Anova a due fattori

• Esempio di piano fattoriale: il caso della progettazione robusta di batterie

Tipo di Materiale

Temperatura (°F)

15 70 125

1130 155 34 40 20 70

74 180 80 75 82 58

2150 188 136 122 25 70

159 126 106 115 58 45

3138 110 174 120 96 104

168 160 150 139 82 60

1. Che effetti hanno il tipo di materiale e la temperatura sulla durata delle batterie?2. C’è una scelta di materiale suscettibile di dare una durata elevata,

indipendentemente dalla temperatura (batteria robusta al temperatura)

Durata Batterie

Progettazione batteria

Progettazione batteria

Progettazione batteria

Progettazione batteria

Progettazione batteria

Progettazione batteria

Progettazione batteria

F0.05, 4, 27=2.73

Progettazione batteria

Materiale

1257015

150

125

100

75

50

321

150

125

100

75

50

Temperatura

Materiale

3

12

Temperatura

125

1570

Interaction Plot (fitted means) for Risposta

Progettazione batteria

• Quando l’analisi della varianza indica che le medie di riga o di colonna differiscono tra loro, di solito interessa confrontare le medie individuali di riga o di colonna, per individuare differenze specifiche

• Inoltre, quando le interazioni sono significative, i confronti tra le medie di un fattore vanno operate fissando l’altro fattore ad un livello

Progettazione batteria

• Test di Tukey per il tipo di materiale fissando la temperatura a 70°F: confronto a coppie

Medie aritmetiche al variare del tipo di materiale a 70°F

Questa analisi indica che al livello di temperatura 70°F la durata media della batteria è la stessa per i materiali 2 e 3, ma significativamente più bassa per il materiale 1

05.0

05.0

05.0

05.005.0

50.6225.5775.191 :1 vs.2

00.2675.11975.145 :2 vs.3

50.8825.5775.145 :1 vs.3

47.454

21.67550.3)27 3,(

T

T

Tn

MSqT E

Statistica di Student

Progettazione batteria

cellaesima -ijnella niosservazio delle aritmeticamedia la proprio è previsto valoreilossia

,ˆ

Tuttavia, previsto. valorecome definito è ˆ dove

ˆ

.ijijk

ijk

ijkijkijk

yy

y

yye

Calcolo dei residui:

Tipo di Materiale

Temperatura (°F)

15 70 125

1130 155 34 40 20 70

74 180 80 75 82 58

2150 188 136 122 25 70

159 126 106 115 58 45

3138 110 174 120 96 104

168 160 150 139 82 60

Progettazione batteria

Residual

Perc

ent

50250-25-50

99

90

50

10

1

Fitted Value

Resi

dual

1501251007550

50

25

0

-25

-50

Residual

Frequency

4530150-15-30-45-60

10,0

7,5

5,0

2,5

0,0

Observation Order

Resi

dual

35302520151051

50

25

0

-25

-50

Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values

Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data

Residual Plots for Risposta

Leggero Scostamento

La varianza dei residui cresce al crescere della durata della batteria

Se i nostri residui si dispongono secondo una distribuzione perfettamente Normale con media nulla, possiamo affermare che la sperimentazione è stata condotta in assenza di errori sistematici, e che quindi la dispersione delle misure è dovuta alla casualità

Nota sul NPP

Nota sul NPP

1 :lesperimentacumulata a Probabilit ni

Nota sul NPP

Nota sul NPP

?calcola si comeMa

:normale onedistribuziuna Per

z

xz

Nota sul NPP

! desume ne se ioneinterpolazper e

zata standardiz normale onedistribuzidella

tabellenelleentra sicumulata la Nota

2exp2

1 2

z

dzzzz

Nota sul NPP

Nota sul NPP

ni 5.0 :lesperimentacumulata à Probabilit

Tabelle della Distribuzione Cumulativa Normale Standardizzata

Nota sul NPP• Ulteriori considerazioni: Consideriamo una curva di distribuzione

normale standard nella variabile z, ossia la (z). Ipotizziamo che la nostra distribuzione sia perfettamente identica a quella normale standardizzata; allora, prendendo il valore della prob. cumulata sperimentale per un certo residuo (calcolata come j/(n+1)) ed entrando nelle tabelle standard (ossia nelle tabelle della distribuzione di Gauss), dovremmo trovare un valore di z esattamente uguale al nostro residuo.

• Poiché però la nostra distribuzione si avvicinerà soltanto a quella normale standard, i valori di z e dei residui risulteranno differenti a meno di una costante (la deviazione standard) per uno stesso valore di probabilità cumulata (z = R/).

• Nel caso sperimentale quindi, avremo dei punti che si dispongono su una retta quanto più la nostra distribuzione si avvicina a quella Normale.

Progettazione batteria

Residual

Perc

ent

50250-25-50

99

90

50

10

1

Fitted Value

Resi

dual

1501251007550

50

25

0

-25

-50

Residual

Frequency

4530150-15-30-45-60

10,0

7,5

5,0

2,5

0,0

Observation Order

Resi

dual

35302520151051

50

25

0

-25

-50

Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values

Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data

Residual Plots for Risposta

Leggero Scostamento

La varianza dei residui cresce al crescere della durata della batteria

Se i nostri residui si dispongono secondo una distribuzione perfettamente Normale con media nulla, possiamo affermare che la sperimentazione è stata condotta in assenza di errori sistematici, e che quindi la dispersione delle misure è dovuta alla casualità

Progettazione batteria

• Entrambi i grafici denotano una leggera disuguaglianza della varianza, con la combinazione di trattamento di 15°F e tipo di materiale 1

Materiale

Resi

dual

3,02,52,01,51,0

50

25

0

-25

-50

-75

Residuals Versus Materiale(response is Risposta)

Temperatura

Resi

dual

140120100806040200

50

25

0

-25

-50

-75

Residuals Versus Temperatura(response is Risposta)

E’ possibile che questa particolare combinazione di trattamenti produca una durata della batteria un po’ più variabile rispetto alle altre. Il problema tuttavia non è abbastanza grave da avere un impatto rilevante sull’analisi e sulle conclusioni!