APPUNTI DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI - Università degli ... di... · APPUNTI DI SCIENZA DELLE...

APPUNTI DI SCIENZADELLE COSTRUZIONI

Giacomo NavarraUniversita degli Studi di Enna "Kore"

FACOLTA DI INGEGNERIA ED ARCHITETTURA

INDICE

1 Introduzione 1

1.1 Cenni storici 21.2 La soluzione del problema strutturale 2

2 Proprieta meccaniche dei materiali 13

2.1 I materiali da costruzione 132.2 La prova di trazione monoassiale 142.3 Le tensioni e le deformazioni 152.4 La prova di trazione per i materiali duttili 192.5 La prova di compressione per i materiali fragili 222.6 Modellazione del legame costitutivo 222.7 Il metodo delle tensioni ammissibili 232.8 La prova a torsione 24

3 Caratteristiche statiche e cinematiche di strutture monodimensionali 27

3.1 Le caratteristiche cinematiche dei vincoli 283.2 Le caratteristiche meccaniche dei vincoli 313.3 Classificazione dei sistemi strutturali in base alla loro forma 333.4 Classificazione dei sistemi strutturali in base alla disposizione dei vincoli 343.5 La determinazione delle reazioni vincolari 37

3.5.1 Le equazioni cardinali della statica 38

iii

iv INDICE

3.5.2 L’approccio matriciale alle equazioni cardinali della statica 403.5.3 Sistemi con vincoli interni: metodo dell’equazione ausiliaria 453.5.4 Il caso dei vincoli interni caricati 483.5.5 I carichi ripartiti 49

3.6 La determinazione delle caratteristiche della sollecitazione 513.6.1 Il metodo diretto attraverso le equazioni di equilibrio 523.6.2 Le equazioni indefinite di equilibrio della trave ed il metodo

indiretto 58

4 Analisi dello stato di tensione nel continuo tridimensionale 67

4.1 Il continuo di Cauchy 684.2 Le equazioni indefinite di equilibrio del solido di Cauchy 704.3 La descrizione dello stato di tensione al variare della giacitura: il

teorema di Cauchy 734.4 Le tensioni principali e le direzioni principali di tensione 754.5 I cerchi di Mohr 804.6 Classificazione degli stati tensionali 83

4.6.1 Stati di tensione triassiali 834.6.2 Stati di tensione piani 844.6.3 Stati di tensione monoassiali 88

5 Cenni di analisi dello stato di deformazione nel continuo 91

5.1 Le componenti della deformazione 915.2 Le equazioni indefinite di congruenza del continuo 925.3 La misura della variazione di volume 985.4 Deformazione di una fibra in direzione generica 98

CAPITOLO 1

INTRODUZIONE

In termini generali si puo definire costruzione qualsiasi insieme di elementi costituiti da materialiopportuni in grado di sostenere e sopportare carichi

— Leone Corradi Dall’Acqua

La definizione di costruzione, nell’accezione del Prof. Corradi Dall’Acqua e volutamenteampia allo scopo di comprendere, oltre ai normali esempi di costruzioni civili (edifici,ponti, dighe) anche manufatti di tipo navale, meccanico o aeronautico. Tali costruzionihanno lo scopo di convivere in sicurezza con le azioni derivanti dalla specifica funzioneper cui sono progettati (carichi utili), dalle azioni trasmesse dall’ambiente in cui vengonocostruite (azioni derivanti dal vento, dalla neve, dal sisma o dal moto ondoso), oltre natu-ralmente dai carichi connessi con la esistenza stessa delle strutture (peso proprio).

Nel presente capitolo, dopo un breve excursus storico sull’evoluzione della Scienzadelle Costruzioni e sulla descrizione sommaria dei materiali da costruzione, si porra l’accen-to sulla definizione del cosiddetto problema strutturale, ovvero si descriveranno le quantitain gioco nell’analisi strutturale, fornendone una classificazione, e si delineeranno le classidi equazioni utili alla soluzione del problema. Per meglio fissare i concetti esposti, marinunciando per il momento ad una trattazione rigorosa, verranno esaminati tre esempi.

Appunti di Scienza delle Costruzioni, I revisione.By Giacomo Navarra - 2016

1

2 INTRODUZIONE

1.1 Cenni storici

Dal punto di vista storico le costruzioni sono state fin dall’antichita edificate e proporzion-ate sulla base di una serie di regole empiriche frutto, talvolta, di esperienze di crolli rovi-nosi. Per secoli queste “regole del ben costruire” vennero esotericamente tramandateall’interno di ristrette cerchie di adepti e la loro conoscenza venne tenuta segreta. None a caso che il termine massoneria deriva da mason – muratore e i piu antichi simbolimassoni come il compasso o la squadra fanno riferimento all’arte del costruire.

Fu solo in pieno Rinascimento che si tento un approccio razionale alla comprensionedel comportamento dei materiali e delle strutture e si devono a Leonardo Da Vinci e aGalileo Galilei le prime indagini sperimentali sistematiche e le prime teorie strutturali. NelXVII secolo Hooke enuncio la prima teoria dell’elasticita e successivamente nei due secoliseguenti, con il progresso delle conoscenze matematiche e fisiche e con lo sviluppo delcalcolo infinitesimale, si ando delineando il corpo teorico della Scienza delle Costruzioni.A questo fiorente periodo sono legati i nomi dei fratelli Bernoulli, di Eulero, di Lagrange,di Navier, di Cauchy e di De Saint-Venant.

Con l’avvento della Rivoluzione industriale e con l’affermarsi dell’acciaio prima e delcalcestruzzo poi come materiali da costruzione, la Scienza delle Costruzioni ebbe un notev-ole impulso, causato dalla necessita di costruire utilizzando i materiali in maniera piurazionale ed economica, resistendo a carichi maggiori e realizzando strutture sempre piuardite. Vennero sviluppati modelli matematici sempre piu complessi per la schematiz-zazione sia delle piu disparate forme strutturali, sia per tenere conto di comportamenti deimateriali sempre piu complessi.

Negli ultimi quaranta anni una ulteriore accelerazione e stata resa possibile dall’uso deicalcolatori elettronici e dallo sviluppo di metodi di calcolo appositamente concepiti peressi, come ad esempio il “Metodo degli Elementi Finiti”, che hanno reso possibile virtual-mente l’analisi di qualsiasi tipologia strutturale. La ricerca ossessiva dell’ottimizzazionestrutturale e la realizzazione di strutture sempre piu leggere e snelle ha recentemente apertole porte alla creazione di altre due branche della Scienza delle Costruzioni, ed in partico-lare allo studio dei problemi di “instabilita dell’equilibrio” ed alla cosiddetta “sicurezzastrutturale”.

1.2 La soluzione del problema strutturale

In ogni costruzione e presente una struttura portante che gioca il ruolo di resistere alleazioni. Oggetto della Scienza delle Costruzioni o, come viene definita nel mondo an-glosassone, “Meccanica delle Strutture” e lo studio del comportamento meccanico dellestrutture sotto i carichi di progetto, ovvero la soluzione del problema strutturale.

In generale le variabili coinvolte in un problema strutturale possono essere classificatecome meccaniche o cinematiche e come interne o esterne. Si vengono pertanto a deter-minare quattro classi di variabili che descrivono compiutamente le condizioni statiche ecinematiche indotte dai carichi,; la soluzione del problema strutturale, quindi, coincidecon la conoscenza, per ogni punto della struttura, di queste variabili.

I legami funzionali che esistono tra le grandezze cinematiche esterne ed interne ver-ranno chiamate equazioni di compatibilita cinematica o equazioni di congruenza, mentrele relazioni intercorrenti tra le grandezze meccaniche interne ed esterne verranno denotatecome equazioni di equilibrio. Il mondo meccanico e quello cinematico, come si vedrameglio nel seguito, stanno tra loro in rapporto di dualita. Vi e, infine, un terzo gruppo

LA SOLUZIONE DEL PROBLEMA STRUTTURALE 3

O

A m

rr

j

e

uy

ux

A'

Figura 1.1 Pendolo deformabile. Configurazioni indeformata (nero) e deformata (rosso).

di equazioni che descrive il comportamento del materiale di cui sono costituiti gli ele-menti strutturali. Questo gruppo di equazioni, che lega grandezze cinematiche interne agrandezze meccaniche anch’esse interne, va, appunto, sotto il nome di equazioni costitu-tive. In generale, la conoscenza di tutti e tre i citati gruppi di equazioni e necessaria per lasoluzione del problema strutturale.

Per meglio chiarire i concetti esposti e per condurre una sintetica panoramica sullanatura dei problemi della Scienza delle Costruzioni, nel seguito verranno mostrati alcuniesempi significativi.

ESEMPIO 1.1 IL PENDOLO DEFORMABILE

Consideriamo il caso illustrato in Figura 1.1 di un pendolo composto da una molla di lunghezza ariposo r collegata ad un punto materiale A ad un estremo, ed ad un punto fisso O. Il vincolo in O etale da impedire le traslazioni della molla ma non le rotazioni.

Limitandoci per semplicita a considerare il sistema piano, esso possiede due gradi di liberta;infatti, il pendolo pensato isolato nel piano possiede tre gradi di liberta di corpo rigido: le duetraslazioni e la rotazione attorno ad un punto arbitrario. Inoltre la molla e deformabile, ovvero puovariare la sua lunghezza e questo puo essere considerato come un ulteriore grado di liberta di corpodeformabile. D’altra parte, il vincolo in O, come si e detto, sopprime due gradi di liberta di corporigido (le due traslazioni) per cui, in definitiva, il sistema e dotato di un grado di liberta di corporigido (la rotazione ϕ attorno ad O) e di un grado di liberta di corpo deformabile (la lunghezza finaleρ della molla).

Alla stessa conclusione circa il numero dei gradi di liberta del sistema si perviene, ovviamente,considerando intuitivamente che il punto materiale A puo occupare qualsiasi punto nel piano e,quindi, la sua posizione nella configurazione deformata A’ e perfettamente individuata una voltanote le sue coordinate (ux, uy) nel piano rispetto, ad esempio, al punto O. In questo caso, pero,nonostante si sia arrivati alla determinazione del numero di gradi di liberta del sistema in modo sem-plice e diretto, non e possibile distinguere la natura dei gradi di liberta, se di corpo rigido o di corpodeformabile.

L’insieme di tutte le configurazioni che il sistema puo assumere nel rispetto dei vincoli e dellacontinuita strutturale rappresenta la classe delle configurazioni cinematicamente ammissibili del sis-tema che, nel caso in esame, sono ∞2. I parametri lagrangiani con cui possiamo descrivere tali

4 INTRODUZIONE

O

Am F

a) c)

F

Q

Q

R

Q

Q

d)b)

Figura 1.2 a) Forza applicata; condizioni di equilibrio: b) del vincolo; c) della massa m; d) dellamolla.

configurazioni possono essere scelti in modo arbitrario, purche essi siano tra loro indipendenti. Adesempio, entrambe le scelte di un sistema cartesiano (ux, uy) o di un riferimento polare (ρ, ϕ) sonovalide.

Nel sistema di riferimento polare, inoltre, detto e l’allungamento della molla dopo la defor-mazione, e possibile scrivere in maniera semplice una relazione tra le grandezze cinematiche che devevalere affinche la configurazione deformata sia cinematicamente ammissibile, ovvero la seguenteequazione di congruenza:

ρ = r + e

in cui r e la lunghezza a riposo della molla. Nel riferimento cartesiano la stessa relazione avrebbeassunto la forma u2

x + u2y = (ρ+ e)2 sicuramente piu complicata.

Supponiamo adesso di applicare alla massa una forza F giacente sul piano, come mostrato inFigura 1.2-a. Supponiamo che tale forza agisca quasi-staticamente in modo, cioe, da non destareeffetti di natura dinamica e che la sua direzione non cambi in seguito alle deformazioni subite dallamolla.

Siamo interessati a conoscere le condizioni e le configurazioni di equilibrio della massa m, ossiale configurazioni in cui il sistema, pur avendo la possibilita di muoversi, resta in quiete sotto l’effettodelle forze applicate. La seconda legge di Newton

F = ma

ci assicura che condizione necessaria per l’equilibrio (corpo in quiete) del pendolo e che la risultantedelle forze ad esso applicate sia nulla, ovvero che il vincolo in O, attraverso la molla, trasmetta allamassa m una reazione vincolare R uguale e contraria ad F (vedi Figura 1.2-b).

Cio e evidente operando secondo il principio della sconnessione. Al fine di evidenziare le forzeinterne agenti, una struttura puo essere divisa in due o piu parti mediante delle sezioni dette di scon-nessione. Affinche venga mantenuto l’equilibrio di ogni singola parte, le parti della struttura devonoscambiarsi delle forze in corrispondenza di tali sezioni. Il metodo e efficace nel mettere in evidenzatali forze.

Tornando al caso in esame, si opera mediante due sconnessioni alle estremita della molla. Poicheogni singola porzione della struttura deve essere in equilibrio, la molla deve trasferire alla massa muna forza (interna) Q uguale e contraria alla forza (esterna) F applicata su di essa (vedi Figura 1.2-c).


F

R

Q

Q

Figura 1.3 Configurazione di equilibrio del pendolo.

Allo stesso modo puo dedursi che, affinche la molla resti in equilibrio, ai suoi capi debbano nasceredelle forze Q uguali e contrarie; ma queste, come evidenziato in Figura 1.2-d, non forniscono unsistema di forze equilibrato in quanto sara presente una coppia di forze aventi braccio diverso da zeroche produrra una rotazione fintantoche le due forze non si allineeranno sulla stessa retta d’azione.

La condizione finale di equilibrio sotto la forza F sara, quindi, quella descritta in Figura 1.3.Le equazioni di equilibrio portano, quindi, alla determinazione della “forza interna” Q agente sullamolla e della reazione vincolare R:

F = Q

R = Q

Riepilogando, a partire dall’esame del sistema sotto il punto di vista cinematico si e dedottauna relazione tra le grandezze cinematiche esterne (spostamenti) e le grandezze cinematiche interne(deformazioni). Esaminando, invece, il problema dal punto di vista meccanico, in maniera del tuttoindipendente, si sono determinate delle relazioni tra le grandezze meccaniche esterne (forze applicatee reazioni vincolari) e grandezze meccaniche interne (sforzi nella molla).

Per pervenire alla soluzione del problema bisogna, adesso, mettere in relazione questi due aspettied, in particolare, descrivere il legame esistente tra gli allungamenti e della molla e gli sforzi Q cheli determinano, il quale dipendera dalla natura del materiale. In prima approssimazione possiamoipotizzare un legame lineare tra il modulo dello sforzo Q e l’allungamento e mediante una costantedi proporzionalita k che chiameremo rigidezza della molla; l’equazione costitutiva avra la forma:

Q = ke

Adesso si hanno tutte le informazioni per risolvere il problema: dal punto di vista meccanico allaforza F corrisponderanno la reazione R = F e lo sforzo interno Q = F, dal punto di vista cinematico,invece, la massa m si porra in una posizione descritta da un valore di ϕ pari all’inclinazione dellaforza F e da un valore di ρ = r + F/k, in cui F e il modulo della forza F. Il problema e, pertanto,risolto.

6 INTRODUZIONE

d d

1 2 3l1 l3l2

u = e1 e2 e3

j

F

A

BC

A' B'C'

Figura 1.4 Sistema strutturale dell’esempio 1.2. Configurazione iniziale (nero) e deformata (rosso).

ESEMPIO 1.2 LE FUNI DEFORMABILI

Consideriamo adesso il caso del sistema, descritto in Figura 1.4, composto da un’asta rigida vincolatain modo da non potere subire spostamenti laterali e sostenuta da tre funi verticali equidistanti. L’astae soggetta ad una forza F verticale applicata in corrispondenza della fune centrale. Le lunghezzedelle funi li, cosı come le loro rigidezze ki, sono a priori diverse.

Nel caso in cui l’asta rigida e completamente svincolata, essa possiede tre gradi di liberta di corporigido nel piano che possono essere individuati nelle due traslazioni (orizzontale e verticale) e nellarotazione. L’introduzione del carrello in A elimina la possibilita di traslare orizzontalmente, percui rimangono due gradi di liberta di corpo rigido, in altri termini la posizione dell’asta e definibileunivocamente una volta fissati due parametri. Si sceglie di assumere come parametri lagrangiani attia descrivere le configurazioni spostate l’abbassamento u del carrello e la rotazione ϕ dell’asta rigida,cosı come mostrato in Figura 1.4.

Assumendo di denotare con ei gli allungamenti subiti dalle funi, scriviamo adesso le equazioni dicongruenza che legano le variabili cinematiche esterne (u e ϕ) con quelle interne (ei ) in modo chela configurazione finale sia cinematicamente ammissibile. Poiche l’asta e rigida, i punti A, B e C,portandosi nel cambiamento di configurazione in A’, B’ e C’, devono mantenersi su una stessa retta,e quindi possiamo scrivere:

e1 = u

e2 = u+ d tan (φ)

e3 = u+ 2d tan (φ)

(1.1)

Nell’ipotesi che gli spostamenti siano “piccoli”, ovvero almeno di un ordine di grandezza inferioririspetto alle dimensioni della struttura, e lecito confondere la tangente dell’angolo con il valore inradianti dell’angolo stesso, per cui la (1.1) puo scriversi:

e1 = u

e2 = u+ dφ

e3 = u+ 2dφ

(1.2)

Risulta evidente che le sole equazioni (1.2) non consentono di risolvere compiutamente il problemain quanto si hanno tre equazioni in cinque incognite.


FA

BC

HA

R1

Q1

Q1

Q2

Q2

Q3

Q3

R2

R3

Figura 1.5 Forze interne ed esterne agenti sul sistema.

Le configurazioni staticamente ammissibili possono essere descritte considerando una genericaconfigurazione deformata e operando con il principio della sconnessione, come mostrato in Figura1.5. Con riferimento al corpo rigido e possibile scrivere tre equazioni di equilibrio, alla traslazioneorizzontale e verticale ed alla rotazione, ad esempio rispetto al punto B:

HA = 0

F = Q1 +Q2 +Q3

Q1d = Q3d

→

HA = 0

F = Q2 + 2Q3

Q1 = Q3

(1.3)

In corrispondenza di ognuno dei vincoli, inoltre, possiamo scrivere delle ulteriori relazioni di equi-librio tra gli sforzi interni alle funi Qi e le reazioni vincolari Ri:

Ri = Qi i = 1, 2, 3

Dall’esame delle (1.3) si ottiene una soluzione staticamente indeterminata di grado 1, cioe esistono∞1 soluzioni staticamente ammissibili (equilibrate) al variare, ad esempio, del valore di Q1, questoin quanto abbiamo 4 grandezze incognite (Q1, Q2, Q3 ed HA) e tre sole equazioni.

L’ultimo gruppo di equazioni cui possiamo fare ricorso e quello delle equazioni costitutive che,nelle ipotesi di comportamento lineare, possiamo esprimere come:

Qi = kiei i = 1, 2, 3 (1.4)

Quindi, in sintesi, la soluzione del problema strutturale comporta la conoscenza di 9 incognite[u, ϕ, HA, Q1, Q2, Q3, e1, e2, e3] e 9 equazioni [3 di congruenza (1.2), 3 di equilibrio (1.3) e 3costitutive (1.4)] che ci permettono di risolvere il problema. Infatti, sostituendo le (1.2) nelle (1.4) epoi nelle (1.3) si perviene alla soluzione in termini delle grandezze cinematiche esterne:

u = 2ϕdk3

k1 − k3

ϕ =F

d

k1 − k3

k2k3 + k1 (k2 + 4k3)

8 INTRODUZIONE

Una volta noti lo spostamento u e la rotazione ϕ e possibile sostituirli nelle equazioni di congruenza(1.2) per ricavare gli allungamenti ei e da questi, attraverso le equazioni costitutive (1.4) ricavare glisforzi interni Qi.

ESEMPIO 1.3 L’IPOTESI DI PICCOLI SPOSTAMENTI

Consideriamo adesso il caso del sistema strutturale riportato in Figura 1.6. Esso e composto da treaste incernierate agli estremi e concorrenti in un punto P sul quale e applicata una forza F, le cuicomponenti cartesiane sono Fx e Fy .

Le configurazioni deformate possono essere definite univocamente una volta fissata la posizionedel punto P, ovvero il sistema possiede due gradi di liberta, questa volta entrambi di corpo deforma-bile. Per scrivere le equazioni di congruenza ipotizziamo di fissare una generica configurazione

O3

O2

O1

F

0l2

0l1

0l3 P

P'l3

l2

l1

ux

uy

Figura 1.6 Sistema strutturale dell’esempio 1.3. Configurazione iniziale (nero) e deformata (rosso).

deformata definita dalla posizione del punto P’ in cui si porta il punto P per effetto del cambiamentodi configurazione. Le componenti cartesiane dello spostamento PP’ le chiameremo rispettivamenteux e uy e possiamo determinare le relazioni intercorrenti tra tali spostamenti e gli allungamenti einelle aste.

Denotando con l0i le lunghezze delle aste nella configurazione iniziale indeformata e con li lalunghezza delle aste nella configurazione finale, possiamo scrivere:

ei = li − l0i i = 1, 2, 3 (1.5)

in cui le lunghezze delle aste nella configurazione finale sono date dalle:l1 =

√u2x +

(l01 − uy

)2l2 =

√u2x +

(l02 + uy

)2l3 =

√(l03 + ux

)2+ u2

y

(1.6)


F

P

P'

Q1

Q1

Q3Q3

Q2

Q2

a2

a3

a1

R1

R2

R3

Figura 1.7 Forze interne ed esterne agenti sul sistema strutturale dell’esempio 1.3.

Per descrivere le configurazioni staticamente ammissibili e, quindi, le equazioni di equilibrio, ipo-tizziamo una generica configurazione deformata e applichiamo il metodo della sconnessione, comemostrato in Figura 1.7. Dobbiamo imporre l’equilibrio alla traslazione del punto materiale P lungogli assi coordinati x e y: Q1 sin (α1) +Q2 sin (α2) +Q3 cos (α3) = Fx

Q1 cos (α1)−Q2 cos (α2) +Q3 sin (α3) = Fy

(1.7)

Nell’ipotesi di materiale a comportamento lineare le equazioni costitutive possono scriversi come:

Qi = k1ei i = 1, 2, 3 (1.8)

E opportuno sottolineare che, nonostante il comportamento del materiale sia lineare, le equazioni digoverno del sistema sono fortemente non lineari e non e agevole trovare una soluzione, se non pervia numerica.

D’altra parte, le soluzioni di interesse nel campo della Scienza delle Costruzioni sono quelledefinite nell’ambito dei cosiddetti piccoli spostamenti, quando, cioe, il valore degli spostamenti e”trascurabile” rispetto alle dimensioni significative della struttura.

In tali ipotesi, invece di considerare nelle equazioni di congruenza che il punto P debba trovarsilungo archi di cerchio tracciati dalle aste durante il loro cambiamento di configurazione, possiamosupporre di potere leggere gli effetti delle rotazioni su una retta ortogonale alla congiungente con ilcentro di rotazione, ovvero confondendo l’arco di cerchio con la sua tangente.

In termini analitici, questa approssimazione e equivalente a trascurare i termini di ordine superioreal primo, ovvero a linearizzare le equazioni. Effettuiamo questa operazione espandendo in serie diTaylor le equazioni di congruenza ed arrestando lo sviluppo al primo termine rispetto alle componentidello spostamento.

La lunghezza dell’asta 1, dall’equazione (1.6)-a potra scriversi come:

l1 =

√u2x +

(l01 − uy

)2= l01

√1 +

(ux

l01

)2

+

(uy

l01

)2

− 2

(uy

l01

)

10 INTRODUZIONE

che, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo, possiamo scrivere come:

l1 ∼= l01

√1− 2

(uy

l01

)Sviluppando in serie di Taylor rispetto al valore uy = 0 avremo:

l1 ∼= l1|uy=0 +dl1duy

∣∣∣∣uy=0

uy = l01 − uy

Ripetendo un procedimento analogo per le altre due equazioni di congruenza potremo riscrivere le(1.6) come:

l1 = l01 − uy

l2 = l02 + uy

l3 = l03 + ux

e, di conseguenza, le equazioni costitutive (1.5) assumono la forma:e1 = l1 − l01 = −uy

e2 = l2 − l02 = uy

e3 = l3 − l03 = ux

(1.9)

Passando all’esame delle equazioni di equilibrio, e immediato riconoscere che l’ipotesi di piccolispostamenti si riflette anche sugli angoli αi che descrivono le posizioni delle aste nella configu-razione finale e che compaiono nelle equazioni di equilibrio (1.7). In particolare si avra cos (αi) ∼= 1e sin (αi) ∼= 0. Le equazioni di equilibrio linearizzate diventano quindi: Q3 = Fx

Q1 −Q2 = Fy

(1.10)

Una volta eseguita l’operazione di linearizzazione, il problema in oggetto presentera 8 incognite [ux,uy , Q1, Q2, Q3, e1, e2, e3] e 8 equazioni lineari [3 di congruenza (1.9), 2 di equilibrio (1.10) e 3costitutive (1.7)] che ci permettono pervenire ad una soluzione unica.

Introdurre l’ipotesi di piccoli spostamenti ha avuto come effetti pratici innanzitutto la sem-plificazione della scrittura delle equazioni di equilibrio e di congruenza e la loro lineariz-zazione. Ma dal punto di vista fisico vi e di piu.

Osservando la Figura 1.8, infatti, ci si puo rendere conto della circostanza che scriverele equazioni di equilibrio linearizzate equivale ad imporre l’equilibrio direttamente nellaconfigurazione indeformata, nella incipienza del moto. Per quanto riguarda le equazionidi congruenza, invece, la linearizzazione equivale a valutare gli allungamenti proiettandole posizioni delle aste nella configurazione finale sulle rispettive aste nella configurazioneindeformata.

Prendendo spunto dall’esempio svolto, nel seguito si vuole fornire ai gruppi di equazioniprecedentemente descritti una forma piu compatta e generalizzabile. Introducendo il vet-tore delle deformazioni e, il vettore degli spostamenti u ed il vettore degli sforzi interni Q,


F

P

Q1

Q1

Q3Q3

Q2

Q2

R1

R2

R3

Figura 1.8 Equilibrio delle forze nella configurazione indeformata.

come:

e =

e1

e2

e3

; u =

[ux

uy

]; Q =

Q1

Q2

Q3

;

e possibile scrivere i gruppi di equazioni di congruenza (1.9), di equilibrio (1.10) e costi-tutive (1.8) in forma matriciale compatta:

e = Cu

CTQ = F

Q = Ke

(1.11)

in cui le matrici C e K sono dette rispettivamente matrice di congruenza e matrice dirigidezza. Con riferimento all’esempio precedente, tali matrici assumono i valori:

C =

0 −1

0 1

1 0

K =

k1 0 0

0 k2 0

0 0 k3

E da notare che le equazioni riportate nella (1.11) in condizioni di linearita hanno unavalidita del tutto generale e non dipendono dall’esempio proposto.

Dalla struttura matematica delle (1.11) emerge una realta per certi versi sorprendente.Infatti, finora le condizioni di congruenza e le condizioni di equilibrio sono state rica-vate in maniera del tutto indipendente, riferendosi a questioni di carattere esclusivamentecinematico, per le prime e meccanico per le seconde. Ebbene, l’introduzione dell’ipotesidei piccoli spostamenti con la conseguente linearizzazione delle equazioni, ovvero la loroscrittura con riferimento alle condizioni indeformate, evidenzia la presenza di un operatorelineare C che descrive le configurazioni cinematicamente ammissibili e, semplicementetrasposto, e in grado di descrivere anche le configurazioni staticamente ammissibili. Questaevenienza e del tutto generale non legata allo specifico esempio svolto.

12 INTRODUZIONE

Si vuole, inoltre, sottolineare che spesso le sole equazioni di equilibrio non possonoessere risolte indipendentemente, in quanto la matrice CT e rettangolare bassa, ovvero ilsistema di equazioni di equilibrio contiene piu incognite che equazioni, di conseguenzachiameremo questa struttura staticamente indeterminata.

D’altra parte, neanche le equazioni di congruenza possono essere risolte da sole, poichela matrice C e una matrice rettangolare alta, ovvero vi sono piu equazioni che incognite, ela struttura puo essere denotata come cinematicamente impossibile.

La soluzione e, pertanto, ottenibile solo operando una sintesi tra i vari gruppi di equazionia disposizione. Sostituendo le equazioni di congruenza e costitutive nelle equazioni diequilibrio si ottiene: (

CTKC)u = F→ Ku = F (1.12)

con K = CTKC che viene chiamata matrice di rigidezza della struttura assemblata.L’equazione di governo della struttura (1.12) rende possibile la sua soluzione in terminidi spostamenti. Sostituendo successivamente nelle equazioni di equilibrio si possono de-terminare gli sforzi interni Q e sostituendoli nelle equazioni costitutive si possono deter-minare le deformazioni e, pervenendo alla soluzione completa del problema.

CAPITOLO 2

PROPRIETA MECCANICHE DEIMATERIALI

Ut tensio, sic vis— Robert Hooke

Tutte le strutture sono costituite da materiali deformabili le cui caratteristiche mecca-niche possono essere desunte attraverso semplici prove di laboratorio. Nel seguito delpresente capitolo verranno dapprima descritte le caratteristiche principali dei materiali dacostruzione e si forniranno alcune definizioni utili alla loro classificazione.

In secondo luogo, verranno presentate le principali prove sperimentali per la determi-nazione delle proprieta meccaniche dei materiali, se ne commenteranno i risultati e ver-ranno introdotte le necessarie notazioni analitiche e le conseguenti interpretazioni mecca-niche.

2.1 I materiali da costruzione

Una importante branca della Scienza delle Costruzioni e la cosiddetta “Meccanica deiMateriali” in cui vengono analizzati i materiali di cui sono fatte le strutture e il loro com-portamento viene schematizzato con opportune modellazioni analitiche.

In generale tutte le strutture sono composte da materiali piu o meno deformabili chepossono essere classificati in base alla loro omogeneita, isotropia e duttilita. Un materialesi dice omogeneo quando una qualunque porzione di esso possiede le medesime caratter-istiche. Si dice isotropo un materiale le cui proprieta meccaniche e/o deformative non


13

14 PROPRIETA MECCANICHE DEI MATERIALI

dipendono dalla direzione di osservazione. Un materiale anisotropo puo essere ortotropose le sue caratteristiche sono diverse in base a determinate direzioni mutuamente ortogo-nali. Un materiale e duttile se riesce a esplicare notevoli deformazioni prima di raggiungerela rottura, altrimenti si dira fragile.

Un esempio di materiale non omogeneo e il calcestruzzo, un materiale ortotropo e illegno, i materiali lapidei sono fragili, mentre l’acciaio e omogeneo, isotropo e duttile.

2.2 La prova di trazione monoassiale

Supponiamo di volere studiare il comportamento di un materiale duttile e di confezionareun provino come quello indicato nella Figura 2.1. Le dimensioni del provino, la sua forma

N Nl0

l

Figura 2.1 Provino a osso di cane per prova di trazione su materiale duttile.

e la sua sezione trasversale sono stabilite da apposite normative internazionali in funzionedel tipo di materiale e dell’elemento strutturare dal quale si estrae il provino.

I provini vengono inseriti su macchine di prova dette macchine universali e sono sot-toposti a delle forze di trazione, dirette cioe in modo tale da provocare allungamenti nelprovino. Le estremita del provino hanno la particolare forma indicata in figura perche ven-gono fissate alle ganasce della macchina, mentre la parte centrale e allungata in modo daavere una distribuzione degli sforzi interni e delle deformazioni piu omogenea possibile,in modo da risentire poco del disturbo causato dalle ganasce. E proprio in questa partecentrale che si effettueranno le misurazioni.

Come e intuitivo riconoscere, a seguito dell’applicazione di un carico N , il provinosi deformera allungandosi e una base di misura posta sulla parte centrale del provino,che inizialmente aveva lunghezza l0, dopo la deformazione avra una lunghezza finale l,subendo, quindi, un allungamento ∆l = l − l0.

E possibile mettere in relazione tale allungamento ∆l con il carico N che lo ha provo-cato, come mostrato nel grafico di Figura 2.2, scoprendo che, almeno per valori modestidel carico applicato, esiste un legame di proporzionalita diretta tra N e ∆l.

Un’altra evidenza sperimentale desumibile dalla prova descritta, consiste nel fatto che, aseguito di una rimozione graduale del carico, si osserva una diminuzione dell’allungamentofino a quando il provino, rimosso totalmente il carico, ritorna alle dimensioni originarie.Ovvero il materiale mostra un comportamento di tipo elastico.

Ripetendo la stessa tipologia di prova per un secondo provino avente l’area della sezionetrasversale doppia rispetto al primo, si osservera che gli allungamenti sono pari circa alla

LE TENSIONI E LE DEFORMAZIONI 15

Dl

N

A0

2A0

Figura 2.2 Relazione carico-allungamento per una prova di trazione.

meta, mentre se ripetessimo la prova per un altro provino avente lunghezza iniziale l0doppia, registreremmo allungamenti doppi. Queste considerazioni, al fine di volere carat-terizzare il comportamento non gia del provino, ma del materiale di cui e costituito, cifanno comprendere la necessita di fare riferimento a delle grandezze interne, ossia nondipendenti dalle specifiche dimensioni del provino e del carico applicato.

2.3 Le tensioni e le deformazioni

Al fine di definire il legame costitutivo di un materiale in termini di grandezze interne,supponiamo di sezionare il nostro provino con un piano π ortogonale al suo asse e diindividuare la sezione trasversale Ω la cui area e pari adA, come descritto nella Figura 2.3.

Affinche si mantenga l’equilibrio alla traslazione nella direzione del carico N appli-cato per ognuna delle due parti createsi a seguito della sconnessione, devono nascere, sullasuperficie Ω, delle forze distribuite sulla sezione, che sono chiamate tensioni. Tali forze de-vono equilibrare il carico esternoN . Immaginando che su ogni areola elementare dA dellasezione trasversale Ω agisca una forza elementare dN , e possibile definire analiticamenteil concetto di tensione mediante la seguente espressione:

σ = limdA→0

dN

dA

Si vuole studiare la distribuzione delle tensioni sulla superficie Ω. Innanzitutto si puoimmaginare che se si operasse un’altra sezione con un altro piano Ω’, per ragioni di equi-librio, la risultante di tutte le tensioni dovra sempre equilibrare la medesima forza N , equesto dovra valere per ogni possibile sezione trasversale. Questo concetto puo tradursianaliticamente mediante le seguente equazione di equilibrio:

N =

∫A

σdA (2.1)


W

A0 dA

N

p

W

Figura 2.3 Sconnessione del provino con un piano π.

Supponiamo adesso di sezionare il nostro provino con un piano che contiene l’asse delprovino stesso, cosı come mostrato in Figura 2.4. Quello che si osserva e che il comporta-

N2

N2

N2

N2

Figura 2.4 Sconnessione del provino con un piano longitudinale.

mento del provino per ognuna delle due porzioni e uguale, ovvero ognuna delle due partisara soggetta ad un carico esterno pari a N/2 e sulle sezioni trasversali nasceranno delletensioni che dovranno equilibrare i carichi esterni; inoltre, l’allungamento ∆l sara ugualea quello manifestatosi nel caso precedente.

LE TENSIONI E LE DEFORMAZIONI 17

Portando questo ragionamento al limite, e possibile suddividere il provino in innu-merevoli parti di area infinitesima dA sulle quali agira una tensione σ = dN/dA ugualein ognuna delle parti. In altri termini, e come se il provino fosse costituito da infinitefibre longitudinali di area dA tutte soggette alla tensione σ che, pertanto, risulta esseredistribuita uniformemente sulla sezione trasversale Ω. Pertanto, sara possibile riscrivere la(2.1) come:

N =

∫A0

σdA = σ

∫A0

dA = σA0 → σ =N

A0(2.2)

La (2.2) e una equazione di equilibrio e mette in relazione grandezze meccaniche esterne(il carico N ) e grandezze meccaniche interne (le tensioni σ).

Le tensioni sono grandezze puntuali e questo tipo di tensione e chiamata tensione nor-male perche agisce in direzione ortogonale alla sezione trasversale. Le tensioni si mis-urano come forze per unita di superficie [F · L−2]. Nel sistema tecnico vengono misuratein kg/cm2, mentre nel S.I. in N/m2 = Pa. In pratica, pero, si usano dei convenientimultipli come il N/mm2 = MPa.

La circostanza emersa dal ragionamento precedente, secondo la quale le tensioni σnon subiscono variazioni al variare dell’ascissa x che definisce la posizione della sezionetrasversale Ω, porta a scrivere un’altra relazione di equilibrio in forma differenziale:

dσ

dx= 0

Per svincolarsi anche dalle dimensioni longitudinali della base di lettura individuata sulprovino, possiamo dividere l’allungamento ∆l per la lunghezza iniziale della base di let-tura l0, ottenendo una misura adimensionale (in quanto e un rapporto tra due lunghezze)dell’allungamento che verra chiamata deformazione longitudinale ε.

Il significato della deformazione e quello di misurare l’allungamento di un provino dilunghezza iniziale unitaria. In termini analitici avremo:

ε =∆l

l0=l − l0l0

Dalla precedente definizione emerge che saranno positive le deformazioni che provocanoun allungamento (∆l > 0), mentre saranno negative le deformazioni che provocano unaccorciamento (∆l < 0). Allo stesso modo, si definiscono positive le tensioni che sonodirette concordemente con la normale uscente dalla sezione e vengono dette di trazione. Letensioni in direzione discorde alla normale uscente dalla sezione saranno, invece, negativee si dicono tensioni di compressione. Infine, si vuole sottolineare che tensioni positive(di trazione) provocano deformazioni positive (allungamenti) e che tensioni negative (dicompressione) provocano deformazioni negative (accorciamenti).

La relazione intercorrente tra N − ∆l che avevamo schematizzato in precedenza, puoadesso riproporsi in termini di tensioni e deformazioni σ − ε. Poiche nel fare questo pas-saggio dividiamo per delle grandezze costanti (A0, l0) la relazione restera lineare ma saraadesso rappresentativa del comportamento del materiale, e non del provino, dal momentoche coinvolge grandezze puntuali e interne, come mostrato in Figura 2.5.

Nel caso in cui la relazione tra tensioni e deformazioni, almeno per modesti valori delletensioni, abbia andamento lineare, il coefficiente di proporzionalita e una costante dipen-dente dalle caratteristiche meccaniche del materiale e, con riferimento alla figura, vale:

tan (α) =dσ

dε= cost. = E


e

s

a

ds

de

Figura 2.5 Relazione tensione-deformazione per una prova di trazione.

Questo coefficiente viene chiamato Modulo di elasticita longitudinale oppure Modulo diYoung e viene misurato in [F · L−2] in quanto e il rapporto tra una forza per unita disuperficie ed una quantita adimensionale.

Con rifermento ad un comportamento elastico lineare possiamo esprimere il legametra le grandezze meccaniche interne (le tensioni σ) e le grandezze cinematiche interne (ladeformazione ε) mediante la seguente equazione costitutiva (legge di Hooke):

σ = Eε

L’ultimo gruppo di equazioni, quelle di congruenza, possono essere desunte supponendodi avere un provino vincolato ad un estremo e soggetto ad una forza N nell’estremo liberodi ascissa x = L, come quello mostrato in Figura 2.6.

Da quanto detto in precedenza, nel provino si destera un regime di tensioni σ uniformisia all’interno della singola sezione trasversale che al variare di x. Se il materiale e elasticolineare anche le deformazioni ε saranno distribuite in modo uniforme. Vogliamo conoscerel’andamento della funzione spostamento u (x).

A causa della presenza del vincolo possiamo sicuramente affermare u (0) = 0 e, sapendoche l’allungamento finale sara pari a ∆l, possiamo porre u (L) = ∆l. La misura della de-formazione sara:

ε =∆l

L=u (L)− u (0)

L(2.3)

Se adesso valutiamo la deformazione con riferimento ad un tronco infinitesimo del provino,delimitato da una sezione S di ascissa x e da una sezione S’ immediatamente vicina diascissa x+ dx, possiamo riscrivere la (2.3) come:

ε =u (x+ dx)− u (x)

dx

e, passando al limite per dx→ 0 si ottiene la seguente equazione di congruenza:

ε = limdx→0

u (x+ dx)− u (x)

dx=du

dx(2.4)

LA PROVA DI TRAZIONE PER I MATERIALI DUTTILI 19

L

x dx Dl

u(x+dx)

u(x)

N

Figura 2.6 Provino vincolato ad un estremo e soggetto ad una forza nell’estremo libero.

La relazione (2.4) indica il legame che deve sussistere tra le grandezze cinematiche esterne(gli spostamenti u) e le grandezze cinematiche interne (le deformazioni ε) perche il provinopossa deformarsi nel rispetto dei vincoli e senza creare lacerazioni o compenetrazioni nelmateriale.

Per risolvere il problema dell’equilibrio elastico si hanno, quindi, a disposizione tregruppi di equazioni, alcuni dei quali in forma differenziale, che per essere risolti hannobisogno di alcune condizioni al contorno.

2.4 La prova di trazione per i materiali duttili

Dopo avere definito nella precedente sezione le espressioni analitiche dei concetti di ten-sione e deformazione, nel presente paragrafo si vogliono esaminare e commentare i risultatidi una prova monoassiale reale condotta su un provino costituito da un materiale duttile.

La prova viene condotta sottoponendo il provino ad una forza di trazione via via cres-cente fino alla rottura. Nel seguito si esporranno le caratteristiche del comportamento delmateriale lungo le varie fasi che precedono il collasso.

In genere questo tipo di prove sperimentali possono essere condotte o a controllo diforza, ovvero stabilendo valori del carico via via crescenti e misurando le corrispondentitensioni e deformazioni, oppure a controllo di spostamento, ovvero imponendo al provinoun livello di spostamenti via via crescente e misurando le forze e le tensioni necessarie perottenere gli spostamenti voluti e le corrispondenti deformazioni.

La differenza tra i due approcci sta nel fatto che, operando con il metodo a controllo diforza, in corrispondenza delle condizioni di rottura, il provino non e in grado di assorbireulteriori incrementi di carico e la prova si arresta repentinamente con la rottura del provino


stesso. D’altra parte, operando secondo il controllo di spostamento, in corrispondenza delvalore di carico massimo si riescono ad imporre al provino degli ulteriori incrementi dideformazione, a patto di ridurre il carico agente. In questo modo il metodo a controllo dispostamento e in grado di cogliere anche il ramo post-rottura, detto ramo di softening.

Qualunque materiale per valori modesti del carico esterno esibisce un comportamentocaratterizzato da una relazione lineare ovvero di proporzionalita diretta tra le tensioni σ ele deformazioni ε. Con riferimento alla Figura 2.7, questa prima fase e quella rappresentata

e

s

a

fase elastica lineare

limite elastico

snervamento

incrudimento

softnening

tensione di rottura

O

A

B CD

E

Figura 2.7 Diagramma σ − ε per un materiale duttile soggetto a trazione.

dal tratto di curva OA ed e definita fase elastica lineare.Aumentando il valore del carico esterno si entra in una fase in cui il comportamento e

ancora elastico, ovvero le deformazioni sono reversibili e rimuovendo il carico si riesce aripristinare le condizioni iniziali, ma la relazione σ − ε non e piu lineare. Questa fase erappresentata dal tratto di curva AB.

Il punto B viene chiamato limite elastico in quanto, una volta superatolo, si ha una fasein cui la velocita di deformazione aumenta considerevolmente e il materiale fluisce plas-ticamente a carico pressoche costante. Questa fase, individuata dal tratto BC, e detta fasedi snervamento e una parte delle deformazioni e irreversibile. L’aumento della velocita dideformazione e dovuta alla rottura di alcuni legami molecolari con un conseguente rias-setto della configurazione cristallina. La tensione corrispondente al punto B viene indicatacome tensione di snervamento.

Una volta raggiunta una nuova configurazione cristallina stabile il materiale e prontoa subire ulteriori incrementi del carico esterno, incrementando sia le tensioni che le cor-rispondenti deformazioni secondo la legge descritta dal tratto CD, detta fase di incrudi-mento. E da notare che le pendenze della curva CD sono di gran lunga minori rispetto aquella del tratto iniziale OA, segno che il materiale e ormai degradato. In corrispondenzadel punto D si ha il massimo valore di tensione che il materiale puo sopportate e che vienedetta tensione di rottura.

Successivamente, se si opera in controllo di spostamento, si puo osservare la cosiddettafase di softening, descritta dal tratto DE, in cui si ha una rapida caduta delle tensioni. Nellazona centrale del provino durante le ultime fasi della prova si evidenzia la sezione nella

LA PROVA DI TRAZIONE PER I MATERIALI DUTTILI 21

quale avverra la rottura attraverso la presenza di un restringimento della sezione trasversaledetto strizione.

Il processo di rottura dei legami molecolari avviene con dispersione di calore e l’areasottesa al diagramma σ − ε della Figura 2.7 rappresenta una misura dell’energia per unitadi volume spesa per la deformazione.

Fig. 2.8

e

s

a

ep eel

aO

A

B CM D

E

T

Figura 2.8 Ciclo di isteresi per un materiale duttile.

In corrispondenza della fase elastica, ovvero fino al raggiungimento del punto B inFigura 2.8, un processo di scarico della forza esterna avviene in modo tale da ripercorrerelo stesso ramo della fase di carico. Quando il valore della forza residua si annulla, quindi,non si registreranno deformazioni residue.

Se invece lo scarico si fa avvenire a partire da un punto M successivo al punto B, loscarico avverra secondo una curva MT che puo essere in prima approssimazione assimilataad una retta di pendenza pressoche identica alla retta di carico iniziale. Tale curva inter-sechera l’asse delle deformazioni in un punto T cui compete un valore di deformazioneεP . La deformazione corrispondente al punto M εM , allora, viene solo in parte restituitaallo scarico e risulta essere composta da due aliquote: εM = εel + εP , in cui εel e laporzione elastica della deformazione ed e reversibile, mentre εP e l’aliquota plastica delladeformazione ed e irreversibile.

Se si opera con una nuova fase di carico a partire dal punto T si notera che la curva rap-presentativa dello stato del materiale seguira un percorso TM quasi parallelo al tratto MTma tale che le due curve individuino l’area tratteggiata in Figura 2.8, detta area d’isteresi,la cui superficie e proporzionale all’energia dispersa durante il ciclo e che si ritrovera sottoforma di calore.

Il fenomeno della strizione, seppure in forme estreme, ha evidenziato la presenza diuna ulteriore componente di deformazione riferita alla direzione trasversale del provino.Questa deformazione sara di segno opposto alla deformazione longitudinale, ovvero si os-servano delle contrazioni trasversali in corrispondenza a dilatazioni longitudinali e, vicev-ersa, delle dilatazioni trasversali in corrispondenza alle contrazioni longitudinali. Inoltre,la deformazione trasversale sara proporzionale in modulo alla deformazione longitudinale.


Pertanto, indicando con εl la deformazione longitudinale e con εt la deformazionetrasversale varra la seguente relazione:

εt = −νεl

in cui il coefficiente di proporzionalita ν viene definito come coefficiente di Poisson ede caratteristico del materiale. Puo dimostrarsi che 0 ≤ ν ≤ 0.5 e, ad esempio, si avraν = 0.10 per il calcestruzzo, ν = 0.30 per l’acciaio e ν = 0.50 per un fluido incomprimi-bile.

2.5 La prova di compressione per i materiali fragili

Per quanto riguarda il comportamento fino a rottura dei materiali fragili, essi sono caratter-izzati dal non possedere una fase plastica e, quindi, si perviene alla condizione di rotturain maniera repentina appena esaurita la fase elastica, in modo da non potere distinguere tratensione di snervamento e tensione di rottura.

Un’altra importante differenza rispetto i materiali duttili e costituita dal fatto che, men-tre i materiali duttili esibiscono lo stesso tipo di comportamento se sottoposti a sforzi ditrazione o di compressione, per i materiali fragili il comportamento e radicalmente dif-ferente. In particolare, la resistenza a trazione della maggior parte dei materiali fragilinaturali (materiali lapidei) o artificiali (calcestruzzo, ghisa) e moto piccola rispetto la cor-rispondente resistenza a compressione. Nella Figura 2.9 e riportata una caratteristica curvaσ − ε per i materiali fragili.

e

s

A

B D

E

Figura 2.9 Diagramma σ − ε per una prova su un materiale fragile.

2.6 Modellazione del legame costitutivo

Nella pratica progettuale il legame σ − ε, derivato da una prova sperimentale e descrittonelle sezioni precedenti, e difficile da gestire dal punto di vista computazionale. Per cui,

IL METODO DELLE TENSIONI AMMISSIBILI 23

e

s

e

s

e

s

a) b) c)

Figura 2.10 Diagramma σ − ε per una prova su un materiale fragile.

salvo nei casi in cui l’importanza delle opere o dei rischi connessi siano particolarmenteelevati, si fa sempre riferimento ad una modellazione semplificata dei legami costitutivi.

Nella Figura 2.10 vengono riportate alcune delle modellazioni semplificate piu ricor-renti. Con la lettera a) e descritta una modellazione che prevede, alla fine del ramo elasticopensato lineare, una fase perfettamente plastica in cui le deformazioni crescono indefini-tamente a carico costante. Il legame costitutivo cosı descritto e chiamato elastico perfet-tamente plastico. In Figura 2.10-b viene invece riportata una semplificazione del legameσ−ε che, per tenere conto della fase di incrudimento, modella il legame costitutivo con unabilatera tale che la pendenza del secondo ramo e notevolmente inferiore a quella del primoramo elastico. Questo modello si chiama elasto-plastico incrudente. Infine, la Figura 2.10-c riporta una modellazione in cui la fase elastica non viene considerata e il materiale avraun comportamento rigido fintantoche non venga raggiunta una soglia di tensione, oltrela quale il materiale fluira plasticamente a carico costante. Tale modellazione esprime illegame costitutivo rigido-plastico.

2.7 Il metodo delle tensioni ammissibili

Oltre alle considerazioni relative alla resistenza del materiale, il progettista dovra an-che considerare i limiti imposti alla deformabilita delle strutture per poterne garantire lafruibilita, a maggior ragione quando la tipologia strutturale o i materiali impiegati con-sentono l’adozione di elementi strutturali particolarmente snelli.

Nella Scienza delle Costruzioni, in genere, ci si limita ad utilizzare il materiale all’inter-no del tratto elastico lineare iniziale. Questo avviene, oltre alle ovvie ragioni legate allasicurezza delle strutture, al fine di semplificare notevolmente i procedimenti di calcolo e dianalisi strutturale.

Inoltre, per mantenere un ragionevole margine di sicurezza rispetto al limite di pro-porzionalita elastica, si introduce il concetto di tensione ammissibile che e, appunto, lamassima tensione alla quale si potra utilizzare il materiale. Detta σ0 il valore della ten-sione di snervamento o di limite elastico e s un opportuno coefficiente di sicurezza (s ≥ 1,in genere s = 3), la definizione di tensione ammissibile e data dalla:

σamm =σ0s

Per quanto riguarda i materiali fragili, in genere si prescinde del tutto dal considerareuna resistenza a trazione (s → ∞, σamm = 0) e si applica un opportuno coefficiente disicurezza alle tensioni di rottura a compressione.


2.8 La prova a torsione

Consideriamo adesso un altro tipo di prova sperimentale. Supponiamo di avere un provinocostituito da un cilindro cavo, tale cioe che la sua sezione trasversale e di tipo anulare consimmetria polare. Ipotizziamo che una delle due facce di estremita del cilindro sia fissatarigidamente e che l’altra estremita sia libera ma soggetta ad un momento torcente, ovveroavente asse parallelo all’asse geometrico del provino, come mostrato nella Figura 2.11-a. Indichiamo con R il raggio esterno della sezione trasversale e con s il suo spessore,

Ra

s

qdC

a) b)

Mt

x

Mt

q

g

Rqp

Figura 2.11 Prova a torsione su un cilindro cavo e sezione trasversale.

nell’ipotesi che s sia piccolo rispetto a R.Per ogni valore del momento torcente Mt applicato e possibile misurare lo spostamento

dei punti dell’estremita libera e cercare di determinare il regime deformativo. Supponendoche il materiale di cui e costituito il provino sia elastico, lineare ed isotropo, e ragionev-ole supporre che la deformazione avvenga mantenendo piane le sezioni trasversali e, perpiccoli valori del momento torcente, che le fibre longitudinali del provino si mantenganorettilinee e non varino la propria lunghezza. La deformazione, allora, e governata dal solovalore della rotazione rigida che sopporta ogni sezione trasversale e che indichiamo conθ (x).

Dal punto di vista meccanico, operando una sconnessione del cilindro con un piano π1ortogonale all’asse x e passante per un punto di ascissa generica x1, e immediato riscon-trare che sulla sezione cosı individuata devono aversi delle tensioni disposte in modo daequilibrare il momento torcente Mt. Queste tensioni non possono avere una componentedella loro risultante disposta in direzione normale alla sezione trasversale, perche la risul-tante dei carichi esterni in direzione dell’asse x e nulla; un ulteriore motivo per cui nonpossono esserci tensioni dirette lungo l’asse x e che si e postulato che le fibre longitudinalinon variano la propria lunghezza. Le tensioni presenti, quindi, devono giacere sul pianodella sezione trasversale e per questo motivo vengono dette tensioni tangenziali. Esse sonoresponsabili delle deformazioni che provocano la rotazione delle sezioni trasversali.

Considerando un altro piano π2 parallelo al precedente ed intersecante l’asse x in unpunto di ascissa x2, sarebbe possibile svolgere nuovamente le considerazioni fatte in prece-

LA PROVA A TORSIONE 25

e,g

s,t

s-e

t-g

Figura 2.12 Confronto tra i diagrammi σ − ε per le tensioni normali e τ − γ per le tensionitangenziali.

denza per cui si puo concludere che lo stato di sollecitazione nel cilindro non dipendedall’ascissa considerata ed e pertanto uniforme. Inoltre, per ragioni di simmetria, le ten-sioni tangenziali τ non possono dipendere dall’anomalia α e, dato che lo spessore s R,possiamo considerarle contanti lungo lo spessore s e dirette in direzione tangente alla cir-conferenza media della sezione trasversale, come mostrato in Figura 2.11-b.

Il loro valore deve essere tale da essere equilibrare il momento torcente Mt per cui,considerando il contributo infinitesimo della forza elementare q agente sul tratto dC, essadara luogo ad un contributo infinitesimo di momento torcente pari a:

dMt = qdCR = qR2dα

ricordando che dC = Rdα. Integrando su tutta la sezione trasversale si ha:

Mt =

2π∫0

qR2dα = 2πqR2

Dal punto di vista dimensionale, per ottenere il valore della tensione tangenziale τ e nec-essario dividere q per lo spessore s ottenendo la seguente equazione di equilibrio:

τ =q

s=

Mt

2πR2s

La deformazione corrispondente alla tensione τ e detta scorrimento γ e corrisponde allavariazione di angolo tra due fibre che nella configurazione indeformata erano ortogonali. Ilsignificato geometrico dello scorrimento per il caso in esame e riportato nella precedenteFigura 2.11.

Per ricavare le equazioni di congruenza possiamo descrivere l’andamento delle rotazioniθ (x). Nell’estremo vincolato la rotazione sara nulla per cui θ (0) = 0. Nell’estremo liberoavremo invece θ (L) = Θ. Per quanto detto in precedenza il regime tensionale e uniformein tutto il cilindro e, nell’ipotesi di materiale elastico lineare, sara uniforme anche lo stato di


deformazione che risulta essere individuato dal solo valore dello scorrimento. Tale valore,con riferimento ancora alla Figura 2.11, puo essere ricavato da semplici considerazionigeometriche. Per la sezione di estremita deve aversi: γ (L)L = ΘR da cui:

γ (L) = γ =ΘR

L

e poiche lo scorrimento e costante, per la generica sezione di ascissa x si avra:

γ (x)x = θ (x)R

da cui si ricava:θ (x) =

Θx

L

che rappresenta la ricercata equazione di congruenza.L’ultimo gruppo di equazioni e quello che regola il legame tra le tensioni tangenziali

agenti e lo scorrimento prodotto. La linearita del materiale ci assicura che esistera unlegame di proporzionalita diretta per cui possiamo scrivere le seguenti equazioni costitu-tive:

τ = Gγ

in cui G prende il nome di modulo di elasticita tangenziale e, come si vedra nel seguito,puo essere espresso in funzione del modulo di Young E e del coefficiente di Poisson ν.

Nella Figura 2.12 e riportato in via semplificata il confronto tra il legame σ− ε ricavatoda una prova di trazione e quello τ − γ ricavato da una prova di torsione sullo stessomateriale. E immediato constatare che gli andamenti sono simili anche se numericamentedifferenti.

CAPITOLO 3

CARATTERISTICHE STATICHE ECINEMATICHE DI STRUTTUREMONODIMENSIONALI

Si intende per sistema materiale un qualsiasi aggregato di punti materiali a prescinderedalle sue proprieta fisiche o meccaniche. La cinematica dei sistemi materiali studia la ge-ometria dei sistemi materiali durante il corso della loro deformazione. Chiamiamo configu-razione di un sistema l’assetto geometrico di ognuno dei punti che compongono il sistema.Allora la cinematica dei sistemi materiali studia le configurazioni cinematicamente am-missibili, ovvero la classe di configurazioni che un dato sistema puo assumere nel rispettodell’integrita del materiale e nel rispetto dei vincoli.

Tali configurazioni possono essere descritte fissando un numero minimo di parametrilagrangiani, cioe dei parametri tra loro indipendenti che descrivono univocamente la con-figurazione stessa. Vi sono diverse possibili scelte dei parametri lagrangiani, ma il loro nu-mero dipende soltanto dalle caratteristiche cinematiche del sistema materiale. I parametrilagrangiani vengono anche detti gradi di liberta del sistema e possono essere identificaticon le possibilita di spostamento semplici che il sistema possiede.

Ad esempio, un corpo rigido nel piano possiede tre gradi di liberta. Infatti, con riferi-mento allo schema riportato in Figura 3.1, e possibile identificare univocamente qualsiasisua configurazione fissando tre parametri lagrangiani che possono essere le coordinate delsuo baricentro xG e yG e l’angolo ϕ che il segmento GP forma con l’asse x.

Sono possibili diverse scelte per i parametri lagrangiani ma il loro numero sara semprepari a tre; a titolo esemplificativo si potrebbero scegliere le quattro coordinate dei punti Ae B del corpo rigido, ma esse non saranno parametri indipendenti in quanto la distanzaABdeve mantenersi inalterata durante i cambiamenti di configurazione e pertanto tra queste


27

28 CARATTERISTICHE STATICHE E CINEMATICHE DI STRUTTURE MONODIMENSIONALI

x

y

G

xG x G'

yG

A

B

P

P'

G'

A'

B'

y'G j'

j=0

Figura 3.1 Determinazione delle configurazioni di un corpo rigido nel piano.

quattro coordinate esiste la relazione:

AB2

= (xB − xA)2

+ (yB − yA)2

che fa sı che in realta i parametri liberi non siano piu quattro bensı tre. La condizione dicorpo rigido puo, quindi, essere vista come una limitazione alla possibilita di movimento,ovvero come un vincolo interno.

3.1 Le caratteristiche cinematiche dei vincoli

Generalizzando, un vincolo e un dispositivo atto a limitare delle possibilita di movimentodel sistema materiale cui e applicato, riducendo di fatto le classi di configurazioni ammis-sibili e, quindi, i gradi di liberta del sistema. L’entita della riduzione dei gradi di libertadipende dalla tipologia del vincolo e viene definita molteplicita cinematica del vincolo.

I vincoli possono, quindi, essere classificati in base alla loto molteplicita: essi possonoessere semplici, doppi, tripli, ecc. a seconda del numero di gradi di liberta che sottraggonoal sistema. Nello spazio un corpo formato da infiniti punti materiali (corpo deformabile)possiede ∞6 gradi di liberta (∞3 nel piano), ma se il corpo e rigido i gradi di liberta siriducono a 6 (3 nel piano).

I vincoli oggetto della Scienza delle Costruzioni sono sempre considerati come pun-tiformi, ovvero non hanno estensione fisica. Essi possono essere anche classificati secondoaltri criteri. Si chiamano vincoli olonomi quelli le cui condizioni di vincolo possono es-sere espresse tramite equazioni o disequazioni in termini finiti, mentre sono detti vincolianolonomi quelli esprimibili mediante formulazioni differenziali.

Un altro elemento di classificazione porta a distinguere tra vincoli monolateri e bilateri;i primi esplicano la loro funzione cinematica solo nei riguardi di un verso degli spostamentiimpediti, mentre consentono lo spostamento opposto. Per questi vincoli la condizione ana-litica e rappresentata da una disequazione. Al contrario, i vincoli bilateri impediscono en-trambi i versi degli spostamenti cui si riferiscono e sono espressi analiticamente mediantedelle equazioni.

LE CARATTERISTICHE CINEMATICHE DEI VINCOLI 29

Inoltre, i vincoli possono essere classificati come rigidi o perfetti se eliminano total-mente le possibilita di movimento elementare cui sono applicati oppure come cedevoli sene consentono una quantita residua. Nella Scienza delle Costruzioni si fa di norma rifer-imento a vincoli olonomi, bilateri e lisci (nel senso che non generano forze di attrito) eperfetti (salvo quando indicato espressamente).

Passiamo adesso ad esaminare le caratteristiche dei vincoli piu comuni dal punto di vistacinematico, ovvero stabilire quali spostamenti vengono impediti o consentiti da ogni tipodi vincolo. Per semplicita ci si riferira al caso piano, ovvero i gradi di liberta posseduti daicorpi che considereremo sono le due traslazioni in direzione x e y di un punto del corpo ela rotazione ϕ. L’estensione al caso generale spaziale e ovvia.

f) x

y

Ø

A

e)

A

x

y

d)

A

x

y

¥

c)

x

y

¥

A

A

x

y

a) b)

A

x

y

O

Figura 3.2 Caratteristiche cinematiche delle tipologie comuni di vincolo; a) carrello; b) biella; c)quadri pendolo; d) bipendolo; e) cerniera; f) incastro.

Nella Figura 3.2 sono riportati i vincoli piu comuni nello studio della Scienza delleCostruzioni. In a) e rappresentato il carrello in cui il punto A del corpo rigido e vincolatoa scorrere lungo un piano parallelo all’asse x e la rotazione attorno al punto A e consentita.Di fatto questo vincolo impedisce soltanto la traslazione in direzione ortogonale al pianodi scorrimento (direzione y) ed e pertanto un vincolo semplice.

In b) e rappresentato il pendolo semplice o biella. Il punto A puo muoversi lungouna circonferenza di raggio OA ma, per piccoli spostamenti, possiamo confondere talecirconferenza con la sua tangente. Inoltre, poiche l’unico spostamento impedito risultaessere quello in direzione radiale, ed essendo consentita la rotazione, anche questo sara unvincolo semplice.


Il vincolo rappresentato in c) e detto doppio bipendolo o quadripendolo; in regime dipiccoli spostamenti, dal momento che gli assi dei pendoli sono a due a due paralleli, ma lecoppie di assi non sono tra loro parallele, tale vincolo consentira entrambe le traslazioni eimpedira soltanto la rotazione, per cui anche questo vincolo puo essere classificato come asemplice molteplicita.

In d) viene rappresentato un vincolo che si chiama bipendolo ed e formato da due bielleunite da una piastra. Gli assi delle bielle sono paralleli tra loro e, pertanto, questo vin-colo consentira la traslazione nella direzione ortogonale agli assi. La traslazione nelladirezione parallela agli assi delle bielle e impedita dalla indeformabilita assiale delle biellestesse, mentre la rotazione e anch’essa impedita in quanto causerebbe una variazione dellalunghezza delle bielle. Il bipendolo, allora, e un vincolo a molteplicita doppia.

Il vincolo rappresentato in e) e detto cerniera fissa o appoggio; il punto A non puo subiretraslazioni ma solo una rotazione. Il vincolo in oggetto e quindi a doppia molteplicita.

L’ultimo vincolo da esaminare e quello illustrato in f) ed e detto incastro. Tale vincoloelimina qualsiasi possibilita elementare di movimento del punto A impedendo entrambe letraslazioni (x e y) e la rotazione (ϕ); l’incastro, quindi, ha molteplicita tripla. Un corporigido nel piano (che quindi possiede tre gradi di liberta) vincolato in un suo punto con unincastro perde tutte le possibilita di movimento.

Se i vincoli collegano la struttura in esame al suolo o a punti fissi vengono detti vincoliesterni, mentre se sono interposti agli elementi strutturali si dicono vincoli interni. Le con-siderazioni in merito alle molteplicita dei vincoli, svolte in precedenza con riferimento aivincoli esterni, e quindi relativamente agli spostamenti assoluti che ogni vincolo impedivao consentiva, possono essere adesso ripetute per quanto riguarda i vincoli esterni facendoriferimento agli spostamenti relativi tra le membrature connesse dal vincolo.

a)

A

A

b)

Figura 3.3 Vincoli interni; a) cerniera interna; b) incastro interno.

Per chiarire meglio questo concetto consideriamo i vincoli interni rappresentati nellaFigura 3.3. Il vincolo contraddistinto con la lettera a) e detto cerniera multipla interna;nel piano le n (tre in questo caso) aste concorrenti nel punto A possiedono tre gradi diliberta ciascuna, per cui l’intero sistema in assenza di vincoli possiede 3n gradi di liberta.Per quanto riguarda gli spostamenti assoluti il punto A puo assumere qualunque configu-razione, ma il punto A pensato appartenente all’asta 1 e il punto A pensato appartenenteall’asta 2 devono necessariamente coincidere, e lo stesso vale per ogni altra coppia di aste.

Il vincolo cerniera multipla interna, quindi, impedisce le traslazioni relative nelle duedirezioni di un’asta assunta arbitrariamente rispetto alle n− 1 aste restanti. Allora il gradodi molteplicita di questo vincolo e pari a 2 (n− 1).

Nel caso del vincolo riportato in Figura 3.3-b, detto incastro interno o vincolo di conti-nuita, vengono impedite, oltre alle traslazioni relative, anche le rotazioni relative e, seguendoun ragionamento del tutto analogo a quello visto in precedenza, si arriva alla conclusione

LE CARATTERISTICHE MECCANICHE DEI VINCOLI 31

che per n aste concorrenti il vincolo deve avere una molteplicita pari a 3 (n− 1) . Dacio si deduce che se piu aste sono connesse tra loro mediante un incastro interno, esse sicomportano come un unico corpo rigido, mantenendo solamente tre gradi di liberta nelpiano.

Come detto in precedenza, ogni vincolo si caratterizza per il tipo di spostamento checonsente. Una visione alternativa di cio e data dal concetto di centro di istantanea ro-tazione, ovvero il punto del piano, proprio od improprio, attorno al quale il sistema strut-turale che si muove per come consentito dal vincolo, puo ruotare. Nella Figura 3.2 vengonoriportati in blu i luoghi geometrici dei centri di istantanea rotazione ammessi da ogni vin-colo.

Ad esempio, il carrello, consentendo traslazioni in direzione x e rotazioni ϕ ammet-tera centri di istantanea rotazione posti lungo una retta passante per il punto A e parallelaalla direzione y. Allo stesso modo la cerniera fissa, consentendo solo rotazioni, ma nontraslazioni, ammettera che il centro di istantanea rotazione possa coincidere solamente conil punto di vincolo stesso. In maniera analoga possono essere ricavati le possibili posizionidei centri di istantanea rotazione per ognuno degli altri vincoli.

3.2 Le caratteristiche meccaniche dei vincoli

Dal punto di vista meccanico i vincoli esplicano la loro funzione attraverso la nascita dialcune forze dette appunto reazioni vincolari. Queste forze possono essere viste come lacontroparte meccanica del vincolo stesso.

Per fornire una spiegazione sommaria del comportamento meccanico dei vincoli pos-siamo condurre il seguente ragionamento. Se ipotizziamo che una struttura vincolata esoggetta ad alcune forze esterne, per fare sı che nella direzione dello spostamento impeditodal vincolo non si inneschi un atto di moto e necessaria la presenza, sul punto vincolato, diuna forza di reazione opposta alla forza agente, in modo che il sistema di forze complessivorisulti essere in equilibrio.

Sembra opportuno sottolineare che non basta la presenza di un vincolo affinche esistauna corrispondente reazione vincolare, ma e necessario che il sistema abbia effettivamentela tendenza a compiere quegli spostamenti che il vincolo non consente.

Nel caso ricorrente di vincolo puntiforme, la reazione vincolare e costituita da una forza(in senso generalizzato) concentrata applicata sul vincolo stesso e quindi, nel piano, edescrivibile con tre parametri.

In realta esiste una precisa connessione tra la funzione cinematica e la funzione mecca-nica di un vincolo: i parametri meccanici (le componenti della reazione vincolare) diversida zero corrispondono alle molteplicita cinematiche (componenti dello spostamento im-pedite) del vincolo.

Ad esempio, per il caso del carrello che, ricordiamo, impedisce solo la traslazione indirezione y, nascera una reazione che avra solamente una componente in direzione y chedenoteremo conRy , mentre le componenti della reazione nella direzione degli spostamenticonsentiti saranno nulle.

Nella Figura 3.4, seguendo lo stesso ordine seguito nel caso della determinazione delcomportamento cinematico dei vincoli, vengono evidenziate le componenti meccanichedelle reazioni vincolari. A fini riepilogativi, nella Tabella 3.1, per ogni vincolo, si riportanole caratteristiche cinematiche e meccaniche.

Riunendo in un vettoreuT =

[ux uy φ

]


A

x

y

a)

Ry Ry

b)

A

x

y

O

c)

x

y

A M

d)

A

x

y

Ry

M

e)

A

x

y

Ry

Rx

f) x

y

ARy

MRx

Figura 3.4 Caratteristiche meccaniche delle tipologie comuni di vincolo; a) carrello; b) biella; c)quadri pendolo; d) bipendolo; e) cerniera; f) incastro.

le componenti di spostamento del punto vincolato e in un vettore

RT =[Rx Ry M

]le componenti meccaniche della reazione vincolare, si puo verificare che ad una compo-nente di u nulla corrisponde una componente di R non nulla, e viceversa. In altri termini,si dice che i due vettori u e R sono ortogonali, infatti vale la:

uTR = 0

Tabella 3.1 Caratteristiche meccaniche e cinematiche dei vincoli comuni.Vincolo Caratteristiche cinematiche Caratteristiche meccaniche molteplicitaa) carrello ux 6= 0; uy = 0; φ 6= 0; Rx = 0; Ry 6= 0; M = 0; 1

b) pendolo o biella ux 6= 0; uy = 0; φ 6= 0; Rx = 0; Ry 6= 0; M = 0; 1

c) bipendolo ux 6= 0; uy = 0; φ = 0; Rx = 0; Ry 6= 0; M 6= 0; 2

d) doppio bipendolo ux 6= 0; uy 6= 0; φ = 0; Rx = 0; Ry = 0; M 6= 0; 1

e) cerniera fissa ux = 0; uy = 0; φ 6= 0; Rx 6= 0; Ry 6= 0; M = 0; 2

f) incastro ux = 0; uy = 0; φ = 0; Rx 6= 0; Ry 6= 0; M 6= 0; 3

Per quanto riguarda i vincoli interni, in precedenza si e fatto riferimento agli spostamentirelativi delle membrature connesse. Adesso, per valutare le reazioni vincolari, si devono

CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI STRUTTURALI IN BASE ALLA LORO FORMA 33

considerare, in funzione della tipologia di vincolo, delle coppie di azione e reazione internealla struttura, agenti mutuamente sulle membrane connesse dal vincolo stesso. Tali forzesaranno dette, pertanto, reazioni vincolari interne. La disposizione di tali forze sara chiaritanel seguito mediante opportuni esempi.

3.3 Classificazione dei sistemi strutturali in base alla loro forma

I sistemi materiali di cui si e parlato sono sistemi del tutto generali per forma e dimen-sione. Volendo circoscrivere la nostra attenzione ai sistemi strutturali e lecito introdurredelle schematizzazioni. A tale scopo e possibile operare una classificazione delle strutturesecondo la forma e la funzione.

Tutti i sistemi, in ultima analisi, sono tridimensionali, tuttavia in alcuni casi e lecitotrascurare alcune dimensioni quando esse sono molto piccole rispetto alle altre. E il casodello spessore delle lastre o dei gusci sottili, trascurabili rispetto le altre due dimensioni,o delle dimensioni trasversali delle aste o delle funi rispetto alla loro lunghezza. Quandosi trattano tali elementi e utile semplificare il problema meccanico e fare riferimento amodelli bidimensionali o monodimensionali, rispettivamente.

Una struttura monodimensionale puo essere pensata come generata da una porzionedi superficie piana (sezione trasversale S) che si muove nello spazio mantenendosi per-pendicolare ad una curva L descritta dal suo baricentro, cosı come mostrato in Figura 3.5.Durante il movimento la superficie S puo cambiare forma e dimensione, ma con regolarita.La linea L si chiama asse geometrico della trave. Affinche tale schematizzazione non si

x

zysolido monodimensionale

sezione trasversaleasse geometrico

S

L

Figura 3.5 Strutture monodimensionali.

discosti molto dalla situazione reale e necessario che le dimensioni della sezione trasver-sale S siano piccole rispetto allo sviluppo dell’asse geometrico. In questo caso e lecitotrascurare le dimensioni trasversali del solido generato e attribuire alla linea L le proprietageometriche e fisico-meccaniche del solido.

Se il solido monodimensionale appena descritto e sollecitato da forze trasversali esso sichiamera trave. Se la linea L, cosı come i carichi applicati, sono contenuti in un piano, latrave si dira piana. Se L e un segmento di retta, la trave si dira rettilinea, se L e una lineacurva avremo una trave ad arco. Se un solido monodimensionale, in genere prismatico, esollecitato da forze agenti in direzione dell’asse L allora avremo un tirante se queste forzesono di trazione, o un puntone se sono di compressione. Infine, se la sezione trasversale Se talmente piccola rispetto lo sviluppo dell’asse geometrico da non offrire alcuna resistenza


alle forze che tendono a piegare o a comprimere il solido, allora si dira che siamo di frontead un filo o ad una fune.

3.4 Classificazione dei sistemi strutturali in base alla disposizione dei vin-coli

Siamo adesso interessati a studiare gli effetti della presenza e della disposizione dei vincolisulle travi. Per semplicita faremo riferimento a travi piane e rettilinee, per cui il numerodei gradi di liberta della struttura non vincolata e pari a tre per ogni asta. In questo casosi fa riferimento solamente ai cosiddetti gradi di liberta di corpo rigido e si ipotizza di nonconsiderare i gradi di liberta di corpo deformabile.

Infatti, essendo questi ultimi in numero infinito, comunque non potrebbero essere elim-inati da vincoli puntiformi. Allora e lecito, in prima istanza, trattare il corpo materialecome rigido. La condizione affinche questo corpo non subisca rototraslazioni nel pianoe che non vi sia nessun punto, proprio od improprio, che possa essere identificato comecentro di istantanea rotazione. Nell’esempio seguente si chiarira meglio questo concetto.

ESEMPIO 3.1

Con riferimento al caso riportato nella Figura 3.6, la trave sconnessa dai vincoli (a) possiede tregradi di liberta; Supponiamo di aggiungere un carrello all’estremo A, cosı come riportato in (b).Il vincolo ha molteplicita semplice e quindi sopprime un grado di liberta alla struttura; il centro diistantanea rotazione (C.I.R.) dell’asta, a seguito dell’introduzione del carrello, deve trovarsi sullaretta r passante per la verticale condotta dal punto A. La struttura ha due gradi di liberta residui (ades. la traslazione orizzontale e la rotazione rispetto al punto A).

a)

A B

GdL=3b)

A B

GdL=2

rA'

B'

c)

ABGdL=1

r

A'

B'

s

K

B''

d)

AB

GdL=0

r s

K

C

tK''

K'

¥

Figura 3.6 Cinematica di una trave vincolata.

Supponiamo adesso di aggiungere una biella inclinata all’estremo B della trave, cosı come mostratoin (c). Questo e un vincolo a molteplicita semplice e sopprime un ulteriore grado di liberta del sis-tema. Il C.I.R., per effetto della biella, deve trovarsi lungo la retta s parallela all’asse della biella, maanche sulla retta r per la presenza del carrello, e pertanto si trovera nel punto K, loro intersezione

CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI STRUTTURALI IN BASE ALLA DISPOSIZIONE DEI VINCOLI 35

che puo essere propria od impropria. Le possibilita residue di movimento della trave possono quindiessere identificate da una rotazione (in senso generale) rigida attorno al punto K.

Per eliminare questa ulteriore possibilita di movimento possiamo inserire, ad esempio, un carrellonel punto C, cosı come evidenziato in (d). Anche tale vincolo ha una molteplicita semplice e quindi,se ben disposto, eliminera l’ultimo grado di liberta della trave.

Per verificare se cio accade, constatiamo che, in seguito all’introduzione del carrello in C, il C.I.R.deve trovarsi sulla retta t passante per la verticale del punto C. Tale retta, pero, non passa per il puntoK, quindi per questa disposizione dei vincoli, non esiste un punto tale che tutte e tre le rette r, s e tsi intersechino in esso, ma esistono tre punti (K, K’ e K”) in cui tali rette si intersecano a due a due.In particolare K” e un punto improprio perche le rette r e t sono parallele. Non esistendo un centroistantaneo di rotazione allora il sistema non puo compiere nessuna rototraslazione e non presentanessun grado di liberta residuo.

Vale la pena di sottolineare che una rotazione attorno ad un punto improprio e equivalentead una traslazione in direzione ortogonale a quella individuata dal punto improprio, quindisi potra sempre parlare di rotazioni in senso generalizzato attorno ad un punto.

Nel seguito si operera una classificazione le strutture in base alla disposizione dei vin-coli. Detto ν il cosiddetto grado di vincolo, ovvero il numero complessivo delle molteplicitapossedute dai vincoli, e a il numero di aste elementari di cui e composta la struttura inesame, denoteremo con q il numero residuo dei gradi di liberta della struttura, definitocome:

q = 3a− ν (3.1)

In funzione del numero di aste componenti la struttura e della disposizione dei vincoli puoverificarsi una delle tre condizioni:

q > 0: il numero dei gradi di liberta sottratto dai vincoli e inferiore al numero deigradi di liberta del sistema. Vi sono ancora gradi di liberta residui. Il sistema e dettoipercinematico o labile;

q = 0: il numero delle molteplicita vincolari e pari al numero dei gradi di liberta delsistema. Questa rappresenta una condizione necessaria perche il sistema sia isocine-matico o isostatico. La condizione sufficiente e che i vincoli siano ben disposti;

q < 0: il vincoli sottraggono al sistema un numero di gradi di liberta maggiore aquelli posseduti. Il sistema e detto ipocinematico o iperstatico.

Vale la pena di soffermarsi sul concetto che i vincoli devono essere ben disposti, ovverodevono essere effettivamente in grado di sottrarre un numero di gradi di liberta al sistemapari alla molteplicita posseduta. Per evidenziare questo aspetto si considerino i seguentiesempi.

ESEMPIO 3.2

Nella struttura riportata in Figura 3.7 il parametro q = 3 − (2 + 1) = 0 in quanto il vincolo in Ae a doppia molteplicita, mentre quello in B e un vincolo semplice. Per affermare che il sistema eisostatico proviamo a determinare se esiste il C.I.R: il punto A e un punto fisso del sistema e quindiil C.I.R., se esiste, deve coincidere con esso. D’altra parte questo deve essere anche un punto dellaretta r ortogonale al piano di scorrimento del carrello in B. Si deduce che, poiche la retta r passa perA, il C.I.R. coincide proprio con A e il sistema, nonostante abbia un numero di molteplicita vincolari


pari al numero dei gradi di liberta, mantiene ancora una possibilita di movimento. Il sistema saraallora labile.

A

B

r K

Figura 3.7 Esempio 3.2.

A CB

r s t

K ¥


ESEMPIO 3.3

Consideriamo il caso riportato nella Figura 3.8. Possiamo sicuramente affermare che il parametroq = 3 − (1 + 1 + 1) = 0 ma i vincoli sono ben disposti? Il C.I.R. deve passare per le rette r, se t tutte ortogonali al piano di scorrimento dei carrelli. Queste rette, effettivamente, sono tra loroparallele e concorrono tutte in un punto che e il punto all’infinito della loro direzione. Questo sara ilC.I.R. e il sistema possiede una possibilita di movimento residuo identificabile come una rotazioneattorno al C.I.R. improprio, ovvero come una traslazione parallela al piano di scorrimento dei carrelli,ed e quindi labile. Se invece uno dei due carrelli fosse stato ruotato, ad esempio di 45°, avremmoavuto la stessa situazione descritta nel precedente Esempio 3.1 ed il sistema sarebbe stato isostatico.

ESEMPIO 3.4

Nell’esempio di Figura 3.9 sono presenti due aste vincolate al suolo con due cerniere fisse in A e Ce vincolate tra loro attraverso la cerniera interna in B. Il parametro Il parametro q nel presente casoassume il valore q = (2 · 3) −

[2 + 2 + 2 (2− 1)

]= 0. Cerchiamo il C.I.R: le cerniere in A e C

sono dei punti fissi, quindi i C.I.R. dell’asta 1 e 2, se esistono, devono coincidere rispettivamente conA e C.

Nel caso in esame siamo invece di fronte ad un sistema isostatico detto arco a tre cerniere. L’unicacondizione per cui il sistema possa muoversi e che anche il punto B sia allineato con A e C (caso delletre cerniere allineate che producono un cinematismo). Infatti in questo caso, descritto dalla Figura3.10, sia l’asta 1 che l’asta 2 possono ruotare attorno a A e B, rispettivamente, in quanto per talirotazioni il punto B puo muoversi in direzione ortogonale alle aste stesse. E’ immediato riconoscereche cio puo avvenire solo se vi e una sola direzione contemporaneamente ortogonale ad entrambe leaste, ovvero se esse sono allineate.

Un altro metodo per verificare la bonta della disposizione dei vincoli e quello di sconnetterela struttura da tutti i vincoli e poi, aggiungendone uno alla volta, determinare se rimangonoresidue possibilita di movimento. Gli esempi seguenti illustrano il metodo.

LA DETERMINAZIONE DELLE REAZIONI VINCOLARI 37

A

C

B

1

2


A

C

B1

2

Figura 3.10 Arco a tre cerniere allineate

ESEMPIO 3.5

Nell’esempio di Figura 3.11 sono presenti due aste. La prima e vincolata al suolo con incastronell’estremo A e con un bipendolo nell’estremo B alla seconda asta, la quale e vincolata al suolo conun carrello nell’estremo C. Il parametro q vale q = (2 · 3)−

[3 + 1 + 2 (2− 1)

]= 0.

Supponiamo di considerare la prima asta connessa all’incastro in A. Poiche il vincolo ha moltepli-cita tripla, non vi saranno gradi di liberta residui. Connettiamo adesso l’asta 2 mediante il bipendolointerno. Esso ha molteplicita m = 2 e toglie alla seconda asta la possibilita di avere traslazioniorizzontali e rotazioni relative rispetto l’asta 1. Rimane la possibilita di avere una traslazione relativaverticale dell’asta 2 rispetto l’asta 1. Questo movimento, pero, comporterebbe uno spostamento ver-ticale del punto C che e reso impossibile dall’introduzione del carrello in C. Pertanto, non rimanendonessuna possibilita residua di movimento e poiche si ha q = 0, il sistema e isocinematico.

ESEMPIO 3.6

Consideriamo il sistema di Figura 3.12. Per esso si ha: q = (2 · 3) − [3 + 2 + 2 + 1] = −2 ed ilsistema, per computo dei vincoli, sarebbe ipocinematico di grado 2.

Cerchiamo di capire se i vincoli sono disposti in maniera efficace: il corpo 1 (aste ABCD) erigido e l’incastro in A sopprime tutte le possibilita di movimento. Il vincolo in B risulta quindiessere sovrabbondante e non efficace. L’asta 2 non puo subire traslazioni orizzontali e verticalirelative rispetto l’asta 1 grazie alla doppia molteplicita della cerniera interna in D, ma puo ruotare concentro in D. Questa rotazione, nell’ipotesi di piccoli spostamenti, si traduce in E in uno spostamentoortogonale alla congiungente ED e quindi in uno spostamento orizzontale. Il carrello in E non e ingrado di bloccare questa possibilita di movimento per cui il sistema e labile.

3.5 La determinazione delle reazioni vincolari

La conoscenza della risposta strutturale di un sistema materiale puo ritenersi acquisita nelmomento in cui, nota la geometria del sistema, i carichi su di esso applicati e le caratter-istiche del materiale di cui e costituito, e possibile determinare in ogni punto i valori delcampo di spostamenti e deformazioni subite e il valore delle azioni interne. Questo per-


A CB1 2

A CB1 2

a)

b)


A

1

2

B

C D

E

Figura 3.12 Esempio 3.6

corso di conoscenza che si svolgera nei prossimi capitoli ha necessariamente inizio dalladeterminazione delle reazioni vincolari.

Nel paragrafo precedente ci si e soffermati sulle caratteristiche cinematiche dei sistemiin funzione del numero e della disposizione dei vincoli, ma non si e fatto riferimento aduna specifica condizione di carico. Nel presente paragrafo, invece, si vogliono delineare icriteri mediante i quali, sotto opportune condizioni, e possibile determinare le reazioni deivincoli attraverso considerazioni che coinvolgono solo l’equilibrio.

3.5.1 Le equazioni cardinali della statica

Esaminando il comportamento di un sistema materiale da punto di vista statico, si puoapplicare il cosiddetto Postulato fondamentale della Meccanica secondo il quale e possi-bile sostituire i vincoli di un sistema con le reazioni vincolari che essi esplicano. Questereazioni vincolari, a priori incognite, devono essere in equilibrio con i carichi cui e soggettoil sistema.

Per imporre le condizioni di equilibrio si fa ricorso alle cosiddette Equazioni Cardinalidella Statica le quali affermano che un sistema vincolato soggetto a carichi e in equilibriose e solo se l’insieme delle forze attive (azioni esterne) e reattive (reazioni vincolari) harisultante nulla e momento risultante nullo rispetto a qualsiasi punto nel piano, ovvero sesono verificate le: ∑

F = 0∑MO = 0 ∀O ∈ R3

(3.2)

Quindi, in generale, nello spazio 3D possiamo scrivere sei equazioni scalari, in numeropari ai gradi di liberta di corpo rigido nello spazio. Riferendosi, invece, al caso piano, leequazioni cardinali della statica diventano le tre seguenti:∑

Fx = 0∑Fy = 0∑Mz,O = 0 ∀O ∈ R2

(3.3)


Negli esempi seguenti verra mostrato l’utilizzo delle equazioni cardinali della statica (o piusemplicemente equazioni di equilibrio) nella ricerca delle reazioni vincolari.

ESEMPIO 3.7

Consideriamo il sistema di Figura 3.13-a. Dal punto di vista cinematico possiamo affermare che ilparametro q vale: q = 3 − [1 + 1 + 1] = 0, i vincoli sono ben disposti e il problema e isocine-matico. Sostituiamo ai vincoli le corrispondenti reazioni vincolari assunte ipotizzandone un verso.In questo ambito, valendo l’ipotesi di piccoli spostamenti, e possibile imporre l’equilibrio rispetto laconfigurazione indeformata iniziale (Figura 3.13-b).

I carrelli in A e in B reagiscono ciascuno con una forza ortogonale al piano di scorrimento, mentrela biella in C reagisce con una forza diretta lungo l’asse della biella stessa. Imponendo l’equilibrioattraverso la (3.3) si ha un sistema di tre equazioni e tre incognite che avra una soluzione univoca perogni valore della forza F (il sistema e isostatico in quanto i vincoli sono ben disposti):

∑Fx = 0;∑Fy = 0;∑Mz,C = 0;

→

−RC cosα = 0

−VA − VB + F −RC sinα = 0

−2VAL− VBL+ Fb = 0

→

RC = 0

VA =F (b− L)

L

VB =F (2L− b)

L

(3.4)

Ponendo, per esempio, b = L/2 si ricava: RC = 0, VA = −F/2 e VB = 3F/2, come mostratonella Figura 3.13. Il valore negativo trovato per la reazione vincolare VA va inteso nel senso che ilverso ipotizzato della reazione era errato.

a)

A CB

L L

F

ba

b)

A CBF

aVA VB

RC

c)

A CBF

12F

32F


A

B

F

L2

L2a)

A

B

F

b)VA

HA HB


ESEMPIO 3.8

Sia dato il sistema di Figura 3.14, gia considerato in precedenza e per il quale risultava q = 0, maera labile in quanto i vincoli risultavano essere mal disposti. Ci si chiede come si traduce questacircostanza in termini di equazioni di equilibrio.


Sostituendo ai vincoli le corrispondenti reazioni vincolari ed imponendo l’equilibrio attraverso la(3.3) si ha:

∑Fx = 0;∑Fy = 0;∑Mz,A = 0;

→

HB = HA

−VA + F = 0

FL

2= 0

(3.5)

Il sistema (3.5) ha tre equazioni e tre incognite ma la terza equazione conduce ad una identita maiverificabile, mentre dalle altre due non si riesce a ricavare univocamente il valore delle reazioni vin-colari. La labilita del sistema e quindi mostrata dalla impossibilita di verificare in nessuna condizionedi carico la terza equazione, d’altra parte le prime due equazioni formano un sistema in tre incogniteche e segno di una iperstaticita (vi sono piu incognite che equazioni).

3.5.2 L’approccio matriciale alle equazioni cardinali della statica

Per ottenere una classificazione del sistema strutturale in esame puo applicarsi esiste ilcosiddetto approccio matriciale che consiste nello scrivere le equazioni di equilibrio informa matriciale CR = F, in cui indichiamo il vettore delle incognite con R, il vettore deicarichi con F e la matrice dei coefficienti con C. La soluzione di questa equazione e

R = C−1F (3.6)

Dalla Geometria sappiamo che “Condizione Necessaria e Sufficiente perche un sistemalineare ammette una soluzione unica e che la matrice dei coefficienti C sia quadrata ea rango pieno, ovvero che il suo determinante sia diverso da zero”. A partire da questoapproccio possono svolgersi delle interessanti considerazioni.

ESEMPIO 3.9

A CBF

a=p2

A CBF

VA VB RC

a=p2

a)

b)

Figura 3.15 Condizione di labilita.

Considerando ancora l’Esempio 3.7, e possibile scrivere le equazioni di equilibrio (3.4) in formamatriciale:

−RC cosα = 0

−VA − VB + F −RC sinα = 0

−2VAL− VBL+ Fb = 0

→

0 0 − cosα

−1 −1 − sinα

−2L −L 0

VA

VB

RC

=

0

−F−Fb


in cui la forma compatta CR = F e ottenuta attraverso le seguenti posizioni:

R =

VA

VB

RC

F =

0

−F−Fb

C =

0 0 − cosα

−1 −1 − sinα

−2L −L 0

La CNS affinche tale sistema ammetta una sola soluzione e espressa dalla:

det (C) = −L cosα+ 2L cosα = L cosα 6= 0

che e verificata per α 6= π/2. Quindi, affinche il sistema sia isostatico (ammetta una sola soluzione)e necessario che α 6= π/2,ovvero il pendolo in C non deve assumere la posizione verticale.

Nel caso in cui α = π/2, dalla Figura 3.15 le rette r, s e t contenenti il C.I.R. per ognuno deivincoli sarebbero tutte parallele e, pertanto, esisterebbe un C.I.R. nel punto all’infinito della direzioneverticale. Il sistema potrebbe, quindi, traslare in direzione orizzontale.

Per posizioni dei pendoli diverse da quella verticale, la soluzione del sistema di equazioni esisteed e unica ed il suo valore e:

R = C−1F→

VA

VB

RC

=

− tanα 1 −1/L

2 tanα −2 1/L

− secα 0 0

0

−F−Fb

=

F(1 + b/L

)−F

(2 + b/L

)0

;

Si vuole fare notare che la matrice C contiene solamente informazioni di natura geomet-rica e cinematica e, pertanto, lo studio delle condizioni di isostaticita non dipende dallaparticolare condizione di carico ma solo dalla geometria del sistema e dalla disposizionedei vincoli.

Il metodo matriciale assume delle proprieta interessanti quando viene applicato allostudio di sistemi labili o iperstatici, come viene mostrato dagli esempi seguenti.

ESEMPIO 3.10

Si consideri il sistema di Figura 3.16-a. Esso e composto da un’asta vincolata nel solo punto A conuna cerniera fissa. Il parametro q vale: q = 3 − (2) = 1, quindi il sistema in esame possiede ungrado di liberta residuo che puo essere identificato con la rotazione dell’asta attorno all’estremo A.Il sistema e pertanto detto ipercinematico o labile.

Si supponga che il sistema sia soggetto ad una forza F in mezzeria ed inclinata di un angolo αrispetto la direzione orizzontale. E possibile scrivere le equazioni di equilibrio nella forma:

HA − F cosα = 0

VA − F sinα = 0

FL

2sinα = 0

→

HA = F cosα

VA = F sinα

identita mai verificata

La terza equazione, che esprime l’equilibrio alla rotazione rispetto al punto A, degenera in una iden-tita mai verificata sebbene dalle altre due equazioni e possibile determinare il valore delle reazionivincolari. Questo comporta che, oltre alla labilita gia riscontrata, non sono presenti delle iperstaticita.


AFa

A

VA

a)

b)

L2

L2

Fa

HA

c)A F

a=0L2

L2


Se si pongono le equazioni di equilibrio nella forma matriciale si ottiene la forma compatta CR =F in cui valgono le seguenti posizioni:

R =

HA

VA

F=

F cosα

F sinα

FL/2 sinα

C =

1 0

0 1

0 0

La matrice dei coefficienti C contiene piu righe (numero di equazioni) che colonne (numero direazioni vincolari incognite) e viene detta matrice rettangolare alta. Ovviamente questa matricenon e invertibile e il suo rango e 2. Di conseguenza il sistema non ammette soluzioni staticamenteammissibili (e ipostatico).

E interessante ricercare le condizioni di carico sotto le quali il sistema possiede delle soluzioni.Per fare questo e necessario imporre che la terza equazione di equilibrio possa essere verificata comeidentita:

FL/2 sinα = 0→ sinα = 0→ α = 0± kπ (k ∈ N)

La Figura 3.16-c mostra una delle due configurazioni del carico per la quale il sistema puo essereconsiderato isostatico per condizioni di carico.

ESEMPIO 3.11

Si consideri il sistema di Figura 3.17. Esso e composto da un’asta vincolata ad incastro nell’estremoA e con un carrello semplice all’altro estremo B. Essa e soggetta ad una forza F inclinata di unangolo α rispetto la direzione orizzontale ed agente a distanza a dall’incastro. Il parametro q vale:q = 3− (3 + 1) = −1, quindi il sistema in esame puo essere classificato come ipocinematico.


A B

aLa)

A B

b)VA

HA

Fa

VB

MA


Si sostituiscano i vincoli con le rispettive reazioni vincolari e si scrivano le equazioni di equilibrioin forma compatta:

HA − F cosα = 0

VA + VB − F sinα = 0

MA + VBL− Fa sinα = 0

→ CR = F→

1 0 0 0

0 1 1 0

0 0 L 1

HA

VA

VB

MA

=

F cosα

F sinα

Fa sinα

Si puo notare che adesso la matrice C dei coefficienti presenta piu colonne (reazioni vincolari

incognite) che righe (equazioni di equilibrio) ed ha rango pari a 3. Il sistema possedera, quindi∞1

soluzioni staticamente ammissibili. In altri termini sara possibile fissare arbitrariamente il valore diuna delle reazioni vincolari e determinare di conseguenza il valore delle rimanenti altre. Per questomotivo i sistemi come questo vengono anche detti iperstatici.

ESEMPIO 3.12

Si consideri il caso riportato in Figura 3.18. Le due aste AB e BC sono connesse in B da un vincolointerno di continuita (incastro interno) che sopprime tre gradi di liberta, per cui il parametro q assumeil valore q = (2 · 3) − (1 + 2 + 3) = 0. Alla stessa determinazione si arriva considerando le dueaste AB e BC come un’unica asta, trovando q = 3− (1 + 2) = 0.

Le equazioni di equilibrio, una volta sostituiti i vincoli con le reazioni vincolari incognite comemostrato in Figura 3.18-b, possono essere poste nella forma:

F +RA cos 45 −HC = 0

RA sin 45 − VC = 0

FL/2 + VCL−HCL = 0

→ CR = F→


C

a=45°

A

B

L

La)

C

a=45°

A

B

b) VC

HC

F F

RA


→

cos 45 −1 0

sin 45 0 −1

0 −L L

RA

HC

VC

=

F

0

−FL/2

Il sistema ammette una soluzione unica se e solo se la matrice C dei coefficienti e a pieno rango,

ovvero se il determinante e diverso da zero. Ma, poiche det (C) = L sin 45 − L cos 45 = 0, ilsistema non ammette soluzione, ovvero non esiste una configurazione di reazioni vincolari atte adequilibrare una qualunque disposizione dei carichi esterni; il sistema e pertanto labile.

A questa conclusione si poteva giungere considerando che la biella in A ammette la possibilitadi avere un C.I.R. disposto lungo la retta contenente la biella stessa. Questa retta, passando per lacerniera in C, identifica il C.I.R. dell’intero sistema proprio in corrispondenza del punto C. NellaFigura 3.18-a viene anche evidenziata una possibile configurazione spostata.

La circostanza che il parametro q sia pari a zero sembra contraddire la classificazione dellestrutture svolta in precedenza. In realta, nel caso in oggetto, alla labilita appena evidenziata e daaggiungersi anche una iperstaticita. Uno dei vincoli, infatti, e disposto in modo da impedire unospostamento gia reso impossibile da un altro vincolo.

Dall’esame degli esempi precedenti puo concludersi che le condizioni di isostaticita di unsistema strutturale dipendono solamente dalla geometria e dalla cinematica del sistema.D’altra parte, tali attitudini devono essere in qualche modo “attivate” dalla particolare con-dizione di carico cui il sistema e soggetto.

Per chiarire meglio il concetto e utile riferirsi all’esempio illustrato in Figura 3.19. Il sis-tema descritto alla lettera a) e chiaramente ipercinematico in quanto q = 3− (1 + 1) = 1 epresenta una possibilita residua di movimento da individuarsi nella traslazione orizzontale.Questa possibilita, pero, deve essere attivata dal carico, ovvero affinche vi sia movimentoe necessario che il carico presenti una componente orizzontale diversa da zero. Nel casoillustrato, non essendo presente tale componente, siamo di fronte ad un sistema labile maisostatico per condizioni di carico.


A Ba)

F

F2

F2

A Bb)

F

F2

F2

A Bc)

F

F2

F2

Figura 3.19 Condizioni cinematiche attivate dai carichi.

Il sistema descritto alla lettera b) riporta un caso per certi versi opposto al precedente.Il parametro q vale q = 3 − (2 + 2) = −1 ed il sistema puo essere classificato comeipocinematico in quanto, in generale, le tre equazioni di equilibrio associate ai gradi diliberta di corpo libero non sono sufficienti alla determinazione delle quattro reazioni vin-colari incognite. In particolare, e possibile mostrare che le due componenti orizzontalidelle reazioni vincolari restano indeterminate, ma, in assenza di componenti orizzontalidel carico, queste reazioni non si attivano (hanno valore nullo) e le due equazioni di equi-librio residue (alla traslazione verticale ed alla rotazione) sono sufficienti a determinarele componenti verticali delle reazioni vincolari. Il sistema cosı descritto si denota comeiperstatico ma isostatico per condizioni di carico.

Il sistema denotato con la lettera c) e invece effettivamente isostatico dal momento cheil parametro q vale q = 3− (2 + 1) = 0 ed i vincoli sono ben disposti. E possibile ottenereuna soluzione ammissibile sia cinematicamente che staticamente in corrispondenza di ogniconfigurazione di carico e, per la configurazione di carico descritta, tutti e tre i sistemiammettono la medesima soluzione.

3.5.3 Sistemi con vincoli interni: metodo dell’equazione ausiliaria

Nell’esempio 3.12 e stato affrontato per la prima volta il caso di un sistema con piu aste.Dal momento, pero, che esse erano connesse tra loro con un vincolo interno di continuita,e stato ancora possibile applicare il metodo di soluzione fin qui proposto.

Nel caso in cui, invece, i vincoli interni abbiano molteplicita inferiore e necessarioscrivere le equazioni di equilibrio tenendo conto della presenza del vincolo interno. Nelseguente esempio verranno discussi due possibili procedimenti.

ESEMPIO 3.13

Si consideri il caso riportato in Figura 3.20-a. Le due aste I e II sono connesse in B da una cernierainterna che sopprime 2 (n− 1) = 2 gradi di liberta; le cerniere esterne fisse in A ed in C sopprimonoognuna due gradi di liberta, per cui il parametro q assume il valore q = (2 · 3) − (2 + 2 + 2) = 0.Se i vincoli sono ben disposti il sistema e isostatico. Il caso illustrato puo essere considerato come un


arco a tre cerniere ed e staticamente determinato se e solo se, come nel caso presente, le tre cernierenon sono allineate.

Per ricavare le equazioni di equilibrio e necessario sostituire i vincoli con le rispettive reazioni vin-colari incognite, trattando i vincoli interni allo stesso modo dei vincoli esterni, ovvero introducendouna reazione vincolare incognita per ogni componente cinematica impedita.

C

A

B

L

L

a)

I

h

L

II

F

C

A

B

b)

I II

F

VA

HA

VC

HC

VB

HB

HB

VB


Dal momento che la cerniera interna impedisce gli spostamenti relativi orizzontali e verticalidell’asta II rispetto l’asta I, le corrispondenti azioni meccaniche sono le forze orizzontali e verticalicon cui il sistema I agisce sul sistema II e le rispettive forze orizzontali e verticali con cui il sistemaII agisce sul sistema I, quest’ultime ovviamente uguali e contrarie alle prime due per il principio diazione e reazione.

La configurazione delle reazioni vincolari e riportata in Figura 3.20-b. Il punto B sara quindi ilcentro di rotazione relativa dell’asta I rispetto l’asta II. In virtu di quanto affermato, le equazioni diequilibrio del sistema sono:

HA −HC = 0

VA + VC − F = 0

FL

2+HC (L− h)− 2VCL = 0

(3.7)

L’esame del sistema di equazioni (3.7) porta a considerare che, nonostante il sistema strutturale inoggetto sia isostatico, si ha un sistema di tre sole equazioni in quattro incognite che non ammette unasoluzione unica. Va, pero, notato che le equazioni di equilibrio appena determinate non contengonoalcuna informazione sulle peculiari condizioni di vincolo del punto B.

Per determinare qualche informazione aggiuntiva che ci consenta di risolvere il sistema possiamoricordare che, affinche una struttura possa essere considerata in equilibrio lo deve essere sia global-mente (come espresso imponendo le equazioni cardinali della statica), sia localmente. In altri terminiognuna delle parti in cui possiamo suddividere la struttura deve essere in equilibrio.


Nel caso in oggetto, quindi, possiamo pensare di isolare ad esempio l’asta I, come mostrato nellaFigura 3.21-a e scriverne le equazioni di equilibrio.

HA −HB = 0

VA + VB = F

FL

2−HBL− VBL = 0

(3.8)

In questo modo abbiamo altre tre equazioni disponibili, ma si sono anche introdotte altre due

A

Ba)

I

F

VA

HA

VB

HB

C

B

b)

II

VC

HC

HB

VB

Figura 3.21 Equilibrio locale dei tronchi.

nuove incognite. Complessivamente, considerando unitamente il sistema (3.7)+(3.8) si avranno seiequazioni in sei incognite che ammettera la soluzione unica:

HA = HB = HC =FL

2 (h+ L)VB = VC =

Fh

2 (h+ L)VA =

F (2L− h)

2 (h+ L)(3.9)

Alternativamente, imponendo l’equilibrio dell’asta II, come mostrato nella Figura 3.21-b, potevanoscriversi le seguenti:

HB −HC = 0

VB − VC = 0

HBh− VBL = 0

(3.10)

e considerando in modo analogo il sistema (3.7)+(3.10) si poteva giungere alla stessa soluzione.Infine, poteva operarsi sin dall’inizio sconnettendo il sistema in due tronchi e scrivendo le equazioni

di equilibrio per ognuno di essi. Si sarebbe ottenuto il sistema (3.8)+(3.10) il quale, ovviamente am-mette la medesima soluzione (3.9).

Nel caso in cui non si fosse in prima battuta interessati alle reazioni vincolari interne, e possibileutilizzare un approccio alternativo che consente di ridurre le equazioni del sistema risolvente e disemplificarne la soluzione. Il sistema di equazioni di equilibrio globale (3.7), puo essere risoltoimponendo una sola ulteriore equazione. L’equazione mancante, detta equazione ausiliaria, e quellache tiene conto delle caratteristiche meccaniche del vincolo interno.

Nel caso in oggetto, la cerniera interna consente la rotazione relativa tra i due tronchi della strut-tura e, pertanto, non e in grado di assorbire nessun momento. Allora e possibile ricavare l’equazioneausiliaria imponendo che la totalita delle forze attive a sinistra (tronco I) o a destra (tronco II) della


cerniera interna non devono produrre momento risultante rispetto al punto B:∑MB = 0→ VCL−HCh = 0 (3.11)

Il sistema (3.7)+(3.11), composto da quattro equazioni in quattro incognite, ammette la medes-ima soluzione (3.9) in termini delle reazioni vincolari esterne. Per determinare le reazioni vincolariinterne e comunque necessario procedere all’equilibrio di uno dei tronchi, ma il metodo porta delleindubbie semplificazioni di calcolo.

3.5.4 Il caso dei vincoli interni caricati

Nel caso affrontato nel paragrafo precedente le reazioni vincolari incognite della cernierainterna potevano essere determinate sostituendo tale vincolo con una coppia di forze gen-eralizzate di azione e reazione per ognuna delle molteplicita del vincolo interno. Cio evalido fintantoche sul vincolo stesso non agiscano delle forze concentrate.

In caso contrario, quando cioe un vincolo interno risulta essere caricato, e necessarioisolarlo dalla struttura e determinare le reazioni vincolari che esso trasmette alle porzionidi struttura che collega, imponendo le condizioni di equilibrio del vincolo. Nell’esempioseguente e mostrato questo procedimento in relazione ad una struttura avente la stessageometria di quella appena esaminata, ma in cui una forza concentrata agisce sul vincolointerno.

ESEMPIO 3.14

Si consideri il caso riportato in Figura 3.22-a. Le due aste I e II sono connesse in B da una cernierainterna e su di essa agisce una forza concentrata F. Il sistema, identico a quello dell’esempio prece-dente, e chiaramente isostatico.

C

A

B

L

L

a)

I

h

L

II

F

A

B

I

VA

HA

V'BH'B

C

B

b)

II

VC

HC

H''BV''B

B

FH'B

V'B V''BH''B


Per determinare il valore delle reazioni vincolari e possibile considerare separatamente i singolitronchi I e II, come mostrato in Figura 3.22-b, tenendo pero conto del fatto che adesso le reazioni


vincolari interne della cerniera in B non saranno piu uguali a destra ed a sinistra, ma saranno taliche la cerniera, pensata isolata dal resto, sia in equilibrio sotto l’azione della forza F e delle reazionitrasmesse dal resto della struttura. Le equazioni di equilibrio del primo tronco sono, quindi:

HA −H ′B = 0

VA + V ′B = 0

H ′BL+ V ′BL = 0

mentre le equazioni di equilibrio del secondo tronco si scrivono come:H ′′B −HC = 0

VC − V ′′B = 0

H ′′Bh− V ′′BL = 0

Questi due sistemi ci forniscono sei equazioni in otto incognite e, al fine di arrivare ad una soluzione,e necessario imporre anche l’equilibrio della cerniera: H ′B −H ′′B = 0

V ′B + F − V ′′B = 0

Queste ultime due equazioni non introducono ulteriori incognite e conducono alla soluzione delsistema.

3.5.5 I carichi ripartiti

Fin qui ci siamo occupati di carichi che abbiamo modellato come forze o coppie concen-trate, agenti cioe su un singolo punto del nostro sistema strutturale. E ovvio che questa eun’astrazione in quanto qualunque sia la natura del carico, esso sara comunque agente suuna porzione della struttura che, per quanto possa essere limitata, non sara mai puntiforme.

Esistono, pero, esempi di carichi che non possono essere modellati utilizzando il con-cetto di forza concentrata. Ad esempio, in ogni sistema strutturale sara sempre presente ilcarico dovuto al peso proprio del sistema stesso; possiamo considerare questo carico comeun insieme di forze concentrate infinitesime applicate ad ognuna degli infiniti volumi ele-mentari di cui e composta la nostra struttura. In altri termini, la forza peso e come se agissein maniera distribuita su tutto il volume.

Se invece facciamo riferimento al carico trasmesso dal vento alla vela di una imbar-cazione, esso agisce in maniera piu o meno uniforme su tutta la superficie della vela, ovveroe distribuito su tutta l’area. Infine, se consideriamo una fune sospesa tra due punti fissi, ciaccorgiamo che essa si disporra lungo una curva in funzione del fatto che su ogni elementodi lunghezza infinitesima, gravera una forza concentrata verticale, ovvero una forza pesodistribuita sulla lunghezza.

Si e cosı introdotto il concetto di forza distribuita ovvero di carico ripartito. E da notareche la unita di misura del carico ripartito e la cosiddetta densita di forza che assume diverseunita misura: sara

[F/L3]

nel caso di forza per unita di volume,[F/L2]

nel caso di forza

per unita di superficie, e infine[F/L

]nel caso, per noi piu frequente, di forza per unita di

lunghezza. Nell’esempio seguente verra mostrato come eseguire il calcolo delle reazionivincolari in caso di presenza di carichi ripartiti.


ESEMPIO 3.15

Si consideri il caso, riportato in Figura 3.23-a, in cui una mensola e soggetta ad un carico uniforme-mente ripartito in direzione verticale di intensita q. Per determinare il valore delle reazioni vincolarisi impongono le equazioni di equilibrio con riferimento al caso generale in cui l’andamento del caricoripartito non e costante ma puo essere espresso come q (x). La soluzione all’esempio proposto potrapoi essere ricavata come caso particolare:

HA = 0

VA −∫ L

0q (x) dx = 0

MA −∫ L

0q (x)xdx = 0

→

HA = 0

VA = qL = Q

MA = qL2

2= QL

2

E immediato ravvisare che agli stessi risultati si sarebbe potuti pervenire sostituendo il carico dis-tribuito q (x) con la sua risultante che e una forza concentrata di modulo pari all’integrale del caricoripartito e posizionata sul baricentro di esso, come mostrato in Figura 3.23-b.

Questa ultima affermazione e di validita del tutto generale e puo essere verificata con riferimentoal caso riportato in Figura 3.24-a in cui l’andamento del carico ripartito ha forma triangolare.

A B

La)

A B

b)VA

HA

MA

q

Q=qL

L2

Figura 3.23 Carico ripartito uniforme.

A B

La)

A B

b)VA

HA

MA

q

Q=qL/2

L3

Figura 3.24 Carico ripartito triangolare.

In questo caso e possibile descrivere l’andamento dell’intensita del carico ripartito mediante lafunzione:

q (x) = qL− xL

e le equazioni di equilibrio assumono la forma:HA = 0

VA −∫ L

0qL−x

Ldx = 0

MA −∫ L

0q L−x

Lxdx = 0

→

HA = 0

VA = qL2

= Q

MA = qL2

6= QL

3

E opportuno ribadire che SOLAMENTE al fine di determinare le reazioni vincolari e lecitosostituire i carichi distribuiti con dei carichi concentrati di intensita pari alla risultante

LA DETERMINAZIONE DELLE CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE 51

del carico distribuito e aventi punto di applicazione passante per il baricentro del caricodistribuito. In altri termini, e lecito sostituire il sistema dei carichi ripartiti con un sistemadi forze concentrate ad esso equivalente, tale cioe che si abbia la stessa risultante e lo stessomomento risultante.

3.6 La determinazione delle caratteristiche della sollecitazione

Fino ad ora abbiamo usato le equazioni cardinali della statica nell’ipotesi di piccoli sposta-menti (ovvero imponendo l’equilibrio delle aste sulla configurazione indeformata) alloscopo di determinare le reazioni vincolari, ovvero le grandezze meccaniche esterne incog-nite, del sistema strutturale in esame.

Il passo successivo nel cammino della conoscenza della risposta strutturale di un sistemamateriale e quello di procedere alla determinazione del valore delle azioni meccanicheinterne in ogni punto del sistema strutturale. A tale scopo supponiamo di considerare iltronco di trave illustrato in Figura 3.25.

x1

x2

x3

p(x )3

m(x )3

n(x )3

p

Figura 3.25 Tronco di trave soggetto ad una sistema di carichi generico.

Fissando l’attenzione su una particolare sezione trasversale, e possibile definire un sis-tema di riferimento come in figura in cui l’asse x3 e tangente all’asse geometrico dellatrave, mentre x1 e x2 giacciono sul piano π ortogonale a x3 che contiene la sezione trasver-sale.

Supponiamo che la trave sia caricata da un sistema di azioni distribuite contenute nel pi-ano x2-x3 e che, nel modo piu generale possibile, tali azioni possano essere descritte da unacomponente distribuita assialmente n (x3), da una componente distribuita trasversalmenteall’asse p (x3) e da una componente di coppie distribuite m (x3). Inoltre, supponiamo cheil tronco di trave soggetto ai carichi appena descritti sia in equilibrio. Stabiliremo, infine,per convenzione che tali componenti dei carichi saranno da considerarsi positive se con-cordi con gli assi del sistema di riferimento e per quanto riguarda la componente m (x3)faremo riferimento all’asse momento.

Un sistema siffatto si dice sistema piano in quanto esiste un piano (nel caso in esame ilpiano x2-x3) che contiene sia l’asse geometrico della trave che tutti i carichi. Inoltre, l’asse


x1

x2

x3

p(x )3

n(x )3

m(x )3

p

T(x )3

M(x )3

N(x )3

Figura 3.26 Caratteristiche della sollecitazione.

geometrico della trave durante il cambiamento di configurazione dovuto all’applicazionedei carichi sara sempre contenuto nel medesimo piano.

Immaginiamo di sezionare il tronco di trave con il piano π e di rimuoverne la porzionedi destra. Dal momento che il solido era in equilibrio, per potere mantenere questo statoanche dopo la sconnessione e necessario che attraverso il piano π le due porzioni dellatrave che si sono venute a creare si scambino un sistema di forze, come mostrato in Figura3.26.

In altri termini, una volta eliminato il tronco di trave a destra del piano π, per garantirel’equilibrio, e necessario ripristinare le forze che le due parti del solido si scambiavano at-traverso la sezione trasversale in π. In generale, queste forze sono distribuite puntualmentein un modo che le conoscenze fin qui maturate non ci consentono di determinare ma, al finedi garantire l’equilibrio, e sufficiente determinare la risultante di questo sistema di forze,che penseremo applicato al baricentro della sezione trasversale, e il momento risultanterispetto allo stesso baricentro.

Sara possibile scomporre la risultante in una forza diretta lungo l’asse x3 e quindi or-togonale rispetto alla sezione trasversale che sara chiamata sforzo normale N (x3), ed inuna forza diretta lungo l’asse x2 quindi giacente sul piano della sezione trasversale chesara chiamata sforzo di taglio T (x3). Il momento risultante, avente asse momento direttoparallelamente all’asse x1 e detto momento flettente M (x3). Queste tre componenti ven-gono definite caratteristiche della sollecitazione e sono delle azioni meccaniche interneche danno informazioni su come vengono canalizzati i carichi esterni all’interno degli ele-menti strutturali per essere scaricati sui vincoli.

3.6.1 Il metodo diretto attraverso le equazioni di equilibrio

La soluzione completa del problema strutturale consistera anche nella determinazionedell’andamento delle caratteristiche della sollecitazione in ogni sezione del nostro sistema,che potra effettuarsi attraverso considerazioni che riguardano l’equilibrio.

Operando la sconnessione attraverso il piano π si sono ottenuti due solidi che, nellaconfigurazione originaria, avevano in comune la medesima sezione trasversale. Riferen-


x2

x3

N(x3)

T(x3)

M(x3)

N(x3)

T(x3)

M(x3)

Figura 3.27 Caratteristiche della sollecitazione.

doci alla Figura 3.26 assumeremo convenzionalmente che la faccia la cui normale uscentee concorde con l’asse x3 sara indicata come faccia di normale positiva, mentre la stessasezione pensata appartenente alla porzione di solido rimossa, la cui normale uscente e dis-corde con l’asse x3 sara indicata come faccia di normale negativa. Ovviamente, in virtudel principio di azione e reazione, le caratteristiche della sollecitazione agenti sulle duefacce saranno uguali.

I versi delle caratteristiche della sollecitazione si assumeranno positivi per convenzionese sulla faccia di normale positiva risultano essere concordi con gli assi di riferimento.Nella Figura 3.27 vengono riportati i versi positivi delle caratteristiche di sollecitazioneper la faccia di normale positiva e per la faccia di normale negativa. Negli esempi seguentisi traccera un metodo per la determinazione dell’andamento delle caratteristiche della sol-lecitazione per sistemi strutturali isostatici.

ESEMPIO 3.16

Si consideri il semplice caso, riportato in Figura 3.28-a, in cui una trave incastrata nel punto Ae soggetta ad una forza concentrata verticale di intensita F nell’estremo libero B. Il parametro divincolo vale q = 3− 3 = 0, i vincoli sono ben disposti e quindi il sistema e isostatico.

Applichiamo le equazioni cardinali della statica per determinare le reazioni vincolari, comemostrato in Figura 3.28-b:

HA = 0

VA − F = 0

MA − FL = 0

→

HA = 0

VA = F

MA = FL

Fissando un sistema di riferimento con origine nel punto A, al fine di determinare le caratteristichedella sollecitazione effettuiamo una sconnessione in una sezione di ascissa generica x3. Isoliamo laparte della trave a sinistra della sezione di sconnessione e ipotizziamo la presenza delle caratteristichedella sollecitazione sulla sezione terminale di questo tronco, come mostrato in Figura 3.28-c. Il versodelle caratteristiche della sollecitazione e quello positivo per una faccia di normale positiva.


A

B

La)

A

B

b)VA

HA

F

MA F

x3

A

c)F

FL

x3 T(x3)

N(x3)

M(x3)

Figura 3.28 Sistema strutturale dell’esempio3.16.

a)

b)

c)

x3

x3

x3

N(x )3

T(x )3

M(x )3

F

FL

Figura 3.29 Andamento delle caratteristichedella sollecitazione.

Per determinare il valore delle caratteristiche della sollecitazione nella sezione di ascissa x3 im-poniamo l’equilibrio del tronco, utilizzando come polo per i momenti proprio la sezione di ascissax3:

N (x3) = 0

T (x3)− F = 0

M (x3) + FL− Fx3 = 0

→

N (x3) = 0

T (x3) = F

M (x3) = F (x3 − L)

(3.12)

Poiche i valori delle caratteristiche della sollecitazione adesso trovati sono stati determinati peruna generica sezione, i risultati ottenuti possono essere considerati validi per tutte le sezioni comefunzioni di x3. Allora e possibile tracciare l’andamento delle caratteristiche della sollecitazionelungo lo sviluppo della trave, come riportato in Figura 3.29.

In particolare lo sforzo normale e identicamente nullo su tutta la trave, lo sforzo di taglio risultaessere costante e positivo e quindi va disegnato al di sotto dell’asse x3, il momento flettente ha unandamento lineare e per tracciarlo e necessario conoscere il valore in due punti. Particolarizzandol’ultima delle (3.12) per i punti A e B si ottiene:

M (0) = −FLM (L) = 0

Il valore del momento flettente e quindi dappertutto negativo e pertanto va tracciato al di sopradell’asse x3.

Il segno del momento flettente ed il relativo diagramma hanno inoltre un significato fisico preciso.Infatti, durante il processo deformativo che accompagna la presenza del momento flettente, alcunefibre della trave si allungheranno e risulteranno essere tese, mentre altre si accorceranno e risulter-anno essere compresse. Il diagramma del momento flettente verra tracciato sempre dal lato dellefibre tese.


T(x3)

N(x3)

M(x3)

A

B

La)

A

B

b)VA

HA

MA

M

x3

A

c)

M

x3

M

Figura 3.30 sistema strutturale dell’esempio3.17.

x3

x3

x3

N(x )3

T(x )3

M(x )3

a)

b)

c)

M


ESEMPIO 3.17

Si consideri il, riportato in Figura 3.30-a, in cui una trave incastrata nel punto A e soggetta ad unacoppia concentrata nell’estremo libero B di intensita M . Il parametro q = 3− 3 = 0, i vincoli sonoben disposti e quindi il sistema e isostatico.

Le reazioni vincolari vengono determinate imponendo le equazioni di equilibrio, come mostratonella Figura 3.30-b.

HA = 0

VA = 0

MA −M = 0

→

HA = 0

VA = 0

MA = M

Per determinare le caratteristiche della sollecitazione operiamo una sconnessione in una sezione diascissa generica x3 e imponiamo l’equilibrio del tratto a sinistra, come mostrato in Figura 3.30-c. Siottiene:

N (x3) = 0

T (x3) = 0

M (x3) +M = 0

→

N (x3) = 0

T (x3) = 0

M (x3) = −M

L’unica sollecitazione diversa da zero e il momento flettente che e negativo e quindi le fibre superioririsulteranno tese. I diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione sono mostrati nella Figura3.31.

L’esempio seguente mostra un caso leggermente piu complesso in cui e presente un caricouniformemente ripartito.


ESEMPIO 3.18

Si consideri il caso, riportato in Figura 3.32-a, in cui una trave incastrata nel punto A e soggetta adun carico uniformemente ripartito di intensita q. Il parametro q = 3 − 3 = 0, i vincoli sono bendisposti e quindi il sistema e isostatico.

Le reazioni vincolari possono essere determinate imponendo le condizioni di equilibrio, comemostrato nella Figura 3.32-b, una volta sostituito il carico ripartito con una forza concentrata diintensita qL posta in mezzeria:

HA = 0

VA − qL = 0

MA − qLL

2= 0

→

HA = 0

VA = qL

MA =qL2

2

Considerando una sezione di sconnessione di ascissa generica x3 e guardando a sinistra, possiamoimporre l’equilibrio e determinare le caratteristiche della sollecitazione, come mostrato in Figura3.32-c.

N (x3) = 0

T (x3) = qL−∫ x3

0qdx

M (x3) +qL2

2− qLx3 +

∫ x3

0q (x3 − x) dx = 0

→

N (x3) = 0

T (x3) = q (L− x3)

M (x3) = − q2

(L− x3)2

Nelle sezioni terminali in A ed in B dove x3 = 0 e x3 = L, rispettivamente, si ha:

in A

N (0) = 0

T (0) = qL

M (0) = −qL2

2

; in B

N (L) = 0

T (L) = 0

M (0) = 0

L’andamento delle caratteristiche della sollecitazione e riportato nella Figura 3.33. Lo sforzo nor-male e nullo dappertutto, mentre lo sforzo di taglio ha un andamento lineare ed il momento flettenteha un andamento parabolico. In corrispondenza del punto A le caratteristiche della sollecitazionehanno valore pari alle reazioni vincolari, mentre nel punto B sono tutte nulle. Anche in questo casoil momento e negativo in tutta la trave e le fibre tese sono quelle superiori.

Nell’esempio che segue si trattera il caso di un sistema strutturale composto da due aste:

ESEMPIO 3.19

Consideriamo adesso il sistema strutturale riportato in Figura 3.34-a. Esso e costituito da dueaste ortogonali unite con un vincolo di continuita in B e vincolate a terra con una cerniera fissain A e con un carrello con piano di scorrimento orizzontale nel punto C. Tale sistema e soggettoad una forza concentrata orizzontale F posta in mezzeria dell’elemento verticale. Il parametroq = 2 · 3− (3 + 2 + 1) = 0 e i vincoli sono ben disposti; quindi il sistema e isostatico.


A

B

La)

A

B

b)VA

HA

MA

x3

A

c)

qL²2

x3

q

Q=qL

L2

qL

q

T(x3)

N(x3)

M(x3)


qL²

2

qL

2qL2

x3

x3

x3

N(x )3

T(x )3

M(x )3


Sostituendo i vincoli con le loro reazioni vincolari ed imponendo l’equilibrio, come mostrato inFigura 3.34-b, si ottiene:

HA = F

VA − VC = 0

FL

2− VCL = 0

→

HA = F

VA =F

2

VC =F

2

Per determinare l’andamento delle caratteristiche della sollecitazione nel caso in esame e neces-sario considerare tre sezioni di sconnessione. Riferendosi agli schemi riportati nella Figura 3.34-c,si impone l’equilibrio per ogni schema e si puo trovare l’andamento delle caratteristiche della sol-lecitazione:

S1)

N (x3) = −F

T (x3) = −F2

M (x3) = −F2x3

S2)

N (x3) = −F

2T (x3) = F

M (x3) = F

(x3 −

L

2

) S3)

N (x3) = −F

2T (x3) = 0

M (x3) = 0

Adesso si hanno tutte le informazioni per tracciare i diagrammi che vengono riportati nella Figura3.35.

In generale si deve considerare una sezione di sconnessione ogni volta che:

si incontra un vincolo (esterno o interno), ivi compresi i vincoli interni di continuita;e presente una forza concentrata o una coppia concentrata.


T(x3)

N(x3)

M(x3)

T(x

T(x

3

3

)

)

N(x

N(x

3

3

)

)

M(x

M(x

3

3

)

)

L

x3

x3

x3

A

L/2

C

B

L/2

F

a)

A

C

B

F

b)

VA

HA

VC

A

C

c)

VA

HA

VC

A BVA

HA

S2

S1

S2

S1

S3

S3

Figura 3.34 Esempio 3.19. Reazioni vincolari e sezioni di sconnessione.

E da notare che l’espressione analitica delle funzioni che descrivono l’andamento dellecaratteristiche della sollecitazione dipende dal sistema di riferimento scelto, mentre i dia-grammi finali saranno ovviamente invarianti rispetto a questa scelta.

3.6.2 Le equazioni indefinite di equilibrio della trave ed il metodo indiretto

Nel presente paragrafo siamo interessati a conoscere i legami, se esistono, tra le diversecaratteristiche della sollecitazione e tra esse ed i carichi esterni. Per fare cio ci apprestiamoa scrivere le equazioni di equilibrio di un tratto infinitesimo del nostro solido monodi-mensionale. Dal momento che il nostro sistema continuo e deformabile, esso avra infinitigradi di liberta e, pertanto, otterremo un numero infinito di equazioni di equilibrio. In altritermini scriveremo le equazioni di equilibrio non in forma finita ma differenziale.

Supponiamo di avere una trave rettilinea piana i cui estremi x3 = 0 e x3 = L siano vin-colati in modo arbitrario. La trave, rappresentata in Figura 3.36, e soggetta ad un sistemapiano di forze e coppie distribuite le cui intensita variano da punto a punto e possono esseredescritte mediante le funzioni n (x3) per il carico disposto in direzione assiale, p (x3) peril carico disposto trasversalmente all’asse del solido e da m (x3) per il carico costituito dacoppie distribuite.

Operando due sconnessioni su sezioni vicinissime, come mostrato in Figura 3.37, epossibile estrarre dalla trave un tronco di lunghezza infinitesima dx3. Le porzioni a destrae a sinistra del tronco estratto, per garantire l’equilibrio, devono scambiare con esso duesistemi di forze attraverso le due sezioni di sconnessione. Possiamo identificare tali sistemidi forze con le rispettive risultanti, ovvero con le caratteristiche della sollecitazione.


A

C

B

N(x )3 T(x )3 M(x )3

A

C

BF

F

F/2

F/2

A

C

B

FL/2

Figura 3.35 Esempio 3.19. Andamento delle caratteristiche della sollecitazione.

x3

L

p(x )3

n(x )3

m(x )3

Figura 3.36 Trave rettilinea piana soggetta ad un sistema generico di forze.

Sulla faccia di sinistra agiranno quindi: N (x3), T (x3) e M (x3), mentre sulla facciadi destra saranno presenti le forze: N (x3 + dx3), T (x3 + dx3) e M (x3 + dx3). Sulconcio, inoltre, agiranno anche i carichi distribuiti esterni n (x3), p (x3) e m (x3), conx3 < x3 < x3 + dx3. Imponendo l’equilibrio del tronco infinitesimo si ha:

N (x3 + dx3)−N (x3) = −n (x3) dx3

T (x3 + dx3)− T (x3) = −p (x3) dx3

M (x3+dx3)−M (x3)−T (x3) dx3 =−p (x3) dx3 (x3+dx3−x3)−m (x3) dx3(3.13)


N(x )3

N(x +d )3 x3

T(x )3

T(x +d )3 x3M(x )3

M(x +d )3 x3

p(x )3

n(x )3

m(x )3

dx3

Figura 3.37 Equilibrio di un tronco infinitesimo estratto dalla trave soggetta a carichi distribuiti.

Dividendo entrambi i membri delle equazioni (3.13) per dx e trascurando l’infinitesimo diordine superiore nella terza equazione, si ottengono le seguenti:

N (x3 + dx3)−N (x3)

dx3= −n (x3)

T (x3 + dx3)− T (x3)

dx3= −p (x3)

M (x3 + dx3)−M (x3)

dx3= T (x3)−m (x3)

(3.14)

E immediato riconoscere che i primi membri delle (3.14) sono dei rapporti incrementali,per cui mediante un passaggio al limite per dx3 → 0 (ovviamente sara anche x3 → x3), siottengono le seguenti equazioni indefinite di equilibrio delle travi rettilinee:

N ′ (x3) = −n (x3)

T ′ (x3) = −p (x3)

M ′ (x3) = T (x3)−m (x3)

(3.15)

Tali equazioni valgono in tutto il campo omogeneo x3 ∈ (0, L) purche non vi siano pre-senti forze concentrate. In particolare, l’ultima delle (3.15) ci assicura che, in assenza dicoppie distribuite m (x3), il taglio T (x3) e la derivata del momento flettente M (x3), cosıcome il carico trasversale p (x3) e la derivata dello sforzo di taglio T (x3) a meno delsegno.

Le (3.15) sono delle equazioni differenziali e, per essere risolte, necessitano di oppor-tune condizioni al contorno. Poiche i punti di estremita del dominio di validita sono quelliin cui sono in genere applicate forze concentrate, studiamo adesso il caso in cui sul conciodi trave di lunghezza 2dx3, riportato in Figura 3.38, agisca un sistema generico di forzeconcentrate. Imponendo l’equilibrio si ricava:


N(x +d )3 x3

N(x -d )3 x3

T(x +d )3 x3

T(x -d )3 x3M(x +d )3 x3

M(x -d )3 x3

2dx3

P

Q

C

Figura 3.38 Equilibrio di un tronco infinitesimo estratto dalla trave in presenza di forze concentrate.

→↓

N (x3 + dx3)−N (x3 − dx3) = −QT (x3 + dx3)− T (x3 − dx3) = −PM (x3 + dx3)−M (x3 − dx3)− 2T (x3 − dx3) dx3 = −C − Pdx3

(3.16)

Mediante un passaggio al limite per dx3 → 0, i termini della terza equazione che con-tengono il taglio T (x3 − dx3) e la componente trasversale della forza concentrata P ten-dono a zero. Inoltre, ci si accorge che i valori delle caratteristiche della sollecitazione nellasezione di ascissa x3 presentano una discontinuita ed e possibile individuare un valoredi tali caratteristiche immediatamente a sinistra delle forze concentrate ed un altro valoreimmediatamente a destra.

In altri termini, la presenza di carichi concentrati induce dei salti sul valore delle carat-teristiche della sollecitazione. Denotando conQ la generica componente della sollecitazio-ne, tali discontinuita possono essere indicate come

∆Q (x3) = Q (x3 + dx3)−Q (x3 − dx3)

e le (3.16) possono essere cosı riscritte:

→↓

∆N = −Q∆T = −P∆M = −C

(3.17)

Le (3.17) sono equazioni di equilibrio che valgono in tutte le sezioni in cui sono applicateforze concentrate, ivi comprese le reazioni vincolari. Tali equazioni assicurano che, inpresenza di forze concentrate, le caratteristiche delle sollecitazioni subiranno dei salti pari,a meno del segno, all’entita della corrispondente componente delle forze concentrate.

Sostituendo le precedenti equazioni (3.15) nelle (3.17) e possibile ricavare una quartaequazione:

∆M ′ = −P


Quest’ultima equazione asserisce che una forza concentrata trasversale all’asse P , oltrea provocare una discontinuita del taglio T (x3), provochera anche una cuspide (o puntoangoloso) nel momento flettente M (x3).

Integrando le equazioni (3.15) ed utilizzando le equazioni (3.17) per porre le condizionial contorno e possibile trovare per ogni tratto del sistema strutturale in esame l’andamentodelle caratteristiche della sollecitazione in forma analitica, secondo il cosiddetto metodoindiretto. Nel seguito si forniranno alcuni esempi per l’applicazione di questo metodo.

ESEMPIO 3.20

Si consideri il sistema riportato in Figura 3.33-a gia affrontato in precedenza mediante il metododiretto. Adesso se ne propone la soluzione utilizzando il metodo indiretto. Assumendo note lereazioni vincolari, si applicano al tratto (0, L] le equazioni indefinite di equilibrio (3.15) e si procedecon la loro integrazione:

N ′ (x3) = −n (x3)

T ′ (x3) = −p (x3)

M ′ (x3) = T (x3)−m (x3)

→

N ′ (x3) = 0

T ′ (x3) = −qM ′ (x3) = T (x3)

→

N (x3) = c1

T (x3) = −qx3 + c2

M (x3) = −qx23

2+ c2x3 + c3

Per determinare l’andamento delle caratteristiche della sollecitazione sono pertanto necessarie trecostanti di integrazione. Per determinarle possiamo considerare le reazioni vincolari nella sezione diincastro x3 = 0 come delle forze concentrate e quindi puo scriversi:

N (0) = ∆N = −HA = 0

T (0) = ∆T = − (−VA) = qL

M (0) = ∆M = −qL2

2

→

c1 = 0

c2 = qL

c3 = −qL2

2

→

N (x3) = 0

T (x3) = q (L− x3)

M (x3)=−qx23

2+ qLx3−

qL2

2

Nell’esempio che segue si trattera il caso di un’asta semplicemente appoggiata soggetta aduna forza concentrata in mezzeria.

ESEMPIO 3.21

Si consideri il sistema riportato in Figura 3.39. Sulla isostaticita del sistema si e gia detto in prece-denza, mentre le reazioni vincolari possono essere determinate imponendo le equazioni di equilibro,trovando HA = 0, VA = F/2 e VB = F/2. A causa della forza concentrata in mezzeria, latrave e divisa in due campi omogenei

(0, L/2

)e(L/2, L

). Per ognuno dei due intervalli possiamo

applicare le (3.15):N ′I (x3) = −n (x3) = 0

T ′I (x3) = −p (x3) = 0

M ′I (x3) = TI (x3)−m (x3)

→

NI (x3) = c1

TI (x3) = c2

MI (x3) = c2x3 + c3N ′II (x3) = −n (x3) = 0

T ′II (x3) = −p (x3) = 0

M ′II (x3) = TII (x3)−m (x3)

→

NII (x3) = c4

TII (x3) = c5

MII (x3) = c5x3 + c6


A BF

VA= F F2 2

HA=0

VB=


FL/4

F/2F/2

F

x3

x3

x3

N(x )3

T(x )3

M(x )3

Figura 3.40 Esempio 3.21. Andamento dellecaratteristiche della sollecitazione.

E possibile determinare le costanti di integrazione imponendo le condizioni al contorno. In partico-lare, sul primo tratto

(0, L/2

)si possono imporre delle condizioni in x3 = 0, mentre nel secondo

tratto(L/2, L

)e possibile imporre delle condizioni in x3 = L/2, sfruttando le (3.17):

NI (0) = ∆N = −HA = 0

TI (0) = ∆T = − (−VA) = F/2

MI (0) = ∆M = 0

→

c1 = 0

c2 = F/2

c3 = 0

→

NI (x3) = 0

TI (x3) = F/2

MI (x3) = Fx3/2∆N = NII

(L/2

)−NI

(L/2

)= 0

∆T = TII

(L/2

)− TI

(L/2

)= −F

∆M = MII

(L/2

)−MI

(L/2

)= 0

→

NII

(L/2

)= NI

(L/2

)= 0

TII

(L/2

)= TI

(L/2

)− F = −F/2

MII

(L/2

)= MI

(L/2

)= FL/4

Le altre tre costanti di integrazione possono quindi essere determinate come:c4 = 0

c5 = −F/2

c6 = FL/4 + FL/4 = FL/2

→

NII (x3) = 0

TII (x3) = −F/2

MII (x3) = −Fx3/2 + FL/2 = F (L− x3)/

2

Una volta ottenute le espressioni analitiche, e possibile tracciare i diagrammi delle caratteristichedella sollecitazione riportati in Figura 3.40.

Con riferimento all’esempio appena presentato, si puo verificare che le caratteristiche dellasollecitazione determinate rispettino tutti i vincoli posti dalle equazioni (3.15) e (3.17).Infatti, in assenza di carico distribuito il taglio e costante, mentre il momento varia lin-earmente. Inoltre, le reazioni vincolari possono essere lette come le caratteristiche dellasollecitazione per le sezioni di estremita, a patto di valutare il loro segno in base alla con-venzione del concio di Figura 3.28. Infine, il carico concentrato F , oltre a provocare una


discontinuita in T (x3) pari ad F , provoca una discontinuita angolare (cuspide o puntoangoloso) nell’andamento del momento flettente M (x3).

In generale, al fine di determinare le condizioni al contorno, e possibile prendere spuntodalle caratteristiche meccaniche e cinematiche dei vincoli. Ad esempio, per la cerniera delpunto A nel caso precedente il momento flettente sara sempre nullo, mentre per il carrelloin B potremo scrivere che, oltre al momento flettente, dovra essere nullo anche lo sforzonormale. Nella seguente Figura 3.41 si riportano alcuni tra i casi piu ricorrenti.

A B

a)

NB = 0

TB = 0

MB = 0

A B

b)

TA = 0

NB = 0

MB = 0

AB

c)

F NB = 0

TB = F

MB = 0d)

F

A BTA = −FNB = 0

MB = 0

AB

e)

F M NA = 0

TA = −M/L

MB = −M

RARB

f)

A B

a b

NA = −RA cosα

TA = RA sinα

NB = RB cosβ

TB = RB sinβ

Figura 3.41 Casi ricorrenti di condizioni al contorno.

ESEMPIO 3.22

Si consideri il caso riportato in Figura 3.42. Le reazioni vincolari possono essere determinate impo-nendo le equazioni di equilibro, trovando HA = 0 e VA = VB = M/L. A causa della presenzadella coppia concentrata nella sezione di ascissa x3 = a la trave e divisa in due campi omogenei(0, a) e (a, L). Per ognuno dei due intervalli possiamo applicare le (3.15), mente nella sezione di

A B

VA=ML

HA=0

VB=ML

M

a


M/L

a

M

x3

x3

x3

N(x )3

T(x )3

M(x )3

Figura 3.43 Esempio 3.22. Andamento dellecaratteristiche della sollecitazione.


interfaccia si possono applicare le (3.17):N ′I (x3) = −n (x3) = 0

T ′I (x3) = −p (x3) = 0

M ′I (x3) = TI (x3)−m (x3)

→

NI (x3) = c1

TI (x3) = c2

MI (x3) = c2x3 + c3N ′II (x3) = −n (x3) = 0

T ′II (x3) = −p (x3) = 0

M ′II (x3) = TII (x3)−m (x3)

→

NII (x3) = c4

TII (x3) = c5

MII (x3) = c5x3 + c6

E possibile determinare le costanti di integrazione imponendo le condizioni al contorno. In partico-lare, sul primo tratto (0, a) si possono imporre delle condizioni in x3 = 0, mentre nel secondo tratto(a, L) e possibile imporre delle condizioni in x3 = a:

NI (0) = ∆N = −HA = 0

TI (0) = ∆T = −VA = −M/L

MI (0) = ∆M = 0

→

c1 = 0

c2 = −M/L

c3 = 0

→

NI (x3) = 0

TI (x3) = −M/L

MI (x3) = −Mx3/L∆N = NII (a)−NI (a) = 0

∆T = TII (a)− TI (a) = 0

∆M = MII (a)−MI (a) = M

→

NII (a) = NI (a) = 0

TII (a) = TI (a) = −M/L

MII (a) = MI (a) +M = (L− a)M/L

Le altre tre costanti di integrazione possono quindi essere determinate come:c4 = 0

c5 = −M/L

c6 = (L− a)M/L+Ma/L = M

→

NII (x3) = 0

TII (x3) = −M/L

MII (x3) = −Mx3/L+M = M(1− x3/L

)Una volta ottenute le espressioni analitiche, e possibile tracciare i diagrammi delle caratteristichedella sollecitazione riportati in Figura 3.43. Ancora una volta e possibile constatare che, per caricodistribuito nullo, il diagramma del taglio e costante ed il momento flettente ha un andamento lineare.La coppia concentrata provoca un salto sul momento flettente ma, poiche il taglio e costante, lapendenza dei due tratti del diagramma del momento flettente e uguale.

CAPITOLO 4

ANALISI DELLO STATO DI TENSIONE NELCONTINUO TRIDIMENSIONALE

L’analisi fin qui svolta ha riguardato lo studio dei sistemi monodimensionali piani che pre-sentano uno stato di sollecitazione semplificato rispetto al caso piu generale di solido tridi-mensionale. L’analisi di questo ultimo caso, quindi deve necessariamente essere condottacon riferimento ad una configurazione di sforzi interni decisamente piu complessa.

Per avere una prima idea dello stato tensionale all’interno di un solido, ci si puo riferireal seguente esempio. Quando si e descritta la prova di trazione e si e indagato sul legametra variabili meccaniche e cinematiche interne, ipotizzando una sconnessione mediante unpiano ortogonale allo sviluppo del provino, si e riusciti a mettere in evidenza la presenzadelle cosiddette tensioni normali, dirette cioe secondo la normale al piano di sconnessionedel solido trave esaminato.

Riconsiderando tale esempio, si vuole adesso valutare lo stato tensionale agente su unasuperficie ottenuta sezionando il nostro solido secondo un piano inclinato di un angolo αqualsiasi, come riportato in Figura 4.1. Si isoli una porzione di fibra longitudinale aventesuperficie infinitesima dA mediante due sconnessioni ravvicinate, la prima ottenuta conun piano ortogonale all’asse del provino e la seconda con un piano inclinato di un angoloα. Dal momento che la porzione di solido cosı determinata deve essere in equilibrio, sievidenzia che nella sezione di sinistra deve nascere la forza infinitesima di modulo dF =σdA di cui avevamo gia postulato l’esistenza, mentre nella sezione di destra essa saraequilibrata da un vettore tensione tn.

Indicando con il versore n la normale uscente dalla superficie di sconnessione, ci si ac-corge che il vettore tensione tn puo essere scomposto in due componenti: una componente


67

68 ANALISI DELLO STATO DI TENSIONE NEL CONTINUO TRIDIMENSIONALE

NN a

s

n

s

tnn

tn

tns

Figura 4.1 Provino soggetto a trazione. Tensioni normali e tensioni tangenziali.

tnn parallela alla direzione n e denotata come tensione normale e una componente tnsgiacente sul piano di sconnessione e denotata come tensione tangenziale.

Emerge, pertanto, che la descrizione dello stato tensionale dipende, oltre che dal puntomateriale del solido che si vuole descrivere, anche dalla particolare giacitura che si consid-era. E necessario quindi affrontare in maniera piu generale il problema della descrizione edella determinazione dello stato tensionale in un punto appartenente ad un continuo tridi-mensionale e stabilire le relazioni con le particolari giaciture di osservazione.

4.1 Il continuo di Cauchy

Si consideri un solido tridimensionale di forma generica, come quello rappresentato inFigura 4.2, sul quale agiscono, nella massima generalita, dei carichi superficiali pn e delleforze di volume b. Inoltre, la sua superficie laterale sia in parte libera di subire spostamenti(SL) ed in parte vincolata in modo quanto piu generale (SU ). Il solido sia riferito ad unsistema cartesiano levogiro (O, x1, x2, x3) e sia infine in condizioni di equilibrio con icarichi esterni.

Si supponga di sezionare il solido con un piano π di posizione ed orientamento qual-siasi e di isolare un elemento di areola infinitesima dA sulla superficie di sconnessione.Sull’elemento di area dA agira un sistema di forze allo stato attuale incognito che, in gen-erale, potra essere rappresentato da una forza ed un momento risultanti. Introducendol’ipotesi di Cauchy, l’azione che la materia circostante esercita sull’areola dA e ricon-ducibile solamente ad una forza risultante dF applicata in un punto interno alla areola dA.In altri termini, l’ipotesi di Cauchy esclude la presenza, a livello dell’areola, di un momentorisultante.

Considerando il rapporto tra la risultante infinitesima dF e l’areola dA su cui agiscee operando un passaggio al limite per dA → 0, si ottiene la seguente definizione dellatensione:

limdA→0

dF

dA= tn

IL CONTINUO DI CAUCHY 69

x3

x1

x2

bp

n

n

pn

SU SL

dA

dF

SU

Figura 4.2 Solido tridimensionale di forma generica.

Per quanto detto in precedenza il valore di tn dipendera anche dall’orientamento della gi-acitura n, oltre che dalla posizione del punto P (x1, x2, x3). Per questa ragione si vuoleadesso descrivere lo stato tensionale nell’intorno del punto P utilizzando tre giaciture mutu-amente ortogonali e parallele agli assi del sistema di riferimento cartesiano (O, x1, x2, x3)che sara chiamato riferimento speciale.

Per evidenziare meglio dal punto di vista grafico le tre giaciture, consideriamo pertantodi estrarre dal solido un elemento avente forma di parallelepipedo, come quello riportato inFigura 4.3. Si denoti con ti il vettore tensione che agisce sulla faccia avente normale direttaparallelamente all’asse xi. Tale vettore, in generale, e disposto in maniera tale da avere trecomponenti rispetto il riferimento speciale. Indicando con ii il generico versore dell’asse

D

i3

i1i2P

x3

x1

x2

dx3

dx2

dx1

t2

t22

t31

t21

t33

t23

t11

t13

t12

t32

t1

t3

A

E F

G

C

B

Figura 4.3 Vettori tensioni agenti su tre giaciture mutuamente ortogonali.


xi, possiamo descrivere il vettore tensione agente sulle faccia di normale x1 come:

t1 = t11i1 + t12i2 + t13i3

allo stesso modo, con riferimento alle facce di normale tensioni x2 e x3 si ha:

t2 = t21i1 + t22i2 + t23i3

t3 = t31i1 + t32i2 + t33i3

E possibile fornire anche una rappresentazione vettoriale delle tensioni ti:

t1 =

t11

t12

t13

; t2 =

t21

t22

t23

; t3 =

t31

t32

t33

;

in cui si indicano con tij le cosiddette componenti speciali di tensione, ovvero le compo-nenti in direzione j della tensione agente sul piano di normale parallela al versore ii.

Raccogliendo le componenti speciali di tensione in una matrice si ottiene il cosiddettotensore doppio delle tensioni o tensore degli sforzi riferito al riferimento speciale, chedescrive compiutamente lo stato tensionale nell’intorno di un punto P. Le nove componentispeciali cosı definite sono funzione soltanto del punto P:

T =

t11 t21 t31

t12 t22 t32

t13 t23 t33

;

4.2 Le equazioni indefinite di equilibrio del solido di Cauchy

E di notevole interesse conoscere le relazioni che devono sussistere tra le componenti spe-ciali di tensione ed i carichi agenti sul solido di Cauchy, affinche sia verificato l’equilibrio.Supponiamo quindi di estrarre dall’interno del volume del solido un elemento esaedriconell’intorno di un punto P (x1, x2, x3) avente gli spigoli orientati come il riferimento spe-ciale e di lunghezza pari rispettivamente a dx1, dx2 e dx3.

Su questo elemento prismatico agiranno le forze di volume b applicate al punto P e, at-traverso le sei facce, saranno presenti tutte le componenti di tensione che, al fine di garan-tire l’equilibrio, la porzione restante del solido scambia con l’elemento estratto. Vale lapena di sottolineare che i vettori tensione ti applicati a ciascuna faccia, cosı come mostratoin Figura 4.4, sono funzioni vettoriali delle coordinate della faccia stessa. Pertanto, ad es-empio, sulla faccia ABCD, faccia di normale positiva (avente verso concorde con l’asse)parallela a x1 e presente la tensione t1 (x1 + dx1, x2, x3), mentre sulla faccia oppostaEFGP, faccia di normale negativa (avente verso discorde con l’asse) parallela a x1 e pre-sente la tensione t1 (x1, x2, x3) che ha diverso valore rispetto la precedente. Lo stesso puodirsi per le altre due coppie di facce parallele.

Perche sia garantito l’equilibrio del cubetto estratto dal solido devono essere verificatele equazioni cardinali della statica, ovvero possono scriversi tre relazioni di equilibrio allatraslazione nelle direzioni degli assi del riferimento speciale e tre equazioni di equilibrioalla rotazione attorno ai medesimi tre assi.

LE EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO DEL SOLIDO DI CAUCHY 71

P

x3

x1

x2

dx3

dx2

dx1

t (x ,x ,x )2 1 2 3

t (x ,x ,x )3 1 2 3

t (x ,x ,x )1 1 2 3

t (x ,x +dx ,x )2 1 2 2 3

t (x +dx ,x ,x )1 1 1 2 3

t (x ,x ,x dx )3 1 2 3+ 3

A

E F

G

CD

B

b

Figura 4.4 Esaedro infinitesimo estratto dal solido tridimensionale.

Con riferimento alla equazione di equilibrio alla traslazione lungo x1, si puo scrivere laseguente relazione:

t11 (x1 + dx1, x2, x3) dx2dx3 − t11 (x1, x2, x3) dx2dx3+

+t21 (x1, x2 + dx2, x3) dx1dx3 − t21 (x1, x2, x3) dx1dx3+

+t31 (x1, x2, x3 + dx3) dx1dx2 − t31 (x1, x2, x3) dx1dx2 + b1dx1dx2dx3 = 0

Ipotizzando che le funzioni che descrivono la variazione nello spazio delle componenti spe-ciali di tensione siano continue e derivabili, sara possibile utilizzare le seguenti espansioniin serie di Taylor troncate al primo termine:

t11 (x1 + dx1, x2, x3) = t11 (x1, x2, x3) +∂t11∂x1

dx1

t21 (x1, x2 + dx2, x3) = t21 (x1, x2, x3) +∂t21∂x2

dx2

t31 (x1, x2, x3 + dx3) = t31 (x1, x2, x3) +∂t31∂x3

dx3

Sostituendo queste ultime espressioni nella equazione di equilibrio e dividendo per dV =dx1dx2dx3, si ottiene la prima delle:

∂t11∂x1

+∂t21∂x2

+∂t31∂x3

+ b1 = 0

∂t12∂x1

+∂t22∂x2

+∂t32∂x3

+ b2 = 0

∂t13∂x1

+∂t23∂x2

+∂t33∂x3

+ b3 = 0

(4.1)

mentre le ultime due relazioni possono essere ricavate, operando in maniera analoga, im-ponendo l’equilibrio rispetto alle direzioni x2 e x3.


Le equazioni (4.1) appena ricavate prendono il nome di equazioni indefinite di equilib-rio del continuo e sono equazioni lineari alle derivate parziali che mettono in relazione lecomponenti speciali di tensione tij con i carichi esterni. Il loro campo di validita coin-cide con il volume V del solido di Cauchy e per essere integrate necessitano di appositecondizioni al contorno.

Ulteriori informazioni per la determinazione del campo delle tensioni possono esserericavate dall’imposizione dell’equilibrio alla rotazione del cubetto infinitesimo attorno agliassi considerati. Ad esempio, per garantire tale equilibrio attorno all’asse x1, ci si puoriferire allo schema riportato in Figura 4.5 in cui tutte le componenti di tensione e le forzedi volume agenti sul cubetto sono state proiettate su un piano ortogonale all’asse x1 e sie valutato l’equilibrio rispetto al punto A. Dalla figura e chiaro che tutte le forze parallele

P

x3

x1 x2

dx3

dx2

A 2323 2

2

tt dx

x

¶+¶23t

3232 3

3

tt dx

x

¶+¶

32t

2b

3b

Figura 4.5 Equilibrio alla rotazione attorno all’asse x1.

all’asse x1 (quindi le forze dovute alle componenti di tensione t11, t21 e t31, nonche allacomponente della forza di volume b1) non contribuiranno alla rotazione attorno all’assex1. Inoltre, le forze dovute alle tensioni t22, t33, t12 e t13 avranno braccio nullo rispetto alpunto A.

Considerando le forze dovute alle rimanenti componenti di tensione t23 e t32 ed alleforze di volume b2 e b3 sara possibile scrivere la seguente equazione di equilibrio:

t23dx1dx22dx3 +

(t23 +

∂t23∂x2

dx2

)dx1

dx22dx3 − t32dx1dx2

dx32

+

−(t32 +

∂t32∂x3

dx3

)dx1dx2

dx32

+ b2dx1dx2dx232− b3dx1

dx222dx3 = 0

Trascurando gli infinitesimi di quarto ordine rispetto a quelli di terzo ordine e dividendoper dV = dx1dx2dx3 si ottiene la prima delle seguenti relazioni:

t23 = t32

t13 = t31

t12 = t21

mentre le altre due possono essere ottenute operando in maniera analoga per le equazionidi equilibrio alla rotazione rispetto agli assi x2 e x3. Queste equazioni affermano che

LA DESCRIZIONE DELLO STATO DI TENSIONE AL VARIARE DELLA GIACITURA: IL TEOREMA DI CAUCHY 73

le componenti speciali di tensione tij e tji hanno modulo uguale tra loro e cio va sottoil nome di principio di reciprocita delle azioni tangenziali. A seguito dell’imposizionedell’equilibrio alla rotazione il tensore delle tensioni di Cauchy T sara dunque simmetrico:

T =

t11 t12 t13

t12 t22 t23

t13 t23 t33

(4.2)

Sembra opportuno sottolineare che, dal momento che si hanno solamente tre equazioni afronte delle sei componenti incognite del tensore degli sforzi, il problema dell’equilibriodel continuo tridimensionale e un problema internamente iperstatico.

Introducendo la notazione di divergenza di un campo vettoriale ti come:

div ti = ∇ti =3∑j=1

∂tij∂xj

=∂ti1∂x1

+∂ti2∂x2

+∂ti3∂x3

e valutandola per tutte le colonne del tensore T, le equazioni indefinite di equilibrio pos-sono sintetizzarsi nella elegante forma:

divT + b = 0 (4.3)

4.3 La descrizione dello stato di tensione al variare della giacitura: il teo-rema di Cauchy

Una volta analizzato il problema dell’equilibrio del cubetto infinitesimo estratto dal volumedel solido si ha a disposizione uno strumento per studiare l’andamento del campo vettorialedelle tensioni al variare della posizione del punto P nel volume. Resta da studiare comevaria il vettore tensione tn al variare della giacitura n, una volta noto il tensore T riferitoad una terna speciale nell’intorno del punto P.

A tale scopo e necessario descrivere le condizioni di equilibrio di un solido di volumeinfinitesimo in cui tre facce sono identificate da normali parallele agli assi del sistema diriferimento, mentre la quarta faccia e ottenuta traslando parallelamente a se stessa di unaquantita infinitesima un piano di normale generica passante per il punto P. Il volume chesi viene a creare e quindi un tetraedro come quello illustrato nella Figura 4.6.

Sulle facce di normale negativa del tetraedro (quelle aventi normali parallele agli assidel sistema di riferimento) agiranno le tensioni t1, t2 e t3, rispettivamente sulle facce PBC,ACP e ABP. Sulla quarta faccia ABC di normale n agira invece la tensione tn. Sul puntoP, infine, possiamo pensare concentrata la forza di volume b.

Si denotino con dAi le aree delle tre facce del tetraedro rispettivamente di normale ximutuamente ortogonali tra loro e con dAn l’area della faccia inclinata. Indicate con nile componenti della direzione normale n nel sistema di riferimento speciale, e possibiledimostrare che le aree delle facce dAi possono essere messe in relazione all’area dellafaccia inclinata di area dAn secondo le relazioni:

dAi = nidAn, i = 1, 2, 3 (4.4)

Poiche l’elemento di volume tetraedrico e estratto da un continuo in equilibrio sotto icarichi, anch’esso dovra risultare equilibrato. Possiamo quindi imporre l’equilibrio allatraslazione in direzione di ognuno dei tre assi xi.


x3

x1

x2

t2

t3

t1

n

tn

C

B

Ab

dx3

dx2Pdx1

Figura 4.6 Tetraedro di Cauchy.

Facendo riferimento alla traslazione nella direzione x1, l’equazione di equilibrio tratutte le forze coinvolte fornisce la seguente relazione:

−t11dA1 − t12dA2 − t13dA3 + tn1dAn + b1dV = 0

trascurando il termine relativo alle forze di volume in quanto infinitesimo di ordine superi-ore e ricordando la (4.4), dopo opportune semplificazioni si perviene alla relazione:

tn1 = t11n1 + t12n2 + t13n3

Operando analogamente per le direzioni x2 e x3 si ottengono altre due relazioni di equilib-rio:

tn2 = t21n1 + t22n2 + t23n3

tn3 = t31n1 + t32n2 + t33n3

Le precedenti relazioni vanno sotto il nome di relazioni di Cauchy e consentono di deter-minare le componenti del vettore tensione agente secondo una qualsiasi giacitura n, noteche siano le componenti speciali di tensione rispetto un qualsiasi riferimento cartesiano.

Ricordando la definizione di tensore degli sforzi (4.2) e la definizione della direzionenormale n:

n =

n1

n2

n3

e possibile esprimere le relazioni di Cauchy in forma compatta: tn1

tn2

tn3

=

t11 t12 t13

t12 t22 t23

t13 t23 t33

n1

n2

n3

→ tn = Tn (4.5)

La notevole relazione (4.5), unitamente alle (4.3), consente di studiare l’andamento dellostato tensionale all’interno di un volume di un solido continuo quando ci si sposta all’interno

LE TENSIONI PRINCIPALI E LE DIREZIONI PRINCIPALI DI TENSIONE 75

del volume oppure quando si vari in maniera arbitraria la giacitura rispetto alla quale sivuole determinare il vettore tensione.

Le relazioni di Cauchy hanno un valore notevole anche perche consentono di ricavaredelle condizioni al contorno per le equazioni di equilibrio (4.3). Infatti, come mostratoin Figura 4.7, in prossimita del contorno su cui agisce una pressione di superficie pn epossibile considerare un elemento tetraedrico tale che la sua faccia inclinata approssimilocalmente la superficie laterale del volume. In questo caso le relazioni di Cauchy possonoscriversi come:

Tn = pn ∀P ∈ SL

x3

x1

x2

npn

pnSU SL

SU

x3

x1

x2

t3

t1

n

C

B

A

P

Figura 4.7 Condizioni al contorno del solido di Cauchy.

4.4 Le tensioni principali e le direzioni principali di tensione

Riconsiderando il vettore tensione tn agente sulla faccia inclinata del tetraedro di Cauchy,e evidente che esso non risultera in generale parallelo alla generica direzione normale n.E quindi possibile scomporlo in una componente normale alla faccia inclinata tnn ed inuna componente tns, detta componente tangenziale, che giace sulla faccia stessa, comemostrato in Figura 4.8.

Dal punto di vista analitico la componente normale puo essere espressa come:

tnn = λn

in cui λ e un parametro generico che ne esprime il modulo, mentre la componente tan-genziale puo essere considerata come la differenza vettoriale tra il vettore tensione tn e lacomponente normale tnn; ricordando le reazioni di Cauchy si ha:

tns = tn − tnn = Tn− λn (4.6)

Si e adesso interessati a ricercare, se esistono, delle particolari giaciture n per le quali ilvettore tensione tn ammetta solamente componente normale, ovvero per le quali la compo-nente tangenziale sia nulla. Dalla (4.6) eguagliando a zero si ricava un sistema di equazioni


x3

x1

x2

n

tn

tnn

P

tns

Figura 4.8 Componenti della tensione tn sul tetraedro di Cauchy.

omogeneo nelle incognite ni:

Tn− λn = 0→ (T− λI)n = 0 (4.7)

in cui con I si e indicata una matrice identita di ordine tre.Il sistema (4.6), cosı come il (4.7), esprimono il cosiddetto problema agli autovalori in

cui si cercano le condizioni per cui il generico operatore T applicato al vettore n restituiscaun vettore parallelo a n. Se cio si verifica, λ e detto autovalore dell’operatore T e risultaessere associato all’autovettore n.

Il problema agli autorvalori (4.7) ammette, ovviamente, la soluzione banale n = 0 dinessun interesse ne significato fisico. Per potere determinare ulteriori soluzioni bisognaimporre che il problema ne abbia una infinita e questo si ottiene imponendo che la matricedei coefficienti non sia a pieno rango, ovvero che il suo determinante sia nullo:

det (T− λI) = 0→ P (λ) = λ3 − I1λ2 + I2λ− I3 = 0 (4.8)

in cui P (λ) e detto polinomio caratteristico e la (4.8) e detta equazione secolare dellostato di tensione.

I termini I1, I2 e I3 si chiamano rispettivamente invariante lineare, quadratico e cubicodi tensione. Questi termini si dicono invarianti perche il loro valore non dipende dal par-ticolare sistema di riferimento adottato ma soltanto dalla qualita dello stato tensionale. Epossibile verificare che il valore degli invarianti nel sistema di riferimento speciale e quelloriportato di seguito:

I1 = tr (T) = t11 + t22 + t33

I2 = t11t22 + t22t33 + t11t33 −(t212 + t213 + t223

)I3 = det (T)

In corrispondenza di ogni soluzione λi del polinomio caratteristico e possibile deter-minare le corrispondenti soluzioni in termini di direzioni ni attraverso la sostituzione diλi nella (4.7). Ovviamente, dal momento che si e imposta la (4.8), si otterranno infinite


soluzioni in termini di ni. Tra queste si selezionera l’unica che restituisce un vettore ni dimodulo unitario, ricordando il significato di versore della ni, ovvero associando alla (4.8)la seguente equazione:

nTi ni = 1

L’equazione secolare (4.8) e di terzo grado e, in virtu del teorema fondamentale dell’Al-gebra, ammettera tre soluzioni nel campo complesso. Dal momento che le soluzioni deipolinomi devono essere complesse e coniugate a coppie, ne discende che almeno una dellesoluzioni e reale. Vale il seguente teorema:

Teorema 4.1. Gli autovalori del tensore degli sforzi sono tutti e tre reali.

Dimostrazione: Assumiamo per assurdo che una soluzione sia reale λ1 ∈ R mentre lealtre due soluzioni siano complesse e coniugate λ2 ∈ C e λ3 = λ∗2 ∈ C. Esisteranno,pertanto, tre direzioni n1 ∈ R3, n2 ∈ C3 e n∗2 = n3 ∈ C3 per le quali deve valere la (4.7),dal momento che esse sono soluzioni del problema agli autovalori.

In particolare, in corrispondenza delle due soluzioni complesse e coniugate si ricavanole seguenti equazioni

Tn2 = λ2n2

Tn∗2 = λ∗2n∗2

Premoltiplicando la prima per n∗T2 e la seconda per nT2 e trasponendo quest’ultima si

ottiene: n∗T2 Tn2 = n∗T2 λ2n2

nT2 Tn∗2 = nT

2 λ∗2n∗2

→

n∗T2 Tn2 = n∗T2 λ2n2

n∗T2 TTn2 = n∗T2 λ∗2n2

Sottraendo membro a membro queste ultime si ottiene:

n∗T2

(T−TT

)n2 = n∗T2 (λ2 − λ∗2)n2

La quantita a primo membro e nulla in virtu della simmetria del tensore T e pertanto,poiche in generale n∗T2 n2 6= 0, deve aversi necessariamente λ2 = λ∗2 , da cui discendeimmediatamente λ2 ∈ R e n2 ∈ R3. La terza soluzione, di conseguenza, dovra essereanch’essa reale.

In funzione di quanto dimostrato, e possibile affermare che esisteranno almeno tre pianiindividuati dalle loro normali ni, ottenute in corrispondenza delle tre soluzioni λi, taliche il vettore tensione valutato rispetto ad essi ammetta solo componente normale. Talidirezioni vengono dette direzioni principali di tensione e le tensioni normali ivi agentivengono dette tensioni principali. Vale il seguente

Teorema 4.2. Se il problema agli autovalori ammette tensioni principali distinte, esseagiscono su piani mutuamente ortogonali.

Dimostrazione: Si supponga di ottenere dalla (4.8) due soluzioni tra di loro distinte λ1 6=λ2. Per ognuna di esse deve essere verificata la (4.7) per cui si hanno le seguenti dueequazioni:

Tn1 = λ1n1

Tn2 = λ2n2

Premoltiplicando la prima per nT2 e la seconda per nT

1 e trasponendo quest’ultima si ot-tiene:

nT2 Tn1 = nT

2 λ1n1

nT1 Tn2 = nT

1 λ2n2

→

nT2 Tn1 = nT

2 λ1n1

nT2 Tn1 = nT

2 λ2n1


Sottraendo membro a membro le ultime due equazioni si ottiene:

0 = (λ1 − λ2)nT2 n1

Affinche tale relazione sia soddisfatta, poiche per ipotesi e λ1 6= λ2, deve aversi necessari-amente nT

2 n1 = 0, ovvero le direzioni n1 e n2 devono essere ortogonali.Ovviamente, allo stesso risultato si perviene considerando le altre coppie di soluzioni

tra loro distinte λ1 6= λ3 e λ2 6= λ3, per cui si puo concludere che ad autovalori distinticorrispondono direzioni principali mutuamente ortogonali.

In generale, quindi, postulando la presenza di tre tensioni principali distinte, esistonotre direzioni principali mutuamente ortogonali tra loro su cui agiscono solo componentinormali di tensione. Queste direzioni principali costituiscono una nuova base per lo spaziovettoriale delle tensioni nell’intorno del punto P. Considerando tre assi ξi aventi versoricoincidenti con le direzioni principali ni, e possibile definire un nuovo sistema di riferi-mento, detto riferimento principale, (P, ξ1, ξ2, ξ3) tale che un cubetto infinitesimo aventespigoli paralleli agli assi coordinati sia soggetto sulle sue facce solo a componenti normalidi tensione, come illustrato in Figura 4.9.

P

x3

x3

x2

x1x1

x2

t22

t31

t21

t33l3 l2

l1

t23

t11

t13

t12

t32

Figura 4.9 Stato di tensione nel sistema di riferimento principale.

Il tensore degli sforzi definito rispetto al sistema principale sara:

T′ =

λ1 0 0

0 λ2 0

0 0 λ3

(4.9)

Nel passare dal riferimento speciale a quello principale il tensore degli sforzi risulteraessere diverso, ma il polinomio caratteristico, dal momento che dovra ammettere le medes-ime soluzioni, dovra mantenersi uguale, ovvero i suoi coefficienti Ii, non dipenderanno dalparticolare sistema di riferimento utilizzato per descrivere lo stato tensionale nell’intornodel punto P, ma soltanto dalla sua qualita. Per questo motivo essi sono stati denotati comeinvarianti di tensione.


Il valore di tali invarianti nel sistema principale e facilmente calcolato:

I1 = tr(T′)

= λ1 + λ2 + λ3

I2 = λ1λ2 + λ2λ3 + λ1λ3

I3 = det(T′)

= λ1λ2λ3

Le tensioni principali godono di una ulteriore proprieta di cui si vuole dare dimostrazione.

Teorema 4.3. Le tensioni principali sono sono estremanti delle tensioni normali.

Dimostrazione: Si vuole dimostrare che tra le tensioni principali vi saranno sia il valoremassimo che il valore minimo di tensione normale tra tutti quelli che possono verificarsinella stella di piani di centro P.

Per semplicita di dimostrazione ci si riferira al caso piano, descritto in Figura 4.10, incui n1 e n2 sono due direzioni principali su cui agiscono le tensioni principali λ1 e λ2.

P

x2

x1

n

s tn

tnntns

l2

l1

f

Figura 4.10 Andamento delle componenti di tensione al variare della giacitura.

Considerando una generica giacitura descritta dalla normale n, su di essa agira la ten-sione tn avente una componente normale tnn di direzione n e una componente tangenzialetns di direzione s.

Le direzioni n e s possono essere espresse in funzione dell’angolo φ che la normale nforma rispetto all’asse ξ1:

n =

[cosφ

sinφ

]; s =

[− sinφ

cosφ

];

In virtu della relazione di Cauchy (4.5) la tensione tn al variare della normale n, equindi dell’angolo φ, puo essere espressa come:

tn = Tn→ tn =

[tn1

tn2

]=

[λ1 0

0 λ2

][cosφ

sinφ

]=

[λ1 cosφ

λ2 sinφ

]


Pertanto, i valori delle componenti normale tnn e tangenziale tns della tn possono essererispettivamente determinati come:

tnn = nTtn = λ1 cos2 φ+ λ2 sin2 φ

tns = sTtn = (λ2 − λ1) sinφ cosφ(4.10)

Volendo determinare per quali giaciture il valore delle componenti normale e tangenzialerisultera massimo, bisognera eguagliare a zero il valore delle derivate rispetto all’angoloφ:

∂tnn∂φ

= 0→ 2 (λ2 − λ1) sinφ cosφ = 0→ 2tns = 0

∂tns∂φ

= 0→ (λ2 − λ1)(

cos2 φ− sin2 φ)

= 0→ (λ2 − λ1) cos 2φ = 0

(4.11)

Dalla prima delle (4.11) e evidente che le tensioni normali ammetteranno i loro valoriestremi (massimo o minimo) per quei piani tali per cui si annulla il valore della tensionetangenziale tns, ovvero in corrispondenza delle giaciture individuate dalle direzioni princi-pali. In altri termini si dice che le tensioni principali sono estremanti delle tensioni normalial variare della giacitura.

La seconda delle (4.10), invece, mostra che i valori estremi delle tensioni tangenziali siverificano per valori per cos 2φ = 0, ovvero per φ = ±π/4, e quindi per giaciture inclinatedi 45°rispetto alle direzioni principali.

4.5 I cerchi di Mohr

Da quanto fin qui osservato, e evidente che lo stato di tensione nell’intorno del punto P puoessere definito conoscendo in modo alternativo o le tensioni agenti su tre facce mutuamenteortogonali, ovvero determinando le tensioni e le direzioni principali.

Dal punto di vista applicativo e molto utile la rappresentazione grafica dello stato ditensione dovuta a Mohr. Continuando per semplicita a considerare un riferimento princi-pale e fissando l’attenzione su un fascio di piani avente come retta di sostegno l’asse x3,possiamo esprimere le componenti di tensione normale e tangenziale agenti su un pianoruotato di un generico angolo φ attraverso le relazioni (4.10), come mostrato in Figura4.10. Ricordando le seguenti identita trigonometriche:

sin 2φ = 2 sinφ cosφ; cos2 φ =1 + cos 2φ

2; sin2 φ =

1− cos 2φ

2

ed indicando le componenti normali e tangenziali rispettivamente con σn e τn, si ottiene:

σn −λ1 + λ2

2=λ1 − λ2

2cos 2φ

τn = −λ1 − λ22

sin 2φ

(4.12)

Quadrando e sommando membro a membro queste ultime si ottiene la relazione:(σn −

λ1 + λ22

)2

+ τ2n =

(λ1 − λ2

2

)2

(4.13)

I CERCHI DI MOHR 81

P

AA

B

B x1

x2

C

E

D

S1S2

tn

sn

tnn

tns

t22

t22

t22

t21

t21

t21

t12

t12

t12

t11

t11

t11

l2l1

2f

a) b)

Figura 4.11 Cerchi di Mohr.

che, nel cosiddetto piano di Mohr (σn, τn) rappresenta l’equazione della circonferenza C3

di centro nel punto C e di raggio R, mostrata in Figura 4.11-a, in cui:

C =

(λ1 + λ2

2, 0

); R =

λ1 − λ22

Si noti che la eq. (4.12) puo essere considerata come l’equazione parametrica dellastessa circonferenza C3. Le relazioni precedenti, quindi, stabiliscono una corrispondenzabiunivoca tra lo stato di tensione, determinato dai valori delle tensioni normali σn e delletensioni tangenziali τn, per un generico valore dell’angolo φ e un punto sul piano di Mohr.Inoltre, al variare della giacitura individuata dall’angolo φ tali punti descrivono una circon-ferenza detta cerchio di Mohr.

L’esame delle eq.(4.12) mostra che un angolo φ nel riferimento speciale (vedi Figura4.10) corrisponde ad un angolo 2φ nel piano del Mohr (Figura 4.11-a). Due stati tensionaliagenti su due giaciture tra loro ortogonali (i punti A e B in Figura 4.11-b), quindi, am-metteranno come rappresentazione sul cerchio di Mohr due punti tra loro diametralmenteopposti.

Dalla Figura 4.11-b, inoltre, e evidente che i punti S1 e S2, ottenuti come intersezionedell’asse σn con la circonferenza, sono rappresentativi degli stati tensionali agenti sui pianiprincipali (τn = 0) e che per tali punti si verificano i valori estremanti delle tensioninormali.

Le tensioni tangenziali estremanti, invece, sono rappresentate dai punti D e E, postia 90°dai punti S1 e S2 nel cerchio di Mohr. Da cio si ottiene l’ulteriore conferma che letensioni tangenziali massime si verificheranno nei piani orientati a 45°rispetto alle direzioniprincipali.

Il valore applicativo e la conseguente diffusione della rappresentazione dello stato ten-sionale nell’intorno di un punto P mediante i cerchi di Mohr e dato dalla circostanza chetali cerchi possono essere tracciati senza dover prima risolvere il problema agli autovalori(4.7), e che le tensioni e le direzioni principali possono anzi essere ricavate a valle del trac-ciamento dei cerchi di Mohr, come verra mostrato nella seguente costruzione geometrica.


x1

x2

A(t ,t )11 12

B(t ,t )22 21

N

Mnm

C S1S2

tn

sn

l2

l2

l1

l1

P

a

b

x1

x2

t22

t22

t21

t12

t11

a) b)

Figura 4.12 Costruzione dei cerchi di Mohr e del polo delle normali.

Si supponga di conoscere lo stato di tensione nell’intorno di un punto P attraverso ladeterminazione delle tensioni normali e tangenziali agenti su due giaciture mutuamenteortogonali a e b, cosı come mostrato in Figura 4.12-a, e di riportare in un piano di Mohri corrispondenti punti A e B. A tal fine, si utilizza la cosiddetta convenzione del Mohrsecondo la quale alle tensioni tangenziali t12 e t21 si attribuisce rispettivamente segnopositivo o negativo a seconda che esse formino con l’origine del riferimento un momentoorario o antiorario, rispettivamente.

Il segmento delimitato dai punti A e B, rappresentativi di stati tensionali agenti su giac-iture ortogonali, sara un diametro del cerchio di Mohr e cio basta ad identificare univoca-mente il cerchio stesso, cosı come riportato in Figura 4.12-b.

I punti S1 e S2 di intersezione del cerchio con l’asse σn = 0 sono rappresentativi dellostato di tensione sui piani principali ed e immediato quantificare le tensioni principali λ1e λ2. Per quanto riguarda, invece, la determinazione delle direzioni principali valgono leseguenti considerazioni.

Si tracci a partire dal punto A una retta parallela alla normale che identifica la giacituraa e dal punto B una retta parallela alla normale che identifica la giacitura b. Tali rette siincontreranno su un punto N del cerchio, detto polo delle normali che gode di una notevoleproprieta. Infatti, congiungendo il punto N con un qualsiasi punto M del cerchio, si ottienela direzione normale alla giacitura m su cui agisce lo stato tensionale rappresentato dalpunto M stesso.

Le direzioni principali ξ1 e ξ2, pertanto, possono essere immediatamente individuatecongiungendo i punti S1 e S2 con il polo delle normali N.

Le considerazioni fin qui svolte e che hanno portato a ricavare le equazioni (4.13) conriferimento ad un fascio di piani aventi come sostegno l’asse x3, possono essere analoga-mente ripetute in corrispondenza dei fasci di piani aventi assi di sostegno x1 e x2. Si

CLASSIFICAZIONE DEGLI STATI TENSIONALI 83

tn

sn

l3 l2l1

C1 C3

C2

Figura 4.13 Arbelo del Mohr.

perverra, quindi, alla determinazione delle equazioni di altre due circonferenze C1 e C2:(σn −

λ2 + λ32

)2

+ τ2n =

(λ2 − λ3

2

)2

(σn −

λ1 + λ32

)2

+ τ2n =

(λ1 − λ3

2

)2(4.14)

che possono essere rappresentate sul piano del Mohr, cosı come illustrato in Figura 4.13.E possibile dimostrare che su tutte quelle giaciture che appartengono alla stella di piani

di centro P, ma che non appartenengono ai tre fasci appena descritti, agiscono stati ten-sionali che, nel piano di Mohr, trovano rappresentazione nei punti della zona campita inFigura 4.13 detta arbelo di Mohr.

4.6 Classificazione degli stati tensionali

Nelle sezioni precedenti e stato dimostrato che lo stato di tensione nell’intorno di un puntopuo essere biunivocamente associato alla equazione secolare pertinente o alla configu-razione dei cerchi di Mohr. Nel seguito, si procedera alla classificazione degli stati ten-sionali in funzione del valore assunto dagli invarianti e dalle tensioni principali.

4.6.1 Stati di tensione triassiali

Lo stato di tensione triassiale e il piu generico stato di tensione e si verifica quanto tutti gliinvarianti sono diversi da zero:

I1 6= 0; I2 6= 0; I3 6= 0;

In genere si hanno tre radici dell’equazione secolare (tensioni principali) λi distinte traloro e tre direzioni principali ni mutuamente ortogonali. La rappresentazione dello statotensionale attraverso i cerchi di Morh e simile a quella descritta in Figura 4.13.


In funzione dei particolari valori che possono assumere le soluzioni λi possono presen-tarsi due casi particolari, di seguito analizzati.

STATO DI TENSIONE CILINDRICOLo stato di tensione cilindrico si verifica quando due delle radici dell’equazione secolaresono coincidenti (ad es. λ1 6= λ2 = λ3). In questo caso si avra la presenza di una di-rezione principale n1 distinta mentre tutte le direzioni contenute nel piano π ortogonale an1 saranno direzioni principali, come mostrato in Figura 4.14. A causa di questo partico-lare stato di simmetria lo stato di tensione si definisce cilindrico.

Sul piano di Mohr (Figura 4.14-b), il cerchio C1 degenera in un punto (tutti i piani delfascio avente come sostegno l’asse x1 hanno τn = 0 e sono piani principali), mentre icerchi C2 e C3 coincidono.

a) b)

tn

sn

l =l2 3l1

C1

C =C2 3

P

n1

n2

n3

Figura 4.14 Stato di tensione cilindrico.

STATO DI TENSIONE IDROSTATICOLo stato di tensione idrostatico si verifica quando tutte e tre le radici dell’equazione sec-olare coincidono (λ1 = λ2 = λ3). In questo caso tutte le direzioni saranno principali(Figura 4.15-a) e lo tato di tensione viene detto idrostatico perche e quello che si verificain un fluido in quiete, o anche sferico a causa della particolare simmetria. Sul piano diMohr (Figura 4.15-b), tutti e tre i cerchi degenerano in un punto e tutti i piani della stelladi centro P hanno τn = 0 e sono piani principali.

4.6.2 Stati di tensione piani

Lo stato di tensione piano si verifica quando si annulla l’invariante cubico di tensione:

I1 6= 0; I2 6= 0; I3 = 0;

In questo caso l’equazione secolare assume la forma

λ3 − I1λ2 + I2λ = 0


a) b)

tn

sn

l =1 l =l2 3

C =1 C =C2 3

P

n1

n2

n3

Figura 4.15 Stato di tensione idrostatico o sferico.

che ammette le seguenti soluzioni

λ1,2 =I12±√I21 − 4I2

2; λ3 = 0;

La direzione principale n3 corrispondente alla soluzione nulla λ3 = 0 individua un pianosu cui non agisce nessuna tensione, detto piano scarico. Le altre due soluzioni, λ1 e λ2,individuano due direzioni principali n1 e n2 ortogonali a n1. Lo stato tensionale, pertanto,da tridimensionale diventa piano.

Per comprendere meglio questo concetto, consideriamo l’elemento tetraedrico mostratoin Figura 4.16 in cui le tre facce mutuamente ortogonali sono orientate secondo le direzioniprincipali. Su due di queste facce, quindi, agiranno solo le tensioni normali λ1 e λ2, mentrela terza faccia e scarica, dal momento che λ3 = 0.

Considerando una generica giacitura individuata dalla direzione normale n, la tensionetn agente su questa faccia inclinata puo essere determinata dalla relazione di Cauchy (4.5):

tn = Tn→

tn1

tn2

tn3

=

λ1 0 0

0 λ2 0

0 0 0

n1

n2

n3

=

λ1n1

λ2n2

0

E immediato osservare che per qualsiasi direzione n (per ogni piano della stella di centro P)il vettore tensione ammette componente t3 = 0 e quindi sara contenuto nel piano [n1,n2]ortogonale a n3. Per questo motivo lo stato di tensione si dice piano.

Lo stato di tensione piano e presente in alcuni degli elementi strutturali di uso piu fre-quente. Nel seguito sono riportati alcuni casi notevoli.

STATO DI TENSIONE DELLA TRAVE PIANANel caso della trave piana illustrato nella Figura 4.17, come si vedra nei capitoli successivi,


x3

x1

x2

n

l2

l1

tn

P

Figura 4.16 Piano scarico.

il tensore degli sforzi assume la forma:

T =

0 0 t31

0 0 t32

t31 t32 t33

in cui con x3 si e indicata la direzione dell’asse geometrico della trave. Gli invariantiassumono le seguenti espressioni:

I1 = t33; I2 = −(t231 + t232

); I3 = 0;

mentre il valore delle tensioni principali e:

λ1,2 =t332±

√t233 + 4

(t231 + t232

)2

Nella Figura 4.17 e anche illustrata la configurazione dei cerchi di Mohr per questo statodi tensione.

STATO DI TENSIONE DELLA PIASTRA O DELLA LASTRALe lastre e le piastre sono degli elementi bidimensionali nei quali, cioe, la terza dimen-sione e trascurabile rispetto le altre due. Tali elementi vengono chiamati lastre quando icarichi agenti sono contenuti nel piano geometrico dell’elemento, mentre sono dette piastrequando i carichi agiscono ortogonalmente al piano geometrico dell’elemento. In entrambii casi di lastra e piastra il tensore degli sforzi e illustrato nella Figura 4.18 e vale:

T =

t11 t12 0

t12 t22 0

0 0 0


P

x3

x1

x2

t31

t33

t23

t13

t32

t /233

a) b)

tn

snl2

l =03l1

C1

C3C2

Figura 4.17 Stato tensionale della trave piana.

Gli invarianti assumono le seguenti espressioni:

I1 = t11 + t22; I2 = t11t22 − t212; I3 = 0;


λ1,2 =t11 + t22

2±√t11 − t22

2+ t212

Nella Figura 4.18 e anche illustrata la configurazione dei cerchi di Mohr per questo statodi tensione.

P

x3

x1

x2

t21

t22

t11

t12

a) b)

tn

snl2

l =03l1

C1

C3C2

(t +11 t )/222

Figura 4.18 Stato tensionale della lastra o della piastra.


STATO DI TENSIONE PURAMENTE TANGENZIALELo stato di tensione puramente tangenziale si verifica quando e presente solo una delletensioni tangenziali. La Figura 4.19 illustra questo stato tensionale e la corrispondenteconfigurazione dei cerchi di Mohr. Il tensore degli sforzi assume la forma:

T =

0 t12 0

t12 0 0

0 0 0

Gli invarianti assumono le seguenti espressioni:

I1 = 0; I2 = −t212; I3 = 0;


λ1,2 = ±t12

P

x3

x1

x2

t21

t12

a) b)

tn

snl2

l =03l1

C1

C3

C2

Figura 4.19 Stato tensionale puramente tangenziale.

4.6.3 Stati di tensione monoassiali

Lo stato di tensione si definisce monoassiale quando entrambi gli invarianti I2 = 0 eI3 = 0. L’equazione secolare, in questo caso, si riduce a:

λ3 − I1λ2 = 0

e ammette le soluzioniλ1 = I1; λ2,3 = 0;

Essendoci solo una tensione principale non nulla, e chiaro perche questo stato di tensione sidefinisca monoassiale. Esso si puo verificare,ad esempio, in una barra sollecitata a tensionesemplice.


La direzione principale n1 corrispondente a λ1 sara parallela alla direzione dell’unicatensione normale diversa da zero, mentre tutte le direzioni contenute nel piano ortogonalea n1 saranno direzioni principali. Per questo motivo lo stato di tensione monoassiale puoessere considerato come un caso particolare dello stato di tensione cilindrico, in cui le duetensioni principali uguali sono nulle. La Figura 4.20 illustra il tensore degli sforzi ed icerchi di Mohr per questo stato di tensione.

P

x3

x1

x2t11

a) b)

l =l2 3

C1

C =C2 3

tn

sn

l =t1 11

Figura 4.20 Stato tensionale monoassiale.

CAPITOLO 5

CENNI DI ANALISI DELLO STATO DIDEFORMAZIONE NEL CONTINUO

In questo capitolo si trattera in via semplificata l’analisi dello stato di deformazione nelcontinuo tridimensionale. Tale analisi sara condotta secondo un approccio che risulteraessere duale a quello condotto in precedenza con riferimento all’analisi dello stato di ten-sione.

Dopo avere descritto sommariamente le componenti di deformazione, si studiera l’anda-mento della deformazione nell’intorno di un punto, stabilendo quali relazioni devono sus-sistere tra le stesse deformazioni e il campo degli spostamenti affinche essi siano congru-enti, ovvero tali che il processo deformativo avvenga senza lacerazioni ne compenetrazionidi materia.

Successivamente si generalizzeranno i risultati ottenuti a fibre comunque orientate nellospezio e si classificheranno gli stati tensionali in modo analogo a quanto visto in corrispon-denza degli stati di tensione.

5.1 Le componenti della deformazione

Nel capitolo precedente si e mostrato che la descrizione dello stato di tensione nell’intornodi un punto P del continuo puo essere condotta una volta definite le componenti di tensioneche agiscono su tre facce mutuamente ortogonali le cui normali sono orientate parallela-mente ad un sistema di riferimento cartesiano scelto arbitrariamente. Tali componenti ditensione sono state raccolte in un tensore T.


91

92 CENNI DI ANALISI DELLO STATO DI DEFORMAZIONE NEL CONTINUO

In virtu della dualita che esiste tra il mondo cinematico e quello meccanico, allo stessomodo sara possibile definire compiutamente lo stato di deformazione nell’intorno del puntoP una volta definite le componenti della deformazione subita da tre fibre mutuamente or-togonali ed orientate secondo il riferimento cartesiano durante un cambiamento di config-urazione.

Si dedurra che lo stato di tensione e lo stato di deformazione sono descritti dallo stessonumero di parametri. In particolare, alle tensioni normali tii, (i = 1, 2, 3) corrispon-deranno delle componenti di deformazione εi, (i = 1, 2, 3) che chiameremo dilatazioni,mentre alle tensioni tangenziali tij , (i, j = 1, 2, 3 con i 6= j) saranno corrispondenti dellecomponenti di deformazione γij , (i, j = 1, 2, 3 con i 6= j, ) che chiameremo scorrimentimutui.

Nel prossimo paragrafo saranno derivati il significato fisico e geometrico delle compo-nenti di deformazione e le relazioni che intercorrono tra esse e con le altre componenticinematiche.

5.2 Le equazioni indefinite di congruenza del continuo

Si supponga di considerare il continuo tridimensionale descritto in Figura 5.1 in cui unaporzione della sua superficie laterale SU e vincolata mentre la porzione residua SL e libera.Inoltre, si consideri che il continuo sia riferito ad un sistema cartesiano (O, x1, x2, x3).

Si scelga arbitrariamente all’interno del volume un punto P di coordinate generiche(x1, x2, x3) e si isoli nel suo intorno un cubetto infinitesimo avente gli spigoli paralleli agliassi coordinati.

Si imponga ad ogni punto materiale del corpo un campo di spostamenti che, a partiredalla configurazione iniziale C, lo conduca alla configurazione finale C*. Per effetto ditale cambiamento di configurazione il punto P si portera in P∗. Per ogni punto del corpo,quindi, puo essere definito un vettore spostamento

PP∗ = u (x1, x2, x3)

x3

x1

x2

u

SU

SL

C

*C

SUP*P

Figura 5.1 Cambiamento di configurazione di un continuo tridimensionale.

LE EQUAZIONI INDEFINITE DI CONGRUENZA DEL CONTINUO 93

il cui valore sara funzione delle coordinate del punto P. In altri termini, ogni punto delcontinuo sara soggetto a degli spostamenti definito dal campo vettoriale u (x1, x2, x3),che, a sua volta, puo essere descritto mediante le tre componenti cartesiane rispetto alriferimento adottato in precedenza:

u (x1, x2, x3) =

u1 (x1, x2, x3)

u2 (x1, x2, x3)

u3 (x1, x2, x3)

Con riferimento all’intorno del punto P, e possibile individuare un cubetto infinitesimo icui spigoli sono paralleli agli assi x1, x2 e x3, e tali da avere una lunghezza iniziale chevale rispettivamente dx1, dx2 e dx3. Il volume iniziale del cubetto sara pertanto pari a

dV = dx1dx2dx3

Nella Figura 5.2 viene mostrato il cubetto infinitesimo e vengono indicati con A, B e C leintersezioni degli spigoli del cubetto con gli assi x1, x2 e x3, rispettivamente per cui sara:

AP = dx1, BP = dx2, CP = dx3

Rispetto a questo elemento infinitesimo di volume, il cambiamento di configurazione puoessere rappresentato come risultante dalla sovrapposizione di tre effetti:

a) una roto-traslazione rigida del cubetto;

b) una componente deformativa in cui il cubetto subisce una variazione di volume;

c) una componente deformativa in cui il cubetto subisce una variazione di forma;

Nel seguito della trattazione si legheranno analiticamente questi effetti al campo deglispostamenti attraverso precise relazioni matematiche.

A

P

x3

x1

x2

dx3

dx2

dx1

B

C

Figura 5.2 Cubetto infinitesimo nell’intorno del punto P.


Analogamente al percorso intrapreso per l’analisi dello stato di tensione, si puo di-mostrare che e sufficiente descrivere il comportamento di tre fibre mutuamente ortogonaliper potere ricavare lo stato di deformazione nell’intorno del punto P.

Per semplificare la derivazione matematica senza perdere in generalita, si considerinoquindi gli spigoli del cubetto e, in prima battuta, la loro proiezione nel piano (x1, x2), salvopoi estendere agli altri piani coordinati i risultati trovati.

P

B

A

A’

B’

B’’

A’’

*A

*B

x2

x1dx1

dx2 dx '1dx '2

uP

uP

uP

uA

uB

*P

11

1

udx

x

¶

¶

22

2

udx

x

¶

¶

( )1 1 2 3, ,u x x x

( )2 1 2 3, ,u x x x

( )1 1 1 2 3, ,u x dx x x+

( )2 1 2 2 3, ,u x x dx x+

Figura 5.3 Dilatazioni nel piano (x1, x2).

Secondo quanto mostrato in Figura 5.3, per effetto del cambiamento di configurazioneil punto P si porta in P∗ subendo lo spostamento uP , le cui componenti cartesiane nelpiano valgono u1(x1, x2, x3) e u2(x1, x2, x3). Allo stesso modo, durante il cambiamentodi configurazione i punti A e B assumono la posizione A∗ e B∗, rispettivamente.

Dal momento che il campo degli spostamenti assume valori in generale diversi in P,in A ed in B, dopo la deformazione le fibre P∗A∗ e P∗B∗, oltre ad essere variate inlunghezza, non sono piu ortogonali tra loro ne risultano piu essere parallele agli assi coor-dinati.

La definizione della deformazione, quindi, dovra tenere conto sia di componenti legateagli allungamenti subiti delle fibre originariamente parallele agli assi cartesiani (variazionidi volume), che di componenti legate alla distorsione subita dal cubetto (variazioni diforma). Per procedere alla quantificazione analitica delle componenti della deformazione,si puo supporre che il cambiamento di configurazione avvenga secondo una sequenza dimovimenti elementari che vengono di seguito descritti con riferimento al processo cheporta la fibra PA in P∗A∗:

a) la fibra PA subisce uno spostamento rigido uP le cui componenti cartesiane valgonou1 (x1, x2, x3) e u2 (x1, x2, x3); per effetto di questo spostamento il punto A si portain A′;

b) la fibra P∗A′ subisce una variazione di lunghezza (positiva in figura) e il punto A′ siporta in A′′;

c) la fibra P∗A′′ subisce una rotazione rigida infinitesima con centro di rotazione P∗

che porta il punto A′′ in A∗;


Con una sequenza analoga di movimenti elementari puo essere descritto il processo cheche porta la fibra PB in P∗B∗, con l’unica differenza che, nel caso in figura, la fibrasubisce un accorciamento.

Per quanto riguarda le componenti di deformazione legate alla variazione di volume, epossibile definire la lunghezza delle fibre a deformazione avvenuta come:

P∗A∗ = P∗A′′ = dx′1; P∗B∗ = P∗B′′ = dx′2

E immediato constatare come gli allungamenti delle fibre avvengano durante la fase b)e siano, quindi, pari alla lunghezza dei segmenti A′A′′ e B′B′′, in quanto i movimentielementari descritti dalle fasi a) e c) sono di tipo rigido.

Per valutare questi allungamenti, si puo considerare che, nel primo caso, gli sposta-menti in direzione x1 del punto P e del punto A valgono, rispettivamente u1 (x1, x2, x3) eu1 (x1 + dx1, x2, x3). Assumendo che le funzioni spostamenti siano continue e derivabilie, per piccoli valori di dx1, e possibile ottenere quest’ultimo dall’espansione in serie diTaylor troncata al primo ordine:

u1 (x1 + dx1, x2, x3) = u1 (x1, x2, x3) +∂u1∂x1

dx1

la lunghezza del segmento A′A′′ puo essere, quindi, considerata come la differenza tra leproiezioni lungo x1 degli spostamenti del punto P e del punto A:

A′A′′ = dx′1 − dx1 = u1 (x1 + dx1, x2, x3)− u1 (x1, x2, x3) =∂u

∂x1dx1

Analogamente per la direzione x2 varra la relazione:

B′B′′ = dx′2 − dx2 = u2 (x1, x2 + dx2, x3)− u2 (x1, x2, x3) =∂u

∂x2dx2

Ricordando la definizione data di deformazione longitudinale come il rapporto tra l’allunga-mento di una fibra e la sua lunghezza iniziale, si possono definire le dilatazioni delle fibreoriginariamente parallele agli assi:

ε1 =dx′1 − dx1

dx1=∂u1 (x1, x2, x3)

∂x1

ε2 =dx′2 − dx2

dx2=∂u2 (x1, x2, x3)

∂x3

ε3 =dx′3 − dx3

dx3=∂u3 (x1, x2, x3)

∂x3

(5.1)

in cui l’ultima equazione e ricavata per estensione alle fibre originariamente disposte lungol’asse x3.

Le dilatazioni longitudinali coincidono, quindi, con la derivata parziale della funzionespostamento nella direzione originaria della fibra. Le dilatazioni espresse dalle relazioniprecedenti esprimono i cambiamenti nella lunghezza delle fibre e sono quindi responsabilidella variazione di volume del cubetto infinitesimo.

Ulteriori componenti di deformazione sono invece associate al cambiamento di forma.Come mostrato nella Figura 5.4, le due fibre PA e PB, che prima della deformazioneerano mutuamente ortogonali, dopo il cambiamento di configurazione assumono le po-sizioni P∗A∗ e P∗B∗, formando, in genere, un angolo diverso da 90°. Il cambiamento


P

B

A

A’

B’

B’’

A’’

*A

*B

x2

x1

g1

g2

uP

uP

uP

uA

uB

*P

21

1

udx

x

¶

¶

12

2

udx

x

¶

¶

( )2 1 2 3, ,u x x x

( )1 1 2 3, ,u x x x

( )2 1 1 2 3, ,u x dx x x+

( )1 1 2 2 3, ,u x x dx x+

Figura 5.4 Scorrimenti nel piano (x1, x2).

di forma puo essere misurato come la variazione angolare γ12, detta scorrimento mutuo,subita dall’angolo APB che diventa A∗P∗B∗.

Al fine di determinare in maniera semplice la variazione angolare, e possibile pensarlascomposta in due componenti γ12 = γ1 + γ2, indicate in Figura 5.4.

Nell’ambito dei piccoli spostamenti, entrambi questi angoli sono infinitesimi ed e perciolecito confonderli con le loro tangenti. Esaminando il caso di γ1 vale la relazione:

γ1 ' tan γ1 =A′′A∗

P∗A′′

La lunghezza del segmento A′′A∗, in analogia a quanto fatto prima, puo essere pensatacome la differenza tra la componente in direzione x2 dello spostamento subito dal punto Ae la componente in direzione x2 dello spostamento subito dal punto P. Queste componentihanno i valori rappresentati nella Figura 5.4. Sfruttando ancora una volta l’espansione inserie di Taylor della funzione u2 (x1 + dx1, x2, x3), la lunghezza del segmento A′′A∗ puoessere valutata come:

A′′A∗ = u2 (x1 + dx1, x2, x3)− u2 (x1, x2, x3) =∂u2 (x1, x2, x3)

∂x1dx1

Per quanto riguarda la lunghezza del segmento P∗A′′, non si commette un errore sostanzialese si trascura la deformazione longitudinale della fibra rispetto all’unita, essendo questamolto piu piccola. Puo scriversi allora:

P∗A′′ = (1 + ε1)dx1 ' dx1

E lecito allora descrivere la componente γ1 dello scorrimento come:

γ1 =∂u2 (x1, x2, x3)

∂x1

Eseguendo il medesimo ragionamento per l’angolo γ2, si puo dimostrare facilmente chevale la relazione:

γ2 =∂u1 (x1, x2, x3)

∂x2


per cui in definitiva gli scorrimenti mutui nei piani coordinati sono dati da:

γ12 =∂u2∂x1

+∂u1∂x2

γ13 =∂u3∂x1

+∂u1∂x3

γ23 =∂u2∂x3

+∂u3∂x2

(5.2)

in cui le ultime due equazioni sono state ricavate per estensione considerando le variazionidi forma che due fibre ortogonali contenute nei piani (x1, x3) e (x2, x3) subiscono nel cam-biamento di configurazione. Le componenti della deformazione descritte dalle equazioni(5.2) sono responsabili del cambiamento di forma del cubetto infinitesimo, che diventaquindi un esaedro. Dal punto di vista numerico, sia le dilatazioni εi che gli scorrimenti γijsono espressi da numeri puri (adimensionali) che, nell’ipotesi di piccoli spostamenti, sonomolto piccoli rispetto all’unita.

Le sei relazioni (5.1) e (5.2) vengono dette comunemente equazioni indefinite di con-gruenza del continuo solido tridimensionale, anche se, piu propriamente dovrebbero esseredefinite come equazioni cinematiche. Esse legano, secondo la congruenza, le componentidi deformazione e quelle di spostamento.

A partire dalle equazioni cinematiche, e possibile ricavare altre relazioni alla derivateparziali che sono delle vere e proprie equazioni di congruenza interna in quanto sono defi-nite solamente in termini di componenti di deformazione e garantiscono che, in un campodeformativo che le rispetti, non avvengano lacerazioni o compenetrazioni di materia.

Per procedere alla determinazione di queste relazioni, si proceda derivando due volterispetto a x2 la prima delle (5.1) e derivando due volte rispetto a x1 la seconda delle (5.1):

∂2ε1∂x22

=∂3u1∂x1∂x22

∂2ε2∂x21

=∂3u2∂x21∂x2

Infine, derivando una volta rispetto a x1 e una volta rispetto a x2 la prima delle (5.2) siottiene:

∂2γ12∂x1∂x2

=∂3u1∂x1∂x22

+∂3u2∂x21∂x2

Osservando i secondi membri delle relazioni precedenti, si deduce che deve valere la primadelle:

∂2ε1∂x22

+∂2ε2∂x21

=∂2γ12∂x1∂x2

∂2ε1∂x23

+∂2ε3∂x21

=∂2γ13∂x1∂x3

∂2ε2∂x23

+∂2ε3∂x22

=∂2γ23∂x2∂x3

(5.3)

in cui le ultime due si ricavano procedendo analogamente con le altre equazioni cin-ematiche. Infine, un altro gruppo di equazioni di congruenza puo essere determinato


operando alla stessa maniera sulle equazioni che definiscono gli scorrimenti:

2∂2ε1∂x2∂x3

=∂

∂x1

(−∂γ23∂x1

+∂γ13∂x2

+∂γ12∂x3

)2∂2ε2∂x1∂x3

=∂

∂x2

(∂γ23∂x1

− ∂γ13∂x2

+∂γ12∂x3

)2∂2ε3∂x1∂x2

=∂

∂x3

(∂γ23∂x1

+∂γ13∂x2

− ∂γ12∂x3

) (5.4)

5.3 La misura della variazione di volume

Come descritto in precedenza, durante il cambiamento di configurazione il cubetto in-finitesimo definito nell’intorno del punto P varia, in generale, sia la propria forma che ilproprio volume. La variazione di volume puo essere descritta da un parametro θ1 dettodilatazione cubica definito come la variazione di volume del cubetto valutata rispetto aquello iniziale:

θ1 =dV ′ − dV

dV(5.5)

in cui i valori del volume del cubetto prima e dopo la deformazione possono essere valutatenel seguente modo:

dV = dx1dx2dx3; dV ′ = dx′1dx′2dx′3

Considerando il significato delle deformazioni longitudinali εi, il valore finale del volumepuo essere espresso come:

dV ′ = dx′1dx′2dx′3 = (1 + ε1) dx1 (1 + ε2) dx2 (1 + ε3) dx3 =

= (1 + ε1) (1 + ε2) (1 + ε3) dV

Sviluppando i prodotti nella relazione precedente e trascurando gli infinitesimi di ordinesuperiore, si ottiene:

(1 + ε1) (1 + ε2) (1 + ε3) =1 + ε1 + ε2 + ε3 + (ε1ε2 + ε1ε3 + ε2ε3) + ε1ε2ε3 =

' 1 + ε1 + ε2 + ε3

Sostituendo nella (5.5) si ottiene facilmente l’espressione del coefficiente di dilatazionecubica:

θ1 = ε1 + ε2 + ε3 (5.6)

La dilatazione cubica, quindi, e la somma delle dilatazioni longitudinali lungo le tre di-rezioni.

5.4 Deformazione di una fibra in direzione generica

Si consideri adesso il problema della determinazione delle componenti della deformazioneper una fibra disposta secondo una direzione generica quando sono note le deformazionisubite da tre fibre mutuamente ortogonali e disposte in direzione degli assi coordinati.

DEFORMAZIONE DI UNA FIBRA IN DIREZIONE GENERICA 99

x3

x1

x2

M*M

N

*N

dx3

dx2

dx1

dr

dr’uM

uN

Figura 5.5 Componenti della deformazione di una fibra comunque orientata.

Vale la pena di sottolineare che questo procedimento e del tutto simile a quello seguito perl’analisi dello stato di tensione e che ha portato alla definizione del Teorema di Cauchy.

Con riferimento alla Figura 5.5, si consideri un punto M (x1, x2, x3) del continuo rifer-ito agli assi cartesiani x1, x2 e x3 ed una fibra di lunghezza infinitesima uscente da esso edavente una direzione arbitraria n.

Dette dx1, dx2 e dx3 le componenti della fibra secondo gli assi coordinati, la lunghezzadella fibra prima della deformazione, dr, puo essere espressa come:

dr =√dx21 + dx22 + dx23

ovvero la fibra puo essere pensata come la diagonale di un elemento di volume cubicoanalogo a quello descritto in precedenza. Sia quindi N (x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3) ilsecondo estremo della fibra in questione e si esprima la direzione della fibra attraverso ilversore:

n =

[dx1dr

;dx2dr

;dx3dr

](5.7)

Per effetto di un cambiamento di configurazione, il punto M subisce uno spostamentouM = u (x1, x2, x3), la cui componente cartesiana generica nella direzione xi e data dallafunzione scalare ui (x1, x2, x3), che lo porta nel punto M∗. Analogamente, il punto N siportera in N∗ attraverso uno spostamento uN . La fibra infinitesima nella configurazionedeformata avra pertanto una lunghezza pari a dr′.

Come visto in precedenza, la deformazione della fibra puo essere vista come la sovrap-posizione di tre contributi:

a) una traslazione rigida definita da u (x1, x2, x3);

b) una rotazione rigida della fibra;

c) una elongazione della fibra;


Al fine di calcolare le componenti della deformazione della fibra si considerino i seguentipassaggi. La dilatazione associata alla fibra di direzione n e data da:

εn =dr′ − drdr

(5.8)

da cui si ottiene che:dr′ = (1 + εn) dr

Eseguendo il quadrato di entrambi i membri e trascurando il termine ε2n, in quanto in-finitesimo di ordine superiore, si ottiene:

dr′2 = (1 + 2εn) dr2 (5.9)

D’altra parte, le coordinate dei punti M∗ e N∗ dopo la deformazione valgono:

M∗ (x1 + u1, x2 + u2, x3 + u3) ;

N∗ (x1 + dx1 + u1 + du1, x2 + dx2 + u2 + du2, x3 + dx3 + u3 + du3)

ed e allora possibile valutare la lunghezza della fibra a deformazione avvenuta, dr′, at-traverso il teorema di Pitagora:

dr′2 = (dx1 + du1)2

+ (dx2 + du2)2

+ (dx3 + du3)2

Sviluppando i quadrati e raccogliendo i termini si ha:

dr′2 =(dx21 + dx22 + dx23

)+(du21 + du22 + du23

)+ 2 (du1dx1 + du2dx2 + du3dx3) =

=dr2 + 2 (du1dx1 + du2dx2 + du3dx3)

in cui si e utilizzata la definizione di lunghezza della fibra nella configurazione indeformatae si sono trascurati gli infinitesimi di ordine superiore.

Il secondo addendo dell’ultima espressione puo essere riscritto considerando le espres-sioni per i differenziali totali delle componenti cartesiane dello spostamento:

dui =3∑j=1

∂ui∂xj

dxj

Sostituendo queste ultime nella relazione precedente ed esplicitando i prodotti si ha:

dr′2 = dr2 + 2

(∂u1∂x1

dx21 +∂u1∂x2

dx1dx2 +∂u1∂x3

dx1dx3 +∂u2∂x1

dx1dx2 +∂u2∂x2

x22+

+∂u2∂x3

dx2dx3 +∂u3∂x1

dx1dx3 +∂u3∂x2

dx2dx3 +∂u3∂x3

dx23

)Ricordando le definizioni delle componenti della deformazione (5.1) e (5.2) si ha:

dr′2 = dr2 + 2(ε1dx

21 + γ12dx1dx2 + γ13dx1dx3 + ε2dx

22 + γ32dx2dx3 + ε3dx

23

)Infine, moltiplicando e dividendo il termine dentro parentesi per dr2 e ricordando la (5.7)si ha:

dr′2 =

[1 + 2

(ε1n

21 + ε2n

22 + ε3n

23 + γ12n1n2 + γ13n1n3 + γ32n2n3

)]dr2

DEFORMAZIONE DI UNA FIBRA IN DIREZIONE GENERICA 101

Confrontando quest’ultima con la (5.9) e evidente constatare che:

εn = ε1n21 + ε2n

22 + ε3n

23 + 2

(γ122n1n2 +

γ132n1n3 +

γ322n2n3

)(5.10)

La (5.10) contiene la definizione della dilatazione longitudinale di una fibra infinitesimain direzione n in forma quadratica rispetto i coseni direttori della direzione associata allafibra stessa e in forma lineare rispetto le componenti di deformazione associate a tre fibremutuamente ortogonali e parallele al sistema di riferimento scelto.

Raccogliendo le componenti di deformazione in un tensore doppio e simmetrico e:

e =

ε1

12γ12

12γ13

12γ12 ε2

12γ23

12γ13

12γ23 ε3

(5.11)

e possibile esprimere la (5.10) come:

εn = nTen

che e una formula analoga alla espressione con cui si ricavavano le tensioni normali rispettoun piano comunque inclinato. Pertanto, in generale, e possibile scrivere una relazione trail tensore delle deformazioni e e un vettore detto gradiente di deformazione en, del tuttoanaloga alla relazione di Cauchy (4.5):

en = en (5.12)

Il significato fisico del vettore gradiente di deformazione en e del tutto analogo a quellodi vettore tensione tn. La componente di esso lungo la direzione n conterra la dilatazionelongitudinale (in analogia alla tensione normale tnn), mentre le altri componenti sarannoin relazione con gli scorrimenti (in analogia con le tensioni tangenziali).

Anche nello studio dello stato di deformazione accade che una fibra in direzione npossiede in generale entrambe le componenti di deformazione (dilatazioni e scorrimenti).Volendo ricercare le componenti di scorrimento 1

2γn , quindi, e possibile sottrarre dalvettore gradiente di deformazione la componente di dilatazione, ottenendo:

1

2γn = en − εnn = en− εnn = (e− εnI)n

Volendo chiedersi anche in questo caso se esistano delle direzioni privilegiate n secondo lequali la fibra subisca solamente dilatazioni longitudinali e quindi lo scorrimento sia nullo,si ottiene la seguente equazione, assolutamente analoga alla (4.7):

(e− εnI)n = 0 (5.13)

Quindi, anche nell’analisi dello stato di deformazione la ricerca di direzioni particolariporta alla definizione di un problema agli autovalori che ammette soluzioni diverse dall’iden-tica in corrispondenza per

det (e− εnI) = 0

ovvero per gli zeri dell’equazione di terzo grado in εn che e detta equazione secolare delledeformazioni:

ε3n − θ1ε2n + θ2εn − θ3 = 0


in cui θ1, θ2 e θ3 sono detti, rispettivamente, gli invarianti lineare, quadratico e cubico dideformazione e hanno le seguenti espressioni:

θ1 = ε1 + ε2 + ε3

θ2 = ε1ε2 + ε1ε3 + ε3ε2 − 14

(γ212 + γ213 + γ223

)θ3 = det (e)

in cui l’invariante lineare di deformazione θ1 coincide con il coefficiente di dilatazionecubica precedentemente descritto.

Sempre in analogia con il caso tensionale, e possibile dimostrare che il tensore e e sim-metrico e ammette tre autovalori εni reali, detti deformazioni principali, cui corrispondono,attraverso la (5.12), delle cosiddette direzioni principali di deformazione mutuamente or-togonali tra loro.

Gli stati di deformazione possono essere, inoltre, classificati in funzione del valore degliinvarianti e del numero di deformazioni principali distinte o coincidenti, in modo del tuttoanalogo a quanto visto nell’analisi dello stato di tensione.

In aggiunta, si puo dimostrare che, per un materiale anisotropo, le direzioni principalidi tensione non corrispondono con le direzioni principali di deformazione come, invece,avviene se il materiale e isotropo.

Infine, se consideriamo un cubetto infinitesimo orientato in modo tale che gli spigolisiano paralleli alle direzioni principali di deformazione, per effetto di un cambiamentodi configurazione non nasceranno distorsioni e variazioni di forma, ma solo variazioni divolume.

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