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Lezioni di Scienza delle Costruzioni

Elio Sacco

Dipartimento di Ingegneria Civile e Meccanica

Università Di Cassino e del Lazio Meridionale

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Prefazione

Nelle pagine che seguono sono sviluppati alcuni Argomenti di Scienza delleCostruzioni. In particolare, vengono trattati elementi della teoria dei mezzicontinui e della teoria della trave.

Il testo nasce dal desiderio di raggiungere, interpretare ed inquadrare alcuniclassici argomenti di Scienza delle Costruzioni in un contesto formale legger-mente dierente da quello riportato nei molti libri di Scienza delle Costruzionipubblicati in Italia.

Ritengo che queste pagine non debbano sostituire ma solo aancare classicie completi testi di Scienza delle Costruzioni nella libreria di un ingegnere, ostudente di ingegneria.

Ringrazio gli studenti di Ingegneria dell'Università di Cassino che mi hannoaiutato ed incoraggiato a scrivere.

Cassino, 5 marzo 2012 Elio Sacco

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Indice

1 INTRODUZIONE 81.1 Argomenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1 Meccanica del continuo e Teoria della trave . . . . . . . . 81.1.2 Analisi di sistemi di travi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Bibliograa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 142.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Equazioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Legame costitutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Problema dell'equilibrio elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.6.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.6.4 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6.5 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 413.1 Denizione di mezzo continuo e deformabile . . . . . . . . . . . . 413.2 Funzione cambiamento di congurazione . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1 Requisiti analitici per la funzione y . . . . . . . . . . . . . 433.2.2 Sistemi di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Deformazione dell'intorno del punto . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1 Misure di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4 Deformazione innitesima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4.1 Decomposizione additiva di H . . . . . . . . . . . . . . . 493.4.2 Deformazione innitesima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.3 Interpretazione meccanica di ε e W . . . . . . . . . . . . 503.4.4 Interpretazione sica delle componenti di deformazione . . 513.4.5 Deformazioni e direzioni principali . . . . . . . . . . . . . 553.4.6 Dilatazione cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

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INDICE 5

3.5 Equazioni di compatibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.6 Esercizi sull'analisi deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.6.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.6.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4 ANALISI DELLA TENSIONE 714.1 Concetto di tensione in un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2 Teoremi di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.1 Teorema di azione e reazione o di reciprocità . . . . . . . 734.2.2 Teorema di rappresentazione o del tetraedro . . . . . . . . 74

4.3 Equazioni d'equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.4 Direzioni e Tensioni principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.5 Deviatore di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.6 Cerchi di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.7 Tensione tangenziale ottaedrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5 PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI 885.1 Identità fondamentale della meccanica . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.1.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.2 Principio degli spostamenti virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3 Principio delle forze virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.3.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6 LEGAME COSTITUTIVO 966.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.2 Materiali elastici secondo Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.3 Corpo elastico lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.4 Isotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.4.1 Direzioni principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.4.2 Legame tensione-deformazione . . . . . . . . . . . . . . . 1036.4.3 Denita positività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4.4 Determinazione delle costanti elastiche . . . . . . . . . . . 106

7 PROBLEMA DELL'EQUILIBRIO ELASTICO 1087.1 Principio di sovrapposizione degli eetti . . . . . . . . . . . . . . 1097.2 Unicità della soluzione del problema dell'equilibrio elastico . . . . 1107.3 Teorema di Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.4 Teorema di Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.5 Equazioni di Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8 IL PROBLEMA DI SAINT-VENANT 1178.1 Posizione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.1.1 Ipotesi geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.1.2 Ipotesi di carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

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INDICE 6

8.1.3 Ipotesi sulla natura del materiale . . . . . . . . . . . . . . 1188.1.4 Ipotesi sul tipo di analisi da condurre . . . . . . . . . . . 119

8.2 Problema dell'equilibrio elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.3 Principio fondamentale di Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . 1208.4 Sollecitazioni semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.5 Metodo seminverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.5.1 Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.5.2 Legame costitutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.5.3 Congruenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9 SFORZO NORMALE E MOMENTO FLETTENTE 1259.1 Sollecitazione di sforzo normale e momento ettente . . . . . . . 125

9.1.1 Stato tensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.1.2 Legame costitutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279.1.3 Spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9.2 Sforzo normale centrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.3 Flessione semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.3.1 Flessione retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.3.2 Flessione deviata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.4 Flessione composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

10 TORSIONE 13810.1 Sollecitazione di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13810.2 Torsione nella sezione circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13810.3 Torsione per la sezione generica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

10.3.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14210.3.2 Legame costitutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14310.3.3 Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14310.3.4 Problema di Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14410.3.5 Risultanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.4 Funzione di Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14610.4.1 Problema di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14610.4.2 Risultanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

10.5 Sezione rettangolare allungata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14810.5.1 Funzione di Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14910.5.2 Eetto di bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

10.6 Sezione sottile aperta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.7 Sezione sottile chiusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

10.7.1 Sezione triconnessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

11 TAGLIO E FLESSIONE 16211.1 Sollecitazione di taglio e essione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16211.2 Centro di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16311.3 Tensione tangenziale media su una corda . . . . . . . . . . . . . . 16611.4 Sollecitazione sull'asse di simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . 16711.5 La sezione in parete sottile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

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11.6 Deformazione di una trave in parete sottile . . . . . . . . . . . . 17111.7 Determinazione del centro di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . 17211.8 Esercizi sulla sollecitazione di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . 173

11.8.1 Sezione a C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17311.8.2 Sezione sottile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

12 CRITERI DI RESISTENZA 18612.1 Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18612.2 I criteri di sicurezza: generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18912.3 Materiali fragili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

12.3.1 Criterio della massima tensione normale . . . . . . . . . . 19112.3.2 Criterio della massima dilatazione . . . . . . . . . . . . . 194

12.4 Materiali duttili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19612.4.1 Criterio della massima tensione tangenziale . . . . . . . . 19712.4.2 Criterio della massima energia di distorsione . . . . . . . 19812.4.3 Criterio della massima tensione tangenziale ottaedrale . . 202

13 INTRODUZIONE ALLA STABILITA' DELL'EQUILIBRIO 20313.1 Sistemi articolati rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20313.2 Travi con elasticità diusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

13.2.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

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Capitolo 1

INTRODUZIONE

La Scienza delle Costruzioni fornisce gli strumenti di base ed i metodi necessariper la determinazione del grado di sicurezza, inteso in senso generale, di unaqualsiasi struttura soggetta a carichi statici o dinamici.

La Scienza delle Costruzioni si trova a cavallo tra materie di carattere pretta-mente teorico, quali la Matematica, la Fisica e la Fisica-Matematica, e materiedi carattere più applicativo, come la Tecnica delle Costruzioni, la Geotecnica,le Costruzioni Idrauliche, le Costruzioni di Strade, Ferrovie ed Aeroporti, leCostruzioni di Macchine, le Costruzioni Navali, le Costruzioni Aeronautiche, leCostruzioni Aerospaziali.

1.1 Argomenti

La Scienza delle Costruzioni tratta i seguenti argomenti:

• Meccanica del continuo e Teoria della trave

• Analisi di sistemi di travi

1.1.1 Meccanica del continuo e Teoria della trave

La Meccanica del continuo intende determinare le equazioni fondamentali chegovernano la deformazione di un corpo soggetto ad un assegnato sistema diforze. In particolare, lo studio si articola nei seguenti argomenti:

1. Analisi della deformazione

2. Analisi della tensione

3. Principio dei lavori virtuali

4. Legame costitutivo

5. Problema dell'equilibrio elastico

8

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CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 9

6. Principi variazionali

7. Criteri di resistenza.

La teoria della trave rappresenta un particolare problema di meccanica delcontinuo, che si articola nello studio delle sollecitazioni semplici:

1. Sforzo normale

2. Flessione

3. Torsione

4. Taglio e Flessione.

1.1.2 Analisi di sistemi di travi

Si forniscono gli strumenti fondamentali per l'analisi di sistemi costituiti da unao più travi vincolate. Il grado di vincolo è tale che le sole equazioni di equilibrionon sono sucienti a denire univocamente lo stato di sforzo e di deformazionea cui è soggetto il sistema di travi. Vengono allora forniti gli strumenti e lemetodologie fondamentali per arontare tale studio:

1. Equazione della linea elastica della trave

2. Principio dei lavori virtuali per la trave

3. Equazioni di congruenza (metodo delle forze)

4. Equazioni di equilibrio (metodo degli spostamenti)

5. Stabilità dell'equilibrio (problema di Eulero).

1.2 Notazioni

Nelle pagine che seguono si è indicato con le lettere latine maiuscole in grassetto itensori, con le lettere latine minuscole in grassetto i vettori e con le lettere grechegli scalari. Questa regola generale è stata talvolta violata, nei casi in cui esistevanella letteratura scientica una consolidata abitudine ad un dierente uso deisimboli. Così, a titolo di esempio, in letteratura i tensori delle deformazioni edelle tensioni sono quasi sempre indicati rispettivamente con ε e σ, mentre ilvettore momento statico è indicato con S. Tale notazione è di così corrente usoche non è sembrato opportuno cambiarla, sebbene infrangesse le regole generalidi notazione.

Scelta che sia una base, le componenti dei tensori e vettori sono indicaticon i rispettivi simboli (lettere latine maiuscole ovvero minuscole) ma non ingrassetto e con gli indici riportati a pedice. Così, la componente (ij) del tensoreT, è indicata con Tij e la componente (i) del vettore v è indicata con vi. Lelettere minuscole latine usate come indici delle componenti sia per tensori che

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CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 10

vettori possono assumere valori da 1 a 3 (i, j, .. = 1, 2, 3). Le lettere minuscolegreche usate come indici delle componenti sia per tensori che vettori possonoassumere valori da 1 a 2 (α, β, .. = 1, 2).

Si utilizza inoltre la notazione di sommatoria contratta (notazione di Ein-stein), per cui gli indici ripetuti nell'operazione di prodotto si intendono som-mati:

wi = Tijvj = Ti1v1 + Ti2v2 + Ti3v3

così che

w1 = T1jvj = T11v1 + T12v2 + T13v3

w2 = T2jvj = T21v1 + T22v2 + T23v3

w3 = T3jvj = T31v1 + T32v2 + T33v3

Come regola generale, la derivata parziale di una funzione rispetto alla va-riabile xi è indicata con la virgola seguita da i, riportati in pedice. Così, peresempio

∂ω

∂xi= ω,i

Gli operatori dierenziali utilizzati nel seguito sono denotati come:

• div (divergenza):

div(v) = vi,i

[div (T)]i = Tij,j

• O (gradiente):

(Oω)i = ω,i

(Ov)ij = vi,j

• ∆ (laplaciano):

∆ω = ω,ii = ω,11 + ω,22 + ω,33

Inoltre si denota con δij il delta di Kronecker:

δij = 1 se i = j

δij = 0 se i 6= j

Sono poi introdotte le seguenti operazioni sugli scalari, sui vettori e sui tensori:

• somma di due vettori (il risultato è un vettore):

w = v + u (wi = vi + ui)

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CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 11

• prodotto di uno scalare per un vettore (il risultato è un vettore):

w = αv (wi = αvi)

• prodotto scalare tra due vettori (il risultato è uno scalare):

α = v · u (α = viui)

• prodotto diadico o tensoriale tra due vettori (il risultato è un tensore):

T = v ⊗ u (Tij = viuj)

• somma di due tensori (il risultato è un tensore):

T = A + B (Tij = Aij +Bij)

• prodotto di uno scalare per un tensore (il risultato è un tensore):

T = αA (Tij = αAij)

• prodotto scalare tra due tensori (il risultato è uno scalare):

α = A ·B (α = AijBij)

• applicazione di un tensore ad un vettore (il risultato è un vettore)

u = Tv (ui = Tijvj)

Inne TT è il trasposto di T, T−1 è l'inverso di T e T−T è il traspostodell'inverso ovvero l'inverso del trasposto di T.

1.3 Bibliograa

Ritengo inne necessario citare almeno alcuni tra i testi che più mi hanno aiutatonello studio della Scienza delle Costruzioni:

1. Ascione L. - Grimaldi A., Introduzione alla Meccanica dei Solidi, LiguoriEditore, 1986.

2. Ascione L., Elementi di Scienza delle Costruzioni, CUES Collana Didatticadi Ingegneria, 2001.

3. Baldacci R., Scienza delle Costruzioni, Vol. 1 - Vol. 2, Utet, Torino, 1970.

4. Benvenuto E., La Scienza delle Costruzioni ed il suo Sviluppo Storico,Sansoni, Firenze, 1981.

5. Capurso M., Lezioni di Scienza delle Costruzioni, Pitagora Editrice, Bo-logna, 1971.

6. Carpinteri A., Scienza delle Costruzioni, Pitagora Editrice, Bologna, 1994.

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CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 12

7. Ceradini G., Scienza delle Costruzioni, Vol. 3, Teoria della Trave, E.S.A.,Roma, 1987.

8. Corradi Dell'Acqua L., Meccanica delle Strutture, Vol. 1, Vol. 2, Vol. 3,McGraw-Hill, 1992.

9. Di Tommaso A., Fondamenti di Scienza delle Costruzioni, Parte I, Patron,Bologna, 1981.

10. Franciosi V., Scienza delle Costruzioni, Vol.1, Vol. 2, Vol. 3, Liguori,Napoli, 1979.

11. Gambarotta L., Nunziante L., Tralli A., Scienza delle costruzioni, McGraw-Hill, 2003.

12. Gurtin M., An introduction to Continuum Mechanics, Academic Press,1981.

13. Malvern L.E., Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium,Prentice-Hall, 1969.

14. Mase G.E., Meccanica dei Continui, Collana Schaum, 1976.

15. Luongo A. - Paolone A., Scienza delle Costruzioni (1), CEA, 2004

16. Luongo A. - Paolone A., Scienza delle Costruzioni: Saint-Venant (2), CEA,2005

17. Podio Guidugli P., Lezioni di Scienza delle Costruzioni, Parte I. Travi etravature, Aracne, 2008.

18. Podio Guidugli P., Lezioni di Scienza delle Costruzioni, Parte II. Stato disforzo nelle travi, Aracne, 2008.

19. Romano G., Scienza delle Costruzioni, Tomo I: Cinematica ed Equilibrio,Hevelius Edizioni, 2002.

20. Romano G., Scienza delle Costruzioni, Tomo II: Elasticità e resistenza deimateriali, Hevelius Edizioni, 2003.

21. Sacco E., Argomenti di Scienza delle Costruzioni, Aracne, 2004.

22. Sollazzo A. - Marzano S., Scienza delle Costruzioni, Vol. 2, UTET, Torino,1992.

23. Sokolniko I.S., Mathematical Theory of Elasticity, Third Edition, Inter-national Student Edition, 1970.

24. Sparacio R:, La Scienza e i Tempi del Costruire, UTET Università, 1999.

25. Timoshenko S.P. - Goodier J.N., Theory of Elasticity, McGraw-Hill, 1985.

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CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 13

26. Viola E., Scienza delle Costruzioni, 1 Teoria dell'Elasticità, Pitagora Edi-trice, Bologna, 1990.

27. Viola E., Scienza delle Costruzioni, 3 Teoria della Trave , Pitagora Editri-ce, Bologna, 1992.

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Capitolo 2

TEORIA TECNICA DELLA

TRAVE

La trave T è un solido tridimensionale con una dimensione molto maggioredelle altre due; data una gura piana di dimensione caratteristica d ed areaA, la trave è ottenuta facendo traslare la gura piana lungo il segmento adessa ortogonale passante per il baricentro, come illustrato in gura 2.1. Talesegmento, di lunghezza `0 >> d, è detto asse della trave. Per sezione retta dellatrave si intende la supercie piana ottenuta come l'intersezione di un pianoortogonale all'asse della trave con la trave stessa.

La trave rappresenta un modello fondamentale nella meccanica delle strut-ture. Il modello trave è fondato sull'ipotesi che il suo comportamento possaessere descritto riferendosi esclusivamente all'asse ed alle sezioni della trave.

Nella trave si considera un sistema di riferimento cartesiano, tale che l'assez contiene l'asse della trave e gli assi x ed y giacciono sulla base della trave, conorigine nel baricentro.

2.1 Cinematica

La cinematica della trave è denita dalla deformazione dell'asse e dalle rotazionidelle sezioni. Nella trave si possono distinguere due comportamenti cinematici:assiale e essionale, come schematicamente illustrato in gura 2.2. Nel seguitoviene trattato esclusivamente il problema piano della trave; infatti, posto ilsistema di riferimento cartesiano illustrato in gura 2.2, si considera il caso incui la trave si inetta nel piano yz.

La cinematica alla base della teoria tecnica della trave fu sviluppata daEulero e da Bernoulli. In gura 2.3 è evidenziata la deformazione della tipicasezione della trave: la sezione all'ascissa generica z ha uno spostamento w0 lungol'asse z, uno spostamento v lungo l'asse y ed inoltre presenta una rotazione ϕintorno all'asse x, ortogonale al piano yz. I parametri cinematici sono quindi

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 15

Figura 2.1: Schema della trave: dimensione caratteristica della sezione,lunghezza iniziale ed asse della trave.

lo spostamento assiale w0, l'inessione v e la rotazione ϕ; tali quantità sonofunzioni esclusivamente dell'ascissa z, i.e. w0 = w0(z), v = v(z), ϕ = ϕ(z).

Si assume che la sezione retta all'ascissa z, inizialmente piana ed ortogonalealla linea d'asse della trave, a deformazione avvenuta sia ancora piana ed orto-gonale alla deformata dell'asse della trave. Sulla base di tale ipotesi cinematica,detta di Eulero-Bernoulli, si desume che la rotazione della generica sezione rettadella trave deve essere pari all'angolo che la tangente alla linea d'asse forma conl'asse z. Sulla base della piccolezza delle deformazioni, concetto ripreso e chia-rito nel capitolo successivo, è possibile confondere i valori dell'angolo compresotra la retta tangente e l'asse z, con il valore del coeciente angolare. Tenendoallora conto che il coeciente angolare della retta tangente la funzione v(z) è laderivata di v(z), si deduce:

ϕ = −v′ (2.1)

dove il segno meno assicura ϕ > 0 per rotazioni antiorarie.Riguardando la trave come un solido tridimensionale, è possibile calcolare

lo spostamento di un generico punto della sezione retta della trave. Poiché lasezione retta subisce uno spostamento lungo l'asse y pari a v, se ne deduce chelo spostamento lungo l'asse y in ogni punto della sezione retta vale sempre v.D'altra parte, lo spostamento lungo l'asse z nel generico punto della sezione rettasi ottiene come somma dell'eetto di w0, spostamento lungo z in corrispondenzadell'asse della trave, e di ϕ, rotazione della sezione:

w = w0 + yϕ = w0 − y v′ (2.2)

In gura 2.4 è riportato un tratto di lunghezza nita ∆z di trave. Perla generica sezione z i parametri cinematici valgono: w0 = w0(z), v = v(z),

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 16

Figura 2.2: Cinematica della trave: deformazione assiale e essionale.

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 17

Figura 2.3: Parametri cinematici della trave per la generica sezione retta.

ϕ = ϕ(z); mentre, per la sezione z+ ∆z i parametri cinematici valgono: w0(z+∆z) = w0 + ∆w0, v(z + ∆z) = v + ∆v, ϕ(z + ∆z) = ϕ+ ∆ϕ.

La variazione di spostamento lungo l'asse z vale w0(z + ∆z) − w0(z) =w0 +∆w0−w0 = ∆w0. Si denisce deformazione assiale ε0 il limite per ∆z → 0del rapporto tra la variazione di spostamento e l'incremento di ascissa ∆z:

ε0 = lim∆z→0

∆w0

∆z=dw0

dz= w′0 (2.3)

dove l'apice ′ indica la derivazione rispetto a z; tale notazione non può indurreconfusione in quanto, come evidenziato precedentemente, tutti i parametri cine-matici introdotti dipendono esclusivamente dalla variabile z. Inoltre, si deniscela deformazione ε in corrispondenza del generico punto della trave come:

ε = lim∆z→0

∆w

∆z=dw

dz= w′ (2.4)

che, tenendo conto della formula (2.2), diventa:

ε = w′

0 + y ϕ′

= w′

0 − y v′′

(2.5)

Assumendo che il tratto di trave di lunghezza ∆z rappresentato in gura 2.4nella congurazione deformata si atteggi secondo un arco di cerchio, si intendedeterminare il raggio di curvatura R di tale arco di cerchio, ovvero il valore dellacurvatura χ = 1/R della inessione della trave. La lunghezza dell'arco di cerchiodi raggio R risulta pari a ∆z; ne consegue che vale la relazione R ∆ϕ = ∆z. Lacurvatura vale quindi:

χ =1

R= lim

∆z→0

∆ϕ

∆z=dϕ

dz= ϕ′ (2.6)

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 18

Figura 2.4: Deformazione di un generico tratto di trave di lunghezza Δz.

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 19

In denitiva, le equazioni che governano la deformazione della trave sono leseguenti:

ε0 = w′0 (2.7)

ϕ = −v′χ = ϕ′

χ = −v′′

Inoltre, tenendo conto delle (2.3) e (2.6), la deformazione (2.5) si determinacome:

ε = ε0 + y χ (2.8)

Le equazioni (2.5) e (2.6) sono le equazioni di congruenza della trave.

2.2 Equazioni di equilibrio

Si assume che la trave T sia soggetta ad un sistema piano di sollecitazioni: forzeagenti nel piano yz, coppie lungo l'asse x. In gura 2.5, è riportato lo schema. Ilsistema di carichi agenti sulla trave è in equilibrio, ovvero soddisfa le equazionicardinali della statica.

Sezionando la trave T tramite un piano ortogonale all'asse, si deniscono dueparti della trave: una parte T1 appartenente ad un semispazio denito dal piano,una seconda T2 appartenente all'altro semispazio, come illustrato in gura 2.5.Si individua dunque la sezione S all'ascissa z, di separazione tra la parte T1 ela parte T2.

Considerando le sole azioni esterne agenti su T1 ovvero su T2 l'equilibrio nonè assicurato; d'altra parte, poiché la trave era inizialmente in equilibrio, vuol direche ogni sua parte deve essere in equilibrio; se ne deduce allora che attraversola supercie di taglio devono agire azioni mutue tra T1 e T2 che ripristininol'equilibrio.

Le azioni di scambio tra le parti della trave sono una forza risultante Red una coppia M , come riportato in gura 2.5. Si deniscono allora le seguenticaratteristiche della sollecitazione in corrispondenza della generica ascissa z dellatrave:

• T componente di R in direzione y, taglio;

• N componente di R in direzione z, sforzo normale;

• M momento ettente;

Si consideri ora un tratto di trave, delimitato dalle sezioni rette S1 ed S2, nelquale le caratteristiche della sollecitazione siano costanti, come illustrato in -gura 2.6. Si denisce quindi normale ad una sezione retta il versore uscente daltratto di trave. Si distinguono nella gura 2.6 due versori uscenti, i.e. n1 ed n2;in particolare, n1 avendo lo stesso verso dell'asse z assegnato è detto positivo e,di conseguenza, S1 è la sezione retta di normale positiva; al contrario n2 avendoverso opposto all'asse z assegnato è detto negativo e, di conseguenza, S2 è lasezione retta di normale negativa.

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 20

Figura 2.5: Sollecitazioni agenti sulla trave e risultante e momento risultante diinterazione tra le parti della trave.

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 21

Figura 2.6: Caratteristiche della sollecitazione positive per il generico tratto ditrave di lunghezza Δz.

In gura 2.6 sono riportate le caratteristiche della sollecitazione positive. Inparticolare, sulla sezione retta di normale positiva lo sforzo normale positivoha il verso dell'asse z, il taglio positivo ha il verso dell'asse y, ed il momentopositivo è antiorario. Al contrario, sulla sezione retta di normale negativa losforzo normale positivo ha il verso opposto all'asse z, il taglio positivo ha ilverso opposto all'asse y, ed il momento positivo è orario.

Si consideri ora il caso in cui le caratteristiche della sollecitazione non sonocostanti lungo l'asse della trave. In particolare, lungo la trave agiscono un caricodistribuito assiale f , nel verso di z, e trasversale q, nel verso di y, come illustratoin gura 2.7; si pone inoltre:

• sezione S2 all'ascissa z:Taglio T , Sforzo Normale N , Momento Flettente M ,

• sezione S1 all'ascissa z + ∆z:Taglio T + ∆T , Sforzo Normale N + ∆N , Momento Flettente M + ∆M .

Facendo riferimento sempre alla gura 2.7, si determinano le seguenti equa-zioni di equilibrio del tratto di trave di lunghezza ∆z:

• traslazione lungo l'asse z

N + ∆N −N + f ∆z = 0 (2.9)

ovvero

∆N

∆z= −f (2.10)

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 22

Figura 2.7: Equilibrio del tratto di trave di lunghezza Δz.

facendo il limite per ∆z → 0:

N ′ = −f (2.11)

• traslazione lungo l'asse y

T + ∆T − T + q ∆z = 0 (2.12)

ovvero

∆T

∆z= −q (2.13)

facendo il limite per ∆z → 0:

T ′ = −q (2.14)

• rotazione intorno al baricentro della sezione S1

M + ∆M −M + q∆z2

2− T ∆z = 0 (2.15)

ovvero

∆M

∆z− T + q

∆z

2= 0 (2.16)

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 23

facendo il limite per ∆z → 0:

M ′ = T (2.17)

Derivando l'equazione (2.17) e tenendo conto della (2.14), si ottiene:

M ′′ = −q (2.18)

Le equazioni (2.11), (2.14) e (2.17) sono le equazioni di equilibrio locale dellatrave, dette anche equazioni indenite di equilibrio della trave.

2.3 Legame costitutivo

Si consideri una bra di materiale di lunghezza l0 = ∆z ed area ∆A. Sui dueestremi della bra agiscono due forze ∆F uguali ed opposte, che garantisconol'equilibrio della bra.

Per eetto dell'azione dovuta alle due forze ∆F , la bra subisce una varia-zione di lunghezza che, a deformazione avvenuta, vale l. L'allungamento risultaallora:

εe =l − l0l0

(2.19)

dove il pedice e evidenzia che la bra si è deformata grazie alla elasticità delmateriale che la compone. Di conseguenza, la quantità εe è la deformazioneelastica della bra.

D'altra parte, si denisce tensione normale σ la quantità:

σ = lim∆A→0

∆F

∆A(2.20)

Al variare del valore della tensione normale σ si ha una variazione della de-formazione εe. Il rapporto tra la tensione normale e la deformazione rappresentauna proprietà caratteristica del materiale di cui è costituito la bra considerata.In particolare, tale rapporto è generalmente indicato con E ed è denominatomodulo elastico o modulo di Young del materiale:

E =σ

εe(2.21)

L'equazione (2.21) può essere riscritta nella forma:

σ = Eεe (2.22)

ed è nota come equazione di legame costitutivo. Si evidenzia che la deformazionesubita dalla bra è elastica, ovvero è dovuta all'elasticità del materiale.

Una volta denita la relazione (2.22) per la generica bra, è possibile deter-minare le equazioni costitutive della trave. Infatti, considerando la trave come

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 24

un fascio di bre sulle quali agiscono le tensioni σ, lo sforzo normale ed il mo-mento ettente si calcolano come la risultante ed il momento risultante delletensioni sulla sezione:

N =

ˆA

σ dA M =

ˆA

yσ dA (2.23)

Sostituendo nelle due equazioni (2.23) la relazione costitutiva (2.22), si ottiene:

N =

ˆA

Eεe dA M =

ˆA

yEεe dA (2.24)

Ricordando poi la relazione (2.8), si ha:

N =

ˆA

E (ε0e + y χe) dA =

ˆA

(E ε0e + Ey χe) dA = EA ε0e+ES χe = EA ε0e

(2.25)

M =

ˆA

yE (ε0e + y χe) dA =

ˆA

(Ey ε0e + Ey2 χe

)dA = ES ε0e+EI χe = EI χe

(2.26)essendo S il momento statico rispetto all'asse x, che risulta nullo poiché x èbaricentrico, I il momento d'inerzia rispetto all'asse x ed inoltre ε0e e χe ladeformazione elastica assiale e la curvatura elastica della trave.

Le equazioni (2.25) e (2.26) rappresentano le relazioni costitutive globali dellatrave che legano gli enti cinematici deformazione elastica assiale ε0e e curvaturaχe agli enti statici sforzo normale N e momento ettente M .

Si considera ora il caso in cui la deformazione assiale e la curvatura sianoprovocati non solo dalle caratteristiche della sollecitazione sforzo normale N emomento ettente M , ma anche da altre possibili azioni agenti sulla trave. Atitolo d'esempio si può considerare il caso di una trave soggetta a variazione ter-mica. Infatti, la dierenza ∆T tra la temperatura attuale T e la temperaturadi riferimento T0 induce una deformazione anche con caratteristiche della solle-citazione nulle. In denitiva, si può supporre che la deformazione totale dellatrave sia ottenuta come somma della deformazione provocata da caratteristichedella sollecitazione, ε0e e χe, e della deformazione dovuta a variazioni termiche,ε0t e χt:

ε0 = ε0e + ε0t χ = χe + χt (2.27)

Il tipico tratto di trave di lunghezza l0 = ∆z, soggetto ad una variazionecostante di temperatura ∆T , subisce una variazione di lunghezza proporzionalea ∆T ed ad un coeciente α, che dipende dal materiale:

l − l0 = α ∆T ∆z

per cui la deformazione assiale termica si determina come:

ε0t =l − l0l0

= α ∆T (2.28)

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 25

Analogamente, si consideri il tratto di trave di lunghezza ∆z, soggetto ad unavariazione temperatura, tale che sul lato inferiore (y = h1 > 0) la variazionedi temperatura sia pari a ∆T1, mentre sul lato superiore (y = −h2 < 0) lavariazione di temperatura sia pari a ∆T2; si assume inoltre che la variazione ditemperatura vari linearmente lungo l'altezza totale della trave (h = h1 + h2):

∆T (y) =y (∆T1 −∆T2) + h1∆T2 + h2∆T1

h

La tipica bra della trave, individuata dalla coordinata y nella sezione, subisceuna deformazione assiale pari a:

εt(y) = α ∆T (y) = αy (∆T1 −∆T2) + h1∆T2 + h2∆T1

h(2.29)

che varia linearmente lungo l'altezza della trave. Tenendo conto della formula(2.8), si deduce che, per eetto della variazione termica, nella trave nasce unadeformazione assiale ed una curvatura termica, denite come:

ε0t = αh1∆T2 + h2∆T1

hχt = α

∆T1 −∆T2

h(2.30)

In particolare, posto ∆T = ∆T1 −∆T2, si ha:

ε0t = αh1∆T2 + h2∆T1

hχt = α

∆T

h(2.31)

2.4 Problema dell'equilibrio elastico

In denitiva, le equazioni che governano il problema della trave sono le seguenti:

• congruenza

ε0 = w′0 (2.32)

χ = −v′′ (2.33)

ε0 = ε0e + ε0t (2.34)

χ = χe + χt (2.35)

• equilibrio

N ′ = −f (2.36)

M ′′ = −q (2.37)

• legame costitutivo

N = EA ε0e (2.38)

M = EI χe (2.39)

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 26

Per le (2.32), (2.34) e (2.38), la (2.36) diventa:

[EA (w′0 − ε0t)]′

= −f (2.40)

Analogamente, per le (2.33), (2.35) e (2.39), la (2.37) diventa:

[EI (v′′ + χt)]′′

= q (2.41)

Le equazioni dierenziali (2.40) e (2.41) rappresentano le equazioni del pro-blema dell'equilibrio elastico della trave soggetta a sforzo normale ed a mo-mento ettente, dette anche equazioni della linea elastica. Si evidenzia che taliequazioni sono completamente disaccoppiate; infatti il problema assiale si puòrisolvere tramite la (2.40) ignorando completamente il problema essionale; ana-logamente, il problema essionale si può risolvere tramite la (2.41) ignorandocompletamente il problema assiale.

In molti casi non sono presenti deformazioni termiche nella trave, per cui siha ε0 = ε0e e χ = χe.

Le deformazioni e le caratteristiche della sollecitazione per strutture siaisostatiche che iperstatiche possono essere determinate risolvendo le equazioni(2.40) e (2.41) con opportune condizioni al contorno.

Si evidenzia che nel caso di travature isostatiche le equazioni dell'equilibrioelastico (2.32)-(2.39) si possono risolvere disaccoppiando il problema dell'equi-librio dalla cinematica. Infatti, per travi isostatiche, ovvero staticamente deter-minate è possibile determinare le caratteristiche della sollecitazione risolvendole equazioni dierenziali (2.36) e (2.37) considerando le opportune condizioni alcontorno. Noti che siano lo sforzo normale ed il momento ettente si determi-nano la deformazione assiale e la curvatura elastica dalle equazioni di legamecostitutivo (2.38) e (2.39). La deformazione assiale totale e la curvatura totaleè quindi determinata tramite le relazioni (2.34) e (2.35). Inne integrando leequazioni dierenziali (2.32) e (2.33) con opportune condizioni al contorno, siricava la deformata della trave.

Nel caso di strutture iperstatiche non è possibile disaccoppiare il proble-ma dell'equilibrio dalla cinematica, e devono essere risolte tramite le equazionidell'equilibrio elastico (2.40) e (2.41).

2.5 Principio dei lavori virtuali

Si consideri una generica trave, per ipotesi libera nel piano, soggetta a carichidistribuiti assiali f e trasversali q ed ad azioni sulle sezioni terminali H0, V0,m0

per z = 0 e HL, VL,mL per z = L, come illustrato in gura 2.8.Sulla trave si considerano:

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 27

Figura 2.8: Trave libera nel piano soggetta a carichi distribuiti nel campo econcentrati alle estremità.

• un sistema di caratteristiche della sollecitazione in equilibrio con le forzeapplicate, ovvero

N ′ = −fT ′ = −qM ′ = T

z ∈ ]0, L[ (2.42)

N(0) = H0

T (0) = V0

M(0) = m0

z = 0 (2.43)

N(L) = HL

T (L) = VLM(L) = mL

z = L (2.44)

• un campo di spostamenti congruente con le deformazioni, ovvero

w′0 = ε0

v′ = −ϕϕ′ = χ

z ∈ ]0, L[ (2.45)

Si evidenzia che non sussiste alcune legame di tipo causa eetto tra le carat-teristiche della sollecitazione equilibrate con i carichi esterni ed il campo dispostamenti congruenti con le deformazioni.

E' possibile calcolare ora il lavoro virtuale che le forze esterne applicate allatrave svolgono per gli spostamenti considerati. Si ottiene allora:

Lve =

ˆ L

0

f w dz +HLw(L)−H0w(0) (2.46)

+

ˆ L

0

q v dz + VLv(L)− V0v(0) +mLϕ(L)−m0ϕ(0)

Tenendo conto delle prime due equazioni di equilibrio delle (2.42), l'equazione(2.46) fornisce:

Lve = −ˆ L

0

N ′ w dz +HLw(L)−H0w(0)+ (2.47)

−ˆ L

0

T ′ v dz + VLv(L)− V0v(0) +mLϕ(L)−m0ϕ(0)

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 28

che integrata per parti diventa:

Lve =

ˆ L

0

N w′ dz − [N(L)w(L)−N(0)w(0)] +HLw(L)−H0w(0) (2.48)

+

ˆ L

0

T v′ dz − [T (L)v(L)− T (0)v(0)] + VLv(L)− V0v(0) +mLϕ(L)−m0ϕ(0)

Per le equazioni (2.43) e (2.44), la (2.48) fornisce:

Lve =

ˆ L

0

N w′ dz +

ˆ L

0

T v′ dz +mLϕ(L)−m0ϕ(0)

che per la terza delle (2.42), integrando per parti e tenendo conto delle (2.43) e(2.44), fornisce:

Lve =

ˆ L

0

N w′ dz +

ˆ L

0

M ′ v′ dz +mLϕ(L)−m0ϕ(0) (2.49)

=

ˆ L

0

N w′ dz −ˆ L

0

M v′′ dz + [M(L)v′(L)−M(0)v′(0)] +mLϕ(L)−m0ϕ(0)

=

ˆ L

0

N w′ dz −ˆ L

0

M v′′ dz

Applicando le equazioni di congruenza (2.45), si ha:

Lve =

ˆ L

0

N ε0 dz +

ˆ L

0

M χ dz (2.50)

La quantità a secondo membro della (2.50) è il lavoro virtuale delle caratteri-stiche della sollecitazione per gli enti deformazione della trave. Tale quantitàviene denita lavoro virtuale interno:

Lve =

ˆ L

0

N ε0 dz +

ˆ L

0

M χ dz = Lvi (2.51)

L'equazione (2.51) indica che il lavoro virtuale esterno di un sistema di forzeequilibrato con le caratteristiche della sollecitazione per un campo di sposta-menti congruenti con gli enti di deformazione è uguale al lavoro virtuale internocompiuto dalle sollecitazioni per le deformazioni.

2.6 Esercizi

2.6.1 Esercizio 1

Si consideri la trave isostatica riportata in gura 2.9. In particolare, si arontaesclusivamente il problema essionale, trascurando l'aspetto assiale. Poiché lastruttura è isostatica, può essere risolta seguendo due possibili procedure.

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 29

Figura 2.9: Mensola caricata con una forza F sull'estremo libero.

1a proceduraSi risolve l'equazione di equilibrio (2.37):

M = Az +B

Le costanti di integrazione A e B si determinano imponendo opportune condi-zioni al contorno di tipo statico:

• Nodo A: non sono noti enti statici, ovvero non si conoscono i valori né deltaglio né del momento ettente,

• Nodo B: sono noti entrambi gli enti statici

M(l) = 0 ⇒ A l +B = 0T (l) = M ′(l) = F ⇒ A = F

Risolvendo il sistema di equazioni si ottiene:

A = F B = −F l

e quindiM = F (z − l)

Tramite l'equazione di legame (2.39) si valuta la curvatura:

χ = χe =M

EI=

F

EI(z − l)

Nota la curvatura, l'inessione si calcola integrando l'equazione dierenziale(2.33):

v′′ = − F

EI(z − l) ⇒ v = − F

2EI

(1

3z3 − l z2

)+ Cz +D

Le costanti di integrazione C e D si determinano imponendo opportune condi-zioni al contorno di tipo cinematico:

• Nodo A: sono nulli i valori dello spostamento trasversale e della rotazione,

v(0) = 0 ⇒ D = 0ϕ(0) = −v′(0) = 0 ⇒ C = 0

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 30

• Nodo B: non sono noti i valori degli enti cinematici.

In denitiva la soluzione della struttura in oggetto è:

v = − F

2EI

(1

3z3 − l z2

)ϕ =

F

2EI

(z2 − 2l z

)χ =

F

EI(z − l)

M = F (z − l)T = F

2a proceduraSi risolve l'equazione di equilibrio (2.41):

v = C1z3 + C2z

2 + C3z + C4

da cui si ricava:

ϕ = −(3C1z

2 + 2C2z + C3

)χ = − (6C1z + 2C2)

M = −EI (6C1z + 2C2)

T = −EI (6C1)

Le costanti di integrazione si determinano imponendo condizioni al contornodi tipo sia statico che cinematico. In particolare si ha:

• Nodo A: sono nulli i valori dello spostamento trasversale e della rotazione,

v(0) = 0 ⇒ C4 = 0ϕ(0) = −v′(0) = 0 ⇒ C3 = 0

• Nodo B: sono noti entrambi gli enti statici

M(l) = 0 ⇒ −EI (6C1l + 2C2) = 0T (l) = M ′(l) = F ⇒ −EI (6C1) = F

Risolvendo si ottiene:

C1 = − F

6EIC2 =

F

2EIl C3 = 0 C4 = 0

e quindi

v = − F

2EI

(1

3z3 − l z2

)

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 31

Figura 2.10: Schema della struttura dell'esercizio 2.

2.6.2 Esercizio 2

Si determini la soluzione della struttura in gura 2.10 utilizzando l'equazionedella linea elastica.

La struttura si compone di 3 tratti, per ognuno di questi tratti si applical'equazione dierenziale della linea elastica (2.41), assumendo EI costante econsiderando una deformazione termica costante solo nel secondo tratto conχt = 2α∆T/h, essendo α il coeciente di dilatazione termica del materiale edh l'altezza della trave:

• primo tratto da A a B, sistema di riferimento z1 con origine in A

EI v′′′′1 = 0

• secondo tratto da B a C, sistema di riferimento z2 con origine in B

EI v′′′′2 = 0

• terzo tratto da C a D, sistema di riferimento z3 con origine in C

EI v′′′′3 = q

Le soluzioni delle 3 equazioni dierenziali sono rispettivamente:

v1 = A1z31 +B1z

21 + C1z1 +D1

v2 = A2z32 +B2z

22 + C2z2 +D2

v3 = A3z33 +B3z

23 + C3z3 +D3 + q

z43

24EI

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 32

da cui si ricava:

ϕ1 = −v′1 = −(3A1z

21 + 2B1z1 + C1

)ϕ2 = −v′2 = −

(3A2z

22 + 2B2z2 + C2

)ϕ3 = −v′3 = −

(3A3z

23 + 2B3z3 + C3 + q

z33

6EI

)

M1 = −EIv′′1 = −EI (6A1z1 + 2B1)

M2 = −EI (v′′2 + χt) = −EI (6A2z2 + 2B2 + χt)

M3 = −EIv′′3 = −EI(

6A3z3 + 2B3 + qz2

3

2EI

)

T1 = −EIv′′′1 = −EI (6A1)

T2 = −EIv′′′2 = −EI (6A2)

T3 = −EIv′′′3 = −EI(

6A3 + qz3

EI

)Le costanti di integrazione A1, B1, C1, D1, A2, B2, C2, D2, A3, B3, C3, D3 sideterminano imponendo le opportune condizioni al contorno.

• Nodo A- nell'incastro si devono scrivere 2 condizioni di tipo cinematico,la prima sugli spostamenti verticali, la seconda condizione sulle rotazioni:

v1(0) = 0

ϕ1(0) = 0

• Nodo B- in corrispondenza del carrello elastico in B si devono scrivere 4condizioni al contorno, una sugli abbassamenti, una sulle rotazioni, unasul momento ettente ed una sul taglio:

v1(l) = v2(0)

ϕ1(l) = ϕ2(0)

M1(l) = M2(0)

T1(l) + kv1(l) = T2(0)

dove k è la rigidezza del vincolo elastico in B.

• Nodo C- per il vincolo in C devono essere scritte 4 equazioni:

v2(l) = 0

v3(0) = 0

ϕ2(l) = ϕ3(0)

M2(l) = M3(0)

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 33

• Nodo D- in corrispondenza dell'estremo libero si scrivono 2 equazioni:

M3(l) = 0

T3(l) = 0

In denitiva si ottiene il seguente sistema di equazioni:

D1 = 0

C1 = 0

A1l3 +B1l

2 + C1l +D1 = D2

3A1l2 + 2B1l + C1 = C2

6A1l + 2B1 = 2B2 + χt

6A1 −k

EI(A1l

3 +B1l2 + C1l +D1) = 6A2

A2l3 +B2l

2 + C2l +D2 = 0

D3 = 0

3A2l2 + 2B2l + C2 = C3

6A2l + 2B2 + χt = 2B3

6A3l + 2B3 + ql2

2EI= 0

6A3 + ql

EI= 0

ovvero, in forma matriciale:

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0l3 l2 l 1 0 0 0 −1 0 0 0 03l2 2l 1 0 0 0 −1 0 0 0 0 06l 2 0 0 0 −2 0 0 0 0 0 0

6 + βl3 βl2 βl β −6 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 l3 l2 l 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 3l2 2l 1 0 0 0 −1 00 0 0 0 6l 2 0 0 0 −2 0 00 0 0 0 0 0 0 0 6l 2 0 00 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0

A1

B1

C1

D1

A2

B2

C2

D2

A3

B3

C3

D3

=

0000χt0000−χtγl2γ

dove β = −k/EI e γ = −ql/EI.

2.6.3 Esercizio 3

Si determini la soluzione della struttura in gura 2.11 utilizzando l'equazionedella linea elastica.

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 34

Figura 2.11: Schema della struttura dell'esercizio 3.

La struttura si compone di 4 tratti, per ognuno di questi tratti si applical'equazione dierenziale della linea elastica (2.41), assumendo EI costante econsiderando una deformazione termica costante solo nel secondo tratto conχt = 2α∆T/h, essendo α il coeciente di dilatazione termica del materiale edh l'altezza della trave:

• primo tratto da A a B, sistema di riferimento z1 con origine in A

EI v′′′′1 = 0

• secondo tratto da B a C, sistema di riferimento z2 con origine in B

EI v′′′′2 = 0

• terzo tratto da C a D, sistema di riferimento z3 con origine in C

EI v′′′′3 = 0

• quarto tratto da D a E, sistema di riferimento z4 con origine in D

EI v′′′′4 = 0

Le soluzioni delle 3 equazioni dierenziali sono rispettivamente:

v1 = A1z31 +B1z

21 + C1z1 +D1

v2 = A2z32 +B2z

22 + C2z2 +D2

v3 = A3z33 +B3z

23 + C3z3 +D3

v4 = A4z34 +B4z

24 + C4z4 +D4

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 35

da cui si ricava:

ϕ1 = −v′1 = −(3A1z

21 + 2B1z1 + C1

)ϕ2 = −v′2 = −

(3A2z

22 + 2B2z2 + C2

)ϕ3 = −v′3 = −

(3A3z

23 + 2B3z3 + C3

)ϕ4 = −v′4 = −

(3A4z

24 + 2B4z4 + C4

)

M1 = −EIv′′1 = −EI (6A1z1 + 2B1)

M2 = −EI (v′′2 + χt) = −EI (6A2z2 + 2B2 + χt)

M3 = −EIv′′3 = −EI (6A3z3 + 2B3)

M4 = −EIv′′4 = −EI (6A4z4 + 2B4)

T1 = −EIv′′′1 = −EI (6A1)

T2 = −EIv′′′2 = −EI (6A2)

T3 = −EIv′′′3 = −EI (6A3)

T4 = −EIv′′′4 = −EI (6A4)

Le costanti di integrazione A1, B1, C1, D1, A2, B2, C2, D2, A3, B3, C3, D3,A4,B4, C4, D4 si determinano imponendo le opportune condizioni al contorno.

• Nodo A:

v1(0) = 0

ϕ1(0) = 0

• Nodo B:

v1(l) = 0

v2(0) = 0

ϕ1(l) = ϕ2(0)

M1(l) = M2(0)

• Nodo C:

v2(l) = v3(0)

ϕ2(l) = ϕ3(0)

M2(l) = M3(0)

T2(l) + kv2(l) = T3(0)

dove k è la rigidezza del vincolo elastico in C.

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 36

Figura 2.12: Schema della struttura dell'esercizio 4.

• Nodo D:

v3(l/2) = v4(0)

ϕ3(l/2) = ϕ4(0)

M3(l/2) = M4(0)

T3(l/2) = T4(0) + F

• Nodo E:

M4(l/2) = 0

T4(l/2) = 0

In denitiva, esprimendo le rotazioni, i momenti ettenti ed i tagli in funzio-ne delle derivate dell'inessione dei singoli tratti, si ottiene un sistema di 16equazioni che permette di determinare le 16 costanti di integrazione.

2.6.4 Esercizio 4

Si determini la soluzione della struttura in gura 2.12 utilizzando l'equazionedella linea elastica.

La struttura si compone di 3 tratti, per ognuno di questi tratti si applical'equazione dierenziale della linea elastica (2.41), assumendo EI costante:

• primo tratto da A a B, sistema di riferimento z1 con origine in A

EI v′′′′1 = q

• secondo tratto da B a C, sistema di riferimento z2 con origine in B

EI v′′′′2 = 0

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 37

• terzo tratto da C a D, sistema di riferimento z3 con origine in C

EI v′′′′3 = 0

Le soluzioni delle 3 equazioni dierenziali sono rispettivamente:

v1 = A1z31 +B1z

21 + C1z1 +D1 + q

z41

24EI

v2 = A2z32 +B2z

22 + C2z2 +D2

v3 = A3z33 +B3z

23 + C3z3 +D3

da cui si ricava:

ϕ1 = −v′1 = −(

3A1z21 + 2B1z1 + C1 + q

z31

6EI

)ϕ2 = −v′2 = −

(3A2z

22 + 2B2z2 + C2

)ϕ3 = −v′3 = −

(3A3z

23 + 2B3z3 + C3

)

M1 = −EIv′′1 = −EI(

6A1z1 + 2B1 + qz2

1

2EI

)M2 = −EIv′′2 = −EI (6A2z2 + 2B2)

M3 = −EIv′′3 = −EI (6A3z3 + 2B3)

T1 = −EIv′′′1 = −EI(

6A1 + qz1

EI

)T2 = −EIv′′′2 = −EI (6A2)

T3 = −EIv′′′3 = −EI (6A3)

Le costanti di integrazione A1, B1, C1, D1, A2, B2, C2, D2, A3, B3, C3, D3 sideterminano imponendo le opportune condizioni al contorno.

• Nodo A:

v1(0) = 0

M1(0) = 0

• Nodo B:

v1(l) = v2(0)

ϕ1(l) = ϕ2(0)

M1(l) = M2(0)

T1(l) + kv1(l) = T2(0)

dove k è la rigidezza del vincolo elastico in B.

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 38

Figura 2.13: Schema della struttura dell'esercizio 4.

• Nodo C:

v2(l) = δ

v3(0) = δ

ϕ2(l) = ϕ3(0)

M2(l) = M3(0)

• Nodo D:

v3(l) = 0

ϕ3(l) = 0

In denitiva, esprimendo le rotazioni, i momenti ettenti ed i tagli in funzio-ne delle derivate dell'inessione dei singoli tratti, si ottiene un sistema di 12equazioni che permette di determinare le 12 costanti di integrazione.

2.6.5 Esercizio 5

Si determini la soluzione della struttura in gura 2.13 utilizzando l'equazionedella linea elastica.

La struttura si compone di 4 tratti, per ognuno di questi tratti si applical'equazione dierenziale della linea elastica (2.41), assumendo EI costante econsiderando una deformazione termica costante solo nel secondo tratto conχt = 2α∆T/h, essendo α il coeciente di dilatazione termica del materiale edh l'altezza della trave:

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 39

• primo tratto da A a B, sistema di riferimento z1 con origine in A

EI v′′′′1 = 0

• secondo tratto da B a C, sistema di riferimento z2 con origine in B

EI v′′′′2 = 0

• terzo tratto da C a D, sistema di riferimento z3 con origine in C

EI v′′′′3 = 0

• quarto tratto da D a E, sistema di riferimento z4 con origine in D

EI v′′′′4 = 0

Le soluzioni delle 3 equazioni dierenziali sono rispettivamente:

v1 = A1z31 +B1z

21 + C1z1 +D1

v2 = A2z32 +B2z

22 + C2z2 +D2

v3 = A3z33 +B3z

23 + C3z3 +D3

v4 = A4z34 +B4z

24 + C4z4 +D4

da cui si ricava:

ϕ1 = −v′1 = −(3A1z

21 + 2B1z1 + C1

)ϕ2 = −v′2 = −

(3A2z

22 + 2B2z2 + C2

)ϕ3 = −v′3 = −

(3A3z

23 + 2B3z3 + C3

)ϕ4 = −v′4 = −

(3A4z

24 + 2B4z4 + C4

)

M1 = −EI (v′′1 + χt) = −EI (6A1z1 + 2B1 + χt)

M2 = −EI (v′′2 + χt) = −EI (6A2z2 + 2B2 + χt)

M3 = −EIv′′3 = −EI (6A3z3 + 2B3)

M4 = −EIv′′4 = −EI (6A4z4 + 2B4)

T1 = −EIv′′′1 = −EI (6A1)

T2 = −EIv′′′2 = −EI (6A2)

T3 = −EIv′′′3 = −EI (6A3)

T4 = −EIv′′′4 = −EI (6A4)

Le costanti di integrazione A1, B1, C1, D1, A2, B2, C2, D2, A3, B3, C3, D3,A4,B4, C4, D4 si determinano imponendo le opportune condizioni al contorno.

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CAPITOLO 2. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE 40

• Nodo A:

v1(0) = 0

ϕ1(0) = 0

• Nodo B:

v1(l) = v2(0)

M1(l) = 0

M2(0) = 0

T1(l) = T2(0)

• Nodo C:

v2(l) = v3(0)

ϕ2(l) = ϕ3(0)

M2(l) = M3(0)

T2(l) + kv2(l) = T3(0)

dove k è la rigidezza del vincolo elastico in C.

• Nodo D:

v3(l/2) = v4(0)

ϕ3(l/2) = ϕ4(0)

M3(l/2) = M4(0)

T3(l/2) = T4(0) + F

• Nodo E:

ϕ4(l/2) = 0

T4(l/2) = 0

In denitiva, esprimendo le rotazioni, i momenti ettenti ed i tagli in funzio-ne delle derivate dell'inessione dei singoli tratti, si ottiene un sistema di 16equazioni che permette di determinare le 16 costanti di integrazione.

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Capitolo 3

ANALISI DELLA

DEFORMAZIONE

Lo studio della deformazione viene arontato prescindendo dalle cause che l'han-no prodotta. Per deformazione s'intende il processo di cambiamento di formadel corpo (supposto continuo e deformabile).

3.1 Denizione di mezzo continuo e deformabile

Per mezzo continuo si intende un sistema materiale per il quale si possano iden-ticare i suoi punti materiali con i punti di una porzione dello spazio continuooccupata dal sistema in un determinato istante. Più precisamente, si intendecome continuo un insieme di punti materiali, dotato di una misura d'insiemedenito dalla massa ρ, supposta una funzione assolutamente continua alla qua-le resti così associata in ogni istante di tempo una massa specica (Baldacci,1970).

Un corpo si dice deformabile quando le posizioni relative dei suoi punti va-riano in seguito all'applicazione di agenti esterni. L'analisi della deformazionesi occupa allora dello studio del cambiamento di posizione relativa tra i puntimateriali nel passaggio da uno stato iniziale a quello attuale.

Nel seguito viene sviluppato il modello di deformazione dovuto a Cauchy1,secondo il quale un moto è puramente rigido quando la distanza tra due qualsiasi

1Augustin-Louis Cauchy (Parigi 1789 - Sceaux 1857), matematico francese. Studiòall'Ecole Polytechnique; esercitò per qualche tempo la professione di ingegnere, ma la famadei suoi lavori sugli integrali deniti gli procurò una nomina presso l'Ecole Polytechnique, laSorbona e il Collegio di Francia. Dal 1830 al 1838 visse in esilio per aver negato il giuramentoa Luigi Filippo. Nel 1848 venne nominato professore alla Sorbona e ottenne l'esenzione dalgiuramento da Napoleone III.Cauchy fu uno dei maggiori matematici del XIX secolo: si distinse in particolare per aver

conferito all'analisi caratteristiche che sono considerate tuttora fondamentali; vericò l'esisten-za di funzioni ellittiche, mosse i primi passi in direzione di una teoria generale delle funzioni divariabile complessa e pose le basi per la convergenza delle serie. Perfezionò inoltre il metodo diintegrazione delle equazioni dierenziali lineari e si dedicò anche allo studio della propagazione

41

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 42

Figura 3.1: Congurazione iniziale Co e attuale C.

punti del corpo non cambia durante il processo evolutivo. Così, si dirà che ilcorpo si deforma se e solo se la distanza tra i punti del corpo varia nel tempo.

3.2 Funzione cambiamento di congurazione

Si consideri un mezzo continuo Ω che nel tempo cambi congurazione. Così,detta Co la congurazione del corpo Ω al tempo iniziale del moto t = to, siaC la congurazione di Ω al generico istante t > to. In gura 3.1 è riportatoschematicamente il cambiamento di congurazione del corpo Ω.

Si indicano nel seguito con:

x =

x1

x2

x3

il vettore posizione del generico punto materiale di Ω al tempo

to,

y =

y1

y2

y3

il vettore posizione dello stesso punto materiale di Ω al tempo

t,

u =

u1

u2

u3

il vettore spostamento del punto materiale, tale che:

u = y − x (3.1)

della luce e alla teoria dell'elasticità.

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 43

ovvero, in esplicito: u1

u2

u3

=

y1

y2

y3

− x1

x2

x3

(3.2)

e quindi

u1 = y1 − x1 (3.3)

u2 = y2 − x2

u3 = y3 − x3

L'equazione del moto del punto materiale è allora:

y = y(x, t) (3.4)

3.2.1 Requisiti analitici per la funzione y

La funzione vettoriale y(x, t) deve soddisfare alcuni requisiti matematici peressere accettabile da un punto di vista meccanico.

Continuità. Si scelgano due punti qualsiasi dello spazio euclideo P′e P

′′cor-

rispondenti ai punti materiali del corpo Ω individuati dai vettori posizionex′e x

′′nella congurazione iniziale Co. A seguito della deformazione i

punti Q′e Q

′′, corrispondenti ai punti P

′e P

′′, saranno individuati dai

vettori y′e y

′′nella congurazione attuale C. Deve accadere che quando

P′tende P

′′allora Q

′deve tendere Q

′′. In formula:

limx′→x′′

∥∥∥y′ − y′′∥∥∥ = 0 (3.5)

Monodromia. Sia P un punto di Ω in Co. A deformazione avvenuta si vuoleche tale punto si trasformi in un unico punto in C. In altre parole si escludeche a due punti della congurazione deformata possa corrispondere un solopunto della congurazione iniziale. In denitiva si richiede che durante ladeformazione non si creino fratture nel corpo ovvero trasformazioni nontopologiche, capaci di trasformare punti interni in punti di frontiera.

Invertibilità locale. Si indica con F il tensore gradiente di deformazione:

F = ∇y (3.6)

Assegnato che sia un sistema di riferimento cartesiano, la matrice associataal tensore F avrà componenti:

F =

y1,1 y1,2 y1,3

y2,1 y2,2 y2,3

y3,1 y3,2 y3,3

(3.7)

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 44

Si nota un abuso di notazioni; infatti, per esemplicare il simbolismo, si èindicato con F sia il tensore gradiente di deformazione che la sua matricerappresentativa, ottenuta dal tensore una volta assegnata una base. Taleabuso di notazioni sarà eettuato anche nel seguito.Si richiede ora che il tensore gradiente di deformazione abbia determinantediverso dallo zero:

det F 6=0 (3.8)

che assicura l'invertibilità locale della funzione y = y(x, t). E' quindipossibile ricavare a livello locale la relazione inversa della (3.4):

x = x(y, t) (3.9)

Si nota immediatamente che la condizione (3.8) implica

det F >0 (3.10)

Infatti nella congurazione iniziale Co si ha che y = x, per cui F =∇y =∇x = I, dove I è il tensore identità. Si ricava allora che in Co det F = det I =1 > 0. Dovendo essere soddisfatta la condizione (3.8) per ogni istante ditempo t, si ricava l'equazione (3.10).

Monodromia dell'inversa. Sia Q un punto di Ω in C. Si vuole che tale puntosia il trasformato di un unico punto in Co. In altre parole si esclude chea due punti della congurazione indeformata possa corrispondere un solopunto della congurazione deformata. In denitiva si richiede che durantela deformazione non siano presenti nel corpo compenetrazioni di materia.

Derivabilità. Si suppone che la funzione y = y(x, t) ovvero la sua inversax = x(y, t) siano sucientemente derivabili no all'ordine richiesto neisuccessivi sviluppi.

3.2.2 Sistemi di riferimento

Il moto può essere descritto usando l'equazione del moto:

y = y(x, t) e quindi utilizzare x come variabile indipendente; in tale modo siadotta un sistema materiale di riferimento in quanto si segue il moto delsingolo punto materiale. Durante il moto il sistema si deforma con ilcontinuo. Il sistema materiale è detto anche lagrangiano ed è dovuto adEulero2.

2Eulero (Basilea 1707 - San Pietroburgo 1783), matematico svizzero, operò soprattutto nelcampo della matematica pura; la sistematizzazione e la riformulazione dell'analisi che si trovanelle sue opere è alla base della matematica moderna e della teoria delle funzioni. Studiòall'università di Basilea come allievo del matematico svizzero Johann Bernoulli. Nel 1727entrò a far parte dell'Accademia delle Scienze di San Pietroburgo dove fu nominato professoredi sica (1730) e poi di matematica (1733). Nel 1741 accolse la proposta del re di PrussiaFederico il Grande e si trasferì all'Accademia delle Scienze di Berlino dove rimase no al 1766,anno in cui fece ritorno a San Pietroburgo. Sebbene fosse ostacolato n dall'età di 30 anni

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 45

x = x(y, t) e quindi utilizzare y come variabile indipendente; in tale modo siadotta un sistema spaziale di riferimento in quanto fornisce, assegnato unpunto nello spazio, quale punto materiale transita per esso all'istante t.Il sistema di riferimento non si deforma in quanto collegato ai punti dellospazio sso e non ai punti materiali del continuo. Il sistema spaziale èdetto anche euleriano ed è dovuto a D'Alambert3.

Nelle gure 3.2 e 3.3 sono riportati schematicamente i due sistemi di riferimentointrodotti.

Nel seguito viene utilizzato il sistema materiale per lo studio della deforma-zione del corpo. Si evidenzia sin da ora che qualora il corpo Ω sia soggetto acambiamenti di congurazione innitesimi, ovvero a deformazioni innitesime,i due sistemi di riferimento tendono a coincidere.

3.3 Deformazione dell'intorno del punto

Si studia ora la deformazione che l'intorno IP del generico punto Po del corpo Ωin Co subisce durante il cambiamento di congurazione (gura 3.4). A tale scoposi consideri un punto Qo ∈ IP . La posizione di Qo rispetto a Po è individuatadal vettore dx. Per eetto del cambiamento di congurazione i punti Po e Qosi portano rispettivamente in P e Q.

Nella congurazione attuale accade che la posizione di Q rispetto a P èindividuata dal vettore dy. Lo spostamento del puntoQo è fornito dalla formula:

u(Qo) = u(Po) + dy − dx (3.11)

da una progressiva perdita della vista, Eulero redasse un gran numero di importanti operematematiche e centinaia di appunti che provano la sua straordinaria produttività scientica.Eulero diede la prima trattazione completa dell'algebra, della teoria delle equazioni, della

trigonometria e della geometria analitica. Si occupò di calcolo (compreso il calcolo dellevariazioni), della teoria dei numeri, dei numeri immaginari. Sebbene fosse soprattutto unmatematico, Eulero fornì anche notevoli contributi di astronomia, meccanica, ottica e acustica.

3Jean-Baptiste Le Rond, detto d'Alambert (Parigi 1717-1783), sico, matematicoe losofo francese. Fra i maggiori esponenti del pensiero illuministico francese, d'Alambertoccupa un posto importante nella storia della letteratura, della meccanica, di cui è consideratouno dei fondatori, ma soprattutto in quella della matematica, dell'astronomia e della losoa.Compì gli studi al Collège des Quatre Nations, fondato da Mazzarino e permeato di gianse-nismo: qui si dedicò allo studio del diritto e della teologia, che abbandonò ben presto perrivolgersi a quello della matematica. Le sue precoci pubblicazioni in questo campo gli valserol'ingresso nel 1741, all'Académie des Sciences; tra il 1743 e il 1751 scrisse una serie d'impor-tanti opere scientiche. Eletto nel 1754 membro dell'Académie Française, ne divenne nel 1772segretario a vita, declinando l'invito di Federico II di Prussia a presiedere all'Accademia diBerlino, sia perché non si riteneva degno di occupare un posto accademicamente superiorea quello di Eulero, il più grande matematico del tempo. Le sue opere principali trattanola meccanica dei corpi rigidi sui tre principi dell'inerzia, della composizione dei movimenti edell'equilibrio tra due corpi; lo sviluppo dell'idrodinamica; la teoria generale dei venti; alcunememorie di argomento astronomico, dove stabilisce le equazioni del moto della Terra attornoal suo baricentro. Nello sviluppo matematico di questi problemi di meccanica d'Alamberts'imbatté nell'equazione che porta il suo nome, di cui fornisce lo studio completo no all'in-tegrale generale, e nel teorema fondamentale dell'algebra, di cui dà la prima dimostrazioneparziale. In metasica ritiene insolubili i problemi tradizionali di tale scienza, quali la naturadell'anima, il concetto dell'essere, l'unione dell'anima e del corpo.

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 46

Figura 3.2: Sistema materiale di riferimento per il cambiamento dicongurazione.

Figura 3.3: Sistema spaziale di riferimento per il cambiamento di congurazione.

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 47

Figura 3.4: Sistema spaziale di riferimento per il cambiamento di congurazione.

dove u(Po) rappresenta lo spostamento di traslazione rigida dell'intorno IP .Poiché dy è il dierenziale della funzione y(x, t) nella variabile spaziale, si ha:

dy = ∇y dx = F dx (3.12)

così che:dy−dx = (F− I)dx (3.13)

D'altra parte, poiché il dierenziale è un operatore lineare, si ha:

dy − dx =d (y − x) =du = Hdx (3.14)

essendo H il gradiente di spostamento:

H =

u1,1 u1,2 u1,3

u2,1 u2,2 u2,3

u3,1 u3,2 u3,3

(3.15)

Dalle relazioni (3.13) e (3.14), risulta allora:

H = F− I ovvero F = H + I (3.16)

Ne consegue che l'equazione (3.11) assume la forma equivalente:

u(Qo) = u(Po) + Hdx (3.17)

ovvero, in esplicito:

u1(Qo) = u1(Po) + u1,1dx1 + u1,2dx2 + u1,3dx3 (3.18)

u2(Qo) = u2(Po) + u2,1dx1 + u2,2dx2 + u2,3dx3

u3(Qo) = u3(Po) + u3,1dx1 + u3,2dx2 + u3,3dx3

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 48

che in forma matriciale si può riscrivere come: u1(Qo)u2(Qo)u3(Qo)

=

u1(Po)u2(Po)u3(Po)

+

u1,1 u1,2 u1,3

u2,1 u2,2 u2,3

u3,1 u3,2 u3,3

dx1

dx2

dx3

(3.19)

In denitiva, i tensori F e H caratterizzano la variazione di lunghezza edorientamento del vettore innitesimo dx, e sono allora i responsabili della defor-mazione dell'intorno IP , depurata del moto di traslazione rigida u(Po). Si evi-denzia che la relazione (3.12) dimostra che la deformazione del generico vettoredx è governata dall'operatore lineare F. Ne consegue che durante la deforma-zione nell'intorno IP rette vengono trasformate in rette con dierente metricaed inclinazione, piani in piani, sfere in ellissoidi, ecc.

3.3.1 Misure di deformazione

Nel seguito vengono introdotte le cosiddette misure ingegneristiche della defor-mazione.

Dilatazione lineare. Si denisce dilatazione lineare associata ad una pres-sata direzione n la quantità:

∆` =d`− d`od`o

=d`

d`o− 1 (3.20)

dove d`o è il modulo di un vettore innitesimo disteso sulla direzione n, ed` è il modulo del vettore innitesimo deformato di d`on.

Dilatazione angolare (scorrimento angolare). Si denisce dilatazione an-golare, più frequentemente detta scorrimento angolare, associata a duepressate direzioni n1 ed n2 la quantità:

γn1n2 = αo − α (3.21)

dove αo è l'angolo formato dai due versori n1 ed n2, mentre α è l'angoloformato dai due versori m1 ed m2 trasformati di n1 ed n2 a seguito delladeformazione.

Nel caso in cui αo = π/2 si ha:

sin γ12 = sin(π

2− α

)= cosα

essendo n1 • n2 = 0.

Dilatazione volumetrica (cubica). Si denisce dilatazione volumetrica ocubica la quantità:

∆V =dV − dVodVo

=dV

dVo− 1 (3.22)

essendo dVo e dV la misura del volume innitesimo prima e dopo ladeformazione.

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 49

Figura 3.5: Scorrimento angolare.

3.4 Deformazione innitesima

3.4.1 Decomposizione additiva di H

La formula (3.17) fornisce lo spostamento del generico punto Qo dell'intorno diPo. Decomponendo il gradiente di spostamento nelle sue parti simmetrica edemisimmetrica, la (3.17) si riscrive come:

u(Qo) = u(Po) + Hdx

= u(Po) +1

2

(H + HT

)dx +

1

2

(H−HT

)dx (3.23)

ovvero,u(Qo) = u + εdx + Wdx (3.24)

con

ε =1

2

(H + HT

)=

u1,112 (u1,2 + u2,1) 1

2 (u1,3 + u3,1)12 (u1,2 + u2,1) u2,2

12 (u2,3 + u3,2)

12 (u1,3 + u3,1) 1

2 (u2,3 + u3,2) u3,3

(3.25)

W =1

2

(H−HT

)=

0 12 (u1,2 − u2,1) 1

2 (u1,3 − u3,1)12 (−u1,2 + u2,1) 0 1

2 (u2,3 − u3,2)12 (−u1,3 + u3,1) 1

2 (−u2,3 + u3,2) 0

(3.26)

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 50

3.4.2 Deformazione innitesima

Si suppone ora che, comunque scelto un sistema di riferimento, le componentidel gradiente di spostamento siano piccole, nel senso che:

|Hij | = ϑ << 1 (3.27)

Si evidenzia che l'ipotesi di piccoli gradienti di spostamento implica automa-ticamente l'ipotesi di piccoli spostamenti. Naturalmente è necessario in qualchemodo denire cosa si intende per piccoli spostamenti. Infatti, mentre le com-ponenti del gradiente di spostamento sono quantità adimensionali, per cui laformula (3.27) è consistente, lo spostamento è una grandezza con dimensioneed il suo valore dipende dalla scala con la quale si misura. Una volta elimina-ti i moti rigidi del corpo, nel seguito si dirà piccolo lo spostamento u quandosoddisfa la relazione: ∣∣∣ui

L

∣∣∣ = ϑ << 1 (3.28)

con L dimensione caratteristica di Ω, ad esempio L può essere il diametro mini-mo della sfera che contiene interamente Ω. Sia Po un punto qualsiasi del corpo,lo spostamento di Po si può calcolare, applicando il teorema della media, come:

|ui(Po)| =

∣∣∣∣∣ˆ Po

O

Hij dxj

∣∣∣∣∣ =∣∣Hijdj

∣∣ < ∣∣HijL∣∣ = ϑL << 1L

dove d = (Po − O) con O punto sso del corpo e Hij indica la media di Hij

lungo la linea (Po −O).

3.4.3 Interpretazione meccanica di ε e W

Nell'ipotesi piccoli gradienti di spostamento, l'espressione (3.24) può essereinterpretata come decomposizione additiva dello spostamento u(Qo) in:

• u(Po) spostamento rigido dell'intorno,

• W dx rotazione rigida dell'intorno,

• ε dx deformazione pura dell'intorno.

Infatti, si consideri il tensore R associato ad una rotazione intorno ad un asse diversore w. Per eetto di una rotazione rigida, il vettore posizione dx si trasformain dy = R dx, così che lo spostamento del punto individuato dal vettore dx valeu = (R− I) dx. La matrice di rotazione R, secondo la formula di Rodriguez,può essere rappresentata nella forma:

R = I + sinφ Ω + (1− cosφ) Ω2 (3.29)

essendo φ l'angolo di rotazione ed Ω il tensore emisimmetrico associato al versorew:

Ω =

0 −w3 w2

w3 0 −w1

−w2 w1 0

(3.30)

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 51

Figura 3.6: Interpretazione sica delle componenti di deformazione: elementisulla diagonale principale.

Nell'ipotesi che il valore della rotazione φ sia sucientemente piccolo rispettoall'unità, la matrice di rotazione R può essere approssimata eseguendo lo svi-luppo in serie a partire da φ = 0, ed arrestando tale sviluppo al primo ordine;in denitiva si ottiene:

R ' I+φ Ω = I + W

avendo posto W =φ Ω.Ne consegue che lo spostamento dovuto ad una rotazione innitesima può

essere valutato tramite la relazione:

u = (R− I) dx = W dx

ovvero è denito dall'applicazione di una matrice emisimmetrica sul vettoreposizione. In denitiva, si può concludere che un tensore emisimmetrico èresponsabile del campo di spostamenti provocati da una rotazione innitesima.

Secondo quanto sopra descritto, si deduce che il tensore emisimmetrico W,denito dall'equazione (3.26), nell'ipotesi di piccolezza del gradiente di sposta-mento, corrisponde ad una rotazione rigida dell'intorno. Poiché, d'altra parte,l'intorno del generico punto subisce anche una variazione di forma, tale eettodeve essere imputato alla presenza del tensore simmetrico ε, detto tensore dideformazione innitesima.

3.4.4 Interpretazione sica delle componenti di deforma-

zione

Facendo riferimento alla gura 3.6, si consideri inizialmente il vettore dx =k1d`0, essendo k1 il versore dell'asse x1 e d`0 = ‖dx‖.

A seguito della deformazione il vettore dx si trasforma nel vettore dy ca-ratterizzato da una lunghezza d` = ‖dy‖. Tramite semplici considerazioni si

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 52

deduce:dy = F dx = (H + I) dx (3.31)

e quindi, in componenti:

dy =

d`000

+

u1,1 u1,2 u1,3

u2,1 u2,2 u2,3

u3,1 u3,2 u3,3

d`000

=

d`0 (1 + u1,1)d`0u2,1

d`0u3,1

(3.32)

essendo dx2 = d`0 e dx2 = dx3 = 0. La lunghezza del segmento deformato sidetermina come:

d` =√dy 2

1 + dy 22 + dy 2

3 (3.33)

= d`0

√(1 + u1,1)

2+ u2

2,1 + u23,1

= d`0

√(1 + u1,1)

2+ u 2

2,1 + u 23,1

Tenendo conto della piccolezza dei gradienti di spostamenti, i.e. |ui,j | << 1,l'espressione della lunghezza del segmento deformato si può ottenere tramite losviluppo in serie di Taylor arrestato al termine lineare:

d` =

[d`0

√(1 + u1,1)

2+ u 2

2,1 + u 23,1

]ui,j=0

(3.34)

+∂

∂u1,1

[d`0

√(1 + u1,1)

2+ u 2

2,1 + u 23,1

]ui,j=0

u1,1

+∂

∂u2,1

[d`0

√(1 + u1,1)

2+ u 2

2,1 + u 23,1

]ui,j=0

u2,1

+∂

∂u3,1

[d`0

√(1 + u1,1)

2+ u 2

2,1 + u 23,1

]ui,j=0

u3,1

= d`0 (1 + u1,1) = d`0 (1 + ε11)

Risolvendo la relazione (3.34) rispetto a ε11, si ottiene:

ε11 =d`

d`0− 1 (3.35)

che, tenendo in conto della denizione (3.20), assicura che la componente 11 del-la matrice di deformazione innitesima rappresenta la dilatazione lineare nelladirezione di x1, i.e. ε11 = ∆1.

Analogamente, scegliendo come vettore dx, il vettore innitesimo distesosull'asse x2, si ottiene ε22 = ∆2. Inne, scegliendo come vettore dx, il vettoreinnitesimo disteso sull'asse x3, si ottiene ε33 = ∆3.

In denitiva, si deduce che gli elementi sulla diagonale principale della ma-trice di deformazione innitesima rappresentano le dilatazioni lineari lungo gliassi di riferimento.

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 53

Figura 3.7: Interpretazione sica delle componenti di deformazione: elementifuori della diagonale principale.

Lo scorrimento angolare tra le direzioni ortogonali fra loro, x1 ed x2, vale:

γ12 =π

2− α = θ12 + θ21 (3.36)

come rappresentato in gura 3.7. Facendo riferimento a tale gura, si consi-derino inizialmente i vettore dx1 = k1d`01 e dx2 = k2d`02. A seguito delladeformazione i vettori dx1 e dx2 si trasformano rispettivamente nei vettori indy1 e dy2. Tramite semplici considerazioni si deduce:

dy1 = dx1 + Hdx1 (3.37)

dy2 = dx2 + Hdx2

In componenti, si ha:

dy1 =

d`01

00

+

u1,1 u1,2 u1,3

u2,1 u2,2 u2,3

u3,1 u3,2 u3,3

d`01

00

=

d`01 (1 + u1,1)d`01u2,1

d`01u3,1

(3.38)

dy2 =

0d`02

0

+

u1,1 u1,2 u1,3

u2,1 u2,2 u2,3

u3,1 u3,2 u3,3

0d`02

0

=

d`02u1,2

d`02 (1 + u2,2)d`01u3,2

(3.39)

La rotazione θ12 si determina come:

θ12 = arctandy1

2

dy11

= arctanu2,1

1 + u1,1(3.40)

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 54

Analogamente, per θ21 si ha:

θ21 = arctandy2

1

dy22

= arctanu1,2

1 + u2,2(3.41)

Tenendo conto della piccolezza dei gradienti di spostamenti, i.e. |ui,j | << 1,le espressioni delle rotazioni θ12 e θ21 si possono ottenere tramite lo sviluppo inserie di Taylor arrestato al termine lineare:

θ12 =

[arctan

u2,1

1 + u1,1

]ui,j=0

+∂

∂u1,1

[arctan

u2,1

1 + u1,1

]ui,j=0

u1,1

+∂

∂u2,1

[arctan

u2,1

1 + u1,1

]ui,j=0

u2,1

= u2,1

θ21 =

[arctan

u1,2

1 + u2,2

]ui,j=0

+∂

∂u1,2

[arctan

u1,2

1 + u2,2

]ui,j=0

u1,2

+∂

∂u2,2

[arctan

u1,2

1 + u2,2

]ui,j=0

u2,2

= u1,2

essendo∂

∂xarctanx =

1

1 + x2

Lo scorrimento angolare è allora:

γ12 = θ12 + θ21 = u2,1 + u1,2 = 2ε12 (3.42)

per cui la componente ε12 del tensore di deformazione innitesima ε rappresentala metà dello scorrimento angolare tra le direzioni x1 ed x2.

Analogamente, scegliendo due vettori distesi sugli assi x1 ed x3, si ottieneγ13 = 2ε13; ancora, scegliendo due vettori distesi sugli assi x2 ed x3, si ottieneγ23 = 2ε23.

In denitiva, si deduce che gli elementi fuori della diagonale principale dellamatrice di deformazione innitesima rappresentano gli scorrimenti angolari tragli assi di riferimento.

E' molto importante anche saper determinare la dilatazione lineare lungouna generica direzione e lo scorrimento angolare tra due generiche direzioni traloro ortogonali in funzione del tensore di deformazione innitesima ε.

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 55

Figura 3.8: Valutazione della dilatazione lineare lungo la generica direzione.

A tale scopo si consideri l'intorno del punto Po; lo spostamento dovuto allapura deformazione del punto Qo individuato a partire da Po dal vettore dx, perla formula (3.24), vale:

u = ε dx = ε n d`o (3.43)

essendo d`o = ‖dx‖. La lunghezza nale del vettore dx sarà pari a d`o + un,come mostrato in gura 3.8. Tenuto conto che un = u • n, per la (3.20) siottiene:

∆n =d`− d`od`o

=d`o + un − d`o

d`o=

1

d`ou • n = ε n • n (3.44)

Con l'aiuto della gura 3.9, è possibile comprendere che lo scorrimentoangolare γnm tra due direzioni n ed m, tali che n •m = 0, è fornito dallarelazione:

γnm = θnm + θmn =1

d`o(unm + umn) = 2ε n •m (3.45)

3.4.5 Deformazioni e direzioni principali

Posto dx = n ‖dx‖, la quantità εn rappresenta lo spostamento di pura defor-mazione per un punto a distanza unitaria da Po. Per semplicità di notazione,si scrive u = εn. Si pone allora il seguente problema: dato il tensore di defor-mazione innitesimo ε si calcoli, se esiste, una direzione n per la quale accadeche lo spostamento di pura deformazione u = εn avviene lungo la direzione din. Quindi, si intende determinare la direzione n che soddisfa la relazione:

u = εn = εn

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 56

Figura 3.9: Valutazione dello scorrimento angolare tra due direzioni genericheortogonali fra loro.

che equivale a:(ε− εI)n = 0 (3.46)

che consiste nel classico problema degli autovalori ed autovettori di ε. Il proble-ma si discute come segue. Scelto un sistema di riferimento, la relazione (3.46)rappresenta un sistema di 3 equazioni algebriche nelle 3 incognite n1, n2 edn3. Il sistema è omogeneo, per cui ammette certamente la soluzione banale:n1 = n2 = n3 = 0. Tale soluzione è l'unica soluzione del problema (3.46) qualo-ra il determinante di ε− εI è diverso da zero. D'altra parte la soluzione banaleè inaccettabile poiché n deve avere norma unitaria. Per ammettere soluzionidiverse dalla banale dovrà allora accadere che:

det(ε− εI) = 0

che conduce all'equazione caratteristica nell'incognita ε:

−ε3 + J1ε2 − J2ε+ J3 = 0 (3.47)

dove J1, J2 e J3 sono invarianti della deformazione, ovvero non dipendono dalsistema di riferimento prescelto:

J1 = ε11 + ε22 + ε33 = trε

J2 = ε11ε22 + ε22ε33 + ε11ε33 − ε212 − ε2

13 − ε223

=1

2

[(trε)2 − tr(ε2)

]J3 = det ε

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 57

Vista la simmetria di ε, l'equazione (3.47) ammette 3 soluzioni reali, ε1 ε2 ε3,che sono le deformazioni principali. Diversi casi possono accadere.

ε1 > ε2 > ε3. I tre autovalori sono distinti. Si sostituisce nel sistema (3.46) unautovalore alla volta, ε = ε1, ε = ε2, ε = ε3. In tutti i casi, il rango dellamatrice [ε− εI] vale 2. Si risolvono le equazioni imponendo che la normadi n sia unitaria. Si determinano così le tre direzioni principali, e1 e2 e3,che è semplice mostrare siano ortogonali fra loro.

ε1 > ε2 = ε3. Due autovalori sono coincidenti. Il sistema (3.46) quando ε = ε1

ha rango pari a 2. Risolvendo allora le equazioni ed imponendo che lanorma di n sia unitaria, si determina univocamente e1. Quando ε = ε2 =ε3 il sistema di equazioni (3.46) ha rango pari a 1. Tutti i versori e2 e3

appartenenti al piano ortogonale a e1 sono principali di deformazione.

ε1 = ε2 = ε3. I tre autovalori sono coincidenti. Il sistema di equazioni ha rangonullo. Tutte le direzioni nello spazio sono principali di deformazione.

Si riportano di seguito alcune proprietà delle deformazioni e delle direzioni prin-cipali. Tali proprietà sono caratteristiche di tutti i problemi di autovalori edautovettori.

• Se εi 6= εj allora ei⊥ej . Infatti:

εei • ej = εiei • ej

εej • ei = εjej • ei

sottraendo membro a membro, e ricordando la simmetria di ε, si ha:

(εi − εj)ej • ei = εei • ej − εej • ei = 0

essendo εi 6= εj , deve allora accadere che ei • ej = 0 e quindi ei⊥ej .

• Se ε = εi = εj tutte le direzioni nel piano eiej sono principali. Infattiposto e = αei + βej con ‖e‖ = 1, si ha:

u = εe = αεei + βεej = αεiei + βεje

j = ε(αei + βej

)= εe

• Le deformazioni principali contengono la massima e la minima possibile.Infatti, posto che sia ε1 ≥ ε2 ≥ ε3, si ha:

εe • e = ε1 (e1)2

+ ε2 (e2)2

+ ε3 (e3)2

≤ ε1

[(e1)

2+ (e2)

2+ (e3)

2]

= ε1 ∀e

Analogamente:

εe • e = ε1 (e1)2

+ ε2 (e2)2

+ ε3 (e3)2

≥ ε3

[(e1)

2+ (e2)

2+ (e3)

2]

= ε1 ∀e

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 58

3.4.6 Dilatazione cubica

La formula che fornisce la dilatazione cubica consistente con l'ipotesi di piccoledeformazioni, si ricava considerando la deformazione di un cubetto elementarei cui lati dx1, dx2 e dx3 sono distesi lungo le tre direzioni principali del tensoreε. Il volume del cubetto elementare prima della deformazione vale:

dVo = dx1 dx2 dx3

Poiché durante la deformazione le direzioni principali restano tra loro ortogonali,ed indicando con ε1, ε2 ed ε3 le deformazioni principali di ε, si ha:

dV = (1 + ε1)(1 + ε2)(1 + ε3)dx1 dx2 dx3

∼= (1 + ε1 + ε2 + ε3) dx1 dx2 dx3

Allora la formula (3.22) fornisce:

∆V∼= ε1 + ε2 + ε3 = trε (3.48)

3.5 Equazioni di compatibilità

Si è visto come sia possibile determinare tramite la relazione (3.25) il campo dideformazione innitesima ε una volta assegnato il campo di spostamenti u:

ε =1

2(∇u +∇uT ) (3.49)

Si vuole ora vedere quando è possibile eettuare il procedimento inverso. Siintende sapere cioè se assegnato che sia il campo di deformazione ε esiste uncampo di spostamenti u per il quale l'equazione (3.49) risulta vericata. Ingenerale, comunque sia assegnata la deformazione ε non è detto che esista unau la cui parte simmetrica del gradiente sia proprio ε, a meno che la ε assegnatanon soddis delle condizioni che sono dette di compatibilità.

Per ssare le idee, si immagini di suddividere il corpo Ω in tanti piccolicubetti e di attribuire a ciascuno di essi la deformazione corrispondente. A se-guito di tale deformazione i cubetti si trasformano in parallelepipedi obliqui equindi in generale non sarà più possibile ricostruire un corpo continuo tramitesolo moti rigidi a meno che le deformazioni imposte non verichino le condi-zioni di compatibilità. Quindi non si può assegnare una deformazione in modocompletamente arbitrario in quanto essa potrebbe condurre a congurazioni chepresentano fratture o compenetrazioni di materia.

Condizione necessaria e suciente anché un campo di deformazione εsia compatibile è che siano soddisfatte le seguenti equazioni di compatibilità(interna):

ε12,32 − ε13,22 = ε22,31 − ε23,21

ε12,33 − ε13,23 = ε32,31 − ε33,21

ε22,33 − ε23,23 = ε32,32 − ε33,22

ε11,32 − ε13,12 = ε21,31 − ε23,11

ε11,33 − ε13,13 = ε31,31 − ε33,11

ε11,22 − ε12,12 = ε21,21 − ε22,11

(3.50)

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 59

ovvero in forma compatta:rot(rotε) = 0 (3.51)

cioè

EijkElmnεjm,kn = 0

dove Eijk è il generico elemento del tensore di Ricci:

Eijk =

0 se i = j 6= k, i 6= j = k, j 6= i = k, i = j = k

0 se i, j, k ruotano come 1, 2, 3

−1 se i, j, k ruotano come 3, 2, 1

Le (3.51) sono 9 equazioni di cui solo le 6 sopra riportate (3.50) sono linear-mente indipendenti.

Nel seguito viene riportata la dimostrazione che le equazioni (3.50) sonocondizione necessaria e suciente anché un campo di deformazione ε siacompatibile.

Necessarietà. Se esiste un campo di spostamenti u tali che 2ε = (∇u +∇uT )allora sono vericate le equazioni di congruenza. In forma esplicita, leequazioni di congruenza (3.49) sono:

ε11 = u1,1 ε22 = u2,2 ε33 = u3,3

2ε23 = u2,3 + u3,2 2ε13 = u1,3 + u3,1 2ε12 = u1,2 + u2,1

(3.52)Derivando, in particolare si può scrivere:

ε11,22 = u1,122

ε22,11 = u2,211

2ε12,12 = u1,212 + u2,112

per cui, usando il teorema di Schwartz, si deduce che:

ε11,22 + ε22,11 = 2ε12,12

Generalizzando, se al posto dell'indice 1 si prende i ed al posto dell'indice2 si prende j si ottiene:

εii,jj + εjj,ii = 2εij,ij i, j = 1, 2, 3

ovvero si giunge alle equazioni (3.50)3, (3.50)5 e (3.50)6.Di nuovo, partendo dalle (3.52) e derivando si può ottenere:

ε11,23 = u1,123

2ε23,11 = u2,311 + u3,211

2ε13,12 = u1,312 + u3,112

2ε12,13 = u1,213 + u2,113

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 60

che implicano:

2ε23,11 + 2ε13,12 + 2ε12,13 = u2,311 + u3,211 + u1,312

+ u3,112 + u1,213 + u2,113

= 2u2,311 + 2u3,211 + 2u1,123

= 4ε23,11 + 2ε11,23

e cioè:ε13,12 + ε12,13 − ε23,11 = ε11,23

ovvero si giunge all'equazione (3.50)4. Le equazioni (3.50)1 e (3.50)2 siricavano in modo analogo.

Sucienza. Assegnato un campo di deformazione ε, anché esista un campodi spostamenti u devono essere soddisfatte le equazioni di compatibilità(3.50). Per dimostrarlo, si calcola lo spostamento u del generico puntoP′, individuato dal vettore posizione x

′, a partire dallo spostamento uo di

un pressato punto Po, individuato dal vettore posizione xo. Nel seguito,per semplicare le notazioni, si preferisce scrivere le formule in termini dicomponenti. Così si ha:

uj = uoj +

ˆ P′

Po

duj = uoj +

ˆ P′

Po

uj,k dxk

= uoj +

ˆ P′

Po

(εjk +Wjk) dxk (3.53)

Deve allora accadere che, assegnato che sia il tensore di deformazioneεjk, anché esso sia compatibile deve essere possibile denire un campoWjk che permetta di calcolare in modo univoco lo spostamento tramite

integrazione lungo un qualsiasi percorso Po − P′.

uj = uoj +

ˆ P′

Po

εjk dxk +

ˆ P′

Po

Wjk d(xk − x′

k) (3.54)

essendo dx′

k = 0. Integrando per parti l'ultimo termine della (3.54), si ha:

ˆ P′

Po

Wjk d(xk − x′

k) =[Wjk(xk − x

k)]x′kxok

−ˆ P

Po

dWjk (xk − x′

k)

= W′

jk(x′

k − x′

k)−W ojk(xok − x

k)

+

ˆ P′

Po

Wjk,l (x′

k − xk)dxl

= W ojk(x

k − xok) +

ˆ P′

Po

Wjk,l (x′

k − xk)dxl

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 61

che sostituito di nuovo nella (3.54) fornisce:

uj = uoj +W ojk(x

k − xok) +

ˆ P′

Po

εjk dxk +

ˆ P′

Po

Wjk,l (x′

k − xk)dxl

= uoj +W ojk(x

k − xok) +

ˆ P′

Po

[Wjk,l(x

k − xk) + εjl

]dxl (3.55)

Essendo:

Wjk,l =1

2(uj,kl − uk,jl) =

1

2(uj,kl − uk,jl) +

1

2(ul,jk − ul,jk)

=1

2(uj,kl + ul,jk)− 1

2(uk,jl + ul,jk)

=1

2(uj,lk + ul,jk)− 1

2(uk,lj + ul,kj)

= εjl,k + εkl,j

la (3.55) si riscrive come:

uj = uoj +W ojk(x

k − xok) +

ˆ P′

Po

[(εjl,k + εkl,j)(x

k − xk) + εjl

]dxl (3.56)

Posto allora:Ujl = (x

k − xk)(εjl,k + εkl,j) + εjl

si deduce che condizione necessaria e suciente anché uj sia indipen-dente dal percorso seguito è:

Ujl,i = Uji,l

Allora:

Ujl,i =[(x′

k − xk)(εjl,k + εkl,j) + εjl

],i

= εjl,i + (x′

k − xk)(εjl,ki + εkl,ji)− δki(εjl,k − εkl,j)= εjl,i + (x

k − xk)(εjl,ki + εkl,ji)− εjl,i + εil,j

= εil,j + (x′

k − xk)(εjl,ki + εkl,ji)

d'altra parte:

Uji,l = εli,j + (x′

k − xk)(εji,kl + εki,jl)

La condizione Ujl,i = Uji,l diventa allora:

εil,j + (x′

k − xk)(εjl,ki + εkl,ji) = εli,j + (x′

k − xk)(εji,kl + εki,jl)

che per la simmetria di ε equivale a:

εjl,ki + εkl,ji = εji,kl + εki,jl

ovveroεlj,ki + εkl,ji = εij,kl + εki,jl

che conducono alle (3.50).

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 62

3.6 Esercizi sull'analisi deformazione

3.6.1 Esercizio 1

In una lastra piana soggetta a deformazione omogenea sono note le dilatazionilineari:

∆1 = 1e−3 ∆2 = −3e−3 ∆3 = 2e−3

lungo le direzioni n1, n2 ed n3, rispettivamente, con

n1 =

10

n2 =

√2

2

11

n3 =

01

. (3.57)

Determinare la massima dilatazione lineare.

SoluzionePoiché la dilatazione lineare lungo la direzione n è determinata dalla formula:

∆n = ε n · n (3.58)

deve accadere che:

∆1 =

[ε11 ε12

ε12 ε22

]10

·

10

(3.59)

=

ε11

ε12

·

10

= ε11

∆2 =

[ε11 ε12

ε12 ε22

] √2

2

11

·√

2

2

11

(3.60)

=1

2

[ε11 ε12

ε12 ε22

]11

·

11

=

1

2

ε11 + ε12

ε12 + ε22

·

11

=

1

2(ε11 + ε22 + 2ε12)

∆3 =

[ε11 ε12

ε12 ε22

]01

·

01

(3.61)

=

ε12

ε22

·

01

= ε22

Quindi si ha:

ε11 = 1e−3 (3.62)

1

2(ε11 + ε22 + 2ε12) = −3e−3

ε22 = 2e−3

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 63

Tenendo conto della prima e della terza delle (3.62), la seconda delle (3.62)fornisce:

ε12 =1

2(−6e−3 − 1e−3 − 2e−3) = −4.5e−3

In denitiva, la matrice di deformazione innitesima vale:

ε =

[1 −4.5−4.5 2

]e−3

Un ben noto teorema dimostra che la dilatazione lineare massima ∆max coincidecon la più grande deformazione principale ovvero con il massimo autovalore deltensore di deformazione:

∆max = max ε1, ε2 (3.63)

Le deformazioni principali si determinano risolvendo il seguente problema degliautovettori e degli autovalori:

ε n = λ n (3.64)

(ε− λI) n = 0

ovvero, in esplicito:[ε11 − λ ε12

ε12 ε22 − λ

]n1

n2

=

00

Per assicurare l'esistenza di soluzioni dierenti da quella banale deve accadere:

det

[1e−3 − λ −4.5e−3

−4.5e−3 2e−3 − λ

]= 0

e quindi: (1e−3 − λ

) (2e−3 − λ

)− 4.52e−6 = 0

ovvero:

λ2 − 3λ ∗ 10−3 − 18.25e−6 = 0 (3.65)

Risolvendo l'equazione (3.65), si ottiene:

λ =

(3±√

9 + 4 ∗ 18.25)e−3

2=

(3± 9.06) e−3

2

Per si ha:λ1 = 6.03e−3 , λ2 = −3.03e−3

In denitiva la dilatazione massima vale:

∆max = 6.03e−3 (3.66)

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 64

Figura 3.10: Direzioni rispetto alle quali calcolare le componenti di ε.

3.6.2 Esercizio 2

Siano assegnate le direzioni principali di deformazione n1n2 ed i valori delledilatazioni lineari λ1 = 0.01 λ2 = −0.02. Determinare il tensore di deformazionee gli invarianti di deformazione rispetto ai tre seguenti sistemi di riferimento,illustrati in gura 3.10:

1. sistema principale di deformazione;

2. sistema di riferimento (x1, x2);

3. sistema di riferimento (x′1, x′2).

Le equazioni a disposizione sono:

εn1•n1 = λ1

εn2•n2 = λ2

εn1•n2 = 0(3.67)

che in forma esplicita diventano:

ε11

(n1

1

)2+ ε22

(n1

2

)2+ 2ε12n

11n

12 = λ1

ε11

(n2

1

)2+ ε22

(n2

2

)2+ 2ε12n

21n

22 = λ2

ε11n11n

21 + ε22n

12n

22 + ε12

(n2

1n12 + n1

1n22

)= 0

(3.68)

Sostituendo le componenti delle direzioni n1n2, valutate nei tre diversi si-stemi di riferimento, è possibile risolvere il sistema di tre equazioni nelle treincognite.

1) Nel sistema di riferimento principale di deformazione, si ha:

n1 =

10

n2 =

01

(3.69)

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 65

Il sistema di equazioni 3.68 diventa:

ε11 = 0.01ε22 = −0.02ε12 = 0

(3.70)

per cui il tensore di deformazione assume la forma:

ε =

[0.01 0

0 −0.02

]Gli invarianti di deformazione valgono:

J1 = tr (ε) = −0.01J2 = det (ε) = −0.0002

2) Nel sistema di riferimento (x1, x2), si ha:

n1 =1

2

√3

1

n2 =

1

2

−1√

3

(3.71)

Il sistema di equazioni 3.68 diventa:

14

[ε113 + ε22 + 2ε12

√3]

= 0.0114

[ε11 + ε223− 2ε12

√3]

= −0.0214

[−ε11

√3 + ε22

√3 + ε12 (−1 + 3)

]= 0

(3.72)

che risolta fornisce:

ε11 = 0.0025ε22 = −0.0125

ε12 = 0.0075√

3

per cui il tensore di deformazione assume la forma:

ε =

[0.0025 0.0075

√3

0.0075√

3 −0.0125

]Gli invarianti di deformazione valgono:

J1 = tr (ε) = −0.01J2 = det (ε) = −0.0002

3) Nel sistema di riferimento (x′1, x′2), si ha:

n1 =1

2

1√3

n2 =

1

2

−√

31

(3.73)

Il sistema di equazioni 3.68 diventa:

ε11

(n1

1

)2+ ε22

(n1

2

)2+ 2ε12n

11n

12 = λ1

ε11

(n2

1

)2+ ε22

(n2

2

)2+ 2ε12n

21n

22 = λ2

ε11n11n

21 + ε22n

12n

22 + ε12

(n2

1n12 + n1

1n22

)= 0

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 66

14

[ε11 + ε223 + 2ε12

√3]

= 0.0114

[ε113 + ε22 − 2ε12

√3]

= −0.0214

[−ε√

3 + ε22

√3 + ε12 (−3 + 1)

]= 0

(3.74)

che risolta fornisce:

ε11 = −0.0125ε22 = 0.0025

ε12 = 0.0075√

3

per cui il tensore di deformazione assume la forma:

ε =

[−0.0125 0.0075

√3

0.0075√

3 0.0025

]Gli invarianti di deformazione valgono:

J1 = tr (ε) = −0.01J2 = det (ε) = −0.0002

3.6.3 Esercizio 3

Si consideri un corpo Ω ottenuto come prodotto cartesiano tra la supercie diforma quadrata S e lo spessore t, così che Ω = S × (−t/2, t/2). La supercie Sha dimensioni 2× 2 mm2, come illustrato in gura 3.11.

Figura 3.11: Supercie S che denisce il corpo Ω; geometria e sistema diriferimento.

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 67

a)

−1−0.5

00.5

1 −1−0.5

00.5

1

−2

0

2

4

6

8

10

x 10−4

b)

−1−0.5

00.5

1 −1−0.5

00.5

1

−2

0

2

4

6

8

10

x 10−4

Figura 3.12: Graco del campo di spostamenti a) u1 e b) u2.

Le componenti di spostamenti sono denite dalle funzioni:

u1 =1

4x1x2 (x1 + 1) (x2 + 1) · 10−3

u2 =1

4(x1 + 1) (x2 + 1) · 10−3 (3.75)

u3 = 0

espresse in [mm]. La componente di spostamento u1 è funzione quadratica dix1 e di x2 ed biquadratica in x1x2; la componente di spostamento u2 è funzionelineare di x1 e di x2 ed bilineare in x1x2. In gura 3.12 sono illustrati gliandamenti in S dei campi di spostamento u1 e u2.

La funzione cambiamento di congurazione ha componenti:

y1 = x1 + u1 = x1 +1

4x1x2 (x1 + 1) (x2 + 1) · 10−3

y2 = x2 + u2 = x2 +1

4(x1 + 1) (x2 + 1) · 10−3 (3.76)

y3 = x3 + u3 = x3

Il gradiente degli spostamenti H ha componenti:

H11 = u1,1 = 14x2 (x2 + 1) (2x1 + 1) · 10−3

H22 = u2,2 = 14 (x1 + 1)

H33 = u3,3 = 0

H12 = u1,2 = 14x1 (x1 + 1) (2x2 + 1) · 10−3

H21 = u2,1 = 14 (x2 + 1)

H23 = u2,3 = 0H32 = u3,2 = 0H13 = u1,3 = 0H31 = u3,1 = 0

(3.77)

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 68

Si determina H nel punto A di coordinate x1 = 0.5, x2 = 1:

H =

1 916 0

12

38 0

0 0 0

· 10−3

per cui il gradiente di deformazione vale:

F = I + H =

2 916 0

12

118 0

0 0 1

· 10−3

Per vericare l'invertibilità locale nel punto A della funzione cambiamento dicongurazione si calcola il determinate di F:

F =79

32· 10−3 > 0

quindi la condizione di invertibilità locale è soddisfatta.Si calcola ora il tensore di deformazione innitesima in A:

ε = 12

(H + HT

)= 1

2

1 9

16 012

38 0

0 0 0

+

1 12 0

916

38 0

0 0 0

· 10−3

=

1 1732 0

1732

38 0

0 0 0

· 10−3

Si intendono determinare i valori delle deformazioni principali e le direzioniprincipali di deformazione, in altri termini si deve risolvere il problema:

(ε− λI) n = 0 con ‖n‖ = 1

ovvero:(1 · 10−3 − λ

)n1 + 0.531 · 10−3n2 = 0

0.531 · 10−3n1 +(0.375 · 10−3 − λ

)n2 = 0

λn3 = 0(3.78)

sempre sotto la condizione che‖n‖ = 1.Tale problema è risolvibile solo se:

det (ε− λI) = 0

che esplicitando fornisce:

−λ3 + J1λ2 − J2λ+ J3 = 0

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 69

con

J1 = tr (ε) = 1.375 · 10−3

J2 =1

2

(tr (ε)

2 − trε2)

= 9.28 · 10−8

J3 = det (ε) = 0

per cui si ha: (−λ2 + 1.375λ− 0.0928

)λ = 0

Risolvendo si ottiene:

λ1 = 1.303 · 10−3

λ2 = 0.071 · 10−3

λ3 = 0

Poiche i tre valori delle deformazioni principali sono tra loro dierenti, le tredirezioni principali sono univocamente determinate e risultano ortogonali fraloro.

Sostituendo λ1 nell'equazione (3.78), si ottiene il sistema:

−0.304n11 + 0.531n1

2 = 00.531n1

1 + 0.929n12 = 0

λn13 = 0

la prima e la seconda equazione dipendono l'una dall'altra, per cui si ha:

n11 =

0.531

0.304n1

2 = 1.747n12

inoltre, dalla terza si ottiene direttamente:

n13 = 0

Sostituite le espressioni di n11 e n1

3 nella condizione ‖n‖ = 1, questa fornisce:(n1

1

)2+(n1

2

)2+(n1

3

)2=(1.747n1

2

)2+(n1

2

)2= 1

e quindi n12 = 0.497 ed, in denitiva,

n1 =

0.8680.497

0

Per determinare n2 e n3 si devono eettuare calcoli analoghi, sostituendo

nel sistema i valori di λ2 e λ3. In particolare, sostituendo nell'equazione (3.78)λ3 = 0, si ottiene:

n3 =

001

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CAPITOLO 3. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE 70

La direzione n2 deve essere ortogonale a n1 e n3, per cui si ha:

n2 =

−0.4970.868

0

Le direzioni principali n1 e n2 calcolate nel punto A di Ω sono rappresentate

in gura 3.11.

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Capitolo 4

ANALISI DELLA

TENSIONE

L'analisi della tensione viene arontata scrivendo le equazioni di equilibrio delcorpo Ω nella congurazione corrente. Per semplicare l'analisi, nel seguito siassume valida l'ipotesi di piccoli spostamenti (3.27). Si assume cioè che gli spo-stamenti di Ω sono di ordine di grandezza trascurabile rispetto alla dimensionedel corpo. In tal modo si può confondere la congurazione deformata con quellaindeformata. Ne consegue che le equazioni di equilibrio possono essere scrittedirettamente sulla congurazione indeformata.

Si suppone che sul corpo possano agire due tipi di forze:

• p forze superciali (o di contatto), ovvero forze per unità di supercie,così che la forza elementare vale p dS;

• b forze di massa (o di volume, o azioni a distanza), ovvero forze per unitàdi volume, così che la forza elementare vale b dV .

Il sistema di forze agenti sul corpo deve essere equilibrato e quindi devono esseresoddisfatte le seguenti equazioni:

0 =

ˆ∂Ω

p dS +

ˆΩ

b dV

0 =

ˆ∂Ω

x× p dS +

ˆΩ

x× b dV (4.1)

dove x è il vettore posizione di un generico punto del corpo Ω e ∂Ω rappresentala frontiera di Ω. Le (4.1) sono le classiche sei Equazioni Cardinali della Staticaespresse in forma vettoriale, e cioè le tre equazioni di equilibrio alla traslazionee le tre equazioni di equilibrio alla rotazione.

71

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CAPITOLO 4. ANALISI DELLA TENSIONE 72

Figura 4.1: Solido separato in due parti tramite un piano π.

4.1 Concetto di tensione in un punto

Si consideri il corpo Ω ed un piano π di normale n secante Ω. Il piano π tagliaΩ in due parti che sono denotate con Ω1 e Ω2 tali che:

Ω1 ∪ Ω2 = Ω

Ω1 ∩ Ω2 = ∅

come mostrato in gura 4.1, così che anche la supercie ∂Ω che rappresenta lafrontiera di Ω si divide nelle superci Γ1 e Γ2, tali che Γ1∪Γ2 = ∂Ω e Γ1∩Γ2 = ∅.

Poiché il corpo è in equilibrio, cioè valgono le equazioni (4.1), allora ogni suaparte dovrà essere in equilibrio. Così, in particolare sia Ω1 che Ω2 devono esserein equilibrio. Naturalmente, in generale potrà accadere che le forze di superciep e di volume b assegnate non soddisno le condizioni di equilibrio solo su Ω1

e solo su Ω2, ovvero:

0 6=ˆ

Γ1

p dS +

ˆΩ1

b dV 0 6=ˆ

Γ1

x× p dS +

ˆΩ1

x× b dV

0 6=ˆ

Γ2

p dS +

ˆΩ2

b dV 0 6=ˆ

Γ2

x× p dS +

ˆΩ2

x× b dV

Se ne deduce allora che attraverso la supercie di taglio π ∩ Ω devono agireazioni mutue tra Ω1 ed Ω2 che ripristinino l'equilibrio.

Sia ∆A la generica area contenente il tipico punto P che giace sulla superciedi taglio π ∩ Ω, le azioni di scambio sono una forza ∆F ed una coppia ∆M

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CAPITOLO 4. ANALISI DELLA TENSIONE 73

calcolata rispetto a P . Si assume allora che:

lim∆A→0

∆F

∆A= tn

lim∆A→0

∆M

∆A= 0 (4.2)

In altre parole al tendere a zero di ∆A tendono a zero anche ∆F e ∆M, maquest'ultima più rapidamente. Occorre inoltre osservare che il limite deve esserecalcolato opportunamente, ossia ∆A tende a P in maniera omotetica (tutto ilcontorno di ∆A tende a P con la stessa velocità).

Il vettore tn è la tensione nel punto P sulla giacitura n normale al piano π.La tensione dipende da P , cioè da x vettore posizione di P , e da n:

t = t(x,n)

in cui si omette l'apice n per semplicità di notazione.

4.2 Teoremi di Cauchy

4.2.1 Teorema di azione e reazione o di reciprocità

Si vuole dimostrare la seguente relazione:

t(x,n) = −t(x,−n) (4.3)

All'uopo si pensi di estrarre da un corpo in equilibrio il volumetto elementareP, di frontiera ∂P, mostrato in gura 4.2 (il cui centro sia individuato dal vettorex): esso è un parallelepipedo rettangolo a base quadrata di lato ε e di altezzaε2.

Si indichino con Γ+, Γ− e Γ` rispettivamente la base superiore, quella in-feriore e la supercie laterale e siano inoltre V ed A il volume e l'area di P.Sussistono le seguenti relazioni:

∂P = Γ+ ∪ Γ− ∪ Γ`

V = ε4

A(Γ+) = A(Γ−) = ε2

A(Γ`) = 4ε3

L'equazione di equilibrio alla traslazione per il volumetto P è:

0 =

ˆ∂P

t dA+

ˆP

b dV

=

ˆΓ+

t+ dA+

ˆΓ−

t− dA+

ˆΓ`

tl dA+

ˆV

b dV

Applicando allora il teorema della media si ottiene:

0 = bε4 + t+ε2 + t

−ε2 + 4t

`ε3

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CAPITOLO 4. ANALISI DELLA TENSIONE 74

Figura 4.2: Parte P di forma parallelepipeda del corpo Ω.

dove b e t rappresentano la media delle forze di volume e della tensione. Divi-dendo per ε2 e facendo il limite per ε che tende a zero si ha:

0 = limε→0

1

ε2(bε4 + t

+ε2 + t

−ε2 + 4t

`ε3)

= limε→0

(bε2 + t+

+ t−

+ 4t`ε)

= t+ + t−

ovverot+ = −t− (4.4)

dove i valori delle tensioni non sono più medi perché nel limite per ε che tende a0, si va a considerare il valore locale della tensione nel punto P , e non più quellomedio calcolato su una supercie nita. Inne, ricordando che le superci Γ+

e Γ− hanno normale opposta, se ne deduce che l'equazione (4.4) equivale alla(4.3).

4.2.2 Teorema di rappresentazione o del tetraedro

Il teorema del tetraedro è il teorema fondamentale di Cauchy. Esso fornisce ladipendenza esplicita della tensione t dalla normale n e cioè fornisce l'applicazio-ne mediante cui si denisce t assegnata che sia una giacitura n. In particolare,in un qualsiasi punto P del corpo Ω, il teorema dimostra che l'applicazione chefornisce t in funzione di n è lineare del tipo:

t(n) = σn (4.5)

dove σ è detto tensore delle tensioni.

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CAPITOLO 4. ANALISI DELLA TENSIONE 75

Figura 4.3: Tetraedro di Cauchy.

Si consideri il tetraedro in gura 4.3. Scelto il sistema di riferimento ortogo-nale denito dai versori (k1,k2,k3) ed avente per origine P (punto interno delcorpo in equilibrio) il tetraedro è ottenuto dall'insieme dei punti delimitati daipiani coordinati e da un piano inclinato di normale n. Le facce del tetraedrodenite dai piani coordinati hanno normali opposte ai versori coordinati k1, k2,k3. Si indicano allora con t1, t2 e t3 le tensioni sulle facce di normale k1, k2,k3. Analogamente A1, A2 ed A3 sono le aree delle facce del tetraedro ortogonalia k1, k2, k3. Il vettore tn è la tensione agente sull'area An della giacitura dinormale n. Applicando il teorema di reciprocità, per l'equilibrio alla traslazionedeve essere:ˆ

∆V

b dV +

ˆAn

tn dA+

ˆA1

−t1 dA+

ˆA2

−t2 dA+

ˆA3

−t3 dA = 0

Applicando poi il teorema della media si ha:

b∆V + tnAn − t

1A1 − t

2A2 − t

3A3 = 0 (4.6)

Ricordando che:

A1 = (n • k1)An = n1An

A2 = (n • k2)An = n2An

A3 = (n • k3)An = n3An

e che il volume del tetraedro vale:

V =hAn

3

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CAPITOLO 4. ANALISI DELLA TENSIONE 76

dove h è l'altezza del tetraedro, relativa alla faccia di normale n, dividendo perAn l'equazione di bilancio (4.6) si ha:

bh

3+ t

n − t1n1 − t

2n2 − t

3n3 = 0

Al tendere di h a zero il tetraedro coinciderà con il punto P ed i valori meditendono a valori puntuali:

0 = limh→0

bh

3+ t

n − t1n1 − t

2n2 − t

3n3

= tn − t1n1 − t2n2 − t3n3

Se ne deduce che la tensione nel punto P sulla faccia di normale n si calcolacome:

tn = t1n1 + t2n2 + t3n3 (4.7)

= σn

essendo σ il tensore delle tensioni ottenuto come:

σ =[

t1 t2 t3]

Infatti, indicando le componenti di t1, t2, t3 con:

t1 =

σ11

σ21

σ31

t2 =

σ12

σ22

σ32

t3 =

σ13

σ23

σ33

(4.8)

l'equazione (4.7) in componenti diventa: tn1tn2tn3

=

σ11

σ21

σ31

n1 +

σ12

σ22

σ32

n2 +

σ13

σ23

σ33

n3

=

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

n1

n2

n3

Concludendo, assegnata la giacitura n in un punto, la tensione in quel punto

e per quella giacitura, è fornita dalla relazione (4.5). Nel sistema denito daiversori k1, k2, k3 il tensore delle tensioni ha nove componenti σij , dette com-ponenti speciali della tensione. Si evidenzia che il termine σij rappresenta lacomponente in direzione ki della tensione agente nella giacitura di normale kj .

4.3 Equazioni d'equilibrio

Si consideri una parte P di Ω; per l'equilibrio alla traslazione deve essere:ˆ∂P

t dA+

ˆP

b dV = 0

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CAPITOLO 4. ANALISI DELLA TENSIONE 77

ed applicando il teorema di rappresentazione della tensione e quindi il teoremadella divergenza, si ha:

0 =

ˆ∂Pσn dA+

ˆP

b dV

=

ˆPdivσ dV +

ˆP

b dV

=

ˆP

(divσ + b) dV (4.9)

L'equazione (4.9) deve essere vericata per ogni possibile parte P ⊆ Ω, allorasi può applicare il lemma di localizzazione e la (4.9) conduce all'equazione diequilibrio indenito:

divσ + b = 0 (4.10)

che in componenti:σij,j + bi = 0

Si imponga ora l'equilibrio alla rotazione della parte P ⊆ Ω:ˆ∂P

x× t dA+

ˆP

x× b dV = 0

ovvero in componenti:

0 = Eijk

[ˆ∂P

xjtk dA+

ˆP

xjbk dV

]= Eijk

[ˆ∂P

xjσkhnh dA+

ˆP

xjbk dV

]= Eijk

ˆP

[(xjσkh),h + xjbk

]dV

= Eijk

ˆP

(xjσkh,h + δjhσkh + xjbk) dV

= Eijk

ˆP

[(xjσkh,h + xjbk) + δjhσkh] dV

= Eijk

ˆP

[(xjσkh,h + xjbk) + σkj ] dV

Dovendo essere vericato l'equilibrio ∀P ⊆ Ω, si ha:

Eijk [(xjσkh,h + xjbk) + σkj ] = 0

e tenendo conto del risultato precedente:

Eijkσkj = 0

che in forma esplicita si scrivono come:

σ32 − σ23 = 0

σ13 − σ31 = 0

σ21 − σ12 = 0

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CAPITOLO 4. ANALISI DELLA TENSIONE 78

Figura 4.4: Parallelepipedo soggetto alle tensioni sui piani coordinati.

ovveroσ = σT (4.11)

Queste condizioni permettono di ridurre a 6 le quantità necessarie alla cono-scenza di σ.

L'equazione vettoriale di equilibrio indenito (4.10) e la condizione di sim-metria del tensore delle tensioni (4.11) possono essere ricavate ricorrendo aduna procedura classica di carattere più meccanico di quella sopra proposta. Siconsideri infatti il parallelepipedo rappresentato in gura 4.4.

Sulle sei facce del parallelepipedo agiscono le tensioni calcolate sui pianicoordinati. Si evidenzia che sulla faccia parallela al piano x1 = ∆x1 agisce

una tensione media pari al valore della tensione media t1sul piano x1 = 0,

incrementata di ∆t1. Analogamente, sulla faccia parallela al piano x2 = ∆x2

agisce una tensione media pari al valore della tensione media t2sul piano x2 = 0,

incrementata di ∆t2; e così anche sulla faccia parallela al piano x3 = ∆x3 agisce

una tensione media pari al valore della tensione media t3sul piano x3 = 0,

incrementata di ∆t3. Nella tabella che segue sono riportate le tensioni che

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CAPITOLO 4. ANALISI DELLA TENSIONE 79

agiscono sui sei piani e le aree corrispondenti:

piano normale tensione area forza

x1 = 0 −k1 −t1

∆x2∆x3 −t1∆x2∆x3

x1 = ∆x1 k1 t1

+ ∆t1

∆x2∆x3

(t1

+ ∆t1)

∆x2∆x3

x2 = 0 −k2 −t2

∆x1∆x3 −t2∆x1∆x3

x2 = ∆x2 k2 t2

+ ∆t2

∆x1∆x3

(t2

+ ∆t2)

∆x1∆x3

x3 = 0 −k3 −t3

∆x1∆x2 −t3∆x1∆x2

x3 = ∆x3 k3 t3

+ ∆t3

∆x1∆x2

(t3

+ ∆t3)

∆x1∆x2

L'equilibrio alla traslazione del parallelepipedo fornisce la seguente equazio-ne:

0 = −t1∆x2∆x3 +

(t1

+ ∆t1)

∆x2∆x3 (4.12)

− t2∆x1∆x3 +

(t2

+ ∆t2)

∆x1∆x3

− t3∆x1∆x2 +

(t3

+ ∆t3)

∆x1∆x2 + b ∆x1∆x2∆x3

Dividendo tutto per ∆x1∆x2∆x3 si ottiene:

0 =∆t

1

∆x1+

∆t2

∆x2+

∆t3

∆x3+ b (4.13)

che, nel limite per ∆x1 → 0,∆x2 → 0,∆x3 → 0 fornisce l'espressione:

0 =∂t1

∂x1+∂t2

∂x2+∂t3

∂x3+ b (4.14)

equivalente alla (4.10).Sia P il centro del parallelepipedo di coordinate ∆x1/2,∆x2/2,∆x3/2, e

siano x1,x2,x3 i vettori che individuano da P i centri delle facce del parallele-pipedo:

x1 =∆x1

2k1 x2 =

∆x2

2k2 x3 =

∆x3

2k3 (4.15)

L'equilibrio alla rotazione del parallelepipedo intorno al punto P fornisce laseguente equazione:

0 =(−x1

)×(−t

1)

∆x2∆x3 + x1 ×(t1

+ ∆t1)

∆x2∆x3+ (4.16)(−x2

)×(−t

2)

∆x1∆x3 + x2 ×(t2

+ ∆t2)

∆x1∆x3+(−x3

)×(−t

3)

∆x1∆x2 + x3 ×(t3

+ ∆t3)

∆x1∆x2

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CAPITOLO 4. ANALISI DELLA TENSIONE 80

ovvero

0 = 2x1 × t1∆x2∆x3 + x1 ×∆t

1∆x2∆x3+ (4.17)

2x2 × t2∆x1∆x3 + x2 ×∆t

2∆x1∆x3+

2x3 × t3∆x1∆x2 + x3 ×∆t

3∆x1∆x2

= k1 × t1∆x1∆x2∆x3 + k1 ×∆t

1 ∆x1

2∆x2∆x3+

k2 × t2∆x1∆x2∆x3 + k2 ×∆t

2 ∆x1

2∆x2∆x3+

k3 × t3∆x1∆x2∆x3 + k3 ×∆t

3 ∆x1

2∆x2∆x3

Dividendo tutto per ∆x1∆x2∆x3, nel limite per ∆x1 → 0,∆x2 → 0,∆x3 →0, si ottiene:

0 = k1 × t1 + k2 × t2 + k3 × t3 (4.18)

=

∣∣∣∣∣∣k1 k2 k3

1 0 0σ11 σ21 σ31

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣k1 k2 k3

0 1 0σ12 σ22 σ32

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣k1 k2 k3

0 0 1σ13 σ23 σ33

∣∣∣∣∣∣=(−k2σ31 + k3σ21

)+(k1σ32 − k3σ12

)+(−k1σ23 + k2σ13

)= k1 (σ32 − σ23) + k2 (−σ31 + σ13) + k3 (σ21 − σ12)

e quindi

σ32 = σ23 (4.19)

σ31 = σ13

σ21 = σ12

che equivale alla (4.11).Osservazioni:

• L'equazione divσ+b = 0 vale nei punti interni del corpo e quindi nell'in-sieme aperto di Ω. Sulla frontiera deve accadere che le tensioni emergentiσn siano pari alle forze p di supercie applicate:

σn = p su ∂Ω (4.20)

• In virtù della simmetria di σ si può enunciare il principio di reciprocità:la componente secondo la retta orientata m del vettore tensione agentesulla supercie di normale n è uguale alla componente del vettore tensioneagente sulla supercie di normale m secondo la retta orientata n:

t(n) •m = σn •m = σm • n = t(m) • n

In particolare, le tensioni tangenziali agenti su due piani mutuamente orto-gonali e dirette normalmente allo spigolo comune sono uguali ed entrambedirette verso lo spigolo o in senso opposto.

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CAPITOLO 4. ANALISI DELLA TENSIONE 81

• Le equazioni indenite di equilibrio, la simmetria del tensore delle tensionie le condizioni al contorno:

divσ+b = 0 in Ωσ = σT in Ωσn = p su ∂Ω

(4.21)

sono necessarie ma non sucienti per la denizione dello stato tensionaledi un corpo sul quale agiscono forze di volume b e forze di supercie p.Generalmente l'equazione (4.21)2 è omessa poiché il tensore delle tensioniè assunto implicitamente simmetrico.

4.4 Direzioni e Tensioni principali

Si vuole ora determinare se esistono e, in caso aermativo, quali sono le giacituren per le quali la tensione associata è parallela ad n; si intende cioè indagare sullapossibilità di soluzione dell'equazione:

tn = σn = σn

Si tratta cioè di risolvere il seguente sistema algebrico:

(σ − σI) n = 0 (4.22)

Anché questo problema abbia soluzione non banale deve essere:

det (σ − σI) = 0

si ottiene allora l'equazione:

−σ3 + J1σ2 − J2σ + J3 = 0 (4.23)

che si chiama equazione caratteristica o secolare, introdotta da Lagrange inmeccanica celeste. Questa equazione ammette soluzione reale perché σ è sim-metrico. I coecienti dell'equazione caratteristica (4.23) J1, J2 e J3 sono dettiinvarianti di tensione, sono cioè indipendenti dal sistema di riferimento. Infatti,il problema delle tensioni e direzioni principali ha soluzione indipendente dalsistema di riferimento e quindi i coecienti dell'equazione (4.23) non possonovariare con il riferimento scelto. In particolare, si ha:

J1 = σ11 + σ22 + σ33 = trσ

J2 = σ11σ22 + σ11σ33 + σ22σ33 − σ212 − σ2

13 − σ223

=1

2

[(trσ)

2 −(trσ2

)]J3 = detσ (4.24)

La soluzione dell'equazione caratteristica fornisce le tre tensioni principali,che vengono ordinate in modo tale che σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. Diversi casi possonoaccadere.

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CAPITOLO 4. ANALISI DELLA TENSIONE 82

σ1 > σ2 > σ3. I tre autovalori sono distinti. Si sostituisce nel sistema (4.22) unautovalore alla volta, σ = σ1, σ = σ2, σ = σ3. In tutti i casi, il rango dellamatrice [σ − σI] vale 2. Si risolvono le equazioni imponendo che la normadi n sia unitaria. Si determinano così le tre direzioni principali, s1 s2 s3,che è semplice mostrare siano ortogonali fra loro.

σ1 > σ2 = σ3. Due autovalori sono coincidenti. Il sistema (4.22) quando σ = σ1

ha rango pari a 2. Risolvendo allora le equazioni ed imponendo che lanorma di n sia unitaria, si determina univocamente s1. Quando σ = σ2 =σ3 il sistema di equazioni (4.22) ha rango pari a 1. Tutti i versori s2 s3

appartenenti al piano ortogonale a s1 sono principali di tensione.

σ1 = σ2 = σ3. I tre autovalori sono coincidenti. Il sistema di equazioni ha rangonullo. Tutte le direzioni nello spazio sono principali di tensione.

Analogamente a quanto evidenziato nel caso delle deformazioni e direzioni prin-cipali di deformazione, si riportano alcune proprietà fondamentali delle tensionie delle direzioni principali di tensione.

• Se σi 6= σj allora si⊥sj . Infatti:

σsi • sj = σisi • sj

σsj • si = σjsj • si

sottraendo membro a membro, e ricordando la simmetria di σ, si ha:

(σi − σj)sj • si = σsi • sj − σsj • si = 0

essendo σi 6= σj , deve allora accadere che si • sj = 0 e quindi si⊥sj .

• Se σ = σi = σj tutte le direzioni nel piano sisj sono principali. Infattiposto s = αsi + βsj con ‖s‖ = 1, si ha:

t(s) = σs = ασsi + βσsj = ασisi + βσjs

j = σ(αsi + βsj

)= σs

• Le tensioni principali contengono la massima e la minima possibile. Infatti,posto che sia σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, si ha:

σ1 ≥ σs • s ≥ σ3 ∀s

• Si denisce piano lo stato tensionale per il quale avviene che la tensio-ne t appartiene sempre ad uno stesso piano, detto piano delle tensioni,indipendentemente dalla giacitura n scelta. Condizione necessaria e suf-ciente anché lo stato tensionale sia piano è che un autovalore di σ sianullo; la normale al piano delle tensioni coincide con l'autovettore associatoall'autovalore nullo.

• Si denisce monoassiale lo stato tensionale per il quale avviene che latensione t ha sempre la stessa direzione, indipendentemente dalla giacituran scelta. Condizione necessaria e suciente anché lo stato tensionale siamonoassiale è che due autovalori di σ siano nulli; l'asse della tensionecoincide con l'autovettore associato all'autovalore non nullo.

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CAPITOLO 4. ANALISI DELLA TENSIONE 83

4.5 Deviatore di tensione

E' possibile decomporre il tensore di tensione σ nel modo seguente:

σ = σS + σD (4.25)

dove:

σS = σmI = 13 (trσ)I è la parte sferica della tensione

σD = σ − σS è la parte deviatorica della tensione

e σm = (trσ)/3 è la tensione media, ovvero la pressione idrostatica.Per la parte sferica della tensione σS banalmente si ha che tutte le direzioni

sono principali, essendo σS un tensore diagonale con componenti tutte ugualitra loro. Per quanto riguarda la parte deviatorica della tensione σD accade cheσDij = σij ∀i 6= j, per cui nel riferimento principale si ha σij = 0 e quindi anche

σDij = 0, ne consegue che le direzioni principali di σD coincidono con quelle di

σ. Gli autovalori di σD valgono σD1 = σ1−σm, σD2 = σ2−σm e σD3 = σ3−σm.Sulla base delle denizioni (4.24), gli invarianti primo della parte sferica e

della parte deviatorica dello sforzo valgono:

JS1 = trσS = tr

[1

3(trσ)I

]= σ1 + σ2 + σ3 = J1 (4.26)

JD1 = tr(σ − σS

)= trσ−trσS = trσ−trσ = 0 (4.27)

Analogamente, sempre per le (4.24) gli invarianti secondo della parte sfericae della parte deviatorica dello sforzo valgono:

JS2 = σS1 σS2 + σS1 σ

S3 + σS2 σ

S3 = 3 (σm)

2(4.28)

JD2 = σD1 σD2 + σD1 σ

D3 + σD2 σ

D3 (4.29)

= (σ1 − σm) (σ2 − σm) + (σ1 − σm) (σ3 − σm) + (σ2 − σm) (σ3 − σm)

= σ1σ2 + σ1σ3 + σ2σ3 − 2σm (σ1 + σ2 + σ3) + 3σmσm

= σ1σ2 + σ1σ3 + σ2σ3 −1

3(σ1 + σ2 + σ3)

2

= J2 −1

3J2

1

Sviluppando i calcoli JD2 diventa:

JD2 = −1

3

[σ2

1 + σ22 + σ2

3 − (σ1σ2 + σ1σ3 + σ2σ3)]

(4.30)

= −1

6

[(σ1 − σ2)

2+ (σ1 − σ3)

2+ (σ2 − σ3)

2]

4.6 Cerchi di Mohr

Si assuma come sistema di riferimento quello costituito dalle direzioni s1 s2 s3

principali di σ; si consideri inoltre una giacitura qualsiasi individuata dal versore

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CAPITOLO 4. ANALISI DELLA TENSIONE 84

n. La tensione ad essa associata è:

t = σn =

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

n1

n2

n3

=

σ1n1

σ2n2

σ3n3

Decomponendo la tensione nelle due componenti σn e τn, rispettivamente pa-rallela ed ortogonale ad n, si ottiene:

σn = t • n = σn • n =

σ1n1

σ2n2

σ3n3

• n1

n2

n3

= σ1n21 + σ2n

22 + σ3n

23

τ2n = t • t− σ2

n = σn • σn− σ2n = σ2

1n21 + σ2

2n22 + σ2

3n23 − σ2

n

Se a queste relazioni si aggiunge la condizione che la norma di n sia unitaria, siottiene il seguente sistema lineare di equazioni: 1 1 1

σ1 σ2 σ3

σ21 σ2

2 σ23

n21

n22

n23

=

1σn

τ2n + σ2

n

(4.31)

nelle incognite n21, n

22 ed n2

3, che risolto fornisce:

n21 =

τ2n + (σn − σ2) (σn − σ3)

(σ1 − σ2) (σ1 − σ3)(4.32)

n22 =

τ2n + (σn − σ1) (σn − σ3)

(σ2 − σ1) (σ2 − σ3)(4.33)

n23 =

τ2n + (σn − σ1) (σn − σ2)

(σ3 − σ1) (σ3 − σ2)(4.34)

Si noti che la matrice a primo membro dell'equazione (4.31) è la trasposta dellamatrice di Vandermonde.

Si discute inizialmente il caso particolare in cui n sia ortogonale alla direzionedi s1 e cioè tale che n1 = 0. In tal modo si individua la stella di piani intornoall'asse principale s1. Dovendo essere nullo il numeratore a secondo membrodell'equazione (4.32) si ottiene:

τ2n + (σn − σ2) (σn − σ3) = 0

Sviluppando il prodotto si ha:

0 = τ2n + σ2

n + σ2σ3 − σn (σ2 + σ3)

aggiungendo e sottraendo la quantità (σ2 + σ3)2/4 , si ha:

0 = τ2n + σ2

n − σn (σ2 + σ3) +

[1

2(σ2 + σ3)

]2

− 1

4(σ2 + σ3)

2+ σ2σ3

= τ2n +

[σn −

1

2(σ2 + σ3)

]2

− 1

4(σ2 + σ3)

2+ σ2σ3

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CAPITOLO 4. ANALISI DELLA TENSIONE 85

Figura 4.5: Cerchi di Mohr: la parte tratteggiata rappresenta l'arbelo di Mohr.

ovvero [σn −

1

2(σ2 + σ3)

]2

+ τ2n =

1

4(σ2 − σ3)

2(4.35)

Analogamente, per n2 = 0 deve annullarsi il numeratore a secondo membrodell'equazione (4.33). Si ha allora:[

σn −1

2(σ1 + σ3)

]2

+ τ2n =

1

4(σ3 − σ1)

2(4.36)

Inne, per n3 = 0 deve annullarsi il numeratore a secondo membro dell'e-quazione (4.34) e quindi si ottiene:[

σn −1

2(σ1 + σ2)

]2

+ τ2n =

1

4(σ1 − σ2)

2(4.37)

Le equazioni (4.35), (4.36) e (4.37) altro non sono che le equazioni dei cerchidi Mohr1, riportati in gura 4.5, i cui raggi Ri e centri Ci sono:

R1 = 12 (σ2 − σ3) C1 = 1

2 (σ2 + σ3)R2 = 1

2 (σ1 − σ3) C2 = 12 (σ1 + σ3)

R3 = 12 (σ1 − σ2) C3 = 1

2 (σ1 + σ2)(4.38)

Senza perdere di generalità, si pone che le tensioni principali siano ordinatecosì che σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. Ricordando che n2

i ≥ 0, dalle formule (4.32), (4.33) e

1Christian Otto Mohr (Wesselburen 1835-Dresda 1918), ingegnere ferroviario tedesco,risolse dicili problemi costruttivi mediante l'introduzione di nuovi metodi per il calcolo deglisforzi nelle travature reticolari.

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CAPITOLO 4. ANALISI DELLA TENSIONE 86

(4.34) ne segue che:

n21 =

τ2n + (σn − σ2) (σn − σ3)

(σ1 − σ2) (σ1 − σ3)≥ 0 =⇒ τ2

n + (σn − σ2) (σn − σ3) ≥ 0

n22 =

τ2n + (σn − σ1) (σn − σ3)

(σ2 − σ1) (σ2 − σ3)≥ 0 =⇒ τ2

n + (σn − σ1) (σn − σ3) ≤ 0

n23 =

τ2n + (σn − σ1) (σn − σ2)

(σ3 − σ1) (σ3 − σ2)≥ 0 =⇒ τ2

n + (σn − σ1) (σn − σ2) ≥ 0

e quindi che: [σn −

1

2(σ2 + σ3)

]2

+ τ2n ≥ 1

4(σ2 − σ3)

2

[σn −

1

2(σ1 + σ3)

]2

+ τ2n ≤ 1

4(σ3 − σ1)

2

[σn −

1

2(σ1 + σ2)

]2

+ τ2n ≥ 1

4(σ1 − σ2)

2(4.39)

In denitiva, a tutte le coppie (σn, τn) ammissibili per un assegnato versoren corrispondono i punti interni al cerchio di raggio R2 e centro C2 ed esterniagli altri due. L'insieme ammissibile delle coppie (σn, τn) è detto in letteraturaarbelo2 di Mohr.

Si osserva che:

• l'insieme σ1, σ2, σ3 contiene la massima e la minima tensione normaleσn :

σnmin = σ3

σnmax= σ1

• la massima tensione tangenziale vale:

τmax = max1

2|σ1 − σ2| , |σ1 − σ3| , |σ2 − σ3| =

1

2(σ1 − σ3) (4.40)

• mediante i cerchi di Mohr è possibile determinare la tensione t secondouna qualsiasi giacitura attraverso una procedura graca.

4.7 Tensione tangenziale ottaedrale

Si assuma come sistema di riferimento quello costituito dalle direzioni s1 s2 s3

principali di σ così che:

σ =

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

2αρβηλoς: trincetto, lama d'acciaio curva, senza manico, alatissima ed aguzza, ad un sol

taglio, di cui si serve il calzolaio per tagliare il cuoio delle scarpe.

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CAPITOLO 4. ANALISI DELLA TENSIONE 87

Si denisce giacitura ottaedrale la trisettrice nott dell'angolo solido denito dagliassi s1, s2, s3:

nott =1√3

(s1 + s2 + s3

)La tensione ottaedrale tott valutata sulla giacitura ottaedrale è:

tott = σ nott =1√3σ(s1 + s2 + s3

)=

1√3

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

(s1 + s2 + s3)

(4.41)

=1√3

(σ1s

1 + σ2s2 + σ3s

3)

La componente di tott lungo la trisettrice nott dell'angolo solido s1s2s3 è notacome tensione normale ottaedrale:

σott = σ nott • nott =1√3

(σ1s

1 + σ2s2 + σ3s

3)• 1√

3

(s1 + s2 + s3

)=

1

3(σ1 + σ2 + σ3) =

1

3trσ (4.42)

Analogamente si denisce tensione tangenziale ottaedrale τott la componentedella tensione ottaedrale sul piano ortogonale ad nott:

τott =

√tott • tott − (σott)

2

=

√1

3(σ2

1 + σ22 + σ2

3)− 1

9(σ1 + σ2 + σ3)

2

=1

3

√3 (σ2

1 + σ22 + σ2

3)− (σ21 + σ2

2 + σ23 + 2σ1σ2 + 2σ2σ3 + 2σ1σ3)

=1

3

√σ2

1 + σ22 − 2σ1σ2 + σ2

1 + σ23 − 2σ1σ3 + σ2

2 + σ23 − 2σ2σ3

=1

3

√(σ1 − σ2)

2+ (σ1 − σ3)

2+ (σ2 − σ3)

2(4.43)

Ricordando le denizioni (4.24):

J1 = σ1 + σ2 + σ3

J2 = σ1σ2 + σ1σ3 + σ2σ3 (4.44)

la formula (4.43) diventa:

τott =

√1

3(J2

1 − 2J2)− 1

9J2

1 =

√−2

3

(J2 −

1

3J2

1

)(4.45)

che, per l'espressione (4.29), fornisce:

τott =

√−2

3JD2 (4.46)

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Capitolo 5

PRINCIPIO DEI LAVORI

VIRTUALI

Nei capitoli precedenti è stato arontato lo studio dei continui deformabili pren-dendo in esame separatamente i due aspetti: quello cinematico e quello statico.Si è pervenuti in tal modo alla denizione dei due aspetti fondamentali dellacongruenza e dell'equilibrio per un corpo continuo1.

1Bernoulli, famiglia di famosi matematici e scienziati originaria di Anversa, ma stabilitasia Basilea verso la ne del sec. XVI. Tra i suoi membri meritano particolare citazione JacquesI, il fratello Jean I e il glio di questi Daniel I.Jacques (Basilea 1654-1705), professore di matematica all'Università di Basilea, col fratello

Jean sviluppò ulteriormente il calcolo innitesimale, introdotto da Leibniz e Newton, indican-done numerose applicazioni alla meccanica e alla geometria in una serie di memorie apparsenegli Acta Eruditorum. Tra esse è particolarmente nota quella del 1690 in cui per primo sug-gerì il nome di calculus integralis per quello che Leibniz aveva chiamato calculus summatorius,nome poi adottato dallo stesso Leibniz: in tale memoria Jacques applicava il calcolo allo stu-dio della curva isocrona, una delle curve note no ad allora solo per via geometrica. Su altrecurve furono estremamente chiaricatrici le memorie di Jacques; tra esse: la catenaria, chetanta importanza avrà nella scienza delle costruzioni; la lemniscata, curva a forma di 8 o dinastro annodato (lemniscus) che da Bernoulli prese nome; la spirale logaritmica, di cui scoprìla caratteristica proprietà di riprodursi identicamente dopo ognuna di molte trasformazionigeometriche. Altri importanti contributi di Jacques all'analisi sono lo studio e la soluzionedel problema degli isoperimetri; la soluzione del problema della brachistocrona, proposto dalfratello Jean, che costituisce un esempio di applicazione del calcolo variazionale; l'introdu-zione delle coordinate polari nella geometria analitica; lo studio della somma delle potenzedei numeri naturali per cui introdusse i numeri di Bernoulli. Jacques è altresì l'autore delprimo completo trattato di calcolo delle probabilità (Ars Coniectandi, Arte delle congetture),pubblicato postumo nel 1713 a cura del nipote Nicolas I e nel quale è enunciata e dimostratala legge dei grandi numeri, nota anche come teorema di Bernoulli.Jean (Basilea 1667-1748), fratello minore di Jacques, gli succedette alla cattedra di Basilea

dopo aver insegnato a Groninga. Di carattere ambizioso, ebbe clamorose controversie permotivi di priorità con molti colleghi, compresi il fratello Jacques e il glio Daniel. Si interessòdi medicina, chimica e astronomia, oltre che di analisi matematica, e contribuì a diondereil nuovo calcolo anche attraverso la sua corrispondenza con i più grandi matematici europei.Il suo ricchissimo epistolario ore un quadro straordinario dell'attività scientica all'alba delsec. XVIII. Tra i suoi allievi vi furono Eulero e il marchese de L'Hospital, autore, sulla basedi lettere e annotazioni di Jean, del primo completo trattato di calcolo innitesimale (1696).

88

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CAPITOLO 5. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI 89

A questo punto, sulla base delle sole condizioni di congruenza e d'equili-brio, è possibile formulare una relazione di grande generalità, assai importan-te nella Meccanica dei continui deformabili, detta Identità Fondamentale dellaMeccanica, o più spesso Principio dei Lavori Virtuali (PLV).

Il Principio dei Lavori Virtuali costituisce il legame fondamentale tra lacondizione d'equilibrio e quella di congruenza consentendo di mettere in luce lecaratteristiche di dualità tra l'equilibrio e la congruenza, dualità che costituisceuna circostanza di notevole rilievo dal punto di vista applicativo.

5.1 Identità fondamentale della meccanica

L'enunciato dell'Identità Fondamentale della Meccanica o Principio dei LavoriVirtuali è il seguente: in un sistema deformabile in equilibrio, il lavoro vir-tuale esterno (Lve) è uguale a quello interno (Lvi) per qualunque insieme dispostamenti virtuali (innitesimi) compatibili con la continuità del corpo.

Tale aermazione si dimostra come segue. Si consideri un corpo Ω confrontiera ∂Ω = ∂fΩ ∪ ∂uΩ con ∂fΩ ∩ ∂uΩ = ∅. Siano assegnate le forze divolume b in Ω, le forze di supercie p su ∂fΩ, e gli spostamenti u su ∂uΩ.

Si suppone che tutte le forze attive e reattive agenti sul corpo soddisno leequazioni cardinali della statica:

0 =

ˆΩ

b dV +

ˆ∂fΩ

p dA+

ˆ∂uΩ

σn dA

0 =

ˆΩ

x× b dV +

ˆ∂fΩ

x× p dA+

ˆ∂uΩ

x× σn dA

ed inoltre che le tensioni σ soddisno le equazioni di equilibrio (4.21):

divσ + b = 0 in Ωσn = p su ∂fΩ

(5.1)

avendo implicitamente inteso che σ è un tensore simmetrico. Si assegni inoltreun campo di spostamenti u congruente con un campo di deformazioni ε, ovvero

Come il fratello Jacques, si occupò di molti problemi celebri del suo tempo, tra i quali lostudio dell'equazione dierenziale, nota come equazione di Bernoulli, di cui nel 1697 pubblicòun metodo di risoluzione; inoltre il suo studio sulle funzioni esponenziali e sui loro rapporti coni logaritmi, che verrà completato da Eulero, lo fanno ritenere il fondatore di tale argomento.Daniel I (Groninga 1700-Basilea 1782), glio di Jean, fu amico di Eulero; insegnò matema-

tica a Pietroburgo (1725-33) e successivamente botanica, anatomia e sica a Basilea. La suaopera comprende numerosi studi sul calcolo delle probabilità, che applicò a problemi di eco-nomia, medicina e astronomia. Si occupò inoltre di sica-matematica studiando il problemadelle corde vibranti, assai dibattuto in quei tempi (completamente risolto poi da d'Alembert),ed espose i primi principi della teoria cinetica dei gas. Il suo nome rimane essenzialmentelegato agli studi di idrodinamica, alla cui base è il teorema sulla conservazione dell'energia nelmoto dei uidi, pubblicato nell'opera Hydrodynamica, sive de viribus et motibus uidorumcommentarii (1738; Idrodinamica, ovvero commentari intorno alle forze e ai moti dei uidi).

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CAPITOLO 5. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI 90

si suppone che le deformazioni soddisno l'equazione di congruenza:

2ε = ∇u +∇uT in Ω (5.2)

u = u su ∂uΩ

Si evidenzia che non è stata supposta alcuna relazione tra il sistema di forze edil campo di spostamenti. In altri termini, il sistema delle forze e quello deglispostamenti non sono legati fra loro da alcun nesso di tipo causa-eetto.

Il lavoro virtuale delle forze applicate con gli spostamenti considerati vale:

Lve =

ˆΩ

b • u dV +

ˆ∂fΩ

p • u dA+

ˆ∂uΩ

σn • u dA (5.3)

=

ˆΩ

biui dV +

ˆ∂fΩ

piui dA+

ˆ∂uΩ

σijnjui dA

Tenendo presente le equazioni di equilibrio (5.1), si ha:

Lve =

ˆΩ

−σij,jui dV +

ˆ∂Ω

σijnjui dA =

ˆΩ

−σij,jui dV +

ˆ∂Ω

σijuinj dA

=

ˆΩ

−σij,jui dV +

ˆΩ

(σijui),j dV =

ˆΩ

[(σijui),j − σij,jui

]dV

=

ˆΩ

[σij,jui + σijui,j − σij,jui] dV =

ˆΩ

σijui,j dV

=

ˆΩ

σij (∇u)ij dV =

ˆΩ

σij (ε+ W)ij dV =

ˆΩ

σijεij dV

= Lvi

In denitiva, si deduce che:

Lve = Lvi ⇔ˆ

Ω

b • u dV +

ˆ∂fΩ

p • u dA+

ˆ∂uΩ

σn • u dA =

ˆΩ

σ • ε dV

(5.4)Si evidenzia che sia nell'enunciato che nella dimostrazione, il PLV è indipen-

dente dalle proprietà meccaniche del materiale ed è dunque valido per qualunquemezzo continuo deformabile indipendentemente dalla sua natura.

In particolare, per moti rigidi il PLV si riformula nel modo seguente: illavoro virtuale esterno (Lve) compiuto da un sistema di forze in equilibrio perun qualunque spostamento rigido innitesimo del corpo sul quale agiscono taliforze è identicamente nullo. Infatti, essendo il moto rigido, deve accadere che iltensore di deformazione sia nullo in ogni punto del corpo, i.e. ε = 0. Ne consegueche il lavoro virtuale interno è nullo, i.e. Lvi = 0. Dall'identità fondamentale(5.4) se ne ricava Lve = 0.

5.1.1 Esempio

Si consideri il corpo rigido mostrato in gura 5.1 soggetto ad una forza verticaleF , vincolato tramite 3 molle parallele e verticali, e da un carrello orizzontale.

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CAPITOLO 5. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI 91

Figura 5.1: Corpo rigido vincolato tramite 3 molle elastiche verticali.

Gli spostamenti congruenti del corpo rigido sono quelli di traslazione verti-cale v e di rotazione φ intorno al punto medio del corpo. Gli spostamenti deipunti P1, P2 e P3 rispettivamente valgono:

v1 = v − aφv2 = v

v3 = v + aφ (5.5)

essendo a la distanza tra le molle. Si evidenzia che le quantità v1, v2 e v3

rappresentano gli allungamenti delle molle elastiche, ovvero delle deformazioni.Le equazioni di equilibrio alla traslazione verticale ed alla rotazione intorno

a P2 in esplicito assumono la forma:

F = F1 + F2 + F3

M = −F1a+ F3a (5.6)

avendo indicato con Fi i = 1, 2, 3 la forza esercitata sul punto Pi dalla i−esimamolla, e con M = F d. Si evidenzia che Fi rappresenta una tensione interna edè intesa diretta verso l'alto.

Per il semplice sistema considerato, il lavoro virtuale delle forze applicatecon gli spostamenti considerati vale:

Lve = F v +M φ (5.7)

Tenuto conto delle equazioni di equilibrio, l'espressione (5.7) assume la forma:

Lve = (F1 + F2 + F3) v + (−F1a+ F3a) φ (5.8)

= F1 (v − a φ) + F2 (v) + F3 (v + a φ)

= F1v1 + F2v2 + F3v3

= Lvi

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CAPITOLO 5. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI 92

Per il semplice problema considerato resta allora vericata l'Identità Fondamen-tale della Meccanica, ovvero il lavoro virtuale esterno eguaglia il lavoro virtualeinterno.

5.2 Principio degli spostamenti virtuali

Si denisce variazione di spostamento ammissibile δu la dierenza tra duequalsiasi spostamenti ammissibili, e.g. u e v:

u : 2ε = ∇u +∇uT , u = u su ∂uΩv : 2η = ∇v +∇vT , v = u su ∂uΩ

e quindi:

δu = v − u : 2δε = 2(η − ε) = ∇δu +∇δuT , δu = 0 su ∂uΩ

Condizione necessaria e suciente anché b, p e σ siano in equilibrio è che

δLve =

ˆΩ

b • δu dV +

ˆ∂fΩ

p • δu dA =

ˆΩ

σ • δε dV = δLvi (5.9)

comunque presi δu e δε congruenti.

Necessarietà. Se b, p e σ sono in equilibrio e δu, δε sono congruenti allora valel'equazione (5.9). La dimostrazione segue immediatamente applicandol'identità fondamentale della meccanica (5.4) per il campo di spostamenticongruenti δu.

Sucienza. Se vale l'equazione (5.9) per ogni possibile δu, δε congruenti al-lora b, p e σ sono in equilibrio. Per dimostrarlo, si consideri inizialmenteil lavoro virtuale interno:

δLvi =

ˆΩ

σ • δε dV =

ˆΩ

σ • ∇δu dV

= −ˆ

Ω

divσ • δu dV +

ˆ∂fΩ

σn • δu dA

che dovendo essere per ipotesi uguale al lavoro virtuale esterno, per la(5.9) conduce all'espressione:

ˆΩ

(divσ + b) • δu dV +

ˆ∂fΩ

(p− σn) • δu dA = 0

che, per l'arbitrarietà di δu, fornisce le equazioni di equilibrio:

divσ + b = 0 in Ωσn = p su ∂fΩ

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CAPITOLO 5. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI 93

5.2.1 Esempio

Si consideri ancora il corpo rigido mostrato in gura 5.1. Le deformazioni con-gruenti v1, v2 e v3 con i parametri di spostamento v e φ sono denite dallerelazioni (5.5).

I lavori virtuali esterno ed interno, tenuto conto delle equazioni di congruenza(5.5), valgono rispettivamente:

Lve = F v +M φ

Lvi = F1 (v − a φ) + F2 (v) + F3 (v + a φ)

Si impone ora valido il principio dei lavori virtuali ovvero:

Lve = Lvi

da cui ne consegue:

F v +Mφ = F1 (v − a φ) + F2 (v) + F3 (v + a φ)

che dovendo valere per ogni possibile valore di v e di φ, fornisce le equazioni diequilibrio alla traslazione verticale ed alla rotazione intorno a P2:

F = F1 + F2 + F3

M = −F1a+ F3a (5.10)

In denitiva, assicurata la congruenza delle deformazioni, il principio deglispostamenti virtuali fornisce le giuste equazioni di equilibrio.

5.3 Principio delle forze virtuali

Si denisce variazione di forze e tensioni ammissibile δb, δp e δσ, la dierenzatra due qualsiasi sistemi di forze e tensioni in equilibrio, e.g. b, p, σ e f , q, S:

b, p,σ : divσ + b = 0 , σn = p su ∂fΩf , q,S : divS + f = 0 , Sn = q su ∂fΩ

e quindi:

δb = f − bδp = q− pδσ = S− σ

: divδσ + δb = 0 , δσn = δp su ∂fΩ

Condizione necessaria e suciente anché u ed ε siano congruenti è che:

δLve =

ˆΩ

δb • u dV +

ˆ∂fΩ

δp • u dA+

ˆ∂uΩ

δσn • u dA

=

ˆΩ

δσ • ε dV = δLvi (5.11)

comunque presi δb, δp e δσ in equilibrio.

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CAPITOLO 5. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI 94

Necessarietà. Se u, ε sono congruenti e δb, δp e δσ sono in equilibrio alloravale l'equazione (5.11). La dimostrazione segue immediatamente appli-cando l'identità fondamentale della meccanica (5.4) per il campo di forzee tensioni in equilibrio δb, δp e δσ.

Sucienza. Se vale l'equazione (5.11) per ogni possibile δb, δp e δσ in equi-librio allora u ed ε sono congruenti. Per dimostrarlo, si consideri inizial-mente il lavoro virtuale esterno:

δLve =

ˆΩ

δb • u dV +

ˆ∂fΩ

δp • u dA+

ˆ∂uΩ

δσn • u dA

= −ˆ

Ω

divδσ • u dV +

ˆ∂fΩ

δσn • u dA+

ˆ∂uΩ

δσn • u dA

=

ˆΩ

δσ • ∇u dV −ˆ∂Ω

δσn • u dA

+

ˆ∂fΩ

δσn • u dA+

ˆ∂uΩ

δσn • u dA

=

ˆΩ

δσ • ∇u dV +

ˆ∂uΩ

δσn • (u− u) dA

che dovendo essere per ipotesi uguale al lavoro virtuale interno, per la(5.11) conduce all'espressione:

ˆ∂uΩ

δσn • (u− u) dA+1

2

ˆΩ

δσ • (∇u +∇uT − 2ε) dV = 0

che, per l'arbitrarietà di δσ equilibrato con δb e δp, fornisce le equazionidi congruenza:

2ε = ∇u +∇uT in Ωu = u su ∂uΩ

5.3.1 Esempio

Si consideri ancora il corpo rigido mostrato in gura 5.1. Le tensioni interne F1,F2 ed F3 in equilibrio con le forze esterne F ed M soddisfano l'equazione (5.6),per cui si ha:

F2 = F − 2F3 +M/a (5.12)

F1 = F3 −M/a

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CAPITOLO 5. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI 95

I lavori virtuali esterno ed interno valgono rispettivamente:

Lve = F v +M φ (5.13)

Lvi = F1v1 + F2v2 + F3v3

= (F3 −M/a) v1 + (F +M/a− 2F3) v2 + F3v3

= Fv2 +M (v2 − v1) /a+ F3 (v1 + v3 − 2v2)

Eguagliando il lavoro virtuale esterno con quello interno si ottiene:

F v +M φ = F3 (v1 + v3 − 2v2)−M (v1 + v2) /a+ Fv2

che dovendo essere valida per ogni possibile valore di F ed M , fornisce:

0 = (v1 + v3 − 2v2) (5.14)

v = v2

φ = − (v1 + v2) /a

Risolvendo il sistema (5.14) rispetto alle incognite v1, v2 e v3 si ha:

v1 = v − aφv2 = v

v3 = v + aφ (5.15)

che rappresentano le equazioni di congruenza del semplice sistema meccanicoconsiderato.

In denitiva, assicurato l'equilibrio delle tensioni con le forze esterne, ilprincipio delle forze virtuali fornisce le giuste equazioni di congruenza.

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Capitolo 6

LEGAME COSTITUTIVO

6.1 Introduzione

L'Analisi della deformazione tratta esclusivamente un problema di tipo cinema-tico, ovvero geometrico: determinare le relazioni tra spostamenti e deformazioniche assicurano la congruenza, e cioè la compatibilità cinematica.

L'Analisi della Tensione tratta esclusivamente un problema di tipo statico:determinare le relazioni tra forze esterne e tensioni che assicurano l'equilibrio.

Il Principio dei Lavori Virtuali, che ha carattere statico e cinematico, con-sente di correlare gli aspetti duali dell'equilibrio e della congruenza.

Si evidenzia allora che in nessuna delle relazioni ricavate precedentemente siè tenuto conto della natura del materiale che costituisce il corpo: le equazionidi congruenza, quelle d'equilibrio e il principio dei lavori virtuali valgono infattiper qualunque mezzo continuo a prescindere dalla natura del materiale.

Appare allora necessario, da un punto di vista sico, determinare le relazioniche permettano di tener conto dell'eettivo comportamento del materiale checostituisce il corpo da studiare.

Storicamente il primo ad intuire la necessità, appena esposta, di porre ingioco la natura del materiale fu Galileo1 (1638) quantunque egli si curasse più

1Galileo Galilei (Pisa 1564 - Arcetri, Firenze 1642), sico, astronomo e losofo dellanatura italiano; assieme all'astronomo tedesco Keplero diede inizio alla rivoluzione scienticaculminata nell'opera di Isaac Newton. Galileo ricevette la prima formazione culturale pressoi monaci di Vallombrosa; nel 1580 si iscrisse alla facoltà di medicina dell'università di Pisa,ma il maturare di nuovi interessi per la losoa e la matematica lo spinse ad abbandonare glistudi intrapresi e a dedicarsi a queste discipline. Nel periodo successivo lavorò ad alcuni scrittisull'idrostatica e sui moti naturali, che non furono pubblicati. Nel 1589 divenne professore dimatematica a Pisa, dove iniziò la critica del pensiero aristotelico. Nel 1592 ottenne la cattedradi matematica all'università di Padova, dove rimase per diciotto anni.Galileo inventò un compasso geometrico-militare per calcolare la soluzione di problemi ba-

listici, e realizzò numerosi esperimenti che lo condussero alla scoperta delle leggi che regolanola caduta libera dei gravi; studiò il moto dei pendoli e alcuni problemi di meccanica. L'inven-zione del cannocchiale, nel 1609, rappresentò una svolta nella sua attività scientica. Per lasua critica alla teoria di Aristotele sulla perfezione dei cieli venne condannato dall'Inquisizioneal carcere a vita, rapidamente commutato negli arresti domiciliari permanenti ad Arcetri.

96

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CAPITOLO 6. LEGAME COSTITUTIVO 97

della resistenza dei solidi che non della loro deformabilità. Galileo trattavainfatti, i corpi come indeformabili.

Robert Hooke2 (1678) pubblicò un trattato dal nome (in forma d'anagram-ma) CEIIINOSSSTTUV in cui appare una primordiale legge di proporziona-lità tra forze e spostamenti. Dopo due anni svelò la soluzione dell'anagrammada lui stesso proposto in UT TENSIO SIC VIS ovvero l'estensione è pro-porzionale alla forza. La legge di Hooke generalizzata a stati di tensione e dideformazione non monoassiale è dovuta inne a Cauchy (1828) che postulò unarelazione che fornisce il tensore delle tensioni come funzione ad un sol valore delgradiente di spostamento:

σij = fij(∇u)

Sotto l'ipotesi di piccole deformazioni si richiede inoltre che del gradiente diu conti solo la sua parte simmetrica ε, che esprime la deformazione pura, e nonla parte emisimmetrica W, che governa le rotazioni innitesime. In altre parolesi assume:

σij = fij(ε) (6.1)

I materiali che seguono questa legge sono detti elastici secondo Cauchy,quando dopo un qualsiasi percorso deformativo, all'annullarsi delle tensionicorrisponde l'annullarsi delle deformazioni.

6.2 Materiali elastici secondo Green

Sia Γε una curva nello spazio a 6 dimensioni della deformazione. Si denotipoi con εi la deformazione corrispondente al punto iniziale della curva Γε, ε

f

la deformazione corrispondente al punto nale della curva Γε e con δε unavariazione innitesima di deformazione a partire dal generico valore ε.

Indicando con α l'ascissa curvilinea della curva Γε tale che:

αi ≤ α ≤ αf ε(αi) = εi ε(αf ) = εf

2Robert Hooke (Freshwater, isola di Wight 1635 - Londra 1703), scienziato britannico,fornì importanti contributi in diversi settori scientici, ma è noto principalmente per le suericerche sull'elasticità. Conclusi gli studi presso l'università di Oxford, divenne assistentedel sico Robert Boyle, col quale collaborò alla costruzione della macchina pneumatica. Nel1662 ottenne l'incarico di curatore degli esperimenti alla Royal Society, dove proseguì la suaattività di ricerca; tre anni dopo gli fu assegnata la cattedra di geometria al Gresham Collegedi Oxford. Dopo il grande incendio di Londra, avvenuto nel 1666, Hooke venne nominatotopografo della città e progettò diversi edici, tra i quali la Montague House e il BethlehemHospital.Hooke anticipò alcune delle maggiori scoperte e invenzioni dell'epoca, ma non riuscì a por-

tare a termine molte delle sue ricerche. Enunciò la teoria del moto planetario, che inquadròcome problema di meccanica, e intuì, anche se non sviluppò matematicamente, la teoria fon-damentale sulla cui base Isaac Newton formulò la legge di gravitazione universale. Importanticontributi forniti da Hooke comprendono l'esposizione corretta della teoria dell'elasticità, se-condo cui un corpo elastico si deforma in proporzione alla forza che agisce su di esso, e un'ac-curata analisi della natura della combustione. Utilizzò per primo la molla a bilanciere nellaregolazione degli orologi e condusse al microscopio importanti ricerche sulle cellule vegetali.

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CAPITOLO 6. LEGAME COSTITUTIVO 98

la variazione δε si ottiene come:

δε(α) =∂ε(α)

∂αdα

Il lavoro di deformazione per unità di volume per un processo deformativolungo Γε è fornito da:

WΓε =

ˆΓε

σ(ε) • δε =

ˆΓε

σij(ε) δεij (6.2)

In generale può accadere che il lavoro di deformazione dipende non solo da εi

ed εf ma anche dal particolare percorso seguito Γε.Un materiale si dice elastico secondo Green o iperelastico se il lavoro interno

WΓε dipende solo dalla deformazione iniziale e dalla deformazione nale e nondal particolare percorso seguito Γε (Green

3, 1839). In tale caso la quantità daintegrare nell'equazione (6.2) deve essere un dierenziale esatto:

σ(ε) • δε = δϕ(ε) (6.3)

ovvero deve esistere una funzione di stato ϕ(ε), che assume il nome di densitàdi energia di deformazione o potenziale elastico, tale che:

WΓε=

ˆΓε

σ(ε) • δε =

ˆΓε

δϕ(ε) =

ˆ εf

εiδϕ(ε) = ϕ(εf )− ϕ(εi) (6.4)

E' altresì evidente che qualora Γε sia una curva chiusa, ovvero εf = εi, deveaccadere che:

˛Γε

δϕ(ε) = 0

La variazione del potenziale elastico ϕ vale:

δϕ(ε) = ∇εϕ(ε) • δε =∂ϕ(ε)

∂εijδεij (6.5)

e quindi, tenendo conto della (6.3) si ha:

σ = ∇εϕ(ε) , σij =∂ϕ(ε)

∂εij(6.6)

3George Green (Sneiton, Nottingham, 1793-1841), matematico inglese, diede notevolicontributi alla sica-matematica. Gli si deve l'introduzione del termine potenziale.Il teorema di Green permette di trasformare un integrale doppio in un integrale curvilineo;

ha importanza, oltre che per ragioni teoriche, anche perché interviene in numerose questionidi sica-matematica.

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CAPITOLO 6. LEGAME COSTITUTIVO 99

Si conclude allora dalla (6.6) che il tensore delle tensioni si ottiene come gra-diente dell'energia di deformazione ϕ rispetto al tensore di deformazione ε.

Si consideri ora il dierenziale esatto:

δ(σ • ε) = σ • δε+ ε • δσ (6.7)

Poiché σ • δε è un dierenziale esatto anche ε • δσ deve essere un dierenzialeesatto. Deve esistere allora una seconda funzione di stato ψ(σ), che prende ilnome di potenziale elastico complementare, per la quale accade che:

δψ(σ) = ε • δσ = εij δσij (6.8)

D'altra parte la variazione del potenziale elastico complementare vale:

δψ(σ) = ∇σψ(σ) • δσ =∂ψ(σ)

∂σijδσij (6.9)

Confrontando la (6.8) con la (6.9) si ottiene:

ε = ∇σψ(σ) , εij =∂ψ(σ)

∂σij(6.10)

e cioè il tensore delle deformazioni si ottiene come gradiente dell'energia com-plementare ψ rispetto al tensore delle tensioni σ. Tenuto conto delle espressioni(6.5) e (6.9), la relazione (6.7) si riscrive nella forma:

δ(σ • ε) = δϕ+ δψ = δ(ϕ+ ψ) (6.11)

che integrata, posto che sia ϕ(0) = ψ(0) = 0, fornisce:

σ • ε = ϕ+ ψ (6.12)

nota come eguaglianza di Legendre.In denitiva, la conoscenza di ϕ o di ψ denisce completamente il com-

portamento meccanico del materiale in quanto consente di correlare tensioni edeformazioni tramite le relazioni (6.6) o (6.10).

Si evidenzia che il materiale elastico è capace di subire deformazioni chesvaniscono rimuovendo le forze applicate.

6.3 Corpo elastico lineare

Un materiale si denisce elastico lineare quando il legame costitutivo elasticorisulta essere lineare, ossia la relazione tra le tensioni σ e le deformazioni ε èlineare.

Nell'ipotesi di piccoli (gradienti di) spostamenti anche le componenti εijdel tensore di deformazione saranno piccole |εij | = ϑ << 1; supponendo ora

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CAPITOLO 6. LEGAME COSTITUTIVO 100

che ϕ(ε) sia una funzione di ε sucientemente regolare così da poter esseresviluppato in serie di potenze (di McLaurin) si ha:

ϕ(ε) = ϕ(0)+∂ϕ(0)

∂εijεij+

1

2

∂2ϕ(0)

∂εij∂εhkεijεhk+O(ϑ3) ≈ ϕ0 +σ0

ijεij+1

2Cijhkεijεhk

(6.13)dove:

• ϕ0 = ϕ(0) è l'energia di deformazione nello stato indeformato,

• σ0ij = ∂ϕ(0)/∂εij è il tensore delle tensioni nello stato indeformato,

• Cijhk =∂2ϕ(0)∂εij∂εhk

sono le costanti elastiche del materiale indipendenti da

ε.

Il tensore del quarto ordine C prende il nome di tensore di elasticità o tensoreelastico del materiale.

Supponendo che il materiale abbia uno stato naturale caratterizzato dalleseguenti condizioni:

ε = 0 ϕ0 = 0 σ0 = 0 (6.14)

lo sviluppo in serie (6.13) si semplica nella forma:

ϕ(ε) =1

2Cijhkεhkεij =

1

2C [ε] • ε (6.15)

ovvero, l'energia di deformazione ϕ è il prodotto interno di ε per il tensore Capplicato ad ε.

Si osserva che per la simmetria di ε si ha:

∂2ϕ(0)

∂εij∂εhk=

∂2ϕ(0)

∂εji∂εhk=

∂2ϕ(0)

∂εij∂εkh(6.16)

e quindi:Cijhk = Cijkh = Cjihk (6.17)

Questa proprietà denisce le simmetrie minori del tensore elastico C che riducele componenti indipendenti di C da 81 a 36. Poiché poi si è ipotizzata l'esistenzadi un potenziale ϕ, dal quale C discende, per il teorema di Schwarz, si ha:

∂2ϕ(0)

∂εij∂εhk=

∂2ϕ(0)

∂εhk∂εij(6.18)

e quindiCijhk = Chkij (6.19)

Questa proprietà denisce la simmetria maggiore del tensore elastico C cheriduce ulteriormente le componenti indipendenti di C da 36 a 21.

E' da ricordare poi che un corpo si dice omogeneo se le componenti di C nonvariano da punto a punto.

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CAPITOLO 6. LEGAME COSTITUTIVO 101

Una volta scelta la forma di rappresentazione (6.15) per l'energia di defor-mazione, il tensore delle tensioni si calcola utilizzando l'equazione (6.6) come:

σij =∂ϕ

∂εij=

1

2

∂εij[Clmhkεlmεhk] =

1

2Clmhk

∂εij[εlmεhk] (6.20)

=1

2Clmhk [δlmijεhk + δhkijεlm] =

1

2[Cijhkεhk + Clmijεlm]

=1

2[Cijhkεhk + Cijlmεlm] = Cijhkεhk

dove:

δijhk =

1 se ij = hk0 se ij 6= hk

è il delta di Kronecker del quarto ordine. La formula (6.20) equivale allarelazione:

σ = C [ε] (6.21)

Si osserva che la relazione (6.20) ovvero (6.21) corrisponde a sei equazioni scalarilineari:

σ11

σ22

σ33

σ23

σ13

σ12

=

C1111 C1122 C1133 C1123 C1113 C1112

C2211 C2222 C2233 C2223 C2213 C2212

C3311 C3322 C3333 C3323 C3313 C3312

C2311 C2322 C2333 C2323 C2313 C2312

C1311 C1322 C1333 C1323 C1313 C1312

C1211 C1222 C1233 C1223 C1213 C1212

ε11

ε22

ε33

2ε23

2ε13

2ε12

(6.22)

Tenendo conto della (6.21), l'energia di deformazione fornita dalla formula(6.15) si riscrive anche nella forma:

ϕ(ε) =1

2σ • ε (6.23)

da cui, tenendo conto dell'eguaglianza di Legendre (6.12), si ricava che:

ψ(σ) = σ • ε− ϕ(ε) =1

2σ • ε = ϕ(ε) (6.24)

Invertendo la relazione (6.21) e sostituendola nella (6.24) si ottiene:

ψ(σ) =1

2Sσ • σ (6.25)

con S = C−1, tensore di deformabilità.Le quantità ϕ(ε) e ψ(σ) rappresentano la densità di energia immagazzinata

nel corpo deformato. Queste quantità rappresentano cioè l'energia per unitàdi volume che il corpo restituisce al sistema per tornare al suo stato naturaleindeformato. E' presumibile che tale energia sia positiva, nel senso che per

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CAPITOLO 6. LEGAME COSTITUTIVO 102

tornare allo stato indeformato il corpo ceda energia al sistema e non ne assorbada esso; perché ciò accada deve essere:

ϕ(ε) =1

2C [ε] • ε > 0 ∀ε 6= 0 (6.26)

In altre parole C deve essere denito positivo; ciò accade se e solo se ildeterminante e tutti i minori principali di C sono positivi. Il vericarsi di questacondizione assicura anche l'invertibilità di C.

6.4 Isotropia

Un materiale isotropo ha le stesse proprietà elastiche in ogni direzione: ciòequivale a dire che l'energia elastica e quella complementare non dipendonodalle direzioni lungo le quali agiscono le tensioni principali.

6.4.1 Direzioni principali

Per un materiale isotropo l'energia complementare dipende solo dai valori prin-cipali di tensione ed è indipendente dalle direzioni lungo le quali tali valoriprincipali agiscono. Scelto allora un qualsiasi sistema principale di tensione, la(6.25) fornisce:

ψ (σ) =1

2S [σ] • σ = ψ (σ1,σ2,σ3)

=1

2

(S1111σ

21 + S2222σ

22 + S3333σ

23 (6.27)

+ 2S1122σ1σ2 + 2S1133σ1σ3 + 2S2233σ2σ3)

Poiché il materiale è isotropo, deve accadere che scambiando σ1, σ2, σ3 tra diloro, l'energia complementare di deformazione non deve cambiare:

ψ (σ) =1

2

(S1111σ

21 + S2222σ

22 + S3333σ

23

)+ S1122σ1σ2 + S1133σ1σ3 + S2233σ2σ3

=1

2

(S1111σ

22 + S2222σ

23 + S3333σ

21

)+ S1122σ2σ3 + S1133σ2σ1 + S2233σ3σ1

=1

2

(S1111σ

23 + S2222σ

21 + S3333σ

22

)(6.28)

+ S1122σ3σ1 + S1133σ3σ2 + 2Sσ1σ2

Anché le eguaglianze (6.28) siano vericate, i coecienti elastici devono sod-disfare la relazione:

S1111 = S2222 = S3333 =1

E(6.29)

S1122 = S1133 = S2233 = − νE

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CAPITOLO 6. LEGAME COSTITUTIVO 103

dove E è il modulo di Young e ν è il rapporto di Poisson. In denitiva l'energiacomplementare per un materiale isotropo è:

ψ (σ) =1

2E

[σ2

1 + σ22 + σ2

3 − 2ν (σ1σ2 + σ1σ3 + σ2σ3)]

(6.30)

e dipende solo da due costanti elastiche.Ricordando le espressioni del primo e del secondo invariante di tensione J1

e J2:J1 = σ • I

J2 =1

2

[(σ • I)

2 − σ2 • I] (6.31)

si riconosce che:σ2

1 + σ22 + σ2

3 = J21 − 2J2

σ1σ2 + σ1σ3 + σ2σ3 = J2

per cui l'energia complementare (6.30) si riscrive nella forma equivalente:

ψ (σ) =1

2E

[J2

1 − 2 (1 + ν) J2

](6.32)

6.4.2 Legame tensione-deformazione

Il tensore di deformazione ε si calcola derivando l'energia complementare (6.32):

εkl =∂ψ

∂σkl

=∂ψ

∂J1

∂J1

∂σkl+∂ψ

∂J2

∂J2

∂σkl(6.33)

Poiché si ha:∂ψ

∂J1=

1

EJ1

∂ψ

∂J2= −1 + ν

E

ed inoltre∂J1

∂σkl= δkl

∂J2

∂σkl=

1

2

[2J1δkl −

∂σpqσpq∂σkl

]= J1δkl − σkl

e quindi

εkl =1

EJ1δkl −

1 + ν

E(J1δkl − σkl)

=1

E[(1 + ν)σkl − νJ1δkl] (6.34)

ovvero

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CAPITOLO 6. LEGAME COSTITUTIVO 104

ε =1

E[(1 + ν)σ − ν (σ • I) I] (6.35)

che rappresenta la relazione inversa della (6.21) per il caso di materiale isotropo.In forma matriciale esplicita, la relazione deformazione-tensione (6.35) è:

ε11

ε22

ε33

2ε23

2ε13

2ε12

=

1

E

1 −ν −ν 0 0 0−ν 1 −ν 0 0 0−ν −ν 1 0 0 00 0 0 2(1 + ν) 0 00 0 0 0 2(1 + ν) 00 0 0 0 0 2(1 + ν)

σ11

σ22

σ33

σ23

σ13

σ12

(6.36)

Per ricavare la relazione inversa della (6.35) si opera come segue:

ε • I =

1

E[(1 + ν)σ − ν(σ • I)I]

• I (6.37)

=1

E(1 + ν)σ • I− 1

Eν (σ • I) I • I

=(1 + ν)

Eσ • I− 3

ν

E(σ • I)

=1− 2ν

Eσ • I

per cui

σ • I =E

1− 2νε • I (6.38)

Sostituendo l'espressione (6.38) nella (6.35) si ottiene:

ε =1

E

[(1 + ν)σ − ν E

1− 2ν(ε • I)I

]=

1

E(1 + ν)σ − ν

1− 2ν(ε • I)I

da cui si ricava:

1

E(1 + ν)σ = ε+

ν

1− 2ν(ε • I)I

e quindi:

σ =E

1 + νε+

νE

(1− 2ν) (1 + ν)(ε • I)I (6.39)

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CAPITOLO 6. LEGAME COSTITUTIVO 105

ovvero, in forma matriciale esplicita:

σ11

σ22

σ33

σ23

σ13

σ12

=

E

1 + ν

1− ν1− 2ν

ν

1− 2ν

ν

1− 2ν0 0 0

ν

1− 2ν

1− ν1− 2ν

ν

1− 2ν0 0 0

ν

1− 2ν

ν

1− 2ν

1− ν1− 2ν

0 0 0

0 0 0 1/2 0 00 0 0 0 1/2 00 0 0 0 0 1/2

ε11

ε22

ε33

2ε23

2ε13

2ε12

(6.40)

La quantità:

G =E

2 (1 + ν)

è il modulo elastico a taglio, spesso denominata prima costante di Lamè4. Siintroduce anche la seconda costante di Lamè come:

λ =νE

(1− 2ν) (1 + ν)

E' immediato vericare, applicando la formula (6.35) ovvero la formula(6.39), che per materiali isotropi le direzioni principali di tensione coincidonocon le direzioni principali di deformazione.

6.4.3 Denita positività

Il legame tensione - deformazione appena discusso è noto come legge di Hookeanche se è dovuto fondamentalmente a Navier5. La denita positività di ϕ e ψimplica:

ψ (σ) =1

2E

[σ2

1 + σ22 + σ2

3 − 2ν (σ1σ2 + σ1σ3 + σ2σ3)]> 0 ∀σ1, σ2, σ3 6= 0

che equivale a richiedere che la matrice dei coecienti elastici che fornisce ledeformazioni principali in funzione delle tensioni principali:

ε1

ε2

ε3

=

1

E− νE

− νE

− νE

1

E− νE

− νE

− νE

1

E

σ1

σ2

σ3

4Gabriel Lamé (Tours 1795-Parigi 1870), matematico, sico e ingegnere minerario fran-

cese, trascorse un decennio in Russia per conto del governo francese. Insegnò quindi sicaall'École Polytechnique (1832-44) e calcolo delle probabilità alla Sorbona (dal 1848). Svolseimportanti ricerche sulla teoria dell'elasticità e introdusse l'uso delle coordinate curvilinee insica matematica. Si interessò anche di teoria dei numeri.

5Claude-Louis-Marie Navier (Digione 1785-Parigi 1836), ingegnere francese, contribuìa fondare la scienza delle costruzioni, occupandosi in molti scritti della teoria dell'elasticità,del carico di punta, della essione. Raccolse le sue lezioni nel testo, rimasto famoso, Leçonssur l'application de la mécanique (1826). Progettò uno dei ponti parigini sulla Senna.

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CAPITOLO 6. LEGAME COSTITUTIVO 106

sia denita positiva e cioè:

1

E> 0 ,

1

E2

(1− ν2

)> 0 ,

1

E3

(1− 2ν3 − 3ν2

)> 0

per cui devono essere vericate le seguenti diseguaglianze:

E > 0 1− ν2 > 0 (1 + ν)2

(1− 2ν) > 0 (6.41)

Le diseguaglianze (6.41) equivalgono alle condizioni:

E > 0 , −1 < ν <1

2(6.42)

6.4.4 Determinazione delle costanti elastiche

Per determinare sperimentalmente le costanti elastiche che caratterizzano ilcomportamento dei materiali, si sviluppano semplici prove di laboratorio. Laprima prova che viene eettuata sui materiali è la prova di trazione. Si sottoponeil provino, generalmente di forma cilindrica, ad uno stato tensionale monoassialecostante:

σ =

σ 0 00 0 00 0 0

così che la deformazione corrispondente, per la formula (6.35), vale:

ε11 =σ

Eε22 = −νσ

Eε33 = −νσ

E

mentre gli scorrimenti angolari sono tutti nulli. Si ricava allora il modulo diYoung come:

E =σ

ε11

Si evidenzia che E ha le dimensioni di una tensione. Il rapporto di Poisson sidetermina poi come:

ν = −ε22

ε11= −ε33

ε11

Poiché per la (6.42) è E > 0, quando il provino è soggetto ad una sollecitazione ditrazione, i.e. σ > 0, si ha ε11 > 0 e cioè il materiale risponde con una estensionein direzione e1. D'altra parte, esperienze di laboratorio hanno mostrato che pereetto della trazione in direzione e1 il provino si contrae in direzione ortogonale,e quindi sperimentalmente si verica in generale che il coeciente di Poisson èmaggiore di zero, i.e. ν > 0. Fanno eccezione gli auxetici, materiali innovativisviluppati in laboratori (Portland, USA), per applicazioni soprattutto mediche.Gli auxetici6 sono caratterizzati da coecienti di Poisson negativi; per cui,soggetti a trazione, si dilatano trasversalmente a causa della loro particolaremicrostruttura, come schematicamente mostrato in gura 6.1.

6αυξη accrescimento.

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CAPITOLO 6. LEGAME COSTITUTIVO 107

Figura 6.1: Schema microstrutturale di un materiale standard ed uno auxetico.

Per quanto riguarda la determinazione di ν può essere più agevole calcolarlocome:

ν = 1− E

2G

dove ovviamente si suppone di aver preventivamente determinato G. Per fareciò si considera il provino soggetto a tensione di puro taglio:

σ =

0 τ 0τ 0 00 0 0

così che la deformazione associata vale:

ε =(1 + ν)

E

0 τ 0τ 0 00 0 0

ovvero

ε12 =(1 + ν) τ

E=

1

2Gτ

da cui si ricava il modulo elastico a taglio

2G =τ

ε12

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Capitolo 7

PROBLEMA

DELL'EQUILIBRIO

ELASTICO

Si consideri un corpo deformabile Ω soggetto ad un sistema di sollecitazioneS = b,p, u, costituito da forze di volume b in Ω, forze di supercie p sullaparte di frontiera ∂fΩ ⊆ ∂Ω e a spostamenti assegnati u = u sulla rimanenteparte di frontiera ∂uΩ ⊆ ∂Ω, tale che ∂fΩ ∪ ∂uΩ = ∂Ω con ∂fΩ ∩ ∂uΩ = ∅.

Si suppone che:

• il corpo sia costituito da materiale elastico lineare,

• che gli spostamenti indotti dalle sollecitazioni esterne agenti sul corposiano piccoli, nel senso che |ui,j | << 1.

Il problema dell'equilibrio elastico P consiste nel determinare per il corpo Ωsoggetto alla sollecitazione S la tripletta, detta stato elastico, s = u, ε,σcostituita dal:

• vettore degli spostamenti u (3 incognite),

• dal tensore simmetrico delle deformazioni ε (6 incognite),

• dal tensore simmetrico delle tensioni σ (6 incognite).

A fronte delle 15 funzioni incognite da determinare, sono state scritte nei capitoliprecedenti le equazioni di campo:

• congruenza (3.25) [6 equazioni]:

ε =1

2(∇u +∇uT ) in Ω (7.1)

108

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CAPITOLO 7. PROBLEMA DELL'EQUILIBRIO ELASTICO 109

• equilibrio (4.10) [3 equazioni]:

divσ + b = 0 in Ω (7.2)

• legame costitutivo (6.21) [6 equazioni]:

σ = C [ε] in Ω (7.3)

Le 15 equazioni di campo sono completate con le seguenti condizioni:

• equilibrio (4.20):σ n = p su ∂fΩ (7.4)

• compatibilità:u = u su ∂uΩ (7.5)

Il problema dell'equilibrio elastico così formulato è detto di tipo misto in quantosu una parte della frontiera di Ω è assegnato il carico p, mentre sulla restanteparte è assegnato lo spostamento u.

Si evidenzia che tutte le equazioni che governano il problema dell'equilibrioelastico P sono lineari. Si dimostra che la soluzione del problema dell'equilibrioelastico esiste ed è unica. La dimostrazione dell'esistenza della soluzione non èsemplice e non viene qui riportata. L'unicità della soluzione è invece dimostratadi seguito.

7.1 Principio di sovrapposizione degli eetti

Sulla base delle ipotesi di piccoli gradienti di spostamento e legame costitutivoelastico lineare, introdotte nel formulare il problema dell'equilibrio elastico Pgovernato dalle equazioni (7.1)-(7.5), vale il principio di sovrapposizione deglieetti: gli spostamenti, le deformazioni e le tensioni prodotti da più sistemi disollecitazioni esterne agenti contemporaneamente sono uguali, rispettivamente,alla somma degli spostamenti, delle deformazioni e delle tensioni prodotte daisingoli sistemi di sollecitazione, pensati agenti separatamente.

Si consideri il corpo Ω soggetto a due sistemi di sollecitazioni esterne:

S1 = (b1 in Ω , p1 su ∂fΩ , u1 su ∂uΩ)

S2 = (b2 in Ω , p2 su ∂fΩ , u2 su ∂uΩ)

Si indichino con s1 =u1, ε1,σ1

ed s2 =

u2, ε2,σ2

gli stati elastici soluzione

dei problemi dell'equilibrio elastico P1 e P2 corrispondenti rispettivamente aicasi di sollecitazione S1 ed S2:

s1 =u1, ε1,σ1

: ε1 = 1

2 (∇u1 +(∇u1

)T) in Ω

divσ1 + b1 = 0 in Ωσ1 = C

[ε1]

in Ωσ1 n = p1 su ∂fΩu1 = u1 su ∂uΩ

(7.6)

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CAPITOLO 7. PROBLEMA DELL'EQUILIBRIO ELASTICO 110

s2 =u2, ε2,σ2

: ε2 = 1

2 (∇u2 +(∇u2

)T) in Ω

divσ2 + b2 = 0 in Ωσ2 = C

[ε2]

in Ωσ2 n = p2 su ∂fΩu2 = u2 su ∂uΩ

(7.7)

Poiché il problema dell'equilibrio elastico è governato da un sistema di equa-zioni dierenziali di tipo lineare, sommando membro a membro le rispettiveequazioni riportate (7.6) e (7.7), si ha:

ε1 + ε2 = 12 ([∇(u1 + u2

)+∇

(u1 + u2

)T ]in Ω

div(σ1 + σ2

)+ b1 + b2 = 0 in Ω(

σ1 + σ2)

= C[ε1 + ε2

]in Ω(

σ1 + σ2)

n = p1 + p2 su ∂fΩu1 + u2 = u1 + u2 su ∂uΩ

(7.8)

Supponendo allora che i due sistemi di sollecitazione esterna agiscono con-temporaneamente, il corpo Ω è soggetto a:

S = S1 + S2 = (b1 + b2 in Ω, p1 + p2 su ∂fΩ, u1 + u2 su ∂uΩ) (7.9)

La soluzione s = u, ε,σ del problema dell'equilibrio elastico P = P1 + P2,relativo al corpo Ω soggetto alla sollecitazione S = S1 + S2, deve soddisfare leequazioni (7.8) e quindi deve accadere che:

u = u1 + u2 , ε = ε1 + ε2 , σ = σ1 + σ2 (7.10)

ovvero s = s1 + s2.Si evidenzia ancora che il principio di sovrapposizione degli eetti sussiste

in virtù della linearità degli operatori dierenziali coinvolti nelle equazioni dicongruenza, di equilibrio e del legame costitutivo.

7.2 Unicità della soluzione del problema dell'e-

quilibrio elastico

La dimostrazione dell'unicità della soluzione del problema dell'equilibrio elasti-co è dovuta a Kirchho1. Si supponga che ad un sistema di sollecitazione S

1Gustav Robert Kirchho (Königsberg, oggi Kaliningrad 1824 - Berlino 1887), si-co tedesco. Conclusi gli studi all'università di Königsberg, divenne professore di sica alleuniversità di Breslavia, Heidelberg e Berlino. In collaborazione con il chimico tedesco Ro-bert Wilhelm Bunsen, mise a punto un moderno spettroscopio che permetteva di riconoscereun elemento in base all'analisi della luce emessa o assorbita; le ricerche dei due scienziaticulminarono nella scoperta di due nuovi elementi: il cesio e il rubidio.Kirchho condusse inoltre importanti indagini sul trasferimento di calore per irraggiamento

e, nell'ambito dell'elettricità, enunciò le due semplici regole (note come principi di Kirchho)che permettono il calcolo delle intensità di corrente elettrica lungo i singoli rami di un cir-cuito. Sviluppò anche studi fondamentali sulla teoria dell'elasticità, ed in particolare sullamodellazione di piastre e gusci.

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CAPITOLO 7. PROBLEMA DELL'EQUILIBRIO ELASTICO 111

siano associate, come soluzioni del problema dell'equilibrio elastico P, due statielastici:

S ⇒ s1 =u1, ε1,σ1

e s2 =

u2, ε2,σ2

Per il principio di sovrapposizione degli eetti, lo stato elastico dierenza:

s∗ = u∗, ε∗,σ∗ = s1 − s2 =u1 − u2, ε1 − ε2,σ1 − σ2

è associato ad un sistema di sollecitazione S∗ nullo, corrispondente cioè a forzedi volume nulle, a forze di supercie nulle su ∂fΩ ed a spostamenti assegnatinulli su ∂uΩ.

Si applichi ora il principio dei lavori virtuali, relativamente allo stato disollecitazione eettivo S∗, e di tensione e di deformazione eettivi s∗.

Poiché lo stato di sollecitazione S∗ è nullo, allora il lavoro virtuale esterno ènullo.

Lve = 0 (7.11)

Il lavoro virtuale interno vale:

Lvi =

ˆΩ

σ∗ • ε∗dV =

ˆΩ

C [ε∗] • ε∗dV =

ˆΩ

C[ε1 − ε2

]•(ε1 − ε2

)dV (7.12)

Eguagliando il lavoro virtuale esterno (7.11) con quello interno (7.12) si ottiene:

0 =

ˆΩ

C[ε1 − ε2

]•(ε1 − ε2

)dV (7.13)

D'altra parte, nella denizione del legame costitutivo si è supposto che iltensore di elasticità C fosse denito positivo (6.26), per cui deve accadere che:

C[ε1 − ε2

]•(ε1 − ε2

)> 0 ∀

(ε1 − ε2

)6= 0 (7.14)

Confrontando la relazione (7.13) con la (7.14) se ne deduce che i campi di defor-mazioni ε1 ed ε2 corrispondenti al medesimo sistema di sollecitazione S non de-vono dierire l'uno dall'altro, ovvero deve accadere che ε1 = ε2. Per l'equazionedel legame costitutivo (7.3), allora si ha:

σ1 = C[ε1]

= C[ε2]

= σ2 (7.15)

Così anche, i campi di spostamenti u1 ed u2 che corrispondono alla stessa de-formazione ε1 = ε2 possono al più dierire di un moto rigido del corpo Ω. Nelcaso specico considerato, ove si è supposto che su una parte di frontiera ∂uΩsiano assegnati gli spostamenti, non sono possibili moti rigidi di Ω per cui si hache u1 = u2.

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CAPITOLO 7. PROBLEMA DELL'EQUILIBRIO ELASTICO 112

7.3 Teorema di Clapeyron

Si pone ora il problema di voler valutare l'energia elastica di deformazione im-magazzinata in un corpo Ω soggetto all'assegnato sistema di sollecitazione S.Tale energia è fornita direttamente dalla formula:

E =

ˆΩ

ϕ dV =1

2

ˆΩ

C [ε] • ε dV (7.16)

Il teorema che segue fu dimostrato da Clapeyron2, e si enuncia come segue:Il lavoro di deformazione di un solido elastico lineare sollecitato da forze agen-ti staticamente è pari alla metà del lavoro che tali forze compirebbero per glispostamenti eettivi se conservassero costantemente la loro intensità nale.

Si applichi il principio dei lavori virtuali considerando come sistema di spo-stamento, di deformazione e di tensione lo stato elastico s = u, ε,σ soluzionedel problema dell'equilibrio elastico P. In questo caso si ha:

Lve =

ˆΩ

b • u dV +

ˆ∂fΩ

p • u dA+

ˆ∂uΩ

σn•u dA

Lvi =

ˆΩ

σ • ε dV =

ˆΩ

C [ε] • ε dV

Uguagliando il lavoro virtuale esterno con il lavoro virtuale interno si ottiene:ˆ

Ω

b • u dV +

ˆ∂fΩ

p • u dA+

ˆ∂uΩ

σn•u dA =

ˆΩ

C [ε] • ε dV (7.17)

Confrontando l'espressione dell'energia interna fornita dalla (7.16) con la for-mula ricavata dall'applicazione del principio dei lavori virtuali (7.17) si pervieneall'equazione:

E =1

2

[ˆΩ

b • u dV +

ˆ∂fΩ

p • u dA+

ˆ∂uΩ

σn•u dA

]

7.4 Teorema di Betti

Siano S1 =b1,p1, u1

ed S2 =

b2,p2, u2

due dierenti sistemi di sollecita-

zioni agenti sul medesimo corpo Ω e siano s1 =u1, ε1,σ1

ed s2 =

u2, ε2,σ2

i due stati elastici soluzioni dei corrispondenti problemi dell'equilibrio elastico.

Betti dimostrò che:Il lavoro L12 compiuto dal sistema di sollecitazione S1 per gli spostamenti u2

provocati da un secondo sistema di sollecitazione S2 è uguale al lavoro L21

compiuto dal sistema S2 per gli spostamenti u1 provocati dal sistema S1.

2Benoit-Paul-Emile Clapeyron (Parigi 1799- 1864), ingegnere e sico francese. Tra il1820 e il 1830 fu a Pietroburgo, professore alla Scuola superiore dei lavori pubblici. Di ritornoin Francia, si occupò di costruzioni stradali e ferroviarie, di macchine termiche e soprattuttodi scienza delle costruzioni e teoria meccanica del calore.

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CAPITOLO 7. PROBLEMA DELL'EQUILIBRIO ELASTICO 113

In formula: ˆΩ

b1 • u2 dV +

ˆ∂fΩ

p1 • u2 dA+

ˆ∂uΩ

σ1n • u2 dA (7.18)

=

ˆΩ

b2 • u1 dV +

ˆ∂fΩ

p2 • u1 dA+

ˆ∂uΩ

σ2n • u1 dA

Il teorema di Betti3 si dimostra ricorrendo al principio dei lavori virtuali.Infatti, si ha:

L12 =

ˆΩ

b1 • u2 dV +

ˆ∂fΩ

p1 • u2 dA+

ˆ∂uΩ

σ1n • u2 dA (7.19)

=

ˆΩ

σ1 • ε2 dV =

ˆΩ

C[ε1]• ε2 dV

=

ˆΩ

C[ε2]• ε1 dV =

ˆΩ

σ2 • ε1 dV

=

ˆΩ

b2 • u1 dV +

ˆ∂fΩ

p2 • u1 dA+

ˆ∂uΩ

σ2n • u1 dA = L21

Si evidenzia che nella dimostrazione del teorema di Betti si è utilizzata la pro-prietà di simmetria maggiore del tensore elastico C, ovvero il materiale deveessere iperelastico.

Il teorema di Betti si può dimostrare anche calcolando l'energia immagaz-zinata nel corpo Ω. Infatti, si supponga che Ω sia soggetto a due storie dicarico:

1. agisce solo la sollecitazione S1 e successivamente agisce anche S2,

2. agisce solo la sollecitazione S2 e successivamente agisce anche S1.

L'energia calcolata nei due casi sarà:

E′

=1

2

[ˆΩ

b1 • u1 dV +

ˆ∂fΩ

p1 • u1 dA+

ˆ∂uΩ

σ1n • u1 dA

](7.20)

+

ˆΩ

b1 • u2 dV +

ˆ∂fΩ

p1 • u2 dA+

ˆ∂uΩ

σ1n • u2 dA

+1

2

[ˆΩ

b2 • u2 dV +

ˆ∂fΩ

p2 • u2 dA+

ˆ∂uΩ

σ2n • u2 dA

]3Enrico Betti (Pistoia 1823-Pisa 1892), matematico italiano. Professore dal 1867 al-

l'Università di Pisa, deputato (1862) e senatore (1884). Fondatore della scuola italiana dimatematica, fu maestro di U. Dini, L. Bianchi, V. Volterra. Studiò inizialmente problemi dialgebra e la teoria delle funzioni ellittiche, sviluppò e chiarì la teoria delle equazioni di E.Galois dando dimostrazioni per risultati che vi erano solo enunciati. In seguito diede notevolicontributi anche alla sica matematica, in particolare alla teoria dell'elasticità.

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CAPITOLO 7. PROBLEMA DELL'EQUILIBRIO ELASTICO 114

Figura 7.1: Teorema di Betti.

E′′

=1

2

[ˆΩ

b2 • u2 dV +

ˆ∂fΩ

p2 • u2 dA+

ˆ∂uΩ

σ2n • u2 dA

](7.21)

+

ˆΩ

b2 • u1 dV +

ˆ∂fΩ

p2 • u1 dA+

ˆ∂uΩ

σ2n • u1 dA

+1

2

[ˆΩ

b1 • u1 dV +

ˆ∂fΩ

p1 • u1 dA+

ˆ∂uΩ

σ1n • u1 dA

]

Poiché il materiale che compone il corpo è iperelastico, le due energie devonoassumere lo stesso valore, da cui si deduce l'equazione (7.18).

Allo scopo di rendere più chiare le espressioni (7.20) e (7.21), si considerauna trave soggetta a due forze F1 ed F2, come illustrato in gura 7.1.

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CAPITOLO 7. PROBLEMA DELL'EQUILIBRIO ELASTICO 115

Per eetto della forza F1 la sezione S1 subisce uno spostamento v1S1. L'e-nergia elastica immagazzinata dal sistema vale per il teorema di Clapeyron:

E′1 =1

2F1v1S1 (7.22)

Quindi, successivamente agisce la forza F2. La sezione S1 subisce un ulteriorespostamento v2s1, mentre la sezione S2 subisce lo spostamento v2s2. L'energiaelastica immagazzinata dal sistema, per il teorema di Clapeyron, vale:

E′2 = F1v2S1 +1

2F2v2S2 (7.23)

L'energia totale si determina sommando le quantità calcolate tramite le (7.22)e (7.23):

E′ = E′1 + E′2 =1

2F1v1S1 + F1v2S1 +

1

2F2v2S2 (7.24)

Analogamente applicando prima la forza F2 e poi la forza F1, l'energia vale:

E′′ =1

2F2v2S2 + F2v1S2 +

1

2F1v1S1 (7.25)

Da cui il teorema di Betti:

E′ = E′′ ⇒ F1v2S1 = F2v1S2 (7.26)

7.5 Equazioni di Navier

Le equazioni di Navier forniscono la formulazione agli spostamenti per il pro-blema dell'equilibrio elastico di un corpo isotropo.

Sostituendo le equazioni di congruenza (7.1) nelle relazioni costitutive perun materiale isotropo (6.40), si ottiene:

σij =E

2 (1 + ν)(ui,j + uj,i) (7.27)

+νE

(1− 2ν) (1 + ν)(u1,1 + u2,2 + u3,3)δij

= µ (ui,j + uj,i) + λ(u1,1 + u2,2 + u3,3)δij

avendo posto

µ =E

2 (1 + ν), λ =

νE

(1− 2ν) (1 + ν)

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CAPITOLO 7. PROBLEMA DELL'EQUILIBRIO ELASTICO 116

Tenuto conto delle (7.27), le equazioni indenite di equilibrio (7.2), assumonola forma esplicita:

0 = σij,j + bi

=∂

∂xj[µ (ui,j + uj,i) + λ(u1,1 + u2,2 + u3,3)δij ] + bi

= µ (ui,jj + uj,ij) + λ(u1,1j + u2,2j + u3,3j)δij + bi

= µ ui,jj + (µ+ λ) uj,ji + bi

= µ ∆ui + (µ+ λ) (divu),i + bi

In denitiva si ottiene l'equazione di Navier:

µ∆u + (µ+ λ)∇divu + b = 0 (7.28)

completata con le solite condizioni al contorno (7.4) e (7.5), che si riscrivonocome:

E

1 + ν

[1

2

(∇u + (∇u)

T)

1− 2ν(I • ∇u)I

]n = p su ∂fΩ

u = u su ∂uΩ(7.29)

Si chiamano inne soluzioni universali i campi di spostamento u soluzionedi un problema dell'equilibrio elastico con forze esterne nulle (b = 0,p = 0),per le quali accade che l'equazione di Navier (7.28) sia soddisfatta nel senso:

u :

∆u = 0∇divu = 0

Tali soluzioni sono dette universali in quanto pure cambiando i modulielastici del materiale, legati a µ e λ, esse non cambiano.

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Capitolo 8

IL PROBLEMA DI

SAINT-VENANT

8.1 Posizione del problema

Saint-Venant1 considerò un particolare problema dell'equilibrio elastico.

8.1.1 Ipotesi geometriche

Il corpo tridimensionale oggetto di studio è un cilindro retto Ω limitato dettotrave. Nel seguito sono utilizzate le seguenti notazioni:

• A indica la sezione retta della trave, ipotizzata costante lungo tutta lalunghezza,

• ∂A è la frontiera della sezione retta della trave,

• L rappresenta la lunghezza della trave,

• xi (i=1,2,3) sono le coordinate del generico punto secondo un riferimentocartesiano,

• ei (i=1,2,3) sono i versori degli assi di riferimento.

1Adhémar-Jean-Claude Barré de-Saint-Venant (Villiers-en-Brie 1797-Saint-Ouen1886), ingegnere e matematico francese. Matematico e ingegnere all'École des Ponts et Chaus-sées e professore all'Istituto Agronomico di Versailles (1848-54), fu dal 1868 membro dell'Ac-cademia delle Scienze. Occupatosi di geometria analitica, ottenne i più signicativi risultatinello studio della resistenza dei materiali e della teoria dell'elasticità, di cui è considerato unodei fondatori. Di fondamentale importanza furono i suoi lavori sull'equilibrio dei corpi elasticicilindrici sollecitati sulle due basi (problema di Saint-Venant) e sulle applicazioni pratiche.Tali studi, insieme alle condizioni di congruenza e compatibilità che da lui presero nome,hanno posto le basi della Scienza delle Costruzioni.

117

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CAPITOLO 8. IL PROBLEMA DI SAINT-VENANT 118

Figura 8.1: Schema della trave.

Il sistema di riferimento è scelto in modo che e1 e2 descriva il piano della sezionedi estremità A0 della trave con e3 = e1 × e2.

La sezione terminale AL della trave, individuata dall'ascissa x3 = L. Sisuppone che l'origine del sistema di riferimento sia il baricentro della sezionedi estremità A0. In tal modo l'asse x3 intercetta le sezioni rette sempre neiloro baricentri. In gura 8.1 è riportato lo schema della trave con il sistema diriferimento scelto.

8.1.2 Ipotesi di carico

Si suppone che la trave sia soggetta a forze di volume nulle (non abbia peso),sia scarica sul mantello laterale e sia soggetta ad un sistema di carico solo sullebasi di estremità. In formule:

• b = 0 in Ω , (forze di volume nulle)

• p = 0 su S = ∂A×]0, L[ , (forze di supercie nulle sul mantello)

• p = p0 su A0, p = pL su AL . (forze di supercie sulle basi)

8.1.3 Ipotesi sulla natura del materiale

Si considera il caso in cui il materiale che compone la trave sia:

• omogeneo,

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CAPITOLO 8. IL PROBLEMA DI SAINT-VENANT 119

• elastico lineare,

• isotropo.

8.1.4 Ipotesi sul tipo di analisi da condurre

Si suppone valida l'ipotesi:

• piccoli gradienti di spostamento (piccoli spostamenti e piccole deformazio-ni).

Essendo la trave libera nello spazio, ovvero non vincolata, il sistema di carichiesterni dovrà rispettare le equazioni cardinali della statica nella congurazioneindeformata: ˆ

A0

p0 dA+

ˆAL

pL dA = 0 (8.1)

ˆA0

r× p0 dA+

ˆAL

r× pL dA = 0

con r vettore che individua il generico punto delle sezioni terminali della trave.

8.2 Problema dell'equilibrio elastico

Resta allora da determinare lo stato elastico s = u, ε,σ ovvero la triplettacostituita dal campo degli spostamenti u, dal campo delle deformazioni ε e daquello simmetrico delle tensioni σ.

Le equazioni che governano il problema dell'equilibrio elastico (7.1)-(7.5)assumono la forma:

equazioni di campo:

• congruenza

2ε = ∇u + (∇u)T

in Ω (8.2)

• equilibrio

div (σ) = 0 in Ω (8.3)

• legame costitutivo

ε =1

E[(1 + ν)σ − ν(σ • I)I] in Ω (8.4)

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CAPITOLO 8. IL PROBLEMA DI SAINT-VENANT 120

condizioni al contorno:

• mantello scarico

σ n = 0 su S (8.5)

• carico sulla base A0

σ(−e3

)= p0 su A0 (8.6)

• carico sulla base AL

σ e3 = pL su AL (8.7)

essendo n la normale uscente da S nel generico punto del mantello della trave.

8.3 Principio fondamentale di Saint-Venant

Il problema dell'equilibrio elastico appena formulato, governato dalle equazioni(8.2)-(8.7) risulta allora dicile se non impossibile da risolvere. Soccorre aquesto punto il principio fondamentale di Saint-Venant, che così recita:nei punti del solido che sono a suciente distanza dall'elemento supercialesede di applicazione dei carichi esterni, lo stato di tensione non dipende dallaparticolare distribuzione di tali carichi ma solo dalla risultante e dal momentorisultante di tali carichi.

Tale principio consente di sostituire alle condizioni puntuali al contorno (8.6)e (8.7), le condizioni globali fra risultante e momento risultante delle tensioniche emergono sulle basi e risultante e momento risultante dei carichi esterniapplicati su tali basi.

In formule, le (8.6) e (8.7) sono sostituite dalle:

ˆA0

σ(−e3

)dA =

ˆA0

p0 dA (8.8)

ˆA0

x× σ(−e3

)dA =

ˆA0

x× p0 dA

ˆAL

σ e3 dA =

ˆAL

pL dA (8.9)

ˆAL

x× σ e3 dA =

ˆAL

x× pL dA

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CAPITOLO 8. IL PROBLEMA DI SAINT-VENANT 121

dove x = xαeα il vettore che individua il generico punto della sezione retta dellatrave. Si avverte che, come al solito, gli indici greci assumono valore 1, 2 edinoltre si utilizza la convenzione che gli indici ripetuti si intendono sommati. Sievidenzia che il vettore posizione x presente nelle (8.8) e (8.9) ha, nel riferimentoscelto, la terza componente nulla.

La distanza oltre la quale sono trascurabili gli eetti locali provocati dallaparticolare distribuzione di carico sulle basi è detta distanza di estinzione. Sidimostra che la distanza di estinzione è simile alla maggiore delle dimensionidella sezione retta della trave.

La validità del principio di Saint-Venant può cadere in difetto quando lasezione non è compatta. Si dice compatta la sezione per la quale accade chela lunghezza di una generica corda, posta tra due punti qualsiasi della curva dibordo della sezione, è dello stesso ordine di grandezza del più piccolo segmentocurvilineo che collega i due punti lungo la curva di bordo. Ciò non accade perle sezioni in parete sottile.

8.4 Sollecitazioni semplici

Le risultanti ed i momenti risultanti agenti sulle basi della trave valgono:

R0 =

ˆA0

p0 dA M0 =

ˆA0

x× p0 dA (8.10)

R =

ˆAL

pL dA M =

ˆAL

x× pL dA

Le equazioni di equilibrio globali della trave (8.1) forniscono:

R0 + R = 0 M0 + M + Le3 ×R = 0

per cui note che siano R e M si determinano, per equilibrio, R0 ed M0.Si distinguono quattro casi di sollecitazione semplice agenti su AL:

I sforzo normale agisce solo N = R • e3

I essione agisce solo Mf = (M • eα) eα

I torsione agisce solo M t = M • e3

I taglio e essione agisce solo V = (R • eα) eα

Le caratteristiche della sollecitazione su AL si esprimono in funzione delle

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CAPITOLO 8. IL PROBLEMA DI SAINT-VENANT 122

tensioni interne tenendo conto delle (8.9) e delle (8.10) come:

N =

ˆAL

σ33 dA (8.11)

Mf =

ˆAL

x× e3σ33 dA

M t =

(ˆAL

x× eασ3α dA

)• e3

V =

ˆAL

σ3α eαdA

8.5 Metodo seminverso

Il problema denito per ognuna delle sollecitazioni semplici resta comunquedicile da risolvere. Saint-Venant propose di utilizzare allora il metodo dettoseminverso. Esso consiste nel postulare, sulla base di considerazioni intuitive,alcuni aspetti delle grandezze da determinare (spostamenti, tensioni) lasciandoincogniti i rimanenti. A posteriori si verica la consistenza delle ipotesi fattee si determinano le parti incognite utilizzando le equazioni che governano ilproblema. Si ottiene in tal modo la soluzione, detta di Saint-Venant, di unaclasse di problemi dell'equilibrio elastico caratterizzati dalle stesse risultanti emomenti risultanti agenti sulle basi del solido.

In base a tale metodologia, si assume in tutti e quattro i casi di sollecitazionesemplice

σαβ = 0 (8.12)

Ciò equivale a considerare la trave come un insieme di li paralleli all'asse x3

soggetti ad una tensione normale σ33, che si scambiano fra loro al più tensionitangenziali σα3.

8.5.1 Equilibrio

Sotto l'ipotesi denita dalla relazione (8.12) le equazioni di equilibrio (8.1)diventano:

σ13,3 = 0 (8.13)

σ23,3 = 0

σ13,1 + σ23,2 + σ33,3 = 0

Le prime due delle (8.13) stabiliscono che σα3 è costante lungo l'asse della trave.La terza delle (8.13) assicura allora che σ33 è al più lineare in x3.

Le condizioni al bordo (8.5), sul mantello S, della trave diventano:

0 = 0 (8.14)

0 = 0

σ13n1 + σ23n2 = 0

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CAPITOLO 8. IL PROBLEMA DI SAINT-VENANT 123

ovvero le prime due sono identicamente soddisfatte.

8.5.2 Legame costitutivo

Tenuto conto dell'ipotesi (8.12) sullo stato tensionale, le equazioni del legamecostitutivo (8.4) si semplicano in:

ε11 = − νEσ33 (8.15)

ε22 = − νEσ33

ε33 =1

Eσ33

2ε23 =1

Gσ23

2ε13 =1

Gσ13

2ε12 = 0

8.5.3 Congruenza

Si riportano ora le equazioni indenite di congruenza (3.50):

ε12,32 − ε13,22 = ε22,31 − ε23,21

ε12,33 − ε13,23 = ε32,31 − ε33,21

ε22,33 − ε23,23 = ε32,32 − ε33,22

ε11,32 − ε13,12 = ε21,31 − ε23,11

ε11,33 − ε13,13 = ε31,31 − ε33,11

ε11,22 − ε12,12 = ε21,21 − ε22,11

(8.16)

Tenendo conto che per le equazioni (8.13) e (8.15) si ha:

ε12 = 0 (8.17)

ε23,3 =1

2Gσ23,3 = 0

ε13,3 =1

2Gσ13,3 = 0

Per le (8.17), le (8.16) riscritte in ordine dierente forniscono:

ε11,22 + ε22,11 = 0 (8.18)

ε11,33 + ε33,11 = 0

ε22,33 + ε33,22 = 0

(ε13,2 − ε23,1),1 = ε11,32

− (ε13,2 − ε23,1),2 = ε22,31

ε33,21 = 0

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CAPITOLO 8. IL PROBLEMA DI SAINT-VENANT 124

ed in termini di tensioni assumono la forma:

σ33,22 + σ33,11 = 0 (8.19)

−ν σ33,33 + σ33,11 = 0

−ν σ33,33 + σ33,22 = 0

(σ13,2 − σ23,1),1 = − ν

1 + νσ33,23

− (σ13,2 − σ23,1),2 = − ν

1 + νσ33,13

σ33,12 = 0

Se ne deduce allora:

σ33,11 = σ33,22 = σ33,33 = σ33,12 = 0

per cui σ33 ammette la forma di rappresentazione:

σ33 = go + g1x1 + g2x2 + (ho + h1x1 + h2x2) x3 (8.20)

= go + g • x + (ho + h • x) x3

essendo go, g1, g2, ho, h1, h2 costanti ed x = xαeα.

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Capitolo 9

SFORZO NORMALE E

MOMENTO FLETTENTE

9.1 Sollecitazione di sforzo normale e momento

ettente

Si esamina il caso in cui la risultante ed il momento risultante agenti sulla basedella trave x3 = L consistano in una forza N in direzione e3 (sforzo normale)ed una coppia Mf ortogonale ad e3 (momento ettente).

9.1.1 Stato tensionale

Dovendo risultare V = 0 eM t = 0, ricordando le (8.11) si può supporre (metodoseminverso) che σα3 = 0 per x3 = L. Le prime due equazioni di equilibrio (8.13)assicurano allora che σα3 = 0 ∀x3 ∈]0, L[. Ne deriva che in tutti i punti dellatrave:

σ =

0 0 00 0 00 0 σ33

(9.1)

Inoltre, la terza delle (8.13) diventa:

σ33,3 = 0 (9.2)

per cui σ33 è costante lungo l'asse x3, ed è quindi funzione solo di x1 e x2.Allora, tenuto conto della (9.2), la (8.20) si particolarizza nella:

σ33 = go + g1x1 + g2x2 (9.3)

= go + g • x

Lo sforzo normale N ed il vettore momento ettente Mf , determinati intermini di tensioni interne dalle (8.11), per la forma di rappresentazione (9.3)

125

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CAPITOLO 9. SFORZO NORMALE E MOMENTO FLETTENTE 126

della tensione normale, valgono rispettivamente:

N =

ˆAL

σ33 dA =

ˆAL

(go + g1x1 + g2x2) dA (9.4)

= goA+ g1S1 + g2S2 = goA (9.5)

Mf1 =

ˆAL

x2σ33 dA =

ˆAL

x2 (go + g1x1 + g2x2) dA (9.6)

= g1J12 + g2J22 (9.7)

Mf2 = −

ˆAL

x1σ33 dA = −ˆAL

x1 (go + g1x1 + g2x2) dA

= − (g1J11 + g2J12) (9.8)

essendo J11 J22 J12 le componenti della matrice d'inerzia J ed S1 S2 le compo-nenti del vettore momento statico S che, poiché il riferimento scelto è baricen-trico, risulta essere nullo. Posto

M⊥ =

−Mf

2

Mf1

=

g1J11 + g2J12

g1J12 + g2J22

=

[J11 J12

J12 J22

]g1

g2

le relazioni (9.4) e (9.6) possono essere riscritte nella forma equivalente:

N = goA (9.9)

M⊥ = J g

da cui si ricava:

go =N

A(9.10)

g = J−1M⊥ (9.11)

e quindi, tenuto conto della (9.3):

σ33 =N

A+ J−1M⊥ • x (9.12)

Dunque la forma dello stato tensionale ipotizzata tramite le (9.1) e (9.3) èidonea a rappresentare le caratteristiche della sollecitazione di sforzo normale emomento ettente.

Nel caso siano stati scelti gli assi del sistema di riferimento principali d'i-nerzia, la matrice di inerzia è caratterizzata dal fatto che J12 = 0. In talcaso, la determinazione della inversa di J risulta immediata e la forma (9.12) sispecializza in:

σ33 =N

A− Mf

2

J11x1 +

Mf1

J22x2 (9.13)

E' consuetudine nella pratica tecnica utilizzare la denizione dei momentid'inerzia rispetto agli assi coordinati piuttosto di quelli lungo gli assi coordinati:

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CAPITOLO 9. SFORZO NORMALE E MOMENTO FLETTENTE 127

• momento d'inerzia lungo l'asse x1 ovvero rispetto all'asse x2:ˆAx2

1 dA = J11 = I22

• momento d'inerzia lungo l'asse x2 ovvero rispetto all'asse x1:ˆAx2

2 dA = J22 = I11

Sulla base di tali denizioni, la formula (9.13) diventa:

σ33 =N

A+Mf

1

I11x2 −

Mf2

I22x1 (9.14)

La verica delle condizioni ai limiti sul mantello della trave è immediata: 0 0 00 0 00 0 σ33

n1

n2

0

=

000

su S (9.15)

9.1.2 Legame costitutivo

Per determinare il campo di spostamenti associato allo stato tensionale (9.12),è necessario calcolare il tensore di deformazione, utilizzando le equazioni costi-tutive, e quindi integrarne le componenti.

Poiché la trave è supposta realizzata in materiale elastico lineare isotropo,per le (8.15) e (9.1), si ha:

ε11 = ε22 = − νEσ33 ε33 =

1

Eσ33 ε23 = ε13 = ε12 = 0 (9.16)

Il campo di deformazione determinato è lineare nelle coordinate x1 e x2 edè costante rispetto a x3; ne consegue che le equazioni di congruenza interna(8.16) sono sicuramente soddisfatte. Esiste allora un campo di spostamenti lacui parte simmetrica del gradiente fornisce le deformazioni determinate tramitele relazioni di legame (9.16).

9.1.3 Spostamenti

Tenuto conto del legame spostamento-deformazione, ovvero dell'equazione dicongruenza (8.2), e della (9.3), le (9.16) possono essere espresse come:

u1,1 = − νE

(go + g • x) (9.17)

u2,2 = − νE

(go + g • x)

u3,3 =1

E(go + g • x)

u2,3 + u3,2 = 0

u1,3 + u3,1 = 0

u1,2 + u2,1 = 0

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CAPITOLO 9. SFORZO NORMALE E MOMENTO FLETTENTE 128

La terza delle (9.17) fornisce allora:

u3 =1

E(go + g1x1 + g2x2)x3 + c3(x1, x2) (9.18)

che sostituita nella quinta e nella quarta delle (9.17) conduce a:

u1,3 = −u3,1 = − 1

Eg1x3 − c3,1(x1, x2) (9.19)

u2,3 = −u3,2 = − 1

Eg2x3 − c3,2(x1, x2)

Integrando le (9.19) rispetto alla variabile x3, si ha:

u1 = − 1

2Eg1x

23 − x3c3,1(x1, x2) + c1(x1, x2) (9.20)

u2 = − 1

2Eg2x

23 − x3c3,2(x1, x2) + c2(x1, x2)

La prima e la seconda delle (9.17), tenuto conto delle espressioni di u1 ed u2

ottenute dalle (9.20), forniscono:

u1,1 = −x3c3,11(x1, x2) + c1,1(x1, x2) = − νE

(go + g1x1 + g2x2) (9.21)

u2,2 = −x3c3,22(x1, x2) + c2,2(x1, x2) = − νE

(go + g1x1 + g2x2)

Dovendo la (9.21) essere vera per ogni valore di x3, deve accadere che c3,11(x1, x2) =c3,22(x1, x2) = 0, per cui:

c1,1(x1, x2) = − νE

(go + g1x1 + g2x2) (9.22)

c2,2(x1, x2) = − νE

(go + g1x1 + g2x2)

che integrate, forniscono:

c1(x1, x2) = − νE

(gox1 +

1

2g1x

21 + g2x2x1

)+ d1(x2) (9.23)

c2(x1, x2) = − νE

(gox2 + g1x1x2 +

1

2g2x

22

)+ d2(x1)

per cui la (9.20) diventa:

u1 = − 1

2Eg1x

23 − x3c3,1(x1, x2) (9.24)

− νE

(gox1 +

1

2g1x

21 + g2x2x1

)+ d1(x2)

u2 = − 1

2Eg2x

23 − x3c3,2(x1, x2)

− νE

(gox2 + g1x1x2 +

1

2g2x

22

)+ d2(x1)

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CAPITOLO 9. SFORZO NORMALE E MOMENTO FLETTENTE 129

Inne la sesta delle (9.17), viste le (9.24), conduce a:

0 = u1,2 + u2,1 (9.25)

= −2x3c3,12(x1, x2)− ν

Eg2x1 −

ν

Eg1x2 + d1,2(x2) + d2,1(x1)

Dovendo la (9.25) essere vera per ogni valore di x3, deve accadere che c3,12 = 0.Se ne deduce allora che:

d1,2(x2) =ν

Eg1x2 d2,1(x1) =

ν

Eg2x1 (9.26)

che integrate forniscono:

d1(x2) =ν

2Eg1x

22 + f1 (9.27)

d2(x1) =ν

2Eg2x

21 + f2

inoltre, ricordando che c3,11 = c3,22 = c3,12 = 0 deve essere:

c3 = x1f31 + x2f32 + f3 (9.28)

dove f1, f2, f3, f31, f32 sono costanti rispetto a tutte le variabili. In denitiva lecomponenti di spostamento sono:

u1 = − 1

2Eg1

[x2

3 + ν(x2

1 − x22

)]− ν

E(go + g2x2)x1 − x3f31 + f1

u2 = − 1

2Eg2

[x2

3 + ν(x2

2 − x21

)]− ν

E(go + g1x1)x2 − x3f32 + f2

u3 =1

E(go + g1x1 + g2x2)x3 + x1f31 + x2f32 + f3 (9.29)

In forma matriciale la (9.29) si scrive come: u1

u2

u3

=1

2E

−x23 − ν

(x2

1 − x22

)−2 ν x1x2

−2 ν x1x2 −x23 − ν

(x2

2 − x21

)2x1x3 2x2x3

g1

g2

(9.30)

+1

E

−ν x1

−ν x2

x3

go +

0 0 −f31

0 0 −f32

f31 f32 0

x1

x2

x3

+

f1

f2

f3

Nella formula (9.30) gli ultimi due termini dell'espressione rappresentano

rispettivamente una rotazione rigida ed una traslazione rigida della trave. Eli-minando allora tali termini inessenziali alla deformazione della trave, la (9.30)si riduce:

u1

u2

u3

=1

2E

−x23 − ν

(x2

1 − x22

)−2 ν x1x2

−2 ν x1x2 −x23 − ν

(x2

2 − x21

)2x1x3 2x2x3

g1

g2

+1

E

−ν x1

−ν x2

x3

go (9.31)

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CAPITOLO 9. SFORZO NORMALE E MOMENTO FLETTENTE 130

ovvero

u1 = − 1

2Eg1

[x2

3 + ν(x2

1 − x22

)]− ν

E(go + g2x2)x1 (9.32)

u2 = − 1

2Eg2

[x2

3 + ν(x2

2 − x21

)]− ν

E(go + g1x1)x2

u3 =1

E(go + g1x1 + g2x2)x3

9.2 Sforzo normale centrato

Nel caso che la sollecitazione esterna sia equivalente solo alla caratteristica disforzo normale applicato al baricentro della sezione retta, le espressioni sia dellatensione che degli spostamenti diventano estremamente semplici.

Dalla (9.12) si ricava:

σ33 =N

A(9.33)

Il campo di spostamenti denito dalla (9.31), ponendo g1 = g2 = 0, diventa:

u1

u2

u3

=N

EA

−ν x1

−ν x2

x3

(9.34)

Si evidenzia che u3 non dipende da x1 ed x2. Ciò implica che la generica sezionetrasversale a deformazione avvenuta è ancora piana e parallela alla congurazio-ne iniziale indeformata. Inoltre la componente di spostamento nel piano e1-e2

avviene lungo la direzione individuata dal vettore posizione x = xαeα.

9.3 Flessione semplice

Si ha essione semplice quando è applicata sulla base della trave x3 = Lesclusivamente una coppia Mf ortogonale ad e3. In tal caso si ha:

σ33 = J−1M⊥ • x (9.35)

ovvero, nel riferimento principale d'inerzia:

σ33 =Mf

1

I11x2 −

Mf2

I22x1 (9.36)

L'asse del momento ettente è denito dal versore m tale che m = Mf/∥∥Mf

∥∥,essendo

∥∥Mf∥∥ la norma di Mf ovvero il modulo del vettore Mf . Per asse di

sollecitazione s si intende l'asse ortogonale alla direzione del momento ettenteagente, s = m⊥.

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CAPITOLO 9. SFORZO NORMALE E MOMENTO FLETTENTE 131

Con asse neutro della distribuzione di tensioni da essione si indica invecela retta, di versore n, che contiene il segmento denito sulla sezione retta luogodei punti in cui la tensione normale è nulla:

σ33 = J−1M⊥ • n = 0 (9.37)

Il campo di spostamenti denito dalla (9.31), ponendo g0 = 0, diventa: u1

u2

u3

=1

2E

−x23 − ν

(x2

1 − x22

)−2 ν x1x2

−2 ν x1x2 −x23 − ν

(x2

2 − x21

)2x1x3 2x2x3

g1

g2

(9.38)

Gli spostamenti dei punti che giacciono sull'asse della trave si ottengonoponendo nella formula (9.38) x1 = x2 = 0: u1

u2

u3

= − 1

2Ex2

3

g1

g2

= − 1

2Ex2

3J−1M⊥ (9.39)

Si denisce asse di essione, individuato dal versore f , la direzione lungo laquale avviene l'inessione dell'asse della trave:

f =J−1M⊥

‖J−1M⊥‖(9.40)

Tenendo conto della formula (9.37) si ha f = n⊥.In denitiva sono stati deniti i seguenti assi:

• m = Mf/∥∥Mf

∥∥ asse del momento ettente,

• s = m⊥ asse di sollecitazione,

• n asse neutro,

• f = n⊥ asse di essione.

9.3.1 Flessione retta

Si ha essione retta quando lo sforzo normale è nullo ed il vettore momentoettente agisce lungo una direzione principale d'inerzia; in particolare si assumeMf = Mf

1 e1. In questo caso la formula (9.36) si semplica in:

σ33 =Mf

1

I11x2 (9.41)

nota come formula di Navier. In tal caso, si ha m = e1, s = m⊥ = e2 e n = e1.

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CAPITOLO 9. SFORZO NORMALE E MOMENTO FLETTENTE 132

Tenendo conto delle equazioni (9.16), le equazioni di congruenza sono:

ε11 = u1,1 = −νMf1

EI11x2 ε22 = u2,2 = −νM

f1

EI11x2 ε33 = u3,3 =

Mf1

EI11x2 (9.42)

2ε23 = u2,3 + u3,2 = 0 2ε13 = u1,3 + u3,1 = 0 2ε12 = u1,2 + u2,1 = 0

Considerando la componente ε33 del tensore di deformazione, si deduce chela dilatazione lineare lungo l'asse della trave è una funzione lineare di x2, percui la generica sezione retta della trave resta piana a deformazione avvenuta.Inoltre, tenendo conto che gli scorrimenti angolari γ23 = 2ε23 e γ13 = 2ε13

sono nulli, si ha che l'angolo retto denito da una generica bra della trave ela sezione retta resti inalterato a deformazione avvenuta. In denitiva si puòaermare che la trave si deforma in modo tale che, a deformazione avvenuta,la generica sezione retta resta piana ed ortogonale alla deformata dell'asse dellatrave. In altre parole viene convalidata l'ipotesi di Eulero-Bernoulli introdottaper la formulazione della teoria tecnica della trave nel paragrafo 2.1, che aermache: la generica sezione trasversale della trave a deformazione avvenuta è ancorapiana ed ortogonale alla linea media.

Il campo di spostamenti è denito dalle relazioni:

u1 = −νMf1

EI11x1x2 (9.43)

u2 = − Mf1

2EI11

[x2

3 + ν(x2

2 − x21

)]u3 =

Mf1

EI11x2x3

ed in particolare, gli spostamenti dei punti che giacciono sull'asse della trave siottengono ponendo x1 = x2 = 0 nelle espressioni (9.43), fornendo:

u1 = 0 (9.44)

u2 = − Mf1

2EI11x2

3

u3 = 0

L'asse di essione è f = e2.La rotazione ϕ della generica sezione retta x3 = z della trave si determina

applicando il principio dei lavori virtuali. Si considera come sistema spostamentilo schema del problema della essione e come sistema forze la trave soggetta aduna coppia unitaria lungo l'asse x1 in corrispondenza della sezione z. I lavori

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CAPITOLO 9. SFORZO NORMALE E MOMENTO FLETTENTE 133

virtuali esterno ed interno valgono:

Lve = 1 · ϕ (9.45)

Lvi =

0

ˆ

A

σSF33 · εSS33 dAdx3 =

0

ˆ

A

1

I11x2

Mf1

EI11x2 dAdx3

=

0

Mf1

EI11dx3 =

Mf1

EI11x3

Eguagliando il lavoro virtuale interno con quello esterno e tenendo conto dellaseconda equazione delle (9.43), si ottiene:

ϕ =Mf

1

EI11x3 = −∂u2

∂x3

∣∣∣∣x1=x2=0

(9.46)

la trave ruota quindi di un angolo ϕ pari alla derivata prima cambiata di segnodello spostamento in direzione dell'asse di essione.

Si consideri l'asse geometrico della trave inessa, detta ζ un'ascissa curvilineache la percorre, il suo raggio di curvatura R è denito dalla relazione:

χ =1

R= −d

2u2

dζ2= −

d2u2

dx23[

1 +

(du2

dx3

)2] 3

2

(9.47)

Per l'ipotesi di piccoli spostamenti e piccoli gradienti di spostamento (du2/dx3 <<1) si può supporre valida:

χ =1

R' −d

2u2

dx23

=Mf

1

EI11(9.48)

nota come legge di Bernoulli1: la curvatura dell'asse baricentrico di una traveinessa è direttamente proporzionale al momento ettente applicato.

E' chiaro che, per l'approssimazione fatta nel calcolo della curvatura, secondotale legge l'asse della trave si atteggerebbe come un arco di cerchio e non comeun arco di parabola. Ma, vista la piccolezza degli spostamenti, R è molto grandese confrontato con qualsiasi dimensione lineare della trave, per cui la dierenzatra la curva parabolica e l'arco di cerchio risulta essere proporzionale ad unaquantità del secondo ordine e quindi trascurabile.

1Jacques Bernoulli (Basilea 1654-1705), professore di matematica all'Università di Ba-silea, apparteneva alla famiglia di famosi matematici e scienziati originaria di Anversa, mastabilitasi a Basilea verso la ne del sec. XVI. Col fratello Jean sviluppò il calcolo innite-simale, introdotto da Leibniz e Newton, indicandone numerose applicazioni alla meccanica ealla geometria.

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CAPITOLO 9. SFORZO NORMALE E MOMENTO FLETTENTE 134

Si consideri ora il caso di essione retta caratterizzato da Mf = Mf2 e2.

Tenendo conto delle equazioni (9.16), le equazioni di congruenza sono:

ε11 = u1,1 =νMf

2

EI22x1 ε22 = u2,2 =

νMf2

EI22x1 ε33 = u3,3 = − Mf

2

EI22x1

(9.49)

2ε23 = u2,3 + u3,2 = 0 2ε13 = u1,3 + u3,1 = 0 2ε12 = u1,2 + u2,1 = 0

ed il campo di spostamenti è denito dalle relazioni:

u1 =Mf

2

2EI22

[x2

3 + ν(x2

1 − x22

)](9.50)

u2 =νMf

2

EI22x1x2

u3 = − Mf2

EI22x1x3

così che gli spostamenti dei punti che giacciono sull'asse della trave valgono:

u1 =Mf

2

2EI22x2

3 (9.51)

u2 = 0

u3 = 0

9.3.2 Flessione deviata

Si ha essione deviata quando lo sforzo normale è nullo ed il vettore momentoettente agisce lungo una direzione non principale d'inerzia. Lo studio dellaessione deviata si può eettuare considerando la sovrapposizione degli eettidi due essioni rette. Quindi, considerando un sistema di riferimento che siaprincipale d'inerzia, il momento ettente agente è scomposto nelle due compo-nenti Mf = Mf

1 e1 +Mf2 e2. In questo caso la componente di tensione non nulla

è fornita dalla relazione:

σ33 =Mf

1

I11x2 −

Mf2

I22x1 (9.52)

L'asse del momento ettente è denito dal versore m = Mf/∥∥Mf

∥∥, mentreasse di sollecitazione s = m⊥. L'asse neutro della distribuzione di tensioni daessione deviata si ottiene ponendo:

σ33 = α

(Mf

1

I11n2 −

Mf2

I22n1

)= 0 ⇒ n =

1

D

Mf

1

I11

Mf2

I22

(9.53)

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CAPITOLO 9. SFORZO NORMALE E MOMENTO FLETTENTE 135

con

D =

√√√√(Mf1

I11

)2

+

(Mf

2

I22

)2

Gli spostamenti dei punti che giacciono sull'asse della trave si determinanosommando gli eetti delle due essioni rette, forniti dalle relazioni (9.44) e (9.51):

u1 =Mf

2

2EI22x2

3 (9.54)

u2 = − Mf1

2EI11x2

3

u3 = 0

e quindi: u1

u2

= − D

2Ef x2

3 con f =1

D

−M

f2

I22

Mf1

I11

da cui si nota ancora che f = n⊥.

La (9.53) mostra che l'asse neutro della essione deviata risulta ortogona-le all'asse di sollecitazione se e solo se I11 = I22. In gura 9.1 è riportatoschematicamente il caso della essione deviata.

9.4 Flessione composta

Per essione composta o sforzo normale eccentrico si intende la sollecitazionedi sforzo normale e momento ettente. Si denisce eccentricità, o anche centrodi pressione, della sollecitazione composta il punto individuato dal vettore e dicomponenti:

e1

e2

=

1

N

−Mf

2

Mf1

(9.55)

La formula (9.14) che fornisce la tensione nella sezione della trave si puòallora riscrivere, sfruttando la denizione di eccentricità, come:

σ33 = N

(1

A+

e1

I22x1 +

e2

I11x2

)(9.56)

Introducendo i raggi d'inerzia ρ21 = I22/A e ρ2

2 = I11/A, l'asse neutro è indivi-duato dalla retta descritta dal vettore n tramite d'equazione:

1 +e1

ρ21

x1 +e2

ρ22

x2 = 0 (9.57)

Si consideri il caso e2 = 0, per la (9.57) si ottiene:

x1 = −ρ21

e1(9.58)

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CAPITOLO 9. SFORZO NORMALE E MOMENTO FLETTENTE 136

Figura 9.1: Asse di sollecitazione ed asse neutro in essione deviata.

che rappresenta l'equazione dell'asse neutro per una sollecitazione di essionecomposta caratterizzata da momento ettente Mf

1 = 0. Dalla formula (9.58) sideduce che l'asse neutro corrispondente ad all'eccentricità e1, 0 è una retta pa-rallela all'asse coordinato x2 posta dalla parte opposta dell'eccentricità rispettoal baricentro della sezione; inoltre, dalla formula (9.58) si nota che l'asse neutrotende all'innito per e1 −→ 0 e tende a zero per e1 −→∞.

Si consideri ora l'equazione di una retta tangente la frontiera della sezioneretta del tipo:

a x1 + b x2 + c = 0

si assumi che tale retta rappresenti l'asse neutro di una sollecitazione composta;semplici calcoli mostrano che l'eccentricità associata a tale asse neutro è fornitadall'espressione:

e1 =a

cρ2

1 e2 =b

cρ2

2

Al variare della retta tangente considerata, cambia l'eccentricità associata. L'in-sieme di tutte le eccentricità associate a tutte le tangenti alla sezione retta de-scrive una curva chiusa. L'insieme dei punti interni a tale curva chiusa vienechiamato nocciolo d'inerzia. Si nota quanto segue:

• per un'eccentricità interna al nocciolo d'inerzia, l'asse neutro della solle-citazione di essione composta è esterno alla sezione retta;

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CAPITOLO 9. SFORZO NORMALE E MOMENTO FLETTENTE 137

• per un'eccentricità sulla frontiera del nocciolo d'inerzia, l'asse neutro dellasollecitazione di essione composta è tangente la sezione retta;

• per un'eccentricità esterna al nocciolo d'inerzia, l'asse neutro della solle-citazione di essione composta è secante la sezione retta.

Il nocciolo d'inerzia assume particolare importanza per travi realizzate con ma-teriale caratterizzato da dierente comportamento a trazione ed a compressione.E' questo il caso, ad esempio, dei materiali non reagenti a trazione.

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Capitolo 10

TORSIONE

10.1 Sollecitazione di torsione

Si esamina il caso in cui la trave è soggetta ad una coppia torcente M te3 agentesulla base AL della trave.

Come al solito si utilizza il metodo seminverso per la determinazione dellasoluzione del problema dell'equilibrio elastico. In questo caso di sollecitazionesi fanno delle ipotesi esplicite anche sulla cinematica della trave, a partire daun suo intuitivo comportamento. Infatti, si suppone che la generica sezionedella trave, posta all'ascissa x3, ruoti rispetto alla base di estremità della travedi un angolo θ(x3) = x3Θ, con Θ indipendente da x3. Per vericare che Θsia una costante lungo l'asse della trave è suciente ricordare che il momentotorcente ha valore costante lungo tutta la trave. Ne consegue che la deformatadi un qualsiasi tratto di lunghezza unitario della trave deve coincidere con ladeformata di un qualsiasi altro tratto di uguale lunghezza della trave. Per cuiΘ è costante.

Inoltre, dovendo essere nulle le sollecitazioni di sforzo normale e momentoettente lungo tutto l'asse della trave, i.e. N = 0 e Mf = 0, si può supporreche σ33 = 0 ovunque. Dalle relazioni (8.15), si deduce che ε33 = 0 in ogni puntodella trave. Ne consegue allora che se si vericano spostamenti u3 lungo l'assex3, questi devono essere indipendenti dall'ascissa x3.

Nei ragionamenti sviluppati non si è fatto alcun accenno alla geometria dellasezione retta della trave. Infatti, essi restano validi per una sezione di formagenerica.

10.2 Torsione nella sezione circolare

Si considera inizialmente il semplice caso in cui la trave ha sezione circolare.Si ipotizza inoltre che le sezioni della trave non subiscano ingobbamenti, cioè

spostamenti lungo l'asse della trave.

138

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CAPITOLO 10. TORSIONE 139

Figura 10.1: Momento torcente per sezione circolare.

Per dimostrare la validità di tale ipotesi nel caso di sezione circolare, siragiona come segue. Si supponga che si verichino ingobbamenti per eetto dellasollecitazione di torsione. Vista la simmetria polare della sezione, tutti i puntiche giacciono su una stessa circonferenza dovranno avere uguale spostamentoin direzione dell'asse della trave. In gura 10.1(a) è riportata schematicamenteuna possibile deformata della trave supponendo che si ingobbi. Ruotando diπ lo schema di gura 10.1(a), come illustrato in gura 10.1(b), si ottiene lostesso schema di partenza ma con spostamenti assiali opposti a quelli dati ingura 10.1(a). Ciò è impossibile, data l'unicità della soluzione del problemadell'equilibrio elastico, per cui deve accadere che, per il caso in esame, non sivericano ingobbamenti delle sezioni.

Visto allora che la cinematica della trave consiste solamente nella rotazionerigida delle sezioni intorno all'asse della trave, nell'ipotesi di piccoli spostamenti,la forma del vettore spostamento è del tipo:

u1 = −x2 x3 Θu2 = x1 x3 Θu3 = 0

(10.1)

con x = xαeα. La componente dello spostamento lungo l'asse è nulla, come siera in precedenza annunciato.

Il campo di deformazioni associato al campo di spostamenti denito dalla(10.1), è fornito da:

ε11 = ε22 = ε33 = ε12 = 0 (10.2)

2ε13 = −x2 Θ

2ε23 = x1 Θ

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CAPITOLO 10. TORSIONE 140

Per comodità di notazione si introduce il vettore di deformazione come:

γ =

γ1

γ2

=

2ε13

2ε23

= Θ x⊥ (10.3)

dove

x⊥ = (e3 × x) =

−x2

x1

(10.4)

Le tensioni si ricavano utilizzando l'equazione del legame costitutivo isotropo(8.15). Le uniche componenti di tensione non nulle sono le tensioni tangenzialiσ13 e σ23. In pratica si ha:

σ11 = σ22 = σ33 = σ12 = 0 (10.5)

σ13 = −x2 G Θ

σ23 = x1 G Θ

essendo G = E/[2(1 + ν)] il modulo di elasticità a taglio. Per comodità dinotazione si introduce il vettore τ le cui due componenti sono proprio le tensionitangenziali non nulle:

τ =

τ1τ2

=

σ13

σ23

= G Θ (e3 × x) (10.6)

Si deve ora vericare che le (10.1), (10.2) e (10.5) siano la soluzione delproblema dell'equilibrio elastico della torsione per la trave con sezione circolare.Ciò signica che è necessario controllare che le equazioni indenite dell'equilibrio(8.13) e le condizioni ai limiti (8.11) (8.14), sulle basi e sul mantello della trave,siano rispettate.

Per quanto riguarda le equazioni indenite di equilibrio, per la (10.6) si ha:

0 = τ ,3 = G Θ,3 x⊥ (10.7)

0 = div (τ ) = G Θ divx⊥

la prima delle (10.7) è vericata poiché Θ è costante lungo l'asse della trave peripotesi, la seconda è anch'essa vericata essendo div(e3 × x) = 0.

La condizioni ai limiti (8.14) sul mantello della trave ∂A si riducono a:

0 = τ • n = G Θ x⊥ • n (10.8)

che risulta banalmente vericata essendo, in ogni punto della frontiera dellasezione retta, x coassiale con n, normale al contorno della sezione retta, cioèn = x/ ‖x‖.

Non resta ora che controllare l'equivalenza tra la risultante delle tensioniagenti sulle basi della trave e la sollecitazione di momento torcente. Poichéσ33 = 0, lo sforzo normale ed il momento ettente sono nulli. La risultante delletensioni tangenziali vale:

V =

ˆA

τ dA = G Θ

ˆA

x⊥ dA = G Θ S⊥ = 0 (10.9)

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CAPITOLO 10. TORSIONE 141

essendo il vettore momento statico nullo poiché il sistema di riferimento èbaricentrico.

Il momento torcente sviluppato dalle tensioni tangenziali τ vale:

M t = e3 •ˆA

x×τ dA = G Θ e3 •ˆA

x× (e3 × x) dA (10.10)

= G Θ

ˆA

(e3 × x)•(e3 × x) dA = G Θ

ˆA

x • x dA

= G Θ Ip

essendo Ip = π r4/2 il momento d'inerzia polare della sezione retta circolare diraggio r.

Si ricava allora dalla (10.10) l'espressione che fornisce l'angolo specico ditorsione in funzione del momento torcente esterno agente:

Θ =M t

G Ip(10.11)

La soluzione completa del problema in termini di spostamenti, di deforma-zioni e di tensioni si ottiene sostituendo la (10.11) rispettivamente nelle (10.1),(10.3) e (10.6), che diventano rispettivamente:

u = x3M t

G Ipx⊥ (10.12)

γ =M t

G Ipx⊥ (10.13)

τ =M t

Ipx⊥ (10.14)

La tensione tangenziale massima τmax avviene per ‖x‖ massima, e cioèquando ‖x‖ = r e vale:

τmax =2M t

π r3(10.15)

Analogo ragionamento vale per la sezione circolare cava concentrica, per laquale il momento polare d'inerzia vale Ip = π

(r4e − r4

i

)/2, essendo re il raggio

esterno ed ri il raggio interno.

10.3 Torsione per la sezione generica

La soluzione trovata per il caso della sezione circolare non va più bene quando lasezione della trave non ha forma circolare. Infatti, nel caso di sezione generica lacondizione al contorno τ •n = 0 in generale potrebbe non essere più soddisfatta,perché può accadere che n 6= x/ ‖x‖, come si può facilmente intuire dalla gura10.2.

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CAPITOLO 10. TORSIONE 142

Figura 10.2: Torsione per la sezione generica.

D'altra parte, il ragionamento che escludeva la possibilità di ingobbamentofatto su base intuitiva ma poi avvalorato dalle equazioni sviluppate per il casodella trave a sezione circolare, non è più valido quando la sezione della trave inesame è di forma generica.

10.3.1 Cinematica

La cinematica ipotizzabile nel caso di sezione qualsiasi consiste nella rotazionerelativa tra le sezioni della trave secondo un angolo specico di rotazione Θcostante lungo l'asse della trave, come già visto per la sezione circolare, ed uningobbamento della sezione anch'esso costante rispetto ad x3. In pratica sisuppone che il vettore di spostamento abbia la forma:

u = x3 Θ x⊥ + Θ ω e3 (10.16)

essendo ω = ω(x1, x2) la funzione di ingobbamento che dipende solo dallageometria della sezione.

Denito che sia il campo di spostamenti dalla (10.16) è possibile calcolare ledeformazioni ad esso associato:

ε11 = ε22 = ε33 = ε12 = 0 (10.17)

2ε13 = Θ (ω,1 − x2)

2ε23 = Θ (ω,2 + x1)

ovvero, introducendo come in precedenza il vettore di deformazione:

γ =

γ1

γ2

=

2ε13

2ε23

= Θ (∇ω + x⊥) (10.18)

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CAPITOLO 10. TORSIONE 143

10.3.2 Legame costitutivo

Le tensioni si ricavano tramite legame costitutivo:

σ11 = σ22 = σ33 = σ12 = 0 (10.19)

σ13 = G Θ (ω,1 − x2)

σ23 = G Θ (ω,2 + x1)

ovvero, introducendo il vettore le cui due componenti sono proprio le tensionitangenziali non nulle:

τ =

τ1τ2

=

σ13

σ23

= G Θ (∇ω + x⊥) (10.20)

10.3.3 Equilibrio

Le equazioni indenite di equilibrio forniscono:

0 = τ ,3 = G Θ,3 (∇ω + x⊥) (10.21)

0 = div (τ ) = G Θ div(∇ω + x⊥)

Come accadeva nel caso della sezione circolare, la prima delle (10.21) è vericatapoiché, per ipotesi, Θ è costante lungo l'asse della trave. Al contrario, la secondadelle (10.21) non è automaticamente vericata e conduce all'equazione di campo:

div(∇ω) = ∆ω = ω,11 + ω,22 = 0 (10.22)

essendo div(e3 × x) = 0.L'equazione ai limiti sul mantello della trave fornisce:

0 = τ • n = G Θ (∇ω + x⊥) • n (10.23)

Ricordando che x⊥ = e3 × x , la (10.23) equivale a:

0 = ∇ω • n + e3 × x • n (10.24)

= ∇ω • n− e3 × n • x

= ∇ω • n− t • x

essendo t = e3×n la tangente al contorno della sezione retta. Posto ρ2 = x•x,il vettore posizione del generico punto della sezione si calcola come:

x =1

2∇ρ2 = ρ ∇ρ (10.25)

per cui la (10.24) si riscrive nella forma:

0 = ∇ω • n− ρ ∇ρ • t (10.26)

Allora, l'equazione di equilibrio al contorno si può scrivere come:

∇ω • n = ρ ∇ρ • t (10.27)

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CAPITOLO 10. TORSIONE 144

10.3.4 Problema di Neumann

In denitiva l'equazione indenita di equilibrio (10.22) e la condizione ai limiti(10.27) conducono al seguente problema alle derivate parziali per la determina-zione di ω:

∆ω = 0 in A∇ω • n = ρ ∇ρ • t su ∂A

(10.28)

noto come problema di Neumann1 per l'equazione di Laplace2. E' chiaro l'a-spetto puramente geometrico del problema (10.28). In analisi matematica simostra che la soluzione del problema di Neumann esiste ed unica, a meno diuna costante arbitraria, purché sia soddisfatta la condizione:

ˆ∂A

∇ω • n ds = 0 (10.29)

Nel caso in esame la condizione di esistenza (10.29) è soddisfatta. Infatti,tenendo conto delle (10.27) e (10.25), si ha:

ˆ∂A

∇ω • n ds =

ˆ∂A

ρ ∇ρ • t ds =

ˆ∂A

1

2∇ρ2 • t ds = 0 (10.30)

essendo ∇(ρ2) • t ds un dierenziale esatto.La costante a meno della quale si individua la soluzione del problema rap-

presenta uno spostamento rigido lungo l'asse x3 della trave. Indicando conw = u•e3 = Θ ω la componente dello spostamento del generico punto in di-rezione dell'asse della trave, l'indeterminazione della soluzione del problema(10.28) è eliminata ponendo nullo lo spostamento medio:

w =1

A

ˆA

w dA =1

ˆA

ω dA = 0 =⇒ˆA

ω dA = 0 (10.31)

in tal modo la funzione ω(x1, x2) resta univocamente determinata.

1John von Neumann (Budapest, 28 dicembre 1903 Washington, 8 febbraio 1957) ma-tematico e informatico statunitense di origine ungherese. Fu una delle personalità scientichepreminenti del XX secolo cui si devono fondamentali contributi in campi come teoria degli in-siemi, analisi funzionale, topologia, sica quantistica, economia, informatica, teoria dei giochi,uidodinamica e in molti altri settori della matematica.

2Pierre Simon marchese di Laplace (Beaumont-en-Auge, 23 marzo 1749 Parigi, 5marzo 1827) matematico, sico e astronomo francese. Fu uno dei principali scienziati nelperiodo napoleonico. Ha dato fondamentali contribuiti a vari campi della matematica, del-l'astronomia e della teoria della probabilità ed è stato uno degli scienziati più inuenti alsuo tempo, anche per il suo contributo all'aermazione del determinismo. Laplace, infatti,diede la svolta nale all'astronomia matematica riassumendo ed estendendo il lavoro dei suoipredecessori nella sua opera in cinque volumi Mécanique Céleste (Meccanica Celeste) (1799-1825). Questo capolavoro ha trasformato lo studio geometrico della meccanica sviluppato daNewton in quello basato sull'analisi matematica. Nel 1799 fu nominato ministro degli internida Napoleone che nel 1806 gli conferì il titolo di conte dell'Impero. Fu nominato marchese nel1817, dopo la restaurazione dei Borboni.

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CAPITOLO 10. TORSIONE 145

10.3.5 Risultanti

Anche in questo caso è necessario vericare la validità della soluzione, control-lando che la risultante sia nulla ed il momento risultante dia il momento torcenteapplicato.

A tale scopo si osserva inizialmente che le caratteristiche della sollecitazioneN ed Mf sono nulle essendo σ33 = 0.

Si verica poi che anche la caratteristica tagliante V sia nulla; infatti, larisultante di taglio si ottiene come:

V =

ˆA

τ dA (10.32)

Tenuto conto della formula (10.20) e ponendo y = x⊥, in componenti si ha:

Vα =

ˆA

(yα + ω,α) dA (10.33)

=

ˆA

δαβ (yβ + ω,β) dA

=

ˆA

xα,β (yβ + ω,β) dA

=

ˆ∂A

xα (yβ + ω,β)nβ ds−ˆA

xα (yβ,β + ω,ββ) dA

essendo δαβ delta di Kronecker. Poichè (yβ + ω,β)nβ = 0 su ∂A per la (10.23),yβ,β = 0 e ω,ββ = ∆ω = 0 in A per la (10.22), la (10.33) fornisce Vα = 0.

Per quanto riguarda il momento torcente si ha:

M t = e3 •ˆA

x× τ dA =

ˆA

(x1σ23 − x2σ13) dA (10.34)

= G Θ

ˆA

[x1 (ω,2 + x1)− x2 (ω,1 − x2)] dA

= G Θ

ˆA

(x2

1 + x22 + x1ω,2 − x2ω,1

)dA

= G Θ

[Ip +

ˆA

(x1ω,2 − x2ω,1) dA

]In denitiva si ottiene:

Θ =M t

G(´A

e3 × x • ∇ω dA+ Ip) =

M t

G Jt(10.35)

dove Jt rappresenta il fattore di rigidezza torsionale:

Jt = Ip +

ˆA

(x1ω,2 − x2ω,1) dA = Ip +

ˆA

e3 × x • ∇ω dA

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CAPITOLO 10. TORSIONE 146

La soluzione in termini di spostamenti, deformazioni e tensioni, del proble-ma dell'equilibrio elastico della trave di sezione generica soggetta a torsione, èquindi:

u =M t

G Jt(ω e3 + x3 x⊥) (10.36)

γ =M t

G Jt(∇ω + x⊥) (10.37)

τ =M t

Jt(∇ω + x⊥) (10.38)

10.4 Funzione di Prandtl

Il problema della torsione può essere risolto in maniera alternativa attraversol'uso della funzione di Prandtl detta anche la funzione delle tensioni.

Si suppone che le tensioni derivino dalla funzione delle tensioni (o di Prandtl)F = F (x1, x2) tramite la relazione:

τ =

F,2−F,1

= −e3 ×∇F (10.39)

ovvero in componenti:

τ1 = F,2 τ2 = −F,1 (10.40)

In tal modo la terza equazione indenita di equilibrio (div (τ ) = 0) è automati-camente soddisfatta.

10.4.1 Problema di Dirichlet

Tenendo conto che le tensioni normali agenti sulla sezione retta sono nulle nellasollecitazione di torsione, la quarta e la quinta equazione indenita di congruenza(8.19), scritte nel caso generale del problema della trave, conducono a:

(σ13,2 − σ23,1),1 = 0 (10.41)

(σ13,2 − σ23,1),2 = 0

ovvero

τ1,2 − τ2,1 = costante

Ricordando l'espressione (10.20) del vettore tensione tangenziale ottenutopartendo dalla cinematica del problema, si ha:

τ1,2 − τ2,1 = G Θ (ω,21 − ω,12 + 1 + 1) = 2 G Θ (10.42)

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CAPITOLO 10. TORSIONE 147

e quindi, per la (10.40), si ottiene:

2 G Θ = − (F,11 + F,22) = −∆F (10.43)

L'equazione (10.43) rappresenta la condizione necessaria e suciente di con-gruenza per la sezione è monoconnessa.

Per quanto riguarda la condizione di equilibrio sul mantello della trave, la(10.23) si trasforma in:

0 = −e3 ×∇F • n = ∇F • e3 × n = ∇F • t (10.44)

cioè F costante su ∂A. Nel caso di sezione monoconnessa la costante può essereposta uguale a zero perché lo stato tensionale non dipende da questa costante,essendo ottenuto come gradiente di F .

L'equazione di campo (10.43) con la condizione al limite (10.44) conduconoal problema di Dirichlet:

∆F = −2 G Θ in AF = 0 su ∂A

(10.45)

Naturalmente, una qualsiasi funzione F , denita come:

F = F + k

con k costante, risolve il problema (10.45).

10.4.2 Risultanti

Nasce ora l'esigenza di vericare che la risultante delle tensioni sia nulla e cheil momento risultante fornisca una sollecitazione di pura torsione. La risultantedelle tensioni tangenziali τ denite dalla relazione (10.39) vale:

V =

ˆA

τ dA = −e3 ׈A

∇F dA = −e3 ׈∂A

F n ds = 0 (10.46)

essendo F = 0 sul contorno della sezione. Il momento torcente vale invece:

M t = e3 •ˆA

x× τ dA = e3 •ˆA

x× (−e3×∇F ) dA (10.47)

=

ˆA

x •[e3 × (e3 ×∇F )

]dA = −

ˆA

x • ∇F dA

= −ˆA

div (F x) dA+

ˆA

F div (x) dA

= −ˆ∂A

F x • n ds+

ˆA

2 F dA

ma il primo integrale dell'ultimo termine è nullo, essendo per la seconda delle(10.45) F = 0 su ∂A, per cui si ha:

M t =

ˆA

2 F dA (10.48)

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CAPITOLO 10. TORSIONE 148

Anche qualora si consideri la funzione F , che assume valore k sul contorno,si dimostra:

V =

ˆA

τ dA = −e3 ׈A

∇F dA (10.49)

= −e3 ×(ˆ

∂A

Fn ds+ k

ˆ∂A

n ds

)= 0− k

ˆ∂A

t ds = 0

ed inoltre:

−ˆ∂A

F x • n ds+

ˆA

2 F dA

= −ˆ∂A

F x • n ds− kˆ∂A

x • n ds+

ˆA

2 F dA+ 2 k

ˆA

dA

= 0− kˆA

divx dA+

ˆA

2 F dA+ 2 k A

= 0− kˆA

2 dA+

ˆA

2 F dA+ 2 k A

= 0− 2 k A+

ˆA

2 F dA+ 2 k A

=

ˆA

2 F dA

10.5 Sezione rettangolare allungata

Si considera ora il caso in cui la sezione della trave sia di forma rettangolare didimensione a× b con un lato di dimensione molto maggiore dell'altro: a >> b.In questo caso non appare applicabile a rigore il principio di Saint-Venant, inquanto, come risulta evidente, la sezione non è compatta. Si suppone allorache la sollecitazione di torsione sia applicata in modo opportuno sulle basi dellatrave; in seguito si vedrà cosa si intende per modo opportuno.

Si sceglie il sistema di riferimento in modo tale che l'origine sia baricentricae l'asse x1 sia parallelo al lato maggiore a, come mostrato in gura 10.3.

Se la sezione rettangolare è sucientemente allungata, al limite il rapportoa/b tra il lato maggiore e quello minore tende ad innito, appare giusticatosupporre che la tensione tangenziale τ non dipenda dall'ascissa x1. Ciò signicache τ ,1 = 0. La terza equazione indenita di equilibrio (10.21), riscritta nellaforma:

τ1,1 + τ2,2 = 0 (10.50)

assicura che τ2,2 = 0, ovvero la componente tangenziale τ2 non dipende da x2.D'altra parte, la condizione al contorno sul mantello della trave (10.23) imponeche sul bordo ∂A della sezione la tensione tangenziale sia tangente al bordo stes-so. Se ne deduce che sui due lati maggiori della sezione rettangolare la tensione

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CAPITOLO 10. TORSIONE 149

Figura 10.3: Sezione rettangolare allungata.

tangenziale ha componente solo lungo la direzione x1, ovvero τ2(±b/2) = 0.Allora, la componente tangenziale τ2 è nulla.

10.5.1 Funzione di Prandtl

Si aronta il problema della torsione per la sezione rettangolare allungata tra-mite la teoria di Prandtl, utilizzando cioè la funzione delle tensioni F . Sullabase delle considerazioni appena sviluppate, si tratta di costruire una funzioneF che soddis le condizioni (10.45), ovvero che il laplaciano di F sia costante eche F assuma valore nullo per x2 = ±b/2. A tale scopo si assume:

F = c

(x2 +

b

2

)(x2 −

b

2

)= c

(x2

2 −b2

4

)(10.51)

con c costante che viene determinata utilizzando l'equazione di congruenza nelcampo A (10.451):

∆F = 2 c = −2 G Θ (10.52)

In denitiva, ricavando la costante c dall'equazione (10.52) e sostituendolanella forma di rappresentazione di F (10.51), si ottiene:

F = −G Θ

(x2

2 −b2

4

)(10.53)

L'angolo specico di torsione Θ si calcola imponendo che il momento risul-tante delle tensioni tangenziali sia il valore assegnato M t. Infatti, utilizzandola formula (10.48) si ha:

M t =

ˆA

2 F dA = −2 G Θ

ˆA

(x2

2 −b2

4

)dA = G Θ Jt (10.54)

dove il fattore di rigidezza torsionale Jt vale:

Jt =a b3

3(10.55)

Invertendo la (10.54), tenuto conto della relazione (10.55), si ottiene nalmente:

Θ =3 M t

G a b3(10.56)

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CAPITOLO 10. TORSIONE 150

Una volta trovato il valore di Θ si sostituisce nell'espressione (10.53) dellafunzione di Prandtl F e si ottiene:

F = −3 M t

a b3

(x2

2 −b2

4

)(10.57)

Inne, utilizzando le espressioni (10.40) che forniscono le componenti dellatensione tangenziale in funzione di F , si ha:

τ1 = F,2 = −6 M t

a b3x2 τ2 = −F,1 = 0 (10.58)

Ilmodo opportuno, di cui si parlava in precedenza, con il quale viene applicatala sollecitazione di torsione sulle basi della trave, è denito dalla forma delletensioni tangenziali (10.58).

Nella generica sezione della trave, la tensione tangenziale massima in valoreassoluto si ha per x2 = ±b/2:

τmax =3 M t

a b2(10.59)

10.5.2 Eetto di bordo

Tenendo conto dell'equazione (10.53) l'espressione della tensione tangenziale(10.58) può essere riscritta nella forma equivalente:

τ1 = −2 G Θ x2 τ2 = 0 (10.60)

Volendo allora calcolare il valore del momento torcente M t in funzione di Θ,come momento risultante della distribuzione delle tensioni tangenziali espressedalla (10.60), si ha:

M t = e3 •ˆA

x× τ dA = e3 •ˆA

x× e1(−2 G Θ x2) dA (10.61)

=

ˆA

x • e1×e3(−2 G Θ x2) dA = 2 G Θ

ˆA

x • e2 x2 dA

= 2 G Θ

ˆ a/2

−a/2

ˆ b/2

−b/2(x2)

2dx1 dx2 = G Θ

a b3

6

Si evidenzia che il risultato appena ottenuto tramite l'espressione (10.61) è incontrasto con quello ottenuto tramite la formula (10.54). Infatti la (10.61)fornisce un momento torcente pari alla metà di quello calcolato con la (10.54).Tale risultato è dovuto all'approssimazione ipotizzata sull'andamento del vettoreτ nella sezione.

L'espressione (10.53) considerata per la funzione F di Prandtl non è coerentecon la trattazione di Saint-Venant in quanto non soddisfa la condizione (10.452)per x1 = ±a/2. Ciò induce un errore che ovviamente è sensibile nella prossimità

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CAPITOLO 10. TORSIONE 151

Figura 10.4: Zona di estremità della sezione rettangolare allungata.

degli estremi della sezione e trascurabile nel resto della sezione, purché il ret-tangolo sia sucientemente allungato. Tale approssimazione sulla funzione F asua volta induce un'approssimazione sull'andamento delle tensioni tangenzialinella sezione. Esse possono essere considerate valutate con buona approssi-mazione nella parte centrale della sezione, mentre presentano un andamentoinaccettabile, secondo la teoria sviluppata da Saint-Venant, per x1 = ±a/2.

In realtà, volendo soddisfare la condizione di mantello scarico su tutta lafrontiera della sezione, si dovrà ammettere un dierente andamento delle ten-sioni tangenziali, rispetto a quello denito dalla (10.58) o (10.60), in particolarein prossimità delle due zone di estremità della sezione.

Si consideri allora una di queste due zone, e si imponga la condizione diequilibrio su una qualsiasi parte P della sezione che risieda in questa zona,come mostrato in gura 10.4.

L'equazione di equilibrio scritta in forma integrale su P fornisce:

0 =

ˆPdiv(τ ) dA =

ˆ∂Pτ • n ds (10.62)

ovvero, come noto per i cosiddetti campi solenoidali a divergenza nulla, il ussodel vettore τ entrante deve eguagliare quello uscente nella parte P della sezione.Con riferimento alla gura 10.4, volendo allora rispettare la condizione di man-tello laterale della trave scarico, si dovrà supporre che, per bilanciare il ussoentrante in P, la tensione tangenziale in prossimità degli estremi della sezionedeve cambiare direzione ed assumere quindi componente non nulla in direzionedi x2. In denitiva, nelle zone in prossimità di x1 = ±a/2 si hanno tensionitangenziali con componente non nulla in direzione x2.

Ora, si torni al problema sorto dalla constatazione della dierente valutazio-ne del momento torcente fornita dalle espressioni (10.54) e (10.61). Si nota allorache tramite la (10.54) si commette un errore tanto più piccolo nella valutazionedel volume denito dalla funzione F , quanto più la sezione è allungata. Infattila funzione delle tensioni risulta errata solo in prossimità delle parti terminalidella sezione. Al contrario, tramite la (10.61), l'errore commesso è notevole in

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CAPITOLO 10. TORSIONE 152

Figura 10.5: Distribuzione delle tensioni tangenziali nella zona di estremità dellasezione rettangolare.

quanto nella valutazione del momento torcente non si è tenuto assolutamenteconto delle tensioni tangenziali agenti in direzione x2 nella prossimità dei bordidella sezione. Tali tensioni, per quanto relative ad una zona di piccola esten-sione, hanno un braccio d'applicazione pari circa ±a/2, e quindi contribuiscononotevolmente nel calcolo del momento torcente. Per correggere allora la formula(10.61) si dovrà tener conto anche del momento torcente derivante dalle tensionitangenziali τ2 agenti nelle vicinanze delle estremità della sezione rettangolare.

A tale scopo si suppone per semplicità che la dimensione d di ognuna delledue zone di estremità della sezione ove si hanno tensioni tangenziali τ2 sia moltopiccola, come schematicamente riportato in gura 10.5.

Tenendo conto della formula (10.601), il usso q1 delle tensioni tangenzialiτ1 vale:

q1 =

ˆ x2

−b/2τ1 dη = −2 G Θ

ˆ x2

−b/2η dη = G Θ

(b2

4− x2

2

)(10.63)

Si consideri ora come parte P la zona della sezione delimitata dalla linea trat-teggiata in gura 10.5. L'equazione (10.62) impone che il usso totale q1 delletensioni tangenziali τ1 entranti in P eguagli il usso totale q2 delle tensionitangenziali τ2 uscenti da P . Ciò implica che:

q2 = q1 = G Θ

(b2

4− x2

2

)(10.64)

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CAPITOLO 10. TORSIONE 153

Se la dimensione di d tende a zero, il valore di q2 non cambia. In tal modo,su ognuna delle due corde di estremità della sezione rettangolare agirà unadistribuzione parabolica di q2. La risultante del usso q2 vale:

R =

ˆ b/2

−b/2q2 dx2 = G Θ

ˆ b/2

−b/2

(b2

4− x2

2

)dx2 = G Θ

b3

6(10.65)

In denitiva, si può calcolare il momento torcente risultante dalla distribuzio-ne delle tensioni tangenziali come la somma del momento torcente ricavato dallaformula (10.61) aumentato dell'apporto provocato dalla presenza delle forze Ragenti sulle estremità della sezione:

M t = G Θa b3

6+G Θ

b3

6a = G Θ

a b3

3(10.66)

che coincide perfettamente con la formula (10.54).

10.6 Sezione sottile aperta

Si considera il caso in cui la sezione retta della trave sia costituita da una strisciasottile di materiale di spessore variabile o non, avente come linea media la curvapiana, di lunghezza a, di equazione:

x1 = x1(ζ) x2 = x2(ζ) (10.67)

con ζ ascissa curvilinea del generico punto della linea media misurata a partireda un'origine O, generalmente scelta in corrispondenza di un'estremità dellalinea. Si assume per ipotesi che la linea media non formi circuiti chiusi. Inquesto caso per corda relativa all'ascissa curvilinea ζ si intende sempre quellaortogonale alla linea media della sezione, cui corrisponde uno spessore b(ζ).

La sezione sottile deve soddisfare alcuni requisiti geometrici:

• a >> b(ζ) ∀ζ

• ddζb(ζ) << 1 ∀ζ

• ρ(ζ) >> b(ζ) ∀ζ

ove ρ(ζ) rappresenta il raggio di curvatura della linea media della sezione valu-tato in corrispondenza dell'ascissa curvilinea ζ.

Si esamina inizialmente un tratto di lunghezza innitesima dζ della sezionesottile. Si sceglie un riferimento locale destrogiro denito dal versore t dellatangente alla linea media della sezione e dal versore m denito come m = e3×t.Il generico punto giacente sulla corda b(ζ) è individuato dalla distanza κ dallalinea media, come mostrato in gura 10.6. Se il raggio di curvatura ρ(ζ) dellalinea media della striscia di materiale è grande rispetto alla corda generica b(ζ),l'elemento di sezione di lunghezza dζ può con buona approssimazione essereconsiderato come un tratto di una sezione di forma rettangolare allungata.

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CAPITOLO 10. TORSIONE 154

Figura 10.6: Generico tratto della sezione sottile.

Analogamente al caso della sezione rettangolare allungata, in corrispondenzadella generica ascissa curvilinea, la funzione di Prandtl F può essere scelta conbuona approssimazione come quella denita dalla formula (10.53):

F = −G Θ

(κ2 − b(ζ)2

4

)(10.68)

L'aliquota innitesima di momento torcente assorbita dal tratto di lunghezzadζ per la relazione (10.48) vale:

dM t = −2 G Θ dζ

ˆ b/2

−b/2

(κ2 − b(ζ)2

4

)dκ = G Θ

b(ζ)3

3dζ (10.69)

Integrando la (10.69) su tutta la linea media della sezione sottile allungata, sideve ottenere il valore del momento torcente totale agente sulla sezione aperta:

M t = G Θ

ˆ a

0

b(ζ)3

3dζ = G Θ Jt (10.70)

Le tensioni tangenziali si calcolano tenendo conto delle espressioni (10.40),cioè derivando la funzione delle tensioni F denita dalla (10.68) rispetto allacoordinata nello spessore κ e rispetto all'ascissa curvilinea ζ. In denitiva di ha:

τζ = F,κ = −2 G Θ κ (10.71)

τκ = −F,ζ =1

2G Θ

d b(ζ)

dζb(ζ) ≈ 0

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CAPITOLO 10. TORSIONE 155

ove l'ultimo termine della (10.712) è tanto più piccolo, e quindi trascurabile,quanto più lo spessore della sezione varia lentamente lungo l'ascissa curvilinea.In termini di momento torcente applicato, la componente non trascurabile dellatensione tangenziale si determina dalle relazioni (10.711) e (10.70):

τζ = −2 M t

Jtκ (10.72)

che risulta analoga alla formula (10.58) ottenuta per la sezione rettangolareallungata. Inne la tensione tangenziale massima in valore assoluto, relativaall'ascissa curvilinea ζ, vale:

τmax =M t

Jtb(ζ) (10.73)

Nel caso che la sezione sottile ha spessore costante, cioè la dimensione b dellacorda non dipende dall'ascissa curvilinea ζ, il fattore di rigidezza torsionale Jtvale:

Jt =

ˆ a

0

b(ζ)3

3dζ =

a b3

3(10.74)

Si nota che l'espressione della rigidezza torsionale (10.74) è perfettamente ana-loga a quella determinata per la sezione rettangolare allungata.

10.7 Sezione sottile chiusa

Si esamina ora il caso in cui la linea media della sezione sottile formi un circuitochiuso. In tal caso la sezione è detta chiusa. L'ascissa curvilinea ζ che percorrela sezione chiusa è scelta in modo da girare in senso antiorario lungo la strisciadi materiale che denisce la sezione.

Il problema della torsione per la sezione sottile chiusa si aronta, come giàfatto per la sezione rettangolare allungata e per la sezione sottile aperta, intermini di tensioni. A tale scopo, la condizione di congruenza (10.42), scrittaora nel riferimento t m denito come in precedenza per la sezione aperta ingura 10.6, nel generico punto giacente sulla linea media della sezione sottilefornisce:

τκ,ζ − τζ,κ = 2 G Θ (10.75)

D'altra parte visto che lo spessore è piccolo rispetto alla lunghezza dellalinea media della sezione, si può ragionevolmente supporre, come già fatto per lasezione rettangolare allungata e per la sezione sottile aperta, che la componentedella tensione tangenziale in direzione normale τκ sia nulla. Allora integrandol'equazione dierenziale (10.75), se ne deduce che la tensione tangenziale indirezione di t è funzione lineare di κ e si può esprimere come:

τζ = −2 G Θ κ+ τc = τa + τc (10.76)

dove τc rappresenta una costante di integrazione che in generale dipende dall'a-scissa curvilinea ζ. Tramite la formula (10.76) la tensione tangenziale si scrive

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CAPITOLO 10. TORSIONE 156

come somma di una parte τa che, per la (10.711), equivale alla tensione tangen-ziale per una sezione di uguale geometria, ma aperta, e da una parte τc dovutaproprio al fatto che la sezione è chiusa. In denitiva, la tensione tangenziale peruna sezione sottile chiusa soggetta a torsione assume la forma:

τ = τ a + τ c = (τa + τc) t (10.77)

Nel seguito viene trascurata la parte τa della tensione tangenziale, in quanto,come sarà dimostrato risulta generalmente molto più piccola di τc.

Lo stato tensionale determinato dal campo di tensioni tangenziali τ c rispettaovunque la condizione di equilibrio sul mantello della trave. Si verica allorail soddisfacimento della terza equazione indenita di equilibrio per il genericotratto della sezione sottile chiusa, come illustrato in gura 10.7. Scelta che siala posizione sulla linea media dell'origine dell'ascissa curvilinea, si indichi conP la parte di sezione retta delimitata dalle corde b(ζ1) e b(ζ2). L'equazione diequilibrio della parte P fornisce:

0 =

ˆP

div(τ c) dA =

ˆ∂P

τ c • n ds =

ˆ∂P

τct • n ds (10.78)

=

ˆ b(ζ1)/2

−b(ζ1)/2

τct • n ds+

ˆ b(ζ2)/2

−b(ζ2)/2

τct • n ds

= −ˆ b(ζ1)/2

−b(ζ1)/2

τc ds+

ˆ b(ζ2)/2

−b(ζ2)/2

τc ds = τc(ζ2) b(ζ2)− τc(ζ1) b(ζ1)

ove n rappresenta, come al solito, il versore della normale uscente a P . Vistala casuale scelta delle ascisse curvilinee ζ1 e ζ2 l'equazione (10.78) conduce alrisultato che il prodotto τc(ζ) b(ζ) è costante su tutta la sezione sottile chiusa.Allo stesso risultato è possibile pervenire imponendo l'equilibrio lungo l'asse x3

della parte di trave di lunghezza unitaria, ottenuta dalle due parti di sezionidenite dalle corde 1 e 2:

τc1 b1 = τc2 b2

con evidente signicato dei simboli.Per prima cosa è necessario vericare che la distribuzione di tensioni tan-

genziali τ c fornisca una sollecitazione di pura torsione. A tale scopo si deveinizialmente controllare che la risultante V delle tensioni tangenziali denitedalla (10.76) sia nulla. Si ha infatti:

V =

ˆA

τct dA = τc b

ˆ a

0

t dζ = 0 (10.79)

Con riferimento alla gura 10.8, il momento risultante delle tensioni tangen-ziali M tc dovuto alle tensioni tangenziali τc vale:

M tc = e3 •ˆA

x× τct dA = τcb

ˆ a

0

h (ζ) dζ = 2 τcb Ω (10.80)

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CAPITOLO 10. TORSIONE 157

Figura 10.7: Tensioni tangenziali per la sezione chiusa.

Figura 10.8: Equilibrio alla rotazione della sezione chiusa.

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CAPITOLO 10. TORSIONE 158

dove h (ζ) dζ è il doppio dell'area del triangolo di base dζ ed altezza h (ζ)rappresentato in gura 10.8 e Ω rappresenta l'area della gura geometrica cheha per contorno la linea media della sezione sottile.

Si nota che, poiché l'ascissa curvilinea ζ gira in senso antiorario nella sezione,il vettore −m rappresenta la normale uscente da Ω. Invertendo l'equazione(10.80) si ottiene la prima formula di Bredt:

τc =M tc

2 b Ω(10.81)

La formula (10.80), ovvero la sua forma inversa (10.81), fornisce la relazionetra il valore del momento torcente M tc e la distribuzione di tensioni tangenzialiτc.

Volendo ricavare la relazione tra il valore del momento torcente M ta e l'an-golo unitario di torsione Θ, si applica il principio dei lavori virtuali per un trattodi trave di lunghezza unitaria. Il sistema delle forze è fornito dalla distribuzionedelle tensioni tangenziali τ∗c che hanno momento torcente risultante unitario:

τ∗c =1

2 b Ω(10.82)

Gli scorrimenti angolari, valutati nel sistema degli spostamenti, sono ricavatiutilizzando la relazione (10.81):

γ =1

Gτc =

1

G

M tc

2 b Ω(10.83)

Eguagliando il lavoro virtuale esterno con quello virtuale interno si ottiene:

1 Θ =

ˆA

τ∗c γ dA =

ˆA

1

2 b Ω

1

G

M tc

2 b Ωb dζ =

M tc

4 G Ω2

ˆ a

0

1

bdζ (10.84)

La relazione (10.84) è nota come seconda formula di Bredt. Il fattore di rigidezzatorsionale Jtc proprio della sezione chiusa vale:

Jtc =4 Ω2ˆ a

0

1

bdζ

(10.85)

per cui la seconda formula di Bredt si riscrive nella forma:

Θ =M tc

G Jtc(10.86)

Indicando con M ta il momento torcente risultante delle tensioni τa e conJta il corrispondente fattore di rigidezza torsionale, poiché l'angolo unitario ditorsione deve essere lo stesso se calcolato invertendo la (10.70) o tramite la(10.86), accade che:

Θ =M ta

G Jta=

M tc

G Jtc=

M t

G Jt(10.87)

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CAPITOLO 10. TORSIONE 159

dove M t = M ta + M tc ed il fattore di rigidezza torsionale totale Jt si ottienecome:

Jt = Jta + Jtc =

ˆ a

0

b(ζ)3

3dζ +

4 Ω2ˆ a

0

1

bdζ

(10.88)

Le relazioni (10.87) permettono di determinare la parte di momento torcenteM ta e la parte M tc del momento torcente totale M t in funzione dei fattori dirigidezza torsionale Jta, Jtc e Jt. Infatti, si ha:

M ta = M t JtaJt

M tc = M t JtcJt

(10.89)

Allo scopo di valutare l'ordine di grandezza relativo tra i momenti M ta e M tc,si considera il caso di una sezione con spessore costante. Le formule (10.74),(10.85) e le espressioni (10.89) relative alla ripartizione del momento torcentetotale M t forniscono:

M ta

M tc=JtaJtc

=a b3

3

a

4 b Ω2=

(a b)2

12 Ω2=

1

12

(A

Ω

)2

(10.90)

L'area A della sezione della trave è generalmente molto più piccola dell'areaΩ iscritta dalla linea media, per cui il rapporto tra queste due superci puòritenersi molto minore dell'unità:

M ta

M tc<< 1 (10.91)

Ne consegue allora che le espressioni (10.89) possono assumere la forma appros-simata:

M ta = M t JtaJt≈ 0 M tc = M t Jtc

Jt≈M t (10.92)

In questo spirito, si ammette che la tensione tangenziale totale è fornita dalla solaparte τc, mentre la parte di tensione relativa alla sezione aperta τa è trascurabile.

10.7.1 Sezione triconnessa

Si esamina il caso in cui la sezione sottile sia triconnessa ovvero costituita dadue maglie chiuse. Si denotino con q1 e con q2 i valori dei ussi nelle due magliecome illustrato in gura 10.9, tali che:

M t1 = 2Ω1q1 M t

2 = 2Ω2q2 (10.93)

con Ω1 ed Ω2 rispettivamente le aree delle maglie 1 e 2, ed inoltre con:

M t = M t1 +M t

2 = 2Ω1q1 + 2Ω2q2 (10.94)

Per determinare l'angolo unitario di rotazione si applica il principio dei lavorivirtuali. Poiché si intende determinare la rotazione della sezione, si sceglie un

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CAPITOLO 10. TORSIONE 160

Figura 10.9: Sezione triconnessa soggetta a torsione.

sistema di forze denito dalla sezione oggetto di studio sollecitata da una coppiatorcente unitaria. Si ricorda che per applicare il PLV si deve considerare unsistema di tensioni in equilibrio, e non necessariamente congruente, con le forzeassegnate. Si scelgono allora due sistemi di tensioni in equilibrio con la coppiatorcente unitaria, come illustrato in gura 10.9.

Considerando i due sistemi di forze SF1 ed SF2, il PLV fornisce le equazioni:

Θ =

ˆ1

τ∗1 γ1b dζ −ˆ

1−2

τ∗1 γ2b dζ (10.95)

=

ˆ1

1

2Ω1b

q1

Gbb dζ −

ˆ1−2

1

2Ω1b

q2

Gbb dζ

=q1

2GΩ1

ˆ1

1

bdζ − q2

2GΩ1

ˆ1−2

1

bdζ

Θ =

ˆ2

τ∗2 γ2b dζ −ˆ

1−2

τ∗2 γ1b dζ (10.96)

=

ˆ2

1

2Ω2b

q2

Gbb dζ −

ˆ1−2

1

2Ω2b

q1

Gbb dζ

=q2

2GΩ2

ˆ2

1

bdζ − q1

2GΩ2

ˆ1−2

1

bdζ

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CAPITOLO 10. TORSIONE 161

avendo indicato con 1 la maglia 1, con 2 la maglia 2 e con 1-2 il tratto comunedella maglia 1 e 2. In denitiva, si ottiene il seguente sistema di 3 equazioninelle 3 incognite Θ, q1, q2:

M t = 2Ω1q1 + 2Ω2q2 (10.97)

Θ =q1

2GΩ1

ˆ1

1

bdζ − q2

2GΩ1

ˆ1−2

1

bdζ

Θ =q2

2GΩ2

ˆ2

1

bdζ − q1

2GΩ2

ˆ1−2

1

bdζ

Risolvendo il sistema 10.97 è possibile determinare la distribuzione delle tensionitangenziali ed il valore dell'angolo unitario di torsione per la sezione triconnessa.

Il procedimento può essere esteso al caso di sezioni più volte connesse.

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Capitolo 11

TAGLIO E FLESSIONE

11.1 Sollecitazione di taglio e essione

Si esamina il caso in cui la risultante delle tensioni agenti sulla base della travex3 = L consista in una di taglio V, applicata ad un punto individuato dalvettore posizione xT rispetto al baricentro della sezione, come rappresentatoschematicamente in gura 11.1. Ciò si traduce nell'imporre:

N(L) = 0 V(L) = VMf (L) = 0 M t(L) = e3 • xT ×V

(11.1)

Le caratteristiche della sollecitazione calcolate nella generica sezione dellatrave di normale uscente diretta secondo e3 si ottengono come:

N(x3) = 0 V(x3) = VMf (x3) = (L− x3)e3 ×V M t(x3) = e3 • xT ×V

(11.2)

Si assume che sia sempre valida l'ipotesi che σαβ = 0 in ogni punto dellatrave ed inoltre che la tensione normale σ33 sia denita dal problema dellaessione tramite la formula (9.12), che, tenuto conto della terza delle (11.2), siparticolarizza in:

σ33 = J−1(Mf

)⊥ • x

= (L− x3)J−1(e3 ×V

)⊥ • x= −(L− x3)J−1V • x

(11.3)

Per la (11.3) le equazioni indenite di equilibrio (8.13) diventano allora:

σ13,3 = 0 (11.4)

σ23,3 = 0

σ13,1 + σ23,2 = −σ33,3 = −J−1V • x

Vale la pena notare che l'asse neutro delle σ33,3 è denito dall'equazione J−1V•n = 0.

162

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 163

Figura 11.1: Sezione terminale della trave soggetta ad una forza di taglio.

Indicando allora con τ il vettore di componenti σ13 e σ23 le equazioni (11.4)si riscrivono come:

τ ,3 = 0 divτ = −J−1V • x in A (11.5)

Le condizioni al contorno sul mantello della trave (8.14) si traducono sem-plicemente in:

τ • n = 0 su ∂A (11.6)

essendo n la normale uscente denita nel generico punto della frontiera ∂A dellasezione A della trave.

11.2 Centro di taglio

La sollecitazione è detta di puro taglio e essione quando accade che la deforma-zione provocata dalle caratteristiche della sollecitazione denite sulle basi dellatrave dalle (11.1) è ortogonale in energia allo stato di deformazione ottenutoper il problema della torsione. Ciò avviene solo quando il punto di applicazionedella forza tagliante V è scelto in modo tale da rendere nullo il lavoro virtualeinterno tra le tensioni prodotte dalla forza V e le deformazioni prodotte da unmomento torcente di generico valore.

Siano allora τ ∗ le tensioni tangenziali dovute alla sollecitazione di puro taglioe essione e γ il vettore di componenti 2ε13 e 2ε23 che rappresenta la deforma-zione di pura torsione (vedi formula (10.18)), nel caso di puro taglio e essione

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 164

il lavoro virtuale delle τ ∗ per le γ deve essere nullo:

0 =

ˆV

τ ∗ • γ dV =

ˆV

τ ∗ •Θ(∇ω + x⊥

)dV (11.7)

= LΘ

ˆA

τ ∗ •(∇ω + x⊥

)dA

ovvero:

0 =

ˆA

τ ∗ •(∇ω + x⊥

)dA (11.8)

=

ˆA

τ ∗ • ∇ω dA+

ˆA

τ ∗ • x⊥ dA

Si nota che τ ∗ • ∇ω = div (ω τ ∗)− ω divτ ∗ ed inoltre, essendo x⊥ = e3 × x, siha τ ∗ • e3 × x = e3 • x × τ ∗; applicando il teorema della divergenza, la (11.8)diventa allora:

0 =

ˆA

div (ω τ ∗) dA−ˆA

ω divτ ∗ dA+ e3 • xT ×V (11.9)

=

ˆ∂A

ω τ ∗ • n ds+

ˆA

ω J−1V • x dA+ e3 • xT ×V

=

(ˆA

ω J−1x dA+ e3 × xT

)•V

avendo introdotto il punto di applicazione della forza di taglio V, individuatodal vettore xT tale che:

ˆA

x× τ ∗ dA = xT ×V (11.10)

ed avendo utilizzato la seconda delle equazioni (11.5) ed anche la condizione(11.6).

Dall'ultima delle (11.9) si deduce che la sollecitazione è di puro taglio eessione per ogni possibile vettore forza V quando il punto di applicazione dellaforza V è fornito dall'espressione:

e3 × xT = −ˆA

ω J−1x dA (11.11)

ovvero:

xT = e3 ׈A

ω J−1x dA (11.12)

Il vettore posizione xT , univocamente denito dalla formula (11.12), indivi-dua il punto dove deve essere applicato un qualsiasi vettore forza di taglio Vcomunque diretto nel piano della sezione della trave, anché la sollecitazione ditaglio e essione sia ortogonale in energia a quella di torsione. In altre parolequando la retta di azione di V passa per xT si dice che la trave è soggetta a

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 165

Figura 11.2: Applicazione del principio dei lavori virtuali: [a] sistema delleforze (1) - sistema degli spostamenti (2), [b] sistema delle forze (2) - sistemadegli spostamenti (1).

solo taglio e essione e non a sollecitazione di torsione. Ciò induce a calcolareil valore del momento torcente generato da una forza V scegliendo come poloil punto individuato da xT . Così, qualora V sia applicata in xV , il momentotorcente varrebbe M t = e3 • (xV − xT )×V. Ancora, il momento torcente nonva calcolato rispetto al baricentro, ma rispetto al punto denito da xT . Il puntoindividuato da xT è detto centro di taglio.

Se il lavoro virtuale interno denito dalla (11.7) è nullo, dovrà conseguen-temente essere nullo per il principio dei lavori virtuali il corrispondente lavorovirtuale esterno.

Sulla base di questa evidente considerazione, si prende in esame inizialmenteil caso (a) in cui, nell'applicazione del principio dei lavori virtuali, il sistema diforze sia relativo alla sollecitazione di taglio ed il sistema di spostamenti quellorelativo alla sollecitazione di torsione, come mostrato schematicamente in gura11.2. Detto uc il vettore spostamento relativo tra due sezioni poste a distanzaunitaria del punto xT provocato dalla sollecitazione di torsione, si ha:

V • uc =

ˆA

τ ∗ • γ dA ∀ V , τ ∗ in equilibrio (11.13)

Essendo la (11.13) valida per ogni vettore V deve allora accadere che uc = 0,ovvero lo spostamento relativo del centro di taglio per eetto dell'azione diun momento torcente deve essere nullo. Se ne deduce che, per eetto dellasollecitazione di torsione, le sezioni della trave ruotano le une rispetto alle altreintorno al centro di taglio che, per questo motivo, è anche torsione xT = xc.

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 166

Si considera ora il caso (b) in cui, nell'applicazione del principio dei lavorivirtuali, il sistema di forze sia relativo alla sollecitazione di torsione ed il sistemadi spostamenti quello relativo alla sollecitazione di taglio, come mostrato sche-maticamente in gura 11.2. In tal caso il lavoro virtuale esterno è fornito dalprodotto del momento torcente M t del sistema di forze per la rotazione relativatra due sezioni poste a distanza unitaria Θ valutata nel sistema di spostamentiprovocati dalla forza V. In formula si ha:

M t Θ =

ˆA

τ • γ∗ dA =

ˆA

Gγ • 1

Gτ ∗ dA (11.14)

=

ˆA

τ ∗ • γ dA = 0 ∀ M t , τ in equilibrio

Essendo la (11.14) valida per ogni M t deve allora accadere che Θ = 0, ovverola rotazione relativa tra le sezioni della trave dovuta alla sollecitazione di purotaglio e essione, quando cioè V è applicato in xT , è nulla.

Riepilogando, il punto individuato dal vettore xT = xc nel piano dellasezione è:

• centro di torsione (le sezioni della trave ruotano le une rispetto alle altreintorno ad esso quando agisce M t),

• centro di taglio (le sezioni della trave non subiscono rotazioni relative fraloro quando la retta d'azione di V lo contiene).

11.3 Tensione tangenziale media su una corda

Con riferimento alla gura 11.3, si consideri il segmento AB di lunghezza b cherappresenta una generica corda nella sezione retta della trave.

Si denisce tensione tangenziale media sulla corda AB la quantità scalare:

τn =1

b

ˆ B

A

τ • n ds (11.15)

Indicando con A∗ l'area denita dalla corda AB, come mostrato in gura 11.3,e ricordando la condizione al contorno (11.6), si ha:

τnb =

ˆ B

A

τ • n ds =

ˆ∂A∗

τ • n ds = q (11.16)

essendo q il usso delle tensioni tangenziali uscenti dall'area A∗. Applicando ilteorema della divergenza alla (11.16) e ricordando la seconda delle equazioni diequilibrio (11.5), si ha:

q =

ˆ∂A∗

τ •n ds =

ˆA∗divτ dA = −

ˆA∗

J−1V •x dA = −J−1V •S∗ (11.17)

con S∗ vettore momento statico dell'area A∗ rispetto al riferimento baricentricoscelto. L'ultima uguaglianza della (11.16), tenuta conto la (11.17), fornisce la

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 167

Figura 11.3: Tensione tangenziale media.

formula nale per il calcolo della tensione tangenziale media agente sulla cordaAB, nota come formula di Jourawski1:

τn = −1

bJ−1V • S∗ (11.18)

Scelto il sistema di riferimento principale d'inerzia, la formula (11.18) assumela forma specica:

τn = −1

b

[J11 00 J22

]−1V1

V2

•S∗1S∗2

= −1

b

(V1S

∗1

J11+V2S

∗2

J22

)= −1

b

(V1s∗2

I22+V2s∗1

I11

) (11.19)

essendo s∗1 = S∗2 , I11 = J22, s∗2 = S∗1 e I22 = J11.

11.4 Sollecitazione sull'asse di simmetria

Si esamina un caso particolare, ma molto diuso nelle tecniche applicazioni. Siala sezione in esame simmetrica rispetto all'asse x2 come mostrato in gura 11.4,

1Jourawski D.J. (1821 - 1891), ingegnere russo. Si diplomò presso l'Istituto di Ingegneriadelle vie di comunicazione di San Pietroburgo. Nel 1842, egli fu assegnato al progetto dellaferrovia tra San Pietroburgo e Mosca, e nel 1844 ebbe l'incarico della più importante operadella linea, il ponte sul ume Werebia.

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 168

Figura 11.4: Sezione simmetrica sollecitata lungo l'asse di simmetria.

sollecitata lungo lo stesso asse che evidentemente sarà principale di inerzia edinoltre conterrà il centro di taglio e torsione.

La sollecitazione in esame è quindi di puro taglio e essione, senza torsione.La corda sulla quale si intende denire la tensione tangenziale media è scelta inmodo da essere comunque parallela all'asse x1. In questo caso la normale n allacorda coincide con il versore e2 dell'asse x2 e la tensione tangenziale media τnaltro non è che la media sulla corda della tensione tangenziale τ2. Si ha allora:

τ2 = −V2S∗2

J22b(11.20)

con

S∗2 =

ˆA∗x2 dA J22 =

ˆA

(x2)2dA

momento statico rispetto all'asse x1 dell'area A∗ e momento d'inerzia rispettoall'asse x1 della sezione retta, rispettivamente. La formula (11.20) può essereriscritta nella forma:

τn = − V2

b I11s∗1 (11.21)

essendo s∗1 = S∗2 e I11 = J22.Alla formula di Jourawski si può giungere tramite un ragionamento alterna-

tivo, ma equivalente. Si consideri un tratto di trave di lunghezza ∆x3, denitodalla sola parte A∗ della sezione della trave, come illustrato in gura 11.5.

Sulla faccia denita dalla corda che delimita A∗ la tensione tangenziale nondipende dall'ascissa x3. Imponendo l'equilibrio della parte di trave si ha:

R∗(x3 + ∆x3)−R∗(x3) = −τnb ∆x3 (11.22)

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 169

Figura 11.5: Determinazione delle tensioni tangenziali da taglio.

dove la quantità τnb ∆x3 è detta scorrimento sul tratto di lunghezza ∆x3. Dalla(11.22) si ottiene:

τnb = −R∗(x3 + ∆x3)−R∗(x3)

∆x3(11.23)

che, nel limite per ∆x3 che tende a zero, fornisce:

τnb = −dR∗(x3)

dx3(11.24)

Sulla sezione di ascissa x3 le tensioni normali per la essione sono fornitedalla formula (11.3) σ33 = −V2 (L− x3)x2/I11, la cui risultante sull'area A∗

vale:

R∗(x3) = −ˆ

A∗

V2 (L− x3)x2

I11dA = −V2 (L− x3) s∗1

I11(11.25)

da cui si ottiene:dR∗(x3)

dx3=V2s∗1

I11

e quindi

τnb = −V2s∗1

I11

ovvero la formula (11.21).Per determinare i valori massimi e minimi della tensione tangenziale al va-

riare della posizione della corda si impone la condizione di stazionarietà di τ2.Si procede allora come segue:

dτ2dx2

= 0 =⇒ 0 =d

dx2

(S∗2b

)=

1

b

dS∗2dx2− S∗2b2

db

dx2(11.26)

Poiché l'incremento di momento statico vale:

dS∗2 = b x2 dx2 (11.27)

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 170

la seconda delle (11.26) si riduce all'espressione:

x2 =S∗2b2

db

dx2(11.28)

Si evidenzia che per soddisfare la condizione al contorno (11.6) devono nasce-re in corrispondenza della generica corda AB, tensioni tangenziali τ1 in generalenon nulle. Per determinare tale componente del vettore tensione tangenziale, sisfruttano ancora le equazioni di equilibrio imponendo il rispetto della condizionedi mantello scarico (11.6). Si derivi rispetto a x1 la terza equazione indenitadi equilibrio (11.4):

σ13,11 + σ23,21 + σ33,31 = 0 (11.29)

Poiché σ23 = τ2 e σ33 non dipendono da x1 accade che σ23,21 = σ33,31 = 0, percui si ricava che σ13,11 = 0. Ricordando che le tensioni tangenziali sono costantilungo x3, si ha:

τ1 = σ13 = f(x2)x1 + g(x2) (11.30)

con f e g funzioni incognite. La condizione di tangenza delle τ al contorno dellasezione impone:

[f(x2)x1 + g(x2)]n1 + τ2n2 = 0 x1 = ± b2

(11.31)

con n normale al contorno. Vista la simmetria della sezione, per x1 = b/2 n hacomponenti n1 ed n2, per x1 = −b/2 n ha componenti −n1 ed n2, per cui la(11.31) in esplicito diventa:

[f(x2)b/2 + g(x2)]n1 + τ2n2 = 0 x1 = b/2[−f(x2)b/2 + g(x2)]n1 − τ2n2 = 0 x1 = −b/2 (11.32)

che rappresenta un sistema di due equazioni nelle incognite f(x2) e g(x2). Lasoluzione si ricava immediatamente come:

f(x2) = −2τ2n2/b n1 g(x2) = 0 (11.33)

In denitiva si ottiene:

τ1(x1, x2) = −2τ2(x2) n2(x2)

b(x2) n1(x2)x1 (11.34)

cioè la tensione tangenziale parallela alla corda varia linearmente con x1.Si considera ora il caso della sezione rettangolare di dimensioni b×h solleci-

tata secondo l'asse x2. Per il calcolo della tensione tangenziale normale mediasi sceglie una corda parallela all'asse x1 ed a distanza y dall'origine. In questocaso la formula (11.21) diventa:

τ2(y) = − V2

b I11s∗1 = − 12 V2

b b h3b

ˆ y

−h/2x2 dx2 = −12 V2

b h3

1

2

(y2 − h2

4

)(11.35)

L'andamento delle tensioni è parabolico, con valore nullo per y = ±h/2,mentre assume valore massimo per y = 0:

τ2,max = τ2(0) =3 V2

2b h(11.36)

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 171

11.5 La sezione in parete sottile

Si considera il caso in cui la sezione retta della trave sia costituita da una strisciasottile di materiale di spessore variabile o non, avente come linea media la curvapiana di equazione:

x1 = x1(ζ) x2 = x2(ζ) (11.37)

con ζ ascissa curvilinea del generico punto della linea media misurata a partireda un'origine O, che generalmente è scelta in corrispondenza di un'estremitàdella linea; si assume inoltre che la linea media non formi circuiti chiusi. Inquesto caso per corda relativa all'ascissa curvilinea ζ si intende sempre quellaortogonale alla linea media della sezione, cui corrisponde uno spessore b(ζ).

Si suppone che la forza di taglio passi per il centro di taglio. In tal casosi è visto che il lavoro virtuale tra le sollecitazioni di taglio e essione e ditorsione deve essere nullo. Anzi, è stata sfruttata proprio questa proprietà perdeterminare la formula che fornisce xT .

Dalla trattazione della torsione si ricava che la sollecitazione di momentotorcente induce lungo la generica corda una distribuzione lineare di tensionitangenziali τζ parallele alla linea media della sezione e che si annullano in cor-rispondenza del punto medio della corda. Poiché il lavoro virtuale interno chele tensioni tangenziali da taglio compiono per le deformazioni tangenziali datorsione deve essere nullo, si ricava che τζ devono essere simmetriche rispettoal punto medio della corda. Ciò implica che la risultante lungo la corda delleτζ in corrispondenza dell'ascissa curvilinea ζ passa per la linea media. Vista lasimmetria delle tensioni tangenziali rispetto alla linea media per ogni ζ, e vistala piccolezza dello spessore della sezione, si può ora con buona approssimazionesupporre che le τζ siano costanti lungo lo spessore. In pratica si può utilizzarela formula di Jourawski per la determinazione del valore puntuale delle tensionitangenziali da taglio:

τ(ζ) = − 1

b(ζ)J−1V • S∗(ζ) (11.38)

11.6 Deformazione di una trave in parete sottile

Per la determinazione della deformazione indotta nella trave a causa solo dellasua deformabilità a taglio, si può applicare come al solito il principio dei lavorivirtuali.

Il sistema delle forze è costituito da una forza F applicata ove è necessariocalcolare lo spostamento, per esempio all'estremità della trave, comunque direttanel piano della sezione retta della trave. Il sistema degli spostamenti consistenella trave soggetta ad una forza tagliante V.

La tensione tangenziale τ∗(ζ) valutata nel sistema delle forze viene indicatacon τ∗(ζ), e lo scorrimento angolare γ(ζ) valutato nel sistema degli spostamenti,

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 172

per la formula (11.19) valgono:

τ∗(ζ) = −1

b

(F1s∗2

J22+F2s∗1

J11

)γ(ζ) = − 1

G b

(V1s∗2

J22+V2s∗1

J11

)(11.39)

Per il principio dei lavori virtuali, lavoro virtuale esterno uguale lavoro virtualeinterno, si ha:

F • u =

ˆV

τ∗(ζ)γ(ζ) dV (11.40)

=L

G

ˆa

1

b

(F1s∗2

I22+F2s∗1

I11

)(V1s∗2

I22+V2s∗1

I11

)dζ

=L

G

ˆa

1

b

(V1s∗2

I22+V2s∗1

I11

)s∗2I22(

V1s∗2

I22+V2s∗1

I11

)s∗1I11

• F1

F2

=L

G

ˆa

1

b

s∗2I22

s∗2I22

s∗1I11

s∗2I22

s∗2I22

s∗1I11

s∗1I11

s∗1I11

V1

V2

•F1

F2

Si ricava allora:

F • u =L

G AK V • F ∀ F (11.41)

dove:

K = A

ˆa

1

b

s∗2I22

s∗2I22

s∗1I11

s∗2I22

s∗2I22

s∗1I11

s∗1I11

s∗1I11

dζ (11.42)

denito come la matrice (simmetrica) dei fattori di taglio. In denitiva dovendola relazione (11.41) valere per ogni F, si ha:

u =L

G AK V (11.43)

E' necessario notare che le direzioni principali di K in generale non coinci-dono con le direzioni principali del tensore d'inerzia J. Ciò signica che anchese la essione associata al taglio è retta, si possono avere spostamenti da tagliocon componente anche lungo la direzione ortogonale all'azione tagliante. Ciònon si verica evidentemente nelle sezioni che ammettono un asse di simmetria,sollecitate lungo tale asse.

11.7 Determinazione del centro di taglio

Il metodo è basato sulla banale osservazione che una qualsiasi distribuzione ditensioni tangenziali di puro taglio ha come risultante una forza di taglio chepassa per il centro di taglio.

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 173

Da questa evidente aermazione si ricava che se si costruiscono due distribu-zioni di tensioni tangenziali di puro taglio, le risultanti passeranno per il centrodi taglio. Per cui l'intersezione tra le due direzioni degli assi centrali fornirannoil centro di taglio.

In particolare è possibile scegliere le due distribuzioni di tensioni tangenzialifornite dalle espressioni:

τ1(ζ) =1

b(ζ)

V1

I22s∗2(ζ) (11.44)

τ2(ζ) = − 1

b(ζ)

V2

I11s∗1(ζ)

ottenute dalla formula (11.38) ponendo rispettivamente V1 6= 0 V2 = 0 e V1 = 0V2 6= 0. Calcolando gli assi centrali delle due distribuzioni è possibile determina-re il centro di taglio come l'intersezione dei due assi centrali. Tale centro di taglioè individuato dal vettore xT . Il vettore posizione xT individua quindi il puntodove deve essere applicato un qualsiasi vettore forza di taglio comunque direttonel piano della sezione della trave, anché la sollecitazione di taglio e essionenon generi torsione. In altre parole quando la retta di azione di V passa per xTsi dice che la trave è soggetta a solo taglio e essione e non a sollecitazione ditorsione. Ciò induce a calcolare il valore del momento torcente generato da unaforza V scegliendo come polo il punto individuato da xT . Così, supponendo cheV sia applicata in xV , il momento torcente varrebbe M t = e3 • (xV −xT )×V.In denitiva, il momento torcente non va calcolato rispetto al baricentro, marispetto al punto denito da xT .

11.8 Esercizi sulla sollecitazione di taglio

11.8.1 Sezione a C

Si considera una trave soggetta alla sollecitazione di taglio e essione. La sezionedella trave è in parete sottile, come illustrato in gura 11.6.

Si ssa inizialmente il sistema di riferimento (x'1, x'2) con origine nell'an-golo superiore destro, come riportato in gura 11.6. Si procede quindi alladeterminazione del baricentro. A tale scopo si calcolano inizialmente l'area e lecomponenti del vettore momento statico:

A = a b + 2a b+ a b = 4a b

S′1 = s′2 = a b a2 + 2a b a = 52a

2b

S′2 = s′1 = 2a b a+ a b 2a = 4a2b

(11.45)

Le coordinate del baricentro sono allora:

xg1 =s′2A = 5a2b

2 4a b= 5

8a

xg2 =s′1A = 4 a2b

4 a b= a

(11.46)

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 174

Figura 11.6: Sezione in parete sottile soggetta a sollecitazione di taglio eessione.

Si considera il caso in cui la forza di taglio V ha componente non nulla nelladirezione x2; la formula di Jourawski (11.18) assume la forma:

τ = − V2

I11bs∗1 (11.47)

dove τ è la componente normale della tensione tangenziale alla generica corda,che risulta sempre ortogonale alla linea media della sezione.

Per determinare l'andamento delle tensioni tangenziali è necessario valutarela funzione s∗1. A tale scopo si considera la linea media della sezione divisa in 3tratti, come mostrato in gura 11.7; in ogni tratto si introduce un'ascissa.

La funzione momento statico nei tre tratti vale:

s∗1_1 = S∗2_1 = −a b ξ1s∗1_2 = S∗2_2 = −a2b−

(a− 1

2ξ2

)b ξ2

s∗1_3 = S∗2_3 = −a2b+ a b ξ3

(11.48)

In gura 11.8 è riportato l'andamento della funzione momento statico.Dall'equazione (11.47), tenendo conto delle formule (11.48) diagrammate

nella gura 11.8, è possibile determinare il diagramma delle tensioni tangenzialiper la sezione considerata.

Posto:

α =V2

I11b

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 175

Figura 11.7: Ascisse sulla linea media della sezione sottile.

essendo b costante nella sezione, si determinano le risultanti delle tensioni tan-genziali sui singoli tratti della sezione in parete sottile:

F1 = −a

0

αs∗1_1dξ1 = 12a

3b α

F2 = −2a´0

αs∗1_2dξ2 = 83a

3b α

F3 = −a

0

αs∗1_3dξ3 = −12a

3b α

(11.49)

Le tre forze, applicate come mostrato in gura 11.9, hanno risultante:

V1 = 0 V2 =8

3a3b α (11.50)

Scelto un polo qualsiasi, l'asse centrale del sistema di forze si determina im-ponendo che il momento della risultante agente sull'asse centrale sia uguale almomento delle tre forze. In particolare, scegliendo come polo il punto indivi-duato dalle coordinate x1 = 3a/8, x2 = 0, come illustrato in fugura 11.9, siha:

V2d1 + V1d2 = aF1 − aF2 (11.51)

e, tenendo conto delle equazioni (11.49) e (11.50), la (11.51) diventa:

8

3a3b αd1 = a

1

2a3b α+ a

1

2a3b α (11.52)

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 176

Figura 11.8: Diagramma di S∗2 = s∗1.

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 177

Figura 11.9: Forze esplicate nella fase 1.

per cui si ha:

d1 =3

8a (11.53)

Il centro di taglio giace sull'asse x1 di simmetria geometrica per la sezione aduna distanza dall'ala pari a d1.

11.8.2 Sezione sottile

Si considera una trave soggetta alla sollecitazione di taglio e essione. La sezionedella trave è in parete sottile, come illustrato in gura 11.10.

Si ssa inizialmente il sistema di riferimento (x'1, x'2) con origine nell'an-golo superiore destro, come riportato in gura 11.10. Si procede quindi alladeterminazione del baricentro. A tale scopo si calcolano inizialmente l'area e lecomponenti del vettore momento statico:

A = a b + 2a b+ a b + a b = 5a bS′1 = a b a2 + 2a b a+ a b a2 = 3a2b

S′2 = 2a b a+ a b 2a+ a b 32a = 11

2 a2b

(11.54)

Le coordinate del baricentro sono allora:

xg1 =S′1A = 3a2b

5a b= 3

5a

xg2 =S′2A = 11

2a2b5a b

= 1110a

(11.55)

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 178

Figura 11.10: Sezione in parete sottile soggetta a sollecitazione di taglio eessione.

Determinato che sia il baricentro, si calcolano i momenti d'inerzia della se-zione. Poiché il sistema di riferimento baricentrico non è principale d'inerzia,il momento centrifugo è certamente non nullo. La matrice d'inerzia ha quinditutte le componenti non nulle. Si considera il caso in cui la forza di taglio Vha entrambe le componenti non nulle; la formula di Jourawski (11.18) assumela forma:

τ = −1

b[(H11V1 +H12V2) s∗2 + (H12V1 +H22V2) s∗1] (11.56)

dove τ è la componente normale della tensione tangenziale alla generica corda,che risulta sempre ortogonale alla linea media della sezione.

Per determinare l'andamento delle tensioni tangenziali è necessario valutarele funzioni s∗1 e s∗2. A tale scopo si considera la linea media della sezione divisain 4 tratti, come mostrato in gura 11.11; in ogni tratto si introduce un'ascissa.

Le funzioni momento statico nei quattro tratti valgono:

s∗2_1 = S∗1_1 = −(

35a−

12ξ1

)b ξ1

s∗2_2 = S∗1_2 = − 110a

2b+ 25a b ξ2

s∗2_3 = S∗1_3 = 710a

2b+ b ξ3

(25a−

12ξ3

)s∗2_4 = S∗1_4 = 3

5a2b− 3

5a b ξ4

(11.57)

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 179

Figura 11.11: Ascisse sulla linea media della sezione sottile.

Figura 11.12: Calcolo del momento statico s∗2 = S∗1 .

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 180

Figura 11.13: Calcolo del momento statico s∗1 = S∗2 .

s∗1_1 = S∗2_1 = −1110a b ξ1

s∗1_2 = S∗2_2 = − 1110a

2b−(

1110a−

12ξ2

)b ξ2

s∗1_3 = S∗2_3 = −1310a

2b+ 910a b ξ3

s∗1_4 = S∗2_4 = −25a

2b+(

910a−

12ξ4

)b ξ4

(11.58)

Nelle gure 11.14 e 11.15 sono riportati gli andamenti delle funzioni momentostatico.

L'equazione (11.56), tenendo conto delle formule (11.57) e (11.58) ovverodelle funzioni diagrammate nelle gure 11.14 e 11.15, è possibile determinare ildiagramma delle tensioni tangenziali per la sezione considerata.

Qualora fosse necessario determinare la posizione del centro di taglio, siprocede come segue.

Fase 1

Si pone H12V1 + H22V2 = 0 nell'equazione (11.56); le tensioni tangenzialivalgono allora:

τ1 = −1

b(H11V1 +H12V2) s∗2 = −α1s

∗2 (11.59)

avendo posto α1 = (H11V1 +H12V2) /b. La tensione tangenziale così calcolatanella fase 1 dipende esclusivamente da s∗2. Si determinano le risultanti delle

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 181

Figura 11.14: Diagramma di S∗1 = s∗2.

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 182

Figura 11.15: Diagramma di S∗2 = s∗1.

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 183

Figura 11.16: Forze esplicate nella fase 1.

tensioni tangenziali sui singoli tratti della sezione in parete sottile:

F 11 = −

a

0

α1s∗2_1dξ1 = 2

15a3b α1

F 12 = −

2a´0

α1s∗2_2dξ2 = −3

5a3b α1

F 13 = −

a

0

α1s∗2_3dξ3 = −11

15a3b α1

F 14 = −

a

0

α1s∗2_4dξ4 = − 3

10a3b α1

(11.60)

Le quattro forze sono applicate come mostrato in gura 11.16.Le quattro forze hanno risultante V1 con componenti:

V 11 =

13

15a3b α1 V 1

2 = − 3

10a3b α1 (11.61)

Scelto un polo qualsiasi, l'asse centrale del sistema di forze si determina impo-nendo che il momento della risultante sia uguale al momento delle quattro forze.In particolare, scegliendo come polo il baricentro della sezione, ovvero l'originedel sistema di riferimento, si ha:

−V 12 d1 + V 1

1 d2 =11

10aF 1

1 +2

5aF 1

2 +9

10aF 1

3 +3

5aF 1

4 (11.62)

e, tenendo conto delle equazioni (11.60) e (11.61), la (11.62) diventa:

3

10a3b α1d1+

13

15a3b α1d2 =

11

10a

2

15a3b α1−

2

5a

3

5a3b α1−

9

10a

11

15a3b α1−

3

5a

3

10a3b α1

(11.63)

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 184

Figura 11.17: Forze esplicate nella fase 2.

Eettuando qualche semplicazione, si ha:

9d1 + 26d2 = −28a (11.64)

che rappresenta l'equazione dell'asse centrale del sistema di forze con risultanteV1. Il centro di taglio giace certamente sulla retta determinata.

Fase 2

Si pone H11V1 + H12V2 = 0 nell'equazione (11.56); le tensioni tangenzialivalgono allora:

τ2 = −1

b(H12V1 +H22V2) s∗1 = −α2s

∗1 (11.65)

avendo posto α2 = (H12V1 +H22V2) /b. La tensione tangenziale così calcolatanella fase 1 dipende esclusivamente da s∗1. Si determinano le risultanti delletensioni tangenziali sui singoli tratti della sezione in parete sottile:

F 21 = −

a

0

α2s∗1_1dξ1 = 11

20a3b α2

F 22 = −

2a´0

α2s∗1_2dξ2 = 46

15a3b α2

F 23 = −

a

0

α2s∗1_3dξ3 = 17

20a3b α2

F 24 = −

a

0

α2s∗1_4dξ4 = 7

60a3b α2

(11.66)

Le quattro forze sono applicate come mostrato in gura 11.17.Le quattro forze hanno risultante V2 con componenti:

V 21 = − 3

10a3b α2 V 2

2 =59

20a3b α2 (11.67)

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CAPITOLO 11. TAGLIO E FLESSIONE 185

Scelto un polo qualsiasi, l'asse centrale si determina imponendo che il momen-to della risultante sia uguale al momento delle quattro forze. In particolare,scegliendo come polo il baricentro della sezione, ovvero l'origine del sistema diriferimento, si ha:

−V 22 d1 + V 2

1 d2 =11

10aF 2

1 +2

5aF 2

2 +9

10aF 2

3 +3

5aF 2

4 (11.68)

e, tenendo conto delle equazioni (11.66) e(11.67), la (11.68) diventa:

117d1 + 18d2 = −160a (11.69)

che rappresenta l'equazione dell'asse centrale del sistema di forze con risultanteV2. Il centro di taglio giace certamente sulla retta determinata.

Fase 3

Il centro di taglio si trova come intersezione delle due rette ottenute comeassi centrali di V1 e di V2:

9d1 + 26d2 = − 28a117d1 + 18d2 = −160a

(11.70)

che risolvendo fornisce le coordinate del centro di taglio:

d1 = −293

370a = −0.792a d2 = −457

555a = −0.823a (11.71)

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Capitolo 12

CRITERI DI RESISTENZA

12.1 Premesse

Nei capitoli precedenti sono stati forniti gli strumenti matematici necessari perla denizione dello stato di tensione e deformazione in un solido soggetto a deter-minate forze esterne e variamente vincolato. Tali deduzioni eettuate facendol'ipotesi che la materia costituente il corpo segua le leggi dell'elasticità lineare,sono pertanto valide nella misura in cui il comportamento reale del materiale èsucientemente prossimo a quello teorico ipotizzato.

Per vericare tale circostanza si presenta quindi indispensabile la denizioneper via sperimentale delle proprietà tecnologiche dei materiali al ne di saggiarei limiti entro i quali le leggi teoriche proposte sono in grado di rappresentareattendibilmente il fenomeno reale.

Il più semplice e più comune test sperimentale sui materiali da costruzione èla cosiddetta prova di trazione. Tale prova viene eettuata inserendo un provinodi sezione circolare o rettangolare del materiale in esame in una macchina attaad esercitare su di esso una forza di trazione P , come illustrato in gura 12.1,crescente con gradualità e registrando le variazioni 4` della lunghezza di prova`o al variare della forza applicata P .

Detta A l'area iniziale della sezione trasversale del provino; introdotte le due

Figura 12.1: Prova di trazione.

186

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CAPITOLO 12. CRITERI DI RESISTENZA 187

Figura 12.2: Diagramma sforzo-deformazione per materiali metallici comuni.

quantità:

σn =P

A, εc =

4``o

(12.1)

dette rispettivamente tensione nominale e deformazione convenzionale, è pos-sibile dedurre dalla prova un diagramma σn = σn (εc) che qualica abbastanzabene il comportamento meccanico del materiale sotto sforzo.

Facendo riferimento ai materiali metallici più comunemente impiegati nel-l'ambito delle costruzioni quali l'acciaio o l'alluminio, i diagrammi σn − εc ef-fettuati in prove a temperatura ambiente si presentano in genere come qualita-tivamente illustrato in gura 12.2.

Inizialmente la relazione fra tensione e deformazione risulta essere essenzial-mente lineare. Questa parte lineare della curva si estende no al punto A lacui tensione corrispondente σo viene detta limite di proporzionalità. E' evidentepertanto che solo in questo campo risultano attendibili i risultati teorici dedottinell'ipotesi di elasticità lineare. Incrementando ulteriormente il carico, la defor-mazione cresce non più proporzionalmente alla tensione ma il materiale permaneancora in campo elastico nel senso che scaricando il provino questo ritorna allasua lunghezza iniziale. Questa condizione è soddisfatta no al punto B la cuitensione corrispondente σs viene detta tensione di snervamento. Per la granparte dei materiali il limite di proporzionalità σo e la tensione di snervamentoσs risultano essere sensibilmente prossime. Incrementando il carico esterno ul-teriormente, le deformazioni cominciano ad accrescersi molto rapidamente e nonsono più reversibili nel senso che procedendo allo scarico del provino a partire daun punto C situato al di sopra del punto di snervamento B, la legge di scariconon ripercorre a ritroso la curva di carico iniziale OABC ma avviene secondo laretta CC ′ sensibilmente parallela alla retta elastica iniziale OA. La deformazio-ne totale ε che compete al punto C può quindi pensarsi scomposta nella parte

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CAPITOLO 12. CRITERI DI RESISTENZA 188

elastica εe che viene restituita allo scarico e nella parte plastica o permanente εp.Ricaricando il provino a partire dalla situazione deformata C ′, la legge di caricoripercorre piuttosto fedelmente la retta C ′C per poi riprendere, a partire da C,la curva iniziale relativa al materiale vergine. Il campo BD della curva, in cui ilmateriale non più elastico, richiede ancora incrementi di tensione per produrreincrementi di deformazione, denisce il cosiddetto fenomeno dell'incrudimento.

In questa fase comincia a diventare sensibile la contrazione trasversale plasti-ca (strizione) della sezione del provino per cui la tensione nominale σn cominciaa discostarsi piuttosto notevolmente dalla tensione reale.

Si ha allora che, pur continuando ad aumentare la tensione reale, la dimi-nuzione dell'area è tale che la tensione nominale, e quindi il carico, raggiuntoun massimo in corrispondenza del punto D prende a diminuire sino a che in Esi verica la rottura del provino. La tensione nominale massima σr viene dettatensione di rottura. Da quanto detto è evidente pertanto che il comportamentoelastico lineare per i materiali dotati di campo plastico si verica solo entro uncampo piuttosto limitato di tensioni che in regime monoassiale può ritenersiindividuato dall'intervallo:

−σo ≤ σ ≤ σo (12.2)

essendo provato che per tali materiali si ha all'incirca uguale comportamento atrazione e compressione.

La denizione del limite di proporzionalità σo, che come già si è detto si assu-me coincidente con la tensione di snervamento σs, risulta quindi indispensabileper la valutazione del campo di validità della teoria elastica lineare.

In alcuni materiali, quali ad esempio gli acciai a basso tenore di carbo-nio largamente usati nelle costruzioni metalliche, tale denizione risulta esserepiuttosto semplice in quanto, come illustrato in gura 12.3, il raggiungimentodello snervamento è denunciato da un brusco accrescimento della deformazio-ne a tensione pressoché costante (tratto AB della curva di gura 12.3). Neimateriali in cui allo snervamento sussegue immediatamente l'incrudimento (ve-di gura 12.2), la valutazione della tensione di snervamento σs risulta inveceessere estremamente più aleatoria.

Si usa spesso denire infatti tale tensione come quella in corrispondenza dellaquale si ha una deformazione residua allo scarico dello 0,2%.

In ogni caso, ssata che sia per il materiale la tensione di snervamento, latensione di lavoro o tensione ammissibile k per strutture calcolate secondo leipotesi dell'elasticità lineare, deve essere tenuta sucientemente più bassa di σo.Si usa infatti ssare quale valore della tensione ammissibile la quantità:

k =σos

(12.3)

essendo s un coeciente di sicurezza sucientemente maggiore di uno.La necessità di ssare tale coeciente è dovuta a molteplici cause: incertezza

nella previsione dei carichi esterni; incertezza nelle schematizzazioni strutturali;non prevedibilità di eventuali difetti interni del materiale; etc. In questo sensopertanto s è da intendersi come coeciente di ignoranza.

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CAPITOLO 12. CRITERI DI RESISTENZA 189

Figura 12.3: Diagramma sforzo-deformazione per acciai a basso tenore dicarbonio.

Vi è tuttavia da rilevare che limitare il campo di lavoro della struttura aquello elastico lineare, riferendo la sicurezza al raggiungimento di una aliquotadella tensione di snervamento di uno o più punti di essa, conduce spesso ad unsovradimensionamento che risulta certamente antieconomico.

Per materiali che abbiano un campo plastico piuttosto esteso è possibileinfatti, sfruttando le risorse plastiche, pervenire a dimensionamenti più razio-nali ed economici. Ciò implica necessariamente l'abbandono delle limitazioniconnesse all'ipotesi dell'elasticità lineare e l'introduzione dei legami costitutivielasto-plastici certamente più complessi dei precedenti.

Diversa è invece la situazione per i materiali fragili e cioè per quei materialiche hanno limitata capacità di deformarsi plasticamente e pervengono quindi arottura per deformazioni molto piccole.

Per questi materiali, fra i quali si ricordano la ghisa, il vetro, il calcestruzzo,si ha in genere, già da tensioni all'incirca nulle, uno spiccato comportamentonon lineare, come riportato in gura 12.4, ed inoltre una sensibile dierenza diresistenza a trazione e compressione.

Le tensioni ammissibili, e cioè il campo entro il quale è lecito schematizzareil corpo come elastico lineare, devono in questo caso essere tenute molto bas-se sia perché il materiale come si è detto si allontana sin dall'origine da talecomportamento, sia perché, non sussistendo capacità di adattamento plastico,la rottura avviene bruscamente senza alcun fenomeno premonitore.

12.2 I criteri di sicurezza: generalità

Se si prende in considerazione un'asta sottoposta ad uno stato di sollecitazionesemplice, per esempio trazione, si può per essa agevolmente valutare la tensionerelativa alla condizione critica e vericare che quella esistente nell'elemento le

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CAPITOLO 12. CRITERI DI RESISTENZA 190

Figura 12.4: Diagramma sforzo-deformazione per materiali fragili.

sia sempre inferiore. In generale quindi, per strutture che lavorano in regimemonoassiale la sicurezza nel punto generico è garantita se la tensione normaleσ soddisfa la condizione:

−k ≤ σ ≤ k (12.4)

posta l'ipotesi che il materiale abbia uguali tensioni ammissibili a trazione ecompressione.

Nel caso più generale di dierente comportamento a trazione e compressionela (12.4) va sostituita dalla condizione:

−k′′ ≤ σ ≤ k′ (12.5)

essendo k′ e k′′ rispettivamente i limiti ammissibili a trazione ed a compressione.Nel caso di sollecitazione biassiale o triassiale, specie in strutture di forma

non semplice, il problema diviene molto più complesso, in quanto per una veri-ca, si dovrebbero teoricamente prendere in esame, nel caso di materiale isotropo,gli eetti di tutte le possibili combinazioni delle tensioni principali σ1, σ2 e σ3.Questa indagine in realtà si può eettuare con prove sperimentali o su modellicon un procedimento, tuttavia, lungo e costoso.

Usualmente inoltre, per i vari materiali da costruzione, si hanno a disposi-zione solo dati relativi a sollecitazioni di tipo monoassiale statiche.

Qualora quindi si riuscisse per ipotesi a denire la combinazione in qual-che senso più gravosa delle tensioni principali, non si sarebbe ancora in gradodi valutare quantitativamente la pericolosità dello stato tensionale, dovendoconfrontare una sollecitazione di tipo triassiale con una di tipo monoassiale.

Tale dicoltà viene superata facendo delle ipotesi e sviluppando delle teo-rie riguardanti la resistenza dei materiali. Dette ipotesi permettono in sostan-za di denire una tensione ideale, cioè una tensione monoassiale equivalente,esprimibile formalmente con la relazione:

σid = f (σ1, σ2, σ3)

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CAPITOLO 12. CRITERI DI RESISTENZA 191

che provoca nel materiale, secondo la teoria adottata, lo stesso eetto della realesollecitazione triassiale.

La tensione equivalente o ideale, in quanto monoassiale, può essere facilmenteconfrontata con i risultati delle prove sui materiali per la verica delle strutture.

Numerosi sono i criteri di sicurezza proposti per i materiali duttili e fragilie molti di essi si possono considerare largamente superati. Ci si limita pertan-to alla trattazione dei più noti, con particolare interesse per quelli relativi aimateriali duttili che sono gli unici ad aver avuto serie conferme sperimentali.

12.3 Materiali fragili

12.3.1 Criterio della massima tensione normale

Questo criterio (Rankine1, Lamè, Navier) assume che la crisi del materialeabbia luogo quando una delle tre tensioni principali raggiunge la tensione limitea trazione σ′o o a compressione σ′′o . La condizione di crisi del materiale vienedunque individuata analiticamente dal vericarsi di una delle due uguaglianze:

max σ1, σ2, σ3 = σ′o (12.6)

min σ1, σ2, σ3 = −σ′′o

che, nel caso di uguale resistenza a trazione e compressione, si semplicanonell'unica:

max |σ1| , |σ2| , |σ3| = σo (12.7)

Una semplice rappresentazione graca del criterio nel caso di uno statotensionale piano, caratterizzato dall'essere σ3 = 0, è riportata in gura 12.5.

Assunte infatti come coordinate le due rimanenti tensioni principali nonnulle σ1 e σ2 la condizione di crisi (12.6) si traduce per σ3 = 0 nel vericarsi, inalternativa, di una delle quattro uguaglianze:

σ1 = σ′o, σ2 = σ′o, σ1 = −σ′′o , σ2 = −σ′′o (12.8)

1Rankine William John Macquorn (Edimburgo 1820-Glasgow 1872) ingegnere e sicoscozzese. Contribuì a dare orientamento moderno alla scienza delle costruzioni e all'ingegne-ria meccanica, sistemando su basi razionali le molte nozioni e norme di progetto evolutesi conla pratica. Particolare importanza riveste la sua teoria del masso illimitato, fondamentaleper la costruzione di muri di sostegno, e così pure le sue indagini sulle cause di rottura deimateriali da costruzione. Dopo il 1840 si dedicò allo studio delle leggi della termodinamica:nel Manual of the Steam Engine (1859; Manuale della macchina a vapore) sviluppò analiti-camente il complesso di trasformazioni del vapore nelle macchine termiche, stabilendone ilciclo termodinamico caratteristico (ciclo* R.). Convinto sostenitore dell 'energetica, svolseun ruolo assai importante nei dibattiti teorici della sica della seconda metà dell'Ottocento.In uno scritto del 1855, Outlines of the Science of Energetics (Lineamenti di una scienzadell'energetica), propose di assumere i principi della termodinamica come schema teorico ge-nerale per comprendere i fenomeni sici. Metodo o formula di Rankine: determinazione delcarico di sicurezza relativo a un solido snello di sezione A, sollecitato a pressoessione. ScalaRankine: Scala di temperatura assoluta in cui lo zero è lo zero assoluto e in cui l'intervallodi temperatura di un grado è uguale all'intervallo di temperatura di un grado Fahrenheit.

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CAPITOLO 12. CRITERI DI RESISTENZA 192

Figura 12.5: Quadrato di Rankine.

che nel piano σ1, σ2 sono rappresentate rispettivamente dalle quattro rette pas-santi rispettivamente per DA, AB, BC, CD. La crisi si ha dunque in questocaso quando il punto rappresentativo dello stato tensionale giace sul contornodel quadrato ABCD (quadrato di Rankine) e cioè quando una delle due tensioniprincipali non nulle raggiunge il valore limite a trazione o compressione.

E' appena il caso di osservare che nel caso di uno stato tensionale piano allaSaint-Venant, in cui il piano delle tensioni è individuato dalla direzione dell'assex3 e dalla direzione di τ , l'analisi dei cerchi di Mohr conduce a concludere chele tensioni principali sono di segno opposto (vedi gura 12.6).

Pertanto le condizioni di crisi che interessa considerare nell'ambito dellateoria della trave alla Saint Venant sono relative al secondo e quarto quadrantedel riferimento σ1, σ2.

La tensione tangenziale massima τo sopportabile dal materiale in assenza ditensioni normali può peraltro valutarsi osservando che, dovendo valere per unostato tensionale piano la relazione

σi =σ11 + σ22

√(σ11 − σ22

2

)2

+ σ212 i = 1, 2 (12.9)

se l'unica componente di tensione diversa da zero risulta essere σ12 = τ si ha,in termini di componenti principali di tensione:

σ1 = τ, σ2 = −τ (12.10)

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CAPITOLO 12. CRITERI DI RESISTENZA 193

Figura 12.6: Stato tensionale per il solido di Saint-Venant.

Le (12.10) nel piano σ1, σ2 descrivono la retta per OP , che, supposto come ingura 12.5 che risulti σ′o < σ′′o (caso caratteristico della ghisa e del calcestruzzo),interseca il quadrato limite nel punto P di coordinate (σ′o, -σ

′o). Il valore limite

τo della tensione tangenziale risulta quindi essere, in conformità con quantoappena detto:

τo = σ′o (12.11)

Nel caso si supponesse invece che σ′o > σ′′o un identico ragionamento condurrebbead asserire che:

τo = σ′′o (12.12)

In generale può dunque scriversi:

τo = min σ′o, σ′′o (12.13)

Questo criterio di crisi, che risulta essere uno dei più antichi storicamente,era stato sostanzialmente abbandonato in quanto per i materiali duttili risultaessere largamente lontano dalla realtà come è stato provato sperimentalmen-te. Recentemente tale criterio è stato rivalutato invece per ciò che concerne ilcalcestruzzo fornendo risultati piuttosto attendibili.

In ogni caso se

k′ =σ′os′

k′′ =σ′′os′′

(12.14)

rappresentano le tensioni ammissibili a trazione e compressione, essendo s′ eds′′ i rispettivi coecienti di sicurezza, le condizioni di sicurezza nel punto,

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CAPITOLO 12. CRITERI DI RESISTENZA 194

conformemente al criterio ora esposto, si scrivono:

max σ1, σ2, σ3 ≤ k′ (12.15)

min σ1, σ2, σ3 ≥ −k′′

se il materiale ha diverse tensioni ammissibili a trazione e compressione. Nelcaso invece di uguaglianza fra le suddette tensioni, le precedenti si semplicanonell'unica

max |σ1| , |σ2| , |σ3| ≤ k (12.16)

12.3.2 Criterio della massima dilatazione

Questa teoria (Saint Venant, Grashof ) assume che la crisi del materiale abbialuogo quando una delle tre dilatazioni principali raggiunge la dilatazione limitea trazione ε′o = σ′o/E o a compressione ε′′o = σ′′o /E. La condizione di crisi delmateriale viene quindi analiticamente individuata dal vericarsi di una delle dueuguaglianze:

max ε1, ε2, ε3 =σ′oE

(12.17)

min ε1, ε2, ε3 = −σ′′o

E

che nel caso di uguale resistenza a trazione e compressione diventano:

max |ε1| , |ε2| , |ε3| =σoE

(12.18)

Ricordando che

ε =1

E[(1 + ν)σ − ν (σ • I) I] (12.19)

è opportuno, per riportare le (12.17) o (12.18) in termini di tensioni, introdurrele tensioni ideali:

σ1id = σ1 − ν (σ2 + σ3) (12.20)

σ2id = σ2 − ν (σ1 + σ3)

σ3id = σ3 − ν (σ1 + σ2)

che, conformemente alle (12.19), sono quelle tensioni che agendo separatamentein regime monoassiale provocano le stesse dilatazioni principali che si vericanonel caso reale per eetto combinato delle tre tensioni principali.

Le (12.17) assumono così l'aspetto

max σ1id, σ2id, σ3id = σ′o (12.21)

min σ1id, σ2id, σ3id = −σ′′o

e nel caso (12.18)max |σ1id| , |σ2id| , |σ3id| = σo (12.22)

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CAPITOLO 12. CRITERI DI RESISTENZA 195

Figura 12.7: Poligono di Grashof.

Una semplice rappresentazione nel caso degli stati tensionali piani con σ3 =0, può al solito ottenersi osservando che in tali ipotesi la prima delle (12.21) sitraduce nelle tre condizioni:

σ1 − νσ2 = σ′o, σ2 − νσ1 = σ′o, − ν (σ1 + σ2) = σ′o (12.23)

mentre la seconda si traduce nelle ulteriori tre:

σ1 − νσ2 = −σ′′o , σ2 − νσ1 = −σ′′o , − ν (σ1 + σ2) = −σ′′o (12.24)

Le (12.23) nel piano σ1, σ2 descrivono le tre rette di frontiera del triangoloisoscele ABC avente vertici di coordinate (gura 12.7):

A =

(σ′o

1− ν,σ′o

1− ν

), B =

(−σ′o

ν, 0

), C =

(0,−σ

′o

ν

)Le (12.24) descrivono invece le tre rette di frontiera del triangolo isoscele A′B′C ′

avente vertici di coordinate:

A′ =

(− σ′′o

1− ν,− σ′′o

1− ν

), B′ =

(σ′′oν, 0

), C ′ =

(0,σ′′oν

)Il poligono formato dall'intersezione dei due triangoli ottenuti, rappresenta

quindi la frontiera della condizione di crisi in esame. Tale poligono a seconda dei

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CAPITOLO 12. CRITERI DI RESISTENZA 196

valori assunti dal rapporto σ′′o /σ′o e dal coeciente di contrazione trasversale ν,

può essere geometricamente rappresentato da un quadrilatero, da un pentagonoo da un esagono.

Facendo riferimento al caso di uno stato tensionale caratterizzato da unasola tensione tangenziale τ , si ha, conformemente alla (12.10), il valore di crisiper tale tipo di sollecitazione:

τo =1

1 + νmin σ′o, σ′′o (12.25)

Il criterio sopra esposto costituisce sotto certi aspetti un miglioramento delcriterio della massima tensione normale discusso precedentemente. E' infattilogico attendersi che la resistenza nella direzione di una delle tre tensioni princi-pali sia inuenzata dalle tensioni agenti in direzione ortogonale. Questo criterio,contrariamente al precedente, mette in gioco tale circostanza. La sua validità ètuttavia molto dubbia ed è certamente inesistente per i materiali duttili. Per ilcalcestruzzo e per i materiali fragili può forse dare risultati accettabili.

Adottando tale criterio le veriche si conducono assicurandosi che in ognipunto risulti:

max σ1id, σ2id, σ3id ≤ k′ (12.26)

min σ1id, σ2id, σ3id ≥ −k′′

se le tensioni ammissibili sono diverse a trazione e compressione, ovvero assicu-randosi che

max |σ1id| , |σ2id| , |σ3id| ≤ k (12.27)

nel caso di uguali tensioni ammissibili a trazione e compressione.

12.4 Materiali duttili

Si è osservato nelle considerazioni precedenti che per i materiali duttili il com-portamento elastico lineare è limitato superiormente dal raggiungimento dellatensione di snervamento σo. Con riferimento ad uno stato di tensione in generaledi tipo triassiale si pone quindi il problema di denire quale combinazione diesse produca snervamento del materiale.

Un'osservazione fondamentale a tal ne è la seguente: lo snervamento delmateriale non è inuenzato da un regime di pressioni di tipo idrostatico. Taleosservazione ha ricevuto infatti un'ampia conferma sperimentale ad opera delBridgman in una serie di prove di trazione eettuate tenendo immerso il provi-no in una camera a pressione idraulica che consentiva di raggiungere pressionidell'ordine di 2500 atm. Da tali prove è emerso infatti che la pressione idro-statica lascia pressoché inalterato il valore della tensione di snervamento e dàluogo solo ad una maggiore deformabilità plastica del provino, i.e. incrementa laduttilità del materiale. Assunta quindi l'ininuenza della pressione idrostaticaè logico attribuire agli sforzi interni che non variano per eetto della pressionemedesima, la causa dello snervamento del materiale.

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CAPITOLO 12. CRITERI DI RESISTENZA 197

Rilevato che un regime di pressione idrostatica d'intensità p provoca su ognigiacitura passante per il punto esclusivamente una tensione normale σn = p, èimmediato riconoscere che sovrapponendo allo stato di sforzo reale una pressioneidrostatica, restano invariate su ciascuna giacitura le sole componenti tangenzialidi tensione. E' quindi logico pensare che lo snervamento del materiale sia unfenomeno da attribuirsi alle tensioni tangenziali.

Si espongono nel seguito i criteri che, operando in tale spirito, hanno riscossole maggiori conferme per via sperimentale.

12.4.1 Criterio della massima tensione tangenziale

Questa teoria (Tresca, Guest, Saint Venant) assume che lo snervamento avvengaquando la massima tensione tangenziale associata allo stato di tensione realeeguaglia la massima tensione tangenziale che si ha in regime monoassiale all'attodello snervamento.

Ricordando che l'espressione analitica della massima tensione tangenzialerisulta essere (4.40):

τmax =1

2max |σ1 − σ2| , |σ2 − σ3| , |σ1 − σ3| (12.28)

detta σo la tensione di snervamento del materiale in regime monoassiale, è im-mediato dedurre dalla (12.28) che il valore limite della tensione tangenziale inregime monoassiale risulta essere:

τs =σo2

(12.29)

Lo snervamento del materiale secondo tale criterio si ha quindi quando siverica la condizione:

max |σ1 − σ2| , |σ2 − σ3| , |σ1 − σ3| = σo (12.30)

Si precisa n d'ora, come già osservato in precedenza, che si ammette ugualeper i materiali duttili la tensione di snervamento a trazione e compressione, i.e.si assume che tali materiali siano isoresistenti.

Per stati tensionali piani (σ3 = 0), è immediato dedurre che la (12.30) equi-vale a dire che sia vericata una delle sei eguaglianze:

σ1 = ±σo, σ2 = ±σo, σ1 − σ2 = ±σo (12.31)

Nel piano σ1, σ2 tali uguaglianze corrispondono alle sei rette di frontieradell'esagono ABCDEF in gura 12.8, che rappresenta appunto la richiestacondizione di snervamento nel caso di stati tensionali piani (esagono di Tresca).

E' opportuno rilevare che nei due quadranti in cui le due tensioni principalinon nulle hanno segno opposto (caso alla Saint Venant), lo snervamento avvienesecondo tale criterio se e solo se:

|σ1 − σ2| = σo (12.32)

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CAPITOLO 12. CRITERI DI RESISTENZA 198

Figura 12.8: Esagono di Tresca.

D'altro canto la tensione tangenziale che in assenza di tensioni normaliprovoca snervamento, essendo valida la (12.10), si ottiene direttamente dalla(12.29):

τo =σo2

(12.33)

In conformità con il criterio appena descritto, detta k la tensione ammissibile,le veriche di resistenza si conducono quindi assicurandosi che risulti, nel casopiù generale di stato tensionale triassiale:

max |σ1 − σ2| , |σ2 − σ3| , |σ1 − σ3| ≤ k (12.34)

Per gli stati tensionali del tipo alla Saint Venant (piani con tensioni principalidi segno opposto), la (12.34) si riduce a vericare che:

|σ1 − σ2| ≤ k (12.35)

12.4.2 Criterio della massima energia di distorsione

Questa teoria (Von Mises2, Hencky, Huber) assume che lo snervamento delmateriale in un punto abbia luogo qualora il valore dell'energia potenziale com-

2Von Mises Richard (Lemberg 1883-Boston 1953) matematico e losofo austriaco. In-segnò in varie università tedesche e a Berlino dove aderì al Circolo di Berlino (strettamentelegato a quello di Vienna), e accolse le tesi di fondo del neopositivismo logico, pur sostenendocon Reichenbach una concezione non logica della probabilità (1939; Kleines Lehrbuch des Po-sitivismus, Piccolo manuale del positivismo). All'avvento del nazismo emigrò prima in Turchia

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CAPITOLO 12. CRITERI DI RESISTENZA 199

plementare di distorsione per unità di volume ψdist raggiunga in esso un valorelimite ψdisto .

Al ne di denire ψdist si ricorda che il generico stato tensionale rappresen-tato dal tensore σ può sempre scomporsi in maniera univoca in uno stato dettosferico σS ed uno deviatorico σD tali che risulti:

σ = σS + σD / JD1 = 0 (12.36)

σS = σmI =1

3(trσ)I

In particolare in un riferimento principale di tensione si trova:

σD1 =2σ1 − σ2 − σ3

3(12.37)

σD2 =2σ2 − σ1 − σ3

3

σD3 =2σ3 − σ1 − σ2

3

L'opera del Bridgman conferma che σD è causa di una variazione di forma delmateriale sollecitato, pertanto tale aliquota del campo di tensione può denirsidi distorsione, mentre σS è causa di una sola variazione di volume e tale sidenirà l'aliquota del campo di tensione relativa.

Detta pertanto ψ l'energia potenziale complementare per unità di volumeassociata allo stato di tensione σ, è possibile scrivere:

ψ (σ) = ψ(σD + σS

)= ψdist + ψvol + ψDS (12.38)

essendo ψDS l'energia potenziale elastica mutua per unità di volume relativa allavoro mutuo delle due diverse aliquote del campo di tensione. In particolare èfacile convincersi che gli stati tensionali σD e σS sono ortogonali in energia equindi ψDS = 0. Infatti:

ψDS = σD • εS = σD • I εm = JD1 εm = 0 (12.39)

essendo εm la deformazione media. Poiché, come si è già detto, il limite disnervamento dei materiali duttili non sembra subire variazione in presenza dielevati stati idrostatici di tensione, appare logico limitarsi a considerare piuttostoche l'intera energia di deformazione, la sola parte associata alla variazione diforma del materiale in esame.

Il valore dell'energia potenziale complementare di distorsione per unità divolume ψdist si scrive allora come:

ψdist =1

2σD • εD =

1 + ν

2EσD • σD (12.40)

=1

4G

(σD1 )2 + (σD2 )2 + (σD3 )2

e poi negli Stati Uniti dove, dal 1939, fu professore di matematica applicata e aerodinamicaall'Università di Harvard. Si occupò di analisi numerica, di ingegneria aeronautica oltre chedi losoa della scienza. Fu uno dei principali sostenitori della concezione della probabilitàdetta frequentista.

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CAPITOLO 12. CRITERI DI RESISTENZA 200

Sostituendo nella (12.40) le (12.37), la condizione di snervamento secondo talecriterio sussiste quando è vericata l'uguaglianza:

ψdist =1

4G

[(2σ1 − σ2 − σ3

3

)2

+

(2σ2 − σ1 − σ3

3

)2

+ (12.41)

(2σ3 − σ1 − σ2

3

)2]

=1

6G

(σ2

1 + σ22 + σ3

2 − σ1σ2 − σ1σ3 − σ2σ3

)= ψdisto

E' immediato rilevare quindi che in corrispondenza dello stato monoassiale disnervamento si ottiene il valore limite:

ψdisto =σ2o

6G(12.42)

La (12.41) può pertanto riscriversi nella forma:

σ21 + σ2

2 + σ23 − σ1σ2 − σ1σ3 − σ2σ3 = σ2

o (12.43)

Si osserva che dalla (12.43) è possibile passare all'espressione equivalente intermini di componenti generiche del tensore degli sforzi. Infatti, ricordando laseconda delle denizioni (4.24), e tenuto conto della (12.40), si ottiene:

JD2 =1

2

[(trσD

)2 − tr (σD)2] = −1

2σD • σD = −2Gψdist

D'altra parte, per la (4.29) si ha:

−2Gψdist = JD2 = J2 −1

3J2

1

=(σ11σ22 + σ11σ33 + σ22σ33 − σ2

12 − σ213 − σ2

23

)−

1

3(σ11 + σ22 + σ33)

2

=1

3σ11σ22 + σ11σ33 + σ22σ33

−[σ2

11 + σ222 + σ2

33 + 3(σ2

12 + σ213 + σ2

23

)]Ne consegue allora che:

ψdist =1

6G

σ2

11 + σ222 + σ2

33 + 3(σ2

12 + σ213 + σ2

23

)− (σ11σ22 + σ11σ33 + σ22σ33)

e la condizione di snervamento si ha quando:

σ211 +σ2

22 +σ233 +3

(σ2

12 + σ213 + σ2

23

)−(σ11σ22 + σ11σ33 + σ22σ33) = σ2

o (12.44)

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CAPITOLO 12. CRITERI DI RESISTENZA 201

Figura 12.9: Ellisse di Von Mises.

Dalla (12.44) si trae inoltre che la tensione tangenziale che, in assenza di tensioninormali, provoca snervamento del materiale risulta essere:

τo =σo√

3(12.45)

Dal confronto fra la (12.45) e la (12.29) si deduce che il criterio in esame prediceuna tensione tangenziale di snervamento del materiale che risulta essere all'in-circa il 15% più elevata di quella dedotta con il criterio della massima tensionetangenziale esposto in precedenza. Tale dierenza è la massima che peraltro siriscontra fra i due criteri che sono quindi assai prossimi fra di loro dal punto divista applicativo.

Di ciò ci si può rendere conto immediatamente osservando che, nel caso deglistati tensionali piani con σ3 = 0 la condizione di snervamento (12.43) si riducea:

σ21 + σ2

2 − σ1σ2 = σ2o (12.46)

La (12.46) nel piano σ1, σ2 risulta essere rappresentata da una ellisse aven-te come semiasse maggiore la bisettrice dei quadranti in cui le tensioni hannouguale segno e come semiasse minore, ovviamente, la bisettrice dei due qua-dranti rimanenti. Tale ellisse tracciata a tratto pieno nella gura 12.9 risultaessere perfettamente circoscritta all'esagono di Tresca, che nella stessa gura èriportato con linea tratteggiata.

Tale criterio è certamente uno dei più attendibili per descrivere il fenome-no dello snervamento dei materiali duttili e le veriche di resistenza, assunta

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CAPITOLO 12. CRITERI DI RESISTENZA 202

un'opportuna tensione ammissibile k, si conducono con esso assicurandosi chein ogni punto si abbia:√

σ211 + σ2

22 + σ233 − σ11σ22 − σ11σ33 − σ22σ33 + 3 (σ2

12 + σ223 + σ2

13) ≤ k(12.47)

12.4.3 Criterio della massima tensione tangenziale ottae-

drale

Questo criterio si fonda sull'assunzione che lo snervamento avvenga quando latensione tangenziale reale relativa alla giacitura ottaedrale raggiunge un certovalore limite τotto . Ricordando l'espressione analitica (4.43) che caratterizza latensione tangenziale su una giacitura ottaedrale, la condizione di snervamentoin un punto secondo tale criterio si formalizza come:

1

3

√(σ1 − σ2)

2+ (σ1 − σ3)

2+ (σ2 − σ3)

2= τotto (12.48)

E' immediato rilevare quindi che in corrispondenza dello stato monoassiale disnervamento si ottiene il valore limite:

τotto =

√2σo3

(12.49)

La (12.48) si riscrive pertanto nella forma:√(σ1 − σ2)

2+ (σ1 − σ3)

2+ (σ2 − σ3)

2=√

2σo (12.50)

ovviamente equivalente alla (12.43).Quanto appena osservato consente di concludere che pur partendo da linee

concettuali sostanzialmente dierenti, il presente criterio e quello della massimaenergia di distorsione sono di fatto equivalenti. Le considerazioni ed i concettiassociati alla precedente ipotesi di snervamento possono allora ritenersi validinel caso in esame.

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Capitolo 13

INTRODUZIONE ALLA

STABILITA'

DELL'EQUILIBRIO

13.1 Sistemi articolati rigidi

Si consideri una mensola rigida vincolata tramite un supporto elastico di rigi-dezza k, soggetta a carico assiale F , come illustrato in gura 13.1.

L'equazione di equilibrio può essere scritta nella congurazione indeformataovvero in quella deformata caratterizzata da una rotazione ϕ della trave. Nelsecondo caso il vincolo elastico reagisce con un momento proporzionale tramitek alla rotazione ϕ; in tal caso l'equazione di equilibrio si scrive come:

kϕ− FL sinϕ = 0 (13.1)

Risolvendo l'equazione (13.1) rispetto alla forza adimesionalizzata f = FL/k,si ottiene:

f =FL

k=

ϕ

sinϕ(13.2)

In gura 13.2 è riportato il percorso di equilibrio per la mensola. Si evidenziache per f < 1 la mensola è in equilibrio per la sola congurazione denita daϕ = 0, ovvero per la congurazione indeformata. Per f > 1, nell'intervallo−π/2 < ϕ < π/2, per la trave sono possibili 3 congurazioni di equilibrio:ϕ > 0, ϕ < 0, ϕ = 0. Per f = 1 si ha un punto di biforcazione dell'equilibrio;il valore della forza per la quale si ha biforcazione dell'equilibrio è generalmentedenito "carico critico".

L'equazione di equilibrio (13.1) si può anche ottenere come condizione distazionarietà dell'energia potenziale totale, che nel caso in esame vale:

Π (ϕ) =1

2kϕ2 − FL (1− cosϕ) (13.3)

203

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CAPITOLO 13. INTRODUZIONE ALLA STABILITA' DELL'EQUILIBRIO204

Figura 13.1: Mensola soggetta a carico assiale.

Figura 13.2: Percorso di equilibrio della mensola caricata assialmente.

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CAPITOLO 13. INTRODUZIONE ALLA STABILITA' DELL'EQUILIBRIO205

dove il primo termine rappresenta l'energia elastica del vincolo ed il secondo ilpotenziale dei carichi. Imponendo la condizione di stazionarietà si ottiene:

0 =∂Π

∂ϕ= kϕ− FL sinϕ (13.4)

Indagando inoltre sulla derivata seconda dell'energia è possibile stabilire laqualità dell'equilibrio:

∂2Π∂ϕ2 > 0 equilibrio stabile

∂2Π∂ϕ2 < 0 equilibrio instabile

∂2Π∂ϕ2 = 0 equilibrio indierente

(13.5)

L'equilibrio è stabile quando a partire da una congurazione iniziale di equilibrio,perturbando tale congurazione di equilibrio la struttura tende a ritornare nellasua posizione iniziale di equilibrio. L'equilibrio è instabile quando perturbandola congurazione iniziale di equilibrio la struttura tende ad allontanarsi dallaposizione iniziale di equilibrio. L'equilibrio è indierente quando a partire da unacongurazione iniziale di equilibrio, perturbando tale congurazione di equilibriola struttura tende a restare nella sua congurazione perturbata.

Nel caso in esame si ha:

∂2Π

∂ϕ2= k − FL cosϕ (13.6)

Possono accadere i seguenti possibili casi:

• f = FL/k < 1 per cui ϕ = 0; in tal caso si ha:

∂2Π

∂ϕ2= k − FL > 0 (13.7)

l'equilibrio è stabile.

• f = FL/k > 1 con ϕ = 0; in tal caso si ha:

∂2Π

∂ϕ2= k − FL < 0 (13.8)

l'equilibrio è instabile.

• f = FL/k > 1 con ϕ/ sinϕ = f ; in tal caso si ha

∂2Π

∂ϕ2= k − FL cosϕ = k − kϕ

L sinϕL cosϕ = k

(1− ϕ

tanϕ

)> 0 (13.9)

l'equilibrio è stabile.L'andamento della derivata seconda dell'energia potenziale totale è illustrato

in gura 13.3. In gura 13.4 è riportato l'andamento dell'energia potenzialetotale per f = 0.5, f = 1.5 e f = 1.0.

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CAPITOLO 13. INTRODUZIONE ALLA STABILITA' DELL'EQUILIBRIO206

Figura 13.3: Graco della derivata seconda dell'energia potenziale totale nelcaso f = FL/k > 1 con ϕ/ sinϕ = f .

Figura 13.4: Energia potenziale per 3 dierenti valori di f .

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CAPITOLO 13. INTRODUZIONE ALLA STABILITA' DELL'EQUILIBRIO207

Figura 13.5: Trave semplicemente appoggiata con elementi elastici, caricata dipunta.

In realtà nella maggior parte delle applicazioni tecniche è di fondamentaleimportanza determinare esclusivamente il valore del carico critico ovvero delcarico di biforcazione dell'equilibrio, mentre risulta spesso poco interessante,e particolarmente complesso, denire tutti i percorsi di equilibrio post-critici.Allo scopo di determinare il carico critico si può svolgere un'analisi considerandocongurazioni molto vicine a quella indeformata. A tale ne, si sviluppano inserie di Taylor le funzioni trigonometriche no al secondo ordine:

sinϕ = ϕ

cosϕ = 1− ϕ2

2

(13.10)

Sostituendo le espressioni (13.10) nell'energia potenziale totale (13.3), si ottiene:

Π (ϕ) =1

2kϕ2 − FLϕ

2

2(13.11)

Imponendo la stazionarietà dell'energia potenziale nella sua forma approssimata(13.11) si perviene all'equazione:

0 =∂Π

∂ϕ= kϕ− FLϕ (13.12)

che risolta assumendo ϕ 6= 0 fornisce il valore del carico critico:

F =k

L(13.13)

Si consideri ora la trave continua rappresentata in gura 13.5, costituita datratti rigidi connessi tra loro tramite elementi elastici concentrati.

L'energia potenziale totale approssimata al secondo ordine vale:

Π =1

2k ∆ϕ2

1 +1

2k ∆ϕ2

2 − FLϕ2

1

2− FLϕ

22

2− FLϕ

23

2(13.14)

dove ∆ϕ1, ∆ϕ2 e ϕ3 si calcolano in funzione di ϕ1 e ϕ2. In particolare, si ha:

ϕ3 = ϕ1 + ϕ2

∆ϕ1 = ϕ1 − ϕ2

∆ϕ2 = ϕ2 + ϕ3 = ϕ1 + 2ϕ2

(13.15)

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CAPITOLO 13. INTRODUZIONE ALLA STABILITA' DELL'EQUILIBRIO208

L'energia (14) diventa allora:

Π (ϕ1, ϕ2) = 12k (ϕ− ϕ2)

2+ 1

2k (ϕ1 + 2ϕ2)2

−FLϕ21

2 − FLϕ2

2

2 − FL(ϕ1 + ϕ2)

2

2

(13.16)

La condizione di stazionarietà dell'energia potenziale totale (13.16) conduce alleequazioni:

0 = ∂Π∂ϕ1

= k (ϕ1 − ϕ2) + k (ϕ1 + 2ϕ2)− FLϕ1 − FL (ϕ1 + ϕ2)

= 2 (k − FL)ϕ1 + (k − FL)ϕ2

0 = ∂Π∂ϕ2

= −k (ϕ1 − ϕ2) + 2k (ϕ1 + 2ϕ2)− FLϕ2 − FL (ϕ1 + ϕ2)

= (k − FL)ϕ1 + (5k − 2FL)ϕ2

(13.17)ovvero, in forma matriciale[

2 (k − FL) k − FLk − FL 5k − 2FL

]ϕ1

ϕ2

=

00

(13.18)

Il sistema di equazioni (13.18) risulta omogeneo; per avere una soluzione diversadalla banale, corrispondente a quella di trave indeformata, si deve imporre cheil determinante sia uguale a zero:

det

[2 (k − FL) k − FLk − FL 5k − 2FL

]= 9k2 − 12kFL+ 3F 2L2 = 0 (13.19)

che risolta rispetto a F fornisce i seguenti due valori:

F1 =k

L, F2 = 3

k

L(13.20)

Sostituendo il valore F = F1 nella seconda delle equazioni (13.17), si ottiene:

0 =(k − k

LL)ϕ1 +

(5k − 2 kLL

)ϕ2 = 3kϕ2 =⇒ ϕ1 6= 0 ϕ2 = 0

(13.21)Analogamente, sostituendo il valore F = F2 sempre nella seconda delle equazioni(13.17), si ottiene:

0 =(k − 3k

L L)ϕ1 +

(5k − 23k

L L)ϕ2 = −2kϕ1 − kϕ2 =⇒ ϕ1 = −ϕ2

2(13.22)

Le forme delle deformate corrispondenti ai due valori del carico critico determi-nati sono riportati schematicamente in gura 13.6.

Se ne deduce allora che in corrispondenza del valore del carico critico F1 < F2

la congurazione di equilibrio non banale è una qualsiasi, proporzionale allaprima di quelle riportate in gura 13.6. Inoltre, in corrispondenza del valore delcarico critico F2 > F1, la congurazione di equilibrio non banale è una qualsiasi,proporzionale alla seconda di quelle riportate in gura 13.6.

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CAPITOLO 13. INTRODUZIONE ALLA STABILITA' DELL'EQUILIBRIO209

Figura 13.6: Deformate corrispondenti ai due valori del carico critico.

13.2 Travi con elasticità diusa

Si consideri una trave soggetta a carico assiale in equilibrio in una congurazionedeformata. Le equazioni di equilibrio del tratto di trave di lunghezza dz nellacongurazione deformata, schematicamente illustrato in gura 13.7, forniscono:

T ′ = 0M ′ −Nv′ = 0

(13.23)

essendo F = N .Nell'ipotesi che le curvature siano comunque non troppo grandi e che possa

ancora valere la classica relazione tra momento ettente e curvatura, si ottienela seguente equazione dierenziale:

EIvIV +NvII = 0 (13.24)

ovvero

vIV + α2vII = 0 con α2 =N

EI(13.25)

L'equazione (13.25) ammette soluzione del tipo:

v = A sin (αz) +B cos (αz) + Cz +D

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CAPITOLO 13. INTRODUZIONE ALLA STABILITA' DELL'EQUILIBRIO210

Figura 13.7: Trave con elasticità diusa soggetta a carico assiale.

per cui si ha:

ϕ = −v′ = −αA cos (αz) + αB sin (αz)− CM = EIϕ′ = α2A sin (αz) + α2B cos (αz)T = M ′ −Nv′ = α3A cos (αz)− α3B sin (αz) +

N (−αA cos (αz) + αB sin (αz)− C)

(13.26)

Inoltre è necessario scrivere le opportune condizioni al contorno. Nel casoparticolare di trave appoggiata-appoggiata, si ha:

v (0) = 0 −→ B +D = 0M (0) = 0 −→ B = 0v (L) = 0 −→ A sin (αL) +B cos (αL) + CL+D = 0M (L) = 0 −→ α2A sin (αL) + α2B cos (αL) = 0

che, in denitiva forniscono:

B = C = D = 0 A sin (αL) = 0 (13.27)

Qualora anche A fosse nulla, la soluzione sarebbe banale, ovvero l'equilibriosi avrebbe nella congurazione indeformata; al contrario, poiché si intende de-terminare la condizione di equilibrio nella congurazione deformata, si deveporre:

sin (αL) = 0 → αL = nπ (13.28)

Quindi si perviene alla condizione:

α2 =(nπL

)2

=N

EI(13.29)

da cui si ricava il valore del carico critico minore Nc:

Nc = EI(πL

)2

(13.30)

avendo assunto n = 1.

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CAPITOLO 13. INTRODUZIONE ALLA STABILITA' DELL'EQUILIBRIO211

Figura 13.8: Mensola a sezione variabile soggetta a carico di punta.

13.2.1 Esempio

Determinare il carico critico della trave a sezione variabile in gura 13.8.L'equazione dierenziale che governa il problema è la seguente:

E Id4v

dz4+N

d2v

dz2= 0 (13.31)

dove v è l'inessione della trave e z è l'asse della trave. Ponendo:

α2 =N

EI(13.32)

l'equazione (13.31) diventa:

d4v

dz4+ α2 d

2v

dz2= 0 (13.33)

La soluzione dell'equazione dierenziale (13.33) è del tipo:

v = A sin (αz) +B cos (αz) + Cz +D (13.34)

dove A, B, C e D sono costanti di integrazione da determinare imponendo op-portune condizioni al contorno. Dalla soluzione (13.34) è possibile determinarela rotazione, il momento ettente ed il taglio nella trave:

ϕ = −v′ = −αA cos (αz) + αB sin (αz)− CM = EIϕ′ = α2A sin (αz) + α2B cos (αz)T = M ′ −Nv′ = α3A cos (αz)− α3B sin (αz) +

N (−αA cos (αz) + αB sin (αz)− C)

(13.35)

L'equazione dierenziale (13.33) deve essere scritta 3 volte, una per ogni trattodella trave in gura:

d4v1dz41

+ α21d2v1dz21

= 0

d4v2dz42

+ α22d2v2dz22

= 0

d4v3dz43

+ α23d2v3dz23

= 0

(13.36)

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CAPITOLO 13. INTRODUZIONE ALLA STABILITA' DELL'EQUILIBRIO212

le cui soluzioni sono:

v1 = A1 sin (α1z) +B1 cos (α1z) + C1z +D1

v2 = A2 sin (α2z) +B2 cos (α2z) + C2z +D2

v3 = A3 sin (α3z) +B3 cos (α3z) + C3z +D3

(13.37)

Si pone:

α21 =

N

EI1α2

2 =N

EI2α2

3 =N

EI3

α1 = αα2 = βαα3 = γα

(13.38)

con:

β =

√I1I2

γ =

√I1I3

β2 = I1I2

γ2 = I1I3

I2 = I1β2 I3 = I1

γ2

(13.39)

Le condizioni al contorno da imporre per determinare le costanti di integrazionesono le seguenti:

• in A:v1(0) = 0ϕ1(0) = 0

• in B:v1(L1) = v2(0)ϕ1(L1) = ϕ2(0)M1(L1) = M2(0)T1(L1) = T2(0)

• in C:v2(L2) = v3(0)ϕ2(L2) = ϕ3(0)M2(L2) = M3(0)T2(L2) = T3(0)

• in D:M3(L3) = 0T3(L3) = 0

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CAPITOLO 13. INTRODUZIONE ALLA STABILITA' DELL'EQUILIBRIO213

Esplicitando si ha:

0 = B1 +D1

0 = αA1 + C1

0 = A1 sin (αL1) +B1 cos (αL1) + C1L1 +D1 − [B2 +D2]0 = αA1 cos (αL1) + αB1 sin (αL1) + C1 − [(β α)A2 + C2]

0 = α2A1 sin (αL1) + α2B1 cos (αL1)− (β α)2B2

0 = α3A1 cos (αL1) + α3B1 sin (αL1)− (β α)3A2

0 = A2 sin ((β α)L2) +B2 cos ((β α)L2) + C2L2 +D2 − [B3 +D3]0 = (β α)A2 cos ((β α)L2) + (β α)B2 sin ((β α)L2) + C2 − [(γ α)A3 + C3]

0 = (β α)2A2 sin ((β α)L2) + (β α)

2B2 cos ((β α)L2)− (γ α)

2B3

0 = (β α)3A2 cos ((β α)L2) + (β α)

3B2 sin ((β α)L2)− (γ α)

3A3

0 = −EI3[(γ α)

2A3 sin ((γ α)L3) + (γ α)

2B3 cos ((γ α)L3)

]0 = −EI3

[(γ α)

3A3 cos ((γ α)L3) + (γ α)

3B3 sin ((γ α)L3)

]−N [(γ α)A3 cos ((γ α)L3) + (γ α)B3 sin ((γ α)L3) + C3]

(13.40)Ponendo:

s1 = sin (αL1) c1 = sin (αL1)s2 = sin (αβL2) c2 = sin (αβL2)s3 = sin (αβL3) c3 = sin (αβL3)

(13.41)

si ottiene il seguente sistema di equazioni omogeneo:

M X = 0 (13.42)

Per ottenere una soluzione del sistema di equazioni (13.42) diversa dalla banale,si impone il determinante della matrice dei coecienti uguale a zero:

det (M) = 0 (13.43)

Risolvendo l'equazione (13.43) rispetto a N , e scegliendo il valore minimo di Nche soddisfa la (13.43), si determina il carico critico.