Analisi delle funzioni a variazione limitata

38~

ANALISI DELLE FUNZIONI A VARIAZIONE LIMITATA.

Nota di G i u s e p p e V i t a I i (Genova).

A d u n a n z a del 12 n o v e m b r e 1922.

I punti di discontinuit~t di una funzione f ( x ) a variazione limitata in un intervallo

finito (a, b), a ~ b, sono tutti di prima specie, cio6: s e a ~ un punto di discontinuit',t

di f ( x ) , esiste il limite destro di f ( x ) per x - - a , che indicheremo con f ( a n t- o);

se b 6 un punto di discontinuit~ di f ( x ) , esiste il limite sinistro di f ( x ) per x = b,

che indicheremo con f ( b - o); e, s e x o ~ un punto di discontinuit~i di f ( x ) interno all'intervallo (a, b), esiste il limite sinistro di f ( x ) per x - - X o , che indicheremo con

f ( x o - o), ed esiste ii limite destro di f ( x ) per x --" Xo, che indicheremo con f ( x o -3 c- o). I punti di discontinuit,'t di una funzione f ( x ) a variazione limitata in un intervallo

(a, b), a ~ b, sono una infinitfi numerabile, o in numero finito o nullo.

S e x o ~ un punto di discontinuit~t di f ( x ) interno alHntervallo (a, b), poniamo

sg (xo) - - f ( x o ) - - f ( x o - - o)

s a (Xo) "-- f ( x o .qt_ o) - - f ( xo ) ;

s e a ~ un punto di discontinuit/t di f ( x ) , poniamo

s a (a) - - f ( a + o) - - f ( a ) ;

infine, se b ~ punto di discontinuit~t di f ( x ) , poniamo

sg (b) = f ( b ) - - f ( b - - o). Poniamo poi

5- , ( x ) + X

le sommatorie essendo estese a tutti i punti x di discontinuitk di f (x ) soddis facen t i alle limitazioni indicate.

La funzione + (x) = f ( x ) - - q~(x)

a variazione limitata ed ~ continua.

AN'ALISI DELLE FUNZIONI A VARIAZIONE LIMITATA. 389

La funzione ~(x) 6 detta funzione dei salti di f ( x ) , e quindi, poich~

f ( x ) - - ~? (x) + + ix)

ogni funzione a varia~ione limitata vale la somma della sua funzione dei salti e di una funKione continua a variazione limitata.

Inoltre ogni run,lone a variaz~ione limitata ~ la differenza di due funKioni non decrescenti e ogni funKione continua a variaKione limitata ~ la differenza di clue funzioni continue non decrescenti.

Questi noti teoremi ' ) costituiscono i primi passi verso ['analisi delle funzioni a variazione limitata. Essi riconducono la costruzione di una funzione a variazione limitata

a quella di funzjoni continue non decrescenti e di una funzione dei salti. La funzione dei salti, che assorbe le discontinuita della funzione da ottenere, 6 di

struttura assai semphce. Se vogliamo limitarci alla costruzione della funzione dei salti di una funzione non decrescente, al che noi possiamo sempre ridurci, basta che fissiamo in ( a, b) i punti di discontinuitY, naturalmente in modo che il loro gruppo abbia potenza non superiore al numerabile, e che a ciascuno di essi, x , si facciano corri-

spondere due numeri non negativi sg ix) , s,tix), di cui uno almeno positivo, in modo che, nel caso in cui i punti di discontinuk'~ siano in numero infinito, le serie

siano convergenti. La funzione

ix) = Y, Z a<X~x a~xv'ax

pu6 essere presa come una funzione dei salti di una funzione non decrescente, e viceversa la funzione dei salti di una funzione non decrescente pub essere ottenuta in tale

maniera. Abbiamo osservato che una funzione [(x) a variazione limitata si pu6 sempre

scomporre nella somma della sua s dei salti ? (x ) e di una funzione + (x) continua a variazione limitata. Se +(x) 6 assolutamente continua, cio6 una funzione integrale "), la struttura di f ( x ) si pu6 ritenere sufficientemente nota.

Non si pub dire altrettanto quando la + ( x ) n o n 6 assolutamente continua. In questo caso si pub desiderare di conoscere come k distribuita in (a, b) la causa per cui ) (x ) non ~ assolutamente continua. Per le funzioni non decrescenti, a cui possiamo sempre ricondurci, questa causa consiste nella intensitdt di crescenza della funzione.

z) H. LEBESGUE, Legons sur Vintdgration et la recherche des fonctlons primitives (Paris, Gauthier-Vil- lars, I9O4), pp. 49-58.

a) G. VITALI, SuUe funzioni integrali [Atti della R. Accademia delle Scienze di Todno, Vol. XL (x9o4-~9o5), pp. IO21-IO34].

390 G I U S E P P E V I T A L I .

Nei primi due ~ della presente memoria io studio appunto la distribnzione di detta causa, e, per giungere a questo, io introduco dapprima per ogni funzione finita una funzione additiva che chiamo scarto della s data e che misura in certo qual modo quanto la fun<lone data si scosta dall'essere assolutamente continua (n ~ 3)-

1~ all'introduzione della nozione di scarto che io devo i risultati pidl notevoli del presente lavoro.

Dimostro che proprietit caratteristica di uno scarto ~ quella di coincidere col proprio scarto (n ~ II) .

Io 3) ho costruito il primo esempio di funzioni continue e a variazione limitata che non siano assolutamente continue, servendomi di una corrispondenza che us6 il CANTOR 4) per dimostrare che i gruppi perfetti hanno la potenza del continuo. Questa funzione ~ uno scarto ed ha caratteri comuni ad innumerevoli altre funzioni che si possono costruire collo stesso metodo (n ' 15, 16, 17). Per ognuna di tall funzioni, che chiamo scarti elementari (n ~ 17) , le cause dello scarto sono localizzate in un gruppo di punti perfetto di misura nulla s).

Nel presente lavoro io dimostro (n ~ ~-o) che ogni fun~ione a varia<ione limitata si pub sempre spe<<are nella somma della sua fun~ione dei salti, di una fun<lone assolutamente continua e di scarti elementari in un numero finito o infinito numerabile mol- tiplicati per delle costanti.

Nell'ultima parte di questo lavoro (~ 3), sfruttando i risultati'dei ~w precedenti, d6 la struttura della pifi generale funzione continua a variazione limitata che ha derivata nulla 6) in tutti i punti dell'intervallo (a, b) in cui essa 6 definita, esclusi al pidl i punti di un gruppo di misura nulla, o, come si dice, che ha derivata generalmente

nulla.

Pre l iminar i e n o z i o n i f o n d a m e n t a l i .

L Due segmenti (a, b), (c, d) di una medesima retta r si dicono distinti quando non hanno punti interni comuni; essi possono per6 avere un estremo comune.

Si dice che un segmento (a, b) di una retta r ~ contenuto in un altro segmento

a) Cfr. G. VITALI, 1OC. cit. a). 4) G. CA~TOR, Ueber unendlicbe, lineare Punktmannicbfaltigkdten [Mathemat. Annalen, Band XXIII

( i 884), ,.pp. 453-488]. s) Si intenda misura nel senso di LEBESOtrE. Cfr. H. LEBESOUE, 1OC. cit. x), pp. XO2-1IO. 6) Ricordo che ogni funzione a variazione limitata ha derivata in tutti i punti dell 'intervallo escluso

tutt 'al pitt un gruppo di punti di misura nuUa. Cfr. H. LEBESGUE, 1OC. cit. *), pag. I28.

ANALISI DELLE FUNZIONI A VARIAZIONE LIMITATA. 39 r

(c, d) della rnedesima retta, quando ogni punto di (a, b) appartiene a (c, d); non escluso che (a, b) e (c, d) abbiano uno od entrambi gli estremi comuni.

L'insieme di un numero finito o di una infinit~l numerabile di segmenti di una

medesima retta r e a due a due distinti chiamasi plurisegmento. Se un plurisegmento

formato da un numero finito di segmenti si chiama plurisegmento finito. U n plurisegmento pu6 essere anche costituito da uno solo segmento.

Gli estremi dei segmenti di un plurisegmento si chiamano i vertid del pluri-

segmento. Un punto interno ad un segmento di un plurisegmento P s i dice interno a P.

Un numero finito di punti interni ad un plurisegmento P dividono alcuni segmenti di P in altri segmenti. Questi segmenti e gli eventuali altri segmenti di P formano un

nuovo plurisegmento che si dir~. un derivato di P. Se P e P ' sono due plurisegmenti, si dir~ che P' ~ contenuto in P, se ogni

segmento di P ' ~ contenuto in un segmento di P. Si chiama lungbe~a di un plurisegmento la somma delle lunghezze dei segmenti

che Io costituiscono. Se P e P ' sono due plurisegmenti, e se ogni segmento di P ~ distinto da ogni

segmento di P ' , i due plurisegmenti P e P ' si dicono distinti. I segmenti di due plurisegmenti distinti P e P' formano un nuovo plurisegmento

che si chiama la somma di P e P' e si indica con P + P' . Evidentemente la lunghezza di P + P ' ~ uguale alla somma delle lunghezze di P e P'.

Pi~ in generale, dati dei plurisegmenti in un numero finito qualunque o in ~una infinit,i numerabile e a due a due distinti, si chiamer,~ somma di questi plurisegmenti il plurisegmento costituito da tutti i segmenti dei plurisegmenti dati. Evidentemente la lunghezza di questa somma ~ uguale alla somma delle lunghezze dei plurisegmenti che la compongono.

Consideriamo ora due plurisegmenti finiti P e P'. I loro vertici sono in numero finito e li possiamo considerate ordinati in ordine di grandezza. Siano

Quelli fra i segmenti ( , , , . . . . . . ,

che sono contenuti in un segmento di P o in un segmento di P' formano un pluri-

segmento che si chiama pseudo-somma di P e P' e si indica con P -~ - P ' . Se P e P '

sono distinti, P -{- P ' coincide con P + P' . Evidentemente la lunghezza di P -~- P '

/ della somma delle lunghezze di P e P'. I1 plurisegmento P--~ P ' ~ la somma di un derivato di P e di un altro plurisegmento formato con segmenti contenuti in segmenti

di P' , ma naturalmente distinto da P. I1 derivato di cui qui si discorre si ottiene da

P inserendo in P i vertici di P' interni a P. Analogamente P - i - P ' ~ la somma di un derivato di P ' e di un altro plurisegmento da esso distinto,

392 G I U S E P P E V I T A L / .

Se P 6 un plurisegmento qualunque, ogni plurisegmento (finito) costituito da un numero finito di segmenti di P si chiama un minore di P.

o.. S e ' f ( x ) ~ una funzione finita in un segmento (a, b), a ~ b, diremo norma di f ( x ) i n (a, b) il modulo di f ( b ) ~ f ( a ) .

Diremo poi norma di una funzione finita f ( x ) in un plurisegmento P la somma delle norme di f ( x ) nei vari segmenti che costituiscono il plurisegmento P.

Se P ~ finito la norma di f ( x ) in P non pub essere infinita. Se P non ~ finito la norma di f ( x ) in P pub anche essere infinita ( + oo).

Io dico c h e s e P non ~ finito e la norma di f ( x ) in P ~ un numero N finito o infinito, qualunque sia un numero finito M ~_ o e minore di N, esiste un minore P' di P in cui la norma di f ( x ) ~ maggiore di M.

Dimostra~ione. ~ Siano N~, N~, N~, . . .

le norme di f ( x ) nei vari segmentl

S~, S2, S 3 , ~ ' "

di P. Se ~- N ~ divergente, ~ evidente che esiste un numero n per cui ~ N ~ M.

,1 N Se ~-" N ~ convergente esiste un n per cui N - - ~ , , ~ N - - M e quindi per cui

~t ~ N ~ M. II minore P' di P formato coi segmenti

S I , $2 , S 3 , �9 . . , S n

ha dunque la propriet~ voluta.

8. Sia f ( x ) una funzione finita in un plurisegmento P. Diremo scarto di f ( x ) in P il timite superiore dei numeri co ~ o per cui, per quanto piccolo sia un segmento

~ o, si pub trovare un plurisegmento P' di lunghezza minore di ~ e contenuto iq P, nel quale la norma di f ( x ) ~ ~ o,.

Questo scarto pub essere zero, un numero finito maggiore di zero, un numero infinito (-1 t- ~ ) .

Se lo scarto di f ( x ) ~ ~ o (finito o infinito) ed s~ ~ un numero ~ o e minore di questo scarto, qualunque sia un segmento ~r ~> o esiste un plurisegmento P' di lunghezza ~ a e contenuto in P in cui la norma di f ( x ) ~ ~ s,. Pel teorema del n ~ 2 esiste poi un minore P " di P (naturalmente anch'esso di lunghezze ~ ~) in

cui la norma di f ( x ) ~ ~ s . Consegue che la precedente definizione di scarto ~ equi- valente alla seguente:

Se f ( x ) ~ una funzione finita in un plurisegmento P, chiamasi scarto d i f ( x ) i n P il limite superiore dei humeri o, _~_ o per cui, per quanto piccolo sia un segmento ,~ ~ o,

si pub trovare un plurisegmento finito P' di lunghezza minore di ~ e contenuto in P nel quale la norma di f ( x ) ~ "~ o.

ANAL1SI DELLE F U N Z I O N I A VARIAZ1ONE LIMITA~FA. 393

4. Se f ( x ) ~ una funzione definita in mento uno scarto hullo, per ogni numero che in ogni plurisegmento P di (a, b) di in P sia minore di o, e viceversa, dunque:

Condi<ione necessaria e suJficiente percb~ (a, b), abbia in questo segmento scarto nullo (a, b).

un segmento (a, b) ed ha in questo seg- c o c o 6 possibile trovare un ~ > o tale lunghezza minore di a la norma di f ( x )

una fun<lone f (x) , definita in un segmento che la f ( x ) sia assolutamente continua in

5. Se f ( x ) ~ in (a, b) a variazione limitata, lo scarto di f ( x ) in (a, b) ~ evidentemente ~ alla variazione totale di f ( x ) in (a, b).

Se f ( x ) ~ una funzione finita in (a, b), ed ha in (a, b) variazione totale infinita ( + oo), per quanto piccolo si prenda un segmento ~ o , dividendo (a, b) in un numero finito di parti tutte rninori di r in una almeno di queste parti la f ( x ) h a variazione totale infinita. Se (:q ~) ~ una tale parte, noi possiamo, prefissato un numero N ~ o grande a piacere, dividere (a, ~) in un numero finito di parti in modo che nel plurisegmento formato da queste parti la norma di f ( x ) sia maggiore di N. Ne consegue che lo scarto di f ( x ) in (a, b) 4 infinito. Dunque:

Condi<ione necessaria e suficiente perch~ una fun<ione f ( x ) definita in un segmento (a, b) sia a varia<ione limitata in (a, b) ~ che 1o scarto di f ( x ) in (a, b) sia finito.

6. Riassumendo i risultati dei n' 4 e ~ possiamo dire che le fun<ioni finite in un segmento finito (a, b) e a scarto nullo sono assolutamente continue, quelle a scarto finito e maggiore di <ero sono a variazjone limitata ma non assolutamente continue, e quelle a scarto infinito sono a varia<ione infinita ( + oo).

7. Sia f ( x ) u n a funzione a variazione limitata in (a, b), a ~ b, e indichiamo con S~f il suo scarto in (a, b).

Io dico che Io scarto di f ( x ) b una fun<lone additiva, ossia che, se c ~ un punto interno ad (a, b), si ha:

S ~ f - - S~f + Sbff.

Dimostra<ione. ~ Per ogni numero ~ o piccolo a piacere, e per quanto piccolo si pensi un segmento ~, ~ o, ~ sempre possibile trovare un plurisegmento P, di (a, c),

di lunghezza miuore di ~ ~ - , in cui la norma di f ( x ) sia ~ di S J - - - ~ - , ed un plu-

risegmento P~ di (c, b), 'di lunghezza pure minore di ! in cui la norma di f ( x ) 2

sia > di S~f 2

Nel plurisegmento P, --J- P~, che ~ di lunghezza minore di ~r, la norma di f ( x )

6 > di S~.f--[-'S~f- ~. Consegue che

Sb.f ~_ S J -[- 5bff. Rend. Czrc. Mgr t. XLVI (x9z2) - -S ta rnpa to 11 a~ novembre 19zz. $o


Ma per ogni numero ~ o piccolo a piacere 6 possibile determinare un segmento ~ o tale che in ogni plurisegmento P, di (a, c), di lunghezza minore di ~, la norma

di f (x ) sia minore di S~.f-n t- ~- , ed in ogni plurisegmento P2 di (c, b), di lunghezza

minore di ~, la norma di f (x) sia minore di Sbf-1---~--.

Se noi consideriamo un plurisegmento P di (a, b), di lunghezza minore di a, o c 6 un vertice di P o non lo 6. Se c non 6 vertice di P, ma 6 interno a P, inserendo in P il punto c si ha un derivato P' di misura sempre minore d i~ . Negli altri casi indichiamo con P' il plurisegmento P stesso. In tutti i casi P' 6 somma di due plurisegmenti P~, P', i l i ~ dei quali 6 contenuto in (a, c) e l'altro in (c, b). Entrambi questi plurisegmenti sono di lunghezza minore di ~, perch6 deve essere minore di

la somma delle loro lunghezze. La norma di f (x ) in P~ ~ allora % di S~.f-n t- -~-, e

in P; 6 < d i SbJn t - - ~ , dunque la norma d i f ( x ) in P ' = P ' - t - P~, e a maggior

ragione in P, ~ < di SJ + Sb~f q-~. Consegue :

Da questa e dalla relazione

gi~t trovata, si ricava

S~ _L_ S~f -J- Sbcf.

Sb.f ~ S j q- Sbff

Sb, f = Sjf-t- S~ff �9 C. D. D.

8. Sia f (x ) una funzione a variazione limitata in (a, b), e sia P un plurisegmento contenuto in (a, b). Siano

S~ ~ S 2 ~ S 3 ~ . . .

i segmenti di P e V,, V=, V3, . . .

le variazioni totali di f (x) in questi segmenti. Poich6 ~ - V non pu6 superare la variazione totale di f (x) in (a, b), la quale variazione 6, per ipotesi, finita, la serie

~-'- V 6 convergente, e quindi> preso un ~ ~ o piccolo a piacere, 6 possibile trovare un intero n ~ o per cui

y

Indichiamo con P,, il plurisegmento formato dai segmenti

Sn4-1 ~ Sn§ ~ Sn+ 3 ~ " " "

e supponiamo che P ' sia un qualunque plurisegmento contenuto in P . P' 6 la somma di plurisegmenti

p, p, p,

A N A L I S I DELLE F U N Z I O N I A VARIAZIONE L I M I T A T A . 39~

contenuti rispettivamente in Sn+1 , Sn+2, Sn+ 3 ) . . . .

Le norme N~+,, N,,+2, Nn+3, . . -

in questi plurisegmenti sono ~ rispettivamente di

v+,, v+,, V+,,... dunque

X,

ossia la norma di f ( x ) in P' ~ minore di z. Concludendo : Se f ( x ) ~ una funxione a varia~ione limitata in (a, b) e se P ~ u n plurisegment~

qualunque contenuto in (a, b), preso un numero ~ > o, piccolo a piacere, b possibile scomporre P nella somma di due plurisegmenti di cui il x ~ ~ finito, ed il 2 ~ ha la pro- prieM che in ogni plurisegmento in esso contenuto la norma di f ( x ) ~ minore di ~.

9. Dal n ~ consegue che, se (~, 9) 6 un segmento contenuto in (a, b), Io scarto di f ( x ) in (~, 9) k Sa~f - - ~ f , ossia k la norma di S J in (~, 9).

Io dico che Io scarto di f ( x ) in un plurisegmento qualunque P contenuto in (a, b)

la norma di S~.f in P. Per dimostrare questo basta dimostrare che Io scarto di f ( x ) in P ~ la somma degli

scarti di f ( x ) nei segmenti cbe costituiscono P. Siano

S ~ , S 2 ~ S 3 ~ �9 . .

i segmenti che costituiscono P, ed

S,, S2, S3, . . . gli scarti di f ( x ) in questi segmenti.

Consideriamo un numero ~ ~ o, piccolo a piacere ed un segmento a ~ o, pure piccolo a piacere, e costruiamo, il che ~ sempre possibile, due successioni di termini tutti maggiori di zero,

~'x~ ~ ' 2 ' (~3 ~ " " " per cui

Y:, Per ogni i ~ possibile determinare un plurisegmento P di s di lunghezza mi-

nore di a in cui la norma di f ( x ) s i a maggiore di S ~ . Se P' ~ la somma dei plurisegmenti P , la lunghezza di P ' 6 minore di % e la norma d i f ( x ) in P' ~ maggiore

~9. 6 ~ I t . J S E P P E V I T A L / .

di ~ - ( S - ~), cio& maggiore di ~ - - S - ~. Consegue subito che Io scarto di

[(x) in P & _~ di ~--S, .

Supponiamo che lo scarto di f ( x ) in P sia un numero S maggiore di ~ - ; S , e poniamo

S - - ~ S = d .

I~ possibile (n ~ 8)scomporre il plurisegmento P netla somma di due plurisegmenti P' e P" di cui P' ~ finito e P" ha la propriet~t che in ogni plurisegmento in esso con-

d tenuto la norma di f ( x ) ~ % - - .

4 Siano

S I ' $ 2 ~ S 3 , " " " ~ Su

i segmenti di P'. ]~ possibile trovare un segmento , ~ o tale che, per ogni i scelto fra

i humeri I , 2 , 3 , " ' " , n ,

la norma di f ( x ) in ogni plurisegmento contenuto in s e di lunghezza minore di a sia

d minore di S, + - - .

4 n Ora, nell'ipotesi fatta, qualunque sia ~ ~ o, e quindi anche pel ~ particolare ora

trovato, ~ possibile trovare un plurisegmento po contenuto in P e di lunghezza mi- d

nore di questo a, in cui la norma di J (x) ~ maggiore di ~-i S, -Jr- T

I1 plurisegmento po si pu6 scomporre nella somma d i n + I plurisegmenti

po o po po I ' P 2 ~ " " " ' n ' n + t

contenuti rispettivamente in St, S2, . . . , Sn; P "

tutti di lunghezza naturalmente minore di a. Nei primi n la norma di f ( x ) 6 rispet-

tivamente minore di d d d

_ _ _ _ . - - S , + 4n , S,-1"-4n, .. , Sn'+ 4n

e hell'ultimo ~ minore di --d , quindi in Po la norma di f ( x ) ~ minore della somma 4

cio~ di

e a maggior ragione di

+ + s-+T + 7 ' . d

Z,S, +--2--,

d Z.,s,+T.

A N A L I S I D E L L E F U N Z I O N I A V A R I A Z I O N E L I M I T A T A . 397

Ci6 ~ assurdo, dunque lo scarto di f ( x ) in P ~ proprio uguale a ~_ .S . IO. Dal n ~ 7 consegue chese f ( x ) ~ a variazjone limitata in (a, b), la S J ~ una

[unzione non decrescente. Indichiamo con Vb, f la variazione totale di f ( x ) in (a, b). La variazione totale

pure una funzione additiva e non decrescente, inoltre, lo abbiamo gi~t notato, essa non

mai minore deUo scarto. Ne consegue c h e l a differenza

A J - - r - S J

~.una funzione positiva non decrescente ed ~ pure additiva.

I I. La funzione S~f ha per scarto se stessa. Infatti se S~ c - - k, e se lo scarto di S J in (a, b) ~ un numero k, diverso da k,

certamente k, ~ k, perch~ S J ha per variazione totale s~ stessa, e la variazione to-

tale di una funzione non ~ mai minore dello scarto. Poniamo

t - - - k - - k .

Esiste un segmento a ~ o tale che, in ogni plurisegmento di (a, b), di lunghezza t

minore di , , la norma di S J ~ minore di k, 7 1 - - . 2

Consideriamo ora una successione di segmenti maggiori di zero

f i t 9 6":t ~ 6"3 y " " "

per cui sia

Per ogni i esiste un plurisegmento P contenuto in (a, b) di lunghezza minore di t

% in cui la norma di f ( x ) ~ maggiore di k, + ~ - . I punti che appartengono a qual-

uno dei plurisegmenti P,, P~, P3, . . .

iempiono un plurisegmento P di lunghezza minore di ~ 7) in cui lo scarto d i f ( x ) t

~ k , + 2 e quindi in cui la norma di S J ~ 2~ di k,-[- t _ _ __ --~-, contrariamente a quanto

si ~ prima detto. Dunque il teorema ~ veto.

O S S E R V A Z I O N E . ~ Abbiamo visto che lo scarto S][ ~ una funzione non decrescente. Essa ~ inoltre nulla all'origine a. Ma queste proprietA non caratterizzano gli scarti,

7) G. V I T A L I , Suigruppi dlpunti [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XVIII (19o4) , pp. 116-126, p. II8].

391~ O ~ I U S E P P E V I T A L I .

perch~ per esempio uua funzione assolutamente continua non dappertutto nulla pu6 essere nulla all'origine e non decrescente, ma non coincide col proprio scarto che ~ nullo.

Si deve concludere che gli scarti sono funzioni non decrescenti e nullc all'origine particolari. Esse sono caratterizzate dalla proprietfi di coincidere col proprio scarto.

I2. Se f ( x ) e t?(x) sono due funzioni non decrescenti in (a, b), a < b, e se

F(x ) ---~ f ( x ) + ~(x) ,

Sb~ F - - S~f + S~*?.

Dimostrazione. - - Intanto se ~'z ~ o e piccolo a piacere, e se~ ~ un segmento pure maggiore di zero e piccolo a piacere, esiste un plurisegmento finito Px, di lunghezza

minore di ~ -~- , in cui la norma di f ( x ) ~ maggiore di S b J ' - - ~ -- , ed un plurisegmento

finito P= di lunghezza pure minore di - - in cui la norma di ,~(x) ~ maggiore di 2

Nella pseudosomma P di P , , e P , , che contiene un derivato di P e un s b o v _ _2_.

derivato di P=, la norma di f ( x ) &, a maggior ragione, maggiore di S ~ f ~ -2- ' ~ e quella

Ma in P la norma di F f x ) ~ la somma delle norme di ? (x) maggiore di Sb 9 - - ~ - .

Sof + S ~ , e P di f ( x ) e di ~?(x), dunque la norma di F ( x ) i n P ~ maggiore di b b di lunghezza minore di , .

Si conclude che S b, F ~ S~of -[- S b, %

Ma d'altra parte, per ogni ~ ~> o, ~ possibile determinare un r ~ o per cui, in ogni plurisegmento di (a, b) di lunghezza ~ r la norma di f ( x ) sia minore di

S~f-q---~-, e quella di q~ (x) sia minore di Sb..~ + ~ - ; dunque per ogni plurisegmento

di lunghezza minore di tat ~ la norma di F(x) ~ minore di Sbj-a t- Sb~? + z, e quindi

t= L S of + Si conclude :

S~a V ----- Sb.f -q- Sb, %

Da questo teorema consegue il COROLt2,RIO. ~ Se f ( x ) e ~(x) sono due funzioni non decrescenti ed

F(x ) - - f ( x ) - - ~ (x) pure non decrescente, si ha:

s F = - 9 .

ANALISI DELLE F U N Z I O N I A VARIAZIONE LIM1TATA. 399

Infatti, poich6 F(x) e ~(x) sono non decrescenti e f ( x ) = F(x ) 27 ~(x), b.

da cui S~f - - S~ F 27 Sb %

F - s y -

x 8. Sia f ( x ) una funzione non decrescente. Allora

quindi pel n ~ IO

da cui

Ma pel n ~ 12

e pel n ~ I I

ed 6 inoltre evidente che

dunque

V]f = f ( x ) - - f ( a ) ,

A~f = f ( x ) - - f ( a ) - - S J ,

f ( x ) - - f ( a ) = S]f -[- ~ f .

S~ ( f ( x ) - - f (a ) ) = S] S~.f 2 7 S~ •

S~ S]f =- SJ ,

S: ( f ( x ) - - f ( a ) ) - - S:f,

S~ a ~f = o,

ossia • ~ una funzione assolutamente continua. Anche

f ( a ) 27 a ' f

allora una funzione assolutamente continua, e, poich6

f ( x ) = I f (a) + ~if] + SJ ,

possiamo dire che ogni funzione non decrescente ~ la somma di uno scarto e di una funzione assolutamente continua.

14. Per le funzioni continue a variazione limitata lo scarto 6 una funzione con-

tinua perch6 tale ~ la sua variazione totale. Se poi f ( x ) 6 una s continua non

decrescente in (a, b) (e quindi a variazione limitata), la continuit~t del suo scarto risulta anche dal fatto che 6

f ( x ) = a (x) + SJ ,

dove a(x) 6 una funzione assolutamente continua (n ~ I~), perch6 allora

~ f = f ( x ) - - a(x),

cio6 S J ~ differenza di due funzioni continue.

Abbiamo gi~t notato nella introduzione che ogni funzione a variazione limitata 6

la somma della funzione dei salti e di una funzione continua a variazione limitata, e

che ogni funzione continua a variazione limitata ~ la differenza di due. funzioni continue non decrescenti.

Ora vediamo che ogni funzione continua non decrescente ~ la somma di una


funzione assolutamente continua e del suo scarto, dunque, se f ( x ) ~ una funzione a variazione limitata, si ha sempre

f ( x ) = ~ (x) + a (x) + s, (x) - - s 2 (x),

dove o ( x ) ~ la funzione dei salti di f ( x ) , a ( x ) ~ una funzione assolutamente continua ed s , (x) , s2(x) sono due scarti continui. Noi conosciamo la struttura della funzione dei salti (v. introduzione) e delle funzioni assolutamente continue, dunque per studiare la struttura delle funzioni a variazione limitata basta studiare la struttura degli scarti continui. Questo studio io far6 in modo completo nel ~ seguente.

2 .

Analisi degli scarti continui.

I5. In un mio lavoro s) io ho costruito un esempio difun~ioni continue a variazione limitata non assolutamente continue. Questa funzione ~ come si vedr~t, uno scarto. t~ conveniente che io ne riprenda la costruzione. A tal fine io richiamo la costruzione che ha servito a CA~TOa 9) per dimostrare che ogni gruppo perfetto ha la potenza del continuo.

Sia G u n gruppo perfetto di punti di (a, b) in nessun luogo denso e contenente i punti a e b. I1 gruppo complementare di G in (a, b) ~ un plurisegmento P, i cui segmenti non hanno estremi comuni fra loro n~ con (a, b).

Numeriamo questi segmenti. Essi verranno a formare una successione

S~ , S 2 , S 3 , . . . .

Consideriamo poi una successione di humeri

( I ) r ~ r ~ r3~ . . . ,

a due a due diversi, tutti interni all'intervallo (o, I ) e ' formant i in (% I) un gruppo dappertutto denso. A1 segmento s facciamo corrispondere il numero r ; al segmento s~ facciamo corrispondere il primo numero di ( I ) che ~ minore o maggiore di r, secondo cke s~ precede o segue s, in (a, b); al segmento s 3 s corrispondere il primo termine di ( i ) che ha col corrispondenti di s, e s~ la stessa relazione di posizione che s 3 ha con s, ed s~, e cosl via di seguito. In questa maniera ad ogni segmento si viene a far corrispondere un numero di ( I ) ed inversamente.

Indichiamo con y, il termine di ( I ) che viene a corrispondere al segmento s . I humeri y, sono in (o, I) nella stessa relazione di posizione che i segmenti s hanno

8) Cfr. G. VITALI, IOC. cit. 2). 9) Cfr. G. CANTOR, lOG. cit. 4).

ANAL1SI DELLE FLINZIOI~I A VARIAZIONE L I M I T A T A . 40[

in (~a, b). Se x 6 un punto di G interno ad (a, b) e non + vertice di P, x divide i segmenti di P in due classi, la prima delle quali contiene quelli che precedono x e l'ahra i rimanenti Corrispondentemente i numeri di ( I ) vengono divisi in due classi contigue che comprendono un numero y di (o, I) diverso da tutti i humeri di ( I ) . Facciamo corrispondere al punto x di G questo numero y.

A tutti i punti di un medesimo segmento s di P (estremi compresi) facciamo corrispondere il numero y. the gilt abbiamo fatto corrispondere al segmento s ; infine all'estremo a di (a, b) facciamo corrispondere il numero o e all'estremo b i[ numero I.

Si ha cosl una corrispondenza univoca fra i punti (a, b) e quelli di (o, I), in quanto essa fa corrispondere ad ogni punto di (a, b) uno ed un sol punto, di (o, i), ma non inversamente. Questa corrispondenza b ordinata nel senso che s e x ' e x" sono due punti di (a, b) ed x' ~ x" i corrispondenti punti y', y" di (o, I) soddisfano la relazione y' ~ y".

Una corrispondenza di tal fatta la chiameremo una corrisponden~a di CANTOR (modulo G).

16. Se si ha una corrispondenza di CANTOR fra (a, b) e (o, I), chiamando x un punto qualunque di (a, b) ed y il corrispondente di (o, I), y ~ una funzione di x. Questa funzione ~ continua e non decrescente. Se il modulo G della corrispoudenza 6 di misura nulla, questa funzione 6 uno scarto. Infatti, indicando con f (x ) questa funzione, la sua variazione totale in (a, x) ~ f(x), e, per quanto piccolo si prenda un segmento r ~ o, ~ possibile includere il sottogruppo di G che cade in (a, x) in un plurisegmeuto contenuto in (a, x) di misura minore di a, e in questo plurisegmento la norma della funzione ~ f (x) . Dunque ]o scarto di f ( x ) in (a, x) ~ f (x ) e quindi f(x) ~ uno scarto, e, pill precisamente, ~ uno scarto continuo.

I7. Sia f ( x ) uno scarto continuo in (a, b). Chiamiamo punti di invarian~a di f(x) i punti interni a qualche segmento in cui f (x ) ~ costante, e punti di varian~a di

f ( x ) i rimanenti. Se G b il gruppo dei punti di varianza di f(x), G ~ perfetto. Infatti G ~ chiuso,

perchb s e x o ~ un punto limite di G, in ogni intorno di x o cadono punti di G e quindi in questo intorno f ( x ) non pub essere costante. Dunque x o appartiene a G. Inohre G non contiene punti isolati, perch6 se x fosse un punto isolato di G, esso sarebbe estremo comune di due segmenti contigui di G, in ciascuno dei quali f ( x ) sarebbe evidentemente costante. La f (x) , essendo continua in x, , dovrebbe allora avere lo stesso valore in ambo i contigui considerati, e allora x, sarebbe punto di invarianza di f (x) , contro l'ipotesi.

II gruppo dei punti di varianza di f (x ) dicesi nucleo di f (x) . Supponiamo ora che G sia di misura nulla e che contenga i punti a e b. Suppo-

niamo inohre che f (b) --" z. Io dico che in tal caso f (x ) deriva da una corrispondenza di CASTOR (modulo G).

Re~zd. C~rc. Matem Palermo, t .~XLVI (1922) - -S t ampa to fl 2a novembre 1922 5 t


Infatti facciamo corrispondere ad ogni segmento s contiguo a G il valore y, che

f ( x ) acquista in tutti i punti d i s (estremi compresi). I numeri y, sono tutti interni a (o, I) e formano un gruppo numerabile e dap-

pertutto denso in (o, I). Prendendo

Y,' Y,' Y3' " ' "

come successione ( I ) , la corrispondenza di CANTOR' che d~ origine ad f ( x ) ~ piena- mente individuata. Dunque le funzioni costruite al n ~ 16 sono tutti e soli quegli scarti

continui in (a, b) che hanno in b valore I e che hanno come gruppo di punti di varianza un gruppo (necessariamente perfetto) di misura nulla contenente i punti a e b.

Una funzione di tal fatta si dir~ uno scarto elementare in senso stretto in (a, b). Diremo poi scarto elementare in (a, b) ogni scarto continuo f ( x ) in (a, b) che

sia scarto elementare in senso stretto in un segmento (~, }) contenuto in (a, b) e per cui f ( b ) - - I . Naturalmente, s e a < ~, in tutti i punti di (a, =) sar~i f ( x ) = o, e, se

~ b, in tutti i punti di (~, b) sar~ f ( x ) ~ I. I8. Se

~,(x),

una successione di scarti elementari

~(~), ~,(~) . . .

in (a, b) e se

k, + k 2 + k 3 + . . .

una serie convergente a termini positivi, la serie

Y ,k ,~ , ( x )

uniformemente convergente e converge ~luindi verso una funzione continua non

decrescente. Sia + (x) = Y, k ~, (x).

La + (x ) ~, come abbiamo detto, continua e non decrescente, inoltre ~ + (a)~---o.

Io dico che ~b (x) uno scarto. Intanto, poichh ~?,(x) ~ uno scarto, evidentemente anche k ~?,(x) ~ uno scarto.

Se i termini della

sono in numero finito allora, per quanto si ~ dimostrato al n ~ 12 la .b (x) ~ pure uno

scarto. Se i termini di

sono in numero infinito, notiamo che

_ [ = r k

qualunque sia r, e che quindi oo

s:+ ~ ~ k,~,(x) = +(x).

A N A L I S I D E L L E F U N Z I O N I A V A R I A Z I O N E L I M I T A T A .

Ma non pub essere

perch~

dunque

403

s:+ > +(x),

s: + = + (-0,

s: + - - + (x),

e quindi +(x) 6 uno scarto, ed anzi uno scarto continuo.

xg. Ora voglio dimostrare che se +(x) ~ uno scarto continuo in (a, b), la +(x )

uguale ad una somma del tipo ~- k ?, (x), con un numero finito o infinito di termini, in cui le y,(x) sono scarti elementari in (a, b), e le k, sono delle costanti positive, per cui

~_, k, ~ convergente. Infatti preso un numero ~ ~ o e piccolo a piacere e in ogni caso minore di ~b(b)

ed un segmento ~ ~ o, 6 possibile trovare in (a, b) un plurisegmento finito P di lun-

ghezza ~ in cui la norma di ~(x) ~ maggiore di +(b) w - - , e quindi in cui lo 2

scarto di +(x) ~ maggiore di +(b) ~ . t~ poi possibile trovare in P, un pluriseg- ' 2

r

mento finito P2 e di lunghezza minore di - - in cui la norma, e quindi lo scarto, di 2

(x) ~ maggiore di ,b(b) r s . In P2 esiste un plurisegmento finito P3' di 2 4

6" lunghezza minore di - - , in cui la norma, e quindi lo scarto, di + (x ) ~ maggiore di

4

2 4 8 ' e cosl via.

I punti comuni a tutti i plurisegmenti

P,~ P,~ P3, " '"

formano un gruppo G di misura nulla.

Questo gruppo 6 chiuso, perch6 se Xo ~ un suo punto limite, esso 6 punto limite di punti di ogni P , e quindi appartiene ad ogni P , ossia 6 un punto di G.

Consideriamo un plurisegmento finito P che contenga tutti i punti di G nel suo interno. Io dico che da un punto in poi i plurisegmenti

P,~ P ~ P3, " '" sono contenuti in P.

Invero, se ci6 non fosse per ogni P., inserendo i vertici di P interni a PC si ha un derivato di P che consta di un plurisegmento finito P" contenuto in P e di un altro l

P,'. distinto da P. I plurisegmenti /,, , p ,

9 P 2 9 ~9 ~ ~ "

sono ciascuno contenuto nel precedente e quindi hanno dei punti comuni.

464 O, I fd s E I~ la E v I T A L I .

Questi punti non sono interni a P e quindi non appartengono a G, il che ~ im- possibile.

Allora, qualunque sia P, vi sono dei plurisegmenfi della successione

P , , P~, P3, " '" che cadono in P.

Lo scarto di + (x) in P ~ allora maggiore o uguale di

cio~ di

+(b)

Consideriamo il sottogruppo G

2 4 8 " ' "

+ (b) - - s.

di G che cade in (a, x). In tutti i plurisegmenti

finiti che racchiudono O lo scarto di + (x) ~ maggiore o uguale di + ( x ) - - r I1 limite inferiore di tall valori dello scarto ~ una funzione ~ + ( x ) - s. Indichiamo questa

funzione con f , ( x ) . Questa funzione e costante in tutti i segmenti contigui di G, e

x) f , (x) poich& G & di misura nulla si vede subito che f , ( x ) ~ uno scarto. La 9 , ( - - ~, ,

dove k-~f,(b)~>o, ~ uno scarto elementare il cui nudeo & G o un suo sottogruppo perfetto. I~

f, (x) = k ~, (x), e, posto

+, (x) = + (x) - - f , (x) --- q~ (x) - - k, ~?, (x),

si vede che + , (x ) ~ uno scarto continuo e che si ha ~,(b)~_~ z. Se +, ( b ) = o, a

+ (X) = k l ir (X), ed il teorema ~ dimostrato.

Se + ( b ) ~ o , indicando con , un numero minore di + , (b ) e di - - , mamag- x 2

giore di zero, si potrh trovare uno scarto elementare ?,(x) e una costante k, ~ o per cui

+2 (x) = +, (x) - - k2 ~2 (x).

sia uno scarto continuo, con + , ( b ) < s . se + . ( b ) = o,

+ (x) = k ~, (x) + k=~= (x), ed il teorema & dimostrato.

Se + , ( b ) ~ o, indico con '2 un numero maggiore di zero e minore di qG(b) e di s 4 ' e trovo uno scarto elementare ~ ( x ) e una costante k 3 ~ o per cui

+~(,,) = + 2 ( . ) - k ~ , ( x )

sia pure uno scarto continuo, con +s ( b ) < s 2.

A N A L I S I D E L L E F U N Z I O N ' I A V A R I A Z I O I q E L I M I T A T A . 405

Se, cosl procedendo, trovo una ~ ( x ) per cui + r allora

+ ( x ) =

e il teorema ~ dimostrato. Se-per ogni r ~ ~ ( b ) > o, essendo per ogni r

g

+, (b) ,~ L- , "~ 2"-' '

e quindi anche, per ogni x,

Ma

Dunque

lira +r (b) --" o,

lim +r(X) -----. o. r~oo

r

= + 0 , ) -

co

+ (x) = k, V, (x), ed il teorema ~ dimostrato.

2o. Combinando tutti i risultati fin qui ottenuti si pu6 concludere che ogni funzione f (x ) a variazione limitata si pub mettere sotto la forma seguente:

f (x ) = s(x) Jr- a(x) + ~.ik ~,(x)

dove s(x) ~ la funzione dei salti di f(x), a(x) ~ una funzione assolutamente continua,

le ~?,(x) sono scarti elementari e le k sono deUe costanti, con la serie Y k assolutamente convergente.

OSSERVAZmNE. - - I nuclei delle % (x) che figurano nella formula precedente costituiscono col loro punti un gruppo F che ~ di misura nulla, ma che pu6 essere denso.in tutto (a, b). Si vede cosi che la causa per cui la f (x ) si scosta dalressere assolutamente continua ~ localizzata in un gruppo di misura nulla che pub essere diffuso in

tutto (a, b).

F u n z i o n i c o n t i n u e a v a r i a z i o n e l i m i t a t a e a d e r i v a t a g e n e r a l m e n t e nul la .

ux. Sia +(x) uno scarto continuo in (a, b), a < b. Per quanto abbiamo visto al

n ~ x9 si ha: + (,,) - - 5-- k,~,(x),

dove le 9, (x) sono scarti elementari e le k sono costanti positive con ~'~ k; convergente.

406 GIUSEPPE V I T A L I .

Io dico che + (x) ~ a derivata generalmente nulla, cio~ a derivata nulla in tutti i punti di (a, b), eccezion fatta al pill per un gruppo di punti di misura nulla.

Intanto la cosa ~ evidente se ) - k 9,(x ) ha un numero finito di termini, perch~ ciascuna delle ~,(x) ~ a derivata nulla nel gruppo complementare del suo nucleo Gi, e questo gruppo complementare ha misura / , - a.

Se ~ - k ?,(x) ha un numero infinito di termini, poniamo

n

+,, (x ) = + (x) - Z , k ~, (x) .

I~ possibile, qualunque sia un numero ~ > o, trovare un numero n intero maggiore di zero per cui, qualunque sia x in (a, 3), si abbia

+~ (x) < ~.

Ogni hb (x), essendo a variazione limitata, ha derivata in tutto un gruppo di punti di misura b - a. I punti in cui tutte le +,, (x) hanno derivata e che non appartengono ad al(~uno dei nuclei

G,, G,, G3, . . .

e sono diversi dagli estremi a e b di (a, b) formano un gruppo r di misura b - a. I~ evidente che, qualunque sia n, la derivata di +(x) in qualunque punto di r coin-

cide colla derivata di +, (x). Io dico che in r la + (x) ha derivata generalmente nulla. S , ci6 non fosse, sa-

rebbe possibile trovare un numero 8 ~ o per cui i punti di r in cui +(x) ha derivata maggiore di 8 formino un gruppo G di misura maggiore di zero. Indichiamo con , questa misura. Allora G ~ un sottogruppo perfetto di r , di misura , ~ o, nei cui punti +(x), e quindi ogni %b (x), ha derivata maggiore di 8.

Sia x o un punto di G. Poich6 %b (x) ha in x o derivata maggiore di 8, esistono degli intorni di Xo, che contengono x o he[ loro interno, e tall che, qualunque sia un punto x di essi, sia

+, (~) - - +~ (Xo) ~ . ~. X - - X o

I1 limite inferiore % degli estremi sinistri di questi intorni, e i l limite superiore ~o degli estremi destri di questi intorni sono estremi di un segmento ben determinato (~to, I3o) che noi associamo ad ~Co, e che h a l e propriet~i seguenti:

I ~ x o ~ interno ad (%, ~o). 2 ~ Se (~'o, ~o') ~ un segmento contenuto in (~to, [5o) , ed x o ~ interno ad esso, si ha

x - ~"o - - ~'o - Xo - - da cui

L (xo) - ,~ ( o ) _~ ~(~o - ~'o)

+,, (L') - +,, (~o3 ~ 8 (~'o - ~,),

ANALISI DELLE FUNZIONI A VARIAZIONE LIMITATA. 407

e sommando - + . ( , ' o ) -

ossia, in ogni segmento contenuto in (~'o, ,~o) e contenente x o come punto interno, la norma di + , (x ) ~ ~ al prodotto di ~ per la lunghezza di questo segmento.

t Tutti i segmenti come ( o, ~'o), ciob tutti i segmenti contenenti un punto di G e contenuti nel segmento associato a questo punt% formano un gruppo X di segmenti il cui nucleo ~o) ha misura ~ , , poich6 contiene il gruppo G. Esiste allora " ) in X

un plurisegmento P di lunghezza 2~ *.

Se L ) , L ) , . . .

sono i segmenti di P, poich6 la norma di +,,(x) in (z~, ~ ) 6 ~ 8 ( [ ~ - - ~ ; ) la norma

di + , (x) in P ~ ~ di , ~ - , ( ~ , - - % ) _ ~ 8 r Ma per ogni ~ > o esiste un n per cui + , ( 3 ) < * e la nor,ha di +,,(x) in P

deve essere minore o uguale di +,(b), duuque

8 ,

g

E poich~ ~ pu6 essere piccolo a piacere, deve essere , - - o , contro l'ipotesi. Dunque + (x) ~ a derivata generalmente nulla, ossia uno scarto continuo ha derivata

generalmente nulla. 22. Ogni funzione continua a variazione limitata e a derivata generalmente nulIa

all'infuori di uua costante additiva la differen~a di due scarti continui. Invero se f ( x ) 6 una tale funzione,

f (x) = a(x) + }- k~?,(x),

dove a(x) ~ una funzione assolutamente continua, le ?,(x) sono scarti elementari e le

k, sono delle costanti per cui la serie ~-k, b assolutamenie convergente.

Indicando con +(x) la somma dei termini di Y k,~,(x) a cui corrispondono dei k maggiori di zero, e, posto

+, (x) = + (x) - - Y , k ~,, (x),

si vede che + (x ) e + , (x ) sono scarti continui e quindi a derivata generalmente nulla.

to) Per la nozione di nudeo di un gruppo di segmenti: v. G. VITALI, Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali [Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino. Vol. XLIII (I9o7-I9O8), pp. 3-20]-

it) Cfr. G. VITALI, 1OC. cit. to), Capitolo I.


Poich~ f ( x ) - - a (x) + + (x) - - +, (x),

anche a(x) sarfi a derivata generalmente nulla, e, poich~ a(x) ~ assolutamente continua, a(x) sar~i una costante C.

Dunque f (x) = C + + (x) - - +, (x).

t~ trovata cosl la forma delle funzioni continue a variazione limitata che hanno derivata generalmente nulla.

2 3. Se f ( x ) ~ una funzione continua a variazione limitata,

f (x) = a(x) + Y k ~,(x),

dove a(x) ~ una funzione assolutamente continua, le %(x) sono scarti elementari e le

k sono costanti, con ~ - k assolutamente convergente.

La ~ - k %(x) ~ a derivata generalmente nulla, quindi generalmente la derivata di f ( x ) coincide colla derivata di a(x). Dunque a(x) ~ integrale della derivata di f (x) . Si pu6 quindi scrivere

f f ( x ) = f ( a ) -+- f ' ( x ) d x -~- ~- k r e v a

dove le ? , (x) sono scarti elementari, le k sono delle costanti con ~-Ik,] convergente, ed f ' ( x ) indica la derivata di f (x) , dove esiste, e zero dove f ( x ) non ha derivata.

2 4. I risultati precedenti si possono anche riassumere cosi: Data una funzioue +(x) sommabile in (a, b), per trovare la fun~ione continua a

varia~ione limitata pii~ generale chela abbia generabnente per derivata basta aggiungere al suo integrale indefinito la piu generale funzione del tipo ~ , k %(x), dove le %(x) sono scarti elementari e le k sono costanti con ~- ]k [ convergente.

2 5. OSSERVAZIONE.- La propriet~l di avere derivata dappertutto fuorch~ al pifl in un gruppo di punti di misura nulla, ed inoltre di avere questa derivata sommabile, non 6 caratteristica delle funzioni continue a variazione limitata.

Per esempio, se ~?.(x) indica uno scarto elementare in ~ i i ~ la fun- \ n + I ' n ] '

( i I ) c~ c~ zione f ( x ) di (% i) the, per ogni i, nell'intervallo - i ' 2 i - I

i ( ( i i ) i i I --~? .. . . (x e nell'intervallo 2i -{- I ' 2 i con -=-*?~,(x),~ e che 6 nulla per

x ~ o ~ una funzione continua in (% I) che ha in (% i) derivata generalmente nulla e quindi sommabile, ma non ~ a variazione limitata.

Genova, 15 settembre 1922.

G. VITALI.

Analisi delle funzioni a variazione limitata

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