Sistemi e Tecnologie della Comunicazione

Lezione 5: strato fisico: limitazione di banda, formula di Nyquist; caratterizzazione del canale in frequenza

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Rappresentazione spettrale di un segnale

Il grafico delle ampiezze rispetto alle frequenze di cui e’ composto il nostro segnale si chiama rappresentazione spettrale

Le righe della rappresentazione spettrale mostrano il contributo alla ampiezza del segnale dovuto alle relative frequenze

Se il segnale ha un valore medio non nullo (cioe’ il coefficiente a0 non e’ nullo) il segnale ha una componente continua (a frequenza nulla)

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Spettri continui e discreti

Una funzione periodica e’ esprimibile come somma di funzioni sinusoidali a frequenze che sono multipli interi della frequenza del segnale, quindi ha uno spettro discreto, cioe’ costituito da un insieme discreto di frequenze

Una funzione non periodica e’ esprimibile come integrale di funzioni sinusoidali; le sue componenti possono avere qualsiasi frequenza, quindi avra’ uno spettro continuo

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Esempio di spettro continuo

Il segnale di impulso quadro di ampiezza A e periodo T ha per trasformata di Fourier la funzione

il cui spettro e’ mostrato in figura

Tf

TfATfS

sin

)(

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Potenza di un segnale

Si definisce potenza media del segnale periodico la quantita’:

In base alle trasformazioni di Fourier, si puo’ dimostrare che la potenza media del segnale periodico e’ data da (teorema di Parseval):

Spesso la rappresentazione spettrale viene fatta graficando il modulo dei coefficienti di Fourier dello sviluppo, evidenziando il contributo alla potenza del segnale dovuto alle diverse armoniche

Al limite per n ∞ il contributo alla potenza delle armoniche tende a zero (altrimenti la potenza sarebbe infinita) quindi i contributi principali vengono dalle armoniche piu’ basse

T

dttfT

P0

21

1

222

02

2 nnn

nn ba

acP

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Spettro dei contributi alla potenza

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Larghezza di banda di un segnale

La larghezza di banda di un segnale e’ data dall’intervallo delle frequenze di cui e’ composto il suo spettro

Generalmente un segnale ha banda infinita Tuttavia spesso la potenza del segnale e’

contenuta per la maggior parte in un insieme limitato di frequenze

Questo intervallo limitato di frequenze si dice banda efficace del segnale

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Limitazione della banda in trasmissione

Nella trasmissione dei segnali e’ impossibile trasmettere tutte le frequenze di cui e’ composto il segnale stesso

Il mezzo trasmissivo, la tecnologia che genera il segnale o scelte volontarie impongono una limitazione alla banda utilizzabile

La trasmissione di un numero limitato delle armoniche del segnale fa si che in ricezione il segnale apparira’ differente

Maggiore e’ il numero di armoniche trasmesse, migliore apparira’ il segnale in ricezione

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Effetto della limitazione di banda

Il segnale che rappresenta il carattere di 8 bit avra’ un periodo di 8/2000 secondi, quindi una frequenza fondamentale pari a 250 Hz

La trasmissione su un canale con banda limitata permettera’ di trasmettere solo le prime armoniche

Vediamo nella figura seguente come un canale con 2 KHz di banda (8 armoniche) permette una ricostruzione agevole del segnale inviato, mentre un canale con banda ridotta a 500 Hz (2 armoniche) rende molto piu’ problematica la ricostruzione dei bit trasmessi, che diventa impossibile lasciando passare solo la prima armonica

Supponiamo di voler trasmettere ripetutamente il carattere ASCII ‘B’, che secondo la codifica e’ dato dalla sequenza di bit 01100010, ad una velocita’ di trasferimento di 2000 bps

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Effetti della limitazione di banda

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Velocita’ di trasmissione e larghezza di banda

Da questo esempio possiamo intuire come la presenza di un canale a banda limitata di fatto limita la velocita’ di trasmissione dati ottenibile sul canale

Supponiamo di avere una linea telefonica, la cui larghezza di banda e’ circa 3.1 KHz, e di trasmettere il carattere di prima alla velocita’ di B bit al secondo

La frequenza del segnale (cioe’ la frequenza della prima armonica) sara’ B/8 Hz

Ne segue che l’armonica piu’ alta che potra’ attraversare il canale avra’ n=3000/(B/8), cioe’ 24000/B.

Da questo consegue che, ad esempio, una trasmissione a 9600 bps lascera’ passare soltanto le prime due armoniche, compromettendo la ricostruibilita’ dei bit in ricezione, mentre una trasmissione a 2400 o 4800 bps sara’ efficace.

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Formula di Nyquist

Nyquist ha dimostrato una relazione tra la velocita’ massima di trasmissione attraverso un canale senza rumore ed a banda limitata in funzione della larghezza di banda:

il tasso di trasmissione dati massimo ottenibile attraverso un canale privo di rumore con larghezza di banda H e’ dato da

Se si trasmettono segnali multilivello, con molteplicita’ M, il tasso di trasmissione massimo e’ dato da:

bit/s HB 2

bit/s Mlog22 HB

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Una linea di trasmissione dati puo’ essere vista come un circuito che fa corrispondere ad un segnale in ingresso un segnale in uscita

Il comportamento di un circuito viene descritto dalla sua risposta in frequenza, vale a dire dalle caratteristiche del segnale in uscita in corrispondenza ad un segnale sinusoidale in ingresso

Si definisce funzione di trasferimento il rapporto tra il segnale in uscita e quello in ingresso, che in genere dipendera’ dalla frequenza del segnale in ingresso

Linee di trasmissione e circuiti

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Circuiti lineari

Un circuito lineare soddisfa le seguenti caratteristiche: detto I il segnale di ingresso e U il segnale in uscita:

U = f(I) f(I1+I2) = f(I1)+f(I2) f(aI) = af(I)

Il criterio di linearita’ implica che la risposta di un circuito lineare ad un segnale sinusoidale sara’ un segnale sinusoidale alla stessa frequenza, con fase ed ampiezza eventualmente differenti

L’effetto del circuito sul segnale di ingresso cambiera’ al variare della frequenza del segnale di ingresso

Il comportamento in funzione della frequenza e’ la caratterizzazione del circuito in frequenza (cioe’ la definizione di come variano l’ampiezza e la fase dell’uscita in funzione della frequenza)

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Root Mean Square Amplitude

La potenza di un segnale sinusoidale del tipo:

dove V e’ l’ampiezza ed f la frequenza, e’ data da:

Il valore

e’ detto ampiezza quadratica media del segnale Ad esempio, l’alimentazione elettrica domestica e’

data da un segnale di tensione a 50 Hz, con VRMS=220 volt

)sin( ftVtv 2

2

1 22

0

Vdttv

TP

T )(

22

2 VVV RMS

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Decibel

Per confrontare potenze o ampiezze si fa utilizzo di una misura del loro rapporto in scala logaritmica, detto decibel:

In caso di segnali sinusoidali, il decibel si puo’ esprimere come:

Ad esempio:

1

210P

PdB log

1

221

22 2010

V

V

V

VdB loglog

RMS

RMS

dB . dB, . dB, 350201020101

2

1

2

1

2 V

V

V

V

V

V

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Diagrammi di Bode La rappresentazione grafica della funzione di

trasferimento e’ realizzata tipicamente graficando il suo modulo in dB in funzione della frequenza, usualmente in scala logaritmica (diagramma di Bode)

e la sua fase, anch’essa in funzione della frequenza sempre espressa in scala logaritmica

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Esmpio: circuito RC

Come esempio, calcoliamo la funzione di trasferimento di un circuito RC misurando la tensione in uscita ai capi del condensatore;qui ed in seguito si esprimera’ la frequenza in termini di pulsazione:

RCHArgCR

H

CiR

V

CiV

evV tii

arctan)(

inout

in

2221

1

11

f 2

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Diagramma del circuito RC

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Frequenza di taglio

Il circuito RC di esempio lascia passare pressoche’ inalterate le frequenze inferiori ad un certo valore, mentre attenua l’ampiezza di quelle superiori

Il circuito si comporta quindi come un filtro che elimina le alte frequenze

I filtri di questo tipo si chiamano filtro passa basso Si definisce frequenza di taglio la frequenza per la

quale si ha un valore di -3dB del rapporto tra le ampiezze (corrispondente al dimezzamento del livello del segnale)

Nel caso del circuito RC visto ora, la frequenza di taglio corrisponde alla frequenza

RCc

1

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Filtro passa alto

Analizzando la risposta ad un circuito RC misurando la tensione ai capi della resistenza si ha:

RCHArg

CR

H

CiR

VRV

evV tii

1

11

1

1

222

arctan)(

inout

in

22

Filtro passa alto

In questo caso le frequenze che passano inalterate sono quelle alte, mentre vengono filtrate le basse frequenze

La frequenza di taglio, valutata sempre come la frequenza a -3 dB, vale ancora

RCc

1

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Diagramma filtro passa alto

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Filtro passa banda

Un filtro passa banda e’ un circuito che lascia passare solo le frequenze entro un certo intervallo

In questo caso avremo due frequenze di taglio, e si definisce banda passante del circuito:

12 B

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Canali trasmissivi come filtri

Un canale trasmissivo e’ sostanzialmente un circuito dotato della sua funzione di trasferimento

Le condizioni ideali per la trasmissione dati e’ che la funzione di trasferimento abbia le seguenti caratteristiche: Modulo di H costante ed indipendente dalla

frequenza (per non alterare in ricezione il rapporto di intensita’ delle diverse armoniche del segnale)

Fase di H funzione lineare della frequenza. Infatti:

tt

tatatA

quindi da teindipenden essere deve che ritardo il e' dove

sinsinsin

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Esempio di canale ideale

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Effetti della non linearita’ Un circuito la cui risposta non sia lineare presenta un

comportamento che non puo’ essere descritto come abbiamo visto

Per dare una idea di cosa puo’ accadere, in approssimazione di piccoli segnali di input la risposta (temporale) puo’ essere approssimata da un polinomio

L’effetto dei termini non lineari si evidenzia nel caso di segnale sinusoidale in ingresso: ponendo

si ottengono in uscita termini a frequenza 2ω, 3ω, 4ω, …, cioe’ armoniche della frequenza del segnale in ingresso

...)()()()( tvatvatvatv iiio3

32

21

)cos()( tvtvi