Aprile 1984

A San Leonardo al Palco (Prato)

Il nostro primo Convegno

27° CONVEGNO SULLADIDATTICA DELLAMATEMATICA

VIAREGGIO

9–10 Settembre 2010

Congetturare in un ambiente digeometria dinamica

Maria Alessandra MariottiDipartimento di Scienze Matematiche ed InformaticheUniversità di Siena mariotti.ale@unisi.it

Di cosa parleremo

Complessità del comando di trascinamento in un AGD

Trascinamento e congetture: analisi del processo di esplorazione

Esempi dalla classe

Discussione sulle implicazioni didattiche

Introduzione

Immagini in Matematica e in particolare in Geometria:

‘oggetti’ matematici e rappresentazoni

Il movimento in Geometria

Scriveva F: Monge (1792) nelle“Leçons données à l’Ecole Normale de l’an III”: “Il faut que l’élève se mette en état, d’une part de pouvoir écrire tous les mouvements qu’il peut concevoir dans l’espace, et de l’autre, de se représenter perpétuellement dans l’espace le spectacle mouvant dont chacune des opérations analytiques est l’écriture.”

Introduzione

"... the changes in the solving process brought by the dynamic possibilities of Cabri come from an active and reasoning visualisation, from what we call an interactive process between inductive and deductive reasoning "

(Laborde & Laborde, 1991 p. 185)

Ambienti di Geometria Dinamica (AGD)

Cosa è davvero cambiato ?Riflettiamo su un esempio molto semplice

Costruire una retta r passante per due punti, A e B, e una retta s ad essa perpendicolare, passante per un punto P. Chiamare H il punto d’intersezione tra r e s.

Trascinamento e Invarianti

Il movimento di una figura è percepito nel contrasto tra cosa varia e cosa resta invariato

Invariante per trascinamento

Una costruzione provoca il fenomeno di

Mantenere le proprietà di costruzione

Mantenere tutte le conseguenze delle proprietà di costruzione,

Simultaneità degli invarianti

Invarianti di

costruzioneInvarianti

derivati dalla

costruzione

Relazione di implicazione tra

proprietà

Complessità di mantenere il controllo

concettuale

Trascinamento e Invarianti

Una distinzione chiaveMovimento diretto Movimento indiretto

può essere complesso cogliere la differenza tra

Punto base

Punto dipendente

Movimento & Invarianti

Una prima analisi delle difficoltà porta a distinguere due situazioni:

Uso del trascinamento per testare se la costruzione effettuata è corretta, ovvero se la costruzione corrisponde allo scopo che si era prefissa.

Uso del trascinamento al fine di produrre una congettura, ovvero data una certa configurazione formulare un enunciato che esprima la dipendenza logica tra proprietà riconoscibili per trascinamento in tale configurazione.

GlobaleAnalitico

Invarianti per trascinamento

Invarianti di costruzione

Invarianti derivatiMa anche

Invarianti imposti tramite un movimento guidato.

Problemi aperti di congettura

Una consegna che pone una domanda senza rivelare o suggerire una risposta attesa, che richieda esplicitamente una congettura e la sua prova …

Problema aperto di Congettura

Trascinamento e Congetture

La produzione di una congettura si basa sulla interpretazione di invarianti e relazioni tra invarianti … l’efficacia di una esplorazione è legata alla capacità di trasformare:

Dati percettivi in

una relazione condizionale tra proprietà geometriche

Trascinamento e Congetture

Il processo di produzione di una congettura richiede la “cristallizzazione” di un processo dinamico di esplorazione in una proposizione condizionale.

Devono emergere due componenti di un enunciato condizionale

Trascinamento e Congetture

Almeno due livelli di complessità

Emergenza di proprietà invarianti come diretta conseguenza della costruzione

Ricerca di sotto-configurazioni nelle quali si evidenzia un legame condizionale tra proprietà.

Problemi di congetturaConsideriamo due esempi

Congetture in un ADGSia dato un quadrilatero ABCD e siano E, F, G e H rispettivamente i punti medi dei lati AB, BC, CD, DA.

Cosa posso dire del quadrilatero EFGH?

Congetture in un AGD

Dato un quadrilatero costruire i punti medi delle diagonali, M e N.

Sono possibili varie domande …

• Portare M ed N a concidere, cosa posso dire del quadrilatero?

• Sotto quali condizioni M coincide con N?

Congetture in un AGD

Dato un quadrilatero costruire gli assi dei suoi lati, siano MNRQ i punti di intersezione.

Sono possibili varie domande …

• Portare M, N, R e Q a concidere, cosa posso dire del quadrilatero?

• Sotto quali condizioni M, N, R,Q coincidono?

Congetture in un AGD

A seconda degli invarianti messi in relazione due tipi di congettura:

Assoluto: gli invarianti costruiti sono messi in relazione con uno o più invarianti ‘derivati’

Relativo: l’invarianza di un particolare proprietà è messa in relazione con un particolare ‘movimento’ …

ovvero

“sotto quale condizione una certa configurazione assume una particolare proprietà?”

Congetture in un AGD

A seconda degli invarianti messi in relazione due tipi

Assoluto: gli invarianti costruiti sono messi in relazione con uno o più invarianti ‘derivati’

Relativo: l’invarianza di un particolare proprietà è messa in relazione con un particolare ‘movimento’ …

ovvero

“sotto quale condizione una certa configurazione assume una particolare proprietà?”

Costruzioni Robuste

Costruzioni Molli

Congetture in un AGD• esplorare una costruzione robustaPorta a “scoprire” conseguenze di un’ipotesi o definizione costruita in modo robusto.Per esempio: dato un quadrilatero cosa si può dire del quadrilatero che ha come vertici i suoi punti medi?

• esplorare una costruzione molle:Porta a “scoprire” ipotesi o condizioni sotto cui si verificano determinate conseguenze.Per esempio: dato un quadrilatero costruire i punti medi delle diagonali, M e N. Sotto quali condizioni M coincide con N?

Modalità di TrascinamentoStudi sul trascinamento (Arzarello,

Olivero, Robutti, Paola,…)

Modalità osservate nella soluzione di problemi, in particolare di aperti di congettura …

Modalità di TrascinamentoWandering dragging, moving the basic points on the

screen randomly, without any plan, in order to discover regularities in the figures;

Guided dragging, dragging the basic points of a figure in order to maintain a particular property;

Lieu muet dragging, moving a basic point so that the figure keeps a property following a 'hidden' path (lieu muet),;

Lieu parlante dragging, moving a basic point activating the trace so that the figure keeps a discovered property following a 'hidden' path , even without being aware of this;

Olivero 2002

Modalità di Trascinamento

Wandering Dragging di un punto• Identificare regolarità• Evidenziare oggetti dipendenti

Lieu muet Dragging di un punto• Mantenere regolarità• Evidenziare relazioni tra proprietà

Lieu parlante Dragging di un punto + Traccia•Mantenere regolarità (Ogget. dipendenti)•Interpretare la Traccia (Ogget. Indipend.)

Modalità di Trascinamento

Wandering Dragging di un punto• Identificare regolarità• Evidenziare oggetti dipendenti

Lieu muet Dragging di un punto• Mantenere regolarità• Evidenziare relazioni …

Lieu parlante Dragging di un punto + Traccia•Mantenere regolarità (Ogget. dipendenti)•Interpretare la Traccia (Ogget. Indipend.)

In cerca della Tesi

Si fissa la TesiSi cerca le Ipotesi

Si evidenzia le IpotesiSi fissa la Tesi

Un progetto di ricerca (in corso)

Obiettivo:

Individuare il ruolo degli schemi di trascinamento nella produzione di congetture e nella costruzione della dimostrazione …

Metodologia

Introduzione degli allievi all’uso di particolari schemi di trascinamento

Analisi di soluzioni di problemi aperti di congettura,

Trascinamento di mantenimento

Trascinamento di mantenimento

Il trascinamento di mantenimento è definito:

Trascinare un punto base in modo che la figura di cabri mantenga un certa propriet

(con traccia) Attivare la traccia durante il trascinamento di mantenimento.

Una possibile sequenza

Si nota una proprietà della figura di Cabri (Trasc. Libero )

Si sceglie la proprietà come proprietà da mantenere

Si trascina in modo da mantenere la proprietà (Trasc. Mantenimento)

Si usa la traccia --> appare un « luogo »

Si individua il luogo come oggetto geometrico

Si formula una congettura

Si formula un enunciato geometrico

Modello

Proposizione A (invarianza osservata): una certa proprietà geometrica è mantenuta.

Proposizione B (“regola”): quando un certo punto X della costruzione è trascinato (si muove) su un certo lungo, la proposizione A è vera.

Possibile Congettura derivata:

se X si muove sul luogo allora A è vera.

Come si trasforma tutto questo

in un enunciato?

EsempioConsegna: disegnare tre

punti A, M, K costruire il punto B come simmetrico di A rispetto a M e C come simmetrico di A rispetto a K. Costruire la retta l paralla a BC per A e la retta perpendicolare a l per C, sia D il punto di itersezione tra queste rette. Al variare dei punti A,M,K fare congetture sui tipi di quadrilatero che ABCD può diventare

Siano A, M, K tre punti base, costruire B come il simmetrico di A rispetto a M, e C come il simmetrico di A rispetto a K. Costruire inoltre la parallela l a BC per A, e la perpendicolare r a l per C. Sia D l’intersezione di l e r.

Al variare dei punti A, M, K, formulare congetture sui tipi di quadrilatero che ABCD può diventare, cercando di descrivere tutti i modi in cui è possibile ottenere un certo tipo di quadrilatero.

Data la costruzione precedente...

Fabio e Guido sono in seconda liceo scientifico e hanno usato Cabri durante il precedente anno scolastico.

L’Esplorazione di Fabio & Guido

“Teoremi” e Figure di CabriCostruzioni molli – ricerca di condizioni

“Teoremi” e Figure di Cabri

Costruzioni molli – ricerca di condizioni

Conclusioni

Complessità del comando trascinamento e difficoltà di controlloe

Necessità di una organizzazione didattica specifica:

Lavorare sulla consapevolezzaintroduzione intenzionale di schemi d’uso di esplorazioneSfruttare il potenziale semiotico del trascinamento rispetto al significato toorico di una congetura.

Problemi didattici

Come affrontre la complessità del controllo concettuale del trascinamento?

Come guidare l’aapropriazione dello strumento di trascinamento per risolvere problemi aperti di congettura?

Come sfruttare la ricchezza di significati matematici offerti dall’uso del trascinamento in problemi aperti di congettura?

grazie