Appunti di Analisi - media.readthedocs.org · CAPITOLO 1 di Gaetano Carpinato Questi sono gli...

Appunti di AnalisiRelease 1.0

Gaetano Carpinato

18 ott 2018

Argomenti trattati

1 di Gaetano Carpinato 11.1 Dimostrazioni Matematiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 I Numeri Razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 I Numeri Reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Calcolo Combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Teorema del Buon Ordinamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Somma dei quadrati dei primi n numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7 Proprietà di Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8 Teorema di densità di Q e di R\Q nei Reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9 Maggioranti e Minoranti di un Insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.10 Massimo e Minimo di un Insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.11 Estremo Superiore e Inferiore di un Insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

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CAPITOLO 1

di Gaetano Carpinato

Questi sono gli appunti di Analisi dell’A.A. 2015-2016 dell’Università di Catania, corso di laurea in Informatica (A-L).

Professore Giovanni Emmanuele.

1.1 Dimostrazioni Matematiche

1.1.1 Principio di Induzione

Viene utilizzato quando è richiesta la dimostrazione di una proposizione @P@ ( ipotesi induttiva ) che vale per inumeri naturali @NN@. Esso afferma che:

1. Base di induzione: Se @P@ è vera per @n = 0@, cioè @P(0)@ è vera

2. Passo induttivo: Se @P@ è vera per @n@ allora @P@ è vera per @n + 1@, cioè @P(n)@ vera implica@P(n+1)@ vera

Come usare il principio di induzione

Supponiamo di avere una proposizione @P(n)@ da dover dimostrare @AA n in N@ o più in generale per ogni @n>= k@ con @k = 0,1,2,3. . . @

1. Base di induzione:

(a) Si sostituisce il valore iniziale @k@ all’interno della proposizione e si verifica che si è ottenutaun’espressione vera.

2. Passo induttivo

(a) Si suppone che sia vera @P(n)@ ( ipotesi induttiva ).

(b) Si va a sostituire @n+1@ al posto di @n@ in @P(n)@ ottenendo @P(n+1)@ e si dimostra che anche@P(n+1)@ è vera.

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Appunti di Analisi, Release 1.0

Una volta ricavata @P(n+1)@ con qualche passaggio algebrico (che può essere più o meno semplice) ci si devericondurre a scrivere @P(n+1) = P(n)@ più, meno, per, diviso «qualcosa». A questo punto scatta l’ipotesi induttiva evado a sostituire al posto di @P(n)@ la sua espressione e faccio i vari conti che mi si presentano. Se tutto è andato peril verso giusto dovrei aver ottenuto l’espressione di @P(n+1)@ ottenuta al punto (2b).

Fine! Grazie al principio di induzione posso infatti affermare che la mia proposizione è vera per ogni @n >= k@

1.2 I Numeri Razionali

1.2.1 Introduzione all’insieme @QQ@

Work in progress. . .

1.2.2 Dimostrare che @x^2 = 2@ non ha soluzione in @QQ@

Nota: Questo è un problema che risale a circa 2000 anni fa

Supponiamo, per assurdo, che esista una frazione @p/q@ tale che @(p/q)^2 = 2@; sia @MCD(p, q) = [email protected] @MCD(p, q) = 1@ allora

@(p^2 / q^2) = 2 hArr p^2 = 2q^2@

la seconda espressione dell’uguaglianza, @2q^2@, è pari, quindi anche la prima lo è.Se @p^2@ è pari, anche @p@ dev’essere pari.@p = 2h@, ne segue @(2h)^2 = 2q^2 hArr 4h^2 = 2q^2 hArr 2h^2 = q^2 rArr q^2@ è pari @rArr q@ è pariSia @q@ che @p@ sono pari, ma è impossibile perchè va in contraddizione con l’ipotesi che @MCD(p, q) = 1@,quindi siamo arrivati all’assurdo.

Lezione del 13-10-2015

1.3 I Numeri Reali

1.3.1 Introduzione all’insieme @RR@

Sia @m/n in QQ@, @m/n@ può essere rappresentato nella forma

@+-q_0,q_1q_2q_3q_4@. . . [ infinite cifre dopo la virgola ]

definita allineamento decimale dove @q_0 in NN_0@ mentre @q_1,q_2,q_3@ sono cifre = {0, 1, . . . , 9}.

Giovanni Emmanuele - Orari di ricevimento

Stanza 346 (Altro blocco)

2 Capitolo 1. di Gaetano Carpinato


• Lunedì 8:00 - 9:30

• Martedì 10:30 - 12:00

• Venerdì 8:00 - 9:30

Definizione di Numero Reale #1

Ad ogni numero razionale si può associare un unico allineamento decimale che è finito oppure periodico.

Definizione di Numero Reale #2

chiameremo numero reale lo @0 in Q@ ed inoltre ogni simbolo del tipo @+-c_0,c_1c_2c_3c_4@. . . dove @c_0 inNN_0@ mentre @c_1, c_2, c_3@ sono cifre che non sono tutte nulle (cioè @0@).

Definizione di @RR@

è l’insieme dei numeri Reali positivi se hanno il segno @+@, negativi se hanno il segno @-@, lo @0@ non è positivonè negativo.


1.3.2 Uguaglianza in @RR@

Definizione:

Siano @x, y in RR@, diremo che essi sono uguali se @x@ e @y@ sono lo zero di @QQ@ oppure, se nessuno deidue è lo zero, se hanno lo stesso segno, la stessa parte intera e le cifre decimali ordinatamente uguali con l’eccezionedei numeri periodici di periodo 9.

Proprietà della relazione Uguaglianza

• Riflessiva : @x = x AA x in RR@

• Simmetrica : @x = y rArr y = x@

• Transitiva : @x = y and y = z rArr x = z@


1.3.3 Ordinamento in @RR@

Definizione di Ordinamento in @RR@

Siano @x, y in RR@ con @x != y@

• Se @x@ ha il segno @+@ e @y = 0@; diciamo che @x@ è più grande di @y@ [@x > y@]

• Se @x@ ha il segno @-@ e @y = 0@; diciamo che @y@ è più grande di @x@ [@y > x@]

• Se @x@ ha segno @+@ e @y@ ha segno @-@; diciamo che @x@ è più grande di @y@ [@x > y@]

1.3. I Numeri Reali 3


• Se @x@, @y@ hanno il segno @+@; diciamo che @x@ è più grande di @y@ se la parte intera di @x@ èpiù grande di quella di @y@. Se invece le parti intere sono uguali confrontiamo, in maniera ordinata, le cifredecimali dopo la virgola fin quando non troviamo una cifra di @x@ che è più grande di @y@

• Se @x@, @y@ hanno il segno @-@; Indico @-x@ e @-y@ i numeri che si ottengono da @x@, @y@ cam-biando il segno; diciamo che @x@ è più grande di @y@ se @-x < -y@ [ Quando due numeri hanno il segno@-@ cambiamo di segno i due numeri e ci riconduciamo alla definizione precedente ]

Nota: Se le parti intere sono uguali confrontiamo la prima cifra decimale e così via. . .

Proprietà dell’Ordinamento in @RR@

• Antisimmetrica : @x <= y and y <= x@ @rArr@ @x = y@

• Transitiva : @x <= y and y <= z@ @rArr@ @x <= z@

Definizione di Ordinamento Totale

L’Ordinamento in @RR@ è totale perchè due elementi in @RR@ sono confrontabili, qualunque essi siano. L’Ordi-namento Totale è un particolare Ordinamento Parziale [ si definisce ordinamento parziale quando almeno due elementinon sono confrontabili ].

Vedi anche:

Approfondire Ordine Lessicografico

1° Perla di Emmanuele

Il simbolismo in campo scientifico è fondamentale. Non possiamo parlare a vanvera anzichè indicare una cosa neindichiamo un’altra. Se io prendo un testo in inglese o indiano, visto che i simboli sono uguali in tutte le lingue lopuoi leggere. Se i simboli fossero diversi da paese a pese sarebbe un guaio. Il simbolismo uguale in tutti i paesiè fondamentale per la comunicazione. Il succo: Dobbiamo stare attenti ad usare i simboli appropriati quando siesprime un concetto.


1.3.4 Valore Assoluto @|x|@

Definizione:

Dato un numero reale @x@, si chiama valore assoluto di @x@ un altro numero reale definito come segue

• @|x| = 0 if x = 0@

• @|x| = x if x text( è positivo)@

• @|x| = -x if x text( è negativo)@

Es. @if |x - 1| = {(0 text( per ) x = 1),(x-1 text( per ) x > 1),(-(x-1) text( per ) x < 1):}@

Nota: nell’esempio stiamo esaminando/studiando il segno di tutta la quantità che abbiamo dentro il valore assoluto



Proprietà del Valore Assoluto

• @|x| = 0 hArr x = 0@

Dimostrazione :Ip. @|x| = 0@; Ts. @x = [email protected] per assurdo supponendo che @x != 0@, quindi @x@ è positivo oppure @x@ è negativo.Se @x@ è positivo allora @|x| = x rArr x > 0 rArr@ contraddizione dell’ipotesi.Se @x@ è negativo allora @|x| = -x rArr -x > 0 rArr@ contraddizione dell’ipotesi.Quindi @x = 0@.

• @|x| >= 0 AA x in RR@ ( non è mai negativo )

• @|x| = |-x| AA x in RR@

Dimostrazione :@x@ positivo @rArr |x| = x = +c_0,c_1c_2c_3@. . . [ Allineamento decimale con segno @+@ ] quindi@-x = -c_0,c_1c_2c_3@. . . è negativo.@|-x| = -(-x) = +c_0,c_1c_2c_3@. . . quindi in tutte i due casi vale @+c_0,c_1c_2c_3@. . .@x@ è negativo @rArr -x@ è positivo @rArr |-x| = -x @ (Proprietà transitiva)


1.3.5 Somma in @RR@

Somma tra positivi

Sia @x = c_0,c_1c_2c_3. . . and y = d_0,d_1d_2d_3. . . @

@x+y = +h_0,h_1h_2h_3. . . @

Indichiamo con

• @x_0 = +c_0 , y_0 = +d_0 rArr x_0 + y_0 = s_0@

• @x_1 = +c_0,c_1 , y_0 = +d_0,d_1 rArr x_1 + y_1 = s_1@

• continuando così. . .

Definiremo @s_0@ ed @s_1@ somme parziali.


Somma tra positivo e negativo

Si considerano i valori assoluti dei numeri e si prende il segno di quello maggiore ( come valore ) e si fa la differenzadei due numeri mettendo il maggiore come primo numero.

Appunti incompleti. . .

Teorema delle Somme Parziali

Eseguendo le somme parziali da un certo posto in poi la parte intera rimane la stessa; da un posto successivo anche laprima cifra decimale rimane la stessa e così via. . .

@a in RR^+, b in RR^-@ : @a+b = {(+(|a| - |b|), if |a| > |b|),(0, if |a| = |b|),(-(|b| - |a|), if |a| < |b|):}@




1.3.6 Prodotto in @RR@

Sia @a, b in RR^+@ con @a=+h_0,h_1h_2h_3@. . . e @b = + m_0,m_1m_2m_3@. . .TeoremaDa un certo posto in poi, i numeri @p_0,p_1@. . . hanno la stessa parte intera, da un posto successivo anche la primafila decimale rimane costante@a in R^+@, @b in R^-@ : @a * b = - |a| * |b|@

Appunti incompleti. . .


1.3.7 Proprietà della Somma e del Prodotto in @RR@

Avvertimento: Tutte queste proprietà ci servono per poter eseguire i calcoli e devono essere tuttedimostrate/dimostrabili

• Commutativa : @a + b = b + a, a*b = b*a@

• Associativa : @(a+b)+c = a+(b+c), (a*b)*c = a*(b*c)@

• Elemento neutro della somma è @0@ : @a+0 = 0+a = a@

• Elemento neutro del prodotto è @1@ : @a*1 = 1*a = a@

• Ogni @a in RR@ ha l’opposto (si indica con @-a@)

• Ogni @a in RR, a != 0@ ha l’inverso (si indica con @1/a@)

• Proprietà distributiva ( del prodotto rispetto alla somma ):

@(a+b) * c = a * c + b * c@

• legge dell’annullamento del prodotto ( per risolvere le equazioni ):

Se @a*b = 0@, allora almeno uno dei due fattori dev’essere @[email protected]. @(x+1)(x-2) = 0@ allora @x+1 = 0@ oppure @x-2 = 0@, quindi @x=-1 or x=2@

• Regola dei segni ( Per risolvere le disequazioni ):

@+ * + = +@@+ * - = -@@- * - = +@

Nota: L’elemento neutro, l’opposto e l’inverso sono unici

Nota: Prima regola che bisogna imparare nello studio del calcolo scientifico: Nella teoria devo trovare qualcosa chegiustifica la mia operazione, altrimenti non la posso fare




1.3.8 Potenza in @RR@

Sia @a^n = a*a*a*a@ . . . (n fattori) con @n in NN@

Proprietà della potenza

• @a^(n_1) * a^(n_2) = a^(n_1+n_2)@

• @a^(n_1) / a^(n_2) = a^(n_1-n_2)@

• @(a^n)^p = a^(n*p)@

• @a^0 = 1 AA a in RR, a != 0@ ( @0^0@ non ha alcun significato)

• @a^-n = a/a^n@ (inverso di @a^n@) con @n in NN@

Sia @x^n = a@ dove @n in NN, a in RR@Caso @a = 0@ [ è il caso più semplice ]L’equazione diventa @x^n = 0 rArr x=0@Dalla legge dell’annullamento del prodotto segue che @x=0@ è l’unica soluzione.

Nota: Applicando la legge dell’annullamento del prodotto uno dei fattori dev’essere @0@, ma essendo tutti i fattoriuguali la soluzione non può essere che @x = 0@

Caso @a > 0@ [ Cerchiamo soluzioni positive ]L’equazione @x^n = a if a > 0@ ammette una ed una sola soluzione positiva, questa soluzione viene chiamata radicearitmetica n-esima(ennesima) di a.Definizione del TEOREMA della «radice n-esima aritmetica di a», simbolo @root(n)(a)@

Sia @a > 0@ e sia @n in NN@. L’equazione @x^n = a@ ha un’unica soluzione positiva.

[ Di questo teorema NO DIMOSTRAZIONE ]Caso @a > 0@ [ Cerchiamo soluzioni negative ]Se @n@ è dispari, l’equazione che stiamo considerando non ha soluzioni negative.Se @n@ è pari, il numero @- root(n)(a)@ è soluzione dell’equazione @x^n = a@ ed è unica.

Nota: se fossero più di una, gli opposti delle soluzioni trovate sarebbero positive e questo andrebbe contro il teoremaenunciato nel caso precedente

Caso @a < 0@Tutto dipende da @n@; se è pari allora non esistono soluzioni.Se @n@ è dispari, se esistono soluzioni saranno sicuramente numeri negativi [ applicando la regola dei segni ].Supponiamo che @bar(x)@ (negativo) sia una soluzione:



@bar(x)^n = a hArr - (bar(x)^n) = -a hArr (-bar(x))^n = -a text( dove ) -a > 0, - bar(x) > 0@Dal teorema precedente segue che @-bar(x)@ è unico ed è @-bar(x)@ = @root(n)(a) rArr bar(x) = - root(n)(a)@.

Nota: Quando @n@ è dispari, per comodità di scrittura @- root(n)(-a)@, adottiamo la scrittura @root(n)(a)@portando all’interno della radice il segno @-@


1.3.9 Radice Quadrata in @RR@

Simbolismi e proprietà@root(n)(a) = a^(1/n)@ quindi @a^(m/n) = root(n)(a^m) if a >= 0 or ( a < 0 and n, m text( pari)) or (a < 0 and n text(dispari))@.

Nota: Se @a < 0@, @n@ pari e @m@ dispari allora @a^(m/n)@ non ha significato.

Sia @a^q, q in RR@ con @q = m_0,m_1m_2@. . . [ infinite cifre ]Possiamo definire @a^(m_0,m_1. . . ) = a^((m_0,m_1. . . ) / 10)@ solo se @a >= 0@ poichè non sappiamo se@m_0,m_1@. . . possa essere pari come la base.


1.3.10 Logaritmo in @RR@

Sia @a^x = b@ @larr def rarr@ equazione esponenzialeConsideriamo @a, b, x in RR@, cerchiamo di risolvere l’equazione esponenziale @a^x = b@ nell’insieme deinumeri Reali.@a@ dev’essere maggiore di @0@ poiché non sappiamo se @x@ è negativo @rArr@ da ciò segue che anche @b@dev’essere positivo.Inoltre supponiamo @a != 1@ [ poiché se @a@ fosse @1@ avremmo infinite soluzioni per @x@ ].TeoremaSe @a, b > 0@ ed @a != 1@, l’equazione esponenziale @a^x = b@ ha soluzione unica.Questa soluzione viene definita «logaritmo in base a di b», simbolo @log_a b = x@Es. 1 @x = log_2 8 hArr 2 ^ (log_2 8) = 8 rArr@ quindi @log_2 8 = 3@Es. 2 @x = log_4 5 hArr 4 ^ (log_4 5) = 5 rArr 4 ^ x = 5@

DimostrazioneSia @log_4 5 in RR@\@QQ@Per assurdo:esiste @p/q@ con @p, q in ZZ, q != 0@ tale che @log_4 5 = p/q hArr@@4 ^ ( p/q) = 5@ [ esattamente la definizione di logaritmo ] @hArr@@(4 ^ ( p/q) ) ^ q = 5 ^ q hArr 4 ^ q@ [pari] @= 5 ^q@ [dispari] @ rArr @ASSURDO.




Proprietà usate per risolvere equazioni e disequazioni logaritmiche

Nota: Se l’argomento dell’algoritmo è @1@, qualunque sia la base il risultato è @0@

1. @log_a 1 = 0 AA a > 0, a != 1@ [ questo perchè per definizione @a ^ 0 = 1@ ]

Generalizzando abbiamo che @log_a b = 0 hArr b = 1 AA a > 0, a != 1@

2. @a ^(log_a b) = b if log_a b > 0 hArr a, b > 1 or 0 < a, b < 1@

3. @log_a b < 0 hArr 0 < b < 1 < a or 0 < a < 1 < b@

4. Se @a > 1, b_1 < b_2 rArr log_a b_1 < log_a b_2@ [ dalla proprietà delle potenze ]

5. Se @0 < a < 1, b_1 < b_2 rArr log_a b_1 > log_a b_2@

6. @log_a b_1 + log_a b_2 = log_a (b_1 * b_2)@

Dimostrazione:@x_1 = log_a b_1 and x_2 = log_a b_2@@a ^(x_1) = b_1 and a ^ (x_2) = b_2@@a ^ (x_1 + x_2) = b_1*b_2 rArr x_1 + x_2 = log_a (b_1 * b2)@Segue @log_a b1 + log_a b2 = log_a (b1 * b2)@

7. @log_a b_1 - log_a b_2 = log_a (b_1 / b_2)@ con @a, b, c > 0 , a != 1, c != 1@

8. @log_a (b ^ c) = c * log_a b@

Dimostrazione:@x = log_a b rArr a ^ x = b rArr (a ^ x) ^ c = b ^ c rArr a ^ (c * x) = b ^ c@

9. @log_a b = log_c b/ log_c a@ [ Cambiamento di base ]

Dimostrazione [ usando la def di logaritmo ]:@x = log_a b rArr a ^ x = b rArr log_c (a ^ x) = log_c b rArr@@x * log_c a = log_c b rArr x = log_c b / log_c a@

Esercizi sui logaritmi

1. @log_2 (x^2 + 2x) - log_(1/2) (1/4) = 1@

• @x^2 + 2x > 0@

• @log_(1/2) (1/4) = ( log_2 (1/4) = -2 ) / ( log_2 (1/2) = -1 ) = 2@ P(9)

(a) @log_2 (x^2 + 2x) - 2 = 1 rArr log_2 (x^2 + 2x) = 3 rArr@

(b) @2^(log_2 (x^2 + 2x)) = 2^3 rArr@ P(2)

(c) @x^2 + 2x = 2^3 rArr@

(d) @x^2 + 2x - 8 = 0@

• @Delta = 4 + 32 = 36@

• @x = (-2 + (+- 6)) / 2 = 2 or -4@

• Quindi @x = 2 or -4@



2. @sqrt(1 + log_(sqrt(2)) x) >= 3 hArr@ #c1

• @x > 0@

(a) @1 + log_(sqrt(2)) x >= 0 hArr@

(b) @log_(sqrt(2)) x >= -1 = log_(sqrt(2)) sqrt(2)^-1 hArr@ ????

(c) @x >= sqrt(2)^-1 hArr@

(d) @x >= 1 / sqrt(2)@

(a) #c1 @hArr 1 + log_(sqrt(2)) x >= 9 hArr@

(b) @log_(sqrt(2)) x >= 8 = log_(sqrt(2)) sqrt(2) ^ 8 hArr@

(c) @x >= sqrt(2) ^ 8 = (sqrt(2)^2)^4 = 16 rArr@

(d) @x >= 16@

3. @{ (| log_2 x + 3 | = 5 ),( x > 0 ) :} rArr@ #S1, #S2

(a) #S1 = @{ (log_2 x + 3 >= 0 ), ( log_2 x + 3 = 5), (x > 0) :} rArr@

(b) @{ (log_2 x >= log_2 (2^-3)), (log_2 x = log_2 (2^2) ), ( x > 0) :} rArr@

(c) @{ (z >= 2 ^ -3 = 1/8 ), (x = x^2 = 4), (x > 0) :} rArr@

(d) @x = 4@

(a) #S2 = @{ (log_2 x + 3 < 0 ), (-(log_2 x + 3) = 5), (x > 0) :} rArr@

(b) @{ (log_2 x < -3 ), (-log_2 x = 8 ), (x > 0 ) :} rArr@

(c) @{ (x < 1/8 ) , (log_2 x = -8) , ( x > 0 ) :} rArr@

(d) @{ (x < 1/8 ), ( x = 2^-8 ), ( x > 0) :} rArr@

(e) @x = 2^-8 = 1/2^8 = 1/16^2 = 1/256@

• Quindi per #S1 @x = 4@, #S2 @x = 1/256@

Nota: L’esercizio seguente va sempre trasformata nella forma @a^x = b@, perchè noi sappiamo risolvere questaforma

4. @3 * 3^(2x) + 7^(2x+1) = 3^(2x+2)+7^(2x)@

(a) @3 * 3^(2x) - 3^(2x+2) = 7^(2x) - 7^(2x+1) hArr@ [ uniamo le potenze con la stessa base ]

(b) @3 * 3^(2x) - 3^(2x) * 3^2 = 7^(2x) - 7^(2x) * 7 hArr@

(c) @3^(2x) * (3-9) = 7^(2x) * (1-7) hArr@

(d) @3^(2x) *(-6) = 7^(2x) * (-6) hArr@

(e) @3^(2x) = 7^(2x) hArr@ [per togliere dall’esponente 2x aggiungiamo log in base 10 ad entrambi imembri]

(f) @log_10 3^(2x) = log_10 7^(2x) hArr@

(g) @2x * log_10 3 = 2x * log_10 7 hArr@

(h) @x = 0@ è soluzione ed è unica poichè se @x != 0@ posso eliminare dall’equazione @2x@ ottenendoche @log_10 3 = log_10 7@ che è falso.

5. @2^(2x) -5^x -4^(x-1) +25^((x/2)-1) = 0@

(a) @2^(2x) -5^x -(2^2)^(x-1) +(5^2)^((x/2)-1) = 0 hArr@ [ normalizziamo le basi come primo passaggio ]



(b) @2^(2x) -5^x -2^(2x-2)+5^(x-2) = 0 hArr@

(c) @2^(2x) -5^x -2^(2x) * 2^-2 +5^x * 5^-2 = 0 hArr@

(d) @2^(2x) -5^x -2^(2x) * 1/4 +5^x * 1/25 = 0 hArr@

(e) @2^(2x) * 3/4 +5^x * (-24/25) = 0 hArr@

(f) @x^(2x) * 3/4 = 5^x * 24/25 hArr@ [prendiamo i @log@ per togliere la @x@ dall’esponente]

(g) @log_2 (2^(2x) * 3/4) = log_2 (5^x * 24/25) hArr@

(h) @log_2 (2^(2x)) + log_2 (3/4) = log_2 5^x + log_2 (24/25) hArr@

(i) @(2x) + log_2(3/4) = x * log_2 5 + log_2 (24/25) hArr@

(j) @(2x) - x * log_2 5 = log_2 (24/25) - log_2 (3/4) hArr@ [ il secondo membro, avendo la stessa base sipuò dividere ]

(k) @x * (2 - log_2 5) = log_2 (24/25) * (4/3) hArr@ [ noi moltiplichiamo per l’inverso ]

(l) @x * log_2 4 - log_2 5 = log_2 (96/75) hArr@ [ trasformiamo @2@ in @log_2 4@ ]

(m) @x * log_2 (4/5) = log_2 (96/75) hArr@ [ applichiamo la stessa proprietà anche al primo membro ]

(n) @x = log_2 (96/75) / log_2 (4/5)@ [ Non esiste una formula che ci da il quoziente di due logaritmi ]


1.3.11 Progressione Geometrica

Sia @q in RR, s in NN text( con ) q != 0 and q != 1@

@q + q^2 + q^3 + . . . + q^s larr def rarr q * (1 - q^s) / (1 - q)@

Defininendo @s = 1@, supponiamo vera per @h rArr@ e proviamo per @h+1@:Se @s = 1@, il 1° membro vale @q@, il 2° membro vale @q * (1-q)/(1-q) = q@Se @s = 2@, il 1° membro vale @q+q^2@, il 2° membro vale @q * (1-q^2)/(1-q) hArr@@q * (1-q)(1+q) / 1-q hArr@ [ semplifico @1-q@ ] @hArr q * (1+q) hArr q+q^2@Dimostrazione ( per induzione ):Ip. @q + q^2 + q^3 + . . . + q^h = q * (1 - q^h) / (1 - q)@Ts. @q + q^2 + q^3 + . . . + q^h + q^(h+1) = q * (1 - q^h) / (1 - q) +q^(h+1)@

1. @q * (1 - q^h) / (1 - q) +q^(h+1) hArr@

2. @(q*(1-q^h)+(1-q)*q^(h+1)) / (1-q) hArr@

3. @q - q^(h+1) + q^(h+1) - q^(h+2) / (1-q) hArr@

4. @q * (1-q^(h+1)) / (1-q)@ [ Dimostrata! ]

La famiglia @{ q; q^2; q^3; . . . ; q^s}@ si definisce progressione geometrica con @q@ definito ragione

Nota: Se @s = oo@ allora si definisce successione

Nota: Il caso interessante è quando la ragione è diversa da 0 e 1.



Sommatoria @larr def rarr sum_(n=1)^s q^n = q + q^2 + q^3 + . . . + q^s@Binomio di NEWTON @larr def rarr (a+b)^n@

per @n=2 rArr (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2@per @n=3 rArr (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3@@(a+b)^n = (a+b)*(a+b)*(a+b)* . . . *(a+b)@ [ @n@ fattori @(a+b)@] @=@

@sum_(h=1)^n ( text( #X ) (a^h * b^(n-h)))@

Dove #X è attualmente un incognita. . .


#X è il coefficiente binomiale ( Approfondire Calcolo Combinatorio )Quindi @(a+b)^n =@

@sum_(h=1)^n (((n),(h)) (a^h * b^(n-h)))@

Nota: Supponiamo che @n >= 2@, perchè per @n<2@ è davvero semplice calcolare, quindi non è interessante


1.4 Calcolo Combinatorio

Sia @n in NN, a_1,a_2,a_3,. . . ,a_n, h <= n text( con ) h in NN@. Scegliamo @h@ di questi oggetti.

Nota: Ogni volta che scegliamo @h@ di questi oggetti si dice che abbiamo fatto una disposizione

1.4.1 Disposizione

Si chiama disposizione degli @n@ oggetti su @h@ posti (opp. @n@ oggetti @h@ ad @h@) una scelta ordinata(tengo conto dell’ordine) di @h@ oggetti fra gli @n@ oggetti dati.

Nota: Perchè ordinata? Perchè tengo conto dell’ordine! Infatti @a1,a2,a3@ è diverso da @a2,a1,a3@

Due disposizioni quindi differiscono o perchè il numero di elementi è diverso, o perchè gli elementi sono diversioppure perchè la disposizione degli elementi è diversa.

Si indica con @D_(n,h)@ il numero delle disposizioni di @n@ oggetti su @h@ posti. Poichè tali elementi nonpossono essere ripetuti, se ho 3 oggetti da scegliere su 10 oggetti, il primo @a_(i1)@ avrà 10 scelte diverse, @a_(i2)@ne avrà 9, @a_(i3)@ ne avrà 8 e così via. . .



Nota: per @a_(i1)@ abbiamo @n@ modi diversi di scelta, @a_(i2)@ abbiamo @n-1@ modi diversi, @a_(i3)@saranno @n-3@ modi

Quindi se abbiamo @n = 10@ e @h = 3@, la disposizione di @n@ oggetti su @h@ posti @D_(10,3) = 10 * 9 * 8@.

@D_(n,h) larr def rarr n(n-1)(n-2). . . (n-(h-1))@

Avvertimento: Il professore ha sbagliato scrivendo @(n-(h+1))@ alla lavagna

1.4.2 Permutazione

Se @h = n@ si dice che si ha una permutazione degli @n@ oggetti dati. La permutazione è un particolare caso diDisposizione.

Nota: Nelle permutazioni l’unica differenza che si può avere è l’ordine degli elementi negli @h@(o @n@) posti

Quindi se abbiamo @n = h = 10@, @D_(n,h) = P_n = P_10 = n(n-1)(n-2). . . 1 = n!@ [ @n@ fattoriale ]. Attraversoil fattoriale è quindi possibile scrivere le due formule nel seguente modo:

@D_(n,h) = (n!) / ((n-h)!)@, e @P_n = n!@

1.4.3 Combinazione

Si chiama combinazione di @n@ oggetti su @h@ posti ogni scelta ( non necessariamente ordinata ) di @h@ oggettifra gli @n@ dati. Due combinazioni differiscono solo se contengono qualche elemento diverso.

@C_(n,h) * P_h = D_(n,h)@, segue che

@C_(n,h) = D_(n,h) / P_h@

@C_(n,h) = (n(n-1)(n-2). . . (n-h+1)) / (h!) = ((n),(h))@ che è chiamato coefficiente binomiale

Nota: Il coefficiente binomiale con @h = 0@ è sempre @1@


1.5 Teorema del Buon Ordinamento

1.5.1 Nell’insieme @NN@

Se @H sube NN@, allora esiste @bar(n) in H@ tale che @bar(n) <= h AA h in H@

1.5. Teorema del Buon Ordinamento 13


Nota: @bar(n)@ viene chiamato minimo di @H@

Dimostrazione (per induzione):Se @1 in H@, allora @bar(n) = [email protected] @1 !in H@, allora@K = { x in NN: x <= h AA h in H}@, con @K != O/@ (insieme vuoto) perchè @K@ contiene @1@Supponiamo che se @p in K@ allora @p+1 in K@per il principio di Induzione @K = N@Se @bar(h) in H, bar(h)+1 !in K@, Quindi @K != N@Necessariamente deve esistere @p_0 in K@ tale che @p_0 + 1 !in K@

Dimostriamo (Per assurdo) che @p_0@ è il minimo di @H@, cioè deve essere @p_0 <= h AA h in H and p_0 inH@ [ vera perchè @p_0 in K@ ]Supponiamo che @p_0 !in H@. Quindi @p_0 < h AA h in H@Ne segue @p_0 + 1 <= h AA h in H rArr p_0 + 1 in K@ è falsa.

1.5.2 Nell’insieme @ZZ@

In @ZZ@ si ha che se @H sube ZZ@ non vuoto ed esiste @z_0 in ZZ@ tale che @z_0 <= h AA h in H@ allora@H@ ha il minimo.Dimostrazione:Ogni @h in H@ è maggiore o uguale di @[email protected] @H^* = {h - (z_0 -1) AA h in H}@@h - z_0 + 1 = h - (z_0 - 1) in ZZ and h - (z_0-1) > 0 rArr@@H^* sube NN rArr EE n_0 in H^* : n_0 <= p AA p in H^*@@n_0 in H^*@ significa che @EE h_0 in H : n_0 = h_0 - (z_0 - 1) hArr h_0 = n_0 + z_0 -1@@n_0 <= p AA p in H^* hArr n_0 <= h - (z_0 - 1) AA h in H hArr n_0 + z_0 - 1 <= h AA h in H@@n_0 + z_0 - 1@ è il minimo di @H@

1.5.3 Nell’insieme @QQ@

In @QQ@ si ha che se @H sube QQ@ non vuoto ed esiste @z_0 in QQ@ tale che @z_0 <= h AA h in H@ nonè detto che @H@ abbia minimo. Ad esempio prendiamo @H = { x in Q, x > 0}@, questo insieme @H@ non haminimo.

Nota: Prendo tutti i numeri razionali più grandi di @0@

Dimostriamo che @H@ non ha minimo (per assurdo):Per assurdo sia @h_0@ il minimo di @H@. Quindi @h_0@ è un numero razionale (@h0 in QQ@) con @h_0 <= hAA h in [email protected] io considero @h_0 / 2@, questo è un numero razionale. Se @h_0 = m/p@, @h_0/2 = m/(2p) in Q@. @h_0/2@ èpositivo, quindi è un numero razionale maggiore di @0@ (@h_0/2 > 0@).



Ma allora essendo un elemento razionale positivo deve stare all’interno dell’insieme @H@. Quindi @h_0/2 in [email protected] @0 < h_0 < h_0/2@ è falsa poichè @h_0/2 < h_0@. Quindi @h_0@ non è il minimo di @H@.


1.6 Somma dei quadrati dei primi n numeri naturali

@sum_(h=1)^n h^2 = (n(n+1)(2n+1)) / 6@Dimostrazione (per induzione):Primo passo dell’induzione: poniamo @n=2@@1^2 + 2^2 = 5 hArr (2*3*5) / 6 = 5@Secondo passo dell’induzione:Ip. @sum_(h=1)^p h^2 = (p(p+1)(2p+1)) / 6@Ts. @sum_(h=1)^(p+1) h^2 = ((p+1)(p+2)(2p+3)) / 6@

1. @sum_(h=1)^(p+1) h^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + p^2 + (p+1)^2 =@

2. @= (p(p+1)(2p+1)) / 6 + (p+1)^2 =@

3. @=(p+1)[(p(2p+1))/6 + p+1]@

A questo punto metto al secondo membro la tesi e divido per @(p+1)@ entrambi i membri:

1. @(p(2p+1))/6 + p+1 = ((p+2)(2p+3)) / 6 rArr@ [ se provo questa uguaglianza ho finito ]

2. @(2p^2+p)/6 + p + 1 = (2p^2+3p+4p+6)/6@

3. @(2p^2+p)/6 + p + 1 = (2p^2+7p+6)/6@

4. @(2p^2+p+6p+6)/6 = (2p^2+7p+6)/6@

5. @(2p^2+7p+6)/6 = (2p^2+7p+6)/6@ [ Dimostrato! ]


1.7 Proprietà di Archimede

1.7.1 Definizione

Sia @alpha, beta in RR^+@, @beta / alpha@ è ancora positivo, @beta/alpha = +m_0,m_1m_2m_3. . . @Prendendo @n >= m_0+2@ si ha

@n > beta/alpha hArr alpha n > beta@

Dati due numeri reali positivi @alpha@ e @beta@ esiste un numero naturale @n@ tale che @alpha * n > beta@ [esiste sempre un multiplo più grande dell’altro ]

Dimostrazione (per assurdo):

Per assurdo, diciamo che @nx <= y, AA n in NN@. Dunque @n <= y/x rArr NN@ superiormente limitato, cosa cheè falsa.

1.6. Somma dei quadrati dei primi n numeri naturali 15


Nota: @RR@ è archimedeo, cioè @AA x > 0, y in RR, EE n in NN : nx > y@

1.8 Teorema di densità di Q e di R\Q nei Reali

@AA x,y in RR@ con @x < y@ esistono @q in QQ, s in RR\QQ@ tale che @x < q < y and x < s < y@

Oppure

Siano @x, y in RR@ e sia @x < y@, allora @EE q in QQ and EE s in RR\QQ : x < q < y and x < s < y@

1.8.1 Dimostrazione dei 3 casi di Densità

Dalle ipotesi del Teorema abbiamo che x < y da cui si evince facilmente che @y-x>[email protected] la proprietà di Archimede che dice @EE n_0 in NN : n_0(y-x) > 1 hArr y-x > 1 / (n_0)@.Preso il numero @n_0 x@, consideriamo l’insieme @H = { h in ZZ, h <= n_0 x} rArr@@rArr EE m_0 in H : m_0 <= n_0 x < m_0 + 1@

@x < (m_0 +1)/n_0 = m_0 / n_0 + 1 / n_0 <= x + 1 / n_0 < x + (y-x) = y@

Nota: @x + 1 / n_0@ è minore ( in senso stretto ) di @y@

1. Caso: @x@ Razionale, @y@ non Razionale

• Sia @x in QQ, y in RR\QQ@ [ oppure @x in RR\QQ, y in QQ@ ]

• @x < (x+y) / 2 < y@ ( prendiamo il punto di mezzo )

• @(x+y) / 2 in RR\QQ@ ed è il punto di mezzo.

2. Caso: Entrambi non razionali

• Sia @x,y in RR\QQ@

• @x < (x+y) / 2 < y@ ( prendiamo il punto di mezzo )

• @(x+y) / 2@ può appartenere a @RR\QQ@ oppure @QQ@

• Nel caso @RR\QQ@ abbiamo finito: se @(x+y)/2 in RR\QQ@ si ha la tesi.

• Nel caso @QQ@, ovvero @(x+y)/2 in QQ@, la tesi segue dal caso precedente.

3. Caso: Entrami Razionali

• Sia @x,y in QQ@

• Consideriamo @z in RR\QQ, z > 0@ ( z non razionale positivo )

• Sia @y-x > 0, z > 0@

• Per la proprietà di archimede esisterà un multiplo @n in NN@ tale che @n * (y-x) > z@

• Quindi @(y-x) > z / n@

• @x < x + z / n@ è un’ugaglianza sempre vera @rArr@

• @x < x + z / n < x (y-x) = y@



• @z / n in RR\QQ@

Nota: differenza tra densità e continuità: La continuità mi dice che non ci sono dei buchi(vuoti) tra due numeri. Ladensità ha un’informazione in più.

1.9 Maggioranti e Minoranti di un Insieme

1.9.1 Definizione di Maggiorante

Sia @X sube RR@ un insieme ordinato non vuoto. Sia @k in RR@ tale che:

@k >= x AA x in X@

Nota: @k@ non deve appartenere per forza ad @X@

@k@ viene chiamato maggiorante di/per @X@. In questo caso @X@ viene detto superiormente limitato.

Nota: Un qualunque insieme numerico o non ha maggioranti (non è superiormente limitato) oppure ne ha infiniti.

Esempio 1: Trovare i maggioranti di @X = { n / (n+1): n in NN}@

Sia @X = { n / (n+1): n in NN}@. Questo insieme è sicuramente superiormente limitato poichè @n / (n+1) < 1@ èsempre vera, per tale motivo @1@ è maggiorante così come tutti i numeri maggiori di @1@.

Dimostrazione che i Maggioranti sono @1@ e i numeri maggiori di @1@Vediamo se esistono dei numeri @k in RR@ tali che

@n / (n+1) <= k AA n in NN@

• @n <= k(n+1) AA n in NN@ ( molt. per k)

• @n <= kn+k AA n in NN@ ( portiamo al secondo membro )

• @n(1-k) <= k AA n in NN@ ( dividiamo per k)

• Se @k < 1@ si ha @n <= k / (1-k) AA n in NN@

La condizione @n <= k / (1-k) AA n in NN@ non può essere vera perchè contraddice il fatto che @NN@ non èsuperiormente limitato, quindi abbiamo dimostrato che i maggioranti sono 1 e i numeri più grandi di 1.

1.9.2 Definizione di Minorante

Sia @X sube RR@ un insieme ordinato non vuoto. Sia @k in RR@ tale che:

@k <= x AA x in X@

1.9. Maggioranti e Minoranti di un Insieme 17


Nota: @k@ non deve appartenere per forza ad @X@

@k@ viene chiamato minorante di/per @X@. In questo caso @X@ viene detto inferiormente limitato.

Nota: Un qualunque insieme numerico o non ha minoranti (non è inferiormente limitato) oppure ne ha infiniti.

Esempio 2: Trovare i minoranti di @X = { n / (n+1): n in NN}@

Sia @X = { n / (n+1): n in NN}, k in RR@.

• @k <= n / (n+1) AA n in NN@

• @(n+1)k <= n AA n in NN@

• @kn+k <= n AA n in NN@

• @k <= n-kn AA n in NN@

@k <= (1-k)n AA n in NN, k < 1@ perchè @k >= 1@ sono maggioranti, mentre @k@ è un minorante. @k / (1-k) <=n AA n in NN@. @k / (1-k) <= 1 hArr k <= 1-k hArr 2k <= 1 hArr k<=1/2@

Tutti i @k <= 1/2@ saranno minoranti.

Esempio 3: Trovare i maggioranti di @X = { x / (x^2+30): x in RR}@

• @x = 1 rarr 1/31@

• @x = -sqrt(2) rarr -sqrt(2)/32@

• @k >= x / (x^2 + 30) AA x in RR rArr@ ( segue che @k>0@ )

• @k(x^2+30) >= x AA x in RR rArr@

• @k x^2 -x + 30k >= 0 AA x in R@

Nota: @k@ è positivo e il segno della disequazione è positiva quindi per esserci soluzione deve accadere che @Delta<= 0@

• @Delta = 1 - 4k (30k) = 1 - 120k^2 > 0 rArr@ ( cambiamo di segno )

• @rArr 120k^2 - 1 > 0@

• Il @Delta@ di @120k^2@ (@Delta_k@) è uguale a @4 * 120 > @ ( ??? )

@k <= 1 / sqrt(120)@ oppure @k >= 1 / sqrt(120)@ ma visto che @k > 0@ segue che @k >= 1 / sqrt(120)@ sono imaggioranti di @X@.

Esercizi:

• Trovare i minoranti dell’esempio 3

• Trovare i maggioranti e i minoranti dell’insieme @X = { (x+2)/(2x-4): x < 2}@

– Soluzione: @k >= 1/2@ sono maggioranti. Non ci sono minoranti.



Nota: Per gli informatici: il maggiorante in inglese è Upper bound, il minorante è Lower Bound

Nota: Un maggiorante/minorante di un insieme è un elemento che è maggiore/minore o uguale di tutti gli elementidell’insieme.

1.10 Massimo e Minimo di un Insieme

1.10.1 Definizione di Massimo/Minimo di un insieme

Se @X@ è superiormente/inferiormente limitato ed esiste un maggiorante/minorante di @X@ che si trova in @X@viene detto massimo/minimo di @X@

Se @bar(x)@ è massimo/minimo per @X { (bar(x) >= x AA x in X), (bar(x) in X) :} hArr@ il massimo/minimo di@X@ è il più grande/piccolo elemento di @X@

Nota: Se il massimo/minimo esiste allora è unico

Nota: Il massimo/minimo di un insieme ordinato è il massimo/minimo numero presente all’interno dell’insieme.

1.11 Estremo Superiore e Inferiore di un Insieme

1.11.1 Definizione #1

Se @X@ è superiormente/inferiormente limitato si chiama estremo superiore/inferiore il più piccolo(cioèminimo)/grande(cioè massimo) dei maggioranti/minoranti.

1.11.2 Definizione #2

L’estremo superiore/inferiore è il il più piccolo/grande elemento che appartiene all’insieme dei maggioranti/minorantied è unico

Nota: Un insieme avrà sempre un estremo superiore/inferiore quindi l’insieme dei maggioranti/minoranti di uninsieme non sarà mai vuoto.

1.11.3 Teorema

Se @X@ è superiormente/inferiormente limitato, esiste sempre il minimo/massimo dei maggioranti/minoranti

Nota: Questo teorema è vero solo se @X sube RR@, se @X sube QQ@ allora è falso.

1.10. Massimo e Minimo di un Insieme 19


Avvertimento: La ragione principale che ha portato all’introduzione dei Reali è che essi costituiscono uno spazio«senza buchi». Più precisamente, i reali sono uno spazio metrico completo. La completezza può essere espressa invari modi, tutti equivalenti all’assioma di Dedekind. l’insieme @QQ@ non può essere definito completo.


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