Analisi di Stabilità e Criterio di Nyquist...Sommario 1. Cenni sulle F.d.T. e sui Diagrammi di Bode...

Analisi di Stabilità e

Criterio di Nyquist

Analisi e Controllo dei Sistemi Dinamici

Modulo: Controlli Automatici

Dr. Ing. A. Pilloni

Dipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica

Sommario

1. Cenni sulle F.d.T. e sui Diagrammi di Bode

2.1 Controllo in retroazione. Perché?

2.2 Stabilità a ciclo chiuso

3.1 Criterio e Diagramma di Nyquist (DN)

3.2 Tecniche di Tracciamento del DN

3.3 Criterio di Nyquist

3.4 Esempi

F.d.T. • La F.d.T. di un sistema dinamico LTI è una funzione complessa che

descrive il comportamento (in frequenza) del sistema

• Esistono diversi procedimenti per ottenere il modello della F.d.T.

Modellazione Fisica Test Sperimentali

Dalla 𝑭(𝒋𝝎) è possibile valutare la distribuzione di poli/zeri della 𝑭 𝒔 o per via grafica o con procedure numeriche

F. di Trasferimento F. di Risposta Armonica 𝑭 𝒔 𝑭(𝒋𝝎)

??

𝒔 = 𝒋𝝎

Tracciamento diagrammi di Bode • La F.d.t. in forma di Bode contiene 4 tipi di fattori elementari

𝐹 𝑗𝜔 = 𝐾 ⋅

𝑗𝜔 𝜈𝑧 ⋅ 1 + 𝑗𝜔𝜏𝑖𝑧𝑚1

𝑖=1 ⋅ 1 +2𝜉𝜔𝑛

𝑗𝜔 +𝑗𝜔 2

𝜔𝑛2

𝑚2𝑖=1

𝑗𝜔 𝜈𝑝 ⋅ 1 + 𝑗𝜔𝜏𝑖𝑝

⋅ 1 +2𝜉𝜔𝑛

𝑗𝜔 +𝑗𝜔 2

𝜔𝑛2

𝑛2𝑖=1

𝑛1𝑖=1

= 𝑀 𝜔 ⋅ 𝑒𝑗𝜑 𝜔

• Guadagno costante 𝐾

• Fattore monomio 𝑗𝜔 : Legato ad uno zero /polo in 𝒔 = 𝟎

• Fattore binomio 1 + j𝜔𝜏 : Legato ad uno zero/polo reale in 𝒔 = −𝟏/𝝉

• Fattore Trinomio 1 +2𝜉

𝜔𝑛𝑗𝜔 +

𝑗𝜔 2

𝜔𝑛2 :

Legato ad una coppia di zeri/poli complessi coniugati in 𝐬 = 𝒂 ± 𝒋𝒃, con

𝜔𝑛 = 𝑎2 + 𝑏2 e 𝜉 = −𝑎/𝜔𝑛

Guadagno costante 𝐾

𝐾 𝑑𝐵 = 20 ⋅ log10 𝐾

𝜑 𝜔 = atan0

𝐾=

0 𝐾 > 0−180 𝐾 < 0

Esempio:

• 𝑘1 = 10, 𝑘2 = 0.5, 𝑘3 = −10

Fattore monomio 𝑗𝜔

• Al numeratore:

𝑗𝜔 𝑑𝐵 = 20 ⋅ log10 𝜔2 = 20 ⋅ log𝜔 ⇒ +20𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐

𝜑 𝜔 = atan 𝜔

0= +90°

• Al denominatore:

1

𝑗𝜔𝑑𝐵

=−𝑗

𝜔 𝑑𝐵= 20 log10

−1

𝜔

2

= 20 log1

𝜔= −20 log10 𝜔 ⇒ −20𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐

𝜑 𝜔 = atan−

1𝜔0

= −90°

Fattore binomio 1 + j𝜔𝜏 • Al numeratore:

1 + 𝑗𝜔𝜏 𝑑𝐵

= 20 ⋅ log10 1 + (𝜔𝜏)2 ≈ 0 𝜔 ≪ 1/|𝜏| ⇒ 0𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐

20 log10 𝜔 + 20 log10| 𝜏| 𝜔 ≫ 1/|𝜏| ⇒ +20𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐

𝜑 𝜔 = atan 𝜔𝜏

1≈

+0° 𝜔 ≪ 1/|𝜏|+90° 𝜔 ≫ 1/|𝜏


1

(1 + 𝑗𝜔𝜏)𝑑𝐵

=1 − 𝑗𝜔𝜏

(1 + 𝜔2𝜏2 )𝑑𝐵

= 20 log10

1

1 + 𝜔2𝜏2

2

+𝜔𝜏

1 + 𝜔2𝜏2

2

=

≈ 0 𝜔 ≪ 1/|𝜏| ⇒ 0𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐

20 log101

𝜔𝜏≈ −20 log10 𝜔 − 20 log10| 𝜏| 𝜔 ≫ 1/ 𝜏 ⇒ −20𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐

𝜑 𝜔 = atan −𝜔𝜏

1≈

−0° 𝜔 ≪ 1/|𝜏|−90° 𝜔 ≫ 1/|𝜏|

Fattore binomio 1 + j𝜔𝜏 Al numeratore Al denominatore:

+𝟐𝟎𝒅𝑩/𝒅𝒆𝒄 −𝟐𝟎𝒅𝑩/𝒅𝒆𝒄

𝝉 > 𝟎,+𝟗𝟎° 𝝉 > 𝟎,−𝟗𝟎°

𝝉 < 𝟎,+𝟗𝟎° 𝝉 < 𝟎,−𝟗𝟎°

Fattore trinomio 1 +2𝜉

𝜔𝑛𝑗𝜔 +

𝑗𝜔 2

𝜔𝑛2

• Al numeratore:

1 +2𝜉

𝜔𝑛𝑗𝜔 +

𝑗𝜔 2

𝜔𝑛2 = 1 −

𝜔2

𝜔𝑛+ 𝑗 ⋅

2𝜉𝜔

𝜔𝑛

1 +2𝜉

𝜔𝑛𝑗𝜔 +

𝑗𝜔 2

𝜔𝑛2

𝑑𝐵

≈ 0 𝜔 ≪ 𝜔𝑛 ⇒ 0𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐

20 log10 𝜔2 − 20 log10 𝜔𝑛2 𝜔 ≫𝜔𝑛 ⇒ +40𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐

𝜑 𝜔 = atan

2𝜉𝜔𝜔𝑛

1 −𝜔2

𝜔𝑛2

≈ 0° 𝜔 ≪ 𝜔𝑛

+180° (−180°) 𝜔 ≫ 𝜔𝑛 𝐴𝑁𝐷 𝜉 > 0 (𝜉 < 0)


𝜔𝑛𝑗𝜔 +

𝑗𝜔 2

𝜔𝑛2

Modulo al variare di |𝜉| Anti-risonanza per 𝜉 < 0.7

Fase al variare di 𝜉 ≥ 0

Fase al variare di 𝜉 < 0

• Al numeratore:


𝜔𝑛𝑗𝜔 +

𝑗𝜔 2

𝜔𝑛2

Modulo al variare di |𝜉| Risonanza per 𝜉 < 0.7

Fase al variare di 𝜉 ≥ 0

Fase al variare di 𝜉 < 0


Esempio • Tracciare il DB della F.d.t.

𝐺 𝑠 =10 𝑠 − 1

𝑠(𝑠 + 1)(𝑠2 + 8𝑠 + 25)

1. Porre il sistema in forma di Bode

𝐹 𝑠 = −10

25⋅

1 − 𝑠

𝑠 1 + 𝑠 1 +825

𝑠 +𝑠2

25

2. Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle singole componenti:

𝐾 = −10

25, 𝐹1 𝑠 = 1 − 𝑠 , 𝐹3 𝑠 =

1

𝑠, 𝐹4 𝑠 =

1

1 + 𝑠, 𝐹5 𝑠 =

1

1 +825

𝑠 +𝑠2

25

3. Sommare i contributi delle singole componenti.

Digramma dei moduli 𝐾 = −

10

25, 𝐹1(𝑠) = 1 − 𝑠 , 𝐹3 𝑠 =

1

𝑠, 𝐹4 𝑠 =

1

1 + 𝑠, 𝐹5 𝑠 =

1

1 +825

𝑠 +𝑠2

25

𝜔𝑛 = 5 𝜉 = 0.8

Correggere il diagramma per considerare l’andamento reale mediante l’utilizzo degli abachi di tracciamento

Digramma delle Fasi

𝜔𝑑 = 10𝜉𝜔𝑛 = 31.1

𝜔𝑠 =𝜔𝑛

10𝜉= 0.7

𝜔𝑛 = 5 𝜉 = 0.8

𝐾 = −10

25, 𝐹1(𝑠) = 1 − 𝑠 , 𝐹3 𝑠 =

1

𝑠, 𝐹4 𝑠 =

1

1 + 𝑠, 𝐹5 𝑠 =

1

1 +825

𝑠 +𝑠2

25

Correggere il diagramma per considerare l’andamento reale mediante l’utilizzo degli abachi di tracciamento

Sommario







3.4 Esempi

Controllo in retroazione. Perché?

[Def.] In fisica e automazione la retroazione è la capacità di un sistema dinamico di tenere conto dei risultati del sistema per modificare le caratteristiche del sistema stesso.

Es. Progettare un amplificatore di guadagno 𝑘𝑑 = 2 con

• Passo 1: Analisi a ciclo aperto del processo

Controllo in retroazione. Perché? (2) • L’unico modo per progettare un amplificatore con guadagno

d’amplificazione controllato 𝒌𝒅 è sfruttare la retroazione!!!

Controllo in retroazione. Perché? (3)

• Qualsiasi sistema di controllo presenta la seguente struttura:

• L’onere del progettista consiste nello scegliere la struttura del controllore e del trasduttore al fine di garantire le specifiche di progetto

Tutto funzionerà IFF il sistema a ciclo chiuso sarà stabile!

Stabilità a ciclo chiuso. Perchè?(1) • Dato sistema dinamico (circuito elettronico, motore, impianto

industriale)

• Il controllo automatico si prefigge di modificare il comportamento del sistema da controllare (uscite e stato) manipolando le grandezze d'ingresso (legge di controllo)

• Esempi di sistemi di controllo – SISTEMA DI REGOLAZIONE: uscita costante ad un valore prefissato al

variare dell'ingresso (es. cruise control)

– SISTEMA DI ASSERVIMENTO: uscita deve seguire fedelmente la dinamica dell'ingresso stesso (es. tracking missile)

𝑃(𝑠) u y

𝑃(𝑠)

Stabilità a ciclo chiuso. Perchè?(2) La stabilità a c.c. può essere valutata con calcolando i poli della W(s) o studiando il segno della loro parte reale (Criterio di Routh)

• No percezione dell’influenza delle scelte progettuali sulla stabilità

• No informazioni sulla robustezza del sistema del controllo

Serve uno strumento in grado di:

• Fornire indicazioni utili per la sintesi del controllore C(s)

↓ ↓

Il Criterio di Nyquist

Sommario







3.4 Esempi

Criterio di Nyquist (1)

Il Criterio di Nyquist è uno dei metodi classici per valutare la stabilità

di 𝑊 𝑠 =𝑁𝑤 𝑠

𝐷𝑊(𝑠) a partire dalla f.d.t. dell’anello 𝐹 𝑠 =

𝑁𝐹 𝑠

𝐷𝐹(𝑠)

𝑭 𝒔 =𝑵𝑭 𝒔

𝑫𝑭 𝒔= 𝒌 ⋅ 𝑪 𝒔 ⋅ 𝑷 𝒔 ⋅ 𝑯 𝒔

𝑾 𝒔 =𝑵𝒘 𝒔

𝑫𝑾(𝒔)=

𝑭 𝒔

𝟏+𝑭 𝒔=

𝑵𝑭(𝒔)

𝑫𝑭 𝒔 𝟏+𝑵𝑭 𝒔

𝑫𝑭 𝒔

⇒ 𝑫𝑾 𝒔

𝑫𝑭(𝒔)= 𝟏 + 𝑭 𝒔

𝐹(𝑠) - 𝐻−1

Sistema a ciclo chiuso

Relazione che lega i poli a ciclo chiuso con quelli della funzione ad anello

Riscrivere sempre il sistema come fosse a retroazione unitaria


Si dimostra che:

• Il legame tra il numero di radici a p.r.p. di 𝑫𝑾(𝒔) ed il numero di radici a

pr.p. di 𝑫𝑭(𝒔) è dato dal numero di giri che il vettore 𝟏 + 𝑭 𝒔 da -∞ a

+ ∞ attorno all’origine (0,0) del piano complesso

• Il numero di tali giri è pari a quello compiuto dal vettore

𝑭 𝒋𝝎 = 𝑴 𝒋𝝎 ⋅ 𝒆𝒋𝝋(𝒋𝝎)

attorno al punto (-1,j0) del piano complesso

• I giri compiuti da tale vettore possono essere valutati agevolmente dal Diagramma di Nyquist della 𝑭 𝒋𝝎

𝑫𝑾 𝒔

𝑫𝑭(𝒔)= 𝟏 + 𝑭 𝒔

Diagramma di Nyquist (1)

• Sono una alternativa ai Diagrammi di Bode per la rappresentazione della risposta armonica di una f.d.t. in forma di Bode)

𝐹 𝑗𝜔 = 1 + 𝑗𝜔𝜏𝑖

𝑧𝑚𝑖=1

𝑗𝜔 𝜈 ⋅ (1 + 𝑗𝜔𝜏𝑖𝑝)𝑛−𝜈

𝑖=1

= 𝑀 𝜔 ⋅ 𝑒𝑗𝜑 𝜔

• Es. per 𝜔 = 𝜔0

– 𝑀 𝜔0 = 𝑅𝑒 𝐹 𝑗𝜔02 + 𝐼𝑚 𝐹 𝑗𝜔0

2

– 𝜑 𝜔0 = atan𝐼𝑚 𝐹 𝑗𝜔0

𝑅𝑒 𝐹(𝑗𝜔0)

• Margini di stabilità (secondo Bode):

– 𝑚𝑔 = 1/|𝐹 𝑗𝜔𝑐𝑟 |

– 𝑚𝜙 = ∠𝐹 𝑗𝜔𝑐 + 180 deg 𝜔1

𝜔2 𝜔3

𝜔1 < 𝜔2 < 𝜔3

Diagramma di Nyquist (2)

• L’andamento del DN per 𝜔 ∈ (−∞, 0] può essere ottenuto da quello per 𝜔 ∈ [0,+∞) per simmetria rispetto all’asse reale

• Partenza del diagramma di 𝑭 𝒋𝝎 per 𝝎 → 𝟎+:

– Modulo: lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔))

– Fase: lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 = arg 𝑘 − (𝜈𝑝−𝜈𝑧) ⋅𝜋

2

• Arrivo del diagramma di 𝑭 𝒋𝝎 per 𝝎 → +∞:

– Modulo: lim𝜔→+∞

𝐹(𝑗(𝜔))

– Fase: lim𝜔→ +∞

arg 𝐹 𝑗𝜔

• Per sistemi a fase minima si può utilizzare la relazione semplificata:

lim𝜔→ +∞

arg 𝐹 𝑗𝜔 = arg 𝑘 − 𝑛 − 𝑚 ⋅𝜋

2

Criterio di Nyquist

• Con riferimento allo schema feedback standard a retroazione unitaria,

Il sistema controllato è stabile se il numero di giri in senso

antiorario 𝑁 che la 𝐹(𝑗𝜔) compie intorno al punto (−1, 𝑗0), quando 𝜔 varia da −∞ a +∞, è uguale al numero di poli p.r.p. (𝑝𝐹) di 𝐹(𝑗𝜔)

𝑝𝑊 = 𝑝𝐹 − 𝑁 = 0

K F(s) -


• Hp: Il DN non chiude al finito per via di discontinuità – tra 𝜔 = 0− e 𝜔 = 0+ a causa di poli nell’origine

– tra 𝜔 = 𝜔𝑛− e 𝜔 = 𝜔𝑛

+ e 𝜔 = −𝜔𝑛− e 𝜔 = −𝜔𝑛

+ a causa di una coppia di poli immaginari puri con molteplicità 𝒎

• Per l’applicazione del criterio di Nyquist bisognerà considerare i poli a parte reale nulla come a parte reale negativa

• Eseguire una chiusura all’infinito in verso orario – di 𝜈 ⋅ 𝜋 [rad] nella discontinuità da 𝝎 = 𝟎− a 𝝎 = 𝟎+

– di m ⋅ 𝜋 [rad] nelle discontinuità da 𝝎 = 𝝎𝒏− a 𝝎 = 𝝎𝒏

+ e da 𝝎 = −𝝎𝒏− e

𝝎 = −𝝎𝒏+

Criterio Ridotto di Nyquist

• Per tutti i sistemi stabili a ciclo aperto si ha 𝑝𝐹 = 0, per cui si può valutare la stabilità mediante il Criterio Ridotto:

• Criterio Ridotto di Nyquist:

C.N.S. per la stabilità di un sistema di controllo a controreazione, stabile a ciclo aperto (𝑝𝐹 = 0) è che il numero di giri in senso antiorario che la 𝐹(𝑗𝜔) attorno al punto −1, 𝑗0 sia nullo

𝑁 = 0 → 𝑝𝑊 = 𝑝𝐹 − 𝑁 = 0

– In pratica il diagramma di Nyquist della 𝐹(𝑗𝜔) non deve circondare il punto (−1, 𝑗0).

Esempio 1

• 𝐹 𝑠 =1

1+𝑠

10

2

Esempio 1

• 𝐹 𝑠 =1

1+𝑠

10

2

• 𝑝𝐹 = 0 • Partenza

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) = 1

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 = 0

• Arrivo

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) =1

∞= 0

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 =

= arg 1 − 2 ⋅𝜋

2= 2𝜋

Esempio 2

• 𝐹 𝑗𝜔 =𝑘

𝑗𝜔 2 1+𝑗𝜔𝜏 , 𝝉 > 𝟎, 𝑘 > 0

Esempio 2


𝑗𝜔 2 1+𝑗𝜔𝜏 , 𝝉 > 𝟎, 𝑘 > 0

• 𝑝𝐹 = 0 → Criterio Ridotto

• Partenza

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) =k

0= ∞

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 = arg 𝑘 − 2 ⋅𝜋

2= −𝜋

• Arrivo

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) =1

∞3 = 0

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 =arg 𝑘 − 3 ⋅𝜋

2= −

3𝜋

2

𝜔 = 0+

𝜔 = 0− -1

• Il punto -1 sta a destra del diagramma quindi il sistema sarà instabile

𝑝𝑊 = 𝑝𝐹 − 𝑁 = 2

• Inoltre, poiché 𝑁 = −2 per qualsiasi valore di 𝑘 > 0, esso non potrà essere stabilizzato

Esempio 3


𝑗𝜔 2 1+𝑗𝜔𝜏 , 𝝉 < 𝟎, 𝑘 > 0

Esempio 3


𝑗𝜔 2 1+𝑗𝜔𝜏 , 𝝉 < 𝟎, 𝑘 > 0

• 𝑝𝐹 = 1

• Partenza

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) =k

0= ∞

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 = arg 𝑘 − 2 ⋅𝜋

2= −𝜋

• Arrivo

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) =1

∞3 = 0

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 =arg 𝑘 − 2 ⋅𝜋

2+

𝜋

2= −

𝜋

2

Il sistema sarà sempre instabile in

quanto 𝑁 = 0 per qualsiasi valore di 𝑘 > 0

𝑝𝑊 = 𝑝𝐹 − 𝑁 = 1

-1

Esempio 4 (1)

• 𝐹 𝑠 =1

1+𝑠2

𝜔𝑛2

=1

1+𝑠

𝑗𝜔𝑛1−

𝑠

𝑗𝜔𝑛

Esempio 4 (1)

• 𝐹 𝑗𝜔 =1

1+𝑠

𝑗𝜔𝑛1−

𝑠

𝑗𝜔𝑛

|𝑠=𝑗𝜔

Esempio 4 (2)

1

• 𝐹 𝑗𝜔 =1

1+𝑠

𝑗𝜔𝑛1−

𝑠

𝑗𝜔𝑛

|𝑠=𝑗𝜔

• 𝑝𝐹 = 0 → Criterio Ridotto

• Partenza

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) = 1

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 = 0

• Arrivo

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) =1

∞= 0

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 =arg 1 − 2 ⋅𝜋

2= −𝜋

-1 𝜔 = 𝜔𝑛

−

𝜔 = 𝜔𝑛+

𝜔 = −𝜔𝑛+ 𝜔 = −𝜔𝑛

−

Esempio 5

• Modello dinamico del Pendolo inverso

• Linearizzazione attorno al punto di lavoro 𝜃, 𝜃 = (0,0)

• Funzione di trasferimento Posizione-Coppia Motrice

Esempio 5 (2)

• 𝐹 𝑗𝜔 =−0.1⋅𝑘

1−𝑠

2⋅ 1+

𝑠

5

• 𝑝𝐹 = 1

• Partenza

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) = 0.1 ⋅ 𝑘

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 = arg −0.1 ⋅ 𝑘 = −𝜋

• Arrivo

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) =1

∞2 = 0

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 =arg −0.1 ⋅ 𝑘 −𝜋

2+

𝜋

2= −𝜋

-1

-0.1k

Il sistema sarà stabile 𝑘 > 𝑘 in quanto per tale condizione

𝑁 = 1 per qualsiasi valore di

𝑝𝑊 = 𝑝𝐹 − 𝑁 = 1 − 1 = 0

Esempio 6 (1)

• 𝐹 𝑠 =𝑠

𝑠−1 2

Esempio 6 (1)

• 𝐹 𝑠 =𝑠

𝑠−1 2

• 𝑝𝐹 = 2

• Partenza

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) = 0

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 = arg 1 +𝜋

2= +

𝜋

2= −

3

2⋅ 𝜋

• Arrivo

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) =1

∞2 = 0

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 =arg 1 +𝜋

2+ 2 ⋅

𝜋

2 = −

𝜋

2

-1

Il sistema sarà stabile 𝑘 > 𝑘 in quanto per tale condizione

𝑁 =2 per qualsiasi valore di

𝑝𝑊 = 𝑝𝐹 − 𝑁 = 2 − 2 = 0

Esempio 7 (1)

• 𝐹 𝑠 =1+𝑠2

(𝑠+4)(𝑠+2)(𝑠−2)

Esempio 7 (2)

• 𝐹 𝑠 =1+𝑠2

(𝑠+4)(𝑠+2)(𝑠−2)=

1+s2

−16⋅ 1+𝑠

41+

𝑠

21−

𝑠

2

• 𝑝𝐹 = 1

• Partenza

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) =1

16

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 = arg −1

16= −𝜋

• Arrivo

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) =∞2

∞3 = 0

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 =arg −1

16+ 2 ⋅

𝜋

2− 2 ⋅

𝜋

2+

𝜋

2 = −

𝜋

2

Esempio 7 (3)

Il sistema sarà sempre instabile,

∀ 𝑘 < 16, 𝑁 = 0 ⇒ 𝑝𝑊 = 𝑝𝐹 − 𝑁 = 1,

∀ 𝑘 > 16,𝑁 = −1 ⇒ 𝑝𝑊 = 𝑝𝐹 − 𝑁 = 2

-1/16

∞+

∞− 0+

Per 𝜔 = 𝜔𝑧 =1, il diagramma di Nyquist passerà per l’origine essendo questa la frequenza naturale degli zeri

La presenza di tali zeri comporterà anche un cambiamento repentino di fase che porterà il diagramma dal III° al I° quadrante

I° II°

III° IV°

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