“Approccio probabilistico per la valutazione dell’affidabilità sismica delle muratura...

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI “MEDITERRANEA”

DI REGGIO CALABRIA

FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Civile

Progettazione strutturale

“Approccio probabilistico

per la valutazione dell’affidabilità sismica

delle muratura confinate italiane”

Relatore

Prof.Ing.Enzo D’Amore Tesi di Laurea di:

Gaetano Hermann Murdica

ANNO ACCADEMICO 2011/2012

DEDICHE

Dedico questo lavoro alle persone più importanti della mia vita, a coloro che non mi

abbandoneranno mai e che porterò per sempre nel mio cuore… a te papà, a te mamma

e a te fratello mio.

Grazie per avermi dato la forza, lo spirito, la pace, la volontà e l’armonia in tutti questi

anni.

Vi amo.

RINGRAZIAMENTI

Questa tesi non sarebbe stata possibile senza la visione, la supervisione e la guida del

Prof. Ing. D’Amore Enzo, il primo riconoscimento deve andare a lui. Grazie anche

all’ingegnere Trovato Sandro, per tutti i consigli e per avermi fatto conoscere parti delle

problematiche sull’argomento di questo piccolo capolavoro. Persone davvero cordiali e

gentili.

E’ doveroso esprimere la mia gratitudine a colei che è stata sempre al mio fianco nel

momento del bisogno, che mi ha dato la forza nei momenti difficili, che ha cercato

sempre di rendermi le cose più semplici, che ha camminato al mio fianco dall’inizio del

percorso universitario alla fine, e che è stata il mio angelo custode in tutti questi anni,

Maria Laura Surace, la mia fidanzata.

Indice

ABSTRACT 6

SOMMARIO 7

EXECUTIVE SUMMARY 10

CAPITOLO 1 - METODI PER LA VALUTAZIONE DELL’AFFIDABILITÀ SISMICA 13

1.1 AFFIDABILITÀ STRUTTURALE 13 1.2 APPROCCIO DI CORNELL & JALAYER 14 1.3 ANALISI PROBABILISTICA DELLA PERICOLOSITÀ SISMICA (PSHA): METODI SEMPLIFICATI PER

L’INDIVIDUAZIONE DELLA CURVA DI PERICOLOSITÀ 16 1.4 ANALISI PROBABILISTICA DELLA RISPOSTA SISMICA (PSDA) 21

Metodi a banda stretta per la determinazione della risposta sismica 21 1.4.1 Metodi a banda larga per la determinazione della risposta sismica 26 1.4.2

CAPITOLO 2 – TECNICHE DI ANALISI NON LINEARE 29

2.1 ANALISI STATICA NON LINEARE (PUSHOVER) 29 Procedura di carico 30 2.1.1 Comportamento delle curve di capacità 34 2.1.2 Metodologia 39 2.1.3

2.2 ANALISI DINAMICA NON LINEARE 42 Metodologia 42 2.2.1 Il Metodo di Newmark 45 2.2.2

2.3 ANALISI DINAMICA INCREMENTALE IDA 52 Parametri delle curve IDA 52 2.3.1 Proprietà generali delle curve I.D.A. 53 2.3.2 Raggiungimento dei livelli di performance secondo F.E.M.A. nelle I.D.A. 55 2.3.3 Criterio basato sulla misura del danno 57 2.3.4 Criterio basato sulla misura d’intensità 58 2.3.5 Sintesi dei risultati dell’IDA 61 2.3.6

CAPITOLO 3 – CURVE DI FRAGILITÀ 66

3.1 INTRODUZIONE 66 3.2 METODOLOGIE PER LA DETERMINAZIONE DELLE CURVE DI FRAGILITÀ 67

Valutazione dell’affidabilità strutturale con la PSDA 67 3.2.1 Determinazione delle curve di fragilità mediante l’analisi non lineare 73 3.2.2

CAPITOLO 4 - MURATURE CONFINATE 82

4.1 ASPETTI TIPOLOGICI 82 4.1 TIPOLOGIE COSTRUTTIVE 83 4.2 MODELLAZIONE ANALITICA 87

Introduzione alla modellazione a fibre e a plasticità concentrata 87 4.2.1 Effetti del deterioramento 93 4.2.2 Legami costitutivi per una sezione in c.a. 95 4.2.3

4.3 MODELLAZIONE DEI PANNELLI MURARI 102 I modelli per le pareti in muratura 104 4.3.1

5 Indice

4.4 MODELLAZIONE MEDIANTE MICRO-MODELLI 105 4.5 MODELLAZIONE MEDIANTE MACRO-MODELLI 105

Analisi globale del comportamento del pannello murario sotto carichi laterali 107 4.5.1 Modelli non lineari dei pannelli murari 109 4.5.2 Modellazione delle aperture nei pannelli murari 130 4.5.3

CAPITOLO 5 - DEFINIZIONE DEL CASO DI STUDIO 142

5.1 INTRODUZIONE 142 5.2 DESCRIZIONE DEGLI EDIFICI ANALIZZATI 145 5.3 CARATTERISTICHE DEL CASO DI STUDIO ANALIZZATO 147

Proprietà dei materiali 148 5.3.1 Carichi agenti 150 5.3.2

5.4 MODELLAZIONE AGLI ELEMENTI FINITI 155 Modellazione non-lineare del calcestruzzo 155 5.4.1 Modellazione non-lineare delle barre di armatura 156 5.4.2 Modellazione a fibre degli elementi trave e colonne 157 5.4.3 Modellazione dei pannelli murari 160 5.4.4 Calibrazione del modello analitico 164 5.4.5

CAPITOLO 6 - VALUTAZIONE DELL’AFFIDABILITÀ SISMICA DELLE MURATURE CONFINATE 169

6.1 AFFIDABILITÀ STRUTTURALE: APPLICAZIONE AL CASO DI STUDIO 169 Diagramma di flusso della procedura implementata 170 6.1.1 Analisi modale 172 6.1.2 Definizione dell’azione sismica locale 178 6.1.3 Risultati delle analisi statiche non lineari 183 7.1.1 Risultati delle analisi dinamiche non lineari incrementali 188 7.1.2 Curve di Fragilità 191 7.1.3 Affidabilità Sismica 199 7.1.4

CAPITOLO 7 – CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE E SVILUPPI FUTURI 201

BIBLIOGRAFIA 205

ABBREVIAZIONI 210

APPENDICE A: ACCELEROGRAMMI USATI NELLE ANALISI 211

APPENDICE B: RICHIAMI DI PROBABILITÀ 213

11.1 DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ 216 11.2 MEDIA E VARIANZA DI UNA DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ 217 11.3 DISTRIBUZIONE NORMALE O GAUSSIANA 218 11.4 DISTRIBUZIONE LOG-NORMALE 219 11.5 PROBABILITÀ POISSONIANA DI ACCADIMENTO 220

APPENDICE C: LISTATO IN MATLAB DELLA PROCEDURA SVILUPPATA 222

APPENDICE D: RISULTATI NUMERICI DELLE ANALISI DINAMICHE INCREMENTALI 240

6 Abstract

Abstract

Il presente lavoro concerne uno studio analitico sulla determinazione dell’affidabilità

sismica dei sistemi misti muratura-c.a. (murature confinate) utilizzati in Italia dopo il

terremoto di Messina e Reggio Calabria del 1908. L’impostazione probabilistica adottata

trae origine dall’integrale del PEER (Pacific Earthquake Engineering Research) nel quale

si fornisce in termini probabilistici una relazione per la valutazione dei livelli

prestazionali delle strutture, esprimibili in termini di frequenza media annua di

superamento. Tale approccio è alla base dell’attuale stesura del Performance Based

Seismic Design (PBSD). In quest’ambito la determinazione del livello prestazionale di

alcuni casi di studio relativi alle murature confinate italiane individuati in precedenti

studi da D’Amore (D’Amore 2007) viene svolta in accordo all’approccio probabilistico di

Cornell e Jalayer (Cornell 2003) avvalendosi delle tecniche di analisi dinamica

incrementale proposte da Vamvatsikos e Cornell (Vamvatsikos & Cornell, 2002) e

tramite la successiva costruzione di opportune Curve di Fragilità seguendo l’approccio di

Jalayer, Franchin e Pinto (Jalayer, et al., 2007) che forniscono la base per calcolare la

frequenza media annua di superamento di un determinato stato limite.

I risultati ottenuti mostrano che le prestazioni delle tipologie indagate nei confronti degli

stati limite di operatività (IO), di danneggiamento (SD) e di salvaguarda della vita (SLV)

non sono adeguate rispetto agli standard normativi delle nuove costruzioni. Mentre

prestazioni adeguate vengono rilevate nei confronti dello stato limite di collasso.

7 Sommario

Sommario

In questo lavoro si determina l’affidabilità sismica dei sistemi misti muratura-c.a.

(murature confinate) mediante la valutazione delle Curve di fragilità e della Frequenza

annua media di superamento di un determinato stato limite. La tesi si articola in cinque

parti.

Nella prima parte si riportano i risultati dei principali lavori riferiti all’approccio

probabilistico di Cornell e Jalayer (Cornell & Jalayer, 2003). Tali studi derivano dalla

necessità di dare soluzione all’integrale del PEER (Pacific Earthquake Engineering

Research) nel quale si fornisce in termini probabilistici una relazione per la valutazione

dei livelli prestazionali delle strutture esprimibili in termini di frequenza media annua di

superamento. Tale approccio, che è alla base del Performance Based Seismic Design

(PBSD), prevede che le strutture siano in grado di esibire, con una certa probabilità,

determinate prestazioni in occorrenza di eventi sismici di diversa intensità.

L’introduzione dell’approccio probabilistico rende indispensabile la formulazione di un

nuovo modello per valutare le diverse fonti d’incertezza. Le incertezze vengono

suddivise in due categorie: quelle di tipo aleatorio (randomness) relative alla variabilità

naturale degli eventi sismici, all’entità dei carichi, alle proprietà meccaniche dei materiali

e al comportamento isteretico degli elementi dissipativi e dei collegamenti e; quelle di

tipo epistemologico (uncertainty) connesse ad esempio alle incertezze sulla

modellazione strutturale.

La seconda parte riguarda le tecniche di analisi necessarie per valutare la

risposta strutturale, con particolare riferimento alle analisi dinamiche non lineari

incrementali (IDA) proposte da Vamvatsikos e Cornell (Vamvatsikos & Cornell, 2002) e

richieste nell’approccio probabilistico della prima parte di questo lavoro. Queste

tipologie di analisi sono attualmente consigliate dalle procedure FEMA (Federal

Emergency Management Agency) per investigare il comportamento delle strutture

dall’elevata complessità geometrica e meccanica in campo fortemente non lineare.

Attraverso le analisi dinamiche incrementali (IDA) si può migliorare la comprensione

dell’andamento del rapporto risposta/domanda sismica ai vari livelli di sollecitazione,

interpretare accuratamente le implicazioni strutturali di eventi sismici di grande

intensità, valutare i cambiamenti del comportamento degli edifici in termini di

deformabilità, indotti dal degrado di resistenza e rigidezza della struttura e determinare

la sollecitazione sismica che induce il raggiungimento dei diversi livelli prestazionali della

struttura.

8 Sommario

La terza parte è dedicata alle Curve di Fragilità, ovvero alle funzioni che

esprimono la probabilità che un evento sismico con una determinata intensità provochi

il superamento di un livello di danno. Il metodo di valutazione delle Curve di fragilità non

è univoco, in letteratura sono disponibili diversi metodi per la costruzione di queste

curve, tuttavia in linea con l’approccio probabilistico di Cornell è stato riportato il

metodo di Jalayer (Jalayer, et al., 2007) il quale fornisce la base per calcolare la

frequenza media annua di superamento di un determinato stato limite.

La quarta parte di questo lavoro si concentra sulla modellazione delle murature,

analizzando i diversi aspetti tipologici, le tipologie costruttive con particolare riferimento

alle murature confinate e, la presenza delle aperture. I modelli che simulano il

comportamento dei pannelli murari (Klingner & Bertero, 1976), (Panagiotakos & Fardis,

1996), (Crisafulli, et al., 1997), si basano sulla concezione che esso possa essere

schematizzato da due fasce di muratura compresse o tese, dette bielle equivalenti o

ancora puntoni equivalenti. Questi, che agiscono lungo le diagonali, hanno dimensioni

variabili in funzione delle caratteristiche meccaniche degli elementi che lo compongono

e sono idealmente collegate con cerniere ai nodi dei telai. Le caratteristiche delle bielle

sono tali da permettere di simulare la resistenza e la rigidezza dei pannelli reali in

condizione di fessurazione completa derivante dall’azione sismica. Come si desume dai

risultati sperimentali trovati in letteratura (Bertoldi, et al., 1993), (Crisafulli, 1997), non

esiste una vera e propria materializzazione della biella, pertanto si deduce che la stessa

costituisce soltanto un fenomeno assai complesso.

Tra i modelli proposti in letteratura (Klingner, 1976), (Panagiotakos & Fardis, 1996),

(Crisafulli, et al., 1997), (Perera, 2005), quelli con il singolo e doppio puntone

equivalente sembrano essere abbastanza affidabili per simulare il comportamento reale

del pannello e cogliere i diversi danni strutturali all’applicazione di un carico. Tuttavia

anche se il modello con un puntone equivalente fornisce risultati attendibili nella

valutazione della risposta strutturale, non coglie i meccanismi di danneggiamento locali

negli elementi adiacenti quali pilastri e travi, al contrario del modello con due puntoni

equivalenti. I parametri principali che governano questi modelli sono: la larghezza, il

legame forza-spostamento e il punto di applicazione della biella equivalente. Per i

suddetti parametri, è presente un’alta variabilità di scelta, che porta ad una variabilità

dei risultati e della sensibilità degli stessi al variare delle proprietà meccaniche.

La quinta ed ultima parte della tesi riguarda la valutazione dell’affidabilità

sismica su un caso di studio. In quest’ambito la determinazione del livello prestazionale

esprimibile in termine di frequenza media annua di superamento viene svolta in accordo

all’approccio probabilistico di Cornell e Jalayer (Cornell 2003). L’analisi viene svolta

avvalendosi delle tecniche di analisi dinamica non lineare Incrementale (IDA) e tramite la

9 Sommario

successiva costruzione di opportune Curve di Fragilità seguendo l’approccio di Jalayer

(Jalayer, et al., 2007) le quali forniscono la base per calcolare la frequenza media annua

di superamento di un determinato stato limite.

10 Executive summary

Executive summary

In this paper we determine the seismic reliability of confined masonry structures

through the evaluation of the fragility curves and the mean annual frequency of

exceeding a given limit state. The thesis is divided into five parts.

In the first part we discussed the results of the principal works relating to a

probabilistic approach of Jalayer Cornell (Cornell & Jalayer, 2003). These studies derive

from the need to provide a solution to the integral PEER (Pacific Earthquake Engineering

Research) which is provided in terms of the probability that a report to assess the

performance levels of the structures can be expressed in terms of average annual

frequency of exceedance. This approach, which is the basis of the Performance Based

Seismic Design (PBSD) provides that structures should be able to possess, with a certain

probability, specific performances under earthquakes of varying intensity.

The introduction of the probabilistic approach is essential to the formulation of a new

model to evaluate different sources of uncertainty. The uncertainties are divided into

two categories: those that are random (randomness) in relation to natural variability of

the seismic events, for example the size of the loads, the mechanical properties of

materials and the hysteretic behaviour of dissipative elements and their connections.

Secondly, as an epistemological uncertainty related to such uncertainties on structural

modelling.

The second part concerns the analysis techniques necessary for evaluating the

structural response, with particular reference to non-linear incremental dynamic

analysis (IDA) proposed by Vamvatsikos and Cornell (Vamvatsikos & Cornell, 2002) and

requires a probabilistic approach for the first part of this job. These kinds of analisys are

currently recommended procedures by the FEMA (Federal Emergency Management

Agency) to investigate the behaviour of highly complex geometric structures and

nonlinear mechanical fields. Through incremental dynamic analysis (IDA) one can gain a

better understanding of the relationship between the seismic demand and the results at

various levels of stress, accurately interpret the structural implications of earthquakes of

great intensity, evaluate the changes in the behaviour of the buildings in terms of

deformability induced by degradation of strength and stiffness of the structure, and also

determine the seismic stress that induces the achievement of different performance

levels of the structure.

The third part is dedicated to the fragility curves, or the functions which express

the probability that a seismic event with a specific intensity can cause damage levels to


be exceeded. The method of evaluating the curves of fragility is not unique, in the

various literatures different methods are available for the production of these curves,

however, the probabilistic approach of Cornell in conjunction with the reported method

of Jalayer (Jalayer, et al., 2007) provide the basis for calculating the average annual

frequency of exceeding a given limit state.

The fourth part of this work focuses on modelling of masonry, analyzing the

different typological aspects, types of construction with special reference to confined

masonry, and the presence of the openings. The models that simulate the behaviour of

the wall panels (Crisafulli, et al., 1997) (Panagiotakos & FARDIS, 1996) (Klingner &

Bertero, 1976), are based on the conception that it can be represented by two bands of

masonry tablets or tensions, equivalent said connecting rods or equivalent still struts.

These, which act along the diagonals, have variable degrees of function in terms of the

mechanical characteristics of the elements that compose it and are ideally connected

with hinges to the nodes of the frames. The characteristics of the connecting rods are

such that they are able to simulate the resistance and the stiffness of the panels should

cracking arising from seismic activity. It is apparent from the experimental results found

in the literature (Bertoldi, et al., 1993), (Crisafulli, 1997), that the connecting rods fails to

materialise, therefore it can be deduced that the study of this is a very complex

phenomenon. Among the models proposed in the literature (Crisafulli, et al., 1997),

(Panagiotakos & FARDIS, 1996), (Klingner, 1976), (Perera, 2005), those with the single

and double strut equivalent seem to be reliable enough to simulate the real behaviour

of the panel and capture the different structural damage to the application of a load.

However, even if the model with a strut equivalent provides reliable results in the

evaluation of the structural response, it does not grasp the mechanisms of damage to

premises in adjacent elements such as pillars and beams, as opposed to the model with

two strut equivalents. The main parameters that govern these models are: the width,

the bond force-displacement and the point of application of the equivalent connecting

rod. There is a high variability of choice for the above parameters, which leads to a

variability of results and therefore the ability to vary the mechanical properties.

The fifth and final part of the thesis concerns the assessment of the seismic

reliability based on a case study. In this context, the level of performance is determined

by the average annual frequency of exceedance as it occurs according to a probabilistic

approach of Jalayer and Cornell (Cornell 2003). The analysis is carried out using the

techniques of the non-linear incremental dynamic analysis (IDA) and by the subsequent

construction of appropriate fragility curves following the approach of Jalayer (Jalayer, et

al., 2007), which provide the basis for calculating the mean annual frequency of

exceeding a given limit state.

13 CAPITOLO 1 - Metodi per la valutazione dell’affidabilità sismica

CAPITOLO 1 - Metodi per la valutazione dell’affidabilità sismica

1.1 Affidabilità strutturale

L’affidabilità di un sistema strutturale rappresenta il grado di prestazione di una

struttura o di una sua parte. Tale definizione trova applicazione concreta nelle

procedure per la progettazione delle costruzioni in zona sismica (FEMA 273, FEMA 350

C.4.2), fondate sulla “Progettazione sismica basata sulle prestazioni” (Performance

Based Seismic Design - PBSD).

Il PBSD prevede che la struttura sia in grado di fornire, con un’assegnata probabilità,

determinate prestazioni qualora soggetta ad eventi sismici di diversa intensità

(Giugliano, 2009). Le prestazioni sono definite in termini di Frequenza Annua Media Di

Superamento dello Stato Limite e forniscono la base per la valutazione della probabilità

con la quale la struttura attinge un prefissato stato limite.

Figura 1.1-2 - Probabilità con la quale una struttura attinge un prefissato stato limite.

L’analisi dell’affidabilità strutturale, consiste nella valutazione della frequenza annua

media di superamento della generica variabile chiave (DV) che è pari all’inverso del

periodo di ritorno T:

[1.1-1]

Eventi molto rari (2% in 50 anni)

Eventi rari (10% in 50 anni)

Eventi occasionali (20% in 50 anni)

Eventi frequenti (50% in 50 anni)

Figura 1.1-1 - Probabilità con la quale una struttura attinge un prefissato stato limite

T

DVH1

)


L’adeguatezza strutturale può essere correlata alla frequenza annua media di

superamento di una generica domanda, ad esempio il massimo spostamento

d’interpiano, verificando che il periodo di ritorno sia maggiore della vita nominale VN

della struttura.

1.2 Approccio di Cornell & Jalayer

L’approccio di Cornel e Jalayer (Cornell & Jalayer, 2003) consente di valutare l’affidabilità

sismica delle strutture espressa come frequenza annua media di superamento di uno

stato limite attraverso un’analisi che prevede l’introduzione di tre variabili intermedie:

1. IM (Misura dell’intensità dell’azione sismica);

2. DM (Misura del livello di danno);

3. CM (Misura della capacità strutturale);

La valutazione dell’affidabilità sismica delle strutture avviene attraverso la combinazione

dei risultati dell’analisi probabilistica della pericolosità sismica (PSHA), dell’analisi

probabilistica della risposta strutturale (PSDA) e dell’analisi probabilistica della capacità

strutturale (PSCA) (Giugliano, 2009). Attraverso tre ipotesi semplificative riguardo la

forma della curva di pericolosità sismica (hazard curve), e alle leggi di distribuzione di

demand e capacity, Cornell e Jalayer forniscono un’espressione in forma chiusa per la

valutazione della frequenza annua media di superamento di un dato stato limite. La

stima di tale valore è ovviamente affetta da un grado di approssimazione connesso

all’importanza delle ipotesi semplificative alla base del modello. Tra queste, risulta

particolarmente rilevante l’ipotesi di omoschedasticità, ossia di dispersione costante

della demand con la pseudo-accelerazione spettrale (in corrispondenza del periodo

fondamentale di vibrazione della struttura), assunta quale misura dell’intensità

dell’azione sismica per la sue caratteristiche di sufficienza, efficienza e reperibilità della

curva di pericolosità.

La frequenza annua media di superamento della generica domanda (espressione

proposta dal Pacific Earthquake Engineering Research (PEER)) può essere espressa nella

seguente forma:

[1.2-1]

IMdHIMDMdGDMDVGDVH ||


Dove:

H(IM) è la Frequenza Media Annuale di superamento di un dato valore della

misura dell’intensità dell’azione sismica, generalmente attraverso un’analisi

della pericolosità sismica del sito in esame (PSHA1);

G(DV|DM) è la probabilità condizionata di superamento della variabile DV dati i

vettori D e IM; in altre parole è la probabilità che la variabile chiave superi un

determinato valore quando la demand DM assume un dato valore. Tale funzione

può essere stimata attraverso l’analisi probabilistica della capacità strutturale

(PSCA);

G(DM|IM) è la probabilità che la variabile rappresentativa del danneggiamento

strutturale DM superi un determinato valore quando la misura dell’intensità

sismica IM assume un dato valore. Tale funzione può essere stimata attraverso

l’analisi probabilistica della risposta strutturale (PSDA);

Se si assume quale variabile decisionale il superamento di un determinate stato limite

(DV=LS), l’affidabilità strutturale è espressa in termini di frequenza annua media di

superamento dello stato limite considerato. La condizione di superamento dello stato

limite sarà dunque fornita dalla condizione DM ≥ C cioè demand (ossia il parametro che

descrive il comportamento strutturale) che supera la capacità strutturale. Assumendo

inoltre le seguenti condizioni:

1. la variabile DV sia un indicatore (scalare) binario cioè che assuma valore 1

quando eccede o uguaglia il valore della capacità, e 0 negli altri casi; 2. il vettore della domanda strutturale sia uno scalare; 3. la IM sia rappresentata da uno scalare come ad esempio l’accelerazione

spettrale corrispondente il periodo principale di vibrazione della struttura; 4. che D e DV siano incondizionatamente indipendenti dalla IM.

La frequenza annua media di superamento di un fissato stato limite, si riscrive:

[1.2-2]

dove DV=1 quando D ≥ CLS, ovvero la capacità corrispondente allo stato limite LS. Tale

espressione, mediante le tre ipotesi semplificative, può essere trasformata in una

equazione in forma chiusa, rendendola più agevole dal punto di vista computazionale.

1 PSHA = Analisi probabilistica della pericolosità sismica.

aaLSLS SdHSDdGDCDGDVHH ||1


Queste riguardano per primo l’approssimazione della curva di pericolosità locale del sito,

la seconda riguarda l’approssimazione del modello probabilistico della demand, la terza

invece riguarda la legge di distribuzione della capacità strutturale.

Per valutare la frequenza annua media di superamento di uno stato limite HLS mediante

la [1.2-2] è necessario eseguire un’analisi probabilistica della pericolosità sismica (PSHA)

per individuare la cosiddetta “Curva di pericolosità”, ovvero una curva che rappresenta

la frequenza annua media di superamento di un evento sismico per una misura

dell’intensità dell’azione sismica (IM) .

1.3 Analisi probabilistica della pericolosità sismica (PSHA): Metodi semplificati per l’individuazione della curva di pericolosità

L’obiettivo dell’analisi probabilistica della pericolosità sismica (PSHA) è la definizione

della curva di pericolosità HSA (x) (indicata anche come λSa) che esprime la frequenza

annua media di superamento della pseudo-accelerazione spettrale Sa . Le curve di

pericolosità dovrebbero essere fornite dai sismologi in funzione del sito, del periodo di

vibrazione della struttura e del rapporto di smorzamento. Tuttavia, in assenza di analisi

specifiche è possibile ricorrere alle disposizioni dell’Eurocodice 8 (EN 1998-2) parte 2, il

quale fornisce una relazione (equazione A.3) che consente di valutare l’accelerazione di

picco al suolo corrispondente ad eventi sismici aventi un periodo di ritorno tr diverso da

quello di riferimento tr0 (475 anni), ossia il periodo di ritorno assunto a riferimento per la

definizione dello spettro elastico allo SLU:

[1.3-1]

Dove ag e ag,475 sono, rispettivamente, i valori dell’accelerazione di picco al suolo

corrispondenti ad eventi sismici con periodo di ritorno tr e tro, mentre z è un parametro

che dipende dal livello di sismicità della zona; generalmente si assume un valore 0,3

0,4 (CEN, 1998) Segue:

[1.3-2]

z

r

r

g

g

t

t

a

a

0475,

z

g

g

rra

att

/1

475,

0


Da cui, essendo il reciproco del periodo di ritorno pari alla frequenza media annua di

superamento dell’evento sismico, si ricava la curva di pericolosità espressa in termini di

accelerazione di picco al suolo:

[1.3-3]

In cui il termine tra parentesi (ag,4751/z / tr,0) rappresenta k’0 mentre l’esponente -(1/z)

rappresenta invece k’. Noto inoltre il periodo fondamentale di vibrazione della struttura,

dalle formulazioni analitiche nell’Eurocodice 8 per gli spettri elastici, risulta nota la

relazione tra pseudo-accelerazione spettrale Sa(T0) ed accelerazione di picco al suolo:

f

TSaafTS a

gga0

0

dove f dipende dalla zona nella quale ricade il periodo di vibrazione e rappresenta il

rapporto tra la pseudo-accelerazione spettrale in corrispondenza del periodo

fondamentale di vibrazione della struttura e l’accelerazione di picco al suolo definito

secondo gli spettri da normativa. La funzione HSA (x) diviene:

[1.3-4]

che può essere scritta nel seguente modo:

[1.3-5]

In cui il termine k’0 / f -k’ rappresenta k0 mentre l’esponente – k’ rappresenta invece k. Si

nota come all’aumentare dell’accelerazione spettrale Sa il termine HSa(Sa) diminuisce.

Tale espressione corrisponde alla prima ipotesi di Cornell e Jalayer. L’equazione [1.3-3] e

l’equazione [1.3-4] sono rappresentate in Figura 1.3-2 e Figura 1.3-1. Attraverso il

confronto tra la [1.3-4] e la [1.3-3], si ottengono le espressioni dei coefficienti di forma

della curva di pericolosità media delle zone sismiche europee derivata dalle disposizioni

dell’Eurocodice 8 (CEN 2004b):

[1.3-6]

z

g

r

z

g

z

g

g

r

ga at

a

a

a

taH

g

/1

0

/1

475,

/1

475,

0

1

'

0'

0

'

00

''

k

ak

k

aaSa TS

f

k

f

TSkSH

z

ro

z

a

ft

ak

/1

/1

475,

0

k

aaSa TSkSH

00


[1.3-7]

In alternativa, limitatamente a siti italiani, è possibile far riferimento ai dati forniti dalle

nuove Norme Tecniche per le Costruzioni (D.M. 14/01/2008). Nella tabella 1 allegata al

testo normativo vengono infatti riportati, in funzione di latitudine e longitudine dei punti

del reticolo di riferimento e per valori significativi del periodo di ritorno dell’evento

sismico (30, 50, 72, 101, 140, 201, 475, 975 e 2475 anni), I valori di ag, F0 e TC *, che

assumono il significato, rispettivamente, di: accelerazione di picco al suolo su suolo di

riferimento rigido orizzontale; fattore massimo di amplificazione dell’accelerazione

spettrale su suolo di riferimento rigido orizzontale; parametro utile alla definizione dei

periodi TB, TC e TD che segnano l’inizio dei tratti dello spettro ad accelerazione, velocità,

e spostamento spettrale costante. Noti tali valori, che definiscono compiutamente gli

spettri elastici per ognuno dei periodi di ritorno significativi, si può associare ad ogni

valore della frequenza annua media di superamento (reciproco del periodo di ritorno

dell’evento sismico di riferimento) il corrispondente valore della pseudoaccelerazione

spettrale in corrispondenza del periodo fondamentale di vibrazione della struttura in

esame. Attraverso una regressione tipo potenza sui dati ottenuti, si ricava infine

l’approssimazione della curva di pericolosità nella forma [1.3-5]. Se in particolare si

ricorre ad una delle applicazioni consultabili gratuitamente in rete, per esempio EdiLus-

MS (http://www.acca.it/EdiLus-MS/), facendo variare la vita nominale della struttura e

la classe d’uso si può reperire un set di dati più fitto, e quindi una stima meglio

approssimata della curva di pericolosità.

In riferimento alla semplificazione proposta da Cornell e Jalayer (Cornell & Jalayer,

2003), è stata ricavata la curva di pericolo per la località di Reggio Calabria inerente il

caso di studio. Considerando il periodo di vibrazione principale della struttura T0 pari a

0.17 sec e utilizzando le equazioni fornite dalle NTC08 per il calcolo dell’accelerazione

spettrale per periodi T compresi tra TB e TC si ha:

Noto f e assumendo z pari a 0,4 è possibile calcolare i parametri k e k0:

zk

1

41.20 FSf

002.241.2475

81.935.04.0/1

4.0/1

/1

/1

475,

0

z

ro

z

a

ft

ak

5.21

zk


Si ricava così la curva di pericolosità riportata in Figura 1.3-2.

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

0 10 20 30

HSa

- F

req

uen

za a

nn

ua

di s

up

eram

ento

Sa (T0 = 0.17 sec) [m/s2]

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

0 5 10 15 20 25 30

ag [m/s2]

Figura 1.3-2 - Curva di pericolosità sismica semilogaritmica in termini di Sa inerente il caso di

studio per la località di Reggio Calabria

Figura 1.3-1 – Curva di pericolosità sismica semilogaritmica in termini di ag inerente il caso

di studio per la località di Reggio Calabria

gag aH

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1 10

HSa

- F

req

uen

za a

nn

ua

di s

up

eram

ento

Sa (T0 = 0.17 sec) [m/s2]

Figura 1.3-4 - Curva di pericolosità bilogaritmica in termini di Sa inerente il caso di studio per la

località di Reggio Calabria

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1 10ag [m/s2]

Figura 1.3-3 - Curva di pericolosità bilogaritmica in termini di ag inerente il caso di studio per la

località di Reggio Calabria


Dall’equazione [1.2-2] considerando come domanda d un generico stato limite LS, la HLS

è fornita dall’analisi probabilistica della riposta sismica strutturale PSDA, che necessita la

determinazione della risposta strutturale DM.

1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

0.5 5

λ Sa

- Fr

equ

enza

an

nu

a d

i su

per

amen

to

Sa (T) [m/s2]

T=0.17 sec

T=0.40 sec

T=2.7 sec

T=0.05 sec

Figura 1.3-6 - Curva di pericolosità bilogaritmica in termini di Sa per la località di Reggio Calabria per periodi di vibrazione diversi. La curva in neretto è relativa al caso di studio (TB<T<TC)

Figura 1.3-7 – Spettro di risposta elastico della località di Reggio Calabria. I punti evidenziati in rosso rappresentano TB, TC e TD. Le curve di pericolosità relative a questi periodi sono riportate sopra.

1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

0 10 20 30

λ Sa

- Fr

equ

enza

an

nu

a d

i su

per

amen

to

Sa (T) [m/s2]

T=0.17 sec

T=0.40 sec

T=2.7 sec

T=0.05 sec

TB TC TD

TC<T<TD

T > TD

0<T<TB

TC<T<TD

T > TD

0<T<TB

Figura 1.3-5 - Curva di pericolosità semilogaritmica in termini di Sa per la località di Reggio Calabria per periodi di vibrazione diversi. La curva in neretto è relativa al caso di studio (TB<T<TC)


1.4 Analisi probabilistica della risposta sismica (PSDA)

La valutazione della frequenza media annua di superamento da parte della risposta

strutturale D di un livello assegnato d, ossia HD(d), richiede una analisi probabilistica

della risposta sismica, PSDA (Probabilistic Seismic Demand Analysis). La PSDA si occupa

quindi della determinazione della probabilità che la “demand” ecceda un prefissato

valore, data l’intensità dell’azione sismica:

[1.4-1]

I metodi utilizzabili per determinare la risposta strutturale appartengono alla categoria

dei metodi basati sulla simulazione numerica, che prevedono l’utilizzo di

accelerogrammi storici opportunamente selezionati e consentono la valutazione della

risposta sismica. Essi si suddividono in metodi a banda stretta e metodi a banda larga.

Metodi a banda stretta per la determinazione della risposta 1.4.1sismica

Tali metodi forniscono una stima accurata della risposta strutturale solo in

corrispondenza, o nell’intorno, di un determinato valore del livello di azione sismica IM.

Tra i metodi a banda stretta troviamo quello denominato a nuvola e quello denominato

a striscia; questa terminologia è funzione del modo in cui gli accelerogrammi utilizzati

per le analisi vengono scalati (Piluso, 2009).

Il metodo a nuvola consiste nell’eseguire una serie di analisi dinamiche non lineari della

struttura, utilizzando un set di accelerogrammi non scalati, o scalati tutti dello stesso

fattore. I risultati delle analisi vengono riportati in un piano DM-IM, e viene effettuata

una regressione in modo da determinare una funzione DM = f(IM) ed i parametri

statistici d’interesse. Applicazioni di questo metodo possono essere trovate in (Cornell &

Jalayer, 2003) e (Shome & Cornell, 1999) in cui viene effettuata una regressione lineare

nel piano logaritmico ln(DM)-ln(Sa), nella forma:

[1.4-2]

Ovvero:

baaSaDM SaSl |

dxdx

xdHxSdDPdH Sa

aD

0

|

aaSaDM SbaS lnlnln |


La scelta della regressione lineare nel piano logaritmico ipotizza implicitamente, che per

ogni valore della IM si abbia una distribuzione log-normale con un valore della

deviazione standard σ costante con IM. Il valore della deviazione standard può essere

utilizzato per stimare la dispersione βDM|Sa:

[1.4-3]

Figura 1.4-1 – Risultato di un’analisi con il metodo a nuvola

2

)]ln()[ln(|

n

Sadmb

aii

SaDM


Figura 1.4-2 – Regressione lineare dei dati

La scelta degli accelerogrammi è condizionata dalla sufficienza dell’IM utilizzata: l’utilizzo

di una misura dell’intensità sismica sufficiente consente di scegliere casualmente da un

catalogo (ad esempio dal PEER Strong Motion Database), gli accelerogrammi da

utilizzare nelle analisi dinamiche non lineari.

I metodi a striscia invece consistono nell’eseguire una serie di analisi dinamiche non

lineari utilizzando accelerogrammi scalati in modo da avere lo stesso valore della misura

dell’intensità sismica IM. I risultati delle analisi, riportati in un piano DM-IM, sono

disposti appunto su di una striscia. L’implementazione di questo metodo (Shome &

Cornell, 1999) è scaturita dall’osservazione della notevole riduzione della dispersione dei

valori della risposta strutturale che si ottiene una volta scalati gli accelerogrammi allo

stesso valore della IM rispetto a quella dei risultati di analisi effettuate utilizzando

accelerogrammi non scalati.


Figura 1.4-3 - Esempio di set di spettri non scalati

Figura 1.4-4 - Esempio di spettri scalati

I risultati delle analisi dinamiche non lineari così eseguite sono un certo numero di valori

della risposta strutturale dmi (pari al numero di accelerogrammi del set utilizzato), in

corrispondenza del medesimo valore della IM, ad esempio im*. É possibile stimare i

parametri statistici di tali dati, ottenendo i valori della mediana è della dispersione:

[1.4-4]

Questi valori possono essere utilizzati per caratterizzare la funzione di distribuzione della

domanda strutturale condizionata al particolare valore della IM e della d.

*| imIMDM *| imIMDM


Figura 1.4-5 - Esempio applicativo del metodo a striscia DCFC (Jalayer & Cornell, 2002)

Fissata la probabilità P0= 0.0084, nota la curva di pericolosità sismica e dunque i

coefficienti e k e k0, si valuta la corrispondente accelerazione (P0Sa). Si eseguono analisi

dinamiche non lineari scalando gli opportuni accelerogrammi selezionati (y quantità) allo

stesso valore dell’accelerazione spettrale (P0Sa)=0.70 g. Si riportano i risultati espressi in

funzione del parametro di danno scelto sul piano logaritmico D-Sa. Si ottengono y dati

allineati su di una retta orizzontale. Sulla striscia vengono valutate la mediana e la

dispersione dei risultati delle analisi mediante l’ equazione [1.4-3] e l’ equazione [1.4-4].

Figura 1.4-6 - Analisi a striscia


L’analisi della striscia non fornisce alcuna informazione sulla relazione tra DM e IM,

riassunta dal parametro b. Pertanto, al fine di poter procedere ad una stima seppure

locale della b, è necessario aggiungere almeno una striscia, ovvero effettuare altre

analisi dinamiche per un altro valore della accelerazione spettrale. Il suddetto metodo

prende nome di metodo a doppia striscia. È chiaro che la scelta del valore della Sa per la

seconda striscia è fondamentale.

Figura 1.4-7 - Analisi a doppia striscia; la stima del parametro b deriva da una seconda analisi per una P0Sa=0,8 (Jalayer & Cornell, 2002)

Metodi a banda larga per la determinazione della risposta 1.4.2sismica

I metodi a banda larga consentono di ottenere una stima della frequenza annua media

di superamento della demand per tutti i valori d’interesse del livello dell’azione sismica

IM. Tali metodi si dividono in metodi a strisce multiple e analisi dinamica incrementale

(IDA).

L’analisi dinamica incrementale (IDA) è un tipo di analisi dinamica non lineare che

consiste nel sottoporre la struttura ad uno o più accelerogrammi scalati a più livelli di

intensità sismica. Il risultato delle analisi è dato da una o più curve (una per ogni

accelerogramma utilizzato) della risposta strutturale DM, in funzione del livello della IM.

I valori di IM per i quali vengono svolte le analisi vengono scelti in modo tale da coprire

l’intera gamma di comportamento della struttura, dalla fase elastica a quella plastica

fino al collasso. Il risultato di ogni singola IDA eseguita sulla stessa struttura varia


notevolmente al variare dell’accelerogramma. Attraverso questo metodo di analisi, si

possono raggiungere diversi obiettivi quali:

migliorare la comprensione dell’andamento del rapporto risposta/domanda

sismica ai vari livelli di sollecitazione;

interpretare accuratamente le implicazioni strutturali di eventi sismici di grande

intensità;

valutare i cambiamenti del comportamento degli edifici in termini di

deformabilità, indotti dal degrado di resistenza e rigidezza della struttura;

determinare la sollecitazione sismica che induce il raggiungimento dei diversi

livelli prestazionali della struttura.

L’efficacia dell’I.D.A. è confermata anche dalla F.E.M.A. che la indica come utile strumento per determinare la capacità globale di collasso di una struttura. Tale argomento sarà trattato nello specifico nel §2.2.

La Multiple-Stripe Analysis (analisi a multi-striscia) è un'altra tipologia di analisi

dinamica non lineare che consiste nell’eseguire singole analisi a strisce per più valori

dell’IM. Per ogni striscia si stima la mediana e la dispersione (ad esempio tramite le

statistiche contate). Il valore del parametro b può essere determinato valutando la

pendenza della retta congiungente i punti mediani di due strisce consecutive.

Figura 1.4-8 - Analisi dinamica multi-strisce (Piluso, 2009)


Figura 1.4-9 - Analisi dinamica multi-strisce con frattili al 16% e 84% (Piluso, 2009)

La Figura 1.4-9 illustra il risultato di un’analisi Multiple-Stripe (MSA) in cui è possibile

notare i casi di collasso strutturale per una data accelerazione al suolo, mediante

l’incremento sostanziale del MIDR e il lieve aumento dell’IM (Jalayer & Cornell, 2002).

29 CAPITOLO 2 – Tecniche di analisi non lineare

CAPITOLO 2 – Tecniche di analisi non lineare

2.1 Analisi statica non lineare (Pushover)

La capacita di una struttura di resistere all’evento sismico dipende fortemente dalla sua

capacità deformativa in regime anelastico, in altre parole dalla sua duttilità. I metodi di

analisi elastici (statico e dinamico) tengono conto di questo comportamento non lineare

della struttura tramite l’impiego dei fattori di struttura q. Questi metodi non possono

però cogliere cambiamenti nella risposta caratteristica della struttura che avvengono

man mano che singoli elementi si snervano. Inoltre non si ha nessuna informazione sulla

distribuzione della domanda di anelasticità nella struttura. I metodi di analisi statica non

lineare (comunemente definiti in letteratura metodi di "analisi pushover"), invece,

permettono di cogliere questi aspetti, dimostrandosi un utile strumento in particolare in

fase di verifica, laddove è necessario valutare la coerenza fra fattori di struttura assunti e

reale capacita di duttilità della struttura. In questo tipo di analisi si applicano

incrementalmente, ad un modello della struttura soggetto ai carichi gravitazionali e con

comportamento non lineare del materiale, particolari distribuzioni di forze statiche

orizzontali, le quali hanno il compito di "spingere" in campo non lineare la struttura fino

a portarla al collasso. In particolare, nella formulazione più semplice del metodo,

durante l’analisi le forze orizzontali vengono tutte scalate, mantenendo invariati i

rapporti relativi fra le stesse, in modo da far crescere monotonamente lo spostamento

orizzontale di un punto di controllo sulla struttura (es. un punto in sommità dell’edificio).

Risultato finale dell’analisi è la curva taglio alla base (somma di tutte le forze orizzontali)

- spostamento (di un punto ritenuto significativo del comportamento globale), che

rappresenta la capacita della struttura e che, quindi, verrà confrontata con la domanda,

rappresentata da punti sulla curva stessa individuati in corrispondenza di valori di

spostamento relativi alle massime domande di spostamento che la struttura subirebbe

quando fosse soggetta ai diversi terremoti di progetto (Petrini L., 2004). Le domande di

spostamento potranno in generale essere valutate utilizzando opportuni spettri cli

risposta.

Questo tipo di analisi comprende essenzialmente due aspetti:

1. la determinazione di un legame forza-spostamento (curva di capacità o curva di

pushover), rappresentativo del reale comportamento monotono della struttura;


2. La valutazione dello spostamento massimo o punto di funzionamento

(performance point) raggiunto dalla struttura a fronte di un evento sismico

definito tramite uno spettro di risposta elastico in accelerazione.

La validità delle analisi di Pushover è stata suffragata nel tempo dal confronto dei

risultati con quelle di analisi dinamiche non lineari. Esistono in letteratura diverse

tipologie di analisi statiche non lineari che differiscono tra loro per diversi fattori e

conducono a risultati talvolta discordanti. Tra la principale differenza si annovera la

distribuzione delle forze, ovvero degli spostamenti, che possono essere fissi, cioè di

forma costante, o adattivi che cambiano al variare del grado di danneggiamento della

struttura.

Tra i metodi statici non lineari presenti in letteratura, il “metodo dello spettro di

capacità” (Freeman, 1998) e il “metodo N2” (Fajfar, 1999) e (Fajfar & Gašperšic, 1996)

hanno conquistato negli anni un consenso sempre più ampio nella comunità scientifica,

tanto che il loro uso è oggi consentito da diverse normative antisismiche (ad esempio

Eurocodice 8, 2003;NTC 2008; FEMA 356, 2000; FEMA 368, 2001; O.P.C.M. 3431, 2005).

I due metodi citati, nonostante le differenze concettuali che li distinguono, si articolano

entrambi in due fasi fondamentali:

La prima consiste nella determinazione della curva di prestazione, che descrive

l’evoluzione della risposta strutturale all’aumentare dell’intensità dell’evento

sismico (Bosco, et al., 2007). La curva di prestazione è il grafico che riporta i

valori monitorati durante l’analisi di spinta.

La seconda fase consiste nell’individuare sulla curva di prestazione il punto

corrispondente alla risposta inelastica del telaio conseguente al sisma

assegnato. Ciò è fatto attraverso lo studio di un sistema a un solo grado di

libertà equivalente alla struttura reale a più gradi di libertà. Il sistema a un grado

di libertà è, infatti, lo strumento per la comprensione del comportamento di

strutture più complesse e quello su cui è concettualmente più semplice definire

e condurre un’analisi di Pushover.

Procedura di carico 2.1.1

L’analisi di spinta consiste nell’applicare alla massa del sistema uno spostamento D o

una forza F la cui intensità viene gradualmente incrementata nella direzione dell’unico


grado di libertà disponibile. Le espressioni che definiscono la forzante (intesa in senso

generalizzato come forza o spostamento) possono esprimersi come:

D = α · d

[2.1-1]

F = β · f

Indicando con d e f i valori iniziali della forzante mentre con α e β i coefficienti di

amplificazione del carico. Fissato arbitrariamente il valore di d o f, il fattore

moltiplicativo α o β viene gradualmente incrementato da zero fino ad un valore finale

che permetta di investigare il campo di risposta di interesse per il sistema in esame. Ad

ogni valore di α o β corrisponde quindi un valore di D o F che rappresenta lo

spostamento o la forza applicati alla massa del sistema. Il comportamento del sistema è

definito da un legame forza-spostamento in cui la forza coincide con il taglio alla base Vb

e lo spostamento con quello della massa Dt . Nel caso di analisi a forze imposte (F è la

forza applicata ad m) si ha Vb =F e Dt =D essendo D lo spostamento di m prodotto da F,

mentre nel caso di analisi a spostamenti imposti (D è lo spostamento applicato ad m)

Dt=D e Vb=F essendo F la reazione vincolare risultante.

Nel caso di sistemi a più gradi di liberta (MDOF), l’approccio è simile con la differenza

che la struttura viene “spinta” applicando un profilo di forze o di spostamenti orizzontali

in corrispondenza di ciascun piano (Figura 2.1-1) e che, per descrivere il comportamento

dell’intero sistema in termini di legame forza-spostamento, è necessario scegliere un

solo parametro di forza ed un solo parametro di spostamento. La scelta di tali parametri

non è univoca e può dar luogo a differenti legami forza-spostamento. Solitamente, come

parametri di forza e di deformazione, si selezionano il taglio alla base e lo spostamento

del baricentro dell’ultimo piano dell’edificio anche se, in realtà, questa scelta non ha un

preciso fondamento teorico ma è più probabilmente un retaggio delle originarie

applicazioni di questa tecnica alle pile da ponte delle quali si monitorava, per ovvie

ragioni, lo spostamento in sommità. In effetti lo spostamento in sommità non sembra

essere sempre un parametro affidabile.


Figura 2.1-1 - Applicazione dell’analisi di

spinta ad un telaio (MDOF)

Considerando che l’obiettivo è di simulare la risposta dinamica della struttura, sorge la

questione se l’analisi di spinta debba essere condotta applicando una sistema di

spostamenti o di forze. Se la struttura avesse un comportamento elastico lineare i due

approcci condurrebbero agli stessi risultati ma la presenza di effetti anelastici comporta

una sensibile differenza tra le due alternative. Concettualmente l’analisi dinamica viene

condotta con le forze inerziali per cui l’analisi di spinta a forze imposte sembrerebbe più

appropriata ma, in un’analisi dinamica, perfino quando un modo è dominante,

l’andamento delle forze di piano non rimane inalterata (ossia non variano

proporzionalmente ad un fattore costante), per cui applicare una distribuzione di forze

constante non è comunque esatto; inoltre possono sorgere difficoltà nel condurre

analisi anelastiche stabili con controllo in forze, poiché queste non sono in grado di

cogliere un eventuale comportamento softening della struttura né di seguire

accuratamente risposte associate a rigidezze molto piccole, per cui può essere

preferibile eseguire analisi a spostamenti controllati. Di contro, lavorando a spostamenti

imposti, si vincola la deformata della struttura, per cui si rischia di conseguire campi di

forze completamente errati rispetto a quelli attesi in una struttura “libera” di deformarsi

a fronte dell’evento sismico e quindi a risultati seriamente fuorvianti.

Al variare del tipo di distribuzioni e della modalità di applicazione delle forze laterali,

della modalità con cui si valuta lo spostamento prefissato e dei parametri di controllo

utilizzati durante l’analisi, si distinguono diversi tipi di analisi statica non lineare.


In particolare le norme suggeriscono, per la valutazione del legame taglio alla base-

spostamento di un punto di controllo, di applicare due diverse distribuzioni di forze

orizzontali nei baricentri delle masse dei vari piani. In particolare si considerano una

distribuzione di forze proporzionale alle masse e una distribuzione di forze

proporzionale al prodotto delle masse per la deformata individuata dal primo modo di

vibrare del sistema considerato elastico. Tale scelta nasce dalla considerazione che la

distribuzione delle forze laterali dovrebbe approssimare la distribuzione delle forze di

inerzia presenti sulla struttura durante il sisma. Confronti con analisi dinamiche non

lineari hanno evidenziato che distribuzioni di forze proporzionali al primo modo colgono

meglio la risposta dinamica, finché la struttura rimane in campo elastico, mentre,

quando si raggiungono grandi deformazioni, la risposta dinamica può risultare meglio

rappresentata da distribuzioni di forze proporzionali alle masse. Nel caso di strutture

regolari i due andamenti scelti definiscono i limiti delle possibili distribuzioni di forze di

inezia in un terremoto (Petrini L., 2004).

Tale procedura può dare risultati solo approssimati nel caso di strutture irregolari o alte,

nelle quali i modi di vibrare superiori al primo diventano significativi, o in strutture dove

il danno indotto dall’azione sismica modifica significativamente nel tempo i modi di

vibrare della struttura. In questi casi l'utilizzo di metodi di tipo adattativi (noti anche

come metodi evolutivi), che tengano in conto modi di vibrare superiori e modificano in

continuazione la distribuzione di forze applicate in funzione del cambiamento delle

caratteristiche della struttura durante il moto sismico, porterebbero a soluzioni più

precise, anche se più onerose da un punto di vista computazionale. L’analisi pushover

può essere anche utilmente applicata a modelli tridimensionali per mettere in evidenza

le irregolarità della struttura qualità si manifestino in seguito all’evolvere dell’azione

sismica e cioè a seguito di inattese distribuzioni della richiesta di anelasticità. Ancora in

fase di sviluppo e verifica e invece l’utilizzo dell’analisi statica non lineare su modelli

tridimensionali per la verifica della capacità (Petrini L., 2004).


Comportamento delle curve di capacità 2.1.2

Terminata la fase di carico e ottenuta la curva di capacità, si possono distinguere diversi

comportamenti della curva, in particolare terminata la fase elastica la successiva fase

post-elastica può presentare diversi andamenti quali:

1. Incrudente

Il raggiungimento del collasso si ha con l’incremento della forza rispetto al limite

elastico;

2. Perfetto

Si giunge al collasso senza incremento di forza;

3. Degradante

Il collasso è raggiunto con diminuzione della capacità portante rispetto a quella

allo snervamento.

Figura 2.1-2 - Possibili andamenti delle curve di capacità

per una struttura SDOF

Ottenuta la curva di capacità, il passo successivo è quello di linearizzarla, cioè

approssimare a tratti lineari la curva. I tratti interpolanti possono essere bilineari o

trilineari e la scelta non è univoca come mostra la Figura 2.1-3.


Figura 2.1-3 - Approssimazione della curva di capacità: bilineare a sinistra, trilineare a destra.

Il comportamento del sistema può quindi essere idealmente schematizzato con un ramo

elastico lineare fino allo snervamento e con un ramo post – elastico incrudente (i),

perfetto (p) o degradante (d). Questa rappresentazione fornisce la resistenza di

snervamento Ky*, la rigidezza elastica efficace Ke* pari al rapporto tra la Fy* e la dy* e la

rigidezza post-elastica Kp pari al prodotto del rapporto di incrudimento, indicato con p,

per la rigidezza elastica efficace Ke*. Inoltre il rapporto d’incrudimento in funzione della

pendenza della curva può essere positivo, negativo o nullo.

Una procedura di linearizzazione della curva, che gode di un uso diffuso, è la

rappresentazione bilineare fondata su un criterio di equivalenza energetica (detto anche

principio di uguale energia) secondo cui il primo tratto della bilineare è una linea

passante per l’origine con pendenza definita dalla rigidezza iniziale del sistema e il

secondo è una linea intersecante la curva in corrispondenza del cosiddetto punto di

funzionamento (PP Performance Point nella letteratura anglosassone) dp*, ovvero lo

spostamento cui è sottoposto l’oscillatore elastoplastico, la cui determinazione è

trattata nel prossimo paragrafo, e di pendenza tale che l’area sottesa dalla bilineare sia

equivalente a quella sottesa dalla curva di capacità ovvero che l’area A1 è uguale all’area

A2 come in Figura 2.1-4.


Figura 2.1-4 - Schematizzazione della bilineare della curva di capacità

con il principio di uguale energia, dp* è il punto rappresentativo dello spostamento per cui si effettua la verifica.

Figura 2.1-5 - Rappresentazione finale della linearizzazione

per un sistema SDOF.


Vi sono tuttavia casi in cui tale procedimento può essere non soddisfacente. Ad esempio

può condurre a una definizione non adeguata della rigidezza elastica iniziale Ke*, qualora

la curva di pushover abbia andamento monotono (Figura 2.1-6 sinistra) o qualora il

punto di funzionamento risulti di molto inferiore al punto di picco (Figura 2.1-6 destra).

In quest’ultimo caso bisogna utilizzare un metodo che sia in grado di rendere il ramo

ascendente della bilineare il più prossimo possibile al tratto iniziale della curva e tale da

soddisfare l’uguaglianza delle aree fino allo spostamento corrispondente allo stato limite

da verificare (Petrini L., 2004). Un possibile modo di procedere può essere quello di

definire Ke*, considerando una retta prossima alla pendenza iniziale della curva

(eventualmente coincidente con la tangente all’origine, nel caso di curve con andamento

lineare del tratto iniziale e resistenza di snervamento Fy* come intersezione di questa o

con una seconda retta tangente alla curva in un punto opportuno (Figura 2.1-7 sinistra)

o con una retta orizzontale passante per il punto di picco (Figura 2.1-7 destra).

Figura 2.1-6 - Esempi di curve di capacità per le quali la linearizzazione con il principio di eguale energia

porta (Petrini L., 2004)

Figura 2.1-7 - Definizione del diagramma bilineare usando rette tangenti (Petrini L., 2004)

Alternativamente si può definire Ke* tracciando la secante alla curva di capacità nel

punto corrispondente a un taglio alla base pari a 0.6÷0.7 volte il taglio massimo Fmax* e

quindi individuare, nel caso di curva pushover senza plateau orizzontale il valore di Fy*

come intersezione della secante con una retta orizzontale disposta in modo da avere


l’uguaglianza delle aree sottese dalla curva di capacità e dalla bilineare fino al punto di

spostamento di picco (Figura 2.1-8).

Figura 2.1-8 - Definizione del diagramma bilineare

equivalente con retta secante (Petrini L., 2004)

Quest’ultimo metodo, applicato in modo tale da assicurare l’uguaglianza delle aree

sottese dalla curva di capacità e dalla bilineare fino al punto di spostamento massimo,

può essere conveniente quando esso risulta essere ben oltre il punto di picco della

curva. In tal caso, infatti, può essere poco conservativo scegliere una bilineare rispetto al

punto di picco in quanto l’area sottesa dalla curva bilineare fino allo spostamento

massimo relativo allo stato limite da verificare, sarebbe maggiore rispetto a quella

sottesa dalla curva reale, il che equivarrebbe a sovrastimare eccessivamente la capacità

dissipativa del sistema (Figura 2.1-9).

Figura 2.1-9 - Curva di pushover fino allo spostamento dmax* (Petrini L., 2004)


Metodologia 2.1.3

La metodologia proposta nelle norme (NTC, 2008), si basa sull’assunzione che la risposta

di un sistema a più gradi di libertà possa essere correlata alla risposta di un sistema

equivalente ad un grado di libertà con un’appropriata caratteristica isteretica.

Per eseguire un’analisi pushover è necessario definire:

1. Un legame forza-spostamento generalizzato tra risultante delle forze applicate e

spostamento di un punto di controllo del sistema;

2. La determinazione delle caratteristiche di un sistema ad 1-GDL a

comportamento bi-lineare equivalente;

3. La determinazione della risposta massima in spostamento del sistema

equivalente con utilizzo dello spettro di risposta elastico;

4. La conversione dello spostamento del sistema equivalente nella configurazione

deformata della struttura.

Scelto un punto significativo della struttura (punto di controllo), generalmente

coincidente con il baricentro dell’ultimo implacato, le forze applicate alla struttura

vengono scalate, mantenendo invariati i rapporti relative fra le stesse, in modo da far

crescere monotonamente lo spostamento orizzontale del punto di controllo fino ad un

valore sufficientemente grande da poter essere rappresentativo del comportamento

degradante della struttura. Il risultato finale è una curva non lineare taglio alla base Vb

(pari alla risultante delle forze applicate) - spostamento del punto di controllo dc che

rappresenta la curva di capacità della struttura.

Figura 2.1-10 - Schematizzazione di analisi "pushover" (Petrini L., 2004)


Il passo successivo è quello di risalire alle caratteristiche del sistema ad 1-GDL

equivalente, e quindi calcolato il vettore della prima forma modale φ1 normalizzato

rispetto al punto di controllo, si calcola il coefficiente di partecipazione del primo modo

di vibrare:

[2.1-2]

In campo elastico la forza F* e lo spostamento d* del sistema equivalente sono legati a

quelli del sistema elastico M-GDL dalle relazioni:

[2.1-3]

Si approssima quindi la curva caratteristica forza F*- spostamento d* del sistema

equivalente con una bilineare definita in base al criterio di uguaglianza delle aree.

Assumendo con k* la rigidezza del ramo elastico il periodo proprio elastico del sistema

ad 1-GDL risulta essere pari a:

[2.1-4]

Dove, essendo N il numero di masse del sistema M-GDL, si definisce massa equivalente

la seguente quantità:

[2.1-5]

La determinazione della risposta massima in spostamento del sistema equivalente può

essere calcolata mediante l’utilizzo dello spettro di risposta elastico. Nel particolare le

norme quali OPCM 3274 oppure le NTC08 stabiliscono che se il periodo proprio T*

risulta sufficientemente elevato, ovvero T*≥TC il massimo spostamento raggiunto dal

sistema anelastico è pari a quello di un sistema elastico con pari periodo, cioè:

[2.1-6]

*

1

11

M

RMT

1

*

bV

F 1

*

cd

d

*

** 2

k

mT

N

i

iimm1

1,

*

)( *

max,max* TSdd Dee


Essendo SDe lo spettro di risposta elastico in spostamento. Nel caso in cui invece il

periodo T*<Tc la risposta in spostamento del sistema anelastico è maggiore di quella

corrispondente sistema elastico e risulta:

[2.1-7]

Essendo q* = Se(T*)m*/Fy* il rapporto tra la forza di risposta elastica (data dal prodotto

dello spettro di risposta elastico di pseudo-accelerazione SAe(T*) e la massa m*) e la

forza di snervamento del sistema equivalente (Fy*). Se invece q*≤1 la risposta è elastica

e quindi Fy*≥m*SAe(T*) e si assume :

[2.1-8]

Figura 2.1-11 - Spostamento di riferimento per T>TC (a sinistra) e T≤TC (a destra) (NTC, 2008)

Il passo finale è quello di calcolare lo spostamento effettivo del punto di controllo del

sistema a MGDL mediante la seguente equazione:

[2.1-9]

max,*

*

*

max,max

* 11 ece

dT

Tq

q

dd

max,max*

edd

max*

1max dd


2.2 Analisi dinamica non lineare

L’analisi dinamica non lineare è una tipologia di analisi che permette di cogliere maggiori

informazioni sullo stato tensionale e deformativo nel tempo, rispetto alle comuni analisi

statiche lineari e non lineari (pushover). Una sua caratteristica è quella di fornire molte

informazioni sulla struttura in campo fortemente non lineare, d’altra parte, è anche

molto complessa e la sua applicazione richiede particolare attenzione durante la fase di

modellazione. Due sono gli aspetti più delicati: Il primo consiste nell’individuazione di un

modello che sia in grado di descrivere il comportamento post-elastico sotto cicli di carico

e scarico degli elementi e la conseguente dissipazione di energia; il secondo consiste

nella scelta degli accelerogrammi da utilizzare come input: essi devono infatti essere

rappresentativi degli eventi attesi nella zona in cui è situato l’edificio in studio. Esistono

diverse tipologie di analisi dinamiche non lineari che permettono di cogliere importanti

informazioni sul reale comportamento della struttura in particolare in campo post-

elastico; una di queste è l’analisi dinamica incrementale IDA.

Il metodo I.D.A. consiste in una serie di analisi dinamiche non lineari, eseguite con

accelerogrammi scalati secondo accelerazioni di picco via via crescente al fine di ricavare

particolari curve che rappresentano una misura di danno rispetto ad una o più misure di

intensità e consentono di dedurre importanti proprietà della struttura in esame

(Vamvatsikos & Cornell, 2002).

Questa tipologia di analisi trova riferimento nelle procedure per la progettazione sismica

(FEMA 350, 2000) e (FEMA 351, 2000).

Metodologia 2.2.1

Nell’analisi dinamica non lineare la risposta della struttura è calcolata integrando

direttamente l’equazione non lineare del moto del sistema utilizzando un modello

tridimensionale e degli accelerogrammi opportunamente selezionati. Esistono in

letteratura vari metodi d’integrazione, che si basano sulla trasformazione delle

equazioni differenziali in equazioni algebriche introducendo delle ipotesi sull’andamento

della forzante.

L’esecuzione di un’analisi dinamica prevede:

1. Definizione del modello geometrico tridimensionale della struttura all’interno

del codice utilizzato. Particolare attenzione deve essere posta nella definizione

del modello geometrico: infatti, svolgere un’analisi estremamente accurata,


come è quella dinamica non lineare, su modelli che risultano essere grossolani, a

causa di errori di modellazione o di insufficienza di informazioni, rende

inevitabilmente privi di significato i risultati.

2. Definizione delle masse interessate all’evento sismico e loro applicazione sotto

forma di carichi gravitazionali nel modello. Si possono considerare le masse

concentrate nei nodi degli elementi strutturali e disposte lungo le due direzioni

principali della struttura. In alternativa, si può calcolare la massa totale e

l’inerzia rotazionale di ogni piano e considerarle applicate nel baricentro del

piano, rispettivamente lungo le due direzioni principali e attorno all’asse di

rotazione perpendicolare al piano. Oppure si può attribuire ad ogni elemento la

massa per unita di lunghezza che lo caratterizza (Petrini L., 2004).

3. Definizione dello smorzamento della struttura. Ricordando che la soluzione del

problema dinamico richiede l’integrazione al passo dell’equazione del moto,

data dalla relazione:

[2.2-1]

Si nota come sia necessario, nell’analisi dinamica non lineare, definire anche la

matrice C del sistema che permette di modellare lo smorzamento non isteretico.

Essa è generalmente definita proporzionalmente alla matrice di massa e di

rigidezza dell’elemento strutturale (matrice di Rayleigh). Per quanto riguarda la

modellazione della risposta non lineare di una struttura in termini di

smorzamento isteretico, si nota che, nel caso dei programmi a plasticità diffusa,

è implicitamente introdotta tramite l’utilizzo di un modello non lineare del

materiale, mentre, in programmi a plasticità concentrata, è descritta tramite

curve anelastiche di risposta forza—spostamento generalizzati di alcuni nodi

(cerniere plastiche) che risultano essere interessati dalla non linearità.

4. Definizione del legame costitutivo non lineare dei materiali, nel caso di modelli a

fibre, della posizione e del diagramma momento - curvatura delle cerniere

plastiche nel caso di programmi a plasticità concentrata.

gxMRKUUCUM

00 UU

00 UU


5. Definizione dell’input sismico. ll modello deve essere sollecitato

contemporaneamente da due eventi sismici orizzontali e, qualora fosse

necessario, anche da un evento verticale: si devono considerare gruppi diversi di

tre accelerogrammi agenti contemporaneamente nelle tre direzioni (Petrini L.,

2004).

6. Verifica della struttura: Svolta l’analisi e calcolata la risposta nel tempo della

struttura sollecitata da un dato accelerogramma, è possibile conoscere in ogni

istante, su ogni elemento della struttura, gli effetti del sisma (momenti, tagli,

rotazioni alla corda, spostamenti).

L’equazione del moto di un sistema viscoso ad un grado di libertà è la seguente:

[2.2-2]

Mediante l’integrazione numerica è possibile valutare la risposta del generico sistema

soggetto da un input sismico tug . L’input applicato viene descritto da un insieme di

valori discreti con un determinato passo di integrazione costante:

[2.2-3]

Per ogni passo di integrazione si calcola la risposta all’istante finale ti+1 nota la risposta

iniziale ti .Applicando il procedimento diverse volte si ottiene la risposta ui =u(ti) per tutti

gli istanti di tempo ti assunti. Per i sistemi non lineari le proprietà dinamiche si

modificano da un passo d’integrazione al successivo pur rimanendo costanti all’interno

di ognuno di essi. Così il calcolo della risposta di un sistema non lineare si riconduce ad

una sequenza di analisi di sistemi lineari, aventi proprietà dinamiche differenti. Anche se

non costituisce un procedimento esatto, un buon metodo d’integrazione numerica deve

possedere tre importanti requisiti: (i) convergenza: al diminuire dell’ampiezza degli

intervalli la risposta deve convergere a quella esatta; (ii) stabilità: la soluzione numerica

deve essere stabile nei confronto degli errori di arrotondamento; (iii) accuratezza: la

soluzione numerica deve essere abbastanza prossima a quella esatta. Un metodo

utilizzato per l’integrazione diretta in ambito lineare è il metodo di Newmark. Nei

paragrafi che seguono si discuterà del metodo di Newmark per i sistemi SDOF e la sua

generalizzazione e applicazione per sistemi MDOF.

tumtuKtuctum g

iii ttt 11


Il Metodo di Newmark 2.2.2

Questo metodo basato sull’integrazione numerica in ambito lineare può essere utilizzato

anche nel caso di sistemi non lineari (Santini, 2011). Esso si basa sulle seguenti

espressioni:

[2.2-4]

[2.2-5]

Essi rappresentano la velocità e lo spostamento al termine del passo d’integrazione.

Queste possono essere espresse come:

[2.2-6]

[2.2-7]

Con passo d’integrazione Δt costante. I parametri e definiscono la variazione

dell’accelerazione all’interno del passo e controllano le caratteristiche di stabilità e di

accuratezza del metodo. Si assume che per:

2/1

4/1

il metodo risulta abbastanza accurato e stabile. Se si assume l’accelerazione costante nel

passo e pari alla media dei valori iniziali e finali si ha:

[2.2-8]

1

0

1 )(it

ii dttuuu

1

0

1 )(it

ii dttuuu

11 1 iiii ututuu

1

22

1 5.0 iiiii utututuu

)(2

11 ii uuu


t

ui+1

ui

t i+1t

u

t

ui+1

ui

t i+1t

u=1/4 =1/6

Sostituendo l’espressione [2.2-8] nell’espressione [2.2-4] ed integrando due volte si

ottiene:

[2.2-9]

[2.2-10]

Si ricavano la velocità e lo spostamento:

[2.2-11]

[2.2-12]

Queste espressioni sono analoghe alle [2.2-6] e [2.2-7] assumendo β=1/4 e γ=1/2. La

scelta di questi coefficienti conferma l’assunzione dell’accelerazione costante nel passo.

L’accelerazione nel passo può anche essere assunta lineare:

[2.2-13]

t

ui+1

ui

t i+1t

u

t

ui+1

ui

t i+1t

u=1/4 =1/6

)(2

)( 1

0

iiii uuudtuuu

)(4

)( 1

2

0

iiiii uuuudtuuu

)(4

)( 1

2

1

iiiii uut

utuu

)(2

1

2

1

iiii uut

uu

)( 1 iii uut

tuu


Sostituendo l’espressione [2.2-3] all’espressione [2.2-4] ed integrando due volte si

ottiene:

[2.2-14]

[2.2-15]

Da cui si ottengono I valori della velocità e spostamento seguenti:

[2.2-16]

[2.2-17]

Assumere una variazione lineare nel passo corrisponde a porre β=1/6 e γ=1/2 nelle

equazioni [2.2-6] e [2.2-7].

Il metodo di Newmark appena riportato è di tipo implicito, ovvero i valori della velocità e dello spostamento al termine del passo di integrazione dipendono dal valore finale dell’accelerazione, inizialmente incognito. Di conseguenza il calcolo deve essere effettuato iterativamente a partire da un valore iniziale di tentativo. E’ possibile trasformare il modello in maniera tale da renderlo esplicito, in questo caso, dato che la risposta finale dipende solo dai valori iniziali, non sono richieste iterazioni ed è possibile passare direttamente da un passo di integrazione al successivo.

Le equazioni del moto al termine ed all’inizio del passo di integrazione sono:

[2.2-18]

[2.2-19]

Sottraendo membro a membro si ha:

[2.2-20]

In forma incrementale:

[2.2-21]

Con:

)(2

)( 1

2

0

iiiii uut

uudtuuu

)(22

)( 1

32

0

iiiiii uut

uuudtuuu

)(2

11

iiii uut

uu

1

2

16

1

3

1iiiii uututuu

1111 iiii pukucum

iiii pukucum

iiiiiiii ppuukuucuum 1111

iiii pukucum


[2.2-22]

Esprimendo le relazioni [2.2-6] e [2.2-7] in forma incrementale:

[2.2-23]

[2.2-24]

Da quest’ultima si ricava l’incremento in accelerazione:

[2.2-25]

Sostituendo la [2.2-25] nella [2.2-23] si ottiene:

[2.2-26]

Sostituendo la [2.2-25] e la [2.2-26] nell’equazione del moto in forma incrementale

[2.2-21, si ha:

[2.2-27]

Ponendo:

[2.2-28]

[2.2-29]

Pertanto la [2.2-27] assume la forma:

[2.2-30]

Da cui si ricava l’incremento di spostamento nel passo d’integrazione:

iii uuu 1 iii uuu 1 iii uuu 1 iii ppp 1

iii ututu

iiii utut

utu

22

2

iiii uut

ut

u 2

1112

iiii utuut

u

1

2

iii

i

uctmucmt

p

ukct

mt

122

11

12

iiii uctmucmt

pp

1

22

11ˆ

kct

mt

k

2

1ˆ

ii puk ˆˆ


[2.2-31]

Noto iu gli incrementi di velocità e accelerazione nel passo possono essere calcolati

mediante le relazioni [2.2-26] e [2.2-25]. La risposta al tempo ti+1 può essere infine

essere determinata attraverso le relazioni [2.2-22]. In alternativa l’accelerazione può

essere anche ottenuta dall’equazione del moto [4.5-18] scritta al tempo ti+1 ovvero:

[2.2-32]

Per poter essere avviato il procedimento l’ultima relazione deve essere utilizzata al fine

di valutare l’accelerazione iniziale in funzione delle condizioni iniziali del moto:

[2.2-33]

L’utilizzo del metodo di Newmark deve essere garantito dalle condizioni di stabilità e

convergenza, in particolare si deve verificare:

[2.2-34]

Con T periodo naturale di vibrazione del sistema lineare ad un grado di libertà. Ponendo

in questa relazione β=1/4 e γ=1/2 ovvero i valori relativi all’accelerazione costante nel

passo si ha:

[2.2-35]

Questa condizione certifica che il metodo dell’accelerazione costante nel passo è stabile

per ogni valore di Δt; chiaramente tale assunzione è incondizionatamente stabile.

Ponendo invece β=1/6 e γ=1/2 si ha che il metodo dell’accelerazione lineare nel passo è

stabile se risulta:

[2.2-36]

Anche questa condizione è poco significativa perché, al fine di ottenere una

rappresentazione sufficientemente accurata dell’eccitazione e della risposta, è

necessario scegliere un intervallo di integrazione molto più piccolo di 0.551T. Questa

considerazione consente di affermare che il metodo dell’accelerazione lineare nel passo

è preferibile a quello dell’accelerazione costante per la sua maggiore velocità di

k

pu i

i ˆ

ˆ

1111

1 iiii ukucp

mu

0000

1ukucp

mu

2

1

2

1

T

t

T

t

551.0

T

t


convergenza. L’esecuzione dell’analisi dinamica non lineare tramite l’integrazione

numerica dell’equazione del moto mediante il metodo di Newmark può essere riassunta

come nella seguente flow chart:

kct

mt

k

2

1ˆ

Note le condizioni iniziali

0u 0uSpostamento Velocità

Si determina l’accelerazione iniziale

Scelti i valori da assegnare a β , γ e Δt si calcolano:

cmt

a

1ctmb

1

22

1

Per ogni intervallo di integrazione si calcolano le quantità:

iiii ubuapp ˆ

k

pu i

i ˆ

ˆ

iiii utuut

u

1

2

iiii uut

ut

u 2

1112

iii uuu 1

iii uuu 1

iii uuu 1

Terminato il primo ciclo si ripete il procedimento partendo da

sostituendo la i con i+1 ip̂

0000

1ukucp

mu


La risoluzione dell’equazione del moto che governa la risposta di un sistema MDOF è la

seguente:

[2.2-37]

Con M e C, matrici di massa e smorzamento del sistema a più gradi di libertà. Similmente

ai sistemi SDOF l’azione è descritta da una serie discreta di valori associati a intervalli di

tempo usualmente regolari e pari a Δt. Il punto di partenza è l’istante i, in cui sono note

tutte le quantità soddisfacenti l’espressione [2.2-37].

[2.2-38]

Il punto di arrivo è ricavare le stesse quantità all’istante i+1 soddisfacenti ancora

l’equazione del moto:

[2.2-39]

turMuuFtuCtuM gs ,

turMuuFtuCtuM giisii ,

turMuuFtuCtuM giisii 1111 ,


2.3 Analisi dinamica incrementale IDA

L’analisi dinamica non lineare incrementale IDA consiste in una serie di analisi dinamiche

non lineari, eseguite con accelerogrammi scalati secondo accelerazioni di picco via via

crescente al fine di ricavare particolari curve che rappresentano una misura di danno

rispetto ad una o più misure di intensità e consentono di dedurre importanti proprietà

della struttura in esame (Vamvatsikos & Cornell, 2002). Questa tipologia di analisi trova

riferimento nelle procedure per la progettazione sismica (FEMA 350, 2000) e (FEMA 351,

2000).

Parametri delle curve IDA 2.3.1 I parametri che rientrano nell’analisi IDA sono:

Accelerogramma base (a): è una singola storia temporale in termini di accelerazione caratterizzata da un suo valore massimo ben preciso. Si tratta in

pratica di un vettore i cui elementi sono a(ti) dove t {0, t1,…,tn-1};

Fattore di scala (): è uno scalare non negativo che, moltiplicato per tutti i termini dell’accelerogramma base, consente di ottenere un accelerogramma

scalato (a) con un nuovo valore massimo di accelerazione di picco a=· a;

Misura d’intensità (IM): è una funzione non negativa che dipende da aed è

monotonicamente crescente con ; le grandezze più utilizzabili per caratterizzare l’intensità di un sisma sono l’accelerazione di picco del terreno (PGA), la velocità di picco del terreno, l’accelerazione spettrale corrispondente al primo modo di vibrare della struttura (ottenuta per un rapporto di smorzamento

= 5%);

Misura di danno (DM): è un numero non negativo legato alla risposta della struttura a una data sollecitazione sismica; alcuni esempi di DM sono il taglio alla base della struttura, il massimo spostamento dell’ultimo piano, i vari indici di danno, i massimi spostamenti d’interpiano ai diversi livelli, la massima deformazione plastica. Nel caso particolare di strutture intelaiate, lo spostamento d’interpiano rappresenta comunque una misura d’insieme completa e accurata dello stato di danno poiché è strettamente collegato al collasso locale e globale e alle rotazione elastiche e plastiche dei nodi.


Proprietà generali delle curve I.D.A. 2.3.2

Le curve I.D.A. possono essere realizzate in due o più dimensioni secondo il numero di

IM scelti. Convenzionalmente la variabile IM è riportata sulle ascisse mentre la variabile

DM sulle ordinate. Alcuni esempi di queste curve vengono riportati nella Figura 2.3-1 in

cui sono evidenziati quattro diversi comportamenti strutturali relativi ad una struttura

intelaiata di cinque piani in acciaio.

La risposta è molto variabile, anche se si rilevano caratteristiche comuni, tra cui il tratto

iniziale, caratterizzato da una Sa 0.2g, quasi identico che termina con l’entrata in

campo plastico del primo elemento. La pendenza IM/DM di questo tratto prende il

nome di “rigidezza elastica” ed è una caratteristica intrinseca della struttura. Si può

notare come le quattro differenti curve terminano per valori di IM diversi. Nella curva a,

in seguito al raggiungimento della condizione di primo snervamento, si ha un sensibile

degrado della struttura con spostamenti sempre maggiori per piccole variazioni della IM.

Le curve a, b, d terminano con un plateau che indica il raggiungimento della condizione

di instabilità dinamica (definita in analogia alla instabilità statica) ed il possibile collasso

della struttura.

Figura 2.3-1 - Curve IDA per una struttura in acciaio a 5 piani con periodo fondamentale

pari a 1.8 sec, soggetta a 4 differenti registrazioni accelerometriche (Vamvatsikos & Cornell, 2002)


Il comportamento delle curve c, d evidenziano infine un andamento tutt’altro che

monotono della misura di danno, tratti in cui nonostante la sollecitazione aumenta, si

riduce la DM. Questo fenomeno è prodotto dalla comparsa di forti dissipazioni indotte

dalla deformazione plastica di alcuni elementi strutturali. Può succedere, in altre parole,

che una forte scossa iniziale produca lo snervamento di elementi strutturali presenti in

un piano, il quale funge da dissipatore, tagliando parte dell’energia indotta dall’azione

sismica e preservando gli altri piani dalla restante parte del sisma (Vamvatsikos &

Cornell, 2002).

Un esempio estremo d’incrudimento è inoltre rappresentato dal fenomeno di

“resurrezione strutturale”. Può capitare, infatti, che la risposta evidenzi un collasso, (di

norma rappresentato dalla non convergenza numerica della DM) per una data IM,

mentre per valori superiori si ritrova un danno elevato ma finito. La spiegazione di questi

comportamenti non monotoni della curva IM/DM risiedono nel fatto che, amplificando

l’accelerogramma, cicli prima poco significativi nelle prime fasi della I.D.A. crescono

alterando la struttura e dunque il suo modo di rispondere ai passi successivi con IM più

intensi.

Figura 2.3-2 - Curve IDA riguardante i cinque piani della

struttura in acciaio (Vamvatsikos & Cornell, 2002)


Raggiungimento dei livelli di performance secondo F.E.M.A. nelle 2.3.3I.D.A.

I livelli di performance o gli stati limite sono degli “ingredienti” importanti nella

Performance Based Earthquake Engineering (PBEE) e le curve I.D.A. contengono le

necessarie informazioni per determinarli. Particolare attenzione si pone ai diversi livelli

indicati dalla F.E.M.A. (Federal Emergency Management Agency) (FEMA 356, 2000)che

rappresentano delle indicazioni (prive di valore prescrittivo) sviluppate per dotare i

progettisti, nella riabilitazione di edifici danneggiati da eventi sismici, di strumenti

efficienti per la determinazione del danneggiamento degli elementi strutturali. Il

progetto ha visto la collaborazione di enti diversi come il Building Seismic Safety Council

(BSSC) e l’American Society of Civil Engineering (ASCE) e si distingue per l’innovativo

approccio di tipo performance based, cioè incentrato sullo stato di fruibilità e

danneggiamento delle strutture piuttosto che sulla resistenza degli elementi. Per

comprendere l’analisi condotta è necessario descrivere brevemente i concetti

fondamentali introdotti dalla F.E.M.A.; innanzi tutto vengono definiti quattro livelli di

performance degli edifici: 1. Operational Performance level (OL); 2. Immediate Occupancy Performance Level (IO); 3. Life Safety Performance Level (LS); 4. Collapse Prevention Performance Level (CP);

Questi livelli rappresentano dei punti discreti sull’ideale linea continua che descrive il

comportamento della struttura, e quindi sono ben individuabili nelle curve I.D.A. Ciascun

livello di risposta dell’edificio è definito in base ad un livello di performance della

struttura e da un livello di performance delle componenti non strutturali. I livelli utilizzati

per la valutazione dell’affidabilità sismica sono i seguenti:

Probabilità di superamento del sisma Periodo di ritorno [anni] Livello prestazionale

50% in 50 anni 72 75 Immediate Occupancy

20% in 50 anni 225

10% in 50 anni (BSE-1) 475 500 Life Safety

2% in 50 anni (BSE-2) 2475 2500 Collapse prevention Tabella 2.3-1 - Probabilità di superamento del sisma in funzione del periodo di ritorno per normali costruzioni [FEMA 356, C1.4]

In particolare vengono definiti il Basic Safety Earthquake 1 ed il Basic Safety Earthquake

2 (detto anche Maximum Considered Earthquake) il cui utilizzo è fondamentale nella

definizione degli obiettivi di riabilitazione. L’associazione di un livello di performance per

l’edificio e di una certa intensità della sollecitazione sismica costituisce un obiettivo di


riabilitazione. Qualsiasi combinazione può essere presa in considerazione dal

progettista, ma l’unica descritta nelle indicazioni della F.E.M.A. è il Basic Safety Objective

(BSO).

Quest’ultimo si basa su:

1. l’edificio deve soddisfare il Life Safety Building Performance level per un sisma del tipo BSE-1;

2. l’edificio deve soddisfare il Collapse Prevention Building Performance level per

un sisma di tipo BSE-2;

Figura 2.3-3 - Livelli di performance [FEMA 356 C.1.4]

Come espresso in precedenza le curve I.D.A. rappresentano un ottimo strumento per

determinare le proprietà di resistenza e duttilità della struttura, e consentono

facilmente di evidenziare il raggiungimento dei diversi livelli di performance. Tuttavia

esistono problemi riguardanti la non monotonicità delle curve IM/DM. I limiti sono,

infatti, costituiti da ben precisi valori di DM che possono essere raggiunti più volte

durante l’I.D.A. Per ovviare a questo problema si hanno a disposizione i seguenti criteri:

1. Criterio basato sulla misura del danno;

2. Criterio basato sulla misura d’intensità.


Criterio basato sulla misura del danno 2.3.4

Il DM-based rule si basa sull’affermazione se DM CDM allora lo stato limite è superato.

Di norma questo criterio è il più usato. Una rappresentazione grafica di questo criterio è

riportata nella Figura 2.3-4. Questo metodo risulta essere quello più a favore di

sicurezza, molti autori suggeriscono infatti di far riferimento alla prima intersezione tra

la curva I.D.A. e la retta limite. I metodi basati su questo criterio, hanno il limite evidente

di non poter individuare con precisione il collasso strutturale, hanno, però il vantaggio di

essere facilmente implementabili. Due esempi di questo criterio, sono presenti nelle

indicazioni della F.E.M.A. (F.E.M.A. Agency, 1997) e sono il massimo rapporto

d’interpiano/altezza di interpiano e le massime rotazioni plastiche (Tabella 2.3-2).

Massimo spostamento d’interpiano / Altezza d’interpiano

Structural Performance Levels

IO LS CP

Muratura rinforzata 0.2% 0.6% 1.5%

C.A. 1% 2% 4%

Acciaio 0,7% 2,5% 5%

Massime rotazioni plastiche [10-2 rad]

Structural Performance Levels

IO LS CP

Telai in Acciaio 2 7 10 Tabella 2.3-2 – Livelli di prestazione

Figura 2.3-4 (Vamvatsikos & Cornell, 2002)


Criterio basato sulla misura d’intensità 2.3.5

Questi metodi nascono dalla necessità di individuare in modo più accurato il collasso

dell’edificio e nel caso di IM monotoni, si può esprimere il collasso con la condizione IM

CIM . Il pregio di questo metodo, visibile nella Figura 2.3-5 è che esso genera una sola

condizione di collasso, anche se è impossibile definire un valore di CIM valido per tutte le

curve I.D.A. (Leonardo, 2005).

Figura 2.3-5 (Vamvatsikos & Cornell, 2002)

Gli stati limite di capacità sono:

Immediata Occupazione (IO);

Preventivo Collasso (CP);

Instabilità dinamica globale (GI).

In riferimento ai telai in acciaio risulta: IO il punto in cui viene superato il massimo

rapporto di spostamento di interpiano θmax = 2%; CP è il punto finale in cui la curva IDA

ha una tangente pari al 20% della pendenza elastica oppure il θmax = 10%, tra i due si

sceglie quello che raggiunge prima IM ed infine GI che rappresenta quando la curva IDA

si trova nella condizione in cui per ogni incremento di IM risulta infinita la risposta DM

(Figura 2.3-6).

Per la progettazione dei telai in acciaio è possibile usare le indicazioni della F.E.M.A.

(F.E.M.A. Agency, 1997), in cui si identifica la capacità della struttura come l’ultimo

punto della curva I.D.A. avente una pendenza pari al 20% di quella elastica. Il limite


maggiore di questo metodo è rappresentato dalla non monotonicità delle curve IDA già

trattata in precedenza.

Figura 2.3-6 - Stati limite di capacità definiti per una curva IDA (Vamvatsikos & Cornell, 2002)

Figura 2.3-7 - Esempio di curve IDA (Piluso, 2009)


Figura 2.3-8 - Assenza di collasso per instabilità dinamica (Piluso, 2009)

Figura 2.3-9 - Presenza di collasso per instabilità dinamica (Piluso, 2009)


Sintesi dei risultati dell’IDA 2.3.6

Per l’elaborazione dei dati esistono due metodi:

1. Metodi parametrici;

2. Metodi non parametrici.

I metodi parametrici prevedono di eseguire delle regressioni sui risultati delle analisi

dinamiche non lineari, in maniera tale da ottenere una relazione tra DM ed IM ed una

funzione per la dispersione βDM|IM. Uno dei vantaggi dei metodi è rappresentato dalla

possibilità di ottenere dei risultati in forma chiusa, di contro però è la scarsa flessibilità.

Vi sono differenti modi di procedere secondo il grado di approssimazione che si desidera

raggiungere.

1. Regressione globale sui dati condizionati al non collasso.

Si esegue una regressione su tutti i dati condizionati al non collasso ovvero i

risultati delle analisi dinamiche che danno un valore finito;

Figura 2.3-10 – Problematiche dell’approccio (Piluso, 2009)


Figura 2.3-11 - Problematiche dell’approccio (Piluso, 2009)

2. Regressione globale e utilizzo del modello a tre parametri, con valore costante

della dispersione condizionata al non collasso.

Si compie una regressione su tutti i dati condizionati al non collasso (NC). Si ottiene:

b

aNCSaDM Sa ,| NCDMNCSaDM |,|

La probabilità di non collasso condizionata alla Sa si esprime tramite la funzione

di Shome:

per 0aa SS :

[2.3-1]

per 0aa SS :

[2.3-2]

1| aSNC SPa

0

|

a

aaSNC

S

SSP

a


Figura 2.3-12

Figura 2.3-13 - Presume che le dispersioni siano costanti fino a quando PNC=1

Figura 2.3-14


3. Regressione di ogni singola curva IDA ed utilizzo del modello a tre parametri

Le curve IDA vengono rappresentate nel piano logaritmico da una retta di

equazione:

aii SbaDM lnlnln

Le costanti ai e bi sono ricavate mediante regressioni lineari nel piano

logaritmico. Il valore medio della risposta di tutte le IDA si ricava:

aiiaa SbamediaSNCSDMmedia lnln,|ln

Ipotizzando che la distribuzione dei parametri a e b sia log-normale, si può

scrivere:

bmedia

aaNCSaDM SamedianaS ,|

La dispersione è espressa tramite:

22

,lnln2

,|2 lnln2 babaaaaNCSaDM SSS

I metodi non parametrici, si suddividono in due categorie: 1. Running mean

Consiste nel determinare per ogni valore dell’IM, la media e la deviazione standard

attraverso il metodo dei momenti. Tale metodo cade in difetto in corrispondenza

del primo valore dell’IM per cui anche una singola analisi non converge. 2. Running fractiles

Consiste nel determinare per ogni valore dell’IM, i frattili al 16%, all’84% e la

mediana. Il beneficio rispetto al caso precedente è che essendo i frattili delle

statistiche più robuste (sono meno influenzate dai valori estremi) e assumono un

valore infinito solo quando l’hanno rispettivamente l’84, il 50 ed il 16% dei risultati

della analisi dinamiche non lineari.

Infine vi sono i metodi semi-parametrici. Essi sono dei metodi ibridi poiché applicano i

modelli parametrici alle running fractiles. Si valutano i valori della DM in corrispondenza

di ogni valore della IM, tracciando una retta orizzontale nel piano DM-IM. Alle curve non


intersecate dalle rette orizzontali tracciate (significa che la struttura è già arrivata al

collasso) viene assegnato un valore infinito della DM. Si determinano la mediana e

dispersione mediante il modello a tre parametri (Piluso, 2009).

66 CAPITOLO 3 – Curve di Fragilità

CAPITOLO 3 – Curve di Fragilità

3.1 Introduzione

La determinazione del livello prestazionale delle strutture è fortemente collegata alla

probabilità che una generica domanda (DM) ecceda un soglia limite rappresentativa di

un danno strutturale.

Se questa probabilità viene correlata ad una misura d’intensità dell’azione sismica

(Intensity measure IM) quale ad esempio l’accelerazione di picco al suolo (PGA), il

risultato è la funzione probabilistica detta Curva di fragilità, che fornisce la base per

valutare l’affidabilità sismica delle strutture.

Le curve di fragilità vengono generalmente rappresentate dalla probabilità di

superamento di uno stato limite, nelle ordinate, e dall’intensità di misura dell’azione

sismica IM, per esempio la PGA o la pseudo-accelerazione spettrale del periodo

principale della struttura Sa(T1), nelle ascisse (Asamoah, 2012). Un esempio è riportato

in Figura 3.1-1.

Figura 3.1-1 - Curve di Fragilità.


3.2 Metodologie per la determinazione delle curve di fragilità

La costruzione delle curve di fragilità può avvenire mediante l’uso di diversi metodi

(Jalayer, et al., 2007) (§3.2.1.), (Magenes, et al., 2010)(§3.2.2), (Spence & Le Brun, 2006),

ecc. La scelta del metodo è correlata alle tecniche di analisi necessarie per calcolare la

risposta strutturale. Tra i metodi disponibili in letteratura quello di Jalayer, Franchin e

Pinto (Jalayer, et al., 2007), basato sull’analisi probabilistica per la valutazione della

risposta strutturale (PSDA), segue l’approccio probabilistico di (Cornell & Jalayer, 2003)

determinando la risposta strutturale mediante l’uso di analisi dinamiche incrementali.

Valutazione dell’affidabilità strutturale con la PSDA 3.2.1

Per valutare l’affidabilità sismica delle strutture, espressa come frequenza media annua

di superamento, si può ricorrere al metodo proposto da (Jalayer, et al., 2007). Il

parametro principale per il funzionamento del metodo è Y, che corrisponde al rapporto

tra la generica domanda strutturale, ad esempio il massimo spostamento d’interpiano

(MIDR), e la capacità strutturale, ad esempio l’MIDR massimo fornito dalla normativa o

da prove sperimentali. Esso è espresso dalla seguente relazione:

[3.2-1]

Dove Nmech è il numero dei meccanismi di collasso ed Nj il numero dei componenti che

ne prendono parte.

La frequenza annua media di superamento per un determinato stato limite è espressa

dal seguente integrale:

[3.2-2]

Con:

aSYP |1 Probabilità di superamento del parametro Y condizionato

all’accelerazione spettrale Sa. Tale quantità rappresenta la Curva

di Fragilità;

aSa SH Frequenza media annuale di superamento di un evento sismico

con accelerazione spettrale maggiore Sa . Essa rappresenta la

Curva di pericolosità dell’accelerazione spettrale.

aSaaLS SdHSYPH

0

|1

jl

jlNl

j

Nmech

l C

DY

11minmax


L’integrale [3.2-2] può essere risolto mediante integrazione numerica. Un metodo per

valutare la P(Y>1|Sa) è quello proposto da Jalayer (Jalayer, et al., 2007) che consiste nel

valutare la curva di fragilità aSYP |1 mediante la seguente distribuzione log-

normale:

[3.2-3]

Il calcolo dei parametri βY|Sa ed ηY|Sa porta molte volte a delle problematiche di

risoluzione, in quanto si riscontrano nelle analisi delle instabilità numeriche influenzando

fortemente i parametri di stima. In questi casi la funzione di della curva di fragilità viene

espressa diversamente:

[3.2-4]

Dove con L s’intende un rapporto Domanda-Capacità >> 1. La quantità P(L|Sa) è la

probabilità di avere un ampio valore di Y per una data accelerazione spettrale Sa mentre

P(Y>1|Sa,NL) rappresenta la curva di fragilità per dei valori di Y non elevati (NL). Tale

curva può essere espressa da una distribuzione log-normale:

[3.2-5]

Con βY|Sa,NL ed ηY|Sa,NL deviazione standard e mediana logaritmica di Y per una data Sa per

casi di NL. Per ovviare alle instabilità numeriche, caratteristiche delle curve IDA, al fine di

ricavare i parametri βY|Sa,NL ηY|Sa,NL e P(L|Sa), ovvero la deviazione standard logaritmica, la

media logaritmica e la probabilità di avere ampi valori di Y per una data Sa, si usano i

frattili riferiti al 16th, 50th (mediana) e 84th percentile dei dati (Figura 3.2-1).

aaNLaa SLPSLPSYPSYP ||1|1|1 ,

NLSaY

NLSaY

a NLSYP,|

,|ln1,|1

SaY

SaY

SaY

SaY

aSYP|

|

|

| ln1

ln1ln1|1


Figura 3.2-1 - Esempio di curve IDA. Le curve tratteggiate sono riferite

ai frattili 16th e 84th mentre la linea continua rispetto al 50th percentile (Jalayer, et al., 2007)

In Figura 3.2-1, sono evidenziate le intersezioni delle curve IDA con la retta di Y=1 con

delle stelle, mentre in Figura 3.2-3 l’istogramma rappresenta il numero di spettri che

sono compresi in diversi range di 0,05g.

Figura 3.2-2 - Spettri elastici in termini di accelerazione per diverse registrazioni (Jalayer, et al., 2007)


Figura 3.2-3 - Istogramma per Sa(T1) – Numero di spettri

all’interno di range pari a 0,05g (Jalayer, et al., 2007)

Un approccio diverso per valutare la funzione della curva di fragilità è quello di

considerare come media logaritmica ηSa,Y=1, deviazione standard logaritmica βSa,Y=1 , e

valori relativi all’accelerazione spettrale (SaY=1), quelli in corrispondenza di Y=1. Questo

metodo è basato sulla seguente assunzione:

[3.2-6]

La curva di fragilità, in questo caso, può essere espressa da una funzione di distribuzione

cumulata (CDF), considerando come media e deviazione standard logaritmica quelli in

corrispondenza di Y=1:

[3.2-7]

Quest’ultima espressione ha due vantaggi, il primo è che poiché l’accelerazione spettrale

è riferita alla condizione di Y=1 si è lontani dai casi di “convergenza – non convergenza“

(al contrario dell’espressione [3.2-4]), il secondo è che la risoluzione è meno onerosa dal

punto di vista computazionale.

a

Y

aa SSPSYP 1

|1

1,

1,1 lnln

YSa

YSaa

a

Y

a

SSSP


Figura 3.2-4 - Metodo alternativo per la valutazione della

Curva di fragilità (Jalayer, et al., 2007)

La combinazione delle equazioni [3.2-7] e [3.2-2] permette di risalire alla frequenza

media annua di superamento di uno stato limite (HLS) mediante l’integrazione del

prodotto tra la CDF e la curva di pericolo (Figura 3.2-5) fornita dai sismologi per uno

specifico sito (es. www.usgs.gov)

Figura 3.2-5 – Curva di pericolosità. Nelle ordinate è riportata la

frequenza media annuale di superamento e nelle ascisse la pseudoaccelerazione spettrale. (Jalayer, et al., 2007)

http://www.usgs.gov/


Per la risoluzione dell’equazione [3.2-2] è necessario fare alcune considerazioni sul

secondo membro ed in particolare sulla quantità dHSa. Il differenziale di Hsa è così

espresso:

[3.2-8]

Ricordando l’equazione [1.3-5] e derivando l’equazione [3.2-8] si ottiene:

a

k

aaSa dSSkkSdH 1

0

Infine sostituendo all’equazione [3.2-2] e ricordando il valore assoluto, si ricava:

[3.2-9]

aaSaaSa dSSHSdH '

a

k

aaLS dSSkkSYPH

1

0

0

|1


Determinazione delle curve di fragilità mediante l’analisi non 3.2.2lineare

Un metodo per calcolare le curve di fragilità è quello proposto da (Magenes, et al., 2010)

basato su un’analisi stocastica non lineare. Per questa tipologia di calcolo è necessario

definire diversi parametri quali:

1. Stati limite di danno strutturale;

2. Metodo probabilistico (Monte Carlo), per generare altre variabili d’input rispetto

quelli iniziali (esempio parametri meccanici);

3. Analisi statica non lineare (Push-over), per definire alcune distribuzioni di

probabilità per diversi stati di danneggiamento strutturale;

4. Analisi dinamica non lineare, per determinare la funzione di densità di

probabilità della domanda per diverse accelerazioni al suolo per poi eseguire

una convoluzione con la probabilità cumulata per ciascuno stato di

danneggiamento strutturale.

I diversi stati limite di danno strutturale da considerare, come suggerito in (Tomazevic &

Klemenc, 1997), (Tomazevic, 1999) possono essere:

1. Limite elastico: Punto rispetto al quale si forma la prima fessurazione

significativa a causa dell’eccessivo spostamento causando

la variazione della rigidezza iniziale;

2. Massima resistenza: Determinato dal taglio e dallo spostamento

corrispondente al raggiungimento della massima

resistenza;

3. Stato ultimo: Corrispondente al decremento ultimo della resistenza

massima in un limite accettabile (ad esempio l’80% della

massima resistenza (OPCM, 20 Marzo 2003)).

E’ possibile considerare ulteriori stati quale ad esempio la prima fessurazione di taglio

nel pilastro (δs) come in Figura 3.2-6. I livelli di danno relativi alla massima resistenza e

allo stato ultimo, vengono solitamente ottenuti mediante la curva pushover (Figura

3.2-7).


Figura 3.2-6 - Individuazione degli stati limite di danno strutturale (Magenes, et al., 2010)

Figura 3.2-7 - Esempio di curva di push-over (Magenes, et al., 2010)

Il metodo Monte Carlo consente di ottenere maggiori dati d’input ritenuti inizialmente

insufficienti per eseguire un’analisi di tipo stocastico. Parametri meccanici quali modulo

di taglio, resistenza di taglio per compressione nulla, coefficiente di attrito ecc. sono

quelli utilizzati in (Magenes, et al., 2010). Tuttavia i parametri che generalmente si

utilizzano sono quelli relativi alle proprietà meccaniche e alle caratteristiche dei

materiali, inoltre sono necessari range di valori realistici per ciascun parametro di

controllo.

Numerosi software permettono l’utilizzo immediato di questo metodo quali: STAC

sviluppato dal CIMNE (International Centre for Numerical Methods in Engireering) di


Barcellona, GoldSim (2) , MCML (3) sviluppato da Lihong Wang (Texas A&M) e Steven L.

Jacques et al. I risultati ottenuti dal software devono essere tali da garantire: una

determinata convergenza tra le variabili d’input e di output, una determinata media ed

infine una deviazione standard stabile (Magenes, et al., 2010).

Per edifici in muratura (e.g.) (Magenes, et al., 2010)) è possibile considerare come

parametri rappresentativi quelli derivanti da analisi meccaniche effettuate su muri e

pilastri. Risultati derivanti da test sperimentali di questo tipo sono disponibili in (Faella,

et al., 1991).

Definiti i parametri di controllo è necessario effettuare diverse analisi statiche non

lineari (pushover). Per ciascuna analisi alcuni parametri vengono considerati come

“parametri fissi”, mentre altri come “variabili” (Magenes, et al., 2010). Nel dettaglio si

ha:

1. Geometria e materiali (parametri fissi) con variazione delle proprietà

meccaniche mediante il range stabilito con il Metodo Monte Carlo;

2. Geometria (parametro fisso) con variazione delle proprietà meccaniche e

materiali.

Eseguendo tutte le analisi si ottiene una distribuzione di valori dalla quale è possibile

eseguire delle analisi probabilistiche per diversi parametri. E’ evidente che maggiore è il

numero delle analisi effettuate, maggiore è l’accuratezza dei risultati ottenuti mediante

le analisi stocastiche. In letteratura (Magenes, et al., 2010), per edifici in muratura, sono

state riscontrate due serie da 1000 analisi ciascuna, determinando gli stati di danno

globali (Figura 3.2-8 e Figura 3.2-9).

(2)

sito internet GoldSim: http://www.goldsim.com/Web/Company/ (3)

sito internet MCLM: http://omlc.ogi.edu/software/mc/

http://www.goldsim.com/Web/Company/

http://omlc.ogi.edu/software/mc/


Figura 3.2-8 - Risultati di analisi push-over con l'identificazione della media e della

deviazione standard della distribuzione dei valori (Magenes, et al., 2010)

Figura 3.2-9 - Identificazione degli stati di danno strutturale globali (Magenes, et al., 2010)

E’ possibile, una volta terminate le analisi, definire una distribuzione di valori per

ciascuno stato di danno. Il passo successivo è quello di plottare lo spostamento globale

della struttura ed il massimo spostamento di interpiano (MIDR) (Figura 3.2-10). Da

questo, in corrispondenza di ciascuno stato di danno strutturale, è possibile ricavare una

distribuzione di dati e quindi creare una funzione di densità di probabilità (PDF) (Figura

3.2-11)


Figura 3.2-10 - Relazione tra lo spostamento globale della struttura ed il

Massimo spostamento di interpiano. La linea continua rappresenta la media, mentre quelle tratteggiate la deviazione standard positiva e negativa (Magenes, et al., 2010)

Figura 3.2-11 - Schema della procedura usata per l'identificazione dello MIDR

dipendente dagli stati limite (Magenes, et al., 2010)

La Figura 3.2-11 mostra il percorso necessario per determinare la probabilità che un

generico valore di MIDR superi il valore soglia di MIDR associato agli stati limite di danno

strutturale (precedentemente indicati con δy e δs ed espressi in termini di funzione di


densità di probabilità). Dal grafico di destra, in corrispondenza dello spostamento

globale della struttura ed ad un determinato MIDR, avendo a disposizione un vasto

numero di risultati ottenuti dalle analisi pushover è possibile generare una funzione di

densità di probabilità e creare successivamente sul grafico di sinistra una funzione di

probabilità cumulata. Effettuando una convoluzione di questa funzione con la pdf degli

altri due stati limite di danno strutturale (δy e δs) si ottiene una nuova pdf rappresentata

in figura nel grafico di sinistra in neretto ed in grigio come area sottesa dalle pdf degli

stati limite relativi a δy e δs. Eseguendo questo procedimento per tutti gli stati limite di

danno identificati in precedenza, si ottengono quattro curve diverse necessarie

successivamente per il calcolo delle curva di fragilità (Figura 3.2-12).

Figura 3.2-12 - Risultato della convoluzione degli

stati limite di danno strutturale (Magenes, et al., 2010)

Il passo successivo è quello di eseguire delle analisi dinamiche incrementali.

La scelta degli accelerogrammi deve essere tale da generare degli spettri compatibili con

quello fornito dalla normativa, in particolare deve essere verificata la condizione che la

variazione dell’ordinata spettrale media degli accelerogrammi (Average spectrum)

rispetto allo spettro di riferimento, fornito dalla normativa (Target spectrum), sia pari a

un massimo del 10% in difetto (Figura 3.2-13).


Figura 3.2-13 - Confronto tra lo spettro fornito dalla normativa

e quello medio relativo agli accelerogrammi selezionati (Magenes, et al., 2010)

Anche in questo caso è necessario l’utilizzo di diverse analisi facendo variare le proprietà

dei materiali. Dato l’oneroso costo computazionale che deriva da ciascun’analisi

dinamica incrementale, (Magenes, et al., 2010), suggeriscono di considerare:

1. Un primo set di analisi considerando il valor medio di ciascun parametro

meccanico e scalando la PGA per diversi valori necessari al soddisfacimento

delle richieste imposte dalle IDA;

2. Un secondo set di analisi prendendo in considerazione la variabilità dei

parametri meccanici e trascurando la variabilità indotta dalle differenti

accelerazioni al suolo.

Il risultato delle analisi plottato in termini di generica domanda strutturale

(Spostamento) e Funzione di probabilità complementare cumulativa (CCDF), per diversi

valori delle PGA, è mostrato in Figura 3.2-14.


Figura 3.2-14 - Distribuzione della Funzione complementare cumulativa

dello spostamento per diversi valori di PGA (Magenes, et al., 2010)

Una volta che le funzioni di densità di probabilità dei diversi stati limite di danno

strutturale sono stati definiti dalle analisi pushover e gli spostamenti imposti alla

struttura da diverse accelerazioni sono state valutate mediante le analisi dinamiche

incrementali, è possibile effettuare una convoluzione dei due risultati ottenendo le

curve di fragilità.

Per ciascuna CCDF, relativa ad una determinata PGA, si effettua una convoluzione con le

PDF ottenute dalle analisi pushover ottenendo delle nuove curve (Figura 3.2-15).

Figura 3.2-15 - Convoluzione della CCDF con le pdf relative agli

stati limite di danno strutturale ricavati dalle analisi pushover (Magenes, et al., 2010)

Da queste l’area sottesa da ciascuna campana fornisce un punto che rappresentato

graficamente in termini di Probabilità di superamento di un determinato stato limite e

PGA fornisce una base per il calcolo delle curve di fragilità (Figura 3.2-16)


Figura 3.2-16 - Valori ricavati dal calcolo delle aree post convoluzione (Magenes, et al., 2010)

Ripetendo questo procedimento per le diverse PGA e riportando i risultati in Figura

3.2-16 si ricavano le curve di fragilità (Figura 3.2-17)

Figura 3.2-17 - Curve di fragilità (Magenes, et al., 2010)

82 CAPITOLO 4 - Murature confinate

CAPITOLO 4 - Murature confinate

4.1 Aspetti tipologici

Fino all’inizio del XX secolo la muratura è stata il principale sistema strutturale utilizzato

per la costruzione di edifici medi e alti. In seguito è stata sostituita dall’avvento di nuovi

materiali, quali il calcestruzzo armato e l’acciaio, tuttavia nelle zone sismiche è ancora di

uso frequente grazie alla sua economicità, alle sue buone caratteristiche di isolamento e

alla sua flessibilità di impiego. In seguito ai diversi eventi sismici passati, è emersa

l’inadeguatezza della muratura convenzionale quale struttura antisismica. Paesi come il

Giappone hanno fissato degli obblighi sull’altezza delle costruzioni in muratura, in

particolare questa non deve essere maggiore di 9 m e comunque non più alto di tre

piani.

Tuttavia, vengono tuttora costruiti edifici in muratura in molte zone sismiche nelle quali

già molte vite sono state perse non solo a causa del crollo di singole case in pietrame,

ma anche a causa del collasso di edifici per abitazione, di scuole e di ospedali eseguiti

con questo sistema costruttivo.

Le cause delle deboli prestazioni delle strutture in muratura sottoposte ad azioni

sismiche sono le seguenti:

1. Il materiale è di per se stesso fragile, quindi il degrado della resistenza dovuto al

ripetersi dei carichi è notevole;

2. Si tratta di un materiale molto pesante;

3. Le strutture in muratura possiedono una grande rigidezza, per cui si ha una forte

risposta alle onde sismiche di breve periodo;

4. Si ha inoltre una grande variazione della resistenza in funzione della qualità di

costruzione.

La relazione carico-deformazione per un pannello murario che collassa per flessione è

approssimativamente di tipo elasto-plastico; invece la duttilità di un pannello murario

che collassa per taglio è molto piccola. Il comportamento di una costruzione nel suo

complesso risulta fragile; per questo motivo l’Uniform Building Code (UBC) ascrive le

strutture in muratura alla categoria di sistemi scatolari, e richiede che vengano

progettate contro le azioni sismiche con un fattore di risposta uguale a 1.33, che è il


doppio di quello relativo ai telai resistenti a flessione. Lo stesso approccio viene assunto

nella normativa ATC-3 (Wakabayashi, 1989).

4.1 Tipologie costruttive

I materiali usati nelle strutture in muratura variano notevolmente, e vanno da materiali

scarsamente resistenti, come il pietrame e l’adobe, a materiali resistenti alle azioni

sismiche come i mattoni e i blocchi di calcestruzzo. Il tipo di messa in opera varia dalla

muratura in pietrame senza malta alla muratura armata.

Esistono tre tipologie costruttive per le murature:

1. Muratura ordinaria;

2. Muratura armata;

3. Muratura confinata.

La muratura orinaria corrisponde ad un insieme di laterizi pieni senza fori, sovrapposti

l’uno sull’altro seguendo una particolare disposizione a T (Figura 4.1-1); la muratura

armata invece è costituita da barre di armatura annegate nel calcestruzzo, confinato da

due strati di mattoni oppure da blocchi forati disposti in un unico strato, con armatura

verticale e orizzontale all’interno di essi e con malta nelle intercapedini (Figura 4.1-2).

Figura 4.1-1 - Muratura ordinaria.


Figura 4.1-2 - Muratura armata in mattoni (a), muratura armata in blocchi (b)

Infine si trova la muratura confinata, oggetto di questo lavoro. Si tratta di un sistema

strutturale misto muratura-cemento armato nel quale la struttura intelaiata in c.a.

contribuisce alla resistenza alle azioni orizzontali e al confinamento delle murature

semplici.

Le fasi costruttive prevedono la costruzione prima della muratura e successivamente

dopo aver disposto le armature lungo gli elementi di contorno si procede al getto del

calcestruzzo il quale è confinato dalla muratura precedentemente realizzata (Figura

4.1-4). Questo tipo di muratura costituisce una tipologia resistente molto differente

rispetto alla muratura convenzionale (senza cordoli verticali); l’intelaiatura, infatti,

conferisce resistenza e duttilità alla risposta sismica dei pannelli poiché ne mantiene

l’integrità strutturale permettendo elevate deformazioni anelastiche e consentendo lo

sviluppo di meccanismi resistenti non possibili nelle murature semplici (D'Amore, 2007).

Le murature intelaiate, inoltre, differiscono notevolmente dagli “infill panels” moderni,

(Figura 4.1-3) nelle quali le pareti murarie, prevalentemente in laterizi forati, vengono

realizzate dopo il getto ed il disarmo delle opere in c.a.


Figura 4.1-3 - Infill panel moderni. Si può notare come la

tamponatura è secondaria al getto dei pilastri e travi.

Figura 4.1-4 - Fasi costruttive della muratura confinata


Figura 4.1-5 - Edificio in muratura confinata


4.2 Modellazione Analitica

La modellazione strutturale consente di individuare gli schemi statici che permettono di

simulare il comportamento fisico reale della struttura. A tal fine è necessario saper

scegliere il procedimento di analisi che, nel caso specifico, permetta di conciliare

l'esattezza del risultato con la sicurezza e la praticità operativa e, quindi, con l'economia

del procedimento.

La definizione di uno schema appropriato che sia al tempo stesso abbastanza semplice

da essere agevolmente calcolabile e sufficientemente complesso da mettere in conto

l'effetto delle variabili più importanti, è un altro problema cruciale dell’analisi

strutturale, poiché da tale definizione dipende oltre che l'esattezza numerica dell'analisi,

l'attendibilità dei risultati.

I codici di calcolo moderni, basati la maggior parte sugli elementi finiti, permettono

senza difficoltà alcuna la creazione di modelli strutturali spaziali che, rispetto al passato

in cui gli edifici si schematizzavano usualmente come una serie di telai piani,

rappresentano un grado di affidabilità maggiore per l’ottenimento della risposta,

permettendo l’analisi e la comprensione del comportamento globale dell’organismo

strutturale. Tuttavia, per la complessità intrinseca nel fenomeno studiato, permangono

molte difficoltà che obbligano l’ingegnere strutturista a operare a differenti livelli di

complessità. Difatti, se da una parte gli schemi molto semplificati trascurano molte

variabili e sono, almeno in linea teorica, meno esatti, essi permettono tuttavia

un’interpretazione intuitiva del comportamento strutturale, e quindi una possibilità di

controllo dei risultati che sfugge invece facilmente agli schemi più complessi. Inoltre, per

schemi semplificati si ha a disposizione un'ampia gamma di metodi di analisi. Per schemi

complessi si ha, sostanzialmente, a disposizione un solo metodo: quello degli elementi

finiti, che è stato utilizzato nel presente lavoro.

Introduzione alla modellazione a fibre e a plasticità concentrata 4.2.1

Nel corso di questa tesi si sono condotte numerose analisi dinamiche non lineari di

strutture a telaio in muratura confinata, ed in modo particolare, analisi pushover di tipo

convenzionale e analisi dinamiche incrementali IDA. Simulazioni di questo tipo

richiedono di operare nell’ambito di un programma di calcolo agli elementi finiti che,

attraverso una discretizzazione del problema ne garantisce la soluzione, il cui grado di

accuratezza dipende in primo luogo dalla tipologia di modellazione delle non-linearità.

Le analisi non-lineari richiedono l’utilizzo di un modello numerico nell’ambito di un


programma agli elementi finiti, che rappresenti il miglior compromesso possibile tra

accuratezza delle previsioni e oneri computazionali. L’aspetto primario che si deve

valutare per garantire una scelta corretta dello strumento analitico è quella della

metodologia di modellazione delle plasticità. Le possibili alternative sono due: da un lato

vi sono i modelli a plasticità concentrata sulle estremità dell’elemento (modelli a

cerniere plastiche), dall’altro quelli a plasticità distribuita sull’intero elemento (modelli a

fibre).

In questo lavoro si è utilizzato il software SeismoStruct (SeismoSoft, 2006), che utilizza

un modello a elasticità distribuita, con il così detto approccio “a fibre”. Il modello a fibre,

pur richiedendo costi computazionali maggiori rispetto ad un modello a plasticità

concentrata, assicura previsioni con un grado di precisione maggiore. Tale software

adotta una modellazione in rigidezza degli elementi finiti. I modelli ad inelasticità

concentrata provvedono a concentrare tutte le risorse inelastiche nelle cosiddette

“cerniere plastiche”: l’elemento finito è di per se elastico-lineare ma alle sue estremità

(o dove necessario) vengono introdotte delle zone a comportamento elasto-plastico o

genericamente non-lineare.

Questo tipo di approccio è computazionalmente meno dispendioso rispetto

all’approccio “a fibre” che viene descritto in seguito, di contro si ha una minore

accuratezza nella previsione della risposta non-lineare della struttura.

La modellazione a plasticità concentrata prevede che tutti gli elementi costituenti la

struttura rimangano sempre in campo elastico e che vengano introdotti, in prossimità

delle estremità di questi, elementi cerniera con comportamento anelastico laddove si

prevede la formazione di una cerniera plastica. La non-linearità rimane quindi

concentrata in pochi elementi. Il vantaggio principale di questa modellazione è che

permette di lavorare principalmente con elementi elastici, computazionalmente meno

onerosi, lasciando a pochi punti della struttura la concentrazione delle non-linearità del

materiale. Inoltre, essa è estremamente versatile in quanto permette, con un’opportuna

scelta del legame costitutivo della cerniera, di descrivere diversi fenomeni, oltre al

comportamento flessionale, che possono influenzare la risposta strutturale, quali la

deformabilità a taglio, lo scorrimento dell’armatura, la flessibilità del nodo trave-

colonna, l’interazione tra telaio e tamponamenti. Il limite di questa modellazione risiede

nella necessaria esperienza dell’operatore per stabilire dove distribuire gli elementi non

lineari e per scegliere lunghezze e curve caratteristiche che permettano di cogliere il

reale comportamento delle cerniere plastiche. Infatti, l’accuratezza dell’intera analisi

può essere compromessa qualora si sbagli la calibrazione delle curve di risposta


disponibili per gli elementi cerniera e la loro estensione. Per poter utilizzare

correttamente i codici di calcolo con elementi a plasticità concentrata nello studio di

strutture con comportamento non lineare sotto carichi ciclici, è opportuno per i diversi

elementi strutturali:

stimare in maniera adeguata nella sezione critica il diagramma momento-

curvatura in presenza di azione assiale e degrado nel tempo, causato dall’azione

ciclica del sisma, per scegliere con cognizione fra I vari modelli di interazione M-

N e di isteresi proposti in letteratura ed implementati nei codici;

prevedere una lunghezza di cerniera plastica equivalente tale per cui il prodotto

di questa per la curvatura, derivante dal modello scelto, definisca una rotazione

prossima a quella reale. Diverse formulazioni empiriche sono presenti in

letteratura e nelle norme.

Figura 4.2-1 - Esempio di: (a) modello di interazione

momento-carico assiale, (b) legame isteretico

In Figura 4.2-1 si riportano due esempi di queste curve caratteristiche: il primo è un

modello d’interazione momento-carico assiale, il secondo un modello momento-

curvatura di tipo isteretico di una generica sezione.

Nella modellazione a plasticità diffusa si considerano gli elementi di tipo trave con

comportamento anelastico: l’anelasticità è diffusa in tutto l’elemento strutturale, sia

longitudinalmente sia trasversalmente, attraverso l’utilizzo di elementi a fibre. Lo stato

di sforzo e deformazione di una sezione del generico elemento è ottenuto mediante

l’integrazione della risposta uni assiale non lineare sforzo deformazione di ciascuna delle

fibre in cui è suddivisa la sezione. Se si utilizza un numero sufficiente di fibre (100-300) in

un’analisi tridimensionale, la distribuzione delle non-linearità del materiale può essere


modellata accuratamente anche in condizioni di elevata anelasticità. La sezione è

rappresentata dalla somma delle fibre del calcestruzzo non confinato, di quelle del

calcestruzzo confinato e delle fibre delle armature longitudinali. Lo stato di sforzo e

deformazione longitudinale dell’elemento è calcolato mediante l’integrazione numerica

di un numero appropriato sezioni (sezioni di Gauss).

Figura 4.2-2 - Esempio di discretizzazione in fibre di un

elemento strutturale in c.a. utilizzando due punti di controllo (sezioni di Gauss) lungo l’elemento

Figura 4.2-3 - Discretizzazione in fibre delle sezioni

Esistono due possibili versioni alternative per una modellazione “a fibre” degli elementi

finiti, basate su una formulazione in rigidezza o in flessibilità. La prima rappresenta la

metodologia più comunemente utilizzata, in cui il campo delle deformazioni

sull’elemento viene ottenuto dagli spostamenti dei nodi di estremità attraverso

opportune funzioni interpolanti. In questo tipo di elemento finito, che in letteratura

viene chiamato displacement-based element, la compatibilità delle deformazioni è

dunque assicurata, mentre l’equilibrio delle forze lungo di esso è soddisfatto soltanto

quando viene discretizzato in un numero adeguato di elementi finiti. La limitazione


fondamentale di un tale approccio è legata alla scarsa precisione nel descrivere

comportamenti altamente non-lineari a causa dell’inadeguatezza nella rappresentazione

dell’andamento delle curvature lungo l’elemento. Nella formulazione in flessibilità

invece, le funzioni di forma vengono utilizzate per descrivere in modo esatto

l’andamento delle sollecitazioni sull’elemento in base alle forze nodali e le funzioni, che

riproducono il campo di spostamenti, si modificano nel corso delle analisi in base al

diffondersi delle deformazioni inelastiche sulla sua lunghezza. Vale a dire che, mentre

l’equilibrio delle forze è sempre soddisfatto, la compatibilità delle deformazioni viene

soddisfatta per via integrale. Questo tipo di formulazione dell’elemento finito, che viene

chiamato force-based element, pur richiedendo un aumento del costo computazionale,

assicura, anche nel caso di comportamenti fortemente inelastici, previsioni accurate

utilizzando un ridotto numero di elementi finiti. L’impiego di questa seconda tipologia di

elementi finiti (force-based element) può però esporre al rischio di un’eccessiva ed

irrealistica localizzazione delle deformazioni rispetto ad una modellazione con elementi

formulati in rigidezza. Nel caso si siano adottati materiali con comportamento

fortemente degradante dopo il picco di resistenza, questa circostanza può dar luogo a

risultati estremamente sensibili alla discretizzazione adottata ed in particolare al numero

di punti di integrazione disposti sugli elementi.

E’ bene precisare che il fenomeno della “localizzazione delle deformazioni” si manifesta

sia sugli elementi formulati “in rigidezza” che su quelli “in flessibilità” anche se secondo

quanto è presente nell’odierna bibliografia i maggiori effetti sembrano trovarsi nelle

strutture composte da elementi formulati in flessibilità.

Da quanto detto si comprende l’importanza di un’oculata scelta della mesh, la quale

deve essere sufficientemente fitta per descrivere i comportamenti fortemente non-

lineari, ma neanche troppo per evitare il fenomeno della localizzazione delle

deformazioni.

Il software SeismoStruct, utilizzato per la modellazione della struttura è un programma

di calcolo strutturale agli elementi finiti in grado di prevedere il comportamento statico

e dinamico di telai piani o spaziali sottoposti a grandi spostamenti, considerando sia gli

effetti delle non-linearità geometriche che quelli dovuti all’inelasticità dei materiali.

SeismoStruct mette a disposizione diversi modelli di comportamento meccanico,

insieme ad una serie di predefinite configurazioni sezionali e di elementi tridimensionali.

La modellazione delle non-linearità sugli elementi finiti è di tipo distribuito e discende

dunque da quella sezionale per mezzo delle fibre, vedi Figura 4.2-3, attraverso una


classica formulazione in rigidezza. Poiché gli elementi adottati sono di tipo trave (beam-

column), forze e deformazioni sezionali sono descritte dai vettori:

TxMxNxs

Txxxe

Nel caso di formulazione in rigidezza le funzioni di forma, indicate con xNu

~assicurano

la compatibilità delle deformazioni sezionali xe e degli spostamenti nodali U

attraverso la relazione:

[4.2-1]

Un problema non-lineare richiede una legge costitutiva a livello delle sezioni di tipo

incrementale, linearizzata dalla seguente:

xexkxs ~

dove, ovviamente, xk~

rappresenta la matrice di rigidezza sezionale. Globalmente, per

ogni elemento finito, indicando con Q

il vettore delle forze nodali e sostituendo la [4.2-1] , si può ricavare la relazione:

QUK ~

in cui con K~

si è indicata la matrice di rigidezza dell’intero elemento, che può scriversi

come:

[4.2-2]

La valutazione dell’integrale precedente è, in SeismoStruct, valutata numericamente

attraverso lo schema di Gauss, in base alla relazione:

[4.2-3]

Dove wIP ed xIP indicano rispettivamente il peso e la posizione del punto di integrazione

IP, mentre NIP indica il numero di tali punti di integrazione sull’elemento. Come si vede,

UxNxe u ~

dxNxkxNK U

LT

U ~~~~

0

IPUIPIP

T

U

NIP

IP

IP xNxkxNLwK~~~~

1


in questo metodo di quadratura, lo stato dell’intero elemento è derivato dalla somma

pesata dello stato sezionale in corrispondenza dei punti d’integrazione disposti lungo

l’elemento. In Figura 4.2-4 sono riportati i fattori di peso e di posizione al variare del

numero dei punti d’integrazione per lo schema di Gauss.

Figura 4.2-4 - Distribuzione dei fattori di peso e di posizione dei punti di integrazione nello schema di

integrazione di Gauss.

Si può osservare che le sezioni di estremità non rappresentano punti d’integrazione e

che a quelli prossimi ai margini dell’elemento sono assegnati pesi minori. In

SeismoStruct gli elementi finiti utilizzati sono caratterizzati dal fatto di possedere due

soli punti d’integrazione, come si può vedere in Figura 4.2-2.

Effetti del deterioramento 4.2.2

Quando sono sottoposti a forti terremoti, specialmente se di lunga durata, gli edifici

vengono sollecitati ripetutamente con carichi notevoli; nelle zone fortemente sismiche

gli edifici subiscono gli effetti di frequenti terremoti minori. In questi casi le conseguenze

del deterioramento strutturale (dovuto a precedenti carichi ciclici) sul comportamento

dell’edificio in occasione di un altro terremoto va considerato attentamente. In alcuni

tipi di struttura la resistenza può diminuire dopo ogni inversione completa di carico

Figura 4.2-5. Apparentemente esse si deformano sempre di più al succedersi dei cicli di

carico, a differenza di quelle che non presentano questo tipo di degrado.


Figura 4.2-5 - Degrado per carico ciclico.

A: Degredo per resistenza - b: Degrado della rigidezza (Wakabayashi, 1989)

L’acciaio è un materiale duttile e rivela un comportamento molto stabile quando é

sottoposto a carico ciclico. Gli elementi in acciaio dei telai, comunque, in certe

condizioni possono non essere abbastanza duttili, anche se l’acciaio di per sé lo e. Il

deterioramento di questi elementi e dei telai avviene innanzitutto per instabilità o per

fragilità delle giunzioni. Ad esempio un telaio i cui pilastri subiscono instabilità locali agli

estremi mostrano una isteresi a degrado come in Figura 4.2-5. ll comportamento a

degrado delle strutture in calcestruzzo armato è molto più significativo di quello degli

elementi in acciaio. Il degrado è notevole soprattutto quando si verifica un cedimento

per taglio o dell’aderenza negli elementi strutturali, nelle connessioni, o nelle pareti di

taglio. Non è eccezionale in alcuni casi un dimezzamento della capacità portante dopo

soltanto alcuni cicli di carico.

Il comportamento d’isteresi delle strutture miste è una combinazione fra i due.

L’instabilità, che spesso si verifica nelle strutture in acciaio, in questo caso viene

impedita dal calcestruzzo in cui i componenti in acciaio sono annegati. Le principali

cause di degrado sono generalmente attribuite alle caratteristiche dei componenti in

calcestruzzo armato; si può quindi affermare che le strutture miste con maggior

proporzione di acciaio presentano un miglior comportamento di isteresi (Wakabayashi,

1989).


Legami costitutivi per una sezione in c.a. 4.2.3

Una generica sezione in cemento armato suddivisa in fibre consente l’utilizzo di legami

costitutivi monoassiali e differenziati per le differenti regioni della sezione. Essa è

suddivisibile in tre zone caratteristiche:

barre di armatura;

calcestruzzo non confinato;

calcestruzzo confinato.

Figura 4.2-6 - Sezioni monitorate e divisione in fibre della sezione.

L'adozione di un modello costitutivo che tenga conto del contributo del solo

calcestruzzo, ignorando l'interazione con le armature presenti nella sezione in c.a., porta

a risultati attendibili nel campo di deformazioni molto piccole. Se si vuole valutare la

risposta sotto azioni cicliche maggiori è necessaria l'adozione di modelli meglio calibrati,

che permettano di portare in conto il grado di confinamento della sezione, poiché le

evidenze sperimentali hanno messo in luce come questo parametro incida

consistentemente sulla deformazione ultima e sulle caratteristiche di deformabilità.

Vengono riportati di seguito due diversi modelli ampiamente diffusi per schematizzare il

comportamento non lineare del calcestruzzo, ovvero il modello di Kent e Park (Kent &

Park, 1971), e quello di Mander,Priestley e Park (Mander, et al., 1988).

Il modello di Kent e Park (Kent & Park, 1971), modificato da Scott et al (Scott, et al.,

1982), considera l’effetto del confinamento delle armature trasversali sul calcestruzzo.

La “curva di skeleton”, ovvero la curva inviluppo dei cicli isteretici, è rappresentata in

Figura 4.2-7.


Figura 4.2-7 - Legame costitutivo di Kent e Park

con:

fc’ Tensione cilindrica di rottura del calcestruzzo;

K Fattore rappresentativo dell’incremento di resistenza dovuto al

confinamento:

[4.2-4]

ρs percentuale di staffe (volume delle staffe fratto il volume del nucleo di cls):

[4.2-5]

δ Copriferro della sezione trasversale (cm);

b base della sezione (cm);

h altezza della sezione (cm);

Ast Area delle staffe (cm2);

nst numero delle staffe:

nst = 100/p

p passo delle staffe (cm) ;

fyh tensione di snervamento per le staffe;

Ɛcu Deformazione di rottura. Una espressione per la sua definizione è quella di

Scott et al.

[4.2-6]

'1

c

yhs

f

fK

10022

82

hb

hbAn ststs

3009.00004.0

yh

scu

fp


Ɛc0 Deformazione in corrispondenza del picco di tensione:

Ɛc0 = 0.002K

Z Pendenza base della curva di softening:

[4.2-7]

h’ larghezza del nucleo di calcestruzzo (lato più lungo);

sh passo delle staffe;

In fase di scarico si seguono dei rami rettilinei dal punto (Ɛr,fr), appartenente alla curva di

skeleton, al punto (Ɛr,0) e successiva si ritorna all’origine seguendo l’asse delle ascisse,

poiché il modello ignora il contributo a trazione del calcestruzzo.

[4.2-8]

Il ricarico avviene, una volta raggiunto nuovamente Ɛp, sullo stesso tratto lineare di

scarico. Scarico e ricarico non potrebbero essere applicati linearmente poiché ci si trova

in un comportamento non lineare. Tuttavia, poiché questo non influisce sostanzialmente

tra il comportamento lineare e non lineare, i risultati sono comunque accurati.

Un ulteriore modello per schematizzare il comportamento del calcestruzzo è quello di

Mander, Priestley e Park (Mander, et al., 1988). Questo modello può considerare gli

effetti di una pressione laterale di confinamento costante su tutto il campo di

deformazioni.

Ks

hp

f

fZ

h

s

c

c 002.0'

75.01000'145

'29.03

5.0

co

r

co

r

co

p

13.0145.0

2

2

co

rPer

834.02707.0

co

r

co

p

2

co

rPer


Figura 4.2-8 - Comportamento a compressione del calcestruzzo - Modello Mander et al.

Secondo tale modello, indicando con fco ed εco la tensione e la deformazione

corrispondenti al punto di picco di resistenza a compressione per il calcestruzzo non

confinato e con fcc e εcc quelle relative al materiale confinato, il comportamento del

calcestruzzo sottoposto ad un carico di compressione monotono è descrivibile dalla

relazione:

[4.2-9]

In cui:

[4.2-10]

[4.2-11]

[4.2-12]

[4.2-13]

[4.2-14]

Con:

r

ccc

xr

rxff

1

cc

cx

secEE

Er

c

c

05000 cc fE

151

0

0

c

ccccc

f

f

cc

ccfE

sec


Ɛc deformazione corrispondente all’iesima tensione;

Ɛc0 deformazione raggiunta al picco della tensione fc0 nel caso di cls non

confinato;

Ɛcc deformazione raggiunta al picco della tensione fc0 nel caso di cls

confinato;

fc0 tensione massima nel caso di cls non confinato;

fcc tensione massima nel caso di cls confinato;

Ec modulo di Young iniziale;

Esec modulo di Young secante

Il rapporto di confinamento, ovvero il rapporto tra la tensione di picco del cls confinato e

quello non confinato, secondo Mander et al. è:

[4.2-15]

Con fl pressione laterale di confinamento.

Anche per l’acciaio sono presenti in letteratura dei modelli che ne rappresentano il

comportamento ciclico. Il modello di Menegotto e Pinto (Menegotto & Pinto, 1973)

modificato da Filippou et al. (Filippou, et al., 1983), permette di descrivere il

comportamento non lineare dell'acciaio per le barre di armature. Esso include la

deformazione isotropa per incrudimento.

254.1294.71254.2 co

l

co

l

co

ccc

f

f

f

f

f

fk


Figura 4.2-9 - Legame costitutivo di Menegotto e Pinto

Il legame costitutivo è espresso dalla seguente relazione:

[4.2-16]

In cui:

Con:

σ Tensione normale;

Ɛ Deformazione assiale;

(Ɛr,σr) Coordinate del punto di scarico, assunto pari a (0,0) nella fase

elastica;

(Ɛ0,σ0) Intersezione dei due asintoti che definisce il punto di carico e scarico;

b Fattore di riduzione della rigidezza;

2

10a

aRR

RR

bb

/11

1

r

r

0

r

r

0


R0, a1, a2 Costanti poste pari, rispettivamente, a 20.0 , 18.5 , 0.15;

ξ Differenza tra il massimo valore di deformazione nella direzione di

carico ed Ɛ0;

Z Pendenza base della curva di softening.

Un ulteriore modello è quello bilineare incrudente, che è contemplato dalle attuali

norme tecniche (NTC08) ed è mostrato in Figura 4.2-10 con il relativo ciclo carico-

scarico.

Figura 4.2-10 - Curva di skeleton per il legame bilineare.

I tre parametri che lo definiscono sono:

fy Tensione normale di primo snervamento per l’acciaio;

E1 Modulo di Young prima dello snervamento;

E2/E1 Rapporto tra il modulo dopo lo snervamento e quello ante-

snervamento.


4.3 Modellazione dei pannelli murari

Un aspetto importante nell’analisi del comportamento degli edifici in zona sismica è la

corretta valutazione dell’influenza dei pannelli murari inseriti nei telai di cemento

armato (D'Asdia & Palombini, 1993). I pannelli murari contribuiscono in misura

sostanziale all'irrigidimento, all'irrobustimento, alla capacità di dissipare energia e

all'innesco dei meccanismi di crisi locali o globali della costruzione, governandone

attivamente la risposta sismica. Questo è dovuto essenzialmente alla modalità di

realizzazione delle stesse che usualmente sono messe in opera riempiendo l’intera

maglia strutturale senza alcun elemento di separazione. La presenza dei pannelli murari

con caratteristiche meccaniche rilevanti porta a due problemi strettamente legati alle

peculiarità dell’azione sismica. Innanzitutto, la presenza dei pannelli murari comporta un

irrigidimento dello schema e quindi una riduzione del suo periodo proprio; ciò ne

condiziona la risposta dinamica elastica e può provocare un incremento dell’azione

sismica, specialmente quando l’ossatura strutturale è molto deformabile. In secondo

luogo, la muratura ha un comportamento fragile; ciò influenza la risposta inelastica,

perché quando avviene la rottura dei pannelli, l’aliquota di azione sismica portata da essi

si scarica istantaneamente sulla struttura, col rischio di un collasso improvviso di questa.

La presenza dei pannelli murari può essere, secondo i casi, un elemento negativo o una

risorsa per la resistenza globale dell’edificio. La loro funzione benefica risiede nel fatto

che se ben distribuita, può:

Ridurre l’entità degli spostamenti orizzontali;

Fornire un contributo alla resistenza alle azioni orizzontali nel suo piano;

Dare un importante contributo alla dissipazione dell’energia, riducendo la

richiesta di dissipazione negli elementi strutturali, come messa in luce da

Houssner (1956).

Comunque, deve essere verificata la resistenza alle azioni ortogonali al piano per evitare

rischiosi o pericolosi ribaltamenti dei pannelli murari. È da sottolineare, inoltre, che

alcuni fattori possono causare effetti sfavorevoli, quali ad esempio:

L’assenza dei pannelli murari al piano terreno o in piani superiori, che genera

meccanismi di piano soffice, è stata causa di moltissimi collassi in occasione di

eventi sismici. La concentrazione del danno nei pilastri, con la formazione di

zone ad alta concentrazione di deformazioni plastiche, schematizzabili con una

cerniera, alla base ed in testa, può produrre infatti un meccanismo di piano


(Figura 4.3-1 a). È da notare che la presenza di un piano soffice è più frequente

al piano terreno come conseguenza di scelte architettoniche o funzionali.

Talvolta tale configurazione potrebbe essere conseguenza dell’evento sismico

stesso (espulsione dei pannelli di tamponamento fuori del piano o collasso nel

piano). Queste configurazioni sono anche possibili, sebbene meno frequenti, ai

piani superiori.

Distribuzioni dei pannelli murari non regolari in pianta (asimmetrie) possono

provocare effetti negativi quali ad esempio l’insorgere di modi torsionali, con

conseguente incremento della domanda in termini di spostamento della parte

meno rigida dell’edificio (Figura 4.3-1 b);

La presenza dei pannelli murari può provocare la rottura a taglio dei pilastri

(Figura 4.3-1 c). Tale caso si verifica in particolar modo in caso di muratura molto

resistente e pilastri con scarsa resistenza a taglio (dimensioni trasversali ridotte,

carenza di armatura trasversale etc.);

Nei casi in cui i pannelli murari non ricoprono in elevazione l’intera maglia del

telaio (Figura 4.3-1 d) si genera la cosiddetta colonna tozza, in cui l’elevato

gradiente di momento flettente può determinare sforzi di taglio incompatibili

con le capacità resistenti.

Il piano soffice e le colonne tozze sono tra le cause più frequentemente riconosciute di

collassi e danni gravi. In sintesi le irregolarità della distribuzione dei pannelli di muratura

possono indurre la concentrazione del danno in alcuni elementi strutturali e causare

comportamenti particolarmente sfavorevoli mentre se sono adeguatamente distribuite

in pianta ed in elevazione possono contribuire significativamente alla resistenza alle

azioni sismiche e ridurre le deformazioni relative e globali delle strutture.

Figura 4.3-1 - Possibili effetti sfavorevoli dovuti alla presenza di tamponature


I modelli per le pareti in muratura 4.3.1

I modelli proposti in letteratura per l’analisi dei pannelli murari, sono numerosi

(Crisafulli, et al., 1997), (Panagiotakos & Fardis, 1996), (Perera, 2005), ecc. Tuttavia

l’insieme dei modelli disponibili può essere convenientemente suddiviso in due classi:

quella dei micromodelli e quella dei macromodelli.

In un micromodello si formula la legge costitutiva della muratura a partire da quelle dei

mattoni e della malta, considerati come elementi discreti collegati fra loro (Perera,

2005); diviene perciò necessario l’impiego di elementi finiti tridimensionali. Un

approccio di questo genere pare di difficile applicazione nelle analisi sismiche degli

edifici che s’incontrano nella pratica professionale, visti la notevole complessità della

formulazione e i lunghi tempi di calcolo. In più, nello studio del comportamento globale

di un edificio sotto l’azione sismica, sembra inopportuno voler spingere il livello di

conoscenza all’interazione fra i singoli blocchi, i letti e i giunti di malta.

4.3-1 - Comportamento isteretico degradante per un pannello in muratura

Per ovviare agli inconvenienti di questa formulazione, si può ricorrere ai macromodelli.

Essi consentono di trattare gli elementi in muratura come costituiti da un unico

materiale, studiandone la risposta in termini di tensioni e deformazioni medie.

Essi sono basati su considerazioni del comportamento meccanico globale del sistema

telaio-tamponamento e si basa sul concetto di puntone diagonale equivalente. In questa

seconda classe gli effetti locali sono controllati separatamente.


4.4 Modellazione mediante micro-modelli

Inizialmente l’attenzione dei ricercatori si è focalizzata sugli elementi d’interfaccia,

modellati come elementi joint non reagenti a trazione, ad esempio il modello di

Riddington e Smith (Riddington & Smith, 1977) simula il distacco tra pannello murario e

telaio mediante elementi che si disconnettono in corrispondenza di sforzi di trazione,

permettendo scorrimenti relativi. Modelli più dettagliati sono quelli proposti da Lotfi &

Shing (Lofti & Shing, 1994) e Mehrabi & Shing (Mehrabi & Shing, 1994), che utilizzano

l’approccio a fessurazione diffusa, sia per il telaio che per gli elementi resistenti del

pannello murario, definendo dei domini di resistenza nello spazio delle tensioni

principali. La propagazione delle fessure secondo i giunti di malta e all’interfaccia telaio-

pannello è invece modellata attraverso l’approccio a fessurazione discreta, che coglie

l’innesco e la propagazione delle lesioni sotto azioni combinate di taglio e sforzo

normale sia nel campo delle trazioni che delle compressioni.

Spesso, l’utilizzo dei micro-modelli nelle analisi dei telai con pannelli murari ha avuto

come finalità quella di calibrare i parametri per caratterizzare il legame costitutivo di

modelli più semplici, ad esempio quello a puntone equivalente. In effetti, l’utilizzo di

modellazioni dettagliate agli elementi finiti può risultare computazionalmente onerosa

per l’analisi di interi edifici, per i quali sono preferibili modellazioni semplificate che

possano cogliere adeguatamente il comportamento globale del sistema con un

ragionevole sforzo di calcolo.

4.5 Modellazione mediante macro-modelli

I macro-modelli sono generalmente basati sul concetto di Biella equivalente. Questo è

nato dall’osservazione che gli sforzi di compressione nel pannello di muratura dovuti

all’applicazione di un carico orizzontale al sistema telaio-pannello, seguono

sostanzialmente la diagonale del pannello stesso (Smith, 1962), (Mainstone, 1974).

Questa procedura è quella più frequentemente adottata per la valutazione della

rigidezza dei telai con pannelli murari, ma per avere una previsione completa della

risposta strutturale, la modellazione deve contemplare anche le caratteristiche di

resistenza nelle condizioni ultime corrispondenti a diversi modi di rottura, in tale senso

la biella equivalente costituisce soltanto un modello semplificato di un fenomeno assai

complesso, non esistendo una vera e propria materializzazione della biella.

L’idea nasce osservando lo stato fessurativo di un pannello murario in seguito

all’applicazione ciclica di una forza orizzontale: le fessure, che si sviluppano


perpendicolarmente alle direzioni principali di trazione e quindi lungo quelle di

compressione, hanno andamento diagonale e congiungono i due vertici opposti del

pannello (Figura 4.5-2); poiché esse delimitano puntoni diagonali compressi, i modelli

prevedono molto spesso bielle reagenti a compressione, affidando una piccola aliquota

alla trazione. La ciclicità del carico fa sì che queste fessure si aprano lungo entrambe le

diagonali.

Figura 4.5-1 - Modello a bielle equivalenti per un

pannello di muratura all'interno di un portale

Figura 4.5-2 - Doppia fessurazione diagonale per

taglio ciclico in un muro

Data l’eterogeneità della muratura, che presenta proprietà meccaniche variabili

localmente, la modellazione semplificata costituisce un criterio per simulare un

comportamento globale dei pannelli che deve essere calibrato su prove sperimentali ed

integrata con l’osservazione dei comportamenti effettivi. Il punto fondamentale di

questo tipo di modellazione risiede nella determinazione della lunghezza del puntone

affinché lo schema di calcolo presenti rigidezze paragonabili a quelle delle strutture

reali, e nella definizione di una legge costitutiva che includa il degrado, di resistenza e

rigidezza, sperimentalmente osservato in presenza di carichi ciclici.


Analisi globale del comportamento del pannello murario sotto 4.5.1carichi laterali

Il comportamento del pannello murario e la sua interazione con il telaio è differente a

seconda del valore del carico ovvero dello spostamento di interpiano richiesto. È

ragionevole pensare che per bassi valori delle sollecitazioni, travi e pilastri restino

sostanzialmente a contatto con la muratura. Ne deriva che, per modesti valori delle

sollecitazioni laterali, telaio e pannello si comportino come un sistema unitario,

esattamente come una parete strutturale con elementi di contorno. La validità di

quest’affermazione è in realtà pregiudicata dall’aderenza, davvero modesta, che

s’instaura tra gli elementi in calcestruzzo ed il pannello, specialmente in assenza di

opportuni connettori.

Figura 4.5-3 - Deformazione laterale del telaio sotto carichi orizzontali

L’aumento d’intensità delle azioni comporta una risposta più complessa della struttura,

a causa del tentativo del telaio di deformarsi a flessione, mentre il pannello cerca di

deformarsi a taglio, come mostrato in Figura 4.5-3. Il risultato, è il distacco del pannello

dalla maglia strutturale, accompagnato da un certo scorrimento relativo sia nel senso

orizzontale sia nel senso verticale. Nella prima fase gli elementi del telaio, a contatto con

il pannello, sono soggetti essenzialmente a sforzi assiali, a seguito alla separazione

intervengono anche importanti sollecitazioni flessionali. Nello stesso tempo, il

funzionamento a taglio del pannello si trasforma nel funzionamento a puntone

equivalente. Con ciò s’intende che gli sforzi prevalenti nel muro sono adesso le tensioni

normali di compressione che viaggiano tra gli angoli caricati, rimasti a contatto col telaio.

Viceversa, gli sforzi di taglio perdono importanza anche per le lesioni inclinate che si

formano nel pannello al crescere dei carichi, che all’invertirsi delle azioni assumono la

classica forma a X. Il contatto tra telaio e pannello si estende per una lunghezza z, come

indicato in Figura 4.5-3. Per telai in calcestruzzo armato la separazione si verifica tra il

50% e il 70% della resistenza ideale a taglio del pannello in muratura. Dopo la


separazione, l’effettiva larghezza del puntone diagonale, indicata con w nella Figura

4.5-3, è inferiore a quella dell’intero pannello.

Nella seconda fase, quando è avvenuto il distacco fra il pannello e la maglia strutturale e,

soprattutto, la fessurazione a taglio del muro, è spontaneo schematizzare il telaio

tamponato come un telaio controventato da bielle diagonali reagenti a compressione e

trazione connesse con delle cerniere in prossimità degli angoli della maglia. Difatti, le

bielle esplicano la loro azione in corrispondenza del punto di intersezione tra travi e

pilastri in cui è presente una eccentricità. Tale eccentricità può essere modellata

utilizzando un collegamento rigido (rigid link) tra l’asse del pilastro e l’interfaccia di

collegamento con la muratura, posto ad una distanza pari a 1/15 della luce stessa del

pilastro, come meglio riportato in Figura 4.5-3.

Figura 4.5-4 - Posizionamento e vincoli della biella equivalente


Modelli non lineari dei pannelli murari 4.5.2

La letteratura sui possibili approcci alla modellazione dei pannelli di tamponamento in

muratura in strutture intelaiate è molto ricca (Crisafulli, et al., 2010), (Mainstone, 1971),

(Perera, 2005), (Panagiotakos & Fardis, 1996) ed è disponibile una grande varietà di

modelli con diversi livelli di dettaglio basati sia su approcci a macro-elementi che su

approcci agli elementi finiti finalizzati allo studio del comportamento globale o degli

effetti locali del tamponamento sulla struttura.

Il modello più semplice (Klingner & Bertero, 1976) è quello rappresentato da un singolo

puntone compresso incernierato alle sue estremità e connesso al nodo in

corrispondenza delle intersezioni tra gli assi delle travi e dei pilastri, come mostrato in

Figura 4.5-5. Il principale limite di questo approccio è rappresentato dall’incapacità di

cogliere gli effetti locali dell’interazione tamponatura-telaio (Crisafulli, et al., 2000).

Alcune variazioni a questo approccio sono rappresentate da modelli a biella doppia o

multipla (Figura 4.5-5).

Figura 4.5-5 – Tipologie di modelli: a)singolo puntone, b) doppio puntone, c) triplo puntone

Nei modelli a singolo puntone compresso, è necessario valutare correttamente le

corrispondenti proprietà meccaniche in modo da poter rappresentare realisticamente il

comportamento del pannello murario. Considerando le numerose incertezze relative

alle proprietà della muratura, i differenti meccanismi di rottura e le ovvie semplificazioni

introdotte nel modello, la scelta delle proprietà del puntone compresso non è di

immediata valutazione. Tuttavia, numerosi studi del passato hanno consentito di

definire una serie di relazioni empiriche per la valutazione dei parametri dei modelli a

puntone diagonale in funzione delle caratteristiche meccaniche e geometriche della

muratura. I parametri fondamentali da definire sono rappresentati dalle caratteristiche

di rigidezza e resistenza del puntone compresso e dalla legge isteretica sforzi-

deformazioni che rappresenta il comportamento ciclico non lineare del pannello. Le

caratteristiche geometriche del puntone sono definite attraverso la sua lunghezza dw, il

suo spessore tw e la sua larghezza bw (Figura 4.5-6).


Figura 4.5-6 - Modello a puntone compresso equivalente.

La lunghezza dw è pari alla distanza tra i centri dei nodi in corrispondenza delle

intersezioni tra gli assi delle travi e dei pilastri e risulta dunque leggermente superiore

all’effettiva lunghezza della diagonale del pannello murario. Lo spessore tw del puntone

viene normalmente valutato pari allo spessore del pannello. La valutazione della

larghezza bw del puntone viene di solito valutata in termini di rapporto bw/dw, con dw

pari alla lunghezza della diagonale del pannello. In letteratura ci sono diversi modelli

disponibili per la valutazione delle caratteristiche del puntone, di cui la maggior parte si

basano sulla larghezza equivalente.

(Bertoldi, et al., 1993) suggeriscono di utilizzare come rapporto bw/dw la seguente

relazione:

[4.5-1]

Dove K1 e K2 sono parametri espressi in funzione del prodotto λh come mostrato in

Tabella 4.5-1, h è l’altezza tra gli assi delle travi e λ è un fattore che definisce la rigidezza

relativa tra il pannello ed il telaio che lo racchiude e può essere calcolato con la seguente

espressione (Smith, 1966):

[4.5-2]

In cui Ec è modulo di elasticità del calcestruzzo, Ic è momento d’inerzia della sezione

trasversale dei pilastri adiacenti al pannello di tamponamento, ed Ewθ è il modulo

elastico della muratura calcolato in funzione dell’inclinazione del puntone rispetto

all’orizzontale (θ) in accordo con la seguente equazione:

[4.5-3]

2Kh

K

d

b l

w

w

4

4

2

wcc

wm

hlE

sentE

1

2244

21

coscos

wvwvwh

wEG

senE

sen

EE


Dove Ewh e Ewv sono i moduli elastici in direzione verticale ed orizzontale della muratura,

G è il modulo a taglio e υ è il coefficiente di Poisson.

Tabella 4.5-1 - Parametri del modello a puntone diagonale equivalente

Un’altra relazione è quella proposta da (Klingner, 1976):

[4.5-4]

Questa fu espressa similmente da Mainstone (Mainstone, 1971) considerando come

altezza, quella tra gli assi delle travi come in Figura 4.5-7.

Figura 4.5-7 - Caratteristiche geometriche del

puntone equivalente (Mainstone, 1971)

Sempre l’espressione [4.5-4] fu modificata da Durrani e Luo (Durrani & Luo, 1994) sulla

base di analisi numeriche dettagliate agli elementi finiti e fornirono una formulazione

per la valutazione di bw fortemente dipendente, non solo dal parametro di rigidezza λ,

ma anche dalla geometria del sistema intelaiato attraverso il coefficiente m:

[4.5-5]

Con m pari a:

[4.5-6]

4.0175.0

ww hdb

5.11.0

4

32.0

wcp

www

HEIm

HtEsendb

p

T

IL

IHm arctan

616


Dove H ed L indicano, rispettivamente l’altezza e la larghezza in asse della maglia

intelaiata.

Secondo alcuni autori, le dimensioni della biella sono influenzate, non solo dai

pilastri adiacenti al pannello, ma anche dalla trave di testa appartenente alla maglia.

(Kadir, 1974) ha introdotto l’influenza della trave λT anche sulla rigidezza del

puntone:

[4.5-7]

In virtù di quanto definito, la relazione proposta per la valutazione della larghezza

del puntone equivalente bW è data dalla seguente:

[4.5-8]

In funzione degli stessi parametri λT e λP (Dawe & Seah, 1989) propongono:

[4.5-9]

Il modello di Bertoldi (Bertoldi, et al., 1993) è stato utilizzato anche per la definizione dei

criteri di resistenza in funzione dei diversi meccanismi di rottura dei pannelli di

muratura. L’approccio considera quattro differenti tipi di rottura:

1. Rotture per compressione al centro del pannello;

2. Rotture per compressione negli angoli del pannello;

3. Rotture per taglio-scorrimento del pannello;

4. Rotture per taglio-fessurazione diagonale del pannello.

A ognuno di questi meccanismi è associato un valore di resistenza σw considerata

costante sulla sezione trasversale del puntone:

Compressione al centro:

[4.5-10]

hKK

f

l

wvw

2

tan16.1

4

4

2

wTc

wmT

hlE

sentE

22

1

4

1

2Tp

wb

Tp

w

senb

cos

3

2


Compressione degli angoli:

[4.5-11]

Rottura per taglio-scorrimento:

[4.5-12]

Rottura per fessurazione diagonale:

[4.5-13]

Dove fwv, fwu, e fws sono i parametri di resistenza già definiti in precedenza e σv è la

tensione di compressione verticale dovuta ai carichi da gravità, nulla nel caso di pannelli

di tamponamento senza funzione portante.

Figura 4.5-8 - Meccanismi di rottura:

a)compressione al centro del pannello, b) compressione agli angoli del pannello;

c) taglio-scorrimento; d) taglio per fessurazione diagonale

88.0

2

12.0

1

cos12.1

hKhK

senfwvw

w

w

vwuw

d

b

fsen

3.0cos45.02.1

w

w

vwsw

d

b

f

3.06.0


E’ bene osservare che tutte le relazioni illustrate sono fortemente dipendenti dalle

caratteristiche meccaniche della tamponatura ma, soprattutto dallo stato di

fessurazione del pannello. Infatti, all’aumentare delle azioni orizzontali, la risposta non

lineare del pannello subisce delle variazioni in termini di rigidezza che non sono

simulabili con nessuna delle formulazioni finora descritte. Inoltre, la variabilità della

risposta è spesso non prevedibile per quel tipo di strutture esistenti in cui è presente

una scarsa propensione degli elementi del telaio a resistere a carichi sismici non previsti

in fase progettuale (Uva, et al., 2011).

Il modello proposto in (Crisafulli, et al., 1997) (Figura 4.5-13) ha lo scopo di

rappresentare il comportamento delle murature soggette a carichi assiali ed il pannello

murario è rappresentato da quattro bielle di muratura che possono reagire sia a

compressione che trazione. Nello specifico questo modello è schematizzato da quattro

puntoni e da due molle come mostra la Figura 4.5-9; i due puntoni paralleli portano le

forze di compressione/trazione, le molle invece portano il taglio dalla cima alla base del

pannello agendo esclusivamente attraverso la diagonale compressa e il suo

funzionamento inoltre dipende dalla deformazione del pannello. Infine il modello è

costituito da quattro nodi interni che rappresentano i punti di contatto fra telaio e

pannello.

Figura 4.5-9 - Schematizzazione del modello a due puntoni.

Per caratterizzare completamente il modello occorre definire diversi elementi quali:

1. Relazione isteretica per compressione/trazione dei puntoni;

2. Relazione isteretica per taglio dei puntoni;

3. Area del puntone A1

Questa è l’area del puntone equivalente definita come il prodotto dello spessore

del pannello murario per la larghezza equivalente del puntone diagonale bw che


normalmente varia tra il 10 ed il 40 % della lunghezza della diagonale del

pannello dm (Crisafulli, et al., 2010);

4. Area del puntone A2

Quest’area è sempre relativa allo stesso puntone ed è introdotta come percentuale di

A1; mira a tener conto del fatto che, a causa della fessurazione del pannello, la lunghezza

di contatto tra telaio e pannello di tamponamento diminuisce man mano che lo

spostamento laterale e, di conseguenza, quello assiale aumentano, influenzando in tal

modo l'area della biella equivalente. Si assume che l’area vari linearmente in funzione

della deformazione del pannello (Figura 4.5-10);

Figura 4.5-10 - Variazione dell'area dei puntoni in

muratura in funzione della deformazione assiale (Smyrou, 2006)

5. Separazione verticale tra i puntoni hz

Introdotto come percentuale dell’altezza verticale del pannello, esso

corrisponde alla distanza tra il nodo interno e quello fittizio denominato in

Figura 4.5-9 “dummy node”. Valori attendibili di questo parametro variano tra

1/3 ed ½ la lunghezza di contatto z;

6. Lunghezza di contatto z

La lunghezza di contatto z, (Smith, 1966), è definita mediante l’introduzione

della rigidezza relativa adimensionale λ:

[4.5-14]

Con:

[4.5-15]

4

4

2sin

wcc

wm

hIE

tE

2z


Con Ec Ic rigidezza flessionale delle colonne.

7. Dimensione X0 e Y0

Introdotti in termini percentuali rispetto alla dimensione verticale ed orizzontale

del pannello, corrispondono alla distanza che c’è tra l’asse della colonna/trave e

la faccia esterna del pannello;

8. Porzione di rigidezza assegnata al taglio γs

Rappresenta la porzione di rigidezza del pannello che dovrebbe essere assegnata

alla molla che modella il taglio per esplicare una reazione. In letteratura

(Crisafulli, et al., 1997) i valori consigliati variano tra 0.5 e 0.75;

La risposta a compressione/trazione della muratura è rappresentata da diversi cicli

isteretici che definiscono il comportamento della muratura per azioni di carico, scarico e

ricarico.

Figura 4.5-11 - Modello di Crisafulli per descrivere il

comportamento ciclico a compressione/trazione delle murature

Ogni tratto di curva (identificato in Figura 4.5-11 con un numero da 1 a 5) espresso in

(Crisafulli, et al., 1997) è stato descritto da una relazione matematica. La legge valida per

alcuni rami può rappresentare l’andamento di un ramo diverso. Un esempio è dato dal

ramo uno che si ritrova nella parte iniziale della curva (primo carico) e nella parte destra

(ultimo scarico) della Figura 4.5-11. Esso è definito dalla seguente relazione:

[4.5-16]

2

21

2

21

''21

'1

''

m

m

m

m

m

m

m

m

mm

AA

AA

ff


Dove f’m è la massima tensione e Ɛ’m la corrispondente deformazione. Le costanti A1 e A2

sono funzioni delle proprietà meccaniche dei materiali, come descritti nel seguito. Il

ramo decrescente della curva d’inviluppo può essere rappresentato da una curva

parabolica espressa come:

[4.5-17]

Tale espressione modifica la pendenza della curva di inviluppo, tuttavia la scelta del

modello spetta al progettista. Il modulo tangente Et, utilizzando le espressioni [4.5-16] e

[4.5-17] diventa rispettivamente:

[4.5-18]

[4.5-19]

Il coefficiente A1 , calcolato da Sargin et al. E riportato in (Crisafulli, et al., 1997),

assumendo che il modulo tangente Et è uguale al modulo iniziale Emo in corrispondenza

di Ɛm=0, diventa:

Il coefficiente >a2, il quale controlla l’abbassamento del ramo della curva, può essere

calcolato dalla seguente relazione:

2

'

'1'

mu

mmm ff

2'

''2

mu

mmt fE

22

21

2

2121

''21

'22

'12

'

'

m

m

m

m

m

m

m

m

m

mt

AA

AAAAf

E

'

'1

m

mmo

f

EA

u

mAA

'1 12


Figura 4.5-12 - Curva di inviluppo per il primo ramo in

accordo alle espressioni [4.5-16] e [4.5-17]

Lo legge dello scarico e ricarico nel modello Crisafulli, è assunta costante per tutti i rami.

Ipotizzando di conoscere i valori di E1 ed E2 (Figura 4.5-13), la relazione che lo governa è

la seguente:

Con:

Dove (Ɛ1,f1) e (Ɛ2,f2) sono rispettivamente le coordinate dei punti 1 e 2 (Figura 4.5-13) e χ

rappresenta la deformazione normalizzata che varia da 0 a 1. Il modulo tangente Et, è

espresso dalla seguente relazione:

Dove:

È il modulo secante definito tra i punti 1 e 2.

2

32

2

1

1211

BB

Bffffm

12

1

m

22

32

32

2

1

2

321

1

212

BB

BBBBBBEE st

12

12

ffEs


Figura 4.5-13 – Curva proposta in (Crisafulli, et al., 1997) per

rappresentare le curve di scarico e ricarico.

La curva di scarico-ricarico deve necessariamente soddisfare le seguenti condizioni:

Per Ɛm = Ɛ1 (χ = 0) fm = f1 ed Et = E1

Per Ɛm = Ɛ2 (χ = 1) fm = f2 ed Et = E2

Infine i parametri B1, B2 e B3 sono:

I parametri restanti per definire il modello sono:

1. Modulo elastico di Young iniziale Em

Questo parametro rappresenta la pendenza iniziale della curva tensione-

deformazione ed il suo valore mostra un ampia variazione. In letteratura sono

riportati diversi metodi per il suo calcolo, molti del quale lo relazionano alla

tensione di compressione del materiale ovvero:

[4.5-20]

m

mm

fE

2

0

sE

EB 1

1

312 BBB

12

3 12 BE

EB

s


Queste equazioni empiriche forniscono valori tra 400 fmθ < Em <1000 fmθ

(Crisafulli, et al., 1997);

2. Tensione di compressione fmθ

Questo è il parametro che principalmente controlla la resistenza del puntone e

deve essere distinto dalla tensione standard a compressione della muratura

poiché tiene conto dell’inclinazione della tensione principale di compressione ed

il modo di collasso atteso nel pannello murario. Il suo valore per pannelli murari

lunghi e corti è stimato rispettivamente tra 5,0 MPa e 3,5 MPa (Crisafulli, et al.,

2010); Tuttavia, come suggerito in (Crisafulli, et al., 2010) è possibile assumere il

valore minore tra la tensione massima di taglio per scorrimento[4.5-21] e la

tensione massima per fessurazione diagonale [4.5-22]:

[4.5-21]

[4.5-22]

3. Tensione di trazione ft

Questa rappresenta la tensione di trazione della muratura o la tensione di

adesione dell’interfaccia tra telaio e pannello murario. Generalmente è molto

bassa, tale da potersi ritenere trascurabile. (Crisafulli, et al., 2010) e (Varum,

2003) suggeriscono valori pari a 0,575 MPa.

4. Deformazione alla massima tensione Ɛm

Questa rappresenta la deformazione corrispondente alla massima tensione. Il

valore di 0,0012 mm/mm fornisce i migliori risultati (Crisafulli, et al., 2010);

sensenfm

*cos

*0

senCsen

ff

s

tbm

27.0cos

'


Figura 4.5-14 - Effetto del contatto locale

per la fessurazione dela muratura

5. Deformazione ultima del puntone Ɛult

Questo parametro è usato per controllare il ramo discendente della curva

tensione-deformazione, la quale è modellata con una parabola per ottenere il

migliore controllo della risposta del puntone. Il valore solitamente adottato è di

0,024 mm/mm (Crisafulli, et al., 2010);

6. Deformazione di chiusura Ɛc1

Questo parametro definisce la deformazione dopo la quale le fessure

parzialmente vicine consentono lo sviluppo delle tensioni di compressione. Per

ampi valori il suo effetto non è considerato nelle analisi, tuttavia i valori

solitamente adottati variano tra 0 e 0,003 mm/mm (Crisafulli, et al., 2010);

7. Deformazione riguardante la riduzione dell’area del puntone Ɛ1

Questo parametro rappresenta il punto in cui l’area del puntone inizia a

decrescere a causa dell’aumento di tensione non sopportabile dalla sezione e

quindi all’inizio della fessurazione; (Crisafulli, et al., 2010) suggerisce valori

compresi tra 0,0003 e 0,0008;

8. Deformazione riguardante l’area residua del puntone Ɛ2

Similmente ad Ɛ1 questo parametro rappresenta la deformazione corrispondente

all’area A2 ovvero in cui l’area del puntone si è ridotta passando da A1 ad A2;

(Crisafulli, et al., 2010) suggerisce valori compresi tra 0,0006 e 0,016.

La risposta isteretica del generico puntone compresso/teso è riportata in Figura 4.5-17.

Esso consente di tenere in considerazione l’effetto dell’apertura della chiusura ciclica

delle fessure a taglio, e i danni progressivi causati dai piccoli cicli d’isteresi (Morandi, et

al., 2011):


Figura 4.5-15 - Parametri associati alla curva di ricarico.

Figura 4.5-16 – Definizione del punto in cui cambia la curva di ricarico.

Figura 4.5-17 - Risposta isteretica del puntone di muratura.


Figura 4.5-18 - Inviluppo della risposta ciclica.

In aggiunta ai parametri meccanici prima citati, esistono altri nove fattori empirici

associati esclusivamente al ciclo di carico/scarico necessari per definire completamente

il modello, ovvero:

1. γun

Costante empirica che definisce il modulo di scarico in proporzione ad Em0 e

modifica i cicli interni, ma non dell’inviluppo:

[4.5-23]

Figura 4.5-19 - Curva tensione-deformazione per scarico.

mounun EE


2. αre

Esso preannuncia la deformazione al quale il ciclo raggiunge l’inviluppo dopo lo

scarico;

3. αch

Esso preannuncia la deformazione al quale la curva di ricarico ha un punto di

inflessione;

4. βa

Esso definisce un punto ausiliario usato per determinare la deformazione

plastica dopo lo scarico completo;

5. βch

Costante che definisce la tensione in cui si ha un punto d’inflessione della curva

di ricarico (Figura 4.5-15) secondo la relazione seguente:

[4.5-24]

Tale parametro varia tra 0.5 e 0.9 (Crisafulli, et al., 1997).

6. γplu

Costante empirica che definisce il modulo della curva d’isteresi (Figura 4.5-19),

quando la tensione è nulla dopo che si è verificato uno scarico completo delle

tensioni, in proporzione a Emo . Esso varia tra 0 ed 1 (Crisafulli, et al., 1997) :

[4.5-25]

Con e1 costante empirica che controlla l’influenza di Ɛun nella degradazione della

rigidezza. Se e1 =0, questa influenza è nulla, mentre all’aumentare di e1 l’effetto

della deformazione di scarico Ɛun nel modulo Epl,u è più significante. Valori

consigliati in (Crisafulli, et al., 1997) variano tra 1.5 e 2.0.

1

'1

, e

m

un

mounupl

EE

rechch ff


7. γplr

Esso definisce il modulo della curva di ricarico dopo lo scarico totale (Figura

4.5-15);

8. ex1

Esso controlla l’influenza di Ɛun nella degradazione della rigidezza;

9. ex2

Esso incrementa la deformazione dopo che è stata completata la curva

d’inviluppo al termine dello scarico e rappresenta per i diversi cicli ripetuti il

danno interno cumulativo; questo effetto è molto importante quando sono

presenti cicli consecutivi ripetuti dentro ulteriori cicli interni.

Valori suggeriti da Crisafulli (Crisafulli, et al., 2010) sono riportati in Tabella 4.5-2.

Tabella 4.5-2 - Parametri empirici usati da Crisafulli et al

La relazione ciclica a taglio del puntone equivalente di muratura per il modello Crisafulli

è espresso da un comportamento ciclico come in Figura 4.5-20. Crisafulli (Crisafulli, et

al., 1997) afferma che la tensione di taglio per i pannelli murari è calcolata

indipendentemente dal tipo di meccanismo di collasso (rottura per taglio-scorrimento,

fessurazione delle diagonali, rottura per compressione). Essa deriva dalla combinazione

di due meccanismi, una detta Tensione di adesione da taglio (Shear Bond Stress), l’altra

invece dalla Resistenza di attrito tra malta e mattone (Friction Resistence).


Figura 4.5-20 - Relazione ciclica da taglio proposta da Crisafulli.

La tensione di taglio può essere espressa come somma della tensione iniziale di

adesione da taglio τ0 più il prodotto del coefficiente di attrito μ per il valore assoluto

della forza di compressione perpendicolare all’asse longitudinale dei mattoni fn, in altre

parole:

se fn < 0:

[4.5-26]

se fn ≥ 0:

[4.5-27]

Quando è raggiunta la tensione di taglio, l’adesione tra malta e mattone svanisce

causando fessurazioni nella regione circostante. In questa fase, una parte del pannello

murario slitta e l’unico meccanismo attivo è l’attrito tra le parti. Conseguentemente la

tensione agente è:

se fn <0:

[4.5-28]

se fn ≥ 0:

[4.5-29]

Riepilogando, i parametri che governano il modello sono:

max0 nm f

0 m

max nm f

0m


1. Tensione di taglio di adesione τ0

2. Coefficiente di attrito μ

3. Massima tensione da taglio τmax

4. Fattore di riduzione del taglio αs

(Paulay & Priestley, 1992) et al suggeriscono per τ0 valori compresi tra 0,1 e 1,5 MPa, per

il coefficiente di attrito μ (Atkinson, et al., 1985) suggerisce valori tra 0,7 e 0,85, infine

per quanto riguarda la massima tensione τmax , Crisafulli (Crisafulli, et al., 1997)

suggerisce 1 MPa. Tuttavia la relazione che governa la tensione di taglio di adesione τ0

può essere assunta dalla seguente relazione:

[4.5-30]

Mentre il coefficiente di attrito:

[4.5-31]

Con b e d l’altezza e la larghezza rispettivamente del mattone. Il fattore di riduzione del

taglio rappresenta il rapporto della massima tensione di taglio e la tensione media

agente nel pannello; Crisafulli (Crisafulli, et al., 1997) suggerisce valori compresi tra 0,5 e

0,75.

Un ulteriore modello per schematizzare la Biella equivalente di muratura è quello

proposto da Perera (Perera, 2005). In questo caso il modello è espresso da una legge

non lineare, con isteresi e degradazione (pinching), basata sulla meccanica del

danneggiamento dei continui. In Figura 4.5-21 viene mostrato il concetto di

degradazione delle proprietà meccaniche: all’aumentare della deformazione si riduce

l’entità della forza massima lungo il cosiddetto ramo di softening, mentre il tratto di

ricarico presenta una pendenza minore rispetto al ramo di carico precedente. Una

trattazione di questo tipo è sicuramente molto precisa, ma richiede la definizione di

numerosi parametri, sul cui livello di conoscenza spesso pesa una notevole incertezza; in

Figura 4.5-22 si può apprezzare l’accordo fra i risultati di questa modellazione e i cicli di

isteresi ricavati per via sperimentale.

d

b21

* 00

d

b21

*


Figura 4.5-21 - Modello a bielle equivalenti:

Effetto pinching o di degrado della rigidezza nel processo di ricarico

Figura 4.5-22 - Confronto fra cicli di isteresi ricavati

per via sperimentale e risultati numerici

Un altro modello è quello proposto da Panagiotakos e Fardis (Panagiotakos & Fardis,

1996), basato su un puntone di muratura equivalente, con un comportamento isteretico

che tiene conto del degrado delle caratteristiche meccaniche sotto i carichi ciclici. La

skeleton curve che rappresenta tali relazioni definisce tre rami che si riferiscono ai

meccanismi che governano il comportamento della tamponatura: prima parte non

fessurata in cui è preponderante la resistenza a taglio, tratto post-fessurazione in cui

prevalgono le compressioni, parte finale di softening in cui viene meno la resistenza del

pannello; è considerata nulla la resistenza a trazione dell’elemento.


Figura 4.5-23 - Legame di Panagiotakos e Fardis per una tamponatura.

I parametri che, in base alle caratteristiche della muratura, definiscono i tre rami della

curva nella fase di compressione sono:

1. Rigidezza iniziale del tratto non fessurato

R1=Gw tw lw/hw [4.5-32]

2. Carico di fessurazione

Fy = fws tw lw [4.5-33]

3. Rigidezza secante del secondo tratto

R2 = Ew tw bw [4.5-34]

4. Carico Massimo

Fm = 1.2Fy [4.5-35]

5. Rigidezza del tratto di softening

R3 = (0.01 0.10) R1 [4.5-36]

(la percentuale di rigidezza residua del ramo di softening è da valutare in base alle

caratteristiche di duttilità della muratura in esame)

6. Carico residuo dopo la rottura

Fu = 0.1Fy [4.5-37]


In cui bw è la larghezza del puntone equivalente valutabile con la formula di Klinger e

Bertero:

[4.5-38]

essendo:

Gw modulo di taglio della muratura secondo la compressione diagonale;

Ew modulo di Young della muratura secondo la compressione diagonale;

Ec modulo di Young delle colonne adiacenti al pannello murario;

Ic Momento d’inerzia delle colonne adiacenti al pannello murario;

fws resistenza a taglio secondo la prova di compressione diagonale;

tw spessore del paramento murario;

lw lunghezza del paramento murario;

hw altezza del paramento murario;

λ rigidezza relativa tra pannello murario e telaio adiacente;

θ Angolo tra la diagonale (puntone) e l’asse orizzontale della trave;

Modellazione delle aperture nei pannelli murari 4.5.3

La presenza di aperture nei pannelli murari costituisce un importante fonte d’incertezza

nella valutazione del comportamento delle murature confinate.

Diversi autori hanno investigato l’influenza delle aperture sulla resistenza e rigidezza di

queste tipologie strutturali e i risultati sono molteplici in funzione della dimensione

dell’apertura e soprattutto della posizione all’interno del pannello murario.

Secondo Sortis (Sortis, et al., 1999) la presenza delle aperture modifica il

comportamento strutturale dei pannelli murari riducendo la rigidezza e la resistenza.

Inoltre le aperture fanno decrescere il carico corrispondente all’inizio della fessurazione

con uno sviluppo prematuro delle fessurazioni a causa della concentrazione delle

tensioni nei bordi delle aperture.

Benjamin e Williams (Benjamin & Williams, 1958) misurarono una riduzione della

resistenza ultima, nelle murature confinate con aperture collocate al centro del pannello

e dimensione pari ad 1/3 di esso, pari al 50%.

wwww thhb 22175.0

4

4

2

wcc

ww

hlE

sentE


Fiorato et al (Fiorato, et al., 1970) affermarono che la resistenza, di un telaio rivestito

con pannello murario, non è proporzionale alla riduzione dell’area della sezione

trasversale del pannello murario stesso per causa delle aperture. Nelle loro prove, fu

dimostrato che aperture tali da ridurre l’area della sezione trasversale orizzontale di un

pannello murario del 50%, comportavano una riduzione della resistenza di circa il 20-

28%.

Coull, come citato in (Mallick, 1971) misurò la variazione della rigidezza laterale per

effetto delle aperture in funzione della loro posizione, su murature confinate aventi le

aperture con e senza rinforzo. Queste aperture riducevano la rigidezza e la resistenza dei

telai rivestiti da pannelli murari di circa il 60-70%, mentre una riduzione del 45% per soli

pannelli murari. Il collasso avveniva a causa della rottura di uno dei nodi del pannello,

con diverse fessurazioni prima del collasso. Tuttavia il valore della rigidezza laterale

basato sulla teoria di Holmes [1961] e Smith [1962] differiva dalle prove sperimentali del

300 % (Asteris & ASCE, [2003]).

Mallick e Garg (Mallick, 1971) valutarono gli effetti della posizione delle aperture per

telai rivestiti con pannelli murari con e senza connettori di taglio. Per la prima tipologia,

per un apertura collocata lungo la diagonale del pannello murario senza connettori, la

resistenza laterale si riduceva circa del 75% e la rigidezza laterale dell’85-90% circa. Per

quanto riguarda la seconda tipologia, ovvero i telai rivestiti da pannelli murari con

connettori da taglio, le presenza delle aperture in corrispondenza delle diagonali,

riduceva la rigidezza del 60-70% in confronto ad un telaio simile senza aperture.

Liauw e Lee (Liauw, 1977) e Liaw (Liauw, 1979) affermarono che la presenza delle

aperture non influenzava la rigidezza dei telai rivestiti con pannelli murari in maniera

rilevante e lo stesso affermarono Dawe e Young (Dawe & T.C., 1985).

Utku (Utku, 1980) valutò l’effetto che produceva una singola apertura, modificandone

posizione, area e forma, sulla resistenza e rigidezza di diversi pannelli murari sottoposti a

un evento sismico. I pannelli furono analizzati assumendo un materiale dal

comportamento elastico lineare e isotropo, assumendo le piccole deformazioni ed infine

studiando il problema alle tensioni piane. Si osservò che: (1) Il fattore di scala massimo

delle tensioni cresce all’aumentare della percentuale delle aperture; (2) Il fattore di scala

massimo aumenta quando le aperture si dispongono verso l’alto; (3) Il fattore di scala

massimo aumenta in maniera proporzionale alle aperture da 1/1 a 2/1 (Asteris & ASCE,

[2003]).


Thiruvengadam (Thiruvengadam H., 1980) per simulare la presenza di aperture in un

pannello murario, propose di usare diversi puntoni disposti in direzione diagonale

(Figura 4.5-24). Similmente, Hamburg (Hamgurg, 1993) propose un’ulteriore

configurazione di questi puntoni (Figura 4.5-25), ma una valutazione dettagliata era

piuttosto complicata.

Figura 4.5-24 - Formulazione dei puntoni attorno le aperture:

a) posizione delle aperture, b) puntoni per pannelli murari monolitici,

c) puntoni per pannelli murari per separazioni [Thiruvengadam, 1985]

Figura 4.5-25 - Puntoni equivalenti nei pannelli

murari con aperture [Hamburg, 1993]

Un lavoro analitico rappresentativo dell’influenza delle aperture sulla rigidezza elastica

dei pannelli murari fu presentato da Giannakas et al (Giannakas A., 1987) nel quale si

affermò che le aperture riducevano la rigidezza dei telai rivestiti con pannelli murari del

70-80% per aperture pari al 20-30% la dimensione del pannello. Assumendo un


materiale isotropo, elastico lineare ed omogeneo, Giannakas et al osservarono che

l’effetto della posizione delle aperture su un pannello murario era insignificante.

Papia (Papia, 1988) provò a stimare la perdita di rigidezza che s’instaurava in un telaio

rivestito da pannelli murari, a causa di aperture collocate al centro del pannello. Egli

utilizzò alcuni elementi finiti di tipo beam in regime elastico per discretizzare il contorno

del telaio, ed alcuni elementi di tipo shell per modellare il pannello murario. Infine egli

propose una riduzione lineare approssimata della rigidezza per diversi intervalli tra le

dimensioni del pannello murario e le dimensioni delle aperture.

Bertoldi et al (Bertoldi, et al., 1994) proposero una serie di espressioni per calcolare un

particolare coefficiente detto “di riduzione” indicato con rac. I parametri che usarono per

caratterizzare la riduzione di resistenza e rigidezza del pannello murario a causa delle

aperture furono il rapporto tra l’area delle aperture e l’area del pannello (Aa), il rapporto

tra la larghezza delle aperture e la larghezza del pannello (Ac) ed il tipo di apertura con e

senza rinforzo. In particolare le condizioni critiche per un pannello murario a causa della

presenza delle aperture erano: (Sortis, et al., 1999):

[4.5-39]

[4.5-40]

Nel caso di aperture in assenza di rinforzo, il coefficiente rac era dato dalla seguente

espressione:

[4.5-41]

Effettuando alcuni test sperimentali utilizzando un modello agli elementi finiti Bertoldi et

al (Bertoldi, et al., 1994), riuscirono a calcolare la larghezza del puntone diagonale della

muratura in presenza ed in assenza di aperture.

Mosalam et al (Mosalam, et al., 1997) affermarono che le aperture nei telai rivestiti con

i pannelli murari, comportano una resistenza iniziale più bassa ed un comportamento

duttile maggiore della struttura rispetto agli stessi telai senza le aperture. In particolare

per una riduzione dell’area della sezione trasversale pari al 17%, la resistenza massima

del telaio con pannelli murari avente delle finestre con disposizione simmetrica, risultò

quasi uguale a quella di uno stesso telaio senza le aperture, mentre la presenza di una

porta portò una riduzione della resistenza del 20%. Infine osservarono un cambiamento

%25% aA

%40% cA

193.078.0ln762.0ln322.0

ca AA

ac eer


del tipo di fessurazione, in quanto negli angoli tendevano a formarsi delle aperture,

propagandosi attraverso i nodi sottoposti alle azioni di sollecitazione.

Asteris (Asteris & ASCE, [2003]) analizzò il comportamento di un telaio ad un piano ad

unica campata rivestito da un pannello murario sottoposto ad un carico laterale (Figura

4.5-26). Egli propose un fattore di riduzione della rigidezza dei puntoni di muratura, al

fine di risalire alla larghezza equivalente del puntone diagonale compresso, valutando

anche gli effetti che provocavano le eventuali aperture, in funzione della loro posizione e

dimensione percentuale (Figura 4.5-27).

Figura 4.5-26 - Telaio ad un piano ad unica campata

usato da (Asteris 2003) per le analisi


Figura 4.5-27 - Tipologia di apertura analizzata in funzione della

dimensione e posizione; in figura sono evidenziati i diversi punti di contatto tra telaio e pannello murario per ciascuna analisi (Asteris & ASCE, [2003])

Per risalire alla reale risposta del sistema strutturale Asteris (Asteris, 2003) propose una

nuova tecnica agli elementi finiti basata sui punti di contatto tra il telaio ed il pannello

murario, in funzione della tipologia di apertura.


Figura 4.5-28 - Schematizzazione della mesh per evidenziare

i punti di contatto tra telaio e pannello murario (Asteris & ASCE, [2003])

L’analisi fu effettuata in campo elastico applicando alla struttura un carico laterale

monotono pari a 30 [kN]. In funzione della tipologia di apertura, dimensione e posizione,

fu analizzato il fattore di riduzione della rigidezza λ per i seguenti casi di studio:

1. Presenza (o no) delle aperture nei pannelli murari;

2. Percentuale delle aperture (area delle aperture/area totale pannello) pari al

4.00, 9.00, 16.00 e 25.00%;

3. Posizione delle aperture rispetto alla diagonale compressa:

Caso A: aperture sotto la diagonale compressa;

Caso B: aperture sulla diagonale compressa;

Caso C: aperture sopra la diagonale compressa.

Dai risultati si constatò che il valore più alto della riduzione di rigidezza λ avveniva

quando l’apertura si trovava in corrispondenza della diagonale compressa. Attraverso


questi risultati, fu possibile migliorare la stima della larghezza equivalente del puntone

diagonale compresso, indicato in Figura 4.5-6 con bw .

Asteris in accordo con Mainstone (Mainstone, 1971) suggerisce la seguente espressione

per il calcolo di bw:

[4.5-42]

Con λ = fattore di riduzione della rigidezza, (Figura 4.5-30, Figura 4.5-31) e

[4.5-43]

dove Eb, t e h sono rispettivamente il modulo elastico, lo spessore e l’altezza della

muratura. Es e I sono invece il modulo di Young ed il momento di inerzia degli elementi

che circondano il pannello murario, infine θ rappresenta l’angolo tra la diagonale

compressa (puntone) e l’asse orizzontale.

La larghezza del puntone equivalente di muratura in seguito alle aperture, e quindi

ridotta, può essere valutata secondo la relazione di Al Chaar (Al-Chaar, 2002):

[4.5-44]

Dove (R1)j è il fattore di riduzione che tiene conto delle aperture nei pannelli perforati,

mentre (R2)j è il fattore di riduzione che tine conto del livello di danneggiamento del

pannello murario. Essi sono definiti dalle seguenti relazioni:

[4.5-45]

Da quest’ultima equazione si nota che se l’area delle aperture è maggiore o uguale al

60% dell’area del pannello murario, allora l’effetto della tamponatura dovrebbe essere

trascurato, per cui (R1)j = 0. Indicando con h l’altezza del pannello e con t lo spessore si

ha:

4.0175.0/

hdb ww

4

4

2

IhE

sentEhh

s

b

jjredw RRab 21,

16.16.0

2

1

panel

open

panel

open

jA

A

A

AR


Figura 4.5-29 - CLassificazione del livello di danno nel pannello (Al-Chaar, 2002)


Figura 4.5-30 - Fattore della riduzione di rigidezza λ per

telai rivestiti da pannelli murari in relazione alla percentuale di apertura

(Caso B: Aperture sulla diagonale compressa) (Asteris & ASCE, [2003])

Figura 4.5-31 - Fattore della riduzione di rigidezza λ per

telai rivestiti da pannelli murari in relazione alla percentuale di apertura per differenti posizioni delle aperture (Asteris & ASCE, [2003])

Sempre in (Asteris & ASCE, [2003]) fu analizzato ulteriormente il comportamento di un

complesso strutturale a tre piani ad unica campata variando la disposizione delle

aperture. In particolare furono affrontati quattro casi (Figura 4.5-32):

1. Sistema strutturale senza aperture;

2. Sistema strutturale avente un’apertura al piano terra;

3. Sistema strutturale avente un’apertura al secondo piano;

4. Sistema strutturale avente aperture per tutti i piani (telaio nudo);


Figura 4.5-32 – Tipologia di aperture studiate in (Asteris & ASCE, [2003])

In seguito ai risultati ottenuti, si asserì che:

1. In accordo con diversi autori (Tassios, 1984), la presenza dei pannelli murari

comporta nel caso A1 e A3 il decremento delle forze di taglio agente sulle

colonne del telaio, poiché una parte considerabile della forza sismica viene

assorbita dal cosiddetto pannello murario “non strutturale”;

2. Nel caso A2 le forze di taglio agenti sulle colonne sono molto più alte di quelle

ottenute dall’analisi del telaio nudo;

3. La presenza di un piano soffice, come nel caso A2, comporta nelle colonne di

questo piano un cambiamento sostanziale delle forze di taglio agenti. L’effetto

di questa azione potrebbe essere particolarmente importante per le colonne

sopravento, dove si instaurano delle tensioni aggiuntive e di conseguenza il

taglio potrebbe produrre delle conseguenze catastrofiche.


Infine in accordo con i risultati ottenuti da Buonapane et al (Buonopane & White,

[1999]) si costatò che i diversi metodi generali per misurare la resistenza di taglio

trascuravano l’interazione tra pannello/telaio sottostimando la resistenza di taglio; il

taglio agente in cima alle colonne della struttura presentava un valore superiore rispetto

a quello ottenuto alla base di ciascun piano, evidenziando qualche volta un

cambiamento di segno delle forze di taglio Figura 4.5-33.

Figura 4.5-33 - Diagramma delle forze di taglio per le colonne sopravento di un telaio rivestito da pannelli

murari costituito da tre piani ed una campata (Asteris & ASCE, [2003])

142 CAPITOLO 5 - Definizione del caso di studio

CAPITOLO 5 - Definizione del caso di studio

5.1 Introduzione

Il caso di studio descritto nel seguito è stato individuato in (D'Amore, 2007). Il sistema

strutturale scelto rientra tra le opere utilizzate in Italia per la ricostruzione delle aree

colpite dal terremoto di Messina e Reggio Calabria del 1908. Si tratta di un sistema

strutturale misto muratura-calcestruzzo armato nel quale la struttura intelaiata in c.a.

contribuisce alla resistenza delle azioni orizzontali e al confinamento delle murature

semplici. Nonostante che le modalità costruttive di queste strutture non fossero indicate

dalle normative, la loro realizzazione prevedeva la costruzione delle pareti in muratura

prima del getto delle strutture in c.a., in modo da utilizzare la muratura come

cassaforma permanente. I sistemi misti muratura-cemento armato, utilizzati in Italia per

la ricostruzione delle aree colpite dal terremoto di Messina e Reggio

Calabria del 1908, costituiscono il primo esempio di strutture in muratura confinata con

funzioni sismo-resistente, sistema che troverà ampia diffusione in tutte le zone sismiche

del Sud America e dell’America Centrale (D’Amore 1989; D’Amore, De Canini 1992,

1994). La Figura 5.1-1 mostra diversi edifici in muratura intelaiata situati a Messina

(Italia), da cui si osserva l’identica conformazione strutturale di numerosi immobili, a

ulteriore conferma della diffusione che ha avuto questa tipologia strutturale a partire dal

1909. La muratura confinata o intelaiata (Figura 5.1-2) costituisce una tipologia

strutturale resistente molto differente rispetto alla muratura convenzionale (senza

cordoli verticali); l’intelaiatura, infatti, conferisce duttilità alla risposta sismica dei

pannelli poiché ne mantiene l’integrità strutturale permettendo elevate deformazioni

anelastiche e consente lo sviluppo di meccanismi resistenti non possibili nelle murature

semplici (D'Amore, 2007).

143

Figura 5.1-1 - Edifici in muratura situati a Messina. In basso a destra è riportato un particolare della muratura

144

Figura 5.1-2 – Fasi costruttive della muratura intelaiata (D'Amore, 2007).

Si ricorda che la collaborazione tra muratura e intelaiatura in c.a. è rilevante proprio per

le modalità di esecuzione di queste strutture; infatti, a differenza dei telai in cemento

armato tamponati (costruiti in due tempi: telaio e tamponature), l’intelaiatura e la

muratura di un edificio in muratura confinata vengono realizzati contemporaneamente

(Figura 5.1-2); ciò consente di ridurre la possibilità di separazione tra gli elementi

durante la sollecitazione sismica e di aumentare notevolmente l’attrito tra muratura ed

intelaiatura e quindi la mutua azione tra gli elementi.

La valutazione della vulnerabilità sismica delle costruzioni richiede informazioni sul

sistema costruttivo da verificare, sulla geometria delle opere e sulle caratteristiche

meccaniche ed elastiche dei materiali. Si tratta di dati reperibili con onerose campagne

d’indagini da condursi su ogni singolo edificio da analizzare.

Il modello (oggetto di studio) si attiene a quello proposto in (D'Amore, 2007) il quale

deriva da indagini effettuate su un’ampia popolazione di edifici individuando delle

“classi” di strutture accomunate dal medesimo sistema costruttivo e da rilevanti

similitudini strutturali. E’ stato possibile approfondire lo studio analitico e sperimentale

del modello, per poi valutare, con ulteriori informazioni aggiuntive, l’affidabilità sismica

mediante la costruzione delle Curve di fragilità. In particolare, del modello, è stato

analizzato il comportamento di una singola parete muraria in direzione x eseguendo una

modellazione mediante il software Seismostruct v.5.2.2.

145

5.2 Descrizione degli edifici analizzati

In (D'Amore, 2007) è stata condotta un’indagine su un campione di 11 edifici ricadenti

all’interno di una zona della città di Reggio Calabria (zone limitrofe della Via De Nava)

per definire un “caso di studio” rappresentativo di un’ampia classe di edifici civili in M.I.

progettati e realizzati secondo le norme del tempo.

Figura 5.2-1 - Individuazione della zona di studio

Dall’analisi è emerso che i fabbricati sono tutti composti da due piani fuori terra; le

pareti perimetrali del pian terreno sono costruite in mattoni pieni o con blocchi di

laterizi; tutte le altre con blocchi forati di cemento o di laterizi forati della grossezza

risultante dal progetto. L’altezza d’interpiano in tutti i casi esaminati è pari a 3.90 m per

il piano terra e 3.80 m per il primo piano. Le strutture portanti verticali per il primo

piano sono costituite da montanti in cemento armato (40 x 40) posti a una distanza non

superiore ai 5 m e per il primo II da montanti (30 x 30) in prosecuzione ai primi. Detti

pilastri allineati nelle sezioni trasversali e longitudinali, sono collegati da travi orizzontali

disposte su tre piani e rispettivamente costituenti: il telaio di base, il telaio di

marcapiano e il telaio di sommità.

Le figure successive mostrano alcuni particolari dell’armatura disposta nelle travi di

collegamento di alcuni edifici oggetti di studio.

146

Figura 5.2-2 - Trave del primo piano.

Figura 5.2-3 - Trave di copertura.

Figura 5.2-4 - Trave di fondazione.

147

5.3 Caratteristiche del caso di studio analizzato

L’edificio di riferimento proposto come caso di studio, è riportato in (Figura 5.3-1). Esso

presenta due elevazioni con pianta a sezione rettangolare i cui lati hanno lunghezze di

22,84 m e 11,77 m; la copertura è stata considerata piana non accessibile per cui non

sono stati aggiunti carichi in copertura dovuti all’eventuale presenza della terrazza.

L’indice dei pieni murari (ix e iy), espresso come il rapporto tra l’area dei maschi murari in

direzione x e y e l’area dell’impalcato, è stato assunto pari al valor medio meno una

deviazione standard, μ-σ, l’indice di trasparenza (it), pari al rapporto tra l’area dei vuoti

di ciascuna parete e l’area complessiva della stessa parete, è pari al valor medio

maggiorato della deviazione standard, μ+σ. Le percentuali d’armatura di travi e pilastri

rappresentano i valori medi del campione disponibile.

Figura 5.3-1 – Pianta al piano tipo e parete muraria

proposta come caso di studio

148

Figura 5.3-2 - Telaio analizzato

Proprietà dei materiali 5.3.1

Sulla base delle indagini in situ disponibili si assume per il cls una resistenza

caratteristica Rck=1.2 kN/cm2 quindi una resistenza cilindrica a compressione

fck=1kN/cm2, una resistenza a trazione di 0.05 kN/cm2, modulo elastico iniziale E0 pari a

2000 kN/cm2, coefficiente di Poisson υ = 0.2 , deformazione ultima limitata al 3%o , una

deformazione alla massima tensione Ɛm di 0.002219 ed un peso specifico di 25kN/m3.

Per le murature di mattoni pieni al primo piano si è assunto un valore della resistenza a

compressione pari a 0.4 kN/cm2 e pari a 0.01 kN/cm2 a trazione, un modulo elastico E0 di

400 kN/cm2, uno spessore della muratura di 30 cm e un peso specifico di 10kN/m3. Le

murature in mattoni forati al II piano sono state modellate assumendo una resistenza a

trazione di 0.01 kN/cm2 e una resistenza a compressione di 0.2 kN/cm2, un modulo

elastico Emu pari a 300 kN/cm2 , uno spessore della muratura di 22 cm e peso specifico di

10kN/m3. Per i mattoni pieni si è assunta un’altezza di 3 cm una larghezza di 22 cm ed

uno spessore di 7.5 cm aventi una resistenza a compressione pari a 2.62 kN/cm2 e pari a

0.28 kN/cm2 a trazione ed un modulo elastico Em di 1298 kN/cm2.

Per l’acciaio degli elementi in c.a. si assume un comportamento elasto-plastico con

tensione di snervamento pari a 24 kN/cm2, modulo di elasticità Es di 200.000 MPa, una

deformazione ultima Ɛu di 0.253 ed peso specifico di 78kN/m3.

149

Le principali caratteristiche del caso di studio proposto sono:

B [m] 22.83

L [m] 11.77

A [m] 287.87

H1 [m] 3.90

H2[m] 3.80

Px [m] 4.34

Py [m] 4.35

ix = μx - σx [%] Piano 1 5.75

Piano 2 4.31

iy = μy - σy [%] Piano 1 5.56

Piano 2 2.01

it = μx + σx [%] Piano 1 15.19

Piano 2 16.67

it = μy + σy [%] Piano 1 13.14

Piano 2 13.49 Tabella 5.3-1 - Caratteristiche principali del caso

di studio proposto

Le caratteristiche geometriche della parete muraria studiata sono:

Trave Sezione Dimensioni B X H [cm]

Zona tensionale

Ferri Area ferri [cm²]

Copertura

Mediana 30 X 35 Tesa 3φ18 7.63

Compressa 2φ14 3.07

Incastro 30 X 45 Tesa 2φ18 + 2φ14 8.16

Compressa 1φ18 + 2φ14 3.54

Piano 1


Compressa 2φ14 3.07

Incastro 40 X 70 Tesa 2φ25 + 2φ14 8.16


Piano 2



Incastro 40 X 75 Tesa 2φ18+2φ12+2φ14+2φ16 8.16

Compressa 2φ16 3.54 Tabella 5.3-2 - Caratteristiche geometriche delle travi e armatura

Pilastri piano I 40 X 40 Af = A’f 2φ25 981.25

Pilastri piano II 30 X 30 Af = A’f 2φ18 508.68

150

Carichi agenti 5.3.2

Si analizzano dunque i carichi permanenti gravanti sulla struttura in esame:

1. Solaio di piano e di copertura:

Peso proprio del solaio 250 kg/m²

Peso del pavimento e del massetto 110 kg/m²

Peso dell'intonaco 30 kg/m²

Peso dei tramezzi 100 kg/m²

Peso delle travi secondarie 74 kg/m²

TOTALE Gsolaio 564 kg/m² Tabella 5.3-3 - Carichi verticali agenti

Il carico accidentale qk è fornito dalle NTC08 nella misura di 2,00 kN/m2 per ambienti non suscettibili di affollamento. In copertura si considera solo il carico da manutenzione qk=0,50 kN/m2.

2. Tamponature

Si sono considerati tamponamenti esterni con spessore totale di 30 cm aventi le

seguenti caratteristiche:

Carichi permanenti

Intonaco esterno g1 0,60 kN/m2

Blocco in laterizio g2 5,00 kN/m2

Intonaco grezzo g3 0,40 kN/m2

Intonaco interno g6 0,40 kN/m2

Totale Gtamp 6,40 kN/m2 Tabella 5.3-4 - Analisi dei carichi delle tamponature

3. Travi

Per il peso proprio delle travi si è assunto un peso specifico del c.a. pari a 25 KN/m3.

Carichi permanenti

Piano I (55 X 40) g 5.50 kN/m

Piano II (35 X 30) g 2.63 kN/m Tabella 5.3-5 - Analisi dei carichi delle travi

151

4. Pilastri

Per il peso proprio dei pilastri si è assunto un peso specifico del c.a. pari a 25 KN/m3.

Carichi permanenti

Piano I (40 X 40) g 4.00 kN/m

Piano II (30 X 30) g 2.25 kN/m Tabella 5.3-6 - Analisi dei carichi dei Pilastri

Si riportano di seguito i carichi unitari agenti:

Primo livello Copertura

Solaio 5,64 kN/m2 5,64 kN/m2

Totale Permanenti strutturali (G1) 5,64 kN/m2 5,64 kN/m2

Intonaco esterno 0,60 kN/m2 0,60 kN/m2

Blocco in laterizio 5,00 kN/m2

Intonaco grezzo 0,40 kN/m2

Intonaco interno 0,40 kN/m2

Totale Permanenti non strutturali (G2) 6,40 kN/m2 0,60 kN/m2

Carichi variabili d’esercizio (Qk1)

Cat. A ambienti ad uso residenziale 2,00 kN/m2 0,5 kN/m2

Carichi combinazione sismica

12.64 kN/m2 6,39 kN/m2

Tabella 5.3-7 - Riepilogo dei carichi unitari

152

Analisi dei carichi sulle travi

Il valore del carico unitario spettante a ciascuna trave vale:

qt = CG · i

Dove CG è il valore totale dei carichi gravitazionali relativi alla combinazione sismica,

calcolato in precedenza, mentre i è la larghezza della fascia di solaio spettante ad ogni

trave. Si ricava:

Travi longitudinali 1A – 1B – 1C – 1D – 1E – 1F

Trave i Primo livello Copertura

1A 2,10 25.54 kN/m 13.42 kN/m

1B 4,56 57.64 kN/m 29.14 kN/m

1C 4,56 57.64 kN/m 29.14 kN/m

1D 4,56 57.64 kN/m 29.14 kN/m

1E 4,56 57.64 kN/m 29.14 kN/m

1F 2,10 25.54 kN/m 13.42 kN/m Tabella 5.3-8 - Carichi agenti sulle travi

153

Calcolo dei pesi sismici:

La normativa prescrive di determinare i pesi sismici sommando ai carichi permanenti Gk

le azioni variabili Qk ridotte mediante il coefficiente di combinazione dell’azione variabile

Ψ2j. Gli effetti dell’azione sismica saranno valutati in relazione alle masse associate ai

seguenti carichi gravitazionali:

[5.3-1]

con:

G1 carichi permanenti da peso proprio;

G2 sovraccarichi permanenti;

Ψ2j coefficienti di combinazione pari a 0.3 ;

Qkj carichi variabili.

Incidenza solaio

Il peso proprio del solaio per il primo e secondo livello è di 5.64 kN/m2, cui si deve

aggiungere il carico accidentale Qk = 2,00 kN/m2 per ambienti a uso residenziale ridotto

attraverso il coefficiente di combinazione dell’azione variabile Ψ2j per il primo livello,

mentre 0,50 kN/m2 per la copertura. Pertanto: 1° livello: wsolaio = Gsolaio + Ψ2j · Qsolaio = 6,24 kN/m2

Ssolaio = 287.87 m2

2° livello: wsolaio = Gsolaio + Ψ2j · Qsolaio = 5,79 kN/m2

Ssolaio = 287.87 m2

Incidenza tamponature

Il peso proprio della tamponatura è Gtamp= 6,40 kN/m2 . Considerando un 25% in meno di

peso per la presenza dei vuoti (porte e finestre), che l’interpiano è pari a 3,90 m per il

primo livello e 3,80 m per il secondo livello e decurtando l’altezza delle travi, si ha:

1° livello: Itamp = 75% di

55,0

2

8,39,340,6 75% di 24,09 =18,07 kN/m

2° livello: Itamp = 75% di

35,0

2

8,340,6 75% di 11,81 =8,86 kN/m

Sviluppo tamponature = ƩIi = 6 · 11,77 + 4 · 22,83 =161,94 m

j

kjjQGGW 221

154

Incidenza travi 1° livello: Itravi = 5,50 kN/m Sviluppo travi = (6 · 11,77 + 4 · 22,83) - (0,40 · 24) = 152,34 m

2° livello: Itravi = 2,63 kN/m Sviluppo travi = (6 · 11,77 + 4 · 22,83) - (0,30 · 24) = 154,74 m

Incidenza pilastri 1° livello: Ipilastri = (0,40 · 0,40) · 25 = 4,00 kN/m 2° livello: Ipilastri = (0,30 · 0,30) · 25 = 2,25 kN/m Peso sismico del 1° livello:

Solaio Wsolaio=Ssolaio · wsolaio = 287,87 · 6,24 = 1796,31 kN 1796,31 kN

Tamponature Wtamponature=Itamp · ƩIi = 18,07 · 161,94 = 2926,26 kN 2926,26 kN

Travi Wtravi=Itravi · ƩIi = 5,50 · 152,34 = 837,87 kN 837,87 kN

Pilastri Wpilastri=npilastri · ƩIpilastri · hpil = 24 · 4,00 · 3,9 = 374,4 kN 374,40 kN

TOT 5934,84 kN

Peso sismico del 2° livello:

Solaio Wsolaio=Ssolaio · wsolaio = 287,87 · 5,79 = 1666,77 kN 1666,77 kN

Tamponature Wtamponature=Itamp · ƩIi = 8,86 · 161,94 = 1434,79 kN 1434,79 kN

Travi Wtravi=Itravi · ƩIi = 2,63 · 154,74 = 406,97 kN 406,97 kN

Pilastri Wpilastri=npilastri · ƩIpilastri · hpil = 24 · 2,25 · 1,9 = 102,6 kN 102,60 kN

TOT 3611,13 kN

Il peso sismico totale della struttura W è di 9545,97 kN. Si è assunto un peso sismico nel

telaio in esame di 9545,97/6 ovvero 1591 kN.

Nel telaio oggetto di studio, è stato applicato a ciascun nodo del primo e del secondo

piano 1/6 del peso sismico totale di ciascun livello, in altre parole (5934.84 kN/6)

applicato ai nodi del primo livello e (3611,13 kN /6) ai nodi del secondo livello.

155

5.4 Modellazione agli elementi finiti

La modellazione strutturale consente di individuare gli schemi statici che permettono di

simulare il reale comportamento della struttura. Essa consiste in un insieme di

operazioni tali da trasformare il problema fisico reale in un problema puramente

matematico. La modellazione del caso di studio è stata eseguita mediante l’ausilio del

software SeismoStruct e tutti gli elementi della struttura sono stati modellati

automaticamente agli elementi finiti dal programma. Di seguito sono riportate nel

dettaglio le sue assunzioni.

Modellazione non-lineare del calcestruzzo 5.4.1

Il calcestruzzo adottato per le sezioni delle travi e dei pilastri è quello proposto da

Mander, Priestley e Park (Mander, et al., 1988). Per il nucleo della sezione è stato scelto

un calcestruzzo confinato mentre per il copriferro è stato adottato un calcestruzzo non

confinato. Il modello del calcestruzzo, indicato in SeismoStruct con la sigla (con_ma), è

riportato in Figura 5.4-1.

Figura 5.4-1 - Modellazione del calcestruzzo in SeismoStruct- Mander et al.

Per la calibrazione del modello in SeismoStruct sono stati definiti i seguenti parametri

caratteristici: Massima tensione di compressione cilindrica fco = 10MPa, deformazione

corrispondente alla massima tensione Ɛco = 0.002219, tensione di trazione ft = 0.5MPa,

peso specifico γ = 25 kN/m3, rapporto di confinamento (riportato nel § 0) kc = 1.

156

Modellazione non-lineare delle barre di armatura 5.4.2

Per l’acciaio degli elementi in c.a. si è scelto (dai legami costitutivi proposti da

SeismoStruct) il modello proposto da Menegotto e Pinto (Figura 5.4-2) (Menegotto &

Pinto, 1973). I parametri utilizzati sono il modulo di Young E = 200000 MPa, la tensione

di snervamento fyk = 240MPa, parametro d’incrudimento tensionale μ=0.00249,

deformazione ultima

Ɛult = 0.253 e peso specifico γ =78 kN/m3.

Figura 5.4-2 - Modellazione dell'acciaio in SeismoStruct

157

Modellazione a fibre degli elementi trave e colonne 5.4.3

Gli elementi finiti adottati per schematizzare le travi e le colonne, sono stati quelli di tipo

“beam-column”. Al fine di indagare sul comportamento non lineare della struttura per

le analisi in campo non lineare tutte le sezioni degli elementi strutturali sono state

suddivise in tre zone:

Il nucleo con c.l.s. confinato;

Il copriferro con c.l.s. non confinato;

Le barre d’armatura di acciaio.

Ognuna è stata definita con fibre dalle caratteristiche fisico-meccaniche diverse. Nelle

zone dove il c.l.s. è confinato dalle staffe, sono state utilizzate delle fibre di c.l.s. con

comportamento meccanico descritto nel §5.4.1 con un fattore di confinamento (kc)

variabile in funzione dell’armatura presente nelle travi e pilastri, mentre è stato assunto

un fattore di confinamento unitario per le zone non confinate, ovvero per il copriferro

della sezione. 4 Per le barre d’armatura, sono state impiegate fibre di acciaio dal

comportamento meccanico descritto nel §5.4.2. Si veda la Figura 5.4-3 per comprendere

la suddivisione in zone della sezione proposta dal software SeismoStruct e come

vengono applicati i vari materiali alle diverse zone.

Figura 5.4-3 - Input delle proprietà della sezione

per il software SeismoStruct

In Figura 5.4-3 si nota che la zona di c.l.s. confinato è colorata in grigio scuro, mentre la

zona non confinata in grigio chiaro. Le barre d’armatura sono rappresentate con dei

tondini rossi.

4 kc = 1 indica che il grado di confinamento è nullo.

158

Per le analisi non-lineari sono stati impiegati diversi criteri prestazionali per ogni

materiale, due per il c.l.s. e due per l’acciaio.

Per qualunque tipologia di criterio prestazionale il software fornisce diverse informazioni

sulla generica fibra che ha raggiunto un determinato valore di deformazione,

indicandone posizione nella sezione e causa dell’avvenimento.

Criteri prestazionali adottati per il c.l.s. confinato:

Raggiungimento della deformazione ultima del c.l.s. (εcu)

La deformazione ultima del cls è stata posta pari a 0.0035. Per tale valore di εcu il

software considera il c.l.s. in fase di rottura, continuando l’analisi ed il

caricamento della struttura a patto che il c.l.s. sia ben confinato (Viesi, 2008);

Collasso per schiacciamento del calcestruzzo

La deformazione concernente il collasso per schiacciamento, per una qualunque

fibra di calcestruzzo confinato, è stata posta pari a 0.008.

Criterio prestazionale adottato per le barre d’armatura:

Snervamento dell’acciaio

La deformazione, per qualunque fibra d’acciaio, relativa allo snervamento è

stata posta pari a 0.00215.

Rottura dell’acciaio

La deformazione, per qualunque fibra d’acciaio, relativa alla rottura è stata

posta pari a 0.060.

Le fibre all’interno delle travi e pilastri sono state disposte in maniera tale da monitorare

istante per istante il valore di deformazione. Le fibre di controllo sono state localizzate

nei punti periferici delle sezioni situate agli estremi degli elementi strutturali, in

prossimità dell’ammorsamento fra travi e pilastri dove le tensioni, dovute all’inflessione

e di conseguenza le deformazioni sono più elevate.

Per una sezione inflessa le massime deformazioni, si hanno nei punti più distanti

dall’asse neutro, per tale motivo le fibre di controllo devono essere disposte nei quattro

spigoli delle sezioni, appena sul confine fra la zona confinata e quella non confinata (si

ammette la possibilità di espulsione del copriferro).

159

Per ogni sezione sono state disposte diverse fibre di controllo. Per ciascun elemento

finito di tipo beam (pilastri e travi) sono state adottate (come da default del programma)

200 fibre con 4 sezioni di integrazione, come mostrato in Figura 5.4-4, mentre per gli

elementi finiti di tipo truss sono state adottate (come suggerito nella guida del

programma) 100 fibre, come mostrato in Figura 5.4-5,

Figura 5.4-4 - Numero di fibre per gli elementi beam.

Le non linearità di tipo geometrico sono state considerate automaticamente dal

software garantendo la valutazione degli effetti derivanti da effetti locali

(comportamento trave-colonna) che quelle prodotte globalmente dai grandi

spostamenti, attraverso l’utilizzo di una formulazione co-rotazionale, nella quale, gli

spostamenti locali e le forze interne all’elemento sono riferiti a un sistema mobile di

corde (Viesi, 2008).

Figura 5.4-5 - Numero di fibre per gli elementi truss.

160

Modellazione dei pannelli murari 5.4.4

Per schematizzare il comportamento del pannello murario sono stati adottati due

modelli aventi travi e pilastri dalle stesse caratteristiche geometriche e meccaniche, e

diversa schematizzazione dei pannelli murari. Il primo modello e nel seguito chiamato

“Modello ad un puntone” è costituito da un semplice puntone diagonale equivalente ed

il secondo a doppio puntone diagonale equivalente (Figura 5.4-6) chiamato in seguito

“Modello a due puntoni”. Nel primo modello le diagonali di muratura equivalenti sono

sempre convergenti nei nodi d’intersezione travi-pilastri, mentre nel secondo modello

questo non avviene; in questo caso le parti interessate al collegamento con i puntoni

equivalenti sono sia i nodi d’intersezione trave-colonna che i nodi all’estremità superiore

ed inferiore dei pilastri (Figura 5.4-6). Le caratteristiche geometriche dei pannelli murari

sono riportate in Tabella 5.4-1.

Figura 5.4-6 - Modelli del telaio con singole bielle equivalenti a sinistra (modello ad un puntone),

e con doppie bielle equivalenti a destra (modello a due puntoni).

161

unità Parete 1°Piano

Sinistra Parete 2°Piano

Sinistra Parete 1° Piano

Centrale Parete 2° Piano

Centrale Parete 2°Piano

Destra

H1 m 3.9 3.80 3.90 3.80 3.90

H m 3.625 3.90 3.625 3.90 3.625

hw m 3.35 3.45 3.35 3.45 3.35

Lep m 4.6 4.60 3.38 3.38 4.59

Lw m 3.8 4.00 2.58 2.78 3.79

dw m 5.07 5.28 4.23 4.43 5.06

tw m 0.30 0.22 0.30 0.22 0.30

dm m 4.66 4.95 4.06 4.08 4.65

Tabella 5.4-1 - Caratteristiche geometriche dei pannelli murari

Avendo indicato con H1 l’altezza tra la quota del terreno ed il primo piano, con H

l’altezza tra gli assi delle travi, con Lep la lunghezza esterna fra i pilastri, con hw , Lw , dw ,

tw , l’altezza interna, la lunghezza interna, la diagonale interna e lo spessore del pannello

murario rispettivamente e con dm la lunghezza del puntone (strut) (Figura 4.5-9).

Come si nota dalla Tabella 5.4-1, lo spessore dei pannelli murari del primo e del secondo

piano è rispettivamente di 30 e 22 cm. I laterizi esenti da fori hanno dimensioni

5,5X11X25 cm e la malta cementizia della muratura possiede una resistenza a

compressione pari a 5 MPa.

Per il puntone equivalente di muratura si è assunta una reazione a compressione e

trazione, non considerando l’eventuale forza di taglio trasmessa dalla muratura come

riportata in (Crisafulli, 1997). Per il ciclo d’isteresi a compressione/trazione del puntone

di muratura equivalente (Figura 5.4-7) è stato adottato il modello di Mander, Priestley e

Park (§0) con kc unitario. In particolare si è assunto un modulo iniziale di Young E =

10005,1 kg/cm2 in accordo con l’equazione [4.5-20], una tensione di resistenza a

compressione fmθ = 10 kg/cm2 in accordo con l’equazione [4.5-21], una tensione di

resistenza a trazione ft = 1 kg/cm2, una deformazione alla massima tensione Ɛm = 0.002,

un peso specifico γ = 10 kN/m3.

162

Figura 5.4-7 - Ciclo d'isteresi per il puntone equivalente

L’area del puntone è stata calcolata dal prodotto dello spessore tw per la larghezza

equivalente del puntone bw calcolata in accordo con (Mainstone, 1971) mediante la

relazione [4.5-4]. Si precisa che per modellare l’intero telaio, sono stati adottati sei

pannelli murari diversi in funzione delle caratteristiche geometriche e meccaniche e

quindi sei modellazioni come quella appena esposta.

La modellazione delle aperture è stata eseguita in accordo con (Asteris & ASCE, [2003])

(valutando la posizione e la percentuale di apertura rispetto all’area totale del pannello)

per la valutazione della rigidezza relativa tra pannello murario e telaio circostante, e con

(Al-Chaar, 2002) per valutare la riduzione di area equivalente del puntone. Il pannello

centrale del primo piano, presenta un apertura con area di 2.86 m2 e quindi una

percentuale di apertura rispetto all’area totale del 33% (Area totale = 8.64 m2). Il

pannello del secondo piano invece presenta area di 1.82 m2 e quindi una percentuale di

apertura rispetto all’area totale del 19% (Area totale = 9.59 m2). Il fattore di riduzione

della rigidezza relativa (Figura 4.5-30) è risultato pari a 0.23 per il primo piano e 0.40 per

il secondo. La larghezza del puntone ridotta è stata valutata mediante la relazione

[4.5-44] ed è risultata pari a 0.159 per il pannello a primo piano e 0.16 per quello del

secondo. L’area del puntone equivalente quindi è stata valutata dal prodotto dello

spessore del pannello murario per l’area del puntone ridotta appena citata. Si riportano

in Tabella 5.4-2 i parametri utilizzati per ciascuna parete:

163

unità Parete 1°Piano

Sinistra Parete 2°Piano

Sinistra Parete 1° Piano

Centrale Parete 2° Piano

Centrale Parete 1°Piano

Destra Parete 2°Piano

Sinistra

A1 m2 0.2619 0.1549 0.0915 0.1433 0.2615 0.1547

hz m 0.436 0.36 0.26 0.25 0.44 0.36

γ kN/m3 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0

t m 0.30 0.22 0.30 0.22 0.30 0.22

Ɛ'm - 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002

μ - 0.516 0.516 0.516 0.516 0.516 0.516

τ0 kN/m2 271 271 271 271 271 271

τmax kN/m2 1.45 1.45 1.45 1.45 1.45 1.45 Tabella 5.4-2 - Parametri utilizzati per la modellazione dei pannelli murari.

In Figura 5.4-9 è riportato il risultato finale della modellazione. Il nodo evidenziato in

rosso servirà come punto di controllo nelle analisi statiche non lineari .

Figura 5.4-8 - Modello 1 - Con un puntone (Output SeismoStruct).

Figura 5.4-9 – Modello 2 – Con doppio puntone (Output SeismoStruct).

Nodo di controllo

164

Calibrazione del modello analitico 5.4.5

Le analisi vengono svolte utilizzando un semplice macromodello con elementi diagonali.

I parametri del modello vengono ricavati con le espressioni riportate nel §4.5.2. Per

verificare la credibilità della modellazione le previsioni del modello vengono confrontate

con i risultati delle prove sperimentali di Crisafulli (Crisafulli, 1997).

In Figura 5.4-10, si riportano le proprietà del prototipo soggetto a prove cicliche a

spostamenti imposti secondo il protocollo di prova riportato in Figura 5.4-11.

Figura 5.4-10 – Geometria e proprietà del prototipo (Crisafulli, 1997)

165

Figura 5.4-11 - Time History degli spostamenti (Crisafulli, 1997).

Il prototipo è costituito da una trave e due colonne in c.a. dalle dimensioni

rispettivamente pari a 0.15 X 0.15 m, e 0.2 X 0.15 m. Le proprietà del calcestruzzo e

dell’acciaio sono riportate in Tabella 5.4-3, Tabella 5.3-4Tabella 5.4-4 e Tabella 5.4-5,

mentre le proprietà della muratura in Tabella 5.4-6.

Resistenza cilindrica a compressione

fC 31200 [kPa]

Resistenza a trazione ft 0

Deformazione alla massima tensione

ƐC 0.002[m/m]

Fattore di confinamento kC 1.2 Tabella 5.4-3 - Proprietà del calcestruzzo confinato

Resistenza cilindrica a compressione

fC 31200 [kPa]

Resistenza a trazione ft 0

Deformazione alla massima tensione

ƐC 0.002[m/m]

Fattore di confinamento kC 1.02 Tabella 5.4-4 - Proprietà del calcestruzzo non confinato

Tensione di snervamento

fy 323000 [kPa]

Modulo di Young ES 2.0700E+008 [KPa]

Rapporto di incrudimento

μ 0.004

Tabella 5.4-5 - Proprietà dell'acciaio

166

unità

Resistenza a trazione ft kN/m2 0.1

Resistenza a compressione fm kN/m2 950

Modulo di Young Em kN/m2 1100000

Area Puntone A1 A1 m2 0.1

Area puntone A2 A2 = %A1 % 70

Lunghezza di contatto equivalente hz % 7

Offset orizzontale X0 % % 5

Offset verticale Y0 % % 5

Rigidezza assegnata al taglio γS - 50.0

Peso specifico γ kN/m3 10.0

Spessore t m 0.09

Deformaziona alla max tensione Ɛ'm - 0.001

Deformazione ultima Ɛu - 0.02

Deformazione di chiusura Ɛcl - 0.002

Costante γun - 2.00

Costante αre - 1.50

Deformazione (area puntone A1) Ɛ1 - 0.0004

Deformazione (area puntone A2) Ɛ2 - 0.0008

Costante αch - 0.6

Costante βa - 2.00

Costante γplr - 1.10

Costante ex1 - 1.50

Costante ex2 - 1.00

Costante βch - 0.7

Fattore di ricarico della rigidezza γplu - 1.00

Fattore di riduzione del taglio αs - 1.6

Coefficiente di attrito μ - 0.2

Tensione di adesione τ0 kN/m2 50

Tensione tangenziale massima τmax kN/m2 200

Tabella 5.4-6 - Proprietà del pannello murario. I diversi coefficienti in tabella sono relativi al modello di Crisafulli (Crisafulli, 1997)

Le previsioni del modello analitico sono confrontate in Figura 5.4-16 con i risultati

sperimentali.

167

Figura 5.4-12 - Risultati dai test sperimentali di Crisafulli (Crisafulli, 1997)

Figura 5.4-13 - Risultati del modello ad un puntone

Figura 5.4-14 - Risultati del modello a due puntoni

168

Figura 5.4-15 - Sovrapposizione delle curve cicliche. In rosso il modello ad un puntone, in nero il modello a due puntoni

Figura 5.4-16 - Sovrapposizione delle curve delle prove sperimentali e dei modelli analitici. In blu quelli

sperimentali, in rosso il modello con un puntone, in nero il modello con due puntoni.

I risultati di questo confronto mostrano che il semplice modello a puntoni è in grado di

cogliere gli aspetti essenziali della risposta ciclica quali il valore del taglio alla base ed il

progressivo degrado di resistenza e rigidezza cicliche.

169 CAPITOLO 6 - Valutazione dell’affidabilità sismica delle murature confinate

CAPITOLO 6 - Valutazione dell’affidabilità sismica delle murature confinate

6.1 Affidabilità strutturale: Applicazione al caso di studio

Per determinare l’affidabilità sismica delle strutture in muratura confinata, è richiesta la

conoscenza della risposta del complesso strutturale in termini di Domanda e Capacità.

Oggetto di questo capitolo è l’applicazione delle tecniche e procedure esposte nei

paragrafi precedenti, al fine analizzare il comportamento di una struttura nei confronti

dell’azione sismica e di stimarne i livelli prestazionali espressi in termini di frequenza

annua media di superamento. Adottando come Domanda l’accelerazione spettrale

corrispondente al periodo principale della struttura, indicato con Sa(T1), e come Capacità

il massimo spostamento di interpiano (MIDR), sono state eseguite diverse analisi

dinamiche incrementali (IDA), facendo uso delle registrazioni accelerometriche

opportunamente selezionate dal database dell’European Strong Motion e riportate in

Appendice A. Sono state ricavate successivamente le Curve di Fragilità mediante

l’approccio di Jalayer (Jalayer, et al., 2007) (§3.2.1), che forniscono la base per calcolare

la frequenza media annua di superamento di opportuni stati limite. L’analisi del

comportamento sismico del caso di studio, è stata eseguita mediante l’ausilio di due

software:

1. SeismoStruct v.5.2.2, con licenza “Academic” rilasciata dalla Seismosoft

(http://www.seismosoft.com), per il calcolo del modello agli elementi finiti;

2. Rexel v.3.4 (beta), sviluppato dal dipartimento di Ingegneria strutturale

dell’università di Napoli Federico II e liberamente scaricabile da internet

(http://www.reluis.it), per la selezione degli accelerogrammi naturali spettro-

compatibili.


Diagramma di flusso della procedura implementata 6.1.1La parte applicativa è stata così articolata:

I Fase: Modellazione strutturale agli elementi finiti del caso di studio con l’ausilio del software SeismoStruct v 5.2.2;

II Fase: Selezione degli accelerogrammi naturali dal database dell’European

Strong-Motion mediante l’ausilio del software Rexel v 3.4; III Fase: Esecuzione dell’analisi modale, pushover e dinamiche incrementali; IV Fase: Elaborazione dei risultati mediante foglio di calcolo Matlab.

Nella pagina successiva viene riportata una flow chart delle procedure eseguite:


Tipologia strutturale (caso di studio)

Esecuzione delle Analisi dinamiche incrementali “IDA” mediante

Seismostruct

RISULTATI

Curve IDA in termini di Accelerazione spettrale Sa(T

1) corrispondente al

periodo fondamentale della struttura e MIDR (Maximum Interstorey

Drift)

Costruzione delle Curve di fragilità con il metodo Jalayer e Pinto

Curve IDA in termini di Accelerazione

spettrale Sa(T1)

corrispondente al periodo

fondamentale della struttura e

Rapporto Domanda/Capacità Y

Istogramma del numero di spettri

all’interno di diversi range

spettrali

Frequenza annua media di superamento

di un determinato stato limite H

LS

Set di 7 accelerogrammi dall’European Stron Motion

selezionati mediante software Rexel

Telaio nudo Pannelli murari +

Modellazione strutturale agli elementi finiti con plasticità diffusa mediante Software “Seismostruct”

Analisi dinamica incrementale IDA in termini di MIDR e Taglio alla base

Implementazione in Matlab di un algoritmo per la creazione di:


Analisi modale 6.1.2

Il calcolo dei modi è eseguito dal programma di calcolo utilizzando il metodo di Lanczos.

Nelle tabelle successive si riporta l’output del programma relativo ai periodi

fondamentali e le relative masse partecipanti. Modello ad un puntone:

Mode Period Frequency Angular Frequency

(sec) (Hertz) (rad/sec)

1 0.174951 5.715879 35.91393

2 0.080278 12.45673 78.26795

3 0.055167 18.12671 113.8935

4 0.053328 18.75183 117.8212

5 0.050882 19.65326 123.485

6 0.045533 21.96219 137.9925

7 0.034441 29.03486 182.4314

8 0.043065 23.22085 145.9009

9 0.038942 25.6791 161.3465

10 0.037582 26.60822 167.1844 Tabella 6.1-1 - Periodi e frequenze modali

Mode Period Ux Uy Uz

(sec) - - -

1 0.174951 12.5854 0 0.0001

2 0.080278 4.9339 0 -0.0004

3 0.055167 -0.0006 0 12.5668

4 0.053328 -0.1805 0 -0.0505

5 0.050882 0.0002 0 1.0308

6 0.045533 0.281 0 -0.0077

7 0.034441 -0.1238 0 0.0087

8 0.043065 0.0005 0 1.0445

9 0.038942 0.0005 0 1.6251

10 0.037582 0.0014 0 0.5971 Tabella 6.1-2 – Fattori di partecipazione modali


Mode Period Massa Individuale Massa cumulativa

(sec) Ux Uy Uz Ux Uy Uz

- - - - - -

1 0.174951 158.3933 0 0 158.3933 0 0

2 0.080278 24.34365 0 0 182.7369 0 0

3 0.055167 0 0 157.9256 182.7369 0 157.9256

4 0.053328 0.032566 0 0.002546 182.7695 0 157.9282

5 0.050882 0 0 1.06262 182.7695 0 158.9908

6 0.045533 0.078974 0 0.000059 182.8484 0 158.9908

7 0.034441 0.015332 0 0.000076 182.8638 0 158.9909

8 0.043065 0 0 1.09089 182.8638 0 160.0818

9 0.038942 0 0 2.640912 182.8638 0 162.7227

10 0.037582 0.000002 0 0.356547 182.8638 0 163.0793 Tabella 6.1-3 – Massa modale effettiva traslazionale



- - - - - -

1 0.174951 86.54% - 0.00% 86.54% - 0.00%

2 0.080278 13.30% - 0.00% 99.85% - 0.00%

3 0.055167 0.00% - 86.29% 99.85% - 86.29%

4 0.053328 0.02% - 0.00% 99.86% - 86.29%

5 0.050882 0.00% - 0.58% 99.86% - 86.87%

6 0.045533 0.04% - 0.00% 99.91% - 86.87%

7 0.034441 0.01% - 0.00% 99.92% - 86.87%

8 0.043065 0.00% - 0.60% 99.92% - 87.47%

9 0.038942 0.00% - 1.44% 99.92% - 88.91%

10 0.037582 0.00% - 0.19% 99.92% - 89.11% Tabella 6.1-4 – Massa modale effettiva traslazionale percentuale


Figura 6.1-1 - Primo modo di vibrare T = 0.175 (sec)

Figura 6.1-2 - Secondo modo di vibrare T = 0.08 (sec)

Figura 6.1-3 - Terzo modo di vibrare T = 0.055 (sec)


Modello a due puntoni:

Mode Period Frequency Angular Frequency

(sec) (Hertz) (rad/sec)

1 0.172045 5.812422 36.52052

2 0.078505 12.738 80.03521

3 0.056799 17.60583 110.6207

4 0.054053 18.50031 116.2409

5 0.051236 19.51734 122.6311

6 0.045919 21.77751 136.8321

7 0.043059 23.22374 145.9191

8 0.038183 26.18997 164.5565

9 0.032357 30.9051 194.1824

10 0.030644 32.6331 205.0398 Tabella 6.1-5 - Periodi e frequenze modali

Mode Period Ux Uy Uz

(sec) - - -

1 0.172045 12.5589 0 0.0267

2 0.078505 5.0177 0 -0.0214

3 0.056799 -0.0073 0 12.412

4 0.054053 0.1402 0 -2.4128

5 0.051236 0.0431 0 0.8728

6 0.045919 0.267 0 0.4074

7 0.043059 0.0005 0 1.0485

8 0.038183 -0.0072 0 0.8335

9 0.032357 0.0048 0 -2.1919

10 0.030644 0.1233 0 0.0602 Tabella 6.1-6 – Fattori di partecipazione modali




- - - - - -

1 0.172045 157.7248 0 0.000712 157.7248 0 0.000712

2 0.078505 25.17687 0 0.000459 182.9017 0 0.00117

3 0.056799 0.000054 0 154.0588 182.9017 0 154.06

4 0.054053 0.019654 0 5.821434 182.9214 0 159.8814

5 0.051236 0.001858 0 0.761732 182.9232 0 160.6432

6 0.045919 0.071305 0 0.165978 182.9945 0 160.8091

7 0.043059 0 0 1.099271 182.9945 0 161.9084

8 0.038183 0.000052 0 0.6948 182.9946 0 162.6032

9 0.032357 0.000023 0 4.804294 182.9946 0 167.4075

10 0.030644 0.015214 0 0.003629 183.0098 0 167.4111 Tabella 6.1-7 – Massa modale effettiva traslazionale



- - - - - -

1 0.062027 35.33% - 0.01% 35.33% - 0.01%

2 0.056705 0.12% - 84.18% 35.45% - 84.19%

3 0.052327 13.14% - 2.12% 48.60% - 86.31%

4 0.044682 29.98% - 0.02% 78.57% - 86.33%

5 0.04957 0.56% - 0.55% 79.14% - 86.89%

6 0.032438 0.00% - 2.54% 79.14% - 89.43%

7 0.030649 0.00% - 0.00% 79.14% - 89.43%

8 0.027184 0.00% - 2.01% 79.14% - 91.44%

9 0.024838 5.30% - 0.00% 84.44% - 91.44%

10 0.026461 0.02% - 0.00% 84.46% - 91.44% Tabella 6.1-8 – Massa modale effettiva traslazionale percentuale


Figura 6.1-4 - Primo modo di vibrare T = 0.172 (sec)

Figura 6.1-5 - Secondo modo di vibrare T = 0.078 (sec)

Figura 6.1-6 - Terzo modo di vibrare T = 0.057 (sec)


Definizione dell’azione sismica locale 6.1.3

Si è valutata la risposta della struttura con riferimento alla località di Reggio Calabria

(Italia), del quale si conoscono i seguenti parametri:

Latitudine: 38.172403°

Longitudine: 15.645569°

Classe del terreno di sottofondo: C

Categoria topografica: T1

Vita nominale: 50 anni

Classe d’uso: II

Stato limite: SLV

Componente dell’azione orizzontale

Lo spettro di risposta elastico della componente orizzontale dell’accelerazione è

riportato in Figura 6.1-7. Esso presenta un’accelerazione massima attesa pari a 0.35g,

amplificazione massima 0.84g e un periodo di inizio del ramo a velocità costante pari a

0.56 s.

Figura 6.1-7 - Spettro elastico della componente orizzontale (Output Rexel)

Gli accelerogrammi utilizzati, sono stati accuratamente selezionati dal database

dell’European Strong Motion e si riferiscono ad una magnitudo 5 “M ” compresa tra 5.35

e 7.5 con una distanza più vicina dalla faglia di rottura “r ” compresa tra 0 e 10 km per

5 L’individuazione della coppia magnitudo-distanza per la località in esame è stata

ottenuta mediante il programma Rexel.


un terreno di tipo C con riferimento a sei località: Buia (Friuli-Venezia-Giulia), Kalamata

(Grecia), South Iceland (Islanda), Dinar (Turchia), Gulf of Corinth (Grecia) e Montenegro.

Figura 6.1-8 - Disaggregazione della pericolosità sismica per la località

di Reggio Calabria per un periodo di ritorno di 475 anni (SLV) (output Rexel)

I dati relativi la disaggregazione della pericolosità sismica si riferiscono a due ordinate

spettrali: 0 s (PGA) e 1 s. Dai dati ottenuti le coppie di magnitudo 5.3÷7.5 M e distanze

di 0÷10 Km sono quelle che con maggiore probabilità causano l’accelerazione al suolo

del sisma di progetto. La selezione ottimale sarebbe quella di accelerogrammi con

uguale classe di sottosuolo in quanto essi potrebbero replicare tutti gli aspetti legati alla

modifica del segnale dovuta alla risposta sismica locale. Tuttavia, la ricerca con questa

impostazione non ha fornito risultati per cui si è optato per la ricerca di segnali con

qualsiasi classificazione del sito. Comunque, si rimarca che l’informazione relativa alla

microzonazione sismica resta contenuta all’interno dello spettro target.

Per la selezione degli accelerogrammi naturali il programma ha rilevato la presenza di 44

registrazioni secondo due direzioni ortogonali relative a 30 eventi sismici distinti

caratterizzati da magnitudo e distanza compatibili con l’intervallo di ricerca.


Figura 6.1-9 - Plot preliminare dei segnali sismici compatibili rilevati e relativo spettro medio

La compatibilità dell’ordinata spettrale media degli accelerogrammi (Average spectrum)

con lo spettro di riferimento delle NTC (Target Spectrum) è garantita nell’intervallo 0.15

– 2 sec fino a un massimo del 10% in difetto come indicato nelle norme (Eurocodice 8,

2004), (OPCM, 20 Marzo 2003), inoltre il limite superiore dello stesso scarto è stato

posto pari al 30%.

Dato l’esiguo numero degli accelerogrammi disponibili, sette, è stato necessario lavorare

con degli accelerogrammi scalati rispetto alla PGA, com’è intuibile dall’analisi della

stessa Figura 6.1-9. La Figura 6.1-11 mostra l’output fornito dal programma con le

relative registrazioni sismiche selezionate con relativo fattore scala, mentre in Tabella

6.1-9 vengono riportati tutti gli accelerogrammi selezionati e utilizzati nelle analisi

successive.


Figura 6.1-10 - Limiti di compatibilità dell'ordinata spettrale media (Output Rexel)

Figura 6.1-11 - Accelerogrammi selezionati e relativo spettro medio con

evidenziato lo spettro di riferimento e i relativi limiti di compatibilità (Output Rexel)


ID Earthquake Date M Fault

Mechanism Epicentral

Distance [km] PGA_X [m/s

2]

PGA_Y [m/s

2]

EC8 Site class

63 Friuli

(aftershock) 15/09/76 6 thrust 9 1.0686 0.9324 C

192 Kalamata 13/09/86 5.9 normal 10 2.1082 2.9095 B

1635 South

Iceland 17/06/00 6.5 strike slip 7 6.1359 5.018 B

192 Kalamata 13/09/86 5.9 normal 10 2.1082 2.9095 B

349 Dinar 01/10/95 6.4 normal 8 2.6739 3.1306 C

280 Gulf of Corinth

04/11/93 5.3 normal 10 0.6725 1.0199 B

108 Montenegro (aftershock)

24/05/79 6.2 thrust 8 1.1723 2.6239 B

mean:

6.03

8.85714 2.2771 2.6491

Tabella 6.1-9 - Registrazioni accelerometriche per 5.3 ≤ M ≤ 7.5 e 0 ≤ r ≤ 10 km selezionati dal database del E.S.M.

Tutti gli accelerogrammi sono riportati graficamente in Appendice A.

183

Risultati delle analisi statiche non lineari 7.1.1

In Figura 6.1-1 sono mostrate le curve pushover in termini di taglio alla base [kN], lungo

le ordinate, e spostamento di un punto di controllo [m] (definito nel §5.4.4), lungo le

ascisse, per i casi studiati.

Figura 6.1-1 - Curva di Pushover. Modello ad un puntone (curva in nero),

modello a due puntoni (curva in rosso)

Confrontando le due curve si osserva che la rigidezza iniziale delle due strutture coincide

fino al raggiungimento di Tb = 270 kN per uno spostamento in testa alla struttura di 0.5

cm. Per spostamenti maggiori, la rigidezza di entrambi inizia a decrescere garantendo

comunque un incremento di resistenza fino al picco di 473 [kN] per il modello ad un

puntone e 400 [kN] per il modello a due puntoni, con spostamenti rispettivamente di 5

cm e 3,5 m. La differenza sostanziale si nota per la capacità di deformazione post-picco

in quanto mentre per il modello ad un puntone lo spostamento ultimo è di 30 cm per i

modello a due puntoni si ha 4,2 cm con una differenza dell’86%. Per ciascun modello, il software ha individuato il raggiungimento dei criteri prestazionali (§5.4.3) riportati di seguito:

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30

Tagl

io a

lla b

ase,

Tb [

kN]

Spostamenti [m]

Analisi Pushover

184

Modello ad un puntone:

#####################################################

Performance Criteria (Output SeismoStruct)

---------------------------------------------

Otpt No: 3 LF= 0.05024, yield reached. Elm: b-ni3-13-ni3-14.

Steel Strain = 0.003676 - Sec(3)

Otpt No: 4 LF= 0.07179, yield reached. Elm: bni13-ni14. Steel

Strain = 0.005894 - Sec(3)

Otpt No: 4 LF= 0.07179, yield reached. Elm: b111-i11. Steel

Strain = 0.003466 - Sec(0)


Strain = 0.00268 - Sec(1)

Otpt No: 5 LF= 0.09274, yield reached. Elm: bn211-ni2-11. Steel

Strain = 0.002266 - Sec(0)

Otpt No: 6 LF= 0.11389, yield reached. Elm: b112-ni21. Steel

Strain = 0.004058 - Sec(0)

Otpt No: 7 LF= 0.13531, yield reached. Elm: col-310-311. Steel

Strain = 0.002353 - Sec(0)


Strain = 0.002932 - Sec(1)


Strain = 0.002387 - Sec(3)


Strain = 0.002458 - Sec(0)


Strain = 0.002637 - Sec(0)


Strain = 0.002624 - Sec(3)


Strain = 0.002543 - Sec(2)


Strain = 0.002752 - Sec(3)


Strain = 0.002263 - Sec(0)

Otpt No: 12 LF= 0.24186, fracture reached. Elm: b-ni3-13-ni3-14.



Strain = 0.002606 - Sec(1)


Strain = 0.00261 - Sec(2)




Strain = 0.00227 - Sec(0)

Otpt No: 14 LF= 0.28412, fracture reached. Elm: bn211-ni2-11. Steel

Strain = 0.061396 - Sec(0)


Strain = 0.002185 - Sec(0)

Otpt No: 16 LF= 0.32775, crush_unc reached. Elm: col-410-411. Unc Conc

Strain = -0.003773 - Sec(0)

Otpt No: 17 LF= 0.34931, fracture reached. Elm: bni13-ni14. Steel

Strain = 0.063336 - Sec(3)

Otpt No: 17 LF= 0.34931, yield reached. Elm: b-n311-ni3-11. Steel

Strain = 0.002452 - Sec(0)


Strain = -0.003649 - Sec(0)


Strain = -0.003588 - Sec(3)


Strain = 0.00236 - Sec(2)


Strain = -0.003646 - Sec(0)

185


Strain = 0.002254 - Sec(0)


Strain = 0.002203 - Sec(3)

Otpt No: 25 LF= 0.51705, crush_unc reached. Elm: b-ni3-13-ni3-14. Unc

Conc Strain = -0.003536 - Sec(3)


Strain = 0.002298 - Sec(3)



Otpt No: 30 LF= 0.62388, fracture reached. Elm: b-ni3-23-ni3-24.


Otpt No: 32 LF= 0.66653, crush_unc reached. Elm: b-ni3-23-ni3-24. Unc


Otpt No: 32 LF= 0.66653, crush_conf reached. Elm: col-410-411. Conf Conc

Strain = -0.0082 - Sec(0)


Strain = -0.003551 - Sec(3)




Strain = 0.002278 - Sec(3)

Otpt No: 39 LF= 0.81360, yield reached. Elm: b-n311-ni3-11. Steel

Strain = 0.002261 - Sec(1)


Strain = -0.003594 - Sec(0)


Strain = -0.003501 - Sec(0)


Strain = -0.003534 - Sec(3)

Otpt No: 47 LF= 0.98141, crush_unc reached. Elm: bn211-ni2-11. Unc Conc

Strain = -0.003529 - Sec(0)

Otpt No: 51 LF= 1.06592, crush_conf reached. Elm: col-310-311. Conf Conc

Strain = -0.00805 - Sec(3)

Figura 6.1-2 - Raggiungimento dei criteri prestazionali

per i diversi elementi della struttura: in azzurro la rottura per schiacciamento del calcestruzzo non confinato

in blu la rottura per schiacciamento del calcestruzzo confinato, in rosso chiaro lo snervamento dell'acciaio,

in rosso scuro la rottura dell’acciaio.

186


######################################################

Performance Criteria – (Output SeiSmostruct)

---------------------------------------------

Otpt No: 7 LF= 0.01592, yield reached. Elm: col310-311ab. Steel

Strain = 0.004762 - Sec(4)


Strain = 0.002202 - Sec(3)

Otpt No: 13 LF= 0.03111, yield reached. Elm: col310-311bba. Steel

Strain = 0.002606 - Sec(0)


Strain = 0.00225 - Sec(1)




Strain = 0.002193 - Sec(2)


Strain = 0.002304 - Sec(2)


Strain = 0.002225 - Sec(0)


Strain = 0.00222 - Sec(2)

Otpt No: 39 LF= 0.08904, yield reached. Elm: col211-212baa. Steel

Strain = 0.003109 - Sec(4)


Strain = 0.002328 - Sec(3)


Strain = 0.00245 - Sec(0)


Strain = 0.00248 - Sec(3)


Strain = 0.002238 - Sec(1)


Strain = 0.002459 - Sec(0)

Otpt No: 54 LF= 0.12163, yield reached. Elm: C312-N-2-C-DX-S.


Otpt No: 55 LF= 0.12379, yield reached. Elm: col210-211aa. Steel

Strain = 0.002306 - Sec(0)


Strain = 0.002247 - Sec(4)


Strain = 0.002232 - Sec(2)

Otpt No: 61 LF= 0.13678, crush_unc reached. Elm: col210-211aa. Unc Conc

Strain = -0.003758 - Sec(0)

Otpt No: 61 LF= 0.13678, yield reached. Elm: col410-411a. Steel

Strain = 0.002461 - Sec(0)

Otpt No: 64 LF= 0.14438, crush_unc reached. Elm: col410-411a. Unc Conc

Strain = -0.003636 - Sec(0)


Strain = 0.002151 - Sec(1)

Otpt No: 65 LF= 0.14527, yield reached. Elm: C312-N-2-C-DX-S.



Strain = 0.002247 - Sec(1)

Otpt No: 66 LF= 0.14737, yield reached. Elm: CN2CDXI-311. Steel

Strain = 0.002267 - Sec(4)

Otpt No: 68 LF= 0.15203, crush_conf reached. Elm: col210-211aa. Conf Conc

Strain = -0.00823 - Sec(0)

Otpt No: 69 LF= 0.15418, crush_unc reached. Elm: C312-N-2-C-DX-S. Unc


Otpt No: 71 LF= 0.15853, crush_conf reached. Elm: col410-411a. Conf Conc

Strain = -0.008187 - Sec(0)

187

Otpt No: 74 LF= 0.16485, yield reached. Elm: CN2CDXI-311. Steel

Strain = 0.002241 - Sec(3)

Figura 6.1-3 - Raggiungimento dei criteri prestazionali per i diversi

elementi della struttura: in rosso lo snervamento dell'acciaio, in azzurro la fessurazione del calcestruzzo.

Dalla Figura 6.1-1 e Figura 6.1-2 si nota come l’introduzione del secondo puntone

diagonale equivalente comporta una diversa risposta strutturale e soprattutto un

diverso tipo di danneggiamento. Osservando nel dettaglio la Figura 6.1-2, si nota come

alla base dei pilastri (cerchiati in rosso) si genera una condizione critica a causa delle

forze concentrate derivanti dai puntoni, aventi diversa altezza d’azione. Questo

dettaglio, non riportato nella risposta del modello ad un puntone, è molto utile nel caso

in cui si debba eseguire un intervento di ripristino strutturale in seguito ad un evento

sismico. L’aumento d’armatura in queste porzioni di pilastri, o l’eventuale inserimento di

elementi di rinforzo, porterebbe un aumento della capacità strutturale.

188

Risultati delle analisi dinamiche non lineari incrementali 7.1.2

La Figura 6.1-4 mostra il risultato delle curve IDA in termini di MIDR (massimo

spostamento d’interpiano), lungo le ascisse, e pseudoaccelerazione spettrale relativa al

periodo principale di vibrazione della struttura Sa(T1), lungo le ordinate. La Figura 6.1-5

invece mostra il risultato delle curve IDA in termini di MIDR (massimo spostamento

d’interpiano), lungo le ascisse, e taglio alla base [kN], lungo le ordinate.

Confrontando le curve (Sa(T1) –MIDR) e (Tb-MIDR), si nota un analogo MIDR ma una

diversa forma delle curve. L’andamento delle curve (Tb – MIDR) è pressoché continuo e

poco frastagliato, al contrario delle curve (Sa(T1) – MIDR).


Figura 6.1-4 - Curve IDA, per un set di 7 accelerogrammi opportunamente

selezionati, in termini di Sa(T1) e MIDR.

189

Figura 6.1-5 - Curve IDA per un set di 7 accelerogrammi opportunamente selezionati,

in termini di Taglio alla base e MIDR


Figura 6.1-6 - Curve IDA per un set di 7 accelerogrammi opportunamente

selezionati, in termini di Sa(T1) e MIDR.

0

100

200

300

400

500

600

700

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

Shea

r b

ase,

Tb [

kN]

Maximum inter-story drift angle, θmax

Incremental Dynamic Analisys

190

Figura 6.1-7 - Curve IDA, per un set di 7 accelerogrammi opportunamente selezionati,

in termini di Taglio alla base e MIDR

Dai risultati ottenuti si evince che l’inizio della fase post-elastica differisce per entrambi i

modelli, e condizione analoga avviene sia per il taglio massimo alla base che per il

massimo spostamento d’interpiano. In particolare, per il modello ad un puntone si ha un

MIDR all’inizio della fase plastica di 0.005 corrispondente ad un taglio alla base di 250 kN

e un drift massimo di 0.08 con un taglio massimo alla base di circa 600 kN,; per il

modello con due puntoni si ha invece un drift all’inizio della fase plastica di 0.003

corrispondente ad un taglio alla base di 180 kN e un drift massimo di 0.057 con un taglio

massimo alla base di circa 520 [kN].

0

100

200

300

400

500

600

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Shea

r b

ase,

Tb [

kN]

Maximum inter-story drift angle, θmax

Incremental Dynamic Analisys

191

Curve di Fragilità 7.1.3

In accordo all’equazione [3.2-7] e alla [3.2-9] sono state valutate le Curve di Fragilità e la

HLS per tre livelli prestazionali (tabelle FEMA 356, C. 1.4):

1. IO (Immediate Occupancy) MIDRmax = 0.2%;

2. LS (Life Safety) MIDRmax = 0.6%;

3. CP (Collapse Prevention) MIDRmax = 1.5%.

I passi eseguiti sono i seguenti:

1. Determinazione delle curve IDA in termini di (Sa(T1)-MIDR) (Figura 6.1-4 e Figura

6.1-6); 2. Determinazione delle curve IDA in termini di (Sa(T1)-Y) (Figura 6.1-9, Figura 6.1-8,

Figura 6.1-10;Figura 6.1-12, Figura 6.1-13, Figura 6.1-14); 3. Determinazione delle ordinate spettrali dall’intersezione tra la retta Y=1 e le

curve IDA; 4. Determinazione della media e deviazione standard logaritmica dei punti

d’intersezione del passo precedente; 5. Calcolo della funzione di densità di probabilità log-normale PDF e funzione di

probabilità cumulativa log-normale CDF con media e deviazione standard logaritmica di cui al passo precedente;

6. Costruzione delle curve di fragilità; 7. Determinazione della frequenza annua media di superamento HLS.

Nel primo passo, si sono ricavate le curve IDA in termini di pseudo-accelerazione

spettrale Sa(T1) (Figura 6.1-4 e Figura 6.1-6) e il massimo spostamento di interpiano di

calcolo. I risultati delle analisi sono riportati in Appendice D.

Nel secondo passo il parametro Y è stato assunto pari al rapporto tra il massimo

spostamento d’interpiano (MIDR) di calcolo derivante dalle analisi IDA e MIDRmax

valutato per i tre livelli prestazionali riportati su. I risultati sono in Appendice D

Nel terzo passo si sono valutate le ordinate spettrali delle curve IDA (Sa(T1)-Y) in

corrispondenza dell’intersezione con la retta verticale Y=1. I risultati sono riportati nella

pagina seguente.

192


Accelerogrammi Sa(Y=1) per

MIDRmax =0.002

Sa(Y=1) per

MIDRmax =0.006

Sa(Y=1) per

MIDRmax =0.015

Dinar 0.1653 0.2553 0.4754

Friuli 0.2109 0.3845 0.6179

Gulf of Corinth 0.2462 0.4250 0.7450

Kalamata (x) 0.1599 0.2829 0.4921

Kalamata (y) 0.1543 0.2253 0.3687

Montenegro 0.1335 0.1865 0.2633

South of Iceland 0.1758 0.3136 0.5332


Accelerogrammi Sa(Y=1) per

MIDRmax =0.002

Sa(Y=1) per

MIDRmax =0.006

Sa(Y=1) per

MIDRmax =0.015

Dinar 0.1494 0.2334 0.4374

Friuli 0.2006 0.3420 0.5491

Gulf of Corinth 0.2200 0.3974 0.6699

Kalamata (x) 0.1438 0.2563 0.4706

Kalamata (y) 0.1430 0.2126 0.3462

Montenegro 0.1254 0.1697 0.2980

South of Iceland 0.1388 0.2741 0.4944

Nel quarto passo si è valutata la media logaritmica e deviazione standard

logaritmica (parametri βSa,Y=1 e ηSa,Y=1 ), riportate nelle equazioni [6.1-1] e [6.1-2], delle

ordinate spettrali ricavate al passo precedente. In corrispondenza di Y=1 si è quindi

valutata l’intersezione con l’accelerazione spettrale indicata con Sa,iY=1 , determinando in

corrispondenza di tale intersezione la media dei valori logaritmici e la deviazione

standard logaritmica. I risultati sono:

[6.1-1]

[6.1-2]

n

i

ixn

x1

ln ln1

Media logaritmica

Deviazione standard logaritmica 2

1

1

2

lnln1

1

n

i

i xxn

193

Modello ad un puntone Modello a due puntoni

MIDRmax MIDRmax

0.002 0.006 0.015 0.002 0.006 0.015

Media log βSa,Y=1 -1.7445 -1.2527 -0.7414 -1.8510 -1.3470 -0.8259

Deviazione

standard log ηSa,Y=1 0.1898 0.2688 0.3160 0.1921 0.2653 0.3114

Questo procedimento è stato eseguito per ciascun stato limite di danno considerato

(assunto come domanda strutturale) ovvero per MIDRmax = 0.002, 0.006 e 0.015. Tali

analisi vengono ripetute per ciascun modello rappresentativo delle aleatorietà di

modellazione. I risultati di queste curve sono riportati in Figura 6.1-8, Figura 6.1-9 e

Figura 6.1-10 per il modello ad un puntone, Figura 6.1-12, Figura 6.1-13 e Figura 6.1-14

per il modello a due puntoni.

Nel quinto passo, noti la media logaritmica e deviazione standard logaritmica, si

è calcolata la Funzione di densità di probabilità PDF log-normale mediante l’equazione

[6.1-3] e successivamente la Funzione di probabilità cumulativa CDF log-normale

mediante l’equazione [6.1-4]. I risultati delle PDF sono visibili nella Figura 6.1-8, Figura

6.1-9 e Figura 6.1-10 per il modello ad un puntone, Figura 6.1-12, Figura 6.1-13 e Figura

6.1-14 per il modello a due puntoni.

[6.1-3]

[6.1-4]

Plottando nel piano (CDF-Sa,iY=1) la CDF e i valori Sa,i

Y=1 (rispettivamente lungo le ordinate

e ascisse), si sono ricavate le curve di fragilità per i tre livelli prestazionali. In Figura

6.1-15 sono riportate le curve di fragilità per il modello ad un puntone, mentre in Figura

6.1-15 le curve di fragilità per il modello a due puntoni.

2

2

ln2

2

1,;

x

ex

xyProbability Density Function

Cumulative Distribution Function dxxyY

,;

194

Figura 6.1-8 - Analisi dinamica incrementale per il modello ad un puntone.

Risultati per il livello prestazionale IO (Immediate Occupancy)


Risultati per il livello prestazionale LS (Life Safety)

195


Risultati per il livello prestazionale CP (Collapse Prevention).

Figura 6.1-11 - Curve di fragilità per il modello ad un puntone

IO

LS

CP

196

Risultati relativi al secondo modello:

Figura 6.1-12 - Analisi dinamica incrementale per il modello a due puntoni.

Risultati per il livello prestazionale IO (Immediate Occupancy)


Risultati per il livello prestazionale LS (Life Safety)

197


Risultati per il livello prestazionale CP (Collapse Prevention).

Figura 6.1-15 - Curve di fragilità per il modello a due puntoni

IO

LS

CP

198

Figura 6.1-16 - Confronto delle curve di fragilità tra il modello ad un puntone (blu) ed il modello a due puntoni (rosso).

199

Affidabilità Sismica 7.1.4

Per valutare la frequenza media annua di superamento, si è fatto riferimento alla curva

di pericolosità ricavata con riferimento alla località d’interesse e riportata in Figura

6.1-17.

Figura 6.1-17 - Curva di pericolosità

Mediante l’espressione [3.2-9], integrata mediante il codice di calcolo in Appendice C, si

sono ricavate le tre frequenze medie annue di superamento degli stati limite:

Livello prestazionale Modello ad un puntone Modello a due puntoni

HLS Periodo di ritorno T


IO = MIDR max=0.002 0.006812 147 0.007667 130

LS = MIDR max=0.006 0.003798 263 0.004298 233

CP = MIDR max=0.015 0.001730 578 0.002011 497

Infine si è valutata la probabilità P(Y>1|Sa) in corrispondenza delle probabilità di

eccedenza della Tabella 2.3-1, (riportate anche nelle FEMA 356 - C1.4) e qui riproposte:

2% in 50 anni;

10% in 50 anni;

22% in 50 anni;

50% in 50 anni.

Quindi, dalla curva di pericolosità, in corrispondenza dei livelli di frequenza riportati in

Tabella 6.1-1, si sono ricavate le seguenti pseudo-accelerazioni spettrali Sa(T1):

200

Periodo di ritorno T [anni]

λ - frequenza annuale di

superamento Sa(T1)

2% in 50 anni 2475 0.0004 -

10% in 50 anni 475 0.0021 0.80 g

22% in 50 anni 201 0.005 0.55 g

50% in 50 anni 72 0.0139 0.35 g Tabella 6.1-1 – Pseudo-accelerazioni spettrali

relative le probabilità di superamento

E infine dalle Curve di Fragilità si sono ricavati i seguenti valori:

Probabilità di superamento

del sisma


λ - frequenza media annua di superamento

Sa(T1) P(Y>1|Sa)

Modello ad un puntone

P(Y>1|Sa) Modello a

due puntoni

2% in 50 anni 2475 0.0004 - - -

10% in 50 anni 475 0.0021 0.80 g 100% 100%

22% in 50 anni 201 0.005 0.55 g 100% 100%

50% in 50 anni 72 0.0139 0.35 g 100% 100% Tabella 6.1-2 – Probabilità di superamento del rapporto critico Y per lo stato limite (IO)



Sa(T1) P(Y>1|Sa)


P(Y>1|Sa) Modello a

due puntoni

2% in 50 anni 2475 0.0004 - - -

10% in 50 anni 475 0.0021 0.80 g 100% 100%

22% in 50 anni 201 0.005 0.55 g 98% 99%

50% in 50 anni 72 0.0139 0.35 g 77% 86% Tabella 6.1-3 – Probabilità di superamento del rapporto critico Y per lo stato limite (LS)



Sa(T1) P(Y>1|Sa)


P(Y>1|Sa) Modello a

due puntoni

2% in 50 anni 2475 0.0004 - - -

10% in 50 anni 475 0.0021 0.80 g 95% 97%

22% in 50 anni 201 0.005 0.55 g 67% 77%

50% in 50 anni 72 0.0139 0.35 g 16% 23% Tabella 6.1-4 – Probabilità di superamento del rapporto critico Y per lo stato limite (CP)

201 CAPITOLO 7 – Considerazioni conclusive e sviluppi futuri

CAPITOLO 7 – Considerazioni conclusive e sviluppi futuri

Questo lavoro ha avuto come oggetto di studio la valutazione dell’affidabilità sismica dei

sistemi misti muratura-c.a. (murature confinate). Per determinare il livello prestazionale

espresso in termini di frequenza annua media di superamento di un determinato stato

limite, è stata svolta un’analisi probabilistica per la valutazione della risposta strutturale

(PSDA) su due modelli rappresentativi del caso di studio, avvalendosi sia delle tecniche

di analisi dinamica non lineare (analisi dinamiche incrementali) che delle Curve di

Fragilità.

Mediante un’analisi probabilistica della pericolosità sismica (PSHA), secondo le ipotesi

semplificative di Cornell e Jalayer (Cornell & Jalayer, 2003), si è ottenuta la curva di

pericolosità locale del sito. Questa curva è stata ricavata per un periodo di riferimento di

475 anni (relativo allo stato limite di salvaguardia della vita).

Si è quindi sviluppato un modello analitico agli elementi finiti delle strutture da

analizzare. Nella modellazione sono state adottate due differenti schematizzazioni del

pannello murario per tener conto delle incertezze aleatorie di modellazione strutturale.

Nel primo caso il pannello è stato schematizzato attraverso due bielle diagonali

equivalenti con estremità convergenti nei nodi del telaio, mentre nel secondo caso il

pannello è stato schematizzato attraverso quattro bielle diagonali equivalenti, due per

ciascuna diagonale, con estremità convergenti sia nel nodo del telaio che alla base dei

pilastri. Per ciascun modello sono state eseguite, un’analisi statica non lineare

(pushover) e successivamente analisi dinamiche non lineari incrementali (IDA) con sette

differenti accelerogrammi opportunamente selezionati dal database dell’European

Strong Motion” per un totale di 400 analisi IDA.

I risultati delle analisi pushover hanno evidenziato che:

1. la rigidezza iniziale dei due modelli è pressoché coincidente;

2. la resistenza massima fornita dai due modelli differisce del 15%;

3. Lo spostamento ultimo dei due modelli differisce notevolmente dell’86%.

Mentre per il modello ad un puntone lo spostamento ultimo è risultato di 30 cm,

per il modello a due puntoni lo spostamento ultimo è risultato di 4,2 cm.


Nel modello ad un puntone la capacità strutturale è controllata, nella maggior parte dei

casi, dalla capacità deformativa dei pilastri. In particolare il meccanismo di collasso nei

pilastri del primo livello riguarda la rottura delle barre in acciaio, mentre per quelli del

piano terra riguarda la rottura del calcestruzzo. L’introduzione del secondo puntone

diagonale equivalente comporta una diversa risposta strutturale e soprattutto un

diverso tipo di danneggiamento, localizzato alle estremità pressoinflesse dei pilastri in

c.a. privi di adeguato confinamento. Questo aspetto della risposta peraltro suffragato

dai risultati sperimentali non viene colto dal modello ad un puntone nel quale la crisi si

verifica globalmente nell’intero elemento. Questo dettaglio è molto utile nel caso in cui

si debba eseguire un intervento di ripristino strutturale in seguito ad un evento sismico.

L’incremento d’armatura in queste zone critiche, o l’eventuale inserimento di elementi

di rinforzo, porterebbe un aumento della capacità strutturale.

I risultati delle analisi dinamiche non lineari incrementali, hanno evidenziato che

il collasso può avvenire sia per alti, che per bassi valori del massimo spostamento di

interpiano (MIDR). Per uno degli accelerogrammi utilizzati (Gulf of Corinth) si è

evidenziato un alto valore della pseudoaccelerazione spettrale in corrispondenza di un

MIDR non elevato pari a circa 0.035. Questo dettaglio, non presente nel piano “Taglio

alla base (Tb) – MIDR”, mostra che le curve IDA nel piano (Sa(T1);MIDR) riescono a

cogliere maggiori informazioni sull’entità del danno procurato dal singolo evento

sismico. Riguardo alla capacità deformativa ultima di entrambi i modelli, le analisi

dinamiche incrementali forniscono una differenza del 55%, contro l’86% derivante dalle

analisi pushover.

Dalle analisi dinamiche incrementali mediante l’approccio di Jalayer (Jalayer, et

al., 2007) sono state ricavate le Curve di Fragilità relativamente ai tre stati di danno

“Immediate Occupancy (IO)”, “Life Safety (LS)” e “Collapse Prevention (CP)” per un

periodo di ritorno di 475 anni. Dalle curve di fragilità emerge che il modello con due

puntoni diagonali equivalenti presenta una maggiore probabilità di collasso rispetto al

modello con un puntone diagonale.

Dalla valutazione della frequenza annua media di superamento HLS per lo stato

limite di salvaguardia della vita, emerge che per il livello prestazionale “Collapse

Prevention”, entrambi i modelli presentano un periodo di ritorno di superamento dello

stato limite rispettivamente pari a 578 e 497 anni, superiore alla soglia limite di 475 anni

relativa agli SLV. Per quanto riguarda invece i livelli prestazionali “Immediate Occupancy

e Life Safety” entrambi i modelli presentano un periodo di ritorno di superamento dello


stato limite inferiore alla soglia limite di 475 anni relativa agli SLV. La struttura è quindi

in grado di fornire un sufficiente livello prestazionale per il Collapse Prevention ma non

per l’Immediate Occupancy e Life Safety.

Livello prestazionale Modello ad un puntone Modello a due puntoni



IO = MIDR max=0.002 0.006812 147 0.007667 130

LS = MIDR max=0.006 0.003798 263 0.004298 233

CP = MIDR max=0.015 0.001730 578 0.002011 497

Ulteriori ricerche appaiono indispensabili al fine di pervenire ad una migliore

comprensione dei fenomeni coinvolti e dei parametri di controllo. Si suggerisce

un’estensione dello studio sulle Curve di Pericolosità Italiane, e l’implementazione di

analisi dinamiche incrementali con un set di accelerogrammi più ampio, poiché

l’attendibilità dei risultati è fortemente influenzata dal numero di analisi eseguite.

205 Bibliografia

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210 Abbreviazioni

Abbreviazioni

ASCE American Society of Civil Engineering

BSO Basic Safety Objective

BSSC Building Seismic Safety Council

CDF Cumulative Distribution Function Funzione di Distribuzione Cumulata o Funzione di Ripartizione

CCDF Complementary Cumulative Distribution Function

Funzione di distribuzione cumulata complementare

CM Capacity Measure Capacità Strutturale

DCFD Demand and Capacity Factor Design Progettazione sismica basata sulla capacità e domanda

DM Damage Measure Domanda Strutturale

FEMA Federal Emergency Management Agency

LRFD Load and Resistance Factor Design Progettazione sismica basata sul carico e resistenza

MAF Mean Annual Frequency Frequenza Media Annuale

MIDR Maximum Interstorey Drift Ratio Massimo spostamento di interpiano

PBEF Performance Based Earthquake Engineering

PBSD Performance Based Design Progettazione sismica basata sulle prestazioni

PDF Probability Density Function Funzione di Densità di probabilità

PSDA Probabilistic Seismic Demand Analysis Analisi probabilistica della risposta strutturale

PSHA Probabilistic Seismic Hazard Analysis Analisi probabilistica della pericolosità sismica

RTR Record to Record Variability Valutazione della risposta strutturale al variare dell’accelerazione al suolo

TPT Total Probability Theorem Teorema della probabilità totale

http://www.google.it/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&cad=rja&ved=0CDAQFjAC&url=http%3A%2F%2Facronyms.thefreedictionary.com%2FProbabilistic%2BSeismic%2BDemand%2BAnalysis&ei=Bx41UIm4GszZ4QTs-4GQDg&usg=AFQjCNE63gmop5GfHgESmNSq-YJOj8MeLA&sig2=_HXI7KJtsQsNygYYy4S2_A

211 APPENDICE A: Accelerogrammi usati nelle analisi

APPENDICE A: Accelerogrammi usati nelle analisi

Vengono riportati di seguito tutti gli accelerogrammi utilizzati nelle analisi prelevati dal

database dell’European Strong Motion.

Figura 6.1-1 - Friuli (aftershock) 15/09/1976 Waveform 133

Figura 6.1-2 - Montenegro (aftershock) 24/05/1979 Waveform 230

Figura 6.1-3 – Kalamata 13/09/1986 Waveform 413 SF =1.6154

Figura 6.1-4 - Kalamata 13/09/1986 Waveform 413 SF =1.1705

212 APPENDICE A: Accelerogrammi usati nelle analisi

Figura 6.1-5 - Gulf of Corinth 04/11/1993 Waveform 578

Figura 6.1-6 – Dinar 01/10/1995 Waveform 879

Figura 6.1-7 - South Iceland 17/06/2000 Waveform 6263

213 APPENDICE B: Richiami di Probabilità

APPENDICE B: Richiami di Probabilità

216

11.1 Distribuzione di probabilità

Una distribuzione di probabilità è un modello matematico che collega i valori di una

variabile alle probabilità che tali valori possano essere osservati.

Le distribuzioni di probabilità vengono utilizzate per modellare il comportamento di un

fenomeno di interesse in relazione alla popolazione di riferimento, ovvero alla totalità

dei casi di cui lo sperimentatore osserva un dato campione. In questo contesto la

variabile di interesse è vista come una variabile casuale (o variabile aleatoria, v.a) la cui

legge di probabilità esprime il grado di incertezza con cui i suoi valori possono essere

osservati.

In base alla scala di misura della variabile d’interesse X, possiamo distinguere due tipi di

distribuzioni di probabilità:

1. distribuzioni continue: la variabile viene espressa su una scala continua;

2. distribuzioni discrete: la variabile viene misurata con valori numerici interi;

Formalmente, le distribuzioni di probabilità vengono espresse da una legge matematica

detta funzione di densità di probabilità (indicata con f(x)) o funzione di probabilità

(indicata con p(x)) rispettivamente per le distribuzioni continue o discrete.

217

11.2 Media e Varianza di una distribuzione di probabilità

La media (o valore atteso) μ e la varianza σ2 (deviazione standard σ) di una v.a. X sono i

parametri di maggiore interesse della distribuzione di probabilità di X, in quanto essi

esprimono rispettivamente la tendenza centrale e la variabilità della v.a. X

Media:

1

discretacon x ,

continuacon x ,

i

ii xpx

dxxfx

[11.2-1]

Varianza:

[11.2-2]

Deviazione standard:

[11.2-3]

N

xN

i

i

1

2

2

1

2

2

2

discretacon x ,

continuacon x ,

i

ii xpx

dxxfx

218

11.3 Distribuzione normale o gaussiana

La distribuzione normale (o distribuzione Gaussiana) è un tipo di distribuzione continua

ed ha una forma campanulare e simmetrica. Le sue misure di tendenza centrale quali

valore atteso, mediana e moda coincidono, inoltre la variabile aleatoria con

distribuzione normale ha un range infinito, cioè assume valori da - a + (Levine, et

al., 2006).

La funzione di densità di probabilità normale è data dalla seguente espressione:

[11.3-1]

Dove:

μ valore atteso della popolazione;

X valori assunti dalla variabile aleatoria, con X

Si nota che la funzione di densità di probabilità normale dipende soltanto dai valori

assunti dai due parametri μ e σ. Specificando particolari combinazioni di μ e σ si

ottengono differenti distribuzioni di probabilità normali come in (). Le distribuzioni A e B

hanno lo stesso valore atteso μ e differiscono per il valore assunto dallo scarto

quadratico medio σ; le distribuzioni A e C, al contrario, pur avendo lo stesso scarto

quadratico medio differiscono per il valore atteso; infine le distribuzioni B e C hanno

valori diversi per entrambi i parametri.

Figura 11.3-1 - Tipologie di forme della funzione di distribuzione normale

2

2

2exp

2

1

Xxf

219

11.4 Distribuzione Log-Normale

La distribuzione log-normale si usa per variabili casuali tali che il loro logaritmo abbia

una distribuzione normale. La sua densità di probabilità è data da :

2

lnexp

2

12

2

x

xxf

0 0,per x

0xf altrove

[11.4-1]

In cui ln x è il logaritmo naturale di x. Il grafico della distribuzione log-normale con μ = 0

e σ = 1 è mostrato nella Figura 11.4-1. Come si può vedere dalla figura questa

distribuzione è positivamente asimmetrica, ossia ha una lunga coda a destra. Per

determinare la probabilità che una variabile casuale con distribuzione log-normale

assuma un valore compreso tra a e b (0 < a < b) dobbiamo calcolare l’integrale (Johnson,

2007):

[11.4-2]

Figura 11.4-1 - Grafico della densità di probabilità log-normale con μ =0, σ =1

dx

x

x

b

a

2

2

2

lnexp

2

1

220

11.5 Probabilità Poissoniana di accadimento

La distribuzione poissoniana delle probabilità ipotizza che se un evento è del tutto

casuale, noto il numero medio di accadimenti nel periodo considerato (y), la probabilità

che un evento accada n volte nel periodo T è data dalla seguente relazione:

[11.5-1]

Se un evento casuale si verifica mediamente una volta l’anno (y = 1), la probabilità di

due accadimenti annui è pari al 18,4%.

La probabilità dipende quindi dall’intervallo temporale di riferimento VR , in cui è noto il

numero medio di accadimenti dell’evento casuale. Dividendo il numero medio di

accadimenti per il periodo ad esso correlato, si ottiene la frequenza media di

accadimento dell’evento λ.

[11.5-2]

Dividendo invece il periodo di riferimento con il numero medio di accadimenti, si ottiene

l’intervallo temporale medio tra gli accadimenti dell’evento. Questo intervallo è

chiamato periodo di ritorno TR. Il periodo di ritorno e la frequenza sono uno l’inverso

dell’altra, ovvero TR=1/ λ.

La probabilità che l’evento casuale non si verifichi nel periodo di riferimento può essere

calcolata mediante la relazione di Poisson particolarizzata per nessun evento. La

relazione [11.5-1] diventa:

[11.5-3]

ll complemento ad uno di P0 esprime la probabilità che almeno un evento si verifichi nel

periodo VR considerato, e cioè:

[11.5-4]

La relazione [11.5-4] permette di ottenere la relazione tra il periodo di ritorno e la

probabilità di superamento, fissato il periodo di riferimento. Dalla [11.5-4] si ottiene:

[11.5-5]

yn

n en

yp

!

RR VV

n

R eeV

p

!00

RV

VRn epp

11

VR

RR

p

VT

1ln

RVy

http://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_di_Poisson

221

Ad esempio la probabilità che almeno un evento sismico con periodo di ritorno T di 475

anni accada nell’intervallo di tempo VR = 50 anni, è:

Tale valore corrisponde allo Stato limite di salvaguardia della vita per il periodo di

riferimento di 50 anni. La PVR viene detta probabilità di superamento o di eccedenza.

A titolo di esempio, in riferimento alla curva di pericolosità in Figura 11.5-1, ad una

frequenza media annuale di superamento λSa = P0 = 0.0084 corrisponde un periodo di

ritorno T = 1/λ di 119 anni. La probabilità che almeno un evento sismico accada in un

periodo di riferimento di 50 anni, è:

Figura 11.5-1 - Esempio di curva di pericolosità.

%1010.01 475/50 epVR

%3434.01 119/50 epVR

222 APPENDICE C: Listato in Matlab della procedura sviluppata

APPENDICE C: Listato in Matlab della procedura sviluppata

Si riporta di seguito il listato in Matlab 6 per la costruzione delle curve di fragilità e la

valutazione della frequenza media annua di superamento di un determinato stato limite.

Il codice richiama diversi file per l’esecuzione delle analisi. E’ fondamentale che tutti

questi siano collocati all’interno di una stessa cartella.

I dati in input necessari per l’esecuzione del programma sono:

1. Risultati delle analisi dinamiche incrementali IDA in termini di MIDR, salvati in un

file di testo, in una colonna; questo deve essere fatto per tutti gli

accelerogrammi.

Esempio: res_Dinar.txt

6 Matlab: E’ un linguaggio di alto livello e un ambiente interattivo per il calcolo numerico, l'analisi

e la visualizzazione dei dati e la programmazione http://www.mathworks.it/products/matlab/

http://www.mathworks.it/products/matlab/


2. Accelerogrammi salvati in file di testo, composti da due colonne: nella prima deve essere riportato il tempo, nella seconda i valori dell’accelerazione espressi in [g]; Esempio: Dinar.AT2

3. Periodo fondamentale della struttura, in secondi;

4. Fattori scala per ciascun accelerogramma salvati in file di testo composti da una

sola colonna. Questi vengono utilizzati per ciascun accelerogramma per eseguire

le curve IDA;

Esempio: SF_Dinar:


5. Spostamento di interpiano ultimo;

6. Rapporto di smorzamento strutturale;

7. Dati della curva di pericolosità;

I dati in output sono:

1. Curve di fragilità;

2. Diagrammi delle curve IDA in termini di Accelerazione spettrale corrispondente

al periodo fondamentale di vibrazione della struttura e MIDR;

3. Diagrammi delle curve IDA in termini di Accelerazione spettrale corrispondente

al periodo fondamentale di vibrazione della struttura e rapporto Y

(Domanda/Capacità) ;

4. Istogramma delle accelerazioni spettrali ricadenti in determinati range spettrali;

5. Frequenza media annua di superamento di un determinato stato limite;

6. Media dei punti di intersezione delle curve IDA con il rapporto Y;

7. Deviazione standard dei punti di intersezione delle curve IDA con il rapporto Y.

Sono stati creati diversi file di esecuzione collegati tramite collegamenti di tipo

“function”. Il primo file denominato “load_accelerogrammi” possiede al suo interno una


funzione di richiamo di tutti i 7 accelerogrammi da utilizzare per l’analisi, uguali a quelli

utilizzati per eseguire le analisi IDA.

file load_accelerogrammi.m:

%Caricamento degli accelerogrammi disp ('Caricamento degli accelerogrammi') format long

load Dinar.AT2; load Friuli.AT2; load Gulf_of_Corinth.AT2; load Kalamata1.AT2; load Kalamata2.AT2; load Montenegro.AT2; load South_Iceland.AT2;

---------------------

Il secondo file di esecuzione è denominato “Calcolo.m“. Esso richiama gli

accelerogrammi del file precedente e mediante il fattore scala, imposto inizialmente,

scala gli accelerogrammi e calcola volta per volta l’accelerazione spettrale

corrispondente al periodo fondamentale di vibrazione Sa(T1), necessario per la creazione

delle curve IDA secondo il metodo di (Vamvatsikos & Cornell, 2002). Per tale processo

sono state utilizzate diverse function. Tra queste vi è una denominata “SPEC_GHM”

scaricabile dal sito web: http://alum.sharif.edu/~tazarv/ che permette di creare uno

spettro di risposta elastico partendo da alcuni accelerogrammi di tipo naturali. File Calcolo.m: %%Questo codice di calcolo permette di ottenere diversi grafici in

riferimento a F.Jalayer, P.Franchin eE.Pinto - "A scalar damage

measure for seimsic reliability analysis od RC frames".

%I risultati sono: %1- Curve di Fragilità per 3 stati limite IO, LS e CP; %2- Valutazione dell'affidabilità sismica mediante la valutazione

%della frequenza media annua di superamento degli stati limite IO,

%LS e CP; %3- Curve IDA in termini di pseudoaccelerazione spettrale in

%corrispondenza del periodo principale di vibrazione Sa(T1) e

%Massimo spostamento di interpiano (MIDR); %4- Costruzione delle IDa in termini di Sa(T1) e rapporto

%domanda/capacità (Y). %% %Murdica Gaetano Hermann, Ingegneria Civile, Università

Mediterranea %di Reggio Calabria

http://alum.sharif.edu/~tazarv/


%% %INTPUT----------------------------------------------------------- %Geometrici: hi = 3.625; %hi:

Altezza interpiano n_accel = 7; %n_accel

Numero di accelerogrammi impiegati nell'analisi n_piani = 2; %n_piani

Numero dei piani del fabbricato

%Caratteristiche meccaniche: csi_s = 0.05;

%csi_s: Rapporto di smorzamento strutturale T1 = 0.17495121;

%T1: Periodo principale di vibrazione della struttura

%Livelli prestazionali FEMA 356 - Chapter 1 - table:C1.4:

IO = 0.002;

%IO: Immediate Occupancy LS = 0.006;

%LS: Life Safety CP = 0.015;

%CP: Collapse Prevention

%SF=Fattore scala degli accelerogrammi

%% %ALGORITMO DI CALCOLO %-----------------------------------------------------------------

-------- format long

a1=Dinar; a2=Friuli; a3=Gulf_of_Corinth; a4=Kalamata1; a5=Kalamata2; a6=Montenegro; a7=South_Iceland;

load SF_Dinar.txt; load SF_Friuli.txt; load SF_Gulf_of_Corinth.txt; load SF_Kalamata1.txt; load SF_Kalamata2.txt; load SF_Montenegro.txt; load SF_South_Iceland.txt;


HLS=zeros(3,1);

%Creo il vettore per determinare le ordinate spettrali in

corrispondenza %delle curve IDA per Y=1 SY_res=zeros(1,n_accel);

%Al termine dell'analisi verranno creati dei file all'interno

%della cartella principale con le siglie I, L ed U; questi

%corrispondono ai %grafici del punto 4) con I=IO, L=LS, U=CP livelli=['I';'L';'U'];

for ciclo=1:length(livelli)

if ciclo==1 teta_max = IO; elseif ciclo==2 teta_max = LS; else teta_max = CP; end

SY=zeros(1,n_accel); mSxg=zeros(n_accel,1); mSxgT1=zeros(n_accel,1);

if ciclo==1 media_log_res=zeros(length(livelli),1); log_stdev_res=zeros(length(livelli),1); end

%E' fondamentale che le lunghezze dei vettori relativi ai fattori

%scala ed ai risultati della generica domanda, siano uguali.

for i=1:n_accel if i==1 load res_Dinar.txt; result_MIDR=res_Dinar; accelerogramma=a1; SF=SF_Dinar; elseif i==2 load res_Friuli.txt; result_MIDR=res_Friuli; accelerogramma=a2; SF=SF_Friuli; elseif i==3 load res_Gulf_of_Corinth.txt; result_MIDR=res_Gulf_of_Corinth; accelerogramma=a3; SF=SF_Gulf_of_Corinth;


elseif i==4 load res_Kalamata1.txt; result_MIDR=res_Kalamata1; accelerogramma=a4; SF=SF_Kalamata1; elseif i==5 load res_Kalamata2.txt; result_MIDR=res_Kalamata2; accelerogramma=a5; SF=SF_Kalamata2; elseif i==6 load res_Montenegro.txt; result_MIDR=res_Montenegro; accelerogramma=a6; SF=SF_Montenegro; elseif i==7 load res_South_Iceland.txt; result_MIDR=res_South_Iceland; accelerogramma=a7; SF=SF_South_Iceland; end

[teta,Y1,Sxg,SxgT1,SY1]=IDA(SF,teta_max,accelerogramma,result_MIDR

,T1);

if i==1 A=Y1; A1=Sxg; elseif i==2 B=Y1; B1=Sxg; elseif i==3 C=Y1; C1=Sxg; elseif i==4 D=Y1; D1=Sxg; elseif i==5 E=Y1; E1=Sxg; elseif i==6 F=Y1; F1=Sxg; elseif i==7 G=Y1; G1=Sxg; end SY_res(ciclo,i)=SY1; SY(1,i)=SY1; mSxg(i,1)=max(Sxg); mSxgT1(i,1)=SxgT1;


%GRAFICO 7 - Genero le curve IDA con ascisse il massimo

%spostamento di interpiano---------------------------------------- hold on; plot(teta,Sxg,'b-*','LineWidth',2) grid on xlabel('Maximum Inter-storey drift angle,

\theta_m_a_x','FontSize',16); ylabel('S_a(T_1) [g]','FontSize',16); title('Incremental Dynamic Analysis','FontSize',16) end

set(1,'Filename','IDA-drift','Paperorientation','rotated',... 'paperPosition',[-1.089 0.216 31.84

20.59],'paperpositionmode','manual') print -dpdf IDA-drift %stampo file pdf nella cartella

hold off; close all

maxSxg=max(mSxg); Sxg=maxSxg; SxgT1=mSxgT1;

figure('Name','Incremental Dynamic Analysis','NumberTitle','off') %Grafico 1 - Genero le curve IDA---------------------------------

for i=1:n_accel if i==1 Y=A; Sxg2=A1; elseif i==2 Y=B; Sxg2=B1; elseif i==3 Y=C; Sxg2=C1; elseif i==4 Y=D; Sxg2=D1; elseif i==5 Y=E; Sxg2=E1; elseif i==6 Y=F; Sxg2=F1; elseif i==7 Y=G; Sxg2=G1; end

%Genero la retta verticale da sovrapporre al diagramma


gx=ones(2,1); gy=zeros(2,1); gy(2,1)=mSxg(i,1); g=ones(1,n_accel);

%Grafico 2 - Curve IDA + Retta verticale + punti intersezione hold on; for i=1:n_accel if SY(1,i)>0 plot(Y,Sxg2,gx,gy,g,SY(1,:),'g*') else plot(Y,Sxg2,gx,gy) end end grid on

xlabel('Rapporto Domanda/Capacità Y','FontSize',16); ylabel('S_a(T_1) [g]','FontSize',13); title('Incremental Dynamic Analysis','FontSize',16) end

%-----------------------------------------------------------------

------- %CALCOLO DELLA MEDIANA, DEVIAZIONE STANDARD, VARIANZA E PDF LOG-

NORMALE

%Creo un vettore SY ordinato in senso crescente per il calcolo

%della %mediana SY0=sort(SY);

% 1 - Mediana n=length(SY); if rem(n,2)==0 %numero pari th1=n/2; th2=(n/2)+1; mediana=(SY0(th1)+SY0(th2))/2; else %numero dispari th=(n+1)/2; mediana=SY0(th); end

%2 - Media media=mean(SY0);

%3 - Media logaritmica log_SY0=log(SY0); media_log=mean(log_SY0); media_log_res(ciclo,1)=mean(log_SY0);


%4 - Deviazione Standard % stdev=sqrt(sum((SY-mediana).^2)/n_accel); stdev=std(SY,1);

%5 - Deviazione Standard logaritmica log_stdev=std(log_SY0,1); log_stdev_res(ciclo,1)=std(log_SY0,1);

% 6 - Varianza varianza=stdev^2;

%Definisco i punti in cui calcolare e plottare la curva pdf

(start_pdf e %end_pdf) start_pdf=0; end_pdf=1.5;

dSax=0.001; SYpdf=start_pdf:dSax:end_pdf; lSYpdf=length(SYpdf);

%Distribuzione Normale della pdf PDF=pdf('lognormal',SYpdf,media_log,log_stdev);

%La curva pdf appena calcolata deve essere aggiunta al grafico

%delle curve IDA. %Data la dimensione (in termini grafici) della pdf che è

%maggiore del riquadro, è necessario scalare l'ascissa della

%funzione.

Scala=0.2; %scala del 80% for j=1:lSYpdf PDF(j)=PDF(j)*Scala; end

%Il vettore PDFg serve per spostare la curva in

%corrispondenza di Y=1 PDFg=PDF+1; plot(PDFg,SYpdf,'-m','LineWidth',2) if ciclo==1 axis([0 8 0 1]) elseif ciclo==2 axis([0 6 0 1]) else axis([0 3 0 1.5]) end set(1,'Filename','IDA','Paperorientation','rotated',... 'paperPosition',[-1.089 0.216 31.84

20.59],'paperpositionmode','manual') print ('-dpdf',livelli(ciclo))


hold off; close all %-----------------------------------------------------------------

%CALCOLO DELLA FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE CUMULATA LOG-NORMALE CDF maxSxg=max(max(Sxg)); infinito=1; dSax=0.0001; Sax=0:dSax:infinito; lSax=length(Sax);

if ciclo==1 CDF = zeros(3,lSax); end

CDF(ciclo,:) = logncdf(Sax,media_log,log_stdev); %-----------------------------------------------------------------

%CALCOLO DELLA FREQUENZA MEDIA ANNUA DI SUPERAMENTO--------------- %discretizzo la curva di pericolosità della zona (dSaHz) Start_hazard_curve=0.04; End_hazard_curve=infinito; dSahzc=Start_hazard_curve:dSax:End_hazard_curve;

%trovo il passo in cui il vettore Sax è pari a 0.04 cont=lSax-length(dSahzc);

%Creo la funzione della curva di pericolosità HSa=zeros(lSax-cont,1); i=1; for j=cont:lSax-1 if Sax(j)<=0.3887906 HSa(i,1)=0.001785*Sax(j)^-1.826846; elseif Sax(j)<0.459301 && Sax(j)>0.3887906 HSa(i,1)=0.001487*Sax(j)^-2.009612; elseif Sax(j)<=0.8094994 && Sax(j)>=0.459301 HSa(i,1)=0.001337*Sax(j)^-2.163151; elseif Sax(j)<1.0905922 && Sax(j)>0.8094994 HSa(i,1)=0.001264*Sax(j)^-2.412676; else HSa(i,1)=0.001292*Sax(j)^-2.665779; end i=i+1; end

loglog(dSahzc',HSa(:,1),'r-','LineWidth',2);grid on title('Hazard curve','FontSize',16); xlabel('S_a(T_1)','FontSize',16); ylabel('H_S_a(S_a)','FontSize',16);


set(1,'Filename','Hazard_curve','Paperorientation','rotated',... 'paperPosition',[-1.089 0.216 31.84

20.59],'paperpositionmode','manual') print -dpdf Hazard_curve %stampo file pdf nella cartella close all

i=1; for j=(cont+1):(lSax-1) x=(HSa(i,1)+HSa(i+1,1))*0.5; y=(CDF(ciclo,j)+CDF(ciclo,j+1))*0.5; ft=y*x; HLS(ciclo,1)=HLS(ciclo,1)+ft*dSax; i=i+1; end disp('Frequenza annua media di superamento dello stato limite') HLS(ciclo,1) %----------------------------------------------------------------- end

%GRAFICO 5 - CURVA DI FRAGILITÀ----------------------------------- for i=1:3 hold on plot(Sax,CDF(i,:),'b-','LineWidth',2) grid on xlabel('S_a(T_1) [g]','FontSize',16); ylabel('P(Y>1|S_a)','FontSize',16); title('Curva di fragilità','FontSize',16) end set(1,'Filename','FragilityCurve','Paperorientation','rotated',... 'paperPosition',[-1.089 0.216 31.84

20.59],'paperpositionmode','manual') print -dpdf FragilytyCurve %stampo file pdf nella cartella close all %----------------------------------------------------------------

%CREAZIONE DELL'ISTOGRAMMA PER S(T1)------------------------------ Xm=round(10*(max(SxgT1)))/10; Xmax=Xm+1; dx_ist=0.05; x_ist=0:dx_ist:Xmax; lx_ist=length(x_ist); ist=zeros(1,(lx_ist-1)); DSa=zeros(1,(lx_ist-1)); for p=2:(lx_ist-1) DSa(1,p)=DSa(1,(p-1))+dx_ist; end

for j=1:n_accel for i=2:(lx_ist-1) if SxgT1(j)<DSa(1,i)&& SxgT1(j)>DSa(1,i-1)


ist(1,i)=ist(1,i)+1; end end end

%GRAFICO 6 - ISTOGRAMMI------------------------------------------- %nel caso in cui le barre si sovrappongono è sufficiente

%modificare il valore da 1 ad 0.9 cioè bar(DSa,ist,0.9) bar(DSa,ist,1) grid on xlabel('S_a(T_1) [g]','FontSize',16); title('Istogramma per Sa(T_1) per un set di 7

accelerogrammi','FontSize',16) set(1,'Filename','Istogramma','Paperorientation','rotated',... 'paperPosition',[-1.089 0.216 31.84

20.59],'paperpositionmode','manual')

print -dpdf Istogramma %stampo file pdf nella cartella close all %-----------------------------------------------------------------

disp('Analisi completata')

%15. STAMPA SU FILE DEI RISULTATI file='risultati.txt'; TX=fopen(file,'wt'); fprintf(TX,'______________________________________________________

_____________________\n\n'); fprintf(TX,' TESI DI LAUREA MAGISTRALE\n'); fprintf(TX,' A.A.2011/12 Università Mediterranea - Facoltà di

ingegneria\n'); fprintf(TX,' Studente: Murdica Gaetano Hermann - Matricola

95557\n'); fprintf(TX,' Relatore: Prof.Ing Enzo D''amore\n'); fprintf(TX,'______________________________________________________

_____________________\n\n'); fprintf(TX,' *-----------------------------*\n'); fprintf(TX,'Analisi dinamica incrementale IDA e Curve di fragilità

per un edificio in\n'); fprintf(TX,'muratura confinata\n '); fprintf(TX,' *-----------------------------

*\n\n\n');

fprintf(TX,'\n\n\n________________________________________________

___________________'); fprintf(TX,'\nINPUT

************************************************'); fprintf(TX,'\n*************** DATI DELLA STRUTTURA

*****************\n\n');


fprintf(TX,'Altezza interpiano

........................................ Hi [L]

=%3.2f\n',hi); fprintf(TX,'Periodo fondamentale di vibrazione della

struttura......... T1 [L/m^3] =%3.3f\n',T1); fprintf(TX,'Coefficente di smorzamento

strutturale..................... csi [L/m^3] =%3.2f\n',csi_s); fprintf(TX,'Numero di

piani............................................ csi [L/m^3]

=%3.2f\n',n_piani);

fprintf(TX,'\n\n\n*************** DATI ACCELEROGRAMMI

*****************\n\n'); fprintf(TX,'Numero accelerogrammi utilizzati per

analisi............... n [ad] =%3.2f\n',n_accel);

fprintf(TX,'\n\n\n******************* DATI

FEMA*************************\n\n'); fprintf(TX,'MIDR per Immediate

Occupation............................. n [ad]

=%3.4f\n',IO); fprintf(TX,'MIDR per Life

Safety...................................... n [ad]

=%3.4f\n',LS); fprintf(TX,'MIDR per Collapse

prevention.............................. n [ad]

=%3.4f\n',CP);

fprintf(TX,'\n\n\n\n\n\n__________________________________________

_________________________'); fprintf(TX,'\nOUTPUT

***********************************************'); fprintf(TX,'\n************ RISULTATI ANALISI- RISPOSTA

*************\n\n'); fprintf(TX,'Frequenza media annua di superamento dello stato

limite.... HLS [sec^-1] =%3.6f\n',HLS); fprintf(TX,'Mediana dei punti di intersezione delle curve IDA con

Y=1.. eta_d [ad] =%3.4f\n',mediana); fprintf(TX,'Deviazione standard dei punti di inters.curve IDA con

Y=1.. eta_d [ad] =%3.4f\n',stdev); fclose(TX);

File IDA.m: %Questa funzione consente di determinare i valori di Y e i valori

%di pseudoaccelerazione spettrale Sa(T1).


function

[teta,Y,Sxg,SxgT1,SY]=IDA(SF,teta_max,accelerogramma,result_MIDR,T

1)

k = length(SF); Sxg = zeros(k+1,1); SxgT1 = 0; g = 0.9806;

a1=accelerogramma;

%Calcolo la S(T1) per i diversi accelerogrammi for j=1:k col2=SF(j)*a1(:,2); col1=a1(:,1); Acceler=[col1,col2]; n=length(a1); [T,Spa,Spv,Sd]=SPEC_GHM(a1(2,1),Acceler(:,2),5,g,a1(n,1));

[Sx]=SPEC_GHM2(T1,Spa,T); Sxg(j+1)=Sx; disp ('Calcolo accelerazione spettrale in corrispondenza del

periodo principale di vibrazione per il fattore scala:') disp (SF(j)) j=j+1; end disp ('Calcolo accelerazione spettrale in corrispondenza del

periodo principale di vibrazione per accelerogramma') col2=a1(:,2); col1=a1(:,1); Accelerogramma=[col1,col2]; n=length(a1);

[T,Spa,Spv,Sd]=SPEC_GHM(a1(2,1),Accelerogramma(:,2),5,g,a1(n,1)); [Sx]=SPEC_GHM2(T1,Spa,T); SxgT1=Sx;

%COSTRUISCO I VETTORI DI Y E TETA PER L'ELABORAZIONE DEI DATI result=result_MIDR; teta=zeros(k+1,1); Y=zeros(k+1,1);

%CALCOLO IL MASSIMO SPOSTAMENTO DI INTERPIANO for i=1:k teta(i+1)=result(i); Y(i+1)=teta(i+1)/teta_max; end

%TROVO I PUNTI DI INTERSEZIONE TRA L'ACCELERAZIONE SPETTRALE S(T1)

E LA %RETTA Y=1


%Conto quante volte il rapporto critico Y è inferiore ad 1. Il %valore che segue questo risultato, sarà quello che supera Y=1

%e tramite interpolazione lineare posso calcolare la Sa(Y=1)

%chiamata SY pos1=0; for i=1:(k+1) if Y(i)<1 pos1=pos1+1; end end

SY=0;

if pos1==(k+1) SY=0; elseif pos1>0 SY2=Sxg(pos1+1); SY1=Sxg(pos1); X2=Y((pos1+1)); X1=Y(pos1); SY=SY2-(X2-1)*(SY2-SY1)/(X2-X1); end

end


File SPEC_GHM.m: %% Elastic Response Spectra % This is a function to generate elastic response specra including

%Displacement Spectrum, Pseudo Acceleration Spectrum and Pseudo

%Velocity Spectrum which are needed in "Response Spectrum

%Analysis" of Structures. In this function to solve "Equation of

%Motions" for different periods, Newmark Linear Method % has been used.

%% @ Mostafa Tazarv, Carleton University, May 2011

%% SPEC Function Help:

% INPUTS: % dt: Time Interval (Sampling Time) of Record % Ag: Ground Motion Acceleration in g % zet: Damping Ratio in percent (%); e.g. 5 % g: Gravitational Constant; e.g. 9.81 m/s/s % endp: End Period of Spectra; e.g. 4 sec

% OUTPUTS: % T: Period of Structures (sec) % Spa: Elastic Pseudo Acceleration Spectrum % Spv: Elastic Pseudo Velocity Spectrum % Sd: Elastic Displacement Spectrum

function [T,Spa,Spv,Sd]=SPEC(dt,Ag,zet,g,endp) u=zeros(length(Ag),1); v=zeros(length(Ag),1); ac=zeros(length(Ag),1); Ag(end+1)=0; T(1,1)=0.00; for j=1:round(endp/dt) % equation of

motion(Newmark linear method) omega(j,1)=2*pi/T(j); % Natural Frequency m=1; k=(omega(j))^2*m; c=2*m*omega(j)*zet/100; K=k+3*c/dt+6*m/(dt)^2; a=6*m/dt+3*c; b=3*m+dt*c/2; for i=1:length(u)-1 u(1,1)=0; %initial conditions v(1,1)=0; ac(1,1)=0; df=-(Ag(i+1)-Ag(i))+a*v(i,1)+b*ac(i,1); % delta Force du=df/K; dv=3*du/dt-3*v(i,1)-dt*ac(i,1)/2; dac=6*(du-dt*v(i,1))/(dt)^2-3*ac(i,1);


u(i+1,1)=u(i,1)+du; v(i+1,1)=v(i,1)+dv; ac(i+1,1)=ac(i,1)+dac; end Sd(j,1)=max(abs((u(:,1)))); %Sv(j,1)=max(abs(v)); %Sa(j,1)=max(abs(ac))/g; Spv(j,1)=Sd(j)*omega(j); Spa(j,1)=Sd(j)*(omega(j))^2/g; T(j+1,1)=T(j)+dt; end Ag(end)=[]; T(end)=[]; Sd(2,1)=0; Spv(1:2,1)=0;Spa(1:2,1)=max(abs(Ag))/g;

File SPEC_GHM2.m:

%Calcolo della pseudoaccelerazione spettrale in riferimento al

%periodo principale di vibrazione della struttura

%----------------------------------------------------------------- %Parametri: %T1: Periodo principale di vibrazione della struttura %Sx: Pseudoaccelerazione spettrale

%Inizio algoritmo function [Sx]=SPEC_GHM2(T1,Spa,T) %T1=0.11; i=1;

%Calcolo di S(T1) while T1>T(i) i=i+1; end Sx=Spa(i)-1/((T(i)-T(i-1))/(Spa(i)-Spa(i-1)))*(T(i)-T1);

240 APPENDICE D: Risultati numerici delle analisi dinamiche incrementali

APPENDICE D: Risultati numerici delle analisi dinamiche incrementali

Vengono riportate nelle pagine seguenti le diverse tabelle contenenti i risultati numerici

delle analisi dinamiche incrementali.


Risultati delle analisi dinamiche incrementali IDA mediante Seismostruct - Modello ad un puntone – Sa(T1)-MIDR

Fattore scala Dinar

Fattore

scala Friuli

Fattore

scala

Gulf of

Corinth

Fattore

scala

Kalamata

(x)

Fattore

scala

Kalamata

(y)

Fattore

scala

Monten

egro

Fattore

scala

South of

Iceland

0.1 0.0005 0.1 0.0001 0.1 0.0002 0.1 0.0003 0.1 0.0004 0.1 0.0001 0.1 0.0009

0.1275 0.0007 0.395 0.0006 0.2 0.0003 0.27 0.0013 0.16 0.0008 0.31 0.0003 0.15 0.0015

0.155 0.0008 0.4 0.0006 0.495 0.0007 0.3 0.0016 0.22 0.0010 0.4 0.0005 0.2 0.0034

0.1825 0.0011 0.69 0.0013 0.7 0.0010 0.44 0.0037 0.25 0.0016 0.51 0.0008 0.25 0.0043

0.21 0.0013 0.7 0.0013 0.89 0.0015 0.5 0.0046 0.28 0.0024 0.7 0.0012 0.3 0.0063

0.2375 0.0017 0.985 0.0026 1.2 0.0032 0.61 0.0065 0.34 0.0044 0.72 0.0013 0.35 0.0086

0.265 0.0028 1.28 0.0040 1.285 0.0036 0.7 0.0082 0.4 0.0064 0.92 0.0033 0.4 0.0103

0.2925 0.0038 1 0.0027 1.68 0.0058 0.78 0.0094 0.46 0.0082 1 0.0043 0.45 0.0124

0.32 0.0046 1.3 0.0041 1.7 0.0060 0.9 0.0119 0.52 0.0101 1.13 0.0064 0.5 0.0152

0.3475 0.0054 1.575 0.0061 2.075 0.0089 0.95 0.0128 0.55 0.0110 1.3 0.0094 0.53 0.0170

0.375 0.0059 1.6 0.0063 2.2 0.0097 1.1 0.0180 0.58 0.0123 1.33 0.0100 0.64 0.0233

0.4 0.0063 1.87 0.0085 2.47 0.0115 1.12 0.0187 0.64 0.0153 1.54 0.0142 0.77 0.0294

0.4025 0.0064 1.9 0.0087 2.7 0.0132 1.29 0.0250 0.7 0.0188 1.6 0.0164 0.78 0.0299

0.43 0.0071 2.165 0.0114 2.865 0.0144 1.3 0.0252 0.76 0.0221 1.74 0.0212 0.852 0.0326

0.4575 0.0079 2.46 0.0146 3.2 0.0163 1.46 0.0302 0.82 0.0254 1.9 0.0258 0.9 0.0341

0.485 0.0086 2.5 0.0149 3.26 0.0166 1.5 0.0311 0.85 0.0273 1.95 0.0268 0.924 0.0349

0.5125 0.0093 2.675 0.0168 3.5 0.0175 1.63 0.0374 0.88 0.0289 2.15 0.0315 0.996 0.0370

0.54 0.0100 2.755 0.0179 3.655 0.0180 1.8 0.0463 0.902 0.0303 2.2 0.0324 1 0.0371

0.5675 0.0106 2.85 0.0191 3.8 0.0184 1.97 0.0545 0.924 0.0316 2.36 0.0355 1.068 0.0402

0.595 0.0114 3 0.0210 4.05 0.0191 2 0.0556 0.94 0.0323 2.56 0.0389 1.14 0.0436

0.6225 0.0121 3.025 0.0213 4.1 0.0193 0.946 0.0328 2.6 0.0395 1.212 0.0471

0.65 0.0130 3.05 0.0216 4.4 0.0200 0.968 0.0340 2.77 0.0420 1.284 0.0502

0.7 0.0147 3.2 0.0233 4.445 0.0202 0.99 0.0352 2.97 0.0452 1.356 0.0534


0.82 0.0205 3.375 0.0250 4.7 0.0208 1.012 0.0366 3 0.0455 1.428 0.0562

0.94 0.0266 3.5 0.0266 4.84 0.0213 1.034 0.0379 3.18 0.0473 1.5 0.0587

1 0.0297 3.55 0.0271 5 0.0217 1.056 0.0394 3.38 0.0517

1.06 0.0329 4 0.0332 5.235 0.0228 1.078 0.0406 3.4 0.0521

1.18 0.0397 4.5 0.0401 5.5 0.0245 1.1 0.0419 3.59 0.0558

1.3 0.0456 5 0.0473 5.63 0.0253 3.79 0.0592

1.42 0.0509 5.5 0.0534 6 0.0274 3.8 0.0592

1.54 0.0550 6 0.0579 6.025 0.0276

1.6 0.0586 6.42 0.0300

6.5 0.0303

6.8 0.0320

6.815 0.0321

7.21 0.0347

7.605 0.0368

8 0.0387


Risultati delle analisi dinamiche incrementali IDA mediante Seismostruct - Modello a due puntoni– Sa(T1)-MIDR

Fattore scala Dinar

Fattore

scala Friuli

Fattore

scala

Gulf of

Corinth

Fattore

scala

Kalamata

(x)

Fattore

scala

Kalamata

(y)

Fattore

scala Montenegro

Fattore

scala

South of

Iceland

0.1 0.0004 0.1 0.0002 0.2 0.0004 0.1 0.0004 0.1 0.0005 0.1 0.0002 0.1 0.0010

0.2 0.0012 0.2 0.0003 0.7 0.0013 0.185 0.0007 0.1575 0.0009 0.265 0.0004 0.165 0.0029

0.3 0.0051 0.345 0.0005 1.2 0.0035 0.27 0.0016 0.215 0.0013 0.43 0.0006 0.23 0.0046

0.4 0.0071 0.59 0.0011 1.7 0.0071 0.355 0.0030 0.2725 0.0026 0.5 0.0008 0.295 0.0070

0.42 0.0074 0.7 0.0014 1.75 0.0075 0.44 0.0044 0.33 0.0047 0.595 0.0010 0.36 0.0097

0.44 0.0081 0.835 0.0019 1.89 0.0088 0.5 0.0056 0.3875 0.0068 0.76 0.0020 0.4 0.0114

0.46 0.0087 1.08 0.0036 2.02 0.0099 0.525 0.0061 0.445 0.0083 0.9 0.0042 0.425 0.0124

0.48 0.0093 1.2 0.0044 2.16 0.0110 0.61 0.0077 0.5 0.0107 0.925 0.0046 0.5 0.0158

0.5 0.0099 1.325 0.0053 2.2 0.0114 0.695 0.0091 0.5025 0.0107 1.09 0.0068 0.565 0.0196

0.6 0.0133 1.57 0.0068 2.29 0.0120 0.78 0.0109 0.56 0.0135 1.255 0.0103 0.63 0.0233

0.62 0.0140 1.7 0.0080 2.43 0.0131 0.865 0.0128 0.6175 0.0160 1.3 0.0116 0.7 0.0267

0.64 0.0148 1.815 0.0090 2.56 0.0145 0.9 0.0134 0.675 0.0196 1.42 0.0140 0.75 0.0286

0.66 0.0155 2.2 0.0136 2.7 0.0158 0.95 0.0147 0.7325 0.0237 1.425 0.0143 0.796 0.0306

0.68 0.0161 2.7 0.0200 2.83 0.0166 1.035 0.0181 0.79 0.0275 1.47 0.0160 0.842 0.0328

0.7 0.0172 3.2 0.0259 2.97 0.0175 1.2 0.0248 0.8475 0.0313 1.7 0.0244 1 0.0416

0.705 0.0176 3.7 0.0340 3.1 0.0181 1.25 0.0263 0.9 0.0347 1.75 0.0258 1.05 0.0438

0.75 0.0205 4.2 0.0420 3.2 0.0185 1.285 0.0276 0.905 0.0352 1.8 0.0271 1.07 0.0451

0.755 0.0209 4.3 0.0437 3.7 0.0200 1.37 0.0313 0.95 0.0380 1.85 0.0281 1.09 0.0460

0.9 0.0308 4.35 0.0441 4.2 0.0208 1.4 0.0329 0.9625 0.0388 1.9 0.0293 1.11 0.0473

1.05 0.0409 4.4 0.0452 4.7 0.0216 1.455 0.0362 1 0.0412 2 0.0310 1.13 0.0483

1.15 0.0463 4.45 0.0458 5 0.0227 1.5 0.0390 1.02 0.0429 2.5 0.0384 1.15 0.0492

4.5 0.0468 5.5 0.0259 1.54 0.0405 1.05 0.0443 2.8 0.0436 1.17 0.0503

6 0.0288 1.6 0.0444 1.0775 0.0458 3.1 0.0512 1.19 0.0512

6.05 0.0292 1.62 0.0452 1.1 0.0474 3.4 0.0570 1.21 0.0519


6.1 0.0295 1.625 0.0459 1.135 0.0494 1.23 0.0531

6.15 0.0299 1.64 0.0469 1.15 0.0505 1.25 0.0539

6.5 0.0324 1.3 0.0565

6.6 0.0329

6.7 0.0333

6.8 0.0341

6.9 0.0347


Risultati delle analisi dinamiche incrementali IDA mediante Seismostruct - Modello ad un puntone – Sa(T1)-Y – Per MIDRmax =0.002

Fattore scala

Dinar Fattore

scala Friuli

Fattore scala

Gulf of Corinth

Fattore scala

Kalamata (x)

Fattore scala

Kalamata (y)

Fattore scala

Montenegro Fattore

scala South of Iceland

0.1 0.248 0.1 0.071 0.1 0.087 0.1 0.154 0.1 0.215 0.1 0.067 0.1 0.438

0.1275 0.328 0.395 0.298 0.2 0.153 0.27 0.646 0.16 0.386 0.31 0.174 0.15 0.725

0.155 0.421 0.4 0.304 0.495 0.351 0.3 0.775 0.22 0.507 0.4 0.261 0.2 1.713

0.1825 0.544 0.69 0.631 0.7 0.510 0.44 1.849 0.25 0.815 0.51 0.387 0.25 2.172

0.21 0.653 0.7 0.652 0.89 0.745 0.5 2.286 0.28 1.184 0.7 0.587 0.3 3.149

0.2375 0.841 0.985 1.291 1.2 1.594 0.61 3.237 0.34 2.213 0.72 0.627 0.35 4.293

0.265 1.403 1.28 1.978 1.285 1.799 0.7 4.105 0.4 3.217 0.92 1.651 0.4 5.133

0.2925 1.904 1 1.331 1.68 2.911 0.78 4.708 0.46 4.096 1 2.173 0.45 6.198

0.32 2.305 1.3 2.064 1.7 3.017 0.9 5.949 0.52 5.052 1.13 3.175 0.5 7.580

0.3475 2.679 1.575 3.059 2.075 4.429 0.95 6.414 0.55 5.501 1.3 4.690 0.53 8.500

0.375 2.969 1.6 3.147 2.2 4.854 1.1 8.985 0.58 6.136 1.33 4.999 0.64 11.635

0.4 3.170 1.87 4.229 2.47 5.729 1.12 9.359 0.64 7.666 1.54 7.122 0.77 14.679

0.4025 3.190 1.9 4.360 2.7 6.622 1.29 12.489 0.7 9.397 1.6 8.216 0.78 14.927

0.43 3.569 2.165 5.725 2.865 7.194 1.3 12.619 0.76 11.063 1.74 10.585 0.852 16.302

0.4575 3.943 2.46 7.302 3.2 8.134 1.46 15.088 0.82 12.690 1.9 12.903 0.9 17.072

0.485 4.306 2.5 7.473 3.26 8.283 1.5 15.552 0.85 13.649 1.95 13.376 0.924 17.467

0.5125 4.654 2.675 8.394 3.5 8.752 1.63 18.688 0.88 14.442 2.15 15.744 0.996 18.510

0.54 4.979 2.755 8.936 3.655 8.983 1.8 23.157 0.902 15.147 2.2 16.217 1 18.528

0.5675 5.298 2.85 9.538 3.8 9.207 1.97 27.254 0.924 15.803 2.36 17.738 1.068 20.124

0.595 5.694 3 10.493 4.05 9.535 2 27.784 0.94 16.156 2.56 19.465 1.14 21.784

0.6225 6.066 3.025 10.635 4.1 9.632 0.946 16.401 2.6 19.739 1.212 23.555

0.65 6.518 3.05 10.781 4.4 9.998 0.968 17.018 2.77 20.988 1.284 25.115

0.7 7.370 3.2 11.636 4.445 10.080 0.99 17.597 2.97 22.579 1.356 26.718

0.82 10.255 3.375 12.495 4.7 10.410 1.012 18.299 3 22.738 1.428 28.122

0.94 13.284 3.5 13.295 4.84 10.627 1.034 18.962 3.18 23.638 1.5 29.360

1 14.871 3.55 13.528 5 10.838 1.056 19.701 3.38 25.873

1.06 16.474 4 16.591 5.235 11.387 1.078 20.308 3.4 26.062


1.18 19.856 4.5 20.046 5.5 12.261 1.1 20.975 3.59 27.924

1.3 22.821 5 23.651 5.63 12.653 3.79 29.592

1.42 25.466 5.5 26.693 6 13.694 3.8 29.606

1.54 27.521 6 28.965 6.025 13.784

1.6 29.316 6.42 15.005

6.5 15.163

6.8 16.003

6.815 16.066

7.21 17.341

7.605 18.412

8 19.358



Fattore scala Dinar

Fattore

scala Friuli

Fattore

scala

Gulf of

Corinth

Fattore

scala

Kalamata

(x)

Fattore

scala

Kalamata

(y)

Fattore

scala

Montene

gro

Fattore

scala

South of

Iceland

0.1 0.083 0.1 0.024 0.1 0.029 0.1 0.051 0.1 0.072 0.1 0.022 0.1 0.146

0.1275 0.109 0.395 0.099 0.2 0.051 0.27 0.215 0.16 0.129 0.31 0.058 0.15 0.242

0.155 0.140 0.4 0.101 0.495 0.117 0.3 0.258 0.22 0.169 0.4 0.087 0.2 0.571

0.1825 0.181 0.69 0.210 0.7 0.170 0.44 0.616 0.25 0.272 0.51 0.129 0.25 0.724

0.21 0.218 0.7 0.217 0.89 0.248 0.5 0.762 0.28 0.395 0.7 0.196 0.3 1.050

0.2375 0.280 0.985 0.430 1.2 0.531 0.61 1.079 0.34 0.738 0.72 0.209 0.35 1.431

0.265 0.468 1.28 0.659 1.285 0.600 0.7 1.368 0.4 1.072 0.92 0.550 0.4 1.711

0.2925 0.635 1 0.444 1.68 0.970 0.78 1.569 0.46 1.365 1 0.724 0.45 2.066

0.32 0.768 1.3 0.688 1.7 1.006 0.9 1.983 0.52 1.684 1.13 1.058 0.5 2.527

0.3475 0.893 1.575 1.020 2.075 1.476 0.95 2.138 0.55 1.834 1.3 1.563 0.53 2.833

0.375 0.990 1.6 1.049 2.2 1.618 1.1 2.995 0.58 2.045 1.33 1.666 0.64 3.878

0.4 1.057 1.87 1.410 2.47 1.910 1.12 3.120 0.64 2.555 1.54 2.374 0.77 4.893

0.4025 1.063 1.9 1.453 2.7 2.207 1.29 4.163 0.7 3.132 1.6 2.739 0.78 4.976

0.43 1.190 2.165 1.908 2.865 2.398 1.3 4.206 0.76 3.688 1.74 3.528 0.852 5.434

0.4575 1.314 2.46 2.434 3.2 2.711 1.46 5.029 0.82 4.230 1.9 4.301 0.9 5.691

0.485 1.435 2.5 2.491 3.26 2.761 1.5 5.184 0.85 4.550 1.95 4.459 0.924 5.822

0.5125 1.551 2.675 2.798 3.5 2.917 1.63 6.229 0.88 4.814 2.15 5.248 0.996 6.170

0.54 1.660 2.755 2.979 3.655 2.994 1.8 7.719 0.902 5.049 2.2 5.406 1 6.176

0.5675 1.766 2.85 3.179 3.8 3.069 1.97 9.085 0.924 5.268 2.36 5.913 1.068 6.708

0.595 1.898 3 3.498 4.05 3.178 2 9.261 0.94 5.385 2.56 6.488 1.14 7.261

0.6225 2.022 3.025 3.545 4.1 3.211 0.946 5.467 2.6 6.580 1.212 7.852

0.65 2.173 3.05 3.594 4.4 3.333 0.968 5.673 2.77 6.996 1.284 8.372

0.7 2.457 3.2 3.879 4.445 3.360 0.99 5.866 2.97 7.526 1.356 8.906

0.82 3.418 3.375 4.165 4.7 3.470 1.012 6.100 3 7.579 1.428 9.374

0.94 4.428 3.5 4.432 4.84 3.542 1.034 6.321 3.18 7.879 1.5 9.787


1 4.957 3.55 4.509 5 3.613 1.056 6.567 3.38 8.624

1.06 5.491 4 5.530 5.235 3.796 1.078 6.769 3.4 8.687

1.18 6.619 4.5 6.682 5.5 4.087 1.1 6.992 3.59 9.308

1.3 7.607 5 7.884 5.63 4.218 3.79 9.864

1.42 8.489 5.5 8.898 6 4.565 3.8 9.869

1.54 9.174 6 9.655 6.025 4.595

1.6 9.772 6.42 5.002

6.5 5.054

6.8 5.334

6.815 5.355

7.21 5.780

7.605 6.137

8 6.453



Fattore scala Dinar

Fattore

scala Friuli

Fattore

scala

Gulf of

Corinth

Fattore

scala

Kalamata

(x)

Fattore

scala

Kalamata

(y)

Fattore

scala

Monten

egro

Fattore

scala

South of

Iceland

0.1 0.033 0.1 0.009 0.1 0.012 0.1 0.021 0.1 0.029 0.1 0.009 0.1 0.058

0.1275 0.044 0.395 0.040 0.2 0.020 0.27 0.086 0.16 0.051 0.31 0.023 0.15 0.097

0.155 0.056 0.4 0.041 0.495 0.047 0.3 0.103 0.22 0.068 0.4 0.035 0.2 0.228

0.1825 0.073 0.69 0.084 0.7 0.068 0.44 0.247 0.25 0.109 0.51 0.052 0.25 0.290

0.21 0.087 0.7 0.087 0.89 0.099 0.5 0.305 0.28 0.158 0.7 0.078 0.3 0.420

0.2375 0.112 0.985 0.172 1.2 0.213 0.61 0.432 0.34 0.295 0.72 0.084 0.35 0.572

0.265 0.187 1.28 0.264 1.285 0.240 0.7 0.547 0.4 0.429 0.92 0.220 0.4 0.684

0.2925 0.254 1 0.178 1.68 0.388 0.78 0.628 0.46 0.546 1 0.290 0.45 0.826

0.32 0.307 1.3 0.275 1.7 0.402 0.9 0.793 0.52 0.674 1.13 0.423 0.5 1.011

0.3475 0.357 1.575 0.408 2.075 0.591 0.95 0.855 0.55 0.734 1.3 0.625 0.53 1.133

0.375 0.396 1.6 0.420 2.2 0.647 1.1 1.198 0.58 0.818 1.33 0.667 0.64 1.551

0.4 0.423 1.87 0.564 2.47 0.764 1.12 1.248 0.64 1.022 1.54 0.950 0.77 1.957

0.4025 0.425 1.9 0.581 2.7 0.883 1.29 1.665 0.7 1.253 1.6 1.095 0.78 1.990

0.43 0.476 2.165 0.763 2.865 0.959 1.3 1.683 0.76 1.475 1.74 1.411 0.852 2.174

0.4575 0.526 2.46 0.974 3.2 1.084 1.46 2.012 0.82 1.692 1.9 1.720 0.9 2.276

0.485 0.574 2.5 0.996 3.26 1.104 1.5 2.074 0.85 1.820 1.95 1.783 0.924 2.329

0.5125 0.621 2.675 1.119 3.5 1.167 1.63 2.492 0.88 1.926 2.15 2.099 0.996 2.468

0.54 0.664 2.755 1.191 3.655 1.198 1.8 3.088 0.902 2.020 2.2 2.162 1 2.470

0.5675 0.706 2.85 1.272 3.8 1.228 1.97 3.634 0.924 2.107 2.36 2.365 1.068 2.683

0.595 0.759 3 1.399 4.05 1.271 2 3.705 0.94 2.154 2.56 2.595 1.14 2.904

0.6225 0.809 3.025 1.418 4.1 1.284 0.946 2.187 2.6 2.632 1.212 3.141

0.65 0.869 3.05 1.437 4.4 1.333 0.968 2.269 2.77 2.798 1.284 3.349

0.7 0.983 3.2 1.551 4.445 1.344 0.99 2.346 2.97 3.011 1.356 3.562

0.82 1.367 3.375 1.666 4.7 1.388 1.012 2.440 3 3.032 1.428 3.750

0.94 1.771 3.5 1.773 4.84 1.417 1.034 2.528 3.18 3.152 1.5 3.915

1 1.983 3.55 1.804 5 1.445 1.056 2.627 3.38 3.450


1.06 2.197 4 2.212 5.235 1.518 1.078 2.708 3.4 3.475

1.18 2.647 4.5 2.673 5.5 1.635 1.1 2.797 3.59 3.723

1.3 3.043 5 3.153 5.63 1.687 3.79 3.946

1.42 3.395 5.5 3.559 6 1.826 3.8 3.947

1.54 3.669 6 3.862 6.025 1.838

1.6 3.909 6.42 2.001

6.5 2.022

6.8 2.134

6.815 2.142

7.21 2.312

7.605 2.455

8 2.581


Risultati delle analisi dinamiche incrementali IDA mediante Seismostruct - Modello a due puntoni– Sa(T1)-Y – MIDRmax = 0.002

Fattore scala Dinar

Fattore

scala Friuli

Fattore

scala

Gulf of

Corinth

Fattore

scala

Kalamata

(x)

Fattore

scala

Kalamata

(y)

Fattore

scala Montenegro

Fattore

scala

South of

Iceland

0.1 0.208 0.1 0.111 0.2 0.198 0.1 0.203 0.1 0.266 0.1 0.102 0.1 0.494

0.2 0.603 0.2 0.171 0.7 0.656 0.185 0.354 0.1575 0.432 0.265 0.203 0.165 1.426

0.3 2.570 0.345 0.258 1.2 1.743 0.27 0.820 0.215 0.637 0.43 0.314 0.23 2.299

0.4 3.546 0.59 0.531 1.7 3.536 0.355 1.488 0.2725 1.314 0.5 0.394 0.295 3.523

0.42 3.682 0.7 0.708 1.75 3.757 0.44 2.224 0.33 2.356 0.595 0.510 0.36 4.859

0.44 4.037 0.835 0.972 1.89 4.378 0.5 2.803 0.3875 3.404 0.76 0.976 0.4 5.682

0.46 4.341 1.08 1.823 2.02 4.937 0.525 3.028 0.445 4.150 0.9 2.095 0.425 6.201

0.48 4.637 1.2 2.212 2.16 5.507 0.61 3.830 0.5 5.325 0.925 2.300 0.5 7.913

0.5 4.939 1.325 2.644 2.2 5.681 0.695 4.542 0.5025 5.362 1.09 3.378 0.565 9.778

0.6 6.662 1.57 3.419 2.29 5.980 0.78 5.451 0.56 6.728 1.255 5.143 0.63 11.626

0.62 7.017 1.7 4.002 2.43 6.561 0.865 6.397 0.6175 7.993 1.3 5.814 0.7 13.356

0.64 7.416 1.815 4.522 2.56 7.262 0.9 6.706 0.675 9.825 1.42 6.981 0.75 14.300

0.66 7.768 2.2 6.815 2.7 7.880 0.95 7.333 0.7325 11.863 1.425 7.125 0.796 15.324

0.68 8.066 2.7 10.000 2.83 8.315 1.035 9.035 0.79 13.770 1.47 7.980 0.842 16.406

0.7 8.588 3.2 12.952 2.97 8.772 1.2 12.386 0.8475 15.660 1.7 12.225 1 20.780

0.705 8.790 3.7 16.987 3.1 9.029 1.25 13.127 0.9 17.331 1.75 12.891 1.05 21.921

0.75 10.232 4.2 20.983 3.2 9.251 1.285 13.796 0.905 17.606 1.8 13.567 1.07 22.548

0.755 10.473 4.3 21.857 3.7 10.021 1.37 15.632 0.95 18.983 1.85 14.050 1.09 23.016

0.9 15.404 4.35 22.035 4.2 10.380 1.4 16.474 0.9625 19.419 1.9 14.638 1.11 23.650

1.05 20.467 4.4 22.591 4.7 10.809 1.455 18.075 1 20.600 2 15.521 1.13 24.157

1.15 23.130 4.45 22.922 5 11.336 1.5 19.483 1.02 21.450 2.5 19.223 1.15 24.589

4.5 23.394 5.5 12.957 1.54 20.256 1.05 22.156 2.8 21.779 1.17 25.155

6 14.418 1.6 22.215 1.0775 22.913 3.1 25.576 1.19 25.577

6.05 14.588 1.62 22.579 1.1 23.702 3.4 28.502 1.21 25.940

6.1 14.737 1.625 22.936 1.135 24.697 1.23 26.540

6.15 14.967 1.64 23.467 1.15 25.256 1.25 26.975


6.5 16.178 1.3 28.271

6.6 16.438

6.7 16.635

6.8 17.044

6.9 17.338



Fattore scala Dinar

Fattore

scala Friuli

Fattore

scala

Gulf of

Corinth

Fattore

scala

Kalamata

(x)

Fattore

scala

Kalamata

(y)

Fattore

scala Montenegro

Fattore

scala

South of

Iceland

0.1 0.069 0.1 0.037 0.2 0.066 0.1 0.068 0.1 0.089 0.1 0.034 0.1 0.165

0.2 0.201 0.2 0.057 0.7 0.219 0.185 0.118 0.1575 0.144 0.265 0.068 0.165 0.475

0.3 0.857 0.345 0.086 1.2 0.581 0.27 0.273 0.215 0.212 0.43 0.105 0.23 0.766

0.4 1.182 0.59 0.177 1.7 1.179 0.355 0.496 0.2725 0.438 0.5 0.131 0.295 1.174

0.42 1.227 0.7 0.236 1.75 1.252 0.44 0.741 0.33 0.785 0.595 0.170 0.36 1.620

0.44 1.346 0.835 0.324 1.89 1.459 0.5 0.934 0.3875 1.135 0.76 0.325 0.4 1.894

0.46 1.447 1.08 0.608 2.02 1.646 0.525 1.009 0.445 1.383 0.9 0.698 0.425 2.067

0.48 1.546 1.2 0.737 2.16 1.836 0.61 1.277 0.5 1.775 0.925 0.767 0.5 2.638

0.5 1.646 1.325 0.881 2.2 1.894 0.695 1.514 0.5025 1.787 1.09 1.126 0.565 3.259

0.6 2.221 1.57 1.140 2.29 1.993 0.78 1.817 0.56 2.243 1.255 1.714 0.63 3.875

0.62 2.339 1.7 1.334 2.43 2.187 0.865 2.132 0.6175 2.664 1.3 1.938 0.7 4.452

0.64 2.472 1.815 1.507 2.56 2.421 0.9 2.235 0.675 3.275 1.42 2.327 0.75 4.767

0.66 2.589 2.2 2.272 2.7 2.627 0.95 2.444 0.7325 3.954 1.425 2.375 0.796 5.108

0.68 2.689 2.7 3.333 2.83 2.772 1.035 3.012 0.79 4.590 1.47 2.660 0.842 5.469

0.7 2.863 3.2 4.317 2.97 2.924 1.2 4.129 0.8475 5.220 1.7 4.075 1 6.927

0.705 2.930 3.7 5.662 3.1 3.010 1.25 4.376 0.9 5.777 1.75 4.297 1.05 7.307

0.75 3.411 4.2 6.994 3.2 3.084 1.285 4.599 0.905 5.869 1.8 4.522 1.07 7.516

0.755 3.491 4.3 7.286 3.7 3.340 1.37 5.211 0.95 6.328 1.85 4.683 1.09 7.672

0.9 5.135 4.35 7.345 4.2 3.460 1.4 5.491 0.9625 6.473 1.9 4.879 1.11 7.883

1.05 6.822 4.4 7.530 4.7 3.603 1.455 6.025 1 6.867 2 5.174 1.13 8.052

1.15 7.710 4.45 7.641 5 3.779 1.5 6.494 1.02 7.150 2.5 6.408 1.15 8.196

4.5 7.798 5.5 4.319 1.54 6.752 1.05 7.385 2.8 7.260 1.17 8.385

6 4.806 1.6 7.405 1.0775 7.638 3.1 8.525 1.19 8.526

6.05 4.863 1.62 7.526 1.1 7.901 3.4 9.501 1.21 8.647

6.1 4.912 1.625 7.645 1.135 8.232 1.23 8.847

6.15 4.989 1.64 7.822 1.15 8.419 1.25 8.992


6.5 5.393 1.3 9.424

6.6 5.479

6.7 5.545

6.8 5.681

6.9 5.779



Fattore scala Dinar

Fattore

scala Friuli

Fattore

scala

Gulf of

Corinth

Fattore

scala

Kalamata

(x)

Fattore

scala

Kalamata

(y)

Fattore

scala Montenegro

Fattore

scala

South of

Iceland

0.1 0.028 0.1 0.015 0.2 0.026 0.1 0.027 0.1 0.036 0.1 0.014 0.1 0.066

0.2 0.080 0.2 0.023 0.7 0.087 0.185 0.047 0.1575 0.058 0.265 0.027 0.165 0.190

0.3 0.343 0.345 0.034 1.2 0.232 0.27 0.109 0.215 0.085 0.43 0.042 0.23 0.307

0.4 0.473 0.59 0.071 1.7 0.471 0.355 0.198 0.2725 0.175 0.5 0.053 0.295 0.470

0.42 0.491 0.7 0.094 1.75 0.501 0.44 0.297 0.33 0.314 0.595 0.068 0.36 0.648

0.44 0.538 0.835 0.130 1.89 0.584 0.5 0.374 0.3875 0.454 0.76 0.130 0.4 0.758

0.46 0.579 1.08 0.243 2.02 0.658 0.525 0.404 0.445 0.553 0.9 0.279 0.425 0.827

0.48 0.618 1.2 0.295 2.16 0.734 0.61 0.511 0.5 0.710 0.925 0.307 0.5 1.055

0.5 0.658 1.325 0.353 2.2 0.757 0.695 0.606 0.5025 0.715 1.09 0.450 0.565 1.304

0.6 0.888 1.57 0.456 2.29 0.797 0.78 0.727 0.56 0.897 1.255 0.686 0.63 1.550

0.62 0.936 1.7 0.534 2.43 0.875 0.865 0.853 0.6175 1.066 1.3 0.775 0.7 1.781

0.64 0.989 1.815 0.603 2.56 0.968 0.9 0.894 0.675 1.310 1.42 0.931 0.75 1.907

0.66 1.036 2.2 0.909 2.7 1.051 0.95 0.978 0.7325 1.582 1.425 0.950 0.796 2.043

0.68 1.075 2.7 1.333 2.83 1.109 1.035 1.205 0.79 1.836 1.47 1.064 0.842 2.187

0.7 1.145 3.2 1.727 2.97 1.170 1.2 1.651 0.8475 2.088 1.7 1.630 1 2.771

0.705 1.172 3.7 2.265 3.1 1.204 1.25 1.750 0.9 2.311 1.75 1.719 1.05 2.923

0.75 1.364 4.2 2.798 3.2 1.233 1.285 1.839 0.905 2.347 1.8 1.809 1.07 3.006

0.755 1.396 4.3 2.914 3.7 1.336 1.37 2.084 0.95 2.531 1.85 1.873 1.09 3.069

0.9 2.054 4.35 2.938 4.2 1.384 1.4 2.197 0.9625 2.589 1.9 1.952 1.11 3.153

1.05 2.729 4.4 3.012 4.7 1.441 1.455 2.410 1 2.747 2 2.069 1.13 3.221

1.15 3.084 4.45 3.056 5 1.512 1.5 2.598 1.02 2.860 2.5 2.563 1.15 3.279

4.5 3.119 5.5 1.728 1.54 2.701 1.05 2.954 2.8 2.904 1.17 3.354

6 1.922 1.6 2.962 1.0775 3.055 3.1 3.410 1.19 3.410

6.05 1.945 1.62 3.010 1.1 3.160 3.4 3.800 1.21 3.459

6.1 1.965 1.625 3.058 1.135 3.293 1.23 3.539

6.15 1.996 1.64 3.129 1.15 3.367 1.25 3.597


6.5 2.157 1.3 3.769

6.6 2.192

6.7 2.218

6.8 2.273

6.9 2.312

“Approccio probabilistico per la valutazione dell’affidabilità sismica delle muratura...

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