ANNO SCOLASTICO 2016–17

Prof. Gianmarco Bianchi

PROGRAMMA SVOLTO di MATEMATICA CLASSE 4A (L.S.U.)

• Ripasso sulle proprietà delle potenze:

o Ripasso di tutte le proprietà delle potenze già note

o Potenze ad esponente negativo

o Potenze ad esponente frazionario

• Ripasso e sviluppo delle equazioni e disequazioni di base:

o Equazioni di secondo grado

o A partire dalle equazioni di secondo grado, schema risolutivo delle disequazioni di secondo grado

o Equazioni razionali fratte (con determinazione del campo di esistenza)

o Disequazioni razionali fratte (con determinazione del campo di esistenza)

• Funzioni esponenziali:

o A partire dalle proprietà delle potenze, tabella di calcolo e rappresentazione grafica della funzione

𝑦 = 2𝑥

o Tabella di calcolo e rappresentazione grafica della funzione 𝑦 =1

2

𝑥

o Definizione di funzione esponenziale 𝑦 = 𝑎𝑥

o Suddivisione delle possibili basi di una funzione esponenziale, 𝑦 = 𝑎𝑥, in due categorie: 𝑎 > 1 ed

0 < 𝑎 < 1

o Caratteristiche generali delle funzioni esponenziali elementari (dominio, intersezione con l’asse y,

segno e crescenza/decrescenza) a seconda della categoria della base

• Grafici di funzioni esponenziali deducibili da quelle elementari:

o 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑘 : traslazione in verticale della quantità k

o 𝑦 = 𝑘 ∙ 𝑎𝑥 dilatazione (con k>1), restrizione (con 0<k<1) e ribaltamento rispetto all’asse x (con k<0)

• Equazioni e disequazioni esponenziali:

o Equazioni esponenziali semplici

o Equazioni esponenziali risolubili mediante equazioni di primo e di secondo grado

o Equazioni esponenziali risolubili mediante sostituzione

o Disequazioni esponenziali semplici

o Disequazioni esponenziali risolubili mediante equazioni di primo e di secondo grado

o Disequazioni esponenziali risolubili mediante sostituzione

• Problemi risolubili mediante funzioni esponenziali:

o Problemi di crescita esponenziale: colonie di batteri o di animali; popolazioni umane con costante

tasso di crescita; interessi su conto in banca

o Problemi di decrescita esponenziale: popolazioni (animali od umane) con costante tasso di

decrescita; decadimento radioattivo

• Funzioni logaritmiche:

o Definizione di “logaritmo” come operazione inversa della potenza

o Alcuni semplici calcoli di logaritmi

o Tabella di calcolo e rappresentazione grafica della funzione 𝑦 = log2 𝑥

o Tabella di calcolo e rappresentazione grafica della funzione 𝑦 = log12

𝑥

o Definizione di funzione logaritmica 𝑦 = log𝑎 𝑥

o Dominio di una funzione logaritmica

o Suddivisione delle possibili basi di una funzione logaritmica, 𝑦 = log𝑎 𝑥, in due categorie: 𝑎 > 1 ed

0 < 𝑎 < 1

o Caratteristiche generali delle funzioni logaritmiche elementari (dominio, intersezione con l’asse x,

segno e crescenza/decrescenza) a seconda della categoria della base

• Proprietà dei logaritmi:

o Somma di logaritmi

o Differenza di logaritmi

o Logaritmo moltiplicato per una costante

• Grafici di funzioni logaritmiche deducibili da quelle elementari:

o 𝑦 = log𝑎 𝑥 + 𝑘 : traslazione in verticale della quantità k

o 𝑦 = 𝑘 ∙ log𝑎 𝑥 dilatazione (con k>1), restrizione (con 0<k<1) e ribaltamento rispetto all’asse x (con

k<0)

• Equazioni e disequazioni logaritmiche:

o Campo di esistenza e risoluzione di equazioni logaritmiche semplici

o Campo di esistenza e risoluzione di equazioni logaritmiche risolubili mediante equazioni di primo o di

secondo grado

o Campo di esistenza e risoluzione di disequazioni logaritmiche semplici

o Campo di esistenza e risoluzione di equazioni logaritmiche risolubili mediante equazioni di primo o di

secondo grado

• Le funzioni goniometriche 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) ed 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔(𝒙):

o Definizione del “seno di un angolo” e del “coseno di un angolo” a partire dai cateti e dall’ipotenusa di

un triangolo rettangolo

o Cenno alle possibili applicazioni per calcolare distanze, note che fossero un cateto ed un angolo in un

triangolo rettangolo

o Valori del seno e del coseno in triangoli rettangoli particolari: triangolo rettangolo isoscele e

triangolo rettangolo metà di un triangolo equilatero

o La circonferenza goniometrica (centrata nell’origine e di raggio unitario) e la rappresentazione dei

valori del seno di un angolo e del coseno di un angolo come segmenti di proiezione sugli assi di un

punto sulla circonferenza

o Angoli principali del primo quadrante e relativi valori di seno e coseno (0°, 30°, 45°, 60° e 90°)

o Valori di seno e coseno degli angoli principali degli altri tre quadranti

o Definizione di radiante e misura degli angoli principali espressa in radianti

o Definizione accennata di tg(x), cotg(x), sec(x) e cosec(x) (senza la loro rappresentazione nella

circonferenza goniometrica) riconducibili a seno e coseno

o Semplici espressioni goniometriche con valori degli angoli principali

• Le funzioni goniometriche 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) ed 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔(𝒙) ed i grafici da loro deducibili:

o Rappresentazione del grafico della funzione 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

o Rappresentazione del grafico della funzione 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

o Grafico di 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑘 e di 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑘 : traslazioni in verticale

o Grafico di 𝑦 = 𝑘 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) e di 𝑦 = 𝑘 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) : dilatazione in verticale (con k>1), restrizione in

verticale (con 0<k<1) e ribaltamento rispetto all’asse x (con k<0)

o Grafico di 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑘) e di 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑘) : traslazione verso destra (k<0) o verso sinistra (k>0)

Scritto a Siena il giorno 08-06-2016 FIRME DEGLI STUDENTI

FIRMA DELL’INSEGNANTE ________________________________________________

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