Anno 2008/2009Anno 2008/2009Classe IV EClasse IV E

Gagliardi Gabriele, Marchi Gagliardi Gabriele, Marchi Lorenza, Rossi Maddalena, Lorenza, Rossi Maddalena,

Valmarin Sergio, Voltini GiuliaValmarin Sergio, Voltini Giulia

La LeggendaLa Leggenda Caduta della mela dall’albero: Caduta della mela dall’albero: Se la mela fosse caduta da Se la mela fosse caduta da

un’altezza pari alla distanza un’altezza pari alla distanza tra la Luna e la Terra?tra la Luna e la Terra?

Teorie di Platone e AristoteleTeorie di Platone e Aristotele Teorie di KepleroTeorie di Keplero Conclusione di NewtonConclusione di Newton

Isaac Newton Isaac Newton (1642-1727) (1642-1727)

Filosofo, matematico, fisico e Filosofo, matematico, fisico e alchimista inglesealchimista inglese

Dimostrò che le leggi della natura Dimostrò che le leggi della natura governano il movimento della terra e governano il movimento della terra e degli altri corpi celestidegli altri corpi celesti

Rivoluzione scientifica e teoria Rivoluzione scientifica e teoria eliocentricaeliocentrica

Sistematizzazione matematica delle Sistematizzazione matematica delle leggi di Kepleroleggi di Keplero

La deduzione La deduzione newtoniana della legge newtoniana della legge

di gravitazione di gravitazione UniversaleUniversale

Newton scoprì che le masse dei corpi Newton scoprì che le masse dei corpi celesti si attraggono con una forza celesti si attraggono con una forza direttamente proporzionale al direttamente proporzionale al prodotto delle masse e inversamente prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato delle proporzionale al quadrato delle distanze; tale attrazione prese il distanze; tale attrazione prese il nome di gravità.nome di gravità.

221

R

mmGF

Come Newton giunge alla Come Newton giunge alla legge di Gravitazione legge di Gravitazione

UniversaleUniversale

Sapendo che nel moto circolare Sapendo che nel moto circolare uniforme l’accelerazione centripeta èuniforme l’accelerazione centripeta è

e che

RR

vac

22

T

2

RT

ac 2

24

Terza Legge di KepleroTerza Legge di Keplero

2

3181038,3s

mDove k =

k

RTkTR

3223

Sostituiamo nella formulaSostituiamo nella formula

kR

kRR

ac 2

2

3

2 44

2T RT

ac 2

24

è una costante quindi posto è una costante quindi posto

ricaviamo che:ricaviamo che: k24

SCk 24

2R

Ca Sc

Tenendo conto della II Legge della dinamica Tenendo conto della II Legge della dinamica F F

= ma = ma andando a sostituire l’accelerazione andando a sostituire l’accelerazione

centripeta, si potrà affermare che sul pianeta centripeta, si potrà affermare che sul pianeta

P esiste una forza orientata verso il Sole:P esiste una forza orientata verso il Sole:

2SP

SPPSP R

CmamF

ma Newton mirava a una espressione universale della ma Newton mirava a una espressione universale della

forza agente fra i corpi principio di forza agente fra i corpi principio di azione e azione e

reazionereazione

2PS

PSPS R

CmF

Le due forze appena espresse Le due forze appena espresse devono essere ugualidevono essere uguali

PSSP FF

Sostituendo ad e ad le loro espressioni Sostituendo ad e ad le loro espressioni

e semplificandoe semplificando il temine comuneil temine comune

SPF PSF

2PSR

SPPS CmCm

22PS

PS

SP

SP

R

Cm

R

Cm

Da cui dividendo entrambi i membri per Da cui dividendo entrambi i membri per

l’equazione perl’equazione per : :

P

P

S

S

m

C

m

C

PSmm

Questo procedimento si può ripetere Questo procedimento si può ripetere per tutti i pianeti del Sistema Solareper tutti i pianeti del Sistema Solare

Allora il rapporto fra la costante di Allora il rapporto fra la costante di un generico centro attrattore e la sua un generico centro attrattore e la sua massa risulta uguale per qualunque massa risulta uguale per qualunque corpo considerato come centro corpo considerato come centro dell’attrazione e rappresenti la dell’attrazione e rappresenti la costante G, che è la costante G, che è la costante di costante di Gravitazione Universale.Gravitazione Universale.

m

C

m

C

m

CG m

P

P

S

S

mC

Tornando alle forze - possiamo Tornando alle forze - possiamo ora sostituire in entrambe la costante G ora sostituire in entrambe la costante G ricordando che ricordando che

e e

SPF PSF

SS GmC PP GmC

Così otteniamo:Così otteniamo:

2

2

PS

SPPS

SP

PSSP

R

mmGF

R

mmGF

Siccome le formule sono identiche la legge Siccome le formule sono identiche la legge

si può definire valente per qualsiasi coppia si può definire valente per qualsiasi coppia

di corpi nell’Universodi corpi nell’Universo Legge di Legge di

Gravitazione UniversaleGravitazione Universale

221

R

mmGF

CONSIDERAZIONI SULLA LEGGE DI CONSIDERAZIONI SULLA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALEGRAVITAZIONE UNIVERSALEUnificazione di Terra e CieloUnificazione di Terra e Cielo

La deduzione di Newton è La deduzione di Newton è valida per qualsiasi massa, valida per qualsiasi massa, celeste o terrestre, quindi è in celeste o terrestre, quindi è in contrapposizione con la contrapposizione con la concezione filosofica greca.concezione filosofica greca.

IL PROBLEMA DELLA NATURA IL PROBLEMA DELLA NATURA DELLA FORZA GRAVITAZIONALEDELLA FORZA GRAVITAZIONALE

Newton si rifiuta di spiegare Newton si rifiuta di spiegare l’attrazione fra due corpi con l’attrazione fra due corpi con l’esistenza dell’”attrattività”l’esistenza dell’”attrattività”

Grazie alle ultime scoperte Grazie alle ultime scoperte possiamo affermare che ogni possiamo affermare che ogni forza, anche quella forza, anche quella Gravitazionale, si sviluppa in un Gravitazionale, si sviluppa in un campo in virtù di un mediatore, campo in virtù di un mediatore, in questo caso il in questo caso il gravitonegravitone

La gravitazione: una forza La gravitazione: una forza fondamentalefondamentale

Forza gravitazionaleForza gravitazionale Forza nucleare deboleForza nucleare debole Forza elettromagneticaForza elettromagnetica Forza nucleare forteForza nucleare forte

MASSA INERZIALE e MASSA MASSA INERZIALE e MASSA GRAVITAZIONALEGRAVITAZIONALE

Fino al 1600 la massa Fino al 1600 la massa corrisponde all’inerzia corrisponde all’inerzia → massa → massa inerzialeinerziale

Dopo Newton e la legge di Dopo Newton e la legge di gravitazione la massa gravitazione la massa corrisponde alla capacità di un corrisponde alla capacità di un corpo di attrarre e essere corpo di attrarre e essere attratto da altri corpi attratto da altri corpi → massa → massa gravitazionalegravitazionale

Definiamo:Definiamo:

la massa inerzialela massa inerziale

la massa gravitazionalela massa gravitazionale

im

gm

Considerando la seconda legge Considerando la seconda legge della dinamica e l’espressione della dinamica e l’espressione del peso di un oggetto:del peso di un oggetto:

amF i

gmP g

e hanno lo stesso valore?e hanno lo stesso valore?

Se i valori fossero diversi la legge del pendolo cambierebbe.

im gm

Infatti si avrebbe:

amF i//

gmP g

E per la similitudine dei E per la similitudine dei triangoli:triangoli:

PxlFlxPF //// ::

E sostituendoE sostituendo::

xlm

gmagxmalm

i

ggi

Confrontando con la Confrontando con la legge:legge:

xa 2

Si riconosce che si tratta di Si riconosce che si tratta di un moto oscillatorio:un moto oscillatorio:

lm

gm

i

g2

Da cui:Da cui:

lm

gm

i

g

Ricordando che:Ricordando che:

T

2

Si ha:Si ha:

Tlm

gm

i

g 2

Da cui:Da cui:

gm

lmT

g

i2

Pendoli della stessa lunghezza, costituiti da Pendoli della stessa lunghezza, costituiti da corpi aventi lo stesso peso, cioè , ma corpi aventi lo stesso peso, cioè , ma diversa, oscillerebbero con periodi diversi. diversa, oscillerebbero con periodi diversi.

Anche Newton stesso verificò = , Anche Newton stesso verificò = , postulato base della teoria della relatività postulato base della teoria della relatività generale di Einsteingenerale di Einstein

gm im

gm im

ConclusioniConclusioni

►Massa inerziale massa Massa inerziale massa

gravitazionale sono due termini gravitazionale sono due termini

diversi per indicare due diversi per indicare due

proprietà identificate in proprietà identificate in

fenomeni diversi, ma fenomeni diversi, ma

riconducibili ad un unico riconducibili ad un unico

concetto di massa.concetto di massa.

IL VALORE DELLA COSTANTE GIL VALORE DELLA COSTANTE GEsperimento di CavendishEsperimento di Cavendish

1771: Henry Cavendish, 1771: Henry Cavendish,

esperimento valore G.esperimento valore G.

Usò: bilancia di torsione Usò: bilancia di torsione

per misurare forza di per misurare forza di

attrazione gravitazionale attrazione gravitazionale

tra masse note m e M.tra masse note m e M.

Le sfere grandi di Le sfere grandi di massa M attirano massa M attirano la sferette più la sferette più vicina con una vicina con una forza forza gravitazionale Fgravitazionale F

coppia di forze che coppia di forze che provoca una provoca una rotazione dell’asta rotazione dell’asta ((αα) )

La rotazione raggiunge La rotazione raggiunge l’equilibrio quando la l’equilibrio quando la reazione con cui il filo reazione con cui il filo si oppone alla torsione si oppone alla torsione uguaglia l’azione uguaglia l’azione gravitazionale fra le gravitazionale fra le massemasse

La resistenza del filo alla La resistenza del filo alla torsione è proporzionale torsione è proporzionale all’angolo di direzione all’angolo di direzione αα..

Dalla misura dell’angolo di Dalla misura dell’angolo di torsione si può risalire al torsione si può risalire al momento torcente del filo e momento torcente del filo e alla forza F.alla forza F.

Considerazioni:Considerazioni:

Detta r la distanza fra il centro Detta r la distanza fra il centro della sfera piccola (m) e quello della sfera piccola (m) e quello della sfera grande (M) alla quale della sfera grande (M) alla quale si è avvicinata. Dalla legge di si è avvicinata. Dalla legge di gravitazione universale si ha:gravitazione universale si ha:

da cuida cui2r

mMGF

mM

FrG

2

Newton aveva dimostrato che Newton aveva dimostrato che

la legge di gravitazione la legge di gravitazione

universale vale anche se uno universale vale anche se uno

dei corpi può essere dei corpi può essere

considerato puntiforme considerato puntiforme

rispetto all’altro che è sferica rispetto all’altro che è sferica

Con la bilancia torsione di Cavendish si Con la bilancia torsione di Cavendish si riesce ad ottenere il valore G, detto riesce ad ottenere il valore G, detto Costante di Cavendish:Costante di Cavendish:

2211 /1067,6 kgNmG

La costanza dell’accelerazione di La costanza dell’accelerazione di gravità in prossimità della gravità in prossimità della

superficie terrestresuperficie terrestre L’applicazione della legge di gravitazione L’applicazione della legge di gravitazione

porta a:porta a:

Il valore g in prossimità della superficie Il valore g in prossimità della superficie terrestre non dipende dalla massa del terrestre non dipende dalla massa del corpocorpo

tutti i corpi in prossimità della tutti i corpi in prossimità della superficie terrestre cadono con la stessa superficie terrestre cadono con la stessa accelerazioneaccelerazione

2T

T

R

MGg 2/8,9 sm

Accelerazione Accelerazione sulla Lunasulla Luna

Tenendo conto del fatto che in questo Tenendo conto del fatto che in questo caso il raggio orbitale della Luna è 60 caso il raggio orbitale della Luna è 60 volte quello terrestrevolte quello terrestre

Quindi il rapporto tra le due Quindi il rapporto tra le due accelerazioni è:accelerazioni è:

2TL

TL R

MGa

36002

2

T

TL

L R

R

a

g

La massa della TerraLa massa della Terra

• Conoscendo la costante di Cavendish G e il Conoscendo la costante di Cavendish G e il valore sperimentale gvalore sperimentale g

• Il valore ottenuto è quasi doppio di quello Il valore ottenuto è quasi doppio di quello stimato da Newton, non avendo tenuto stimato da Newton, non avendo tenuto della composizione interna della Terra.della composizione interna della Terra.

KgKgNm

msm

G

gRM T

T24

2211

2622

106/1067,6

)104,6(/8,9

La massa del SoleLa massa del Sole

Noto il periodo Noto il periodo TT di rivoluzione della di rivoluzione della Terra intorno al Sole e il raggio Terra intorno al Sole e il raggio della sua orbita l’accelerazione della sua orbita l’accelerazione centripeta della Terra risulta data da:centripeta della Terra risulta data da:

)1016,3( 7 s TSR)105,1( 11m

Ca

)( 2Rac

2

24

T

Ra TSc

La forza che fa ruotare la Terra La forza che fa ruotare la Terra intorno al Sole è allora:intorno al Sole è allora:

Che può anche essere espressa così:Che può anche essere espressa così:

2

24

T

RmamF TSTCTC

2TS

TSC R

mMGF

Uguagliando allora i termini di destra Uguagliando allora i termini di destra delle equazioni delle forze centripete delle equazioni delle forze centripete

si ottiene:si ottiene:

KgsKgNm

m

GT

RM TS

S30

272211

3112

2

22

102)1016,3(/1067,6

)105,1(44

La massa dei pianetiLa massa dei pianeti

In questo modo si può calcolare la In questo modo si può calcolare la massa di un qualsiasi pianeta dotato massa di un qualsiasi pianeta dotato di un satellitedi un satellite

In assenza di esso, si utilizza il In assenza di esso, si utilizza il metodo delle perturbazionimetodo delle perturbazioni

La costante di KepleroLa costante di Keplero

E’ relativa al centro attrattore e E’ relativa al centro attrattore e un suo qualunque satellite di massaun suo qualunque satellite di massa

CM

Sm

CSSCS

SC RT

mR

mMG

2

2

2

4

►Semplificando e riordinando Semplificando e riordinando possiamo riscrivere:possiamo riscrivere:

CCCS k

MG

T

R

22

2

4

►Nel caso del sistema Terra – Sole si Nel caso del sistema Terra – Sole si ottiene:ottiene:

2

318

2

30

2

211 1038,3

4

1021067,6

s

mKg

Kg

NmkS

2

318

2

30

2

211 1038,3

4

1021067,6

s

mKg

Kg

NmkS

PERIODO DI ROTAZIONE DI UN SATELLITE

ARTIFICIALE

Intorno alla Terra ruotano migliaia di Intorno alla Terra ruotano migliaia di Satelliti e ne possiamo calcolare il Satelliti e ne possiamo calcolare il periodo di rotazione quando questi periodo di rotazione quando questi seguono un’orbita circolareseguono un’orbita circolare

Impostiamo la relazione:Impostiamo la relazione:

TSSTS

ST RT

mR

mMG

2

2

2

4

Da ciò si ha:Da ciò si ha:

T

TS

T

TS

GM

RT

GM

RT

3322 2

4

Sostituendo i valori numerici:Sostituendo i valori numerici:

min951069,5

106/1067,6

)109,6(2

3

242211

36

s

KgKgNm

mT