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APPUNTI DI MATEMATICA

CENNI DI RICERCA OPERATIVA

ALESSANDRO BOCCONI

Indice

1 La ricerca operativa 2

1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Le fasi della ricerca operativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 La creazione di un modello matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 La funzione obiettivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Classificazione dei problemi di scelta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Problemi di scelta con piu variabili (solo caso discreto) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.7 Problemi di scelta con un’unica variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7.1 Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia una retta . . . . . 7

1.7.2 Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia una parabola . . . 9

1.7.3 Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia espressa da piufunzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8 Problemi di scelta fra piu alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8.1 Problemi fra piu alternative con scelta fra funzioni obiettivo dello stesso tipo 15

1.8.2 Problemi fra piu alternative con scelta fra funzioni obiettivo di tipo diverso . 19

1.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1

Capitolo 1

La ricerca operativa

1.1 Introduzione

“La ricerca operativa fornisce strumenti matematici di supporto alle attivita decisionali in cuioccorre gestire e coordinare attivita e risorse limitate al fine di massimizzare o minimizzare unafunzione obiettivo.” (tratto da wikypedia).

La ricerca operativa, nata durante la seconda guerra mondiale per obiettivi militari, e ormai diven-tata parte integrante delle metodologie adottate dalle varie organizzazioni al fine di ottimizzare irisultati.

1.2 Le fasi della ricerca operativa

Essa si articola in cinque fasi:

1. la definizione degli obiettivi che si vogliono conseguire: ad esempio massimizzare unprofitto, minimizzare una perdita, minimizzare un tempo di percorrenza e cosı via.

2. la raccolta delle informazioni necessarie per raggiungere gli obiettivi stabiliti.

3. la creazione di un modello matematico, cioe una “traduzione” in forma matematica delproblema.

4. la risoluzione delle espressioni matematiche espresse nel modello.

5. la verifica se le soluzioni ottenute sono accettabili e compatibili con la situazione reale.

1.3 La creazione di un modello matematico

Nei problemi che affronteremo il testo del problema ci fornira sia cio che vogliamo determinare (ilpunto 1) sia tutte le informazioni necessarie per arrivarci (il punto 2).

Noi dovremo costruire un modello matematico (punto 3), risolverlo (punto 4) e verificare la com-patibilita delle soluzioni ottenute (punto 5).

Spesso la maggiore difficolta della ricerca operativa risiede proprio nella costruzione di un modellomatematico (che ancora non abbiamo definito cos’e). Consideriamo i seguenti:

Alessandro Bocconi 3

Esempi

. Nel 2007 per motivi di lavoro Luigi ha noleggiato varie volte una fresa, spendendo ogni volta 24euro. Rappresenta con un’espressione matematica quanto ha speso di noleggio della fresa nel 2007.

Ovviamente non possiamo dare la risposta in euro perche non sappiamo quante volte Luigi hanoleggiato la fresa: se l’avesse noleggiata una volta avrebbe speso 24 · 1 euro di noleggio, se l’avessenoleggiata due volte avrebbe speso 24 · 2 = 48 euro di noleggio, se l’avesse noleggiata tre volteavrebbe speso 24 · 3 = 72 euro di noleggio e cosı via. Dal momento che non sappiamo quante volteha noleggiato la fresa indichiamo con una lettera, generalmente la x, il numero di volte che Luigiha noleggiato la fresa.

Possiamo quindi rappresentare in forma matematica le spese del noleggio effettuate da Luigi nel2007:

x = numero di noleggi, 24 euro il costo di ogni noleggio quindi le spese di noleggio sono 24 · x chegeneralmente scriviamo 24x.

Osserviamo che la variabile (o le variabili) di un modello matematico spesso non puo (possono)assumere qualunque valore reale: in tal caso si dice che le variabili sono sottoposte a vincoli.

I vincoli possono essere:

• di segno (se le variabili possono essere anche negative o no).

• di interezza (se le variabili possono assumere anche valori decimali o no).

• tecnici (sono quelli dettati dal problema che vedremo meglio in seguito)

Tornando all’ultimo esempio osserviamo che x non puo essere negativo (non si puo noleggiare unafresa −4 volte!), cosı come non puo essere decimale. Allo stesso tempo il problema non ci imponenessun vincolo tecnico. Quindi abbiamo:

24x = spesa di Luigi di noleggio{x ≥ 0 vincolo di segno

x intero

che rappresenta il modello matematico del problema.

Possiamo quindi dare la seguente:

Definizione di modello matematico. Per modello matematico si intende la rappresentazionedi una situazione reale tramite:

• l’individuazione di una o piu variabili specificando cosa rappresentano.

• l’espressione matematica che rappresenta il problema

• l’individuazione dei vincoli

�

. In un cinema di capienza massima di 120 persone, gli adulti pagano 7 euro e i bambini 5 euro.Scrivi il modello matematico dell’incasso del cinema il giorno 23 marzo 2012.

Le due variabili sono il numero degli adulti e il numero dei bambini che sono andati quel giorno alcinema. Se ad esempio ci fossero andati 60 adulti e 42 bambini l’incasso sarebbe di 60·7+42·5 = 630euro. Il modello risulta quindi:

x1 = numero degli adulti x2 = numero dei bambini


Espressione matematica che rappresenta l’incasso: 7x1 + 5x2

Vincoli:x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 vincolo di segno

x1, x2 interix1 + x2 ≤ 120 vincolo tecnico

Si osservi che il vincolo tecnico e dovuto al fatto che la capienza massima del cinema e di 120persone e che quindi adulti piu bambini insieme non possono superare quel numero.

1.4 La funzione obiettivo

Nel precedente paragrafo abbiamo descritto delle situazioni: cosı nell’esempio del cinema abbiamoscritto l’espressione matematica dell’incasso in un certo giorno. E naturale, soprattutto se fossimoi proprietari del cinema, che l’obiettivo e quello di ottenere il massimo incasso possibile. Dalmomento che tale obiettivo dipende (o meglio e in funzione) delle variabili, l’espressione matematicache rappresenta la situazione viene chiamata funzione obiettivo e indicata convenzionalmente conla lattera maiuscola G.

Per evidenziare la dipendenza dalle variabili della funzione obiettivo, dopo la lettera G, fra parentesi,si mettono i nomi delle variabili che descrivono il problema. Quindi nell’esempio della fresa avremmoavuto la funzione obiettivo:

G(x) = 24x si legge gi di x

mentre nell’esempio del cinema la funzione obiettivo risulta:

G(x1, x2) = 7x1 + 5x2 si legge gi di x1 e x2

Quindi per determinare un modello matematico dobbiamo:

• individuare una o piu variabili che rappresentano il problema.

• determinare la funzione obiettivo.

• individuare i vincoli

Esempio

. Un pescatore vende ad un ristorante le orate a 10 euro al chilo e le spigole a 12 euro al chilo. Ilristorante non compra mai piu di 10kg di pesce. Descrivi il modello matematico che rappresenta ilguadagno del pescatore.

Individuiamo le variabili: x1 rappresenta i chili di orate che vende e x2 i chili di spigole.

La funzione obiettivo risulta quindi:

G(x1, x2) = 10x1 + 12x2

le variabili devono sottostare ai seguenti vincoli:{x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 vincolo di segno

x1 + x2 ≤ 10 vincolo tecnico

Osserviamo che non c’e il vincolo di interezza in quanto possono essere venduti anche frazioni dichilo di pesce.

�


1.5 Classificazione dei problemi di scelta

I problemi che affronteremo vengono detti problemi di scelta, in quanto la loro risoluzione dovrebbefornire le indicazioni giuste per compiere la scelta migliore.

Ovviamente tali problemi sono spesso estremamente complessi sia nel reperimento delle informa-zioni corrette (fase che a noi non interessa), sia nella costruzione del modello matematico, sia nellasua risoluzione.

Noi tratteremo situazioni semplificate che rimangono tuttavia estremamente significative e istruttiveper comprendere sia il metodo di risoluzione, sia per avere le basi per gestire nel futuro problemipiu complessi.

Un’importante caratterizzazione dei problemi di scelta e data dal fatto se la variabile (o le variabili)in questione puo assumere o meno valori decimali. In particolare:

Definizione di problema discreto e continuo. Un problema si dice continuo se la variabile (ole variabili) puo assumere anche valori decimali, mentre si dice discreto se la variabile (o le variabili)puo assumere solo valori interi.

�

Noi tratteremo:

1. Problemi di scelta con piu variabili (solo caso discreto)

2. Problemi di scelta con un’unica variabile:

• Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia una retta

• Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia una parabola

• Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia espressa da piu funzioni

• Problemi fra piu alternative con scelta fra funzioni obiettivo dello stesso tipo

• Problemi fra piu alternative con scelta fra funzioni obiettivo di tipo diverso

1.6 Problemi di scelta con piu variabili (solo caso discreto)

Affrontiamo questo caso tramite un esempio:

Esempi

. Un camionista ha un camion che ha una portata massima di 10 tonnellate e deve trasportaredelle casse: alcune contengono piombo e altre contengono ferro. Le casse contenenti piombo pesano3 tonnellate e quelle contenenti ferro 4 tonnellate. Per ogni cassa di piombo trasportata viene pagato80 euro e per ogni cassa di ferro viene pagato 150 euro. Che carico deve fare per avere il massimoguadagno?

Cominciamo con definire le variabili:

x1 = numero di casse di piombo x2 = numero di casse di ferro

Vincoli:

{x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 vincolo di segno

x1, x2 interi

Quindi stiamo affrontando un problema discreto (le variabili sono intere) a 2 variabili.


Consideriamo anche il vincolo tecnico: dal momento che il camion non puo trasportare piu di 10tonnellate deve risultare che

3x1 + 4x2 ≤ 10 vincolo tecnico

La funzione obiettivo che rappresenta il guadagno e:

G(x1, x2) = 80x1 + 150x2

Consideriamo adesso le coppie di valori (x1, x2) ammissibili (cioe che rispettano i vincoli): quindidevono essere maggiori o uguali a zero e intere. Inoltre osserviamo che, data la portata del camion,il numero massimo di casse di piombo e 3 (se fossero 4 dato che il peso di una cassa e 3 tonnellaterisulterebbero 3 · 4 = 12 tonnellate quindi superiore alla portata del camion) mentre quelle di ferroe 2 (se fossero 3 dato che il peso di una cassa e 4 tonnellate risulterebbero 4 · 3 = 12 tonnellatequindi superiore alla portata del camion). Quindi se x1 e 3, x2 deve essere per forza zero. Se x1 e2 x2 puo essere al massimo 1. Anche se x1 e 1, x2 puo essere al massimo 1, mentre se x1 e 0, x2puo essere 2.

Calcoliamoci allora il valore della funzione obiettivo, dando a x1 e a x2 i valori esaminati adesso:

x1 x2 G(x1, x2)

3 0 G(3, 0) = 80 · 3 + 150 · 0 = 240

2 1 G(2, 1) = 80 · 2 + 150 · 1 = 310

1 1 G(1, 1) = 80 · 1 + 150 · 1 = 230

0 2 G(0, 2) = 80 · 0 + 150 · 2 = 300

(dove con la scritta G(3, 0) si intende il valore che assume la funzione obiettivo G se nella suaespressione al posto di x1 scriviamo 3 e al posto di x2 scriviamo 0).

Si osserva che il guadagno maggiore si ottiene con due casse di piombo e una di ferro che e quindila risposta del nostro problema.

. Un artigiano impiega 3 ore di lavoro per costruire un tavolo, 2 ore di lavoro per costruire unasedia e 4 ore di lavoro per costruire una madia. Dal tavolo ricava 150 euro, da una sedia 80 euro e220 euro da una madia. Considerato che una giornata di lavoro e costituita da 8 ore e che l’artigianonon vuole lasciare alla fine della giornata lavori ammezzati, cosa deve costruire in una giornata peravere il massimo ricavo?

Cominciamo con definire le variabili:

x1 = numero di tavoli costruiti x2 = numero di sedie x3 = numero di madie

Vincoli:

{x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 vincolo di segno

x1, x2, x3 interi

Quindi stiamo affrontando un problema discreto (le variabili sono intere) a 3 variabili.

Consideriamo anche il vincolo tecnico: dal momento che la giornata e costituita da 8 ore lavorative:

3x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 8 vincolo tecnico

La funzione obiettivo che rappresenta il guadagno e:

G(x1, x2x3) = 150x1 + 80x2 + 220x3

Consideriamo adesso le terne di valori (x1, x2, x3) ammissibili (cioe che rispettano i vincoli) ecalcoliamoci il valore della funzione obiettivo in corrispondenza delle suddette terne:


x1 x2 x3 G(x1, x2, x3)

2 1 0 G(2, 1, 0) = 150 · 2 + 80 · 1 + 220 · 0 = 380

1 0 1 G(1, 0, 1) = 150 · 1 + 80 · 0 + 220 · 1 = 370

1 2 0 G(1, 2, 0) = 150 · 1 + 80 · 2 + 220 · 0 = 310

0 4 0 G(0, 4, 0) = 150 · 0 + 80 · 4 + 220 · 0 = 320

0 2 1 G(0, 2, 1) = 150 · 0 + 80 · 2 + 220 · 1 = 380

0 0 2 G(0, 0, 2) = 150 · 0 + 80 · 0 + 220 · 2 = 440

Si osserva che il guadagno maggiore l’artigiano lo ottiene costruendo 2 madie e nessuna sedia etavolo.

�

1.7 Problemi di scelta con un’unica variabile

1.7.1 Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia una retta

Prima di procedere dobbiamo ricordare alcune definizioni:

• col termine costo si intendono le spese sostenute. Si dividono in:

– costi fissi: quelli indipendenti dalla quantita x di beni venduti o prodotti

– costi variabili: quelli che invece dipendono dalla quantita x di beni venduti o prodotti

– costi totali: la somma dei costi fissi con quelli variabili

• col termine ricavo si intende quello che si ottiene dalla vendita dei prodotti.

• col termine guadagno si intende la differenza fra il ricavo e il costo.

Premesso questo consideriamo i seguenti:

Esempi Un lattaio acquista il latte sfuso a 0, 6 euro al litro e lo rivende a 1, 4 euro al litro.Giornalmente spende 10 euro di trasporto e la damigiana in cui tiene il latte ha capienza massimadi 30 litri. I litri invenduti non rappresentano un costo perche il lattaio puo renderli al suo fornitore.Quanti litri di latte deve vendere per avere il massimo guadagno? A quanto corrisponde il massimoguadagno? A quanti litri venduti si verifica il pareggio di bilancio cioe costi uguale a ricavi, cioeguadagno uguale a zero?

Indichiamo con x la quantita di litri venduti. Acquistando e vendendo il latte sfuso x non deveessere intero, pertanto il problema e continuo ad un’unica variabile.

Scriviamo i vincoli:

{x ≥ 0 vincolo di segno

x ≤ 30 vincolo tecnico dovuto alla capienza della damigiana

Costi fissi: 10 euro di trasporto (indipendenti dalla quantita x di latte venduto)

Costi variabili: 0, 6 euro al litro per la quantita x di litri venduti, quindi 0, 6x

Costi totali: costi variabili piu costi fissi: 0, 6x + 10

Ricavi: 1, 4 euro al litro per la quantita x di litri venduti, quindi: 1, 4x

Guadagno: Ricavi− costi totali: 1, 4x− (0, 6x + 10) = 0, 8x− 10

Pertanto la nostra funzione obiettivo da rendere massima e: 0, 8x− 10.


x (l)

y (€)(30;14)

(0;-10)

u=5 x=30 x=0

y=0,8x-10

Punto in cui i ricaviequivalgono ai costi

Zona di perdita

Zona di guadagno

Figura 1.1: La x rappresenta la quantita di latte venduto, mentre y rappresenta il guadagno dellattaio

Dal momento che vogliamo usare una rappresentazione sul piano cartesiano indichiamo la nostrafunzione obiettivo con la lettera y ottenendo:

y = 0, 8x− 10

che e l’equazione di una retta in forma esplicita.

Inoltre, a causa dei vincoli, il valore minimo di x e x = 0 e il valore massimo e x = 30.

Vogliamo rappresentare su un piano cartesiano sia la retta della funzione obiettivo (y = 0, 8x− 10)sia le rette definite dai vincoli (x = 0 e x = 30).

Dagli studi sulla geometria analitica ricordiamo che per disegnare una retta e sufficiente conoscerele coordinate di 2 suoi punti (dal momento che per 2 punti passa una e una sola retta). Diamoquindi a x due valori qualunque e ricaviamoci i relativi valori di y (e consigliabile dare ad x il valoreminimo e massimo che puo assumere). Pertanto:

x y

0 -1030 14

quindi la retta della funzione obiettivo passa per i punti di coordinate (0;−10) e (30; 14).

Inoltre la retta x = 0 e l’equazione di una retta parallela all’asse delle y che interseca l’asse dellex nel punto di ascissa x = 0 (quindi e l’asse y), mentre la retta x = 30 e l’equazione di una rettaparallela all’asse delle y che interseca l’asse delle x nel punto di ascissa x = 30.

La figura 1.1 descrive la situazione.

Innanzitutto osserviamo che la retta ha il valore massimo della y (e quindi il massimo guadagno)in corrispondenza del massimo valore che puo assumere x cioe 30.

Pertanto la risposta alla domanda: “quanti litri di latte deve vendere il lattaio per avere il massimoguadagno?” e: 30 litri.

La risposta alla domanda: “Quanto e il massimo guadagno?” si ottiene sostituendo nella funzioneobiettivo y = 0, 8x− 10 alla x il valore 30 ottenendo y = 14. Pertanto il massimo guadagno e: 14euro.

Per rispondere alla domanda: “A quanti litri venduti si verifica il pareggio di bilancio cioe i costisono uguali ai ricavi, cioe il guadagno e uguale a zero?” bisogna sostituire nella funzione obiettivo


alla y (che rappresenta il guadagno) il valore 0:

0 = 0, 8x− 10→ 0, 8x− 10 = 0→ 0, 8x = 10→ x =10

0, 8→ x = 12, 5

quindi il pareggio di bilancio si ottiene se vengono venduti 12, 5 litri di latte.

Osservazione Da un punto di vista della geometria analitica, tale valore corrisponde all’ascissadel punto di intersezione fra l’asse delle x (che ha equazione y = 0) e la retta funzione obiettivo(y = 0, 8x− 10). Infatti, dato che l’intersezione si determina mettendo a sistema le equazioni delledue rette abbiamo:{

y = 0y = 0, 8x− 10

{y = 0

0 = 0, 8x− 10

{y = 0

0, 8x = 10

{y = 0

x = 12, 5

�

Riassumendo possiamo quindi dire che il lattaio:

• e in perdita se vende meno di 12,5 litri

• e in pareggio se vende esattamente 12,5 litri

• realizza un guadagno se vende piu di 12,5 litri

• realizza il massimo guadagno (14 euro), se vende tutti e 30 i litri di latte

�

Definizione di break even point (bep). Il punto che divide la zona di perdita dalla zona diguadagno si chiama break even point.

�

1.7.2 Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia una parabola

Affrontiamo anche questo caso tramite un esempio.

. Un’azienda vinicola spende 2 euro per ogni litro di vino prodotto. Al giorno sostiene dei costifissi di 40 euro. Ogni litro viene venduto a 4,5 euro e la ditta sostiene spese di vendita, per ognilitro, pari a 1

50 dei litri venduti. Descrivere l’andamento del guadagno giornaliero in funzione deilitri venduti. (Per risolvere questo problema risultera utile la calcolatrice)

Prestiamo particolare attenzione alla costruzione del modello matematico.

Indichiamo con x la quantita di litri venduti. L’unico vincolo a cui e soggetto x e il vincolo di segnocioe: x ≥ 0. (Osserviamo che non sono presenti vincoli tecnici e che x puo anche non essere intero.Il problema e quindi continuo).

I ricavi sono: numero di litri venduti moltiplicato il costo al litro, quindi 4, 5x.

I costi fissi sono: 2x + 40.

Inoltre ci sono le spese di vendita : dal momento che per ogni litro la spesa e di 150 dei litri venduti

(cioe x), si ha che al litro spende 150x. Per avere le spese di vendita totali 1

50x va moltiplicato per ilitri venduti (x). Quindi le spese di vendita totali risultano:

1

50x · x =

1

50x2


62,5

38,13

y(€)

x(l)106,1618,84

-40

Figura 1.2: Nei valori di x in cui la parabola e sotto l’asse delle ascisse, la ditta e in perdita. Neivalori di x in cui la parabola e sopra l’asse delle ascisse, la ditta guadagna.

La funzione obiettivo del guadagno (ricavi − costi) risulta quindi:

y = 4, 5x− (2x + 40)− 1

50x2 → y = − 1

50x2 + 2, 5x− 40

Da un punto di vista della geometria analitica la funzione obiettivo e una parabola; inoltre, essendoil coefficiente di x2 negativo, questa parabola ha la concavita rivolta verso il basso.

Determiniamo le intersezioni con l’asse x risolvendo l’equazione:

− 1

50x2 + 2, 5x− 40 = 0

risulta che:4 = b2 − 4ac = 3, 05

quindi le soluzioni, approssimate, risultano

x1 = 18, 84 x2 = 106, 16

Determiniamo adesso l’ascissa del vertice determinando il punto medio fra x1 e x2:

xv =18, 84 + 106, 16

2= 62, 5

tramite xv determiniamo l’ordinata del vertice sostituendo nell’equazione della parabola a x il valoredi xv (cioe 62,5):

yv = − 1

5062, 52 + 2, 5 · 62, 5− 40 = 38, 13

Determiniamo anche l’intersezione con l’asse delle y sostituendo ad x il valore zero nell’equazionedella parabola ottenendo:

y = −40

Rappresentiamo questa situazione nel grafico di figura 1.2

Possiamo quindi effettuare la seguente analisi:

• se l’azienda vende 0 litri e in perdita di 40 euro

• se l’azienda vende meno di 18,84 litri e in perdita


62,5

38,13

y(€)

x(l)106,1618,84

-40

x=100

Figura 1.3: La retta verticale di equazione x = 100 rappresenta il vincolo tecnico.

• se vende 18,84 litri e in pareggio

• se vende fra 18,84 litri e 106,16 litri l’azienda guadagna: in particolare realizza il massimoguadagno vendendo 62,5 litri e guadagnando 38,13 euro.


• se vende piu di 106,16 litri e in perdita

Dal grafico si osserva inoltre che la funzione obiettivo cresce fra 0 fino a 62, 5 litri. A 62, 5 litriottiene il massimo guadagno e poi decresce. E ovvio quindi che in questa situazione alla ditta nonconviene produrre piu di 62, 5 litri.

. Consideriamo sempre lo stesso problema dell’azienda vinicola aggiungendo pero che non puoprodurre piu di 100 litri al giorno.

L’unica differenza rispetto all’esempio precedente e la presenza del vincolo tecnico x ≤ 100.Evidenziamo questo vincolo nella figura 1.3.

Da un punto di vista dell’analisi della situazione cambia molto poco infatti:




• se vende fra 18,84 litri e 100 litri l’azienda guadagna: in particolare realizza il massimoguadagno vendendo 62,5 litri e guadagnando 38,13 euro.

Ovviamente in questo caso l’analisi si ferma a 100 litri per la presenza del vincolo di produzione.Notiamo pero che questo vincolo non provoca grossi cambiamenti perche, come gia osservato, alladitta non conviene produrre piu di 62,5 litri di vino al giorno.

. Consideriamo ancora lo stesso problema dell’azienda vinicola cambiando il limite massimo diproduzione in 50 litri al giorno.

Evidenziamo questo vincolo nella figura 1.4.

L’analisi della situazione diventa:


35

y(€)

x(l)106,1618,84

-40

x=50

Figura 1.4: Il vincolo tecnico “impedisce” alla funzione obiettivo di raggiungere il massimo.




• se vende fra 18,84 litri e 50 litri l’azienda guadagna: in particolare realizza il massimoguadagno vendendo 50 litri e guadagnando 35 euro.

Osserviamo che questa volta il vincolo tecnico produce grossi cambiamenti nell’analisi economica:infatti non potendo raggiungere una produzione di 62,5 litri giornalieri, il massimo guadagno lo siottiene producendo il maggior numero di litri consentiti cioe 50 con un guadagno di 35 euro.

. Consideriamo nuovamente lo stesso problema senza vincoli tecnici (come il primo esempio).Aggiungiamo pero che la ditta vende bottiglie da un litro di vino.

Quindi con x stavolta indichiamo il numero di bottiglie di vino vendute (che sono da un litro equindi apparentemente equivale al numero di litri di vino, con la differenza sostanziale che il numerodi bottiglie deve essere intero).

Siamo quindi di fronte a un problema discreto.

In precedenza il massimo guadagno era realizzato vendendo giornalmente 62, 5 litri di vino. Nelcaso delle bottiglie bisogna determinare il guadagno che si ottiene vendendo 62 bottiglie (il numerointero immediatamente minore di 62,5) e vendendo 63 bottiglie (il numero intero immediatamentemaggiore di 62,5).

Vendita di 62 bottiglie:

y =1

50622 + 2 · 62− 40 = 38, 12

Vendita di 63 bottiglie:

y =1

50632 + 2 · 63− 40 = 38, 12

In entrambi i casi il guadagno e di 38,12 euro.

Quindi l’analisi della situazione e:

• se l’azienda non vende nessuna bottiglia e in perdita di 40 euro

• se l’azienda vende fino a 18 bottiglie e in perdita


• se vende fra 19 bottiglie e 106 bottiglie l’azienda guadagna: in particolare realizza il massimoguadagno vendendo 62 o 63 bottiglie e guadagnando 38,12 euro.

• se vende 107 bottiglie o piu, e in perdita

1.7.3 Problemi di scelta nel caso in cui la funzione obiettivo sia espressa da piufunzioni

. Un venditore vende sabbia per le ditte edili. Per il trasporto ha un costo fisso di 100 euro allasettimana piu un costo, per ogni chilo, pari a tre millesimi dei chili totali venduti. Inoltre non puotrasportare piu di 300 kg. Il suo fornitore gli fa pagare la sabbia 1,30 euro al chilo se compra finoa 220 kg, 1,10 euro al chilo per ogni chilo oltre i 220 kg. Il venditore vende la sabbia a 2,60 euro alkg. Effettuare l’analisi della situazione economica del venditore.

Indichiamo con x i chili di sabbia. x e soggetto ai seguenti vincoli:{x ≥ 0 vincolo di segno

x ≤ 300 300 vincolo tecnico

Non c’e il vincolo di interezza pertanto il problema e continuo.

I ricavi sono:2, 6x

mentre per i costi dobbiamo dividere due casi:

3

1000x2 + 100 + 1, 3x se x ≤ 220

mentre se acquista piu di 220 kg (cioe x > 220 kg) , i primi 220 li paga 1, 30 spendendo 1, 30 ·220 =286 euro, mentre i restanti (x− 220) li paga 1,10 euro. I costi risultano quindi:

3

1000x2+100+286+1, 1(x−220) =

3

1000x2+386+1, 1x−242 =

3

1000x2+1, 1x+144 se x ≥ 220

Di conseguenza avremo due funzioni obiettvo che indicano il guadagno (ricavi − costi):

y = 2, 6x− (3

1000x2 + 100 + 1, 3x)→ − 3

1000x2 + 1, 3x− 100 se x < 220

e

y = 2, 6x− (3

1000x2 + 1, 1x + 144)→ − 3

1000x2 + 1, 5x− 144 se x ≥ 220

Dal punto di vista della geometria analitica sono due parabole con la concavita rivolta verso ilbasso.

Studiamo la prima determinando le intersezioni con l’asse x risolvendo l’equazione:

− 3

1000x2 + 1, 3x− 100 = 0



x1 = 100 x2 = 333, 33


xv =100 + 333, 33

2= 216, 67


\

40

y(€)

250100

-100

-144

129 216 333 370

43

x=220 x=300

Figura 1.5: A sinistra della retta x = 220 si considera la prima parabola (l’altra e tratteggiata),mentre a destra di tale retta si considera la seconda e la prima e tratteggiata. I valori sull’asse xsono approssimati per motivi di spazio.

tramite xv determiniamo l’ordinata del vertice sostituendo nell’equazione della parabola a x il valoredi xv (cioe 216,67):

yv = − 3

1000216, 672 + 1, 3 · 216, 67− 100 = 40, 83


y = −100

Effettuiamo lo stesso per la seconda funzione obiettivo.

Intersezione con gli assi:

− 3

1000x2 + 1, 5x− 144 = 0



x1 = 129, 58 x2 = 370, 42


xv =129, 58 + 370, 42

2= 250

tramite xv determiniamo l’ordinata del vertice sostituendo nell’equazione della parabola a x il valoredi xv (cioe 250):

yv = − 3

10002502 + 1, 5 · 250− 144 = 43, 5


y = −144

Per riportare le due parabole sullo stesso grafico, disegneremo la retta x = 220 che segna il confinefra le due parabole: a sinistra della retta vale il grafico della prima parabola, a destra vale il graficodella seconda (figura 1.5).

Adesso possiamo descrivere la situazione del venditore:


• se vende 0 chili e in perdita di 100 euro (prima parabola)

• se vende meno di 100 chili e in perdita (prima parabola)

• se vende 100 chili e in pareggio

• se vende fra 100 chili e 220 chili guadagna: in particolare realizza il massimo guadagno(almeno per quanto riguarda la prima parabola) vendendo 216,67 chili e guadagnando 40,83euro.

• a 220 chili le due parabole si intersecano e c’e il passaggio fra la prima e la seconda parabola. In ogni caso se vende 220 chili guadagna 40,80 euro.

• se vende fra 220 chili e 300 chili (300 chili non si possono oltrepassare a causa del vincolo tec-nico) guadagna: in particolare realizza il massimo guadagno (per quanto riguarda la secondaparabola) vendendo 250 chili e guadagnando 43,50 euro.

Confrontiamo adesso il massimo guadagno della prima parabola (euro 40,83), col massimo guadagnodella seconda (euro 43,50). Ne consegue che il massimo guadagno viene ottenuto vendendo 250 chilidi sabbia con un guadagno di 43,50 euro.

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1.8 Problemi di scelta fra piu alternative

Abbiamo considerato fino ad adesso problemi in cui avevamo un’unica funzione obiettivo da renderemassima (o minima) agendo sul valore della x (o di x1, x2 . . . in caso di piu variabili). Spesso peropuo capitare di dover sceglere fra piu possibilita, come vedremo nei prossimi paragrafi.

1.8.1 Problemi fra piu alternative con scelta fra funzioni obiettivo dello stessotipo

Consideriamo il seguente problema:

. Un rappresentante si muove utilizzando il treno. Le compagnie ferroviarie gli prospettano iseguenti tipi di abbonamento:

1. costo mensile 130 euro piu 0,5 euro al km.

2. costo mensile 50 euro piu 0,9 euro al km.

3. costo mensile 300 euro comprensivo anche di tutti i chilometri percorsi.

Quale abbonamento conviene di piu al rappresentante?

Ovviamente la risposta dipende da quanti chilometri percorre il rappresentante. Il problema e unproblema di minimo.

Indichiamo con x il numero di chilometri che il rappresentante deve percorrere. Non essendopresenti vincoli tecnici e potendo x essere anche non intero, l’unico vincolo presente e il vincolo disegno:

x ≥ 0

Il problema risulta quindi continuo.


x (km)

y (€)

200

50

130

300

230

340

Y2

Y3

Y1

Figura 1.6: Se il rappresentante percorre da 0 a 200 km conviene il secondo abbonamento; da 200a 340 conviene il primo e, oltre i 340 km, conviene il terzo

Scriviamo la funzione obiettivo del primo abbonamento (che rappresenta il costo del rappresentantein funzione dei chilometri percorsi):

y1 = 0, 5x + 130

del secondo:y2 = 0, 9x + 50

e del terzo:y3 = 300

(la terza funzione obiettivo e indipendente da x perche l’abbonamento costa 300 euro indipenden-temente dai chilometri percorsi).

Osserviamo che tutte le funzioni obiettivo sono dello stesso tipo cioe rette. Rappresentiamole suun piano cartesiano (figura 1.6) determinando per ciascuna due punti.

La prima:

x y

0 130100 180

La seconda:

x y

0 50100 140

La terza e costante (vale sempre 300 indipendentemente da x e quindi e una retta parallela all’assex).

Nel caso limite in cui il rappresentante percorre 0 km e ovviamente conveniente l’abbonamento cheha il costo fisso piu basso, quindi il secondo. In ordine di convenienza segue poi il primo.

Determiniamo allora l’intersezione fra la seconda funzione obiettivo e le altre due funzioni obiettivo.Iniziamo con la prima:{

y = 0, 5x + 130y = 0, 9x + 50

{0, 9x + 50 = 0, 5x + 130

y = 0, 9x + 50

{0, 4x = 80

y = 0, 9x + 50

{x = 200y = 230

Le due funzioni obiettivo si intersecano per x = 200.

Adesso determiniamo l’intersezione fra la seconda e la terza funzione obiettivo:


{y = 300

y = 0, 9x + 50

{y = 300

0, 9x + 50 = 300

{y = 300

0, 9x = 250

{y = 300

x = 277, 78

Le due funzioni obiettivo si intersecano per x = 277, 78.

Questo significa che la seconda funzione obiettivo interseca prima la prima funzione obiettivo edopo la terza (osservazione che potevamo fare anche osservando il grafico).

Quindi da 0 chilometri percorsi a 200, il secondo abbonamento e quello piu conveniente. Dopo i200 chilometri diventa piu conveniente il primo.

Determiniamo adesso l’intersezione fra le funzioni obiettivo del primo e terzo abbonamento:{y = 0, 5x + 130

y = 300

{300 = 0, 5x + 130

y = 300

{0, 5x = 170

y = 300

{x = 340y = 300

Le due funzioni obiettivo si intersecano per x = 340.

Quindi da 200 chilometri percorsi a 340, il primo abbonamento e quello piu conveniente. Dopo i340 chilometri diventa piu conveniente il terzo.

Riepilogando la situazione e la seguente. Se il rappresentante percorre:

• da 0 a 200 km il secondo abbonamento e il piu conveniente (la retta y2 “sta sotto” le altredue)

• esattamente 200 chilometri e indifferente comprare il primo o il secondo abbonamento inquanto in entrambi i casi spende 230 euro.

• da 200 a 340 km il primo abbonamento e il piu conveniente (la retta y1 “sta sotto” le altredue)

• esattamente 340 chilometri e indifferente comprare il secondo o il terzo abbonamento in quantoin entrambi i casi spende 300 euro.

• oltre i 340 km il terzo abbonamento e il piu conveniente (la retta y3 “sta sotto” le altre due)

�

Osservazione importante. Disegnare un grafico preciso per questi problemi puo risultare estre-mamente utile. Infatti per un problema di massimo (minimo) bisogna considerare la retta che stasopra (sotto) le altre. Graficamente capiamo quindi, a seconda dei valori della x, quale retta stasopra o sotto le altre. Nell’ultimo esempio, guardando il grafico di figura 1.6 vediamo che inizial-mente y2 sta sotto le altre rette fino a che interseca y1. Da quel valore di x, y1 sta sotto le altrerette fino a che non interseca y3 che da quel valore di x in poi sta sotto le altre rette. I sistemi ciservono soltanto per determinare le coordinate del punto di intersezione.

�

Definizione di punto di indifferenza. I punti in cui si intersecano le funzioni obiettivo sidicono punti di indifferenza in quanto, per quel valore di x, e indifferente scegliere fra l’una e l’altraalternativa.

�

. Un rappresentante di caramelle puo scegliere fra 3 contratti:

1. fisso settimanale di 130 euro piu 0,5 euro per ogni etto di caramelle che vende.


x (hg)

y (€)

200

50

130

300

230

340

Y2

Y3

Y1

277,78

Figura 1.7: Se il rappresentante vende da 0 a 277,78 etti di caramelle gli conviene il terzo contrattomentre se vende oltre 277,78 etti, gli conviene il secondo.

2. fisso settimanale di 50 euro piu 0,9 euro per ogni etto di caramelle che vende.

3. fisso settimanale di 300 euro indipendentemente dalla quantita di caramelle che vende.

Quale contratto conviene di piu al rappresentante?

Ovviamente la risposta dipende da quanti etti di caramelle vende il rappresentante. Il problemae un problema di massimo (il lettore attento si sara accorto che i dati sono gli stessi dell’esercizioprecedente con la differenza che adesso sono ricavi e prima erano costi).

Indichiamo con x quanti etti che il rappresentante vende. Non essendo presenti vincoli tecnici epotendo x essere anche non intero, l’unico vincolo presente e il vincolo di segno:

x ≥ 0


Scriviamo la funzione obiettivo del primo contratto (che rappresenta il ricavo del rappresentante infunzione degli etti venduti):

y1 = 0, 5x + 130

del secondo:y2 = 0, 9x + 50

e del terzo:y3 = 300

(la terza funzione obiettivo e indipendente da x perche i ricavi sono di 300 euro indipendentementedagli etti venduti).

Osserviamo che tutte le funzioni obiettivo sono dello stesso tipo cioe rette. Rappresentiamole suun piano cartesiano (figura 1.7)

Nel caso limite in cui il rappresentante non vende nemmeno un etto e ovviamente conveniente ilcontratto che ha il fisso piu alto, quindi il terzo.

Graficamente capiamo che la retta y3 sta sopra le altre fino a che non interseca la retta y2 che daquel valore di x in poi diventa l’opzione piu conveniente. Si osserva che y1 non e mai sopra le altrerette e quindi il primo contratto non e mai il piu conveniente.

Quindi determiniamo solo l’intersezione fra la terza funzione obiettivo e la seconda:


{y = 300

y = 0, 9x + 50

{y = 300

0, 9x + 50 = 300

{y = 300

0, 9x = 250

{y = 300

x = 277, 78

Le due funzioni obiettivo si intersecano per x = 277, 78.

Riepilogando la situazione e la seguente. Se il rappresentante vende:

• da 0 a 277,78 etti il terzo contratto e il piu conveniente

• esattamente 277,78 etti e indifferente scegliere il terzo o il secondo contratto in quanto inentrambi i casi ricava 300 euro.

• oltre i 277,78 etti il secondo contratto e il piu conveniente.

�

1.8.2 Problemi fra piu alternative con scelta fra funzioni obiettivo di tipodiverso

. Una modella per acquisire notorieta vuole comparire nello spettacolo di prima serata della RAI.Si rivolge a due agenzie che le fanno due diverse proposte:

1. 600 euro piu 100 euro per ogni minuto in cui viene inquadrata

2. 700 euro piu, per ogni minuto di inquadratura, tanti euro pari a 10 volte i minuti totali. Aparziale compenso le fornira un vestito marcato il cui sponsor le dara 100 euro al minuto diinquadratura.

Quale agenzia e piu conveniente?

Ovviamente la risposta dipende da quanti minuti la modella vuole essere inquadrata. Il problemae un problema di minimo.

Indichiamo con x il numero di minuti di inquadratura della modella. Non essendo presenti vincolitecnici e potendo x essere anche non intero, l’unico vincolo presente e il vincolo di segno:

x ≥ 0


Scriviamo la funzione obiettivo della prima agenzia:

y1 = 100x + 600

Per quanto riguarda la seconda i costi sono:

10x2 + 700

dove 10x2 deriva dal fatto che, per ogni minuto, l’agenzia chiede l’equivalente in euro di 10 volte ilnumero totale dei minuti cioe 10x. Dal momento che vale per ogni minuto, va moltiplicato per ilnumero totale dei minuti cioe x. Quindi: 10x · x = 10x2.

Ma ai costi vanno sottratti i soldi dello sponsor: cioe 100 euro per ogni minuto, quindi 100x.Pertanto la funzione obiettivo risulta:

y2 = 10x2 − 100x + 700


x(m)

700

y(€)

10

450

5

600

Y1

Y2

0,51 19,49

Figura 1.8: Se i minuti sono minori di 0,51 (circa 30 secondi) oppure oltre 19,49 minuti (circa19 minuti e 30 secondi) alla modella conviene la seconda agenzia (la retta sta sotto la parabola).Mentre fra 0,51 minuti e 19,49 minuti conviene la seconda agenzia (la parabola sta sotto la retta)

Osserviamo che le due funzioni obiettivo sono di tipo diverso: la prima e una retta mentre laseconda e una parabola con la concavita rivolta verso l’alto.

La parabola non ha intersezioni con l’asse x. Determiniamo allora le intersezioni con la rettay = 700 risolvendo l’equazione:

10x2 − 100x + 700 = 700

le soluzioni risultano:x1 = 0 x2 = 10


xv =0 + 10

2= 5

tramite xv determiniamo l’ordinata del vertice sostituendo nell’equazione della parabola a x il valoredi xv (cioe 5):

yv = 10 · 52 − 100 · 5 + 700 = 450


y = 700

Rappresentiamo ora la retta e la parabola su un piano cartesiano (figura 1.8).

Dal grafico osserviamo che inizialmente conviene la prima agenzia fino a che la retta non intersecala parabola. Da quel valore di x in poi conviene la seconda agenzia fino a che la parabola noninterseca nuovamente la retta. Da quel momento in poi conviene di nuovo la prima agenzia.

Determiniamo allora l’intersezione fra la prima funzione obiettivo (la retta) e la seconda funzioneobiettivo (la parabola) tramite il secondo sistema di secondo grado:{

y = 100x + 600y = 10x2 − 100x + 700

{y = 100x + 600

100x + 600 = 10x2 − 100x + 700

{y = 100x + 600

10x2 − 200x + 100 = 0

Determiniamo le soluzioni dell’equazione:

10x2 − 200x + 100 = 0


che sono, approssimate,x1 = 0, 51 x2 = 19, 49

Pertanto il sistema ha le due soluzioni:{y = 651, 60x = 0, 51

{y = 2549, 60x = 19, 49

Riepilogando la situazione e la seguente. Se la modella e inquadrata

• da 0 a 0,51 minuti la prima agenzia e piu conveniente.

• esattamente 0,51 minuti e indifferente affidarsi alla prima o alla seconda agenzia in quanto inentrambi i casi spende 651,60 euro.

• da 0,51 a 19,49 minuti la seconda agenzia e piu conveniente.

• esattamente 19,49 minuti e indifferente affidarsi alla prima o alla seconda agenzia in quantoin entrambi i casi spende 2549,60 euro.

• oltre i 19,49 minuti la prima agenzia e piu conveniente.

�

1.9 Esercizi

Paragrafo 1.6

1. Un trasportatore consegna a Mosca e a Madrid. Per una consegna a Mosca impiega 5 giorni eviene pagato 380 euro, mentre per una consegna a Madrid impiega 3 giorni e viene pagato 200euro. In 12 giorni quante volte deve andare a Madrid e quante a Mosca per avere il massimoricavo?

2. L’ascensore della torre Eiffel ha una portata massima di 255 kg. Il costo della salita per gliadulti e 10 euro e per i bambini di 7 euro. Arriva un gruppo di adulti tutti di 70 kg e dibambini tutti di 45 chili. Quanti adulti e quanti bambini devono salire affinche il ricavo siamaggiore?

3. Uno scultore costruisce statue di marmo che pesano 100 chili e che vende a 200 euro, statuedi bronzo che pesano 80 chili e che vende a 180 euro e di terracotta che pesano 60 chili e chevende a 110 euro. Deve trasportarle con un camion che ha una portata massima di 380 chili.Che carico di statue deve fare per sperare di ottenere il guadagno maggiore.

Paragrafo 1.7.1

Dei seguenti problemi creare il modello matematico e dire se sono discreti o continui e se sonodi minimo o di massimo. Tracciare il grafico ed effettuare l’analisi economica.

4. Un cartolaio acquista penne a 0,10 euro l’una e le rivende a 0,30 euro l’una. Il suo fornitorenon gli puo portare piu di 500 penne a settimana e per il trasporto il cartolaio sostiene spesefisse di 60 euro.

5. Un venditore di detersivo sfuso acquista il detersivo a 1,50 euro al litro e lo rivende a 2,20euro al litro. L’affitto del furgone di consegna e pari a 30 euro al giorno e non puo portarepiu di 100 litri di detersivo.


6. Un distributore di benzina acquista la benzina a euro 1,60 al litro e la rivende a 1,90 euro allitro. Di tasse paga 400 euro al mese.

7. Un artigiano costruisce sedie che vende a 80 euro. Spende di materiale 30 euro e l’affitto dellabottega costa 780 euro al mese. Non riesce a costruire piu di 40 sedie al mese.

Paragrafo 1.7.2


8. Un venditore di nastri di stoffa compra la stoffa a 2 euro al metro e la rivende a 5 euro. Haspese fisse di 150 euro la settimana e sostiene spese di vendita per ogni metro pari ad uncentesimo dei metri venduti settimanalmente.

9. Stesso problema di prima con il vincolo che non puo acquistare piu di 200 metri di stoffa lasettimana.

10. Stesso problema di prima con il vincolo che non puo acquistare piu di 100 metri di stoffa lasettimana.

11. Un altro venditore di nastri di stoffa compra la stoffa a 2 euro al metro e la rivende a 7 euro.Ha spese fisse di 130 euro la settimana e sostiene spese di vendita per ogni metro pari a trecentesimi dei metri venduti settimanalmente.

12. Stesso problema di prima col vincolo che non puo acquistare e vendere un numero non interodi metri.

13. Un gelataio acquista gelati a 0,40 euro e li vende a 1,50 euro. Il noleggio del camioncino dovevende gelati gli costa 50 euro al giorno e deve pagare al noleggiatore, per ogni gelato, unduecentesimo dei gelati venduti.

Paragrafo 1.7.3


14. Un venditore di detersivo acquista il detersivo a 2,50 euro al litro per i primi 100 litri. Dalcentesimo litro in poi ottiene uno sconto e paga 1,50 euro al litro. Vende a 6,50 euro al litroe ha costi fissi settimanali di 80 euro e spese di vendita pari, per ogni litro, a tre centesimidel totale dei litri venduti.

15. Un venditore di detersivo acquista il detersivo a 2,50 euro al litro per i primi 70 litri. Dalsettantesimo litro in poi ottiene uno sconto e paga 1,5 euro al litro. Vende a 6,50 euro al litroe ha costi fissi settimanali di 80 euro e spese di vendita pari, per ogni litro, a tre centesimidel totale dei litri venduti.

16. Un venditore di detersivo acquista il detersivo a 2,50 euro al litro. Vende a 6,50 euro al litroe ha costi fissi settimanali di 80 euro e spese di vendita pari, per ogni litro, a tre centesimidel totale dei litri venduti. Dopo 70 litri venduti gli vengono abbonate le spese di vendita. Ilmassimo di litri che puo vendere e 100.

Paragrafo1.8.1Dei seguenti problemi creare il modello matematico e dire se sono discreti o continui e se sonodi minimo o di massimo. Tracciare il grafico ed effettuare l’analisi economica.


17. Un signore di 100 chili vuole dimagrire e va da degli esperti che gli prospettano 3 prodotti lacui assunzione dovrebbe comportare:

(a) subito una perdita di 10 chili piu 2 chili ogni volta che va in palestra

(b) subito una perdita di 15 chili piu 1,5 chili ogni volta che va in palestra

(c) subito una perdita di 6 chili piu 3 chili ogni volta che va in palestra

Quale prodotto deve assumere per perdere piu chili possibile?

18. Un calzolaio deve scegliere fra tre fornitori di pelle:

(a) il primo vuole 50 euro a trasporto piu 10 euro al metro di pelle

(b) il secondo vuole 40 euro a trasporto piu 12 euro al metro di pelle

(c) il primo vuole 80 euro a trasporto piu 6 euro al metro di pelle

Quale fornitore gli conviene di piu?

19. Un ferramenta riceve tre proposte per vendere i suoi chiodi:

(a) 100 euro per il trasporto a domicilio, pi 2 euro per ogni chilo di chiodi.

(b) 75 euro per il trasporto a domicilio, piu 2 euro per ogni chilo di chiodi

(c) 110 euro per il trasporto a domicilio, piu 1,50 euro per ogni chilo di chiodi.

Quale proposta risulta piu conveniente?

Paragrafo1.8.2


20. Un venditore di profumo al litro puo scegliere fra due diverse possibilita:

(a) acquistare il profumo a 10 euro al litro, rivenderlo a 18 euro al litro e affrontare costifissi di 100 euro mensili e nessuna spesa di vendita

(b) acquistare il profumo a 6 euro al litro, rivenderlo a 18 euro, affrontare costi fissi di 90euro e avere una spesa di vendita, al lito, pari ad un cinquantesimo dei litri venduti.Quale possibilita e piu redditizia?

21. Mario affitta furgoni con due tipi di contratto:

(a) pretende 400 euro piu, al chilometro, un centesimo dei chilometri totali. D’altra parte ilcamper usato gli costa 0,50 euro al chilometro

(b) pretende 300 euro piu 2,5 euro al chilometro. Come per l’altro contratto, deve considerareche l’uso del camper gli costa 0,50 euro al chilometro

22. Un cliente deve scegliere fra 2 compagnie telefoniche:

(a) La prima gli prospetta un fisso di 20 euro al mese e 0,10 euro ogni minuto di chiamata

(b) La seconda gli prospetta un fisso di 21 euro al mese e , per ogni minuto di conversazione,un millesimo dei minuti totali mensili. In compenso gli ricarica di 0,08 euro per ogniminuto di telefonata.

Quale compagnia e piu conveniente?

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