7/29/2019 Appello 13 gennaio unipd analisi 1
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ANALISI MATEMATICA 1Ingegneria Industriale CANALE 3
SOLUZIONI
TEMA A Padova 31/01/2013
1) Determinare il numero di soluzioni dellequazione f(x) = dove
f(x) = e12x
1
1 x .
SOL. Dom f = R \ {0, 1}, limx!0 f(x) = 0, limx!0+ f(x) = +1 limx!1+ f(x) =1, limx!1 f(x) = +1, limx!1 f(x) = 0. f0(x) = e
12x
2x2+x12x2(x1)2 , f e crescente
per x < 1 e 1/2 < x < 1 e x > 1. x = 1 punto di max e f(1) = 12e1/2 , x = 1/2pto di min e f(1/2) = 2e. Lequazione ha8 2e1sol per < 0, = 2e, = 12e
1/2
0sol. per 12e1/2 < < 2e, = 0
1
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5 5x
6
4
2
2
4
6
8
y
2
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2) Determinare, al variare di 2 R, il carattere della serie
1Xn=1
n
1 cos
e1n 1
.
SOL. Si ha
n
1 cos
e1n 1
= n1 cos
1n + o
1n
= n12n2 + o
1
2n2
e quindi per il criterio asintotico la serie e convergente se 2 > 1 cioe < 3.
3) Data
f(x) =
8 a.
Per la derivabilita limx!a f0(x) = 2 = limx!a+ f0(x) = 2a da cui imponendo che idue limiti siano uguali si ottiene a = 1 che, assieme alla condizione precedente, porgeb = 1. Retta tangente in (1, 2) : y 2 = 2(x 1) cioe y = 2x.
4) Si calcoliR20
x+2p4x2 dx.
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SOL. La funzione e illimitata per x ! 2 e x+2p4x2 =
x+2
(2x)12 (2+x)
12
da cui f(x)
e asintotica a2
(2x) 12 per x ! 2 e pertanto la funzione ha integrale generalizzatofinito. Si ha Z2
0
x + 2p4 x2
dx = lim"!0
(4 x2) 12 + 2 arcsin x2
x=2x="
= + 2.
1T) Dare la definizione di
limx!2
f(x) = +1 e limx!+1
f(x) = 2.
2T) Sia (an)n una successione a termini positivi. Dimostrare che
limn!+1
an+1an
= l < 1 ) limn!1
an = . . .
Dimostrare che se limn!+1an+1an
= 1 allora non si puo dedurre che an sia convergente.
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ANALISI MATEMATICA 1Ingegneria Industriale CANALE 3
Pro. C. Marchi, C. Sartori
TEMA B Padova 31/01/2013
1) Determinare il numero di soluzioni dellequazione f(x) = dove
f(x) = e14x
1
1 + 2x.
SOL.Dom f = R\{0,
1/2}, limx!0
f(x) = +1
, limx!0
+ f(x) = 0 limx!1/2
+ f(x) =
+1, limx!1/2 f(x) = 1, limx!1 f(x) = 0. f0(x) = e14x12x+8x24x2(1+2x)2 , f e cres-
cente per 1/4 < x < 0, 0 < x < 1/2. x = 1/4 punto di minimo e f(1/4) = 2e,x = 1/2 pto di max e f(1/2) = 1/2e1/2. Lequazione ha8 2e1sol per < 0, = 12e
12 , = 2e0sol. per 1/2e1/2 < < 2e, = 0
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4 2 2 4x
6
4
2
2
4
6
8
y
6
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2) Determinare, al variare di 2 R, il carattere della serie
1Xn=1
n
1 ecos 1n1.
SOL. Si han
1 ecos 1n1=
n
1 e 12n2+o( 1n2 )=
n
12n2 + o
1n2
e quindi per il criterio asintotico la serie e convergente se 2 > 1 cioe < 3.
3) Data
f(x) = 8 a
b + x2 per x a,dove a e b sono parametri reali, determinare i valori di a e b per cui f 2 C1(R). Pertali valori determinare la retta tangente a f in x = a.
SOL. Per la continuita si deve avere limx!a+ f(x) = 3a = limx!a f(x) = b + a2.
Per la derivabilita
f0(x) =
(3 + 2log3(xa)3 3
1
(xa)2 per x > a
2x, per x < a.
Per la derivabilita limx!a f0(x) = 2a = limx!a+ f
0(x) = 3 da cui imponendo che idue limiti siano uguali si ottiene a = 32 che, assieme alla condizione precedente, porge
b = 94 . Retta tangente in ( 32 , 92): y 92 = 3(x 32), cioe y = 3x.
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4) Si calcoli lintegrale
R0
3x3p9x2 dx .
SOL. La funzione e illimitata per x ! 3+ e x3p9x2 =
x3(3+x)
12 (3x)
12
da cui f(x) e
asintotica a p6
(3+x)12
per x ! 3+ e pertanto la funzione ha integrale generalizzatofinito. Si haZ0
3
x 3p9 x2
dx = lim"!0
(9 x2) 12 3 arcsin x3
x="x=3
= 3 32.
1T) Dare la definizione di
limx!3 f(x) = 1 e limx!+1 f(x) = 1.
2T) Sia (an)n una successione a termini positivi. Dimostrare che
limn!+1
an+1an
= l > 1 ) limn!+1
an = . . . .
Dimostrare che se limn!+1an+1an
= 1 allora non si puo dedurre che an sia divergente.
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ANALISI MATEMATICA 1Ingegneria Industriale CANALE 3
Pro. C. Marchi, C. Sartori
TEMA C Padova 31/01/2013
1) Determinare il numero di soluzioni dellequazione f(x) = dove
f(x) = e1
2+x 1
x.
Dom f =R
\ {2, 0}, limx!0+
f(x) = +1, limx!0
f(x) = 1 limx!2+
f(x) =1, limx!2 f(x) = 0, limx!1 f(x) = 0. f0(x) = e1
2+x x2+5x+4
x2(2+x)2 , f e crescente
per 2 < x < 1, 4 < x < 2, x = 4 pto di min e f(4) = 1/4e1/2. x = 1punto di massimo e f(1) = e. Lequazione ha8 0, = 1/4e1/2, = e0sol. per e < < 1/4e1/2, = 0
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20 15 10 5 5 10x
4
3
2
1
1
2
3
y
10
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2) Determinare, al variare di 2 R, il carattere della serie
1Xn=1
n
1 esin2 1n.
SOL. Si han
1 esin2 1n=
n
1 e 1n2+o( 1n2 )=
n
1n2 + o
1n2
e quindi per il criterio asintotico la serie e convergente se 2 > 1 cioe < 3.
3) Data
f(x) =8 e.
Per la derivabilita limx!e f
0(x) = 2ae = limx!e+ f
0(x) = b/e da cui imponendo che
i due limiti siano uguali si ottiene b = 2ae2 che, assieme alla condizione precedente,porge a = 1e2 e b = 2. Retta tangente in (e, 1): y+1 = 2e (xe), cioe y = 2ex+1.
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4) Si calcoli lintegrale
R3
09x2p3x dx.
SOL. La funzione e continua per x ! 3 essendo limx!3 9x2
p3x = limx!3
p3 x(3 +
x) = 0, quindi lintegrale esiste finito. Si ha
Z30
9 x2p3 x dx =
Z30
p3 x (3 + x) dx =
3x=t2
Zp30
(6 t2)2t2 dt = 425
p3.
1T) Dare la definizione di
limx!2 f(x) = +3 e limx!1 f(x) = +
1.
2T) Enunciare e dimostrare il criterio della radice per una serie a termini positivi.
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ANALISI MATEMATICA 1Ingegneria Industriale CANALE 3
Pro. C. Marchi, C. Sartori
TEMA D Padova 31/01/2013
1) Determinare il numero di soluzioni dellequazione f(x) = dove
f(x) = e1
2x1
x.
SOL. Dom f = R\{2, 0}, limx!0
f(x) =1
, limx!0
+ f(x) = +1
limx!2
+ f(x) =
0, limx!2 f(x) = +1, limx!1 f(x) = 0. f0(x) = e1
2x x2+5x4x2(x2)2 , f e crescente
per 1 < x < 2 e 2 < x < 4. x = 4 punto di massimo e f(4) = 14e1/2, x = 1 pto di
min. e f(1) = e. Lequazione ha8 e, 0 < < 14e1/2
1sol per < 0, = 1/4e1/2, = e0sol. per 14e
1/2 < < e, = 0
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10 5 5 10 15 20x
2
1
1
2
3
4
5
y
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2) Determinare, al variare di 2 R, il carattere della serie
1Xn=1
n
log(1 + sin 1n2 ).
SOL. Si ha
n
log(1 + sin 1n2 )=
n
log(1 + 1n2 + o(1n2 ))
=n
1n2 + o
1n2
e quindi per il criterio asintotico la serie e convergente se 2 > 1 cioe < 3.
3) Data
f(x) =8
b sin x + 1 per x ,dove a e b sono parametri reali, determinare i valori di a e b per cui f 2 C1(0, +1).Per tali valori determinare la retta tangente a f in x = .
SOL. Per la continuita si deve avere limx! f(x) = 1 = limx!+ f(x) = a2 da cui
a = 12 . Per la derivabilita
f0(x) =
(2ax + 2log3(x)3 3
1
(x)2 per x >
b cos x, per x < .
Per la derivabilita limx!
f0(x) = b = limx!+ f0(x) = 2a
da cui imponendo chei due limiti siano uguali si ottiene b = 2
. Retta tangente in (, 1): y 1 = 2
(x ),cioe y = 2
x 1.
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4) Si calcoli lintegrale
R0
24x2p2+x
dx.
SOL. La funzione e continua per x ! 2 essendo limx!2 4x2
px+2
= limx!2p
x + 2(2 x) = 0, quindi lintegrale esiste finito. Si ha
Z02
4 x2p2 + x
dx =
Z02
px + 2(2 x) dx =
2+x=t2
Z0p2
(4 t2)2t2 dt = 5615
p2.
1T) Dare la definizione di
lim
x!3f(x) = 2 e lim
x!1f(x) = 3.
2T) Enunciare e dimostrare il criterio del rapporto per la convergenza di una serie atermini positivi.
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