Appunti di Elementi di Geometria Algebrica

Antonino Leonardis

29 novembre 2006

Indice

1 Cubiche 51.1 Classificazione proiettiva delle curve . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Forma canonica di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Risultato finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 1◦ Caso: cubiche irriducibili lisce . . . . . . . . . . . . 61.2.3 2◦ Caso: cubiche irriducibili singolari . . . . . . . . . . 8

1.3 Struttura di gruppo su una cubica . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Richiami di Algebra Commutativa 132.1 Quozienti e localizzazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Anelli noetheriani e teorema della base di Hilbert . . . . . . . 13

3 Topologia di Zariski 153.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz) . . . . . . . . . 16

4 Anello delle coordinate 174.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Ideali e chiusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3 Mappe polinomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3.1 Proprieta delle mappe polinomiali . . . . . . . . . . . 184.4 Punto di vista algebrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Varieta 195.1 Varieta affini (VA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.1.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Topologia di Zariski su Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.2.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2.2 Ideali omogenei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2.3 Carte affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.3 Varieta proiettive (VP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.4 Varieta quasi-proiettive (VQP) . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

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4 INDICE

5.5 Funzioni regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.5.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.5.2 Proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.6 Morfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.7 Mappe di Veronese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6 Prodotto 236.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.2 Applicazioni di Segre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6.2.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.3 Proprieta del grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.4 Ipersuperfici di grado d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 Gruppi algebrici 277.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.2 Azione di un gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8 Grassmanniane 298.1 Definizione ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.2 Immersione di Plucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

8.2.1 Quadrica di Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.2.2 Caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8.3 Varieta di incidenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

9 Funzioni razionali (FR) 319.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319.2 Funtore ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

9.2.1 Scoppiamento di A2 in (0, 0) . . . . . . . . . . . . . . 339.3 Teoria della dimensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349.4 Dimensione nel caso delle varieta proiettive . . . . . . . . . . 359.5 Superfici di grado d in P3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

10 Spazio tangente 3910.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3910.2 Anello locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Capitolo 1

Cubiche

Se non specificato diversamente in questo capitolo considereremo lo spazioproiettivo Pn(K) con char(K) 6= 2, 3 e le curve su di esso.

1.1 Classificazione proiettiva delle curve

Γ curva, d = deg Γ

d = 1 Rette (proiettivamente isomorfe)

d = 2 Coniche (classificazione in base al rango)

d = 3 Cubiche (?)

1.2 Forma canonica di Weierstrass

1.2.1 Risultato finale

y2 = p(x) [p(x) = x3 + ax2 + bx+ c]

f(x, y) = y2 − p(x)

Singolarita: y = p(x) = p′(x) = 0, cioe i punti (α, 0) tali che α e radicemultipla di p(x). Le radici di p(x) possono essere:

• Una radice tripla α ⇒ Γ = {y2 = k(x− α)3} ha una cuspide in (α, 0)

• Una radice doppia α ⇒ Γ = {y2 = k(x − α)2(x − β)} ha un nodo in(α, 0)

• Tutte radici singole ⇒ Γ e liscia

All’∞ la curva ha un flesso.

5

6 CAPITOLO 1. CUBICHE

1.2.2 1◦ Caso: cubiche irriducibili lisce

Proposizione 1.2.1. Sia Γ una cubica non singolare. Allora ∃O ∈ Γ flesso.

Dimostrazione 1.2.1 Sia F (P ) = 0 l’equazione della curva. Sia H l’Hes-siana di Γ. Allora:

P flesso ⇐⇒ F (P ) = H(P ) = 0

E questo sistema ha almeno una soluzione.

Proposizione 1.2.2. Sia Γ una cubica non singolare, O ∈ Γ flesso (cfr.1.2.1). Allora e possibile trovare un sist. rif. proiettivo t.c.:

1. O = [0, 0, 1]

2. Γ ha equazione y2 = (x− α1)(x− α2)(x− α3) ≡ p(x)

Dimostrazione 1.2.2 Prendo il sist. rif. proiettivo t.c. O = [0, 0, 1] e latangente in O e la retta z = 0. Allora nella carta y 6= 0 si ha l’equazioneaffine:

f(x, z) = z + z(ax+ bz) + p3(x, z)

E questa diventa nella carta z 6= 0:

g(x, y) = y2 + y(ax+ b) + p3(x, 1)

Con la trasformazione: x→ x

y → y +12(ax+ b)

L’equazione diventa della forma:

y2 = p(x), deg(p) = 3

Inoltre p puo essere facilmente reso monico; infatti, se p(x) = cx3+. . ., bastausare la trasformazione:x→ x

3√c

y → yoppure

x→ x

y → y√c

Infine, essendo Γ non singolare, p ha tre radici distinte α1, α2, α3 comevoluto.

Proposizione 1.2.3. Con le notazioni della proposizione precedente, si puotrovare un sist. rif proiettivo in cui p(x) = x(x− 1)(x− λ).

1.2. FORMA CANONICA DI WEIERSTRASS 7

Dimostrazione 1.2.3 Con un’affinita sulle x e facile ottenere un’equazionedella forma:

y2 = kx(x− 1)(x− λ)

A questo punto basta rendere il polinomio monico con la trasformazione:x→ x

y → y√k

Flessi

Sia Γ = {zy2 = x(x − z)(x − λz)} = {zy2 − x3 + (1 + λ)zx2 − λz2x = 0}.Calcoliamo la matrice Hessiana nei punti finiti (z = 1):

H(1, x, y) = det

−2λx 2(1 + λ)x− 2λ 2y2(1 + λ)x− 2λ −6x+ 2(1 + λ) 0

2y 0 2

=

= 8det

−λx (1 + λ)x− λ y(1 + λ)x− λ −3x+ 1 + λ 0

y 0 1

=

= 8y2(−3x+ 1 + λ) + 8 det

−λx (1 + λ)x− λ

(1 + λ)x− λ −3x+ 1 + λ

=

= 8(y2 − λx)(−3x+ 1 + λ) + 8((1 + λ)x− λ)2 =

= 8(x3 − (1 + λ)x2 + 2λx)(−3x+ 1 + λ) + 8((1 + λ)x− λ)2 =

= 8(−3x4 + 4(1 + λ)x3 − 6λx2 + λ2) ≡ 8h(x)

Dunque h(x) ha 4 radici, le quali sono distinte1 e diverse da {0, 1, λ}; dunqueΓ ha 8 flessi finiti simmetrici rispetto alla retta y = 0 e un flesso all’infinito.Si osservi che Γ ha il massimo numero di flessi possibile (Bezout).

Modulo di una cubica liscia

Definizione 1.2.4. Si definisce modulo di un birapporto β il valore:

j(β) =(β2 − β + 1)3

β2(β − 1)2

Si dimostra facilmente che le soluzioni di j(β) = j(γ) sono tutte e solequelle con γ ∈ {β, 1

β ,β

β−1 ,β−1

β , 1 − β, 11−β}; infatti j ha grado2 6, quindi se

1La dimostrazione e semplicemente il calcolo del risultante2Si definisce il grado di una funzione razionale f(x) = p(x)

q(x)∈ k(x) (p, q ∈ k[x]) come

deg f = max(deg p, deg q); in particolare f(x) = c ha esattamente deg f soluzioni (conmolteplicita)

8 CAPITOLO 1. CUBICHE

le soluzioni sono distinte la tesi e chiara. Gli unici due casi in cui ci sonosoluzioni coincidenti sono:

a) j(β) = 274 ⇒ β ∈ {−1, 2, 1

2} (Quaterna armonica)

b) j(β) = 0 ⇒ β ∈ {−ω,−ω2}, ω3 = 1 (Quaterna anarmonica)

Definizione 1.2.5. Si definisce modulo di una cubica Γ = {y2 = x(x −1)(x− λ)} rispetto al flesso O = [0, 0, 1] il valore:

jO(Γ) = j(γ)

Questo non e altro che il modulo del birapporto Bir(0, 1, λ,∞) e non dipendedalla scelta del sistema di riferimento in quanto e anche il modulo del bi-rapporto tra le tangenti a Γ passanti per O (le rette x = 0, x = 1, x = λ,r∞), il quale si conserva per proiettivita.Si definisce inoltre il modulo di una cubica Γ = {y2 = x(x−1)(x−λ)} senzaspecificare il flesso all’infinito come j(Γ) = jO(Γ); per far cio basta far vedereche jO(Γ) = jO′(Γ) (O e O′ flessi generici). Questo e chiaro in quanto bastaprendere un sistema di riferimento tale che O e O′ sono simmetrici rispettoalla retta y = 0; allora chiaramente si conserva il modulo con la simmetria.

Definizione 1.2.6. Sia Γ una cubica e j(Γ) il suo modulo. Allora Γ si dicecubica armonica se j(Γ) = 27

4 , mentre si dice cubica anarmonica se j(Γ) = 0.

Osservazione 1.2.7. Sia Γ una cubica ne armonica ne anarmonica. Allorail gruppo di invarianza GO(Γ) delle proiettivita che fissano la cubica Γ e unflesso O ha due elementi; supponendo Γ in forma di Weierstrass questi sonol’identita e la simmetria rispetto alla retta y = 0 (GO(Γ) ∼= Z/2Z).Se Γ e invece armonica GO(Γ) e ciclico con 4 elementi e (in forma di Weier-strass) e generato dall’affinita φ : (x, y) → (−x, iy) (GO(Γ) ∼= Z/4Z).Infine, se Γ e anarmonica, GO(Γ) e ciclico con 6 elementi e (in forma diWeierstrass) e generato dall’affinita ψ : (x, y) → (ω2x + 1,−y) (GO(Γ) ∼=Z/6Z).

1.2.3 2◦ Caso: cubiche irriducibili singolari

Una cubica irriducibile puo avere al piu un punto singolare P (se ne avessedue allora la retta passante per questi due avrebbe molt. di intersezione ≥ 4,assurdo). Supponiamo di essere in questo caso; allora si possono distingueredue casi:

1. P ordinario (cubica nodata)

2. P non ordinario (cubica cuspidata)

Proposizione 1.2.8. Anche per le cubiche singolari abbiamo una forma diWeierstrass. Precisamente:

1.2. FORMA CANONICA DI WEIERSTRASS 9

i) Ogni cubica nodata e proiett. equiv. alla curva y2 = x2(x− 1)

ii) Ogni cubica cuspidata e proiett. equiv. alla curva y2 = x3

Dimostrazione 1.2.8

i) Verifichiamo innanzitutto che tutte le cubiche nodate sono proietti-vamente equivalenti; in particolare saranno equivalenti a quella dellatesi. Considero un sist. rif. proiettivo t.c. P = [0, 0, 1] e le tangenti inP sono x = 0 e z = 0. Allora nella carta y 6= 0 si ha l’equazione:

xz + (ax3 + bx2z + cxz2 + dz3) = 0

e tornando alla carta z 6= 0:

xy + ax3 + bx2 + cx+ d = 0

ovvero:x(y + bx+ c) + ax3 + d

e con la trasformazione y → y + bx+ c si ottiene:

xy + ax3 + d = 0

la quale con facili scalamenti diventa:

xy + x3 + 1 = 0

ovvero quello che volevamo dimostrare, le cubiche nodate sono tutteequivalenti.

ii) Verifichiamo innanzitutto che tutte le cubiche cuspidate sono proietti-vamente equivalenti; in particolare saranno equivalenti a quella dellatesi. Considero un sist. rif. proiettivo t.c. P = [0, 0, 1] e la tangentein P e z = 0. Nella carta y 6= 0 si ha:

z2 + ax3 + bx2z + cxz2 + dz3 = 0

e tornando alla carta z 6= 0:

y + ax3 + bx2 + cx+ d = 0

la quale con la trasformazione x→ x−b/3a3√a

diventa:

y + x3 + cx+ d = 0

a questo punto e sufficiente sostituire y → y + cx+ d per ottenere:

y + x3 = 0

da cui la tesi.

10 CAPITOLO 1. CUBICHE

1.3 Struttura di gruppo su una cubica

Definizione 1.3.1. Sia Γ una cubica liscia e A,B due suoi punti. Allora sidefinisce:

R(A,B) = {L(A,B) ∩ Γ}\{A,B}

contando anche la molteplicita (L(A,A) e la tangente in A).

Definizione 1.3.2. Sia Γ una cubica liscia e O un suo punto. Allora sidefinisce la somma sui punti della cubica:

A⊕B = R(R(A,B), O)

Proposizione 1.3.3. (Γ,⊕) e un gruppo abeliano.

Dimostrazione 1.3.3

• Associativita • abbastanza complicata. Supponiamo:

(P ⊕Q)⊕ S = P ⊕ (Q⊕ S)

Questo si verifica se e solo se:

R(P ⊕Q,S) = R(P,Q⊕ S)

Infatti R(·, O) e bigettiva. Consideriamo la cubica degenere Γ′ =L(P,Q) + L(P ⊕Q,S) + L(O,Q⊕ S). Allora:

Γ′⋂

Γ = {P,Q,R(P,Q), S, P ⊕Q,R(P ⊕Q,S), O,Q⊕ S,R(Q,S)}

Quindi3:

– S,Q,R(Q,S) sono allineati ⇒ gli altri 6 punti sono su una conica

– R(P,Q), P ⊕ Q,O sono allineati ⇒ gli altri 3 punti sono su unaretta

Dunque P,Q ⊕ S,R(P ⊕ Q,S) sono allineati, ovvero R(P ⊕ Q,S) =R(P,Q⊕ S) c.v.d.

• Commutativita • facile (R e commutativa)

• Elemento neutro • O

O ⊕A = R(R(A,O), O) = A

• Opposto • −A = R(R(O,O), A)

−A⊕A = R(R(A,R(R(O,O), A)), O) = R(R(O,O), O) = O

3Nel caso questi 9 punti non siano distinti bisogna utilizzare Bezout generalizzato o unragionamento per continuita

1.3. STRUTTURA DI GRUPPO SU UNA CUBICA 11

Osservazione 1.3.4. Si osservi che:

• A+B + C = R(O,O) ⇐⇒ A,B,C sono allineati

• A+A+B = R(O,O) ⇐⇒ la tangente per A passa per B

• A+A+A = R(O,O) ⇐⇒ A e un flesso

Osservazione 1.3.5. Comunemente si considera un flesso O nel definire lalegge di gruppo. In questo caso:

• Il sottogruppo di torsione 2 ha 4 elementi, che sono i punti O,A,B,Ctali che le tangenti passano per O (in forma di Weierstrass quelli cony = 0).

• Il sottogruppo di torsione 3 ha 9 elementi, che sono esattamente i noveflessi.

Definizione 1.3.6. Sia Γ una cubica singolare irriducibile e O un suo puntonon singolare. Allora si definisce la somma sui punti non singolari (6= P )della cubica:

A⊕B = R(R(A,B), O)

In particolare si osservi che se A,B non sono singolari non lo e nemmenoR(A,B). Vale anche in questo caso che (Γ\{P},⊕) e un gruppo abeliano.

Osservazione 1.3.7. Supponiamo come sopra O flesso. In questo caso:

• Se la cubica e nodata si ha (Γ\{P},⊕) ∼= K∗ tramite l’isomorfismoφ : [z, x, y] → y−x

y+x .

• Se la cubica e cuspidata si ha (Γ\{P},⊕) ∼= K tramite l’isomorfismoφ : [z, x, y] → x

y .

• Il sottogruppo di torsione 2 ha 2 elementi nel caso della cubica nodata(O e, in forma di Weierstrass, A = (1, 0)) e uno solo nel caso dellacubica cuspidata (O), come si deduce facilmente dall’isomorfismo.

• Il sottogruppo di torsione 3 e esattamente l’insieme dei flessi (∼= Z/3Znel caso della cubica nodata, {O} nel caso della cubica cuspidata, comesi deduce facilmente dall’isomorfismo).

12 CAPITOLO 1. CUBICHE

Capitolo 2

Richiami di AlgebraCommutativa

2.1 Quozienti e localizzazioni

2.2 Algebre

2.3 Anelli noetheriani e teorema della base di Hilbert

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14 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI ALGEBRA COMMUTATIVA

Capitolo 3

Topologia di Zariski

3.1 Definizione

Sia E ⊆ K[x1, . . . , xn]. Allora si definisce il luogo di E come:

V (E) = {x ∈ An|f(x) = 0 ∀x ∈ E}

Gli insiemi di questo tipo sono i chiusi di una topologia su An (la di-mostrazione e abbastanza semplice) che viene detta topologia di Zariski.Viceversa sia X ⊆ An. Allora si definisce l’ideale di X come:

I(X) = {f ∈ K[x1, . . . , xn]|f(x) = 0 ∀x ∈ X}

3.2 Proprieta

• La topologia di Zariski e T1

• La topologia di Zariski e T2 ⇐⇒ K e finito (altrimenti gli aperti nonvuoti sono densi)

• An e riducibile ⇐⇒ K e finito

• An e compatto con la topologia di Zariski (per la dimostrazione si fauso della base di aperti Uf ≡ V ({f})C

• An e Noetheriano (cioe ogni catena discendente di chiusi e stazionaria)

• La topologia a complementari finiti e meno fine della topologia diZariski (gli insiemi finiti sono chiusi) e coincide con essa nel caso n = 1

• Per K = C oppure K = R la topologia euclidea e strettamente piu finedella topologia di Zariski (i chiusi di Zariski sono chiusi euclidei)

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16 CAPITOLO 3. TOPOLOGIA DI ZARISKI

3.3 Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz)

V (I(X) = X

I(V (J )) =√J

Capitolo 4

Anello delle coordinate

4.1 Definizione

Sia X ⊆ An un chiuso di Zariski. Si definisce anello delle coordinate di Xl’anello K[X] delle funzioni polinomiali (cioe esprimibili con un polinomio)da X in K. Chiaramente si ha:

K[X] ∼= K[x1, . . . , xn]/I(X)

da cui si ha tra l’altro che:

K[X] dominio di integrita ⇐⇒ X e irriducibile

.

4.2 Ideali e chiusi

Si definiscono, dati E ⊆ K[X] e Y ⊆ X, i seguenti:

VX(E) = {y ∈ X|f(x) = 0 ∀y ∈ E}

IX(Y ) = {f ∈ K[X]|f(y) = 0 ∀y ∈ Y }

Gli insiemi VX(E) non sono altro che i chiusi di X con la topologia (indotta)di Zariski.

4.3 Mappe polinomiali

Si definisce mappa polinomiale una funzione polinomiale (cioe le cui com-ponenti sono esprimibili con polinomi) da un chiuso X ⊆ An a un chiu-so Y ⊆ Am. Si definisce inoltre il funtore controvariante ∗ dalla categoria(chiusi, mappe polinomiali) alla categoria (K-algebre, omomorfismi) in modoche:

f∗ : K[Y ] → K[X]

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18 CAPITOLO 4. ANELLO DELLE COORDINATE

g → g ◦ f

Osservazione 4.3.1. Non e detto che una mappa polinomiale f bigetti-va sia un isomorfismo (cioe che f∗ sia un isomorfismo). Ad esempio laparametrizzazione f : K → {y2 = x3}, f(t) = (t2, t3) e bigettiva ma noninduce un isomorfismo di algebre. Infatti:

f∗([p(x, y)](y2−x3)

)= p(t2, t3) =⇒ t 6∈ im(f∗)

4.3.1 Proprieta delle mappe polinomiali

• f polinomiale ⇒ f continua

• f polinomiale 6⇒ f chiusa (Es.: X = {xy = 1}, Y = A1, f(x, y) = x)

• f polinomiale 6⇒ f aperta (Es.: X = Y = A2, f(x, y) = (x, xy))

• f polinomiale ⇒ f(X) unione finita di localmente chiusi (non di-mostrata)

Definizione 4.3.2. Una funzione f : X → Y si dice immersione chiusa sef(X) e chiuso in Y e f e isomorfismo con l’immagine

Definizione 4.3.3. Una funzione f : X → Y si dice dominante se f(X) edenso in Y

• f dominante ⇐⇒ f∗ iniettiva (in particolare IY (f(X)) = ker(f∗))

• f immersione chiusa ⇐⇒ f∗ surgettiva

• φ : K[Y ] → K[X] =⇒ ∃f : X → Y t.c. φ = f∗

4.4 Punto di vista algebrico

Se A e un anello commutativo con identita si puo considerare maxspec(A)(spettro massimale di A) e spec(A) (spettro primo di A) con la topologiadi Zariski. Il sollevamento di omomorfismi si comporta bene nello spettroprimo ma non nello spettro massimale (la contrazione di un massimale none necessariamente massimale). Se pero consideriamo omomorfismi di K-algebre il sollevamento si comporta bene anche nello spettro massimale.

Capitolo 5

Varieta

5.1 Varieta affini (VA)

5.1.1 Definizione

Si dice varieta affine una classe di isomorfismo di chiusi di Zariski. Inparticolare queste classi saranno determinate dall’anello delle coordinatecorrispondente.

5.2 Topologia di Zariski su Pn

5.2.1 Definizione

Y ⊆ Pn e chiuso di Zariski (proiettivo) ⇐⇒ π−1(Y ) ⊆ An+1 e chiuso diZariski (affine)

5.2.2 Ideali omogenei

5.2.3 Carte affini

5.3 Varieta proiettive (VP)

Si dice varieta proiettiva una classe di isomorfismo di chiusi di Zariskiproiettivi.

5.4 Varieta quasi-proiettive (VQP)

Si dice varieta quasi-proiettiva una classe di isomorfismo di localmente-chiusidi Zariski proiettivi. In particolare le VA e le VP sono VQP.Piu in generale si dimostra abbastanza facilmente che una VQP ammetteuna base di aperti affini (si restringe la varieta nelle carte {xi 6= 0} ottenendodelle cosiddette “varieta quasi affini (VQA)”; con queste la tesi e facile).

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20 CAPITOLO 5. VARIETA

5.5 Funzioni regolari

5.5.1 Definizione

Sia X una VQP. Una funzione f : X → K si dice regolare se e localmenteuna funzione razionale omogenea (cioe f(λx) = f(x) ovvero il numeratoree il denominatore hanno lo stesso grado). L’insieme di tali funzioni e unaK-algebra e si indica con OX(X).

5.5.2 Proprieta

• Le funzioni razionali sono continue (si verifica localmente con i chiusi)

• Se X e affine allora OX(X) ∼= K[X] (serve il NSS)

• Se X = Pn allora OX(X) ∼= K

5.6 Morfismi

Definizione 5.6.1. Una funzione f : X → Y e un morfismo se e continuae per ogni aperto V ⊆ Y :

g : V → K regolare ⇒ f ◦ g : f−1(V ) → K regolare

Un morfismo e detto isomorfismo se ammette un morfismo inverso.

Definizione 5.6.2. Sia f : X → Y un morfismo tra VQP. Allora definisco:

f∗ : OY (Y ) → OX(X), f∗(h) = h ◦ f

f∗ cosı definito e un omomorfismo K-lineare e ha le proprieta seguenti:

• (IdX)∗ = IdOX(X)

• (g ◦ f)∗ = f∗ ◦ g∗

• f isomorfismo ⇒ f∗ isomorfismo

I morfismi non sono altro che una generalizzazione delle mappe polinomialitra varieta affini. Infatti:

Proposizione 5.6.3. Sia X una VQP e f : X → An un’applicazione,f = (f1, . . . , fn). Allora:

f morfismo ⇐⇒ ∀i : fi regolare

Dimostrazione 5.6.3

⇒ fi = f∗(yi) e regolare per definizione

5.7. MAPPE DI VERONESE 21

⇐ Sia φ una FR su An. Sia V ⊆ An aperto tale che ∀y ∈ V : φ(y) = a(y)b(y)

(a, b ∈ K(An)). Allora:

φ ◦ f =a(f1, . . . , fn)b(f1, . . . , fn)

e regolare

Corollario 5.6.3 f : X → Y e un morfismo tra VA se e solo se e polinomiale.

Proposizione 5.6.4. Sia X ⊆ An una VA, f(x)[6= 0] ∈ K[X] e Xf = {x ∈X|f(x) 6= 0} un suo aperto principale. Allora Xf e una VA.

Dimostrazione 5.6.4 Sia φ : Xf → An+1 la mappa:

φ(x) = (x,1

f(x))

e sia Y = φ(Xf ). Allora Xf∼= Y .

Corollario 5.6.4 Se X e una VQP allora ammette una base di aperti affini.

Proposizione 5.6.5. Sia X una VA e Xf un aperto principale. Allora:

K[X] = K[X]f

5.7 Mappe di Veronese

Definizione 5.7.1. Si definisce la curva razionale normale di grado n come:

Cn ={

rk(x0 x1 . . . xn−1

x1 x2 . . . xn

)≤ 1

}Nel caso n = 3 essa viene anche chiamata cubica gobba.

Definizione 5.7.2. Si definisce la mappa di veronese vk,n : Pk → PN ,

ove si e posto N =(n+ kk

)− 1, utilizzando le coordinate (zI) con I =

(i0, . . . , ik) multiindice a somma n:

vk,n(x0, . . . , xk)I = XI

La mappa di Veronese vn,k e un isomorfismo tra Pk e un chiuso di PN . Inparticolare per k = 1 si ha un isomorfismo tra P1 e la curva razionale digrado n (si osservi che N = n) che possiamo scrivere esplicitamente:

v1,n([s, t]) = [sn, sn−1t, . . . , stn−1, tn]

22 CAPITOLO 5. VARIETA

Capitolo 6

Prodotto

6.1 Definizione

Si definisce il prodotto di due VQP X e Y tramite la proprieta universale,cioe la VQP W e il prodotto di X e Y con proiezioni p1 e p2 se e solo se ∀ZVQP, f : Z → X, g : Z → Y morfismi ∃!Φ : Z →W morfismo che fattorizzaf e g con le proiezioni (Φ ◦ p1 = f , Φ ◦ p2 = g). Questa proprieta implical’unicita di W a meno di isomorfismo, il quale isomorfismo deve fattorizzarele proiezioni di un prodotto nell’altro.

Osservazione 6.1.1. An × Am = Am+n

Osservazione 6.1.2. Pn × Pm e una varieta proiettiva (si veda il prossimoparagrafo)

6.2 Applicazioni di Segre

6.2.1 Definizione

Le applicazioni di Segre sn,m sono un isomorfismo tra Pn×Pm e una varietaproiettiva. Precisamente, posto N = (n+ 1)(m+ 1)− 1 e considerando PN

come lo spazio vettoriale delle matrici n ×m quozientato proiettivamente,definiamo:

sn,m([x0, . . . , xn], [y0, . . . , ym]) =

x0y0 x0y1 · · · x0ym

x1y0 x1y1 · · · x1ym...

.... . .

...xny0 xny1 · · · xnym

O piu concisamente:

sn,m(x, y) = xyT

A questo punto e facile dimostrare che un chiuso in Pn × Pm e definito daequazioni polinomiali con polinomi biomogenei in x, y.

23

24 CAPITOLO 6. PRODOTTO

Proposizione 6.2.1. Siano X, Y VQP. Allora:

X × Y irriducibile ⇐⇒ X,Y irriducibili

6.3 Proprieta del grafico

Proposizione 6.3.1. Sia f : X → Y un morfismo e Γf ⊂ X × Y il suografico. Allora Γf e chiuso; in particolare la diagonale ∆Y ⊂ Y × Y (cioe ilgrafico di idY : Y → Y ) e chiusa.

Dimostrazione 6.3.1 Dimostriamo innanzitutto che basta sapere che ladiagonale e chiusa per ottenere la tesi. Infatti considero il morfismo Φ :X × Y → Y × Y , Φ(x, y) = (f(x), y) e siccome Γf = Φ−1(∆Y ) ottengo cheΓf e chiuso in quanto controimmagine di un chiuso. Dimostriamo ora che∆Y e chiusa. In particolare basta farlo per Y = Pn. Si ha:

∆Pn ={

([x0, . . . , xn], [y0, . . . , yn])∣∣∣∣rk(

x0 . . . xn

y0 . . . yn

)≤ 1

}=

= {([x0, . . . , xn], [y0, . . . , yn])|xiyj − xjyi = 0}

Ed e quindi definita da polinomi biomogenei di bigrado (1,1), da cui e chiusa.

Corollario 6.3.1 Siano f, g : X → Y morfismi. Allora {f = g} e chiuso.Infatti {f = g} = (f ×g)−1(∆y) cioe e controimmagine di un chiuso tramiteil morfismo f × g.

Teorema 6.3.2. Siano X VP, Y VQP, f : X → Y morfismo. Allora f(X)e chiuso.

Prima di effettuare la dimostrazione consideriamo il seguente teorema equiv-alente:

Teorema 6.3.3. Siano X VP, Y VQP. Allora p2 : X × Y → Y e chiusa.

Tutto questo si esprime dicendo che X e universalmente chiusa.Dimostrazione 6.3.3

• Possiamo supporre Y affine (ci riduciamo agli elementi di una base diaperti affini)

• Possiamo supporre Y = An

• Possiamo supporre X = Pm

Sia Z un chiuso in An×Pm. Con un po’ di conti (qui omessi) si ottiene unacondizione polinomiale su f(Z), ovvero f(Z) e chiuso.

A questo punto possiamo dimostrare il teorema 6.3.2:Dimostrazione 6.3.2 f(X) non e altro che p2(Γf ) che e chiuso per ilteorema 6.3.3.

Corollario 6.3.2

6.4. IPERSUPERFICI DI GRADO D 25

• Se X e una VP connessa e f : X → K regolare allora f e costante (siestenda f a f : X → P1; allora f(X) e chiuso connesso 6= P1)

• Se X e una VP e anche affine allora e una unione finita di punti(ogni componente irriducibile ha un solo punto altrimenti si trova unafunzione regolare non costante)

• In particolare la chiusura proiettiva di una varieta affine e sempre piugrande a meno che questa non sia un insieme finito di punti

6.4 Ipersuperfici di grado d

Consideriamo lo spazio Id = P(K[x0, . . . , xn]d delle ipersuperfici di gradod. Sia U0 il sottoinsieme delle ipersuperfici senza fattori multipli e U1 ilsottoinsieme delle ipersuperfici irriducibili. Chiaramente Id ⊇ U0 ⊇ U1 6= ∅e si ha:

Proposizione 6.4.1. U0 e aperto.

Dimostrazione 6.4.1 Sia 0 < k < d e si consideri l’applicazione µk,d :Ik × Id−2k → Id, µk,d([f ], [g]) = [f ]2[g]. Allora:

UC0 =

d−1⋃k=1

im(µk,d)

Siccome µk,d e un morfismo (facile) e anche chiusa, quindi UC0 e unione di

chiusi da cui la tesi.

Proposizione 6.4.2. U1 e aperto.

Dimostrazione 6.4.2 Sia 0 < k < d e si consideri l’applicazione µk,d :Ik × Id−k → Id, µk,d([f ], [g]) = [f ][g]. Allora:

UC1 =

d−1⋃k=1

im(µk,d)

Siccome µk,d e un morfismo (facile) e anche chiusa, quindi UC1 e unione di

chiusi da cui la tesi.

Corollario U0 e U1 sono densi in Id.

26 CAPITOLO 6. PRODOTTO

Capitolo 7

Gruppi algebrici

7.1 Definizione

Sia X una VQP. Allora, data una legge di composizione interna ∗, la coppia(X, ∗) si dice gruppo algebrico se:

• (X, ∗) e un gruppo

• µ : X ×X → X, µ(x, y) = x ∗ y e un morfismo

• inv : X → X, inv(x) = x−1 e un morfismo

Esempio 7.1.1. Vediamo qualche esempio:

• (An,+) e un gruppo algebrico1

• (K∗, ·) e un gruppo algebrico2

• Il prodotto di due gruppi algebrici e un gruppo algebrico (in particolareil toro di dimensione n)

• GL(n,K) e un gruppo algebrico (sottovarieta aperta di An2)

• PGL(n,K) e un gruppo algebrico (sottovarieta aperta di Pn2−1)

• Una cubica liscia Γ con l’operazione di gruppo definita nel capitolo 1e un gruppo algebrico

Soffermiamoci su quest’ultimo esempio. Per dimostrare che e un gruppoalgebrico basta far vedere che il residuo R(·, ·) : Γ × Γ → Γ e un morfismo.Questo e abbastanza semplice in quanto si puo ricoprire Γ con aperti affinisui quali R e polinomiale. Rivediamo l’associativita (dimostrazione 1.3.3).In particolare grazie al corollario 6.3.1 possiamo affermare che, siccome (P+Q) +R = P + (Q+R) su un aperto denso, questi due morfismi sono ugualisu tutta la curva.

1(K, +) si denota anche con Ga2(K∗, ·) si denota anche con Gm e Gn

m viene detto toro di dimensione n

27

28 CAPITOLO 7. GRUPPI ALGEBRICI

7.2 Azione di un gruppo

Si dice che un gruppo algebrico (G, ·) agisce su una VQP X se ∃φ : G×X →X morfismo tale che:

• φ(1, x) = x ∀x ∈ X

• φ(g1 · g2, x) = φ(g1, φ(g2, x)) ∀x ∈ X, ∀g1, g2 ∈ G

Scriviamo per semplicita φ(g, x) = g · x. Allora le ultime due affermazionisi possono scrivere piu semplicemente come:

• 1 · x = x ∀x ∈ X

• (g1 · g2) · x = g1 · (g2 · x) ∀x ∈ X, ∀g1, g2 ∈ G

Esempio 7.2.1. Vediamo qualche esempio:

• (G, ·) agisce su G per moltiplicazione (φ(g1, g) = g1 · g)

• (G, ·) agisce su G stesso per coniugio (φ(g1, g) = g1 · g · g−11 )

• GL(n,K) agisce su An

• PGL(n,K) agisce su Pn−1

Capitolo 8

Grassmanniane

8.1 Definizione ed esempi

G(k, n) = {H ⊂ Kn |H sottospazio, dimH = k}

Per esempio:

G(1, n) = Pn−1

G(n− 1, n) = (Pn−1)∗

Il primo esempio non banale e dunque G(2, 4).

8.2 Immersione di Plucker

8.2.1 Quadrica di Klein

Consideriamo G(2, 4). Sia H ∈ G(2, 4). Sia v1, v2 ∈ H una base di H econsideriamo la matrice:

A = (v1|v2) =

a11 a12

a21 a22

a31 a32

a41 a42

Sia w1, w2 ∈ H un’altra base. Allo stesso modo consideriamo la matrice:

B = (w1|w2) =

b11 b12b21 b22b31 b32b41 b42

In particolare B = AM per qualche matrice invertibile 2× 2 M . Siano peri 6= j:

Aij =(ai1 ai2

aj1 aj2

)29

30 CAPITOLO 8. GRASSMANNIANE

E allo stesso modo:

Bij =(bi1 bi2bj1 bj2

)Si vede facilmente che Bij = AijM , da cui detBij = detAij detM . Con-siderando su P5 le coordinate [pij ]1≤i≤j≤4, grazie a quest’ultima osservazionela seguente funzione P : G(2, 4) → P5 e ben definita:

P (H)ij = detAij

ed e iniettiva in quanto si dimostra facilmente che i 6 determinanti detAij

determinano il piano H ∈ G(2, 4); essa viene appunto detta immersione diPlucker. Le [pij ] sono le coordinate di Plucker. L’immagine di G(2, 4) inP5 e un chiuso, piu precisamente una quadrica (i punti soddisfano p12p34 −p13p24 + p23p14 = 0) che viene chiamata quadrica di Klein.

8.2.2 Caso generale

Nel caso generale G(k, n) si definisce l’immersione di Plucker P : G(k, n) →

PN (N =(nk

)) allo stesso modo. Sia v1, . . . , vn una base di H ∈ G(k, n)

e si consideri la matrice: A = (v1| . . . |vk) e le sottomatrici AI (con I ={i1, . . . , ik} multiindice ordinato1, 1 ≤ I ≤ n) in cui si considerano soltantole righe I; in particolare cambiando base i determinanti detAI vengonomodificati da una costante e determinano completamente H. Dunque sipuo definire, considerando su PN le coordinate [pI ] (I solito multiindiceordinato):

P (H)I = detAI

Anche in questo caso P (G(k, n)) e un chiuso, ma ha equazioni piu compli-cate.

8.3 Varieta di incidenza

Osservazione 8.3.1. Applicando le matrici n×n alla matrice A che rapp-resenta un generico H ∈ G(k, n) si ottiene un’azione di GL(k, n) su G(k, n),che si dimostra essere un’azione algebrica.

Osservazione 8.3.2. Sia H ′ ⊆ Kn un sottospazio di dimensione d; alloral’insieme {H ∈ G(k, n)|H ′ ⊆ H} e un chiuso in quanto i punti H, se Arappresenta H e A′ rappresenta H ′, soddisfano la condizione:

rk(A

∣∣A′ ) ≤ k

Definizione 8.3.3. Piu in generale otteniamo la cosiddetta varieta di inci-denza:

Id,k = {(H ′,H)|H ′ ⊆ H} ⊆ G(d, n)×G(k, n)

1Si puo anche considerare I non ordinato, e in questo caso pji = −pij

Capitolo 9

Funzioni razionali (FR)

9.1 Definizione

Si dice funzione razionale da una VQP X in K una classe di equivalenzadi coppie (U, φ) con U ⊆ X aperto e φ : U → K funzione regolare con larelazione di equivalenza:

(U, φ) ≈ (U ′, φ′) ⇐⇒ φ|U∩U ′ = φ′|U∩U ′

e si scrive:f : X 99K K

intendendo che essa non e esattamente una funzione. Si dice che f e definitain x ∈ X se ∃ un rappresentante (U, φ) di f tale che x ∈ U , e l’insieme deipunti in cui f e definita si dice dominio di f e si indica con domf .

Osservazione 9.1.1. Le funzioni razionali su un irriducibile X formanoun campo che si denota con K(X), il quale, se X e affine, e il campo deiquozienti di K[X]. Piu in generale sono una K-algebra.

Si dice funzione razionale da una VQP X in un’altra VQP Y una classe diequivalenza di coppie (U, φ) con U ⊆ X aperto e φ : U → Y morfismo conla relazione di equivalenza:

(U, φ) ≈ (U ′, φ′) ⇐⇒ φ|U∩U ′ = φ′|U∩U ′

e si scrive:f : X 99K Y

Definizione 9.1.2. Sia f : X 99K Y una FR. Allora f si dice dominante se∀ rappresentante (U, φ) φ(U) e denso.

Osservazione 9.1.3. Siano f : Y 99K Z e g : X 99K Y due FR. Allora∃f ◦ g se g e dominante. Infatti, dati due rappresentanti f = [(U, φ)]≈ eg = [(V, ψ)]≈, si ha:

f ◦ g = [(φ−1(V ), φ ◦ ψ)]≈

31

32 CAPITOLO 9. FUNZIONI RAZIONALI (FR)

9.2 Funtore ∗Definizione 9.2.1. Sia f : X 99K Y una FR tra irriducibili. Alloradefinisco:

f∗ : K(Y ) → K(X), f∗(h) = h ◦ fil quale e un omomorfismo di K-campi ed e anche iniettivo. Se f , g sonocomponibili si ha (f ◦ g)∗ = g∗ ◦ f∗. Si definisce mappa birazionale unaFR f : X 99K Y t.c. ∃g : Y 99K X FR con f ◦ g = idX ; se in particolaref e g sono dominanti si ha un isomorfismo birazionale. Si osservi che inquest’ultimo caso, se X e irriducibile, f∗ e un isomorfismo di K-campi.

Proposizione 9.2.2. Sia X VQP irriducibile. Allora K(X) e finitamentegenerato.

Dimostrazione 9.2.2 Sia V ⊆ X un aperto affine. Allora si ha K(X) ∼=K(V ) (cfr. 9.2.1) e quest’ultimo e finitamente generato (dalle funzionicoordinate Xi).

Proposizione 9.2.3. Siano X, Y VQP irriducibili. Sia ψ : K(Y ) →K(X) un omomorfismo iniettivo di K-campi. Allora ∃!f : X 99K Y mapparazionale dominante tale che ψ = f∗.

Dimostrazione 9.2.3 Supponiamo Y affine ⊆ Am. Sia fi = ψ(Yi); allorasi puo prendere f(x) = (f1(x), . . . , fm(x)).

Teorema 9.2.4. Siano X,Y VQP irriducibili. Allora le seguenti affer-mazioni sono equivalenti:

i) X ∼=bir Y

ii) K(X) ∼= K(Y )

iii) ∃U ⊆ X, V ⊆ Y aperti t.c. U ∼= V

Dimostrazione 9.2.4

ii)⇒i) Segue facilmente da 9.2.3.

i)⇒ii) Gia dimostrato in 9.2.1.

iii)⇒i) Chiaramente X ∼=bir U ∼=bir V ∼=bir Y .

i)⇒iii) Sia f : X 99K Y un isomorfismo birazionale. Siano (U0, φ) e (V0, ψ)dei rappresentanti rispettivamente di f e di f−1. Voglio dimostrareche i seguenti aperti (non vuoti) sono isomorfi:

U = φ−1(ψ−1(U0))

V = ψ−1(φ−1(V0))

Si osservi che:

9.2. FUNTORE ∗ 33

– P ∈ U0 e φ(P ) ∈ V0 ⇒ ψ(φ(P )) = P

– Q ∈ V0 e ψ(Q) ∈ U0 ⇒ φ(ψ(Q)) = Q

Quindi basta far vedere che φ(U) ⊆ V e ψ(V ) ⊆ U . Le due di-mostrazioni sono simili e abbastanza semplici.

Esempio 9.2.5. Si dice trasformazione di Cremona standard la seguenteFR:

C : P2 99K P2

C([x0, x1, x2]) = [x1x2, x0x2, x0x1]

C e definita in P2\{[0, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0]}; inoltre:

C2([x0, x1, x2]) = C([x1x2, x0x2, x0x1] = [x20x1x2, x0x

21x2, x0x1x

22] = [x0, x1, x2]

cioe C2 = idP2 . Si osservi che C e un automorfismo di U = P2\{xyz = 0},da cui e un isomorfismo birazionale di P2, cioe C ∈ Bir(P2), il gruppodelle mappe birazionali f : P2 99K P2. Per questo gruppo si ha il seguenteteorema, dovuto a Noether:

Teorema 9.2.6 (Noether). Il gruppo Bir(P2) e generato dalle proiettivitae dalla trasformazione di Cremona standard C.

9.2.1 Scoppiamento di A2 in (0, 0)

Definizione 9.2.7. Si consideri la funzione razionale π : A2 99K P1 rappre-sentata dalla seguente coppia (U, φ):

U = A\{(0, 0)}

φ(x, y) = [x, y]

La chiusura del suo grafico Z = Γπ ⊂ A2 × P1 viene detto scoppiamento diA2 in (0, 0) e si scrive A2 = Z. In particolare e facile vedere che:

A2 = {((x, y), [s, t])|xt− ys = 0}

Si osservi infatti che {((0, 0), [a, b])} ⊂ A2 (per dimostrare questa affer-mazione si considerino gli insiemi Za,b = {((λa, λb), [a, b])|λ ∈ K} ∼= A1).

34 CAPITOLO 9. FUNZIONI RAZIONALI (FR)

9.3 Teoria della dimensione

Definizione 9.3.1. Sia K ⊂ F un’estensione di campi. Siano a1, . . . , an ∈F. Si dice che a1, . . . , an sono algebricamente dipendenti su K se ∃p ∈K[x1, . . . , xn], p 6= 0 t.c. p(a1, . . . , an) = 0; se cio non vale a1, . . . , an sidicono invece algebricamente indipendenti su K. Un insieme S ⊆ F si dicealgebricamente indipendente se lo e ogni suo sottoinsieme finito.

Definizione 9.3.2. Sia K ⊂ F un’estensione di campi. Un’insieme B ={ai}i∈I si dice base di trascendenza dell’estensione se e un insieme algebri-camente indipendente massimale. Si puo dimostrare che, data un’estensionedi campi K ⊂ F, esiste almeno una base di trascendenza e che tutte le basidi trascendenza hanno la stessa cardinalita.

Definizione 9.3.3. Sia K ⊂ F un’estensione di campi e B una base ditrascendenza. Si dice grado di trascendenza dell’estensione il cardinale:

tr degKF = #B

Per quanto osservato sopra il grado di trascendenza e ben definito.

Definizione 9.3.4. Sia X una VQP irriducibile. Si definisce la dimensionedi X come:

dimX = tr degKK(X)

Piu in generale se X e una qualsiasi VQP e X1, . . . , Xk sono le sue compo-nenti irriducibili si definisce:

dimX = maxi=1,...,k

dimXi

Grazie al teorema 9.2.4 la dimensione e un’invariante birazionale.

Esempio 9.3.5.

• Un punto ha dimensione 0.

• An,Pn hanno dimensione n.

• Le ipersuperfici in An o Pn hanno dimensione n− 1.

• dimG(k, n) = k(n− k).

• Se X e Y sono VQP irriducibili dimX × Y = dimX + dimY .

Proposizione 9.3.6. Sia f : X 99K Y una FR dominante tra VQP ir-riducibili. Allora dimY ≤ dimX.

9.4. DIMENSIONE NEL CASO DELLE VARIETA PROIETTIVE 35

Dimostrazione 9.3.6 Essendo f∗ iniettivo, esso conserva l’indipendenza al-gebrica. Dunque presa una base di trascendenza di K(Y )/K la sua immaginein K(X) e un insieme algebricamente indipendente, dunque puo essere com-pletato ad una base di trascendenza su K (che chiaramente ha cardinalita≥).

Proposizione 9.3.7. Siano X, Y VQP irriducibili. Allora dim(X × Y ) =dimX + dimY .

Dimostrazione 9.3.7 Posso supporre X, Y affini, cioe X ⊆ AN e Y ⊆AM . Sia x1, . . . , xN una base di trascendenza per K(X)/K e y1, . . . , yN

una base di trascendenza per K(Y )/K. Allora K(X × Y ) e generato dax1, . . . , xN , y1, . . . , yN . Dunque basta dimostrare che essi sono algebrica-mente indipendenti. Questo e abbastanza semplice, si trova facilmente cheun polinomio p(x1, . . . , xN , y1, . . . , yN ) si annulla solo se e identicamentenullo.

Proposizione 9.3.8. Sia X una VQP irriducibile. Sia Y ⊆ X chiusoirriducibile. Allora dimY = dimX ⇒ Y = X.

Dimostrazione 9.3.8 Chiaramente ogni base di trascendenza per K(Y )/Ke anche una base di trascendenza di K(X)/K. Possiamo supporre X affine;allora e facile vedere che I(Y ) = ∅.

Definizione 9.3.9. Si definisce la dimensione topologica di uno spaziotopologico come:

dimtopX = sup{K|∃ catena ascendente di chiusi irrid. di cardinalita K}

In particolare:

dimtop An = dimtop Pn = dim An = dim Pn = n

Da cui, se X e una VQP (e grazie alla proposizione 9.3.8):

dimtopX ≤ dimX

Proposizione 9.3.10 (Senza dimostrazione).

dimtopX = dimX

9.4 Dimensione nel caso delle varieta proiettive

Teorema 9.4.1. Siano X,Y ⊆ Pn chiusi irriducibili. Supponiamo chedimX + dimY ≥ n. Allora X ∩ Y 6= ∅ e in particolare dimZ ≥ dimX +dimY − n per ogni componente irriducibile Z ⊆ X ∩ Y .

36 CAPITOLO 9. FUNZIONI RAZIONALI (FR)

Corollario 9.4.1P2 6∼= P1 × P1

Teorema 9.4.2. Siano X, Y VP irriducibili. Sia f : X → Y un morfismosurgettivo, r = dimX − dimY . Allora:

1. ∀y ∈ Y ogni componente irriducibile di f−1(y) ha dimensione ≥ r

2. ∃U ⊆ Y aperto 6= ∅ t.c. ∀y ∈ U dim(f−1(y) = r)

Corollario 9.4.2 Si consideri:

Ψf : Y → Ny → dim f−1(y)

Allora Ψf e semicontinua superiore.

Esempio 9.4.3. Sia f : A2 → A2 la proiezione canonica. Allora Ψf = 1(0,0),quindi e effettivamente semicontinua superiore.

Teorema 9.4.4 (Criterio di irriducibilita per varieta proiettive). SianoX, YVP. Sia f : X → Y morfismo surgettivo. Supponiamo che Y sia irriducibilee che Ψf ≡ k; allora X e irriducibile e dimX = dimY + k.

9.5 Superfici di grado d in P3

Sia N = N(d) =(d+ 3

3

)− 1; allora possiamo identificare le superfici

di grado d in P3 con i punti in PN . Si dice che una proprieta vale per lasuperficie generale di grado d se ∃U ⊆ PN aperto 6= ∅ tale che la proprietavale per tutte le superfici corrispondenti ai punti di U .

Esempio 9.5.1. Vediamo quali rette contiene la superficie generale di gradod. Consideriamo:

I = {(l, [F ])|V (F ) ⊇ l} ⊂ G(2, 4)× PN

I e chiaramente chiuso. Si consideri la retta l0 = {x2 = x3 = 0}; allora:

(l0, [F ]) ∈ I ⇐⇒ F = x2A+x3B ⇐⇒ xd0, x

d−10 x1, . . . , x

d1 hanno coefficiente nullo in F

In particolare p2(p−11 (l0)) e un sottospazio proiettivo di codimensione d+ 1.

Inoltre PGL(4) agisce su G(2, 4)× PN nel modo seguente:

g(l, [F ]) = (gl, [F ◦ g−1])

9.5. SUPERFICI DI GRADO D IN P3 37

Si vede facilmente che gI = I ∀g ∈ PGL(4); dunque, utilizzando un ele-mento g ∈ PGL(4) tale che gl = l0, si ottiene che in generale p2(p−1

1 (l)) hacodimensione d+ 1. Allora, grazie al teorema 9.4.4, si ha:

dim I = 4 +N − d− 1 = N − d+ 3

Vediamo alcuni casi (Σ = p2(I)):

d = 1 Banale

d = 2

d = 3 Si ha dim I = N . Si possono avere due casi:

1. Σ = PN

2. Σ 6= PN

Il secondo caso e impossibile perche si dovrebbe avere che ∀[F ] ∈ Σl’insieme p−1

2 ([F ]) e infinito; per vedere che questo e assurdo bastaconsiderare la cubica xyz = t3, la quale contiene solamente le tre rettex = 0, y = 0, z = 0.

d ≥ 4 dim Σ = dim I < N ⇒ la superficie generale di grado d non contienerette

38 CAPITOLO 9. FUNZIONI RAZIONALI (FR)

Capitolo 10

Spazio tangente

10.1 Definizioni

Definizione 10.1.1. Sia X ⊆ An, X = V (f). Dati P ∈ X e una rettal = {P + tQ} si definisce la molteplicita di intersezione di l e X in P come:

mP (X, l) = vt(f(P + tQ))

Si dice che l e tangente a X in P se mP (X, l) > 1.

Osservazione 10.1.2. Con le notazioni della definizione 10.1.1 si ha:

l tangente a X in P ⇐⇒ g′(0) = 0 ⇐⇒n∑

i=1

∂f

∂xi(P + tQ)Qi|t=0 = 0 ⇐⇒

⇐⇒n∑

i=1

∂f

∂xi(P )Qi = 0 ⇐⇒ Q ∈ ∇f(P )⊥

Definizione 10.1.3. Con le notazioni della definizione 10.1.1 si definisce lospazio tangente a X in P come:

TPX = ∇f(P )⊥

L’osservazione 10.1.2 giustifica questo nome. Piu in generale, se X ⊆ An eun qualsiasi chiuso irriducibile, si definisce:

TPX =⋂

f∈I(X)

∇f(P )⊥

Proposizione 10.1.4. L’applicazione φ : X → N tale che:

φ(P ) = dimTPX

e semicontinua superiore.

10.2 Anello locale

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