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Appunti e considerazioni del corso di Fisica 1 dei Nettuniani di Trieste Pag. 1

Appunti e Considerazioni per il corso di :

FISICA 1

Dei Nettuniani di Trieste

Autore : Gon Leonardo Rev: 0.0 del 03/03/2002


SOMMARIO

PREMESSA ...................................................................................................................................................................... 4

GRANDEZZE FISICHE – UNITÀ DI MISURA .......................................................................................................... 5

SISTEMI DI UNITÀ DI MISURA .......................................................................................................................................... 5

MISURE CAMPIONE ......................................................................................................................................................... 5

VERIFICA DIMENSIONALE........................................................................................................................................ 6

I VETTORI E RELATIVE OPERAZIONI ................................................................................................................... 7

OPERAZIONI CON VETTORI.............................................................................................................................................. 7

I VERSORI....................................................................................................................................................................... 8

CINEMATICA UNIDIMENSIONALE.......................................................................................................................... 9

POSIZIONE ...................................................................................................................................................................... 9

VELOCITÀ....................................................................................................................................................................... 9

ACCELERAZIONE ............................................................................................................................................................ 9

IL MOTO CON ACCELERAZIONE COSTANTE.................................................................................................................... 10

CINEMATICA BIDIMENSIONALE........................................................................................................................... 11

IL MOTO DEI PROIETTILI ................................................................................................................................................ 11

MOTO CIRCOLARE UNIFORME E NON................................................................................................................ 13

VELOCITÀ..................................................................................................................................................................... 13

ACCELERAZIONE TANGENZIALE................................................................................................................................... 13

ACCELERAZIONE CENTRIPETA...................................................................................................................................... 13

ACCELERAZIONE .......................................................................................................................................................... 13

MOTI RELATIVI .......................................................................................................................................................... 14

LE TRE LEGGI DELLA DINAMICA......................................................................................................................... 14

PRIMA LEGGE DELLA DINAMICA O PRINCIPIO D’INERZIA............................................................................................... 14

SECONDA LEGGE DELLA DINAMICA .............................................................................................................................. 14

TERZA LEGGE DELLA DINAMICA ................................................................................................................................... 15

ATTRITO RADENTE STATICO E DINAMICO ...................................................................................................... 15

LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE........................................................................................................... 16


LAVORO ED ENERGIA CINETICA.......................................................................................................................... 17

VALORE DEL LAVORO PER LA GRAVITÀ ........................................................................................................................ 17

VALORE DEL LAVORO PER LE MOLLE............................................................................................................................ 17

IL TEOREMA LAVORO ENERGIA ..................................................................................................................................... 18

POTENZA....................................................................................................................................................................... 18

FORZE CONSERVATIVE ........................................................................................................................................... 19

ENERGIA POTENZIALE ............................................................................................................................................ 20

ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE...................................................................................................................... 20

ENERGIA POTENZIALE ELASTICA................................................................................................................................... 20

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA ............................................................................................. 21

FORZE NON CONSERVATIVE E LAVORO INTERNO........................................................................................................... 21

QUANTITÀ DI MOTO ED IMPULSO........................................................................................................................ 22

MOTO DEL CENTRO MASSA ........................................................................................................................................... 22

QUANTITÀ DI MOTO ...................................................................................................................................................... 22

IMPULSO ....................................................................................................................................................................... 23

CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO.............................................................................................. 23

URTI ELASTICI .............................................................................................................................................................. 23

URTI ANELASTICI.......................................................................................................................................................... 24

MOTO OSCILLATORE ARMONICO ....................................................................................................................... 24

MOMENTO DELLE FORZE APPLICATE ............................................................................................................... 25

EQUILIBRIO DEI CORPI RIGIDI ............................................................................................................................. 25

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO ............................................................................................................................ 25

MOMENTO D’INERZIA ................................................................................................................................................... 26


PREMESSA

Questa raccolta di appunti è stata scritta in breve tempo (mezzo sabato ed una domenica)

e non tratta seriamente la materia come dovrebbe. L’uso di questi “Appunti e

Considerazioni” è da ritenersi come breve guida generale per un ripasso. La semplicità, la

compattezza e l’attinenza a quanto indicato dal professore come programma d’esame

sono stati i primari obiettivi di questa stesura.

Gon Leonardo

[email protected]


GRANDEZZE FISICHE – UNITÀ DI MISURA

Le grandezze fisiche nascono dall’esigenza di comunicare e di poter analizzare in

maniera concreta problemi di natura tecnica, ovvero quando nascono delle necessità di

descrivere dei fenomeni e rapportarle con dei paragoni comuni.

Le grandezze fisiche comuni sono:

• La distanza

• Il tempo

• La massa

• (altre non considerate ora)

Sistemi di unità di misura

I sistemi di unità di misura sono vari ma principalmente se ne considerano tre:

• Sistema Internazionale o MKS

• Sistema CGS

• Sistema Tecnico

Questi sistemi di misura descrivono essenzialmente le stesse grandezze ma sia per motivi

storici che tecnici solo dopo il 1960 si è deciso di addottare internazionalmente il sistema

MKS. Anche perché il sistema MKS possiede alcune caratteristiche di riproducibilità e

invariabilità delle misure campione ben definite.

Misura MKS CGS Tecnico

Lunghezza metro m centimetro cm metro m

Massa* kilogrammo kg grammo g Kilo-Peso kg

Tempo secondo s secondo s secondo s*nel sistema tecnico non viene usato il kg massa ma bensì il kg peso, corrispondente a 9.81Newton.

Misure campione

Le misure campione per loro natura devono essere facilmente riproducibili ed invariabili:

Lunghezza: è definito come distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un determinato

periodo di tempo.

Massa: è definito come massa di un cilindro campione di platino-iridio.

Tempo: il secondo è definito come una ben determinata quantità di vibrazioni di un atomo

di Cesio.


VERIFICA DIMENSIONALE

Si definisce verifica dimensionale quella procedura con la quale prima scomponiamo una

formula matematica che descrive un evento nelle sue componenti dimensionali

fondamentali e successivamente verifichiamo che corrispondano con le componenti

dimensionali del risultato.

Viene specificatamente utilizzata per considerare la corrispondenza dei fattori. Un

esempio può essere più chiarificatore.

F = m a [M] [L] [T-2] che corrisponde ad un newton, l’unità di misura della forza.

Per convenzione si utilizzano le parentesi quadre per racchiudere le caratteristiche

dimensionali.

• [M]= massa

• [L] = lunghezza

• [T] = tempo

Appunti e considerazioni del corso di Fisica 1 dei Nettuniani di Trieste

I VETTORI E RELATIVE OPERAZIONI

I vettori sono delle grandezze che si differienziano dagli scalari essenzialmente per il fatto

di possedere ulteriormente una direzione ed un verso.

Vettore ScalareModulo X X

Direzione X -

Verso X -

Le grandezze vettoriali si indicano con una freccia posta sopra alla lettera indicante il

vettore: Fr

.

Operazioni con vettori

Per la somma si utilizza la regola del

parallelogramma che, mediante un supporto

grafico si compone di una serie di triangoli

facilmente risolvibili con le regole della

trigonometria.

Per la

ad una

vettore

Per la moltiplicazione si considerano due tipi distin

• Moltiplicazione scalare

• Moltiplicazione vettoriale

La moltiplicazione scalare tra due vettori si effettu

il modulo del primo vettore per la proiezione d

primo. Più semplicemente:

ar

br

)( bacrrr

−+=

br

−

ar

sottrazione tra vettori si ricorre sempre

ar

br

bacrrr

+=

somma ma con il verso opposto per il

che deve essere sottratto.

ti di operazione:

a moltiplicando

el secondo sul

ϕcosabb =•r

ar

r

ϕ

Pag. 7

b

Appunti e considerazioni del corso di Fisica 1 dei Nett

La moltiplicazione scalare si indica con un punto tra i due vettori. Il risultato della

moltiplicazione non sarà un vettore ma uno scalare. Si inizia ad usare quando si affronta il

concetto di lavoro.

Per la moltiplicazione vettoriale tra due vettori il risultato generato è un terzo vettore che si

trova in un piano perpendicolare al piano sotteso dai due vettori da moltiplicare. Il modulo

del vettore risultante corrisponde a:

mentre per la direzione ed il verso s

attenzione va posta nel fatto che

commutativa, ovvero barr

× è dive

opposta.

La moltiplicazione vettoriale si inizia

I Versori

I versori sono un tipo particolare

grandezza tipicamente vettoriale de

Possono essere considerati come:

Quindi sono un numero puro di mod

un numero al versore e quindi defini

Per le tre dimensioni vengono di sol

Ass

x

y

z

ϕabsinba =×rr

uniani di Trieste Pag. 8

i utilizza la regola della mano destra

la moltiplicazione vettoriale non gode della proprietà

rso da ab rr× perché il “pollicione” andrà dalla parte

ad usare con il concetto di momento.

di vettori impiegati per “portar fuori” dai calcoli la

lla direzione.

xxiirr

==ˆ

ulo 1. La praticità consiste nel fatto di poter associare

rne il modulo.

ito indicati:

e Denominazione

ir

jr

kr


CINEMATICA UNIDIMENSIONALE

Nella cinematica unidimensionale sono principalmente da considerare tre componenti:

• Posizione ( rr )

• Velocità ( vr )

• Accelerazione (ar )

La posizione indica un punto nello spazio (in questo caso unidimensionale), mentre la

velocità rappresenta la differenza di posizione nell’unità di tempo e per finire

l’accelerazione rappresenta la variazione di velocità sempre nell’unità di tempo.

Posizione

La posizione, normalmente definita dalla lettera rr viene spesso utilizzata per indicare uno

spostamento rr∆ , nella cinematica unidimensionale non è necessario distinguere la

componente vettoriale della direzione in quanto superfluo.

Velocità

La velocità neccessita di alcuni distinguo, tra velocità vettoriale, scalare e media.

La velocità media è definita dalla seguente formula tx

ttrrvif

if

∆∆

=−−

=rr

r , considerando il limite

di questa funzione dtrd

dtdx

tx

t

r==

∆∆

→∆ 0lim troviamo il valore istantaneo della velocità ed anche il

suo valore vettoriale. La velocità scalare non è altro che il modulo della velocità vettoriale.

Accelerazione

L’accelerazione rappresenta l’espressione della variazione della velocità. Come per la

velocità, anche per l’accelerazione devono essere considerate l’accelerazione media e

l’accelerazione istantanea.

L’accelerazione media è definita da : tv

ttvvaif

if

∆∆

=−−

=rrr

r e quindi l’accelerazione istantanea è

definita da : dtvd

tv

t

rr=

∆∆

→∆ 0lim


Il moto con accelerazione costante

Dalla considerazione della formula if

if

ttvva

−−

=rr

r , se 0=it allora ricaviamo una prima

importante formula:

fif tavv rrr+=

Dalle considerazione che dtdxvf =r possiamo scrivere dtvdx f

r= e quindi sostituendo fvr con la

formula precedentemente trovata, possiamo scrivere tdtadtvdx i

rr+= che integrando porta

alla tdtadtvdxtf

tii

tf

ti

xf

xi

r∫∫∫ += che risolto porta ad un’altra importante formula

2

21 tatvxx iifrr

++=

Combinando opportunamente queste due equazioni sopradescritte perveniamo alla terza

importante equazione:

)(222ifif xxavv −+=

rrr

Dalle stesse considerazione nasce anche :

tvvxx fiif )(21 rr

++=


CINEMATICA BIDIMENSIONALE

Nella cinematica bidimensionale sono valide le stesse formule di quella unidimensionale

con l’unico accorgimento di considerare le caratteristiche vettoriali di direzione mediante

l’utilizzo di versori.

Nello studio della cinematica bidimensionale è da considerare lo studio del moto dei

proiettil.

Il moto dei proiettili

A

MOTO CIRCOLARE UNIFORME E NON

Nel moto circolare uniforme e non uniforme bisogna distinguere inizialmente le

terminologie usate per la descrizione del moto che sono la velocità e l’accelerazione

tangenziale e centripeta. Attenzione va posta al fatto di usare i radianti come unità di

misura degli angoli.

Velocità

In una circonferenza lo spazio percorso è proporzionale al raggio ed all’angolo sotteso dal

raggio iniziale a quello finale.

In pratica essendo: ϕrs = e sdvr

r= ne deriva

A

P

q

m

A

E

A

L

t

ppunti e considerazioni del corso di Fisica 1 dei Nettuniani di Trieste Pag. 13

dt

che: dtdrv ϕrr

= . Il valore dtdϕ viene chiamato

velocità angolare ω e corrisponde alla

variazione dell’angolo espresso in radianti

rispetto al tempo. Esiste pure il vettore ωr che

segue il procedimento della mano destra per

definirne il verso e la direzione. L’unità di misura

della velocità angolare è il rad/s

ccelerazione Tangenziale

er l’accelerazione bisogna considerare la variazione di velocità nell’unità di tempo e

uindi : dtd

dtd z

zϕω

α2

== . La si indica spesso con la lettera alfa greca e la sua unità di

isura sono i rad/s^2.

ccelerazione Centripeta

’ data dalla formula Rvac

2

= , per la dimostrazione si ricorre ad una similitudine di triangoli.

ccelerazione

’accelerazione si trova sommando vettorialmente l’accelerazione centripeta e quella

angenziale

irr

ϕ

frr s

MOTI RELATIVI

Nella considerazione dei moti relativi i riferimenti che potrebbero essere chiamati “zero”

sono in realta in moto a velocità costante e quindi relativi. Tutti i sistemi sono in quiete

rispetto a se stessi ma in movimento l’uno rispetto all’altro. Percui a seconda del sistema

di riferimento bisogna considerare le diverse velocità da sommare oppure sottrarre.

LE TRE LEGGI DELLA DINAMICA

Le tre leggi della dinamica sono considerate il fulcro della fisica classica, dette anche

Newtoniane.

Prima legge della dinamica o principio d’inerzia

La prima legge della dinamica sancisce che se un corpo e fermo oppure si muove a

velocità costante, esso non è soggetto a nessuna forza e quindi a nessuna accelerazione.

Essa è utile per definire un sistema di riferimento inerziale.


Un esempio dimostrativo di questa legge può essere quello del pesce

appeso ad un dinamometro

Dalla considerazione che il pesce non subisce nessun movimento e

nessuna accelerazione la somma vettoriale delle due forze si annulla.

Seconda legge della dinamica

La seconda legge della dinamica enuncia che la sommatoria delle forze applicate è pari al

valore della massa moltiplicato per l’accelerazione:

amF rr=Σ

La seconda legge di newton sancisce il concetto di forza, ovvero quell’accelerazione

impressa ad una massa.

L’unità di misura della forza è il newton [N] ed è pari ad un Kg m/s^2.


Terza legge della dinamica

La terza legge della dinamica definisce che ad ogni azione corrisponde una reazione.

Questa legge considera per la prima volta una mutua azione tra due corpi.

ATTRITO RADENTE STATICO E DINAMICO

L’attrito è un tipico caso di forza di contatto, per analizzare il

concetto di forza di attrito bisogna considerare prima la forza

normale, essa è la forza di reazione alla forza peso nel caso qui

accanto.

Nella considerazione dell’attrito radente si presentano due casi,

il primo considera il movimento dallo stato di quiete (attrito st

movimento a velocità costante (attrito cinetico o dinamico).

Entrambe queste forze create dalle caratteristiche fisiche delle su

dirette con verso opposto al senso di avanzamento e sono proporz

per un determinato coefficiente:

Tipo Coefficiente FormulaStatico sµ nsFF

rrµ=

Dinamico kµ nk FFrr

µ=

La forza generata non è dipendente dalla

superficie di contatto come potrebbe

sembrare logico. Tale verifica è valida per

la maggior parte delle superfici di

contatto, sembra logico che alterazioni

delle superfici o velocità eccessive

devono essere considerate in maniera

diversa.

r

atico) ed il secondo il

perfici di contatto sono

ionali alla forza normale

pFr

nF

Pag. 15


LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE

Ci sono alcune considerazioni da fare circa le approsimazioni da usare per i calcoli:

• Le masse hanno dimensioni puntiformi

• Nel caso dei pianeti il sole fa da riferimento inerziale

• Le orbite sono circolari

• Le uniche forze agenti tra i pianeti sono di tipo gravitazionale

Prendendo ad esempio il nostro sistema solare, se consideriamo l’accelerazione

centripeta data da: 2

222 4)2(TR

RTR

Rvac

ππ===

rr ed eseguiamo i calcoli per tutti i pianeti,

troviamo un analogia interessante, il valore di sk è una costante ricavato da: 2Rka s

c =r .

Applicando la seconda legge della dinamica troviamo quindi che

= 2RkmF s

r. Dalla

considerazione che questa forza si esercita da un corpo all’altro, applicando la terza legge

della dinamica, ricaviamo che esiste anche una forza uguale esercitata dal secondo corpo

al primo. Da questa considerazione possiamo far entrare anche la massa del secondo

nella formula precedente. Se per approsimazione consideriamo 2Gmks = dove G è una

costante detta universale pari a 6.67E-11, ricaviamo: 221

12 RmGmF =

r

Una cosiderazione a parte potrebbe essere quella della convenzione del segno,

considerando che la forza è attrattiva dal corpo 1 al corpo 2 ed utilizzando un versore r̂

orientato dal corpo 1 al 2 il segno sarà negativo.

rRmGmF ˆ2

2112 −=r


LAVORO ED ENERGIA CINETICA

Il lavoro viene definito come il prodotto scalare della forza per lo spostamento effettuato:

θcoslrFW = (forza costante). Nel caso la forza sia variabile dovremmo ricorrere ad un

integrale per calcolare il valore del lavoro. Considerando di trovare il valore della forza in

funzione dello spostamento effettuato, calcolando l’area tra gli estremi interessati,

troveremo il valore del lavoro totale effettuato.

∫=xf

xix xdxFW rr

)( o meglio ∫=xf

xi

rdFW rr

Le considerazioni tridimensionali devono poi essere valutate opportunamente con l’ausilio

dei versori:

∫ ++=xf

xizyx dzFdyFdxFW )(

L’unità di misura del lavoro è il joule [J] derivato da [N*m].

Valore del lavoro per la gravità

Considerando che la forza di gravità ha una precisa direzione e verso, possiamo

considerare che la forza sia pari al prodotto della massa per l’accelerazione di gravità e

quindi l’integrale del lavoro diventa:

)()()( if

xf

xi

xf

xi

xf

xix yymgdymgdymgxdxFW −−=−=−== ∫∫∫

rr

Valore del lavoro per le molle

Considerando che per le molle , utilizzando l’integrale sopra descritto, troviamo:

)(21)()()( 22

if

xf

xi

xf

xi

xf

xix xxkdxxkdxkxxdxFW −−=−=−== ∫∫∫

rr


Il teorema lavoro energia

Considerando la formula della velocità ricavata dalle equazioni del moto lineare, possiamo

ricavare che: 2

)(22if

ifx

vvxxa

−=− e dalla considerazione che amF rr

=Σ , se sostituiamo

questi valori nel calcolo del lavoro:

2222

21

21

2)()( if

ififif

xf

xi

mvmvvv

mxxmaxxFdxFW −=

−=−=−== ∫

rr

L’energia cinetica di un corpo si definisce come:

2

21 vmK r

=

ha la stessa unità di misura del lavoro ed è sempre positiva perché contiene il quadrato

della velocità.

POTENZA

La potenza viene definita come la quantità di lavoro effettuata in un determinato tempo,

ovvero a parità di lavoro la potenza sarà inversamente proporzionale al tempo.

La potenza media viene definita da: tWP∆∆

= mentre la potenza istantanea viene definita

come il limite della potenza media quando t∆ tende a 0:

dtdWP =

La potenza si esprime in watt [W] ovvero [J] / [s] o [N*m] / [s].

Interessante è la cosiderazione che se il lavoro viene scomposto nelle sue componenti

fondamentali quali forza e spostamento, troviamo un interessante equazione:

vFdtsdF

dtdWP rr

rr

===

La potenza è data dal valore della forza applicata moltiplicata per la velocità, nel caso di

moto rotatorio bisogna poi opportunamente compiere delle sostituzioni con i relativi valori

di ω per la velocità

1[CV] = 75[Kgf/s] = 75 * 9.81 = 735.75 [N*m/s]


FORZE CONSERVATIVE

Alcune forze compiono lavoro indipendentemente dal percorso ma solo dal punto finale ed

iniziale. Per queste forze l’energia cinetica si conserva. Il lavoro compiuto si può definire

come:

∫ = 0rdF rr

Essenzialmente sono vettorialmente costanti come la forza di gravità, la forza elastica o la

forza coulombiana.

I campi conservativi sono quelle zone di spazio, piano, retta dove agiscono le forze

conservative.

A

ENERGIA POTENZIALE

L’energia potenziale si considera solamente nel caso di forze conservative, si indica con U

e l’unità di misura è sempre il joule.

Se consideriamo il lavoro fatto durante il percorso esso sarà:

E

L

d

u

p

g

E

A

c

W

b

ppunti e considerazioni del corso di Fisica 1 dei Nettuniani di Trieste Pag. 20

∫=b

aab sdFW rr

possiamo così definire il valore dell’energia potenziale

pari a : ab UU − che quindi corrisponderà all’opposto del lavoro:

∫−=−b

aab sdFUU rr

nergia potenziale gravitazionale

’energia potenziale gravitazionale si ricava dalla considerazione del lavoro effettuato

alla forza di gravità su un corpo nei pressi della terra. La formula del lavoro compiuto da

n corpo di massa m nello spostarsi da iy a fy è: )( if yymgW −−= . Dalle considerazioni

recedenti ricaviamo che ififyiyf mgymgyyymgUU −=−−−=− ))(( e quindi più

eneralmente troviamo che l’energia potenziale gravitazionale può essere definita da:mgyU =

nergia potenziale elastica

llo stesso modo dell’energia potenziale gravitazionale possiamo trarre le stesse

onclusioni con l’energia potenziale elastica.

)(21 22

if xxk −−= e quindi 2222

21

21))(

21( ififxixf kxkxxxkUU −=−−−=− da cui ricaviamo che:

2

21 kxU =

a


CONSERVAZIONE

DELL’ENERGIA MECCANICA

La conservazione dell’ energia meccancia si ottiene combinando il teorema del lavoro

energia con quello dell’energia potenziale, il lavoro totale compiuto è:

fiififtot UUKKUUWW −+=−=−−== )( e riordinando i termini giungiamo alla conclusione

che: iiff UKUK +=+ . Il termine K+U viene definito come E ovvero energia meccanica:

UKE +=

In un campo conservativo l’energia meccanica si conserva, ovvero: if EE = .

La dimostrazione del teorema si può fare con il classico esempio del sasso lanciato in alto.

Forze non conservative e lavoro interno

Nel caso dello studio di un fenomeno in cui alcune forze non risultassero conservative,

può essere d’aiuto il teorema della conservazione dell’energia meccanica, ovvero

possiamo considerare che:

.)( nonconsifnonconcontotif WUUWWWKK +−−=+==−

da cui poi deriva:

.nonconsif WEE += .

Grazie a questa considerazione possiamo dedurre il valore del lavoro effettuato da una

forza non conservativa. Esso sarà sempre negativo in quanto valore da togliere all’energia

meccanica del sistema.

ifnoncons EEW −=.


QUANTITÀ DI MOTO ED IMPULSO

Lo studio della quantità di moto è importante nella casistica dello studio degli urti.

Moto del centro massa

Dobbiamo considerare gli oggetti non più come puntiformi, ma come solidi, per

approssimare un solido ad un punto materiale ricorriamo alla definizione del centro di

massa.

∑∑=

i

ii

mrm

rr

ˆ

Il vettore r rappresenta la posizione nello spazio del centro di massa, per la scomposizione

nei suoi elementi fondamentali bisogna ricorrere ai versori kji ˆ,ˆ,ˆ .

Dalla considerazione che può essere estremamente difficoltoso determinare il valore del

vettore r per ogni singola massa, si ricorre ad un integrale.

∫∑= dmr

mr

i

rr 1 .

dalla considerazione poi che la massa non è altro che il volume moltiplicato per la densità,

troviamo che :

dVrm

ri

ρ∫∑=

rr 1

Alternativamente si possono utilizzare entrambi i sistemi dove sia più comodo.

Quantità di moto

Per quantità di moto si definisce il valore:

vmp rr=

Interessante è la rielaborazione della seconda legge della dinamica,

dtpd

dtvmd

dtvdmamF

rrrrr

====Σ)(


Impulso

L’impulso rappresenta il valore di una forza applicato per un brevissimo tempo

(tipicamente millisecondi).

Considerando che in un urto le forze entranti in gioco sono insignificanti rispetto a quella

che genera l’urto si può scrivere che : dtFpdrr

= . Integrando poi l’equazione troviamo che :

JdtFpp if

rrrr==− ∫ , da cui deduciamo che l’impulso è pari alla differenza di quantità di

moto. Essendo talvolta difficile trovare il valore di Fr

in funzione del tempo e considerando

che solitamente si tratta di una curva tipica, possiamo considerare il valore medio F per il

calcolo dell’impulso : ptFJ rv∆=∆=

L’unità di misura dell’impulso sono i Newton per secondo [Ns]

CONSERVAZIONE

DELLA QUANTITÀ DI MOTO

Nel caso la somma delle forze risultanti applicate ad un corpo sia nulla, la quantità di moto

si conserva.

Lo si dimostra considerando la prima legge della dinamica, quando la velocità è costante

la somma delle forze applicate e nulla e quindi vmr è costante nel tempo, se poi

consideriamo anche la seconda legge della dinamica scopriamo che la sommatoria delle

forze dà come risultato il valore 0 e quindi anche dtpdr è pari a tale valore. Da queste

considerazioni deduciamo che quando la somma delle forze applicate ad un corpo e nulla

la quantità di moto si conserva.

fi PP =

Urti elastici

Dalla conservazione della quantità di moto si possono dedurre due importanti equazioni

utili nello studio degli urti eleastici in una dimensione tra due corpi di massa 1m ed 2m :

ffffiiii vmvmvmvm 22112211 +=+

e dalla conservazione dell’energia cinetica:

222

211

222

211 2

121

21

21

ffffiiii vmvmvmvm +=+


Urti anelastici

Nel caso degli urti anelastici la conservazione dell’energia cinetica non è più valida perché

esistono altre forze che compiono lavoro, l’unica legge valida rimane quella della quantità

di moto.

MOTO OSCILLATORE ARMONICO

Nello studio del moto oscillatore armonico si parte dalla formula fondamentale per la

descrizione dell’oscillazione:

)cos( φω += tAx

dove : A Viene chiamata ampiezza.

ω rappresenta la pulsazione o frequenza angolare.

φω +t rappresenta la fase.

Il tempo totale per effetuare un periodo è dato dalla formula: ωπ2

=T . e si esprime in

secondi [s], mentre la frequenza si definisce invece con: T

v 1= e si esprime in Hertz [Hz]

Dalla considerazione che possediamo la funzione di x rispetto al tempo, possiamo

determinare i valori della velocità e quelli dell’accelerazione semplicemente derivando tale

funzione:

)())cos((φωω

φω+−=

+== tAsin

dttAd

dtxdvr

r

)cos())(( 2 φωωφωω

+−=+−

== tAdt

tAsinddtvdar

r

essendo la seconda parte di quest’ultima equazione eguale a quella fondamentale,

possiamo anche scrivere : xa 2ω−= .

I valori massimi di ar e di vr si ottengono quando il valore di )( φω +tsin e )cos( φω +t sono

pari ad 1.


MOMENTO DELLE FORZE APPLICATE

Il momento di una forza viene considerato il valore

della forza moltiplicato per la sua distanza

perpendicolare minima dal punto di verifica.

)( θτ sinrF rrr=

Essendo una moltiplicazione tra vettori il verso di

τr seguirà il principio della mano destra.

EQUILIBRIO DEI CORPI RIGID

Le condizioni per l’equilibrio dei corpi rigidi sono che la

ad un corpo sia pari a 0. Si devono quindi considerare

momento, ovvero da una scomposizione di queste forze d

0=Σ xF ; 0=Σ yF ; 0=Στ

DINAMICA DEL CORPO RIGID

Vengono definiti alcuni valori fondamentali della cinematic

dtdθ

ω = detta velocità angolare misurata in radianti al sec

2

2

dtd

dtd θω

α == detta accelerazione angolare misurata in ra

dalle considerazioni sopra fatte, troviamo una corrispon

lineare e quelle del moto rotatorio:

tt ωθθ += 0)(

200)( ttt αωθθ ++=

)(2 020

2 θθαωω −+=

Pag. 25

I

sommatoria delle forze applicate

le forze come vettore e come

ovremmo stabilire che :

O

a di un corpo rigido quali:

ondo [rad/s].

dianti al secondo ^2 [rad/s^2]

denza tra le equazioni del moto


Momento d’inerzia

Il momento d’inerzia di un corpo che ruota è definito dalla somma delle singole masse per

la distanza dal punto di rotazione, si indica con I e la sua unità di misura è il [Kg*m^2].

Consideriamo che ∑= 2

21

iivmK r , nel moto rotatorio ad esempio vr è proporzionale al

raggio, quindi Rv ω=r , che sostituendo opportunamente nell’equazione precedente

diventa: ∑= 2)(21

ii RmK ω . il valore di 2iiRm è un valore da integrare, quindi possiamo

definire genericamente la formula dell’energia cinetica :

IK 2

21ω= Con 2mRI = .

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