenziale e quindi fa fatica a mettersi in relazione col resto della societagrave Questo lo si vede nel calo

delle iscrizioni alle materie scientifiche allrsquouniversitagrave (che perograve non egrave un problema solo italiano ma

mondiale anche se piugrave spiccato nel nostro paese) Un altro problema egrave che il tema scientifico in Italia non

egrave materia di business Egrave giusto che non lo sia in linea di principio perograve non egrave tema drsquointeresse per attivitagrave

di carattere popolare e non ha ricadute da un punto di vista economicoraquo

La scuola e lrsquouniversitagrave a suo parere svolgono efficacemente il loro ruolo di formazione

Quale sarebbe a suo parere la direzione da prendere per migliorare la situazione laquoLa scuola e lrsquouniversitagrave svolgono efficacemente la formazione data la situazione considerando i

problemi di budget e delle strutture Dal punto di vista formativo ci possiamo piangere addosso e dire che

si puograve fare molto di piugrave perograve io non credo che siamo messi peggio di altri paesi Il tema interessante da

affrontare egrave la cultura scientifica in senso un porsquo piugrave largo ovvero quale dovrebbe essere il ruolo di

queste istituzioni per realizzare quellrsquoattivitagrave di raising public awareness of science su cui lrsquoEuropa sta

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

puntando molto Alzare il livello medio della conoscenza scientifica della consapevolezza sulle

questioni scientifiche Percheacute non egrave detto che la formazione accademica degli studenti fatta anche in

modo perfetto porti poi ad un innalzamento medio generale della conoscenza scientifica del cittadino

medio Rimane inevitabilmente una formazione di nicchia tanto piugrave quanto succede quel che sta

succedendo con le facoltagrave scientifiche sempre meno affollate di studenti rispetto a quelle umanistiche Il

punto chiave egrave che come ho detto prima sia il mondo accademico che quello della ricerca in generale

sono poco connessi col resto della societagrave Poco connessi a tutti i livelli da un lato crsquoegrave la questione

economica dei finanziamenti alla ricerca che egrave molto poco in relazione con la parte produttiva della

societagrave imprenditoriale Siamo fra i paesi che risultano avere una delle quote piugrave basse dei finanziamenti

alla ricerca provenienti dai privati In Italia sono pochi i soggetti privati che investono nella ricerca

scientifica e tecnologica di punta (e questo egrave un problema per tutto il paese percheacute con la concorrenza

mondiale della globalizzazione dovremmo poter contare sullrsquoeccellenza e sulla qualitagrave scientifica e

tecnologica) Come mai il mondo imprenditoriale italiano egrave cosigrave insensibile alle attivitagrave di ricerca

Percheacute egrave vero che il mondo accademico egrave chiuso allrsquoesterno ma crsquoegrave anche poco interesse diciamo cosigrave

da parte del mondo produttivo Probabilmente egrave un cane che si morde la coda se manca la

consapevolezza di quello che si fa il public awareness of science di cui si diceva viene anche a mancare

lo stimolo lrsquointeresse la conoscenza che ti porta a cercare lrsquoinnovazioneraquo

Crsquoegrave qualche possibile rimedio a suo parere laquoPer avviare il circolo virtuoso di interesse verso le attivitagrave scientifiche e tecnologiche da parte

del resto della societagrave e nello stesso tempo promuovere lrsquooutreach la comunicazione scientifica da parte

di chi fa attivitagrave scientifica (lo chiamo virtuoso percheacute ne ha vantaggio sia la comunitagrave scientifica con

lrsquoarrivo dei fondi da parte dei privati sia il paese in generale percheacute un paese moderno puograve crescere

soltanto puntando sullo sviluppo scientifico e tecnologico) bisogna che qualcuno agisca Un soggetto

esterno che non ha un interesse immediato E questo non puograve essere che un soggetto pubblico Quindi il

governo di turno deve prendere consapevolezza di avviare delle iniziative che portino in questa

direzione Iniziative di comunicazione di divulgazione scientifica di incontro fra i diversi soggetti

(scienziati imprenditori) favorire la pubblicazione di brevetti da parte di chi fa ricerca (questo favorisce

lrsquointeresse da parte del soggetto imprenditoriale) favorire eventi di comunicazione scientifica come i

festival dove si mettono in piazza quelle che sono le ultime ricerche di punta Favorire lrsquointeresse verso

questa cultura (chiamiamola cosigrave anche se egrave inappropriata e soggetta a discussioni molto accese la

distinzione fra diverse culture) A livello europeo questa consapevolezza crsquoegrave Sono diversi anni che nei

programmi quadro dellrsquoUnione europea Science communication Science in society Science and

society sono temi rilevanti e si trovano allrsquointerno dei programmi sezioni importanti che si occupano di

questo A livello italiano questa cosa manca effettivamente ed il fatto che manchi rischia di portare ad un

circolo non virtuoso ma vizioso Nel senso che mano a mano che si perde interesse nei confronti delle

questioni di scienza la classe politica che si forma ha sempre piugrave questo gap e quindi poi egrave difficile

pensare che una classe politica che manca completamente della consapevolezza di queste questioni possa

considerarle con lrsquoimportanza dovuta e prendere le decisioni opportune secondo quanto dicevamo

prima che possano invertire il trend Crsquoegrave bisogno di una scossa in questo senso e io credo che lrsquounica

scossa possa venire soltanto da chi queste questioni le ha veramente a cuore che sono le persone che si

occupano dellrsquoattivitagrave della ricerca e dellrsquoinsegnamento Percheacute poi sono anche quelle che piugrave

direttamente e personalmente ne pagano le conseguenze Attivitagrave come i festival della scienza sono una

risposta per certi versi disperata a questa situazione che perograve fa ben sperare percheacute noi come dicevo

prima abbiamo una storia abbastanza lunga e piena di soddisfazioni di attivitagrave di questo tipo La cosa

positiva egrave che in tutti gli eventi che abbiamo organizzato (a partire da ParmaScienza gli interventi a

Bergamo Scienza il Festival della Scienza di Genova e una serie innumerevole di eventi fatti in tutta

Italia) abbiamo ottenuto una risposta del pubblico che ci ha sempre incoraggiato ad andare avanti

altrimenti diciamocelo chi ce lo avrebbe fatto farehellipraquo (Intervista a cura di Alfredo Radiconcini)

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

Archimedes3

Contents hellip Quick facts about Archimedes hellip Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an

independent Greek city-state with a 500-year history Died 212 or 211 BC in Syracuse when it was being

sacked by a Roman army He was killed by a Roman soldier who did not know who he was Education

Probably studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an

astronomer named Phidias and he was probably related to Hieron II the king of Syracuse It is not known

whether he was married or had any children Inventions Many war machines used in the defense of

Syracuse compound pulley systems planetarium water screw (possibly) water organ (possibly)

burning mirrors (very unlikely)

Fields of Science Initiated Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the

volume or density of an object) He is called the ldquofather of integral calculusrdquo and also the ldquofather of

mathematical physicsrdquo Major

Writings On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On

conoids and spheroids On floating bodies Measurement of a circle The Sandreckoner On the method

of mechanical problems

Place in History Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity and one of

the three greatest mathematicians of all time (together with Isaac Newton (English 1643-1727) and Carl

3 mathnyuedu

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

Friedrich Gauss (German 1777-1855)) A statue in the National Archaeological Museum of Naples

(Naples Italy) widely claimed to represent Archimedes It actually is a bust of Archidamos III a

fourth-century BC king of Sparta

About this site hellip This site is a virtual book about Archimedes who is widely regarded as the greatest

mathematician and scientist in antiquity Here I have compiled knowledge about Archimedesrsquo

inventions the numerous fields of science and mathematics he created discussions of many of his

finished worksmdashand my own research that extends and applies Archimedean principles to 21st century

problems I created this site in 1995 and it has been under continual development and expansion since

then Chris Rorres

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

ARCHIMEDES AND THE QUEST FOR THE

THEORY OF EVERYTHING 4

A one-hour talk given in 2009 by the Webmaster of this site at the Beckman Center in Irving California

as part of the Distinctive Voices program of the National Academy of Sciences of the United States The

talk describes Archimedesrsquo formative role in our quest for a Theory of Everything and where that quest

remains today bull View the talk on YouTube

bull View the talk at the Beckman Center site

4 mathnyuedu bull Archive

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

Death of Archimedes (Sources)

Anonymous (Legendary last words of Archimedes) GREEK Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε

LATIN Noli turbare circulos meos ENGLISH Donrsquot disturb my circles The city was turned over to the

troops to pillage as they pleased after guards had been set at the houses of the exiles who had been in the

Roman lines Many brutalities were committed in hot blood and the greed of gain and it is on record that

Archimedes while intent upon figures which he had traced in the dust and regardless of the hideous

uproar of an army let loose to ravage and despoil a captured city was killed by a soldier who did not

know who he was Marcellus was distressed by this he had him properly buried and his relatives inquired

formdashto whom the name and memory of Archimedes were an honour Urbs diripienda militi data est

custodibus divisis per domos eorum qui intra praesidia Romana fuerant Cum multa irae multa avaritiae

foeda exempla ederentur Archimeden memoriae proditum est in tanto tumultu quantum captae terror

urbis in discursu diripientium militum ciere poterat intentum formis quas in pulvere descripserat ab

ignaro milite quis esset interfectum aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam et

propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse bull English translation by

Aubrey de Selincourt in Penguin Books New York 1965 Page 338 Valerius Maximus (c 20 BC-c

AD 50 ) Book VIII7ext 7 I should say that Archimedesrsquo diligence also bore fruit if it had not both

given him life and taken it away At the capture of Syracuse Marcellus had been aware that his victory

had been held up much and long by Archimedesrsquo machines However pleased with the manrsquos

exceptional skill he gave out that his life was to be spared putting almost as much glory in saving

Archimedes as in crushing Syracuse But as Archimedes was drawing diagrams with mind and eyes fixed

on the ground a soldier who had broken into the house in quest of loot with sword drawn over his head

asked him who he was Too much absorbed in tracking down his objective Archimedes could not give

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

his name but said protecting the dust with his hands ldquoI beg you donrsquot disturb thisrdquo and was slaughtered

as neglectful of the victorrsquos command with his blood he confused the lines of his art So it fell out that he

was first granted his life and then stripped of it by reason of the same pursuit

Archimedis quoque fructuosam industriam fuisse dicerem nisi eadem illi et dedisset uitam et abstulisset

captis enim Syracusis Marcellus machinationibus eius multum ac diu uictoriam suam inhibitam

senserat eximia tamen hominis prudentia delectatus ut capiti illius parceretur edixit paene tantum

gloriae in Archimede seruato quantum in oppressis Syracusis reponens at is dum animo et oculis in

terra defixis formas describit militi qui praedandi gratia domum inruperat strictoque super caput

gladio quisnam esset interrogabat propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen

suum indicare non potuit sed protecto manibus puluere lsquonolirsquo inquit lsquoobsecro istum disturbarersquo ac

perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit quo

accidit ut propter idem studium modo donaretur uita modo spoliaretur

bull English translation by D R Shakleton Bailey in Valerius Maximus Memorable Doings and Sayings

Volume II Books 6-9 Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 2000

But nothing afflicted Marcellus so much as the death of Archimedes who was then as fate would have it

intent upon working out some problem by a diagram and having fixed his mind alike and his eyes upon

the subject of his speculation he never noticed the incursion of the Romans nor that the city was taken

In this transport of study and contemplation a soldier unexpectedly coming up to him commanded him

to follow to Marcellus which he declining to do before he had worked out his problem to a

demonstration the soldier enraged drew his sword and ran him through Others write that a Roman

soldier running upon him with a drawn sword offered to kill him and that Archimedes looking back

earnestly besought him to hold his hand a little while that he might not leave what he was then at work

upon inconclusive and imperfect but the soldier nothing moved by his entreaty instantly killed him

Others again relate that as Archimedes was carrying to Marcellus mathematical instruments dials

spheres and angles by which the magnitude of the sun might be measured to the sight some soldiers

seeing him and thinking that he carried gold in a vessel slew him Certain it is that his death was very

afflicting to Marcellus and that Marcellus ever after regarded him that killed him as a murderer and that

he sought for his kindred and honoured them with signal favours Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος

ἠνίασε Μάρκελλον ἔτυχε μὲν γὰρ αὐτός τι καθ᾽ ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος˙ καὶ τῇ θεωρίᾳ

δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν πρόσοψιν οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν lsquoΡωμαίων οὐδὲ τὴν

ἅλωσιν τῆς πόλεως ἄφνω δὲ ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον

οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ὁ δὲ ὀργισθεὶς καὶ

σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν ἕτεροι μὲν οὖν λέγουσιν ἐπιστῆναι μέν εὐθὺς ὡς ἀποκτενοῦντα

ξιφήρη τὸν lsquoΡωμαῖον ἐκεῖνον δ᾽ ἰδόντα δείσθαι καὶ ἀντιβολείν ἀναμεῖναι βραχὺν χρόνον ὡς μὴ

καταλίπῃ τὸ ζητούμενον ἀτελὲς καὶ ἀθεώρητον τὸν δὲ οὐ φροντίσαντα διαχρήσασθαι καὶ τρίτος ἐστὶ

λόγος ὡς κομίζοντι πρὸς Μάρκελλον αὐτῷ τῶν μαθηματικῶν ὀργάνων σκιόθηρα καὶ σφαίρας καὶ

γωνίας αἷς ἐναρμόττει τὸ τοῦ ἡλίου μέγεθος πρὸς τὴν ὄψιν στρατιῶται περιτυχόντες καὶ χρυσίον ἐν τῷ

τεύχει δόξαντες φέρειν ἀπέκτειναν ὅτι μέντοι Μάρκελλος ἤλγησε καὶ τὸν αὐτόχειρα τοῦ ἀνδρὸς

ἀπεστράφη καθάπερ ἐναγῆ τοὺς δὲ οἰκείους ἀνευρὼν ἐτίμησεν ὁμολογεῖται bull English translation by

John Dryden (1631-1700)

bull Greek text edited by Bernadotte Perrin in Volume V Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons

New York 1917 (see pages 486-7) Whether as Diodorus asserts Syracuse was betrayed and the citizens

went in a body to Marcellus or as Dion tells it was plundered by the Romans while the citizens were

keeping a night festival to Artemis he [Archimedes] died in this fashion at the hands of one of the

Romans He was stooping down drawing some diagram in mechanics when a Roman came up and

began to drag him away to take him prisoner But he being wholly intent at the time on the diagram and

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

not perceiving who was tugging at him said to the man ldquoStand away fellow from my diagramrdquo As the

man continued pulling he turned round and realizing that he was a Roman he cried ldquoSomebody give

me one of my enginesrdquo But the Roman scared straightway slew him a feeble old man but wonderful in

his works Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀθρόως

γενομένης Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα lsquoΡωμαίοις πορθηθείσης Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέθνηκεν ὑπό τινος lsquoΡωμαίου Ἦν κεκυφώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων Τὶς δὲ

lsquoΡωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε Τίς ὁ καθέλκων οὐκ

εἰδώς ἔλεγε πρὸς ἐκεῖωον˙ Ἀπόστηθι ὦ ἄνθρωπε τοῦ διαγράμματός μου Ὡς δ᾽ εἷλκε τοῦτον

συστραφεὶς καὶ γνοὺς lsquoΡωμαῖον εἶναι Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω Ὁ δὲ lsquoΡωμαῖος

πτοηθεὶς εὐθὺς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαθρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

bull English translation by Ivor Thomas in Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge

1941

bull Greek text edited by T Kiessling in Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades Leipzig 1826

(see page 46) The Romans when they became master of these districts [of Syracuse] killed many

persons among them Archimedes He was constructing some figure or other and hearing that the enemy

were at hand exclaimed ldquoLet them come at my head but not at my linerdquo When a hostile warrior

confronted him he was little disturbed and called out ldquoFellow stand away from my linerdquo This

exasperated the man and he struck him down ἐγκρατεῖς δὲ τούτων οἱ Ρωμαῖοι γενόμενοι ὰλλους τε

πολλοὺς καὶ τὸν Αρχιμήδην ἀπέκτειναν διάγραμμα γάρ τι διαγράφων καὶ ἀκούσας τοὺς πολεμίους

ἐφίστασθαι πὰρ κεφαλάν εὰφη καὶ μὴ παρὰ γραμμάν ἐπιστάντος δὲ αὐτῷ πολεμίου βραχύ τε ἐφρόντισε

καὶ εἰπών ἀπόστηθι ὰνθρωπε ἀπὸ τῆς γραμμῆς παρώξυνέ τε αὐτὸν καὶ κατεκόπη bull English translation

by Earnest Cary in Diorsquos Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXV Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1914 Cicero (106 BC-43 BC) Against Verres

II4131 bull English translation by C D Yonge in Harper amp Brothers New York 1889 () bull English

translation by Raphael Woolf in edited by Jula Annas Cambridge University Press Cambridge UK

2001 bull English translation by in Cambridge 1942

Tomb of Archimedes5 (Sources)

And although he made many excellent discoveries he is said to have asked his kinsmen and friends to

place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere with an inscription giving

the proportion by which the containing solid exceeds the contained Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς

5 mathnyuedu

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ

τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ

περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον In his work On the Sphere and Cylinder Archimedes proved

that the ratio of the volume of a sphere to the volume of the cylinder that contains it is 23 In that same

work he also proved that the ratio of the surface area of a sphere to the surface area of the cylinder that

contains it together with its circular ends is also 23 Because expressions for the volume and

surface area of a cylinder were known before his time Archimedesrsquorsquo results established the first exact

expressions for the volume and surface area of a sphere

bull English translation and Greek text edited by Bernadotte Perrin in Plutarchrsquos Lives Volume V The

Loeb Classical Library G P Putnamrsquos Sons New York 1917 (see pages 480-1)

John Tzetzes (circa twelfth century AD) Book of Histories (Chiliades) Book II Lines 145-147 Marcellus straightway mourned on learning this [Archimedesrsquo death] and buried him with splendour in

his ancestral tomb assisted by the noblest citizens and all the Romans Ἐθρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο

μαθὼν εὐθέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἔν τάφοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς lsquoΡωμαίοις πᾶσι˙ bull English translation by Earnest Cary in Diorsquos

Roman History Volume II Fragments of Books XII-XXXV The Loeb Classical Library Harvard

University Press Cambridge 1914

bull Greek text from Ioannis TzeTzae Historiarum Variarum Chiliades edited by T Kiessling Leipzig

1826 (see page 46) But from Dionysiusrsquos own city of Syracuse I will summon up from the dustmdashwhere

his measuring rod once traced its linesmdashan obscure little man who lived many years later Archimedes

When I was questor in Sicily [in 75 BC 137 years after the death of Archimedes] I managed to track

down his grave The Syracusians knew nothing about it and indeed denied that any such thing existed

But there it was completely surrounded and hidden by bushes of brambles and thorns I remembered

having heard of some simple lines of verse which had been inscribed on his tomb referring to a sphere

and cylinder modelled in stone on top of the grave And so I took a good look round all the numerous

tombs that stand beside the Agrigentine Gate Finally I noted a little column just visible above the scrub

it was surmounted by a sphere and a cylinder I immediately said to the Syracusans some of whose

leading citizens were with me at the time that I believed this was the very object I had been looking for

Men were sent in with sickles to clear the site and when a path to the monument had been opened we

walked right up to it And the verses were still visible though approximately the second half of each line

had been worn away Non ego iam cum huius vita qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil

possum Platonis aut Archytae vitam comparabo doctorum hominum et plane sapientium ex eadem urbe

humilem homunculum a pulvere et radio excitabo qui multis annis post fuit Archimedem Cuius ego

quaestor ignoratum ab Syracusanis cum esse omnino negarent saeptum undique et vestitum vepribus et

dumetis indagavi sepulcrum Tenebam enim quosdam senariolos quos in eius monumento esse

inscriptos acceperam qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro Ego

autem cum omnia conlustrarem oculismdashest enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum

- animum adverti columellam non multum e dumis eminentem in qua inerat sphaerae figura et cylindri

Atque ego statim Syracusanismdasherant autem principes mecummdashdixi me illud ipsum arbitrari esse quod

quaererem lnmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum Quo cum patefactus esset aditus

ad adversam basim accessimus Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum

dimidiatum fere So one of the most famous cities in the Greek world and in former days a great centre of

learning as well would have remained in total ignorance of the tomb of the most brilliant citizen it had

ever produced had a man from Arpinum not come and pointed it out Ita nobilissima Graeciae civitas

quondam vero etiam doctissima sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset nisi ab homine

Arpinate didicisset bull Translation by Michael Grant in Penguin Books New York 1971 Pages 86-87

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

Simmons George F Calculus Gems McGraw-Hill Inc New York 1992 (see page 38) The

Romans were so uninterested in mathematics that Cicerorsquos act of respect in cleaning up Archimedesrsquo

grave was perhaps the most memorable contribution of any Roman to the history of mathematics Cicero

himself lends credence to Simmonsrsquo assessment when he writes ( Book I Section 5) Among them [the

Greeks] geometry was held in highest honor nothing was more glorious than mathematics But we [the

Romans] have limited the usefulness of this art to measuring and calculating In summo apud illos honore

geometria fuit itaque nihil mathematicis inlustrius at nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis

terminavimus modum (Book Eighth The Parsonage lines 220-230) mdashCall Archimedes from his buried

tomb Upon the plain of vanished Syracuse And feelingly the Sage shall make report How insecure how

baseless in itself Is the Philosophy whose sway depends On mere material instrumentsmdashhow weak

Those arts and high inventions if unpropped By virtuemdashHe sighing with pensive grief Amid his calm

abstractions would admit That not the slender privilege is theirs To save themselves from blank

forgetfulness

Archimedes Screw (Optimal Design)6

Below is the beginning of a recent article written by the Webmaster of this site (Chris Rorres) that

appeared in the Journal of Hydraulic Engineering published by the American Society of Civil Engineers

The article is a technical discussion of the optimal design of an Archimedes screw An overview of this

article can be found in Ivars Petersonrsquos online column Math Trek of January 22 2000

ASCE Journal of Hydraulic Engineering Volume 126 Number 1 January 2000 pp 72-80

THE TURN OF THE SCREW

6 mathnyuedu

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

OPTIMAL DESIGN OF AN ARCHIMEDES SCREW By Chris Rorres

ABSTRACT The geometry of an Archimedes screw is governed by certain external parameters (its

outer radius length and slope) and certain internal parameters (its inner radius number of blades and

the pitch of the blades) The external parameters are usually determined by the location of the screw and

how much water is to be lifted The internal parameters however are free to be chosen to optimize the

performance of the screw In this paper the inner radius and pitch that maximize the volume of water

lifted in one turn of the screw are found The optimal parameter values found are compared with the

values used in a screw described by the Roman architect and engineer Vitruvius in the first century BC

and with values used in the design of modern Archimedes screws

FIG 2

Profile of a Three-Bladed Archimedes Screw

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

FIG 2 Graph of the Volume-per-Turn Ratio versus the Radius Ratio and the Pitch Ratio for an

8-Bladed Screw

INTRODUCTION One of the oldest machines still in use is the Archimedes screw a device for

lifting water for irrigation and drainage purposes Its invention has traditionally been credited to

Archimedes (circa 287-212 BC) For example Diodorus Siculus (Greek historian circa first century

BC) writes

men easily irrigate the whole of it [an island in the delta of the Nile] by means of a certain instrument

conceived by Archimedes of Syracuse and which gets its name [cochlias] because it has the form of a

spiral or screw And from Athenaeus of Naucratis (Greek historian circa AD 200) The bilge-water [of

the ship Syracusia] even when it became very deep could easily be pumped out by one man with the aid

of the screw an invention of Archimedes (See references under Diodorus Siculus and Athenaeus of

Naucratis) Archimedes however made no reference to it in his extant works [cf Heath (1897) and

Dijksterhuis (1938)] and it may be that he simply transmitted its knowledge from Egypt (where it is

believed he studied in Alexandria under the students of Euclid) to Syracuse (his native city in Sicily) On

the other hand in defense of Archimedes no mention of the device exists before his time its design

involves the type of geometry in which he excelled and his abilities as an inventor of mechanical and

military machines are well documented The Roman engineer and architect Vitruvius gave a

detailed and informative description of the construction of an Archimedes screw in his De Architectura

written in the first century BC (See reference under Vitruvius) Vitruviusrsquos description contributed

greatly to keeping the device well known throughout the ages and the particular screw he described will

be used throughout this paper as a test case

(End of excerpt)

Archimedean Solids (Pappus)

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

ldquo hellip the second [is contained] by twelve pentagons and twenty hexagonsrdquomdashPAPPUS

Below is the Greek text and an English translation from the fifth book of the ldquoSynagogerdquo or ldquoCollectionrdquo

of the Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the beginning of the fourth century AD

This book gives the first known mention of the thirteen ldquoArchimedean solidsrdquo which Pappus lists and

attributes to Archimedes However Archimedes makes no mention of these solids in any of his extant

works The earliest surviving manuscript of Pappusrsquos ldquoCollectionrdquo is located in the Vatican

Library and dates from the tenth century (Codex Vaticanus Graecus 218) A photograph of a pair of

pages from this manuscript can be downloaded from a Web site of the Library of Congress Vatican

Exhibit

Johannes Kepler (1571-1630) was the next to write about the Archimedean solids collectively in

his book Harmonices Mundi although some of the solids were separately rediscovered and discussed by

others Kepler sharpened Pappusrsquos somewhat loose definition of the solids and gave a proof that there

are precisely thirteen of them (Book II ldquoDe Congruentia Figurarum Harmonicarumrdquo Proposition

XXVIII pages 61-65) He also provided the first known illustration of them as a set (see pages 62 amp 64)

and gave them their modern names which are reproduced below Other representations and properties

of these solids can be found at Wikipedia and a site maintained by Tom Gettys

Pappusrsquos narration begins

Although many solid figures having all kinds of surfaces can be conceived those which appear to be

regularly formed are most deserving of attention Those include not only the five figures found in the

godlike Plato that is the tetrahedron and the cube the octahedron and the dodecahedron and fifthly the

icosahedron but also the solids thirteen in number which were discovered by Archimedes and are

contained by equilateral and equiangular but not similar polygons Πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν

στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα μᾶλλον δ᾽ ἄν τις ἀξιώσειε λόγον τὰ τετάχθαι δοκοῦντα

Ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ

ἑξάεδρον ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους

εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων

περιεχόμενα Truncated Tetrahedron The first is a figure of eight bases being contained by four triangles

and four hexagons Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δ´ καὶ ἑξαγώνων δ´

Cuboctahedron After this come three figures of fourteen bases the first contained by eight triangles and

six squares Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η´ καὶ

τετραγώνοις ϛ᾽ Truncated Octahedron the second by six squares and eight hexagons τὸ δὲ δεύτερον

τετραγώνοις ϛ´ καὶ ἑξαγώνοις ηacute Truncated Cube and the third by eight triangles and six octagons το δὲ

τρίτον τριγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Rhombicuboctahedron After these come two figures of

twenty-six bases the first contained by eight triangles and

eighteen squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο

ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηacute καὶ τετραγὠνοις ιηacute

Truncated Cuboctahedron the second by twelve squares eight

hexagons and six octagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβacute

έξαγώνοις η´ καὶ ὀκταγώνοις ϛacute Icosidodecahedron After these

come three figures of thirty-two bases the first contained by

twenty triangles and twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία ὧν τὸ μὲν

πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´

Truncated Icosahedron the second by twelve pentagons and

twenty hexagons τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ´ καὶ ἑξαγώνοις

κacute Truncated Dodecahedron and the third by twenty triangles

and twelve decagons τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Cube After these comes one figure of thirty-eight

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

bases being contained by thirty-two triangles and six squares Μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν

ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ´ καὶ τετραγώνων ϛacute Rhombicosidodecahedron

After this come two figures of sixty-two bases the first contained by twenty triangles thirty squares and

twelve pentagons Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις

κ´ καὶ τετραγώνοις λ´ καὶ πενταγώνοις ιβ´ Truncated Icosidodecahedron the second by thirty squares

twenty hexagons and twelve decagons τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ´ καὶ ἑξαγώνοις κ´ καὶ δεκαγώνοις

ιβacute Snub Dodecahedron

After these there comes lastly a figure of ninety-two bases which is contained by eighty triangles and

twelve pentagons

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον ὃ περιέχεται τριγώνοις π´ καὶ πενταγώνοις

ιβacute bull Enlish translation by Ivor Thomas in Greek Mathematical Works Volume II Loeb Classical

Library Harvard University Press Cambridge 1941 pages 195-197 bull Greek text from Pappus

Collection edited by Frederick Hultsch Volume I Berlin 1876 (see pages 352 amp 354)

bull See the following articles for the rediscovery of the Archimedean solids during the Renaissance

ldquoRediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci

Albrecht Duumlrer Daniele Barbaro and Johannes Keplerrdquo by J V Field Archive for History of Exact

Sciences Volume 50 (1997) pages 241-289 ldquoNew light on the rediscovery of the Archimedean

solids during the Renaissancerdquo by Peter Schreiber Gisela Fischer and Maria Luise Sternath Archive for

History of Exact Sciences Volume 62

(2008) pages 457-467

bull As the illustration in the

upper-lefthand corner of this page

shows a soccer ball has the rounded

shape of one of the Archimedean solids

the The celebrated molecule known as

the also has this shape consisting of

sixty carbon atoms located at each of

the sixty vertices of the solid Named

after who used the shape in his

architectural designs perhaps a more

appropriate name for this molecule is

the

Spheres and Planetaria 7(Introduction)

I N T R O D U C T I O N

An orrery of John Rowley

Detail of an engraving from The

Universal Magazine (1749) A

planetarium driven by a figure

representing the Greek astronomer

Ptolemy Engraving by Seacutebastien Le

Clerc of an armillary sphere (1676)

7 mathnyuedu

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

Reconstruction of the Antikythera mechanism Derek De Solla Price (1922-83)

In the first century BC Cicero wrote of two ldquospheresrdquo built by Archimedes that Marcellus the Roman

consul who conquered Syracuse in 212 BC looted from Syracuse and brought to Rome One was a solid

sphere on which were engraved or painted the stars and constellations which Marcellus placed in the

Temple of Virtue Such celestial globes predate Archimedes by several hundred years and Cicero credits

the famed geometers Thales and Eudoxos with first constructing them The second sphere which

Marcellus kept for himself was much more ingenious and original It was a planetarium a mechanical

model which shows the motions of the sun moon and planets as viewed from the earth Cicero writes

that Archimedes must have been ldquoendowed with greater genius that one would imagine it possible for a

human being to possessrdquo to be able to build such an unprecedented device Many other ancient

writers also refer to Archimedesrsquo planetarium in prose and in verse Several viewed it as proof that the

cosmos must have had a divine creator for just as Archimedesrsquo planetarium required a creator so then

must the cosmos itself have required a creator Cicero reverses the argument to contend that since the

cosmos had a divine creator so then must Archimedes be divine to be able to imitate its motions

The Greek mathematician Pappus of Alexandria who lived in the fourth century AD writes that

Archimedes wrote a now-lost manuscript entitled On Sphere-making Pappus also states that it was the

only manuscript that Archimedes wrote on ldquopracticalrdquo matters

No physical trace of Archimedesrsquo planetarium survives Cicero refers to it as a ldquobronze

contrivancerdquo while Claudian describes it as ldquoa sphere of glassrdquo The 1752 engraving of Rowleyrsquos orrery

suggests how Archimedesrsquo planetarium might have looked On this orrery the sun moon and planets

revolve along a flat surface driven underneath by a hidden gearworks Spherical bands surrounding the

flat surface represent the celestial equator the arctic circle a movable horizon and the ecliptic marked

with the zodiacal signs

In 1900 a shipwreck discovered off the shore of the Greek island of Antikythera uncovered an

unexpected treasure The ship dated from the first century BC and was sailing from the Greek island of

Rhodes Amidst its cargo was a complicated gearworks in a deteriorated state about the size of a cigar

box The device now called the Antikythera mechanism was analyzed by Derek De Solla Price of Yale

University who concluded that it was an ancient planetarium in which the positions of the heavenly

bodies were indicated by dials on the face of the device The gearworks are about as complicated as those

in a modern mechanical clock and represent the earliest physical evidence of an advanced metallic

mechanism Price gives evidence that this mechanism was in the Archimedean tradition and strongly

suggests that Archimedesrsquo planetarium was its forerunner A complete presentation of Pricersquos research

can be found in

Gears from the Greeks

The Antikythera Mechanism-A Calendar Computer from ca 80 BC

by Derek De Solla Price

Science History Publications New York 1975 Originally published in

Transaction of The American Philosophical Society

New Series Volume 64 Part 7 (1974)

DEFINITIONS

Celestial globe A sphere on which the stars constellations and various astronomical circles are drawn

Celestial globes probably predate terrestrial globes They are usually mounted in harnesses that allow

them to rotate and be tilted to different latitudes Planetarium A geocentric model of the solar system

that shows the positions of the sun moon and planets as viewed from the earth at various times The

positions of the heavenly bodies may be indicated by individual dials as with the Antikythera

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

mechanism or through the relative positions of small spheres representing the bodies as with

Archimedesrsquo planetarium Modern planetaria project images of the heavenly bodies onto a large

hemisphere in whose interior observers are situated Orrery A heliocentric model of the solar system in

which the planets move about a stationary sun through a clockwork mechanism Complicated ones can

also show the motions of the moons around the various planets and the motion of the rings of Saturn

Named in honor of Charles Boyle the fourth earl of Orrery who purchased one of the first such devices

built by John Rowley in the early eighteenth century Armillary sphere A skeletal sphere formed from

circular bands that denote the celestial equator ecliptic tropics and arctic and antarctic circles Usually a

ball representing the earth is placed in its center It is used to demonstrate the motion of the stars about the

earth mathnyuedu bull Archive bull Like amp Archive bull Like

Spheres and Planetaria (Sources)

Cicero (106-43 BC) De Re Publica Book I Sections 21-22 (In this passage Cicero writes of a discussion that takes place in 129 BC among a group of learned

Romans One of them relates an incident in 166 BC in which a Roman consul Gaius Sulpicius Gallus is

at the home of Marcus Marcellus the grandson of the Marcellus who conquered Syracuse in 212 BC) hellip

he [Gallus] ordered the celestial globe to be brought out which the grandfather of Marcellus had carried

off from Syracuse when that very rich and beautiful city was taken though he took home with him

nothing else out of the great store of booty captured Though I had heard this globe mentioned quite

frequently on account of the fame of Archimedes when I actually saw it I did not particularly admire it

for that other celestial globe also constructed by Archimedes which the same Marcellus placed in the

temple of Virtue is more beautiful as well as more widely known among the people But when Gallus

began to give a very learned explanation of the device I concluded that the famous Sicilian had been

endowed with greater genius that one would imagine it possible for a human being to possess For Gallus

told us that the other kind of celestial globe which was solid and contained no hollow space was a very

early invention the first one of that kind having been constructed by Thales of Miletus and later marked

by Eudoxus of Cnidus (a disciple of Plato it was claimed) with the constellations and stars which are

fixed in the sky He also said that many years later Aratus borrowing this whole arrangement and plan

from Eudoxus had described it in verse without any knowledge of astronomy but with considerable

poetic talent But this newer kind of globe he said on which were delineated the motions of the sun and

moon and of those five stars which are called wanderers [the five visible planets] or as we might say

rovers contained more than could be shown on the solid globe and the invention of Archimedes

deserved special admiration because he had thought out a way to represent accurately by a single device

for turning the globe those various and divergent movements with their different rates of speed And

when Gallus moved the globe it was actually true that the moon was always as many revolutions behind

the sun on the bronze contrivance as would agree with the number of days it was behind in the sky Thus

the same eclipse of the sun happened on the globe as would actually happen and the moon came to the

point where the shadow of the earth was at the very time when the sun out of the region hellip

(Translation by Clinton W Keyes in Cicero De Re Publica De Legibus Loeb Classical Library

Harvard University Press Cambridge 1928) Cicero (106-43 BC) Tusculan Disputations Book I

Section XXV(63) For when Archimedes fastened on a globe the movements of moon sun and five

wandering stars he just like Platorsquos God who built the world in the Timaeus made one revolution of the

sphere control several movements utterly unlike in slowness and speed Now if in this world of ours

phenomena cannot take place without the act of God neither could Archimedes have reproduced the

same movements upon a globe without divine genius (Translation by J E King in Cicero Tusculan

Disputations Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1927) Ovid (43 BC - AD

17 or 18 ) Fasti Book VI Lines 277-279 There stands a globe [in the Hall of Vesta] hung by Syracusan

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

art in closed air a small image of the vast vault of heaven hellip (Translation by James G Frazer in Ovid

Fasti Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1931) Lactantius (fourth century

AD) The Divine Institutes Book II Chapter 5 Was Archimedes of Sicily able to contrive a likeness

and representation of the universe in hollow brass in which he so arranged the sun and moon that they

effected as it were every day motions unequal and resembling the revolutions of the heavens and that

sphere while it revolved exhibited not only the approaches and withdrawings of the sun or the increase

and waning of the moon but also the unequal courses of the stars whether fixed or wandering Was it

then impossible for God to plan and create the originals when the skill of man was able to represent them

by imitation Would the Stoic therefore if he should have seen the figures of the stars painted and

fashioned in that brass say that they moved by their own design and not by the genius of the artificer

Claudian (AD 370-404) Shorter Poems ldquoArchimedesrsquo sphererdquo When Jove looked down and saw

the heavens figured in a sphere of glass he laughed and said to the other gods ldquoHas the power of mortal

effort gone so far Is my handiwork now mimicked in a fragile globe An old man of Syracuse has

imitated on earth the laws of the heavens the order of nature and the ordinances of the gods Some

hidden influence within the sphere directs the various courses of the stars and actuates the lifelike mass

with definite motions A false zodiac runs through a year of its own and a toy moon waxes and wanes

month by month Now bold invention rejoices to make its own heaven revolve and sets the stars in

motion by human wit Why should I take umbrage at harmless Salmoneus and his mock thunder Here

the feeble hand of man has proved Naturersquos rivalrdquo (Translation by M Platnauer in Claudian Volume II

Loeb Classical Library Harvard University Press Cambridge 1922) Marsilio Ficino (1433-1499)

Platonic Theology Book XIII Chapter 3 Archimedes of Syracuse made a heaven of brass in which all

the movements of the seven planets could be truly performed as in the heavens and the whole thing

moved like the heavenshellip Thus man imitates all the works of the divine nature and perfects corrects

and improves the works of the lower nature One point above all should be noted that not every man can

understand how and in what manner the skillful work of a clever artisan is constructed but only he who

possesses a like artistic genius Certainly no one could understand how Archimedes constructed his

brazen spheres and gave them motions like the heavenly motions unless he were endowed with a similar

genius (Translation by Josephine L Burroughs in Journal of the History of Ideas Volume 5 Number 2

(April 1944) Pages 227-242) Proclus (AD 410-485) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos

Elements Book I Chapter XIII Under mechanics also falls the science of equilibrium in general and

the study of the so-called center of gravity as well as the art of making spheres imitating the revolutions

of the heavens such as was cultivated by Archimedes and in general every art concerned with the

moving of material things (Translation by Glenn R Morrow (1895-1976) in Proclus A Commentary on

the First Book of Euclidrsquos Elements Princeton University Press Princeton 1970 Page 34)

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

Archimedes Crater

The two large dark circular regions are the Mare Imbrium (Sea of Showers) on the left and the smaller

Mare Serenitatis (Sea of Serenity) on the right Archimedes Crater is at the center of the yellow square

Archimedes Crater and the locations of the Luna 2 and Apollo 15 landing sites

View of Archimedes Crater as seen from the Apollo 15 command module at a range of 140 kilometers

Enlarged View 104 kilobytes 720 x 639 pixels

The lunar crater Archimedes is 82 kilometers (50 miles) wide and is located at 297o North 40

o

West Its two smaller companion craters are Aristillus and Autolycus named after two Greek astronomers

of the third century BC It is the largest crater inside the Mare Imbrium (Sea of Showers) which is

outlined along the southeast by the Apennine Mountains The crater floor is filled with smooth mare

material and its ejecta blanket which forms the Montes Archimedes is below it Several long fissures

emanating from its southern rim and proceeding southeast are known as the Rimae Archimedes

Luna 2

The closest man-made object to Archimedes Crater is Luna 2 which is also the first man-made

object to land on the moon Luna 2 was the second of a series of spacecraft launched by the Soviet Union

to explore the moon Its 390-kilogram instrument package crashed on the surface of the moon on

September 14 1959 between the Archimedes and Autolycus Craters at roughly 0o longitude 291

o North

latitude

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml

More information on the Luna 2 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovnmcspacecraftDisplaydoid=1959-014A Apollo 15

The closest humans have come to Archimedes Crater was during the Apollo 15 mission whose landing

site was at the base of the Apennine Mountains about 200 kilometers southeast of the craterrsquos center

Details of the mission are below

Launched 26 July 1971

Landed on Moon 30 July 1971

Landing Site 2610o North 365

o East Returned to Earth 7 August 1971

David R Scott commander

Alfred M Worden command module pilot

James B Irwin lunar module pilot

The bottom photograph on the left is an oblique view of Archimedes Crater taken by the Apollo 15

metric camera (Apollo 15 AS15-1541) Part of the spacecraft is in the frame at right North is at 1130

More information on the Apollo 15 mission can be found at the following NASA Web site

httpnssdcgsfcnasagovplanetarylunarapollo15infohtml