Approssimazione di operatori integrali ed applicazioni · 13 M.C. De Bonis, D. Occorsio, A product...

Approssimazione di operatori integrali edapplicazioni

Dajana Conte

University of Salerno, Italy

Convegno GNCS 202011-13 febbraio 2020

Hotel Belvedere, Montecatini Terme

D.Conte (Univ. Salerno) Appr. di operatori integrali ed applicazioni GNCS 2020 1 / 36

Progetto: Discretizzazione di misure, approssimazione dioperatori integrali ed applicazioniResponsabile:Donatella OCCORSIO (Univ. Basilicata)

Sedi coinvolteUniv. Basilicata (M.C.De Bonis, C.Laurita, G.M.Mastroianni,I.Notarangelo, M.G.Russo, G.Serafini);Univ. Cagliari (L.Fermo, P.Diaz De Alba);CNR Napoli (W.Themistoclakis);Univ. Padova (A.Sommariva, M.Vianello);Univ. Salerno (D.Conte);Univ. Verona (L.Bos).

Progetto nato nell’ambito della Rete ITaliana di Approssimazione (RITA).


Progetto: Discretizzazione di misure, approssimazione dioperatori integrali ed applicazioniLinee di ricerca

WP1: Approssimazione polinomiale ed integrazione numericamultivariata

I WP1.1: Approssimazione polinomialeI WP1.2: Compressione di misure discreteI WP1.3: Formule anti-GaussianeI WP1.4: Formule di quadratura per integrali ipersingolariI WP1.5: Formule di cubatura su poligoni

WP2: Metodi numerici per equazioni funzionaliI WP2.1: Equazioni di Fredholm di seconda specieI WP2.2: Equazioni Integro Differenziali IpersingolariI WP2.3: Equazioni bisingolari di CauchyI WP2.4: Equazione di LoveI WP2.5: Equazioni con nucleo di MellinI WP2.6: Equazioni integrali di Volterra stocasticheI WP2.7: Equazioni differenziali frazionarie


Pubblicazioni scientifiche:WP1.1: Approssimazione polinomiale

1 T. Bloom, L. Bos, N. Levenberg, S. Ma’u, F. Piazzon, The Extremal Function for the Complex Ball for GeneralizedNotions of Degree and Multivariate Polynomial Approximation, Ann. Polon. Math. 2019.

2 G. Mastroianni and I. Notarangelo, Lagrange interpolation at Pollaczek–Laguerre zeros on the real semiaxis, J. ofApprox. Theory 2019.

3 G. Mastroianni, I. Notarangelo, Polynomial approximation with Pollaczek-type weights. A survey, Appl. Numer. Math.2019.

4 D. Occorsio, W. Themistoclakis, Uniform weighted approximation by multivariate filtered polynomials, Vol. NumericalComputations: Theory and Algorithms, LNCS 2020.

5 D. Occorsio, W. Themistoclakis, Uniform weighted approximation on the square by polynomial interpolation atChebychev nodes, submitted.

WP1.2: Compressione di misure discrete6 L. Bos and M. Vianello, Tchakaloff polynomial meshes, Ann. Polon. Math. 2019.7 L. Bos and M. Vianello, CaTchDes: Matlab codes for Caratheodory-Tchakaloff Near-Optimal Regression Designs ,

SoftwareX 10 2019.8 L. Bos, F. Piazzon and M. Vianello, Near G-optimal Tchakaloff designs, Comput. Statistics 2019.9 L. Bos, Markov Factors on Average – an L2 Case, J. of Approx. Theory 2019.

10 L. Bos, Markov Factors on Average – an L∞ Case, J. of Approx. Theory 2019.11 L. Bos, and M. Vianello, Tchakaloff polynomial meshes, Ann. Polon. Math. 2019.


Pubblicazioni scientifiche:WP1.3: Formule anti-Gaussiane

12 P. Dıaz de Alba, L. Fermo, and G. Rodriguez, Solution of second kind Fredholm integral equations by means of Gaussand anti-Gauss quadrature rules, submitted.

WP1.4: Formule di quadratura per integrali ipersingolari13 M.C. De Bonis, D. Occorsio, A product integration rule for Hypersingular integrals on (0,+∞), Electronic Transactions

on Numerical Analysis 2019.14 T. Diogo, P. Lima, D. Occorsio A numerical method for finite-part integrals, Dolomites Research Notes on

Approximation 2020.15 F. Filbir , D. Occorsio , W. Themistoclakik, Approximation of finite Hilbert and Hadamard transforms by using

equally-spaced nodes, submitted.

WP1.5: Formule di cubatura su poligoni16 E. Artioli, A. Sommariva and M. Vianello, Algebraic cubature on polygonal elements with a circular edge, Comput.

Math. Appl. 2019.17 B. Bauman, A. Sommariva and M. Vianello, Compressed cubature over polygons with applications to optical design, J.

Comput. Appl. Math. 2020.18 A. Sommariva and M. Vianello, Meshless cubature by RBF on bivariate polygonal domains, submitted.19 A. Sommariva and M. Vianello, Tchakaloff-like cubature rules on spline curvilinear polygons, submitted.


Pubblicazioni scientifiche:WP2.1: Equazioni di Fredholm di seconda specie

20 D. Occorsio and M. G. Russo, A mixed scheme of product integration rules in (−1, 1), Appl. Numer. Math. 2020.

WP2.2: Equazioni Integro Differenziali Ipersingolari21 M.C. De Bonis, D. Occorsio, Quadrature methods for integro-differential equations of Prandtl’s type in weighted spaces

of continuous functions, submitted.

WP2.3: Equazioni bisingolari di Cauchy22 L.Fermo, M.G.Russo, G.Serafini, Numerical Methods for Cauchy Bisingular Integral Equations of the First Kind on the

square, J. Sci. Comput. 2019.

WP2.4: Equazione di Love23 L.Fermo, M.G.Russo and G.Serafini, Numerical treatment of the generalized Love integral equation, submitted.

WP2.5: Equazioni con nucleo di Mellin24 De Bonis, M.C., Laurita C. Numerical treatment of Cauchy singular integral equations with additional fixed singularities

of Mellin convolution type on the interval [−1, 1], submitted.25 L. Fermo, C. Laurita, A Nyström method for mixed boundary value problems in domains with corners, Appl. Numer.

Math. 2020.26 C. Laurita, A stable numerical method for Mellin integral equations in weighted spaces with uniform norm, submitted.


Il mio contributo:WP2.6: Metodi numerici per equazioni integrali di Volterrastocastiche

27 DC, R. D’Ambrosio, D. Paternoster, Improved ϑ-methods for stochastic Volterra integral equations, submitted.

WP2.7: Metodi numerici per equazioni differenziali frazionarie28 DC, L. Moradi, F. Mohamadi, A discrete orthogonal polynomials approach for coupled systems of nonlinear fractional

order integro-differential equations, Tbilisi Mathematical Journal 2019.29 DC, S. Shahmorad, Y. Talaeib, New fractional Lanczos vector polynomials and their application to system of

Abel-Volterra integral equations and fractional differential equations, J. Comput. Appl. Math. 2020.


Ulteriori tematiche di ricerca:Metodi numerici per equazioni differenzialiProblemi stiff:

- A. Abdi, DC, Implementation of second derivative general linear methods, submitted.- DC, R.D’Ambrosio, G.Pagano, B.Paternoster, Jacobian-dependent vs Jacobian-free discretizations for nonlinear

differential problems, submitted.

Problemi oscillanti:- DC, R.D’Ambrosio, M.Moccaldi, B.Paternoster, Adapted explicit two-step peer methods, J. Numer. Math. 2019.- DC, L.Moradi, B.Paternoster, F.Mohamadi, Exponentially fitted two-step peer methods for oscillatory problems,

submitted.- DC, G.Giordano, L.Gr.Ixaru, B.Paternoster, User-friendly expressions of the coefficients of some exponentially fitted

methods, submitted.

Approssimazione di rango basso per equazioni differenziali matriciali:- DC, Dynamical low-rank approximation to the solution of parabolic differential equations, Appl. Numer. Math. to

appear.Connessioni in dinamica molecolare quantistica: D. Conte, Ch. Lubich, An error analysis of the multi-configurationtime-dependent Hartree method of quantum dynamics, M2AN, 2010.

Metodi numerici per la ricostruzione della conduttività elettrica e dellapermeabilità magnetica mediante l’inversione di dati elettromagnetici

- G.P Deidda, P. Diaz de Alba, C. Fenu, G. Rodriguez and G. Lovicu, FDEMtools: a MATLAB package for FDEM datainversion Numer. Algorithms, 2019.

- G.P Deidda, P. Diaz de Alba, G. Rodriguez and G. Vignoli, Inversion of Multiconfiguration Complex EMI data withMinimum Gradient Support regularization: A Case Study, Math. Geosci., 2020.


Contents

1 Equazioni Integrali di Volterra Stocastiche (SVIEs)

2 Metodi numerici per SVIEs

3 ϑ-metodo stocastico

4 ϑ-metodo stocastico ”improved”

5 Regioni di stabilità e test numerici

6 Conclusioni e prospettive future


Contents








Equazioni integrali di Volterra stocatiche

Xt = X0 +

t∫0

a(t, s,Xs)ds +t∫

0

b(t, s,Xs)dWs, t ∈ [0,T],

a and b funzioni misurabili;X0 variabile aleatoria;Xt è una variabile aleatoria per ogni t;integrale di Ito rispetto al moto Browniano Ws.

Alcune applicazioni:- economia (mercati azionari, assicurazioni, portafoglio,mercatifinanziari) [S. Vahdati, 2017; Zhao, Q. et al., 2016; Agram, N. et al., 2015];

- ingegneria (vibrazione di una trave) [Zakes, F. et al., 2018]


Un modello in campo economico*Xt = Gt +

t∫0

a(t, s)Xsds +t∫

0

b(t, s)XsdWs, t ∈ [0,T],

Gt =

∞∫0

ϕse−

t∫0

m(s+r)drp0(t + s)ds + ϵ

∞∫t

ϕv−te−

t∫0

m(r+v−t)drdWv,

a(t, s) = p0(t − s)e−

t−s∫0

m(r)dr, b(t, s) = ϵe

−t−s∫0

m(r)dr, 0 ≤ s ≤ t.

Xt densità di capitale al tempo t;ϕs densità di capitale iniziale derivante da investimenti che hanno età s;m(r) ≥ 0 tasso di mortalità relativo (dipendente dall’età) dell’attrezzatura odelle macchine coinvolte nella produzione;Pt = p0(t) + ϵWt con p0(t) = E [Pt], ϵ > 0 funzione di produttività soggettaa fluttuazioni casuali.

*[Zhao et al. 2016; Agram and Oksendal 2015; Holden, Oksendal et al. 2010]


Contents








Equazioni integrali di Volterra stocastiche

Xt = X0 +

t∫0

a(t, s,Xs)ds +t∫

0


a and b funzioni misurabili;X0 variabile aleatoria;Xt è una variabile aleatoria per ogni t;integrale di Ito rispetto al moto Browniano Ws.

metodi di collocazione [Cao et al. 2015, Mirzaee et al. 2014, Xiao et al.2018];metodi basati su wavelets [Heydari et al. 2018, Mohammadi et al.2016];metodi di Eulero-Maruyama/Milstein [Wen et al. 2009 and 2011];ϑ-methodo stocastico [C., D’Ambrosio, Paternoster, 2018; C.,D’Ambrosio, Paternoster, submitted].


Contents








Xt = X0 +

t∫0

a(t, s,Xs)ds +t∫

0


ϑ-metodo stocastico [Conte, D’Ambrosio, Paternoster, 2018]

Sia Y0 = X0 ed h = ti+1 − ti.

Yn = Y0 + hn−1∑i=0

(ϑa(tn, ti+1,Yi+1) + (1− ϑ)a(tn, ti,Yi)) +√

hn−1∑i=0

b(tn, ti,Yi)Vi,

dove Vi è una variabile aleatoria Gaussiana standard: con distribuzioneN (0, 1).

Teorema: ordine di convergenzaIn ipotesi di sufficiente regolarità dei coefficienti a and b esiste unacostante C tale che

E[(Xn − Yn)2] ≤ Ch.


Analisi della stabilitàEquazione test base:

Xt = X0 +

∫ t

0λXs ds +

∫ t

0µXs dWs, λ, µ ∈ R;

equazione test di convoluzione:

Xt = X0 +

∫ t

0(λ+ σ(t − s))Xs ds +

∫ t

0µXs dWs, λ, µ, σ ∈ R.

Stabilità in media quadratica della soluzione esatta:

limt→∞

E[X2

t]= 0.

Stabilità in media quadratica del metodo numerico:

limn→∞

E[Y2

n]= 0.


Stabilità della soluzione esattaEquazione test base [D.J. Higham, 2001]

Xt = X0 +

∫ t

0λXs ds +

∫ t

0µXs dWs, λ, µ ∈ R;

Stabilità in media quadratica della soluzione se e solo se

Re(λ) + 12 |µ|

2 < 0.

Equazione test di convoluzione [Conte, D’Ambrosio, Paternoster, sottoposto]

Xt = X0 +

∫ t

0(λ+ σ(t − s))Xs ds +

∫ t


Stabilità in media quadratica della soluzione se e solo seRe(λ) < 0 Re(si) < 0

dove si sono le radici diq(s) = s3 − (3λ+ µ2)s2 + (2λ2 + λµ2 − 4σ)s + 2σµ2 + 4σλ.


Stabilità del ϑ-metodo rispetto all’equazione test base

Theorem (Relazione di ricorrenza)Siano x = hλ e y = hµ2. Allora

Yn+1 = (α+ βVn)Yn,

conα =

1+ x(1− ϑ)

1− ϑx , β =

√y1− ϑx .

Theorem (Stabilità in media quadratica)Il ϑ-metodo stocastico è stabile in media quadratica se e solo se∣∣α2 + β2∣∣ < 1.


Stabilità del ϑ-metodo rispetto all’equazione test diconvoluzioneTheorem (Relazione di ricorrenza)Siano x = hλ, y = hµ2, z = h2σ, µ = 2 + (1 − 2ϑ)x + z, ν = 1 + (1 − ϑ)x. Allora

(1 − ϑx)Yn+2 = (µ+√yVn+1)Yn+1 − (ν +

√yVn)Yn,

con(1 − ϑx)Y1 = (1 + (1 − ϑ)x + (1 − ϑ)z +

√yV0)Y0.

Theorem (Stabilità in media quadratica)Il ϑ-metodo stocastico è stabile in media quadratica se e solo se ρ(K) < 1, con

K =

0 0 1

−y

(1 − ϑx)2 −ν

1 − ϑxµ

1 − ϑx

(ν2 + y)(1 − ϑx)− 2µy(1 − ϑx)3 −

2νµ(1 − ϑx)2

µ2 + y(1 − ϑx)2

.


ϑ-metodo stocasticoSia Y0 = X0 ed h = ti+1 − ti.

Yn = Y0 + hn−1∑i=0

(ϑa(tn, ti+1,Yi+1) + (1− ϑ)a(tn, ti,Yi)) +√

hn−1∑i=0

b(tn, ti,Yi)Vi,


stesso ordine di convergenza del metodo di Eulero-Maruyama perSVIEsmigliori proprietò di stabilità sia rispetto all’equazione test base che diconvoluzione


Connessione con le Equazioni Differenziali Stocastiche

Equazione test baseequazione test base per SVIEs:

Xt = X0 +

∫ t

0λXs ds +

∫ t

0µXs dWs (1)

equivalente all’equazione test lineare per SDEs:

dXt = λXtdt + µXtdWt (2)

ϑ-metodo per SVIEs applicato a (1) corrisponde al ϑ-metodo perSDEs applicato a (2).


Connessione con le Equazioni Differenziali StocasticheEquazione test di convoluzione

equazione test di convoluzione per SVIEs:

Xt = X0 +

∫ t

0(λ+ σ(t − s))Xs ds +

∫ t

0µXs dWs (3)

equivalente al sistema 2 per 2 di SDEs lineari:

d[

Xt

Zt

]= A

[Xt

Zt

]dt + B

[Xt

Zt

]dWt, (4)

withA =

[λ σ1 0

], B =

[µ 00 0

], Zt =

∫ t

0Xsds

.ϑ-metodo per SVIEs applicato a (3) è diverso dal ϑ-metodo per SDEsapplicato a (4)ϑ-metodo per SDEs porta a regioni di stabilità più ampie


SCOPOMigliorare le proprietà di stabilità del ϑ-metodo stocastico ereditandomigliori proprietà di stabilità dalle SDEs

COMEUtilizzo di una nuova formula di quadratura per l’integrale deterministicopresente nella SVIE


Contents








ϑ-metodo stocastico ”improved”Sia Y0 = X0 e h = ti+1 − ti.

Yn = Y0 + hn−1∑i=0

(ϑa(tn, ti+1 − ϑh,Yi+1) + (1− ϑ)a(tn, ti + (1− ϑ)h,Yi))

+√

hn−1∑i=0

b(tn, ti,Yi)Vi.


stesso ordine di convergenza del ϑ-metodo stocastico for SVIEsstesse proprietà di stabilità rispetto all’equazione test basemigliori proprietà di stabilità rispetto all’equazione test diconvoluzione: stessa relazione di ricorrenza del ϑ-metodo per SDEsapplicato al sistema 2 per 2 di SDEs lineari (4)


Stabilità del ϑ-metodo stocastico ”improved” rispettoall’equazione test di convoluzioneTheorem (Relazione di ricorrenza)Siano x = hλ, y = hµ2, z = h2σ, µ = 2 + (1 − 2ϑ)x + 2ϑ(1 − ϑ)z, ν = 1 + (1 − ϑ)x − (1 − ϑ)2z.Allora

(1 − ϑx − ϑ2z)Yn+2 = (µ+√yVn+1)Yn+1 − (ν +

√yVn)Yn,

con(1 − ϑx − ϑ2z)Y1 = (1 + (1 − ϑ)x + ϑ(1 − ϑ)z +

√yV0)Y0.

Theorem (Stabilità in media quadratica)Il ϑ-metodo stocastico ”improved” è stabile in media quadratica se ρ(K) < 1, con

K =

0 0 1

−y

(1 − ϑx − ϑ2z)2 −ν

1 − ϑx − ϑ2zµ

1 − ϑx − ϑ2z

(ν2 + y)(1 − ϑx − ϑ2z)− 2µy(1 − ϑx − ϑ2z)3 −

2νµ(1 − ϑx − ϑ2z)2

µ2 + y(1 − ϑx − ϑ2z)2

.


Contents








Regioni di stabilità del ϑ-metodo stocastico

x = hλ, y = hµ2, z = h2σ

regioni di stabilità nel piano (x, y)il metodo di Eulero-Maruyama corrisponde a ϑ = 0

Equazione test base Equazione test di convoluzione

-2 -1.5 -1 -0.5 00

0.5

1=0

-2 -1.5 -1 -0.5 00

1

2

3

4=1/2

-2 -1.5 -1 -0.5 00

2

4

6=3/4

-2 -1.5 -1 -0.5 00

2

4

6

8=1


Regioni di stabilità rispetto all’equazione test diconvoluzione

x = hλ, y = hµ2, z = h2σ

regioni di stabilità nel piano (x, y)

ϑ-metodo ϑ-metodo ”improved”


Evidenza numericaXt = X0 +

∫ t

0(λ+ σ(t − s))Xs ds +

∫ t


λ = −2, µ = 2√3, σ = −8;

media quadratica della soluzione numerica su 1000 realizzazioni conpasso h = 1/2, ϑ = 1;(x, y, z) = (hλ, hµ2, h2σ) = (−1, 6,−2):

I fuori dalla regione di stabilità del ϑ-metodo,I dentro la regione di stabilità del ϑ-metodo ”improved”;

ϑ-metodo: linea continua, ϑ-metodo ”improved”: linea tratteggiata.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010-10

100

1010

E[X

2]


Contents








Conclusioniϑ-metodo per SVIEs

I stesso ordine di convergenza del metodo di Eulero-MaruyamaI migliori proprietà di stabilità

ϑ-metodo ”improved” per SVIEsI steso ordine di convergenza del ϑ-metodoI ulteriore miglioramento delle proprietà di stabilità rispetto all’equazione

test di convoluzione

Work in progressmigliorare le proprietà di stabilità di metodi di ordine più alto perSVIEs (e.g. di tipo Milstein)analisi delle proprietà di stabilità non lineare


Riferimenti bibliografici

A. Cardone, D. Conte, R. D’Ambrosio, B. Paternoster, Stability issuesfor selected stochastic evolutionary problems: a review, Axioms 7(4),91 (2018).

D. Conte, R. D’Ambrosio, B. Paternoster, On the stability ofϑ-methods for stochastic Volterra integral equations, Discr. Cont.Dyn. Sys.-B (2018).

D. Conte, R. D’Ambrosio, B. Paternoster, Improved ϑ-methods forstochastic Volterra integral equations, submitted.D.J. Higham, Mean-square and asymptotic stability of the stochastictheta method, SIAM J. Numer. Anal. (2001).

C.H. Wen et al. Improved rectangular method on stochastic Volterraequations, J. Comput. Appl. Math. (2011).


Iniziative @UNISA - PRIN2017

PRIN 2017 Linea B (giovani): “Structure preserving approximation ofevolutionary problems”

Coordinatore nazionale: Raffaele D’Ambrosio, Università di L’Aquila.Responsabile locale: Dajana Conte

Assegno di Ricerca - Università di Salerno (Luglio 2020)Scuola estiva NASDE2020: Numerical Approximation of stochasticdifferential equationsRelatori:

I Evelyn BUCKWAR (”Johannes Kepler” University of Linz)I David COHEN (University of Umea)I Desmond HIGHAM (School of Mathematics, University of Edinburgh)

Periodo: 14-17 Luglio 2020Scadenza per la registrazione: 15 Maggio 2020Per info: http://www.dipmat2.unisa.it/iniziative/nasde2020/


Vi ringrazio per la corteseattenzione!


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