Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare

A.A. 2009/10

Gli argomenti trattati verteranno principalmemte su: I)Ripresa di elementi base di Fisica Nucleare sperim.II) Radioattivita’ e radiazioni nucleari III) Spettroscopia NeutronicaIV) Fissione e Fusione Nucleare, Fisica ed ApplicazioniV) Tecnologie ed applicazioni nell’industria e ricercaVI) Applicazioni nel campo dei sistemi biologici

Testi di riferimento:- Introductory Nuclear Physics - Kenneth S. Krane, Wiley- Nuclear Physics (Principles and Applications) - John Lilley, Wiley- Nuclear Methods in Science and Technology - Y.M.Tsipenyuk, IoP- Fundamentals of Nuclear Science and Engineering- J.K.Shultis,CRC- Introduction to Nuclear Science - CRC Press - Jeff C. Bryan

Proprieta’ del nucleo, Tecniche nucleari, Acceleratori, Sensori

Parametri dei nuclei atomici

Parametri base:numero atomico Z ( carica)numero di massa Aenergia di legame Eb (MeV),momento angolare intrinseco o spin (I)raggio del nucleo R (fm) e non sfericita’ dR/Rdipolo di momento magnetico µ (J/T-1)quadrupolo di momento elettrico Q (Coulomb m2)* massa nucleoni ~ 10-24 g

Ogni modello del nucleo e delle forze che lo tengono assieme deve tener conto della densita’ e dimensione:

* dimensione nuclei ~10-12 cm, densita’ >1014 g/cm3 €

ρ0 = 0.16×1045 , nucleoni / m-3

€

R =1.12A1/ 3 fm

e spiegare le combinazioni di protoni e neutroni che rendono il nucleo stabile o instabile.

Unita’ di massa atomica, amu= m(12C)/12

Dove va a finire la massa mancante?

Modelli nucleari

Nucleo atomico e’ un esempio di sistema quantistico a molticorpi.Impossibile sviluppare teoria esatta della struttura nucleare.

I modelli base nucleari semplici sono: a) modello Protone-Neutrone, ad es. spiega momento angolaredel nucleo, la radioattivita’ ed altre osservazioni sperimentali

b) modello senza stati di particella individuale. Es. il Liquid Drop Model che e’ alla base della formula semiempirica.

c) modello a particella individuale con i nucleoni in stati di energia discreta, per es. il Fermi Gas Model o Shell Model.

d) modello collettivo ( Bohr e Mottelson)

Modello Protone-Neutrone

Heisenberg (1932) ipotizzo’ nucleo formato da Z protoni e A-Z neutroni.

Modello semplice: nucleoni tenuti assieme da forza nucleare a corto range.Si spiega con questo modello: il momento angolare, la radioattivita’ e altreevidenze sperimentali; la forza nucleare ha una natura complessa.

Stabilita’ del nucleo

Ci son 266 nuclidi stabiliDalla tabella si nota:+ nuclidi stabili con N e/o Z pariP-P 159D-P 53P-D 50D-D 4

Esistono configurazioni di N e Ppari che hanno un maggior numero di nuclidi stabili:8,20,58,82,126 ---> numeri magici

I nuclei con un numero magico di neutroni sono meno disponibili ad assorbire n uneutrone di altricon un neutrone in meno od in piu’.Indice che Neutroni e protoni tendono a raggrupparsi ( shell?).

Numero di isotopi stabili per ciascun elemento o numero di protoni Z

Numero di isotopi stabili in funzione nel numero di neutroni N

Modello a goccia di liquido

Densita’ interno nucleo costante e volume proporzionale ad A sono indicatori di Forze Saturate------> analogamente goccia di liquido.

€

m(ZA X) = Zmp + (A − Z)mn −BE / c 2

€

BE = BEv + BEs + BEc + BEa + BE p

€

m(ZAX ) = Zmp + (A − Z)mn −

1c2 {av A − asA

2/ 3 − acZ(Z −1)

A1/3 − aa(N − Z)2

A−

ap

A}

con

€

av =15.85MeV ,as =18.33MeV,ac = 0.71MeV ,aa = 23.20MeV

€

ap = +11.2MeV per O−O, 0.0 MeV per O− E e E−O, −11.2MeV per E - E

valori ottenuti ( 1958,Wapstra) col fit al plot di BE vs A.

Modello a goccia pro: - predice nuclei pesanti fissionabili, - predice modi di decadimento radioattivo, - permette calcolo ennergetica nuclei instabili, - predice masse isotopi possibili con: - non spiega struttura interna nucleo

€

Z(A) = ( A2

)1+ (m n −mp )c 2 / (4aa )

1+ ac A2/3 / (4aa )

Tutti gli atomi a Z>83sono radioattivi Il modello a goccia utile per predire la variazione di massa nucleare al variare

di A e Z. Per un dato numero di massa A il nuclide piu’ stabile dell’isobaro e’ quello con massa piu’ piccola

€

∂m( ZAX)

∂Z

A

= m p −mn +1c2 2ac

ZA1/2 − 4aa

(A− 2Z )A

= 0

€

Z(A) = ( A2

)1+ (mn −mp )c 2 / (4aa )

1+ ac A2/3 / (4aa )

~3200 nuclidi di cui 266 nuclidi stabili,il resto nuclidi radioattivi

Tutti gli atomi a Z>83sono radioattivi

Nella FSE se si fosse tenuto conto solo dei termini di volume, superficie e Coulomb, il punto di minimo si avrebbe per

€

Z(A) ≅ (Mn − M H )c 2A1/3

2ac

≈ 0.9A1/3

che e’ molto impreciso nella determinazione del numero di massa.

Infatti il termine che pesa e’ il rapporto

€

ac / 4aa= 0.0078, che corrisponde a ~ 20-30 MeV.

Cio’ significa che la deviazione dalla linea di stabilita’ N=Z=A/2 e’l’effetto coulombiano (favorisce ZA<A/2) che predomina sull’effetto simmetria (ZA=A/2).

Mass defect , mass excess

Misura la differenza di massa tra la massa del nucleo ed il suo numero di massa

Indice di quanto e’ legato il nucleo.

€

P = ΔM / AIl Packing fraction e’ indice di stabilita’

(amu)

P< 0 nuclidi stabili

P> 0 nuclide instabile

€

ΔM =MZ ,A

112

M 12C

− A

Mass defect e Packing fraction sono legati alla Binding Energy

Binding Energy = lavoro richiesto per separare il nucleo nei suoicomponenti o energia rilasciata durante la formazione del nucleo

€

BA

= Mn −ZA

Mn − M H( )− MA

L’energia di legame per nucleone

€

= Mn −1( ) − ZA

Mn −M H( )− Δ

dominante

Per 40Ca<A<120Sn, <Z/A> = 0.46

amu/nucleon€

M(Z,A) = ZM H + (A − Z)Mn − BE(Z, A) / c 2

Energia di legame e reazioni nucleari

Nelle reazioni a due corpi

€

i + I = f + F + Q

il Q-value indica l’energia rilasciata o assorbita dalla reazione.

€

Q = [(Mi + MI ) − (M f + MF )]c2 Q>0 esotermicaQ<0 endotermica

in termini di energia cinetica ( conservazione energia totale)

€

Ti + Mic2 + TI + MI c

2 → Tf + M f c2 + TF + MFc 2

€

Q = Tf + TF − (Ti + TI )

Esprimendo le masse in termini di energia di legame si ottiene

€

Q = B( f ) + B(F ) −B(i) − B(I)

Energia di separazione

Misura il lavoro richiesto per separare un SOLO nucleone a dal nucleo

€

Sa = [Ma (A',Z') + M (A − A', Z − Z')− M (A,Z)]c 2

misura anche l’energia rilasciata quando vi e’ cattura dal nucleo

€

Sn = [Mn + M (A −1,Z) − M(A,Z)]c 2per un neutrone

si chiama anche last neutron binding energy

La Sa varia da nucleo a nucleo, nel range in cui B/A e’ quasi costante la Sn ~= Sp ~= 8 MeV, mentre per i nuclei piu’ pesanti Sn ~=5-6 MeV.

Questo ha rilevanza quando un neutrone e’ assorbito da un nucleo, perche’c’e’ una differenza di ~=1 MeV fino a 4MeV se il neutrone e’ assorbito da un nucleo con un numero pari o dispari di neutroni.

€

Sn (Neven) > Sn (Nodd) a Z costante, Sp (Zeven ) > Sp (Zodd) a N costante

Un modello della struttura del nucleo deve includere la spiegazione dei numeri magici.

Il modello a shell e’ quello piu’ accreditato.

I nucleoni in un nucleo non eccitato formano un gas degenere di Fermi ( sistema quanto-meccanico) con tutti gli stati di energia < livello di Fermioccupati e quelli di energia > liberi.

Il modello a shell si basa sull’idea che :Ciascun nucleone si muove indipendentemente nel nucleo senza interagire con gli altri nucleoni.

Ciascun nucleone si muove in una buca di potenziale che e’ costante dal centro del nucleo ai bordi, dove cresce rapidamente di decine di MeV.

Modello a shell

Modello a ShellBasato sul modello a shell atomico che spiega le proprieta’ periodiche degli atomi in termini di occupazione dei livelli energetici elettronici.

Quando il gruppo di livelli energeticiassociati con una shell sono tutti occupati si hanno atomi particolarmente stabili (chimicamente)-vedi gas nobili.

Nel caso nucleare ci sono poi particolari valori di Z e N ( cosidetti numeri magici) che sono significativi per quantoriguarda la struttura dei nuclei.

1. C’e’ un gran numero di isotopi, isotoni a quei particolari valori. Evidenziatodall’abbondanza degli elementi

2. Gli elementi stabili al termine delle principali serie radioattive hanno un numero magico di neutroni e/o protoni

3. La sez.d’urto dei nuclei con numero magico N di neutroni e’ due ordini di grandezza inferiore a quella degli altri.Indice che il nucleo e’ molto legato

4. I momenti di quadrupolo elettrico debbono essere zero per nuclei con shell complete perche’ essi hanno simmetria sferica

5. Nuclei con shell chiuse sono relativamente stabili e richiedono una considerevole energia per portarli fuori dallo stato fondamentale.

La lista di numeri magici per Z o N 2,8,(14),20,28.50,82,126

I nucleoni in un nucleo non eccitato formano un gas degenere di Fermi ( sistema quanto-meccanico) con tutti gli stati di energia < livello di Fermioccupati e quelli di energia > liberi.

Il modello a shell si basa sull’idea che :Ciascun nucleone si muova indipendentemente nel nucleo senza interagire con gli altri nucleoni.

Ciascun nucleone si muove in una buca di potenziale che e’ costante dal centro del nucleo ai bordi, dove cresce rapidamente di decine di MeV.

€

V (r) =V0[1− (r / R)2] = −V0 +12

Mω 2R2

Realisticamente il potenziale nucleare lo si puo’ approssimare qualitativamente con un potenziale tipo oscillatore armonico

La soluzione numerica dell’eq. di Shroedinger , con un potenziale attrattivo con distribuzione di Fermi, mostra che i nucleoni si distribuiscono in certi livelli energetici.Protoni e neutroni si distribuiscono su livelli energetici indipendenti, ed i livelli energetici piu’ alti hanno la stessa energia sia per i protoni che i neutroni.La profondita’ della buca di potenziale per i protoni e’ minore di quella deineutroni causa l’interazione coulombiana.

L’energia di un oscillatore armonico 3D vale

€

EN = hω(N + 3 / 2) −V0 con N = n1 + n2 + n3, n = interi

I livelli energetici, in un oscillatore 3D, che hanno la stessa N appartengono ad una stessa shell.

Nel caso del nucleo bisogna tener conto anche di un forte accoppiamentospin-orbita con un termine da aggiungere alla forma di potenziale 3D

€

Vls = ClslsUn nucleone di momento orbitale l puo’ essere in due stati con momento angolare totale

€

j = l +s = l ±1 / 2

La separazione in energia dei due stati

€

ΔE ls e’ proporzionale a

€

(l +1/ 2)

€

ΔEls = (l +1 / 2)h2Cls

L’ampiezza dello splitting spin-orbita aumenta con l importante per i nuclei pesanti che possiedono grandi l.

Modello collettivo

o modello unificato, sviluppato da Bohr e Mottelson.

Ingloba praticamente le proprieta’ del modello a goccia e a shell.Diversamente dal modello a particelle indipendenti, si ipotizza che nel nucleo ci sia un certo numero di nucleoni “liberi” che si muovono in un campo di potenziale lentamente variabile, dovuto alle deformazioni del nucleo.

La deformazione del nucleo porta a modi di eccitazione che sono classificati come vibrazionali e rotazionali.

Lontano dai numeri magici si manifestano nel nucleo dei moti cooperativi dominanti tra nucleoni, con moti relativi tra nucleoni e core del nucleo.Esistono stati quantici del sistema nucleare come un tutto, che si sovrappongono ai livelli energetici nucleonici.

Stati nucleari eccitatiCome risultato di reazioni nucleari e/o trasformazioni nucleari un nucleopuo’ anche occupare stati di energia al di sopra dello stato fondamentale,tutti questi stati eccitati formano lo spettro di eccitazione del nucleo atomico.

Livelli eccitati Singola particellaMoto collettivo rotazionale del nucleo Stati vibrazionali della superficie nucleare

Il modell a shell di singola particella descrive bene gli stati eccitati solo per shell chiuse, si hanno fenomeni di moto coordinato di nucleon-many-particle motion.

Nuclei con shell chiuse -->nuclei sferici-->moti vibrazionali della superficieNuclei deformati--> moti rotazionali

Modello a goccia descrive bene moti rotazionali e vibrazionali e stati eccitati nucleari

Schema di vibrazioni nucleari ottupolo l=3quadrupolo l=2

Frequenza delle vibrazioni superficiali

€

ω l = (k + kC ) /µ

€

k =12

4παD2 R2Termine di superficie

con α coefficiente di tensione superficiale

€

kC = −3Z 2e 2 / R3

Coefficiente di variazione dell’energia Coulombiana con la deformazione

da cui l’energia vibrazionale di quadrupolo

€

hωquad ≅ (2− γ) / A MeV

€

µ ≅3D

Rm massa in vibrazione

del nucleo

La relazione fornisce stime dei livelli vibrazionali in buon accordo con i valori misurati, es. per il Nickel il primo livello eccitato ha un valore di circa 3.5MeV

€

γ = 0.047Z 2 / A

Ec/ Es nucleo sferico

Vibrazioni di dipolo nucleare

Nel nucleo esiste un particolare moto collettivo: vibrazione della massa neutronica relativa alla massa protonica: vibrazioni di dipolo nucleare.Conseguenza: separazione parziale dei protoni dai neutroni. Le energie di queste vibrazioni sono alte, circa 15-20 MeV, risonanze giganti.

Energia delle risonanze giganti dipende da A.

In un oscillatore la frequenza di risonanza

€

ω0 = k / mcon k = rigidita’ dell’oscillatore e m=massa vibrante

Nel caso di vibrazioni di dipolo k e’ proporzionale alla frazione di nucleoni shiftati, quindi alla superficie.

€

ω0 = k / m ∝ R2 / R3 ∝ R−1/2 ∝ A−1/6

Ad energie di eccitazione attorno a 5-6 MeV il numero dei livelli nucleari e’ molto grande, specie per nuclei pesanti, e quindi la separazione e’ molto piccola. Difficile definire gli stati quantici dei livelli.Importante e’ la densita’ dei livelli e la loro dipendenza dall’energia: modello statistico del nucleo

Sperimentalmente si e’ visto che la densita’ dei livelli e’ esprimibile come

€

ρ(E) = Ce2 αE

con a e C calcolate derivate da considerazionistatistiche del modello.

In particolare per energie tra 3-5Mev la relazionediventa

€

ρ(E)∝ 1T

exp( E − E0

T)

e

€

ΔE =1/ ρ(E)Temperatura del nucleo

Tipica struttura dello spettro dei livellidi energia degli stati nucleari eccitati (sinistra) e dipendenza dall’energia della sezione d’urto (destra).

Energetica nucleare

€

ΔE = ΔMc 2

In ogni reazione (nucleare, atomica, chimica,..) l’energia emessa puo’ essere calcolata come

Una generica reazione si scrive come

€

A + B → C + D+ ...

€

ΔM = (MA + MB ) − (MC + MD + ...)

da cui si ricava l’energia emessa.

Realisticamente solo per le reazioni nucleari e’ possibile calcolarela energia dalla differenza di massa, perche’ le energie in giocosono molto grandi e quindi la variazione di massa dei costituenti e’ apprezzabile con una risoluzione di 5-6 ordini di grandezza inferioriraggiungibile dalla tecnologia corrente.

Reazioni Nucleari

Due principali tipi di reazioni:

€

X →Y1 + Y2 + ⋅ ⋅ ⋅

€

x + X →Y + y

radioactive decay

binary reaction

€

X(x,y)Yscritta come

In generale in reazioni tipo X(x,y)Y si possono avere:

reazioni elastiche

reazioni inelastiche€

01n+16

32S→1632S+ 0

1n

€

01n+16

32S →(1632S)*+ 0

1n'€

(n,n)

€

(n,n' )

€

01n+16

32S→1632S + γ

€

01n+16

32S→1632S+1

1H

€

(n, p)

€

(n,γ)

Esempi di reazioni nucleari binarie

€

(α, p)reazioni Rutherford, bombardando con nuclei di elio ( alfa) l’azotodell’aria osservo’ la produzione di nuclei di H ( protoni)

€

24He+ 7

14N→ 817O+1

1H o 714N(α, p) 8

17O

€

(α, p)

€

(α,n) Chadwick nel 1932 scopre il neutrone

€

24He+4

9Be→ 612C+ 0

1n o 49Be(α, n) 6

12C

€

(γ,n)

€

γ+ 12H→1

1H+ 01n o 1

2(γ,n)11H

€

(p,γ)

€

γ+ 817O→ 6

12C+24He+ 0

1n o 817O(γ,nα) 6

12C

€

11H+ 3

7Li→48Be + γ o 3

7LI( p,γ )48Be

€

(n, p)

€

(γ,αn)

€

01n+ 8

16O→ 817N+1

1p o 816Li(n,p) 8

16N€

48Be→2

4He+ 24 He

Q-value per una reazione

Conservazione Energia

€

E i + mic2[ ]

i∑ = ′ E i + ′ m ic

2[ ]i∑

€

Q = KE f −KEi = mic2 −mf c

2

€

i + I → f + F + Q

Q ≡ Mi + MI( ) − M f + MF( )[ ]c 2

Q = Tf + TF − Ti + TI( ) = B f( ) + B F( ) − B i( ) − B I( )

Reazione binaria

Ogni reazione nucleare ha un caratteristico Q-valueQ>0 reazione esotermicaQ<0 reazione endotermica

Reazioni di decadimento radioattivo

€

X → Y + y

€

Q = (E y + EY ) = mX − my + mY( )[ ]c 2 > 0

Conservazione di carica e calcolo di Q-value

Le reazioni nucleari conservano la carica

€

01n+ 8

16O→ 716N+1

1pNella reazione bisogna tener conto dell’elettrone che viene espulso insieme al protone

€

01n+ 8

16O→ 716N+1

1p+−10e

nel calcolo del Q-value

€

Q = {mn + M( 816O)− M( 7

16N) − M(11H)}c2

la massa di atomo neutro con nucleo eccitato vale

€

M(ZAX *) = M(Z

AX ) + E* / c 2

€

10B(n,α)7Li*

€

Q = mn + M( 510B) − M(2

4He) − M(37Li* )[ ]c2

Es. il calcolo del Q-value della reazione

con

€

M(37Li*) = M(3

7Li) + 0.48MeV / c2

Radioattivita’

Radioattivita’ indica il fenomeno per cui nuclei a seguito dell’instabilita’nucleare emettono particelle.

€

alpha (α ) ZAP→Z−2

A−4 D +α

€

gamma (γ) ZAP∗→Z

A P + γ

€

beta meno (β−) ZAP→Z +1

AD + β− + ν

€

beta piu' (β +) ZAP→Z−1

AD + β + +ν

€

ElectronCapture (EC) ZAP + e−→Z−1

A D∗ +ν

€

neutron (n) ZAP→ Z

A−1 D+ n

€

proton (p) ZAP→Z−1

A−1D+ p

€

InternalConversion (IC) ZAP∗ →[Z

AD]+ + e−

In tutte le reazioni nucleari, compresi i decadimenti radioattivi,le quantita’ piu’ importanti conservate sono:carica,numero di nucleoni, Etot,momento lineare, momento angolare

Nucleo eccitato decade al livello fondamentale

Elettrone orbitale assorbito dal nucleo,converte protone nucleare in neutrone e neutrino, lascia nucleo eccitato

un protone nucleare e’ espulso dal nucleo

un neutrone nucleare e’ espulso dal nucleo

Energia di eccitazione del nucleo e’ usataper espellere elettrone orbitale ( tipico K-shell)

Diagramma decadimento radioattivo

Quantificare il decadimento di un radionuclide significa:- definire il tipo di decadimento- la probabilita’ di ciascun possibile modo di decadimento- il tempo di dimezzamento del radionuclide- l’eccitazione nucleare del nuclide figlio- la vita media dei nuclidi figli con stati di eccitazione- frequenza di emissione di radiazione secondaria quando i figlisi portano a livelli energetici di minor eccitazione - energia della radiazione secondaria emessa dai figli

Vari tipi di decadimenti

€

1532P

€

918 F

€

4399m Tc

€

1328 Al

€

2964Cu

€

2760Co

non e’ indicato il beta decay in 99Ru44

Decadimento alpha

€

α decay: ZA P → Z-2

A-4 D[ ]2-+2

4α→ Z-2A-4 D+2

4α nel nucleo i 4 nucleoni (2p+2n) sono indistinguibili, ma esiste una probabilita’ (~ 10-6) che i 4 nucleoni in un certo breve tempo sitrovino in prossimita’ FORMARE un gruppo di 4 nucleoni.La particella alpha pero’ e’ distinguibile solo separata dal nucleo ed a grande distanza ( su scala nucleare).

Energetica del decadimento

€

Qα / c2 = M(ZA P)− [M( Z-2

A-4D[ ]2-) +m(2

4α)]

≅ M(ZA P)−[M( Z-2

A-4D[ ]2-

) + 2me +m(24α)]

≅ M(ZA P)− [M ( Z-2

A-4 D[ ] ) + +M(24He)]

Energia Cinetica del decadimento

€

Qα = ED + Eα =12

MDv D2 +

12

Mαvα2

€

MDvD = Mαvα

€

Qα ==12

Mα2

MD

vα2 +

12

Mαvα2 =

12

Mαvα2 Mα

MD

+1

ma

€

Eα = Qα

MD

MD + Mα

≡Qα

AD

AD + Aα

€

ED = Qα

Mα

MD + Mα

≡ Qα

Aα

AD + Aα

Da cui

€

Q = B 4He( ) + B Z −2, A − 4( ) −B Z, A( )

≅ 28.3− 4av + 8 3( )asA−1 3 + 4acZA−1 3 1− Z 3A( ) − 4aa 1− 2Z A( )2

+ 3ap A−7 4

La dipendenza di Q da A ha un andamento sistematicoben rappresentato dalle predizioni della formula semiempirica

La Formula semiempirica permette di calcolare conbuona precisione la Q dei decadimenti e da’ un correttoQ>0 per nuclei pesanti e predice bene la decrescita di Q alcrescere di A nella sequenza di isotopi di un nuclide.

Tempo di dimezzamento nuclide alpha attivoPer nuclei alpha-attivi vale la relazione empirica , Geiger-Nuttal

€

lnT1/2 = a + b / E

con T (sec), E energia della alpha emessa (MeV) Z n.Atomico nucleo figlio e a, b costanti

€

a ≈ −1.6Z 2/3 − 21.4, b ≈1.6Z

Eb di una particella α e’ ~ 28 MeV, ~ 7 MeV/nucleone, il decadimento possibile solo per nuclei con energia di legame media inferiore a ~7 MeV/nucleone.

Nuclei pesanti, 82<Z<92 e quelli transuranici artificiali, Z>92, decadono per emissione α

Decadimento beta

I radionuclidi con Z<92 decadono principalmente via decadimento

€

β + o β -

secondo se sono piu’ ricchi in protoni o neutroni.

Energetica decdimento

€

β -

Energetica decdimento

€

β +

€

Q β + / c2 = M(ZAP) − [M([Z +1

AD]−) + mβ + + mν ]

≅M(ZAP) − [{M ([Z +1

AD] ) + me}+ mβ + + mν ]

= M(ZAP) −M(Z−1

AD) − 2me

€

Q β - / c2 = M(ZAP) − [M([Z +1

AD]+) + mβ − + mν ]

≅M(ZAP) − [{M ([Z +1

AD] ) −me} + mβ − + mν ]

= M(ZAP) −M(Z−1

AD)

€

Qβ + / c2 = M(Z

AP) −M (Z −1AD) − 2me − E∗ /c 2

€

Qβ − / c2 = M(Z

AP)− M(Z +1AD) − E∗ / c 2

€

(Eβ )max ≅ Qβ

Se il nucleo e’ lasciatoin uno stato eccitato E*il Q-value diventa:

Electron Capture

€

p+−10e→ n + ν

Elettrone shell interna viene catturato nel nucleo da protone che si trasforma in neutrone

€

EC decay ZAAD→Z −1

AD → +ν

Decay Energy

€

QEC / c 2 = M (ZA P)− [M (Z−1

A D) + mν ] ≅ M (ZA P) − M(Z−1

AD)

€

QEC / c2 = M(ZAP)− M(Z −1

A D)− E * / c 2

€

QEC / c2 = M(ZAP)− M(Z−1

AD)− E * / c2

La EC e’ in competizione Beta+, ma QBeta deve essere > 1022 KeV,mentre la EC puo’ avvenire per qualsiasi valore diQ-value >0.

Con nucleo non in ground state

Nella EC un elettrone della shell piu’ interna sparisce e viene occupato daelettrone di shell piu’ esterna con emissione di raggi X. Capita anche chel’energia della transizione venga trasferita ad un altro elettrone delle shellpiu’ esterne, che viene a sua volta emesso, Elettrone Auger. Questo fenomeno capita tutte le volte che si crea una vacanza nelle shell interne.

€

Electron Capture vs βdecay

€

t1 2 = 2.602y

€

90.4%€

9.5%

€

0.06%

€

β +

La misura del γ permette di identificare l’isotopo radiattivo con precisione; questa tecnica e’ molto piu’ efficace che la misura del βnelle applicazioni di tracciamento,irraggiamento o imaging medicale.

Gamma decayI nuclei in stato eccitato decadonorapidamente con tempi inferiori a10-9 s allo stato fondamentale.

Alcuni nuclei rimangono in stato eccitato per tempi molto lunghi,prima di decadere gamma, si chiamano nuclei metastabili o isomeri

€

γ decay ZAP*→Z

AP + γ

€

M( ZAP *)c2 ≡ M(Z

AP)c2 + E* = M(ZAP)c 2 − EP − Eγ

Energia rinculo nucleo

€

Qγ = E P + Eγ = E *

Conservazione del momento richiede, con nuclide parente a riposo

€

pγ = Eγ / c = pP = 2M PEP essendo MP = M(ZAP)

da cui

€

Eγ = Qγ 1+Eγ

2MPc 2

−1

≅Qγ = E*

Neutron DecayNuclidi ricchi di neutroni, possono decadere emettendo un neutronee dando luogo ad un diverso isotopo.

€

n decay ZAP→ Z

A−1P* + 01n

€

54138 Xe→ 54

137Xe + n

€

Qn / c 2 = M (ZA P)− M( Z

A−1P*) + mn[ ] = M (ZAP) −M( Z

A−1D) − Mn − E* / c 2

Proton decay

nelle reazioni di fissione, una piccola % di atomi radioattivi decdono per emissione di neutroni con tempi di minuti, permettendo cosi’ di controllare la reazione.

Nuclidi ricchi di protoni emettono protone, lasciando un atomo ionizzato con elettrone in piu’ che poi viene rilasciato.

€

p decay ZAP →[Z −1

A−1D*]−+11p

€

Qp /c 2 = M (ZA P) − [M([Z−1

A−1D* ]−) + mp ] ≅ M (ZA P)− [{M (Z−1

A−1D* ) + me}+ mp ]

≅ M (ZAP)− [{M (Z −1

A−1D) + E * / c 2 + me}+ mp ] ≅ M (ZA P)− [{M(Z−1

A−1D)−M (11H)− E * / c 2

Internal ConversionIl diseccitamento di un radionuclide, in seguito ad un decadimento del nucleo padre, avviene con emissione gamma, ma in certi casi l’energia di eccitazione viene trasferita ad un elettrone della shell piu’ interna, i.e. K, con eiezione dell’elettrone lasciando il nucleo nello stato fondamentale, ma l’atomo ionizzato.

€

IC decay ZAP* →[Z

AP]+ +−10e

In atomi pesanti la BE degli elettroni nella shell K e’ grande

€

QIC / c 2 = M (ZAP* )− [M ([Z

AP]+) + me ] ≅ {M(Z

AP) + E * /c 2}− [{M (ZAP)−me + BE e

K /c 2} + me ] = [E * - BEe

K ] /c2

L’energia di decadimento e’ suddivisa tra l’elettrone eiettato e lo ione in modo inverso alle masse

€

Ee =M(Z

AP)M(Z

AP) + me

[E * − BEe

K ] ≅ E * − BEeK

€

EP =me

M(ZAP) + me

[E * −BE e

K ]≅ 0

Assieme all’elettrone monoenergetico eiettato, vengono emessiraggi X e elettroni Auger nella fase di cascata di elettroni dalle shell esterne a quella interna rimasta incompleta.

Caratteristica del decadimento radioattivo

Il decadimento radioattivo e’ un processo casuale, con decay constant

€

λ = limΔt→0

(ΔN / N )Δt

costante piccola = tempo di decadimento lungo

Per N>>0, N(t) e’ il valore medio al tempo t

€

−dN = λN(t)dt

La probabilita’ di un nuclide di decadere nel tempo dt e’

€

λdt e per N nuclidi quindi

€

N(t) = N 0e−λt

La legge del decadimento radioattivo si applica a tutti i processi governatida una legge di cambiamento costante, es crescita della popolazione umana.

€

N(T1/2 ) ≡ N0

2= N0e

−λT1/2

€

T1/2 =ln2λ

≅0.693λ

€

N(nT1/2) =12n N0

€

ε ≡N(nT1/2 )

N0

=12n

€

n = −lnεln2

= −1.44 lnε

Il n. di nuclidi si dimezza in un tempo

Dopo nT1/2 il n. di nuclidi sara’

il n. di T1/2 perdecadere ad una frazione del suo n. iniziale

€

p(t)dt = {prob. di non decadere in (0,t)}x{prob. dec.in successivo dt} = {P (t)}{P(dt)} = {e−λt}{λdt} = λe-λt dt

La Prob. di NON decadere in un intervallo di tempo t

€

P (t) =N(t)N 0

= e−λt

€

P(t) = 1− e−λt

€

t →Δt <<1

€

P(Δt) =1−e−Δt =1− [1− Δt +12!

(λΔt)2 −+L]≅ λΔt

€

Tav = tp(t)dt = tλe−λt

0

∞

∫ dt = −te−λt0∞

0

∞

∫ + e−λtdt =1λ0

∞

∫

€

A(t) ≡ − dN (t)dt

= λN(t ) = λN0e−λt = A0e

− λt

Nel SI l’Attivita’ si misura in becquerel (Bq) = un decadimento/sec., mentre la vecchia unita’di Attivita’ e’ il curie (Ci)= 3.7 x1010 Bq.

Attivita’ specifica, per unita’ di massa

€

) A (t) =

A(t)m(t)

=λN (t)

N(t)M / Na

=λNa

M= costante

€

m(t) = N(t) M / Nadove con M massa atomica g/mol

Misura del tempo di dimezzamento Per determinare T1/2 o lambda e’ necessario costruire i grafici

E’ sufficiente un contatore, non necessario misurare l’attivita’, in quanto l’attivita’ e’ proporzionaleal counting rate.

€

log A(t) = log A0 − λt

€

A(t) = A0e−λt

Metodo non utilizzabile per radionuclidi con T1/2 molto lunghi, in tal caso si ricorre alla relazione

€

A0 = λN 0 ≅ costanteche richiede una determinazione PRECISA di N0

Decadimenti in competizione

€

3064Zn (β - 39.0%)

2964 Cu 28

64 Ni (β + 17.4%) 28

64 Ni (EC 43.6%)

€

dN(t)dt

= −λ1N(t)− λ2N(t)−LλnN(t) = − λiN(t) ≡ −λN(t)i=1∑

€

λ = λii=1

n

∑

€

f i =decay rate modo i - mo

decay rate in tutti i modi=λi

λ

Dinamica del processo di decadimento

La dinamica del numero di atomi di un particolare radionuclide dipende dalla rate di produzione e di decadimento

€

dN(t)dt

= −rate di decadimento + rate di produzione

€

dN(t )dt

= −λN(t) +Q(t)

€

N(t) = N0e−λt + d ′ t Q( ′ t )e−(t− ′ t )

0

t

∫

€

N(t) = N 0e−λy +

Q0

λ[1− e−λt ]e per PRODUZIONE costante

€

come t →∞ all'equilibrio N(t) → Ne =Q0

λ

Catena di tre decadimenti

€

dN1( t)dt

= −λ1N1(t)

dN2 (t)dt

= −λ2N2( t) + λ1N1( t)

dN3 (t)dt

= λ2N2(t)

€

N3 (t) = N3(0) + λ2N2 (0) d ′ t e−λ2 ′ t

0

t

∫ +N1(0)λ1λ2

λ2 − λ1

d ′ t [e−λ1 ′ t −e−λ2 ′ t ]0

t

∫€

N1( t) = N1(0)e−λ1t

N2 (t) = N2(0)e−λt +λ1N1(0)λ2 − λ1

[e−λ1t −e−λ2t] essendo il termine di produzione Q(t) = λ1N1(t)

N3 (t) = N3(0) + λ2 d ′ t 0

t

∫ N2( ′ t )

€

N3 (t) = N3(0) + N2 (0)[1−e−λ2t] +N1(0)λ2 − λ1

[λ2(1− e− λ1t) − λ1(1−e−λ2t)]

Da qui si possono calcolare le attivita’ dei tre radionuclidi partendo dalle relative vite medie

€

3890Sr →

T1/2 = 29.1y

3990 Y →

T1/2 = 64h

4090Zr (stabile)

Casi standardAttivita’ del primo figlio

L’attivita’ di un campione parente decade da attivita’ iniziale A1(0)

€

A1(t) = A1(0)e−λ1t , t > 0Attivita’ nuclide figlio

€

A1( t) = λ1N1( t)

€

A2(t) = λ2N2(t) = A2 (0)e−λ2t + A1(0) λ2

λ2 − λ1

[e−λ1t − e−λ2t]

€

Caso λ2 − λ1 > 0

€

A2 (t) = A2 (0)e−λ2t + A1(0) λ2

λ2 − λ1

e−λ1t [1− e−(λ2−λ1 )t ]L’andamento asintotico, in cui la rate di decadimento del figlio e’ limitata dalla attivita’ del padre, e’ detta equilibrio transiente, al limite si ha l’equilibrio secolare quando la rate di decadimento del figlio e’ pari a quella del padre.

€

Caso λ1 − λ2 > 0Il nuclide figlio decade secondo la rate normale

€

A2(t) = A2(0)e−λ2t + A1(0) λ2

λ1− λ2

e−λ2 t[1−e−(λ1−λ2 )t

Catena di decadimento generale

€

X1→λ1

X2→λ2

X3→λ3

LXi→λi

L→λn−1

Xn (stabile)

€

dN1( t)dt

= −λ1N1(t)

dN2 (t)dt

= λ1N1(t) − λ2N2( t)

dN3 (t)dt

= λ2N2(t) − λ3N3( t)

MdNn−1 (t)

dt= λn−2Nn− 2(t) − λn−1Nn−1( t)

MdNn ( t)

dt= λn−1Nn−1( t)

Per il caso con solo radionuclide parente inizialmente presente, X1 e condizioni iniziali

€

N1(0) ≠ 0 e Ni(0) = 0,i >1 la soluzione delle equazioni cosidette di Bateman sono

€

A j (t) = λ jN j (t) = N1(0) Cmm=1

j

∑ e−λmt

€

Cm =λ ji=1

j∏

(λi − λm )i=1i≠m

j∏=

λ1λ2λ3Lλ j

(λ1 − λm )(λ2 − λm )L(λ j − λm )

Radionuclidi presenti “naturalmente”I radionuclidi presenti sulla terra derivano da due sorgenti:

La prima sorgente sono i raggi cosmici, che provengono dal sole e dallo spazio galattico.Sono formati, principalmente da protoni e particelle alpha, mentre i nuclei piu’ pesanticontribuiscono solo per 1%.

La seconda sorgente sono i radionuclidi residui dopo il formarsi della terra. I radionuclidiprimordiali si sono formati nelle stelle da cui il sistema solare si e’ formato. Molti di questiradionuclidi sono decaduti durante i 4 109 anni dalla formazione della terra.

Radionuclidi cosmogenici I radionuclidi cosmogenici principali sono il Trizio 3H ( o T) ed il 14C.

Il Trizio e’ prodotto primariamente in reazioni

€

14N (n,T)12C e 16O(n,T)14NIl T decade beta meno, ha un T1/2 di 12.3 anni. Esiste in natura come HTO.

€

14 N(n, p)14C Il nuclide 14C si forma principalmente nella reazione

Esiste in atmosfera come C02 ma principalmente negli oceani. Ha T1/2 di 5730 anni e decade beta meno.

Radionuclidi primordiali singoliDi tutte le speci di radionuclidi presenti alla formazione del sistema solare (~5 109 Yr) rimangono solo 17 radionuclidi a vita media lunga, non appartenenti alle catene radioattive.

Di questi, quelli piu’ importanti per la vita umana sono il 40K ed il 87Rb, che si trovano nei tessutidel corpo umano.

Serie radioattive di origine primariaOgni radionuclide con Z>83 e’ un membro di una delle 3 serie radioattive primordiali.

Il numero di massa A per ciascun membro di questa serie puo’ essere espresso come 4n+i,con n un intero ed i=0,2 o 3.Le tre serie sono la Thorio (4n), la serie Uranio (4n+2) e la serie actinium (4n+3).

La serie (4n+1) Plutonium,

€

94241Pu , e’ stata creata artificialmente nei reattori nucleari,

il suo nuclide piu’ a lunga vita media e’ il

€

93237Np , che ha vita media solo di 2.14 MY.

Applicazione dell’equilibrio secolare

€

dN1

dt≅

dN2

dt=L =

dNn−1

dt≅ 0

€

A1( t) = λ1N1( t) ≅ A0 (costante)

Se il genitore ha vita media piu’ lunga del figlio, la sua attivita’ sara’ praticamente costante, come vista dal figlio, per cui

quindi

€

dN1( t)dt

≅ 0 per la generazione dopo sara’

€

A2N2( t) ≅ λ1N1 = A0 e cosi’ via

€

λ1N1 = λ2N2 =L= λn−1Nn−1

Ad es. da misure radiochimiche si conosce che il rapporto tra il numero di atomi di Uranio 238 e dil numero di atomi di

€

88226Ra vale 1/2.3 x106

essendo T1/2(Ra)=1.62 yr.

€

λ238N238 = λ226N226

€

λ = ln2 / T1/2

€

N238

T238

=N 226

T226

relazione usabile per determinare la costante di decadimento del genitore

€

T238 = T226N 238

N 226

= (1.62×103)(2.3×106) = 4.5×109 y

Tre serie radioattive naturali (+1 esaurita), esistenti dalla formazione della terra 4.5 x 109 anni fa: U238,U235, Th232 (+ Np237)

The members of this series are not presently found in nature because the half-life of the longest lived isotope in the series is short compared to the age of the earth.

RadioDatazioneIl decadimento radioattivo di particolari nuclidi e’ utilizzato per datare reperti geologici e archeologici. Dalla misura delle concentrazioni di nuclidi genitori e figli e’ possibilerisalire all’eta’ del capione perche’ le rate di decadimento dei radionuclidi nel campione servono da orologi nucleari a rate costante.Diversi metodi di datazione sono impiegati, i piu’ conosciuti sono basati sul 14C ed il 40K.

Se si conosce la quantita’ del campione al tempo t=0 e t la soluzione e’ facile perche’

€

N(t) = N(0)e− λt

€

t = −1λ

ln( N (t)N(0)

)

se non si conosce N(0), si puo’ a volte conoscere il rapporto N(0)/Ns, tra il

radionuclide e un isotopo stabile dello stesso elemento per cui si puo’ ricavare t come

€

t = −1λ

ln(N (t) / N S

N (0) / N S)

Analogamente si puo’ misurare il tempo di formazione di un nuclide stabile, conoscendo il rapporto di concentrazione del nuclide genitore N1 e del nuclide figlio stabile N2.

€

t = −1λ1

ln 1+N2 (t)N1(t)

Uguale al rapporto diconcentrazioni, misurabile con spettrometro di massao analisi chimica

€

Datazione con 14CIl

€

14C ha T1/2 di 5730 anni ed e’ introdotto nell’ambiente dalle interazioni

€

14N(n,p) 14C

dei raggi cosmici nell’atmosfera e rimosso causa decadimento

€

β -, portando, se non pertrbato,

ad un equilibrio di concentrazione con gli atomi di carbonio dell’ambiente di

€

N14

NC

=1.23 ×10−12

In pratica si misura l’attivita’ A14 per grammo campion, cosi’ cosi’ questa specifica attivita’ e’

proporzionale al rapporto

€

N14

NC

€

A14

g(C)= ( N14

NC

) λ14NA

12= 0.237 Bq

g(C)= 6.4 pCi

g(C)

Tutti gli isotopi del carbonio sono fissati dagli organismi biologici viventi nello stesso

rapporto dell’ambiente paei a

€

6.4 pCig(C)

, per cui dopo la morte dell’organismo questo

rapporto diminuisce causa decadimento del 14C.

€

t =−1λ

ln N14 (t) / NC

N14 (0)NC

= −

1λ

ln A14 (t) / g(C)A14 (0) / g(C)

Negli ultimi secoli, il rapporto, e’ cambiato causa emissione di CO2 e test nucleari per e’ necessarioprocedere a calibrazioni per relazionare la concentrazione a quella “vera”, ante era industriale.

Caso del figlio con concentrazione iniziale

€

N1(t) = N1(0)e−λt e N2 (t) = N2 (0) + N1(0) 1− e−λt[ ]

€

N2(0)≠ 0Inizialmente sia

Se esiste un isotopo stabile dello stesso elemento del figlio, uno che non e’ formato dal decadimentonaturale, il rapporto

€

R = N2 / N2' si conosce dall’abbondanza relativa degli isotopi.

€

N2(t ) / N2' (t) = N2(0) / N2

' (0) = R0

€

N2' (t ) = N 2

' (0)Ragionevolmente

€

N1(t)N2

' (t)=

N1(0)N2

' (0)e−λt e R(t) = R0 +

N1(0)N2

' (0)1− e−λt[ ]

€

R(t) = R0 +N1(t)N 2

' (t)eλt 1− e−λt[ ] = R0 +

N1(t)N2

' (t)eλt −1[ ]

€

t = 1λ

ln 1+N2

' (t)N1(t)

R(t) − R0[ ]

Cosi’ l’eta’ del campione si ricava da tre rapporti atomici:

€

N2' (t)

N1(t) e

€

R(t) misurabili e

€

R0

rapporto relativo primordiale.