Controlli Automatici 9CFU Appello per Ingegneria Elettrica NO (Bari) Aprile 2009 Tema n.1 (11 punti)_______________________________________________________________ Nel sistema in figura 1, sia:

( )cG s k= , Gp(s)= 2 4 6s

s s− +, k>0, d(t)=0.

a) Si tracci e si orienti il luogo delle radici del sistema complessivo per k>0, determinando i punti del luogo sull’asse reale, il numero e l’inclinazione degli asintoti, il centroide, i punti doppi sull’asse reale (se presenti) e gli eventuali punti sull’asse immaginario con i corrispondenti valori di k, nonché gli angoli di partenza e di arrivo dei rami del luogo. (4 punti).

b) Utilizzando il luogo delle radici determinato, si discuta la stabilità del sistema in anello chiuso al variare del parametro k>0, specificando per quali valori il sistema è rispettivamente asintoticamente stabile, semplicemente stabile, instabile (in caso di instabilità si precisi il numero di poli instabili) e stabile BIBO (4 punti).

c) Si determini il valore del guadagno k che permette di ottenere una risposta in anello chiuso oscillatoria smorzata con costante di tempo di circa 0.5 secondi. Si individui quindi il valore dei poli in anello chiuso del sistema in questo caso particolare. (3 punti).

Tema n.2 (10 punti)_______________________________________________________________ Con riferimento alla figura 1, sia:

( )cG s k= , Gp(s)= 1( 1)s +

e k > 0.

a) Posto d(t)=0, si determini il valore del guadagno k in modo che la larghezza di banda del sistema valga B=10 rad sec-1. (3 punti)

b) Utilizzando il valore di k scelto al punto a), si determini, se esiste, l’uscita y∞ a transitorio esaurito nelle ipotesi che risulti r(t)= si e d(t)=1( . (3 punti) n( 3) 1( )t + ⋅ t )t

c) Utilizzando il valore di k scelto al punto a) e detta e(t) la variabile errore a valle del nodo sommatore, sia e(t)=er(t)+ed(t), dove er(t) ed ed(t) sono le componenti dell’errore dovute rispettivamente al solo ingresso ed al solo disturbo. Si calcoli il valore asintotico della variabile errore e∞(t) quando r(t)=1(t) e d(t)= 2 1( )t⋅ . (4 punti)

Tema n.3 (10 punti)_______________________________________________________________ Nel sistema in figura 1, sia:

( )cG s k= , Gp(s)=

1100( )5

1( 2)(2

s

s s

+

+ + ), k∈ .

a) Si tracci qualitativamente il diagramma polare del sistema in oggetto. In particolare si

determinino modulo ed argomento per 0ω +→ ed ω → +∞ , i punti di intersezione con gli assi (ove presenti), gli eventuali asintoti. (4 punti)

b) Si studi la stabilità del sistema in anello chiuso, specificando per quali valori del parametro k∈ il sistema è rispettivamente asintoticamente stabile, semplicemente stabile, o instabile (in caso di instabilità si precisi il numero di poli instabili), con il criterio di Nyquist. (4 punti)

c) Posto k=1, si scriva un elenco di comandi in Matlab per definire il sistema, tracciarne il diagramma di Nyquist e visualizzare la mappa poli e zeri in anello chiuso. (2 punti).

r(t) + Gc(s) Gp(s) e(t) y(t) +d(t) +

–

Figura 1.