MATRICI E VETTORIMATRICI E VETTORI

SARA POLTRONIERI

APPROFONDIMENTO PER IL CORSOAPPROFONDIMENTO PER IL CORSODI LABORATORIO DI INFORMATICADI LABORATORIO DI INFORMATICA

LE MATRICILE MATRICIDEFINIZIONE:Una matrice è un insieme di numeri disposti su righee colonne.

1 3 7

2 5 1M ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

M è una matrice formata da 2 righe e 3 colonne.

DEFINIZIONE:Se il numero delle righe coincide con quello delle colonne, la matrice è quadrata.

ELEMENTI DI UNA ELEMENTI DI UNA MATRICEMATRICE

L’elemento di una matrice appartenente alla riga ii e allacolonna jj si indica con:

ijmEsempio:

1 3 7

2 5 1M ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ 12 3m =

dim n righe n colonne= ×o o

DEFINIZIONEDEFINIZIONEDimensione di una matrice:

dim 2 3= ×

VETTORIVETTORI

I vettori sono delle matrici particolari:

[ ]5 12 8 0V = Vettore riga

Vettore colonna

481

3

V

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

dim 1 4= ×

dim 4 1= ×

La dimensioneLa dimensioneèè differente!!!!differente!!!!

MATRICI PARTICOLARI(1/2)MATRICI PARTICOLARI(1/2)• MATRICE NULLANULLA: matrice composta da zeri.• MATRICE IDENTITAIDENTITA’: matrice quadrata avente gli elementidella diagonale principale uguali a 1.

1 00 1

I ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

• MATRICE SIMMETRICASIMMETRICA: la matrice A è simmetrica se aij =aji

per ogni i e j con i=j.

1 22 3

S ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

MATRICI PARTICOLARI(2/2)MATRICI PARTICOLARI(2/2)• MATRICE TRIANGOLARE: TRIANGOLARE: è una matrice quadrata i cui elemential di sopra (m. triangolare inferiore) o al di sotto (m. triangolare superiore) della diagonale sono tutti nulli.

11 12 1

22 200 00 0 0

n

n

nn

a a aa a

T

a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

K

K

K K

Matricetriangolareinferiore

• MATRICE DIAGONALE: DIAGONALE: è una matrice in cui gli elementi aij sono nulli per ogni i e j con i=j. Si osservi che una matrice diagonale èsimmetrica, ed è triangolare sia superiore che inferiore.

ALGEBRA DELLE MATRICI (1/3)ALGEBRA DELLE MATRICI (1/3)

1.1. ADDIZIONEADDIZIONE• date 2 matrici A e B (stessa dimensione), si definisce la loro somma la matrice C i cui elementi sono le somme dei corrispon-denti elementi di A e B:

ij ij ijC A B c a b= + → = +

2.2. MOLTIPLICAZIONE PER UN NUMEROMOLTIPLICAZIONE PER UN NUMERO• si definisce il prodotto di un numero reale λ per una matriceA come la matrice λA i cui elementi sono quelli di A moltiplicati

per λ:

ij ijC A c aλ λ= → =

ALGEBRA DELLE MATRICI (2/3)ALGEBRA DELLE MATRICI (2/3)

3.3. PRODOTTOPRODOTTO• Siano M e N due matrici dello stesso ordine, si definisce il loro prodotto la matrice P i cui elementi pij si ottengono come somma dei prodotti degli elementi della riga i-esima di M per gli elementi della colonna j-esima di N.

1 3 7

2 5 1M ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

2 31 20 4

N⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

11

12

21

22

1*2 3*1 7*01*3 3*2 7*42*2 ( 5)*1 1*02*3 ( 5)*2 1*4

pppp

= + += + += + − += + − +

5 371 0

P M N ⎛ ⎞= × = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

X

ALGEBRA DELLE MATRICI (3/3)ALGEBRA DELLE MATRICI (3/3)

ATTENZIONEATTENZIONE:Il prodotto tra matrici non è in generale commutativo!!!

Il prodotto tra 2 matrici A e B può essere effettuato solo seil numero di colonne di A coincide col numero di righe di B:

[ ][ ]

[ ] [ ] [ ]

A n mB m pC A B n m m p n p

= ×= ×= ⋅ = × ⋅ × = ×

dimensione dellamatrice prodotto.

eses:( 2 x 3 ) ( 3 x 2 ) = ( 2 x 2 ):( 2 x 3 ) ( 3 x 2 ) = ( 2 x 2 )

TRASPOSTATRASPOSTA

DEFINIZIONEDEFINIZIONE:Si definisce matrice trasposta di A e si indica con AT la matrice i cui elementi aij sono gli elementi aji della matrice originaria.

La matrice trasposta si deve intendere come una matricein cui le colonne diventano righe e le righe diventanocolonne.

1 3 7

2 5 1M ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 23 -57 1

TM⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

INVERSA E DETERMINANTE(1/2)INVERSA E DETERMINANTE(1/2)

DEFINIZIONEDEFINIZIONE:Si definisce matrice inversa di A e si indica con A-1 la matrice (se esiste) tale che:

1 1A A A A I− −⋅ = ⋅ =

Se una matrice A ammette inversa, allora A è dettaINVERTIBILE o NON SINGOLARE.

DEFINIZIONEDEFINIZIONE:Si definisce determinantedeterminante di una matrice A(2x2) la quantità

11 22 21 12det( )A a a a a= −11 12

21 22

a aA

a a⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

INVERSA E INVERSA E DETERMINANTE(2/2)DETERMINANTE(2/2)

TEOREMATEOREMA:La matrice A è invertibile se e solo se

det( ) 0A ≠

In tal caso l’inversa della matrice A è:

22 121

21 11

1det( )

a aA

a aA− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

RANGO E ORDINERANGO E ORDINEUna qualsiasi matrice possiede delle sottomatrici quadrate.Ad esempio una matrice 3 x 5 possiede sottomatrici quadratedi ordine 11 , 22 , 33 e per tali sottomatrici è possibile calcolare

il determinante.2 -2 0 4 13 7 1 -3 80 9 5 5 6

M⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

La caratteristica o RANGO di una matrice A, denotata con il simbolo r(A), è il massimo ordine dei minori non nulli.

Con minore si intende il determinante di una sottomatrice quadrata e con ordine la dimensione di tale sottomatrice.

RANGO E ORDINE (esempio)RANGO E ORDINE (esempio)Essendo A di dimensioni 3 x 4, la massima dimensione di una sua sottomatrice quadrata è 3 e quindi r(A) ≤ 3 .Poiché la matrice A possiede almeno un elemento diverso da zero, il suo rango è sicuramente maggiore uguale a 1, quindi

Determinare il rango della matrice

2 5 1 31 0 2 11 5 -1 2

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 ( ) 3r A≤ ≤Per stabilire se r(A) = 3 si devono calcolare i determinanti delle sottomatrici 3 x 3. Le sottomatrici di 3 x 3 possibili sono 4!!.Calcolo i determinanti.

1

2 5 11 0 21 5 -1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2 5 31 0 11 5 2

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3

2 1 31 2 11 -1 2

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

4

5 1 30 2 15 -1 2

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

RANGO E ORDINE RANGO E ORDINE (esempio)(esempio)

Una delle sottomatrici 3 x 3 è la seguente:

1

2 5 11 0 21 5 -1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Regola facile per calcolare il determinante di una matrice 3 x 3:

1

2 5 11 0 2

2 51 0

55 11 -1A

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1. si aggiungono 2 colonne uguali alle prime 2;2. si addizionano i prodotti delle diagonalidestra-sinistra;3. si sottraggono i prodotti delle diagonalisinistra-destra.

det(A)= 0 + 10 + 50 + 10 + 5 -- 0 0 -- 20 + 520 + 5 = 0Anche le altre sottomatrici 3 x 3 hanno determinante nullo.La matrice A ha rango 2.

DETERMINANTE DI UNA DETERMINANTE DI UNA MATRICE DI ORDINE nMATRICE DI ORDINE n

In generale ad ogni matrice quadrata è possibile associare determinante reale che permette di stabilire l’invertibilità omeno di una matrice. Il calcolo del determinante è effettuatotramite lo sviluppo di Laplace .

dove Aij è la sottomatrice ottenuta da A cancellando lai-esima riga e la j-esima colonna.

1det( ) ( 1) det( )

ni j

ij ijj

A a A+

=

= −∑minore complementareminore complementare

complemento complemento algebricoalgebrico

( 1) det( )i jijA+−

ESEMPIOESEMPIO

1 0 12 1 30 4 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 1 2 1 311 12 13det( ) ( 1) 1det ( 1) 0det ( 1) 1detA A A A+ + += − + − + −

1 3 2 1det( ) det det 3

4 1 0 4A ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦