7/29/2019 Appello 13 gennaio unipd analisi 1

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ANALISI MATEMATICA 1Ingegneria Industriale CANALE 3

SOLUZIONI

TEMA A Padova 31/01/2013

1) Determinare il numero di soluzioni dellequazione f(x) = dove

f(x) = e12x

1

1 x .

SOL. Dom f = R \ {0, 1}, limx!0 f(x) = 0, limx!0+ f(x) = +1 limx!1+ f(x) =1, limx!1 f(x) = +1, limx!1 f(x) = 0. f0(x) = e

12x

2x2+x12x2(x1)2 , f e crescente

per x < 1 e 1/2 < x < 1 e x > 1. x = 1 punto di max e f(1) = 12e1/2 , x = 1/2pto di min e f(1/2) = 2e. Lequazione ha8 2e1sol per < 0, = 2e, = 12e

1/2

0sol. per 12e1/2 < < 2e, = 0

1

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5 5x

6

4

2

2

4

6

8

y

2

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2) Determinare, al variare di 2 R, il carattere della serie

1Xn=1

n

1 cos

e1n 1

.

SOL. Si ha

n

1 cos

e1n 1

= n1 cos

1n + o

1n

= n12n2 + o

1

2n2

e quindi per il criterio asintotico la serie e convergente se 2 > 1 cioe < 3.

3) Data

f(x) =

8 a.

Per la derivabilita limx!a f0(x) = 2 = limx!a+ f0(x) = 2a da cui imponendo che idue limiti siano uguali si ottiene a = 1 che, assieme alla condizione precedente, porgeb = 1. Retta tangente in (1, 2) : y 2 = 2(x 1) cioe y = 2x.

4) Si calcoliR20

x+2p4x2 dx.

3

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SOL. La funzione e illimitata per x ! 2 e x+2p4x2 =

x+2

(2x)12 (2+x)

12

da cui f(x)

e asintotica a2

(2x) 12 per x ! 2 e pertanto la funzione ha integrale generalizzatofinito. Si ha Z2

0

x + 2p4 x2

dx = lim"!0

(4 x2) 12 + 2 arcsin x2

x=2x="

= + 2.

1T) Dare la definizione di

limx!2

f(x) = +1 e limx!+1

f(x) = 2.

2T) Sia (an)n una successione a termini positivi. Dimostrare che

limn!+1

an+1an

= l < 1 ) limn!1

an = . . .

Dimostrare che se limn!+1an+1an

= 1 allora non si puo dedurre che an sia convergente.

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ANALISI MATEMATICA 1Ingegneria Industriale CANALE 3

Pro. C. Marchi, C. Sartori

TEMA B Padova 31/01/2013

1) Determinare il numero di soluzioni dellequazione f(x) = dove

f(x) = e14x

1

1 + 2x.

SOL.Dom f = R\{0,

1/2}, limx!0

f(x) = +1

, limx!0

+ f(x) = 0 limx!1/2

+ f(x) =

+1, limx!1/2 f(x) = 1, limx!1 f(x) = 0. f0(x) = e14x12x+8x24x2(1+2x)2 , f e cres-

cente per 1/4 < x < 0, 0 < x < 1/2. x = 1/4 punto di minimo e f(1/4) = 2e,x = 1/2 pto di max e f(1/2) = 1/2e1/2. Lequazione ha8 2e1sol per < 0, = 12e

12 , = 2e0sol. per 1/2e1/2 < < 2e, = 0

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4 2 2 4x

6

4

2

2

4

6

8

y

6

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2) Determinare, al variare di 2 R, il carattere della serie

1Xn=1

n

1 ecos 1n1.

SOL. Si han

1 ecos 1n1=

n

1 e 12n2+o( 1n2 )=

n

12n2 + o

1n2

e quindi per il criterio asintotico la serie e convergente se 2 > 1 cioe < 3.

3) Data

f(x) = 8 a

b + x2 per x a,dove a e b sono parametri reali, determinare i valori di a e b per cui f 2 C1(R). Pertali valori determinare la retta tangente a f in x = a.

SOL. Per la continuita si deve avere limx!a+ f(x) = 3a = limx!a f(x) = b + a2.

Per la derivabilita

f0(x) =

(3 + 2log3(xa)3 3

1

(xa)2 per x > a

2x, per x < a.

Per la derivabilita limx!a f0(x) = 2a = limx!a+ f

0(x) = 3 da cui imponendo che idue limiti siano uguali si ottiene a = 32 che, assieme alla condizione precedente, porge

b = 94 . Retta tangente in ( 32 , 92): y 92 = 3(x 32), cioe y = 3x.

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4) Si calcoli lintegrale

R0

3x3p9x2 dx .

SOL. La funzione e illimitata per x ! 3+ e x3p9x2 =

x3(3+x)

12 (3x)

12

da cui f(x) e

asintotica a p6

(3+x)12

per x ! 3+ e pertanto la funzione ha integrale generalizzatofinito. Si haZ0

3

x 3p9 x2

dx = lim"!0

(9 x2) 12 3 arcsin x3

x="x=3

= 3 32.

1T) Dare la definizione di

limx!3 f(x) = 1 e limx!+1 f(x) = 1.

2T) Sia (an)n una successione a termini positivi. Dimostrare che

limn!+1

an+1an

= l > 1 ) limn!+1

an = . . . .

Dimostrare che se limn!+1an+1an

= 1 allora non si puo dedurre che an sia divergente.

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ANALISI MATEMATICA 1Ingegneria Industriale CANALE 3

Pro. C. Marchi, C. Sartori

TEMA C Padova 31/01/2013

1) Determinare il numero di soluzioni dellequazione f(x) = dove

f(x) = e1

2+x 1

x.

Dom f =R

\ {2, 0}, limx!0+

f(x) = +1, limx!0

f(x) = 1 limx!2+

f(x) =1, limx!2 f(x) = 0, limx!1 f(x) = 0. f0(x) = e1

2+x x2+5x+4

x2(2+x)2 , f e crescente

per 2 < x < 1, 4 < x < 2, x = 4 pto di min e f(4) = 1/4e1/2. x = 1punto di massimo e f(1) = e. Lequazione ha8 0, = 1/4e1/2, = e0sol. per e < < 1/4e1/2, = 0

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20 15 10 5 5 10x

4

3

2

1

1

2

3

y

10

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2) Determinare, al variare di 2 R, il carattere della serie

1Xn=1

n

1 esin2 1n.

SOL. Si han

1 esin2 1n=

n

1 e 1n2+o( 1n2 )=

n

1n2 + o

1n2

e quindi per il criterio asintotico la serie e convergente se 2 > 1 cioe < 3.

3) Data

f(x) =8 e.

Per la derivabilita limx!e f

0(x) = 2ae = limx!e+ f

0(x) = b/e da cui imponendo che

i due limiti siano uguali si ottiene b = 2ae2 che, assieme alla condizione precedente,porge a = 1e2 e b = 2. Retta tangente in (e, 1): y+1 = 2e (xe), cioe y = 2ex+1.

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4) Si calcoli lintegrale

R3

09x2p3x dx.

SOL. La funzione e continua per x ! 3 essendo limx!3 9x2

p3x = limx!3

p3 x(3 +

x) = 0, quindi lintegrale esiste finito. Si ha

Z30

9 x2p3 x dx =

Z30

p3 x (3 + x) dx =

3x=t2

Zp30

(6 t2)2t2 dt = 425

p3.

1T) Dare la definizione di

limx!2 f(x) = +3 e limx!1 f(x) = +

1.

2T) Enunciare e dimostrare il criterio della radice per una serie a termini positivi.

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ANALISI MATEMATICA 1Ingegneria Industriale CANALE 3

Pro. C. Marchi, C. Sartori

TEMA D Padova 31/01/2013

1) Determinare il numero di soluzioni dellequazione f(x) = dove

f(x) = e1

2x1

x.

SOL. Dom f = R\{2, 0}, limx!0

f(x) =1

, limx!0

+ f(x) = +1

limx!2

+ f(x) =

0, limx!2 f(x) = +1, limx!1 f(x) = 0. f0(x) = e1

2x x2+5x4x2(x2)2 , f e crescente

per 1 < x < 2 e 2 < x < 4. x = 4 punto di massimo e f(4) = 14e1/2, x = 1 pto di

min. e f(1) = e. Lequazione ha8 e, 0 < < 14e1/2

1sol per < 0, = 1/4e1/2, = e0sol. per 14e

1/2 < < e, = 0

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10 5 5 10 15 20x

2

1

1

2

3

4

5

y

14

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2) Determinare, al variare di 2 R, il carattere della serie

1Xn=1

n

log(1 + sin 1n2 ).

SOL. Si ha

n

log(1 + sin 1n2 )=

n

log(1 + 1n2 + o(1n2 ))

=n

1n2 + o

1n2

e quindi per il criterio asintotico la serie e convergente se 2 > 1 cioe < 3.

3) Data

f(x) =8

b sin x + 1 per x ,dove a e b sono parametri reali, determinare i valori di a e b per cui f 2 C1(0, +1).Per tali valori determinare la retta tangente a f in x = .

SOL. Per la continuita si deve avere limx! f(x) = 1 = limx!+ f(x) = a2 da cui

a = 12 . Per la derivabilita

f0(x) =

(2ax + 2log3(x)3 3

1

(x)2 per x >

b cos x, per x < .

Per la derivabilita limx!

f0(x) = b = limx!+ f0(x) = 2a

da cui imponendo chei due limiti siano uguali si ottiene b = 2

. Retta tangente in (, 1): y 1 = 2

(x ),cioe y = 2

x 1.

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4) Si calcoli lintegrale

R0

24x2p2+x

dx.

SOL. La funzione e continua per x ! 2 essendo limx!2 4x2

px+2

= limx!2p

x + 2(2 x) = 0, quindi lintegrale esiste finito. Si ha

Z02

4 x2p2 + x

dx =

Z02

px + 2(2 x) dx =

2+x=t2

Z0p2

(4 t2)2t2 dt = 5615

p2.

1T) Dare la definizione di

lim

x!3f(x) = 2 e lim

x!1f(x) = 3.

2T) Enunciare e dimostrare il criterio del rapporto per la convergenza di una serie atermini positivi.

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