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Analisi delle seriestoriche

Introduzione 5811.1 L’importanza della previsione a livello aziendale 58

11.2 Il modello moltiplicativo classico delle serie storiche 59

11.3 Livellamento di una serie storica annuale 61

11.4 Il metodo dei minimi quadrati e la previsione 71

11.5 Modelli autoregressivi per la determinazione del trend e per la previsione 84

11.6 Scelta del modello di previsione 93

11.7 Analisi di serie storiche a cadenza mensile o trimestrale 97

11.8 Validità e limiti dei metodi di analisi delle serie storiche 106

Riepilogo del capitolo 107A11.1 L’uso di Microsoft Excel per l’analisi delle serie storiche 114

◆57

11

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OBIETTIVI DEL CAPITOLO

✓ Presentare un modello classico per l’analisi delle serie storiche✓ Introdurre una varietà di modelli per la previsione con dati a cadenza annuale✓ Sviluppare modelli previsivi per dati trimestrali o mensili

IntroduzioneNei precedenti capitoli sono stati introdotti e discussi modelli di regressione lineareassai utili a scopi previsivi. Abbiamo visto come l’analisi basata sulla regressionepossa costituire un valido supporto nel processo decisionale aziendale. In questocapitolo introdurremo e approfondiremo il concetto di serie storica, molto impor-tante nell’ambito della pianificazione e controllo.

Inizieremo presentando serie storiche a cadenza annuale e introducendo due tec-niche di livellamento (“smussamento”) per serie siffatte: medie mobili e livella-mento (o smorzamento) esponenziale (paragrafo 11.3). Il discorso toccherà poialcune importanti tecniche di interpolazione e previsione per serie annuali, dalmetodo dei minimi quadrati (paragrafo 11.4) a metodologie più avanzate (paragrafo11.5). Gli stessi metodi saranno poi estesi e adattati all’analisi di serie storiche acadenza mensile e trimestrale e in particolare al problema della valutazione dellacomponente stagionale (paragrafo 11.7).

◆ APPLICAZIONE: Previsione delle entrate lorde annuali presso la società Eastman Kodak

La Eastman Kodak è una delle più importanti società nel campo dell’immagine a livellomondiale. I suoi principi sono: la produzione su vasta scala a basso costo, la distribuzioneinternazionale dei prodotti, l’uso massiccio della pubblicità e l’attenzione nei confronti delconsumatore. I livelli direttivi della Eastman Kodak hanno capito l’importanza della ricercae della continua e accurata analisi dei risultati in termini di performance della società, fon-damentali quando si ha come obiettivo quello di diventare leader nel settore. Nei paragrafi11.4 e 11.5 di questo capitolo saranno presentati i dati relativi alle entrate lorde annuali dellasocietà nel periodo compreso fra il 1975 e il 1998, che verranno utilizzati per fare delle pre-visioni. Un’analisi di questo tipo può essere di grande aiuto al management della società percomprendere l’evoluzione storica e gli eventuali cambiamenti nei livelli di performance con-seguiti, per individuare concretamente la posizione ricoperta dalla Eastman Kodak all’in-terno del settore e per valutare gli effetti futuri di alcune strategie che la società può deci-dere di adottare. ◆

Poiché le condizioni economiche e del mercato cambiano continuamente nel corso deltempo, gli operatori aziendali devono essere in grado di valutare e prevedere gli effetti ditali cambiamenti sulla salute dell’azienda. È quindi necessario sviluppare delle tecniche diprevisione in grado di supportare le scelte e le strategie dell’azienda.

L’esigenza di fare previsioni caratterizza in un certo senso le società moderne. I governidevono essere in grado di prevedere l’andamento di fenomeni quali la disoccupazione, l’in-flazione, la produzione industriale, il gettito fiscale per poter adottare politiche sociali efiscali corrette; i responsabili del marketing all’interno di una società devono riuscire a

58 CAPITOLO 11 ANALISI DELLE SERIE STORICHE

◆11.1 L’IMPORTANZA DELLA PREVISIONE A LIVELLO AZIENDALE

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prevedere la domanda del prodotto, il volume delle vendite, l’evoluzione dei gusti del con-sumatore per poter adottare corrette decisioni di politica aziendale; l’amministrazione diun’università deve essere in grado di prevedere l’ammontare delle iscrizioni sulla base delleproiezioni della popolazione e di altri elementi a sua disposizione per poter progettare glispazi, le strutture (mensa, pensionato).

Tipi di metodi di previsioneGli approcci alla previsione sono essenzialmente due: un approccio qualitativo e un approc-cio quantitativo. I metodi di previsione qualitativi devono essere adottati quando non sidispone di dati storici, per esempio se si vogliono prevedere le entrate di una nuova società.Si tratta naturalmente di metodi altamente soggettivi. Tra le più importanti tecniche di pre-visione qualitative devono essere ricordate il factor listing method, l’expert opinion, e laDelphi technique (riferimento bibliografico 4).

Le tecniche di previsione quantitative al contrario si basano proprio sull’uso di datistorici, dai quali l’analista cerca di comprendere la struttura sottostante del fenomeno perpoi utilizzarla a scopi previsivi.

A loro volta i metodi di previsione quantitativi possono rientrare in due macro-catego-rie: metodi basati sulle serie storiche e metodi aleatori. I primi consistono nell’effettuareprevisioni sull’andamento futuro di una variabile sulla base delle realizzazioni passate e pre-senti della variabile in questione.

Esempi di serie storica possono essere rappresentati dai prezzi di chiusura giornalieri diun’azione, dalle pubblicazioni mensili dell’indice dei prezzi al consumo, dai valori trime-strali del prodotto interno lordo oppure dai volumi di vendite annuali realizzati da una certasocietà.

I metodi di previsione aleatori consistono nella determinazione di fattori legati allavariabile di cui si vuole effettuare la previsione. Tali metodi includono la regressione mul-tipla con variabili ritardate, i modelli econometrici, gli indici di diffusione e altri metodiche vanno oltre gli scopi di questo testo (riferimenti bibliografici 5 e 8). Ci concentriamoquindi sull’analisi delle serie storiche.

Alla base dell’analisi delle serie storiche vi è l’assunzione secondo cui i fattori che hannoinfluenzato l’andamento della serie nel passato e nel presente continuino a esercitare effettianaloghi anche nel futuro. Di conseguenza l’analista non deve fare altro se non individuaree isolare tali fattori per effettuare previsioni e quindi indirizzare l’attività di pianificazionee controllo aziendali. A tale scopo gli statistici hanno elaborato diversi modelli per disag-gregare la serie nelle sue componenti; in questo testo verrà approfondito il modello clas-sico moltiplicativo, che sarà utilizzato a scopi previsivi.

Consideriamo a titolo di esempio la serie storica delle entrate lorde realizzate dallasocietà Eastman Kodak nel periodo di tempo compreso fra il 1975 e il 1998 (Figura 11.1).Volendo dare una prima caratterizzazione dei dati, osserviamo che i valori in questionehanno manifestato una tendenza all’aumento nei 24 anni considerati: questa tendenza dilungo termine all’incremento o al decremento dei valori della serie prende il nome di trend.

Chiaramente il trend non esaurisce le informazioni rilevanti sulla serie in questione (oqualsivoglia serie storica) a meno che i dati non si trovino esattamente su una linea retta.Altre due componenti (o fattori) di estrema importanza sono la componente ciclica e quella

Serie Storica

Una serie storica è un insieme di dati numerici registrati ad intervalli regolari ditempo.

IL MODELLO MOLTIPLICATIVO CLASSICO DELLE SERIE STORICHE 59

◆11.2 IL MODELLO MOLTIPLICATIVO CLASSICO DELLE SERIE STORICHE

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irregolare. La componente ciclica spiega gli scostamenti verso l’alto o verso il basso deidati rispetto al trend; tali scostamenti possono avere diverse durate, ma solitamente coin-volgono un periodo di tempo compreso fra due e dieci anni. I movimenti ciclici differi-scono anche nell’intensità oltre che nella durata e sono spesso strettamente legati ai ciclieconomici. In via residuale rispetto alle componenti cicliche e di trend è possibile indivi-duare l’ultima componente della serie, la componente irregolare o casuale. Infine, quandoi dati non hanno una cadenza annuale e ci troviamo di fronte ad esempio a dati mensili otrimestrali, è necessario tenere conto di un quarto fattore: la stagionalità (equazione (11.2)).

Nella Tabella 11.1 sono riassunte le quattro componenti. Nel modello moltiplicativo classico ciascun punto della serie storica è visto come prodottodi queste quattro componenti, come sintetizzato nelle equazioni (11.1) e (11.2) rispettiva-mente per serie storiche annuali e infra-annuali.


Modello moltiplicativo classico per serie storiche annuali

(11.1)

Dove, nell’anno i

Ii � valore della componente irregolare

Ci � valore della componente ciclica

Ti � valore della componente di trend

Yi � Ti � Ci � Ii

FIGURA 11.1Andamento delle entrate lorde (in milioni di dollari)realizzate dalla societàEastman Kodak nel periodo compreso fra il 1975 e il 1998. Grafico ottenuto in Microsoft Excel.

Modello moltiplicativo classico per serie storiche infra-annuali

(11.2)

Dove, con riferimento al periodo i (mese o trimestre)

Ti � valore della componente di trendCi � valore della componente ciclicaIi � valore della componente irregolare

Si � valore della componente stagionale

Yi � Ti � Si � Ci � Ii

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Il primo passo nell’analisi di una serie storica consiste nella rappresentazione grafica deivalori, dalla quale si possono trarre le prime considerazioni di carattere qualitativo sullaserie. Osservando un grafico, infatti, è possibile intuire se i valori della serie manifestinoun trend di lungo periodo oppure oscillino intorno a un’immaginaria linea orizzontale, paral-lela all’asse dei tempi. Nel paragrafo 11.3 saranno presentate alcune tecniche di livella-mento adatte a cogliere le tendenze di lungo periodo in serie storiche che non presentanoun andamento di trend. In particolare saranno discusse le tecniche di livellamento espo-nenziale e il metodo basato sulla costruzione di medie mobili. Nei paragrafi successivivedremo invece alcuni modi per affrontare l’analisi delle serie storiche che seguono untrend, in particolare allo scopo di effettuare previsioni. Nei Paragrafi 11.4 e 11.5 ci occu-peremo di serie storiche annuali, mentre nel paragrafo 11.7 ci concentreremo sui metodi diprevisione per dati mensili e trimestrali.

Nella Tabella 11.2 e nella Figura 11.2 sono rappresentate le vendite annuali della GeneralMotors Corporation (GM) nei 24 anni compresi tra il 1975 e il 1998. Esaminando il gra-fico è difficile stabilire se i valori della serie seguano un trend di lungo periodo, poiché leforti oscillazioni di breve periodo complicano l’impressione d’insieme. In situazioni di que-sto tipo si rivelano di particolare utilità le tecniche di livellamento a cui si è accennatoprima, in grado di favorire una corretta visione delle tendenze di lungo periodo.

Le medie mobiliIl metodo di livellamento basato sulle medie mobili rappresenta una tecnica altamente sog-gettiva, in quanto dipende dalla lunghezza del periodo scelto per la costruzione delle medie.Volendo eliminare le fluttuazioni cicliche della serie, l’analista deve in qualche modo sti-mare la durata media dei cicli all’interno della serie e sulla base di questa stima procedereal calcolo delle medie mobili. Ma vediamo in dettaglio in cosa consiste una media mobile.

LIVELLAMENTO DI UNA SERIE STORICA ANNUALE 61

Componenti di una serie storica

CLASSIFICAZIONE MOTIVI

COMPONENTE DELLA COMPONENTE DEFINIZIONE DI INFLUENZA DURATA

Tabella 11.1

Trend

Stagionale

Ciclica

Irregolare

Sistematica

Sistematica

Sistematica

Nonsistematica

tendenza di lungo termineall’incremento o al decrementodei valori della serie

Fluttuazioni periodiche regolariche si ripetono annualmente

Scostamenti verso l’alto overso il basso dei dati rispettoal trend, secondo le fasi di prosperità (picchi positivi),contrazione (dal picco versoil basso), depressione (in discesa verso un picconegativo), ripresa (dal picconegativo verso l’alto)

Fluttuazione “residua” di una serie una volta depurata dalle componentisistematiche

Cambiamentinella tecnologia, nella popolazione, nella ricchezza o nel valore

Condizioni climatiche, usi ecostumi sociali e religiosi

Interazione di diversi fattorieconomici

variazioni nei dati dovute al caso oppure ad eventistraordinari quali scioperi,uragani, alluvioni, assassini politici e così via

diversi anni

12 mesi (solo perdati infra-annuali)

Solitamente da 2 a 10 anni

breve durata

◆11.3 LIVELLAMENTO DI UNA SERIE STORICA ANNUALE

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Supponiamo ad esempio di voler calcolare una media mobile con un periodo di 5 anni suuna serie di 11 anni. Essendo L = 5 anni, le medie mobili corrispondenti consisteranno inuna serie di medie che coinvolgono sequenze consecutive di 5 osservazioni. La prima ditali medie si ottiene quindi sommando i primi 5 valori della serie e dividendo per 5:

La seconda media coinvolge i valori della serie dal secondo al sesto:

MA(5) � Y2 � Y3 � Y4 � Y5 � Y6

5

MA(5) � Y1 � Y2 � Y3 � Y4 � Y5

5

Una media mobile di periodo L consiste in una serie di medie aritmetiche calcolatesu sequenze di valori osservati di lunghezza L. Indichiamo con MA(L) una mediamobile di periodo pari a L.


Vendite (in milioni di unità) realizzate dalla General Motors Corporation (1975-1998)

ANNO VENDITE ANNO VENDITE ANNO VENDITE

1975 6.6 1983 7.8 1991 7.4

1976 8.6 1984 8.3 1992 7.7

1977 9.1 1985 9.3 1993 7.8

1978 9.5 1986 8.6 1994 8.4

1979 9.0 1987 7.8 1995 8.3

1980 7.1 1988 8.1 1996 8.4

1981 6.8 1989 7.9 1997 8.81982 6.2 1990 7.5 1998 8.1

Nota: Le vendite sono quelle derivanti da qualunque fonte: macchina, camion, autobus e stabilimentod’oltremare.

Fonte: Moody’s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993 and annual reports. Reprinted bypermission of Financial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc.

Tabella 11.2

FIGURA 11.2Rappresentazione grafica delle vendite (in milioni di unità) realizzate dalla GeneralMotors Corporation(1975-1998).Fonte: dati della Tabella 11.2.

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Questo processo continua fino al calcolo dell’ultima media che sarà data da:

Quando si ha a che fare con dati annuali, è conveniente che L (lunghezza del periodo diriferimento per il calcolo delle medie mobili) sia un numero dispari.

Tracciando il grafico delle medie, ciascun valore ottenuto come media deve essere inse-rito nel punto centrale della sequenza di tempi coinvolti nella media. Nel nostro caso peresempio, la prima media mobile sarà centrata nel terzo anno, la seconda nel quarto e cosìvia fino all’ultima che si troverà in corrispondenza del nono anno della serie. In questomodo è evidente che la serie delle medie non coinvolgerà i primi due e gli ultimi due annicoperti dai dati (in generale si perdono i primi (L–1)/2 e gli ultimi (L–1)/2 periodi).

Calcolo di una media mobile con un periodo di 5 anni

I seguenti dati rappresentano le entrate realizzate da una società negli 11 anni compresi frail 1987 e il 1997.

4.0 5.0 7.0 6.0 8.0 9.0 5.0 2.0 3.5 5.5 6.5

Si calcolino le medie mobili di periodo 5 per questa serie.

SOLUZIONE

Le 7 medie si ottengono nel modo seguente:

e devono essere centrate negli anni dal terzo al nono.

Nella pratica, le medie mobili di una serie di dati vengono determinate ricorrendo all’au-silio di software (ad esempio, Microsoft Excel) per evitare di perdersi in noiosi calcoli. Nella Tabella 11.3 sono rappresentate le vendite annuali della General Motors nei 24 annicompresi fra il 1975 e il 1998 insieme con le corrispondenti medie mobili di ampiezza 3 e7. Le stesse sono state anche rappresentate nella Figura 11.3. Osserviamo che nella serierappresentata nella colonna C (media mobile di ordine 3) mancano il primo e l’ultimovalore, mentre in quella in colonna D (media mobile di ordine 7) i valori mancanti sono iprimi tre e gli ultimi tre.

MA(5) �Y7 � Y8 � Y9 � Y10 � Y11

5�

5.0 � 2.0 � 3.5 � 5.5 � 6.5

5�

22.5

5� 4.5

MA(5) �Y6 � Y7 � Y8 � Y9 � Y10

5�

9.0 � 5.0 � 2.0 � 3.5 � 5.5

5�

25.0

5� 5.0

MA(5) �Y5 � Y6 � Y7 � Y8 � Y9

5�

8.0 � 9.0 � 5.0 � 2.0 � 3.5

5�

27.5

5� 5.5

MA(5) �Y4 � Y5 � Y6 � Y7 � Y8

5�

6.0 � 8.0 � 9.0 � 5.0 � 2.0

5�

30.0

5� 6.0

MA(5) �Y3 � Y4 � Y5 � Y6 � Y7

5�

7.0 � 6.0 � 8.0 � 9.0 � 5.0

5�

35.0

5� 7.0

MA(5) � Y2 � Y3 � Y4 � Y5 � Y6

5�

5.0 � 7.0 � 6.0 � 8.0 � 9.0

5�

35.0

5� 7.0

MA(5) � Y1 � Y2 � Y3 � Y4 � Y5

5�

4.0 � 5.0 � 7.0 � 6.0 � 8.0

5�

30.0

5� 6.0

Esempio 11.1

MA(5) � Y7 � Y8 � Y9 � Y10 � Y11

5


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Si nota immediatamente dal grafico che la media mobile di ampiezza 7 smussa in misuranotevolmente maggiore la serie originaria rispetto a quella di ordine 3. D’altra parte portaa una perdita di valori più consistente (sei contro due). In generale si può dire che c’è untrade-off tra la bontà del livellamento e la completezza della serie “smussata”.

Livellamento esponenzialeIl livellamento (o smorzamento) esponenziale è un’altra tecnica utilizzata per smussare unaserie storica di dati al fine di fornire all’analista un’impressione dei movimenti di lungo ter-


Medie mobilidi ordine 3 e di ordine 7calcolate sulla serie delle vendite della GeneralMotors (1975-1998)

Tabella 11.3

FIGURA 11.3Rappresentazione grafica in Microsoft Excel delle medie mobilidi ordine 3 e di ordine 7 calcolate sulla seriedelle vendite della General Motors.Fonte: dati della Tabella 11.2.

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mine della serie stessa. Il metodo del livellamento esponenziale è di particolare interessepoiché consente di effettuare previsioni di breve termine (ad un periodo) anche su dati chenon presentano un evidente andamento di trend, come quelli relativi alle vendite della Gene-ral Motors presentati nella Tabella e nella Figura 11.3. In questo senso la tecnica di livel-lamento rappresenta un metodo di analisi più vantaggioso rispetto alla tecnica basata sullemedie mobili.

Il metodo del livellamento esponenziale consiste nell’applicazione alla serie dei dati diuna media mobile ponderata esponenzialmente. In questo modo, come vedremo, ciascunvalore della serie smussata dipende da tutti i valori osservati precedenti, cosa che non accadequando si adotta il metodo basato sulle medie mobili. Inoltre, nel calcolo dei valori dellaserie livellata, i pesi assegnati a ciascun valore osservato in precedenza non sono costanti,ma decrescono passando dai più recenti a quelli più lontani nel tempo. Così ad esempio nelcalcolo del livellamento esponenziale per il periodo i verrà assegnato il peso maggiore alvalore osservato nel periodo i – 1, un peso inferiore al valore osservato nel periodo i – 2,e pesi via via decrescenti fino ad arrivare al primo valore osservato della serie, al quale èassegnato il peso minore. Come per le medie mobili, anche il calcolo del livellamento espo-nenziale può essere facilmente effettuato con l’ausilio di Microsoft Excel o analoghi pro-grammi di calcolo.

Concentrandoci per ora sullo smussamento della serie storica osservata (anziché sugliaspetti previsivi), osserviamo che le formule per il livellamento esponenziale di una seriestorica si basano su tre soli termini: il valore corrente della serie Yi, il valore della seriesmussata calcolato per il periodo precedente, Ei – 1, e un peso, o fattore di smorzamentoassegnato soggettivamente, W. Per ogni periodo i si ha quindi la seguente formula per ladeterminazione della serie smussata:

La scelta del fattore di smorzamento W è critica in quanto influisce enormemente suirisultati. Si tratta di una scelta soggettiva, tuttavia è possibile seguire la seguente regola pra-tica: se il nostro scopo è unicamente quello di smussare la serie eliminando le variazionicicliche e irregolari, conviene adottare un valore basso (prossimo a zero) di W; se invecel’analista vuole anche effettuare una previsione di breve periodo, si rivela più convenientela scelta di valori elevati (prossimi a uno) di W. Con valori bassi di W infatti vengonomeglio evidenziate le tendenze di lungo periodo della serie, mentre valori elevati consen-tono più precise previsioni di breve periodo.

◆ Livellamento Nella Tabella 11.4 sono presentati i valori della serie relativa alle ven-dite della General Motors dal 1975 al 1998, smussati esponenzialmente con pesi pari a 0.5e 0.25 (i valori sono stati ottenuti in Microsoft Excel). Nella Figura 11.4 le due serie livel-late sono state rappresentate graficamente insieme con la serie originaria.


Come ottenere il valore smussato esponenzialmente per il periodo i

Ei � WYi � (1 � W)Ei�1 (11.3)

dove

Ei � valore della serie smussata esponenzialmente relativo al periodo i

Ei�1 � valore della serie smussata esponenzialmente relativo al periodo i – 1

Yi � valore osservato della serie storica nel periodo i

W � peso o fattore di smorzamento assegnato soggettivamente (0 < W < 1)

E1 � Y1

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Vediamo come è stata determinata la serie smussata con un fattore di smorzamento paria 0.25. Come punto di partenza consideriamo il primo valore osservato Y1975 = 6.6, checoincide con il primo valore della serie smussata E1975. Quindi, utilizzando il valore osser-vato della serie nell’anno 1976, è possibile ottenere anche il secondo valore della serie smus-sata, con l’applicazione della semplice formula:

Negli anni successivi si procede iterativamente:

In questo modo si calcolano tutti i valori della serie smussata (ultima colonna dellaTabella 11.4).

◆ Previsione Se l’analista è interessato a effettuare una previsione di breve periodo, illivellamento esponenziale può essere utilizzato nel seguente modo: il valore smussato rela-tivo al periodo i è adottato come previsione al periodo i + 1.

Ad esempio, per prevedere il numero di unità vendute dalla GM nel 1999, possiamo uti-

� (0.25)(9.5) � (0.75)(7.6) � 8.075 milioni

E1978 � WY1978 � (1 � W)E1977

� (0.25)(9.1) � (0.75)(7.1) � 7.6 milioni

E1977 � WY1977 � (1 � W)E1976

� (0.25)(8.6) � (0.75)(6.6) � 7.1 milioni

E1976 � WY1976 � (1 � W)E1975


Livellamentoesponenziale della serierelativa alle venditerealizzate dalla GM nel periodo 1975-1998

Tabella 11.4

Previsione al periodo i � 1

(11.4)Yi�1 � Ei

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lizzare il valore smussato ottenuto per il 1998 (con un fattore di smorzamento pari a 0.5,avremo 1999 = 8.32 milioni di unità).

Una volta che i dati relativi al 1999 diventano disponibili, l’equazione (11.3) può essereutilizzata per fare una previsione al 2000:

E1999 � WY1999 � (1 � W)E1998

Valore corrente smussato � (W) (valore corrente osservato) � (1 – W) (precedente valore smussato)

In termini di previsione si ha:

Esercizi del Paragrafo 11.3

11.1 Applicando il metodo del livellamento esponenziale alla serie storica delle entrate di unasocietà, supponete di aver ottenuto un valore “smussato” per l’ultimo anno dell’indagine di32.4 milioni di dollari. Qual è la vostra previsione per l’anno successivo?

•11.2 Considerate una serie storica di valori registrati a partire dal 1955. Applicando una mediamobile di ampiezza pari a 9 anni:(a) In quale anno risulterà centrata la prima media mobile?(b) Quanti anni vengono persi nella serie delle medie mobili?

11.3 Supponete ora di applicare alla stessa serie il livellamento esponenziale con fattore di smor-zamento W � 0.2. Supponete inoltre che il valore smussato della serie per l’anno 1996 siadato da: E1996 � (0.20)(12.1) � (0.80)(9.4). Calcolate il valore successivo della serie smus-sata (E1997) supponendo che il valore osservato nell’anno in questione sia pari a 11.5 milionidi dollari.

•11.4 I seguenti dati rappresentano il numero annuale di impiegati (in migliaia) presso una societàche produce olio.

Nuova previsione � (W)(valore corrente osservato) � (1 � W)(previsione corrente)

Y 2000 � WY1999 � (1 � W)Y1999

Y


FIGURA 11.4 Grafico delle serie smussate con fattori di smorzamento pari a 0.5e 0.25 calcolate sulle vendite della GM nel periodo 1975-1998.Fonte: dati della Tabella 11.4.

DATASET

OILSUPP

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Numero di impiegati (in migliaia)

ANNO NUMERO ANNO NUMERO ANNO NUMERO

1978 1.45 1985 2.04 1992 1.65

1979 1.55 1986 2.06 1993 1.73

1980 1.61 1987 1.80 1994 1.88

1981 1.60 1988 1.73 1995 2.00

1982 1.74 1989 1.77 1996 2.08

1983 1.92 1990 1.90 1997 1.881984 1.95 1991 1.82

(a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico.(b) Calcolate le medie mobili di ampiezza pari a 3 anni e rappresentatene la serie sullo

stesso grafico.(c) Applicate il livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W � 0.5 e aggiun-

gete la serie smussata al grafico precedente.(d) Sulla base di quanto ottenuto al punto (c), fate una previsione per il 1998.(e) Applicate ora un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W � 0.25 e

aggiungete la serie smussata al grafico precedente. (f ) Sulla base di quanto ottenuto al punto (e), fate una previsione per il 1998.(g) Confrontate i risultati ottenuti ai punti (d) e (f).

11.5 Nella seguente tabella sono rappresentate le vendite (in milioni di dollari) realizzate da unasocietà operante nel ramo alimentare negli anni compresi fra il 1972 e il 1997.

Vendite annuali (in milioni di dollari)

ANNO VENDITE ANNO VENDITE ANNO VENDITE

1972 41.6 1981 53.2 1990 36.4

1973 48.0 1982 53.3 1991 38.4

1974 51.7 1983 51.6 1992 42.6

1975 55.9 1984 49.0 1993 34.8

1976 51.8 1985 38.6 1994 28.4

1977 57.0 1986 37.3 1995 23.9

1978 64.4 1987 43.8 1996 27.8

1979 60.8 1988 41.7 1997 42.11980 56.3 1989 38.3


stesso grafico.(c) Applicate un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W � 0.25 e aggiun-

gete la serie smussata al grafico precedente.(d) Sulla base di quanto ottenuto al punto (c), fate una previsione per il 1998.(e) Applicate ora un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W � 0.5 e

aggiungete la serie smussata al grafico precedente.(f ) Sulla base di quanto ottenuto al punto (e), fate una previsione per il 1998.(g) Confrontate i risultati ottenuti ai punti (d) e (f).

11.6 I seguenti dati rappresentano per gli anni 1980-1996 il reddito mediano delle famiglie sta-tunitensi con riferimento alla popolazione considerata nel suo complesso e separatamenterispetto alle 3 razze più diffuse negli Stati Uniti: bianchi, neri e ispanici.


DATASET

FOODTIME

DATASET

MEDFAMIN

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 68

Reddito familiare mediano (in dollari) negli Stati Uniti

ANNO COMPLESSIVO BIANCHI NERI ISPANICI

1980 33 763 35 620 20 521 26 025

1981 33 215 35 094 19 693 26 643

1982 33 105 34 657 19 642 24 910

1983 32 900 34 502 19 579 25 057

1984 33 849 35 709 20 343 25 660

1985 34 439 36 320 21 609 25 467

1986 35 642 37 471 21 588 26 272

1987 35 994 37 924 21 646 26 706

1988 36 108 38 172 21 760 27 002

1989 36 575 38 473 22 881 27 737

1990 35 945 37 492 22 420 26 806

1991 34 705 36 367 21 665 26 140

1992 34 261 36 020 20 974 25 271

1993 33 922 35 788 21 209 24 850

1994 34 158 36 026 22 261 24 796

1995 35 082 36 822 23 054 23 5351996 35 492 37 161 23 482 24 906

Fonte: Statistical Abstract of the United States, 118th ed., 1996, U.S.Department of Commerce, Bureau of the Census, 468.



gete la serie smussata al grafico precedente(d) Sulla base di quanto ottenuto al punto (c), fate una previsione per il 1997.(e) Applicate ora un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W � 0.25 e

aggiungete la serie smussata al grafico precedente.(f ) Sulla base di quanto ottenuto al punto (e), fate una previsione per il 1997.(g) Confrontate i risultati ottenuti ai punti (d) e (f).(h) Quali conclusioni potete trarre in relazione all’andamento del reddito mediano statuni-

tense, sia complessivo che disaggregato rispetto ai tre gruppi dominanti?11.7 I seguenti dati rappresentano il tasso di disoccupazione in sette paesi europei negli anni

compresi fra il 1985 e il 1996.

Tasso di disoccupazione (1985-1997)

GRAN

ANNO BELGIO DENIMARCA FRANCIA ITALIA NETHERLANDS PORTOGALLO BRETAGNA

1985 10.3 7.1 10.2 8.5 8.3 8.7 11.51986 10.3 5.4 10.3 9.2 8.3 8.4 11.51987 10.0 5.4 10.4 9.9 8.0 6.9 10.61988 8.9 6.1 9.9 10.0 7.5 5.5 8.71989 7.5 7.4 9.4 10.0 6.9 4.9 7.31990 6.7 7.7 9.0 9.1 6.2 4.6 7.0

1991 6.6 8.4 9.5 8.8 5.8 4.0 8.8

(Continua)


DATASET

UNEMPLOY

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 69

Tasso di disoccupazione (1985-1997) (seguito)

GRAN

ANNO BELGIO DENIMARCA FRANCIA ITALIA NETHERLANDS PORTOGALLO BRETAGNA

1992 7.3 9.2 10.4 9.0 5.6 4.2 10.11993 8.9 10.1 11.7 10.3 6.6 5.7 10.41994 10.0 8.2 12.3 11.4 7.2 7.0 9.61995a 9.9 6.8 11.5 11.8 7.3 7.2 8.81996a 10.1 6.1 11.7 11.8 7.2 7.4 8.41997a 9.8 5.8 11.7 11.7 7.0 7.2 8.0aInitial, unrevised estimates.Fonte: Extracted from Table 3 of European Commission’s Panorama of EU Industry 97 1 (1997): 22.


stesso grafico.(c) Applicate un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W = 0.5 e aggiun-

gete la serie smussata al grafico precedente.(d) Sulla base di quanto ottenuto al punto (c), fate una previsione per il 1998.(e) Applicate ora un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W = 0.25 e

aggiungete la serie smussata al grafico precedente.(f ) Sulla base di quanto ottenuto al punto (e), fate una previsione per il 1998.(g) Confrontate i risultati ottenuti ai punti (d) e (f).(h) Cosa potete dire sull’andamento del tasso di disoccupazione in questi sette paesi?

11.8 I seguenti dati riguardano il New Mexico e rappresentano il valore della bilancia dei pagamenti(differenza fra le spese federali pro capite e le tasse federali pro capite) negli ani compresi frail 1981 e il 1995.

Bilancia dei pagamenti pro capite nel New Mexico (1981-1995)

BILANCIA SPESE TASSE

DEI PAGAMENTI FEDERALI FEDERALI

ANNO FISCALE PRO CAPITE PRO CAPITE PRO CAPITE

1981 2961 6212 32511982 2913 5983 30691983 2426 5853 34271984 2881 6309 34281985 2919 6414 34951986 3218 6670 34521987 3322 6635 33131988 4336 7461 3125

1989 3496 6578 3083

1990 3545 6653 3108

1991 3462 6739 3277

1992 3632 7079 3447

1993 3709 7272 3563

1994 3343 6915 35721995 3300 6935 3635

Fonte: D.P. Moynihan, M.E. Friar, H.B. Leonard, and J.H. Walder, The Federal Budget and theStates: Fiscal Year 1995, jointly published by the John F. Kennedy School of Government, HarvardUniversity, and the Office of Senator Daniel Patrick Moynihan, September 30, 1996, 73.


DATASET

BALPAY

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 70



gete la serie smussata al grafico precedente(d) Sulla base di quanto ottenuto al punto (c), fate una previsione per il 1996.(e) Applicate ora un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W = 0.25 e

aggiungete la serie smussata al grafico precedente. (f ) Sulla base di quanto ottenuto al punto (e), fate una previsione per il 1996.(g) Confrontate i risultati ottenuti ai punti (d) e (f).(h) Cosa potete dire sull’andamento delle spese federali, delle entrate federali e della bilan-

cia dei pagamenti in questo stato americano?

In una serie storica il trend è sicuramente la componente oggetto di maggiore attenzione daparte degli analisti. Lo studio del trend ci consente di effettuare previsioni sull’andamentodella serie nel medio e nel lungo periodo; ma anche, una volta eliminata la sua influenzasulla serie, di fare previsioni di breve periodo sull’andamento ciclico generale del mercato.

Come si è già accennato in precedenza, è estremamente importante, prima di effettuarel’analisi vera e propria della serie storica, farsi un’idea generale dell’andamento della seriecon l’ausilio di rappresentazioni grafiche come quelle già presentate nelle pagine precedenti(Figura 11.1). In ogni caso, se la serie manifesta tendenze di lungo periodo, siano esse ditipo lineare piuttosto che non lineare, ha senso valutare un trend attraverso il noto metododei minimi quadrati (paragrafi 9.2 e 10.6).

Il trend lineareSi è già visto nel paragrafo 9.2 come il metodo dei minimi quadrati possa essere adottatoper individuare una retta del tipo:

in modo che i due coefficienti b0 e b1 siano tali da minimizzare la somma delle differenzeal quadrato fra il valore osservato della serie e il valore dell’interpolante stessa:

Si è inoltre osservato che l’equazione (11.5) può essere utilizzata per effettuare una pre-visione dei valori della variabile dipendente Y in corrispondenza di valori della X non osser-vati, semplicemente sostituendo a X il valore in corrispondenza del quale si vuole preve-dere la Y.

Quando applichiamo il metodo dei minimi quadrati al problema di determinazione deltrend di una serie storica, la variabile indipendente è il tempo, con la convenzione di farpartire l’asse delle ascisse (l’asse dei tempi in questo caso) dal primo periodo per il qualesono disponibili i dati e quindi di considerare il primo anno o il primo trimestre o il primomese come il periodo zero (X = 0). Se ad esempio stiamo lavorando con una serie di 24anni, al primo verrà assegnato il valore 0, al secondo il valore 1 e così via fino al venti-quattresimo anno a cui sarà assegnato il valore 23.

Come esempio riprendiamo la serie storica rappresentata nella Tabella 11.5 e nella

�n

i�1(Yi � Yi)

2 � minimo

IL METODO DEI MINIMI QUADRATI E LA PREVISIONE 71

◆11.4 IL METODO DEI MINIMI QUADRATI E LA PREVISIONE

(11.5)

dove Y rappresenta la variabile dipendente del modello e X la variabile indipendente

Yi � b0 � b1Xi

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 71

Figura 11.1 e relativa alle entrate lorde (in milioni di dollari correnti) della società East-man Kodak nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998. Prima di effettuare l’analisi sipresenta il problema, tipico delle serie storiche di prezzi, di trasformare i prezzi correnti inprezzi reali (costanti). Ciascun valore corrente è stato quindi rapportato all’indice dei prezzial consumo (CPI) e moltiplicato per 100. I risultati sono stati riportati nella Tabella 11.6 enella Figura 11.5.

Una volta codificati i valori della variabile X da 0 a 23 è possibile ottenere facilmentel’espressione della retta interpolante (trend) utilizzando il software Excel:

� 10.8654 � 0.02506Xi

dove l’origine è rappresentata dall’anno 1975 e le unità della variabile X sono di un anno.Nella Figura 11.6 è riportato l’output Excel della regressione.

Entrate lorde (in milioni di dollari correnti)della società Eastman Kodak (1975-1998)

ANNO VENDITE ANNO VENDITE ANNO VENDITE ANNO VENDITE

1975 5.0 1981 10.3 1987 13.3 1993 16.31976 5.4 1982 10.8 1988 17.0 1994 13.71977 6.0 1983 10.2 1989 18.4 1995 15.31978 7.0 1984 10.6 1990 18.9 1996 16.21979 8.0 1985 10.6 1991 19.4 1997 14.51980 9.7 1986 11.5 1992 20.2 1998 13.4

Fonte: Moody’s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993, 1996, 1998. Reprinted by permission ofFinancial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc.

Tabella 11.5

Yi


DATASET

EASTMANK

Dalle entrate a prezzicorrenti alle entrate a prezzi costanti(riferimento biennio 1982-1984)

Tabella 11.6

Fonte: Bureau of Labor Statistics, U.S. Department ofLabor, and Moody’s Handbook of Common Stocks,1980, 1989, 1993, 1996, 1998. Reprinted by permissionof Financial Information Services, a division of FinancialCommunications Company, Inc.

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Vediamo ora l’interpretazione dei coefficienti della retta di regressione stimata:

• L’intercetta b0 � 10.8654 rappresenta il valore del trend nell’anno base, vale a direle entrate lorde (a prezzi costanti 1982-84) della società Eastman Kodak nell’anno1975.

• L’inclinazione b1 � 0.02506 rappresenta l’aumento annuo previsto (in milioni di dol-lari) nelle entrate lorde della società.

Una volta individuato il trend, se vogliamo effettuare una previsione delle entrate per il1999, è sufficiente sostituire nell’equazione della retta a minimi quadrati al posto della X ilvalore corrispondente all’anno 1999 (X25 � 24). Di conseguenza la nostra previsione sarà:

1999: � 10.8654 � (0.02506)(24) � 11.47 milioni di dollari costanti 1982-1984

Nonostante il trend riveli un notevole incremento di lungo periodo della serie conside-rata, esaminando la Figura 11.7 notiamo che i dati tendono ad allontanarsi in misura moltosignificativa dal trend. Nasce quindi il sospetto che l’andamento generale della serie possaessere colto meglio con un trend di tipo non lineare. Vediamo ora a confronto due modelli:il primo adatta alla serie un trend quadratico, il secondo un trend esponenziale.

Y25


FIGURA 11.5Rappresentazione in un grafico a dispersione sovrapposto delle dueserie relative alle entrate della Eastman Kodak a prezzi reali e a prezzicostanti. Grafico realizzato in MicrosoftExcel.

FIGURA 11.6Output di Excel del modello di regressione lineare per la determinazione del trend.Fonte: dati della Tabella 11.6.

b0

b1

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 73

Il trend quadraticoIl modello quadratico (basato su un polinomio di secondo grado) è il più semplice fra imodelli non lineari. Il trend quadratico si ottiene applicando il metodo dei minimi quadratiintrodotto nel paragrafo 10.6:

Ancora una volta possiamo utilizzare Microsoft Excel per i calcoli necessari alla deter-minazione del trend quadratico. Nella Figura 11.8 è riportato l’output Excel della regres-sione quadratica relativa alle entrate lorde annuali (a prezzi costanti) della Eastman Kodak.

Come possiamo leggere dalla tabella Excel, si ottiene:

dove l’origine è rappresentata dal 1975 e l’unità di misura della variabile X è l’anno.L’equazione del trend quadratico può essere utilizzata a scopi previsivi, semplicemente

sostituendo il valore di X assegnato all’anno per il quale interessa una previsione della seriee calcolando il corrispondente valore di . Per esempio, se vogliamo prevedere le entratedella Eastman Kodak per il 1999 (X25 � 24), abbiamo:

Nella Figura 11.9 sono rappresentati la serie delle entrate della società insieme con iltrend quadratico. Il modello quadratico sembra in grado di interpolare la serie meglio diquanto non faccia quello lineare.

� 8.47 milioni di dollari

1999: Y25 � 8.5284 � 0.6624(24) � 0.0277(24)2

Y

Yi � 8.5284 � 0.6624Xi � 0.0277X2i


FIGURA 11.7Interpolazione della serie delle entratedella Eastman Kodak con un trend lineare.Fonte: dati della Tabella 11.6.

Il trend quadratico

(11.6)

Dove:b0 � intercetta stimata di Y

b1 � effetto lineare stimato della variabile X sulla variabile Y

b2 � effetto non lineare stimato della variabile Xsulla variabile Y

Yi � b0 � b1Xi � b2X2i

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 74


FIGURA 11.8Output Excel del modellodi regressione quadratica per la determinazione del trend. Fonte: dati della Tabella 11.6.

b1

b2

b0

Il trend esponenzialeNel caso in cui i valori di una serie sembrano aumentare a un tasso crescente, in modotale che la differenza percentuale fra le osservazioni sia costante nel tempo, si rivela utileapplicare un modello esponenziale come quello presentato nell’equazione (11.7).

L’equazione (11.7) con una semplice trasformazione logaritmica assume la forma analitica datadall’equazione (11.8):

FIGURA 11.9Interpolazione della serie delle entratedella Eastman Kodak con un trend quadratico.

Il modello esponenziale

(11.7)

doveb0 � intercetta stimata di Y

(b1 � 1) � 100% � stima del tasso di crescita annuale composto

Yi � b0bXi1

Il modello esponenziale

(11.8)logYi � log b0 � Xi log b1

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Osserviamo che l’equazione (11.8) è in forma lineare. Di conseguenza è possibile applicareil metodo dei minimi quadrati alla variabile log Yi e quindi ottenere la stima dell’inclina-zione (log b1) e dell’intercetta (log b0). I calcoli saranno effettuati ancora una volta conl’ausilio del software Excel.

Nella Figura 11.10 è rappresentato l’output del modello esponenziale relativo alle entratedella Eastman Kodak. Si è quindi ottenuto il seguente risultato:

Dove l’anno iniziale è il 1975 e l’unità di misura dell’asse delle ascisse è l’anno.I valori di b0 e b1 si ottengono calcolando l’antilogaritmo dei coefficienti stimati della

regressione:

Quindi il trend esponenziale stimato è dato da:

� (10.8413)(1.00128)

Dove l’anno iniziale è sempre il 1975 e l’unità dell’asse delle ascisse è l’anno.L’intercetta b0 � 10.8413 rappresenta il valore stimato del trend nell’anno iniziale

(1975); mentre il valore (b1 – 1)*100% = 0.128% rappresenta la stima del tasso di crescitaannuale composto nella serie delle entrate della Eastman Kodak.

Analogamente a quanto visto nell’applicazione dei modelli precedenti, anche nel casodel modello esponenziale per ottenere la previsione della serie in un istante futuro è suffi-ciente sostituire il valore di X assegnato all’anno in una delle equazioni (11.7) o (11.8) ecalcolare il corrispondente valore della serie stimata . Per esempio, se vogliamo prevederele entrate per il 1999 (X25 = 24) dobbiamo effettuare i seguenti passaggi algebrici:

o

Il trend esponenziale stimato è stato rappresentato nella Figura 11.11 insieme con la serieoriginaria. Possiamo osservare che fra i tre modelli considerati il modello esponenziale sirivela il meno adeguato a rappresentare l’andamento della serie.

1999: Y25 � (10.8413)(1.00128)24 � 11.18 milioni di dollari

Y25 � antilog (1.0484) � 11.18 milioni di dollari

1999: log Y25 � 1.03508 � (0.0005565)(24) � 1.0484

Y

XiYi

b1 � antilog 0.0005565 � 1.00128

b0 � antilog 1.03508 � 10.8413

log Yi � 1.03508 � 0.0005565Xi


FIGURA 11.10Output Excel del modellodi regressione esponenziale per la determinazione del trend.Fonte: dati della Tabella 11.6.

b0

b1

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Scelta del modello attraverso lo strumento delle differenzeprime, delle differenze seconde e delle differenze percentuali Nelle pagine precedenti abbiamo cercato di interpolare una serie storica (la serie delleentrate della Eastman Kodak) con tre tipi di trend: lineare, quadratico ed esponenziale. Sevogliamo individuare il modello migliore per i nostri dati possiamo considerare il graficodal quale scaturisce un’idea d’insieme della capacità del modello di “spiegare” i dati. Esi-stono anche tecniche più rigorose, basate sul calcolo e sull’analisi delle differenze prime,seconde e percentuali fra i valori della serie. Per comprendere il significato di questo metododi indagine, è utile riassumere alcune proprietà dei trend analizzati.

Anche se non dobbiamo attenderci che uno dei trend analizzati si adatti perfettamentealla serie, le differenze prime, seconde e percentuali possono rivelarsi un utile strumento


FIGURA 11.11Interpolazione della serie delle entratedella Eastman Kodak con un trend esponenziale.

Riquadro 11.1 Scelta del modello attraverso le differenze prime, seconde e percentuali

• Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend lineare, le diffe-renze prime fra i valori della serie sono costanti. Cioè:

(Y2 � Y1) � (Y3 � Y2) � � � � � (Yn � Yn�1)

• Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend quadratico, ledifferenze seconde fra i valori della serie sono costanti. Cioè:

• Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend esponenziale, ledifferenze percentuali fra i valori della serie sono costanti. Cioè:

�Y2 � Y1

Y1� � 100% � �Y3 � Y2

Y2� � 100% � � � � � �Yn � Yn�1

Yn�1� � 100%

� � � � � [(Yn � Yn�1) � (Yn�1 � Yn�2)]

[(Y3 � Y2) � (Y2 � Y1)] � [(Y4 � Y3) � (Y3 � Y2)]

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per scegliere il modello appropriato a un insieme di dati. Negli esempi 11.2, 11.3 e 11.4saranno illustrati dei casi in cui uno dei trend proposto nelle pagine precedenti si adatta per-fettamente alle osservazioni.

Un modello lineare con perfetto adattamento

I seguenti dati rappresentano il numero di passeggeri (in milioni) che annualmente si ser-vono di una compagnia aerea.

ANNO

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Passeggeri 30.0 33.0 36.0 39.0 42.0 45.0 48.0 51.0 54.0 57.0

Mostrate, con il metodo delle differenze prime, che il trend lineare fornisce una perfettainterpolazione della serie.

SOLUZIONE

ANNO

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Passeggeri 30.0 33.0 36.0 39.0 42.0 45.0 48.0 51.0 54.0 57.0Differenze prime 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0

Osserviamo che le differenze fra valori consecutivi della serie sono costanti.

Un modello quadratico con perfetto adattamento


ANNO

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Passeggeri 30.0 31.0 33.5 37.5 43.0 50.0 58.5 68.5 80.0 93.0

Mostrate, con il metodo delle differenze seconde, che il trend quadratico fornisce una perfettainterpolazione della serie.

SOLUZIONE

ANNO

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Passeggeri 30.0 31.0 33.5 37.5 43.0 50.0 58.5 68.5 80.0 93.0

Differenze prime 1.0 2.5 4.0 5.5 7.0 8.5 10.0 11.5 13.0Differenze seconde 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5

Osserviamo che le differenze seconde fra i valori della serie sono costanti.

Esempio 11.3

Esempio 11.2


levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 78

Un modello esponenziale con perfetto adattamento


ANNO

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Passeggeri 30.0 31.5 33.1 34.8 36.5 38.3 40.2 42.2 44.3 46.5

Mostrate, con il metodo delle differenze percentuali, che il trend esponenziali fornisce unaperfetta interpolazione della serie.

SOLUZIONE

ANNO

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Passeggeri 30.0 31.5 33.1 34.8 36.5 38.3 40.2 42.2 44.3 46.5

Differenze prime 1.5 1.6 1.7 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2Differenze percentuali 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0

Osserviamo che le differenze percentuali fra valori consecutivi della serie sono costanti.

Nella Tabella 11.7 sono rappresentate le differenze prime, seconde e percentuali relativealla serie delle entrate lorde della società Eastman Kodak.

Osservando la tabella possiamo notare che nessuno dei tre modelli confrontati fornisceuna perfetta interpolazione delle osservazioni. Tuttavia il trend quadratico sembra da pre-ferire in quanto la serie delle differenze seconde manifesta un andamento più erratico e

Esempio 11.4


Confronto fra le differenze prime, seconde e percentuali relative alle entrate lorde(in miliardi di dollari a prezzi costanti 1982-84) della Eastman Kodak

ENTRATE ENTRATE

(IN MILIARDI DIFFERENZE DIFFERENZE DIFFERENZE (IN MILIARDI DIFFERENZE DIFFERENZEDIFFERENZE

ANNO DI DOLLARI) PRIME SECONDE PERCENTUALI ANNO DI DOLLARI) PRIME SECONDE PERCENTUALI

1975 9.3 — — — 1987 11.7 1.2 0.6 11.4

1976 9.5 0.2 — 2.2 1988 14.4 2.7 1.5 23.1

1977 9.9 0.4 0.2 4.2 1989 14.8 0.4 �2.3 2.8

1978 10.7 0.8 0.4 8.1 1990 14.5 �0.3 �0.7 �2.0

1979 11.0 0.3 �0.5 2.8 1991 14.2 �0.3 0.0 �2.1

1980 11.8 0.8 0.5 7.3 1992 14.4 0.2 0.5 1.4

1981 11.3 �0.5 �1.3 �4.2 1993 11.3 �3.1 �3.3 �21.5

1982 11.2 �0.1 0.4 �0.9 1994 9.2 �2.1 1.0 �18.6

1983 10.2 �1.0 �0.9 �8.9 1995 10.0 0.8 2.9 8.7

1984 10.2 0.0 1.0 0.0 1996 10.3 0.3 �0.5 3.0

1985 9.9 �0.3 �0.3 �2.9 1997 9.0 �1.3 �1.6 �12.61986 10.5 0.6 0.9 6.1 1998 8.2 �0.8 �0.5 �8.9

Fonte: Tabella 11.6 di pagina 72.

Tabella 11.7

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 79


sembra fluttuare più casualmente al di sotto e al di sopra dell’origine rispetto alle serie delledifferenze prime e percentuali.

11.9 Supponete di applicare il metodo dei minimi quadrati per individuare il trend di una serieannuale contenente 25 osservazioni.(a) Quale valore deve essere assegnato a X in corrispondenza del primo anno della serie?(b) Quale valore deve essere assegnato a X in corrispondenza del quinto anno della serie?(c) Quale valore deve essere assegnato a X in corrispondenza dell’ultimo anno della serie?(d) Quale valore deve essere assegnato a X per effettuare una previsione a 5 anni della serie?

•11.10 Supponete che una serie contenente 20 osservazioni (dal 1980 al 1999): sia caratterizzatadal trend lineare � 4.0 � 1.5Xi.(a) Interpretate il significato dell’intercetta b0.(b) Interpretate il significato dell’inclinazione b1.(c) Calcolate il valore del trend corrispondente al quinto anno di osservazione dei dati.(d) Calcolate il valore del trend corrispondente all’ultimo anno di osservazione dei dati.(e) Sulla base del modello proposto, qual è la previsione per i tre anni successivi al periodo

di osservazione dei dati?•11.11 I seguenti dati rappresentano i valori di un indice dei prezzi al consumo (CPI) registrati

negli Stati Uniti nei 34 anni compresi tra il 1965 e il 1998 (il periodo base è il 1982-84).L’indice misura la variazione media dei prezzi di un paniere di beni e servizi acquistati dauna vasta gamma di consumatori.

Indice dei prezzi al consumo

ANNO CPI ANNO CPI ANNO CPI

1965 31.5 1977 60.6 1989 124.0

1966 32.4 1978 65.2 1990 130.7

1967 33.4 1979 72.6 1991 136.2

1968 34.8 1980 82.4 1992 140.3

1969 36.7 1981 90.9 1993 144.5

1970 38.8 1982 96.5 1994 148.2

1971 40.5 1983 99.6 1995 152.4

1972 41.8 1984 103.9 1996 156.9

1973 44.4 1985 107.6 1997 160.5

1974 49.3 1986 109.6 1998 163.0

1975 53.8 1987 113.61976 56.9 1988 118.3

Fonte: Bureau of Labor Statistics, U.S. Department of Labor.

(a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico.(b) Descrivete i movimenti della serie nei 34 anni considerati.

11.12 Il prodotto interno lordo (GDP) costituisce uno dei più importanti indicatori del benessereeconomico di un Paese e riassume le spese per il consumo individuale, gli investimenti pri-vati, le esportazioni nette di beni e di servizi e le spese di governo. Nella seguente tabellasono rappresentati i valori del prodotto interno lordo americano registrati nel periodo di 17anni fra il 1982 e il 1998.

Yi

Esercizi del paragrafo 11.4

DATASET

CPI-2

DATASET

GDP

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 80

Prodotto interno lordo (GDP) in dollari costanti. Periodo 1982-1998

ANNO GDP REALE ANNO GDP REALE ANNO GDP REALE

1982 4620.3 1988 5865,2 1994 6608.4

1983 4803.7 1989 6062.0 1995 6742.2

1984 5140.1 1990 6136.3 1996 6906.8

1985 5323.5 1991 6079.4 1997 6928.4

1986 5487.7 1992 6244.4 1998 7188.41987 5649.5 1993 6386.1

Fonte: U.S. Bureau of Economic Analysis—see Statistical Abstract of the United States,118th ed., 1999, Bureau of the Census, U.S. Department of Commerce, 715.

(a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico.(b) Adattate alla serie un trend lineare e riportatelo sul grafico.(c) Quali sono le vostre previsioni del GDP americano per gli anni 1999 e 2000?(d) Cosa potete dire in generale sull’andamento della serie analizzata?

•11.13 Nella seguente tabella sono riportate le entrate federali americane (tasse sul reddito, tassesulle successioni e donazioni, imposte sul consumo, …) a prezzi correnti, registrate nelperiodo compreso fra il 1978 e il 1998.

Entrate federali americane a prezzi correnti. Periodo 1982-1998

ANNO ENTRATE ANNO ENTRATE ANNO ENTRATE

1978 399.6 1985 734.2 1992 1091.3

1979 463.3 1986 769.3 1993 1154.4

1980 517.1 1987 854.4 1994 1258.6

1981 599.3 1988 909.3 1995 1351.8

1982 617.8 1989 991.2 1996 1453.1

1983 600.6 1990 1032.0 1997 1579.31984 666.5 1991 1055.0 1998a 1657.9

aStima preliminare.Fonte: U.S. Office of Management and Budget—see Statistical Abstract of the UnitedStates, 118th ed., 1998, Bureau of the Census, U.S. Department of Commerce, 339.

(a) Costruite la serie delle entrate a prezzi costanti dividendo ciascun valore della tabellaper il corrispondente valore dell’indice dei prezzi al consumo (Esercizio 11.11) e mol-tiplicando il risultato per 100.

(b) Rappresentate la serie delle entrate a prezzi correnti in un opportuno grafico.(c) Adattate alla serie un trend lineare e riportatelo sul grafico.(d) Quali sono le vostre previsioni per gli anni 1999 e 2000?(e) Ripetete i punti (a)-(d) sulla serie delle entrate a prezzi costanti e confrontate i risultati.

11.14 Nella seguente tabella sono riportati i depositi totali (in milioni di dollari) di una delle piùgrandi banche americane, la J. P. Morgan, nei 19 anni compresi fra il 1979 e il 1997.

Depositi totali (in milioni di dollari)della J. P. Morgan. Periodo 1979-1997

ANNO DEPOSITI ANNO DEPOSITI

1979 30 279 1989 39 158

1980 35 594 1990 37 5571981 36 024 1991 36 976

(Continua)


DATASET

JPMORGAN

DATASET

FEDRECPT

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 81

Depositi totali (in milioni di dollari)della J. P. Morgan. Periodo 1979-1997(seguito)

ANNO DEPOSITI ANNO DEPOSITI

1982 37 910 1992 32 519

1983 38 070 1993 40 402

1984 38 760 1994 43 085

1985 39 845 1995 46 438

1986 42 960 1996 52 724

1987 43 987 1997 58 8791988 42 469

Fonte: Moody’s Handbook of Common Stocks, 1989,1998.

(a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico.(b) Adattate alla serie un trend lineare e riportatelo sul grafico.(c) Adattate alla serie un trend quadratico e riportatelo sul grafico.(d) Adattate alla serie un trend esponenziale e riportatelo sul grafico.(e) Quale fra i modelli applicati vi sembra il più appropriato a rappresentare l’andamento

dei dati?(f) Usando il modello che ritenete più appropriato, prevedete il valore dei depositi della

banca per il 1998.11.15 Nella seguente tabella sono riportate le entrate a prezzi correnti della società Coca-Cola nei

24 anni compresi fra il 1975 e il 1998.

Entrate a prezzi costanti della società Coca-Cola. Periodo 1975-1998


1975 2.9 1983 6.6 1991 11.6

1976 3.1 1984 7.2 1992 13.0

1977 3.6 1985 7.9 1993 14.0

1978 4.3 1986 7.0 1994 16.2

1979 4.5 1987 7.7 1995 18.0

1980 5.3 1988 8.3 1996 18.5

1981 5.5 1989 9.0 1997 18.91982 5.9 1990 10.2 1998 18.8

Fonte: Moody’s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993, 1997. Reprinted bypermission of Financial Information Services, a division of Financial CommunicationsCompany, Inc. and Standard and Poor’s Corp., New York: McGraw-Hill, Inc., April, 1999.

(a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico.(b) Adattate alla serie un trend quadratico e riportatelo sul grafico.(c) Quali sono le vostre previsioni per il 1999 e il 2000?(d) Costruite la serie delle entrate a prezzi costanti dividendo ciascun valore della tabella

per il corrispondente valore dell’indice dei prezzi al consumo (Esercizio 11.11) e mol-tiplicando il risultato per 100.

(e) Rappresentate in un grafico la nuova serie.(f ) Adattate alla serie delle entrate a prezzi costanti un trend lineare e riportatelo sul grafico.(g) Adattate alla serie un trend quadratico e riportatelo sul grafico.(h) Adattate alla serie un trend esponenziale e riportatelo sul grafico.


DATASET

COCACOLA

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 82

(i) Usando il modello che ritenete più appropriato, prevedete il valore delle entrate a prezzicostanti per gli anni 1999-2000.

(j) Confrontate tale previsione con quella ottenuta nel punto (c). (k) Cosa potete concludere circa l’andamento delle due serie analizzate?

11.16 I dati della seguente tabella rappresentano i valori di chiusura dell’indice Dow Jones Indu-strial Average (DJIA) nei 20 anni compresi fra il 1979 e il 1998.

Valori di chiusura dell’indice DJIA(Dow Jones Industrial Average).Periodo 1979-1998

ANNO DJIA ANNO DJIA

1979 0838.7 1989 2753.2

1980 0,0964.0 1990 2633.7

1981 0,0875.0 1991 3168.8

1982 1046.5 1992 3301.1

1983 1258.6 1993 3754.1

1984 1211.6 1994 3834.4

1985 1546.7 1995 5117.1

1986 01896.0 1996 6448.3

1987 1938.8 1997 7908.31988 2168.6 1998 9181.4

Fonte: Yahoo.com, June 16, 1999. Reprinted bypermission of TIBCO Software.

(a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico.(b) Adattate alla serie un trend lineare e riportatelo sul grafico.(c) Adattate alla serie un trend quadratico e riportatelo sul grafico.(d) Adattate alla serie un trend esponenziale e riportatelo sul grafico.(e) Quale fra i modelli applicati vi sembra il più appropriato a rappresentare l’andamento

dei dati?(f) Usando il modello che ritenete più appropriato, prevedete il valore dell’indice per il 1999.

11.17 Applicando a ciascuna delle serie riportate nella tabella il metodo di scelta del modellobasato sulle differenze prime, seconde e percentuali,

ANNO

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Serie storica I 10.0 15.1 24.0 36.7 53.8 74.8 100.0 129.2 162.4 199.0

Serie storica II 30.0 33.1 36.4 39.9 43.9 48.2 53.2 58.2 64.5 70.7Serie storica III 60.0 67.9 76.1 84.0 92.2 100.0 108.0 115.8 124.1 132.0

(a) Determinate il modello più appropriato a rappresentare l’andamento dei dati(b) Calcolate i coefficienti della corrispondente equazione.(c) Prevedete il valore della serie per l’anno 2000.

11.18 Per ciascuna delle tre serie riportate nella tabella,

ANNO

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Serie storica I 100.0 115.2 130.1 144.9 160.0 175.0 189.8 204.9 219.8 235.0Serie storica II 100.0 115.2 131.7 150.8 174.1 200.0 230.8 266.1 305.5 351.8

(a) Rappresentate in due differenti grafici la serie dei dati e il suo logaritmo e confrontate,sulla base del risultato grafico, la bontà dei modelli lineare ed esponenziale.


DATASET

DJIA

DATASET

TSMODEL1

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 83

(b) Determinate l’equazione del trend che avete scelto per rappresentare i dati.(c) Prevedete il valore della serie per l’anno 2000.

11.19 Nella seguente tabella sono rappresentati i dati relativi alle entrate lorde (a prezzi costantidel 1995) di una società, nel periodo compreso fra il 1984 e il 1987.

Entrate annuali lorde a prezzi costanti

ANNO ENTRATE ANNO ENTRATE

1984 13.0 1991 26.2

1985 14.1 1992 29.0

1986 15.7 1993 32.8

1987 17.0 1994 36.5

1988 18.4 1995 41.0

1989 20.9 1996 45.41990 23.5 1997 50.8

(a) Scegliete il modello che secondo voi rappresenta le osservazioni in modo ottimale,basandovi sul metodo delle differenze prime, seconde e percentuali.

(b) Fornite l’equazione del trend corrispondente.(c) Prevedete il valore del trend per l’anno 2000.

I modelli autoregressivi1 rappresentano uno strumento molto utile per affrontare il pro-blema della previsione in relazione a una serie storica annuale. Spesso si osserva una fortecorrelazione fra valori consecutivi di una serie; si parla in questo caso di autocorrelazione,del primo ordine quando si considerano valori adiacenti, del secondo ordine se ci si riferi-sce alla relazione che intercorre tra i valori della serie a distanza di due periodi e, in gene-rale, del p-esimo ordine se i valori considerati “distano” fra loro p periodi. I modelli auto-regressivi consentono appunto di sfruttare questi legami di dipendenza per ottenere utiliprevisioni del comportamento futuro della serie.

Nelle equazioni (11.9), (11.10) e (11.11) sono rappresentati tre importanti modelli auto-regressivi:


DATASET

GROSSREV

◆11.5 MODELLI AUTOREGRESSIVI PER LA DETERMINAZIONEDEL TREND E PER LA PREVISIONE

1Occorre osservare che il livellamento esponenziale (paragrafo11.3) e i modelli autoregressivi sono dei casiparticolari dei modelli ARIMA(modelli autoregressiviintegrati a media mobile)sviluppati da Box and Jenkins(op. cit. 3).

Modello autoregressivo del primo ordine

(11.9)

Modello autoregressivo del secondo ordine

(11.10)

Modello autoregressivo del p-esimo ordine

(11.11)

dove

Yi � valore osservato della serie al tempo i

Yi � A0 � A1Yi�1 � A2Yi�2 � � � � � ApYi�p � �i

Yi � A0 � A1Yi�1 � A2Yi�2��i

Yi � A0 � A1Yi�1 � �i

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 84

Osserviamo che la forma del modello autoregressivo del primo ordine (equazione 11.9)è del tutto simile a quella del modello di regressione lineare semplice (equazione 9.1), cosìcome il modello auto regressivo del p-esimo ordine (equazione 11.11) può essere visto comeun modello di regressione multipla (equazione 10.1). In questo contesto i parametri sonostati chiamati A0, A1, …., Ap e le relative stime saranno indicate con le corrispondenti let-tere minuscole a0, a1, …, ap.

Scegliere fra modelli autoregressivi di diverso ordine significa stabilire l’ampiezza dellerelazioni fra osservazioni ritardate con cui si intende lavorare. Il modello autoregressivo delprimo ordine coinvolge solo le relazioni fra variabili consecutive della serie storica, nelmodello autoregressivo del secondo ordine oltre alle relazioni fra osservazioni consecutivesi tiene conto anche dei legami fra osservazioni ritardate di due periodi, e così via fino almodello autoregressivo del p-esimo ordine che coinvolge tutte le relazioni fra variabili chedistano 1, 2,.., p periodi. La scelta non è quindi facile; esiste inoltre un trade-off fra la sem-plicità dei modelli di ordine più basso e l’eventuale maggior capacità esplicativa di quellidi ordine superiore. Occorre inoltre tenere conto della lunghezza della serie (n) rispetto allaquale p, l’ordine del modello, non deve essere eccessivamente elevato. Con l’aiuto deiseguenti esempi sarà infatti chiaro che nella stima di Ap, il coefficiente della p-esima varia-bile autoregressiva, il numero di osservazioni che entrano in gioco è n – p.

Schema dei confronti in un modello autoregressivo del primo ordine

Data la seguente serie composta da n = 7 valori annuali consecutivi:

ANNO

1 2 3 4 5 6 7

Serie 31 34 37 35 36 43 40

Mostrate i confronti fra osservazioni che entrano in gioco in un modello autoregressivo delprimo ordine.

SOLUZIONE

ANNO, MODELLO AUTOREGRESSIVO

i DEL SECONDO ORDINE (Yi RISPETTO A Yi�1)

1 31 ↔2 34 ↔ 31

3 37 ↔ 34

4 35 ↔ 37

5 36 ↔ 35

6 43 ↔ 367 40 ↔ 43

…

Esempio 11.5

MODELLI AUTOREGRESSIVI PER LA DETERMINAZIONE DEL TREND E PER LA PREVISIONE 85

� valore osservato della serie al tempo i � 1


� valore osservato della serie al tempo i � p

A0 � costante da stimare con il metodo dei minimi quadrati

A1, A2, . . . , Ap � parametri autoregressivi da stimare con il metodo dei minimiquadrati

� componente di errore non autocorrelata, di media nulla e con varianza costante

�i

Yi�p

Yi�2

Yi�1

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 85

Poiché Y1 = 31 è il primo valore della serie, si osserva che nell’analisi della regressione siperde uno dei confronti. Quindi in questo caso (n = 7) il modello autoregressivo del primoordine viene a basarsi su n – 1 = 6 coppie di osservazioni.

Schema dei confronti in un modello autoregressivo del secondo ordine

Data la seguente serie composta da n = 7 valori annuali consecutivi:

ANNO

1 2 3 4 5 6 7

Serie 31 34 37 35 36 43 40

Mostrate i confronti fra osservazioni che entrano in gioco in un modello autoregressivo delsecondo ordine.

SOLUZIONE

ANNO, MODELLO AUTOREGRESSIVO DEL SECONDO ORDINE

i (Yi RISPETTO Yi�1 E Yi RISPETTO Yi�2)

1 31 ↔ e 31 ↔2 34 ↔ 31 e 34 ↔3 37 ↔ 34 e 37 ↔ 31

4 35 ↔ 37 e 35 ↔ 34

5 36 ↔ 35 e 36 ↔ 37

6 43 ↔ 36 e 43 ↔ 357 40 ↔ 43 e 40 ↔ 36

Poiché Y1 = 31 è il primo valore della serie, si osserva che nell’analisi della regressione siperdono due dei confronti. Quindi in questo caso (n = 7) il modello autoregressivo delsecondo ordine viene a basarsi su n – 2 = 5 coppie di osservazioni.

Una volta scelto il modello e applicato il metodo dei minimi quadrati per stimare i para-metri, occorre definire criteri che consentano di valutare la capacità di adattamento delmodello scelto. Una possibilità consiste nello stimare un modello con un numero abbastanzaelevato di parametri, per poi stabilire se sia il caso di eliminarne alcuni. Si tratta in praticadi risolvere un problema di verifica di ipotesi sulla significatività dei parametri che via viasi vengono a trovare in corrispondenza dell’ultimo ordine del modello. In un modello auto-regressivo di ordine p faremo quindi le seguenti ipotesi sul parametro Ap (parametro auto-regressivo di ordine massimo):

H0: Ap � 0 (il parametro di massimo ordine è uguale a zero)H1: Ap � 0 (il parametro di massimo ordine è diverso da zero)

Il test statistico per la verifica delle due ipotesi è dato dall’equazione (11.2)

…

……

Esempio 11.6


Test t per la significatività del parametro autoregressivo di ordine massimo

(11.12)t � ap � Ap

Sap

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 86

Si può dimostrare che questo test segue una distribuzione t di Student con n � 2p �1 gradi di libertà2. Quindi, fissato il livello di significatività �, l’ipotesi nulla deve essererifiutata se il valore osservato della statistica test è maggiore in modulo del valore critico

della distribuzione t di Student corrispondente. Si arriva quindi alla seguenteregola decisionale:

Rifiutare H0 se t oppure t ;accettare H0 altrimenti

Nella Figura 11.12 sono riportate le regioni di rifiuto e di accettazione del test descritto.Se il valore osservato della statistica test ci porta a non rifiutare l’ipotesi nulla Ap = 0, dob-biamo concludere che il modello analizzato contiene un numero eccessivamente elevato diparametri. La componente autoregressiva di ordine massimo viene quindi scartata e, una voltadeterminato il nuovo modello, il procedimento deve essere ripetuto sul parametro Ap – 1, cherappresenta il nuovo parametro autoregressivo di massimo ordine.

La procedura continua fino a quando l’ipotesi nulla non viene rifiutata. Quando ciòaccade, l’analista può essere sicuro della significatività dell’ultimo parametro autoregres-sivo e può quindi utilizzare il modello selezionato a scopi previsivi.

Una volta individuato il numero ottimo di componenti autoregressive con il metodo sopradescritto, è possibile procedere alla stima dei parametri.

�tn�2p�1tn�2p�1

tn�2p�1


dove

Sap � deviazione standard di ap

ap � stima del parametro autoregressivo di ordine massimo Ap

2Per ottenere i gradi di libertà dobbiamo sottrarrea n il numero di parametridel modello (p parametri di inclinazione + 1 intercetta) e il numero di confronti fra le osservazioni che vengono“persi” (p nel nostro caso).

Regionedi rifiuto

Regione diaccettazione

Valorecritico

Regionedi rifiuto

Valorecritico

0 t�tn�2p�1 �tn�2p�1

Ap � 0

FIGURA 11.12Regioni di rifiuto e di accettazione di un testdi significatività a due codesul parametro autoregressivodi ordine massimo Ap.

Il modello autoregressivo del p-esimo ordine stimato

(11.13)

dove

� valore stimato della serie al tempo i



� valore osservato della serie al tempo i � p

a0, a1, a2, . . . , ap � parametri stimati

Y i�p

Y i�2

Y i�1

Yi

Yi � a0 � a1Yi�1 � a2Yi�2 � � � � � apYi�p

levine11_57-116 3-04-2002 8:27 Pagina 87

Supponiamo ora di trovarci nell’istante n: in che modo il modello può essere utilizzatoper effettuare delle stime a j istanti futuri?

Osserviamo che, quando applichiamo a scopi previsivi un modello autoregressivo del p-esimo ordine, il numero di osservazioni che entrano in gioco della previsione è sempre paria p, a prescindere dalla distanza j nel futuro del valore che vogliamo prevedere. Quindi sep = 3, una previsione a j periodi successivi all’istante n si baserà unicamente sui valoriosservati negli anni n, n – 1, n – 2.

Applicando l’equazione (11.14) otteniamo la seguente previsione a un anno:

La previsione a un anno entra in gioco nella determinazione della previsione a due anni:

Procedendo iterativamente si ottengono le previsioni agli anni successivi:

E così via.Nel Riquadro 11.2 sono sintetizzati i principali passaggi richiesti per l’applicazione del

modello autoregressivo:

Yn�4 � a0 � a1Yn�3 � a2Yn�2 � a3Yn�1

Yn�3 � a0 � a1Yn�2 � a2Yn�1 � a3Yn

Yn�2 � a0 � a1Yn�1 � a2Yn � a3Y n�1

Yn�1 � a0 � a1Yn � a2Yn�1 � a3Yn�2


Utilizzo del modello autoregressivo a scopi previsivi

(11.14)

dove

a0, a1, a2, . . . , ap � parametri stimati

j � numero di anni nel futuro

� previsione effettuata all’istante n per l’istante se j � p 0

� valore osservato di se j � p � 0Yn�j�pYn�j�p

Yn�j�pYn�j�p

Yn�j � a0 � a1Yn�j�1 � a2Yn�j�2 � � � � � apYn�j�p

Riquadro 11.2 Analisi di una serie storica annualeattraverso i modelli autoregressivi

✓ 1. Scegliete l’ordine p del modello iniziale.✓ 2. Rappresentate in un foglio di lavoro Microsoft Excel le variabili Yn – 1, Yn – 2,

…,Yn – p (predittori) ritardate rispettivamente di 1, 2, …,p periodi (Tabella 11.8).✓ 3. Stimate un modello di regressione multipla con i predittori rappresentati dalle

variabili Y ritardate.✓ 4. Effettuate un test per la significatività del parametro autoregressivo di ordine mas-

simo Ap.(a) Se il test porta a rifiutare l’ipotesi nulla, il modello con p predittori deve

essere scelto per rappresentare la serie e per effettuare previsioni (equazioni11.3 e 11.4).

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 88

Riprendiamo l’esempio relativo alle entrate lorde a prezzi costanti 1982-84 della societàEastman Kodak per il periodo compreso fra il 1975 e il 1998 (Tabella 11.6). Nella Tabella11.8 sono riportati, insieme alle osservazioni, i predittori per modelli autoregressivi fino alterzo ordine. Notiamo che nelle variabili ritardate a 1, 2 e 3 periodi vengono persi rispettiva-mente 1, 2 e 3 valori rispetto alle 24 osservazioni della serie originaria.

Scelta del modello autoregressivo appropriato

Scegliete il modello autoregressivo più appropriato fra quelli di ordine compreso tra 1 e 3per interpolare la serie delle entrate lorde della società Eastman Kodak.

SOLUZIONE

La Tabella 11.8 serve come punto di partenza per la determinazione di un modello autore-gressivo del terzo ordine.

Il modello stimato, ottenuto con l’ausilio di Microsoft Excel, è:

Yi � 2.7673 � 1.285Yi�1 � .5957Yi�2 � 0.0634Yi�3

Esempio 11.7


(b) Se il test porta ad accettare l’ipotesi nulla, l’ultimo predittore deve essere scar-tato. Considerate ora il modello con un regressore in meno. Verificate la signi-ficatività del parametro autoregressivo di ordine massimo del nuovo modello.La procedura continua fino ad individuare un modello il cui parametro auto-regressivo di ordine massimo risulta significativo.

✓ 5. Il modello così selezionato può essere utilizzato per interpolare le osservazioni(equazione 11.3) e per prevedere valori futuri della serie (equazione 11.4).

Predittori di modelliautoregressivi del primo, secondo e terzo ordine sulla serie delle entratelorde della società Eastman Kodak(1975-1998)

Tabella 11.8

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 89

dove l’origine è rappresentata dal 1978 e l’unità è l’anno. A questo punto conviene applicare il test per la verifica della significatività di A3, il para-

metro autoregressivo di ordine massimo. Sulla base del modello autoregressivo di ordine 3,il valore della stima di A3 è pari a a3 = 0.0634, con un errore standard � 0.2509.

Si vuole quindi verificare l’ipotesi nulla

H0: A3 � 0

contro l’alternativa

H1: A3 � 0

Applicando l’equazione (11.12) otteniamo il valore osservato della statistica test:

Con � = 0.05, il valore critico della distribuzione t di Student con n – 2p –1 =17 gradi dilibertà è pari a t17 = 2.1098. Poiché |t|= 0.253 < t17 = 2.1098 (e anche p-value = 0.803 >� = 0.05) l’ipotesi nulla, secondo cui il parametro A3 sarebbe uguale a zero, non può essererifiutata. La componente autoregressiva di terzo ordine deve essere eliminata.

A questo punto determiniamo un nuovo modello autoregressivo di ordine 2, ottenendo iseguenti risultati:

dove l’origine è rappresentata dal 1977 e l’unità è sempre l’anno. Dobbiamo ora verificare che il parametro autoregressivo di secondo ordine sia significa-

tivo. Si vuole quindi verificare l’ipotesi nulla

H0: A2 � 0

contro l’alternativa

H1: A2 � 0

Applicando ancora una volta l’equazione (11.12) otteniamo il valore osservato della stati-stica test:

t �a2

Sa2

��0.516

0.206� �2.51

Yi � 2.900 � 1.256Yi�1 � 0.516Yi�2

t �a3

Sa3

�0.0634

0.25089� 0.253

Sa3


RIQUADRO A Output Excel del modello autoregressivo del terzo ordine implementato sulle entrate lorde della Eastman Kodak.

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 90

Con � � 0.05, il valore critico della distribuzione t di Student con n – 2p – 1 � 19 gradi dilibertà è pari a t19 � 2.093. Poiché |t|� 2.51 > t19 � 2.093 (e anche: p-value � 0.021 < �� 0.05) l’ipotesi nulla, secondo cui il parametro A2 sarebbe uguale a zero, deve essere rifiu-tata. La componente autoregressiva di secondo ordine deve essere considerata significativa enon può essere eliminata dal modello. Siamo quindi giunti alla conclusione che il modelloautoregressivo di secondo ordine è il più appropriato per rappresentare le osservazioni.

Avendo scelto il modello autoregressivo del secondo ordine, qualsiasi previsione per ilfuturo si baserà esclusivamente sui tre parametri stimati a0 � 2.90, a1 � 1.256 e a2 � – 0.516e sugli ultimi due valori osservati della serie (Y23 � 9,034 e Y24 � 8.22). In particolare leprevisioni per gli anni 1999 e 2000 si ottengono nel modo seguente:

� 2.900 � 1.256 � 0.516

1999: 1 anno prima � 2.900 � 1.256(8.22) � 0.516(9.034) � 8.56 milioni di dollari

2000: 2 anni prima � 2.900 � 1.256(8.56) � 0.516(8.22) � 9.41 milioni di dollari

Nella Figura 11.13 sono riportati i valori della serie delle entrate lorde della EastmanKodak insieme con i valori previsti sulla base del modello autoregressivo del secondoordine.

•11.20 Considerate una serie storica di 40 osservazioni e supponete di voler stimare un modelloautoregressivo del quinto ordine sui valori della serie.(a) Quanti valori vengono persi nello sviluppo del modello?(b) Quanti parametri devono essere stimati?(c) Quali dei valori originari entrano in gioco nelle previsioni?(d) Esprimete analiticamente il modello.(e) Rappresentate in un’equazione la previsione a j periodi futuri.

11.21 Considerate una serie storica di 17 osservazioni. Supponete di aver stimato un modello autore-gressivo del terzo ordine, ottenendo le seguenti stime dei parametri, con i corrispondenti erroristandard:

a0 � 4.50 a1 � 1.80 a2 � 0.80 a3 � 0.24

� 0.50 � 0.30 � 0.10

(a) Adottando un livello di significatività � = 0.05, valutate la bontà del modello.

Sa3Sa2

Sa1

Y26

Y25

Yn�j�2Yn�j�1Yn�j


RIQUADRO B Output Excel del modello autoregressivo del secondoordine implementato sulle entrate lorde della Eastman Kodak.


levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 91

(b) Supponendo che le tre osservazioni più recenti siano:

Y15 � 23 Y16 � 28 Y17 � 34

Prevedete il valore della serie per i periodi 18 e 19.(b) Supponendo che le tre osservazioni più recenti siano:

� 0.45 � 0.35 � 0.15

Come cambierebbero le vostre considerazioni sul modello?11.22 Fate riferimento ai dati dell’Esercizio 11.14 (depositi totali della J.P. Morgan nei 19 anni

compresi fra il 1979 e il 1997).(a) Stimate un modello autoregressivo del terzo ordine, verificando al livello � � 0.05 la

significatività del parametro di ordine maggiore.(b) Stimate un modello autoregressivo del secondo ordine, verificando al livello � � 0.05

la significatività del parametro di ordine maggiore.(c) Stimate un modello autoregressivo del primo ordine, verificando al livello � � 0.05 la

significatività del parametro di ordine maggiore.(d) Scelto il modello che considerate più appropriato, prevedete il valore della serie per gli

anni compresi tra il 1998 e il 2001.11.23 Fate riferimento ai dati dell’Esercizio 11.15 (entrate a prezzi correnti della società Coca-

Cola nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998).(a) Stimate un modello autoregressivo del terzo ordine, verificando al livello � � 0.05 la

significatività del parametro di ordine maggiore.(b) Se necessario, stimate un modello autoregressivo del secondo ordine, verificando al

livello � � 0.05 la significatività del parametro di ordine maggiore.(c) Se necessario, stimate un modello autoregressivo del primo ordine, verificando al livello

� � 0.05 la significatività del parametro di ordine maggiore.(d) Scelto il modello che considerate più appropriato, prevedete il valore della serie per gli

anni 1999 e 2000.11.24 Fate riferimento ai dati dell’Esercizio 11.16 (valori di chiusura dell’indice Dow Jones Indu-

strial Average (DJIA) nei 20 anni compresi fra il 1979 e il 1998).(a) Stimate un modello autoregressivo del terzo ordine, verificando al livello � � 0.05 la

significatività del parametro di ordine maggiore.(b) Se necessario, stimate un modello autoregressivo del secondo ordine, verificando al

livello � � 0.05 la significatività del parametro di ordine maggiore.(c) Se necessario, stimate un modello autoregressivo del primo ordine, verificando al livello

� � 0.05 la significatività del parametro di ordine maggiore.

Sa3Sa2

Sa1


FIGURA 11.13Modello autoregressivodel secondo ordine sulla serie delle entratelorde della EastmanKodak.

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 92

(d) Scelto il modello che considerate più appropriato, prevedete il valore della serie per glianni compresi tra il 1999 e 2001.

Nei paragrafi 11.4 e 11.5 sono stati presentati sei metodi alternativi per effettuare previsionisu una serie storica: il modello basato sul trend lineare, il modello quadratico, il modelloesponenziale (paragrafo 11.4) e i modelli autoregressivi del primo, secondo e terzo ordine(paragrafo 11.5).

A questo punto viene spontaneo domandarsi se esista effettivamente un modello ottimofra quelli di cui disponiamo per effettuare previsioni su una serie storica. Vediamo ora alcunistrumenti estremamente utili per la scelta del modello.

Vediamo ora nei dettagli questi strumenti di valutazione del modello e di scelta fra modellialternativi.

Analisi dei residuiAnalogamente a quanto visto per l’analisi della regressione (paragrafi 9.5 e 10.2), i residuidel modello si ottengono come differenza fra i valori osservati e i valori ottenuti con ilmodello stesso (“interpolati”): � . Dal grafico dei residui (Figura 11.14) è pos-sibile valutare la capacità del modello di cogliere le diverse componenti della serie storica.Quando il modello interpola adeguatamente le osservazioni, i residui assumono il tipicoandamento casuale esemplificato nel riquadro A della figura; nei riquadri da B a D sonoinvece riportati residui che seguono andamenti sistematici, segnalando l’inadeguatezza deirispettivi modelli a cogliere le componenti di trend (riquadro B), ciclica (riquadro C) o sta-gionale (riquadro D) della serie.

Misura della grandezza dell’errore residuo attraverso il metodo delle differenze al quadrato e delle differenze in valore assolutoSupponiamo di dover scegliere fra due modelli che, dal punto di vista dell’andamento deiresidui, sembrano spiegare altrettanto bene la nostra serie storica. In questo caso abbiamobisogno di un altro metodo che ci aiuti nella scelta del modello. Gli analisti hanno propo-sto diverse misure di sintesi per la valutazione dell’errore residuo del modello (op. cit. 1,2, 10, 11) alcune delle quali sono state già presentate con riferimento all’analisi della regres-sione. Ci riferiamo in particolare al metodo, basato sul principio dei minimi quadrati, del-l’errore standard della stima SYX (paragrafo 9.3, equazione 9.8), il quale può essere calcolato

ei(Yi � Yi)

Riquadro 11.3 Linee guida per la scelta di un modello per l’analisi di una serie storica e la previsionedel suo comportamento futuro

✓ 1. Analisi dei residui.✓ 2. Misura della grandezza dell’errore residuo attraverso il metodo delle differenze

al quadrato.✓ 3. Misura della grandezza dell’errore residuo attraverso il metodo delle differenze

in valore assoluto.✓ 4. Applicazione del principio di parsimonia.

SCELTA DEL MODELLO DI PREVISIONE 93

◆11.6 SCELTA DEL MODELLO DI PREVISIONE

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 93

come somma delle differenze al quadrato fra i valori osservati e quelli interpolati utiliz-zando il modello. Naturalmente se il modello interpola perfettamente le osservazioni, ilvalore di questo indicatore sarà zero; il valore dell’indice tende ad aumentare considerandomodelli sempre meno adatti alla rappresentazione della serie. Alcuni autori reputano que-sto indice inadeguato in quanto, basandosi sugli scostamenti quadratici, porta a una eccessivapenalizzazione di modelli in cui si abbiano singoli errori di previsione particolarmente ele-vati. Viene quindi reputato più affidabile un indice che coinvolge le differenze in valore asso-luto fra valori osservati e valori previsti, il MAD (deviazione media assoluta):

Il MAD rappresenta quindi una misura della bontà del modello. A valori più bassi dell’in-dice corrispondono modelli che interpolano meglio le osservazioni. Abbiamo così a dispo-sizione un altro criterio che ci consente di vagliare modelli alternativi per la stessa seriestorica: sceglieremo il modello con MAD minimo.

Il principio di parsimoniaQuando diversi modelli sembrano essere equivalenti sulla base dei criteri descritti in pre-cedenza, nella scelta dobbiamo tenere presente un’ultima considerazione intuitiva: a paritàdi performance, deve essere preferito il modello più semplice (principio di parsimonia). Frai modelli descritti, i più parsimoniosi sono naturalmente quelli basati sul trend lineare e qua-dratico, seguiti dal modello autoregressivo di ordine 1. Fra i modelli più complessi invecevanno menzionati i modelli autoregressivi di ordine superiore al primo e il modello esponen-ziale.

Confronto fra quattro metodi di previsioneRiprendiamo l’esempio relativo alle entrate della società Eastman Kodak nel periodo di 24anni compreso fra il 1975 e il 1998. Con riferimento a questa serie siamo interessati a con-


Deviazione media assoluta

(11.15)MAD � �n

i�1�Yi � Yi�

n

0

0

1 2 3 4 5Residui con andamento casuale

(A) Modello adeguato

6 7 8 9 10

0

0

1 2 3 4 5Residui con andamento sistematico

(C) Modello incapace di coglierela componente ciclica

6 7 8 9 10

e i �

Yi �

Yi

e i �

Yi �

Yi

e i �

Yi �

Yi

e i �

Yi �

Yi

0

0


(B) Modello incapace di cogliere il trend

6 7 8 9 10

0

0


(D) Modello incapace di coglierela componente stagionale (dati mensili)

6 7 8 9 10

FIGURA 11.14 Analisi dei residui per valutare i modelli.

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 94

frontare i modelli lineare, quadratico, esponenziale e autoregressivo del secondo ordine (ilmodello autoregressivo del terzo ordine è già stato scartato con l’analisi della significati-vità del parametro di ordine 3 – Esempio 11.7). Nella Figura 11.15 sono stati riportati iresidui dei quattro modelli concorrenti. Osserviamo innanzitutto che i tre modelli basati sulmetodo dei minimi quadrati hanno residui che seguono un andamento strutturato ciclica-mente (riquadri A, B e C): i tre modelli non sono in grado di cogliere la componente ciclicadella serie. Di questi tre modelli il migliore sembra comunque essere quello quadratico che,almeno nei primi anni dell’analisi, sembra fluttuare in modo più casuale intorno all’origine.Nessuno dei tre modelli si rivela in ogni caso adeguato a rappresentare le grosse fluttua-zioni cicliche che la serie ha fatto registrare in anni più recenti (la ciclicità nei residuidiventa più marcata negli ultimi anni in tutti e tre i casi). I residui del modello autoregres-sivo del secondo ordine hanno un andamento completamente diverso rispetto a quelli deimodelli precedenti (riquadro D) manifestando il minor ammontare di componente struttu-rata. Questo primo criterio ci porta quindi ad individuare nel modello autoregressivo ilmodello più adatto a rappresentare la serie, mentre i due modelli peggiori sembrano esserequelli basati sul trend lineare ed esponenziale.

Per avere una conferma di questa intuizione iniziale, è utile in ogni caso riferirsi agliindicatori sintetici presentati in precedenza: l’errore standard della stima (SXY) e la devia-zione media assoluta (MAD), in grado di misurare la grandezza complessiva dell’erroreresiduo. I conti sono stati realizzati con Excel (Tabella 11.9) e ci portano alle stesse con-clusioni cui eravamo giunti con la semplice analisi qualitativa dei residui: secondo entrambigli indici il modello migliore è quello autoregressivo, seguito dal modello quadratico, lineareed esponenziale.

Una volta scelto il modello (riferimento bibliografico 4 per una modellistica più com-pleta sulle serie storiche) è molto importante valutare la sua capacità previsiva ex post. Via

SCELTA DEL MODELLO DI PREVISIONE 95

RIQUADRO B Modello quadratico.RIQUADRO A Modello lineare.

FIGURA 11.15 Grafici dei residui di quattro modelli per la rappresentazione di una serie storica.

RIQUADRO C Modello esponenziale. RIQUADRO D Modello autoregressivo del secondo ordine.

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 95

via che nuovi valori si rendono disponibili questi vanno confrontati con quelli che erano statiprevisti dal modello. Se le differenze sono eccessive, il modello deve essere adeguato oppor-tunamente, ricorrendo a delle procedure di controllo adattivo (riferimento bibliografico 2).

•11.25 Supponete di avere stimato il trend con un modello lineare su una serie di 12 osservazionie di aver ottenuto i seguenti residui:

2.0 �0.5 1.5 1.0 0.0 1.0 �3.0 1.5 �4.5 2.0 0.0 �1.0

(a) Calcolate l’indice SXY e interpretate i risultati.(b) Calcolate l’indice MAD e interpretate i risultati.

•11.26 Con riferimento ai dati dell’Esercizio 11.25, supponete che il primo e l’ultimo residuo sianoin realtà 12.0 (anziché 2.0) e –11.0 (anziché –1.0).(a) Calcolate l’indice SXY e interpretate i risultati.(b) Calcolate l’indice MAD e interpretate i risultati.

11.27 I seguenti dati rappresentano le spese federali pro capite effettuate in tre stati americani(Alabama, Arizona, Louisiana) nei 15 anni compresi fra il 1981 e il 1995.

Real federal spending per capita (in constant 1995 dollars), 1981-1995

REAL FEDERAL SPENDING PER CAPITA

(IN CONSTANT 1995 DOLLARS)

FISCAL YEAR ALABAMA ARIZONA LOUISIANA

1981 4091 3996 41421982 4046 4036 35991983 4212 4084 35821984 4284 4242 3552


Confronto fra quattro metodi di previsione utilizzando gli indici SXY e MAD

Tabella 11.9

Esercizi del paragrafo 11.6

DATASET

FEDSPEND

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 96

1985 4497 4289 38641986 4620 4654 38951987 4719 4784 36361988 4629 4367 37831989 4664 4439 41361990 5139 4590 42681991 5277 4526 45371992 5559 4520 49751993 5599 4765 52611994 5631 4633 54421995 5534 4686 5353

Fonte: D.P. Moynihan, M.E. Friar, H.B. Leonard, and J.H. Walder, The Federal Budget and the States: Fiscal Year 1995,jointly published by the John F. Kennedy School of Government,Harvard University, and the Office of Senator Daniel PatrickMoynihan, September 30, 1996, 43, 45, 60.

Per ciascuna delle tre serie:(a) Rappresentate i dati in un grafico.(b) Determinate l’equazione del trend lineare.(c) Prevedete il valore del trend per gli anni 1996 –1999.(d) Effettuate un’analisi dei residui.(e) Calcolate l’errore standard della stima (SYX).(f) Calcolate il MAD.(g) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (d), (e) e (f), siete soddisfatti della previsione

fatta al punto (c)? Commentate.11.28 Sulla base dei risultati ottenuti negli Esercizi 11.14 e 11.22 riguardo ai depositi della J.P.

Morgan:(a) Effettuate un’analisi dei residui per ciascun modello considerato.(b) Calcolate l’errore standard della stima (SXY) per ciascun modello considerato.(c) Calcolate il MAD per ciascun modello considerato.(d) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (a), (b) e (c) e ricordando anche il criterio della

parsimonia, quale fra i modelli analizzati vi sembra il più idoneo a prevedere i valorifuturi della serie? Commentate.

11.29 Sulla base dei risultati ottenuti negli Esercizi 11.15 e 11.23 riguardo alle entrate annualidella società Coca Cola:(a) Effettuate un’analisi dei residui per ciascun modello considerato.(b) Calcolate l’errore standard della stima (SXY) per ciascun modello considerato.(c) Calcolate il MAD per ciascun modello considerato.(d) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (a), (b) e (c) e ricordando anche il criterio della


11.30 Sulla base dei risultati ottenuti negli Esercizi 11.16 e 11.24 riguardo ai valori di chiusuradell’indice Dow Jones Industrial Average:(a) Effettuate un’analisi dei residui per ciascun modello considerato.(b) Calcolate l’errore standard della stima (SXY) per ciascun modello considerato.(c) Calcolate il MAD per ciascun modello considerato.(d) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (a), (b) e (c) e ricordando anche il criterio della


Finora ci siamo concentrati sull’analisi di serie storiche a cadenza annuale. Tuttavia, nume-rose serie storiche di carattere economico sono registrate con una cadenza trimestrale o

ANALISI DI SERIE STORICHE A CADENZA MENSILE O TRIMESTRALE 97

◆11.7 ANALISI DI SERIE STORICHE A CADENZA MENSILE O TRIMESTRALE

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 97

mensile, ma anche settimanale, giornaliera o oraria. Si è già accennato (Tabella 11.1) alfatto che, quando i dati sono disponibili ad intervalli infra-annuali, è necessario considerareun’ulteriore componente della serie: la componente stagionale. In questo paragrafo presen-teremo un approccio all’analisi di serie storiche mensili o trimestrali, basato sui metodi diregressione discussi nel Capitolo 10.

Nella Tabella 11.10 e nella Figura 11.16 sono rappresentate le spese private mensili perabitazioni (a prezzi costanti 1995) in una piccola città americana dal gennaio 1992 fino adicembre 1997.


Spese private mensili per abitazioni (a prezzi costanti 1995)in una piccola città americana (gennaio 1992-dicembre 1997)

ANNO

MESE 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Gennaio 10.2 11.2 12.5 12.6 13.2 13.0

Febbraio 9.7 11.0 12.0 12.0 12.5 12.7

Marzo 11.3 12.7 13.9 14.2 14.4 14.8

Aprile 12.4 14.3 15.4 15.6 15.8 15.9

Maggio 13.6 16.2 17.0 17.1 17.1 17.1

Giugno 14.5 17.7 18.2 18.3 18.1 17.7

Luglio 14.8 18.4 18.6 18.9 18.7 17.9

Agosto 15.3 18.6 18.8 19.3 18.9 18.0

Settembre 15.0 18.1 18.4 18.7 18.1 16.8

Ottobre 15.0 18.0 18.2 18.7 17.8 16.3

Novembre 14.2 16.7 17.1 17.7 16.7 14.7Dicembre 12.4 14.2 14.5 15.0 14.0 12.2

Tabella 11.10DATASET

PRIRECON

FIGURA 11.16Spese private mensili per abitazioni (a prezzicostanti 1995) in una piccola città americana (gennaio1992-dicembre 1997).

Fonte: dati della Tabella 11.10.

Per l’analisi di serie storiche mensili come quella descritta, riprendiamo il classicomodello moltiplicativo, aggiungendo alle componenti di trend, ciclica e irregolare (equa-zione 11.4) un nuovo fattore rappresentato dalla componente stagionale.

Yi � Ti � Si � Ci � Ii

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 98


Il modello esponenziale con dati mensili

(11.16a)

dove

b0 � intercetta stimata di Y

(b1 � 1) � 100% � stima del tasso di crescita mensile composto

Xi � valore assegnato al mese

b2 � moltiplicatore di gennaio (rif. dicembre)

b3 � moltiplicatore di febbraio (rif. dicembre)

b4 � moltiplicatore di marzo (rif. dicembre)

....

b12 � moltiplicatore dicembre-novembre

M1 � 1 se gennaio, 0 altrimenti

M2 � 1 se febbraio, 0 altrimenti

M3 � 1 se marzo, 0 altrimenti

...

M11 � 1 se novembre, 0 altrimenti

Yi � b0bXi1 bM1

2 bM23 bM3

4 bM45 bM5

6 bM67 bM7

8 bM89 bM9

10 bM1011 bM11

12

Il modello esponenziale con dati trimestrali

(11.17a)

dove

b0 � intercetta stimata di Y

(b1 � 1) � 100% � stima del tasso di crescita trimestrale composto

Xi � valore assegnato al trimestre

b2 � moltiplicatore del primo trimestre (rif. quarto trimestre)

b3 � moltiplicatore del secondo trimestre (rif. quarto trimestre)

b4 � moltiplicatore del terzo trimestre (rif. quarto trimestre)

Q1 � 1 se primo trimestre, 0 altrimenti

Q2 � 1 se secondo trimestre, 0 altrimenti

Q3 � 1 se terzo trimestre, 0 altrimenti

Yi � b0bXi1 bQ1

2 bQ23 bQ3

4

Previsione per serie storiche mensili o trimestrali con il metodo dei minimi quadratiCercheremo ora di introdurre nel modello di regressione la componente stagionale, combi-nando le tecniche basate sui minimi quadrati presentate nel paragrafo 11.4 con la modelli-stica per regressori di tipo categorico di cui si è discusso nel paragrafo 10.7.

Il trend esponenziale ad esempio può essere adattato ad osservazioni a cadenza mensilenel seguente modo:

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 99

Osserviamo che le variabili Mi (i � 1, …, 11) e Qi (i = 1, 2, 3) sono delle variabili dummynecessarie per introdurre le componenti mensile e trimestrale. Passando al logaritmo natu-rale (logaritmo in base e) in entrambi i membri delle equazioni (11.16a) e (11.17a) otte-niamo le equazioni (11.16b) e (11.17b).

Osserviamo che le equazioni (11.16b) e (11.17b) sono in forma lineare. Di conseguenza èpossibile applicare il metodo dei minimi quadrati alla variabile log Yi e quindi ottenere lestime delle inclinazioni (log bi i = 1, ..., 12) e dell’intercetta (log b0). I coefficienti b0, b1,…, b12 stimati si ricaveranno poi con una semplice trasformazione antilogaritmica.

Il modello presentato può sembrare molto complesso, tuttavia occorre osservare che, inciascun periodo, mese o trimestre che sia, solo una delle variabili dummy del modello èdiversa da zero. Questo porta ad una drastica semplificazione dell’equazione.

Per dati mensili ad esempio, le equazioni (11.6b) e (11.6a) si riducono nel modo seguente:

In gennaio: quindi passando agli antilogaritmi

In febbraio: quindi passando agli antilogaritmi

In marzo: quindi passando agli antilogaritmi

...

In novembre: quindi passando agli antilogaritmi

In dicembre: quindi passando agli antilogaritmi

Notiamo che il modello per il mese di dicembre, mese che rappresenta il periodo base delmodello, si ottiene ponendo pari a zero tutte le variabili dummy.

Per dati trimestrali invece, le equazioni (11.7b) e (11.7a) si riducono nel modo seguente:

Nel primo trimestre: quindi passando agli antilogaritmi

Nel secondo trimestre: quindi passando agli antilogaritmi

Nel terzo trimestre: quindi passando agli antilogaritmi

Nel quarto trimestre: quindi passando agli antilogaritmi Yi � b0bXi1Yi � ln b0 � Xi ln b1

Yi � b0bXi1 bQ3

4

Yi � ln b0 � Xi ln b1 � Q3 ln b4

Yi � b0bXi1 bQ2

3


Yi � b0bXi1 bQ1

2


Yi � b0bXi1Yi � ln b0 � Xi ln b1

Yi � b0bXi1 bM11

12

Yi � ln b0 � Xi ln b1 � M11 ln b12

Yi � b0bXi1 bM3

4


Yi�b0bXi1 bM2

3


Yi � b0bXi1 bM1

2



Il modello esponenziale con dati mensili

(11.16b)ln Yi � ln b0 � Xi ln b1 � M1 ln b2 � M2 ln b3 � M3 ln b4 � � � � � M11 ln b12

Il modello esponenziale con dati trimestrali

(11.17b)ln Yi � ln b0 � Xi ln b1 � Q1 ln b2 � Q2 ln b3 � Q3 ln b4

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 100

In questo caso, il periodo di base del modello è quello relativo al quarto trimestre, che siottiene assumendo nulle tutte le variabili dummy del modello stesso.

Per mostrare un’applicazione del modello descritto, riprendiamo l’esempio relativo allespese private mensili per abitazioni (a prezzi costanti 1995) in una città americana nelperiodo compreso fra il gennaio 1992 e il dicembre 1997 (Tabella 11.10). Nella Figura11.17 è riportato l’output Excel del modello nei logaritmi.

Notiamo che il modello sembra interpretare correttamente le osservazioni: i valori deicoefficienti di determinazione R2 aggiustato e non aggiustato sono molto elevati (84.5% e81.3% rispettivamente); il test statistico F segnala un’ottima significatività congiunta deicoefficienti del modello (p-value = 0.000); quasi tutti i coefficienti sono singolarmente signi-ficativi, eccetto quello relativo al mese di marzo che segnala una variazione solo casualedella componente stagionale in quel mese rispetto al mese di riferimento (dicembre). Pas-sando agli antilogaritmi otteniamo le seguenti stime dei coefficienti:

COEFFICIENTI DELLA REGRESSIONE ln bi bi �

b0: Y intercetta 2.51683 12.3893b1: Inclinazione del codice di mese 0.00241 1.0024b2: Gennaio �0.09862 0.9061b3: Febbraio �0.14032 0.8691b4: Marzo 0.00831 1.0083b5: Aprile 0.10132 1.1066b6: Maggio 0.19218 1.2119b7: Giugno 0.25310 1.2880b8: Luglio 0.27688 1.3190b9: Agosto 0.28978 1.3361b10: Settembre 0.25198 1.2866b11: Ottobre 0.23900 1.2700b12: Novembre 0.16756 1.1824

elnbi


FIGURA 11.17 Output Excel del modello su dati mensili.

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 101

Interpretazione delle stime:

• L’intercetta b0 � 12.3893 rappresenta il valore del trend all’inizio del periodo (gen-naio 1992).

• Il valore (b1 – 1) � 100% � 0.24% è la stima del tasso di crescita mensile compo-sto della serie analizzata.

• b2 � 0.9061 è il moltiplicatore stagionale per il mese di gennaio con riferimento almese base di dicembre. Rispetto al mese di dicembre, in gennaio si spende il 9.4% inmeno in abitazioni.

• b3 � 0.8691 è il moltiplicatore stagionale per il mese di febbraio con riferimento almese base di dicembre. Rispetto al mese di dicembre, in febbraio si spende il 13.1%in meno in abitazioni.

• b4 � 1.0083 è il moltiplicatore stagionale per il mese di marzo con riferimento almese base di dicembre. Rispetto al mese di dicembre, in marzo si spende lo 0.8% inmeno in abitazioni.

...

• b12 � 1.1824 è il moltiplicatore stagionale per il mese di novembre con riferimentoal mese base di dicembre. Rispetto al mese di dicembre, in novembre si spende il18.2% in più in abitazioni.

Vediamo ora in che modo il modello proposto può essere utilizzato per interpolare laserie ed effettuare delle previsioni. A titolo di esempio, supponiamo di voler stimare la spesaper abitazioni relativa ai mesi di novembre e dicembre 1997. Ci affideremo alle seguentiequazioni:

Per novembre 1997: � 2.51683 � 70(0.00241) � 0.16756

� 2.85309 quindi passando agli antilogaritmi

� 17.341

Per dicembre 1997: � 2.51683 � 71(0.00241)


� 14.701

In modo del tutto analogo a quanto descritto nei paragrafi precedenti, anche in questocaso la bontà del modello può essere valutata attraverso il calcolo degli indici SYX e MAD.

Volendo poi utilizzare il modello per effettuare previsioni a ciascun mese dell’anno 2000,si hanno le seguenti relazioni:

Gennaio 2000: � 2.51683 � 96(0.00241) � 0.09862


� 14.148

Febbraio 2000: � 2.51683 � 97(0.00241) � 0.14032


� 13.603

Marzo 2000: � 2.51683 � 98(0.00241) � 0.00831


� 15.821 Y99

Y99

Y98

Y98

Y97

Y97

Y72

Y72

Y71

Y71


levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 102

...

Novembre 2000: � 2.51683 � 106(0.00241) � 0.16756


� 18.913

Dicembre 2000: � 2.51683 � 107(0.00241)


� 16.034

•11.31 Supponete di aver stimato (col metodo dei minimi quadrati) il seguente modello esponen-ziale su una serie storica mensile, con riferimento in particolare al mese di gennaio:

� 2.0 � 0.01 Xi � 0.10 Gennaio

Calcolate l’antilogaritmo dei coefficienti e interpretate:(a) il valore dell’intercetta b0 ;(b) il tasso di crescita mensile;(c) il moltiplicatore del mese di gennaio.

11.32 Se vogliamo costruire un modello per l’interpolazione e la previsione di una serie storicasettimanale, di quante variabili dummy abbiamo bisogno per tenere conto della componentestagionale?

•11.33 Supponete di aver stimato (col metodo dei minimi quadrati) il seguente modello esponen-ziale su una serie storica trimestrale (I trimestre 1995 – IV trimestre 1998):

� 3.0 � 0.10Xi � 0.25Q1 � 0.20Q2 � 0.15Q3

Calcolate l’antilogaritmo dei coefficienti e interpretate:(a) il valore dell’intercetta b0;(b) il tasso di crescita trimestrale;(c) il moltiplicatore relativo al secondo trimestre.

•11.34 Fate riferimento al modello esponenziale presentato nell’Esercizio 11.33. (a) Calcolate il valore interpolato per il quarto trimestre 1996.(b) Calcolate il valore interpolato per il primo trimestre 1997.(c) Prevedete il valore della serie per il quarto trimestre 1999.(d) Prevedete il valore della serie per il primo trimestre 2000.

•11.35 Nella seguente tabella sono riportati i valori di un indice dei prezzi (Standard & Poor) dalprimo trimestre 1994 fino al quarto trimestre 1998.

Valori trimestrali dell’indice dei prezzi Standard & Poor

ANNO

TRIMESTRE 1994 1995 1996 1997 1998

1 445.77 500.71 645.50 757.12 1101.75

2 444.27 544.75 670.63 885.14 1133.84

3 462.69 584.41 687.31 947.28 1017.014 459.27 615.93 740.74 970.43 1229.23

Fonte: Standard & Poor’s Current Statistics, January 1998, 29. Reprinted by permission of Finan-cial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc., and Yahoo.com,June 24, 1999.

(a) Fornite un’opportuna rappresentazione grafica delle osservazioni.(b) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente stagionale trimestrale.

Yi

Yi

Y108

Y108

Y107

Y107



DATASET

S&PSTKIN

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 103

(1) Qual è il valore interpolato per il terzo trimestre del 1998?(2) Qual è il valore interpolato per il quarto trimestre del 1998?(3) Prevedete, in base al modello, i valori della serie relativi a tutti i trimestri degli

anni 1999 e 2000.(4) Interpretate il tasso di crescita trimestrale.(5) Interpretate il valore del moltiplicatore relativo al secondo trimestre.

11.36 Nella seguente tabella sono riportati i valori dell’indicatore economico GNP (Gross Natio-nal Product) registrati a partire dal primo trimestre 1990 fino al quarto trimestre 1997.

Valori trimestrali del GNP (a prezzi costanti 1992)

ANNO

TRIMESTRE 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

1 6152.6 6047.5 6175.7 6327.9 6524.5 6703.7 6826.4 7101.6

2 6171.6 6074.7 6214.2 6359.9 6600.3 6708.8 6926.0 7159.6

3 6142.1 6090.1 6260.7 6393.5 6629.5 6759.2 6943.8 7217.64 6079.0 6105.3 6327.1 6436.9 6688.6 6796.5 7017.4 7250.0a

aStima.Fonte: Survey of Current Business, December 1997.

(a) Fornite un’opportuna rappresentazione grafica delle osservazioni.(b) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente stagionale trimestrale.

(1) Qual è il valore “interpolato” per il terzo trimestre del 1997?(2) Qual è il valore “interpolato” per il quarto trimestre del 1997?(3) Prevedete, in base al modello, i valori della serie relativi a tutti i trimestri degli

anni 1998 e 1999.(4) Interpretate il tasso di crescita trimestrale.(5) Interpretate il valore del moltiplicatore relativo al primo trimestre.

11.37 Nella seguente tabella sono riportati i prezzi medi della benzina (per gallone) registrati indiverse città americane nel periodo compreso tra gennaio 1990 e dicembre 1997.

Prezzi medi della benzina per gallone (prezzi correnti)

ANNO

MESE 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Gennaio 1.042 1.247 1.073 1.117 1.043 1.129 1.129 1.261Febbraio 1.037 1.143 1.054 1.108 1.051 1.120 1.124 1.255Marzo 1.023 1.082 1.058 1.098 1.045 1.115 1.162 1.235Aprile 1.044 1.104 1.079 1.112 1.064 1.140 1.251 1.231Maggio 1.061 1.156 1.136 1.129 1.080 1.200 1.323 1.226Giugno 1.088 1.160 1.179 1.130 1.106 1.226 1.299 1.229Luglio 1.084 1.127 1.174 1.109 1.136 1.195 1.272 1.205Agosto 1.190 1.140 1.158 1.097 1.182 1.164 1.240 1.253Settembre 1.294 1.143 1.158 1.085 1.177 1.148 1.234 1.277Ottobre 1.378 1.122 1.154 1.127 1.152 1.127 1.227 1.242Novembre 1.377 1.134 1.159 1.113 1.163 1.101 1.250 1.213Dicembre 1.354 1.123 1.136 1.070 1.143 1.101 1.260 1.177

Fonte: Bureau of Labor Statistics, U.S. Department of Labor, ser. ID: APU000074714, extracted February 2, 1998.

(a) Con l’applicazione dell’indice dei prezzi al consumo presentato nell’Esercizio 11.11,costruite la serie dei valori a prezzi costanti 1982-84 (dividete per CPI e moltiplicateil risultato per 100).

(b) Fornite un’opportuna rappresentazione grafica delle osservazioni.(c) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente stagionale mensile.


DATASET

REALGNP

DATASET

UNLDREG

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(1) Qual è il valore “interpolato” per il mese di novembre 1997?(2) Qual è il valore “interpolato” per il mese di dicembre 1997?(3) Prevedete, in base al modello, i valori della serie per tutti i 12 mesi del 1998.(4) Interpretate il tasso di crescita mensile.(5) Interpretate il valore del moltiplicatore relativo al mese di luglio.

11.38 Nella seguente tabella sono riportate le spese mensili associate ad una nota carta di credito.

Spese associate a una carta di credito

ANNO

MESE 1997 1998 1999

Gennaio 31.9 39.4 45.0Febbraio 27.0 36.2 39.6Marzo 31.3 40.5Aprile 31.0 44.6Maggio 39.4 46.8Giugno 40.7 44.7Luglio 42.3 52.2Agosto 49.5 54.0Settembre 45.0 48.8Ottobre 50.0 55.8Novembre 50.9 58.7Dicembre 58.5 63.4

Fonte: Dati reali raccolti da uno degli autori.

(a) Rappresentate graficamente le osservazioni.(b) Fornite una prima descrizione intuitiva dell’andamento mensile della serie.(c) In generale l’ammontare di spese associate alla carta di credito vi sembra in aumento

o in diminuzione?(d) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente stagionale mensile.(e) Interpretate il tasso di crescita mensile.(f) Interpretate il valore del moltiplicatore relativo al mese di gennaio.(g) Quale valore prevedete, in base al modello, per il mese di marzo 1999?(h) Quale valore prevedete, in base al modello, per il mese di aprile 1999?

11.39 Nella seguente tabella sono riportate le entrate trimestrali della società Toys, fatte registrarea partire dal primo trimestre 1992 fino al terzo trimestre 1998.

Entrate trimestrali della società Toys (1992-98)

ANNO

TRIMESTRE 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

1 1026 1172 1286 1462 1493 1646 1924

2 1056 1249 1317 1452 1614 1736 1989

3 1182 1346 1449 1631 1715 1883 21424 2861 3402 3893 4200 4605 4668

Fonte: Standard & Poor’s Stock Reports, November 1995, November 1998. New York: McGraw-Hill, Inc.

(a) Pensate che le entrate della società siano soggette a variazioni stagionali?(b) Fornite un’opportuna rappresentazione grafica delle osservazioni. Il vostro grafico sup-

porta l’ipotesi che avete fatto al punto (a)?(c) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente stagionale trimestrale.

(1) Interpretate il valore del tasso di crescita trimestrale.(2) Commentate i quattro moltiplicatori trimestrali.


DATASET

CREDIT

DATASET

TOYS-REV

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(3) Qual è la vostra previsione per il quarto trimestre del 1998?(4) Quali valori prevedete per i quattro trimestri del 1999?

11.40 Nella seguente tabella sono riportate le entrate trimestrali della società Ford Motor Com-pany, fatte registrare a partire dal primo trimestre 1992 fino al terzo trimestre 1998.

Entrate trimestrali della società Ford Motor Company (1992-98)

ANNO

TRIMESTRE 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

1 24 560 26 760 30 400 34 783 36 261 36 202 36 5842 26 840 29 420 33 770 36 389 37 937 40 265 37 2893 23 330 24 500 30 660 31 418 33 960 36 096 32 6404 25 410 27 840 33 643 34 547 38 833 39 952

Fonte: Standard & Poor’s Stock Reports, November 1995, November 1998. New York:McGraw-Hill, Inc.



(1) Interpretate il valore del tasso di crescita trimestrale.(2) Commentate i quattro moltiplicatori trimestrali.(3) Qual è la vostra previsione per il quarto trimestre 1998?(4) Quali valori prevedete per i quattro trimestri del 1999?

11.41 Nella seguente tabella sono riportate le entrate trimestrali della società Vulcan Materials, fatteregistrare a partire dal primo trimestre 1992 fino al terzo trimestre 1998.

Entrate trimestrali della società Vulcan Materials (1992-98)

ANNO

TRIMESTRE 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

1 211 214 217 294 309 341 3592 284 306 327 383 419 445 4663 312 336 360 422 444 478 5104 271 282 350 362 398 414




(1) Interpretate il valore del tasso di crescita trimestrale.(2) Commentate i quattro moltiplicatori trimestrali.(3) Qual è la vostra previsione per il quarto trimestre 1998?(4) Quali valori prevedete per i quattro trimestri del 1999?

La validità dei metodi, come quelli descritti in questo capitolo, che si basano sulla cono-scenza del passato e del presente per prevedere l’evolversi futuro di un fenomeno è accet-tata da sempre.

Se effettivamente non si verificasse nessun cambiamento nei fattori che, nel passato,hanno influenzato l’attività economica, i metodi descritti rappresenterebbero uno strumentovalidissimo per la previsione degli andamenti futuri dell’economia e quindi per la valuta-


DATASET

FORD-REV

DATASET

VUL-REV

◆11.8 VALIDITÀ E LIMITI DEI METODI DI ANALISI DELLE SERIE STORICHE

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zione delle migliori strategie aziendali. Naturalmente una simile stabilità non è realistica edi fronte al cambiamento le tecniche presentate non possono non sembrarci ingenue e mec-caniche. Proprio per superare alcuni dei limiti dell’analisi classica delle serie storiche sonostati elaborati in anni recenti modelli più complessi (modelli econometrici) in grado di con-siderare l’incidenza di fattori quali il giudizio personale dell’analista, l’esperienza manage-riale, il progresso tecnologico, l’evoluzione dei gusti e dei bisogni. Tale modellistica (rife-rimenti bibliografici 2, 3, 6 e 10) va oltre gli scopi di questo libro, in cui si è voluto dareun quadro delle tecniche classiche di analisi delle serie storiche e di previsione degli anda-menti futuri, le quali rappresentano pur sempre un valido punto di partenza per l’analista eper il manager e un utile strumento di supporto decisionale aziendale.

In questo capitolo, come potete osservare nel diagramma di riepilogo, sono stati presentatidiversi metodi per l’analisi di serie storiche annuali: le medie mobili, il livellamento espo-nenziale, i modelli lineari, quadratici ed esponenziali, i modelli autoregressivi. Si è inoltrediscusso un metodo di regressione con l’aggiunta di variabili dummy, utile per cogliere lacomponente stagionale e tentare un approccio previsivo su serie rilevate con cadenza men-sile o trimestrale.

RIEPILOGO DEL CAPITOLO 107

◆ RIEPILOGO DEL CAPITOLO

Previsionedi una serie storica

Trendlineare

Trendquadratico

Trendesponenziale

Modelliautoregressivi

Rappresentazionegrafica dei valori

Sì NoTrend?

Smoothingesponenziale

Mediemobili

Tabella riassuntiva del capitolo 11.

componente casuale 60

componente ciclica 59

componente irregolare 60

componente stagionale 60

deviazione media assoluta (MAD) 94

livello esponenziale 75

media mobile 62

metodi di previsione aleatori 59

metodi di previsione basati sulle serie storiche 59

◆ PAROLE CHIAVE

metodo di previsione qualitativo 59

modelli autoregressivi 84

modello autoregressivo del p-esimo ordine 84

modello autoregressivo del primo ordine 84

modello autoregressivo del secondo ordine 84

modello moltiplicativo classico per serie storiche 60

modello moltiplicativo classico 60

modello quadratico 74

previsione 84

principio di parsimonia 94

serie storica 59

tecniche di previsione quantitative 59

trend lineare 71

trend 59

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11.42 Perché sono importanti le tecniche di previsione?11.43 Cosa si intende esattamente per serie storica?11.44 Descrivete le componenti del modello moltiplicativo classico per l’analisi di una serie storica.11.45 Qual è la differenza fra le medie mobili e il livellamento esponenziale?11.46 Sotto quali circostanze il modello basato su un trend esponenziale deve essere ritenuto il

più appropriato?11.47 In cosa consiste la particolarità dei modelli di regressione discussi in questo capitolo?11.48 In cosa differiscono i modelli autoregressivi rispetto agli altri approcci per la previsione di una

serie storica?11.49 Quali sono i criteri per la scelta del modello appropriato in un caso concreto?11.50 Commentate il significato degli indici e MAD nella scelta del modello.11.51 In che modo le tecniche di previsione su dati mensili o trimestrali differiscono da quelle

discusse in relazione a serie con cadenza annuale?

11.52 I seguenti dati rappresentano l’incidenza della poliomielite (numero di casi su 100.000 per-sone) registrata a cadenza quinquennale nel periodo compreso fra il 1915 e il 1955.

Tassi di incidenza della poliomielite

ANNO 1915 1920 1925 1930 1935 1940 1945 1950 1955

Tasso 3.1 2.2 5.3 7.5 8.5 7.4 10.3 22.1 17.6

Fonte: Data are taken from B. Wattenberg, ed., The Statistical History of the United States: FromColonial Times to the Present, ser. B303 (New York: Basic Books, 1976).

(a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico.(b) Adattate alla serie un trend lineare e disegnatelo sul precedente grafico.(c) Prevedete l’incidenza della malattia per gli anni 1960, 1965 e 1970.

•11.53 Nella seguente tabella sono riportate le entrate lorde (a prezzi correnti) della società Geor-gia-Pacific Corporation nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998.

Entrate lorde (a prezzi correnti) della società Georgia-Pacific Corporation


1975 2.4 1983 6.5 1991 11.51976 3.0 1984 6.7 1992 11.81977 3.7 1985 6.7 1993 12.31978 4.4 1986 7.2 1994 12.71979 5.2 1987 8.6 1995 14.31980 5.0 1988 9.5 1996 13.01981 5.4 1989 10.1 1997 13.11982 5.4 1990 12.7 1998 13.3

Fonte: Moody’s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993, 1997. Reprinted by permissionof Financial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc., andStandard and Poor’s Corp., New York: McGraw-Hill, Inc., April 1999.(a) Calcolate le entrate la prezzi costanti 1982-84, dividendo ciascun valore della tabella

per l’indice dei prezzi al consumo (Esercizio 11.11) e moltiplicando il risultato per 100.(b) Rappresentate la nuova serie di dati in un grafico.(c) Individuate il trend lineare.(d) Individuate il trend quadratico.(e) Individuate il trend esponenziale.

SYX


DATASET

POLIO

DATASET

GAPAC

Verifica della comprensione

Esercizi di riepilogo del Capitolo

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 108

(f) Stimate un modello autoregressivo del terzo ordine e verificate la significatività delparametro autoregressivo di ordine tre (� = 0.05).

(g) Se necessario, stimate un modello autoregressivo del secondo ordine e verificate lasignificatività del parametro autoregressivo di ordine due (� = 0.05).

(h) Se necessario, stimate un modello autoregressivo del primo ordine e verificate la signi-ficatività del parametro autoregressivo di ordine uno (� = 0.05).

(i) Analizzate i residui dei tre modelli considerati ai punti (c) – (e) e del modello autore-gressivo più appropriato fra quelli stimati ai punti (f) – (h).

( j) Calcolate l’indice per tutti i modelli considerati al punto (i).(k) Calcolate l’indice MAD per tutti i modelli considerati al punto (i).(l) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (i) – (k), e tenendo conto anche del principio

di parsimonia, quale fra i modelli confrontati vi sembra il più idoneo a prevedere l’an-damento futuro della serie?

(m) Utilizzate il modello scelto al punto (l) per effettuare una previsione per gli anni 1999-2000.

11.54 Nella seguente tabella sono riportate le entrate lorde (a prezzi correnti) della società PhilipMorris nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998.

Entrate lorde (a prezzi correnti) della società Philip Morris


1975 3.6 1983 13.0 1991 56.5

1976 4.3 1984 13.8 1992 59.1

1977 5.2 1985 16.0 1993 60.9

1978 6.6 1986 25.9 1994 65.1

1979 8.1 1987 28.2 1995 66.1

1980 9.6 1988 31.7 1996 69.2

1981 10.7 1989 44.8 1997 72.0

1982 11.6 1990 51.3 1998 74.4

Fonte: Moody’s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993, 1997. Reprinted bypermission of Financial Information Services, a division of Financial CommunicationsCompany, Inc., and Standard and Poor’s Corp., New York: McGraw-Hill, April 1999.

(a) Calcolate le entrate la prezzi costanti 1982-84, dividendo ciascun valore della tabellaper l’indice dei prezzi al consumo (Esercizio 11.11) e moltiplicando il risultato per 100.

(b) Rappresentate la nuova serie di dati in un grafico.(c) Individuate il trend lineare.(d) Individuate il trend quadratico.(e) Individuate il trend esponenziale.(f ) Adattate alla serie un modello autoregressivo del terzo ordine e verificate la significa-

tività del parametro autoregressivo di ordine tre (� = 0.05).(g) Se necessario, adattate alla serie un modello autoregressivo del secondo ordine e veri-

ficate la significatività del parametro autoregressivo di ordine due (� = 0.05).(h) Se necessario, adattate alla serie un modello autoregressivo del primo ordine e verifi-

cate la significatività del parametro autoregressivo di ordine uno (� = 0.05).(i) Analizzate i residui dei tre modelli considerati ai punti (c) – (e) e del modello autore-

gressivo più appropriato fra quelli stimati ai punti (f) – (h).( j) Calcolate l’indice SXY per tutti i modelli considerati al punto (i).(k) Calcolate l’indice MAD per tutti i modelli considerati al punto (i).(l) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (i) – (k), e tenendo conto anche del principio



SYX

ESERCIZI DI RIEPILOGO DEL CAPITOLO 109

DATASET

PMORRIS

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 109

11.55 Nella seguente tabella sono riportate le entrate lorde (a prezzi correnti) della società McDonald’s Corporation nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998.

Entrate lorde (a prezzi correnti) della società McDonald’s Corporation


1975 1.0 1983 3.1 1991 6.7

1976 1.2 1984 3.4 1992 7.1

1977 1.4 1985 3.8 1993 7.4

1978 1.7 1986 4.2 1994 8.3

1979 1.9 1987 4.9 1995 9.8

1980 2.2 1988 5.6 1996 10.7

1981 2.5 1989 6.1 1997 11.4

1982 2.8 1990 6.8 1998 12.4


(a) Calcolate le entrate la prezzi costanti 1982-84, dividendo ciascun valore della tabellaper l’indice dei prezzi al consumo (Esercizio 11.11) e moltiplicando il risultato per 100.

(b) Rappresentate la nuova serie di dati in un grafico.(c) Individuate il trend lineare.(d) Individuate il trend quadratico.(e) Individuate il trend esponenziale.(f ) Adattate alla serie un modello autoregressivo del terzo ordine e verificate la signifi-

catività del parametro autoregressivo di ordine tre (� = 0.05).(g) Se necessario, adattate alla serie un modello autoregressivo del secondo ordine e veri-

ficate la significatività del parametro autoregressivo di ordine due (� = 0.05).(h) Se necessario, adattate alla serie un modello autoregressivo del primo ordine e verifi-

cate la significatività del parametro autoregressivo di ordine uno (� = 0.05).(i) Analizzate i residui dei tre modelli considerati ai punti (c) – (e) e del modello autore-

gressivo più appropriato fra quelli stimati ai punti (f) – (h).( j) Calcolate l’indice SXY per tutti i modelli considerati al punto (i).(k) Calcolate l’indice MAD per tutti i modelli considerati al punto (i).(l) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (i) – (k), e tenendo conto anche del principio



11.56 Nella seguente tabella sono riportate le entrate lorde (a prezzi correnti) della società Sears,Roebuck & Company nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998.

Entrate lorde (a prezzi correnti) della società Sears, Roebuck & Company


1975 13.1 1983 35.9 1991 57.2

1976 17.7 1984 38.8 1992 52.3

1977 19.6 1985 40.7 1993 50.8

1978 22.9 1986 42.3 1994 54.6

1979 24.5 1987 48.4 1995 34.9


DATASET

MCDONALD

DATASET

SEARS

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 110

1980 25.2 1988 50.3 1996 38.2

1981 27.4 1989 53.8 1997 41.31982 30.0 1990 56.0 1998 41.3


(a) Calcolate le entrate prezzi a costanti 1982-84, dividendo ciascun valore della tabellaper l’indice dei prezzi al consumo (Esercizio 11.11) e moltiplicando il risultato per 100.

(b) Rappresentate la nuova serie di dati in un grafico.(c) Individuate il trend lineare.(d) Individuate il trend quadratico.(e) Individuate il trend esponenziale.(f ) Adattate alla serie un modello autoregressivo del terzo ordine e verificate la significa-

tività del parametro autoregressivo di ordine tre (� = 0.05).(g) Se necessario, adattate alla serie un modello autoregressivo del secondo ordine e veri-

ficate la significatività del parametro autoregressivo di ordine due (� = 0.05).(h) Se necessario, adattate ala serie un modello autoregressivo del primo ordine e verifi-

cate la significatività del parametro autoregressivo di ordine uno (� = 0.05).(i) Analizzate i residui dei tre modelli considerati ai punti (c) – (e) e del modello auto-

regressivo più appropriato fra quelli stimati ai punti (f) – (h).(j) Calcolate l’indice SXY per tutti i modelli considerati al punto (i)(k) Calcolate l’indice MAD per tutti i modelli considerati al punto (i)(l) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (i) – (k), e tenendo conto anche del principio



11.57 Nella seguente tabella sono riportate le entrate trimestrali fatte registrare dalla società Wal-Mart Stores nel periodo di 7 anni compreso fra il 1992 e il 1998.

Entrate trimestrali della società Wal-Mart Stores (1992-1998)

ANNO

TRIMESTRE 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

1 9280 11 650 13 920 17 690 20 440 22 772 25 4092 10 340 13 030 16 237 19 942 22 723 25 587 28 3663 10 630 13 680 16 827 20 418 22 913 25 644 28 7774 13 640 17 122 20 361 24 448 27 550 30 856 35 386


(a) Quali fra le componenti che in generale compongono una serie storica riuscite ad indi-viduare nei dati riportati nella tabella?

(b) Rappresentate i valori in un grafico. (c) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente trimestrale.(d) Interpretate i valori dei “moltiplicatori” trimestrali.(e) Effettuate una previsione a tutti i trimestri degli anni 1999 e 2000.

11.58 Nella seguente tabella è riportato il numero medio di ore di lavoro settimanali per addettialla produzione nel ramo manifatturiero, calcolato mensilmente a partire dal gennaio 1992fino a dicembre 1997.

ESERCIZI DI RIEPILOGO DEL CAPITOLO 111

DATASET

WALMART

DATASET

WORKWEEK

levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 111

Supponete di essere membro di una società finan-ziaria che investe a livello internazionale. I vostrisoci, per stabilire la politica degli investimenti,hanno bisogno di una previsione dei valori futuridei tassi di cambio rispetto al dollaro americano didiverse valute quali il dollaro canadese, il francofrancese, il marco tedesco, lo yen giapponese e la

sterlina inglese. Nella tabella sono riportati i cambi(rispetto al dollaro americano) registrati negli annidal 1967 al 1997. Analizzate opportunamente lecinque serie storiche proposte, utilizzando gli stru-menti appresi in questo capitolo, e prevedete i tassidi cambio delle cinque valute rispetto al dollaroamericano per gli anni 1998-1999 e 2000.

◆ IL CASO ANALISI DI UNA SERIE STORICA DI TASSI DI CAMBIO

DATASET

CURRENCYTassi di cambio di cinque valute rispetto al dollaro americano

DOLLARO FRANCO MARCO YEN STERLINA

ANNO CANADESE FRANCESE TEDESCO GIAPPONESE INGLESEa

1967 1.0789 4.921 3.9865 362.13 275.041968 1.0776 4.953 3.9920 360.55 239.351969 1.0769 5.200 3.9251 358.36 239.011970 1.0444 5.529 3.6465 358.16 239.151971 1.0099 5.510 3.4830 347.79 244.421972 0.9907 5.044 3.1886 303.13 250.341973 1.0002 4.454 2.6715 271.31 245.251974 0.9780 4.811 2.5868 291.84 234.031975 1.0175 4.288 2.4614 296.78 222.171976 0.9863 4.783 2.5185 296.45 180.481977 1.0633 4.916 2.3236 268.62 174.49

Numero medio di ore di lavoro settimanali nel ramo manifatturiero

ANNO

MESE 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Gennaio 40.8 41.3 41.7 42.2 40.1 41.8

Febbraio 41.0 41.5 41.2 41.9 41.4 41.9

Marzo 41.0 41.1 42.0 41.8 41.3 42.1

Aprile 41.0 41.6 41.9 41.5 41.5 42.1

Maggio 41.1 41.3 42.0 41.4 41.6 42.0

Giugno 41.1 41.2 42.0 41.4 41.7 41.8

Luglio 41.1 41.4 42.0 41.3 41.6 41.8

Agosto 41.1 41.4 42.0 41.5 41.7 41.8

Settembre 41.0 41.6 41.9 41.5 41.7 41.9

Ottobre 41.1 41.5 42.1 41.5 41.7 42.0

Novembre 41.2 41.6 42.1 41.5 41.7 42.1Dicembre 41.2 41.7 42.1 41.2 42.0 42.1a

aStima.Fonte: Standard & Poor’s Current Statistics, January 1998, 7. Reprinted by permission ofFinancial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc.

(a) Rappresentate i valori in un grafico. (b) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente mensile e utilizzatelo per

effettuare una previsione della serie a tutti i mesi del 1998.


levine11_57-116 3-04-2002 8:28 Pagina 112

IL CASO SPRINGVILLE HERALD 113

1978 1.1405 4.509 2.0097 210.39 191.841979 1.1713 4.257 1.8343 219.02 212.241980 1.1693 4.225 1.8175 226.63 232.461981 1.1990 5.440 2.2632 220.63 202.431982 1.2344 6.579 2.4281 249.06 174.801983 1.2325 7.620 2.5539 237.55 151.591984 1.2952 8.736 2.8455 237.46 133.681985 1.3659 8.980 2.9420 238.47 129.741986 1.3896 6.926 2.1705 168.35 146.771987 1.3259 6.012 1.7981 144.60 163.981988 1.2306 5.960 1.7570 128.17 178.131989 1.1842 6.380 1.8808 138.07 163.821990 1.1668 5.447 1.6166 145.00 178.411991 1.1460 5.647 1.6610 134.59 176.741992 1.2085 5.294 1.5618 126.78 176.631993 1.2901 5.663 1.6533 111.20 150.201994 1.3656 5.552 1.6228 102.21 153.161995 1.3027 4.853 1.5014 103.35 152.841996 1.3704 5.184 1.5415 115.87 171.261997 1.4296 6.024 1.7986 130.38 165.18

aIn cents per pound.Fonte: Board of Governors of the Federal Reserve System, Table B-107.

Si è discusso dell’importanza che riveste per il gior-nale il ramo delle consegne a domicilio, per incre-mentare le quali i responsabili di marketing delquotidiano hanno messo a punto una serie di strate-gie di cui si è parlato nei precedenti capitoli. Ora il

giornale vuole verificare se effettivamente l’impe-gno ha prodotto i risultati sperati. A tal fine i re-sponsabili hanno raccolto informazioni dettagliatesul numero di abbonamenti per consegna a domici-lio in un periodo di due anni (Tabella SH11.1).

◆ IL CASO IL CASO SPRINGVILLE HERALD

Numero di abbonamenti per consegna a domicilio in un periodo di 24 mesi

MESE ABBONAMENTI MESE ABBONAMENTI

1 75 327 13 90 507

2 77 116 14 91 927

3 79 341 15 93 878

4 80 983 16 94 784

5 82 326 17 96 109

6 82 879 18 97 189

7 84 006 19 97 899

8 85 119 20 99 208

9 86 182 21 100 537

10 87 418 22 102 028

11 88 063 23 103 97712 89 444 24 106 375

Tabella SH11.1DATASET

SH11

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L’uso di Excel per il calcolo delle medie mobiliPer mostrare l’applicazione del calcolo di una media mobile con l’uso di Excel, aprite il file GM.XLSe considerate il foglio di lavoro Data. Selezionate Strumenti | Analisi dei dati e scegliete l’opzionemedia mobile. Inserite C1 : C25 nel campo Intervallo di input, selezionate l’opzione Etichette nellaprima riga, inserite l’ordine della media mobile (in questo caso 3) nel campo Intervallo e sceglieteun opportuno Intervallo di output (ad esempio D2:D25). Fate clic sul tasto OK e otterrete nellacolonna D la media mobile di ordine 3 calcolata sulle osservazioni.

Ripetete il procedimento richiedendo di calcolare la media mobile di ordine 7. Si osserva che inentrambi i casi Excel non posiziona correttamente l’output in corrispondenza della parte centrale dellaserie, ma lo sposta di qualche cella verso il basso. Potete correggere l’errore con un semplice taglia-incolla che sposti la serie delle medie mobili di ordine tre a partire dalla terza cella e quella dellemedie di ordine 7 a partire dalla quinta cella, in modo da centrare correttamente le medie.

L’uso di Excel per il livellamento (o smorzamento) esponenzialeScegliete ora, all’interno del percorso Strumenti|Analisi dei dati l’opzione Smorzamento esponen-ziale. Inserite C1:C25 nel campo Intervallo di input, selezionate l’opzione Etichette nella primariga. Se volete ottenere valori smussati con un W = 0.25, inserite il valore 1 – W = 0.75 nel campoFattore di smorzamento e scegliete un opportuno Intervallo di output (ad esempio F2:F25).

Ripetete il procedimento scegliendo un fattore di smorzamento pari a 0.5. Anche in questo casodovete incollare le formule una riga più in alto rispetto a quella automaticamente scelta da Excel.

A questo punto potete utilizzare Autocomposizione grafico per rappresentare i valori, le mediemobili e i valori smorzati, seguendo le indicazioni fornite nell’Appendice 2.1.

◆A11.1 L’USO DI MICROSOFT EXCEL PER L’ANALISIDELLE SERIE STORICHE


(a) Analizzate opportunamente i valori della serie e individuate un modello che vi consenta dieffettuare previsioni.

(b) Prevedete il numero di abbonamenti per i 4 mesi successivi.

(c) Siete in grado di utilizzare il vostro modello per previsioni a oltre un anno nel futuro?

◆ BIBLIOGRAFIA

1. Bails, D.G., e L.C. Peppers, Business Fluctuations: Foreca-sting Techniques and Applications (Englewood Cliffs, NJ:Prentice Hall, 1982).

2. Bowerman, B.L., e R.T. O’Connell, Forecasting and TimeSeries, 3d ed. (North Scituate, MA: Duxbury Press, 1993).

3. Box, G.E.P., G.M. Jenkins, e G.C. Reinsel, Time SeriesAnalysis: Forecasting and Control, 3d ed. (EnglewoodCliffs, NJ: Prentice Hall, 1994).

4. Brown, R.G., Smoothing, Forecasting, and Prediction (En-glewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1963).

5. Chambers, J.C., S.K. Mullick, e D.D. Smith, “How toChoose the Right Forecasting Technique,” Harvard Busi-ness Review 49, no. 4 (July–August 1971): 45–74.

6. Frees, E.W., Data Analysis Using Regression Models: The

Business Perspective (Upper Saddle River, NJ: PrenticeHall, 1996).

7. Hanke, J.E., e A.G. Reitsch, Business Forecasting, 6th ed.(Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1998).

8. Mahmoud, E., “Accuracy in Forecasting: A Survey,” Jour-nal of Forecasting 3 (1984): 139–159.

9. Microsoft Excel 2000 (Redmond, WA: Microsoft Corp.,1999).

10. Newbold, P., Statistics for Business and Economics, 4th ed.(Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1994).

11. Wilson, J.H., e B. Keating, Business Forecasting (Ho-mewood, IL: Irwin, 1990).

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APPENDICE 115

L’uso di Excel per la determinazione del trend col metodo dei minimi quadratiLa determinazione di un trend col metodo dei minimi quadrati con riferimento a una serie storica sitraduce nell’applicazione di un modello di regressione. Si rimanda pertanto a quanto detto nelleAppendici 9.1 (per la stima di un trend lineare), 10.1 (per la stima di un trend non lineare). In parti-colare se vogliamo adattate alla serie un modello esponenziale dobbiamo semplicemente effettuare latrasformazione logaritmica delle osservazioni e considerare la nuova variabile come variabile dipen-dente in un modello di regressione lineare.

L’uso di Excel per la determinazione di modelli autoregressiviAnche i modelli autoregressivi si riducono a modelli di regressione multipla: in questo caso i regres-sori (variabili indipendenti) sono le variabili ritardate. A titolo di esempio aprite il file EAST-MANK.XLS e posizionatevi sul foglio di lavoro Data. Copiate per comodità le colonne relative alvalore assegnato all’anno e alla variabile dipendente (entrate lorde) in un nuovo foglio di lavoro(colonne A e B). Per creare la variabile ritardata di un periodo inserite la formula =B2 nella cella C3e copiatela nella stessa colonna fino alla riga 25. Ricordate di inserire il simbolo #N/A nella cellarimasta vuota (C2) in modo tale che il contenuto della cella sia considerato come un valore mancanteai fini della regressione. In modo del tutto analogo create nelle colonne D e D le variabili ritardatedi 2 e 3 periodi. A questo punto potete utilizzare l’opzione Strumenti | Analisi dei dati | Regres-sione per stimare i parametri del modello (vedi anche Appendice 9.1).

L’uso di Excel per calcolare l’indice MAD (deviazione media assoluta)Excel non prevede il calcolo automatico dell’indice MAD per i modelli descritti. Tuttavia il MAD puòessere agevolmente calcolato applicando ai residui del modello le formule di Excel. Si è visto chetutti i modelli presentati possono essere visti come casi particolari di modelli di regressione. Uno deglioutput Excel del modello di regressione è dato dai residui. Il MAD si ottiene applicando ai valoriassoluti dei residui (=ASS()) la funzione MEDIA.

Il calcolo del MAD diventa un po’ più complesso nel caso di trend esponenziale. In questo casoinfatti il modello restituisce il logaritmo (in base 10) dei valori previsti e quindi, prima di calcolarei residui del modello, occorre passare all’antilogaritmo e quindi calcolare i residui basandosi su que-st’ultimo valore. Si tratta cioè di applicare la funzione:

POTENZA(numero; potenza)

Per esempio POTENZA (10; 2) = 100 = 102.

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