Analisi e gestione del rischio

Lezione 12 – Rischio di credito di portafogli

Rischio di portafogli di crediti

• Il mercato dei prodotti strutturati degli anni recenti si è particolarmente sviluppato in prodotti che forniscono l’esposizione a un portafoglio di credito.

• I derivati su basket di crediti hanno svolto lo stesso ruolo dei derivati creditizi a livello univariato. Possono essere utilizzati– Per trasferire il rischio di credito– Per costruire sinteticamente esposizioni a portafogli di

“nomi”

Portafogli di CDS

• Assumiamo di avere un portafoglio di un numero limitato anche se non trascurabile di CDS (assumiamo 50-100 nomi, ad esempio)

• Vogliamo definire la probabilità di perdita su tutto il portafoglio. Definiamo Q(k) la probabilità di osservare k default entro la scadenza del CDS e assumiamo, per semplicità che la LGD sia data e la stessa per tutti gli n nomi.

n

k

kkQLGDEL1

Derivati “first-to-default”

• Consideriamo un derivato di credito che paga “protezione”, la prima volta che un elemento del paniere di “nomi” di riferimento è in default. La protezione si estende fino al tempo T.

• Valore del derivato è FTD = LGD v(t,T)(1 – Q(0))

• Q(0) è la probabilità di sopravvivenza di tutti i nomi nel basket. Possiamo anche scrivere

Q(0) Q(1 > T, 2 > T…)

Derivati “first-x-to-default”

• Consideriamo invece un derivato di credito che paga “protezione”, sui primi x default dei “nomi” di riferimento del paniere precedente.

• Il valore del derivato sarà ovviamente

n

xk

x

k

kQxLGDkkQLGDxFTD11

La specificazione di Q(x)

• Valutare i derivati di credito su basket richiede quindi la specificazione della distribuzione congiunta di default Q(x)

• Tale distribuzione dipende da due elementi– La probabilità di default (e la LGD, se

considerata stocastica), di ciascun “nome” nel basket

– La struttura di correlazione (dipendenza) tra default (e LGD) dei “nomi” nel basket.

Modelli di Q(x)

• Le ipotesi che possono essere fatte sulla perdita attesa di ciascun nome sono– Pool omogeneo di nomi (stessa probabilità di default e

stessa LGD)– Pool eterogeneo di nomi (diversa probabilità di default e

diversa LGD)

• Le ipotesi sulla struttura di dipendenza sono– Default indipendenti– Modelli in forma ridotta multivariati (Marshall Olkin)– Funzioni di copula– Factor copula (default condizionalmente indipendenti)

Default indipendenti

• Nell’ipotesi che i default siano indipendenti le scelte più ovvie per la distribuzione congiunta sono– La distribuzione binomiale

– La distribuzione di Poisson

xnx qqx

nxQ

1

!

exp11

x

tTtT

xQ

xn

ii

n

ii

Intensità di portafoglio

• Il modello di Poisson è particolarmente utile perché consente l’immediata estensione dei modelli in forma ridotta a portafogli di crediti.

• L’assunzione di indipendenza implica che

Q(0) = Q(1 > T, 2 > T…) = Q(1 > T) Q(2 > T)…e nei modelli intensity based

Q(1 > T) Q( 2 > T)…= exp[– (1 + 2 +…)(T – t)]• Otteniamo quindi un’intensità di default di portafoglio che è la

somma delle intensità di default individuali dei singoli nomi:

= 1 + 2 +…

Valutazione di un first-to-default

• Ricordiamo che il valore di un first-to-default swap è ricavato da

FTD = LGD v(t,T)(1 – Q(0))• Nel caso di default indipendenti abbiamo quindi

LGDv(t,T)(1 – exp[– (T – t)])=

LGDv(t,T)(1 – exp[– (1 + 2 +…)(T – t)])• Il problema è trovare un’estensione di questo modello

al caso in cui ci sia dipendenza tra gli eventi di default.

Distribuzione di Marshall Olkin

• La distribuzione di Marshall Olkin è la naturale estensione del processo di Poisson al caso multivariato.

• Assumiamo il caso di due “nomi”. Secondo la distribuzione di Marshall Olkin abbiamo

Q(1 > T, 2 > T) = exp[– (1 + 2 + 12)(T – t)]

• La correlazione tra i tempi di sopravvivenza è

12 = 12 /(1 + 2 + 12)

Intensità di portafoglio

• L’idea della distribuzione di Marshall Olkin è che shock diversi causano il default di sotto-insiemi dei nomi.

• Il problema è che può esistere un numero arbitrariamente alto di shock, e questo rende la calibrazione del modello proibitiva

• In genere viene proposta la specificazione

n

n

ii ....123

1

Valutazione di un first-to-default• Ricordiamo che il valore di un first-to-default swap è

ricavato da FTD = LGD v(t,T)(1 – Q(0))

• Nel caso di default indipendenti abbiamo quindi LGDv(t,T)(1 – exp[– (T – t)])

=

LGDv(t,T)(1 – exp[– (1 + 2 +…+ n+ 12…n)(T – t)])• Si noti che l’aumento della correlazione tra i tempi di

default riduce il valore del contratto first-to-default.