Analisi+Statica+Di+Edifici+Multipiano

Dipartimento di Ingegneria Civile

Seconda Università degli Studi di Napoli

Facoltà di Ingegneria

CORSO DI ELEMENTI DI PROGETTAZIONE ANTISISMICA

XY XZ

YZ

ANALISI STATICA DI EDIFICI MULTIPIANO

MASSIMILIANO FERRAIOLI Real Casa dell’Annunziata - Via Roma 29 - 81031 Aversa (CE) - Italia

tel. +39 081 50.10.210 fax +39 081 503.73.70 E-mail: [email protected]

Aprile 2007

Capitolo 1

Analisi Statica di edifici multipiano

1. RIPARTIZIONE DELLE FORZE SISMICHE – MODELLO SHEAR-TYPE

Si consideri un edificio monopiano la cui struttura portante sia costituita da travi

e pilastri in c.a. All’interno della maglia strutturale è possibile individuare quattro

telai a cui è affidato il compito di conferire alla struttura adeguate caratteristiche

di rigidezza e resistenza nelle direzioni x e y, e di rigidezza e resistenza

torsionale. In particolare i telai 1 e 2 sono disposti nel piano x-z, mentre i telai 3

e 4 sono disposti nel piano y-z. Si ipotizza che i telai abbiano rigidezza

trascurabile al di fuori del loro piano e che la rigidezza flessionale della travi sia

molto maggiore di quella dei pilastri (IT/IP>10 -> telaio shear-type). Ai fini della

valutazione della rigidezza torsionale della struttura si trascura il contributo

fornito dalla rigidezza torsionale propria dei pilastri rispetto a quello fornito dalla

rigidezza flessionale di telai mutuamente contrapposti. Per quanto riguarda il

solaio si fa l'ipotesi che esso sia infinitamente rigido a livello estensionale, la qual

cosa risulta essere ben verificata in presenza di una soletta di spessore almeno

pari a 4 cm.

y

1

2

34

o

o'v

u0

0

x

zy

x

θ0

Figura 1.1: Schema monopiano a telaio shear-type

Analisi Statica di edifici multipiano 2/27

Fissata una terna di riferimento xyz, ciascuna configurazione deformata è

individuata da tre coordinate v uo o o, e ϑ , che rappresentano rispettivamente la

traslazione lungo l’asse x, la traslazione lungo l’asse y e la rotazione attorno

all’asse z. L’equazione di equilibrio dinamico del traverso del telaio i-esimo si

scrive nella forma:

3 31212 CDAB

AB CD i ii i

EIEIF T Th h

= + = Δ + Δ

che consente di definire la rigidezza di piano del telaio i-esimo data da:

2 2

, 3 31 1

121 12jT i i j

i i j jj j

EIF ER Ih h= =

= = Δ =Δ Δ ∑ ∑ RIGIDEZZA DI PIANO

M

Δi

i

AB

telaioi-esimo

F

A C

B D

T CDT

Figura 1.2: Telaio shear-type

Ciascun telaio sarà caratterizzato da un’assegnata rigidezza laterale:

Telaio 1 ⇒ ( )RT x,

1 Telaio 2 ⇒ ( )RT x,2

Telaio 3 ⇒ ( )RT y,3 Telaio 4 ⇒ ( )RT y,

4

Una forza applicata in un generico punto dell’impalcato produce in genere sia uno

spostamento lungo x, sia uno spostamento lungo y, sia una rotazione attorno

all’asse z. Esiste però un punto R dell’impalcato che gode delle seguenti

proprietà:

Applicando una forza con retta d'azione passante per R e parallela all’asse

x l’impalcato trasla rigidamente lungo x, senza traslare lungo y e senza

ruotare attorno a z;

Applicando una forza con retta d'azione passante per R e parallela all’asse

y l’impalcato trasla rigidamente lungo y senza traslare lungo x e senza

ruotare attorno a z;


Applicando una forza comunque diretta nel piano dell'impalcato, passante

per il punto R, la struttura trasla rigidamente senza ruotare

Applicando una coppia attorno all’asse z l’impalcato ruota senza traslare.

Il punto R che gode delle tre proprietà suddette viene definito BARICENTRO DI

RIGIDEZZA. Al fine di determinare le coordinate xR e yR del baricentro delle

rigidezze si consideri uno spostamento xδ dell'impalcato parallelo all'asse x. Tale

spostamento determina l’insorgere delle seguenti forze reattive sul telaio 1 e sul

telaio 2:

( )F Rx x T x11

, ,= δ ( )F Rx x T x22

, ,= δ

L’equazione di equilibrio alla traslazione lungo l’asse x fornisce il valore della

forza totale da applicare all’impalcato:

( ) ( ) ( )( ) ( )F R R RTx

x T x T x x T xi

i= + = ∑δ δ, , ,

1 2

La forza FT x, deve essere applicata su una retta parallela all'asse x ad una

distanza yF da tale asse. Tale distanza può essere determinata attraverso

l'equazione di equilibrio alla rotazione attorno all'asse z :

( )

( )F L F y yFF

LR

RLx y T x R R

x

T xy

T x

T xj

j

y22

2

, ,,

,

,

,

= ⇒ = =∑

In generale si ha:

( )

( )

,

, ,,

jT x j

jR j x j x j R j

j j T xj

R yy F F y y

R⋅ = ⇒ =

∑∑ ∑ ∑

L y

yF

FT,x

F

F

2,x

1,x

y

x

δx

Figura 1.3: Ripartizione forza lungo x


In modo analogo si procede ipotizzando uno spostamento dell'impalcato parallelo

all’asse y. Si ottiene così:

( )

( )∑∑

∑∑ =⇒=⋅

j

jyT

jj

jyT

Rj

jyjj

yjR R

xRxxFFx

,

,

,, .

Resta così individuato il punto ( )R x yR R≡ , = Baricentro delle rigidezze che

dipende dalle caratteristiche geometrico-meccaniche della struttura e non dai

carichi applicati.

Le forze sismiche agenti sull’impalcato sono forze inerziali e, quindi, sono

applicate nel baricentro delle masse G. La posizione di tale punto varia inoltre al

variare della distribuzione dei sovraccarichi accidentali che non è nota a priori. La

forza sismica risulta quindi eccentrica rispetto il baricentro delle rigidezze, e

risulta pertanto equivalente ad una forza applicata nel baricentro di rigidezza e

ad una coppia proporzionale all’eccentricità tra G ed R. Tale coppia produce un

incremento delle sollecitazioni indotte dal sisma sui singoli elementi strutturali

resistenti. Per limitare tale effetto occorre progettare la struttura in modo

rendere minima la distanza tra il baricentro delle masse ed il baricentro delle

rigidezze.

1.1 Ripartizione forze sismiche tra telai disposti lungo gli assi x e y

La forza globale di piano agente nella direzione x si ripartisce tra i telai 1 e 2

come segue:

xxxT FFF ,2,1, += ( )F Rx x T x11

, ,= δ ( )F Rx x T x22

, ,= δ ⇒ ( )∑=i

ixTxxT RF ,, δ ⇒

( )∑=

i

ixT

xTx R

F

,

,δ e quindi : F F F Fxx

T x xx

T x1 1 2 2, , , ,= =ρ ρ

in cui 1 2

x xeρ ρ sono i coefficienti di ripartizione alla Grinter definiti da:

( )

( )

( )

( )ρ ρ1

1

2

2x T x

T xi

i

x T x

T xi

i

RR

RR

= =∑ ∑

,

,

,

,

; .

In modo analogo si procede se la spinta globale di piano è diretta lungo y. Nel

caso di una generica forza di piano comunque inclinata e passante per R si ha:


( ) ( ) yyiiyx

xiix

i

iyT

yy

i

ixT

xx FFFF

RF

RF ρρδδ ==⇒==

∑∑ ,,,,

( )

( )∑=

i

ixT

ixTx

i RR

,

,ρ = coefficiente di ripartizione alla Grinter - i-esimo telaio lungo x

( )

( )∑=

i

iyT

iyTy

i RR

,

,ρ = coefficiente di ripartizione alla Grinter - i-esimo telaio lungo y

Nel caso in cui la forza globale di piano sia eccentrica rispetto ad R, la struttura

subirà oltre ad una traslazione rigida, anche una rotazione attorno ad R. Infatti la

forza eccentrica è equivalente ad una forza di piano FT passante per R e ad una

coppia torcente pari a :

L yy

R

Fx

y

x

δx

Fy

FT

R

xR

δy

Figura 1.4: Ripartizione forza inclinata

y

xy

R

xR

ϕM

o'

o''

o

R

Figura 1.5: Deformata dell’impalcato per effetto di una coppia torcente


Dall’equilibrio alla rotazione attorno ad R deriva:

F di i

N

=∑ Mi=1

( N il numero di telai ) ⇒( )

( )

( )ϕ τ= ⇒ = =

= =∑ ∑

M MM

R dF

R d

R dTi

ii

N iT

ii

Ti

ii

N i2

1

2

1

( )

( )τ i

Ti

i

Ti

ii

N

R d

R d=

=∑ 2

1

= coefficiente di ripartizione della torcente

In conclusione, sommando gli effetti dovuti alla traslazione ed alla rotazione su

ciascun telaio le forze di piano si ripartiscono tra i telai nel modo seguente:

y

x

δϕR

δ

δ

δ

1

2

3 4d

dd

d3

1

42

F

F

F

F

1

23

4

Figura 1.6: Ripartizione della coppia torcente

Telaio 1: ( )

( )

( )

( )ρ τ1 1

1

1

2

11

1

2

xT x

T x

T xi

i

T xT

Tj

j

N

j

FR

RF R d

R d,

,

,

,− = −

= =∑ ∑

M M

Telaio 2: ( )

( )

( )

( )ρ τ2 2

2

1

2

22

1

2

xT x

T x

T xi

i

T xT

Tj

j

N

j

FR

RF

R d

R d,

,

,

,+ = +

= =∑ ∑

M M

Telaio 3: ( )

( )

( )

( )ρ τ3 3

3

3

4

33

1

2

yT y

T y

T yi

i

T yT

Tj

j

N

j

FR

RF R d

R d,

,

,

,− = −

= =∑ ∑

M M

Telaio 4: ( )

( )

( )

( )ρ τ4 4

4

3

4

44

1

2

yT x

T y

T yi

i

T yT

Tj

j

N

j

FR

RF R d

R d,

,

,

,+ = +

= =∑ ∑

M M


1.2 Ripartizione forze sismiche in presenza di telai inclinati

Abbiamo analizzato il caso di telai che lavorano o nella direzione x oppure nella

direzione y, esaminiamo ora il caso di telai comunque orientati.

Sia x,y,z la terna di riferimento, rispetto alla quale caratterizziamo ogni

deformata rigida del telaio mediante le componenti u vo o o, ,θ . Si definisce un

sistema di coordinate locali di origine in Gi = baricentro geometrico dell'i-esimo

controvento: ξ η, ,z indicando con α i l'angolo che l'asse ξ forma con l'asse x .

Nell'ipotesi di inestensibilità dell'impalcato gli spostamenti di Gi valgono:

Δ Δu pp y v pp xi i o i i i o i= = = = −' sen ; ' cosγ θ γ θ

Sovrapponendo la rotazione rigida alla traslazione si ha:

u u u u y v v v v xi o o o i i o o o i= + = + = + = −Δ Δθ θ

x

y

Gi

ξ

η

αi

x

xi

iy

pi

p 'i

γ

θi

i

γi

uΔ

vΔ

y

Figura 1.7: Componenti di spostamento – telaio comunque orientato

Gli spostamenti nel sistema locale valgono:

( )v u v y xi o i o i o i i i iη α α θ α α, sen cos sen cos= + + −

( )u u v y xi o i o i o i i i iξ α α θ α α, cos sen cos sen= − + −

Per le ipotesi poste il telaio è dotato di rigidezza nel piano zη, mentre ha una

rigidezza trascurabile nel piano zξ. Di conseguenza allo spostamento u iη, è

associare una forza reattiva F iη, , mentre allo spostamento v iξ , non è associata

alcuna forza (ossia F iξ , = 0 ). Si ha quindi:

( )( )F F K v K u v y xi i i i i o i o i o i i i iξ η η η η α α θ α α, , , , , sen cos sen cos= = = + + −0


Le componenti di F iη, lungo x ed y sono:

( )( )F F K u v y xx i i i i o i o i i o i i i i i, , ,sen sen sen cos sen sen cos= = + + −η ηα α α α θ α α α2 2

( )( )F F K u v y xy i i i i o i i o i o i i i i i, , ,cos cos sen cos sen cos cos= = + + −η ηα α α α θ α α α2 2

x

y

Gi

ξ

η

αi

Fβ

xF

yF

Figura 1.8

F Fx i y i, , e rappresentano le forze orizzontali applicate al controvento i-esimo

secondo due assi ortogonali x e y in funzione degli spostamenti che definiscono il

moto rigido dell'impalcato. Per l'equilibrio dell'impalcato valgono le equazioni

seguenti:

( )

,

,

, ,

cossen

cos sen

x i

y i

F F x i i y i i

F FF F

F y x F y F x

β

β

β β

= Σ

= Σ

− = Σ − Σ

sostituendo i valori di F Fx i y i, ,, si ottiene:

( ) ( ) ( )( ) βθαααααα ηηη coscoscos 2

,,2

, FsenxsenyKvsenKusenK oiiiiiioiiioii =−Σ+Σ+Σ ( ) ( ) ( )( ) βθαααααα ηηη FsenxsenyKvKusenK oiiiiiioiioiii =−Σ+Σ+Σ 2

,2

,, coscoscoscos ( ) ( ) +Σ+Σ+Σ+Σ oiiiiioiiiii vKsenKusenKsenK αααααα ηηηη

2,,,

2, coscoscos

( ) ( )( ) ( )+ − + − = −Σ ΣK y x K y x F y xi i i i i i i i i i i i o F Fη ηα α α α α α θ β β, ,sen cos cos sen sen cos cos sen2 2 Anche in presenza di telai orientati secondo direzioni diverse dagli assi prescelti è

possibile individuare il baricentro delle rigidezze ( )R x yR R≡ , .


yR è la distanza dall'asse delle x alla quale deve essere applicata una forza

avente solo componente lungo x, affinché l'impalcato subisca uno spostamento

rigido soltanto nella direzione x.

xR è la distanza dall'asse delle y alla quale deve essere applicata una forza

avente solo componente lungo y, affinché l'impalcato subisca uno spostamento

rigido soltanto nella direzione y.

Per determinare yR si ipotizza la F parallela ad x ⇒ β = 0° imponendo nulla la

rotazione θo ⇒ θo = 0°, si ha un sistema di tre equazioni nelle incognite

u v yo o F, , .

Lo stesso vale per determinare xR : si ipotizza la F parallela ad y ⇒ β = 0°

imponendo nulla la rotazione θo ⇒ θo = 0°, si ha un sistema di tre equazioni

nelle incognite u v xo o R, , . E' possibile verificare che nelle ipotesi di controventi

ortogonali orientati secondo gli assi x e y, xR e yR assumono le espressioni già

viste in precedenza.

In presenza di sensibili variazioni della rigidezza tra i telai che compongono

l’organismo strutturale resistente alle azioni orizzontali, ovvero all’interno dello

stesso elemento di controventamento tra un piano e l’altro, la ripartizione delle

spinte sismiche può determinare l’insorgere di forze laterali di piano di segno

opposto rispetto alla direzione di ingresso del sisma.

Si faccia ad esempio riferimento al semplice schema strutturale di fig. 1.9

costituito da due impalcati collegati da tre telai shear-type disposti lungo la

direzione y, e soggetto ad una sola forza F applicata nel baricentro geometrico

del 2° piano. Supponiamo che i pilastri del 2° piano del telaio centrale siano

molto più flessibili di quelli dei telai esterni. Al 1° piano invece i pilastri di tutti i

telai siano uguali tra loro, per cui il tagliante complessivo pari a F si ripartisce in

tre parti uguali. Poiché il secondo piano del telaio centrale ha una rigidezza

trascurabile, la forza F applicata all'impalcato viene equilibrata solamente dalle

due reazioni dei telai esterni. Una volta ottenuti i taglianti di piano per ciascun

telaio l’equilibrio alla traslazione dei traversi fornisce la distribuzione delle forze

laterali sui traversi. Come si vede dalla fig. 1.9 la forza laterale al primo piano sui

telai esterni è opposta alla forza applicata.


F

F/2 F/2

F/2 F/2

F/6 F/6F/6

Figura 1.9


2. ANALISI DI SISTEMI SPAZIALI CON IL MODELLO PSEUDO-TRIDIMENSIONALE

Le azioni indotte dal terremoto sono azioni inerziali che possono ritenersi

applicate sul piano dei solai dove è collocata gran parte della massa dell'edificio.

A partire dai solai tali forze devono trasmettersi alle strutture verticali e, quindi,

alle strutture di fondazione. Un'altra funzione essenziale che gli impalcati

svolgono nella trasmissione degli sforzi tra le varie parti della struttura

resistente, è quella di collegamento tra i vari controventi. Gli impalcati dotati di

rigidezza opportuna nel proprio piano funzionano da veri e propri elementi

ripartitori, chiamando in causa tutti i controventi. Anche in presenza di impalcati

rigidi a livello estensionale è sempre preferibile minimizzare il percorso delle

sollecitazioni che dalle zone in cui sono concentrate le masse e applicate le azioni

sismiche, alle zone in cui si trovano gli elementi più rigidi e più resistenti.

Il modello tridimensionale richiede lo studio di un sistema intelaiato spaziale

avente 6xNN gradi di libertà, essendo NN il numero di nodi della struttura. Infatti

lo spostamento di ciascun nodo è definito da tre componenti traslazionali e tre

rotazionali, ed il vettore delle azioni nodali ha 6 componenti.

Il modello pseudo-tridimensionale consente di ridurre notevolmente il numero di

gradi di libertà del sistema adottando alcune ipotesi semplificative. L'organismo

strutturale viene considerati come un complesso spaziale di elementi resistenti

verticali (controventi) : telai, pareti, mensole, ecc, collegati tra loro ai vari piani

da diaframmi costituiti dai solai. Tali diaframmi vengono considerati inestensibili

nel loro piano ma deformabili flessionalmente.

Per effetto dell’ipotizzata rigidezza dei solai nel proprio piano, la posizione del

generico impalcato è definita da tre parametri: gli spostamenti u vo o e secondo le

due direzioni ortogonali x e y e la rotazione θo dell'impalcato attorno all'asse z.

Il complesso della struttura presenta quindi 3n gradi di libertà essendo n è il

numero dei piani. I parametri cinematici che definiscono la deformata della

struttura possono essere organizzati nel vettore :

{ }DG = vettore degli spostamenti globali generalizzati definito come segue:


{ }

1 1

1 2

1 31

3 2

3 1

3

o x

o y

o z

G

no nx

no ny

no nzn

u D Dv D D

D DD

Du DDv DDD

θ

θ

−

−

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭

M M M di dimensione 3nx1

y

o

o'v

u0

0

x

θ0

di

G i

iF

i,xF

i,yF

yG,i

x G,i i-esimo impalcato

Figura 2.1

Il vettore delle azioni duale del vettore { }DG è il seguente:

{ }QG = vettore delle spinte globali generalizzate

Tale vettore è formato dagli enti forza duali degli enti spostamento che

costituiscono il vettore { }DG . In particolare, gli enti forza duali a u vo o, e θ o

sono:

u Fo ix→ Componente lungo x del vettore forza di piano dell'i-esimo impalcato v Fo i y→ , Componente lungo y del vettore forza di piano dell'i-esimo impalcato

θo i x G i i y G i i zF y F x F→ − =, , , , , Componente torsionale da cui:


{ }Q

FFF

FFF

QQQ

QQQ

G

x

y

z

nx

ny

nz

n

n

n

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

−

−

1

1

1

1

2

3

3 2

3 1

3

M M di dimensione 3nx1

2.1 Analisi statica

Nell’ipotesi di piccoli spostamenti e di comportamento elastico lineare del

materiale vale il principio di sovrapposizione degli effetti, per cui si può scrivere:

{ } [ ]{ }Q K DG G G= in cui [ ]KG = matrice di rigidezza globale

Si potrebbe dimostrare, come è stato fatto per i telai piani, che [ ]KG è una

matrice simmetrica e definita positiva, ossia che { } [ ]{ } { }∀ ≠ ⋅ >U K U UG G G G0 0: .

Di conseguenza [ ]KG è una matrice invertibile, e la sua inversa è:

[ ] [ ] 1

G GF K −= matrice di deformabilità globale

Tale matrice consente di esprimere gli spostamenti di ciascun piano in funzione

delle forze duali applicate:

{ } [ ]{ }D F QG G G=

La valutazione di [ ]KG può essere facilmente perseguita a partire dalla matrici di

rigidezza degli elementi piani verticali di irrigidimento in cui può disassemblarsi il

complesso spaziale. A tal fine possiamo caratterizzare ciascun controvento i

mediante la sua matrice di rigidezza traslante [ ]Kt i,* che è di dimensioni n x n

essendo n è il numero di impalcati della struttura.

Per ciascun elemento verticale piano di controvento si ha: { } [ ]{ }Q K D it i t i t i, ,*

,= ∀

avendo indicato con { }Dt i, il vettore le cui componenti sono gli spostamenti

orizzontali subiti ai vari piani del telaio i-esimo, e con { }Qt i, il vettore le cui


componenti rappresentano le spinte orizzontali da applicare ai vari piani del

telaio i-esimo per generare la deformata definita dal vettore { }Dt i, .

E' possibile collegare la deformazione dei singoli telai piani a quella globale del

sistema spaziale. Ciò è possibile attraverso l'introduzione, per ogni elemento di

una cosiddetta matrice di congruenza o di compatibiltà [ ]Ci facilmente

determinabile dall'esame del generico spostamento rigido dell'impalcato.

Analizziamo la matrice di congruenza [ ]Ci prendendo a riferimento il generico

telaio i-esimo inclinato sull'orizzontale di αi (Fig. 1.11).

y

oxt i

αi

AB

C

i-esimo telaio

k-esimo piano

t

y

ot i

αi

t

x

B DD

(i)xk

(i)tk

Figura 2.2

Sia t la direzione del piano del telaio, esprimiamo lo spostamento ( )Dt ki, in funzione

dei parametri cinematici globali D D Dx k y k z k, , ,, , . Per uno spostamento nella

direzione x si ha uno spostamento nella direzione t pari a ( )D Dt ki

x k i, , cos= α . Lo

stesso vale per uno spostamento nella direzione y : ( )D D Dy k t ki

y k i, , , sen⇒ = α .

Imponendo poi una rotazione Dz k, si ottiene uno spostamento nella direzione t

pari a ( )D D tt ki

z k i, ,= ⋅ .

Dunque ( )D D D D tt ki

x k i y k i z k i, , , ,cos sen= + + ⋅α α dove k è l'indice di piano ed i è

l'indice di telaio. Al variare del piano k da 1 a n si ha:


( )

( )

( )

D D D D t

D D D D t

D D D D t

ti

i i i

t ki

j i j i j i

t ni

n i n i n i

,

,

,

cos sen

cos sen

cos sen

1 1 2 3

2 1

3 2 3 1 3

= + + ⋅

= + + ⋅

= + + ⋅

− −

− −

α α

α α

α α

M M

M M

Scrivendo le equazioni ottenute In forma matriciale si ha:

{ } [ ]{ }D C Dt i i G, =

La matrice di congruenza [ ]Ci assume pertanto la forma seguente:

[ ]C

t

t

i

i i i

i i i

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

cos sen

cos sen

α α

α α

0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0

K

O K

L L L L L L L L L

K O

K

[ ]n n× 3

Applicando il principio dei lavori virtuali al sistema complessivo si ha:

Lavoro esterno = Lavoro interno ⇒ L Lest = int dove:

{ } { }L Q Dest G

T

G= δ ; { } { }L Q Dt i

T

t ii

nt

int , ,==∑ δ

1 essendo nt il numero di telai.

Trasponendo primo e secondo membro si ottiene:

{ } { } { } { } { } { } { } [ ]{ }* *, , , , , , ,

1 1 1

t t tn n nT T TT

G G t i t i t i t i t i t i t i i Gi i i

D Q D Q D K D D K C Dδ δ δ δ= = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑ ∑

Poiché risulta { } [ ]{ } { } { } [ ], ,

T TTt i i G t i G iD C D D D Cδ δ δ δ= ⇒ = ⇒

{ } { } { } [ ]{ } { } [ ] [ ]{ }* *, , ,

1 1

t tn nTT T

G G t i t i i G G i t i i Gi i

D Q D K C D D C K C Dδ δ δ= =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑ ⇒

{ } [ ] [ ]{ } [ ]{ }*,

1

tnT

G i t i i G G Gi

Q C K C D K D=

⎡ ⎤= =⎣ ⎦∑

La matrice di rigidezza globale dell’organismo spaziale caratterizzato con il

modello pseudo-tridimednsionale è definita dalla relazione:


[ ] [ ] [ ][ ]K C K CG iT

t i ii

nt

==∑ ,

*

1 MATRICE DI RIGIDEZZA GLOBALE

Poiché { } [ ]{ } { } [ ]{ }Q K D D C Dt i t i t i t i i G, ,

*, ,= = ⇒ dove

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ][ ]{ }* *, , , , ma t i t i i G G G G t i t i i G GQ K C D D F Q Q K C F Q⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⇒ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Indicando con: [ ] [ ][ ][ ]R K C Fi t i i G= ,

* = matrice di ripartizione relativa al telaio i-

esimo si ha:

{ } [ ]{ }Q R Qt i i G, =

Una volta schematizzati i controventi che costituiscono la struttura e definita per

ognuno di essi la matrice di rigidezza traslante la distribuzione delle forze laterali

di piano sui singoli controventi è definita dalla relazione:

{ } [ ]{ },t i i GQ R Q i= ∀

3. ANALISI DI SISTEMI SPAZIALI CON IL MODELLO TRIDIMENSIONALE COMPLETO

Il calcolo di una struttura intelaiata spaziale è una semplice estensione del caso

piano. In generale le singole aste sono dotate di rigidezza flessionale nei due

piani ortogonali all’asse dell’elemento, di rigidezza torsionale ed estensionale. 3.1 Matrice di Rigidezza della Singola Asta

Figura 3.1: Asta singola nel telaio spaziale


La deformata della generica asta è individuata da 6 spostamenti per ciascun

nodo di estremità (fig.3.1). Nel riferimento locale dell’asta il vettore degli

spostamenti ed il vettore delle azioni nodali corrispondenti relativi al nodo J si

scrivono:

{ } { }1 2 3 1 2 3

TJ JS u u u φ φ φ′ = { } { }2 3 2 3

TJ JF P V V T M M′ = (3.1)

avendo indicato con P lo sforzo normale, con V2 e V3 i tagli rispettivamente nelle

direzioni 2 e 3 (y e z), con T il momento torcente, con M2 e M3 i momenti

rispettivamente attorno agli assi 2 e 3. La relazione tra il vettore delle forze ed il

vettore degli spostamenti relativi al generico estremo J si scrivono nella seguente

forma compatta:

11 1

2 22 26 2

3 33 35 3

44 1

2 53 55 2

3 62 66 3

0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

J J J

P k uV k k uV k k uT k

M k kM k k

φφφ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ossia { } { }j j jK S F⎡ ′ ⎤ ′ ′⋅ =⎣ ⎦ (3.2)

Il vettore { }IF ′ delle azioni interne agenti sul nodo I può essere espresso in

funzione del vettore { }JF ′ delle azioni agenti sul nodo J applicando le equazioni

fondamentali della statica. Si ottiene così:

2 2

3 3

2 2

3 3

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 10 0 1 0 1 00 0 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1I J

P PV VLV VLT T

M MLM ML

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−

= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ossia { } [ ] { }I IJ JF b F′ ′= ⋅ (3.3)

Il vettore { } { } { }{ }T

I JF F F′ ′ ′= delle azioni nodali agenti sull’asta può quindi

scriversi nella forma:


{ } { }{ }

[ ][ ] { } [ ] { }I IJ

J IJ JJ

F bF F B F

F I′⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ ⎪′ ′ ′= = ⋅ = ⋅⎨ ⎬ ⎢ ⎥′⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦

(3.4)

In modo analogo dalle equazioni di equilibrio e di congruenza si ottiene la

seguente relazione:

{ } { }{ }

[ ][ ] { } [ ] { }I IJ

J IJ JJ

S bS S B S

S I′⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ ⎪′ ′ ′= = ⋅ = ⋅⎨ ⎬ ⎢ ⎥′⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦

(3.5)

Infatti sostituendo l’eq.(3.2) nella (3.3) si ha:

[ ]{ } [ ] [ ]{ } { } [ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ]{ } [ ] { }1 1I I IJ J J I I IJ J J IJ I J J IJ JK S b K S S K b K S b K K S b S− −′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ = ⋅

(3.6) La relazione tra il vettore delle azioni interne ed il vettore degli spostamenti

dell’asta si scrive pertanto nella forma:

{ } [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { }TIJ J IJ J J IJ J IJF B F B K S B K B S′ ′ ′ ′ ′ ′= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ (3.7)

Di conseguenza la matrice di rigidezza dell’asta nel riferimento locale può

scriversi nel modo seguente:

[ ] [ ] [ ] [ ]TIJ J IJK B K B′ ′= ⋅ ⋅ (3.8)

La trasformazione dal sistema di riferimento locale a quello globale può essere

espressa attraverso la matrice [λ] dei coseni direttori:

[ ]

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

cos cos cos 0 0 0cos cos cos 0 0 0cos cos cos 0 0 0

0 0 0 cos cos cos0 0 0 cos cos cos0 0 0 cos cos cos

γ γ γγ γ γγ γ γ

λγ γ γγ γ γγ γ γ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.9)

La matrice di rotazione dell'asta assume pertanto la forma:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

00

Tλ

λ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.10)


Gli spostamenti { }S′ e le azioni interne { }F ′ nel riferimento locale possono

essere quindi espressi in funzione degli spostamenti { }S e delle azioni interne

{ }F nel riferimento globale attraverso le relazioni:

{ } [ ] { }S T S′ = ⋅ (3.11)

{ } [ ] { }F T F′ = ⋅ (3.12) La matrice di rigidezza [K] nel riferimento globale è data da:

[ ] [ ] [ ] [ ]TK T K T′= ⋅ ⋅

L’equazione di equilibrio si scrive infine nella forma:

{ } [ ] { } { }0F K S F= ⋅ +

essendo { }0F il vettore delle azioni di incastro perfetto.

Figura 3.2: Azioni sull’asta nel riferimento globale

3.2 Equazioni di Equilibrio

La costruzione della matrice di rigidezza totale del telaio spaziale viene effettuata

attraverso il Metodo Diretto detto anche Metodo della matrice espansa. Si

definiscono cioè i vettori espansi (di dimensione pari a 6 volte il numero N di nodi


della struttura) e la matrice espansa di rigidezza (di dimensioni 6Nx6N) relativi

all’asta m:

{ } { } { }{ }, ..... , , ..... , , .....T

ei jm m m

F F F= 0 0 0 0 0 0 0

{ } { } { }{ }0 0, 0,, ..... , , ..... , , .....T

ei jm m m

F F F= 0 0 0 0 0 0 0

{ } { } { }{ }, ..... , , ..... , , .....T

ei jm m m

S S S= 0 0 0 0 0 0 0

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

11 12

21 22

. . . . . .. . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . .. . . . . .

m m

em

m m

K K

K

K K

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0 0 00 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 00 0 0

Con le posizioni fatte si può scrivere:

{ } [ ] { } { } { } { } { }0 0

e e e e e eTm m m m m mF K S F K S F= ⋅ + = ⋅ +

Sommando su tutte le aste si ottiene:

{ } [ ] { } { } { } { } [ ] { }0 0,e e e

T T T T Tm m mm m mF K S F F F K S= ⋅ + ⇒ − = ⋅∑ ∑ ∑

essendo { }TF ,{ }0,TF ,{ }TS e [ ]TK rispettivamente il vettore delle azioni nodali, il

vettore delle azioni di incastro perfetto, il vettore degli spostamenti e la matrice

di rigidezza totale del teaio. La risoluzione del sistema delle equazioni di

equilibrio può essere realizzata attraverso la fattorizzazione della matrice di

rigidezza totale condotta con il metodo di Wilkinson.

3.3 Inserimento condizioni di vincolo ( restraints)

Il sistema{ } [ ] { }T T TF K S= ⋅ delle equazioni di equilibrio del telaio spaziale non è

ancora risolvibile. La matrice di rigidezza [KT] della struttura è singolare e,


quindi, non è invertibile. Il sistema omogeneo associato [ ] { } { }0T TK S⋅ = ammette

pertanto infinite soluzioni che rappresentano gli infiniti atti di moto rigido del

telaio spaziale. Per rendere il sistema risolvibile occorre inserire le condizioni di

vincolo modificando la matrice di rigidezza ed il vettore delle azioni nodali

esterne. In particolare la matrice di rigidezza deve essere corretta nel modo

seguente:

• Se la riga che stiamo esaminando (riga di ordine K relativamente ai gradi

di libertà della struttura) non è quella relativa al grado di libertà vincolato

(grado di ordine K1),allora viene annullato solo il termine relativo al grado

di libertà vincolato (K1)

• Se la riga che stiamo esaminando è invece quella relativa al grado di

libertà vincolato, allora tutta la riga viene azzerata e viene posto 1 sul

termine diagonale e cioè in corrispondenza al grado di libertà vincolato.

Con riferimento al vettore delle azioni esterne è necessario invece annullare il

termine corrispondente al grado di libertà vincolato.

3.4 Inserimento diaframmi di piano ( floor diaphragm constraints)

Figura 3.3: Azioni sull’asta nel riferimento globale

In edifici con struttura intelaiata in c.a. la presenza di solai latero-cementizi con

soletta di spessore non inferiore a 4 cm garantisce che le deformazioni

dell’impalcato nel proprio piano siano trascurabili rispetto agli spostamenti

d’interpiano. Di conseguenza ad ogni impalcato il campo di spostamenti è rigido

piano (comportamento a diaframma) e può essere caratterizzato a partire dallo


spostamento di un nodo detto “master” (master-slave constraints). Per l’i-esimo

nodo “slave” dell’impalcato devono essere quindi rispettate le seguenti

condizioni:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

i mi mx x z

i mi my y z

i mz z

u u y u

u u x u

θ

θ

θ θφ φ

= − ⋅

= + ⋅

=

essendo ( )i

xu , ( )iyu le due componenti di spostamento del nodo i nel piano

dell’impalcato e ( )izθφ la rotazione attorno all’asse ortogonale a tale piano. Nel caso

di azioni di tipo sismico la collocazione naturale del nodo master è nel baricentro

delle masse dell’impalcato, in modo da diagonalizzare la matrice delle masse

dell’intera struttura.

La presenza di un comportamento diaframmatico per ciascun impalcato consente

di ridurre notevolmente in numero di gradi di libertà del sistema. Infatti per la

generica colonna situata tra l’impalcato m e l’impalcato m+1 il vettore { }S degli

spostamenti nel riferimento globale può essere espresso in funzione degli

spostamenti e delle rotazioni dei nodi master ai due livelli. In particolare si ha:

Figura. 3.4: Azioni sull’asta nel riferimento globale


( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0

ixi i

yii

zix

iy

izj i

xij

yj

zjxjy

jz

u

yu

xu

u

u

u

yu

xu

u

u

u

u

θ

θ

θ

θ

θ

θ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬

−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1

1

1

0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

mxm

yi

zix

iy

mz

mxm

yj

zjxjy

mz

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

θ

θ

θ

θ

θ

θ

+

+

+

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⋅ ⎨ ⎬

⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦

⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Per i nodi legati dal master-slave constraint il numero di gradi di libertà passa

quindi da 6 a 3. Se i nodi si trovano tutti sugli impalcati il numero complessivo di

gradi di libertà passa da 6N a 3N + 6xNP, essendo NP il numero di piani

dell’edificio.


Capitolo 2

Mensole con sezione sottile aperta

1. MATRICE DI RIGIDEZZA TRASLANTE

Tra i sistemi di controventamento verticale esistono delle mensole che sono

dotate di rigidezza flessionale non trascurabile in qualsiasi direzione e,

soprattutto nel caso di sezioni chiuse, dotate di elevata rigidezza torsionale.

Si consideri una generica mensola con sezione trasversale ad L e costante nei

tratti compresi fra piano e piano, incastrata alla base (fig. 1.1). Siano inoltre G e

C rispettivamente il Baricentro ed il Centro di Taglio, questo ultimo individuato

dall’intersezione degli assi dei rettangoli che compongono la sezione trasversale,

supposti in posizioni invariante in corrispondenza dei vari piani. Assunto come

sistema di riferimento locale con origine nel centro di taglio ed assi x’ e y’

paralleli agli assi principali d’inerzia, numerando i nodi dal basso verso l’alto, i

parametri cinematici indipendenti sono gli n spostamenti (fig. 1.2):

u lungo x

v lungo y

θ attorno all’azze z verticale.

C

G

x'y'

uv

Figura. 1.1: Pianta della mensola


u

v

1

u

v

u

v

u

v

u

v

n

n-1

n-2

2

u

v

Figura. 1.2:

La matrice delle rigidezze ridotta della mensola ha la seguente forma:

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

*

* *

3 3

*

0 0

0 0

0 0

u nxn nxnnxn

v nxnnxn nxnnx n

nxn nxn nxn

K

K K

Kθ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦

(1)

Le matrici *uK⎡ ⎤⎣ ⎦

*vK⎡ ⎤⎣ ⎦ rappresentano le matrici delle rigidezze flessionali della

mensola rispettivamente nei piani verticali di traccia u e v, mentre la matrice *Kθ⎡ ⎤⎣ ⎦ è la matrice delle rigidezze torsionali. Le prime due matrici sono state

caratterizzate nello studio dei sistemi piani, la matrice delle rigidezze torsionali si

ricava sempre al solito modo, ovvero per colonne imponendo delle rotazioni

torsionali unitarie e positive ai vari livelli e determinando il sistema di forze che

garantisce l’equilibrio della configurazione deformata.

Definite le proprietà meccaniche e geometriche, la rigidezza torsionale della

sezione trasversale della mensola è pari a tGJh

dove:

J = momento d’inerzia torsionale della sezione retta

G = modulo di elasticità tangenziale

h = altezza d’interpiano

La matrice delle rigidezze torsionali è la seguente:


1 2

2 2 3

*

3

.

0

. 0

. .

0 0 .. ..

t t

t t t

tnxn

t t

n n

GJ GJh h

GJ GJ GJ Symh h h

GJKh

GJ GJh h

θ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥

⎛ ⎞⎢ ⎥⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(2)

Il pedice utilizzato si riferisce al tratto di mensola compreso fra due nodi

successivi, numerati da 1 ad n.

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