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Capitolo 15Analisi delle serie storiche

Obiettivi di apprendimentoAl termine di questo capitolo lo studente sarà in grado di:• comprendere le componenti di un modello classico per l’analisi delle serie

storiche;• introdurre una varietà di modelli per la previsione di dati annuali;• sviluppare previsioni per dati trimestrali o mensili.

Previsione dei ricavi annuali lordi alla Eastman KodakSulla base di un recente report annuale, la Eastman Kodak è l’azienda leader alivello mondiale nel campo delle immagini. I suoi principi cardine sono: produ-zione di massa a basso costo, distribuzione su scala mondiale, uso estensivodella pubblicità e attenzione nei confronti del cliente. Per raggiungere questiobiettivi i manager della società incoraggiano la crescita e lo sviluppo attraver-so una ricerca continua e il reinvestimento dei profitti al fine di costruire edestendere gli orizzonti del business. Nei Paragrafi 15.4 e 15.5 di questo capitolosi valuteranno i trend delle entrate lorde annuali di tutti i prodotti della EastmanKodak su un periodo di 24 anni dal 1975 al 1998 per fare poi previsioni. Un’ana-lisi di questo tipo aiuterà il management della Eastman Kodak a meglio com-prendere come i ricavi sono cambiati nel tempo, come l’azienda è posizionatarispetto ai suoi competitor e, infine, permetterà una discussione sui risultati chela società potrà conseguire rispetto alle possibili strategie che saranno imple-mentate.

Nei capitoli precedenti è stata introdotta la regressione lineare per costruire mo-delli in base ai quali sviluppare previsioni. Da questo punto di vista la regressio-

ne lineare costituisce uno strumento utile per prendere decisioni in ambito aziendale.In questo capitolo verrà sviluppato il concetto di serie storica e verrà dimostrato co-me i metodi di previsione possano assistere i manager nella loro attività di pianifica-zione e controllo.

Prima verranno trattate le serie storiche annuali illustrando, in particolare, duetecniche di smussamento: medie mobili e livellamento esponenziale (si veda il Pa-ragrafo 15.3). L’analisi delle serie storiche annuali continuerà attraverso lo studiodel metodo dei minimi quadrati per la stima del trend e la previsione (si veda il Pa-ragrafo 15.4) e altre tecniche di previsione più raffinate (si veda il Paragrafo 15.5).Le stesse metodologie saranno poi estese all’analisi di serie storiche trimestrali emensili incorporando nell’analisi lo studio della stagionalità (si veda il Paragrafo15.7).

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15.1 L’importanza della previsionein ambito aziendale

Poiché i mercati sono in continua evoluzione, il management aziendale deve dotarsidi strumenti che gli consentono di prevedere gli effetti che tali cambiamenti avrannosulle attività aziendali. Una tecnica a disposizione dei leader aziendali per pianificareil futuro è la previsione. Sviluppando le tecniche di previsione, il management è ingrado di prevedere eventi futuri. Queste proiezioni devono essere poi incorporate nelprocesso di decisione aziendale.

La società moderna è caratterizzata dal bisogno di previsione. Per esempio, i gover-ni devono prevedere l’andamento della disoccupazione, dell’inflazione, della produzio-ne industriale nonché le entrate attese dall’imposizione fiscale al fine di formulare poli-tiche efficaci. I responsabili del marketing di un’azienda devono essere in grado di pre-vedere la domanda di prodotto, i volumi delle vendite, le preferenze dei consumatori alfine di prendere decisioni opportune riguardo le politiche attuali e future e, più in gene-rale, per formulare una pianificazione strategica. Per avere una giusta valutazione dellescorte dei pezzi di ricambio e del materiale di consumo della sua flotta, il direttore diuna compagnia aerea deve poter prevedere l’utilizzo e i bisogni della flotta sulla basedel numero di voli, l’entità del personale e dei passeggeri. L’amministrazione di un’uni-versità, al fine di pianificare la costruzione di case dello studente e altre strutture uni-versitarie, deve fare previsioni sul numero degli iscritti sulla base delle proiezioni de-mografiche nonché considerando i trend nei curriculum a loro volta basati sugli svilup-pi della tecnologia.

Metodi di previsioneSi possono avere due diversi approcci alla previsione: qualitativo e quantitativo. I me-todi di previsione qualitativi sono particolarmente importanti quando non si hanno adisposizione dati osservati nel passato, come per esempio nel caso in cui il diparti-mento di finanza volesse prevedere gli utili di un’azienda di nuova costituzione. I me-todi di previsione qualitativi sono altamente soggettivi. Tra le tecniche più importantipossiamo segnalare la tecnica Delphy, l’opinione degli esperti e il metodo del factor li-sting (Brown, 1963).

I metodi di previsione quantitativi utilizzano i dati storici con l’obiettivo di studia-re cosa è accaduto nel passato al fine di comprendere meglio la struttura sottostante idati e, di conseguenza, fornire i mezzi necessari per prevedere il futuro.

A loro volta, i metodi di previsione quantitativi possono essere suddivisi in due ca-tegorie: serie storiche e metodi aleatori. I metodi di previsione basati sulle serie stori-che proiettano i valori di una variabile nel futuro utilizzando le osservazioni del pas-sato e del presente di quella variabile.

Esempi di serie storiche sono i prezzi di chiusura giornalieri di un particolare titoloquotato in borsa, la pubblicazione mensile dell’indice dei prezzi al consumo, i dati tri-mestrali del prodotto interno lordo (PIL), così come i ricavi sulle vendite annuali diun’azienda.

2 Capitolo 15 – Analisi delle serie storiche

SERIE STORICHE

Una serie storica è un insieme di dati quantitativi osservati nel tempo concadenza regolare.


Le serie storiche non si limitano ai soli dati economici e aziendali. Per esempio, il pre-side di una facoltà potrebbe essere interessato a sapere se vi sia un persistente trendnegativo nei voti durante l’ultima decade. A tal fine si potrebbero osservare i voti subase annuale degli studenti del primo anno o del secondo anno.

I metodi di previsione aleatori si basano sull’individuazione di fattori legati allevariabili di cui si vuole effettuare la previsione. Possiamo includere l’analisi di regres-sione multipla con variabili lagged (ritardate), i modelli econometrici, analisi del lea-ding indicator, gli indici di diffusione e altri metodi che vanno oltre gli obiettivi di que-sto testo (Chambers et al., 1971; Mahmoud, 1984). Pertanto, si darà enfasi all’analisidelle serie storiche.

15.2 Il modello moltiplicativo classico delle seriestoriche

L’assunzione di base sottostante l’analisi delle serie storiche è che i fattori che hannoinfluenzato il passato e il presente continueranno ad agire in modo pressoché ugualenel futuro. Pertanto, gli obiettivi principali dell’analisi delle serie storiche sono identi-ficare e isolare questi fattori al fine di effettuare previsioni utili alla pianificazione e alcontrollo manageriale.

Per raggiungere questi obiettivi, diversi modelli matematici sono stati costruiti alfine di scomporre la serie nelle sue diverse componenti. In questa trattazione si ap-profondirà il modello moltiplicativo classico per dati annuali, trimestrali o mensili. Ta-le modello verrà utilizzato principalmente per scopi previsionali. Altre possibili appli-cazioni includono un’analisi dettagliata di particolari componenti che avviene attra-verso una decomposizione della serie storica. Per esempio, gli economisti spesso stu-diano serie annuali, trimestrali o mensili per isolare la componente ciclica e valutareil suo andamento rispetto a quello generale dell’economia. Applicazioni della decom-posizione di serie storiche non rientrano comunque negli scopi di questo testo.

Per illustrare il modello moltiplicativo, nella Figura 15.1 è presentata la serie storicadelle entrate lorde della Eastman Kodak osservati dal 1975 al 1988. Se si dovesse ca-ratterizzare questa serie storica, è evidente come le entrate lorde mostrano una ten-

15.2 Il modello moltiplicativo classico delle serie storiche 3

Figura 15.1Grafico delleentrate lorde (inmiliardi di dollaricorrenti) dellasocietà EastmanKodak (1975-1988) ottenutotramite MicrosoftExcel.

Fonte: Moody’sHandbook ofCommon Stocks,1980, 1989, 1993,1996, 1998.Riprodotto colpermesso diMoody’s InvestorsService.


denza alla crescita durante i 24 anni considerati. Questa tendenza di lungo periodo al-l’incremento o al decremento dei valori della serie è nota come trend.

Il trend, però, non è l’unica componente che influenza questi dati in particolare o,più in generale, una qualsiasi serie storica. Nei dati sono presenti due altri fattori: lacomponente ciclica e la componente irregolare. La componente ciclica rappresenta leoscillazioni o i movimenti verso l’alto o verso il basso della serie rispetto al trend. Imovimenti ciclici si caratterizzano per la loro durata, che generalmente varia tra 2 e10 anni, per la loro intensità e per la loro ampiezza. Essi sono spesso correlati con il ci-clo economico. In alcuni anni i valori saranno più elevati di quelli predetti da un sem-plice trend lineare (ovvero essi sono al picco del ciclo o in sua prossimità). In altri an-ni, invece, i valori saranno più bassi di quelli predetti da un semplice trend lineare(ovvero essi sono nella parte bassa del ciclo o in sua prossimità). Qualsiasi dato osser-vato che non segue il trend così come modificato dalla componente ciclica è indice diuna componente irregolare o casuale. Quando i dati sono osservati mensilmente o tri-mestralmente, alle componenti trend, ciclo e irregolare, si affianca una componenteaddizionale chiamata componente stagionale [si veda l’Equazione (15.2)].

Le quattro componenti di una serie storica economica o aziendale sono riassuntenella Tabella 15.1. Il modello moltiplicativo classico presuppone che qualsiasi valoreosservato in una serie storica è la risultante del prodotto dei fattori componenti la se-rie storica. Quindi, per dati annuali, un’osservazione Yi nell’anno i può essere espres-sa come nell’Equazione (15.1)

Quando i dati sono osservati trimestralmente o mensilmente, l’osservazione Yi osser-vata nel tempo i è data dall’Equazione (15.2).

Il primo passo nell’analisi di una serie storica è la sua rappresentazione grafica al fine diosservare le tendenze nel tempo della serie. Prima bisogna verificare la presenza di unatendenza di lungo periodo alla crescita o al decremento nella serie (trend) o se la seriesembra oscillare attorno a una linea orizzontale nel tempo. In quest’ultimo caso (assenzadi un trend) il metodo delle medie mobili o metodo del livellamento esponenziale posso-no essere impiegati per smussare la serie e avere un’impressione generale di lungo perio-


IL MODELLO CLASSICO MOLTIPLICATIVO PER DATI ANNUALI

Yi = Ti × Ci × Ii (15.1)

dove, nell’anno i:Ti = valore della componente trend Ci = valore della componente ciclica

Ii = valore della componente irregolare

IL MODELLO CLASSICO MOLTIPLICATIVO CON COMPONENTE STAGIONALE

Yi = Ti × Si × Ci × Ii (15.2)

dove:Ti, Ci e Ii sono i valori rispettivamente della componente trend, ciclica e irregolare

nel periodo iSi = valore della componente stagionale nel periodo i


do (si veda il Paragrafo 15.3). Se, invece, è presente un trend, si possono considerare di-versi metodi di previsione (si vedano i Paragrafi 15.4 e 15.5 per serie annuali). La previ-sione per serie mensili o trimestrali verrà approfondita nel Paragrafo 15.7.

15.3 Livellamento di una serie storica annuale

La Tabella 15.2 riporta le vendite annuali (in milioni di unità) di macchine, camion eautobus della General Motors (GM) in un periodo di 24 anni, dal 1975 al 1998. La Fi-gura 15.2 riporta il grafico di questa serie storica. Quando si esaminano dati annuali diquesto tipo, l’eventuale trend di lungo periodo può essere mascherato dalle variazio-ni che si hanno di anno in anno. Diventa difficile stabilire se un trend di lungo perio-do, sia esso crescente o decrescente, sia presente nella serie.

In situazioni di questo tipo, il metodo delle medie mobili o quello dello smussa-mento esponenziale possono essere utilizzati per smussare la serie in modo da stabili-re l’andamento di lungo periodo presente nei dati.

15.3 Livellamento di una serie storica annuale 5

Tabella 15.1 Componenti di una serie storica.

Componente

Trend

Stagionale

Ciclica

Irregolare

Classificazionedella componente

Sistematica

Sistematica

Sistematica

Non sistematica

Definizione

Tendenza di lungoperiodoall’aumento o aldecremento deivalori della serie

Fluttuazioneperiodicaabbastanzaregolare che siripete annualmente

Scostamenti versol’alto o verso ilbasso rispetto altrend attraversoquattro fasi: daipicchi positivi(prosperità) allacontrazione(recessione) sinoai picchi negativi(depressione) e poil’espansione(ripresa)

Fluttuazioneerratica o residuadopo averconsiderato tutte lecomponentisistematiche

Durata

Vari anni

12 mesi (solo perdati infra-annuali)

Usualmente dai 2ai 10 anni condiverse intensitàper un ciclocompleto

Breve durata e nonripetibili

Motivi diinfluenza

Cambiamentinella tecnologia,popolazione,ricchezza

Condizionimeteorologiche,sociali, tradizionireligiose

Variazioni casualinei dati o daricondurre adeventiimprevedibili qualiscioperi, uragani,allagamenti,attentati ecc.


Medie mobiliIl metodo delle medie mobili è altamente soggettivo e dipende da L, la lunghezza delperiodo preso in considerazione per calcolare le medie. Per eliminare le fluttuazionicicliche, il periodo scelto dovrebbe essere un valore intero che corrisponde alla lun-ghezza stimata del ciclo della serie (o a un suo multiplo). Ma come si calcolano in pra-tica le medie mobili?

Si supponga di voler calcolare medie mobili a 5 anni da una serie contenente n = 11anni. Dato che L = 5, la media mobile a 5 anni consiste in una serie di medie ottenutefacendo la media di sequenze composte da 5 osservazioni. La prima di queste mediemobili è calcolata sommando i valori dei primi 5 anni e dividendo per 5:


Tabella 15.2 Vendite (in milioni di unità) della General Motors (1975-1998).

Anno Vendite Anno Vendite Anno Vendite1975 6.6 1983 7.8 1991 7.41976 8.6 1984 8.3 1992 7.71977 9.1 1985 9.3 1993 7.81978 9.5 1986 8.6 1994 8.41979 9.0 1987 7.8 1995 8.31980 7.1 1988 8.1 1996 8.41981 6.8 1989 7.9 1997 8.81982 6.2 1990 7.5 1998 8.1

Nota. Vendite da qualunque fonte: macchine, camion, autobus e stabilimenti d’oltremare.Fonte: Moody’s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993 e report annuali. Riprodotta col premes-so di Financial Information Services, una divisione di Financial Communications Company, Inc.

Figura 15.2Grafico dellevendite (in milionidi unità) dellaGeneral Motors(1975-1998).

Fonte: Dati dallaTabella 15.2.

MEDIE MOBILI

Le medie mobili per un periodo di lunghezza L consistono in una serie di mediearitmetiche, ciascuna calcolata per una sequenza di valori osservati di lunghezzaL. Verranno indicate con il simbolo MA(L).


La seconda di queste medie mobili a 5 anni è calcolata sommando i valori dal 2° al 6°della serie e dividendo per 5:

Il procedimento continua sino all’ultima di queste medie mobili che si ottiene som-mando gli ultimi 5 valori (dal 7° all’11°) della serie e dividendo per 5:

Con serie con cadenza annuale, si dovrebbe scegliere un valore di L dispari. Seguen-do questa regola, si può notare come non è possibile il calcolo della media mobile neiprimi (L – 1)/2 anni e negli ultimi (L – 1)/2 anni della serie. Pertanto, per una mediamobile a 5 anni non si possono fare calcoli per i primi due periodi e per gli ultimi 2.

ESEMPIO 15.1Calcolo della media mobile a 5 anniI dati seguenti rappresentano le entrate totali (in milioni di dollari) di un’agenzia di no-leggio macchine su un periodo di 11 anni dal 1987 al 1997:

4.0, 5.0, 7.0, 6.0, 8.0, 9.0, 5.0, 2.0, 3.5, 5.5, 6.5

Calcolare le medie mobili a 5 anni per questa serie.

SoluzioneLa prima media mobile si calcola nel modo seguente:

Ovvero, per calcolare la media mobile a 5 anni, prima si ottiene il totale dei 5 anni e poisi divide per 5. La media mobile è dunque centrata sul valore centrale, il terzo anno del-la serie.

Per calcolare la seconda media mobile, prima si ottiene il totale dal secondo al sestoanno e poi si divide per 5. Cioè:

Questa media mobile è centrata sul nuovo valore centrale, il quarto della serie. Le medie mobili rimanenti sono:

MAY Y Y Y Y

( ). . . . . .

55

5 0 7 0 6 0 8 0 9 05

35 02 3 4 5 6=+ + + +

=+ + + +

=55

7 0= .

MAY Y Y Y Y

( ). . . . . .

55

4 0 5 0 7 0 6 0 8 05

30 01 2 3 4 5=+ + + +

=+ + + +

=55

6 0= .

MAY Y Y Y Y

( )55

7 8 9 10 11=+ + + +

MAY Y Y Y Y

( )55

2 3 4 5 6=+ + + +

MAY Y Y Y Y

( )55

1 2 3 4 5=+ + + +



Queste medie mobili sono centrate negli anni dal terzo al nono. Si noti che nessun calcolopuò essere effettuato per i primi due e gli ultimi due valori osservati della serie.

Nella pratica, le medie mobili di una serie vengono calcolate attraverso software co-me Microsoft Excel. Nella Tabella 15.3 sono riportate le vendite annuali della GM dal1975 al 1988 insieme con le corrispondenti medie mobili a 3 e 7 anni. Le stesse sonorappresentate nella Figura 15.3 assieme ai dati originali.

Dalla Tabella 15.3 si può osservare che, per la media mobile a tre termini, mancano ilprimo e l’ultimo valore della serie. Mentre per la media mobile a sette termini man-cano i primi tre e gli ultimi tre valori della serie.

Dalla Figura 15.3 si può osservare come la media mobile di periodo 7 smussa la se-rie in misura maggiore rispetto alla media mobile di periodo 3 in quanto il periodo èpiù lungo. Sfortunatamente, come notato in precedenza, più lungo è il periodo e menomedie mobili possono essere calcolate. Pertanto, non è opportuno scegliere un periodopiù grande di 7 anni in quanto vi sarebbero troppi valori mancanti all’inizio e alla fine del-la serie.

MAY Y Y Y Y

( ). . . . .

55

5 0 2 0 3 5 5 5 6 55

227 8 9 10 11=+ + + +

=+ + + +

=..

.5

54 5=

MAY Y Y Y Y

( ). . . . . .

55

9 0 5 0 2 0 3 5 5 55

256 7 8 9 10=+ + + +

=+ + + +

=00

55 0= .

MAY Y Y Y Y

( ). . . . . .

55

8 0 9 0 5 0 2 0 3 55

27 55 6 7 8 9=+ + + +

=+ + + +

=55

5 5= .

MAY Y Y Y Y

( ). . . . . .

55

6 0 8 0 9 0 5 0 2 05

30 04 5 6 7 8=+ + + +

=+ + + +

=55

6 0= .

MAY Y Y Y Y

( ). . . . . .

55

7 0 6 0 8 0 9 0 5 05

35 03 4 5 6 7=+ + + +

=+ + + +

=55

7 0= .


Tabella 15.3 Vendite annuali della GM con le medie mobili a 3 e 7 anni dal 1975 al 1998.


Smussamento esponenzialeLo smussamento esponenziale è un’altra tecnica utilizzata per livellare una serie storicae per avere un’idea del trend di lungo periodo presente nei dati. Inoltre, il metodo dellosmussamento esponenziale può essere utilizzato per ottenere previsioni di breve perio-do (un periodo avanti nel futuro) quando si hanno serie storiche come quella delle ven-dite della General Motors illustrate nella Figura 15.2, dove non vi è un evidente anda-mento di lungo periodo. Da questo punto di vista, la tecnica possiede dei vantaggi ri-spetto a quella basata sulle medie mobili.

Il metodo dello smussamento esponenziale prende il nome dal fatto che le mediemobili sono ponderate esponenzialmente. In questo modo, ciascun valore smussato del-la serie dipende da tutti i valori osservati precedenti. Questo è un altro vantaggio ri-spetto al metodo delle medie mobili che non prende in considerazione tutti i valori pre-cedenti della serie. Con lo smussamento esponenziale, i pesi assegnati ai valori osserva-ti decrescono nel tempo in modo che il valore più recente riceve il peso più alto, il valo-re osservato precedente riceve il secondo peso più grande e così via sino ad arrivare alprimo valore osservato della serie che riceve il peso più basso. Come per le medie mo-bili, anche il calcolo dello smussamento esponenziale può essere facilmente effettuatoattraverso software quali Microsoft Excel.

Se si focalizza l’attenzione sullo smussamento (piuttosto che sulla previsione), le for-mule per lo smussamento esponenziale di una serie in un dato periodo i sono basate so-lo su tre termini: il valore corrente della serie Yi, il valore della serie smussata calcolatonel periodo precedente, Ei – 1, e un peso o coefficiente di smussamento che viene sceltosoggettivamente, W. Pertanto, per smussare una serie a ogni periodo i si può ricorrereall’Equazione (15.3).


Figura 15.3Rappresentazionegrafica medianteMicrosoft Exceldelle medie mobilidi periodo 3 e diperiodo 7calcolate sullaserie relativa allevendite dellaGeneral Motors(1975-1998).

Fonte: Dati dellaTabella 15.2.

COME OTTENERE IL VALORE SMUSSATO ESPONENZIALMENTE PER IL PERIODO i

Ei = WYi + (1 – W)Ei – 1 (15.3)dove:

Ei = valore della serie smussata esponenzialmente nel periodo iEi – 1 = valore della serie smussata esponenzialmente nel periodo i – 1


La scelta del coefficiente di smussamento è ovviamente fondamentale in quanto deter-mina i risultati. Sfortunatamente, tale scelta è soggettiva. Se si desidera rimuovere dallaserie le variazioni cicliche e irregolari, allora conviene selezionare un valore basso (pros-simo allo 0) di W. Al contrario, se l’obiettivo è la previsione, bisogna selezionare valorielevati (prossimi a 1) di W. Nel primo caso, si evidenziano le tendenze di lungo periododella serie. Nel secondo, invece, si otterranno previsioni di breve termine più precise.

SmussamentoLa Tabella 15.4 presenta lo smussamento esponenziale della serie relativa alle vendi-te della General Motors nel periodo 1975-1998, ottenuti con Microsoft Excel (con uncoefficiente di W = 0.50 e W= 0.25). Le due serie smussate sono rappresentate grafi-camente nella Figura 15.4.

Illustreremo i calcoli necessari per smussare esponenzialmente la serie per un coeffi-ciente di smussamento pari a W = 0.25. Il primo valore smussato è il valore inizialedella serie (E1975 = 6.6). Poi, utilizzando il valore della serie osservato nel 1976 (E1976 == 8.6), è possibile smussare la serie nel 1976 attraverso i seguenti calcoli:

Per smussare la serie nell’anno 1977, si ha:

Per smussare la serie nell’anno 1978, si ha:

E WY W E1977 1977 19761

25 9 1 75 7 1 7

= + −

= + =

( )

(. )( . ) (. )( . ) ..6 milioni

E WY W E1976 1976 19751

25 8 6 75 6 6 7

= + −

= + =

( )

(. )( . ) (. )( . ) ..1 milioni


Tabella 15.4 Smussamento esponenziale della serie relativa alle vendite della GeneralMotors (1975-1998).

Yi = valore osservato della serie storica nel periodo iW = peso o coefficiente di smussamento assegnato soggettivamente (0

< W < 1) E1 = Y1


Si continua iterativamente per ottenere tutti i valori smussati della serie come mo-strati nella Tabella 15.4 e nella Figura 15.4.

PrevisioneSe si è interessati a effettuare una previsione di breve periodo, si prende come previsio-ne per il periodo i + 1 il valore smussato relativo al periodo i (Equazione 15.4).

Al fine di prevedere il numero di unità vendute dalla General Motors (si veda Tabel-la 15.4) nel 1999, si può utilizzare un coefficiente di smussamento W pari a 0.5 e siprende come stima il valore smussato nel 1998. Dalla Tabella 15.4 la previsione è paria 8.32 milioni di unità. (Quanto è precisa questa previsione? Si controlli la perfor-mance della General Motors nei report annuali della compagnia.)

Una volta che il dato osservato nel 1999 diventa disponibile, si può utilizzare l’E-quazione (15.3) per effettuare una previsione per l’anno 2000:

E1999 = WY1999 + (1 – W)E1998

Valore corrente = (W)(valore corrente osservato) + (1 – W)(precedentesmussato valore smussato)

In termini di previsione si ha:

Y2000 = WY1999 + (1 – W)Y1999

Nuova previsione = (W)(valore corrente osservato) + (1 – W)(previsione corrente)

E WY W E1978 1978 19771

25 9 5 75 7 6 8

= + −

= + =

( )

(. )( . ) (. )( . ) ..075 milioni


Figura 15.4Rappresentazionegrafica medianteMicrosoft Exceldelle seriesmussateesponenzialmentecalcolate sullevendite dellaGeneral Motors(W = 0.5 eW = 0.25).

PREVISIONE AL PERIODO i + 1

Yi + 1 = Ei (15.4)



Apprendere i concetti di base15.1 Se si utilizzano le medie mobili con la ponderazio-

ne esponenziale per fini previsionali piuttosto chedi smussamento di una serie annuale relative alleentrate (in milioni di dollari costanti del 1995) diuna società, qual è la previsione per il prossimo an-no se il valore smussato per questo anno è 32.4 mi-lioni di dollari?

15.2 Rispondere alle seguenti domande se una mediamobile a 9 termini viene utilizzata per smussare unaserie storica con il primo valore osservato nel 1955.

a. Quale anno costituisce il primo valore centraledella serie smussata?

b. Quanti anni vengono persi nel calcolare le me-die mobili a 9 termini?

15.3 Lo smussamento esponenziale viene applicato suuna serie annuale relative alle entrate (in milioni didollari costanti 1995) di una società. Rispondere al-le seguenti domande considerando che viene sele-zionato un coefficiente di smussamento W = 0.20 ela serie smussata per l’anno 1996 è pari a:

E1996 = (0.20)(12.1) + (0.80)(9.4).

a. Qual è il valore smussato della serie nel 1996? b. Qual è il valore smussato della serie nel 1997, se

il valore osservato della serie in quest’anno è pa-ri a 11.5 milioni di dollari?

ApplicazioniNota: utilizzare Microsoft Excel per gli Esercizi da 15.4 a

15.8.

15.4 I dati che seguono rappresentano il numero di ad-detti annuali (in migliaia) di una compagnia petro-lifera per gli anni 1978-1997.

Numero di addetti (in migliaia).Anno Numero Anno Numero Anno Numero

1978 1.45 1985 2.04 1992 1.651979 1.55 1986 2.06 1993 1.731980 1.61 1987 1.80 1994 1.881981 1.60 1988 1.73 1995 2.001982 1.74 1989 1.77 1996 2.081983 1.92 1990 1.90 1997 1.881984 1.95 1191 1.82

a. Rappresentare i dati in un grafico. b. Calcolare le medie mobili di periodo 3 e rappre-

sentare i risultati sullo stesso grafico. c. Smussare esponenzialmente la serie applicando

un coefficiente di smussamento W pari a 0.5 erappresentare i risultati nel grafico precedente.

d. Fornire la previsione per l’anno 1998 attraversolo smussamento esponenziale.

e. Smussare esponenzialmente la serie applicandoun coefficiente di smussamento W pari a 0.25 erappresentare i risultati nel grafico precedente.

f. Sulla base dei risultati ottenuti nel punto (e), qualè la previsione per il trend nel 1998 che si ottieneutilizzando lo smussamento esponenziale?

g. Confrontare i risultati dei punti (d) e (f). 15.5 Nella tabella sono rappresentate le vendite annuali

(in milioni di dollari costanti 1995) per un’aziendaalimentare negli anni 1972-1997.

Vendite annuali (milioni di dollari costanti 1995).Anno Vendite Anno Vendite Anno Vendite

1972 41.6 1981 53.2 1990 36.41973 48.0 1982 53.3 1991 38.41974 51.7 1983 51.6 1992 42.61975 55.9 1984 49.0 1993 34.81976 51.8 1985 38.6 1994 28.41977 57.0 1986 37.3 1995 23.91978 64.4 1987 43.8 1996 27.81979 60.8 1988 41.7 1997 42.11980 56.3 1989 38.3

a. Rappresentare i dati in un grafico. b. Calcolare le medie mobili di periodo 7 e rappre-




e. Smussare esponenzialmente la serie applicandoun coefficiente di smussamento W pari a 0.50 erappresentare i risultati nel grafico precedente.

f. Sulla base dei risultati ottenuti nel punto (e), qualè la previsione per il trend nel 1998 che si ottieneutilizzando lo smussamento esponenziale?

g. Confrontare i risultati dei punti (d) e (f). 15.6 I dati che seguono rappresentano la mediana della

distribuzione del reddito delle famiglie degli StatiUniti (in dollari) per tutte le razze, per i bianchi, peri neri e per gli ispanici nel periodo dal 1980 al 1996.

Reddito familiare mediano (in dollari costanti 1996)negli Stati Uniti (1980-1996).

Anno Tutte le razze Bianchi Neri Ispanici

1980 33 763 35 620 20 521 26 0251981 33 215 35 094 19 693 26 6431982 33 105 34 657 19 642 24 9101983 32 900 34 502 19 579 25 0571984 33 849 35 709 20 343 25 660

Esercizi al Paragrafo 15.3



Anno Tutte le razze Bianchi Neri Ispanici

1985 34 439 36 320 21 609 25 4671986 35 642 37 471 21 588 26 2721987 35 994 37 924 21 646 26 7061988 36 108 38 172 21 760 27 0021989 36 575 38 473 22 881 27 7371990 35 945 37 492 22 420 26 8061991 37 705 36 367 21 665 26 1401992 34 261 36 020 20 974 25 2711993 33 922 35 788 21 209 24 8501994 34 158 36 026 22 261 24 7961995 35 082 36 822 23 054 23 5351996 35 492 37 161 23 482 24 906

Fonte: Statistical Abstract of the United States, 118th ed.,1996, U.S. Department of Commerce, Bureau of theCensus, 468.

Rispondere alle seguenti domande per ciascunodei quattro gruppi di dati (tutte le razze, bianchi,neri e ispanici).

a. Rappresentare i dati su un grafico. b. Calcolare le medie mobili di periodo 3 e rappre-




e. Rispondere al punto (c) utilizzando W = 0.25. f. Sulla base dei risultati ottenuti nel punto (e), qual

è la previsione per il trend nel 1997 che si ottieneutilizzando lo smussamento esponenziale?

g. Confrontare i risultati dei punti (d) e (f). h. Trovare il valore reale per il 1997. Confrontare i

risultati con le previsioni fatte in (d) e (f). Discu-tere i risultati.

i. Quali conclusioni si possono trarre sul trend delreddito familiare mediano per ciascuno dei quat-tro gruppi nel periodo dal 1980 al 1996?

15.7 I dati seguenti rappresentano il tasso di disoc -cupazione come percentuale della popolazione la-vorativa in sette Paesi europei dal 1985 al 1997.

1985 10.3 7.1 10.2 8.5 8.3 8.7 11.51986 10.3 5.4 10.3 9.2 8.3 8.4 11.51987 10.0 5.4 10.4 9.9 8.0 6.9 10.61988 8.9 6.1 9.9 10.0 7.5 5.5 8.71989 7.5 7.4 9.4 10.0 6.9 4.9 7.31990 6.7 7.7 9.0 9.1 6.2 4.6 7.01991 6.6 8.4 9.5 8.8 5.8 4.0 8.81992 7.3 9.2 10.4 9.0 5.6 4.2 10.11993 8.9 10.1 11.7 10.3 6.6 5.7 10.41994 10.0 8.2 12.3 11.4 7.2 7.0 9.6

1995* 9.9 6.8 11.5 11.8 7.3 7.2 8.81996* 10.1 6.1 11.7 11.8 7.2 7.4 8.41997* 9.8 5.8 11.7 11.7 7.0 7.2 8.0

* Iniziale, stime non riviste.Fonte: estratto dalla Tabella 3 della Commissione Euro-pea, Panorama of EU Industry 97, 1 (1997):22.

Per ciascuno dei sette Paesi, rispondere alle se-guenti domande.







g. Confrontare i risultati ottenuti ai punti (d) e (f). h. Confrontare i pattern della disoccupazione nei

sette Paesi europei. 15.8 Per più di una decade, il New Messico ha avuto il

maggior avanzo di bilancio pro capite. I dati che se-guono rappresentano la bilancia commerciale deipagamenti pro capite, cioè la differenza tra le spesefederali pro capite in New Messico e le tasse federalipro capite su un periodo di 15 anni, dal 1981 al 1995.

Bilancia dei pagamenti pro capite in New Messico(1981-1995)(in dollari costanti 1995).

Anno Bilancia dei Spese Tassefiscale pagamenti federali federali

pro capite pro capite pro capite

1981 2961 6212 32511982 2913 5983 30691983 2426 5853 34271984 2881 6309 34281985 2919 6414 34951986 3218 6670 34521987 3322 6635 33131988 4336 7461 31251989 3496 6578 30831990 3545 6653 31081991 3462 6739 32771992 3632 7079 34471993 3709 7272 35631994 3343 6915 35721995 3300 6935 3635

AnnoBelg

io

Danim

arca

Francia

Italia

Olanda

Portoga

llo

Regno

Unito

AnnoBelg

io

Danim

arca

Francia

Italia

Olanda

Portoga

llo

Regno

Unito


15.4 Metodo dei minimi quadrati per ladeterminazione del trend e per la previsione

La componente trend di una serie storica viene studiata per fini previsivi ovvero co-me strumento per effettuare previsioni nel medio e lungo termine. Inoltre, si studiail trend al fine di isolare e poi eliminare la sua influenza sulla serie storica per effet-tuare previsioni nel breve termine (un anno o meno) sull’andamento del ciclo eco-nomico.

Come già illustrato nella Figura 15.1, per avere un’idea dei movimenti di lungoperiodo di una serie storica, si costruisce un grafico nel quale i dati osservati (la va-riabile dipendente) vengono rappresentati sull’asse delle ascisse e il tempo sull’assedelle ordinate. Se la serie manifesta un trend con andamento di tipo lineare, allorasi possono utilizzare il metodo dei minimi quadrati e lo smussamento esponenzialedoppio (Bails, Peppers, 1982; Bowerman et al., 1993; Brown, 1963). Se dal grafico ri-sulta evidente un movimento di lungo periodo di tipo curvilineo, allora si possonoutilizzare il metodo dei minimi quadrati e il metodo dello smussamento esponenzia-le triplo (Bails, Peppers, 1982; Bowerman et al., 1993; Brown, 1963). In questo para-grafo viene illustarto il metodo dei minimi quadrati per l’individuazione di trend li-neari e curvilinei per fini previsivi. Nel Paragrafo 15.5 si descriveranno altri approc-ci di previsione più sofisticati.

Il trend lineareIl metodo dei minimini quadrati permette di individuare una retta del tipo corrispon-dente all’Equazione (15.5)

in modo che i due coefficienti, b0 e b1, minimizzano la somma delle differenze al qua-

IL TREND LINEARE

Yi = b0 + b1Xi (15.5)


Fonte: D.P. Moynihan, M.E. Friar, H.B. Leonard, J.H. Wal-der, The Federal Budget and the States: Fiscal Year 1995,pubblicato congiuntamente da John F. Kennedy School ofGovernment, Harvard University, e Office of Senator Da-niel Patrick Moynihan, 30 settembre 1996, 73.

Per ciascuna serie storica, rispondere alle seguentidomande.




d Fornire la previsione per l’anno 1996 attraversolo smussamento esponenziale.



g. Confrontare i risultati ottenuti ai punti (d) e (f). h. Reperire il vero valore per il 1996. Confrontare i

risultati con le previsioni fatte in (d) e (f). Discu-tere i risultati.

i. Quali conclusioni si possono trarre sul trend del-le spese federali, delle tasse e della bilancia deipagamenti pro capite in New Messico tra il 1981e il 1995?


drato fra ogni valore osservato Yi della serie e il valore del trend sulla retta. Si ha dun-que il metodo dei minimi quadrati:

Nella regressione lineare, una volta calcolati i coefficienti b0 e b1, si ottiene la rettaYi = b0 + b1Xi e per effettuare previsioni dei valori della variabile Y basta sostituire ivalori della X nell’Equazione (15.5).

Quando il metodo dei minimi quadrati viene applicato per determinare il trend inuna serie storica, l’interpretazione dei coefficienti è più semplice se si codificano i valoridella X in modo da assegnare in corrispondenza del primo valore osservato della seriestorica il valore X = 0. Alle successive osservazioni si assegneranno gli interi 1, 2, 3 e co-sì via fino ad attribuire all’ennesima e ultima osservazione della serie il valore X = n – 1.Per esempio, per una serie storica di 24 anni, al primo anno verrà assegnato il valoreX = 0, al secondo X = 1 fino al ventiquattresimo anno a cui sarà assegnato il valoreX = 23.

Riconsiderando il caso di studio all’inizio del capitolo, la serie storica annuale, ri-portata nella Tabella 15.5 e in grafico nella Figura 15.1, rappresenta le entrate lordeannuali (in milioni di dollari correnti 1982-1984) della Eastman Kodak Company suun periodo di 24 anni dal 1975 al 1998. Al fine di convertire i prezzi correnti in prezzireali (costanti), ciascun valore corrente è stato rapportato all’indice dei prezzi al con-sumo (CPI) e moltiplicato per 100. I risultati espressi in dollari costanti 1982-1984 so-no riportati nella Tabella 15.6 e nella Figura 15.5 assieme alla serie espressa in dollaricorrenti.

Codificando i valori consecutivi della X da 0 a 23 e utilizzando Microsoft Excelsulla serie storica a dati reali si ottiene:

Yi = 10.8654 + 0.02506Xi

dove l’origine è l’anno 1975 e l’unità di misura della X è l’anno. I risultati ottenuti conMicrosoft Excel sono rappresentati in Figura 15.6.

L’interpretazione dei coefficienti di regressione è la seguente:• l’intercetta della Y, b0 = 10.8654, è il valore del trend che corrisponde alla previsio-

ne delle entrate lorde reali (in miliardi di dollari costanti 1982-1984) della East-man Kodak Company per l’anno base, 1975;

• il coefficiente di regressione b1 = 0.02506 indica che si prevede che le entrate lordereali crescano annualmente in media per 0.02506 miliardi di dollari.

( ˆ )Y Yi ii

n

− ==

∑ 2

1

minimo

15.4 Metodo dei minimi quadrati per la determinazione del trend e per la previsione 15

Tabella 15.5 Entrate lorde annuali (in miliardi di dollari correnti) della Eastman KodakCompany (1975-1998).

Anno Vendite Anno Vendite Anno Vendite Anno Vendite1975 5.0 1981 10.3 1987 13.3 1993 16.31976 5.4 1982 10.8 1988 17.0 1994 13.71977 6.0 1983 10.2 1989 18.4 1995 15.31978 7.0 1984 10.6 1990 18.9 1996 16.21979 8.0 1985 10.6 1991 19.4 1997 14.51980 9.7 1986 11.5 1992 20.2 1998 13.4

Fonte: Moody’s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993, 1996, 1998. Riprodotto con il premessodi Financial Information Services, una divisione di Financial Communications Company, Inc.


Per effettuare una previsione del trend per l’anno 1999, bisogna codificare l’anno1999 con X25 = 24 nell’equazione della retta ottenendo la previsione:

1999: Y25 = 10.8654 + (0.02506)(24) = 11.47 miliardi di dollari costanti 1982-1984.

Il trend ottenuto è rappresentato nella Figura 15.7 assieme ai dati osservati.Anche se si nota un trend leggermente in crescita, un esame attento della Figura

15.7 rivela forti oscillazioni dei dati osservati rispetto alla retta. Questo suggerisce chesi potrebbe ottenere una migliore interpolazione della serie mediante un modello ditrend non lineare. Nel seguito si presenteranno due modelli di questo tipo, il trendquadratico e il trend esponenziale.


Figura 15.5Grafico diMicrosoft Excelper le entratelorde correnti ereali (in miliardi didollari) dellaEastman KodakCompany, 1975-1998.

Tabella 15.6 Dalle entrate a prezzi correnti alle entrate a prezzi costanti (miliardi di dol-lari 1982-1984).

Fonte: Bureau of Labor Statistics, U.S. Department of Labor, e Moody’s Handbook of Common Stocks,1980, 1989, 1993, 1996, 1998. Riprodotto con il permesso di Financial Information Services, una divisionedi Financial Communications Company, Inc.


esponenziale.

Trend quadraticoIl trend quadratico, o polinomiale di secondo grado, è il più semplice tra i modelli nonlineari. Il trend quadratico si individua mediante il metodo dei minimi quadrati comenell’Equazione (15.6).

Di nuovo, si può utilizzare Microsoft Excel per effettuare i calcoli necessari a ottene-re le stime dei minimi quadrati. Nella Figura 15.8 si riportano i risultati ottenuti con


Figura 15.6Output diMicrosoft Exceldel modello diregressionelineare perprevedere leentrate lorde reali(in miliardi didollari costanti1982-1984) dellaEastman KodakCompany.

Fonte: dati dellaTabella 15.6.

Figura 15.7Interpolazionedella serie delleentrate lorde dellaEastman Kodakcon un trendlineare.

TREND QUADRATICO

Yi = b0 + b1Xi + b2X2

i (15.6)dove:

b0 = intercetta stimata di Yb1 = effetto lineare stimato di X su Y

b2 = effetto non lineare stimato di X su Y


Microsoft Excel per la stima del trend quadratico per le entrate reali della EastmanKodak.

Si ottiene quindi:

Yi = 8.5284 + 0.6624Xi – 0.0277X 2i

dove l’origine è l’anno 1975 e l’unità di misura della X è l’anno.Per utilizzare l’equazione del trend quadratico per scopi previsivi, bisogna oppor-

tunamente codificare la X nell’equazione. Per esempio, per prevedere il trend nel1999 (X25 = 24), si ha:

1999: Y25 = 8.5284 + 0.6624(24) – 0.0277(24)2 = 8.47 miliardi di dollari

Nella Figura 15.9 viene rappresentato il trend quadratico insieme ai dati originali. Èevidente come il modello quadratico sembra interpolare meglio la serie storica ri-spetto al modello lineare.


Figura 15.8Output diMicrosoft Exceldel modello diregressionequadratico per laprevisione delleentrate lordeannuali dellaEastman KodakCompany.

Figura 15.9Interpolazione conun trendquadratico dellaserie delle entratelorde reali dellaEastman KodakCompany.

b0b1

b2


Trend esponenzialeNel caso in cui i valori di una serie sembrano aumentare a un tasso crescente in modo chela differenza percentuale fra le osservazioni rimane costante nel tempo, è consigliabilel’utilizzo del modello esponenziale come presentato nell’Equazione (15.7).

Applicando all’Equazione (15.7) una trasformazione logaritmica, prendendo il loga-ritmo in base 10 di entrambi i lati dell’equazione si ottiene l’Equazione (15.8).

Dato che l’Equazione (15.8) è lineare, si può utilizzare il metodo dei minimi quadratilavorando con il logaritmo delle Yi ottenendo il coefficiente di regressione (logb1) el’intercetta di Y(logb0). Anche in questo caso Microsoft Excel può essere utilizzatoper effettuare i calcoli necessari.

Nella figura 15.10 si riporta l’output del modello esponenziale relativo alle entratedella Eastman Kodak. Dai risultati si ha:

logYi = 1.03508 + .0005565Xi

dove l’origine è l’anno 1975 e l’unità di misura della X è l’anno.


TREND ESPONENZIALE

Yi = b0bXi1 (15.7)

dove:

b0 = intercetta stimata di Y(b1 – 1) × 100% = stima del tasso di crescita annuale composto (in %)

TREND ESPONENZIALE

logYi = logb0 + Xi logb1 (15.8)

Figura 15.10Output diMicrosoft Exceldel modelloesponenziale perla previsione delleentrate lordeannuali dellaEastman KodakCompany.

b0b1


I valori di b0 e b1 si ottengono calcolando l’antilogaritmo dei coefficienti di regressio-ne di questa equazione:

b0 = antilog 1.03508 = 10.8413

b1 = antilog .0005565 = 1.00128

Pertanto, il trend esponenziale viene espresso mediante la seguente equazione:

Yi = (10.8413)(1.00128)Xi

dove l’origine è l’anno 1975 e l’unità di misura della X è l’anno.L’intercetta Y, b0 = 10.8413 di miliardi di dollari, rappresenta il valore stimato del

trend nell’anno base 1975. Il valore (b1 – 1) × 100% = 0.128% rappresenta il tasso dicrescita annuale composto delle entrate della Eastman Kodak.

Per ottenere la previsione della serie in un istante futuro si deve codificare oppor-tunamente la X nelle due equazioni. Per esempio, per prevedere il trend delle entratelorde reali per l’anno 1999 (per esempio: X25 = 24), si ha:

1999: logY25 = 1.03508 + (.0005565)(24) = 1.0484

Y25 = antilog(1.0484) = 11.18 miliardi di dollari

o

1999: Y25 = (10.8413)(1.00128)24 = 11.18 miliardi di dollari

Nella Figura 15.11 si riporta il grafico del trend esponenziale ottenuto insiemecon i dati originali. Tra i tre modelli di regressione considerati, il modello di trendesponenziale è sicuramente quello che produce l’interpolazione peggiore dellaserie.


Figura 15.11Interpolazionedella serie delleentrate lorde realidella EastmanKodak Companycon un trendesponenziale.


Scelta del modello attraverso le differenze prime,le differenze seconde e le differenze percentualiSino ad ora la serie storica delle entrate reali della Eastman Kodak si è interpolata at-traverso tre modelli differenti: lineare, quadratico ed esponenziale. Come si può de-terminare il modello più appropriato? Oltre a una semplice ispezione visiva, si hannoa disposizione diversi metodi più oggettivi che permettono di determinare il modellopiù appropriato: le differenze prime, le differenze seconde e le differenze percentuali.La caratteristiche distintive dei trend analizzati sono sintetizzate nel box 15.1.

Anche se non ci si può attendere che uno dei trend analizzati si adatti perfettamentealla serie storica considerata, le differenze prime, seconde e percentuali possono co-munque essere di ausilio per scegliere il modello più appropriato. Negli Esempi 15.2,15.3 e 15.4 verranno illustrate alcune applicazioni dove uno dei trend sin qui conside-rati si adatta perfettamente alla serie oggetto di studio.

ESEMPIO 15.2Trend lineare con adattamento perfettoI dati che seguono rappresentano la serie storica annuale dei passeggeri (in milioni) di unadata compagnia aerea.

Mostrare, attraverso le differenze prime, che un trend lineare si adatta perfettamente allaserie.


Anno 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997Passeggeri 30.0 33.0 36.0 39.0 42.0 45.0 48.0 51.0 54.0 57.0

BOX 15.1 SELEZIONE DEL MODELLO UTILIZZANDO LE DIFFERENZE PRIME,SECONDE E PERCENTUALI

• Se il modello di trend lineare interpola perfettamente la serie storica, allora ledifferenze prime risulteranno costanti. Cioè, le differenze tra osservazioniconsecutive nella serie saranno sempre le stesse:

(Y2 – Y1) = (Y3 – Y1) = … = (Yn – Yn – 1)

• Se il modello di trend quadratico interpola perfettamente la serie storica allorale differenze seconde risulteranno costanti. Cioè:

[(Y3 – Y2) – (Y2 – Y1)] = [(Y4 – Y3) – (Y3 – Y2)] = … = [(Yn – Yn – 1) – (Yn – 1 – Yn – 2)]

• Se il modello di trend esponenziale interpola perfettamente la serie storicaallora le differenze percentuali risulteranno costanti. Cioè,

Y YY

Y YY

Y Yn n2 1

1

3 2

2

100 100−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟× =

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟× = =

−% % ... −−

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟×1

1

100Yn

%


Soluzione

Si noti come le differenze tra osservazioni consecutive nella serie rimangono costanti.

ESEMPIO 15.3Trend quadratico con adattamento perfettoI dati che seguono rappresentano la serie storica annuale dei passeggeri (in milioni) di unadata compagnia aerea.

Mostrare, attraverso le differenze seconde, che un trend quadratico si adatta perfettamen-te alla serie.

Soluzione

Si noti come le differenze seconde tra coppie consecutive di osservazioni nella serie ri-mangono costanti.

ESEMPIO 15.4Trend esponenziale con adattamento perfettoI dati che seguono rappresentano la serie storica annuale dei passeggeri (in milioni) di unadata compagnia aerea.

Mostrare, attraverso le differenze percentuali, che un trend esponenziale si adatta perfet-tamente alla serie.


Anno 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997Passeggeri 30.0 31.0 33.5 37.5 43.0 50.0 58.5 68.5 80.0 93.0Differenze 1.0 2.5 4.0 5.5 7.0 8.5 10.0 11.5 13.0prime

Differenze 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5seconde

Anno 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997Passeggeri 30.0 31.5 33.1 34.8 36.5 38.3 40.2 42.2 44.3 46.5

Anno 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997Passeggeri 30.0 33.0 36.0 39.0 42.0 45.0 48.0 51.0 54.0 57.0

Differenze 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0prime

Anno 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997Passeggeri 30.0 31.0 33.5 37.5 43.0 50.0 58.5 68.5 80.0 93.0


Soluzione

Si noti come le differenze percentuali tra osservazioni consecutive nella serie rimangonocostanti.

La Tabella 15.7 presenta le differenze prime, seconde e percentuali delle entrate lordeannuali (in miliardi di dollari costanti 1982-1984) della Eastman Kodak.

Dall’analisi della Tabella 15.7, si può concludere che nessuno dei tre modelli forni-sce un’interpolazione eccellente della serie. Tra i tre, comunque, il trend quadraticosembra preferibile. Infatti, la serie delle differenze seconde sembra fluttuare più ca-sualmente delle altre attorno allo zero.


Anno 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997Passeggeri 30.0 31.5 33.1 34.8 36.5 37.3 40.2 42.2 44.3 46.5Differenze 1.5 1.6 1.7 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2primeDifferenze 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0percentuali

Tabella 15.7 Confronto tra le differenze prime, seconde e percentuali delle entrate an-nuali della Eastman Kodak (in miliardi di dollari costanti 1982-1984).

Entrate Differenze Entrate DifferenzeAnni prime seconde percentuali Anni prime seconde percentuali1975 9.3 – – – 1987 11.7 1.2 0.6 11.41976 9.5 0.2 – 2.2 1988 14.4 2.7 1.5 23.11977 9.9 0.4 0.2 4.2 1989 14.8 0.4 – 2.3 2.81978 10.7 0.8 0.4 8.1 1990 14.5 – 0.3 – 0.7 – 2.01979 10.8 0.3 – 0.5 2.8 1991 14.2 – 0.3 0.0 – 2.11980 11.8 0.8 0.5 7.3 1992 14.4 0.2 0.5 1.41981 11.3 – 0.5 – 1.3 – 4.2 1993 11.3 – 3.1 – 3.3 – 21.51982 11.2 – 0.1 0.4 – 0.9 1994 9.2 – 2.1 1.0 – 18.61983 10.2 – 1.0 – 0.9 – 8.9 1995 10.0 0.8 2.9 8.71984 10.2 0.0. 1.0 0.0 1996 10.3 0.3 – 0.5 3.01985 9.9 – 0.3 – 0.3 – 2.9 1997 9.0 – 1.3 – 1.6 – 12.61986 10.5 0.6 0.9 6.1 1998 8.2 – 0.8 + 0.5 – 8.9

* Miliardi di dollariFonte: Tabella 15.6.

Apprendere i concetti di base15.9 Si assuma di utilizzare il metodo dei minimi qua-

drati per fittare il trend in una serie contenente 25osservazioni annuali consecutive e si risponda alledomande seguenti.

a. Quale codifica deve essere assegnata alla X peril primo anno della serie?

b. Quali codifica deve essere assegnata alla X per ilquinto anno della serie?

c. Quale codifica deve essere assegnata alla X peril valore della serie più recente?

d. Quale codifica deve essere assegnata alla X perfare una previsione a 5 anni dall’ultimo valoreosservato?

15.10 Si supponga che l’equazione dei minimi quadratiper la stima del trend in una serie annuale compo-sta da 20 osservazioni (dal 1980 al 1999) relativa al-le entrate di una società (in milioni di dollari co-stanti 1995) sia Yi = 4.0 + 1.5Xi.

a. Interpretare il significato dell’intercetta b0 diquesto modello di trend lineare.

b. Interpretare il significato del coefficiente b1 diquesto modello di trend lineare.




c. Qual è il valore del trend nel quinto anno di os-servazione?

d. Qual è il valore del trend nell’ultimo anno di os-servazione?

e. Qual è la previsione del trend nei 3 anni succes-sivi all’ultimo osservato?

15.11 Si supponga che l’equazione dei minimi quadratiper la stima del trend in una serie annuale compo-sta da 40 osservazioni (dal 1960 al 1999) relativa al-le vendite di una società (in milioni di dollari co-stanti 1995) sia Yi = 4.0 + 1.5Xi.

a. Interpretare il significato dell’intercetta b0 diquesto modello di trend lineare.

b. Interpretare il significato del coefficiente b1 diquesto modello di trend lineare.

c. Qual è il valore del trend nel decimo anno di os-servazione?

d. Qual è il valore del trend nell’ultimo anno di os-servazione?

e. Qual è la previsione del trend nei 2 anni succes-sivi all’ultimo osservato?

ApplicazioniNota. Utilizzare Microsoft Excel per gli Esercizi dal 15.12al 15.21.

15.12 Nella tabella seguente sono riportati i valori del-l’Indice dei Prezzi al Consumo (CPI) dal 1965 al1998 registrati negli Stati Uniti utilizzando comeperiodo base il triennio 1982-1984. Questo indicemisura la variazione media dei prezzi di un panieredi beni e servizi acquistati da tutti i consumatori(impiegati, operai, lavoratori autonomi, disoc -cupati, pensionati, ecc.).

Indice dei prezzi al consumo.Anno CPI Anno CPI Anno CPI

1965 31.5 1977 60.6 1989 124.01966 32.4 1978 65.2 1990 130.71967 33.4 1979 72.6 1991 136.21968 34.8 1980 82.4 1992 140.31969 36.7 1981 90.9 1993 144.51970 38.8 1982 96.5 1994 148.21971 40.5 1983 99.6 1995 152.41972 41.8 1984 103.9 1996 156.,91973 44.4 1985 107.6 1997 160.51974 49.3 1986 109.6 1998 163.01975 53.8 1987 113.61976 56.9 1988 118.3

Fonte: Bureau of Labor Statistics, U.S. Department ofLabor.

a. Rappresentare i dati in un grafico. b. Descrivere i movimenti della serie nei 34 anni di

osservazione.

15.13 Il prodotto interno lordo (PIL) è uno dei principaliindicatori economici. Esso riassume i consumi indi-viduali, gli investimenti privati, le esportazioni net-te di beni e di servizi e la spesa pubblica. Nella ta-bella che segue sono riportati i valori del prodottointerno lordo americano (in miliardi di dollari co-stanti, base 1992) registrati in un periodo di 17 annifra il 1982 e il 1998.

Prodotto interno lordo in miliardi di dollari costanti;base 1992. Periodo 1982-1998.

Anno PIL reale Anno PIL reale Anno PIL reale

1982 4620.3 1988 5865.2 1994 6608.41983 4803.7 1989 6062.0 1995 6742.21984 5140.1 1990 6136.3 1996 6906.81985 5323.5 1991 6079.4 1997 6928.41986 5487.7 1992 6244.4 1998 7188.41987 5649.5 1993 6386.1

Fonte: U.S. Bureau of Economic Analysis; Statistical Ab-stract of the United States, 118th ed., 1999, Bureau of theCensus, U.S. Department of Commerce, 715.

a. Rappresentare i dati in un grafico. b. Stimare un trend lineare e rappresentarlo nel

grafico. c. Qual è la previsione del PIL americano per gli

anni 1999 e 2000? d. Quali conclusioni si possono trarre riguardol’andamento generale della serie?

15.14 Nella tabella seguente sono riportate le entrate fe-derali americane in miliardi di dollari a prezzi cor-renti nel periodo compreso fra il 1978 e il 1998 pro-venienti dalle imposte sul reddito, dalle assicura-zioni sociali, dalle tasse sulle successioni e donazio-ni, dalle imposte sul consumo, ecc.

Entrate federali americane in miliardi dollari correnti(1978-1998).

Anno Entrate Anno Entrate Anno Entrate

1978 399.6 1985 734.2 1992 1091.31979 463.3 1986 769.3 1993 1154.41980 517.1 1987 854.4 1994 1258.61981 599.3 1988 909.3 1995 1351.81982 617.8 1989 991.2 1996 1453.11983 600.6 1990 1032.0 1997 1579.31984 666.5 1991 1055.0 1998* 1657.9

* Stima preliminareFonte: U.S. Office of Management and Budget, StatisticalAbstract of the United States, 118th ed., 1998, Bureau ofthe Census, U.S. Department of Commerce, 339.

a. Fornire la serie reale delle entrate federali mol-

tiplicando ogni dato per la quantità ,

utilizzando gli indici dei prezzi al consumo del-l’Esercizio 15.12 (base 1982-1984).

100CPI

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟



b. Rappresentare la nuova serie in un grafico. c. Stimare un trend lineare e rappresentarlo sul

grafico. d. Fornire una previsione delle entrate federali per

gli anni 1999 e 2000. e. Rappresentare la serie originale a prezzi corren-

ti in un grafico. f. Stimare un trend lineare e rappresentarlo sul

grafico. g. Fornire una previsione delle entrate federali a

prezzi correnti per gli anni 1999 e 2000. h. Discutere la differenza nel significato delle pre-

visioni in (d) e (g). i. Quali conclusioni si possono trarre circa l’anda-

mento delle entrate a prezzi correnti e a prezzicostanti tra il 1978 e il 1998?

15.15 Nella tabella seguente sono riportati i depositi to-tali (in milioni di dollari) per una delle più grandibanche degli Stati Uniti, la J.P. Morgan, nel periodoche va dal 1979 al 1997.

Deposito totali (in milioni di dollari) della bancaJ.P. Morgan (1979-1997).

Anno Depositi Anno Depositi

1979 30 279 1989 39 1581980 35 594 1990 37 5571981 36 024 1991 36 9761982 37 910 1992 32 5191983 38 070 1993 40 4021984 38 760 1994 43 0851985 39 845 1995 46 4381986 42 960 1996 52 7241987 43 987 1997 58 8791988 42 469

Fonte: Moody’s Handbook of Common Stocks, 1989,1998.

a. Rappresentare i dati in un grafico.b. Stimare un trend lineare e rappresentarlo nel

grafico. c. Stimare un trend quadratico e rappresentarlo

nel grafico. d. Stimare un trend esponenziale e rappresentarlo

nel grafico.e. Quale modello risulta essere il più appropriato? f. Sulla base del modello più appropriato, prevedere

il valore dei depositi nel 1998. Verificare quantoaccurata risulta la previsione cercando il vero va-lore su internet.

15.16 Nella tabella seguente si riportano i ricavi della so-cietà Coca-Cola (in miliardi di dollari correnti) suun periodo di 24 anni che va dal 1975 al 1998.

Ricavi della società Coca-Cola. Periodo 1975-1998.Anno Ricavi Anno Ricavi Anno Ricavi

1975 2.9 1983 6.6 1991 11.61976 3.1 1984 7.2 1992 13.0

Anno Ricavi Anno Ricavi Anno Ricavi

1977 3.6 1985 7.9 1993 14.01978 4.3 1986 7.0 1994 16.21979 4.5 1987 7.7 1995 18.01980 5.3 1988 8.3 1996 18.51981 5.5 1989 9.0 1997 18.91982 5.9 1990 10.2 1998 18.8

Fonte: Moody’s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989,1993, 1997. Riprodotto col permesso di Financial Infor -mation Services, una divisione di Financial Com -munications Company, Inc. e Standard and Poor’s Corp.,New York, McGraw-Hill, Inc., Aprile 1999.

a. Rappresentare i dati in un grafico. b. Stimare un trend quadratico e rappresentarlo sul

grafico. c. Quali sono le previsioni dei ricavi per gli anni

1999 e 2000? d. Formare una nuova tabella con la serie dei ricavi

a prezzi costanti moltiplicando i ricavi annuali

per la quantità utilizzando gli indici al

consumo dei prezzi dell’Esercizio 15.12 (base1982-1984).

e. Rappresentare la serie a prezzi costanti. f. Stimare un trend lineare e rappresentarlo sul

grafico. g. Stimare un trend quadratico e rappresentarlo sul

grafico. h. Stimare un trend esponenziale e rappresentarlo

sul grafico. i. Utilizzando i trend stimati in (f), (g) e (h), preve-

dere i ricavi a prezzi costanti per gli anni 1999 e2000.

j. Confrontare i risultati delle previsioni ottenutein (c) con quelli ottenuti in (i).

k. Quali conclusioni si possono trarre circa l’anda-mento dei ricavi a prezzi costanti e a prezzi cor-renti?

15.17 I dati nella tabella seguente rappresentano i valo-ri di chiusura dell’indice Dow Jones IndustrialAverage (DJIA) nei 20 anni compresi fra il 1979 eil 1998.

Valori di chiusura dell’indice DJIA (Dow JonesIndustrial Average). Periodo 1979-1998.

Anno DJIA Anno DJIA

1979 838.7 1989 2753.21980 964.0 1990 2633.71981 875.0 1991 3168.81982 1046.5 1992 3301.11983 1258.6 1993 3754.11984 1211.6 1994 3834.41985 1546.7 1995 5117.11986 1896.0 1996 6448.3

100CPI

⎞

⎠



Anno DJIA Anno DJIA

1987 1938.8 1997 7908.31988 2168.6 1998 9181.4

Fonte: Yahoo.com, 16 giugno 1999. Riprodotta col per-messo di TIBCO Software.

a. Rappresentare i dati in un grafico. b. Stimare un trend lineare e rappresentarlo sul

grafico. c. Stimare un trend quadratico e rappresentarlo sul

grafico. d. Stimare un trend esponenziale e rappresentarlo

sul grafico. e. Quale modello risulta più appropriato? f. Sulla base del modello più appropriato, prevede-

re il valore di chiusura dell’indice DJIA nel1999. Verificare quanto accurata risulta la previ-sione cercando il vero valore su internet.

15.18 La multinazionale Procter & Gamble (P&G) è unproduttore mondiale di beni di largo consumo conuna capitalizzazione di circa 113.5 miliardi di dollarie ricavi annuali che ammontano a 38 miliardi(Yahoo.com, 24 giugno 1999). Il primo gennaio 1999,il prezzo dell’azione della P&G era di 90.74$. I datinella tabella che segue rappresentano i valori del ti-tolo P&G in un periodo di 30 anni dal primo gennaio1970 al primo gennaio 1999.

Prezzo delle azioni del Procter & Gambledal 1970 al 1999.

Anno Prezzo Anno Prezzo Anno Prezzo

1970 1.42 1980 2.53 1990 14.511971 1.57 1981 2.46 1991 18.331972 2.17 1982 3.03 1992 20.351973 3.14 1983 4.68 1993 23.761974 2.63 1984 4.67 1994 25.851975 2.38 1985 4.91 1995 28.781976 2.66 1986 6.29 1996 39.641977 2.86 1987 7.15 1997 52.031978 2.71 1988 8.24 1998 78.301979 2.90 1989 8.70 1999 90.74

Fonte: Yahoo.com, 24 giugno 1999. Riprodotto col per-messo di TIBCO Software.

a. Rappresentare i dati in un grafico. b. Stimare un trend lineare e rappresentarlo sul

grafico.c. Stimare un trend quadratico e rappresentarlo sul

grafico. d. Stimare un trend esponenziale e rappresentarlo

sul grafico. e. Quale modello risulta più appropriato? f. Sulla base del modello più appropriato, prevede-

re il valore del titolo azionario al primo gennaio2000. Verificare quanto accurata risulta essere laprevisione cercando il vero valore su internet.

15.19 Anche se non ci si può attendere un modello che siadatti perfettamente ai dati, le differenze prime, se-conde e percentuali costituiscono comunque un va-lido strumento per stabilire quale sia il modello piùappropriato. Per ciascuna delle serie storiche ripor-tate nella tabella:

Anno 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

ISerie 10.0 15.1 24.0 36.7 53.8 74.8 100.0 129.2 162.4 199.0storica

IISerie 30.0 33.1 36.4 39.9 43.9 48.2 53.2 58.2 64.5 70.7storica

IIISerie 60.0 67.9 76.1 84.0 92.2 100.0 108.0 115.8 124.1 132.0storica

a. Determinare qual è il modello più appropriato arappresentare l’andamento dei dati.

b. Determinare la corrispondente equazione deltrend.

c. Prevedere il valore della serie per l’anno 2000. 15.20 Spesso la rappresentazione grafica di una serie può

aiutare l’analista a determinare il modello più ap-propriato da utilizzare. Per ciascuna delle serie sto-riche presenti in tabella:

Anno 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

ISerie 100.0 115.2 130.1 144.9 160.0 175.0 189.8 204.9 219.8 235.0storica

IISerie 100.0 115.2 131.7 150.8 174.1 200.0 230.8 266.1 305.5 351.8storica

a. Riportare su un grafico i dati osservati (Y) con iltempo (X) e il logaritmo dei dati osservatilog(Y) con il tempo (X) per determinare qualetra un trend lineare e uno esponenziale sia il mo-dello più appropriato per descrivere la serie.Suggerimento: se il grafico di (log Y) verso iltempo (X) risulta lineare, allora il trend espo-nenziale risulta il più appropriato.

b. Determinare l’equazione del trend che avetescelto come più appropriato per rappresentarela serie.

c. Prevedere il valore della serie per l’anno 2000. 15.21 I dati riportanti nella tabella seguente rap -

presentano i ricavi (in milioni di dollari costanti)conseguiti da una società dal 1984 al 1997.

Ricavi annuali (in milioni di dollari costanti).Anno Ricavi Anno Ricavi

1984 13.0 1991 26.21985 14.1 1992 29.01986 15.7 1993 32.81987 17.0 1994 36.51988 18.4 1995 41.0


15.5 Modelli autoregressivi per la stima del trende per la previsione

Un altro strumento utile per effettuare previsioni su una serie storica annuale si basasui modelli autoregressivi1. Spesso i valori di una serie osservati in un dato istantetemporale sono altamente correlati con i valori della serie che li precedono e conquelli che li seguono. Si parla di autocorrelazione del primo ordine quando si misu-ra la relazione tra valori consecutivi di una serie storica. L’autocorrelazione del se-condo ordine, invece, rappresenta il grado di relazione esistente tra valori della se-rie distanti due periodi di tempo. Più in generale, l’autocorrelazione del p-esimo or-dine misura la relazione esistente tra valori della serie distanti p periodi. Lo studiodell’autocorrelazione presente nei dati può quindi fornire una migliore rappresen-tazione della serie e, allo stesso tempo, una previsione più accurata del suo anda-mento futuro, attraverso l’uso di modelli autoregressivi.

Alcuni modelli autoregressivi sono espressi nelle Equazioni (15.9), (15.10) e(15.11).

15.5 Modelli autoregressivi per la stima del trend e per la previsione 27

1 Si noti che il modello di smussamento esponenziale del Paragrafo 15.3 e i modelli autoregressivi del Paragrafo 15.5 so-no entrambi casi particolari dei modelli autoregressivi integrati a media mobile (ARIMA) sviluppati da Box et al. (1994).

MODELLO AUTOREGRESSIVO DEL PRIMO ORDINE

Yi = A0 + A1Yi – 1 + δi (15.9)

MODELLO AUTOREGRESSIVO DEL SECONDO ORDINE

Yi = A0 + A1Yi – 1 + A2Yi – 2 + δi (15.10)

MODELLO AUTOREGRESSIVO DEL p-ESIMO ORDINE

Yi = A0 + A1Yi – 1 + A2Yi – 2 + ... + ApYi – p + δi (15.11)

dove:Yi = valore osservato della serie nel tempo i

Yi – 1 = valore osservato della serie nel tempo i – 1Yi – 2 = valore osservato della serie nel tempo i – 2Yi – p = valore osservato della serie nel tempo i – p

A0 = costante da stimare attraverso il metodo dei minimi quadratiA1, A2, …, Ap = parametri autoregressivi da stimare con il

metodo dei minimi quadratiδi = componente erratica non correlata con media nulla e varianza costante

Anno Ricavi Anno Ricavi

1989 20.9 1996 45.41990 23.5 1997 50.8

a. Confrontare le differenze prime, seconde e per-centuali per determinare quale sia il modello piùappropriato per rappresentare l’andamento del-la serie.

b. Determinare la corrispondente equazione del

trend.

c. Descrivere la crescita annuale dei ricavi nel cor-

so dei 14 anni di osservazione.

d. Prevedere il valore dei ricavi nell’anno 2000.


Si può osservare come il modello autoregressivo del primo ordine [Equazione (15.9)]è simile nella forma al modello di regressione lineare semplice, mentre il modello au-toregressivo del p-esimo ordine è simile nella forma al modello di regressione linearemultiplo. Nei modelli di regressione lineare, i parametri della regressione sono indica-ti con i simboli β0, β1, βp e le stime corrispondenti con b0, b1, …, bp. Nei modelli autore-gressivi i parametri sono indicati con A0, A1, A2, …, Ap e le stime con a0, a1, a2, …, ap, ri-spettivamente.

Il modello autoregressivo del primo ordine [Equazione (15.9)] prende in conside-razione la correlazione tra valori consecutivi della serie. Il modello autoregressivo delsecondo ordine [Equazione (15.10)] coinvolge anche la correlazione tra valori distan-ti due periodi. Il modello autoregressivo del p-esimo ordine [Equazione (15.11)] in-daga invece le relazioni tra valori consecutivi, tra valori distanti due periodi e così viasino alla relazione esistente tra valori distanti p periodi. La scelta del modello autore-gressivo non è un compito semplice. Bisogna bilanciare i vantaggi legati alla scelta diun modello semplice con lo svantaggio di non prendere in considerazione autocorre-lazioni importanti presenti nei dati. D’altro canto, bisogna prestare attenzione al fattodi non selezionare un modello di ordine troppo elevato che richiede la stima di para-metri numerosi e non necessari, specialmente se n, il numero delle osservazioni dellaserie, non è molto elevato. Infatti, p valori su un totale di n vengono persi quando sistima Ap, in quanto bisogna confrontare Yi con il valore Yi – p distante p periodi (i con-fronti saranno: Y1 + p verso Y1, Y2 + p verso Y2, …, Yn verso Yn – p .

Prendiamo in considerazione due esempi.

ESEMPIO 15.5Prospetto dei confronti in un modello autoregressivo del primo ordineSi supponga di avere la seguente serie composta da n = 7 osservazioni consecutive annuali:

Mostrare i confronti necessari per la stima di un modello autoregressivo del primo ordine.

Soluzione

Dato che non vi è alcuna osservazione prima di Y1, nell’analisi di regressione si perde unodei confronti; di conseguenza, il modello autoregressivo del primo ordine è basato su seicoppie di osservazioni.


Anno 1 2 3 4 5 6 7Serie 31 34 37 35 36 43 40

Anno Modello autoregressivo del primo ordinei (Yi verso Yi – 1)1 31 ) ...2 34 ) 313 37 ) 344 35 ) 375 36 ) 356 43 ) 367 40 ) 43


ESEMPIO 15.6Prospetto dei confronti in un modello autoregressivodel secondo ordineSi supponga di avere la seguente serie composta da n = 7 osservazioni consecutive annuali:

Mostrare i confronti necessari per la stima di un modello autoregressivo del primo ordine.

Soluzione

Dato che non vi è alcuna osservazione prima di Y1, nell’analisi di regressione si perdonodue dei confronti; di conseguenza, il modello autoregressivo del secondo ordine è basatosu cinque coppie di osservazioni.

Una volta selezionato il modello e aver ottenuto le stime dei relativi parametri, il pas-so successivo è quello di determinare l’appropriatezza del modello. Si può seleziona-re un modello di un particolare ordine p in base a esperienze passate con dati simili.In alternativa, si può decidere di stimare un modello con un numero elevato di para-metri, per poi stabilire se sia il caso di eliminarne alcuni. In quest’ultimo caso, si trat-ta di condurre una verifica di ipotesi basata sul test t sulla significatività del coeffi-ciente Ap. Le ipotesi nulla e alternativa sono:

H0: Ap = 0 (il parametro di ordine più elevato è pari a 0)H1: Ap ≠ 0 (il parametro di ordine più elevato è significativamente diverso da 0)

Il test statistico è dato nell’Equazione (15.12).


Anno 1 2 3 4 5 6 7Serie 31 34 37 35 36 43 40

Anno Modello autoregressivo del secondo ordinei (Yi verso Yi – 1 e Yi verso Yi – 2)1 31 ) ... e 31 ) ...2 34 ) 31 e 34 ) ...3 37 ) 34 e 37 ) 314 35 ) 37 e 35 ) 345 36 ) 35 e 36 ) 376 43 ) 36 e 43 ) 357 40 ) 43 e 40 ) 36

TEST t PER LA SIGNIFICATIVITÀ DEL PARAMETRO A – p DEL MODELLOAUTOREGRESSIVO DI ORDINE PIÙ ELEVATO

(15.12)

dove:ap = stima del parametro Ap di ordine più elevato nel modello autoregressivo

Sap= deviazione standard di ap

ta A

Sp p

ap

=−


Il test statistico segue una distribuzione t con n – 2p – 1 gradi di libertà Y2. Per un da-to livello di significatività α si rifiuta l’ipotesi nulla se il test statistico è maggiore inmodulo del valore critico tn – 2p – 1 della distribuzione t. La regola decisionale, quindi, èla seguente:

Rifiutare H0 se t > tn – 2p – 1 o se t > – tn – 2p – 1;altrimenti non rifiutare H0.

La regola di decisione e le regioni di rifiuto e di accettazione sono rappresentatenella Figura 15.12.

Se l’ipotesi nulla che Ap = 0 non viene rifiutata, si può concludere che il modelloselezionato ha un numero troppo elevato di parametri. Il termine di ordine più eleva-to viene dunque eliminato e si procede con la stima del modello autoregressivo di or-dine immediatamente inferiore p – 1. Bisogna, allora, ripetere il test di ipotesi per laverifica che il termine di ordine più elevato è pari a zero.

Questa procedura di verifica di ipotesi e di stima del modello continua sino aquando l’ipotesi nulla H0 viene rifiutata. In questa circostanza si ha che tutti i para-metri del modello sono significativi e pertanto si utilizzerà quel dato modello per ef-fettuare la previsione.

La stima del modello autoregressivo del p-esimo ordine è data nell’Equazione (15.13).


Figura 15.12Regioni di rifiutoper il test disignificatività adue code per ilparametro diordine più elevatoAp del modelloautoregressivo.

IL MODELLO AUTOREGRESSIVO DEL p-ESIMO ORDINE STIMATO

Yi = a0 + a1Yi – 1 + a2Yi – 2 + ... + apYi – p (15.13)

dove:Yi = valore stimato della serie al tempo i

Yi – 1= valore stimato della serie al tempo i – 1Yi – 2 = valore stimato della serie al tempo i – 2Yi – p = valore stimato della serie al tempo i – p

a0, a1, a2, ..., ap = stime di regressione dei parametri A0, A1, A2, ..., Ap

2 Ai gradi di libertà persi per ciascuno dei p parametri da stimare e per l’intercetta della Y, bisogna aggiungere quel-li legati al numero di confronti persi p rispetto alle n osservazioni presenti nella serie.


Per fare una previsione a j anni nel futuro dal periodo corrente n, si utilizza l’Equa-zione (15.14).

Di conseguenza, per fare una previsione a j anni nel futuro con un modello autore-gressivo del terzo ordine occorrono soltanto le p = 3 più recenti osservazioni Yn, Yn – 1

e Yn – 2 e le stime dei parametri A0, A1, A2 e A3, ottenute mediante l’analisi di regres-sione multipla.

Per prevedere a un anno in avanti, l’Equazione (15.14) diventa:

Yn + 1 = a0 + a1Yn + a2Yn – 1 + a3Yn – 2

Per prevedere a due anni in avanti, l’Equazione (15.14) diventa:

Yn + 2 = a0 + a1Yn + a2Yn + a3Yn – 1

Per prevedere a tre anni in avanti, l’Equazione (15.14) diventa:

Yn + 3 = a0 + a1Yn + 2 + a2Yn + 1 + a3Yn

Per prevedere a quattro anni in avanti, l’Equazione (15.14) diventa:

Yn + 4 = a0 + a1Yn + 3 + a2Yn + 2 + a3Yn + 1

e così via.Il modello autoregressivo risulta un utile strumento di interpolazione e previsione

delle serie storiche. Nel box 15.2 si riassumono i passaggi necessari per l’applicazionedi un modello autoregressivo.


PREVISIONE CON IL MODELLO AUTOREGRESSIVO DEL p-ESIMO ORDINE

Yn + j = a0 + a1Yn + j – 1 + a2Yn + j – 2 + ... + apYn + j – p (15.14)

dove:a0, a1, a2, …, ap = stime di regressione dei parametri A0, A1, A2, …, Ap

j = numero di anni nel futuroYn + j – p = previsioni effettuate all’istante n per l’istante Yn + j – p se s – p > 0

Yn + j – p = valore osservato di Yn + j – p se j – p ≤ 0

BOX 15.2 PASSAGGI NECESSARI PER L’APPLICAZIONE DI UN MODELLOAUTOREGRESSIVO SULLE SERIE STORICHE ANNUALI

1. Selezionare l’ordine p più elevato dei parametri del modello autoregressivo inmodo che il test di significatività t sia basato su n – 2p – 1 gradi di libertà.

2. Formare una serie di p variabili ritardate (predittori) (si veda la Tabella 15.8).3. Effettuare il test di significatività per il parametro di ordine più elevato Ap.

a. Se l’ipotesi nulla viene rifiutata, il modello autoregressivo con p predittoriviene scelto per rappresentare la serie [si veda l’Equazione (15.13)] e perfare previsioni [si veda l’Equazione (15.14)].

b. Se l’ipotesi nulla non viene rifiutata, la p-esima variabile viene eliminata e siripetono i passaggi 3 e 4 con l’ordine più elevato dei parametri pari a p – 1.


Per mostrare l’utilità dei modelli autoregressivi, si consideri la serie storica presenta-ta nella Tabella 15.6 delle entrate reali annuali (in milioni di dollari costanti, anno ba-se 1982-1984) della Eastman Kodak su un periodo di 24 anni dal 1975 al 1998. La Ta-bella 15.8 riassume quanto necessario per la stima dei modelli autoregressivi del pri-mo, secondo e terzo ordine. Per stimare il modello del terzo ordine sono necessarietutte le colonne di questa tabella. Per stimare il modello autoregressivo del secondoordine si omette l’ultima colonna della tabella. Per stimare il modello autoregressivodel primo ordine si omettono le ultime due colonne. Inoltre, si può notare come p = 1,2 o 3 osservazioni su un totale di 24 sono perse nei confronti necessari per stimare imodelli autoregressivi del primo, secondo e terzo ordine, rispettivamente.

Nell’Esempio 15.7 viene illustrata la selezione del modello più appropriato.

ESEMPIO 15.7Selezione del modello più appropriatoScegliere il modello autoregressivo più appropriato per la serie storica nella Tabella 15.6 re-lativa alle entrate reali annuali (in miliardi di dollari costanti, anno base 1982-1984) della Ea-stmank Kodak e utilizzare la stima del modello per fare previsioni per gli anni 1999 e 2000.

SoluzioneNel Riquadro A vi sono i risultati per il modello autoregressivo del terzo ordine ottenuticon Microsoft Excel.


Tabella 15.8 Sviluppo dei modelli autoregressivi del primo, secondo e terzo ordine sullaserie delle entrate reali annuali della società Eastman Kodak (1975-1998).

Verificare la significatività del parametro autoregressivo di ordine piùelevato modificando di conseguenza i gradi di libertà del test statistico sullabase del nuovo numero di predittori.

4. Ripetere i passaggi 3 e 4 sino a quando il parametro autoregressivo di ordinepiù elevato risulta essere significativamente diverso da zero. Il modellocorrispondente viene selezionato per rappresentare i dati [si veda l’Equazione(15.13)] e per fare previsioni [si veda l’Equazione (15.14)].


Il modello autoregressivo del terzo ordine stimato risulta essere:

Yi = 2.7673 + 1.285Yi – 1 – 0.5957Yi – 2 + 0.0634Yi – 3

dove l’origine è l’anno 1978 e l’unità di misura delle Y è l’anno.Successivamente si effettua il test di significatività per A3, il parametro con ordine più

elevato presente nel modello la cui stima a3 è pari a +0.0634 con una deviazione standardSa3

pari a 0.2509.

Si verifica

H0: A3 = 0

contro

H1: A3 ≠ 0

Dall’Equazione (15.12) o dall’output di Microsoft Excel si ottiene:

Con un livello di significatività pari a 0.05, il test t a due code con 17 gradi di libertà ha unvalore critico t17 pari a ± 2.1098. Dato che t = 0.253 < 2.1098 o poiché p-value = 0.803 > α == 0.05, non si rifiuta l’ipotesi nulla H0. Si conclude che il parametro A3 non è significativoe può essere eliminato dal modello.

Sempre mediante l’utilizzo di Microsoft Excel, si procede alla determinazione del mo-dello autoregressivo del secondo ordine ottenendo l’output del riquadro B.Il modello autoregressivo del secondo ordine risulta essere:

Yi = 2.900 + 1.256Yi – 1 – 0.516Yi – 2

dove l’origine è l’anno 1977 e l’unità di misura delle Y è l’anno.

ta

Sa

= = =3

3

0 06340 25089

0 253.

..


Riquadro A Output parziale di Microsoft Excel per la determinazione del modello auto-regressivo del terzo ordine implementato sulle entrate della Eastmank Ko-dak.


Dall’output di Microsoft Excel nel Riquadro B risulta che la stima del parametro di ordi-ne più elevato è pari a a2 = – 0.516 con una deviazione standard Sa2

= 0.206.Si verifica:

H0: A2 = 0

contro

H1: A2 ≠ 0

Dall’Equazione (15.12) si ottiene:

Al livello di significatività di 0.05, il test t a due code con 19 gradi di libertà ha un valorecritico t19 pari a ± 2.093. Dato che t = – 2.51 < – 2.093, l’ipotesi nulla H0 viene rifiutata. Siconclude che il parametro del secondo ordine del modello autoregressivo è significativa-mente diverso da zero e quindi deve essere incluso nel modello. Pertanto, si seleziona ilmodello autoregressivo del secondo ordine come il più appropriato per la serie di dati og-getto di analisi. Utilizzando le stime a0 = 2.90, a1 = 1.256, a2 = – 0.516 e i due valori più re-centi Y23 = 9.034 e Y24 = 8.22, le previsioni delle entrate della Eastman Kodak per gli anni1999 e 2000 si ottengono con l’ausilio dell’Equazione (15.14) come segue:

Yn + j = 2.900 + 1.256Yn + j – 1 – 0.516Yn + j – 2

1999: 1 anno avanti Y25 = 2.900 + 1.256(8.22) – 0.516(9.034) = 8.56 miliardi di dollari

2000: 2 anni avanti Y26 = 2.900 + 1.256(8.56) – 0.516(8.22) = 9.41 miliardi di dollari

Le previsioni del modello autoregressivo del secondo ordine dell’Esempio 15.7 sonorappresentate graficamente nella Figura 15.13.

ta

Sa

= =−

= −2

2

0 5160 206

2 51.

..


Riquadro B Output parziale di Microsoft Excel per la determinazione del modello auto-regressivo del secondo ordine implementato sulle entrate della EastmankKodak.



Figura 15.13Modello autore-gressivo del se-condo ordine sullaserie delle entratelorde reali dellaEastman Kodak.

Apprendere i concetti di base15.22 Si supponga di avere una serie storica annuale di 40

osservazioni consecutive e dover immplementareun modello autoregressivo del quinto ordine.

a. Quanti confronti sono persi nello sviluppo delmodello autoregressivo?

b. Quanti parametri bisogna stimare? c. Quali dei 40 valori originari si utilizzano nelle

previsioni? d. Esprimere analiticamente il modello. e. Scrivere l’equazione per la previsione a j anni

nel futuro. 15.23 Si supponga di avere una serie storica composta da

17 osservazioni e di stimare un modello autoregres-sivo del terzo ordine ottenendo le seguenti stimedei parametri con relative deviazioni standard:

a0 = 4.50 a1 = 1.80 a2 = 0.80 a3 = 0.24Sa1

= 0.50 Sa2= 0.30 Sa3

= 0.10

Testare al livello di significatività di 0.05 la bontàdel modello.

15.24 Fare riferimento ai dati dell’Esercizio 15.23. Le treosservazioni più recenti sono:

Y15 = 23 Y16 = 28 Y17 = 34

Fare una previsione della serie per il prossimo annoe il successivo.

15.25 Fare riferimento ai dati dell’Esercizio 15.23. Nel te-stare la bontà del modello, si supponga di avere leseguenti deviazioni standard:

Sa1= 0.45 Sa2

= 0.35 Sa3= 0.15

a. Come cambiano le considerazioni sul modello? b. Discutere il procedimento se la previsione rima-

ne il principale obiettivo dell’analisi.

Applicazioni15.26 Farcendo riferimento ai dati dell’Esercizio 15.15

relativi ai depositi totali (in milioni di dollari) dellaJ.P. Morgan nel periodo che va dal 1979 al 1997:

a. Stimare un modello autoregressivo del terzo ordi-ne e verificare al livello α = 0.05 la significativitàdel parametro di ordine più elevato.

b. Stimare un modello autoregressivo del secondoordine e verificare al livello α = 0.05 la significati-vità del parametro di ordine più elevato.

c. Stimare un modello autoregressivo del primo or-dine e verificare al livello α = 0.05 la significativitàdel parametro di ordine più elevato.

d. Fornire la previsione dei depositi totali con ilmodello più appropriato per gli anni dal 1998 al2001.

15.27 Facendo riferimento ai dati dell’Esercizo 15.16, re-lativo ai ricavi in miliardi di dollari correnti dellasocietà Coca-Cola nel periodo dal 1975 al 1998:



15.6 Scelta del modello di previsionepiù appropriato

Nei Paragrafi 15.4 e 15.5, sono stati illustrati sei diversi modelli di previsione: il mo-dello basato sul trend lineare, il modello basato sul trend quadratico e quello basatosul trend esponenziale nel Paragrafo 15.4; e i modelli autoregressivi del primo, del se-condo e del terzo ordine nel Paragrafo 15.5.

È arrivato il momento di rispondere alla seguente domanda: c’è un modello mi-gliore degli altri? Tra questi modelli, quale modello bisogna selezionare se l’obiettivodell’analisi è la previsione? Nel box 15.3 si forniscono alcune linee guida utili per de-terminare l’adeguatezza di un particolare modello di previsione. Queste linee guidasono basate sulla valutazione della bontà di adattamento del modello ai dati della se-rie storica. Pertanto, si fa l’assunzione che i valori futuri della serie si possano ottene-re osservando e studiando quanto accaduto in passato.

Discutiamo ora in dettaglio di queste linee guida.



b. Se necessario, stimare un modello autoregressivodel secondo ordine e verificare al livello α = 0.05la significatività del parametro di ordine più ele-vato.

c. Se necessario, stimare un modello autoregressivodel primo ordine e verificare al livello α = 0.05 lasignificatività del parametro di ordine più elevato.

d. Fornire la previsione dei ricavi con il modellopiù appropriato per gli anni 1999 e 2000.

15.28 Facendo riferimento ai dati delll’Esercizio 15.17 re-lativo all’indice Dow Jones Industrial Average os-servato nel periodo dal 1979 al 1998:

a. Stimare un modello autoregressivo del terzo or-dine e verificare al livello α = 0.05 la significati-vità del parametro di ordine più elevato.


b. Stimare un modello autoregressivo del primo or-dine e verificare al livello α = 0.05 la significativitàdel parametro di ordine più elevato.

b. Fornire la previsione dell’indice DJIA con il mo-dello più appropriato per gli anni dal 1999 al2001.

15.29 Facendo riferimento ai dati dell’Esercizio 15.18 re-lativo al prezzo del titolo azionario della societàP&G nel periodo dal 1970 al 1999:



c. Stimare un modello autoregressivo del primo or-dine e verificare al livello α = 0.05 la significativitàdel parametro di ordine più elevato.

d. Fornire la previsione del prezzo del titolo per glianni 2000 e 2001.

BOX 15.3 LINEE GUIDA PER LA SCELTA DI UN MODELLO DI PREVISIONE

1. Analisi dei residui.2. Misura della grandezza dei residui attraverso il metodo delle differenze al

quadrato.3. Misura della grandezza dei residui attraverso il metodo delle differenze in

valore assoluto.4. Principio di parsimonia.


Analisi dei residuiCome già visto nell’analisi della regressione, le differenze tra i valori osservati e i va-lori stimati (Yi – Yi) sono note come residui (ei). Una volta che un dato modello è im-plementato su una serie storica, gli n residui si possono rappresentare su un grafico.Come mostrato nel riquadro A della Figura 15.14, se un dato modello rappresenta inmaniera adeguata l’andamento della serie, i residui individueranno la componente ir-regolare della serie e, pertanto, avranno un comportamento casuale lungo il periododi osservazione. Invece, come mostrato nei rimanenti riquadri della Figura 15.14, seun dato modello non fornisce una buona rappresentazione dell’andamento della se-rie, allora i residui mostreranno un andamento sistematico segnalando l’incapacitàdel modello di individuare il trend (riquadro B), la componente ciclica (riquadro C),o con dati mensili, la componente stagionale (riquadro D).

Misura della grandezza dei residui attraverso il metodo delledifferenze al quadrato o delle differenze in valore assolutoSe l’analisi dei residui non riesce a individuare il modello più appropriato per idati oggetto di studio, allora si può utilizzare un altro metodo di selezione delmodello, basato sulla misura della grandezza dell’errore residuo. In letteraturasono stati proposti numerosi metodi di misura (Bails, Peppers, 1982; Bowerman,O’Connell, 1993; Newbold, 1994; Wilson, Keating, 1990). Sfortunatamente, nonesiste una misura migliore delle altre per determinare il modello di previsione piùappropriato.

Basato sul principio dei metodi quadrati, una misura già utilizzata nell’analisi diregressione, è l’errore standard delle stime (SXY). Questa misura si ottiene attraverso lasomma delle differenze al quadrato tra i valori osservati e quelli stimati della serie. Seun modello rappresenta perfettamente la serie, allora l’errore standard della stimasarà nullo. Pertanto, nel confrontare l’adeguatezza di due o più modelli di previsione,si sceglierà come modello più appropriato quello con SXY più piccolo.

Tuttavia, uno svantaggio di questa misura nel confrontare diversi modelli di previ-sione è che penalizza il modello con singoli errori di previsione molto elevati, in quan-

15.6 Scelta del modello di previsione più appropriato 37

Figura 15.14Analisi dei residui.


to la differenza tra Yi e Yi viene ingrandita dall’elevamento al quadrato. Per questa ra-gione, alcuni autori propongono di adottare la deviazione media assoluta (MAD), da-ta nell’Equazione (15.15).

L’indice MAD fornisce la media delle differenze in valore assoluto tra i valori osser-vati e quelli stimati dal modello. Se il modello interpola perfettamente la serie osser-vata, la MAD risulta pari a zero e cresce al peggiorare della bontà di adattamento delmodello ai dati osservati. Pertanto, tra due o più modelli di previsione, si selezioneràquello con l’indice MAD più basso.

Principio di parsimoniaSe, dopo aver condotto l’analisi dei residui e aver confrontato le misure SYX e MAD,si ritiene che due o più modelli siano appropriati per i dati oggetto di studio, allora sipuò ricorrere al quarto metodo di selezione del modello basato sul principio di parsi-monia, che conduce a selezionare il modello più semplice a parità di risultati.

Tra i sei modelli sin qui considerati, i più parsimoniosi sono quelli basati sul trendlineare e quadratico e il modello autoregressivo del primo ordine. Fra i modelli piùcomplessi si collocano quelli autoregressivi di ordine superiore a 1 e il modello espo-nenziale.

Un confronto di quattro modelli di previsioneAl fine di illustrare il processo di selezione di un modello, si consideri il data set rela-tivo alle entrate annuali della Eastman Kodak. Si confrontano quattro dei modelli diprevisione studiati neli Paragrafi 15.4 e 15.5: il modello basato sul trend lineare, il mo-dello basato sul trend quadratico, il modello esponenziale e il modello autoregressivodi secondo ordine. (Il modello autoregressivo del terzo ordine non viene consideratoin quanto la verifica di ipotesi ha mostrato che non migliora in maniera significatival’interpolazione della serie rispetto al modello autoregressivo del secondo ordine.)

La Figura 15.15 mostra il grafico dei residui per i quattro modelli. Nel trarre con-clusioni dall’analisi dei residui bisogna comunque tenere presente che si hanno a di-sposizione soltanto 24 valori.

Dai riquadri A, B e C della Figura 15.15 si può notare come tutti e tre i modelli ba-sati sul metodo dei minimi quadrati siano incapaci di individuare la componente cicli-ca. Comunque, il grafico dei residui del modello quadratico sembra suggerire un’in-terpolazione migliore di quello lineare o esponenziale, considerati l’ampiezza delleoscillazioni dei residui attorno allo zero e l’andamento più casuale (cioè, un anda-mento meno sistematico).

Inoltre, l’aumento dei residui osservato negli anni più recenti in tutti e quattro igrafici suggerisce che nessun modello riesce a individuare le ampie fluttuazioni ri-scontrate nelle entrate della Eastman Kodak negli anni più recenti. Tuttavia, osser-vando il riquadro D si può concludere che il modello autoregressivo fornisce l’inter-polazione migliore della serie con un comportamento dei residui meno sistematico.


DEVIAZIONE MEDIA ASSOLUTA

(15.15)MADY Y

n

i ii

n

=

−=

∑ ˆ1


In conclusione, sulla base dell’analisi dei residui, il modello regressivo del secondo or-dine sembra essere il più appropriato mentre il modello lineare e quello esponenzialesono i meno adatti a rappresentare la serie. Per avere una conferma, si possono con-frontare i quattro modelli rispetto alla grandezza complessiva dell’errore residuo.Nella Tabella 15.9 si riportano i valori osservati (Yi), i valori stimati (Yi) e i residui (ei)per ciascuno dei quattro modelli. Inoltre, sono fornite la deviazione standard della sti-ma (SYX) e la deviazione media assoluta (MAD) per ciascun modello.

Per questa serie storica, sia l’indice SYX che l’indice MAD conducono agli stessi ri-sultati dell’analisi dei residui. Secondo entrambi gli indici il modello esponenziale e ilmodello lineare sono chiaramente quelli che forniscono l’interpolazione peggiore. Il

15.6 Scelta del modello di previsione più appropriato 39

A: Modello lineare B: Modello quadratico

C: Modello esponenziale D: Modello autoregressivo del secondo ordine

Figura 15.15Grafico dei residuiper quattro modellidi previsioneottenuto conMicrosoft Excel.

Tabella 15.9 Confronto di quattro modelli di previsione mediante gli indici SYX e MAD.


modello quadratico è il migliore tra quelli basati sui minimi quadrati mentre il mo-dello con il più piccolo valore in assoluto di SYX e del MAD risulta essere il modelloautoregressivo del secondo ordine (Figura 15.15).

Una volta selezionato il modello più appropriato, bisogna valutare attentamente ilsuo comportamento nel momento in cui si hanno a disposizione nuovi valori della se-rie. Pertanto, il nuovo valore osservato Yt al tempo t dovrà essere confrontato con lasua previsione Yt. Se la differenza è troppo elevata, il modello di previsione dovrebbeessere riconsiderato. Una procedura di controllo adattivo di questo tipo è descritta daBowerman e O’Connell (1993).


Apprendere i concetti di base15.30 Si supponga di aver stimato un modello basato sul

trend lineare su una serie composta da 12 osserva-zioni relative alle vendite (in miliardi di dollari co-stanti 1995) di una società e di aver ottenuto i se-guenti residui (ei – Yi – Yi):

2.0 – 0.5 1.5 1.0 0.0 1.0

– 3.0 1.5 – 4.5 2.0 0.0 – 1.0

a. Calcolare l’indice SYX e commentare il risultato. b. Calcolare l’indice MAD e commentare il risulta-

to. 15.31 In riferimento all’Esercizio 15.30, si supponga che

il primo residuo della serie sia 12.0 anziché 2.0 eche l’ultimo residuo sia – 11.0 invece di – 1.0.

a. Calcolare l’indice SYX e commentare il risultato. b. Calcolare l’indice MAD e commentare il risulta-

to.

Applicazioni15.32 L’Alabama, l’Arizona e la Louisiana hanno alcune

caratteristiche in comune tra le quali la popolazio-ne (all’incirca 4.3 milioni ciascuno) e la collocazio-ne geografica (tutti sono nella parte sud-est degliStati Uniti).I dati che seguono rappresentano la spesa federalepro capite (in dollari costanti 1995) in ciascuno diquesti stati su un periodo di 15 anni che va dal 1981al 1995.

Spese federali pro capite(in dollari costanti 1995), 1981-1995.

Spese federali pro capite realiAnno (in dollari costanti 1995)fiscale Alabama Arizona Louisiana

1981 4091 3996 41421982 4046 4036 3599

Spese federali pro capite realiAnno (in dollari costanti 1995)fiscale Alabama Arizona Louisiana

1983 4212 4084 35821984 4284 4242 35521985 4497 4289 38641986 4620 4654 38951987 4719 4784 36361988 4629 4367 37831989 4664 4439 41361990 5139 4590 42681991 5277 4526 45371992 5559 4520 49751993 5599 4765 52611994 5631 4633 54421995 5534 4686 5353

Fonte: D.P. Moynihan, M.E. Friar, H.B. Leonard, e J.H. Wal-der, The Federal Budget and the States: Fiscal Year 1995,pubblicato congiuntamente da John F. Kennedy School ofGovernment, Harvard University, e Office of Senator Da-niel Patrick Moynihan, 30 settembre 1996, 43, 45, 60.

Per ciascuna delle tre serie:

a. Rappresentare i dati su un grafico. b. Determinare l’equazione del trend lineare. c. Prevedere il valore del trend per gli anni 1996-

1999. d. Effettuare l’analisi dei residui. e. Calcolare l’errore standard della stima (SYX). f. Calcolare l’indice MAD. g. Sulla base dei risultati in (d), (e) e (f), ci si può ri-

tenere soddisfatti delle previsioni ottenute nelpunto (c)? Commentare la risposta.

15.33 Fare riferimento ai risultati degli Esercizi 15.15 e15.26 relativi alla serie storica dei depositi della J.P.Morgan.

a. Effettuare l’analisi dei residui per ciascun mo-dello considerato.

b. Calcolare la deviazione standard della stima(SYX) per ciascun modello considerato.



15.7 Previsioni per serie storiche con dati mensilio trimestrali

Sino a questo punto del capitolo, ci si è focalizzati su serie con dati aventi cadenza an-nuale. Nella realtà, numerose serie storiche di carattere economico sono osservatecon cadenza trimestrale o mensile e altre con cadenza settimanale, giornaliera o addi-rittura oraria. In particolare, come mostrato nella Tabella 15.1, quando una serie sto-rica è registrata trimestralmente o mensilmente, bisogna considerare l’influenza deglieffetti stagionali. In questo Paragrafo si illustrerà un metodo per effettuare previsionisu serie mensili o trimestrali che si basa sul modello di regressione.

La Tabella 15.10 presenta le spese private mensili per abitazioni (in milioni di dollari

15.7 Previsioni per serie storiche con dati mensili o trimestrali 41

c. Calcolare il MAD per ciascun modello conside-rato.

d. Sulla base di quanto ottenuto nei punti (a), (b) e(c) e considerando il principio della parsimonia,quale modello si dovrebbe scegliere per fini pre-visivi? Commentare la risposta.

15.34 Fare riferimento ai risultati degli Esercizi 15.16 e15.27 relativi alla serie storica dei ricavi della so-cietà Coca-Cola.



b. Calcolare il MAD per ciascun modello conside-rato.

b. Sulla base di quanto ottenuto nei punti (a), (b) e(c) e considerando il principio della parsimonia,quale modello si dovrebbe scegliere per fini pre-visivi? Commentare la risposta.

15.35 Fare riferimento ai risultati degli Esercizi 15.17 e15.28 relativi alla serie storica dell’indice Dow Jo-nes Industrial Average.





15.36 Fare riferimento ai risultati degli Esercizi 15.18 e15.29 relativi alla serie storica dei prezzi del titoloazionario della Procter & Gamble.





Tabella 15.10 Spese private mensili per abitazioni (in milioni di dollari costanti 1995) in una pic-cola città degli Stati Uniti (gennaio 1992-dicembre 1997).

AnnoMesi 1992 1993 1994 1995 1996 1997Gennaio 10.2 11.2 12.5 12.6 13.2 13.0Febbraio 9.7 11.0 12.0 12.0 12.5 12.7Marzo 11.3 12.7 13.9 14.2 14.4 14.8Aprile 12.4 14.3 15.4 15.6 15.8 15.9Maggio 13.6 16.2 17.0 17.1 17.1 17.1Giugno 14.5 17.7 18.2 18.3 18.1 17.7Luglio 14.8 18.4 18.6 18.9 18.7 17.9Agosto 15.3 18.6 18.8 19.3 18.9 18.0Settembre 15.0 18.1 18.4 18.7 18.1 16.8Ottobre 15.0 18.0 18.2 18.7 17.8 16.3Novembre 14.2 16.7 17.1 17.7 16.7 14.7Dicembre 12.4 14.2 14.5 15.0 14.0 12.2


costanti 1995) in una piccola città degli Stati Uniti dal gennaio 1992 al dicembre 1997.La serie storica è rappresentata in Figura 15.16.

Per l’analisi di serie storiche mensili come quella appena descritta, il modellomoltiplicativo classico include la componente stagionale oltre alle componenti trend,ciclica e irregolare. Il modello è espresso nell’Equazione (15.2):

Yi = Ti × Si × Ci × Ii

Il metodo dei minimi quadrati per la previsione di seriestoriche mensili o trimestraliAl fine di sviluppare un modello di regressione che include sia il trend che la compo-nente stagionale è necessario combinare il metodo dei minimi quadrati per la stimadel trend (Paragrafo 15.4) con il modello per predittori di tipo categorico per la stimadella componente stagionale.

Il modello moltiplicativo classico [Equazione (15.2)] viene adattato a serie stori-che mensili o trimestrali attraverso la stima del modello del trend esponenziale concomponenti stagionali come illustrato nelle Equazioni (15.16a) e (15.16b) per datimensili o nelle Equazioni (15.17a) e (15.17b) per dati trimestrali.


Figura 15.16Spese privatemensili perabitazioni (inmilioni di dollaricostanti 1995) inuna piccola cittàdegli Stati Uniti(gennaio 1992-dicembre 1997).


MODELLO ESPONENZIALE PER DATI MENSILI

Yi = b0b1Xib2

M1b3M2b4

M3b5M4b6

M5b7M6b8

M7b9M8b10

M9b11M10b12

M11 (15.16a)

dove:b0 = intercetta stimata di Y

(b1 – 1) × 100% = stima del tasso di crescita mensile composto (in %)Xi = codifica assegnata al mese

b2 = moltiplicatore di gennaio relativo a dicembreb3 = moltiplicatore di febbraio relativo a dicembreb4 = moltiplicatore di marzo relativo a dicembre

.

.

.


Si noti che M1, M2, M3, ..., M11 sono le 11 variabili dummy necessarie per rappresenta-re i 12 mesi della serie mensile, mentre Q1, Q2 e Q3 sono le tre variabili dummy neces-sarie per rappresentare i quattro trimestri della serie trimestrale. Passando al logarit-mo naturale3 di entrambi i lati delle Equazioni (15.16a) e (15.17a), si ottengono leEquazioni (15.16b) e (15.17b) che sono entrambe in forma lineare.

Lavorando con lnYi al posto delle Yi otteniamo i coefficienti di regressione semplice-mente prendendo l’antilogaritmo dei coefficienti di regressione ottenuti con il meto-do dei minimi quadrati dalle Equazioni lineari (15.16b) e (15.17b).

Anche se, a prima vista, il modello può sembrare molto complesso, in realtà in cia-scun periodo i valori di tutte le altre variabili dummy del modello sono pari a zero el’equazione si semplifica notevolmente. Con una serie mensile, le Equazioni (15.16b)e (15.16a) diventano rispettivamente:


b12 = moltiplicatore di novembre relativo a dicembreM1 = 1 se gennaio, 0 altrimentiM2 = 1 se febbraio, 0 altrimentiM3 = 1 se marzo, 0 altrimenti

.

.

.M11 = 1 se novembre, 0 altrimenti

MODELLO ESPONENZIALE PER DATI TRIMESTRALI

Yi = b0b1Xib2

Q1b3Q2b4

Q3 (15.17a)

dove:b0 = intercetta stimata di Y

(b1 – 1) × 100% = stima del tasso di crescita trimestrale composto (in %)Xi = codifica assegnata al trimestre

b2 = moltiplicatore del primo trimestre relativo al quarto trimestreb3 = moltiplicatore del secondo trimestre relativo al quarto trimestre

b4 = moltiplicatore del terzo trimestre relativo al quarto trimestreQ1 = 1 se primo trimestre, 0 altrimenti

Q2 = 1 se secondo trimestre, 0 altrimentiQ1 = 1 se terzo trimestre, 0 altrimenti

3 Il logaritmo naturale, usualmente abbreviato con ln è il logaritmo con base e, la costante matematica approssimati-vamente uguale a 2.71828.

MODELLO ESPONENZIALE PER DATI MENSILI

ln Yi = ln b0 + Xi ln b1 + M1 ln b2 + M2 ln b3 + M3 ln b4 + ... + M11 ln b12 (15.16b)

MODELLO ESPONENZIALE PER DATI TRIMESTRALI

ln Yi = ln b0 + Xi ln b1 + Q1 ln b2 + Q2 ln b3 + Q3 ln b4 (15.17b)


• per il mese di gennaio: ln Yi = ln b0 + Xi ln b1 + M1 ln b2 che, con la trasforma-zione antilogaritmica, diventa

Yi = b0b1Xib1

M1

• per il mese di febbraio: ln Yi = ln b0 + Xi ln b1 + M2 ln b3 che, con la trasforma-zione antilogaritmica, diventa

Yi = b0b1Xib3

M2

• per il mese di marzo: ln Yi = ln b0 + Xi ln b1 + M3 ln b4 che, con la trasforma-zione antilogaritmica, diventa

Yi = b0b1Xib4

M3

.

.

.• per il mese di novembre: ln Yi = ln b0 + Xi ln b1 + M11 ln b12 che, con la trasforma-

zione antilogaritmica, diventaYi = b0b1

Xib12M11

• per il mese di dicembre: ln Yi = ln b0 + Xi ln b1 che, con la trasformazione antilo-garitmica, diventaYi = b0b1

Xi

i noti che nella determinazione delle variabili dummy, dicembre è il periodo base eviene codificato con zero in tutte le variabili dummy.

Con una serie trimestrale, l’equazioni (15.7b) e (15.7a) diventano, rispettivamente:

• per il primo trimestre: ln Yi = ln b0 + Xi ln b1 + Q1 ln b2 che, con la trasforma-zione antilogaritmica, diventa

Yi = b0b1Xib2

Q1

• per il secondo trimestre: ln Yi = ln b0 + Xi ln b1 + Q2 ln b3 che, con la trasforma-zione antilogaritmica, diventa

Yi = b0b1Xib3

Q2

• per il terzo trimestre: ln Yi = ln b0 + Xi ln b1 + Q3 ln b4 che, con la trasforma-zione antilogaritmica, diventa

Yi = b0b1Xib4

Q3

• per il quarto trimestre: ln Yi = ln b0 + Xi ln b1 che, con la trasformazione antilo-garitmica, diventa

Yi = b0b1Xi


Figura 15.17Output ottenutocon MicrosoftExcel per la stimae la previsione didati mensili.



Per i dati trimestrali, il quarto trimestre viene preso come periodo base e viene codi-ficato con zero per tutte le variabili dummy.

Per illustrare la stima del modello e la previsione per una serie con dati mensili, siconsiderino i dati relativi alla spesa per abitazioni (in milioni di dollari costanti 1995) ri-portati nella Tabella 15.10. I dati sono stati registrati dal gennaio 1992 al dicembre 1997.Nella Figura 15.17 è riportato un output del modello ottenuto mediante Microsoft Excel.

Dai risultati si nota come il modello sembra ben interpolare i dati osservati. Ilcoefficiente di determinazione r2 è 84.5% e quello corretto è pari a 81.3%, mentre iltest F per la bontà di adattamento ha una statistica test pari a 26.65 con un p-value pa-ri a 0.000. Inoltre, ciascun coefficiente di regressione risulta significativo al livello disignificatività di 0.05 tranne che per il mese di marzo (statistica t pari a 0.19 con un p-value pari a 0.849), dove la componente stagionale si discosta casualmente dal perio-do base (il mese dicembre). Prendendo l’antilogaritmo di tutti i coefficienti di regres-sione si ottengono i seguenti risultati.

Di seguito viene fornita l’interpretazione di questi coefficienti di regressione.• L’intercetta b0 = 12.3893 (in milioni di dollari costanti 1995) rappresenta il valore

del trend della spesa privata in abitazioni nel gennaio 1992, il periodo iniziale diosservazione della serie storica.

• Il valore (b1 – 1) × 100% = 0.24% è il tasso di crescita mensile composto della spe-sa privata in abitazioni.

• b2 = 0.9061 è il moltiplicatore stagionale per il mese di gennaio rispetto al mese didicembre; esso indica che la spesa privata in abitazioni nel mese di gennaio dimi-nuisce del 9.4% rispetto alla spesa sostenuta nel mese di dicembre.

• b3 = 0.8691 è il moltiplicatore stagionale per il mese di febbraio rispetto al mese didicembre; esso indica che la spesa privata in abitazioni nel mese di febbraio dimi-nuisce del 13.1% rispetto alla spesa sostenuta nel mese di dicembre.

• b4 = 1.0083 è il moltiplicatore stagionale per il mese di marzo rispetto al mese di di-cembre; esso indica che la spesa privata in abitazioni nel mese di marzo aumentadello 0.8% rispetto alla spesa sostenuta nel mese di dicembre.

.

.

.

• b12 = 1.1824 è il moltiplicatore stagionale per il mese di novembre rispetto al mesedi dicembre; esso indica che la spesa privata in abitazioni nel mese di novembre èil 18.2% più elevata della spesa sostenuta nel mese di dicembre.


Coefficientidi regressione ln bi bi = e ln bi

b0: Y intercetta 2.51683 12.3893b1: Tasso di crescita mensile composto 0.00241 1.0024b2: Gennaio – 0.09862 0.9061b3: Febbraio – 0.14032 0.8691b4: Marzo 0.00831 1.0083b5: Aprile 0.10132 1.1066b6: Maggio 0.19218 1.2119b7: Giugno 0.25310 1.2880b8: Luglio 0.27688 1.3190b9: Agosto 0.28978 1.3361b10: Settembre 0.25198 1.2866b11: Ottobre 0.23900 1.2700b12: Novembre 0.16756 1.1824


Apprendere i concetti di base15.37 Per una serie mensile osservata su un periodo di 5

anni dal gennaio 1993 al dicembre 1997, la previsio-ne per il mese di gennaio effettuata con il modelloesponenziale è la seguente:

ln Yi = 2.0 + 0.01Xi + 0.10 gennaio

Calcolare l’antilogaritmo dei coefficienti e inter-pretare:

a. l’intercetta b0;

b. il tasso mensile di crescita composto;c. il moltiplicatore del mese di gennaio.

15.38 Nel condurre una previsione per una serie stori-ca con cadenza settimanale, quante variabilidummy occorrono per determinare la com -ponente stagionale settimanale?

15.39 Per una serie trimestrale osservata su un periodo di5 anni dal primo trimestre 1994 al quarto trimestre1998, il modello esponenziale è dato da:

ln Yi = 3.0 + 0.01Xi – 0.25Q1 + 0.20Q2 + 0.15Q3


Utilizzando l’Equazione (15.6b) si possono fornire previsioni sull’andamento dellaspesa in abitazioni nei mesi di novembre e dicembre 1997:

• per il mese di novembre 1997: ln Y71 = 2.51683 + 70(0.00241) + 0.16756= 2.85309 e, passando all’antilogaritmo, si ottiene

Y71 = 17.341 milioni di dollari costanti 1995;• per il mese di dicembre 1997: ln Y72 = 2.51683 + 71(0.00241)

= 2.68794 e, passando all’antilogaritmo, si ottieneY72 = 17.701 milioni di dollari costanti 1995.

Per valutare la bontà del modello sulla serie osservata, si stima la spesa privata in abi-tazioni su base mensile dal gennaio 1992 al dicembre 1997 e si confrontano i risultaticon i valori realmente osservati della serie in modo da poter calcolare gli indici SYX,MAD o r2.

Per effettuare previsioni per ciascun mese dell’anno 2000 si hanno le seguentiequazioni:

• per il mese di gennaio 2000: lnY97 = 2.51683 + 96(0.00241) – 0.09862= 2.64957 e, passando all’antilogaritmo, si ottiene

Y97 = 14.148 milioni di dollari costanti 1995;• per il mese di febbraio 2000: lnY98 = 2.51683 + 97(0.00241) – 0.14032

= 2.61028 e, passando all’antilogaritmo, si ottieneY98 = 13.603 milioni di dollari costanti 1995;

• per il mese di marzo 2000: ln Y99= 2.51683 + 98(0.00241) + 0.00831= 2.76132 e, passando all’antilogaritmo, si ottiene

Y99 = 15.821 milioni di dollari costanti 1995;...

• per il mese di novembre 2000: lnY107 = 2.51683 + 106(0.00241) + 0.16756= 2.93985 e, passando all’antilogaritmo, si ottiene

Y107 = 18.913 milioni di dollari costanti 1995;• per il mese di dicembre 2000: lnY108 = 2.51683 + 107(0.00241)

= 2.77470 e, passando all’antilogaritmo, si ottieneY108 = 16.034 milioni di dollari costanti 1995.




dove l’origine è il primo trimestre 1994 e l’unità dimisura della X è il trimestre.

a. Calcolare l’antilogaritmo del coefficiente ap -propriato e interpretare il valore dell’intercetta b0.

b. Calcolare l’antilogaritmo del coefficiente appro-priato e interpretare il tasso trimestrale di cresci-ta composto.

c. Calcolare l’antilogaritmo del coefficiente appro-priato e interpretare il moltiplicatore del secon-do trimestre.

15.40 Facendo riferimento al modello esponenziale del-l’Esercizio 15.39, calcolare:

a. il valore della serie stimato per il quarto trime-stre del 1996;

b. il valore della serie stimato per il primo trime-stre del 1997;

c. Qual è la previsione per il quarto trimestre1999?

d. Qual è la previsione per il primo trimestre 2000?

ApplicazioniNota. utilizzare Microsoft Excel per risolvere gli Esercizidal 15.41 al 15.47.15.41 I dati riportati nella tabella seguente rappresentano

l’indice azionario Standard & Poor’s registrato altermine di ogni trimestre dal 1994 al 1998.

Indice azionario trimestrale Standard & Poor’s.Anno

Trimestre 1994 1995 1996 1997 1998

1 445.77 500.71 645.50 757.12 1,101.752 444.27 544.75 670.63 885.14 1,133.843 462.69 584.41 687.31 947.28 1,017.014 459.27 615.93 740.74 970.43 1,229.23

Fonte: Standard & Poor’s Current Statistics, 29 gennaio1998. Riprodotto col permesso di Financial Informa-tion Services, una divisione di Financial Communica-tions Company, Inc. e Yahoo.com, 24 giugno 1999.

a. Fornire un’opportuna rappresentazione graficadelle osservazioni.

b. Sviluppare sulla serie un modello esponenzialecon componente stagionale trimestrale.1. Qual è il valore stimato della serie nel terzo

trimestre 1998? 2. Qual è il valore stimato della serie nel quar-

to trimestre 1998? 3. Quali sono le previsioni ottenute dal model-

lo per tutti i trimestri dal 1999 al 2000? 4. Interpretare il valore del tasso trimestrale di

crescita composto. 5. Interpretare il moltiplicatore relativo al se-

condo trimestre. 15.42 I dati riportati nella tabella seguente rappresentano

i valori trimestrali dell’indicatore economico PIL

(Prodotto Interno Lordo) espresso in dollari costan-ti 1992 dal 1990 al 1997.

Valori trimestrali del PIL(in miliardi di dollari costanti 1992).

AnnoTrim. 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

1 6152.6 6047.5 6175.7 6327.9 6524.5 6703.7 6826.4 7101.62 6171.6 6074.7 6214.2 6359.9 6600.3 6708.8 6926.0 7159.63 6142.1 6090.1 6260.7 6393.5 6629.5 6759.2 6943.8 7217.64 6079.0 6105.3 6327.1 6436.9 6688.6 6796.5 7017.4 7250.0*

*Stima inizialeFonte: Survey of Current Business, dicembre 1997.

a. Fornire un’opportuna rappresentazione graficadelle osservazioni.

b. Sviluppare sulla serie un modello esponenzialecon componente stagionale trimestrale.1. Qual è il valore stimato della serie nel terzo

trimestre 1997? 2. Qual è il valore stimato della serie nel quar-

to trimestre 1997? 3. Quali sono le previsioni ottenute dal model-

lo per tutti i trimestri dal 1998 al 1999?4. Interpretare il valore del tasso trimestrale di

crescita composto.5. Interpretare il moltiplicatore relativo al pri-

mo trimestre. 15.43 Nella tabella seguente si riportano i prezzi medi

mensili (per gallone) della benzina applicati nellecittà americane dal gennaio 1990 al dicembre 1997.

Prezzi medi della benzina per gallone.Anno

Mese 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Gen. 1.042 1.247 1.073 1.117 1.043 1.129 1.129 1.261Feb. 1.037 1.143 1.054 1.108 1.051 1.120 1.124 1.255Mar. 1.023 1.082 1.058 1.098 1.045 1.115 1.162 1.235Apr. 1.044 1.104 1.079 1.112 1.064 1.140 1.251 1.231Mag. 1.061 1.156 1.136 1.129 1.080 1.200 1.323 1.226Giu. 1.088 1.160 1.179 1.130 1.106 1.226 1.299 1.299Lugl. 1.084 1.127 1.174 1.109 1.136 1.195 1.272 1.205Ago. 1.190 1.140 1.158 1.097 1.182 1.164 1.240 1.253Sett. 1.294 1.143 1.158 1.085 1.177 1.148 1.234 1.277Ott. 1.378 1.122 1.154 1.127 1.152 1.127 1.227 1.242Nov. 1.377 1.134 1.159 1.113 1.163 1.101 1.250 1.213Dic. 1.354 1.123 1.136 1.070 1.143 1.101 1.260 1.177Fonte: Bureau of Labor Statistics, U.S. Department ofLabor, ser. ID: APU000074714, estratto 2 febbraio,1998.

a. Servendosi dell’indice dei prezzi al consumopresentato nell’Esercizio 15.12, costruire la seriedei valori a prezzi costanti 1982-1984 (dividereper CPI e moltiplicare per 100).

b. Fornire un’opportuna rappresentazione graficadella serie a prezzi costanti.


c. Sviluppare sulla serie un modello esponenzialecon componente stagionale mensile.1. Qual è il valore stimato della serie nel mese

di novembre 1997? 2. Qual è il valore stimato della serie nel mese

di dicembre 1997? 3. Quali sono le previsioni ottenute dal model-

lo per i mesi dell’anno 1998? 4. Interpretare il valore del tasso mensile di

crescita composto. 5. Interpretare il valore del moltiplicatore rela-

tivo al mese di luglio. d. Effettuare una ricerca su internet al fine di tro-

vare i prezzi medi della benzina nel 1998 edesprimerli a prezzi costanti 1982-1984. Con-frontare i valori trovati con quelli stimati dalmodello nel punto (c)-(3). Commentare i risul-tati.

15.44 I dati seguenti rappresentano gli addebiti mensili(in milioni di dollari) associati a una nota carta dicredito.

Addebiti mensili associati ad una nota carta di credito.Anno

Mese 1997 1998 1999

Gennaio 31.9 39.4 45.0Febbraio 27.0 36.2 39.6Marzo 31.3 40.5Aprile 31.0 44.6Maggio 39.4 46.8Giugno 40.7 44.7Luglio 42.3 52.2Agosto 49.5 54.0Settembre 45.0 48.8Ottobre 50.0 55.8Novembre 50.9 58.7Dicembe 58.5 63.4

Fonte: Dati reali raccolti da uno degli autori.

a. Fornire una rappresentazione grafica della seriestorica.

b. Commentare l’andamento mensile della serie. c. In generale, si ritiene che l’andamento degli ad-

debiti associati alla carta di credito sia in aumen-to o in diminuzione? Commentare la risposta.

d. Gli addebiti nel mese di dicembre 1998 furonosuperiori ai 63 milioni di dollari mentre nel feb-braio 1999 furono inferirori ai 40 milioni di dol-lari. Il totale di febbraio è vicino a quanto ci sidovrebbe attendere?

e. Sviluppare sulla serie un modello esponenzialecon componente stagionale mensile.

f. Interpretare il valore del tasso mensile di cresci-ta composto.

g. Interpretare il valore del moltiplicatore relativoal mese di gennaio.

h. Qual è la previsione ottenuta dal modello per ilmese di marzo 1999?

i Qual è la previsione ottenuta dal modello per ilmese di aprile 1999?

j. L’analisi effettuata sulla serie storica può esseredi ausilio per la banca? In che modo?

15.45 I dati riportati nella tabella seguente rappresentanole entrate trimestrali (in milioni di dollari) per la so-cietà Toys registrate dal primo trimestre 1992 fino alterzo trimestre 1998.

Entrate trimestrali della società Toysin milioni di dollari (1992-1998).

AnnoTrimestre 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

1 1026 1172 1286 1462 1493 1646 19242 1056 1249 1317 1452 1614 1736 19893 1182 1346 1449 1631 1715 1883 21424 2861 3402 3893 4200 4605 4668Fonte: Standard & Poor’s Stock Reports, Novembre1995, novembre 1998, New York, McGraw-Hill, Inc.

a. Si può ritenere che le entrate della società sianosoggette a variazioni stagionali? Commentare larisposta.

b. Fornire una rappresentazione grafica della se-rie. Il grafico supporta le conclusioni del punto(a)?

c. Sviluppare sulla serie un modello esponenzialecon componente stagionale trimestrale.1. Interpretare il valore del tasso mensile di

crescita composto. 2. Interpretare i valori dei moltiplicatori trime-

strali. 3. Qual è la previsione ottenuta dal modello

per il quarto trimestre 1998? 4. Quali sono le previsioni ottenute dal model-

lo per tutti i trimestri del 1999? 15.46 I dati riportati nella tabella seguente rappresentano

le entrate trimestrali (in milioni di dollari) per la so-cietà Ford registrate dal primo trimestre 1992 fino alterzo trimestre 1998.

Entrate trimestrali della società Fordin milioni di dollari (1992-1998).

AnnoTrimestre 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

1 24 560 26 760 30 400 34 783 36 261 36 202 36 5842 26 840 29 420 33 770 36 389 37 937 40 265 37 2893 23 330 24 500 30 660 31 418 33 960 36 096 32 6404 25 410 27 840 33 643 34 547 38 833 39 952Fonte: Standard & Poor’s Stock Reports, Novembre1995, Novembre 1998. New York, McGraw-Hill, Inc.




15.8 Limiti dei metodi di analisi delle serie storiche 49

15.8 Limiti dei metodi di analisi delle serie storiche

La validità delle metodologie di previsione come l’analisi delle serie storiche che pre-vedono il futuro sulla base dell’informazione passata e presente è stata riconosciuta eben descritta due secoli fa dall’uomo di stato Patrick Henry che, nel discorso alla Vir-ginia Convention (Richmond), 23 marzo 1775, disse:

I have but one lamp by which my feet are guided, and that is the lamp of experience. Iknow no way of judging the future but by the past.

Se fosse vero (come si assume nell’analisi delle serie storiche) che i fattori che hannoinfluenzato l’andamento dell’economia nel passato e nel presente continuino ad agirenello stesso modo anche nel futuro, allora l’analisi delle serie storiche risulterebbeuno strumento di previsione appropriato ed efficace nonché un valido ausilio di con-trollo e pianificazione delle attività aziendali.

I critici dell’analisi classica delle serie storiche argomentano che queste tecniche ri-sultano ingenue e meccaniche nel momento in cui per estrapolare il futuro, si considerasolamente il modello matematico basato sul passato senza includere altri fattori quali ilgiudizio personale di chi conduce l’analisi, l’esperienza manageriale, il progresso tecno-logico, l’evoluzione delle preferenze e dei bisogni (si veda l’Esercizio 15.58). Negli annipiù recenti, gli econometrici hanno introdotto modelli più complessi che prendono inconsiderazione l’influenza di questi fattori. Queste tecniche vanno oltre gli scopi di que-sto libro (Bowerman, O’Connell, 1993; Box et al., 1994; Frees, 1996; Newbold, 1994). Tut-tavia, come si è visto nei precedenti paragrafi del capitolo, le tecniche classiche di anali-si delle serie storiche possono fornire utili linee guida per identificare gli andamenti fu-

b. Fornire una rappresentazione grafica della serie.Il grafico supporta le conclusioni del punto (a)?



strali.3. Qual è la previsione ottenuta dal modello


lo per tutti i trimestri del 1999? 15.47 I dati riportati nella tabella seguente rappresentano

le entrate trimestrali (in milioni di dollari) per la so-cietà Vulcan Materials registrate dal primo trimestre1992 fino al terzo trimestre 1998. La società VulcanMaterials è un’azienda leader nella produzione dimateriali edili.

Entrate trimestrali della società Vulcan Materials inmilioni di dollari (1992-1998).

AnnoTrimestre 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

1 211 214 217 294 309 341 3592 284 306 327 383 419 445 466

AnnoTrimestre 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

3 312 336 360 422 444 478 5104 271 282 350 362 398 414Fonte: Standard & Poor’s Stock Reports, Novembre1995, novembre 1998, New York, McGraw-Hill, Inc.


b. Fornire una rappresentazione grafica della serie.Il grafico supporta le conclusioni del punto (a)?



strali. 3. Qual è la previsione ottenuta dal modello


lo per tutti i trimestri del 1999?



turi di una serie (nel lungo e nel breve periodo). Se utilizzati in maniera appropriata, in-sieme ad altri metodi di previsione e considerando anche l’esperienza e il giudizio ma-nageriale, i metodi di analisi delle serie storiche continueranno a rappresentare un vali-do strumento di supporto alle decisioni aziendali.

Un’applicazione dell’analisi delle serie storicheai tassi di cambioIn quanto socio di una società finanziaria che investe sul mercato valutario inter-nazionale ti è stato assegnato il compito di studiare gli andamenti di lungo perio-do dei tassi di cambio di cinque valute: dollaro canadese, franco francese, marcotedesco, yen giapponese e sterlina inglese. I dati raccolti in tabella esprimono itassi di cambio registrati su un periodo di 31 anni dal 1967 al 1997. Tutti i tassi dicambio sono espressi in riferimento al dollaro americano mentre la sterlina ingle-se è espressa in centesimi di pound.

Decidi di sviluppare modelli di previsione basati sul metodo dei minimi qua-drati per i tassi di cambio di ciascuna valuta al fine di fornire previsione per gli an-ni 1998, 1999 e 2000. Ti è stato chiesto di fornire una sintesi dei risultati dove enfa-tizzerai anche le possibili limitazioni presenti in questi modelli.

Tassi di cambio di cinque valute rispetto al dollaro americano.

Dollaro Franco Marco Yen SterlinaAnno Canadese Francese Tedesco Giapponese Inglese*1967 1.0789 4.921 3.9865 362.13 275.041968 1.0776 4.953 3.9920 360.55 239.351969 1.0769 5.200 3.9251 358.36 239.011970 1.0444 5.529 3.6465 358.16 239.151971 1.0099 5.510 3.4830 347.79 244.421972 0.9907 5.044 3.1886 303.13 250.341973 1.0002 4.454 2.6715 271.31 245.251974 0.9780 4.811 2.5868 291.84 234.031975 1.0175 4.288 2.4614 296.78 222.171976 0.9863 4.783 2.5185 296.45 180.481977 1.0633 4.916 2.3236 268.62 174.491978 1.1405 4.509 2.0097 210.39 191.841979 1.1713 4.257 1.8343 219.02 212.241980 1.1693 4.225 1.8175 226.63 232.461981 1.1990 5.440 2.2632 220.63 202.431982 1.2344 6.579 2.4281 249.06 174.801983 1.2325 7.620 2.5539 237.55 151.591984 1.2952 8.736 2.8455 237.46 133.681985 1.3659 8.980 2.9420 238.47 129.741986 1.3896 6.926 2.1705 168.35 146.771987 1.3259 6.012 1.7981 144.60 163.981988 1.2306 5.960 1.7570 128.17 178.131989 1.1842 6.380 1.8808 138.07 163.821990 1.1668 5.447 1.6166 145.00 178.411991 1.1460 5.647 1.6610 134.59 176.741992 1.2085 5.294 1.5618 126.78 176.631993 1.2901 5.663 1.6533 111.20 150.201994 1.3656 5.552 1.6228 102.21 153.161995 1.3027 4.853 1.5014 103.35 152.841996 1.3704 5.184 1.5415 115.87 171.261997 1.4296 6.024 1.7986 130.38 165.18

* In centesimi di sterlina.Fonte: Board of Governors of the Federal Reserve System, Tabella B-107.


Esercizi riassuntivi 51

L’analisi delle serie storiche è un utile strumento perla pianificazione e il controllo manageriale. Nel capi-tolo, come si può osservare nel diagramma di riepilo-go, sono state dapprima descritte le componenti diuna serie storica e poi sono stati presentati diversi me-todi per la previsione di serie storiche con dati annua-li quali le medie mobili, il livellamento esponenziale, i

trend lineare, quadratico ed esponenziale e i modelliautoregressivi. Inoltre, il modello di regressione deiminimi quadrati è stato sviluppato utilizzando le va-riabili dummy per rappresentare le componenti sta-gionali al fine di effettuare previsioni su dati mensili otrimestrali.

Riassunto

NoSì

Tendenzacentrale

TrendLineare

TrendQuadratico

TrendEsponenziale

ModelloAutoregressivo

Smussamentoesponenziale

Mediemobili

Trend?

Rappresentazionegrafica dei valori

Previsione diuna serie storica

Figura 15.8Diagramma diriepilogo delCapitolo 15.

Verifica della comprensione15.48 Perché sono importanti le tecniche di previsione? 15.49 Cos’è una serie storica?15.50 Descrivere i caratteri distintivi delle diverse com-

ponenti del modello moltiplicativo classico per l’a-nalisi delle serie storiche.

15.51 Qual è la differenza fra le medie mobili e il livella-mento esponenziale?

15.52 In quali circostanze il modello basato sul trendesponenziale risulta preferibile?

15.53 Quali sono i caratteri distintivi del modello di pre-visione basato sul trend lineare sviluppato in que-sto capitolo rispetto al modello di regressione li-neare?

15.54 In che modo i modelli autoregressivi differisconodagli altri modelli di previsione?

Esercizi riassuntivi



15.55 Quali sono i metodi per la scelta del modello diprevisione più appropriato?

15.56 Quali sono i caratteri distintivi tra l’uso di SYX el’indice MAD per valutare la bontà di adattamentodel modello ai dati?

15.57 In che modo la previsione per dati mensili o trime-strali differisce da quella per dati annuali?

Apprendere i concettiNota. Utilizzare Microsoft Excel per la risoluzione degliesercizi.15.58 Nella tabella che segue sono riportati i tassi di inci-

denza annuale (numero di casi su 100.000 persone)della poliomielite registrati nel periodo compresofra il 1915 e il 1955.

Tassi di incidenza annuale della poliomielite.Anno 1915 1920 1925 1930 1935 1940 1945 1950 1955

Tassi 3.1 2.2 5.3 7.5 8.5 7.4 10.3 22.1 17.6Fonte: Dati tratti da B. Wattenberg, (ed.), The Statistical Hi-story of the United States: From Colonial Times to the Pre-sent, ser. B303 (New York, Basic Books, 1976).

a. Fornire un’opportuna rappresentazione graficadei dati.

b. Sviluppare sulla serie un trend lineare e rappre-sentarlo sul grafico precedente.

c. Effettuare una previsione dell’incidenza dellamalattia per gli anni 1960, 1965 e 1970.

d. Effettuare una ricerca per trovare i tassi di incidenzadella poliomielite effettivamente riscontrati neglianni 1960, 1965 e 1970. Con frontare i risultati con leprevisioni ottenute al punto (c).

e. Discutere i motivi per cui l’estrapolazione otte-nuta con il modello dei minimi quadrati non ri-sulta utile.

15.59 Nella tabella che segue sono riportati le entrate (inmiliardi di dollari correnti) della Georgia-PacificCorporation registrati in 24 anni dal 1975 al 1998.

Entrate lorde della Georgia-Pacific Corporation(1975-1998).


1975 2.4 1983 6.5 1991 11.51976 3.0 1984 6.7 1992 11.81977 3.7 1985 6.7 1993 12.31978 4.4 1986 7.2 1994 12.71979 5.2 1987 8.6 1995 14.31980 5.0 1988 9.5 1996 13.01981 5.4 1989 10.1 1997 13.11982 5.4 1990 12.7 1998 13.3

Fonte: Moody’s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989,1993, 1997. Riprodotto col permesso di Financial Informa-tion Services, una divisione di Financial CommunicationsCompany, Inc., e Standard and Poor’s Corp., New York, Mc-Graw-Hill, Inc., aprile 1999.

a. Calcolare le entrate a prezzi costanti 1982-1984,moltiplicando ciascun valore della tabella per la

quantità riprendendo i valori dell’indice

dei prezzi al consumo (CPI) dell’Esercizio 15.12. b. Rappresentare la serie a prezzi costanti su un

grafico. c. Stimare sulla serie un trend lineare. d. Stimare sulla serie un trend quadratico. e. Stimare sulla serie un trend esponenziale. f. Stimare sulla serie un modello autoregressivo

del terzo ordine e verificare la significatività delparametro autoregressivo del terzo ordine. (Uti-lizzare α = 0.05.)

g. Se necessario, stimare sulla serie un modello au-toregressivo del secondo ordine e verificare la si-gnificatività del parametro autoregressivo delsecondo ordine. (Utilizzare α = 0.05.)

h. Se necessario, stimare sulla serie un modello au-toregressivo del primo ordine e verificare la si-gnificatività del parametro autoregressivo delprimo ordine. (Utilizzare α = 0.05.)

i. Condurre l’analisi dei residui per ciascuno deimodelli stimati in (c)-(e) e per il modello autore-gressivo più appropriato in (f)-(h).

j. Per ciascun modello in (i) calcolare la deviazio-ne standard della stima (SYX).

k. Per ciascun modello in (i) calcolare l’indiceMAD.

l. Sulla base dei risultati in (i), (j) e (k) e conside-rando il principio della parsimonia, quale model-lo risulta più appropriato a prevedere l’anda-mento futuro della serie? Commentare la rispo-sta.

m.Sulla base del modello scelto al punto (l), fareuna previsione per gli anni 1999 e 2000.

15.60 I dati nella tabella rappresentano le entrate lorde(in miliardi di dollari correnti) della società PhilipMorris registrate in 24 anni dal 1975 al 1998.

Entrate della società Philip Morris (1975-1998).Anno Entrate Anno Entrate Anno Entrate

1975 3.6 1983 13.0 1991 56.51976 4.3 1984 13.8 1992 59.11977 5.2 1985 16.0 1993 60.91978 6.6 1986 25.9 1994 65.11979 8.1 1987 28.2 1995 66.11980 9.6 1988 31.7 1996 69.21981 10.7 1989 44.8 1997 72.01982 11.6 1990 51.3 1998 74.4

Fonte: Moody’s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989,1993, 1997. Riprodotto col permesso di Financial Informa-tion Services, una divisione di Financial CommunicationsCompany, Inc., e Standard and Poor’s Corp., New York, Mc-Graw-Hill, aprile 1999.

100CPI

⎛

⎝

⎞

⎠


Esercizi riassuntivi 53



dei prezzi al consumo (CPI) dell’Esercizio 15.12. b. Rappresentare la serie a prezzi costanti su di un



g. Se necessario, stimare sulla serie un modello au-toregressivo del secondo ordine e verificare la si-gnificatività del parametro autoregressivo del se-condo ordine. (Utilizzare α = 0.05.)

h. Se necessario, stimare sulla serie un modello au-toregressivo del primo ordine e verificare la signi-ficatività del parametro autoregressivo del primoordine. (Utilizzare α = 0.05).


j. Per ciascun modello in (i) calcolare la deviazionestandard della stima (SYX).


l. Sulla base dei risultati in (i), (j) e (k) e conside-rando il principio della parsimonia, quale modellorisulta più appropriato a prevedere l’andamentofuturo della serie? Commentare la risposta.


15.61 I dati nella tabella rappresentano le entrate (in mi-liardi di dollari correnti) della società McDonald’sregistrate in 24 anni dal 1975 al 1998.

Entrate della società McDonald (1975-1998).Anno Entrate Anno Entrate Anno Entrate

1975 1.0 1983 3.1 1991 6.71976 1.2 1984 3.4 1992 7.11977 1.4 1985 3.8 1993 7.41978 1.7 1986 4.2 1994 8.31979 1.9 1987 4.9 1995 9.81980 2.2 1988 5.6 1996 10.71981 2.5 1989 6.1 1997 11.41982 2.8 1990 6.8 1998 12.4

Fonte: Moody’s Handbook of Common Stocks, 1980,1989, 1993, 1997. Riprodotto col permesso di FinancialInformation Services, una divisione di Financial Com-munications Company, Inc., e Standard and Poor’sCorp., New York, McGraw-Hill, aprile 1999.

a. Calcolare le entrate a prezzi costanti 1982-1984,

100CPI

⎛

⎝

⎞

⎠

moltiplicando ciascun valore della tabella per la












15.62 I dati nella tabella rappresentano le entrate (in mi-liardi di dollari correnti) della società Sears, Roe-buck & Company registrate in 24 anni dal 1975 al1998.

Entrate della società Sears, Roebuck & Company(1975-1998).


1975 13.1 1983 35.9 1991 57.21976 17.7 1984 38.8 1992 52.31977 19.6 1985 40.7 1993 50.81978 22.9 1986 42.3 1994 54.61979 24.5 1987 48.4 1995 34.91980 25.2 1988 50.3 1996 38.21981 27.4 1989 53.8 1997 41.31982 30.0 1990 56.0 1998 41.3

Fonte: Moody’s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989,1993, 1997. Riprodotto col permesso di Financial Informa-tion Services, una divisione di Financial CommunicationsCompany, Inc., e Standard and Poor’s Corp., New York, Mc-Graw-Hill, aprile 1999.

100CPI

⎛

⎝

⎞

⎠














15.63 I dati nella tabella rappresentano le entrate trime-strali (in milioni di dollari) per la società Wal-MartStores registrate in un periodo di 7 anni dal 1992 al1998.

Entrate trimestrali della società Wal-Mart Storesin milioni di dollari (1992-1998).

Annotrimestre 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

1 9280 11 650 13 920 17 690 20 440 22 772 25 4092 10 340 13 030 16 237 19 942 22 723 25 587 28 3663 10 630 13 680 16 827 20 418 22 913 25 644 28 7774 13 640 17 122 20 361 24 448 27 550 30 856 35 386

Fonte: Standard & Poor’s Stock Reports, Novembre1995, Novembre 1998. New York, McGraw-Hill, Inc.

a. Quali tra le quattro componenti che formanouna serie storica sono presenti nei dati riportati

100CPI

⎛

⎝

in tabella? Fornire una spiegazione economicaalla loro presenza (o assenza).

b. Rappresentare i dati in un grafico. Il grafico sup-porta le conclusioni del punto (a)?

c. Sviluppare sulla serie un modello esponenzialecon componente stagionale trimestrale.

d. Interpretare il tasso di crescita trimestrale com-posto.

e. Interpretare i valori dei moltiplicatori trimestra-li.

f. Fornire una previsione della entrate per i trime-stri degli anni 1999 e 2000.

g. Trovare su internet i veri valori delle entrate econfrontarli con le previsioni del punto (f).

15.64 I dati riportati nella tabella rappresentano il nume-ro medio di ore di lavoro settimanali per addettoosservate mensilmente nel comparto manifatturie-ro dal gennaio 1992 al dicembre 1997. Questa seriestorica costituisce un importante indicatore dellasituazione economica americana.

Numero medio di ore di lavoro settimanalinel comparto manifatturiero.

AnnoMese 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Gennaio 40.8 41.3 41.7 42.2 40.1 41.8Febbraio 41.0 41.5 41.2 41.9 41.4 41.9Marzo 41.0 41.1 42.0 41.8 41.3 42.1Aprile 41.0 41.6 41.9 41.5 41.5 42.1Maggio 41.1 41.3 42.0 41.4 41.6 42.0Giugno 41.1 41.2 42.0 41.4 41.7 41.8Luglio 41.1 41.4 42.0 41.3 41.6 41.8Agosto 41.1 41.4 42.0 41.5 41.7 41.8Settembre 41.0 41.6 41.9 41.5 41.7 41.9Ottobre 41.1 41.5 42.1 41.5 41.7 42.0Novembre 41.2 41.6 42.1 41.5 41.7 42.1Dicembe 41.2 41.7 42.1 41.2 42.0 42.1**Stima inizialeFonte: Standard & Poor’s Current Statistics, 7 gennaio 1998.Riprodotto col permesso di Financial Information Servi-ces, una divisione di Financial Communications Company,Inc.

a. Rappresentare i dati su un grafico. b. Sviluppare sulla serie un modello esponenziale

con componente stagionale mensile. Utilizzare ilmodello per fare una previsione per tutti i mesidel 1998.

c. Trovare su internet i veri valori osservati mensil-mente nel 1998. Confrontare i dati osservati conle previsioni ottenute al punto (b). Commentarei risultati.

d. Fornire una previsione per il mese di dicembre2000.



Bibliografia 55

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11. Wilson J.H., B. Keating, Business Forecasting(Homewood, IL:Irwin, 1990).

Bibliografia


Appendice E15

Utilizzo di Microsoft Excelper le carte di controllo

E15.1 L’uso di Microsoft Excel per il calcolo dellemedie mobili

Al fine di illustrare il calcolo di una media mobile aprire il file GM.XLS e cliccaresul foglio di lavoro Data. Selezionare Strumenti $ Analisi dei dati e scegliere l’op-zione media mobile. Cliccare su OK. Nella box di dialogo della procedura digitareC1:C25 nel campo Intervallo di input. Spuntare l’opzione Etichette nella prima riga.Digitare 3 nel campo Intervallo per specificare l’ordine della media mobile. Digita-re D2:D25 nel campo Intervallo di output. Non spuntare l’opzione Autocomposi-zione grafico, opzione eseguibile solo per rappresentare graficamente gli output delmodello a medie mobili e del livellamento esponenziale. Cliccare su OK. In questomodo si calcolano le medie mobili a tre termini e i risultati compaiono nella colon-na D.

Ripetere la stessa procedura per il calcolo di una media mobile di ordine 7 cam-biando il valore del campo Intervallo a 7 e il campo Intervallo di output in E2:E25. Sinoti che in entrambi i casi, Microsoft Excel colloca le medie mobili calcolate in modoerrato. (La media mobile a tre termini viene collocata in corrispondenza del terzo an-no – e non del secondo – e la media mobile a 7 termini viene collocata in corrispon-denza del settimo anno – e non del quarto.)

E15.2 L’uso di Microsoft Excel per illivellamento esponenziale

Per ottenere un livellamento esponenziale dei dati, con il foglio di lavoro Dati ancoraattivo, selezionare Strumenti $ Analisi dei dati e poi selezionare l’opzione Smorza-mento esponenziale. Cliccare su OK. Nel riquadro di dialogo digitare C1:C25 nelcampo Intervallo di input. Spuntare l’opzione Etichette. Per ottenere un livellamentoesponenziale con un valore di W = 0.25, digitare 0.75 nel campo Fattore di smorza-mento, dato che il fattore di smorzamento è definito come il complemento a 1 delcoefficiente di smussamento W. Digitare F2:F25 nel campo Intervallo di Output. Clic-care su OK.Ripetere la stessa procedura per un valore di W = 0.5, cambiando il Fattore di smor-zamento a 0.50 (1 – 0.5) e l’intervallo di output in G2:G25. Si noti che, in entrambi icasi, Microsoft Excel fornisce una previsione per l’anno successivo. Per collocare inmaniera corretta entrambe le colonne bisogna spostare le celle di entrambe una rigain alto e poi copiare le formule nelle celle F24 e G24 nelle celle F25 e G25, rispettiva-mente.Una volta ottenuti le medie mobili e i valori smorzati esponenzialmente, si può utiliz-



zare Autocomposizione grafico per ottenere una rappresentazione grafica dell’analisicome nelle Figure 15.3 e 15.4.

E15.3 L’uso di Microsoft Excel per la stimadel trend con il metodo dei minimi quadrati

Lo strumento Analisi dei dati con la sua opzione Regressione è stato utilizzato invari capitoli per l’analisi della regressione lineare semplice e per una varietà di mo-delli di regressione lineare multipla. In questo capitolo si sono illustrati metodi dianalisi delle serie storiche basati su un trend lineare, quadratico o esponenziale. Icalcoli per questi modelli possono essere fatti con l’opzione Regressione dello stru-mento Analisi dei dati. Si rinvia pertanto a quanto detto nell’Appendice E12 per lastima di un trend lineare e all’appendice E13 per la stima di un trend non lineare.Per il modello esponenziale bisogna utilizzare la funzione LOG10 al fine di effet-tuare la trasformazione logaritmica. La variabile trasformata costituirà la variabiledipendente Y nel modello di regressione.

E15.4 L’uso di Microsoft Excel per la stimadei modelli autoregressivi

Per utilizzare l’opzione Regressione all’interno dello strumento Analisi dei dati per imodelli autoregressivi bisogna innanzitutto creare le variabili ritardate. Aprire il fileEASTMANK.XLS e posizionarsi sul foglio Data. Copiate in un nuovo foglio di lavo-ro denominato DataAR le colonne relative all’anno e alla variabile dipendente “en-trate reali” (colonne A e B). Per creare una variabile X ritardata di un periodo dallavariabile entrate reali (Y) digitare la formula =B2 nella cella C3 e copiare la formulaper trascinamento sino alla riga 25 della stessa colonna. Per creare una variabile X ri-tardata di due periodi dalla variabile entrate reali (Y) digitare la formula =B2 nellacella D4 e copiare la formula per trascinamento sino alla riga 25 della stessa colonna.Per creare una variabile X ritardata di tre periodi dalla variabile entrate reali (Y) di-gitare la formula =B2 nella cella E5 e copiare la formula per trascinamento sino allariga 25 della stessa colonna. Anche se non necessario, è opportuno digitare #N/A nel-le celle rimaste vuote C2, D2, D3, E2, E3 e E4 in modo che le stesse non vengano uti-lizzate nell’analisi di regressione se inavvertitamente incluse nell’intervallo di input.

E15.5 L’uso di Microsoft Excel per calcolarela deviazione media assoluta (MAD)

L’Equazione (15.15) fornisce la formula per il calcolo della deviazione media assolu-ta (MAD). L’opzione Regressione all’interno dello strumento Analisi dei dati nonprevede il calcolo di tale indice. Tuttavia, nel momento in cui si hanno a disposizione iresidui, il MAD si può calcolare utilizzando le formule di Excel. La formula =ASS()può essere utilizzati, per tutti i modelli illustrati in questo capitolo tranne che per ilmodello esponenziale. In corrispondenza del foglio di lavoro che contiene l’outputdell’analisi di regressione digitare questa formula nella colonna D in corrispondenza

Appendice E.15 57


della riga della prima osservazione e poi copiare per trascinamento sino all’ultima ri-ga contenente i dati. A questo punto, l’indice MAD può essere calcolato semplice-mente applicando la formula MEDIA ai valori assoluti dei residui. Il calcolo del MAD per il modello esponenziale è più complicato in quanto sia i valo-ri stimati che i residui non sono espressi in termini di entrate reali ma in termini di lo-garitmo (in base 10) delle entrate reali. Pertanto, bisogna prima passare per la tra-sformazione antilogaritmica dei valori stimati e poi sottrarre a questi i valori osserva-ti delle entrate reali per ottenere i residui.Per ottenere la trasformazione antilogaritmica dei valori stimati si può utilizzare lafunzione di Excel POTENZA il cui formato è:

POTENZA(numero; potenza).

Per esempio, = POTENZA(10;2) = 100 = 102, che corrisponde all’antilogaritmo di 2 inbase 10.



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