Appunti di Matematica - Sonia...

Università degli Studi di Cagliari

Appunti diMatematica

Sonia Cannas

Anno Accademico 2015-2016

Indice

1 Insiemi e numeri 4

1.1 Insiemi e operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Insiemi numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Potenze e radici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Multipli, divisori e numeri primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7 Valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Geometria euclidea sintetica 19

2.1 Introduzione alla geometria del piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Angoli, perpendicolarità e parallelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Trasformazioni geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Poligoni: aree e perimetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 Cerchio e circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Calcolo letterale 32

3.1 Monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Alcuni prodotti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Scomposizione di polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.6 Espressioni letterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Equazioni 44

4.1 Principi di equivalenza per le equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 Equazioni di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3 Equazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4 Sistemi di equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

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INDICE 3

5 La retta nel piano cartesiano 57

5.1 Il piano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 Distanza tra due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3 Luoghi geometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.4 Equazione della retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5 Posizione reciproca di due rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6 Le coniche 67

6.1 La parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.2 Equazione della parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.3 Retta e parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.4 La circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.5 Retta e circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.6 L'ellisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.7 Iperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7 Disequazioni 87

7.1 Disuguaglianze e principi di equivalenza per le disequazioni . . . . . . . . . . . . 87

7.2 Disequazioni di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.3 Disequazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.4 Disequazioni scomponibili in fattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.5 Disequazioni frazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.6 Sistemi di disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8 Trigonometria 94

8.1 Misura di un angolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8.2 Le funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8.3 La prima relazione fondamentale della trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.4 Angoli associati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8.5 Relazioni tra lati e angoli di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.6 Formule goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.7 Equazioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

9 Esponenziali e logaritmi 114

9.1 La funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.2 Equazioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9.3 Disequazioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

9.4 La funzione logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9.5 Proprietà dei logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.6 Equazioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.7 Disequazioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Capitolo 1

Insiemi e numeri

1.1 Insiemi e operazioni

In matematica con il termine insieme si intende una collezione di oggetti di qualsiasi natura. Ilconcetto di insieme è una nozione primitiva.

Per poter de�nire un ente matematico sono necessari altri enti matematici, ciascuno dei qualiviene de�nito attraverso altri entri ancora e così via. È chiaro che non si può avere un regressoall'in�nito, è indispensabile avere un punto di partenza, perciò sono state introdotte le cosiddettenozioni primitive, cioè delle nozioni non de�nibili, che si assumono a priori.

Gli oggetti di un insieme sono detti elementi.

Notazione 1. Solitamente un generico insieme si denota con una lettera latina maiuscola,mentre si utilizzano le lettere latine minuscole per indicare i suoi elementi.

Per descrivere un insieme è necessario conoscere quali elementi gli appartengono, e ciò puòavvenire in due modi:

� elencando tutti gli elementi dell'insieme tra parentesi gra�e;

Esempio 1.1.

A = {a, e, b, c, d, f}

� precisando le proprietà che caratterizzando tutti gli elementi dell'insieme.

Esempio 1.2.

B = {tutti i numeri pari}Osservazione 1.1. Quando si descrive un insieme elencandone gli elementi non ha importanzal'ordine in cui essi vengono elencati, né devono essere ripetuti.

Osservazione 1.2. Gli insiemi possono essere �niti, come nell'esempio 1.1, oppure in�niti,come nell'esempio 1.2.

Se a è un elemento dell'insieme A, si dice che a appartiene ad A e si esprime con la seguentenotazione:

a ∈ A

Se, viceversa, un elemento a non appartiene ad A, si scrive:

a /∈ A

Gli insiemi possono essere rappresentati gra�camente attraverso i diagrammi di Eulero-Venn,in cui gli elementi sono rappresentati da punti racchiusi all'interno di una linea chiusa nonintrecciata.

4

CAPITOLO 1. INSIEMI E NUMERI 5

Figura 1.1: Rappresentazione dell'insieme A = {a, b, c, d} attraverso il diagramma di Eulero-Venn

Insiemi particolari

È opportuno introdurre due due insiemi particolari: l'insieme vuoto e il singoletto.

L'insieme vuoto è, come si potrebbe inutire dal nome, l'insieme privo di elementi, e si denotacon il simbolo ∅.Il singoletto è un insieme costituito da un solo elemento, ad esempio A = {a}.

Sottoinsiemi, inclusione, insieme delle parti

De�nizione 1.1. Un insieme B si dice sottoinsieme di un insieme A (e si scrive B ⊆ A) o,equivalentemente, che B è incluso in A, se ogni elemento di B è anche elemento di A, cioè:

x ∈ B ⇒ x ∈ A ∀x ∈ B

Osservazione 1.3. Dalla de�nizione osserviamo che tra i sottoinsiemi di un insieme ci sonoanche l'insieme vuoto e l'insieme stesso, e sono detti sottoinsiemi impropri.

Se si vuole escludere la possibilità che un sottoinsieme coincida con l'insieme stesso, si utilizza ilsimbolo di inclusione stretta: B ⊂ A. In tal caso si dice che B è un sottoinsieme proprio diA.

Esempio 1.3. Sia A = {mesi dell'anno}. Allora B = {febbraio, luglio, agosto} è un sottoinsie-me di A.

Esempio 1.4. Sia A = {triangoli isosceli}. Allora B = {triangoli equilateri} è un sottoinsiemedi A.

L'insieme formato da tutti i sottoinsiemi di un dato insieme A viene detto insieme delle parti

di A, e si denota con P(A).

Esempio 1.5. Sia X = {a, b, c}. Allora P(X) = {∅, X, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}}

Insieme complementare e di�erenza insiemistica

De�nizione 1.2 (insieme complementare). Sia B ⊆ A. Si de�nisce insieme complementare

di B rispetto ad A l'insieme formato dagli elementi di A che non appartengono a B, cioè1:

B = {x ∈ A|x /∈ B}1Alcuni testi indicano il complementare di un insieme B non con il simbolo B ma con C(B) o anche BC .


Esempio 1.6. Consideriamo A = {0, 1, 2, 4, 7, 8} e sia B = {0, 7, 8}. Allora B = {1, 2, 4}.

De�nizione 1.3 (Di�erenza insiemistica). Dati due insiemi A e B, si de�nisce di�erenza

insiemistica fra A e B, e si indica con A\B, la totalità degli elementi di A che non appartengonoa B, cioè:

A \B = {x ∈ A|x /∈ B}

Esempio 1.7. Siano A = {0, 1, 2, 4, 7, 8} e B = {0, 1, 9}. Allora A \B = {2, 4, 7, 8}.

Osservazione 1.4. Le de�nizioni 1.2 e 1.3 apparentemente sembrerebbero identiche, osserviamoperò che nella 1.3 non è richiesto che B ⊆ A.

Unione e intersezione

De�nizione 1.4 (Intersezione). Siano A e B due insiemi. Si de�nisce intersezione fra A eB, e si indica con A ∩B, l'insieme formato dagli elementi che appartengono sia ad A che a B,cioè:

A ∩B = {x|x ∈ A e x ∈ B}

Esempio 1.8. Siano A = {2, 7, 5} e B = {0, 1, 2, 9}. Allora A ∩B = {2}.

Può capitare che due insiemi non abbiano alcun elemento in comune, in tal caso la loro interse-zione è l'insieme vuoto. Due insiemi la cui intersezione è vuota sono detti disgiunti.

De�nizione 1.5 (Unione). Siano A e B due insiemi. Si de�nisce unione fra A e B, e siindica con A ∪ B, l'insieme formato dagli elementi che appartengono ad A o a B, ivi compresigli elementi in comune, cioè:

A ∪B = {x|x ∈ A o x ∈ B}

Esempio 1.9. Siano A = {2, 7, 5} e B = {0, 1, 2, 9}. Allora A ∪B = {2, 7, 5, 0, 1, 9}.

Prodotto cartesiano

De�nizione 1.6 (Prodotto cartesiano). Siano A e B due insiemi. Si de�nisce prodotto car-

tesiano fra A e B, e si indica con A × B, l'insieme formato dalle coppie ordinate (a, b), dovea ∈ A e b ∈ B, cioè:

A×B = {(a, b)|x ∈ A e b ∈ B}

Esempio 1.10. Siano A = {2, 7, 5} e B = {a, b}. Allora A×B = {(2, a), (2, b), (7, a), (7, b), (5, a), (5, b)}.

Osservazione 1.5. Le coppie devono essere ordinate, cioè (a, b) 6= (b, a).

1.2 Insiemi numerici

I primi numeri che abbiamo conosciuto sono quelli usati comunemente per contare, sono costruitiattraverso un sistema di assiomi in cui si parte dallo zero e ogni numero successivo si ottieneaggiungendo 1. Tali numeri formano l'insieme dei numeri naturali:

N = {0, 1, 2, 3, . . . }


Su questo insieme abbiamo imparato a svolgere le 4 operazioni sin dalla scuola elementare.Osserviamo però che mentre è sempre possibile eseguire addizioni e moltiplicazioni, non sempresono lecite sottrazioni e divisioni: nell'insieme dei numeri naturali è possibile calcolare 5− 3 manon, ad esempio, 3− 5.

Il problema viene superato introducendo un nuovo insieme numerico, de�nito a partire dai numerinaturali: l'insieme dei numeri interi

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }

Tale insieme è costituito da tutti i numeri naturali e dai numeri che si ottengono attribuendo ilsegno �-� a tutti i naturali (eccetto lo zero).

Nonostante in Z sia possibile eseguire sottrazioni di qualsiasi tipo, rimane ancora il problemadella divisione: è possibile calcolare 8 : 2 ma non 2 : 8.

Per poter eseguire sempre anche l'operazione di divisione è stato ampliato l'insieme dei numeriinteri ottenendo l'insieme dei numeri razionali:

Q =

{p

q

∣∣∣∣ p, q ∈ Z, q 6= 0

}Quindi l'insieme dei numeri razionali è costituito da tutte le frazioni fra numeri interi condenominatore diverso da 0.

Osservazione 1.6. Una frazione fra due numeri rappresenta una divisione fra essi, dove ilnumeratore è il dividendo (quantità da dividere) e il denominatore è il divisiore (quantità chedivide). Essa deve avere denominatore diverso da zero poiché non si può dividere per zero.Prendiamo ad esempio 5

0 e applichiamo l'algoritmo della divisione in colonna. Bisogna cercareun numero che moltiplicato per 0 dia 5, ma non esiste, perché qualsiasi numero moltiplicato per0 dà 0 come risultato.

Come vedremo meglio nel prossimo paragrafo, le frazioni si possono esprimere come numeridecimali �niti oppure come numeri decimali periodici. Sappiamo però che esistono anche numeridecimali che hanno in�nite cifre dopo la virgola ma che non sono periodici, ad esempio: π, e,

√2.

Tali numeri sono detti numeri irrazionali2 e, insieme ai numeri razionali, formano l'insiemedei numeri reali che si indica con R.

Osservazione 1.7. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

I numeri reali possono essere rappresentati su una retta detta retta reale: ad ogni numero vieneassociato un punto della retta, viceversa ad ogni punto viene associato un numero reale. In talmodo viene stabilita una corrispondenza tra R e la retta reale detta corrispondenza biunivoca.

Le proprietà dei numeri reali, quali ad esempio la completezza, verranno a�rontate durante icorsi universitari.

1.3 Potenze e radici

L'espressione an indica l'operazione di elevamento a potenza, si legge �a elevanto n�, e serveper indicare, in forma compatta ed elegante, il prodotto di a per sé stesso n volte, cioè:

an = a · a · a · · · a︸︷︷︸n volte

2Esistono due tipi di numeri irrazionali:

� irrazionali algebrici : numeri ottenuti come soluzioni di equazioni polinomiali a coe�cienti interi (ad esempio√2);

� irrazionali trascendenti : numeri irrazionali che non sono algebrici (ad esempio π, e).


Figura 1.2: Retta reale

Esempio 1.11. 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 4 · 2 · 2 · 2 = 8 · 2 · 2 = 16 · 2 = 32

Il numero a è detto base, n è detto esponente.

Osservazione 1.8. Un qualsiasi numero elevato n = 1 è pari a sé stesso.Esempio: 51 = 5.

Una qualsiasi potenza avente per base a = 0 è pari a 0.Esempio: 03 = 0 · 0 · 0 = 0.

Sfruttando la proprietà associativa e quella commutativa è possibile dimostrare le seguentiproprietà delle potenze:

am · an = am+n (1.1)

am : an = am−n (1.2)

(am)n = am·n (1.3)

an · bn = (a · b)n (1.4)

an : bn = (a : b)n (1.5)

Esempio 1.12. 23 · 24 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 27

Esempio 1.13. 35 : 33 = 35

33= 3·3·3·3·3

3·3·3 = 3 · 3 = 32

Esempio 1.14.(22)3

= (4)3 = 64 = 26

Esempio 1.15. 42 · 32 = 4 · 4 · 3 · 3 = 4 · 3 · 4 · 3 = (4 · 3)2

Esempio 1.16. 42 : 32 = 42

32= 4·4

3·3 = 43 ·

43 =

(43

)2= (4 : 3)2

Osservazione 1.9. an + am e an + bn non hanno proprietà particolari.

In generale a, n ∈ R, quindi vediamo alcuni casi particolari di potenze.

Potenze con base negativa

Una qualsiasi potenza con base a negativa è:

� positiva se l'esponente n è pari;

� negativa se l'esponente n è dispari.

Esempio 1.17. (−3)4 = (−3) · (−3) · (−3) · (−3) = 81

Esempio 1.18. (−3)3 = (−3) · (−3) · (−3) = −27


Potenze con esponente nullo

Per ogni a 6= 0 si ha:

a0 = 1

Dimostrazione. Consideriamo la divisione tra due potenze aventi stessa base e stesso esponente:an : an.

Essendo una divisione tra due numeri uguali il risultato è ovviamente 1: an : an = 1.

Applicando la proprietà 1.2 delle potenze possiamo scrivere: an : an = an−n = a0.

Poiché la divisione è la stessa, i risultati devono essere uguali, perciò: a0 = 1.

Esempio 1.19. 40 = 45 : 45 = 1.

Osservazione 1.10. Ciò vale per ogni a 6= 0. Tale caso va escluso poiché se da un lato unapotenza con base nulla dà 0, una potenza con esponente nullo dà 1.

Potenze con esponente intero negativo

Per ogni a 6= 0 e n ∈ Z+ si ha3:

a−n =1

an

Esempio 1.20. Consideriamo la divisione di due potenze con la stessa base:

54 : 57 = 54−7 = 5−3

54 : 57 =54

57=

5 · 5 · 5 · 55 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5

=1

5 · 5 · 5=

1

53

Poiché i risultati devono essere uguali: 5−3 = 153.

Osservazione 1.11. Anche stavolta abbiamo dovuto considerare a 6= 0. Infatti, se per assurdoa = 0 allora si avrebbe:

0−n =1

0n=

1

0

e tale espressione non ha signi�cato poiché non ha senso dividere per 0.

Quindi elevando una frazione non nulla ab a un esponente negativo si ha:(ab

)−n=

(b

a

)n

Potenze con esponente razionale e radici

Sia a ∈ Z+, si de�nisce radice n-esima di a quel numero reale b non negativo tale che bn = a.Tale numero si indica con n

√a. Da tale de�nizione si ha subito che:(

n√a)n

= a

3Se n è un intero positivo allora −n è un intero negativo.


quindi, in virtù delle proprietà delle potenze, il radicale può essere descritto come un elevamentoa potenza frazionaria:

a1n = n

√a (1.6)

In tal modo le proprietà delle potenze sono ancora rispettate, infatti:(a

1n

)n= a

1n·n = a1 = a

come avveniva per la redice n-esima.

Più in generale, sia n = pq , con p, q ∈ Z e q 6= 0, si ha:

apq =

(q√a)p

= q√ap

In questo caso:

� se q è pari, la potenza è de�nita per a > 0;

� se q è dispari

� se p è positivo, la potenza è de�nita per qualsiasi a 6= 0;

� se p è negativo, la potenza è de�nita per qualsiasi a 6= 0.

Le proprietà fondamentali dei radicali sono conseguenza delle proprietà delle potenze, infatti∀a, b ≥ 0, n,m ∈ Z+:

n√a · n√b =

n√a · b (1.7)

n√a

n√b

= n

√a

b(1.8)(

n√a)m

= n√am (1.9)

n

√m√a = mn

√a (1.10)

n√anb = a

n√b (1.11)

Esempio 1.21.√

3√

10√

5 =√

3 · 10 · 5 =√

150 = 5√

6

Esempio 1.22.√50√25

=√

5025 = 2

Esempio 1.23.(√

5)4

=√

54 = 25

Esempio 1.24.√

3√

3 = 2·3√3 = 6√

3

Esempio 1.25.√

500 =√

100 · 5 = 10√

5

Osservazione 1.12. È importante ricordare che, in generale, ∀a, b ≥ 0:√a+√b ≥√a+ b (1.12)

Esempio 1.26.√

25 +√

24 ' 9, 89√25 + 24 =

√49 = 7

Spesso è utile razionalizzare il denominatore di una frazione, cioè di eliminare dal denominatorela radice trasformando la frazione in una equivalente. Ciò si ottiene moltiplicando numeratore edenominatore per uno stesso fattore, scelto in modo tale da eliminare la radice dal denominatore.Tale moltiplicazione non modi�ca la frazione, moltiplicare numeratore e denominatore per unostesso fattore equivale a moltiplicare l'intera frazione per 1.

Esempio 1.27. 2√3

= 2√3·√3√3

= 2·√3√

3·√3

= 2√3

3


1.4 Multipli, divisori e numeri primi

Consideriamo la divisione a : b con a, b ∈ Z. Se tale divisione ha resto uguale a 0, si diceindi�erentemente che:

� a è multiplo di b;

� b è divisore di a.

Esempio 1.28. Consideriamo a = 20, b = 4. La divisione 20 : 4 = 5 con resto 0. Quindi 20 èmultiplo di 5 e 5 è divisore di 20.

De�nizione 1.7 (Multiplo). Un intero a si dice multiplo di un intero b se esiste un intero ctale che c · b = a.

De�nizione 1.8 (Divisore). Un intero b si dice divisore di un intero a se esiste un intero ctale che c · b = a.

Osservazione 1.13. Ogni numero intero è divisibile per se stesso e per 1. I numeri naturali chehanno solamente questi due divisori sono detti primi.

De�nizione 1.9 (Numero primo). Si de�nisce numero primo un numero naturale maggioredi 1 divisibile solamente per 1 e per se stesso.

La sequenza dei numeri primi inizia con: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 9, 23, 29, 31, 37, . . .

I numeri primi hanno un'importanza cruciale in diversi ambiti della matematica applicata, in par-ticolare nella crittogra�a, e in molti ambiti della matematica pura come l'algebra e la geometria.Tale importanza deriva essenzialmente dal teorema fondamentale dell'aritmetica.

Teorema 1.4.1 (fondamentale dell'aritmatica). Ogni numero intero n ammette un'unica scom-posizione (o fattorizzazione) in fattori primi, cioè può essere espresso sotto forma di prodotto dinumeri primi.

Ogni numero naturale ammette varie fattorizzazioni possibili, ad esempio 24 = 2 · 12 = 2 · 3 · 4 =3 · 8 = 23 · 3. La più importante, ed è quella su cui ci si concentra, è quella in fattori primi.

Osservazione 1.14. I fattori 1 non si considerano nella fattorizzazione, è questa la ragione percui 1 non è un numero primo.

Come scomporre un numero in fattori primi? Per semplicità si può tracciare una linea verticalee scrivere il numero dato sulla colonna sinistra, poi si segue segue il seguente algoritmo:

1. se il numero è primo scriviamo nella colonna di destra il suo divisore diversi da 1, cioè sestesso, e abbiamo terminato;

2. se il numero è composto si cerca il suo divisore più piccolo, si scrive quest'ultimo nellacolonna destra, si divide il numero dato per esso e si srive il risultato nella colonna sinistra;con il risultato che si ottiene si ripete il ragionamento dal punto precedente.

Alla �ne del procedimento il numero dato può essere scritto come il prodotto di tutti i fattoriprimi scritti sulla colonna destra.


Esempio 1.29. Scriviamo la scomposizione in fattori primi di 60:

Quindi 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 22 · 3 · 5.

Talvolta è necessario individuare i divisori o i multipli comuni a due numeri naturali. In partico-lare spesso è utile trovare il massimo comune divisore (M.C.D.) (per ridurre una frazione aiminimi termini) o il minimo comune multiplo (m.c.m.) (per determinare il minimo comunedenominatore di due o più frazioni) di due o più numeri.

De�nizione 1.10 (Massimo comune divisore). Il massimo comune divisore di due interi ae b è il più grande numero naturale che divide entrambi, e si indica con MCD(a, b).

Come determinare il massimo comune divisore fra due numeri?Per prima cosa si scompongono i numeri dati in fattori primi. Dalla scomposizione si prendonoi fattori comuni, considerati una sola volta col minimo esponente, e si moltiplicano fra essi. Ilprodotto ottenuto è il M.C.D. dei numeri dati.

Esempio 1.30. Calcoliamo il MCD(18, 84).Per prima cosa scomponiamo in fattori primi i numeri dati e otteniamo: 18 = 2·32 e 84 = 23 ·3·7.Osserviamo che i fattori comuni con esponente più piccolo sono 2 e 3. Moltiplicandoli otteniamoMCD(18, 84) = 2 · 3 = 6.

Tale metodo per determinare il M.C.D. è molto comodo quando i numeri sono piccoli, ma nonquando sono grandi. Per numeri grandi conviene utilizzare il seguente algoritmo di Euclide:

1. consideriamo a, b ∈ N con a > b;

2. se b = 0 allora a è il massimo comune divisore, altrimenti si va avanti;

3. poiché b 6= 0 si calcola a : b;

4. se il resto r = 0 allora b è il massimo comune divisore, altrimenti si va avanti;

5. poiché r 6= 0 si pone a = b e b = r e si ritorna al punto 3, quindi si ripete la divisiore;

Esempio 1.31. Calcoliamo il MCD(18, 84) utilizzando l'algoritmo di euclide.Poiché 84 > 18 nel nostro caso a = 84 e b = 18. Poiché b 6= 0 si calcola 84 : 18 = 4 + 12, dove ilquoziente è 4 e il resto r = 12.Il resto r 6= 0, quindi poniamo a = 18, b = 12 ed eseguiamo la divisione 18 : 12 = 1 + 6, dove ilquoziente è 1 e il resto r = 6.Il resto r 6= 0, quindi poniamo a = 12 e b = 6 ed eseguiamo la divisione 12 : 6 = 2, dove ilquoziente è 2 e il resto r = 0. Poiché r = 0 l'algoritmo termina il M.C.D. è pari a b = 6.

Analizziamo ora il minimo comune multiplo.

De�nizione 1.11 (Minimo comune multiplo). Il minimo comune multiplo di due (o più) interia e bè il più piccolo multiplo come ad a e b, e si indica con mcm(a, b).


Come determinare il minimo comune multiplo fra due numeri? Per prima cosa si scompongonoi numeri dati in fattori primi. Dalla scomposizione si prendono tutti i fattori (comuni e noncomuni) una sola volta col massimo esponente, e si moliplicano fra essi. Il prodotto ottenuto è ilm.c.m. dei numeri dati.

Esempio 1.32. Calcoliamo il mcm(45, 120, 75).Per prima cosa scomponiamo in fattori primi i numeri dati ottenendo: 45 = 32 ·5, 120 = 23 ·3 ·5e 75 = 3 · 52. I fattori (comuni e non) con esponente più grande sono: 23, 32, 52. Moltiplicandoliotteniamo il mcm(45, 120, 75) = 23 · 32 · 52 = 8 · 9 · 25 = 1800.

In alternativa, il m.c.m. può essere calcolato anche attraverso la seguente formula:

mcm(a, b) =a · b

MCD(a, b)(1.13)

1.5 Frazioni

Una frazione è un'espressione matematica del tipo ab , dove a, b ∈ Z, e indica il quoziente esatto

della divisione fra due numeri interi a e b, con b 6= 0.

Esempio 1.33. 52 = 2, 5, poiché 5 : 2 = 2, 5.

La linea orizzontale che separa i due interi viene detta linea di frazione. Il numero sopra lalinea di frazione è detto numeratore, quello sotto denominatore.

Osservazione 1.15. Il denominatore deve essere sempre diverso da 0 poiché non è possibiledividere per 0.

Le frazioni sono numeri conosciuti sin dall'antichità, poiché permettevano di suddividere quantitàin parti uguali. Il denominatore indica il numero di parti uguali in cui si sta dividendo la quantitàdata (per esempio una torta), il numeratore invece indica quante di queste parti vengono prese.Ad esempio la frazione 3

7 può essere pensata come la suddivisione di una torta in 7 fette tutteuguali, e di queste fette ne vengono prese 3.

Osservazione 1.16. Le frazioni con denominatore uguale a 1 si identi�cano con il numeronaturale posto al denominatore della frazione. Per esempio:

0

1= 0

1

1= 1

2

1= 2

3

1= 3 . . .

Una frazione ab si dice:

propria se a < b, quindi è un numero più piccolo di 1;

impropria se a > b, quindi è un numero maggiore di 1;

apparente se a è multiplo di b, quindi è un numero intero.

Osserviamo che due frazioni come 12 e 2

4 rappresentano la stessa quantità: dividere, per esempio,una torta in due parti uguali e prenderne una è la stessa che che dividerla in quattro parti ugualie prenderne due, infatti 1 : 2 = 0, 5 e anche 2 : 4 = 0, 5. Frazioni di questo tipo sono detteequivalenti. In generale per determinare se due frazioni ab e c

d sono equivalenti basta veri�careche valga la seguente uguaglianza:

a · d = b · c

Per rendere più semplici i calcoli, è utile sempli�care una frazione ai minimi termini, cioètrasformarla in una frazione equivalente dove numeratore e denominatore hanno come unicodivisore in comune 1. Per ottenere ciò basta dividere numeratore e denominatore per il loroM.C.D.


Esempio 1.34. Riduciamo ai minimi termini 2430 .

Per prima cosa determiniamo il MCD(24, 30). Osserviamo che 24 = 3 ·23 e 30 = 2 ·3 ·5, quindiMCD(24, 30) = 2 · 3 = 6.Dividendo numeratore e denominatore per il M.C.D. appena trovato otteniamo la frazione equi-valente ridotta ai minimi termini:

24

30=

24 : 6

30 : 6=

4

5

Osserviamo che 4 e 5 hanno come unico divisore comune 1, quindi è ridotta ai minimi termini.

Nella pratica comune spesso si evita il calcolo esplicito del M.C.D. e si sempli�ca più voltela frazione dividendo numeratore e denominatore per diversi divisori comuni, �no ad ottenerel'equivalente frazione ridotta ai minimi termini.

Confronto tra frazioni

Date due frazioni come è possibile stabilire se una è maggiore, minore o uguale ad un'altra?Il metodo più semplice per confrontare due frazioni è trasformarle in forma decimale e confrontarei numeri decimali ottenuti.

Esempio 1.35. Confrontiamo 54 e 12

10 : quale delle due frazioni è maggiore?Osserviamo che 5 : 4 = 1, 25, mentre 12 : 10 = 1, 2, quindi 5

4 >1210 .

Un altro metodo molto utile, in cui non è necessario eseguire divisioni, è quello di scrivere duefrazioni equivalenti a quelle date aventi lo stesso denominatore. Una volta ottenute due frazionicon lo stesso denominatore il confronto è semplice poiché si riduce al confronto dei numeratori.


6 .Per avere due frazioni equivalenti a quelle date e aventi lo stesso denominatore basta moltiplicarenumeratore e denominatore della prima per 6, e numeratore e denominatore della seconda per 4:

3

4=

3 · 64 · 6

=18

24

5

6=

5 · 46 · 4

=20

24

Poiché 20 > 18 allora 56 >

34 .

Per lavorare con numeri più piccoli può essere utile utilizzare, invece del prodotto dei denomina-tori, il m.c.m. dei denominatori.Spesso esistono anche vie più brevi per confrontare due frazioni. Vediamo alcuni esempi.


6 .Osserviamo che 3

4 è una frazione propria, quindi minore di 1, invece 76 è impropria, quindi

maggiore di 1. Di conseguenza 76 >

34 .


9 .Le due frazioni hanno lo stesso numeratore e 7 < 9, immaginando di suddividere una torta in 7parti uguali e un'altra (uguale) in 9 parti uguali è chiaro che le fette della prima sono più grandidella seconda. Poiché il numero delle fette prese è lo stesso in entrambe si ha 4

7 >49 .

In generale conviene sempre ragionare sul caso speci�co e non applicare metodi in modo �mec-canico�.


Operazioni con frazioni

L'addizione (o la sottrazione) fra frazioni aventi lo stesso denominatore è semplice: il risultatoè la frazione avente per denominatore lo stesso denominatore, per numeratore la somma (o ladi�erenza) dei numeratori.

Esempio 1.39. 23 + 5

3 = 2+53 = 7

3

Esempio 1.40. 83 −

23 = 8−2

3 = 63 = 2

Se le frazioni da sommare (o sottrarre) non hanno lo stesso denominatore bisogna trasformarle infrazioni equivalenti con lo stesso denominatore: fra le in�nite frazioni equivalenti, è buona normascegliere quelle che hanno per denominatore il m.c.m. dei denominatori delle frazioni date. Dopoaver ottenuto due frazioni equivalenti aventi lo stesso denominatore possiamo ricondurci al casoprecedente.

Esempio 1.41. Calcoliamo 14 + 5

6 .Essendo i denominatori diversi calcoliamo il m.c.m. dei denominatori. Poiché 4 = 22 e 6 = 2 · 3allora m.c.m.(4, 6) = 22 · 3 = 12.Trasformiamo le frazioni in frazioni equivalenti aventi per denominatore il m.c.m. appenacalcolato:

1

4=

3

12

5

6=

10

12

A questo punto abbiamo ottenuto due frazioni equivalenti aventi lo stesso denominatori, la lorosomma è una frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore lasomma dei numeratori:

3

12+

10

12=

3 + 10

12=

13

12

Quindi 14 + 5

6 = 1312

Esempio 1.42. Calcoliamo 78 −

56 . Poiché i denominatori sono diversi calcoliamo il minimo

comune multiplo dei denominatori e applichiamo il ragionamento visto in precedenza. Osserviamoche mcm(8, 6) = 24, quindi:

7

8− 5

6=

7 · 3− 5 · 424

=21− 20

24=

1

24

Osservazione 1.17. Quando la frazione non è ridotta ai minimi termini è bene sempli�carlaprima di eseguire altre operazioni.

Quando si esegue la somma (o la di�erenza) tra un numero intero n e una frazione ab si scrive

n = n1 e si applica il procedimento già visto.

Esempio 1.43. Calcoliamo 3 + 25 :

3 +2

5=

3

1+

2

5=

3 · 5 + 2

5=

17

5

La moltiplicazione e la divisione di frazioni sono le operazioni più semplici.La moltiplicazione fra due o più frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto deinumeratori, per denominatore il prodotto dei denominatori.

Esempio 1.44. 12 ·

74 = 1·7

2·4 = 78


Se un numeratore e un denominatore (della stessa frazione o di due frazioni diverse) hanno qualchefattore in comune, conviene e�ettuare la sempli�cazione prima di eseguire la moltiplicazione.

Esempio 1.45.

18

21· 5

11· 8

3= (sempli�cando numeratore e denominatore della prima frazione)

=6

7· 5

11· 8

3= (sempli�cando il denominatore della prima frazione con il numeratore della terza)

=2

7· 5

11· 8 = (pensando 8 come una frazione con 1 al denominatore)

=2

7· 5

11· 8

1=

=2 · 5 · 87 · 11 · 1

=

=80

77

La divisione è ancora più semplice della moltiplicazione: per dividere due frazione, di cui la secon-da non nulla (non ha senso dividere per zero), basta moltiplicare la prima frazione per l'inversodella seconda, cioè per la seconda frazione ma scambiando numeratore con denominatore.

Esempio 1.46. 34 : 9

5 = 34 ·

59 = 1

4 ·53 = 5

12

1.6 Funzioni

Dati due insiemi A e B molto spesso capita di de�nire una relazione (o legge) fra essi.

Esempio 1.47 (Frutti e colori). Sia A l'insieme dei frutti e B l'insieme dei colori. Una relazionepuò essere quella di associare ad ogni frutto di A il suo colore su B.

Esempio 1.48 (Giocatori di calcio e squadre). Sia A l'insieme dei giocatori di calcio e Bl'insieme delle squadre di calcio. Un relazione fra tali insiemi può essere quella di associare adogni giocatore la squadra in cui gioca attualmente.

Esempio 1.49 (Squadre di calcio e colori). Sia A l'insieme di tutte le squadre di calcio di serieA e sia B l'insieme dei colori. Una relazione può essere quella che ad ogni squadra associa ilcolore/i colori della sua maglia.

Osserviamo che negli ultimi due esempi c'è un'importante di�erenza: nel primo esempio ad ognielemento di A (cioè ogni giocatore) corrisponde uno ed un solo elemento di B, cioè una squadra;nel secondo ad alcuni elementi di A (cioè ad alcune squadre) vengono associati più elementi diB (cioè più colori).Vediamo ancora qualche esempio.

Esempio 1.50 (Tele�lm). Sia A l'insieme dei tele�lm visti da una persona e sia B l'insieme ditutti i tele�lm prodotti. Una relazione può essere quella di associare ad ogni tele�lm visto dallapersona lo stesso tele�lm nell'insieme B.

Osserviamo che in quest'ultimo esempio sicuramente ci sono degli elementi di B che non hannorelazioni con alcun elemento di A, perché nell'insieme di tutti i tele�lm ci saranno dei tele�lmche la persona in questione non ha mai visto.

Esempio 1.51 (Bambini e nonni). Sia A l'insieme di tutti i bambini e B l'insieme di tutti inonni. Possiamo de�nire una relazione che ad ogni bambino associ il suo nonno/i suoi nonni.


Osserviamo che in quest'ultimo esempio ci sono alcuni elementi di A che non hanno una corri-spondenza con nessun elemento di B: ci sono bambini che non hanno più nessun nonno.

Le funzioni sono particolari tipi di relazioni (o leggi) tra due insiemi.

De�nizione 1.12 (Funzione). Siano A e B due insiemi non vuoti. Una funzione da A a B èuna legge che associa ad ogni elemento di Auno solo elemento di B. L'insieme A di partenzaviene detto dominio e l'insieme B di arrivo codominio.

Matematicamente una funzione f si esprime nel seguente modo:

f : A→ B (1.14)

x 7→ y = f(x)

e l'elemento y = f(x) viene chiamato immagine di x.Cerchiamo di capire meglio tale notazione con un esempio.

Esempio 1.52. Supponiamo, ad esempio, che A = {arancia, ciliegia, banana, prugna}, B ={giallo, verde, blu, viola, rosso, arancione}. Sia f la funzione che ad ogni frutto di A associa ilsuo colore. Matematicamente si scrive così:

f(arancia) = arancione

f(ciliegia) = rosso

f(banana) = giallo

f(prugna) = viola

Quindi innanzitutto è importante che ogni elemento del dominio abbia un'immagine nel codo-minio, altrimenti la relazione non è una funzione.

Esempio 1.53. Sia A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c}. Supponiamo di de�nire una funzione f tratali due insiemi nel seguente modo:

f(1) = b

f(2) = c

f(3) = a

Così de�nita questa non è una funzione poiché all'elemento x = 4 del dominio non è associatoalcun elemento del codominio. Se ponessimo, ad esempio, f(4) = a allora f diventerebbe unafunzione. Non importa se l'elemento a è immagine di due valori, l'importante è che ogni elementodel dominio abbia al massimo un'immagine.

Altra cosa importante è che ad ogni elemento del dominio corrisponde al massimo un elementodel codominio.

Esempio 1.54. Sia A = {Ugo, Ivo, P io} e B = {a, b, c, d}. Supponiamo di de�nire una funzionef tra tali due insiemi nel seguente modo:

f(Ugo) = a

f(Ivo) = c

f(Pio) = b

f(Ivo) = d

Così de�nita questa non è una funzione poiché all'elemento x = Ivo del dominio sono associatidue elementi del codominio. Se togliamo f(Ivo)d allora f diventa una funzione. Non importa sel'elemento d del codominio non è immagine di alcun elemento del dominio, ciò non è richiestoa�nché f sia una funzione.

Intuitivamente si può pensare una funzione f come una macchina in cui vengono inseriti tuttigli elementi x di un insieme e, ad uno ad uno, tale macchina li trasforma in altri elementi.


1.7 Valore assoluto

De�nizione 1.13 (Valore assoluto). Dato un numero reale x, si de�nisce valore assoluto dix, e si indica con |x|, il numero reale così de�nito:

|x| ={x se x ≥ 0−x se x < 0

(1.15)

Osservazione 1.18. Il valore assoluto di un numero reale è sempre un numero non negativo:infatti |x| è uguale a se stesso quando x è positivo o nullo (e quindi rimane positivo), mente èuguale all'opposto di x quando x è negativo (ed essendo l'opposto di un numero negativo diventapositivo).Inoltre il valore assoluto è nullo se e solo se il numero è nullo.

Esempio 1.55. |3| = 3 poiché 3 > 0.| − 2| = −(−2) = 2 poiché −2 < 0.

Geometricamente il valore assoluto di un numero può essere interpretato come la distanza fra ilpunto che lo rappresenta sulla retta e l'origine.

Esempio 1.56. Il punto −4 dista 4 unità dall'origine, infatti | − 4| = 4.

La de�nizione di valore assoluto di un'espressione algebrica f(x) è la naturale estensione dellade�nizione di valore assoluto data per un numero reale:

|f(x)| ={f(x) se f(x) ≥ 0−f(x) se f(x) < 0

(1.16)

Esempio 1.57.

|x+ 5| ={x− 5 se x+ 5 ≥ 0−(x+ 5) se x− 5 < 0

⇒ |x+ 5| ={x− 5 se x ≥ 5−x+ 5 se x < 5

|4− 3x| ={

4− 3x se 4− 3x ≥ 0−(4− 3x) se 4− 3x < 0

⇒ |4− 3x| ={

4− 3x se x ≤ 43

3x− 4 se x > 43

|x2 + 2x| ={x2 + 2x se x2 + 2x ≥ 0−(x2 + 2x) se x2 + 2x < 0

⇒ |x2 + 2x| ={x2 + 2x se x ≤ −2 o xx ≥ −2−x2 − 2x se − 2 < x < 0

Osservazione 1.19. Il valore assoluto di un'espressione algebrica può, in alcuni casi, coincideresempre con l'espressione stessa.Ad esempio |x2 + 1| = x2 + 1| per ogni valore reale di x, poiché x2 + 1 è sempre positivo essendola somma fra un quadrato (quindi un valore positivo) e un numero positivo.

Il valore gode delle seguenti proprietà:

| − x| = |x| ∀x ∈ R (1.17)

|x|2 = x2 ∀x ∈ R (1.18)

|x · y| = |x| · |y| ∀x ∈ R (1.19)∣∣∣∣xy∣∣∣∣ =|x||y|

∀x ∈ R (1.20)

|x+ y| ≤ |x|+ |y| ∀x ∈ R (Disuguaglianza triangolare) (1.21)

Capitolo 2

Geometria euclidea sintetica

La geometria euclidea sintetica è la geometria che si basa su Gli Elementi di Euclide1. L'operaconsiste in 13 libri: i primi sei riguardanoi la geometria piana, i successivi quattro i rapporti tragrandezze e gli ultimi tre la geometria solida.Tale opera è stata importantissima in tutta la storia della matematica, le principali ragioni sonole seguenti:

� raccoglie tutte le conoscenze matematiche note �no al tempo. In precedenza erano statistudiati a lungo problemi di matematica (in particolare, ma non solo, di geometria) chenascevano da questioni pratiche e nel corso dei secoli avevano raccolto una gran mole dirisultati. Molti di questi erano parziali, frammentari, si riferivano a nozioni vaghe, perciòEuclide li raccolse, probabilmente ne aggiunse non pochi di suoi e li organizzò in un'unicaopera.

� introduce il metodo assiomatico.

Nel suo lavoro Euclide è riuscito a costruire un sistema in cui de�nisce vari enti geometrici e leloro proprietà. Per poter de�nire un ente geometrico sono necessari altri enti geometrici, ciascunodei quali viene de�nito attraverso altri entri ancora e così via. È chiaro che non si può avereun regresso all'in�nito, è indispensabile avere un punto di partenza, perciò Euclide introdusse lecosiddette nozioni primitive, cioè delle nozioni non de�nibili, che si assumono a priori.Lo stesso ragionamento viene fatto per le proprietà. Esse si esprimono attraverso delle proposi-zioni dimostrabili dette teoremi. Le dimostrazioni sono dei ragionamenti che si conducono perstabilire la validità della proposizione. La dimostrazione di ogni teorema fa uso di altri teoremi,le cui dimostrazioni fanno uso di altri teoremi ancora e così via. Anche in questo caso è necessarioavere un punto di partenza, perciò Euclide introdusse gli assiomi, cioè delle proposizioni inizialiindimostrabili assunte come vere.Quindi alla base della costruzione del metodo assiomatico vi sono:

� le nozioni primitive (es: punto, retta);

� gli assiomi (es: per due punti distinti passa una ed una sola retta).

Osservazione 2.1. Tale costruzione viene utilizzata non solo per la geometria, ma per tutte leteorie matematiche.

1Matematico greco vissuto intorno al 300 a.C.

19

CAPITOLO 2. GEOMETRIA EUCLIDEA SINTETICA 20

2.1 Introduzione alla geometria del piano

La geometria piana è quella parte della geometria in cui si studiano enti geometrici che possonoessere rappresentati su un piano. Il piano è un concetto primitivo, intuitivamente può esserepensato come il piano di un tavolo esteso inde�nitamente (sia in lunghezza che in larghezza). Glialtri concetti primitivi sono:

punto intuitivamente è un ente geometrico che non ha né una lunghezza, né un'area, né unvolume, e si indica con una lettera in stampatello maiuscolo;

retta intuitivamente è un ente che ha solo una lunghezza, e si indica con una lettera minuscola.

A partire da tali concetti primitivi possiamo dare le seguenti de�nizioni:

De�nizione 2.1 (Semipiano). Ognuna delle due parti in cui una retta divide il piano.

De�nizione 2.2 (Semiretta). Ognuna delle due parti in cui un punto divide una retta.

De�nizione 2.3 (Angolo). Porzione del piano copresa tra due semirette aventi la stessa origine.

Un angolo può essere:

acuto se la sua ampiezza è minore di 90°;

retto se la sua ampiezza è 90°;

ottuso se la sua ampiezza è maggiore di 90°;

piatto se la sua ampiezza è 180°;

giro se la sua ampiezza è 360°;

De�nizione 2.4 (Bisettrice). Semiretta che divide un angolo in due angoli congruenti.

Due rette nel piano possono essere:

parallele se non hanno alcun punto in comune(cioè se non si incontrano mai) oppure sonocoincidenti;

incidenti se si intersecano in un punto. Se in-tersecandosi in un punto si vengono a for-mare quattro angoli retti allora le rettesono dette perpendicolari.

De�nizione 2.5 (Segmento). Parte di retta delimitata da due punti.


2.2 Angoli, perpendicolarità e parallelismo

Angoli

Vediamo altre importanti de�nizioni sugli angoli e sulle rette:

angolo concavo se contiene il prolungamentodei lati;

angolo convesso se non contiene il prolunga-mento dei lati.

angoli consecutivi se hanno in comune ilvertice, un lato e nessun altro punto;

angoli adiacenti se sono consecutivi e i duelati non comuni appartengono alla stessaretta;

angoli opposti al vertice se i lati di uno sonoi prolungamenti dei lati dell'altro.

angoli complementari se la loro somma è unangolo retto;

angoli supplementari se la loro somma è uangolo piatto;

angoli esplementari se la loro somma è unangolo giro.


Perpendicolarità

De�nizione 2.6 (Asse). Dato un segmento, sia M il suo punto medio. La retta perpendicolareal segmento e passante per M è detta asse del segmento.

Osservazione 2.2. I punti dell'asse di un segmento AB sono tutti equidistanti dagli estremi Ae B del segmento.

Precisiamo meglio il concetto di distanza di un punto da una retta.

De�nizione 2.7 (Distanza di un punto da una retta). Si de�nisce distanza di un punto P dauna retta r la lunghezza del segmento perpendicolare avente per estremi il punto P e un puntodella retta. Il punto della retta estremo della perpendicolare è detto piede della perpendicolare

o proiezione del punto P .

È possibile de�nire anche la proiezione di un segmento.

De�nizione 2.8 (Proiezione ortogonale di un segmento). Si de�nisce proiezione ortogonale

di un segmento AB su una retta r, il segmento formato dalle proiezioni di tutti i punti di ABsulla retta.

Parallelismo

Tra gli assiomi enunciati da Euclide negli Elementi è stato molto discusso il seguente:

Assioma. Data una retta r e un punto P /∈ r, esiste una ed una sola retta passante per P eparallela ad r.

Per quasi 2000 anni molti matematici erano convinti che tale assioma si potesse dimostrareutilizzando gli assiomi precedenti, e che quindi si trattasse di un teorema. Tutti i tentativi didimostrazione fallirono, e la motivazione arrivò solo nel XIX secolo con la nascita delle geome-

trie non euclidee.

Particolare importanza hanno gli otto angoli formati da due rette tagliate da una trasversale:

alterni interni : γ e α′, δ e β′;

alterni esterni : α e γ′, β e δ′;

corrispondenti : α e α′, β e β′, γ e γ′, δ e δ′;

coniugati interni : γ e β′, δ e α′;

coniugati esterni : β e γ′, α e δ′.

Queste dodici coppie di angoli assumono particolare interesse quando le due rette tagliate dallatrasversale sono parallele. Vale infatti il seguente:

Teorema 2.2.1 (Criterio generale di parallelismo). Due rette sono parallele se e solo se, tagliateda una trasversale, formano:

� angoli alterni (interni ed esterni) congruenti;

� angoli corrispondenti congruenti;

� angoli coniugati (interni ed esteri) congruenti.


2.3 Trasformazioni geometriche

De�nizione 2.9 (Trasformazione geometrica). Si de�nisce trasformazione geometrica ognifunzione che associa ad ogni punto del piano un altro punto del piano stesso.

Le trasformazioni geometriche più interessanti sono quelle che conservano alcune proprietà. Unproprietà si dice invariante di una trasformazione se, per ogni ente geometrico che gode diquella proprietà, anche la sua corrispondente nella trasformazione gode della stessa proprietà.Per esempio le isometrie sono trasformazioni che conservano le distanze tra punti.Tra le trasformazioni più importanti ricordiamo le seguenti:

Traslazione : è individuata da unvettore che stabilisce direzione,modulo e verso di spostamentodei punti nel piano.

Rotazione : è individuata da un pun-to �sso O detto centro di rotazio-ne, e da un angolo orientato chene stabilisce l'ampiezza e il versodi spostamento nel piano. Quin-di sposta tutti i punti seguendouna traiettoria circolare.

Simmetria (assiale) : è individuatada una retta a detta asse di sim-metria in ad ogni punto del pia-no viene fatto corrispondere unpunto del semipiano opposto allastessa distanza dalla retta a.

Omotetia : è individuata da un pun-to �sso O, detto centro dell'omo-tetia e da un numero k, dettocaratteristica dell'omotetia e tra-sforma gli enti geometrici in mo-do tale che il rapporto fra unalunghezza e la lunghezza trasfor-mata sia sempre uguale a k. In-tuitivamente può essere pensa-ta come un ingrandimento o unrimpicciolimento.

Osservazione 2.3. Traslazioni, rotazioni e simmetrie non modi�cano né le lunghezze né leampiezze degli angoli. Poiché si tratta di trasformazioni che conservano le distanze esse sonoisometrie.Le omotetie, invece, modi�cano le lunghezze e lasciano invariate le ampiezze degli angoli.

Il concetto di isometria de�nisce rigorosamente e generalizza il concetto di movimento rigido,cioè il movimento di un oggetto senza causarne alcuna deformazione.Se esiste un movimento rigido che porta due �gure a sovrapporsi allora le due �gure sono dettecongruenti.


2.4 Poligoni: aree e perimetri

De�nizione 2.10 (Poligono). Si de�nisce poligono ogni �gura geometrica piana delimitata dauna linea spezzata chiusa non intrecciata, cioè da una sequenza ordinata di segmenti consecutividove il primo estremo del primo segmento coincide con il secondo estremo dell'ultimo segmento. Isegmenti che compongono la linea spezzata si dicono lati, i punti in comune a due lati consecutivisono detti vertici.

De�nizione 2.11 (Perimetro). Si de�nisce perimetro la misura della lunghezza dei lati di una�gura piana.

Osservazione 2.4. Nei poligoni per trovare il perimetro è su�ciente sommare le lunghezze ditutti i lati.

De�nizione 2.12 (Area). Si de�nisce area la misura della super�cie di una �gura piana.

Osservazione 2.5. Se i lati di un poligono sono espressi in m (metri) allora la sua area saràespressa in m2.

De�nizione 2.13 (Altezza di un poligono). Si de�nisce altezza di un poligono ogni segmentopassante per un vertice e perpendicolare al lato opposto o al suo prolungamento.

Osservazione 2.6. Ogni poligono di n lati ha n altezze.

Figura piana Descrizione Lati Perimetro Area

Triangolo Poligono con 3 lati 3 a+ b+ c b·h2

Parallelogramma Quadrilatero con i lati a due a due paralleli 4 2a+ 2b b · hRombo Parallelogramma con due lati congruenti 4 4l D·d

2

Trapezio Quadrilatero con due lati paralleli 4 a+ b+ c+B (B+b)h2

Rettangolo Parallelogramma con quattro angoli retti 4 2b+ 2h b · hQuadrato Rettangolo con quattro lati congruenti 4 4l l2

Cerchio Super�cie racchiusa da una circonferenza ∞2 2πr πr2

Per calcolare l'area di una piana non bisogna imparare le formule a memoria, bensì ragionaresulla �gura e sfruttare le proprietà di equiscomponibilità delle �gure, cioè scomporle in �gure diforme diverse ma aventi la stessa area.


Area del rettangolo

Consideriamo un rettangolo, �ssiamo un'unità di misura (ad esempio il cm) e riportiamola nellabase e nell'altezza. Indichiamo con b la misura della base, con h quella dell'altezza e per semplicitàsupponiamo che siano numeri interi positivi. A questo punto suddividiamo il rettangolo in tantiquadrati tracciando delle linee passanti per i punti di divisione e parallele alla base e all'altezza.Tenendo conto del fatto che l'area di ogni quadratino è pari ad 1cm2, contando il numero deiquadratini si determina l'area del rettangolo. Per contarli più agevolmente basta moltiplicare ilnumero di quadratini della base per quelli dell'altezza.Da questo ragionamento ne deduciamo che del rettangolo è:

A = b · h (2.1)

Area del quadrato

Poiché il quadrato è un rettangolo con tutti i lati uguali, detta l la lunghezza del lato e sapendoche l'area del rettangolo è bcdoth, quella del quadrato sarà:

A = l · l = l2 (2.2)

Area del parallelogramma

Consideriamo un parallelogramma ABCD di base AB = b, e sia DH = h l'altezza relativa adAB. Traslando il triangolo AHD in modo che B ≡ A e AD = CB otteniamo un rettangolola cui altezza è sempre DH = h, e la base misura sempre b. Poiché il parallelogramma dato eil rettangolo appena costruito hanno la stessa area, ed essendo l'area del rettagolo b · h, anchequella del parallelogramma risulta essere:

A = b · h (2.3)

Area del triangolo

Consideriamo un triangolo qualunque ABC di base AB = b e sia CH = h l'altezza relativa adAB. Sul triangolo ABC costruiamo il parallelogramma ABCD. Osserviamo che l'area di taleparallelogramma è b · h ed è doppia quella del triangolo ABC, quindi l'area del triangolo è

A =b · h

2(2.4)


Dato un triangolo di lati a, b e c, sia P = a+ b+ c il perimetro, è possibile determinarne l'areagrazie alla formula di Erone:

A =

√P

2·(P

2− a)(

P

2− b)(

P

2− c)

(2.5)

Area del rombo

Consideriamo un rombo ABCD, sia BD = d1 la diagonale maggiore e AC = d2 quella minore.Tracciando dai quattro vertici del rombo le parallele alle due diagonali otteniamo un rettangoloche indichiamo con EFGH. Osserviamo che sua la base è pari a d1 mentre l'altezza è pari ad2, quindi la sua area è d1 · d2. Poiché tale rettangolo ha area doppia rispetto quella del rombo(poiché formato da 8 triangolo congruenti), l'area del rombo risulta:

A =d1 · d2

2(2.6)

Area del trapezio

Consideriamo un trapezio ABCD, dove AB è la base maggiore e CD quella minore. Supponiamodi prolungare AB �no a un punto P , in modo tale che BP = BC. Congiungiamo D con P inmodo da avere un triangolo di vertici A, P e D. Sia M il punto d'intersezione fra DP e CB.Dalla �gura si vede subito che i triangoli CDM e MBP sono congruenti (cioè uguali), quindihanno la stessa area. Perciò l'area del trapezio ABCD è uguale all'area del triangolo APD lacui base è AB + BP (cioè la somma della base maggiore e della base minore del trapezio), el'altezza è la stessa di quella del trapezio. Quindi, sapendo che l'area del triangolo è b·h

2 , quella

del trapezio è (B+b)h2 .


2.5 Triangoli

Per prima cosa ricordiamo alcune de�nizioni di triangoli particolari.

triangolo rettangolo se ha un angolo retto (idue lati che formano l'angolo retto sonodetti cateti, il lato opposto all'angolo rettoè detto ipotenusa);

triangolo isoscele se ha due lati congruenti(cioè uguali);

triangolo equilatero se ha tutti lati congruen-ti;

scaleno se i lati sono tutti di diversa lunghezza;

Negli Elementi di Euclide sono tanti i teoremi che riguardano i triangoli. Uno dei più famosi efra i più utilizzati è il teorema di Pitagora3.

Teorema 2.5.1 (di Pitagora). In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa èequiesteso alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Supponiamo di avere un triangolo il cui angolo retto è C, indichiamo con c l'ipotenusa e con a eb i due cateti. Il teorema si può esprimere in formule nel seguente modo:

c2 = a2 + b2 ⇔ c =√a2 + b2 (2.7)

Esistono più di 100 dimostrazioni diverse di tale teorema. La maggior parte di esse giocano sullascomposizione del quadrato di lato a (cioè quello costruito sull'ipotenusa) in varie �gure pianedi diverso tipo e si osserva che utilizzando tali �gure si riescono a costruire i quadrati di lati b ec (cioè quelli costruiti sui cateti), come in un gioco di tangram.

3Tale teorema era già noto e applicato dai Babilonesi in diversi problemi. Viene però chiamato teorema di

Pitagora poiché furono i pitagorici i primi a dimostrarlo.


Esempio 2.1. Determinare la misura della diagonale di un quadrato di lato unitario.

L'unico dato che abbiamo è l = 1. Se disegniamo una qualsiasi diagonale d del quadrato possiamoosservare che esso viene diviso in due triangoli rettangoli di cui la diagonale d è l'ipotenusa, ei cateti sono due lati del quadrato. Quindi per trovare la misura della diagonale d è su�cienteapplicare il teorema di Pitagora:

d =√l2 + l2 =

√12 + 12 =

√2

Di notevole importanza sono anche i teoremi di congruenza dei triangoli.

Teorema 2.5.2 (Primo criterio di congruenza dei triangoli). Se due triangoli hanno congruentidue lati e l'angolo compreso allora sono congruenti.

Teorema 2.5.3 (Secondo criterio di congruenza dei triangoli). Se due triangoli hanno congruentiun lato e due angoli ad esso adiacenti allora sono congruenti.

Teorema 2.5.4 (Terzo criterio di congruenza dei triangoli). Se due triangoli hanno congruentitutti i lati allora sono congruenti.

Altri tre criteri molto importanti che riguardano i triangoli sono i criteri di similitudine. Intuiti-vamente due triangoli si dicono simili quando è possibile trasformare l'uno nell'altro e�ettuandodelle trasformazioni che non modi�chino l'ampiezza degli angoli.

De�nizione 2.14 (Similitudine). Trasformazione geometrica piana che si ottiene componendouna omotetia con una delle seguenti trasformazioni: traslazione, rotazione, simmetria.

Quindi dato un triangolo ABC, se si e�ettua su di esso una omotetia con una delle altre tretrasformazioni citate (volendo anche più di una) si ottiene un triangolo A′B′C ′ simile ad ABC.Enunciamo ora i tre criteri di similitudine dei triangoli.

Teorema 2.5.5 (Primo criterio di similitudine dei triangoli). Se due triangoli hanno gli angolicongruenti allora sono simili.

Teorema 2.5.6 (Secondo criterio di similitudine dei triangoli). Se due triangoli hanno un angolocongruente e i due lati che lo comprendono proporzionali allora sono simili.

Teorema 2.5.7 (Terzo criterio di similitudine dei triangoli). Se due triangoli hanno i latiproporzionali allora sono simili.

Un altro teorema molto importante è quello relativo alla somma degli angoli interni di untriangolo:

Teorema 2.5.8. In ogni triangolo la somma degli angoli interni è un angolo piatto.

Osservazione 2.7. Poiché in un triangolo equilatero tutti gli angoli sono congruenti, per ilteorema 2.5.8 risulta che ogni angolo misura:

180°

3= 60°

Osservazione 2.8. In ogni triangolo rettangolo i due angoli non retti sono complementari.Infatti, indicando con α l'angolo retto e sfruttando il teorema 2.5.8 si ha:

β + γ = 180°− α = 180°− 90° = 90°


2.6 Cerchio e circonferenza

De�nizione 2.15 (Circonferenza). Dati un punto O del piano e un numero reale r > 0, side�nisce circonferenza l'insieme di tutti e soli i punti del piano che hanno distanza r da O. Ilpunto O è detto centro e r è detto raggio della circonferenza.

La circonferenza è una linea chiusa che divide il piano in due sottoinsiemi disgiunti di punti:quelli interni e quelli esterni alla circonferenza. La �gura piana costituita dai punti interni edalla circonferenza stessa è detta cerchio.

De�nizione 2.16 (Cerchio). Dati un punto O del piano e un numero reale r > 0, si de�niscecerchio l'insieme di tutti e soli i punti del piano la cui distanza da O è minore o uguale a r, insimboli:

cerchio = {P |d(P,O) ≤ r}

Osservazione 2.9. Il cerchio è simmetrico rispetto ad ogni asse passante per il centro.

Una circonferenza resta individuata se sono noti il centro e il raggio. Un'altra condizione cheindividua in modo univoco una circonferenza è la conoscenza del centro e di un suo punto P :il raggio della circonferenza è la distanza del centro dal punto P . quindi ci riconduciamo alcaso precedente. Esiste un terzo modo per individuare in modo univoco una circonferenza: èsu�ciente avere tre punti non allineati.

Teorema 2.6.1. Esiste una ed una sola circonferenza passante per tre punti non allineati.

Parti della circonferenza

De�nizione 2.17 (Corda). Si de�nisce corda ogni segmento ogni segmento che unisce due puntidistinti di una circonferenza.

De�nizione 2.18 (Diametro). Ogni corda passante per il centro di una circonferenza è dettadiametro.

Osservazione 2.10. Le corde massime di un cerchio sono diametri e sono in�nite.

De�nizione 2.19 (Arco). Si dice arco ognuna delle due parti di circonferenza delimitate da duesue punti, detti estremi dell'arco.

De�nizione 2.20 (Semicirconferenza). Si de�nisce semicirconferenza ogni arco i cui estremisono diametralmente opposti.

Osservazione 2.11. La semicirconferenza è l'arco su cui insiste un angolo al centro che siapiatto.


De�nizione 2.21 (Angolo al centro). Si de�nisce angolo al centro ogni angolo avente il verticecoincidente con il centro di una circonferenza (o di un cerchio).

Osservazione 2.12. Intersecando una circonferenza con un angolo al centro si ottiene un suoarco. In questo caso si dice che l'angolo al centro insiste sull'arco che individua.

De�nizione 2.22 (Angolo alla circonferenza). Si de�nisce angolo alla circonferenza ogniangolo il cui vertice appartiene alla circonferenza i cui lati intersecano o, al più, sono tangentialla circonferenza.

Teorema 2.6.2. Ogni angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro che insiste sullostesso arco.

Corollario 2.6.1. Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco (o su archicongruenti) sono congruenti.

Corollario 2.6.2. Ogni angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza è retto.

Posizioni reciproche

Teorema 2.6.3 (Posizione reciproca tra retta e circonferenza). Date una retta s e una circon-ferenza C di centro O e raggio r, si ha:

1. s è secante C se e solo se d(O, s) < r;

2. s è tangente a C se e solo se d(O, s) = r;

3. s è esterna a C se e solo se d(O, s) > r.

Corollario 2.6.3. La tangente a una circonferenza è perpendicolare al raggio condotto nel puntodi tangenza.

Teorema 2.6.4. Dato un punto P esterno a una circonferenza C, condotte da P le due rettetangenti a C in T e T ′, i segmenti PT e PT ′ sono congruenti e la semiretta di origine P chepassa per il centro della circonferenza è la bisettrice dell'angolo formato dalle tangenti.

Teorema 2.6.5. Date due circonferenze di centri O e O′ e di raggi r e r′, con r > r′, si ha:

1. le due circonferenze sono esterne se e solo se OO′ > r + r′;

2. le due circonferenze sono tangenti esternamente se e solo se OO′ = r + r′;

3. le due circonferenze sono tangenti internamente se e solo se OO′ = r − r′;

4. le due circonferenze sono secanti se e solo se r − r′ < OO′ < r + r′;

5. le due circonferenze sono una interna all'altra se e solo se OO′ < r − r′;


Poligoni inscritti e circoscritti

De�nizione 2.23 (Poligono inscritto). Un poligono si dice inscritto in una circonferenza setutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza.

De�nizione 2.24 (Poligono inscritto). Un poligono si dice circoscritto a una circonferenza setutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza. In tal caso la circonferenza si dice inscritta nelpoligono.

Dato un poligono, è sempre possibile determinare la circonferenza inscritta o circoscritta alpoligono? La risposta in generale è negativa ma, esistono delle condizioni che ci permettoo distabilire se un poligono è inscrivibile o circoscrivibile a una circonferenza.

Teorema 2.6.6 (Condizione di inscrivibilità di un poligono). Un poligono è inscrivibile in unacirconferenza se e solo se gli assi dei suoi lati si incontrano in uno stesso punto (che è il centrodella circonferenza circoscritta).

Teorema 2.6.7 (Condizione di circoscrivibilità di un poligono). Un poligono è circoscrivibilea una circonferenza se e solo se le bisettrici dei suoi angoli interni si incontrano in uno stessopunto (che è il centro della circonferenza inscritta).

Lunghezza della circonferenza e area del cerchio

Per misurare un'altezza, la lunghezza di un lato, ecc. si può utilizzare un metro o una rigagraduata. Ma come misurare una linea curca? In particolare: come misurare la lunghezza di unacirconferenza? Si può utilizzare un metro per sarti oppure si può avvolgere la circonferenza conun nastro, segnare su di esso il punto in cui termina il primo avvolgimento, srotolare il nastro emisurare la porzione che ha avvolto la circonferenza.Se si e�ettuano misurazioni di varie circonferenze e dei loro diametri, ci si accorge che il rapporto:

C

d= 3, 1415 · · · = π

Quindi il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza qualsiasi e quella del suo diametro ècostante e uguale a π. Da ciò si deduce che la formule per determinare la lunghezza di unacirconferenza è:

C = d · π = 2πr (2.8)

Similmente, se si considera un cerchio di raggio r e un quadrato di lato r, si può osservare che:

AcerchioAquadrato

= π

Quindi il rapporto delle due aree è costante e uguale a π. Ciò ci permette di determinare l'areadel cerchio:

A = πr2 (2.9)

Capitolo 3

Calcolo letterale

Come già visto, per esprimere proprietà e relazioni che valgono per ogni elemento di un insieme,e non soltanto in casi particolari, si utilizzano le lettere dell'alfabeto. Ogni lettera indica unelemento generico di un insieme; se l'insieme è numerico indica un qualsiasi numero appartenentead esso. In una formula, quindi, le lettere sono variabili, poiché ad esse può essere sostituito unqualsiasi valore; i numeri, invece, sono costanti.

Le formule in cui compaiono lettere che rappresentano numeri sono dette espressioni letterali.Così come per i numeri, anche per le lettere è possibile eseguire delle operazioni, è per questoche è importante conoscere il calcolo letterale.

Esempio 3.1. La formula V = 43πr

3, che permette di calcolare il volume della sfera, è un'e-spressione letterale. Osserviamo che:

�43 è un numero reale (più precisamente razionale), quindi è una costante;

� π è una lettera greca, che però rappresenta sempre il particolare numero irrazionale 3, 1415 . . . ,quindi è una costante;

� r è un valore reale che varia a seconda della sfera considerata, una volta assegnato ad essoun valore è possibile determinare il valore di V , quindi è una variabile indipendente;

� V è un valore reale che varia a seconda della sfera considerata e dipende da r, quindi è unavariabile dipendente;

� tra 43 , π e r3 è sottointeso il segno �·� di moltiplicazione. In generale fra due variabili o fra

una costante e una variabile, per brevità, si omette il puntino della moltiplicazione.

3.1 Monomi

Nelle espressioni letterali lettere uguali indicano lo stesso numero, lettere diverse possono indicarenumeri diversi o uguali.

De�nizione 3.1 (Monomio). Si de�nisce monomio ogni espressione algebrica costituita da unnumero �nito (diverso da zero) di moltiplicazioni di variabili e costanti.

Esempio 3.2. 4a a3b − an 23xy

5√

2xy2z

In un monomio è possibile distinguere una parte numerica detta coe�ciente, e una parte

letterale. Se compaiono più lettere nella parte letterale si è soliti scriverle in ordine alfabetico(ciò è sempre possibile poiché in R vale la proprietà commutativa), inoltre fra esse è sempresottointesa una moltiplicazione.

32

CAPITOLO 3. CALCOLO LETTERALE 33

Nel caso in cui il coe�ciente sia 1, non viene scritto; nel caso in cui sia −1 ci si limita ad indicaresolamente il segno negativo. Quindi nel monomio a3b, in cui la parte letterale non è precedutada alcun coe�ciente, è sottointeso 1. Analogamente, nel monomio −an il coe�ciente sottointesoè −1. In quest'ultimo esempio è presente anche un esponente, esso è necessariamente un numeronaturale poiché i monomi si costruiscono attraverso un numero �nito di moltiplicazioni.

Ogni numero reale diverso da 0 può essere considerato un monomio avente per coe�ciente nu-merico il numero stesso, e non avente una parte letterale determinata in modo univoco. Si puòassumere che la sua parte letterale sia il prodotto di un numero qualsiasi di lettere, tutte conesponente nullo. Per esempio, il numero 7 può essere pensato come il monomio: 7a0b0c0 . . . .

Per poter de�nire le operazioni tra monomi è necessario introdurre le seguenti de�nizioni:

De�nizione 3.2 (Grado di un monomio). Il grado di un monomio è la somma degli esponentidella parte letterale.

Esempio 3.3. Il monomio −3ab4c ha grado 1 + 4 + 1 = 6.

De�nizione 3.3 (Monomi simili). Due monomi si dicono simili se hanno le parti letteraliidentiche.

Esempio 3.4. I monomi 3x2y, 23x2y,−x2y,

√7x2y sono simili.

Operazioni tra monomi

Per de�nire l'addizione tra monomi distinguiamo due diversi casi:

� la somma1 di due o più monomi simili è un monomio simile a quelli dati, in cui il coe�cienteè la somma dei coe�cienti dei singoli monomi;

Esempio 3.5. 4ab+ 3ab− 8ab = ab(4 + 3− 8) = ab(−1) = −abOperativamente si applica la proprietà distributiva all'inverso, il che equivale a raccoglierei fattori comuni (cioè a mettere in evidenza i fattori comuni), poi si esegue la sommadei coe�cienti numerici.

� la somma di monomi non simili non è un monomio.

Esempio 3.6. 4x2y + 2xyz = 2xy(2x+ z)Non si può sempli�care ulteriormente l'espressione all'interno della parentesi poiché 2x ez non hanno fattori comuni diversi da 1. Il risultato quindi non è un monomio.

A di�erenza dell'addizione, nella moltiplicazione fra monomi è sempre possibile. Infatti ognimonomio è un'espressione moltiplicativa: moltiplicata per un altro monomio, origina una nuovascrittura moltiplicativa, quindi un monomio.

Il prodotto di due o più monomi è un monomio che ha per coe�ciente il prodotto per coe�cientie come parte letterale il prodotto delle parti letterali.

Esempio 3.7. 4 · 13xyz · (−3x2y3) = −4x3y4z

La divisione tra due monomi è un monomio quando il grado del monomio dividendo è maggioreo uguale a quello del monomio divisore e quando le lettere che compaiono nel divisore si trovanoanche nel dividendo.

Esempio 3.8. 4x4y5z : 3x4y2 = 43y

3z

La divisione tra monomi può dar luogo ad una frazione algebrica, cioè ad una espressionealgebrica costituita da un numero �nito di moltiplicazioni di variabili e costanti, dove le variabilipossono comparire con esponente negativo2.

1Il termine addizione si riferisce all'operazione; la somma, invece, indica il risultato dell'operazione di addizione.2Alcuni testi includono le frazioni algebriche fra i monomi.


Esempio 3.9. 3xy6 : (−x4y7) = −3x−3y−1 = − 3x3y

La divisione tra i due monomi non dà luogo ad un monomio ma ad una frazione algebrica.

In�ne, è possibile de�nire anche l'operazione di elevamento a potenza di un monomio. Il risultatoha per coe�ciente la potenza del coe�ciente e per parte letterale la potenza di ciascun fattoreletterale del monomio. Si possono veri�care due casi:

� se l'esponente è un numero naturale, la potenza di un monomio è un monomio;

Esempio 3.10. (−2a3b2)3 = −8a9b6

� se l'esponente è un numero intero negativo, la potenza di un monomio è una frazionealgebrica.

Esempio 3.11. (−2a3b2)−3 = − 123a−9b−6 = − 1

8a9b6

M.C.D. e m.c.m. di monomi

Il M.C.D. di due o più monomi è il monomio che ha per coe�ciente il M.C.D dei coe�cienti, eper parte letterale il prodotto dei fattori comuni ai monomi dati, presi col il minimo esponente.

Esempio 3.12. MCD(16a3b2c, 12ab4d) = 4ab2

Il m.c.m. di due o più monomi è un monomio il cui coe�ciente è il m.c.m. dei coe�cienti, e laparte letterale è il prdotto dei fattori comuni e non, presi con il massimo esponente.

Esempio 3.13. mcm(2x2y, 6x3y2z, 45y, 12x2y2k2) = 180x3y2zk2

3.2 Polinomi

De�nizione 3.4 (Polinomio). Si de�nisce polinomio l'espressione algebrica formata dall'addi-zione e/o sottrazione di monomi, detti termini del polinomio.

Spesso nei polinomi esiste anche un monomio di grado 0, cioè una costante numerica, essa èdetta termine noto.

Esempio 3.14. −3ax+ c+ 4ab+ 2 è un polinomio formato da tre monomi e un termine noto.

I polinomi formati da due monomi sono detti anche binomi, quelli formati da tre trinomi.Diciamo grado di un polinomio il massimo tra i gradi dei suoi termini.

I polinomi possono essere anche interpretati come funzioni.

Esempio 3.15. p(x) = x2 − 3x + 2 è una funzione in una variabile, è espressa attraverso unpolinomio quindi è una funzione polinomiale.

È possibile valutare una funzione in un determinato valore, basta sostituire le variabili con ilvalore scelto ed eseguire le operazioni richieste. Se p(x) è una funzione polinomiale e p(xi) = 0per qualche i, allora i numeri xi sono detti radici o zeri del polinomio.

Esempio 3.16. Consideriamo il polinomio p(x) = x2 − 3x + 2. Esso ha come radici x0 = 1 ex1 = 2, infatti:

p(x0) = p(1) = 12 − 3 · 1 + 2 = 1− 3 + 2 = 0 p(x1) = p(2) = 22 − 3 · 2 + 2 = 4− 6 + 2 = 0


Operazioni con polinomi

Anche per i polinomi è possibile de�nire le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazionee divisione.

La somma (di�erenza) di due o più polinomi è il polinomio che si ottiene sommando (o sottraendo)i monomi che costituiscono i polinomi dati.

Esempio 3.17. Sommiamo il polinomio a(x) = 3ax2y + 2x − 4y3 e b(x) = −2ay2 + 0.5y3 −3ax2y + 4x− 1:

(3ax2y + 2x− 4y3) + (−2ay2 + 0.5y3 − 3ax2y + 4x− 1) =

=3ax2y + 2x− 4y3 − 2ay2 + 0.5y3 − 3ax2y + 4x− 1 =

=6x− 3, 5y3 − 2ay2 − 1

Esempio 3.18. Eseguiamo la di�erenza tra i polinomi a(x) = 3ab+4a2−ab2 e 2a2−3ax+4ab2−3:

(3ab+ 4a2 − ab2)− (2a2 − 3ax+ 4ab2 − 3) =

=3ab+ 4a2 − ab2 − 2a2 + 3ax− 4ab2 + 3 =

=3ab+ 2a2 − 5ab2 + 3ax+ 3

Il prodotto di due polinomi è il polinomio che si ottiene applicando la proprietà distributiva frai monomi che li compongono, bisogna cioè moltiplicare ogni monomio del primo polinomio perogni monomio del secondo e, in�ne, sommare i monomi simili.

Esempio 3.19. Moltiplichiamo il polinomio a(x) = x2 − 5x+ 3 per b(x) = 2x+ 1:

(x2 − 5x+ 3) · (2x+ 1) =

=x2 · 2x+ x2 · 1 + (−5x) · 2x+ (−5x) · 1 + 3 · 2x+ 3 · 1 =

=2x3 + x2 − 10x2 − 5x+ 6x+ 3 =

=2x3 − 9x2 + x+ 3

Se i polinomi sono più di due, per determinarne il prodotto si applica anche la proprietà associa-tiva: si moltiplica il primo polinomio per il secondo, il risultato viene moltiplicato per il terzo, ilrisultato viene moltiplicato per il quarto, e così via.

Esempio 3.20. Eseguiamo il seguente prodotto di tre polinomi:

(3a2b2 − ab+ 1) · (2a2b2 + ab− 1) · (a2b2 − ab+ 1) =

=((3a2b2 − ab+ 1) · (2a2b2 + ab− 1)) · (a2b2 − ab+ 1) =

=(6a4b4 + 3a3b3 − 3a2b2 − 2a3b3 − a2b2 + ab+ 2a2b2 + ab− 1) · (a2b2 − ab+ 1) =

=(6a4b4 + a3b3 − 2a2b2 + 2ab− 1) · (a2b2 − ab+ 1) =

=6a6b6 − 6a5b5 + 6a4b4 + a5b5 − a4b4 + a3b3 − 2a4b4 + 2a3b3 − 2a2b2 + 2a3b3 − 2a2b2 + 2ab− a2b2 + ab− 1 =

=6a6b6 − 5a5b5 + 3a4b4 + 5a3b3 − 5a2b2 + 3ab− 1

È possibile de�nire anche la divisione tra due polinomi, ma il risultato in generale non è unpolinomio, bensì una frazione algebrica.La divisione fra polinomi segue lo stesso algoritmo della divisione fra numeri.

Esempio 3.21. Eseguiamo la divisione tra i polinomi a(x) = 2x4 − 3x3 + 3x2 + 2 e b(x) =x2 − 2x+ 2.


Per prima cosa riscriviamo il dividendo e il divisore in forma completa: inseriamo tutti i termini,anche quelli con coe�ciente nullo.

2x4 −3x3 +3x2 +0x +2 x2 − 2x+ 2

Dividendo il grado massimo del dividendo, cioè 2x4, per x2 otteniamo 2x2.Moltiplichiamo 2x2 per il divisore e scriviamo il risultato sotto il dividendo, in colonna; sottraendoil dividendo da quest'utltimo si ottiene il nuovo polinomio da dividere:

2x4 −3x3 +3x2 +0x +2 x2 − 2x+ 2

2x4 −4x3 +4x2 2x2

// x3 −x2 +0x +2

Ripetiamo il procedimento assumendo x3 − x2 + 2 come nuovo dividendo, quindi dividiamo x3

per x2 e otteniamo x. Moltiplichiamo x per il divisore, scriviamo il risultato nella colonna disinistra, sottraendo si ottiene il nuovo dividendo:

2x4 −3x3 +3x2 +0x +2 x2 − 2x+ 2

2x4 −4x3 +4x2 2x2 + x

// x3 −x2 +0x +2x3 −2x2 +2x

// x2 −2x +2

Dividendo x2 per x2 si ha 1, moltiplichiamo 1 per il divisore e scriviamo il risultato nella colonnasinistra sotto il nuovo dividendo. Sottraiamo dal nuovo dividendo quest'ultimo e otteniamo ilresto:

2x4 −3x3 +3x2 +0x +2 x2 − 2x+ 2

2x4 −4x3 +4x2 2x2 + x+ 1

// x3 −x2 +0x +2x3 −2x2 +2x

// x2 −2x +2x2 −2x +2

// // 0

Quindi (2x4 − 3x3 + 3x2 + 2) : (x2 − 2x+ 2) = 2x2 + x+ 1.

3.3 Alcuni prodotti notevoli

Spesso, nel calcolo letterale, si trovano alcuni tipi di moltiplicazioni che possono essere calcolate inmodo molto rapido. Esse prendono il nome di prodotti notevoli. Vediamo alcuni dei prodottinotevoli più importanti.

Prodotto della somma di due monomi per la loro di�erenza

Dati due monomi A e B, il prodotto della loro somma per la loro di�erenza è uguale alla di�erenzatra il quadrato del primo e il quadrato del secondo, in simboli:

(A+B)(A−B) = A2 −B2 (3.1)


Dimostrazione.

(A+B)(A−B) = (Applicando la proprietà distributiva)

= A2 −AB +BA−B2 = (Applicando la proprietà commutativa su BA)

= A2 −AB +AB −B2 = (Sommando i monomi simili)

= A2 −B2

Esempio 3.22. (3a2b− 1

5c

)(3a2b− 1

5c

)=

=(3a2b

)2 − (1

5c

)2

=

=9a4b2 − 1

25c2

Quadrato di un binomio

Dati due monomi A e B, il quadrato del binomio ottenuto dalla loro somma (o di�erenza) èuguale al quadrato del primo, più il quadrato del secondo, più (o meno) il doppio prodotto di Ae B, in simboli:

(A±B)2 = A2 ± 2AB +B2 (3.2)

Dimostrazione. Dimostriamo il caso in cui il binomio sia una somma, il caso della di�erenza sidimostra in modo analogo:

(A+B)2 = (Applicando la de�nizione di potenza)

=(A+B)(A+B) = (Eseguendo i prodotti applicando la proprietà distributiva)

=A2 +AB +BA+B2 = (Sommando i monomi simili)

=A2 + 2AB +B2

Quadrato di un trinomio

Dati tre monomi A, B e C, il quadrato del trinomio A+B+C è uguale alla somma dei quadratidei tre termini e dei doppi prodotti di ciascun termine per tutti quelli che lo seguono, in simboli:

(A+B + C)2 = A2 +B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC (3.3)

Dimostrazione.

(A+B + C)2 = (Applicando la de�nizione di potenza)

=(A+B + C)(A+B + C) = (Eseguendo i prodotti applicando la proprietà distributiva)

=A2 +AB +AC +BA+B2 +BC + CA+ CB + C2 = (Sommando i monomi simili)

=A2 +B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC


La 3.3 può essere generalizzata a un polinomio di un numero qualsiasi di termini con segnoqualsiasi

Esempio 3.23.

(a2 + 2a− 1)2 = (Applicando la de�nizione di potenza)

=(a2 + 2a− 1)(a2 + 2a− 1) = (Eseguendo i prodotti applicando la proprietà distributiva)

=a4 + 4a2 + 1 + 4a3 − 2a2 +−4a = (Sommando i termini simili e riordinando)

=a4 + 4a3 + 2a2 − 4a+ 1

Cubo di un binomio

Dati due monomi A e B, il cubo del binomio ottenundo dalla loro somma (o di�erenza) è ugualealla somma (o di�erenza) dei cubi dei due termini, più (o meno) il triplo prodotto del quadratodel primo per il secondo, più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, in simboli:

(A±B) = A3 ± 3A2B + 3AB2 ±B2 (3.4)

Dimostrazione. Dimostriamo il caso in cui il binomio sia una somma, il caso della di�erenza sidimostra in modo analogo:

(A+B)3 = (Applicando la proprietà delle potenze)

=(A+B)2(A+B) = (Sviluppando il prodotto notevole del quadrato del binomio)

=(A2 + 2AB +B2)(A+B) = (Eseguendo i prodotti)

=A3 +A2B + 2A2B + 2AB2 +AB2 +B3 = (Sommando i termini simili)

=A3 + 3A2B + 3AB2 +B2

3.4 Scomposizione di polinomi

Scomporre in fattori un polinomio signi�ca, analogamente alla scomposizione in fattori diun numero, scrivere il polinomio come prodotto di altri polinomi. Quindi per scomporre unpolinomio bisogna trovare opportuni polinomi, diversi da 1, che moltiplicati fra loro diano comeprodotto il polinomio dato.A di�erenza del caso numerico, non esistono dei metodi generali che permattano di scomporreun polinomio. Esistono però delle tecniche che si applicano ad alcuni casi particolari.

Mettere in evidenza

Per moltiplicare un monomio per un polinomio, oppure due polinomi, si applica la proprietàdistributiva. Se tutti i termini di un polinomio hanno almeno un fattore in comune è possi-bile scomporre il polinomio applicando la proprietà distributiva �al contrario�. Per farlo bastamettere in evidenza (o raccogliere), cioè �portare fuori�, il M.C.D. fra tutti i termini delpolinomio (cioè il più grande fattore comune a tutti i termini), e si divide per esso ogni termine,ottenendo una nuova espressione all'interno della parentesi.

Esempio 3.24. Scomponiamo 6x2 + 2x:

6x2 + 2x = 2x(3x+ 1)


Esempio 3.25. Scomponiamo 3x4y2z3 + 6x3yz4 − xz3:

3x4y2z3 + 6x3yz4 − xz3 = (Poiché il M.C.D. tra 3x4y2z3 e 6x3yz4 è: xz3)

=xz3(3x3y2 + 6x2yz − 1)

A volte il M.C.D. tra tutti i termini del polinomio dato non è 1, in questo caso non esiste unfattore comune a tutti i termini, quindi non si può applicare il metodo appena descritto. Peròpotrebbe essere possibile che alcuni termini abbiano un fattore comune e gli altri ne abbiano unaltro. In questo caso è possibilemettere in evidenza per parti (o eseguire un raccoglimento

parziale) e poi mettere nuovamente in evidenza un fattore comune a tutti i termini.

Esempio 3.26. Scomponiamo il polinomio ax+ bx+ ay + by:

ax+ bx+ ay + by = (Per i primi due termini mettiamo in evidenza x, per gli ultimi due y)

= x(a+ b) + y(a+ b) = (Mettiamo in evidenza (a+ b))

= (x+ y)(a+ b)

Esempio 3.27. Scomponiamo x− 1− 3x2y + 3xy:

x− 1− 3x2y + 3xy =

=(x− 1)− 3xy(x− 1) =

=(x− 1)(1− 3xy)

Scomposizione mediante prodotti notevoli

Se un polinomio è un prodotto notevole, si possono determinare immediatamente i fattori che,moltiplicati tra loro, lo originano. La di�coltà consiste nel riconoscere le espressioni che hannole caratteristiche di prodotti notevoli.

Ad esempio, ricordando che il prodotto fra la somma e la di�erenza di due termini è uguale alladi�erenza tra i loro quadrati, si può scomporre immediatamente nella di�erenza di due quadrati.

Esempio 3.28. Scomponiamo il polinomio 9a2 − b4.Osserviamo che si tratta della di�erenza di due quadrati, ma allora, in virtù della 3.1, possiamoscomporlo nel seguente prodotto 9a2 − b4 = (3a+ b2)(3a− b2).

Un polinomio che abbia una la forma A2+2AB+B2 o A2−2AB+B2, può essere immediatamentescomposto in un quadrato di binomio.

Esempio 3.29. Scomponiamo il polinomio 25x2 − 52xy + 1

16y2.

Osserviamo che abbiamo la somma di due quadrati e il secondo termine è esattaente il doppioprodotto dei termini di cui è presente il quadrato, quindi il polinomio si può scompone nel seguentequadrato di binomio: 25x2 − 5

2xy + 116y

2 =(5x− 1

4y)2.

Invece un polinomio di quattro termini di terzo grado della forma A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 oA3 − 3A2B − 3AB2 +B3 si scomporree immediatamente nel cubo di un binomio.

Esempio 3.30. Scomponiamo il polinomio 8b3 + 12b2y + 6by2 + y3.Osserviamo che il trinomio ha quattro termini, tutti di terzo grado, sono presenti due cubi e itermini centrali sono tripli prodotti, quindi il polinomio si scompone immediatamente ne seguentecubo di binomio: 8b3 + 12b2y + 6by2 + y3 = (2b+ y)3.


Scomposizione di particolari trinomi di secondo grado

Per scomporre un trinomio di secondo grado del tipo x2 + sx+ p si cercano due numeri a e b lacui somma è s e il prodotto è p. Se è possibile trovare tali numeri il trinomio si scompone nelseguente modo:

x2 + sx+ p = (x+ a)(x+ b)

Esempio 3.31. Scomponiamo il trinomio x2 + 8x+ 12.

Abbiamo s = 8 e p = 12. Dobbiamo trovare due numeri a e b tali che

{a+ b = 8ab = 12

Tali numeri sono a = 2 e b = 6, quindi x2 + 8x+ 12 = (x+ 2)(x+ 6).

Scomposizione mediante il teorema di Ru�ni

Un altro metodo utilizzato per scomporre un polinomio consiste nel determinare i suoi zeri. Ciòè possibile grazie al teorema del resto e a quello di Ru�ni.

Teorema 3.4.1 (del resto). Sia P (x) un polinomio di grado maggiore o uguale a 1, e sia k ∈ R.Se P (x) viene diviso per (x− k), allora il resto della divisione è uguale a P (k).

Sappiamo che un polinomio P (x) è divisibile per (x − k) se il resto della divisione fra P (x) e(x−k) dà resto 0. Per il teorema del resto 3.4.1 sappiamo che il resto di tale divisione è il numeroP (k). Combinando questi due fatti, si ottiene il seguente criterio per stabilire se un polinomioP (x) è divisibile per un binomio del tipo (x− k):

Teorema 3.4.2 (di Ru�ni). Un polinomio P (x) è divisibile per (x− k) se e solo se P (k) = 0.

Grazie a questi teoremi è possibile scomporre in fattori alcuni polinomi di grado superiore alsecondo. Se, infatti, in un dato polinomio è possibile trovare uno zero k ∈ R, il teorema diRu�ni assicura che esso è divisibile per (x−k). Quindi (x−k) è un fattore della scomposizione.Dividendo il il polinomio dato per (x− k) si ottiene un nuovo fattore: se non è scomponibile lascomposizione è terminata, se non lo è bisogna scomporlo iterando il ragionamento.Ma come determinare uno zero di un polinomio P (x)? Bisogna trovare un valore k ∈ R tale cheP (k) = 0. Esiste un criterio che permettono di trovare facilmente gli zeri di un polinomio: datoun polinomio P (x) a coe�cienti interi, i suoi zeri sono sono della forma p

q , dove p è un divisoredel termine noto e q è un divisore del coe�ciente del termine di grado massimo. In particolare,se il coe�ciente del termine di grado massimo del polinomio è 1, allora gli eventuali zeri sono daricercare fra i divisori del termine noto.

Esempio 3.32. Scomponiamo il polinomio P (x) = x3 − 3x+ 2.Per prima cosa cerchiamo uno zero. Osserviamo che il polinomio è a coe�cienti interi e cheil coe�ciente di x3 è 1, quindi gli zeri sono da cercare fra i divisori del termine noto 2, quindipossono essere: +1,−1,+2,−2. Partiamo dai valori più semplici, cioè −1 e +1. Troviamo che:

P (−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = −1 + 3 + 2 = 4 6= 0 P (1) = 13 − 3 · 1 + 2 = 1− 3 + 2 = 0

Abbiamo trovato che 1 è uno zero, quindi P (x) è divisibile per (x− 1).Eseguendo la divisione tra P (x) e (x − 1) troviamo che (x3 − 3x + 2) : (x − 1) = x2 + x − 2.Quindi x3 − 3x+ 2 = (x− 1)(x2 + x− 2).La scomposizione non è terminata: x2 + x − 2 è un trinomio di secondo grado che si può ulte-riormente scomporre cercando due numeri aventi somma pari a 1 e prodotto uguale a −2. Talinumeri sono 2 e −1, quindi 2 + x− 2 = (x+ 2)(x− 1). In de�nitiva:

x3 − 3x+ 2 = (x− 1)(x+ 2)(x− 1) = (x− 1)2(x+ 2)


3.5 Frazioni algebriche

Nel paragrafo 3.1 è stato osservato che alcune operazioni fra monomi non danno luogo ad unmonomio ma ad una frazione algebrica. In generale una frazione algebrica è un particolare tipodi frazione A

B dove A e B sono polinomi e B è diverso dal polinomio nullo.

Osservazione 3.1. I polinomi sono casi particolari di frazioni algebriche: si tratta infatti difrazioni algebriche aventi per denominatore un numero diverso da 0 (polinomio di grado 0) o incui il denominatore divide il numeratore.Quindi l'insieme dei polinomi è un sottoinsieme dell'insieme delle frazioni algebriche.

Esempio 3.33. Vediamo alcuni esempi di frazioni algebriche che non sono monomi né polinomi:

−2x

y

3a3

b2c

2x+ 7y2

x3 − 8y2x3y−2z

Osserviamo che 2x3y−2z è una frazione algebrica che, per le proprietà delle potenze, può esserescritta come 2x3z

y2. Non è un monomio poiché la lettera y della parte letterale ha esponente

negativo.

Sempli�care una frazione algebrica

Quando è possibile, conviene sempre sempli�care una frazione algebrica ai minimi termini. Cosìcome per le frazioni numeriche, anche per sempli�care ai minimi termini le frazioni algebrichebisogna dividere numeratore e denominatore per il loro M.C.D., che può essere un numero, unmonomio oppure un polinomio.In generale una frazione algebrica è un rapporto fra polinomi, quindi bisogna prima scomporrein fattori primi i polinomi e poi calcolare il loro M.C.D. In analogia con le de�nizioni di M.C.D.già viste per numeri e monomi, si de�nisce M.C.D. di due o più polinomi il prodotto di tutti ifattori comuni ai polinomi, ciascuno considerato con il minimo esponente.

Esempio 3.34. Sempli�chiamo la frazione algebrica 2a2−2a2−2a+1

.

2a2 − 2

a2 − 2a+ 1= (Scomponendo sia numeratore che denominatore)

=2(a+ 1)(a− 1)

(a− 1)2= (L'unico fattore comune sia al numeratore che al

denominatore è (a− 1), dividiamo per tale termine)

=2(a+ 1)

a− 1

Non possiamo ulteriormente sempli�care poiché numeratore e denominatore non hanno altrifattori comuni.

Operazioni tra frazioni algebriche

Così come per le frazioni numeriche, per sommare (o sottrarre) due o più frazioni algebricheinnanzitutto è necessario determinare il loro comune denominatore. Quindi per prima cosa siscompongono in fattori primi i denominatori, poi si determina il m.c.m. fra i denominatori, chein generale sono polinomi.In analogia con le de�nizioni di m.c.m. già viste per numeri e monomi, si de�nisce m.c.m. didue o più polinomi il prodotto di tutti i fattori, sia comuni che non, ciascuno considerato con ilmassimo esponente. Una volta determinato il m.c.m. dei denominatori, la somma (o di�erenza)si esegue seguendo lo stesso ragionamento già visto per le frazioni numeriche.


Esempio 3.35.

2(a− b)a3 + a2b

+a+ b

a3 + ab2 + 2a2b− 5

a2 + ab= (Scomponendo i denominatori)

=2(a− b)a(a+ b)

+a+ b

a(a+ b)2− 5

a(a+ b)= (Sempli�cando la terza frazione)

=2(a− b)a(a+ b)

+1

a(a+ b)− 5

a(a+ b)= (Calcolando il m.c.m. fra i denominatori)

=2a− 2b+ a− 5a

a2(a+ b)= (Svolgendo i calcoli al numeratore)

=−2a− 2b

a2(a+ b)= (Mettendo in evidenza i fattori comuni al numeratore)

=− 2(a+ b)

a2(a+ b)= (Sempli�cando)

=− 2

a2

Anche la moltiplicazione e la divisione di frazioni algebriche seguono le stesse regole di quelledi frazioni numeriche. Per prima cosa si scompongono in fattori primi sia numeratori che deno-minatori. In secondo luogo si moltiplicano numeratori e denominatori fra loro. Si ricorda chela divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione, quindi dividere due frazioni equivale amoltiplicare la prima per l'inverso della seconda.

Esempio 3.36.

3ab− 3a3b

3xy2 − 12xy + 12x· 2y2 − 8

a+ 2a2 + a3= (Scomponendo in fattori)

=3ab(1− a2)

3x(y2 − 4y + 4)· 2(y2 − 4)

a(1 + 2a+ a2)= (Scomponendo ancora)

=b(1 + a)(1− a)

x(y − 2)2· 2(y + 2)(y − 2)

(1 + a)2= (Sempli�cando)

=b(1− a)(y + 2)

x(y − 2)(1 + a)

Esempio 3.37. (x2 + y2

x3 + x2y+

1

x− x− yx2 + xy

):(

1 +y

x

)=

=

(x2 + y2

x3 + x2y+

1

x− x− yx(x+ y)

):

(x+ y

x

)=

=x2 + y2 + x(x+ y)− x(x− y)

x2(x+ y)· x

x+ y=

=x2 + y2 + x2 + xy − x2 + xy

x2(x+ y)· x

x+ y=

=x2 + y2 + 2xy

x2(x+ y)· x

x+ y=

=(x+ y)2

x2(x+ y)· x

x+ y=

=1

x


3.6 Espressioni letterali

Le espressioni letterali sono espressioni in cui compaiono lettere che rappresentano numeri.Così come per le espressioni numeriche, anche in quelle letterali lo scopo è quello di sempli�carel'espressione data. Per la sempli�cazione si utilizzano le proprietà dei numeri reali e quelle deipolinomi.

Esempio 3.38. Sempli�chiamo la seguente espressione letterale:

a(a− 3b)− (a− 4b)(a+ b) =

=a2 − 3ab− (a2 + ab− 4ab− 4b2) =

=a2 − 3ab− (a2 − 3ab− 4b2) =

=a2 − 3ab− a2 + 3ab+ 4b2 =

=4b2

Capitolo 4

Equazioni

4.1 Principi di equivalenza per le equazioni

De�nizione 4.1 (Equazione). Un'equzione è un'uguaglianza tra due espressioni contenenti una opiù letterei dette incognite, di cui si cercano, se esistono, i valori che rendono vera l'uguaglianza.

Quindi risolvere un'equazione signi�ca trovare, se esistono, i valori che sostituiti alle incogniterendono vera l'uguaglianza. Tali numeri vengono detti soluzioni o radici dell'equazione.

Esempio 4.1. Questi sono alcuni esempi di equazioni:

x+ 8 = 5 (Equazione di primo grado in una incognita)

2 + x2 = 4x (Equazione di secondo grado in una incognita)

x3 + 3x+ 4 = 2x2 (Equazione di terzo grado in una incognita)

x+ y = 2 (Equazione di primo grado in due incognite)

y + 3x2 = 34x+ 6 (Equazione di secondo grado in due incognite)

2x2 + y2 − 3x = 4y + 5 (Equazione di secondo grado in due incognite)

Dall'esempio precedente si può dedurre la de�nizione di grado di un'equazione:

De�nizione 4.2 (Grado di un'equazione). Si de�nisce grado di un'equazione il massimo espo-nente a cui è elevata l'incognita (o le incognite nel caso di equazioni in più variabili).

Le equazioni sono utilissime per ricavare formule �siche, risolvere problemi logici, problemi geo-metrici, per esprimere matematicamente luoghi geometrici (vedremo come si possono rappresen-tare rette e altre curve famose attraverso un'equazione) e tanto altro.

Come si può notare dagli esempi ogni equazione ha un'espressione a sinistra dell'uguale e una adestra. Ciò che è a sinistra dell'uguale è detto primo membro, ciò che è a destra secondo membro.Essi possono essere pensati come i piatti di una bilancia in cui sono poggiati vari pesetti noti(cioè i numeri) e altri pesetti incogniti di cui non si conosce il peso (le incognite). Lo scopo èquello di trovare, se esiste, il valore del peso incognito (o dei pesi incogniti nel caso di equazioniin più variabili). Per farlo basta aggiungere o togliere pesetti ai due piatti in modo tale che labilancia rimanga sempre in equilibrio, quindi se si aggiunge un pesetto da 2 kg nel piatto sinistrolo si deve aggiungere anche nel piatto destro, oppure se si tolgono 7 kg dal piatto destro li sidevono togliere anche dal piatto sinistro.Questi passaggi possono essere formalizzati matematicamente e, partendo da un'equazione data,

44

CAPITOLO 4. EQUAZIONI 45

si otterrà un'equazione equivalente a quella data, cioè che ha lo stesso insieme di soluzioni.Questa interpretazione permette di enunciare i seguenti principi:

Principio 4.1 (Primo principio di equivalenza). Aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membridi un'equazione un numero o un'espressione algebrica de�nita per gli stessi valori delle variabiliche vi compaioni, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.

Principio 4.2 (Secondo principio di equivalenza). Moltiplicando o dividendo entrambi i membridi un'equazione per un numero diverso da zero o per un'espressione algebrica de�nita per gli stessivalori delle variabili che vi compaioni, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.

Osservazione 4.1. Quando si vuole applicare il primo principio di equivalenza, se si vuole ag-giungere (o togliere) un'espressione algebrica è fondamentale veri�care che questa sia de�nitaper gli stessi valori delle variabili dell'equazione, altrimenti si potrebbe ottenere un'equazione nonequivalente.Spieghiamo meglio ciò con il seguente controesempio: consideriamo l'equazione x = x2. È evi-dente che 0 è un numero che oddisfa tale equazione, quindi è una soluzione. Supponiamo di volerapplicare il primo principio aggiungendo ad entrambi i membri 1

x otteniamo: x + 1x = x2 + 1

x .Osserviamo che in questa equazione 0 non è più soluzione, quindi non è equivalente a quelladata, in contrasto con il primo principio. La contraddizione nasce dal fatto di non aver consi-derato l'ipotesi che le espressioni algebriche da aggiungere (o togliere) devono essere de�nite pergli stessi valori delle variabili che compaiono nell'equazione data.

Osservazione 4.2. Bisogna fare attenzione a non moltiplicare i membri di un'equazione perzero, altrimenti si otterrebbe l'equazione 0 = 0, che è un'identità sempre vera, ma l'equazione dipartenza potrebbe non essere equivalente a quella data. Inoltre ricordiamo che la divisione perzero non è mai ammessa.Per tali motivi la moltiplicazione e la divisione per un'espressione algebrica sono operazioni chesi commettono raramente, infatti spesso è di�cile trovare un'espressione algebrica che trasformil'equazione data in una equivalente.

L'insieme delle soluzioni può essere:

� �nito, in questo caso l'equazione è detta determinata;

� in�nito, in questo caso l'equazione è detta indeterminata;

� vuoto, in questo caso l'equazione è detta impossibile.

4.2 Equazioni di primo grado

Le equazioni più semplici sono quelle di primo grado in un'incognita a coe�cienti interi.

Supponiamo di avere una bilancia in cui in un piatto ci sono due pesetti uguali di cui nonconosciamo il peso, e nell'altro piatto c'è un pesetto di 8 kg. Quanto pesa il pesetto incognito?

Il problema può essere espresso attraverso la seguente equazione di primo grado in una incognita:

2x = 8

Risolvere tale equazione signi�ca trovare qual è quel numero che moltiplicato per 2 dà 8. Troviamola soluzione:

2x = 8 (dividiamo entrambi i membri per 2)2x

2=

8

2(sempli�chiamo le frazioni)

x = 4


Il numero cercato è 4, quindi i due pesetti incogniti uguali misurano ciascuno 4 kg.

Osservazione 4.3. Aggiungere e togliere una stessa quantità ad entrambi i membri dell'equazioneper sempli�care un valore, equivale a spostare quel termine all'altro membro cambiandolo di segno.Infatti se avessimo:

x+ 5 = 8 (togliamo 5 ad entrambi i membri per avere solo l'incognita x al primo membro)

x+ 5− 5 = 8− 5 (sommiamo)

x = 3

l'equazione potrebbe essere risolta più velocemente saltando il passaggio in cui togliere 5 adentrambi i membri scrivendo direttamente:

x = 8− 5

Una volta determinate le soluzioni, si può veri�care se esse siano e�ettivamente corrette. Perfare ciò basta sostituire la soluzione (o una delle soluzioni) nell'equazione iniziale al posto dell'in-cognita ed eseguire i calcoli. Se tale numero rende uguali i due membri dell'equazione signi�cache la soluzione trovata è corretta.

Esempio 4.2. Nell'osservazione 4.3 abbiamo trovato che 3 è soluzione dell'equazione x+ 5 = 8.Veri�chiamolo:

3 + 5 = 8 (Sostituendo il valore 3 al posto dell'incognita)

8 = 8

I due membri sono uguali, quindi la soluzione trovata è corretta.

Le equazioni di primo grado in una incognita permettono di risolvere problemi pratici di variotipo.

Esempio 4.3. Supponiamo di voler ripartire la somma di 2000 euro fra 3 persone in modo chela prima abbia 100 euro in più della seconda e la seconda 200 euro in più della terza. Trovare lasomma di denaro che spetta a ciascuno.

Per prima cosa bisogna decidere quale somma di denaro considerare come incognita: se la sommadata alla prima persona, quella data alla seconda oppure quella data alla terza.

Supponiamo di indicare con x la somma di denaro data alla seconda persona. In tal caso lasomma spettante alla prima sarà x + 100 e la somma per la terza sarà x − 200. Le tre sommedi denaro in totale dovranno dare 2000, quindi il problema si riduce allo svolgimento di questaequazione:

x+ 100 + x+ x− 200 = 2000 (spostiamo i termini noti al secondo membro)

x+ x+ x = 2000− 100 + 200 (sommiamo i termini simili)

3x = 2100 (dividiamo entrambi i membri per il coe�ciente della x)

x = 700

Quindi alla seconda persona spettano 700 euro, alla prima 700 + 100 = 800 euro, alla terza700− 200 = 500 euro. Osserviamo che 700 + 800 + 500 = 2000, quindi il risultato è corretto.

Esempio 4.4. Determinare i quattro numeri interi consecutivi la cui somma sia 4.


Indichiamo con x il più piccolo numero fra i tre consecutivi cercati. Il suo consecutivo sarà x+1,il consecutivo di quest'ultimo sarà x+ 2 e il suo consecutivo sarà x+ 3. Poiché la somma di talitre numeri deve essere 4 il problema può essere formalizzato attraverso questa equazione:

x+ x+ 1 + x+ 2 + x+ 3 = 4 (sommando i termini al primo membro)

4x+ 6 = 4 (sottraendo il valore 6 ad entrambi i membri)

4x = 4− 6 (sommando i termini al secondo membro)

4x = −2 (dividendo entrambi i membri per 4)

x = −1

2

Il problema però richiedeva che i numeri fossero interi1 quindi, avendo trovato una soluzionerazionale non intera2, tale problema non ha soluzione.

Esempio 4.5. Determina il numero reale che addizionato a se stesso è uguale alla sua metà.

Indichiamo con x il numero reale cercato. Il problema si può formalizzare nel seguente modo:

x+ x =x

2sommando)

2x =x

2(moltiplicando entrambi i membri per 2)

2 · 2x =x

2· 2 (moltiplicando)

4x = x (sottraendo x ad entrambi i membri)

4x− x = x− x (Sommando)

3x = 0 (Dividendo per 3 entrambi i membri)

x = 0

L'equazione ha una soluzione, x = 0, quindi è determinata.

Esempio 4.6. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale ai 34 dell'altro. Sapendo che la

somma dei cateti è 21 m determinare la lunghezza dei due cateti.

Indichiamo con AB e AC i due cateti. I dati che abbiamo sono:

AB =3

4AC

AB +AC = 21m

Conviene considerare AC = x. Con tale scelta AB = 34x. Quindi il nostro problema si riduce

allo svolgimento della seguente equazione:

3

4x+ x = 21

7

4x = 21

7x = 84

x =84

7x = 12

Quindi x = AC = 12 m e AB = 34 · 12 = 9 m.

1L'insieme dei numeri interi si indica con Z ed è formato dai numeri naturali e dai loro opposti, cioè Z ={...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}.

2L'insieme dei numeri razionali si indica con Q ed è costituito da tutti i numeri che si possono esprimere attra-verso una frazione. Osserviamo che i numeri interi si possono anche scrivere come frazione con 1 al denominatore,quindi Z ⊂ Q.


Esempio 4.7. Determina un numero reale il cui doppio, aumentato di 1, sia uguale al suo doppio.

Indichiamo con x il numero cercato. Il problema si formalizza nel modo seguente:

2x+ 1 = 2x (sottraendo 2x ad entrambi i membri)

2x+ 1− 2x = 0 (sottraendo 1 ad entrambi i membri)

2x− 2x = −1 (sommando i termini simili)

0x = −1

L'equazione è quindi impossibile, cioè non ha soluzione. Infatti non esiste nessun numero chemoltiplicato per 0 dia −1.

Se l'equazione ha coe�cienti frazionari può essere trasformata in un'equazione equivalente acoe�cienti interi: basta moltiplicare entrambi i membri per il m.c.m. dei denominatori.

Esempio 4.8.

1

2x+

x− 1

3= 2− x− 1

12= (Poiché il m.c.m. dei denominatori è 12)

12

(1

2x+

x− 1

3

)= 12

(2− x− 1

12

)(Applicando la proprietà distributiva)

12 · 1

2x+ 12 · x− 1

3= 12 · 2− 12 · x− 1

12(Eseguendo i prodotti)

6x+ 4(x− 1) = 24− (x− 1) (Svolgendo i calcoli))

6x+ 4x− 4 = 24− x+ 1 (Portando al primo membro le incognite e al secondo i termini numerici)

6x+ 4x+ x = 24 + 1 + 4 (Sommando i termini simili)

11x = 29 (Dividendo entrambi i membri per 11)

x =29

11

Equazioni di primo grado frazionarie

De�nizione 4.3 (Equazione frazionaria). Si de�nisce equazione frazionaria un'equazione incui l'incognita compare al denomintore.

Poiché non si può dividere per zero, nell'insieme delle soluzioni non potranno esserci quei valoriche, sostituiti all'incognita, annullano il denominatore. Quindi, per prima cosa, bisogna imporreche tutti i denominatori siano diversi da zero.In secondo luogo si moltiplicano entrambi i membri per il minimo comune denominatore, in mododa eliminare le incognite dai denominatori, e si risolve l'equazione.In�ne bisogna controllare se la soluzione è accettabile, cioè bisogna controllare che il valoretrovato non sia fra quelli inizialmente esclusi dall'insieme delle soluzioni.

Esempio 4.9.

1

x2 − 4− 2

x+ 2=

3

x− 2(Scomponendo il primo denominatore)

1

(x− 2)(x+ 2)− 2

x+ 2=

3

x− 2


Imponiamo che i denominatori siano diversi da zero: x 6= 2, x 6= −2.Poiché il minimo comune denominatore è (x− 2)(x+ 2) otteniamo:

(x− 2)(x+ 2) ·(

1

(x− 2)(x+ 2)− 2

x+ 2

)=

(3

x− 2

)· (x− 2)(x+ 2) (Per la distributività)

(x− 2)(x+ 2) · 1

(x− 2)(x+ 2)− (x− 2)(x+ 2) · 2

x+ 2=

3

x− 2· (x− 2)(x+ 2) (Sempli�cando)

1− 2(x− 2) = 3(x+ 2)

1− 2x+ 4 = 3x+ 6

− 2x− 3x = 6− 1− 4

− 5x = 1

x = −1

5

Osserviamo che la soluzione trovata è diversa da 2 2 −2, quindi è accettabile.

Esempio 4.10.

1

x2 − 2x− 2

x2 − 4=

1

x2 + 2x(Scomponendo i denominatori)

1

x(x− 2)− 2

(x− 2)(x+ 2)=

1

x(x+ 2)

Imponiamo che i denominatori siano diversi da zero: x 6= 0, x 6= 2, x 6= −2.Poiché il minimo comune denominatore è x(x+ 2)(x− 2) otteniamo:

x(x+ 2)(x− 2) · 1

x(x− 2)− x(x+ 2)(x− 2) · 2

(x− 2)(x+ 2)=

1

x(x+ 2)· x(x+ 2)(x− 2) (Sempli�cando)

x+ 2− 2x = x− 2

x− 2x− x = −2− 2

− 2x = −4

x = 2

Osserviamo che la soluzione x = 2 on è accettabile poiché annulla il denominatore dell'equazionedi partenza. Quindi l'equazione è impossibile.

Esempio 4.11.

1

x2 − 1+

1

x3 − 3x+ 2=

2x− 1

(x− 2)(x2 − 1)(Scomponendo i denominatori)

1

(x+ 1)(x− 1)+

1

(x− 1)(x− 2)=

2x− 1

(x− 2)(x+ 1)(x− 1)

Imponiamo che i denominatori siano diversi da zero: x 6= 1, x 6= −1, x 6= 2.Poiché il minimo comune denominatore è (x+ 1)(x− 1)(x− 2) otteniamo:

(x+ 1)(x− 1)(x− 2) · 1

(x+ 1)(x− 1)+ (x+ 1)(x− 1)(x− 2) · 1

(x− 1)(x− 2)=

=2x− 1

(x− 2)(x+ 1)(x− 1)· (x+ 1)(x− 1)(x− 2) (Sempli�cando)

x− 2 + x+ 1 = 2x− 1

x+ x− 2x = −1 + 2− 1

0x = 0

L'equazione è indeterminta, quindi ha in�nite soluzioni. Tra le in�nite soluzioni dobbiamo peròscartare i valori che annullano il denominatore dell'equazione di partenza, quindi l'insieme dellesoluzioni è R \ {−1, 1, 2} = (−∞,−1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2,+∞).


4.3 Equazioni di secondo grado

Un'equazione di secondo grado in una incognita è un'equazione che può essere sempre ridottanella forma:

ax2 + bx+ c = 0 con a, b, c ∈ R, a 6= 0

Osservazione 4.4. Se si includesse anche il caso a = 0 l'equazione diventerebbe di primo grado.

Come per le equazioni di primo grado, determinare le soluzioni di un'equazione di secondo gradoin un'incognita signi�ca individuare quei numeri reali tali che, sostituiti all'incognita, rendonol'equazione una proposizione vera.Tali equazioni, però, non si risolvono come quelle di primo grado. Se l'equazione è scritta informa normale (cioè nella forma ax2 + bx+ c = 0) ed è completa (cioè a, b, c 6= 0), per risolverlasi applica la seguente formula risolutiva:

x1,2 =−b±

√∆

2acon ∆ = b2 − 4ac (4.1)

Dimostrazione. Dimostriamo come ricavare la formula risolutiva 4.1 per le equazioni di secondogrado in una incognita.

ax2 + bx+ c = 0 (moltiplicando entrambi i membri per 4a)

4a(ax2 + bx+ c) = 0 · 4a (svolgendo i prodotti)

4a2x2 + 4abx+ 4ac = 0 (addizioniamo a sinistra e destra b2)

4a2x2 + 4abx+ 4ac+ b2 = b2 (addizioniamo ad entrambi i membri −4ac)

4a2x2 + 4abx+ 4ac+ b2 − 4ac = b2 − 4ac (sommando i termini simili)

4a2x2 + 4abx+ b2 = b2 − 4ac (osservando che al primo membro vi è il quadrato di un binomio)

(2ax+ b)2 = b2 − 4ac (estraendo la radice)

2ax+ b = ±√b2 − 4ac (sottraendo b a entrambi i membri)

2ax = −b±√b2 − 4ac dividendo entrambi i membri per 2a)

x =−b±

√b2 − 4ac

2a

L'espressione sotto radice, indicata con la lettera greca ∆ (delta maiuscola), è detta discriminan-te. Viene chiamata in questo modo poiché discrimina i tre possibili casi che possono veri�carsirisolvendo l'equazione ax2 + bx+ c = 0:

� ∆ > 0: l'equazione ammette due soluzioni reali distinte

Esempio 4.12.

4x2 − 5x+ 1 = 0

a = 4, b = −5, c = 1

∆ = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 · 4 · 1 = 25− 16 = 9 > 0


Poiché ∆ > 0 abbiamo le seguenti due soluzioni reali distinte:

x1,2 =−b±

√∆

2a=

+5±√

9

2 · 4=

5± 3

8

x1 =5− 3

8=

1

4

x2 =5 + 3

8= 1

� ∆ = 0: l'equazione ammette due soluzioni reali coincidenti

Esempio 4.13.

x2 − 4x = −4

Riscriviamo l'equazione in modo che sia nella forma ax2 + bx+ c = 0:

x2 − 4x+ 4 = 0

a = 1, b = −4, c = 4

∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 · 1 · 4 = 16− 16 = 0

Poiché ∆ = 0 abbiamo le seguenti due soluzioni reali coincidenti:

x1,2 =−b± 0

2a=−(−4)

2 · 1=

4

2= 2

� ∆ < 0: l'equazione non ammette alcuna soluzione reale (poiché non si può estrarre la radicequadrata di un numero negativo3), quindi è impossibile.

Esempio 4.14.

x(1− 1

2x) = 2

Riduciamo l'equazione nella forma normale ax2 + bx+ c = 0:

x(1− 1

2x) = 2 (moltiplicando e applicando la proprietà distributiva)

x− 1

2x2 = 2 (sottraendo 2 ad entrambi i membri e riordinando)

− 1

2x2 + x− 2 = 0 (moltiplicando per 2 entrambi i membri)

− x2 + 2x− 4 = 0

a = −1, b = 2, c = −4

∆ = b2 − 4ac = 22 − 4(−1)(−4) = 4− 4 · 4 = 4− 16 = −12 < 0

Quindi tale equazione non ha soluzioni reali.

3Ricordiamo che l'estrazione di radice è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza. Estrarre la radicequadrata di un numero signi�ca trovare quel/quei numero/i che elevato/i al quadrato dà/danno il numero sottoradice. Ma nessun numero reale elevato al quadrato può essere negativo, perciò la radice quadrata di un numeroreale negativo non ha senso.


Risoluzione di un'equazione di II grado incompleta: caso b = 0

Può capitare che un'equazione di II grado in una incognita non sia in forma completa. Se b = 0l'equazione sarà della forma:

ax2 + c = 0

in tal caso non è conveniente applicare la formula 4.1, conviene isolare l'incognita in modo daavere solo x2 al primo membro e un numero al secondo membro. Per trovare le soluzioni bastachiedersi quali sono quei numeri il cui quadrato è pari al numero al secondo membro.

Esempio 4.15.

2x2 − 5 = 0 (sommando 5 e dividendo per 2 entrambi i membri)

x2 =5

2(cercando i numeri che al quadrato sono uguali a

5

2)

x = ±√

5

2= ±√

5√2

= ±√

5√2·√

2√2

= ±√

10

2

Si osservi che non sempre è possibile estrarre la radice quadrata al secondo membro. Si ricorda,infatti, che se capitasse di estrarre la radice quadrata di un numero negativo tale operazione,come già spiegato, non è lecita, perciò l'equazione in questo caso non ammetterebbe soluzionireali.

Esempio 4.16.

x2 + 3 = 0

x2 = −3

L'equazione non ammette soluzioni reali.

Risoluzione di un'equazione di II grado incompleta: caso c = 0

Se c = 0 l'equazione diventa del tipo

ax2 + bx = 0

In tal caso conviene mettere in evidenza l'incognita e applicare la legge di annullamento delprodotto, secondo cui il prodotto di due fattori è nullo quando almeno uno dei due fattori è nullo,cioé:

a · b = 0 quando a = 0 o b = 0

Esempio 4.17.

2x2 + 5x = 0 (mettendo in evidenza l'incognita)

x(2x+ 5) = 0 (per la legge dell'annullamento del prodotto)

x1 = 0

(2x+ 5) = 0 ⇒ 2x = −5 ⇒ x = −5

2


Scomposizione di un trinomio di secondo grado

Abbiamo visto che è possibile scomporre un trinomio del tipo x2+sx+p nel prodotto (x+a)(x+b)quando s e p sono rispettivamente la somma e il prodotto fra a e b. Tale scomposizione, assiemealla legge di annullamento del prodotto, permette di determinare velocemente le soluzioni diun'equazione di secodo grado associata al trinomio notevole.

Esempio 4.18.

x2 + x− 12 = 0 (Scomponendo il trinomio notevole al primo membro)

(x− 3)(x+ 4) = 0 (Applicando la legge di annullamento del prodotto)

x1 = 3 x2 = −4

Più in generale si può dimostrare che vale la seguente scomposizione:

ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2) con x1 + x2 = − ba, x1 · x2 =

c

a

Esempio 4.19.

3x2 + 5x− 2 = 0

3

(x2 +

5

3x− 2

3

)= 0

Da questo ne deduciamo che la somma è pari a −53 e il prodotto è 2

3 , i due numeri cercati perciòsono 2 e −1

3 , quindi:

3

(x2 +

5

3x− 2

3

)= 0

3(x+ 2)(x− 1

3) = 0 (Per la legge di annullamento del prodotto)

x1 = −2 x2 =1

3

Equazioni di II grado frazionarie

Così come per le equazioni di I grado, le equazioni di II grado frazionarie sono equazioni in cuicompare l'incognita al denominatore. Il metodo per risolverle è del tutto analogo a quello vistoper le equazioni frazionarie di primo grado.

Esempio 4.20.

1 +2

x2 − 4=

1

2x− 4(Scomponendo i denominatori)

1 +2

(x− 2)(x+ 2)=

1

2(x− 2)


Imponiamo che i denominatori siano diversi da zero: xne− 2, x 6= 2.Poiché il minimo comune denominatore è 2(x+ 2)(x− 2) otteniamo:

2(x+ 2)(x− 2) · 1 + 2(x+ 2)(x− 2) · 2

(x− 2)(x+ 2)=

1

2(x− 2)· 2(x+ 2)(x− 2) (Sempli�cando)

2(x+ 2)(x− 2) + 2 · 2 = x+ 2

2x2 − 8 + 4 = x+ 2

2x2 − x− 6 = 0

∆ = (−1)2 − 4 · 2 · (−6) = 49

x1,2 =−(−1)±

√49

2 · 2=

1± 7

4

x1 = −3

2x2 = 2

Osserviamo che la seconda soluzione non è accettabile poiché annulla il denominatore dell'equa-zione iniziale. Quindi l'equazione ammette un'unica soluzione: x1 = −3

2

4.4 Sistemi di equazioni

De�nizione 4.4 (Sistema di equazioni). Un sistema di equazioni è un insieme di due o piùequazioni, considerate contemporaneamente.

L'insieme delle soluzioni di un sistema è l'intersezione degli insiemi delle soluzioni delle equazioniche lo compongono.

In simboli un sistema si rappresenta elencando le equazioni riunendole con una parentesi gra�a.

Esempio 4.21. Ecco alcuni esempi di sistemi:x+ y = 2−x+ 2y + 4 = 03x = 2y + 7

{x2 + y = 0x = y − 3

x− 3y = 28x2 + y2 = −x+ 6y2 − 3 = 5x

I sistemi di equazioni lineari sono sistemi in cui tutte le equazioni sono di primo grado.Risolvere un sistema lineare signi�ca trovare le soluzioni che veri�cano tutte le equazioni delsistema, cioè trovare quei valori di x e y che sono soluzioni di tutte le equazioni.

Metodi algebrici per risolvere sistemi lineari

Esistono tre metodi per risovere un sistema lineare:

1. metodo di sostituzione;

2. metodo del confronto (è un caso particolare del metodo di sostituzione);

3. metodo di addizione e sottrazione.

Dato che il metodo che si può utilizzare in tutti i casi è il metodo di sostituzione analizzeremotale metodo.

Per prima cosa si esplicita una delle due equazioni (quella che appare più semplice). Supponiamodi esplicitare rispetto a y allora, nell'altra equazione, si sostituisce a y l'espressione trovata. In talmodo otteniamo un'equazione nella sola incognita x. Una volta risolta tale equazione si ottieneil valore di x, sostituendolo nella prima equazione si ottiene anche il valore di y (se il sistemaammette soluzione).


Esempio 4.22. {x+ 2 = 02x− 5y + 1 = 0

Esplicitiamo la prima equazione rispetto a x e sostituiamo il valore ottenuto nella seconda equa-zione: {

x = −22(−2)− 5y + 1 = 0{x = −2−4− 5y + 1 = 0{x = −2−5y = 3{x = −2y = −5

3

Quindi la soluzione del sistema è (−2;−53).

Esempio 4.23. {y = 2x− 12x− y = 1

poiché la prima equazione è già esplicitata rispetto a y sostituiamo tale espressione nella y dellaseconda equazione {

y = 2x− 12x− (2x− 1) = 1{y = 2x− 12x− 2x+ 1 = 1{y = 2x− 10 · x = 1− 1

La seconda equazione è indeterminata, quindi il sistema ha perciò in�nite soluzioni.

Ovviamente è possible risolvere sistemi lineari con più di due incognite. In generale in un sistemalineare con m equazioni e n incognite, detto anche sistema m×n, possono veri�carsi i seguenticasi:

� se m < n il sistema è indeterminato;

� se m = n il sistema può avere una sola soluzione;

� se m > n, o alcune equazioni sono equivalenti ad altre, oppure il sistema è impossibile.

Sistemi di secondo grado

I metodi per risolvere sistemi di secondo grado o di grado superiore sono gli stessi analizzati peri sistemi lineari. Prima però chiariamo il concetto di grado di un sistema.

De�nizione 4.5 (grado di un sistema). Si de�nisce grado di un sistema il prodotto dei gradidelle equazioni che lo compongono.


I sistemi di secondo grado sono composti da un'equazione di primo grado e una di secondo. Adi�erenza dei sistemi lineari, l'equazione risolvente di un sistema di II grado può essere non solodi I grado ma anche di II, quindi se il sistema è determinato le soluzioni possono essere o una odue. Non ci possono essere più di due soluzioni.

Esempio 4.24. {xy = 2y = x+ 1

poiché la seconda equazione è già esplicitata rispetto a y sostituiamo tale espressione nella y dellaprima equazione {

x(x+ 1) = 2y = x+ 1{

x2 + x− 2 = 0y = x+ 1

L'equazione risolvente x2 + x− 2 = 0 ammette due soluzioni: x1 = −2, x2 = 1. Sostituiamo talivalori di x nella seconda equazione e otteniamo{

x1 = −2y1 − 1

{x2 = 1y2 = 2

Le due soluzioni del sistema quindi sono: (−2,−1) e (1, 2).

Esempio 4.25. {x2 − y2 = 0x− y = 0

Senza neanche risolvere calcoli osserviamo che tutte le coppie formate da due numeri uguali(poiché x = y) sono soluzioni del sistema, Quindi il sistema è indeterminato.

Esempio 4.26. {x2 − y2 = 1x− y = 0{(x− y)(x+ y) = 1x− y = 0{0 · (x+ y) = 1x− y = 0

Le due equazioni sono incompatibili, quindi il sistema è impossibile.

Capitolo 5

La retta nel piano cartesiano

Dalla geometria euclidea sintetica alla geometria analitica

Per molti secoli l'ambito matematico di maggior interesse fu la geometria.Fino agli inizi della civiltà greca la matematica si sviluppò grazie alla necessità di risolvere pro-blemi pratici, molti dei quali di tipo geometrico (calcolare l'area di un terreno, suddividerlo inpiù parti di diverse forme, costruire edi�ci, ecc...). Con la civiltà greca, a partire da Talete, sicominciò invece a risolvere non solo problemi particolari con dati particolari, ma anche problemidi tipo generale.Supponiamo ad esempio di dover risolvere un problema in cui, dato un rettangolo di perimetroP = 50m, si cercano i valori che devono avere i lati a e b a�nché l'area sia massima. I Greci nonsi limitavano a risolvere solamente questo particolare problema, cercavano di trovare la soluzionedel problema più generale: dato un rettangolo di assegnato perimetro P trovare qual è quello diarea massima.

Fu nella civiltà greca che cominciarono anche diversi interessi nei confronti dell'algebra, in parti-colare nello studio di equazioni di primo e secondo grado. Tali studi ebbero il periodo di maggiorsviluppo nel 1400 e nel 1500 d.C. Fino a tale secolo però lo sviluppo dell'algebra fu sempre se-parato da quello della geometria.Dal 1600 con Cartesio e Fermat si cominciò a legare queste due discipline matematiche, l'alge-bra diventò uno strumento per risolvere problemi geometrici, e fu così che nacque la geometriaanalitica.

5.1 Il piano cartesiano

Il primo matematico che utilizzò l'algebra per risolvere problemi geometrici fu Cartesio. La suaidea fu quella di rappresentare certe grandezze non note attraverso incognite e risolvere il pro-blema geometrico attraverso equazioni.Il suo nome oggi è associato al noto piano cartesiano, in realtà non fu lui ad attribuire tale nomeal sistema di riferimento del piano che stiamo per descrivere, anche perché lui stesso non feceuso di un sistema di riferimento del genere. Il piano cartesiano come lo conosciamo oggi nacquedopo Cartesio, e si sviluppò a partire dalla fondamentale idea di Cartesio di legare l'algebra allageometria.

Il piano cartesiano è un sistema di riferimento simile a quello del gioco battaglia navale, infattiè così costruito:

57

CAPITOLO 5. LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO 58

� sono scelte due rette perpendicolari, una orizzontale e una verticale, il cui punto d'interse-zione è indicato con la lettera O ed è detto origine (del sistema di riferimento);

� la retta orizzontale è chiamata asse delle ascisse (o asse x ), quella verticale è detta assedelle ordinate (o asse y);

� su ogni retta viene scelto un verso di percorrenza, quello dell'asse delle ascisse va da sinistraverso destra, quello dell'asse delle ordinate va dal basso verso l'alto;

� su ogni retta viene stabilita un'unità di misura, essa è arbitraria, ma spesso si preferiscescegliere la stessa unità di misura su entrambi gli assi (in tal caso il sistema di riferimentoè detto monometrico.

Come già visto nella geometria euclidea sintetica, nel piano si possono rappresentare vari entigeometrici, tra questi anche i punti. Fissato un sistema di riferimento cartesiano possiamo rap-presentarvi tutti i punti attraverso una coppia ordinata di numeri reali che si indica con (x; y)o (x, y). Il primo dei due numeri indica la coordinata x del punto, il secondo la coordinata y.Complessivamente, i due numeri di tale coppia sono detti coordinate del punto.Fra i punti del piano cartesiano e le coppie ordinate di numeri reali vi è quindi una corri-

spondenza biunivoca: ad ogni punto P del piano corrisponde un'unica coppia ordinata dinumeri reali (x, y); viceversa ad ogni coppia di numeri reali corrisponde un unico punto del pianocartesiano-

Esempio 5.1. Nel gra�co a latosono rappresentati i punti aventile seguenti coordinate:

A = (5, 2)B = (2, 5)C = (3, 0)D = (0, 4)E = (−3, 2)F = (−5, 0)G = (−1,−4)H = (4,−6)

Osservazione 5.1. I punti A e B sono rappresentati entrambi dai numeri 2 e 5, ma osserviamoche sono punti diversi (se fossero uguali coinciderebbero). Infatti la coppia di numeri che rap-presenta le coordinate deve essere ordinata, ciò signi�ca che la prima coordinata è distinta dallaseconda, se esse vengono scambiate si ottiene un punto diverso. Ecco perché

A = (5, 2) 6= (2, 5) = B

Il piano cartesiano resta diviso dagli assi in quattro angoli; ciascuno di questi quattro angoli,esclusi i punti appartenenti agli assi, è detto quadrante. Convenzionalmente i quadranti sononumerati dal primo in alto a destra in senso antiorario.


5.2 Distanza tra due punti

Nel disegno a lato sono rappresen-tati i punti A, B e C e i segmentiAB,BC e CA.La �gura risultante è un triango-lo rettangolo. Per calcolare il pe-rimetro è necessario misurare lalunghezza di tutti i lati.

Per quanto riguarda i lati paralleli agli assi il calcolo è facile, basta �contare i quadretti�. Se peròavessimo avuto un triangolo rettangolo dove i quadretti fra A e B sono molti, sarebbe troppodispendioso calcolarli tutti. In tal caso conviene misurare la lunghezza di AB algebricamente,cioè lavorando numericamente con le coordinate.

Supponiamo quindi di avere un segmento A′B′ parallelo all'asse x (quindi orizzontale). Avremodelle coordinate del tipo: B′ = (x1, y1) e A′ = (x2, y1)

1. Supponiamo che x1 > x2, quindi ilpunto B′ si trova a destra rispetto al punto A′. Contare i quadretti per misurare la lunghezzadi segmenti orizzontali equivale a calcolare la di�erenza fra l'ascissa del punto a destra e quellodel punto a sinistra, cioè:

A′B′ = x1 − x2

Poiché B = (x1, y1) = (4, 0) e A = (x2, y2) = (−3, 0) si ha:

AB = x1 − x2 = 4− (−3) = 4 + 3 = 7

Discorso analogo vale anche per i segmenti paralleli all'asse delle ordinate, cioè quelli verticali.Supponendo di avere un A′B′ parallelo all'asse y con A′ = (x1, y1) e B′ = (x1, y2), con y1 > y2si avrebbe:

A′B′ = y1 − y2

Infatti poiché nell'esercizio A = (x1, y1) = (−3, 0) e C = (x1, y2) = (−3,−5) si ha:

AC = y1 − y2 = 0− (−5) = 5

Il problema più grosso si pone per il segmento BC. Essendo obliquo non si possono �contare iquadretti�. Si può calcolare la sua lunghezza applicando il teorema di Pitagora. Quindi:

BC2

= AB2

+ CA2

= 72 + 52 = 49 + 25 = 74 ⇒ BC =√

74

In tal modo abbiamo quindi calcolato la lunghezza del segmento BC, cioè la distanza fra i puntiB e C.

La formula della distanza fra due punti quindi si ricava semplicemente applicando il teoremadi Pitagora. Supponiamo di avere i punti A = (x1, y1) e B = (x2, y2). Possiamo pensare il

1La seconda coordinata del punto A′ è y1 come quella di B′ perché stiamo considerando un segmento paralleloall'asse x, quindi tutti i punti di tale segmento hanno ordinata y1.


segmento AB come l'ipotenusa di un triangolo rettangolo di vertici A,B e C = (x1, y2). Quindi,applicando il teorema di Pitagora:

d(A,B)2 = AB2

= BC2

+AC2

= (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Quindi la formula per la distanza fra due punti A e B è la seguente:

d(A,B) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 (5.1)

5.3 Luoghi geometrici

Come già anticipato (vedi paragrafo 5) la geometria analitica è quella parte della matematicache studia e deduce le proprietà di certi luoghi geometrici mediante il calcolo algebrico, cioè conun metodo analitico. Ricordiamo la de�nizione di luogo geometrico.

De�nizione 5.1 (Luogo geometrico). Un luogo geometrico piano è l'insieme di tutti e soli ipunti del piano che godono di una data proprietà.

La geometria sintetica invece utilizza il metodo sintetico per indagare sulle prorpietà delle �gure, etale metodo consiste nel dedurre tali proprietà a partire da alcune ipotesi, mediante ragionamentiche si sviluppano �all'interno� della geometria stessa (per esempio senza l'aiuto dell'algebra).

Abbiamo già visto che il metodo analitico è stato sviluppato nella prima metà del XVII secoloper merito di Cartesio e Fermat, con l'intento di fornire un metodo generale per la risoluzionedei problemi geometrici: tale metodo non solo è spesso più semplice e potente di quello sintetico,ma trova anche numerose applicazioni nel campo tecnico-scienti�co.

Ogni proprietà caratteristica dei punti di un luogo può essere tradotta in una relazione algebricatra l'ascissa e l'ordinata dei punti della �gura, ossia un'equazione del tipo:

F (x; y) = 0

Ciò signi�ca che se un punto P = (x0, y0) appartiene al luogo espresso dall'equazione F (x, y) = 0le sue coordinate soddisfano tale relazione, cioè F (x0, y0) = 0. Viceversa, se la coppia di numerireali (x0, y0) soddisfa F (x, y) = 0, cioè F (x0, y0) = 0 allora il punto avente per coordinate talecoppia di numeri reali appartiene al luogo geometrico.

Nel caso in cui F (x, y) = 0 rappresenti un numero �nito di operazioni sulle variabili x e y qualil'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione e l'estrazione di radice, l'equazione èdetta equazione algebrica e la curva che la rappresenta curva algebrica. In caso contrario di parladi equazione trascendente e curva trascendente.

Nello studio della geometria analitica che svolgeremo ci limiteremo a considerare due casi:

1. F (x, y) è un polinomio di primo grado in x e y, in tal caso si ha la seguente equazionealgebrica:

F (x, y) = 0 → ax+ by + c = 0 a 6= 0 o b 6= 0

e tale equazione rappresenta un luogo geometrico già noto: la retta;

2. F (x, y) è un polinomio di secondo grado in x e y in tal caso si ha la seguente equazionealgebrica:

F (x, y) = 0 → ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0

e tale equazione, se ha soluzioni, rappresenta una conica, cioè uno dei seguenti luogigeometrici: circonferenza, ellisse, parabola, iperbole.


5.4 Equazione della retta

In un piano riferito ad un sistema di riferimento cartesiano, una qualsiasi retta è un luogogeometrico rappresentato unicamente da un'equazione del tipo

ax+ by + c = 0 a, b, c ∈ R, a 6= 0 o b 6= 0 (5.2)

Tale equazione è detta in forma implicita.

Esempio 5.2. Le seguenti equazioni rappresentano tutte delle rette:

2x+ 8y + 3 = 0 3x− 5y + 6 = 0 20x+ 78y − 34 = 0

− 23x+ 65y − 3 = 0 − 32x− 7y − 3 = 0 − x− 7y + 4 = 0

2x− 4 = 0 − 3y + 9 = 0

Nell'ultima riga dell'esempio 5.2 sono state indicate delle rette rispettivamente con b = 0 e a = 0.Prendiamo in considerazione la retta 2x − 4 = 0. Dalle proprietà delle equazioni sappiamo cheessa si può esprimere equivalentemente nel seguente modo:

2x = 4 ⇒ x = 2

La retta x = 2 indica l'insieme di tutti i punti del piano cartesiano aventi ascissa x = 2, si trattaquindi di una retta verticale, cioè parallela all'asse y.

In modo analogo la retta −3y + 9 = 0 si può esprimere equivalentemente nel seguente modo:

−3y = −9 ⇒ 3y = 9 ⇒ y = 3

e indica l'insieme di tutti i punti del piano cartesiano aventi ordinata y = 3, si tratta quindi diuna retta orizzontale, cioè parallela all'asse x.

In generale quindi:

Equazione retta verticale (parallela all'asse y) : x = s s ∈ REquazione retta orizzontale (parallela all'asse x) : y = s s ∈ R


Conseguentemente le rette che rappresentano gli assi cartesiani si rappresentano analiticamenteattraverso le seguenti equazioni:

Equazione asse x : y = 0

Equazione asse y : x = 0

Come rappresentare una retta nel piano cartesiano

Data l'equazione di una retta vogliamo ora spiegare come riuscire a rappresentarla gra�camentesul piano cartesiano. Per quanto riguarda le rette orizzontali e verticali la loro rappresentazioneè molto semplice (anche se spesso non si ragiona sul signi�cato dell'equazione di tali rette e sisbaglia), lo abbiamo visto nel paragrafo precedente. Per quanto riguarda tutte le altre rette siragiona nel modo seguente.

Lo scopo è quello di trovare tutti i punti P = (x, y) che soddisfano l'equazione della retta. Pertrovare tali punti l'equazione della retta 5.2 in forma implicita non è molto comoda, è preferibileesplicitare una delle due variabili (per convenzione si sceglie la y):

ax+ by + c =0 ⇒ by = −ax− c ⇒ y = −aby − c

b

⇒ y =mx+ q con m = −ab

q = −cb

(5.3)

Una retta espressa attraverso un'equazione del tipo 5.3 è detta in forma esplicita.

Osservazione 5.2. Per determinare la 5.3 si suppone b 6= 0. Quindi è possibile esprimere informa esplicita tutte le rette eccetto quelle verticali.

Il valore m = −ab della 5.3 indica la pendenza della retta e viene detto coe�ciente angolare,

invece q = − cb indica l'ordinata del punto Q = (0; q), intersezione della retta con l'asse y (cioè

con x = 0) ed è detto termine noto o ordinata all'origine.

Una volta ottenuta una retta in forma esplicita si sostituisce un valore a piacere x0 alla x e,poiché y = mx + q, si calcola mx0 + q e tale valore indicherà la coordinata y0 del punto dellaretta P = (x0; y0). In questa maniera viene trovato un punto della retta. Un solo punto però nonè su�ciente per individuare la retta espressa dall'equazione data (per un punto passano in�niterette), perciò si ripete lo stesso ragionamento pr trovare un secondo punto. Poiché per due puntipassa una ed una sola retta prolungando il segmento che congiunge i due punti si ottiene la rettadesiderata.

Esempio 5.3. Rappresentiamo gra�camente la retta −2x+ y+ 3 = 0. Osserviamo che si trattae�ettivamente di una retta poiché della forma 5.2. Trasformiamola in forma esplicita:

−2x+ y + 3 = 0 ⇒ y = 2x− 3

Diamo un valore a piacere x0 alla x in modo da ottenere l'ordinata y0 del punto P = (x0; y0)che appartiene alla retta.

Conviene scegliere il valore x0 in modo da dover fa-re pochi calcoli per trovare y0, ad esempio si puòscegliere x0 = 0. Sostituendo tale valore si ha:

y0 = 2 · 0− 3 = 0− 3 = −3

Quindi il punto P = (0,−3) è un punto della no-stra retta. Per determinarla ci serve un altro punto.Scegliamo un nuovo valore x1, ad esempio x1 = 1.


Sostituendolo nell'equazione della retta abbiamo:

y1 = 2 · 1− 3 = 2− 3 = −1

Quindi il punto Q = (1,−1) è un altro punto della nostra retta. Congiungendo i due punti trovatie prolungando il segmento PQ si ottiene la retta desiderata.

Osserviamo che se nell'equazione y = mx + k immaginiamo che m sia costante e k sia unparamentro reale variabile, si ottiene, al variare di k, l'insieme di tutte le in�nite rette parallelealla retta r di equazione y = mx. Tale insieme è detto fascio improprio di rette.

Retta passante per un punto e di direzione assegnata

Una retta di coe�ciente angolare m ha equazione della forma y = mx + q. Per individuarel'equazione della retta passante per un punto assegnato P = (x0, y0) occorre ricavare il valore diq. Imponendo alle coordinate di P di soddisfare l'equazione generica di una retta si ottiene:

y0 = mx0 + q ⇒ q = y0 −mx0

Sostituendo il valore di q così ricavato nell'equazione generica della retta si ottiene:

y = mx+ y0 −mx0 ⇔ y − y0 = m(x− x0)

Quindi l'equazione di una retta passante per un punto assegnato P = (x0, y0) e di coe�cienteangolare m è:

y − y0 = m(x− x0) (5.4)

Utilizzando la 5.4 è possibile determinare facilmente:

� l'equazione della retta passante per un punto e parallela ad una retta data;

� l'equazione della retta passante per un punto e perpendicolare ad una retta data.

Esempio 5.4. Determinare l'equazione della retta passante per P = (−1, 3) e parallela alla rettar di equazione x− 2y + 1 = 0.

Poiché la retta da cercata è parallela ad r avrà lo stesso coe�ciente angolare, quindi scriviamor in forma esplicita: y = 1

2x+ 12 . Quindi il coe�ciente angolare m = 1

2 .Utilizzando la 5.4 riusciamo a determinare l'equazione della retta passante per P = (−1, 3) eparallela a r:

y − 3 =1

2(x− (−1)) ⇒ y =

1

2x+

7

2

Esempio 5.5. Determinare l'equazione della retta passante per P = (3, 0) e perpendicolare allaretta r di equazione y = 2x.

Il coe�ciente angolare della retta r è m = 2, per determinare il coe�ciente angolare di una rettaperpendicolare ad r basta imporre la condizione di perpendicolarità 5.7:

mm′ = −1 ⇒ 2m = −1 ⇒ m′ = −1

2

Quindi la retta cercata ha coe�ciente angolare m′ = −12 . Utilizzando la5.4 riusciamo a determi-

nare l'equazione della retta cercata:

y − 0 = −1

2(x− 3) ⇒ y = −1

2x+

3

2


Osserviamo che la 5.4 può essere guardata anche da un altro punto di vista: �ssando x0 e y0e supponendo che m sia un parametro variabile essa rappresenta le in�nite rette passanti perP = (x0, y0). L'insieme delle in�nite rette passanti per un punto è detto fascio proprio di rettedi centro P = (x0, y0). Fa eccezione solamente la retta x = x0, che non può essere ottenuta dalla5.4 in corrispondenza di alcun valore di m.

Retta passante per due punti

Determiniamo l'equazione di una retta di cui si conoscono le coordinate di due dei suoi puntiP1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2).

� Se x1 = x2 = k allora la retta è parallela all'asse y, quindi la sua equazione è del tipox = k.

Esempio 5.6. L'equazione della retta passante per A = (1, 3) e B = (1,−2) è x = 1.

� Se y1 = y2 = k allora la retta è parallela all'asse x, quindi la sua equazione è del tipo y = k.

Esempio 5.7. L'equazione della retta passante per A = (1, 3) e B = (−2, 3) è y = 3.

� Se i due punti non sono allineati su rette parallele agli assi la retta ha equazione y = mx+q.

Teorema 5.4.1 (Coe�ciente angolare della retta passante per due punti). Il coe�cienteangolare m di una retta passate per due punti A = (x1, y1) e B = (x2, y2) è uguale alrapporto tra la di�erenza delle ordinate e la di�erenza delle ascisse di A e B, in simboli:

m =y2 − y1x2 − x1

x1 6= x2 (5.5)

Dimostrazione. Poiché le due coppie ordinate rappresentano soluzioni, devono valere leseguenti identità:

y1 = mx1 + q y2 = mx2 + q

Risolviamo il sistema formato dalle due equazioni sottraendo membro a membro, ottenia-mo:

y2 − y1 = (mx2 + q)− (mx1 + q) ⇒ y2 − y1 = mx2 −mx1 ⇒ m =y2 − y1x2 − x1

Noto il coe�ciente angolarem, poiché sono noti due punti appartenenti alla retta, l'equazio-ne può essere determinata utilizzando la formula 5.4 per l'equazione di una retta passanteper un punto e di direzione assegnata. Come punto si può scegliere indi�erentemente unodei due punti dati.

Esempio 5.8. Determinare l'equazione della retta passante per A = (−2, 4) e B =(1,−1).

Calcoliamo il coe�ciente angolare:

m =y2 − y1x2 − x1

=−1− 4

1− (−2)= −5

3

Scriviamo l'equzione della retta di coe�ciente angolare m = −53 e passante per A o B. Per

esempio utilizziamo A:

y − 4 = −5

3(x− (−2)) ⇒ y = −5

3+

2

3


5.5 Posizione reciproca di due rette

Date due rette possono veri�carsi le seguenti situazioni:

1. le due rette sono incidenti, cioè hanno un punto in comune;

2. le due rette sono parallele e distinte, quindi non hanno alcun punto in comune;

3. le due rette sono coincidenti, cioè hanno in�niti punti in comune.

Date le equazioni di due rette come è possibile capire la loro posizione reciproca, cioè se sonoincidenti, parallele o coincidenti?Osserviamo che determinare se due rette sono parallele è immediato.

Teorema 5.5.1 (Condizione di parallelismo tra due rette). Due rette di equazione y = mx+ qe y = m′x+ q′ sono parallele se e solo se hanno lo stesso coe�ciente angolare, in simboli:

m = m′ (5.6)

Tale criterio però vale solo per individuare il parallelismo. In generale una soluzione per determi-nare la posizione reciproca tra due o più rette potrebbe essere quella di disegnarle gra�camente,tale soluzione però spesso non è la più breve e soprattutto non sempre darebbe tutte le informa-zioni che ci interessano: nel caso in cui le rette fossero incidenti in generale è di�cile stabilire�a occhio� il loro punto d'intersezione. Fortunatamente esiste un metodo algebrico per risolveretale problema: basta risolvere un sistema di equazioni lineari.Poiché le equazioni di primo grado in due incognite rappresentano rette, risolvere un sistema li-neare in due incognite ci permette di capire la posizione reciproca delle rette. In generale possonocapitare i 3 seguenti casi:

1. il sistema ammette una ed una sola soluzione (x, y): le rette sono incidenti e il punto incui si intersecano è proprio il punto di coordinate (x, y);

2. il sistema è impossibile, cioè non ammette soluzione: le rette non hanno alcun punto incomune, quindi sono parallele e distinte;

3. il sistema è indeterminato, cioè ammette in�nite soluzioni: le rette hanno in�niti punti incomune, quindi sono coincidenti.

Esempio 5.9. Determinare se le rette x + 2 = 0 e 2x − 5y + 1 = 0 sono incidenti, parallele ocoincidenti.

Le equazioni delle due rette sono le stesse dell'esempio 4.22, il quale ammette la soluzione(−2,−5

3

). Quindi le rette sono incidenti nel punto

(−2,−5

3

).

Esempio 5.10. Determinare se le rette y = 2x − 1 e 2x − y = 1 sono incidenti, parallele ocoincidenti.

Le equazioni delle due rette sono le stesse dell'esempio 4.23, il quale ammette in�nite soluzioni.Quindi le rette sono coincidenti.

Esempio 5.11. {y = 2x− 1y = 2x− 2

Osserviamo che tali rette hanno entrambe m = 2, cioè hanno lo stesso coe�ciente angolare,quindi sono parallele


Esempio 5.12. {y = 2x− 1x+ 2x− y + 2 = 0

Esplicitiamo la seconda equazione rispetto a y, otteniamo:{y = x+ 2y = x+ 2

Le due equazioni sono identiche perciò sono rappresentate dalla stessa retta: le due rette sonocoincidenti e il sistema è indeterminato (non è necessario fare tutti i calcoli per veri�care che èindeterminato).

Nel caso particolare in cui due rette incidenti siano perpendicolari esiste un criterio che cipermette di veri�carlo.

Teorema 5.5.2 (Criterio di perpendicolarità tra due rette). Due rette di equazioni y = mx+ qe y = m′x+ q′, sono perpendicolari se e solo se i loro coe�cienti angolari hanno come prodotto−1 o, equivalentemete, sono uno l'opposto e l'inverso moltiplicativo dell'altro, in simboli:

mm′ = −1 ⇔ m = − 1

m′(5.7)

Distanza fra due rette parallele

Osserviamo che la distanza fra due rette parallele coincide con la distanza di un qualsiasi puntodi una delle due rette dall'altra. È importante quindi conoscere come determinare la distanza diun punto da una retta.

Teorema 5.5.3 (Distanza di un punto da una retta). Siano r una retta di equzione ax+by+c = 0e P = (x0, y0). La distanza di P da r è data dalla formula:

d(P, r) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2(5.8)

Esempio 5.13. Calcolare la distanza del punto P = (4, 5) dalla retta di equazione y = −2x+ 4.

Basta applicare la formula 5.8. Per prima cosa scriviamo l'equazione della retta in formaimplicita e determiniamo a, b e c:

y = −2x+ 4 ⇒ 2x+ y − 4 = 0 ⇒ a = 2, b = 1, c = −4

Poiché P = (4, 5) abbiamo x0 = 4 e y0 = 5 quindi, applicando la 5.8:

d(P, r) =|2 · 4 + 1 · 5− 4√

22 + 12=

9√5

=9√

5

5

Capitolo 6

Le coniche

Le coniche sono delle curve pianeche sono state studiate sin dagli antichi greci, in particolare daMenecmo ed Apollonio di Perga intorno al 200 a.C.

De�nizione 6.1 (Conica). Si de�nisce conica, o sezione conica, una curva piana che sia luogodei punti che si ottiene intersecando la super�cie di un cono circolare retto con un piano.

Consideriamo un doppio cono costituito da due coni circolari retti coassiali (cioè aventi lo stessoasse) aventi il vertice in comune. Prendiamo ora un piano e intersechiamolo col cono. A secondadell'inclinazione del piano si possono ottenere le seguenti coniche (non degeneri1):

� la circonferenza, ottenuta dall'intersezione del cono con un piano perpendicolare al suoasse;

� l'ellisse, ottenuto intrsecando il cono con un piano inclinato di un certo angolo inferioreall'inclinazione del lato del cono;

� la parabola, ottenuta intersecando il cono con un piano parallelo a un lato del cono;

� l'iperbole, ottenuta intersecando il cono con un piano parallelo al suo asse.

1Intersecando un piano con il vertice del cono si ottengono altre coniche dette degeneri.

67

CAPITOLO 6. LE CONICHE 68

6.1 La parabola

La parabola è una sezione conica che si ottiene intersecando un cono in�nito con un pianoparallelo a una retta generatrice.

De�nizione 6.2 (Parabola). La parabola è il luogo dei punti P equidistanti da una retta d, dettadirettrice, e da un punto F , detto fuoco. Cioè è il luogo dei punti P tali che:

d(P, F ) = d(P, d) (6.1)

Quindi la parabola è l'insieme dei punti P tali che, indicata con Q la proiezione ortogonale di Psulla retta d, sono uguali tra loro le lunghezze dei segmenti PF = PQ

Osserviamo dall'immagine che:

� la parabola ha un asse di simmetria: è la retta passante per F perpendicolare alla direttriced; se un punto appartiene alla parabola allora vi appartiene anche il suo simmetrico P ′.

� la parabola ha un vertice: è il punto medio fra il fuoco e la direttrice.


Proprietà focale della parabola

La parabola ha una caratteristica molto importante: se nel fuoco è posta una sorgente luminosae la �parete� interna della parabola è rivestita di materiale ri�ettente, ogni raggio luminoso cheparte dal fuoco si ri�ette in un raggio perpendicolare alla direttrice. Tale proprietà è nota comeproprietà focale.

L' importantissima proprietà focale è stata uilizzata in svariati campi sin dagli antichi greci.

� Una leggenda narra che Archimede (287-212 a.C. circa) per proteggere la città di Siracusadall'assedio della �otta romana fece installare in prossimità del porto grandi specchi diforma parabolica (detti specchi ustori) che opportunamente orientati verso le navi romane,le fecero incendiare. Evidentemente Archimede conosceva le proprietà focali della parabola.

� Un'importante applicazione delle proprietà delle super�ci paraboliche è quella relativa allacostruzione di antenne che funzionano da ampli�catori di segnali provenienti da satelliti odallo spazio.

� Oggi il metodo di concentrazione dei raggi solari viene utilizzato in alcune centrali solariper la produzione di energia elettrica. Un esempio di applicazione è la centrale sperimentaleArchimede nei pressi di Siracusa.

� La parabola fornisce anche un eccellente modo per ampli�care i suoni provenienti da unaparticolare posizione e allo stesso tempo attenuare tutti gli altri suoni. Nella parabola,tutte le onde sonore parallele al suo asse vengono ri�esse nel fuoco, quindi ponendo unpiccolo microfono proprio in questo punto si riceverà tutta l'energia che colpisce il piattodella parabola.

� Grazie alla proprietà focale la parabola può ri�ettere i raggi luminosi e dar luogo ad illusionicome questa.

https://www.youtube.com/watch?v=7JEK2rCrH6M


6.2 Equazione della parabola

Per ricavare l'equazione della parabola partiamo dalla sua de�nizione come luogo di punti, cioèd(P, F ) = d(P, d).

Consideriamo il caso particolare di una parabola con la direttrice d di equazione y = −k (quindiparallela all'asse x) e tale per cui il punto medio (che è il vertice della parabola) tra il fuoco F ela direttrice d sia l'orgine O = (0, 0) del sistema di riferimento. Quindi F = (0, k). Supponiamoche P = (x, y). Per ricavare l'equazione di tale parabola utilizziamo la de�nizione di parabolacome luogo dei punti P tali per cui PF = PQ, dove Q è la proiezione ortogonale di P sulla rettad, quindi Q = (x,−k):

d(P, F ) = d(P,Q) (utilizzando la formula della distanza tra due punti 5.1)√(x− 0)2 + (y − k)2 =

√(x− x)2 + (y + k)2√

x2 + y2 − 2ky + k2 =√y2 + 2ky + k2

x2 + y2 − 2ky + k2 = y2 + 2ky + k2

x2 − 2ky = 2ky

x2 = 4ky

y =1

4kx2

Ponendo 14k = a si ottiene l'equazione della parabola cercata:

y = ax2 (6.2)

Osservazione 6.1. Tale parabola ha l'asse delle ordinate come suo asse di simmetria. Possonoveri�carsi due casi:

� F è �al di sopra� di d ⇒ la parabola ha concavità verso l'alto ⇒ a > 0;

� F è �al di sotto� di d ⇒ la parabola ha concavità verso il basso ⇒ a < 0;

Esercizio 6.1. Determina l'equazione della parabola di fuoco F = (0,−2) e direttrice d la rettadi equazione y = 2.

Sappiamo che il fuoco si trovi sull'asse delle ordinate, che è �al di sotto� della direttrice d, eil punto medio tra F e d . Ci aspettiamo di trovare un'equazione del tipo y = ax2 con a < 0.Consideriamo un punto generico P = (x, y) della parabola e sia Q la proiezione di P sulladirettrice d. Quindi Q = (x, 2). Per de�nizione di parabola abbiamo PF = PQ, quindi:√

(x− 0)2 + (y + 2)2 =√

(x− x)2 + (y − 2)2√x2 + y2 + 4y + 4 =

√y2 − 4y + 4

x2 + y2 + 4y + 16 = y2 − 4y + 16

x2 + 4y = −4y

x2 = −8ky

y = −1

8x2

Quindi l'equazione della parabola è y = −18x

2, e osserviamo che a = −18 < 0, come ci aspettava-

mo, quindi la concavità della parabola è verso il basso.


Nel ricavare l'equazione della parabola abbiamo considerato una parabola particolare (asse coin-cidente con l'asse y e vertice nell'origine), quindi quella trovata non è l'equazione di una genericaparabola. Per ricavare l'equazione di una generica parabola con l'asse parallelo all'asse y bastatraslare il vertice V = (0, 0) della parabola già studiata in un vertice generico V ′ = (xv, yv).Dopo la traslazione si ottiene l'equazione generica di una parabola con asse parallelo all'asse y:

y = ax2 + bx+ c a, b, c ∈ R, a 6= 0 (6.3)

Anche se è meno comune, una parabola può avere l'asse parallelo all'asse x (anziché l'asse y), intal caso per ottenere l'equazione generica basta scambiare le variabili x e y nella 6.3:

x = ay2 + by + c a, b, c ∈ R, a 6= 0 (6.4)

Parabola per tre punti

Nell'equazione generica di una parabola compaiono tre coe�cienti numeri: a, b e c. Per determi-nare una parabola occorrono tre condizioni indipendenti.Se, per esempio, si vuole determinare l'equazione della parabola (con asse parallelo all'asse y)che passa per tre punti assegnati P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2), P3 = (x3, y3), occorre impostareun sistema di tre equazioni nelle tre incognite a, b, c:

y1 = ax21 + bx21 + c

y2 = ax22 + bx22 + c

y3 = ax23 + bx23 + c

6.3 Retta e parabola

Vogliamo ora determinare le intersezioni tra una retta e una parabola. Come nel caso dellacirconferenza, si possono veri�care 3 casi:

� la retta è secante la parabola, cioè abbiamo due punti distinti d'intersezione;

� la retta è tangente alla parabola, ciaè abbiamo un punto d'intersezione;

� la retta è esterna alla parabola, cioè non abbiamo punti d'intersezione.

Dal punto di vista analitico le intersezioni fra una retta e una parabola si trovano sempre cercandogli eventuali punti in comune fra esse, quindi impostando un sistema formato dalle due equazioni.Risolvendo il sistema si ottiene un'equazione di secondo grado e si possono avere 3 possibilisituazioni:

� abbiamo due soluzioni reali e distinte (∆ > 0), quindi retta e parabola hanno due punti incomune, cioè sono secanti;

� abbiamo due soluzioni reali coincidenti (∆ = 0), quindi retta e parabola hanno un puntoin comune, cioè sono tangenti;

� non abbiamo alcuna soluzione (∆ < 0), il sistema è impossibile, quindi retta e parabolanon hanno punti in comune, cioè sono esterne.


Esempio 6.1. Determinare se la retta y = 2x − 3 è secante, tangente o esterna alla parabolay = x2 − 2x− 3.

Basta risolvere il seguente sistema:{y = 2x− 3y = x2 − 2x− 3{y = 2x− 32x− 3 = x2 − 2x− 3{y = 2x− 3x2 − 4x = 0{y = 2x− 3x(x− 4) = 0{y1 = 2 · 0− 3 = 0− 3 = −3x1 = 0{y = 2 · 4− 3 = 8− 3 = 5x2 = 4

Quindi la retta è secante la parabola nei punti P1 = (0;−3) e P2 = (4; 5).


Basta risolvere il seguente sistema:{y = 2x− 7y = x2 − 2x− 3{y = 2x− 72x− 7 = x2 − 2x− 3{y = 2x− 7x2 − 4x+ 4 = 0{y = 2x− 7(x− 2)2 = 0{y = 2 · 2− 7 = 4− 7 = −3x = 2

Quindi la retta è tangente alla parabola nel punto P = (2;−3).


Basta risolvere il seguente sistema:{y = 2x− 9y = x2 − 2x− 3{y = 2x− 92x− 9 = x2 − 2x− 3{y = 2x− 9x2 − 4x+ 6 = 0

∆ = 42 − 4 · 1 · 6 = 16− 24 = −8 < 0

Poiché ∆ < 0 l'equazione x2 − 4x + 6 = 0 è impossibile, quindi tutto il sistema è impossibile, enon avendo soluzioni signi�ca che la retta è esterna alla parabola.


Rette tangenti a una parabola

Talvolta occorre risolvere il problema inverso: determinare una retta tangente a una parabolapassante per un punto noto. Il problema si può presentare in due diversi modi:

� trovare la retta tangente ad una parabola data i un suo punto P assegnato;

� trovare le rette tangenti a una parabola passanti per un punto P assegnato esterno allaparabola.

I due problemi si risolvono con lo stesso procedimento di soluzione.Per prima cosa si imposta il sistema tra l'equazione della parabola e il fascio di rette passantiper P . Risolvendo il sistema si ricava un'equazione nella quale compare il parametro m, poichéparabola e retta devono avere un solo punto in comune vogliamo che tale equazione abbia duesoluzioni coincidenti, quindi bisogna imporre ∆ = 0. Imponendo ∆ = 0 otteniamo un'equazionenella variabile m, risolvendola si trova il valore o i valori di m della/e retta/e tangente/i.

Esempio 6.4. Determinare l'equazione della retta tangente alla parabola y = x2 − 2x − 8 nelsuo punto P = (2,−8).

Impostiamo il sistema tra parabola e retta generica passante per P :{y = x2 − 2x− 8y + 8 = m(x− 2)

Risolvendolo si ottiene l'equazione:

x2 − (2 +m)x+ 2m = 0

A�nché la retta r sia tangente alla parabola il sistema deve avere due soluzioni coincidenti,quindi dobbiamo imporre che il discriminante sia nullo:

(2 +m)2 − 4(2m) = 0 ⇒ m1 = m2 = 2

Poiché P appartiene alla parabola si ottiene una sola retta passante per P e tangente ad essa:

y + 8 = 2(x− 2) ⇒ y = 2x− 12

Esempio 6.5. Determinare l'equazione delle retti tangenti alla parabola y = x2− 2x− 8 nel suopunto P = (0,−10).Impostiamo il sistema tra parabola e retta generica passante per P :{

y = x2 − 2x− 8y = mx− 10

Risolvendolo si ottiene l'equazione:

x2 − (2 +m)x+ 2 = 0

A�nché le rette siano tangenti alla parabola il sistema deve avere due soluzioni coincidenti,quindi dobbiamo imporre che il discriminante sia nullo:

(2 +m)2 − 4 · 2 = 0 ⇒ m = −2± 2√

2

Poiché P è esterno alla parabola si ottiengono due rette passanti per P e tangenti ad essa:

y = (−2− 2√

2)x− 10 ⇒ y = (−2 + 2√

2)x− 10


6.4 La circonferenza

De�nizione 6.3 (Circonferenza). Sia C un punto del piano e r un numero reale positivo. Lacirconferenza è il luogo dei punti P del piano aventi distanza costante r dal punto �sso C dettocentro.

Usando tale de�nizione possiamo ricavare l'equazione generica di una circonferenza. Supponiamoche il centro C = (x0; y0), e indichiamo le coordinate generiche di P con x, e y, cioè P = (x; y).Per de�nizione la circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto �sso detto centro,matematicamente ciò si esprime nella seguente maniera:

d(P,C) = r

Applicando la formula della distanza tra due punti otteniamo:√(x− x0)2 + (y − y0)2 = r

(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2

x2 + +x20 − 2xox+ y2 + y20 − 2y0y = r2

x2 + y2 − 2x0x− 2y0y + x20 + y20 − r2 = 0

Poniamo:

a = −2x0 b = −2y0 c = x20 + y20 − r2

Sostituendo tali valori, l'equazione precedente diventa:

x2 + y2 + ax+ by + c = 0 (6.5)

Esempio 6.6. Le seguenti equazioni rappresentano una circonferenza:

x2 + y2 + 5x+ 7y + 1 = 0 x2 + y2 − 2x− 6y + 12 = 0 x2 + y2 + 21y − 3 = 0

x2 + y2 − 3x− 2 = 0 x2 + y2 − 9x+ 7y = 0 x2 + y2 − 4 = 0

x2 + y2 − 3x− 2 = 0 x2 + y2 = 9

Esercizio 6.2. Determinare l'equazione della circonferenza di centro C = (0; 0) e raggio 1.

Dalla de�nizione di circonferenza abbiamo:

d(P,C) = r√(x− 0)2 + (y − 0)2 = 1

(x− 0)2 + (y − 0)2 = 12

x2 + y2 = 1

Esercizio 6.3. Determinare l'equazione della circonferenza di centro C = (−3; 1) e raggio√

10.

Dalla de�nizione di circonferenza abbiamo:

d(P,C) = r√(x+ 3)2 + (y − 1)2 =

√10

(x+ 3)2 + (y − 1)2 = 10

x2 + 6x+ 9 + y2 − 2y + 1 = 10

x2 + y2 + 6x− 2y = 0


Equazioni di circonferenze particolari

Ciascuno dei tre coe�cienti a, b, c dell'equazione generica della circonferenza può essere nullo.In corrispondenza dell'annullarsi di uno o più di tali coe�cienti si possono presentare i seguenticasi:

� se a = 0 l'equazione della circonferenza diventa x2 + y2 + by + c = 0, quindi ha centroC = (0,− b

2);

� se b = 0 l'equazione della circonferenza diventa x2 + y2 + ax + c = 0, quindi ha centroC = (−a

2 , 0);

� se c = 0 l'equazione della circonferenza diventa x2 + y2 + ax + by = 0, quindi passa per(0, 0);

� se a = b = 0 l'equazione della circonferenza diventa x2 + y2 + c = 0, quindi ha centroC = (0, 0) e r = −

√c;

� se b = c = 0 l'equazione della circonferenza diventa x2 + y2 + ax = 0, quindi ha centroC = (−a

2 , 0) e passa nell'origine;

� se a = c = 0 l'equazione della circonferenza diventa x2 + y2 + by = 0, quindi ha centroC = (0,− b

2) e passa per l'origine;

Condizioni per determinare l'equazione di una circonferenza

In generale occorrono tre condizioni per individuare una circonferenza.

Se si vuole determinare l'equazione della circonferenza passate per tre punti P1 = (x1, y1), P2 =(x2, y2), P3 = (x3, y3) occorre impostare un sistema di tre equazioni nelle tre incognite a, b, c:

x21 + y21 + ax1 + by1 + c = 0x22 + y22 + ax2 + by2 + c = 0x31 + y31 + ax3 + by3 + c = 0

Esempio 6.7. Determinare l'equazione della circonferenza passante per A = (−1, 2), B =(7, 2), C = (3, 4).

Risolviamo il problema anliticamente, imponendo il passaggio per i tre punti:x21 + y21 + ax1 + by1 + c = 0x22 + y22 + ax2 + by2 + c = 0x31 + y31 + ax3 + by3 + c = 0

⇒

1 + 4− a+ 2b+ c = 049 + 4 + 7a+ 2b+ c = 09 + 16 + 3a+ 4b+ c = 0

⇒

a = −6b = 2c = −15

Quindi l'equazione della circonferenza passante per A,B e C è x2 + y2 − 6x+ 2y − 15 = 0.

Talvolta sono su�cienti due dati per determinare univocamente l'equazione di una circonferenza.

Esempio 6.8. Determinare l'equazione della circonferenza di centro C = (−1, 3) passante per ilpunto P = (4, 5).

Il raggio della circonferenza è pari alla distanza tra C e P , quindi:

r = d(P,C) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 =√

(4 + 1)2 + (5− 3)2 =√

29

Conoscendo centro e raggio ora possiamo determinare l'equazione della circonferenza:

(x+ 1)2 + (y − 3)2 = 29 ⇒ x2 + y2 + 2x− 6y − 19 = 0


6.5 Retta e circonferenza

Posizioni reciproche tra retta e circonferenza

Vi sono tre possibili posizioni reciproche di una retta e una circonferenza. Esse infatti, possonoessere:

� secanti, cioè hanno due distinti punti d'intersezione;

� tangenti, cioè hanno un punto d'intersezione;

� esterne, cioè non hanno alcun punto d'intersezione.

Analiticamente, le intersezioni fra una circonferenza e una retta si trovano cercando gli eventualipunti in comune fra esse, cioè impostando un sistema formato dalle due equazioni. Risolvendoil sistema di ottiene un'equazione di secondo grado che dà luogo a tre possibili situazioni:

� abbiamo due soluzioni reali distinte (∆ > 0), quindi circonferenza e retta hanno due puntiin comune;

� abbiamo due soluzioni reali coincidenti (∆ = 0), quindi circonferenza e retta hanno unpunto in comune;

� non abbiamo alcuna soluzione (∆ < 0), in tal caso l'equazione è impossibile, quindi ilsistema è impossibile, di conseguenza retta e circonferenza non hanno alcun punto incomune.

Esempio 6.9. Determinare i punti d'intersezione tra la circonferenza di equazione x2 + y2 −6x− 2y − 15 = 0 e la retta y = 2x+ 5.


Determiniamo le intersezioni tra retta e circonferenza impostando il seguente sistema:{x2 + y2 − 6x− 2y − 15 = 0y = 2x+ 5

(sostituendo la seconda equazione nella prima){x2 + (2x+ 5)2 − 6x− 2(2x+ 5)− 15 = 0y = 2x+ 5{5x2 + 10x = 0y = 2x+ 5{5x(x+ 2) = 0y = 2x+ 5{

x1 = 0y1 = 5

{x2 = −2y2 = 1

Abbiamo due soluzioni reali distinte, quindi retta e circonferenza si intersecano in due punti:P1 = (0, 5), P2 = (−2, 1).

Esempio 6.10. Determinare i punti d'intersezione tra la circonferenza di equazione x2 + y2 −6x− 2y − 15 = 0 e la retta y = 2x+ 8.

Determiniamo le intersezioni tra retta e circonferenza impostando il seguente sistema:{x2 + y2 − 6x− 2y − 15 = 0y = 2x+ 8

(sostituendo la seconda equazione nella prima){x2 + (2x+ 8)2 − 6x− 2(2x+ 8)− 15 = 0y = 2x+ 8{5x2 + 22x+ 33 = 0y = 2x+ 8

(calcoliamo il discriminante ∆)

∆ = 222 − 4 · 5 · 33 = −176 < 0

Essendo ∆ < 0 l'equazione non ha soluzioni reali, quindi è impossibile, quindi retta e circonfe-renza non hanno punti in comune.

Esempio 6.11. Determinare i punti d'intersezione tra la circonferenza di equazione x2 + y2 −8x− 6y + 15 = 0 e la retta di equazione y = 3x+ 1.

Determiniamo le intersezioni tra retta e circonferenza impostando il seguente sistema:{x2 + y2 − 8x− 6y + 15 = 0y = 3x+ 1

(sostituendo la seconda equazione nella prima){x2 + (3x+ 1)2 − 8x− 6(3x+ 1) + 15 = 0y = 3x+ 1{x2 − 2x+ 1 = 0y = 3x+ 1{(x− 1)2 = 0y = 3x+ 1


Quindi x1 = x2 = 1, e sostituendo tale unico valore di x trovato nella seconda equazione siottiene y = 4. Quindi retta e circonferenza hanno un solo punto in comune: P = (1, 4). Quindiretta e circonferenza sono tangenti.

Rette tangenti a una circonferenza

Quando retta e circonferenza sono tangenti, il discriminante ∆ dell'equazione risolvente delsistema è uguale a zero. Questo fatto può essere utilizzato per risolvere il problema di determinarele rette tangenti a una circonferenza condotte da un punto esterno.

Analiticamente si imposta il sistema formato dall'equazione della circonferenza e da quella delfascio di rette per un punto. L'equazione risolvente sarà un'equazione di secondo grado incui comparirà il parametro m. Imponendo che tale equazione abbia due soluzioni coincidenti siperviene ad una nuova equazione di incognitam. Risolvendo tale equazione di risolve il problema.

Esempio 6.12. Determina l'equazione delle rette condotte dal punto P = (−6, 2) e tangenti allacirconferenza x2 + y2 − 8x− 4y + 10 = 0.

Per prima cosa determiniamo l'equazione del fascio di rette di centro P :

y − 2 = m(x+ 6)

Impostiamo quindi il sistema:{x2 + y2 − 8x− 4y + 10 = 0y − 2 = m(x+ 6){x2 + y2 − 8x− 4y + 10 = 0y = mx+ 6m+ 2{x2 + (mx+ 6m+ 2)2 − 8x− 4(mx+ 6m+ 2) + 10 = 0y = mx+ 6m+ 2

(sviluppando i calcoli...){(m2 + 1)x2 + 2(6m2 − 4)x+ 36m2 + 6 = 0y = mx+ 6m+ 2

Poiché vogliamo che il sistema abbia una sola soluzione, poniamo il discriminante dell'equazioneuguale a 0:

(6m2 − 4)2 − (m2 + 1)(36m2 + 6) = 0

Le soluzioni di questa equazioni in m sono:

m1 = −1

3m2

1

3

Sostituendo questi valori nel fascio di rette iniziale si ottengono le equazioni delle due rettetangenti cercate:

y = −1

3x y =

1

3x+ 4

Se il punto P da cui si conduce la tangente appartiene alla circonferenza, allora la tangente è unasola. La procedura analitica per determinare tale tangente è identica a quella appena analizzata.


Esempio 6.13. Determina l'equazione della rette tangente alla circonferenza x2 +y2−4x−2y−5 = 0 nel su punto P = (3, 4).

Impostiamo il sistema: {x2 + y2 − 4x− 2y − 5 = 0y − 4 = m(x− 3)

L'equazione risolvente è:

x2 + (mx− 3m+ 4)2 − 4x− 2(mx− 3m+ 4)− 5 ⇒ qquad(1 +m)2x2 + 2(−3m2 + 3m− 2)x+ 9m2 − 18m+ 3 = 0

Ponendo ∆ = 0 otteniamo:

(−3m2 + 3m− 2)2 − (1 +m2)(9m2 − 18m+ 3) = 0

Sviluppando i calcoli si ottiene:

9m2 + 6m+ 1 = 0 ⇒ m = −1

3

Quindi la tangente cercata ha equazione:

y − 4 = −1

3(x− 3) ⇒ y = −1

3x+ 5

Posizione reciproca di due circonferenze

Per stabilire la posizione reciproca di due circonferenze basta confrontare la distanza ra i centricon la somma o la di�erenza dei raggi.Dal punto di vista analitico, la posizione reciproca tra due circonferenze di equazioni:

x2 + y2 + ax+ by + c = 0 x2 + y2 + a′x+ b′y + c′ = 0

dipende dalle soluzioni del sistema di quarto grado formato da tali equazioni.Se le due circonferenze sono concentriche, cioè hanno lo stesso centro e perciò a = a′, b = b′, ilsistema risulterà incompatibile.Se le due circonferenze non sono concentriche, sottraendo membro a membro le due equazionidel sistema si ottiene l'equazione:

(a− a′)x+ (b− b′)y + c− c′ = 0

che rappresenta una retta detta asse radicale delle due circonferenze. In tal caso il sistemaprecedente è equivalente al seguente:{

x2 + y2 + ax+ by + c = 0(a− a′)x+ (b− b′)y + c− c′ = 0

Indicato con ∆ il discriminante dell'equazione risolvente tale sistema , si hanno le seguentipossibilità:

� ∆ > 0, quindi le circonferenze sono secanti, l'asse radicale è la reta passante per i puntid'intersezione;

� ∆ = 0, quindi le circonferenze sono tangenti (esternamente o internamente), l'asse radicaleè la tangente comune nel punto di contatto;

� ∆ < 0, quindi le circonferenze sono esterne, l'asse radicale è una retta che non interseca ledue circonferenze.


6.6 L'ellisse

De�nizione 6.4 (Ellisse). Fissati nel piano due punti distinti F1 e F2, scelto un numero realek > 0 tale che k > d(F1, F2), si de�nisce ellisse il luogo dei punti del piano per i quali è costantela somma delle distanze da F1 e F2, in simboli:

Ellisse = {P |d(P, F1) + d(P, F2) = k} (6.6)

I due punti F1 e F2 sono detti fuochi dell'ellisse.

Tale curva ha due assi di simmetria tra loro perpendicolari: quello in cui si trovano i due fuochiè detto asse mggiore, l'altro asse minore.

Osservazione 6.2. Un'ellisse con i fuochi coincidenti è una circonferenza.

Esiste un metodo molto semplice per disegnare un'ellisse, che ne chiarisce la sua de�nizione. Si�ssano due chiodi su una tavola e attorno ad essi si lega una corda non elastica più lunga delladistanza dei due chiodi, con la punta di una matita si tiene tesa la corda e si traccia una curva(prima da una parte rispetto ai due chiodi, poi dall'altra): la curva ottenuta è un'elisse.

Osservazione 6.3. La lunghezza della corda rappresenta k. Fissato un punto P dell'ellisse,possiamo osservare che tutti i triangoli di vertici F1, F2 e P hanno perimetro P = d(P, F1) +d(P, F2)+d(F1, F2) = k+d(F1, F2), quindi sono isoperimetrici, cioè hanno lo stesso perimetro.L'area, invece, varia al variare di P : è minima quando P è sull'asse maggiore (il triangolodegenera in un segmento), è massima quando P è sull'asse minore, quindi quando il triangolo èisoscele.

L'ellisse è una curva molto importante. Ricordiamo, infatti, che secondo le leggi di Keplerol'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il sole occupa uno dei due fuochi.


Equazione dell'ellisse

Consideriamo il caso più semplice: un'ellisse il cui centro di simmetria coincide con O = (0, 0) ei fuochi F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0). Poniamo uguale a 2a la somma costante delle distanze di ungenerico punto P dell'ellisse dai due fuochi. Utilizzando la formula della distanza tra due puntisu questa condizione e la de�nizione di ellisse si ottiene l'equazione dell'ellisse:

d(P, F1) + d(P, F2) = 2a√(x+ c)2 + y2 +

√(x− c)2 + y2 = 2a√

(x+ c)2 + y2 = 2a−√

(x− c)2 + y2

(x+ c)2 + y2 = 4a2 − 4a√

(x− c)2 + y2 + (x− c)2 + y2

x2 + 2xc+ c2 + y2 = 4a2 − 4a√

(x− c)2 + y2 + x2 − 2xc+ c2 + y2

4a√

(x− c)2 + y2 = 4a2 − 4xc

a√

(x− c)2 + y2 = a2 − xca2((x− c)2 + y2

)= a2 − xc

a2(x2 − 2cx+ c2 + y2

)= a4 − 2a2xc+ x2c2

a2x2 − 2a2cx+ a2c2 + a2c2 + a2y2 = a4 − 2a2cx+ x2c2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

Osserviamo che la misura di un lato di ogni triangolo è sempre minore della somma degli altridue. Quindi:

2c < 2a ⇒ 0 < c < a ⇒ c2 < a2 a2 − c2 > 0

Ponendo b2 = a2 − c2 otteniamo:

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)b2x2 + a2y2 = a2b2

x2

a2+y2

b2= 1 con a > b (6.7)

Ripetendo lo stesso ragionamento con i fuochi nell'assey otteniamo un'equazione anch'essa dellaforma 6.7, ma stavolta con a < b.

Cosa rappresentano a e b? Indicano le lunghezze dei due semiassi.Infatti i vertici dell'ellisse, cioè i punti di intersezione con gli assi, si ottengono cercando i puntiin comune fra l'ellisse e le rette contenenti i due assi, quindi:{

x2

a2+ y2

b2= 1

y = 0⇒

{x = ±ay = 0{

x2

a2+ y2

b2= 1

x = 0⇒

{x = 0y = ±b

Quindi i vertici dell'ellisse sono i seguenti: A1 = (−a, 0), A2 = (a, 0), B1 = (0,−b), B2 = (0, b).

Esempio 6.14. Determinre vertici e fuochi dell'ellisse di equazione x2

9 + y2

4 = 1.

Osserviamo subito che a2 = 9 e b2 = 4, quindi le misure dei semiassi sono a = 3 e b = 2. Quindii vertici sono i punti di coordinate:

(3, 0) (−3, 0) (0, 2) (0,−2)


Poiché a > b si tratta di un'ellisse con i fuochi sull'asse x. I fuochi sono i punti di coordinate(±c, 0) dove:

c =√a2 − b2 =

√32 − 22 =

√5 ⇒ (

√5, 0) (−

√5, 0)

Equazione di un'ellisse traslata

Come modi�care l'equazione dell'ellisse nell'ipotesi in cui il centro sia un punto diverso dall'ori-gine e gli assi di simmetria siano paralleli agli assi cartesiani? Per ricavare l'equazione generica diun'ellisse con gli assi paralleli agli assi cartesiani basta traslare il centro C = (0, 0) in un genericocentro C ′ = (x0, y0). Dopo la traslazione si ottiene la seguente equazione:

(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2= 1 (6.8)

Esempio 6.15. Determinare l'equazione dell'ellisse avente centro in C = (−1, 2), fuochi sullretta y = 2 e semiassi di misura 3 e 2.

Poiché i fuochi sono sulla retta y = 2 (parallela all'asse x), l'equazione dell'ellisse ha a > b.Quindi a = 3, b = 2.Applicando la 6.8 otteniamo immediatamente l'equazione dell'ellisse richiesta:

(x− (−1))2

3+

(y − 2)2

22= 1

(x+ 1)2

9+

(y − 2)2

4= 1

Posizione reciproca fra ellisse e retta

Come per la parabola e la circonferenza, il problema di determinare la posizione reciproca trauna retta e un'ellisse si traduce algebricamente impostando un sistema formato dalle equazionidella retta e dell'ellisse. Una volta ricavata l'equazione risolvente il sistema, la retta risulteràesterna, tangente o secante rispetto all'ellisse, rispettivamente se ∆ < 0, ∆ = 0 o ∆ > 0.

Se P è un punto esterno all'ellisse esistono due rette tangenti all'ellisse passanti per P . Leequazioni di tali tangenti possono essere determinate con lo stesso procedimento già visto perla parabola e la circonferenza: si scrive l'equazione del fascio di rette per P , si svolge il sistemaformato dall'equazione dell'ellisse e quella del fascio di rette per P , e si impone la condizione ditangenza ∆ = 0 nell'equazione risolvente il sistema.

Se P è un punto dell'ellisse esiste una sola retta tangente passante per P . Per determinare la suaequazioni si può utilizzare lo stesso procedimeto analitico descritto, oppure sfruttare il seguente:

Teorema 6.6.1 (Tangente a un'ellisse in un suo punto). Sia P = (x0, y0) un punto appartenente

all'ellisse di equazione x2

a2+ y2

b2= 1. La retta tangente all'ellisse in P ha equazione:

xox

a2+y0y

b2= 1 (6.9)

Esempio 6.16. Determinare la retta tangente all'ellisse di equazione x2

8 + y2

2 = 1 nel suo puntoP = (2, 1).

Utilizzando la 6.9 otteniamo l'equazione della retta tangente all'ellisse in P :

2x

8+y

2= 1 ⇒ y = −1

2x+ 2


6.7 Iperbole

De�nizione 6.5 (Iperbole). Fissati nel piano due punti distinti F1 e F2, scelto un numero realek > 0 tale che k < d(F1, F2), si de�nisce iperbole il luogo dei punti del piano per i quali ècostante la di�erenza delle distanze da F1 e F2, in simboli:

iperbole = {P | |d(P, F1)− d(P, F2)| = k} (6.10)

Come per l'ellisse, anche nell'iperbole i punti F1 e F2 sono detti fuochi.

Osservazione 6.4. Come per l'ellisse, ache l'iperbole possiede due assi di simmetria: la rettapassante per i due fuochi e l'asse del segmento overlineF1F2. Il punto di intersezione dei dueassi è detto centro di simmetria dell'iperbole.

Vi sono soltanto due punti dell'iperbole che appartengono al segmento F1F2, sono i verticidell'iperbole. Indicando tali vertici con A e B, mostriamo che essi sono distanti k:

d(A,F2)− d(A,F1) = k

d(B,F1)− d(B,F2) = k

Per procedere osserviamo che la distanza tra A e B si può calcolare in diversi modi equivalenti:

d(A,B) = d(A,F2)− d(B,F2)

d(A,B) = d(B,F1)− d(A,F1)

Sommando le due uguaglianze si ottiene:

2 · d(A,B) = d(A,F2)− d(B.F2) + d(B,F1)− d(A,F1) = k + k = 2k ⇒ d(A,B) = k

Indichiamo con A1 e A2 i vertici dell'iperbole. Analogamente a quanto fatto per l'ellisse poniamo:

d(A1, A2) = k = 2a d(F1, F2) = 2c

Il numero positivo a indica la distanza di ognuno dei due vertici dal centro di simmetria; c è ladistanza di ognuno dei due fuochi dal centro di simmetria.


Tracciamo le due rette r e s per A1 e per A2 perpendicolari alla retta dei fuochi. Tracciamola circonferenza avente centro nel centro di simmetria e raggio c. Essa interseca l'altro assedell'iperbole in due punti B1 e B2, e le due rette r e s in quattro punti che sono vertici di unrettangolo con diagonali lunghe 2c.Poniamo la distanza fra A1 e uno dei quattro vertici del rattangolo uguale a b. Il rettangolorisulta avere base 2a e altezza 2b. Per i teorema di Pitagora vale la relazione:

c2 = a2 + b2

Esempio 6.17. Data un'iperbole con centro di simmetria nell'origine, fuochi sull'asse delle ascis-se e il cui rettangolo associato abbia base 6 e altezza 8, determinare le coordinate dei fuochi e deivertici.

Dai dati deduciamo subito a = 3 e b = 4. Quindi i vertici hanno coordinate (−3, 0) e (3, 0).Per trovare le coordinate dei fuochi determiniamo c:

c =√a2 + b2 =

√32 + 42 =

√9 + 16 = 5

Quindi i due fuochi hanno coordinate (−5; 0) e (5, 0).

Le due rette individuate dalle diagonali del rettangolo sono dette asintoti dell'iperbole. In ge-nerale se una curva ha un asintoto, vuol dire che i suoi punti, man mano che ci si allontana versol'in�nito, tendono ad avvicinarsi a quelli dell'asintoto senza però mai incontrarsi.

Nel caso particolare in cui il rettangolo associato ad un'iperbole sia un quadrato, l'iperbole èdetta equilatera.

Equazione dell'iperbole

Consideriamo il caso più semplice: un'iperbole il cui centro coincide con O = (0, 0) e i fuochiF1 = (−c, 0), F2 = (c, 0). Poniamo uguale a 2a la di�erenza costante delle distnze di un genericopunto P dell'iperbole dai due fuochi. Utilizzando la formula della distanza tra due punti suquesta condizione e la de�nizione di iperbole si ottiene l'equazione dell'iperbole:√

(x+ c)2 + y2 −√

(c− c)2 + y2 = 2a (Con calcoli analoghi a quelli svolti per l'ellisse)

(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2)

Poiché la misura di un lato di un triangolo è sempre minore della somma degli altri due deveessere:

2c > 2a ⇒ c2 > a2 ⇒ c2 − a2 > 0


Ponendo b2 = c2 − a2 otteniamo:

(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2)b2x2 − a2y2 = a2b2

x2

a2− y2

b2= 1 (6.11)

Ripetendo ragionamenti analoghi si trova che l'equazione di un'iperbole con centro nell'origine efuochi sull'asse y è della forma:

x2

a2− y2

b2= −1 (6.12)

Poiché nell'iperbole equilatera a = b, se essa ha fuochi nell'asse x la sua equazione sarà:

x2 − y2 = a2 (6.13)

se ha fuochi nell'asse y:

x2 − y2 = −a2 (6.14)

Ruotando di 45°tali iperboli si ottengono due iperboli aventi per asintoti le bisettrici del I e delII quadrante e per assi di simmetria gli assi cartesiani. Si può dimostrare che le equazioni di taliiperboli sono della forma:

xy = k k 6= 0 (6.15)

Per modi�care l'equazione dell'iperbole nell'ipotesi in cui il centro sia un punto diverso dall'o-rigine e gli assi di simmetria siano paralleli agli assi cartesiani si segue lo stesso ragionamentoapplicato all'ellisse. Per ricavare l'equazione generica di un'iperbole con gli assi paralleli agliassi cartesiani basta traslare il centro C = (0, 0) in un generico centro C ′ = (x0, y0). Dopo latraslazione si ottiene una delle due seguenti equazioni:

(x− x0)2

a2− (y − y0)2

b2= 1 (6.16)

(x− x0)2

a2− (y − y0)2

b2= −1 (6.17)

Esempio 6.18. Determinare l'equazione dell'ellisse avente centro in C = (2, 1), fuochi sull rettax = 2 e semiassi di misura 2 e 1.

Poiché i fuochi sono sulla retta x = 2 (parallela all'asse y), l'equazione è del tipo 6.17. Inun'equazione del tipo 6.17 si ha a = 1 e b = 2Applicando la 6.8 otteniamo immediatamente l'equazione dell'ellisse richiesta:

(x− 2)2

12− (y − 1)2

22= −1

(x− 2)2 +(y − 1)2

4= −1

Posizione reciproca fra iperbole e retta

Come per la parabola, la circonferenza e l'ellisse, il problema di determinare la posizione reci-proca tra una retta e un'iperbole si traduce algebricamente impostando un sistema formato dalleequazioni della retta e dell'iperbole. Se l'equazione risolvente il sistema è di secondo grado, laretta risulterà esterna, tangente o secante rispetto all'iperbole, rispettivamente se ∆ < 0, ∆ = 0o ∆ > 0.Con l'iperbole però potrebbe veri�carsi che l'equazione risolvente il sistema non sia di secondogrado. In tal caso:


� se l'equazione ammette soluzione, la retta è parallela a uno dei due asintoni e intersecal'iperbole in un solo punto, pur non essendo ivi tangente;

� se l'equazione è impossibile la retta coincide con un asintoto.

Se P è un punto esterno all'iperbole esistono due rette tangenti all'iperbole passanti per P . Leequazioni di tali tangenti possono essere determinate con lo stesso procedimento già visto perla parabola, la circonferenza e l'ellisse: si scrive l'equazione del fascio di rette per P , si svolgeil sistema formato dall'equazione dell'iperbole e quella del fascio di rette per P , e si impone lacondizione di tangenza ∆ = 0 nell'equazione risolvente il sistema.

Se P è un punto dell'iperbole esiste una sola retta tangente passante per P . Per determinarela sua equazioni si può utilizzare lo stesso procedimeto analitico descritto, oppure sfruttare ilseguente:

Teorema 6.7.1 (Tangente a un'iperbole in un suo punto). Sia P = (x0, y0) un punto apparte-

nente all'iperbole di equazione x2

a2− y2

b2= 1. La retta tangente all'iperbole in P ha equazione:

x0x

a2− y0y

b2= 1 (6.18)

Analogamente, sia P = (x0, y0) un punto appartenente all'iperbole di equazione x2

a2− y2

b2= −1.

La retta tangente all'iperbole in P ha equazione:

x0x

a2− y0y

b2= −1 (6.19)

Capitolo 7

Disequazioni

7.1 Disuguaglianze e principi di equivalenza per le disequazioni

Una disequazione è un particolare tipo di disuguaglianza. Le disuguaglianze sono scritture fradue espressioni numeriche tra le quali è posto uno dei seguenti simboli:

< (minore)

≤ minore o uguale)

> (maggiore)

≥ (maggiore o uguale)

Esempio 7.1. Sono esempi di disuguaglianze:

3 < 8 − 12 ≤ 0 4 + 3 > 10 − 2 + 3 ≥ −6

Così come per le equazioni, l'epressione a sinistra è detta primo membro, quella a destra secondomembro.

De�nizione 7.1 (Disequazione). Si de�nisce disequazione ogni disuguaglianza che contieneuna o più lettere, dette incognite, di cui si cercano, se esistono, i valori che rendono vera ladisuguaglianza.

Esempio 7.2. Sono esempi di disequazioni:

3x < 2 + x − 2(x2 + 6) ≥ 1

2x+ 9

x+ 2

1− x>

1

x(x− 3)(x+ 1) ≤ x2 + 7x

2x− 8

Quindi trovare le soluzioni di un'equazione signi�ca trovare quei valori che, sostituiti alla inco-gnita (o alle incognite) rendono la disuguaglianza vera. Per trovare le soluzioni, analogamente aquanto visto per le equazioni, si trasforma la disequazione data in una equivalente, cioè in unadisequazione avente lo stesso insieme di soluzioni. Per farlo si utilizzano i seguenti principi:

Principio 7.1 (Primo principio di equivalenza per le disequazioni). Aggiungendo o sottraendoai due membri di una disequazione un numero reale o un'espressione algebrica de�nita per tuttii valori delle variabili che vi compaiono, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

Principio 7.2 (Secondo principio di equivalenza per le disequazioni). Moltiplicando o dividendoentrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero reale diverso da zero, si ottieneuna disequazione equivalente a quella data a condizione di:

� mantenere lo stesso verso se il numero è positivo;

87

CAPITOLO 7. DISEQUAZIONI 88

� invertire il verso se il numero è negativo

Il primo principio è del tutto analogo a quello delle equazioni ed è conseguenza del fatto che,partendo da una disuguaglianza vera, aggiungendo o sottraendo uno stesso numero ad entrambii membri di una disuguaglianza, si ottiene un disuguaglianza ancora vera.

Esempio 7.3. Consideriamo la disuguaglianza 4 < 7. È una disuguaglianza vera. Se aggiungimo5 ad entrambi i membri otteniamo 9 < 12, ed è ancora una disuguaglianza vera.

Il secondo principio è simile a quello delle equazioni, ma distingue due casi a seconda che il numeroper il quale si moltiplica o divide ambo i membri sia positivo o negativo. Inoltre non para dimoltiplicazione o divisione per una espressione algebrica. Ciò è dovuto dalla proprietà delledisuguaglianze secondo cui, moltiplicando o dividendo ambo i membri di una disuguaglianzavera per uno stesso numero, se il numero è negativo si ottiene una disuguaglianza falsa. Perottenerla vera bisogna invertire il segno della disuguaglianza.

Esempio 7.4. Consideriamo la disuguaglianza 4 < 7. È una disugualianza vera. Moltiplicandoambo i membri per −2 e lasciando alterato il segno della disuguaglianza otterremmo −8 < −14,che è una disuguaglianza falsa. Per renderla vera basta invertire il segno della disuguaglianza:−8 > −14.

7.2 Disequazioni di primo grado

Le disequazioni più semplici sono quelle di primo grado in un'incognita a coe�cienti interi.L'insieme delle soluzioni viene rappresentato gra�camente sulla retta reale. Generalmente siutilizzano le seguenti convenzioni:

� linea continua per indicare l'insieme delle soluzioni;

� linea tratteggiata per indicare il complementare dell'insieme delle soluzioni;

� un punto vuoto sulla linea continua per indicare che un numero non è soluzione;

� un punto pieno sulla linea continua per indicare che un numero è soluzione.

Esempio 7.5.

3(x− 1) < 5x+ 2 (Applicando la proprietà distributiva al primo membro)

3x− 3 < 5x+ 2 (Applicando il primo principio)

3x− 3 + 3− 5x < 5x+ 2 + 3− 5x (Sommando i termini simili)

− 2x < 5 (Applicando il secondo principio e ricordando di cambiare il segno poiché −2 è negativo)

x > −5

2

Qualunque numero reale maggiore di −52 soddisfa la disequazione data, quindi l'insieme delle

soluzioni è (−52 ,+∞).

Esempio 7.6.

(x− 1)(x+ 1) > (x+ 1)2 − 2(x− 2) (Eseguendo i calcoli)

x2 − 1 > x2 + 2x+ 1− 2x+ 4 (Applcando il primo principio e sommando i termini simili)

x2 − x2 > 1 + 4 + 1

0 > 6

Otteniamo una disuguaglianza falsa, quindi non esiste alcun numero che soddisfa la disequazionedi partenza, quindi l'insieme delle soluzioni è vuoto.


Se i coe�cienti della disequazione non sono interi, ci si può ricondurre facilmente ad unadisequazione a coe�cienti interi moltiplicando ambo i membri per il m.c.m. dei denominatori.

Esempio 7.7.

3x+ 1

3− 2 <

2x− 3

2(Poiché il m.c.m. dei denominatori è 6)

2(3x+ 1)− 12

6<

3(2x− 3)

6(Applicando il secondo principio)

6x+ 2− 12 < 6x− 9 (Applicando il primo principio)

6x− 6x < −9 + 10

0 < 1

Otteniamo una disuguaglianza vera, quindi la disequazione di partenza è vera per qualsiasinumero, perciò l'insieme delle soluzioni è R.

7.3 Disequazioni di secondo grado

Le disequazioni di secondo grado sono disequazioni riconducibili alla seguente forma:

ax2 + bx+ c ≥ 0 a 6= 0 (7.1)

o forma analoga dove al posto del simbolo ≥ è presente ≤, < o >.Per determinare le soluzioni di una disequazione di secondo grado occorre studiare il segno

sel trinomio, cioè sapere in corrispondenza di quali valori di x il trinomio è postivo, negativo onullo. Osserviamo che la funzione y = ax2 + bx+ c rappresenta una parabola, quindi:

� il trinomio è positivo in corrispondenza dei valori in cui y > 0 (punti della parabola nelprimo e sul secondo quadrante);

� il trinomio è nullo in corrispondenza dei valori in cui y > 0 (punti in cui la parabolainterseca l'asse x);

� il trinomio è negativo in corrispondenza dei valori in cui y < 0 (punti della parabola nelterzo e nel quarto quadrante);

Esempio 7.8. Studiare il segno della parabola y = x2 − 2x− 3.

Determiniamo i punti d'intersezione fra la parabola e l'asse x:{y = x2 − 2x− 3y = 0

⇒{x2 − 2x− 3 = 0y = 0{

x1 = −1y1 = 0

;

{x2 = −3y2 = 0

Quindi il trinomio è nullo per x = −1 o x > 3.Osserviamo che a = 1 > 0, quindi la parabola ha concavità verso l'alto. Tenendo conto del fattoche interseca l'asse x in (−1, 0) e (3, 0), il trinomio x2 − 2x − 3 > 0 per x < −1 o x > 3.Viceversa, il trinomio x2 − 2x− 3 < 0 per −1 < x < 3.

Osservazione 7.1. Se a < 0 bisogna ragionare con una parabola con la concavità rivolta versoil basso oppure, in alternativa, possiamo ottenere una disequazione equivalente in cui a > 0moltiplicando ambo i membri per −1 ( e ricordando di cambiare il verso dela disequazione).


Esempio 7.9. Risolvere la disequazione −x2 + 6x ≥ 0.

Moltiplichiamo ambo i membri per −1 per avere a > 0, otteniamo la disequazione equivalente:

x2 − 6x ≤ 0

Poiché c = 0 osserviamo che y = x2−6x è una parabola passante per l'origine. Infatti, risolvendol'equazione associata x2 − 6x = 0 otteniamo i punti in cui la parabola interseca l'asse x, e sono:x1 = 0 e x2 = 6.Poiché y = x2 − 6x ha la concavità verso l'alto, i punti in cui x2 − 6x ≤ 0 sono 0 ≤ x ≤ 6.

Esempio 7.10. Risolvere la disequazione −4x2 + 4x− 1 ≥ 0.

Osserviamo che −4x2 + 4x− 1 = −(4x2 − 4x+ 1) = −(2x− 1)2. Quindi dobbiamo risolvere:

−(2x− 1)2 ≥ 0

Osserviamo che un qualsiasi numero al quadrato è sempre positivo, ed è nullo quando il numeroè nullo. Poiché davanti al quadrato del binomio è presente un segno negativo, il primo membrorisulterà sempre negativo (mai positivo) o, al più, nullo. È nullo quando (2x − 1)2 = 0 cioèquando x = 1

2 . Quindi −(2x− 1)2 ≥ 0 è soddisfatta solo per x = 12 .

Esempio 7.11. Risolvere la disequazione 9x2 − 12x+ 4 > 0.

Osserviamo che 9x2 − 12x+ 4 = (3x− 2)2, l'equazione associata (3x− 2)2 = 0 ha discriminante∆ = 0 e le radici coincidono con x = 2

3 . Poiché la parabola y = 9x2 − 12x + 4 ha la concavitàverso l'alto e un numero al quadrato è sempre positivo, al più nullo quando è nullo il numero, nededuciamo che l'insieme delle soluzioni è R \ {23}.

Esempio 7.12. Risolvere la disequazione x2 − x+ 1 < 0.

L'equazione associata x2 − x + 1 = 0 ha come discriminante ∆ = −3 < 0. Ciò signi�ca che laparabola y = x2 − x+ 1 non interseca l'asse x.Osserviamo che si tratta di una parabola con la concavità verso l'alto quindi, poiché non intersecal'asse x, i suoi punti si trovano tutti nel primo e nel secondo quadrante.Conseguentemente il trinomio è sempre positivo e mai negativo, quindi la disequazione è impos-sibile.

Esempio 7.13. Risolvere la disequazione 2x2 − 3x+ 2 ≥ 0.

L'equazione associata 2x2 − 3x + 2 = 0 ha discriminante ∆ = −7 < 0, quindi anche in questocaso la parabola y = 2x2 − 3x+ 2 non interseca l'asse x.Osserviamo che si tratta di una parabola con la concavità verso l'alto quindi, poiché non intersecal'asse x, i suoi punti si trovano tutti nel primo e nel secondo quadrante.Conseguentemente il trinomio è sempre positivo, quindi la disequazione è soddisfatta per ogninumero reale x.

Per studiare il segno di un trinomio di secondo grado potrebbe anche venire l'idea di scomporloin fattori e studiare il segno dei singoli fattori. Tuttavia questo metodo non è sempre applicabile:alcuni trinomi di secondo grado non si possono scomporre in R.


7.4 Disequazioni scomponibili in fattori

Alcuni polinomi di secondo grado o di grado superiore possono essere scomposti in fattori diprimo grado. In tal caso, detto P (x) il polinomio, è possibile studiare quando esso è positivo,negativo o nullo, cioè studiare:

P (x) ≥ 0 P (x) ≤ 0 P (x) > 0 P (x) < 0

In tal caso bisogna studiare il segno di ciascun fattore di P (x). Ciò viene fatto poiché un prodottoè positivo non solo quando tutti i fattori sono positivi, ma anche quando abbiamo un numeropari di fattori negativo. Similmente, un prodotto è negativo quando il numero di fattori negativiè dispari.Per studiare il segno è utile costruire una tabella rissuntiva dei segni e, attraverso essa determinarele soluzioni della disequazione.

Esempio 7.14. Risolvere la disequazione x2 + x ≤ 2.

Per prima cosa riconduciamoci ad una disequazione in forma normale:

x2 + x− 2 ≤ 0

Scomponendo il trinomio di secondo grado del primo membro in fattori di primo grado otteniamo:

(x− 1)(x+ 2) ≤ 0

Studiamo il segno dei fattori:

x− 1 > 0 ⇒ x > 1

x+ 2 > 0 ⇒ x > −2

Riportando sulla retta reale i segni di ueste disequazioni di primo grado possiamo costruire latabella dei segni.Poiché la disequazione iniziale ci chiede di determinare per quali valori di x il polinomio è negativoo al più nullo, nella tabella dei segni dobbiamo guardare quando il segno risultante del prodotto(x− 1)(x+ 2) dei due fattori è negativo ed aggiungere i punti in cui si annulla.La soluzione è −2 ≤ x ≤ 1.

Esempio 7.15. Risolvere la disequazione x3 − x2 ≤ 4x− 4.

Portiamo tutti i termini al primo membro in modo da riscrivere l'equazione in forma normale:

x3 − x2 − 4x+ 4 ≤ 0

Scomponiamo il polinomio al primo membro in fattori:

x2(x− 1)− 4(x− 1) ≤ 0

(x− 1)(x2 − 4) ≤ 0

Studiamo il segno dei singoli fattori:

x− 1 > 0 ⇒ x > 1

x2 − 4 > 0 ⇒ x < −2 o x > 2

Costruendo la tabella dei segni riportando i segni di ciascun fattore, in base alla regola dei segnidi deduce come varia il segno del prodotto. La disequazione iniziale è negativa o nulla per x ≤ −2o 1 ≤ x ≤ 2.


7.5 Disequazioni frazionarie

De�nizione 7.2 (Disequazione frazionaria). Si de�nisce disequazione frazionaria ogni dise-quazione in cui compare l'incognita almeno in un denominatore.

Esempio 7.16. Alcuni esempi di disequazioni frazionarie:

2x

4x− 5> 0

−7x+ 2

x− 1< 0

1

x+ 3 ≤ 2x

7x− 2

−5x+ 1− 3 ≥ 0

Per risolvere tali disequazioni per prima cosa bisogna ricondurci alla forma normale, cioè trasfor-marle in disequazioni equivalenti della forma:

A(x)

B(x)> 0

A(x)

B(x)< 0

A(x)

B(x)≥ 0

A(x)

B(x)≤ 0

Osserviamo che, a di�erenza delle equazioni frazionarie, non è possibile moltiplicare ambo imembri della disequazione per il denominatore per �liberarci� del denominatore. Infatti il segnodel denominatore in generale non è sempre positivo, può essere anche negativo per certi valoridi x, e quando si moltiplica per un numero negativo il verso della disequazione cambia. Quindiil segno del denominatore contribuisce al segno dell'intera frazione algebrica.Per risolvere disequazioni frazionarie in forma normale bisogna quindi studiare il segno dellafrazione algebrica:

� il segno della frazione è positivo se numeratore e denominatore sono concordi, cioè seP (x), Q(x) > 0 oppure P (x), Q(x) < 0;

� il segno della frazione è negativo se numeratore e denomiatore sono discordi, cioè se P (x) >0, Q(x) < 0 oppure P (x) < 0, Q(x) > 0.

Quindi si studiano il segno del numeratore e quello del denominatore e si costruisce una tabellariassuntiva dei segni, analoga a quella già vista per le disequzioni scomponibili in fattori. Dalloschema del segno della frazione algebrica si deducono le soluzioni della disequazione.

Esempio 7.17. Risolvere la disequazione 2x+1x−1 > 0.

La disequazione è già in forma normale, quindi studiamo il segno del numeratore e del denomi-natore separatamente:

2x+ 1 > 0 ⇒ x > −1

2x− 1 > 0 ⇒ x > 1

A questo punto si può costruire la tabella riassuntiva con i segni del numeratore e del denomina-tore.La disequazione iniziale ci chideva di determinare i valori di x per cui la frazione algebrica ri-sulta positiva, quindi bisogna guardare la tabella riassuntiva dei segni e controllare dove il segnorisultante è positivo. La soluzione è: x < −1

2 o x > 1.

Esempio 7.18. Risolvere la disequazione x−41−x2 ≤ 0.

La disequazione è già in forma normale, quindi studiamo il segno del numeratore e del denomi-natore:

x− 4 > 0 ⇒ x > 4

1− x2 > 0 ⇒ x2 − 1 < 0 ⇒ −1 < x < 1

A questo punto possiamo costruire la tabella dei segni. E veri�care che la disequazione di partenzaè negativa o nulla quando −1 < x < 1 o x ≤ 4.


7.6 Sistemi di disequazioni

De�nizione 7.3 (Sistema di disequazioni). Un insieme di disequazioni è un insieme di due opiù disequazioni che devono essere soddisfatte contemporaneamente.

Così come per le equazioni, anche i sistemi di disequazioni si scrivono elencando le disequazioniuna al di sotto dell'altra e racchiudendole con una parentesi gra�a.Risolvere un sistema di disequazioni signi�ca determinare l'intersezione degli insiemi delle solu-zioni delle single disequazioni che lo compongono. Bisogna determinare le soluzioni comuni, cioèquelle che soddisfano tutte le disequazioni.A tale scopo può essere utile rappresentare in uno stesso gra�co le soluzioni delle singoli dise-quazioni e individuare la parte comune.

Osservazione 7.2. Attenzione a non confondere l'intersezione delle soluzioni con il prodotto deisegni!

Esempio 7.19. Risolvere il sistema:2− (5− x) ≤ 1(x− 1)2 ≥ (x+ 1)213x > 2x+ 5

Risolviamo la prima disequazione:

2− (5− x) ≤ 1

2− 5 + x ≤ 1

x ≤ 1− 2 + 5 ⇒ x ≤ 4

Risolviamo la seconda disequazione:

(x− 1)2 ≥ (x+ 1)2

x2 − 2x+ 1 ≥ x2 + 2x+ 1

− 4x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0

Risolviamo la terza disequazione:

1

3x > 2x+ 5

x > 6x+ 15

− 5x > 15 ⇒ x < −3

Rappresentiamo le singole soluzioni in un unico gra�co.Dal gra�co si vede che le soluzioni comuni, quindi le soluzioni del sistema, sono per x < −3.

Capitolo 8

Trigonometria

La trigonometria è la parte della matematica che studi i triangoli a partire dai loro angoli: parten-do misure note (almeno 3, di cui almeno una deve essere una lunghezza) è possibile determinare,per mezzo di speciali funzioni, le misure di tutti gli elementi che caratterizzano un triangolo(angoli, lati, mediane, ecc...). Ciò permette di di risolvere vari tipi di problemi, in cui possonoesservi anche �gure geometriche più complesse.

Le nuove funzioni che conosceremo all'interno di questo ambito vengono dette funzioni trigono-metriche, le più importanti sono: seno, coseno e tangente. La storia di tali funzioni è antichissima.I primi ad utilizzarle furono i babilonesi, i quali le impiegarono in ambito astronomico. Negliultimi secoli tali funzioni si sono rivelate essenziali anche per la descrizione di molti fenomeni�sici, in particolare per lo studio delle onde sonore.

8.1 Misura di un angolo

Ricordiamo che un angolo è la porzione del piano compresa tra due semirette aventi la stessaorigine.

L'unità di misura più utilizzata per misurare gli angoli è il grado.

De�nizione 8.1 (Grado). Il grado è la trecentosessantesima parte dell'angolo giro ed è indicatonelle misure con un piccolo cerchietto che segue il valore numerico: °.

Esempio 8.1. Dalla de�nizione di grado è evidente che un angolo giro misuri 360°.

Un angolo piatto, essendo la metà di un angolo giro, misurerà allora 180°.

Un angolo retto, essendo un quarto di angolo giro (o equivalentemente metà di un angolo piatto),misurerò 90°.

Il sistema di misurazione degli angoli in cui l'unità di misura è il grado è detto sistema sessa-gesimale e, come il sistema utilizzato per misurare il tempo, anche questo è in base 60. Ognigrado, infatti, viene diviso in 60 parti, ciascuna chiamata minuto e, a sua volta, viene diviso inaltrettante 60 parti, ciascuna delle quali è chiamata secondo.

Nella quotidianità in genere, com'è noto, gli angoli vengono misurati in gradi. In molte disciplinescienti�che è spesso più conveniente misurare gli angoli in radianti.

De�nizione 8.2 (Radiante). La misura di un angolo α in radianti è la misura che corrispondeal rapporto tra la lunghezza l dell'arco sotteso dall'angolo e il raggio r della circonferenza, cioé

α =l

r

94

CAPITOLO 8. TRIGONOMETRIA 95

Grazie a tale de�nizione possiamo ricavare la misura dell'angolo giro in radianti. L'arco sottesoda un angolo giro corrisponde a tutta la circonferenza, la cui lunghezza è l = 2πr e r, quindi:

αgiro =2πr

r= 2π ⇒ αgiro = 2π

Conversione da gradi a radianti e viceversa

Sappiamo che un angolo retto misura 90°, e in radianti? E 30°a quanti radianti corrispondono?E 45°?

Poiché abbiamo visto che 360°cosrrispondono a 2π, per convertire gradi in radianti (e viceversa)basta utilizzare la seguente proporzione:

α° : 360° = αrad : 2π (8.1)

Esempio 8.2. Determiniamo la misura in radianti dell'angolo retto. Sostituendo i valori notinella 8.1 otteniamo:

90° : 360° = αrad : 2π

90°

360°=αrad2π

90°

360°· 2π = αrad

αrad =90°

180°· π

αrad =1

2· π

Esempio 8.3. Determiniamo la misura in gradi dell'angolo che misura, in radianti, π. Sosti-tuendo i valori noti nella 8.1 otteniamo:

α° : 360° = π : 2π

α°

360°=

π

2πα°

360°=

1

2

α° =1

2· 360°

α° = 180°

Riassumiamo le misure, in gradi e radianti, degli angoli più comuni, nell'immagine seguente:


Circonferenza goniometrica, orientazione, angoli maggiori all'angolo giro

Per de�nire il radiante abbiamo utilizzato una circonferenza di raggio r. In trigonometriageneralmente si lavora su una particolare circonferenza detta circonferenza goniometrica.

De�nizione 8.3 (Circonferenza goniometrica). Si de�nisce circonferenza goniometrica la cir-conferenza sul piano cartesiano con centro C = (0; 0) e raggio r = 1.

Osservazione 8.1. Abbiamo de�nito la misura di un angolo α in radianti come il rapporto fral'arco l di una circonferenza sotteso dall'angolo e il raggio r della circonferenza, cioè: α = l

r .Quindi da tale de�nizione sembrerebbe che la misura in radianti vari a seconda della lunghezzadel raggio r. In realtà si può dimostrare che benché le lunghezze l ed r varino a seconda dellacirconferenza considerata, il loro rapporto rimane costante. Ciò in realtà non dovrebbe stupire,infatti ricordiamo che il rapporto fra l'intera lunghezza di una circonferenza e il raggio è semprecostante, e vale π.

Come misurare e rappresentare gli angoli in una circonferenza goniometrica?

Per prima cosa si disegna il piano cartesiano e la circonferenza goniometrica. Gli angoli sarannoformati da due semirette aventi l'origine comune nell'origine del sistema di riferimento (quindi nelcentro della circonferenza goniometrica) e una di tali semirette coincidera con la parte positivadell'asse x.


Osserviamo che nella �gura compare una freccia che va dall'asse x alla seconda semiretta cheforma l'angolo. Tale freccia indica l'orientazione dell'angolo, cioè quali sono la prima e la secondasemiretta che formano gli angoli. Dall'immagine intuitivamente si deduce che la prima semiretta èquella che coincide con l'asse positivo delle x, e quindi l'angolo viene misurato in senso antiorario.Così come per i numeri, anche agli angoli può essere attribuito un segno. Per convenzione vengonoconsiderati con misura positiva gli angoli misurati in senso antiorario, negativi per quelli in sensoorario.

Possiamo avere degli angoli la cui ampiezza è maggiore dell'angolo giro? La risposta è a�ermativa.

Supponiamo di indicare con a e b le due semirette che formano un angolo α sulla circonferenzagoniometrica, dove a è la prima semiretta (quindi quella coincidente con la parte positiva dell'assex) e supponiamo di orientare l'angolo in senso antiorario. Se la semiretta a ruota in sensoantiorario �no a sovrapporsi alla semiretta b, in funzione del numero di giri e�ettuati otterremole seguenti misure degli angoli:

α α+ 360° α+ 2 · 360° α+ 3 · 360° α+ 4 · 360° . . .

Gli in�niti angoli che si ottengono possono essere rappresentati in forma sintetica con la scrittura

α+ k · 360° k ∈ Z

Se la misura dell'angolo fosse espressa in radianti anziché in gradi, ricordando che un angolo giromisra 2π radianti, la scrittura sintetica sarebbe invece:

α+ 2kπ k ∈ Z

Esempio 8.4. La scrittura π3 + 2kπ indica gli in�niti angoli la cui misura in radianti è

π

3,π

3+ 2π,

π

3+ 4π,

π

3+ 6π, . . .


8.2 Le funzioni trigonometriche

In questo paragrafo vedremo come sia possibile associare ad ogni angolo quattro numeri, detti:seno, coseno, tangente e cotangente. Si tratta di funzioni che dipendono dall'ampiezza dell'angolo:il dominio di tali funzioni è l'insieme di tutti gli angoli, il codominio è l'insieme R di tutti i numerireali. Quindi tali funzioni prendono in entrata un angolo e restituiscono un numero (reale).

Seno e coseno

Consideriamo un angolo α su una circonferenza trigonometrica e indichiamo con P il puntod'intersezione della seconda semiretta dell'angolo con la circonferenza trigonometrica.

Osserviamo che le coordinate del punto P variano al variare dell'angolo α, quindi sono funzionidell'angolo, e tali funzioni prendono il nome di seno e coseno.

De�nizione 8.4 (Coseno). Si de�nisce coseno di un angolo α l'ascissa del punto P associatoad α nella circonferenza rigonometrica, e si indica con

cos(α)

De�nizione 8.5 (Seno). Si de�nisce seno di un angolo α l'ordinata del punto P associato ad αnella circonferenza rigonometrica, e si indica con

sen(α) o sin(α)

Come già anticipato queste funzioni restituiscono dei numeri reali, cioè il coseno e il seno di unangolo sono uguali a determinati numeri. Quindi ora andiamo a determinare tali numeri.

Osservazione 8.2. Poiché P appartiene alla circonferenza trigonometrica (che ha raggio r = 1),l'ascissa di P (= cos(α)) e il seno di P (= sen(α)) assumono valori compresi tra −1 e 1 o, alpiù, uguali a −1 e 1. Cioè

− 1 ≤ sen(α) ≤ 1

− 1 ≤ cos(α) ≤ 1


Seno e coseno di 0°, 90°, 180°, 270°

� α = 0°: in questo caso il punto P = (1; 0), quindi

cos(0°) = cos(0) = 1

sen(0°) = sen(0) = 0

� α = 90°: in questo caso il punto P = (0; 1), quindi

cos(90°) = cos(π

2

)= 0

sen(90°) = sen(π

2

)= 1

� α = 180°: in questo caso il punto P = (−1; 0), quindi

cos(180°) = cos(π) = −1

sen(180°) = sen(π) = 0

� α = 270°: in questo caso il punto P = (0;−1), quindi

cos(270°) = cos

(3π

2

)= 0

sen(270°) = sen

(3π

2

)= −1

Esercizio 8.1. Sempli�ca la seguente espressione: 3cos(90°)− 2sen(180°) + 4sen(270°).

3cos(90°)− 2sen(180°) + 4sen(270°) =

=3 · 0− 2 · 0 + 4 · (−1) =

=− 4

Seno e coseno di 30°, 45°, 60°

� α = 45°: determiniamo le coordinate di P analizzando il triangolo OPH, dove H è laproiezione di P sull'asse x. L'angolo in PHO misura 90°, invece HOP misura, per ipotesi,45°.


Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180 °, abbiamo

PHO + HOP + OPH = 180° (Sostituendo i valori degli angoli noti)

⇒ 90° + 45° + OPH = 180°

⇒ OPH = 180°− 90°− 45° = 45°

Quindi, avendo un angolo retto e due angoli uguali, il triangolo è rettangolo isoscele, cioè

HP = OH

Il coseno e il seno di 40°corrispondono rispettivamente alle lunghezze di OH e HP . Pertrovare i valori di tali lunghezze basta applicare il teorema di Pitagora:

HP2

+OH2

= OP2

(Poiché HP = OH e il raggio della circonferenza trigonometrica è 1)

2HP2

= 1

HP2

=1

2

HP =1√2

=1√2·√

2√2

=

√2

2

Quindi:

cos(45°) = cos(π

4

)=

√2

2

sen(45°) = sen(π

4

)=

√2

2

� α = 30°: determiniamo le coordinate di P analizzando il triangolo OPH, dove H è semprela proiezione di P sull'asse x. L'angolo in PHO misura 90°, invece HOP misura, per ipotesi,30°. Prolunghiamo la perpendicolare PH all'asse x �no ad incontrare la circonferenza inQ.

Pocihé HP = HQ, il triangolo OPQ risulta essere un triangolo isoscele. Di conseguenzal'altezza OH della base PQ è anche bisettrice e mediana, quindi HOP = HOQ = 30°.Risulta così POQ = 60°. Pocihé gli altri due angoli sono congruenti e la loro somma è paria 120°, ciò signi�ca che il triangolo OPQ ha tre angoli di 60°, quindi è equilatero. Quindi:

OP = OQ = PQ = 1 ⇒ HP =1

2


In questo modo abbiamo ottenuto l'ordinata del punto P .Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OHP otteniamo:

OH =

√OP

2 −HP 2=

√12 −

(1

2

)2

=

√1− 1

4=

√3

4=

√3

2

Quindi, in de�nitiva:

cos(30°) = cos(π

6

)=

√3

2

sen(30°) = sen(π

6

)=

1

2

� α = 60°: determiniamo le coordinate di P analizzando il triangolo OPH. Osserviamo chetale triangolo è congruente al triangolo OPH del caso precedente: HOP è anche stavoltaun angolo retto, HOP = 60°ed è congruente all'angolo che prima abbiamo indicato conOPH, e il nuovo angolo OPH = 30°come l'angolo che prima abbiamo indicato con HOP .Di conseguenza le coordinate del punto P quando α = 60°sono nel stesse del punto Pquand α = 30°ma invertite, cioè:

cos(60°) = cos(π

3

)=

1

2

sen(60°) = sen(π

3

)=

√3

2

A partire dai valori di coseno e seno ottenuti per α = 30°, 45°, 60°è immediato determinare senoe coseno di angoli maggiori di 90°.

Esempio 8.5. Sia α = 3π4 = 135°e indichiamo con P il punto in cui la seconda semiretta

dell'angolo α si interseca con la circonferenza goniometrica. Ricordiamo che 135°= 90°+45°.Per determinare le coordinate di P considerimo un angolo β = 45°e indichiamo con Q il puntiin cui la seconda semiretta di β interseca la circonferenza goniometrica.

P e Q hanno la stessa ordinata, quindi sen(45°) = sen(135°) =√22 .

Osserviamo che la distanza di P dall'asse y è pari alla distanza di Q dall'asse y, quindi anche leascisse dei due punti sono uguali, hanno però segno opposto, quindi cos(45°) = cos(135°) =

√22 .

In de�nitiva:

cos(135°) =

√2

2

sen(135°) =

√2

2


Tangente e cotangente

Consideriamo un angolo θ su una circonferenza goniometrica e indichimo con C il punto diintersezione della seconda semiretta dell'angolo con la circonferenza goniometrica. Siano A =(1; 0) e D = (0; 1) e consideriamo le rette tangenti alla circonferenza in tali punti. ProlunghiamoOC e indichiamo con con F ed E le intersezioni con la tangente alla circonferenza passante per De la tangente passante per A rispettivamente. I segmentti AF e DE sono detti rispettivamentetangente e cotangente dell'angolo θ.

Osserviamo che i triangoli rettangoli OBC e OAF sono simili per il secondo criterio di simi-litudine (hanno un angolo in comune e i lati che lo coprendono proporzionali), quindi vale laseguente proporzione:

BC : OB = FA : OA (sostituendo le funzioni trigonometriche)

sen(θ) : cos(θ) = tan(θ) : 1

Da tale relazione possiamo ricavare una de�nizione equivalente di tangente molto utile negliesercizi e nelle applicazioni:

tan(θ) =sen(θ)

cos(θ)

In modo analogo possiamo osservare che anche i triangoli OCC ′ e OED sono simili per il secondocriterio di similitudine, quindi vale la seguente proporzione:

C ′C : C ′O = DE : OD (sostituendo le funzioni trigonometriche)

cos(θ) : sen(θ) = cotan(θ) : 1

Da tale relazione possiamo ricavare una de�nizione equivalente di cotangente:

cotan(θ) =cos(θ)

sen(θ)

De�nizione 8.6 (Tangente). La tangente di un angolo è l'ordinata del punto ottenuto dall'inter-sezione del prolungamento della seconda semiretta dell'angolo con la retta tangente alla circon-ferenza goniometrica nel punto in cui questa interseca la prima semiretta dell'angolo. Oppure,equivalentemente:

tan(θ) =sen(θ)

cos(θ)(Seconda relazione fondamentale della trigonometria) (8.2)


De�nizione 8.7 (Cotangente). La cotangente di un angolo è l'ascissa del punto ottenuto dal-l'intersezione del prolungamento della seconda semiretta dell'angolo con la retta tangente allacirconferenza goniometrica nel punto in cui questa interseca il semiasse delle ordinate positive.Oppure, equivalentemente:

cotan(θ) =cos(θ)

sen(θ)(8.3)

Dalle relazioni 8.2 e 8.3 si possono ricavare i valori della tangente e della cotangente dei diversiangoli.

Esempio 8.6. Determiniamo tan(π3

). Poiché sen

(π3

)= 1

2 e cos(π3

)=√32 abbiamo:

tan(π

3

)=sen

(π3

)cos(π3

)tan

(π3

)=

12√32

=1

2· 2√

3=

1√3

=1√3·√

3√3

=

√3

3

Esempio 8.7. Determiniamo cotan(π3

). Poiché sen

(π3

)= 1

2 e cos(π3

)=√32 abbiamo:

cotan(π

3

)=cos(π3

)sen

(π3

)cotan

(π3

)=

√3212

=

√3

2· 2 =

√3

Osservazione 8.3. Quando l'angolo θ è nel primo quadrante, il punto F è sempre al di sopradell'asse x, e la sua ordinata (quindi la tan(θ)) aumenta al crescere dell'ampiezza dell'angolo.Quando θ = π

2 il prolungamento di OC coincide con l'asse y, quindi non possiamo determinareil punto F perché overlineOC e la tangente in A sono parallele. Quindi non si può determinaretan(θ).

Gra�ci funzioni trigonometriche

Come per tutte le funzioni, anche seno, coseno, tangente e cotangente possono essere rappresen-tate gra�camente.Si parte dalle seguenti equazioni: y = sen(x), y = cos(x), y = tan(x), y = cotan(x). Per ottenereil gra�co di tali funzioni basterà portare sull'asse delle ascisse le misure dell'angolo espresse inradianti e sull'asse delle ordinate i corrispondenti valori del seno, coseno, tangente e cotangen-te. Le curve che si ottengono sono dette rispettivamente: sinusoide, cosinusoide, tangentoide,cotangentoide.


Tabella riassuntiva

Riassumiamo i valori di seno, coseno, tangente e cotangente degli angoli più importanti nellaseguente tabella:

Angolo Coseno Seno Tangente Cotangente0°= 0 1 0 0 ±∞30°= π

6

√32

12

√33

√3

45°= π4

√22

√22 1 1

60°= π3

12

√32

√3

√33

90°= π2 0 1 ±∞ 0

120°= 2π3 −1

2

√32 −

√3 −

√33

135°= 3π4

√22 −

√22 −1 −1

150°= 5π6

12 −

√32 −

√33 −

√3

180°= π −1 0 0 ±∞210°= 7π

6 −√32 −1

2

√33

√3

225°= 5π4 −

√22 −

√22 1 1

240°= π6 −1

2 −√32

√3

√33

270°= 3π2 0 −1 ±∞ 0

300°= 5π3

12 −

√32 −

√3 −

√33

315°= 7π4

√22 −

√22 −1 −1

330°= 11π6

√32 −1

2 −√33 −

√3

360°= 2π 1 0 0 ±∞

Esercizio 8.2. Calcola il valore della seguente espressione:

√2sen

(π4

)−√

3cos

(5π

6

)+ tan

(2π

3

)− tan

(π3

)=

=√

2 ·√

2

2−√

3 ·

(−√

3

2

)−√

3−√

3 =

=1 +3

2− 2√

3 =

=5

2− 2√

3

8.3 La prima relazione fondamentale della trigonometria

Consideriamo una circonferenza goniometrica e un angolo orientato α. Sia P il punto ad es-so associato (cioè il punto in cui la seconda semiretta dell'angolo interseca la circonferenzagoniometrica).

Ricordiamo che la circonferenza goniometrica è la circonferenza con centro nell'origine e raggiounitario, quindi la sua equazione è x2 + y2 = 1. Poiché il punto P = (xP ; yP ) appartiene a talecirconferenza le sue coordinate devono soddisfare tale equazione, cioè:

x2P + y2P = 1

Ricordando che cos(α) = xP e sen(α) = yP , sostituendo si ha:

(cos(α))2 + (sen(α))2 = 1 ⇒ cos2(α) + sen2(α) = 1 (8.4)


Tale relazione ci dice che la somma dei quadrati del seno e del coseno di un angolo è ugualeall'unità, e prende il nome di prima relazione fondamentale della trigonometria.

Da tale relazione si ricava che:

cos2(α) = 1− sen2(α)

sen2(α) = 1− cos2(α)

Esercizio 8.3. Veri�ca la seguente identità (supponendo che α assuma solo valori per i qualisono de�nite le diverse espressioni):

cos2(α)

1− sen(α)= 1 + sen(α)

1− sen2(α)

1− sen(α)= 1 + sen(α)

(1− sen(α))(1 + sen(α))

1− sen(α)= 1 + sen(α)

1 + sen(α) = 1 + sen(α)

Primo e secondo membro sono uguali, quindi l'identità è vera.

8.4 Angoli associati

Costruiamo, al solito modo, una circonferenza goniometrica e consideriamo un angolo orientatox. Sia P il punto della circonferenza goniometrica associato ad x, che nella �gura abbiamosupposto nel primo quadrante. Dal punto P si conduca la parallela all'asse delle ascisse e sia P ′

il punto in cui tale parallela incontra la circonferenza; si conducano poi i diametri PQ′ e P ′Q.Risultano in tal modo individuati gli angoli:

HOP ′ = π − x HOQ′ = π + x HOQ = 2π − x

Essi sono detti angoli associati all'angolo dato x = HOP .


Le coordinate dei punti P, P ′, Q,Q′ sono uguali alle loro omonime a meno del segno (cioè lecoordinate di P e P ′ sono �quasi� le stesse, si di�erenziano per il segno, lo stesso vale per Q eQ′).

Tenendo conto anche dei segni avremo le seguenti relazioni.

Angoli supplementari: α e π − α

sen(π − α) = sen(α) (8.5)

cos(π − α) = −cos(α) (8.6)

Angoli che di�eriscono di π: α e π + α

sen(π + α) = −sen(α) (8.7)

cos(π + α) = −cos(α) (8.8)

Angoli esplementari: α e 2π − α

sen(2π − α) = −sen(α) (8.9)

cos(2π − α) = cos(α) (8.10)


Angoli opposti: α e −α

Ricordiamo che due angoli si dicono opposti quando la loro somma è zero.

Tali angoli possono essere considerati come due angoli orientati in senso opposto e la cui ampiezzaè uguale a meno del segno. I loro rispettivi punti associati sulla circonferenza goniometricacoincidono con i punti associati a due angoli esplementari. Si avrà quindi

sen(−α) = −sen(α) (8.11)

cos(−α) = cos(α) (8.12)

Angoli complementari

Ricordiamo che due angoli si dicono complementari se la loro somma è pari a π2 .

Rappresentando tali angoli nella circonferenza goniometrica si può osservare che si vengono aformare due triangoli rettangoli congruenti, quindi le coordinate dei coorispondenti punti P sonole stesse ma scambiate, quindi:

cos(π

2− α) = sen(α) (8.13)

sen(π

2− α) = cos(α) (8.14)

Esercizio 8.4. Sempli�ca la seguente espressione servendoti delle relazioni fra funzioni gonio-metriche:

sen(π − α)cos(−α)− sen(−α)cos(π + α) =

=sen(α)cos(α)− sen(α)cos(α) =

=0


8.5 Relazioni tra lati e angoli di un triangolo

Come già anticipato, la trigonometria ha lo scopo di stabilire delle relazioni metriche tra i latie gli angoli di un triangolo, cioè tra gli elementi di un triangolo. Quando dei sei elementi diun triangolo (i tre lati e i tre angoli) ne sono noti tre, tra i quali almeno un lato, si può direche il triangolo è noto perché, mediante le relazioni che la trigonometria ci fornisce, si possonodeterminare gli altri elementi.

D'ora in poi indicheremo con A, B e C i vertici di un triangolo, con a, b, c le misura dei latirispettivamente opposti e con α, β, γ le ampiezze degli angoli aventi i vertici rispettivamente inA, B e C.

Ricordiamo l seguenti proprietà fra gli elementi di un triangolo qualunque, già note dallo studiodella geometria:

1. la somma degli angoli interni di un triangolo è α+ β + γ = 180°;

2. in un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due e maggiore della lorodi�erenza;

3. in un triangolo la stessa relazione, di uguaglianza e disuguaglianza, che intercede fra duelati intercede pure fra gli angoli rispettivamente opposti

Triangoli rettangoli

Teorema 8.5.1. In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al prodotto dellamisura dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto a esso o per il coseno dell'angolo ad essoadiacente, cioè

b = a · sen(β) (8.15)

b = a · cos(γ) (8.16)

c = a · sen(γ) (8.17)

c = a · cos(β) (8.18)

Uno dei problemi trigonometrici elementari più di�usi è risolvere un triangolo, cioè determinaregli elementi incogniti del triangolo noti tre dei suoi elementi, purché almeno uno di questi sia unlato.

Per semplicità considereremo solo risoluzioni di triangoli rettangoli.


Esercizio 8.5. Risolvere il triangolo rettangolo di ipotenusa a = 14 cm e angolo β = 60°.

Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180°si ha:

γ = α− β = 90°− 60° = 30°

Dalla 8.15 ricaviamo b:

b = a · sen(β) = 14 · sen(60°) = 14 ·√

3

2= 7√

3

Dalla 8.17 ricaviamo b:

c = a · cos(γ) = 14 · cos(30°) = 14 · 1

2= 7

8.6 Formule goniometriche

Formule di addizione e sottrazione

Spesso capita di risolvere espressioni goniometriche in cui l'argomento delle funzioni trigonome-triche non è un singolo angolo, ma la somma o la di�erenza di due angoli. Esse prendono il nomedi formule di addizione e sottrazione e sono le seguenti:

cos(α− β) = cos(α)cos(β) + sen(α)sen(β) (8.19)

cos(α+ β) = cos(α)cos(β)− sen(α)sen(β) (8.20)

sen(α+ β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β) (8.21)

sen(α− β) = sen(α)cos(β)− cos(α)sen(β) (8.22)

Dimostriamo come ricavare tali formule.

Dimostramo la formula 8.19.

Dimostrazione. Consideriamo una circonferenza goniometrica con due angoli α e β, con α > β.Siano e AOP = α e AOQ = β. Quindi α− β = QOP .Riportiamo l'angolo α− β, di�erenza di due angoli, in modo che anch'esso abbia origine in A el'altro estremo in R, come mostrato in �gura.


Per de�nizione di seno e coseno di un angolo, le coordinate dei punti A, R, Q e P sonorispettivamente:

A = (1; 0) R = (cos(α− β); sen(α− β)) Q = (cos(β); sen(β)) P = (cos(α); sen(α))

Ricordando che, in una stessa circonferenza, ad angoli al centro congruenti corrispondono cordecongruenti, possiamo dedurre che le corde AR e PQ sono congruenti.Ricordando la formula della distanza tra due punti si ha:

AR =√

(cos(α− β)− 1)2 + sen2(α− β)

PQ =√

(cos(α)− cos(β))2 + (sen(α)− sen(β))2

Poiché le due corde sono congruenti, avremo AR = PQ:√(cos(α− β)− 1)2 + sen2(α− β) =

√(cos(α)− cos(β))2 + (sen(α)− sen(β))2

Elevando ambo i membri al quadrato e sviluppando i calcoli abbiamo:

(cos(α− β)− 1)2 + sen2(α− β) = (cos(α)− cos(β))2 + (sen(α)− sen(β))2

cos2(α− β) + 1− 2cos(α− β) + sen2(α− β) = cos2(α) + cos2(β)− 2cos(α)cos(β) + sen2(α) + sen2(β)− 2sen(α)sen(β)

Utilizzando la prima formula fondamentale della trigonometria si ha: cos2(α−β)+sen2(α−β) =1, cos2(α) + sen2(α) = 1 e cos2(β) + sen2(β) = 1. Quindi:

2− 2cos(α− β) = 2− 2cos(α)cos(β)− 2sen(α)sen(β)

Da cui si ottiene la 8.19.


Dimostrazione. Cambiano β in −β nella formula 8.19 otteniamo:

cos(α− (−β)) = cos(α)cos(−β) + sen(α)sen(−β)

cos(α+ β) = cos(α)cos(β)− sen(α)sen(β)


Dimostrazione. Nella formula 8.19 al posto di α poniamo π − α. Avremo:

cos((π − α)− β) = cos(π − α)cos(β) + sen(π − α)sen(β)

cos(π − (α+ β)) = cos(π − α)cos(β) + sen(π − α)sen(β)

sen(α+ β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β)


Dimostrazione. Nella formula 8.21 cambiano β in −β e avremo:

sen(α− β) = sen(α)cos(−β) + cos(α)sen(−β)

sen(α− β) = sen(α)cos(β)− cos(α)sen(β)


Vediamo ora alcuni esercizi in cui applicare le formule di addizione e sottrazione.

Esercizio 8.6. Calcolare cos(α− β) con α = π4 e β = π

6 .

Basta applicare la 8.19:

cos(π

4− π

6) = cos(

π

4)cos(

π

6) + sen(

π

4)sen(

π

6) =

√2

2·√

3

2+

√2

2· 1

2=

√6 +√

2

4

Esercizio 8.7. Calcolare cos(α+ β) con β = π3 e cos(α) = 4

5 .

cos(α+π

3) = cos(α)cos(

π

3)− sen(α)sen(

π

3) =

4

5· 1

2− 3

5·√

3

2=

4− 3√

3

10(8.23)

Esercizio 8.8. Veri�ca l'identità:

cos(α+ β) + sen(α− β)

cos(α+ β) + cos(α− β)= tan(α)

Applichiamo le formule di addizione e sottrazione al primo membro:

sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β) + sen(α)cos(β)− cos(α)sen(β)

cos(α)cos(β)− sen(α)sen(β) + cos(α)cos(β) + sen(α)sen(β)= tan(α)

2sen(α)cos(β)

2cos(α)cos(β)= tan(α)

sen(α)

cos(α)= tan(α)

Formule di duplicazione

Altre formule molto utilizzate sono le formule di duplicazione, che esprimono il seno e il cosenodell'angolo doppio di un angolo:

sen(2α) = 2sen(α)cos(α) (8.24)

cos(2α) = cos2(α)− sen2(α) (8.25)

Dimostriamo la 8.24.

Dimostrazione. Consideriamo la formula di addizione del seno 8.21 e poniamo β = α:

sen(α+ β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β)

sen(α+ α) = sen(α)cos(α) + cos(α)sen(α)

sen(2α) = 2sen(α)cos(α)

Dimostriamo la 8.25.

Dimostrazione. Consideriamo la formula di addizione del seno 8.20 e poniamo β = α:

cos(α+ β) = cos(α)cos(β)− sen(α)sen(β)

cos(α+ α) = cos(α)cos(α)− sen(α)sen(β)

cos(2α) = cos2(α)− sen2(α)


8.7 Equazioni trigonometriche

Funzioni goniometriche inverse

Abbiamo visto la funzione di equazione

y = sen(x) (8.26)

Essendo x la misura in radianti di un generico angolo, a un valore di x corrisponde uno ed unsolo valore di y che è compreso tra −1 e 1; vi sono invece in�niti valori di xcorrispondenti ad unassegnato valore di y. Di conseguenza la funzione sen(x) non è invertibile. Se però consideriamola funzione solo all'interno dell'intervallo chiuso

[−π

2 ; π2], allora ad un assegnato valore di y resta

associato un solo valore di x, cioè x è funzione di y. In questo caso esiste la funzione inversa delseno, e viene chiamata arcoseno e si scrive:

x = arcsen(y) (8.27)

Ciò signi�ca che �x è l'angolo il cui seno è y�.

In modo perfettamente analogo si possono de�nire le funzioni inverse delle funzioni y = cos(x), y =tan(x), y = cotan(x), che sono rispettivamente:

x = arccos(y) x = arctan(y) x = arccotan(y)

Equazioni goniometriche elementari

De�nizione 8.8 (Equazione goniometrica). Un'equazione si dice goniometrica se in essa com-paiono funzioni trigonometriche nei cui argomenti compare l'incognita.

Esempio 8.8. Ecco alcuni esempi di equazioni trigonometriche:

5cos(x) = 3 sen2(x)− 3sen(x) + 2 = 0

tan(x) = sen(2x) sen(ωx+ φ) = 2cos(ωx− φ)

2x = sen(x) sen(x) = xcos(x)

Cominciamo con il considerare alcune tra le più semplici equazioni goniometriche, dette appuntoequazioni elementari, del tipo:

sen(x) = m cos(x) = n tan(x) = p

Risolvere l'equazione sen(x) = m signi�ca trovare l'angolo x il cui seno vale m. Ricordiamo chele funzioni trigonometriche sono periodiche, quindi non esisterà un solo angolo che soddisfa taleequazione, ma in�niti.

Esempio 8.9. Risolviamo l'equazione

sen(x) =1

2

Ci sono due angoli che hanno seno pari a 12 :

π6 e 5π

6 . Oltre ad essi bisogna considerare tuttigli angoli che si ottengono percorrendo uno, due, tre, ecc... giri dopo di essi sulla circonferenzagoniometrica. Quindi le soluzioni sono:

x =π

6+ 2kπ x =

5π

6+ 2kπ

Esempio 8.10. Risolviamo l'equazione

cos(x) = 2

Tale equazioni non ammette soluzioni (cioè è impossibile), perché non esiste alcun angolo x ilcui coseno è pari a 2, il coseno di un angolo assume valori solamente compresi tra −1 e 1.

Capitolo 9

Esponenziali e logaritmi

9.1 La funzione esponenziale

Abbiamo de�nito il concetto di potenza per esponenti interi e razionali. È possibile de�nire ilconcetto di potenza anche per esponenti irrazionali con base positiva, quindi per tutti i numerireali con base positiva.

De�nizione 9.1 (Funzione esponenziale). Si de�nisce funzione esponenziale di base a, cona positivo e diverso da 1, la funzione:

y = ax con a > 0, a 6= 1 (9.1)

Esempio 9.1. Alcuni esempi di funzioni esponenziali:

y = 2x y =

(1

3

)xy = 4−3x =

(4−3)x

Poiché la base a per de�nizione è positiva, il gra�co sarà sempre al di sopra dell'asse x e inter-secherà l'asse y nel punto (0, 1).Facendo delle prove numeriche, si può osservare che nel caso a > 1 la funzione risulta crescente:al crescere dei valori attribuiti ad x crescono anche i corrispondenti valori di y. Invece nel caso0 < a < 1 la funzione risulta decrescente, come mostrato in �gura:

Esiste un valore della base della funzione esponenziale particolarmente interessante: si tratta delnumero di Nepero, un numero irrazionale che si indica con la lettera e e le cui prime cifredecimali sono: 2, 718281 . . . .

114

CAPITOLO 9. ESPONENZIALI E LOGARITMI 115

9.2 Equazioni esponenziali

De�nizione 9.2 (Equzione esponenziale). Un'equazione si dice esponenziale quando l'incognitacompare nell'esponente di almeno una potenza.

Esempio 9.2. Alcuni esempi di equazioni esponenziali:

23x−5 = 8 3x = 7 9e3x = 10x− 2

Osservazione 9.1. Non sono equazioni esponenziali:

x√3 e5 = 6x e0,4 = −2x

Equazioni esponenziali elementari

Le equazioni esponenziali più semplici sono quelle elementari, che si presentano nella forma:

ax = b con a > 0, a 6= 1 (9.2)

Quante soluzioni ammette un'equazione esponenziale elementare?Osserviamo che risolvere l'equazione 9.2 equivale a determinare, se esiste, l'intersezione fra ilgra�co della dunzione esponenziale y = ax e la retta y = b. Quindi, dal gra�co:

� se b ≤ 0 l'equazione è impossibile poiché la retta non interseca la funzione esponenziale;

� se b > 0 l'equazione ammette una soluzione poiché la retta interseca la funzione esponen-ziale in un punto.

Per risolvere le equazioni esponenziali elementari è su�ciente conoscere le potenze e le loroproprietà.

Esempio 9.3. Risolvere l'equazione(32

)x= 9

4 .

L'equazione ammette come unica soluzione x = 2.


)x= −1.

L'equazione ammette come unica soluzione x = −1.

Esempio 9.5. Risolvere l'equazione 3x = −1.

L'equazione è impossibile poiché una potenza con base positiva è sempre positiva.


)x= 1.

L'equazione ammette come unica soluzione x = 0.

Esempio 9.7. Risolvere l'equazione 3−x = 0.

L'equazione è impossibile poiché una potenza con base diversa da zero non è mail nulla.


Equazioni riconducibili alla forma af(x) = ag(x)

Esistono alcune tecniche particolari che permettono di risolvere alcune equazioni esponenziali.Una delle teniche basilari consiste nel cercare di ricondurre l'equazione alla forma:

af(x) = ag(x) con a > 0, a 6= 1 (9.3)

cioè all'uguaglianza di potenze con la stessa base.Infatti, poiché due potenze aventi la stessa base sono uguali se e solo se è uguale l'esponente,l'equazione è equivalente a f(x) = g(x).

Esempio 9.8. Risolvere l'equazione 23x−5 = 8.

Poiché 8 = 23 possiamo esprimere i due membri dell'equazione in base 2:

23x−5 = 23

3x− 5 = 3

x =8

3

Esempio 9.9. Risolvere l'equazione 16x = 2√

2.

Anche in questo caso possiamo esprimere i due membri come potenze di 2:

(24)x = 2 · 212

24x = 21+12

4x =3

2

x =3

8

Esempio 9.10. Risolvere l'equazione 9x ·√

3x−1 = 132x+3 .

Poiché 9 = 32 cerchiamo di ricondurci all'uguaglianza di potene di base 3:

(32)x · 3x−12 = 3−(2x+3)

32x+x−12 = 3−2−3

2x+x− 1

2= −2x− 3

4x+ x− 1 = −4x− 6

9x = −5

x = −5

9

9.3 Disequazioni esponenziali

De�nizione 9.3 (Disequazione esponenziale). Una disequazione si dice esponenziale se l'in-cognita compare nell'esponente di almeno una potenza.

Esaminiamo disequazioni esponenziali elementari, cioè della forma:

ax > b

Analizzando i gra�ci della funzione esponenziale y = ax e della retta y = b osserviamo che sipossono veri�care i seguenti casi:


� se b ≤ 0 l'equazione è impossibile oppure sempre veri�cata;

Esempio 9.11. La disequazione 2x < −1 è impossibile poiché il gra�co dell'esponenzialenon è mai �al di sotto� di quello della retta.Possiamo arrivare alla stessa conclusione algebricamente osservando che una potenza dibase positiva non può mai essere negativa.Se invece la disequazione fosse 2x > −1 sarebbe sempre vera poiché il gra�co dell'esponen-ziale è sempre �al di spra� di quello della retta.Algebricamente possiamo osservare che la potenza di un numero positivo è sempre positiva,quindi maggiore di −1.

� se b > 0 si possono presentare due casi:

� se 0 < a < 1 e b si può scrivere come potenza di a, equivale a una disequazione diverso opposto tra gli esponenti;

Esempio 9.12. La disequazione(12

)x< 4 è veri�cata per x > −2 poiché il gra�co

dell'esponenziale è �al di sotto� di quello della retta per x > −2.Algebricamente la disequazione equivale a

(12

)x<(12

)−2, che è veri�cata per x > −2.

� se a > 1 e b si può scrivere come potenza di a, equivale a una disequazione dello stessoverso tra gli esponenti.

Esempio 9.13. La disequazione 3x > 1 è vera per x > 0 poichè il gra�co dellafunzione esponenziale è �al di sopra� di quello della retta per x > 0.Algebricamente la disequazione equivale a 3x > 30, che è veri�cata per x > 0.

Esempio 9.14. Risolvere la disequazione(34

)x ≥ 169 .(

3

4

)x≥ 16

9(3

4

)x≥(

3

4

)−2x ≤ −2

Esempio 9.15. Risolvere la disequazione 22 ≥√

2.

22 ≥√

2

2x ≥ 212

x ≥ 1

2

Esempio 9.16. Risolvere la disequazione(12

)x ≥ 0.

Al primo membro abbiamo una potenza con base positiva, quindi è sempre positiva, perciò ladisequazione è veri�cata per ogni x ∈ R.

Esempio 9.17. Risolvere la disequazione 8−x ≤ −1.

La disequazione ha base positiva, quindi non può mai essere negativa, perciò la disequazione èimpossibile.


9.4 La funzione logaritmica

Abbiamo visto che, se b > 0, l'equazione elementare ax = b ammette un'unica soluzione. Talesoluzione è il numero al quale bisogna elevare a per ottenere b, e viene chiamato logaritmo.

De�nizione 9.4 (Logaritmo). Dati due numeri reali a, b > 0, con a 6= 1, si de�nisce logaritmo

in base a del numero b, e si indica con logab, l'esponente al quale si deve elevare la base a perottenere b. Il numero b è detto argomento del logaritmo. In simboli:

x = logab ⇔ ax = b

Esempio 9.18.

log56 ⇔ 5x = 6

In alcuni casi è possibile calcolare il valore di un logaritmo utilizzando la de�nizione.

Esempio 9.19. Calcolare il logaritmo log28.

Per calcolare tale logaritmo ci chiediamo a quale esponente dobbiamo elevare 2 per ottenere 8,quindi risolvere 2x = 8. La risposta è 3, quindi x = 3.

Osservazione 9.2. loga1 = 0 ∀a > 0, a 6= 1

Osservazione 9.3. logaa = 1 ∀a > 0, a 6= 1

Le basi dei logaritmi possono essere diverse, le più utilizzate sono: la base 10 e la base e. Illogaritmo in base e viene detto naturale e lo indicheremo con lnx.

De�nizione 9.5 (Funzione logaritmica). Si de�nisce funzione logaritmica ogni funzionede�nita da un'equazione del tipo y = logax, con a > 0, a 6= 1.

Osserviamo che tale funzione è de�nita solamente per valori positivi di x.Tracciandone il gra�co si può osservare che la funzione logaritmica è l'inversa della funzioneesponenziale.


9.5 Proprietà dei logaritmi

Dalla de�nizione di logaritmo e dalle proprietà delle potenze si possono dedurre le prorpietà deilogaritmi.

Teorema 9.5.1 (Logaritmo di un prodotto, di una potenza e di un quoziente). Sia a ∈ R+\{1}.Valgono le seguenti proprietà:

loga(bc) = logab+ logac ∀b ∈ R+, c ∈ R+ (9.4)

loga(bc) = c · logab ∀b ∈ R+, c ∈ R (9.5)

loga

(b

c

)= logab− logac ∀b ∈ R+, c ∈ R+ (9.6)

Esempio 9.20.

logx3

yz2=

=logx3 − log(yz2) =

=3logx− (logy + logz2) =

=3logx− logy − logz2 =

=3logx− logy − 2logz

Cambiamento di base

Le calcolatrici, solitamente, permettono di calcolare solo logaritmi in base 10 o naturali. Pertale motivo può essere utile la formula del cambiamento di base di un logaritmo, in modo dapoter trasformare un logaritmo qualunque in una delle due basi più comuni e calcolarlo con lacalcolatrice.

Teorema 9.5.2 (Cambiamento di base di un logaritmo). Siano a, b, c ∈ R+, con a 6= 1, c 6= 1.Allora vale la seguente formula:

logab =logcb

logca(9.7)

Esempio 9.21. Determinare, con l'aiuto di una calcolatrice, un valore approssimato di log37.

Poiché il logaritmo è in base 3 conviene cambiargli la base. Trasformiamolo in un logaritmonaturale:

log37 =ln7

ln3

9.6 Equazioni logaritmiche

De�nizione 9.6 (Equazione logaritmica). Si de�nisce equazione logaritmica ogni equazionein cui l'incognita compare nell'argomento di almeno un logaritmo.

Esempio 9.22. Sono equazioni logaritmiche:

log3(x− 1) = log3x+ 5 ln(x2 + 2) = 3x


Osservazione 9.4. Non sono equazioni logaritmiche:

x+ log32 = 5 log23 = x+ 7

Utilizzando la de�nizione di logaritmo è facile risolvere equazioni del tipo logaf(x) = b poiché:

logaf(x) = b ⇔ f(x) = ab (9.8)

Esempio 9.23. Risolvere l'equazione log4x = 12 .

In base alla de�nizione di logaritmo abbiamo:

log4x =1

2x = 412

x =√

4

x = 2

Se in una equazione logaritmica l'incognita compare in più di un logaritmo il primo passo perrisolverla consiste nell'imporre che tutti gli argomenti dei logaritmi siano positivi. Dopo ciòsi utilizzano le proprietà dei logaritmi per ricondurci al caso precedente, oppure ad una equa-zione del tipo logaf(x) = logag(x), che è equivalente a f(x) = g(x). In�ne bisogna discuterel'accettabilità delle soluzioni trovate in relazione alle condizioni di esistenza.

Esempio 9.24. Risolvere l'equazione log2x+ log2(2− x) = log2(2x− 1).

Per prima cosa imponiamo che tutti gli argomenti dei logaritmi siano positivi:x > 02− x > 02x− 1 > 0

⇒ . . . ⇒ 1

2< x < 2

Ora riconduciamo ad un'equazione che sappiamo risolvere:

log2x+ log2(2− x) = log2(2x− 1)

log2[x(2− x)] = log2(2x− 1)

2x− x2 = 2x− 1

x2 = 1

x = ±1

Le soluzioni trovate ora vanno confrontate con i valori esclusi poiché gli argomenti dei logaritmidevono essere positivi. Osserviamo che x = −1 non è accettabile, quindi l'unica soluzione èx = 1.

9.7 Disequazioni logaritmiche

De�nizione 9.7 (Disequazione logaritmica). Si de�nisce disequazione logaritmica ogni di-sequazione in cui l'incognita compare nell'argomento di almeno un logaritmo.


Come risolvere una disequazione logaritmica?In generale per prima cosa bisogna imporre che gli argomenti dei logaritmi siano positivi.Successivamente si cerca, mediante le proprietà dei logaritmi, di ricondursi ad una disequazionedella forma:

logaf(x) < logag(x)

o ad una forma analoga in cui, al posto del segno < compare >,≥ o ≤. Poi si risolve ladisequazione equivalente fra gli argomenti. Bisogna però fare attenzione al fatto che la funzionelogaritmica è crescente se a > 1, decrescente se 0 < a < 1, quindi la disequazione a cui si è giuntiè equivalente:

� a una disequazione dello stesso verso se a > 1;

� a una disequazione del verso opposto se 0 < a < 1,

Risolvendo la disequazione ottenuta e analizzando l'accettabilità delle soluzioni trovate, si otten-gono le soluzioni della disequazione iniziale.

Esempio 9.25. Risolvere la disequazione log3x > 12 .

Per prima cosa imponiamo che l'argomento del logaritmo sia positivo, quindi: x > 0.Poi sfruttiamo la de�nizione di logaritmo:

log3x >1

2

log3x > log3√

3

x >√

3

Confrontando con la condizione x > 0 possimo concludere che la soluzine è x >√

3.

Esempio 9.26. Risolvere la disequazione log 12x ≥ −1.

Per prima cosa imponiamo che l'argomento del logaritmo sia positivo, quindi: x > 0.Poi sfruttiamo la de�nizione di logaritmo:

log 12x ≥ −1

log 12x ≥ log 1

22

x ≤ 2

Confrontando con la condizione x > 0 possimo concludere che la soluzine è 0 < x ≤ 2.

Appunti di Matematica - Sonia...

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