Lezione 0313 ottobre 2015 Laboratorio di strumentazione spaziale I

Analisi di segnali variabili nel tempo: la trasformata di Fourier

Aniello (a.k.a. Daniele) Mennella

Università degli Studi di Milano Dipartimento di Fisica

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Serie di Fourier

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Una funzione continua di una variabile, f (t), periodica e di periodo 2π, può essere rappresentata come una serie di funzioni trigonometriche (seno e coseno).

Funzione di periodo 2π

Termine costante Sommatoria su funzioni armoniche

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I coefficienti an e bn della serie sono dati da:

Coefficienti di Fourier (periodo 2π)

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Se la funzione è periodica su un periodo qualunque P = 2h possiamo ricondurci al caso precedente effettuando un cambio di variabile x (→ h / π) t da cui otteniamo t π → x / h

Funzione di periodo P = 2h

Lo sviluppo in serie assume la forma

Con coefficienti

Lezione 0426 ottobre 2015 Laboratorio di strumentazione spaziale I

Esempio: y = x/2

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Trasformata di Fourier

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La trasformata continua

Consideriamo una funzione continua definita sull'insieme dei numeri reali, f(t). Possiamo definire la seguente funzione, F( ), ωdenominata trasformata di Fourier.

Se la variabile t rappresenta un tempo allora è la ωcorrispondente frequenza angolare, ovvero 2πf, dove f, è una frequenza.

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Legame con la serie di Fourier

Se consideriamo le frequenze discrete che definiscono la serie di Fourier abbiamo ωn = π n / h per cui risulta evidente che, per una funzione periodica, si ha:

La trasformata di Fourier è strettamente collegata ai coefficienti della serie di Fourier. Se f(t) è periodica di periodo 2h, infatti, allora F( ) è definita nell'intervallo [-ω h, h]:

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Consideriamo, ora, una funzione definita soltanto in N punti equispaziati in un intervallo [0, T0].

La trasformata discreta

L'intervallo temporale fra i vari punti è δt = T0 / (N – 1). La funzione, pertanto, sarà definita solo nei punti {t0 = 0,     t1 =   δt, …,   tk =   k δt, …, t  N – 1 =   (N – 1) δt}.

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La trasformata discretaLa funzione, in questo caso, può essere descritta come una serie di impulsi (matematicamente delle funzioni delta di Dirac) agli istanti tk. La trasformata di Fourier, in questo caso, diventa:

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Le frequenzePoiché la funzione è definita solo in un insieme finito di istanti, anche i valori delle frequenze nei quali è definita la trasformata di Fourier discreta saranno in numero finito e pari a N

Alla lista dei tempi tk corrisponde una lista analoga di frequenze, νk data da: {ν0 = 0,     ν1 = 1 / (N     δt), …,   νk =  k   / (  N t)δ , …,   νN – 1 = (N-1) / (    N δt) }. dove la frequenza ν0 = 0 corrisponde alla componente continua del segnale (ovvero al suo valor medio)

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Le frequenzePoiché la funzione è definita solo in un insieme finito di istanti, anche i valori delle frequenze nei quali è definita la trasformata di Fourier discreta saranno in numero finito e pari a N

Alla lista dei tempi tk corrisponde una lista analoga di frequenze, νk data da: {ν0 = 0,     ν1 = 1 / (N     δt), …,   νk =  k   / (  N t)δ , …,   νN – 1 = (N-1) / (    N δt) }.

dove la frequenza ν0 = 0 corrisponde alla componente continua del segnale (ovvero al suo valor medio)

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PeriodicitàLa frequenza più bassa (diversa da zero) è ν1 = 1 / (    N δt). Questa corrisponde all'inverso del periodo principale del segnale.

Se il segnale non è periodico, ma è definito su un intervallo temporale finito [0, T0], la trasformata di Fourier discreta assume comunque che il segnale sia periodico e di periodo principale T0.

ecceteraeccetera

T0

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Trasformata diretta e inversaLa trasformata di Fourier diretta (che trasforma un segnale dal dominio del tempo a quello delle frequenze) è, pertanto:

Si può dimostrare che la trasformata di Fourier inversa (che trasforma un segnale dal dominio delle frequenze a quello del tempo) è:

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EsempioConsideriamo l'esempio precedente senza il termine t2 e campioniamo 51 punti nell'intervallo [0 s, 10 s]

1 Hz 2 Hz 0 Hz (termine DC)

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Modulo della trasformata di Fourier

Anche se la funzione di partenza è una funzione reale di variabile reale, la trasformata di Fourier assume valori complessi. Il modulo di ciascun elemento è legato all'ampiezza di ciascuna componente di Fourier.

Componente a 1 Hz di ampiezza 0.87

Componente a 2 Hz di ampiezza 1.19

1 Hz 2 HzTermine DC di ampiezza 5 DC

Che frequenze sono?

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Il teorema di Nyquist

Il teorema di Nyquist dice che se vogliamo descrivere il segnale analogico senza introdurre errori allora dobbiamo campionarlo a una frequenza almeno doppia rispetto alla frequenza massima del segnale: νc > 2νmax. La frequenza νNy = νc / 2 è detta frequenza di Nyquist

Nel nostro caso la frequenza massima è data da νmax = 2 Hz e il segnale è campionato a νc = 5 Hz, per cui il teorema è marginalmente soddisfatto. La frequenza di Nyquist è νNy = 2.5 Hz.

Quando campioniamo un segnale continuo in modo discreto perdiamo delle informazioni.

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Il teorema di Nyquist

È facile notare che la trasformata di Fourier è simmetrica rispetto a νNy, per cui i picchi a > ν νNy non sono altro che le immagini speculari dei picchi a frequenza inferiore. Lo spettro, pertanto, ha senso rappresentarlo per ν ≦ νNy moltiplicando per un fattore 2 tutti gli elementi aventi frequenza non nulla.

Il teorema di Nyquist ci suggerisce anche il significato dei picchi a frequenze maggiori di νNy

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Spettro di ampiezza

1 Hz 2 Hz DCTermine DC di ampiezza 5

OK

Componente a 1 Hz di ampiezza 1.74

Non OK

Componente a 2 Hz di ampiezza 2.38

Non OK

Ampiezza non nulla

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Leakage

È un effetto che si ha quando il segnale è poco campionato (anche se viene rispettata la condizione di Nyquist)

Si creano delle componenti a frequenze spurie a spese delle componenti effettivamente presenti nel segnale

Proviamo ora a effettuare la stessa analisi campionando a 50 Hz, per cui la frequenza di Nyquist (la frequenza massima significativa) è 25 Hz

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Effetto del campionamento

1 Hz 2 Hz DC

OK

OK

OK

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AliasingCosa succede se campioniamo con una frequenza che non rispetta la condizione di Nyquist? Consideriamo ancora il nostro esempio, effettuando un campionamento a 3.5 Hz (la condizione di Nyquist richiede che νc > 4 Hz)

Appare una componente che non esiste nel segnale originale. È un alias della componente a 2 Hz

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AliasingCalcoliamo in dettaglio le caratteristiche di questo fenomeno. Consideriamo una generica componente sinusoidale a frequenza νcampionata a una frequenza νc. La frequenza di Nyquist è νNy = νc/2 = 1 / (2 δt)

Possiamo esprimere la frequenza del segnale come = (ν p+q)/(2 δt), che possiamo anche scrivere = (ν p+q) νNy. p è un intero e q è un numero frazionario (< 1). È immediato verificare che se p = 0 allora la condizione di Nyquist è soddisfatta. Consideriamo il caso di p ≠ 0.

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AliasingCalcoliamo in dettaglio le caratteristiche di questo fenomeno. Consideriamo una generica componente sinusoidale a frequenza νcampionata a una frequenza νc. La frequenza di Nyquist è νNy = νc/2 = 1 / (2 δt)

Possiamo esprimere la frequenza del segnale come = (ν p+q)/(2 δt), che possiamo anche scrivere = (ν p+q) νNy. p è un intero e q è un numero frazionario (< 1). È immediato verificare che se p = 0 allora la condizione di Nyquist è soddisfatta. Consideriamo il caso di p ≠ 0.

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AliasingEspandiamo la funzione sin(π(p+q)k)

= 0 se p è intero

Abbiamo che

p pari

p dispari

due

casi

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Aliasing

Se p è pari allora cos(π p k) = 1

La frequenza originale appare nello spettro alla frequenza ν ν1, pari a q volte la frequenza di Nyquist

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Aliasing

Se p è dispari allora cos(π p k) = cos(π k) = (-1)k

Analogamente al caso di p pari si vede che la frequenza originale νappare nello spettro alla frequenza ν2 = (1-q) / 2δt = (1 – q) νNy.

= 0 perché sin(π k  ) = 0

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EsempioFrequenza di campionamento

νs = 3.5 Hz = 7/2 Hz

Frequenza di Nyquist

νNy

= 7/4 Hz

Frequenza più alta del segnale

ν = 2 Hz

da cui risulta evidente che p = 1 e q = 1/7       

Poiché p è dispari si ha che la frequenza di 2 Hz la ritroviamo nello spettro a ν2 = (1 – q)νNy= = (1-1/7) x 7/4 Hz = 3/2 Hz

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EsempioFrequenza di campionamento

νs = 3.5 Hz = 7/2 Hz

Frequenza di Nyquist

νNy

= 7/4 Hz

Frequenza più alta del segnale

ν = 2 Hz

da cui risulta evidente che p = 1 e q = 1/7       

Poiché p è dispari si ha che la frequenza di 2 Hz la ritroviamo nello spettro a ν2 = (1 – q)νNy= = (1-1/7) x 7/4 Hz = 3/2 Hz