Applicazioni della Trigonometria - www.liceisgv.it/docenti/baldi - Creative Commons (by-nc) Gabriele Baldi

Applicazioni della Trigonometria

0. Un po’ di storia… La parola trigonometria deriva dal greco: µέτρον “metron” che significa misura e τρίγωνοσ “trigonos” che significa tre angoli: misura di un triangolo, studio dei suoi elementi, angoli e lati, e delle relazioni tra questi. Lo studio della trigonometria non è il solo studio di triangoli, ma è un campo che spazia dall’astronomia all’ottica, dalla topografia, all’acustica, all’astronomia, etc. Il termine trigonometria fu dato nel 1595 dal matematico tedesco Bartolomeus Pitiscus, in un libro che aveva intitolato “Trigonometria, ovvero un trattato breve e intelligente sulla risoluzione dei triangoli”. Per molti secoli la trigonometria dovette i suoi progressi quasi esclusivamente all’opera di grandi astronomi e geografi, questo anche perché fenomeni celesti quali le fasi lunari, l’alternarsi di notte e dì, sono fenomeni che non sfuggivano neppure all’osservatore più distratto. Due sono gli astri che, per la loro grandezza, avevano impressionato: il Sole e la Luna. Quanto distavano dalla Terra? Quanto erano grandi? È con queste domande che ha inizio l’astronomia e quindi la trigonometria. Le primordiali idee della trigonometria possono essere ricondotte alla civiltà egizia, come ad esempio si evince dal papiro di Rhind (1650 a.C.), che riporta problemi relativi all’inclinazione delle facce delle piramidi. La nascita di questa scienza è tuttavia da attribuirsi ad Ipparco di Nicea (180-125 a.C. ca., il quale, seguendo la tradizione babilonese, misura la circonferenza in 360° e costruisce le prime tavole trigonometriche) e a Claudio Tolomeo (II secolo d.C., astronomo greco vissuto ad Alessandria d’Egitto, il quale scrive il trattato “Almagesto”, opera fondamentale di trigonometria, che, tradotta in latino, verrà studiata fino al Medioevo). Contributi notevoli furono poi portati dagli Arabi, dal matematico tedesco Johann Müller (1436-1476), detto Regiomontano, al quale si deve l’opera “De triangulis omnia modis libri quinque”, del 1464, che costituisce il primo libro interamente dedicato alla trigonometria, da Copernico (1473-1543), Tycho Brahe, i quali erano intenti a descrivere e prevedere con sempre maggior accuratezza i fenomeni celesti, anche per un più esatto e comodo calcolo di longitudini e latitudini. Altri risultati per lo sviluppo della trigonometria sono stati ottenuti da J. Rhaeticus (1514-1576), F. Viète (1540-1603), J. Napier (1550-1617), J. Kepler (1571-1630) e Leonhard Euler (1707-1783): quest’ultimo considerò la trigonometria come una parte dell’analisi e introdusse le notazioni abbreviate per le funzioni trigonometriche (sin, cos, tan, etc.), che ancor oggi usiamo. Lo sviluppo dell’algebra (dalla fine del ‘500 in poi) ha quindi portato i matematici ad unificare varie scoperte di trigonometria fatte in epoche diverse, mettendo in luce quelle idee fondamentali che illuminano tutta una teoria. Sono queste idee, oggi applicate, che aiutano a risolvere un gran numero di problemi, dalla topografia all’acustica, dall’elettronica all’economia. 0.1 Eratostene di Cirene e il meridiano terrestre.

Siamo nel III secolo a.C. ed il greco Eratostene (276-194 a.C. ca.), astronomo, matematico, geografo e poeta, esegue una celeberrima misura della lunghezza del meridiano terrestre.

Applicazioni della Trigonometria - www.liceisgv.it/docenti/baldi - Creative Commons (by-nc) Gabriele Baldi Eratostene era venuto a conoscenza che il giorno del solstizio d’estate a mezzogiorno i raggi solari erano quasi esattamente perpendicolari a Siene (attuale Assuan, in Egitto): infatti aveva sentito, probabilmente dai racconti dei mercanti, che in quella città, in quell’istante, il fondo di uno stretto e profondo pozzo risultava illuminato, ovvero che il sole passava quasi esattamente per lo zenit. Eratostene attese il solstizio d’estate ad Alessandria (sempre in Egitto, distante 5000 stadi = 890km da Siene, preso lo stradio pari a 178m), ove egli lavorava come responsabile della biblioteca cittadina, osservando che in quel momento i raggi solari formavano con la verticale un angolo pari a 1/50 dell’angolo giro1: si accorse infatti che l’ombra di un’asta verticale piantata in terra non si accorciava mai fino a diventare nulla. Visto che Siene e Alessandria si trovano all’incirca sullo stesso meridiano2, gli 890km di distanza rappresentano 1/50 del meridiano stesso (circonferenza terrestre), che risulta pari a 890*50 = 44500km, da cui il raggio di 7082km: questo valore è circa il 10% in eccesso a quello oggi accettato3, ma è di assoluto rilievo se si considera l’epoca in cui è stato ottenuto. 0.2. Aristarco di Samo e la distanza Terra-Sole.

Siamo ancora nel III secolo a.C., in Grecia, e Aristarco di Samo (310-230 a.C. ca.), appassionato studioso del cielo, sostenitore del sistema eliocentrico, riesce a fissare il rapporto tra le distanze medie Terra-Sole e Terra-Luna. Egli pone il seguente problema: “quando la Luna si presenta come una perfetta mezzaluna4, l’angolo fra le visuali del Sole e della Luna è inferiore ad un angolo retto per un trentesimo di quadrante5: quanto è più lontano dalla Terra il Sole rispetto alla Luna?” L’angolo misurato da Aristarco, formato dalle semirette TL (Terra-Luna) e TS (Terra-Sole) è ampio 90°-3°=87°. Il problema può essere schematizzato col triangolo LTS (Luna-Terra-Sole) di cui si conosce l’angolo °= 87ˆSTL , triangolo evidentemente rettangolo in L perché la Luna appare illuminata esattamente per metà; il problema consiste nella determinazione del rapporto tra

l’ipotenusa TS e il cateto TL . Si ha evidentemente ( )STLTSTL ˆcos⋅= ⇒ ( )TLSTL

TS ˆcos1=

ovvero TLTS ⋅= 1.19 . Aristarco trova quindi che il Sole è circa 19 volte più lontano della Luna. Osservazione: le misure attuali più accurate forniscono '5189ˆ °=STL , che portano a TLTS ⋅= 382 . La notevole differenza è dovuta al fatto che, essendo STL ˆ prossimo ad un angolo retto, piccoli errori sulla sua misura portano a grandi variazioni del reciproco del coseno (ovvero della secante).

1 La cinquantesima parte dell’angolo giro è pari a 7.2°. 2 In realtà sono separate da 3° di longitudine. 3 Il raggio medio terrestre è pari a 6371km. 4 Ciò accade quando è in quadratura, ossia quando è illuminata per metà. 5 Un quadrante misura 90°; un trentesimo di quadrante corrisponde pertanto ad un angolo ampio 3°.

Applicazioni della Trigonometria - www.liceisgv.it/docenti/baldi - Creative Commons (by-nc) Gabriele Baldi 1. Altezza di una torre e distanza da essa.

Problema: determinare l’altezza h di una torre e la distanza x da essa. Occorrente: goniometro per misurare α e β , metro per misurare a (distanza tra due punti distinti, accessibili all’osservatore). Dai triangoli rettangoli risulta il seguente sistema:

=

=+

β

α

tan

tan

xh

xah

=

=+

β

α

tan

tan

hxxa

h

⇒ α

β

tan

tan

=+ ha

h ⇒ αβ

tantan

+= hah ⇒

⇒ βαα

tantantan hah +⋅= ⇒ α

βα tan

tantan1 ⋅=

− ah ⇒ αβα

α tantan1

tan1tan ⋅=

−⋅⋅ ah ⇒

⇒

βα tan1

tan1 −

= ah . Segue inoltre che β

βαβ tan

1

tan1

tan1tan

⋅−

== ahx ⇒ 1

tantan −

=

αβax .

Se ad esempio è °= 30α , °= 33β , a=12m si ha h=62m e x=96m. Osservazione: se la base della

torre è accessibile, si può misurare a da questa ⇒ 0→x e °→ 90β ⇒ 0tan1 →

β ⇒

αtan1ah =

⇒ La misura dell’altezza si riduce a: αtan⋅= ah . 2. Altezza di una montagna.

Problema: determinare l’altezza h di una montagna, riferita al piano orizzontale ABH su cui è collocato l’osservatore. Con riferimento alla figura, siano: HAC ˆ=α , CBA ˆ=β , BCA ˆ=γ ,

BAC ˆ=ϕ , CAb = , ABc = , CHh = . Occorrente: goniometro per misurare α , β e ϕ , metro per misurare c (distanza tra due punti distinti A e B, accessibili all’osservatore). Applicando il teorema

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dei seni al triangolo ABC si ha: γβ sinsin

cb = ed, essendo ϕβγ −−°=180 ⇒ ( )ϕβγ += sinsin e

quindi ( ) cb ⋅+

=ϕβ

βsin

sin . Il triangolo ACH è rettangolo in H quindi αsinbh = ⇒

( ) ch ⋅+

⋅=ϕβ

βαsin

sinsin. Se ad esempio è °= 45α , °== 88ϕβ , risulta h=1216m. Osservazione: questo

metodo si differenzia dal precedente (“altezza di una torre e distanza da essa”) perché non richiede che i punti A e B siano allineati col punto H, come invece è richiesto nel metodo precedente. Questo maggior grado di libertà lo si paga però dovendo effettuare quattro misure (α , β , ϕ e c) invece che tre (α , β ed a). 3. Distanza da un punto inaccessibile (all’osservatore) ma visibile.

Problema: determinare la distanza xOP = tra il punto d’osservazione O e un punto P inaccessibile ma visibile. Occorrente: goniometro per misurare α e β , metro per misurare a (distanza tra il punto di osservazione O ed un punto A, entrambi accessibili all’osservatore). Si individua un punto di riferimento R e un punto A sul segmento OR; sia aOA = . Essendo

βδ −°= 180 , risulta βδ sinsin = . Essendo poi ( ) αββαδαγ −=−°−−°=−−°= 180180180 ,

risulta ( )αβγ −= sinsin . Per il teorema dei seni si ha:δγ sinsin

xa = ⇒ ( ) βαβ sinsinxa =

− ⇒

( ) ax ⋅−

=αβ

βsin

sin.

4. Distanza tra la Terra e la Luna

Problema: trovare la distanza di un punto A della Terra (punto accessibile) da un punto L inaccessibile, ma visibile, quale può considerarsi la Luna. A tal fine si potrebbe usare il metodo

Applicazioni della Trigonometria - www.liceisgv.it/docenti/baldi - Creative Commons (by-nc) Gabriele Baldi precedente (“distanza da un punto inaccessibile all’osservatore, ma visibile”), però, trattandosi di una distanza piuttosto grande (qualche centinaia di migliaia di chilometri), conviene prendere sulla Terra una base di parecchi chilometri, per avere angoli di visuale non troppo piccoli. Si consideri pertanto come base la corda AB che sottenda un arco di meridiano terrestre nel cui piano (piano meridiano) vi sia anche il punto L che rappresenta la Luna, come in figura. Si procede alla misura delle latitudini6 1λ e 2λ dei punti B ed A, da cui 21

ˆ λλ +=BCA . Applicando

il teorema di Carnot al triangolo isoscele7 ABC, risulta ( )BCArrrAB ˆcos2 2222−+= e quindi

( )[ ]21cos12 λλ +−= rAB . Inoltre, essendo α=β ed anche °=+++ 18021 λλβα , si ha

290 21 λλβα +−°== . Nei punti A e B, oltre a misurare le latitudini 1λ e 2λ , si procede anche alla

misura degli angoli α′ e β ′ che la Luna forma con la verticale locale. Risulta quindi αα ′−−°=180ˆBAL e ββ ′−−°=180ˆABL . Del triangolo ABL si conoscono quindi un lato e i due

angoli adiacenti ad esso: risolvendolo si ottiene la distanza AL di circa 384100km. Osservazione: applicando il risultato già trovato (si veda “Aristarco di Samo e la distanza Terra-Sole”), si ottiene che il Sole è distante dalla Terra 384100·382=147000000km circa. 5. Intensità della somma (vettoriale) di due forze.

Problema: determinare l’intensità della somma tra due forze complanari 1F e 2F . Quantità note: α (angolo tra 1F e 2F ), 1F e 2F (intensità rispettivamente di 1F e 2F ). Quantità incognita: 3F

(intensità di 213 FFF += ). Costruendo il parallelogramma in figura risulta °=+++ 360βαβα ⇒ °=+ 180βα ⇒ αβ −°= 180 ⇒ αβ coscos −= . Per il teorema di Carnot si ha:

αβ cos2cos2 1221

2212

21

22

23 ⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅−+= FFFFFFFFF ⇒ αcos2 21

22

213 ⋅⋅⋅++= FFFFF .

6 Ad esempio con osservazioni astronomiche, riferendo gli angoli ad uno stesso astro. 7 Si consideri per semplicità rCBAC == , raggio medio terrestre, pari a 6371km. Conoscendo l’andamento del geoide terrestre si può tener conto del fatto che la Terra è meglio approssimata da un ellissoide piuttosto che da una

sfera, per cui, in generale, AC può esser leggermente diverso da CB . In tal caso α e β possono ad esempio essere ricavati col teorema dei seni.

Applicazioni della Trigonometria - www.liceisgv.it/docenti/baldi - Creative Commons (by-nc) Gabriele Baldi 6. Intensità delle componenti di una forza lungo due direzioni assegnate.

Problema: determinare le intensità delle componenti xF e yF ( ABFx = e BCADFy ==

rispettivamente) di una forza F lungo due assegnate direzioni x e y, con le quali F forma i due

angoli α e γ . Applicando il teorema dei seni al triangolo ABC risulta: B

FFxˆsinsin

=γ

, con

γα −−°= 180B̂ ⇒ ( )γα += sinˆsin B ⇒ ( )γαγ +=

sinsinFFx ⇒ ( ) FFx ⋅

+=

γαγ

sinsin

.

Analogamente, sempre utilizzando il teorema dei seni, si ottiene ( ) FFy ⋅+

=γα

αsin

sin.

7. Distanza tra due punti accessibili (all’osservatore) ma inaccessibili tra loro.

Problema: determinare la lunghezza del segmento AB quando sia impossibile una misura diretta. Occorrente: goniometro per misurare α , metro per misurare OA e OB (distanze tra un punto di osservazione O ed i due punti A e B, entrambi accessibili all’osservatore). La soluzione è un’applicazione diretta del teorema di Carnot: αcos2

222⋅⋅⋅−+= OBOAOBOAAB ⇒

αcos222

⋅⋅⋅−+= OBOAOBOAAB . 8. Guida radar di un missile. Nella guida radar di un missile antiaereo, la stazione radar da terra (R) deve valutare in ogni istante la distanza tra l’aereo (A) da colpire e il missile (M), nonché l’angolo di rotta γ che il missile deve

Applicazioni della Trigonometria - www.liceisgv.it/docenti/baldi - Creative Commons (by-nc) Gabriele Baldi tenere per raggiungere il bersaglio A. Il radar misura la distanza RA radar–aereo, quella RM radar–missile e l’angolo α tra queste due direzioni.

Problema: determinare la distanza AM aereo–missile e l’angolo AMR ˆ=γ . Per determinare AM

si applica il teorema di Carnot: αcos222

⋅⋅⋅−+= RMRARMRAAM . Una volta nota AM si

può applicare il teorema dei seni per determinare γ: βγ sinsin

AMRA = ⇒

⋅=AM

RA βγ sinarcsin . Se ad

esempio è kmRA 12= , kmRM 20= e °= 65β , risulta kmAM 4.18= e °= 36γ . 9. Radiogoniometro.

Il radiogoniometro è uno strumento molto utile nella navigazione marittima e viene usato per determinare la direzione da cui proviene un segnale radio. Ad esempio, nel caso in cui accada che una nave C si trovi in difficoltà, essa invia un segnale radio omnidirezionale; il segnale viene ricevuto da due capitanerie di porto, A e B, che distano tra loro 400 km in linea d’aria. Con il radiogoniometro le due capitanerie rilevano gli angoli α=110° e β=50° indicanti le direzioni d’arrivo del segnale. Problema: quanto dista la nave C da A e da B? Schematizzando il problema con il triangolo ABC, risulta γ=180°–α–β=20°; inoltre è aBC = ,

bAC = ed anche γβα sinsinsin

cba == ⇒ cBCγα

sinsin= e cAC

γβ

sinsin= . Con i valori numerici di

cui sopra risulta kmBC 1099= e kmAC 896= . Osservazione: intersecando le due circonferenze centrate in A e B, di raggi rispettivamente b ed a, si può risalire alla posizione in mare della nave.

Applicazioni della Trigonometria - www.liceisgv.it/docenti/baldi - Creative Commons (by-nc) Gabriele Baldi 10. Distanza tra due punti inaccessibili ma visibili all’osservatore (problema di Hansen).

Peter Andreas Hansen (1795–1874) astronomo danese, direttore dell’osservatorio di Seeberg e di Gotha, si occupò di meccanica celeste, studiando in particolare il moto della luna e le relative perturbazioni. Si occupò anche di questioni topografiche, ponendo il seguente problema: determinare la distanza xAB = tra due punti A e B visibili all’osservatore, ma inaccessibili. Occorrente: goniometro per misurare α , β , δ , γ , metro per misurare a (distanza tra i punti D e C, entrambi accessibili all’osservatore). Siano zBC = e yAC = . Applicando il teorema dei seni al

triangolo ACD risulta: ( ) ( ) ( )γβαγβαβα ++=

−−−°=

+ sin180sinsinaay , da cui

( )( ) ay ⋅

+++=

γβαβα

sinsin . Applicando ancora il teorema dei seni al triangolo BCD risulta:

( ) ( )δγβδγββ ++=

−−−°=

sin180sinsinaaz , da cui ( ) az ⋅

++=

δγββ

sinsin . Disponendo ora di y e z

in funzione delle sole quantità note, si può applicare il teorema di Carnot al triangolo ACB: δcos2222 yzzyx −+= , da cui ricavare x:

( )( ) ( )

( )( ) ( )δγβγβα

δββαδγβ

βγβα

βα++⋅++

⋅⋅+−++

+++

+⋅=sinsin

cossinsin2sin

sinsin

sin2

2

2

2

ax .

11. Distanza dell’orizzonte marino e angolo di visuale (elevazione) del cielo.

Si consideri un punto d’osservazione O (occhi di una persona, …) da cui si guarda verso l’orizzonte del mare (punto D sulla circonferenza terrestre c di centro C e raggio r, individuato dalla retta

Applicazioni della Trigonometria - www.liceisgv.it/docenti/baldi - Creative Commons (by-nc) Gabriele Baldi tangente d condotta per O alla circonferenza stessa). Con riferimento alla figura siano

CDCBr == =6371000m (raggio medio terrestre), OBh = , ODx = . Problema: determinare la distanza x dell’orizzonte marino dall’osservatore; determinare inoltre l’ampiezza dell’angolo di elevazione β2 entro il quale il cielo è visibile (ovvero entro il quale il cielo risulta sopra l’orizzonte; in figura è indicato il semiangolo β ). Il triangolo OCD risulta rettangolo in D per costruzione, per cui (teorema di Pitagora):

( ) 222 rxhr +=+ ⇒ 2222 2 rxrhhr +=++ ⇒ rhhx 22 += . Essendo poi °=+ 180ˆCODβ e °=+ 90ˆCODα , sottraendo membro a membro risulta °=− 90αβ ⇒ °+= 90αβ . Inoltre è

rx=αtan ⇒

+=

=rh

rh

rx 21arctanarctanα e quindi

+⋅+°=rh

rh 21arctan21802β .

Ad esempio, se h=1.8m (uomo in piedi), risulta x=4789m e =β2 180.1°; se invece h=8m (cima dell’albero di una barca a vela), risulta x=10096m e =β2 180.2°. Osservazione: si nota quindi che per altezze ragionevoli (anche fino a qualche km dal suolo) la porzione di cielo vista è sempre circa un angolo piatto, mentre salendo anche di poco la distanza dell’orizzonte aumenta sensibilmente. 12. Angolo di inclinazione critico su piano inclinato con attrito radente statico.

Quando due corpi sono a contatto, il coefficiente di attrito statico Sµ esprime il rapporto tra la forza di attrito statico SF che si oppone al movimento reciproco dei due corpi e la forza normale nF

esercitata dalla superficie di un corpo su quella dell’altro, ovvero n

SS F

F=µ . Sperimentalmente si

osserva che tale coefficiente dipende dalla natura delle due superfici che sono a contatto, ma è indipendente dalla loro area. Problema: dato un oggetto di massa m poggiato su un piano inclinato di pendenza θ e coefficiente di attrito radente statico Sµ , quale è l’angolo critico Cθ oltre il quale l’oggetto inizia a muoversi? Scomponendo la forza peso mg nelle sue componenti normali (asse y) e tangenziali (asse x) al piano si ha: θcos⋅= mgFn e θsin⋅= mgFt . La forza di attrito statico vale quindi

θµµ cos⋅⋅=⋅= mgFF SnSS . L’angolo critico Cθ è quell’angolo per cui SF uguaglia tF , perché aumentando θ oltre tale limite risulta St FF > e il corpo inizia a muoversi. Per cui

CCS mgmg θθµ sincos ⋅=⋅⋅ ⇒ CCS θθµ sincos =⋅ ⇒ ( )SC µθ arctan= . Ciò offre, tra l’altro, un metodo estremamente semplice per misurare indirettamente Sµ : per misurare Cθ è sufficiente aumentare θ fino al punto in cui l’oggetto inizia a muoversi, da cui poi calcolare ( )CS θµ tan= .

Applicazioni della Trigonometria - www.liceisgv.it/docenti/baldi - Creative Commons (by-nc) Gabriele Baldi 13. Pendenza topografica e pendenza stradale.

Il termine pendenza è usato per indicare il grado di ripidità o di inclinazione di una strada o di un tratto di percorso. La pendenza di una strada è segnalata dai cartelli di pericolo (quelli triangolari), che la indicano con una percentuale. La pendenza topografica Tp è, per definizione, il rapporto tra il dislivello a (cateto verticale) e la distanza orizzontale c (cateto orizzontale) tra due punti, ovvero

capT = e 100% ⋅=

capT . Si osservi che il contachilometri di un’auto indica la distanza

effettivamente percorsa che è la distanza inclinata b (ipotenusa). Per questo si definisce anche la

pendenza stradale Sp come il rapporto tra a e b, ovvero bapS = e 100% ⋅=

bapS . Problema:

determinare Tp e Sp in funzione dell’angolo α di inclinazione della strada. Si osserva subito che la pendenza topografica Tp corrisponde, per le proprietà del triangolo rettangolo, al coefficiente angolare della retta giacente sull’ipotenusa, ovvero αtan=Tp , mentre la pendenza stradale Sp è il seno dello stesso angolo, ovvero αsin=Sp . Nella figura che segue sono riportati gli andamenti di αtan100% ⋅=Tp e αsin100% ⋅=Sp in funzione dell’angolo α da 0° a 45°.

Sui cartelli stradali di pericolo è indicata la pendenza Sp e non la Tp , in modo che l’automobilista, se ad esempio legge una pendenza del 10%, sa che ogni 1000m percorsi (ovvero b=1000m) è salito

c

a

α

b

Applicazioni della Trigonometria - www.liceisgv.it/docenti/baldi - Creative Commons (by-nc) Gabriele Baldi di 100m (ovvero a=100m). Si osservi anche come, per le pendenze tipicamente in gioco in Italia, non ci sia grossa differenza tra pendenza topografica e pendenza stradale: sostituendo si ha infatti che αcos⋅= TS pp , da cui si nota che, per piccoli angoli d’inclinazione α, le pendenze Sp e Tp hanno circa lo stesso valore8. 14. Un problema di statica. Un lampione per illuminazione pubblica, di massa m=10kg, è applicato a una parete con due aste rigide di massa trascurabile AB e BC come in figura di sinistra, formanti un telaio rigido fissato in A, in B e in C. Siano °= 20ˆCBA e °= 90ˆBCA . Problema: determinare le forze che le due aste esercitano sul muro nei punti A e C. Essendo il sistema in equilibrio (punto B fermo), deve esistere in B una forza BF in intensità pari alla forza peso PF del lampione ed opposta a quest’ultima: gmFF PB ⋅== =10*9.81=98.1N. Risulta evidente che, sotto l’azione della forza peso PF , l’asta AB è tesa mentre l’asta CB è compressa, ovvero l’asta AB tira il punto B verso il punto A, mentre l’asta CB spinge il punto B lontano dal punto C; risulta altresì evidente che, essendo le due aste rigide, le loro azioni sul punto B possono essere dirette solo lungo gli assi delle due aste stesse: siano esse AF e CF . La geometria (triangoli rettangoli) e l’equilibrio imposto in B portano al diagramma della figura di destra9, da cui emerge che AF , CF e BF sono rispettivamente ipotenusa, cateto lungo e cateto corto. Pertanto:

( )CBAFF B

A ˆsin= =286.8N e ( )CBA

FF BC ˆtan

= =269.5N. Le azioni AF e CF che le due aste applicano

in B sono a loro volta sostenute dalle reazioni vincolari della parete sulle aste stesse: tali reazioni saranno pertanto uguali in direzione e intensità e opposte in verso. Si conclude allora che l’asta AB esercita una trazione (diretta obliquamente 20° verso il basso) al muro nel punto A di intensità pari a 286.8N; l’asta BC esercita una compressione (diretta orizzontalmente) sul muro nel punto B di intensità pari a 269.5N. 15. La legge della rifrazione di Snell. La legge di Snell descrive le modalità di rifrazione (ovvero la deviazione) di un raggio luminoso nel passaggio tra due materiali aventi indici di rifrazione diversi; prende il nome da uno dei suoi scopritori, il matematico e astronomo olandese Willebrord van Roijen Snell (1580-1626). L’indice di rifrazione n di un materiale è definito dal rapporto tra le velocità c e v che la luce ha,

rispettivamente, nel vuoto e nel materiale stesso: vcn = . L’indice di rifrazione è legato alla densità

del materiale, per cui più un materiale è denso e minore è la velocità della luce v in esso: nel vuoto 8 Per piccoli valori di α la funzione cosα vale infatti circa 1; ciò è vero con buona approssimazione per α<20°. 9 Si veda anche il precedente “intensità delle componenti di una forza lungo due direzioni assegnate”.

A

B

C B

AF BF

CF

PF

Applicazioni della Trigonometria - www.liceisgv.it/docenti/baldi - Creative Commons (by-nc) Gabriele Baldi si ha densità nulla, per cui risulta sempre v<c ovvero n>1. Ad esempio l’acqua ha indice di rifrazione molto più alto di quello dell’aria, mentre questa ultima ha circa lo stesso del vuoto10.

Problema: dati due materiali con indici di rifrazione 1n e 2n diversi, interfacciati in y=0, quale è il percorso che segue un raggio luminoso per andare da un punto A=(0,h) posto nel primo materiale ad un punto B=(d,-k) posto nel secondo materiale? La risposta può essere cercata facendo riferimento al principio di Fermat: “il percorso fra due punti preso da un raggio di luce è quello che è attraversato nel minor tempo”, ovvero la luce compie percorsi di minimo tempo fra due punti arbitrariamente scelti nello spazio11. Tra le possibili traiettorie (1, 2, 3, etc. in figura), il problema si riduce quindi a cercare un punto C=(x,0) posto sull’interfaccia tale che la somma dei tempi ACt per andare da A a C e CBt per andare

da C a B sia minima. Poste 1v e 2v le velocità nei due materiali, si ha12: 1

22

1 vxh

vACt AC

+== e

( )2

22

2 vkxd

vCBtCB

+−== , e quindi deve essere minima, al variare di ],0[ dx ∈ , la quantità

( )2

22

1

22

vkxd

vxh +−

++ . Applicando i metodi dell’analisi13 si giunge alla equazione

( )0

222

221

=+−

−−+ kxdv

xdxhv

x . Posti iθ e Rθ gli angoli (di incidenza e rifrazione) che i

segmenti AC e CB formano rispettivamente con la retta normale all’interfaccia, dai teoremi sui

triangoli rettangoli risulta ixh

x θsin22

=+

e ( ) R

kxd

xd θsin22

=+−

− ⇒ 0sinsin

21

=−vv

Ri θθ ⇒

0sinsin

21

=−

nc

nc

Ri θθ ⇒ Ri nn θθ sinsin 21 ⋅=⋅ , che è la legge di Snell: quando la luce si trasmette da

10 L’aria ha un indice di rifrazione di circa 1.0003, mentre l’acqua ha un indice di circa 1.33; ciò significa che in aria la luce viaggia ad una velocità che è circa il 99.97% di quella nel vuoto, mentre in acqua è il 75.19%. 11 Il principio di Fermat è oggi stato esteso, affermando che il percorso ottico è stazionario, ovvero che la traiettoria percorsa da un raggio di luce è quella che richiede un tempo minimo o massimo (e non necessariamente minino). 12 Applicando lo stesso principio di Fermat ad un singolo materiale omogeneo, si ottiene che la luce si muove di moto rettilineo uniforme, da cui la legge s=vt, con s spazio, v velocità, t tempo. 13 Va imposta nulla la derivata parziale rispetto alla variabile x.

Applicazioni della Trigonometria - www.liceisgv.it/docenti/baldi - Creative Commons (by-nc) Gabriele Baldi un mezzo all’altro, essa sceglie il percorso per il quale gli angoli di incidenza e rifrazione sono legati dalla relazione trovata. Nota: anche il matematico francese René Descartes derivò, quasi nello stesso periodo e indipendentemente, la stessa legge; per questo essa è anche nota come legge di Snell-Descartes. Osservazione: la legge di Snell è fondamentale ad esempio in ottica, per il calcolo di tutte le lenti, sia esse convergenti o divergenti, oppure in fenomeni che si osservano quotidianamente, come ad esempio l’arcobaleno o quello mostrato nella figura che segue.

Nel punto di contatto con l’acqua la cannuccia sembra piegata, a causa della rifrazione della luce tra l’acqua e l’aria. Osservando il disegno sulla destra, il rettangolo scuro rappresenta la posizione vera della cannuccia appoggiata nel bicchiere, mentre il rettangolo chiaro ne rappresenta la posizione apparente. Si noti che la fine (X) sembra essere in (Y), una posizione meno profonda di (X). Curiosità: in una analogia proposta dal fisico americano Richard Feynman, la regione a indice di rifrazione più basso è rappresentata da una spiaggia, mentre la regione a indice di rifrazione più alto dal mare; il modo più rapido per raggiungere una persona che sta affogando da parte di un bagnino che si trova sulla spiaggia è correre lungo un percorso che segue la legge di Snell.

Questo documento è stato scritto da Gabriele Baldi e rilasciato in data 12/5/2009 con licenza Creative Commons (www.creativecommons.it) “Attribution Non-Commercial (by-nc)”; è reperibile all’url www.liceisgv.it/docenti/baldi; un ringraziamento a Carmela Genzano per le utili indicazioni.