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Analisi dei dati

Dispense per la maturità professionale commerciale

Gruppo di lavoro cantonale per un eserciziario di matematica.

Anno scolastico 2015-16

Statistica descrittiva BRU 2015 2

Statistica descrittiva: sommario

1. Introduzione ................................................................................................................................................................ 3

2. La raccolta dei dati ...................................................................................................................................................... 3

2.1 Variabili statistiche ............................................................................................................................................ 3

2.2 Popolazione e campione .................................................................................................................................... 4

3. La statistica monovariata ............................................................................................................................................ 6

3.1 Distribuzioni di frequenze ................................................................................................................................. 6

3.1.1 Frequenze assolute ....................................................................................................................................... 6

3.1.2 Frequenze relative ........................................................................................................................................ 9

3.1.3 Frequenze cumulate ................................................................................................................................... 12

3.2 Indicatori di centralità ..................................................................................................................................... 14

3.2.1 La media aritmetica.................................................................................................................................... 14

3.2.2 La mediana ................................................................................................................................................. 16

3.2.3 La moda ..................................................................................................................................................... 18

3.2.4 Indicatori di centralità a confronto ............................................................................................................. 19

3.3 Indicatori di dispersione .................................................................................................................................. 20

3.3.1 Il campo di variazione ................................................................................................................................ 21

3.3.2 Lo scarto quadratico medio (o scarto tipo) ................................................................................................. 21

3.3.3 Lo scarto interquartile e il box-plot. ........................................................................................................... 22

4. Statistica bivariata ..................................................................................................................................................... 25

5 Soluzioni degli esercizi proposti ............................................................................................................................... 32


1. Introduzione

“La statistica è una disciplina che ha come fine lo studio quantitativo e qualitativo di un

particolare fenomeno in condizioni di non determinismo o incertezza ovvero di non

completa conoscenza di esso o parte di esso”. (Wikipedia 2015).

La statistica si occupa di:

a) raccogliere dati

b) analizzarli (rappresentandoli graficamente, estraendone indicatori,…)

c) trarre conclusioni o formulare previsioni sulla base delle informazioni ricavate.

Queste tre fasi sono strettamente correlate: al momento di raccogliere i dati è di vitale

importanza una riflessione attenta, perché il modo in cui si raccolgono i dati può influenzare

l’esito delle nostre conclusioni.

2. La raccolta dei dati

2.1 Variabili statistiche

Ogni volta che si raccolgono dei dati si ha a che fare con una variabile statistica (detta

anche carattere) che può assumere diversi valori (che vengono chiamati modalità).

La variabile indagata può esser di tipo qualitativo o quantitativo. Facciamo qualche

esempio:

Variabile (o carattere) tipo modalità possibili

Colore degli occhi qualitativo Azzurri, neri, castani, verdi…

Giorno della settimana qualitativo Lunedi, martedì,…

Numero di figli quantitativo 0,1,2,…

Altezza quantitativo 1.82, 1.78, 1.65,…

Da questi primi esempi vediamo che possiamo fare distinzione tra il colore degli occhi e il

giorno della settimana (che sono caratteri qualitativi), perché, mentre per i giorni della

http://it.wikipedia.org/wiki/Determinismo

http://it.wikipedia.org/wiki/Incertezza


settimana è possibile stabilire un ordine (in questo caso la sequenza), per i colori degli occhi

non vale lo stesso. Anche tra il numero di figli e l’altezza esiste una differenza importante:

mentre il primo può assumere solo valori interi e positivi (si tratta di una variabile discreta),

per la seconda esiste una varietà più alta di valori, che dipende soprattutto dalla precisione

con cui viene misurata (si parla qui di variabile continua). Per la variabile continua si pone

il problema dell’arrotondamento, che di solito viene fatto al momento della raccolta dei dati:

questa azione trasforma di fatto una variabile continua in una discreta (se arrotondiamo al

primo decimale, tutti i valori ottenuti saranno multipli interi di 0.1).

Da notare che il tipo di dati raccolti determina anche le operazioni possibili in fase di

analisi: non sarà possibile calcolare la media di dati qualitativi, mentre la media ottenuta per

il numero di figli andrà interpretata con prudenza, in quanto potrebbe assumere valori che la

nostra variabile non assume, al contrario di quanto può succedere con l’altezza (ad es. una

media di 1,3 figli non corrisponde alla situazione di nessuna famiglia esistente, mentre

un’altezza media di 1.79 m può benissimo essere l’altezza di persone realmente esistenti).

2.2 Popolazione e campione

Il “luogo di raccolta” dei dati preso nella sua totalità, viene indicato come popolazione. In

genere si tratta di una massa enorme di dati potenzialmente acquisibili. Il caso del

censimento o della dichiarazione d’imposta rappresentano esempi in cui la popolazione

viene analizzata interamente.

Nella maggior parte dei casi però si cerca di evitare questo tipo di sforzo.

Ci si limita pertanto a un campione, che dovrebbe essere un sottoinsieme rappresentativo

della popolazione. Con rappresentativo si intende che il campione, pur essendo una frazione

della popolazione, si comporta in modo se non identico, almeno molto simile alla

popolazione intera. Se questa premessa è realizzata, le conclusioni tratte per il campione si

potranno estendere alla popolazione.

Raccogliere dati senza tenere in considerazione questi fatti può portare a conclusioni

sbagliate (anche se la successiva analisi avviene in modo corretto).

Tra i metodi di campionamento troviamo la scelta casuale: in questo caso è importante


capire che il campione diventa tanto più rappresentativo quanto più grande è il sottoinsieme

scelto e bisognerà trovare un buon compromesso tra il risparmio nella raccolta e la loro

rappresentatività.

Sarebbe azzardato pensare di prevedere l’esito di una votazione in Ticino interrogando 3 o 4

persone incontrate per strada (anche se la varietà delle risposte è ristretta, in questo caso

sì/no), tuttavia è possibile formulare stime attendibili anche con piccole porzioni della

popolazione (ad es se si dispone di un campione accuratamente scelto in modo che rispecchi

le stesse quote della popolazione reale per età, sesso, formazione, appartenenza politica e

religiosa…).

Supponiamo di voler svolgere un’indagine che valuti le competenze e l’interesse dei giovani

per la politica in Ticino.

Quali dati vorreste raccogliere? (Dati anagrafici, tipo di formazione, affiliazione a un

partito o associazione, sport e hobby praticati…)

Con quale modalità? (Indagine telefonica, sondaggio via web, interviste personali…)

Solo con queste due semplici domande è facile accorgersi che ne nascono parecchie altre:

nel caso dei dati da raccogliere, ci rendiamo conto che non è semplice sapere in anticipo

quali informazioni relative ai soggetti interpellati abbiano (e in che misura) rilevanza per la

nostra indagine. Potremmo ad esempio scoprire che esiste una correlazione tra le attività

praticate nel tempo libero e le preferenze politiche (quindi sarebbe utile disporre di indagini

precedenti o affidarci all’esperienza di altri: ma le scoperte più interessanti sono quelle che

non ti aspetti, per cui ci dovremmo liberare dalle nostre proiezioni mentali e raccogliere

anche dati in apparenza non pertinenti, ma quali?).

Il modo con cui si intende procedere alla raccolta è importante per la rappresentatività del

campione scelto: chi raggiungiamo con la nostra indagine? O meglio ancora, chi non

raggiungiamo? Esiste ancora una fascia di popolazione che non usa o ha poca dimestichezza

con il web, e tra gli utilizzatori ce ne sono di restii a rispondere ai sondaggi. Le persone che

non appaiono sull’elenco del telefono inoltre sono in aumento, in seguito alla diffusione dei

cellulari e alle sempre più invadenti “chiamate commerciali” dove qualcuno cerca di

venderci qualcosa che non ci interessa. Il buon vecchio sistema di consumare le suole delle


scarpe non è immune da rischi: se fate il giro dei bar avreste risultati verosimilmente diversi

da quelli che otterreste all’uscita delle discoteche, in un centro commerciale, agli

allenamenti di società sportive, all’assemblea cantonale dei giovani o ai ritrovi scout. Se

credete che le scuole possano essere la soluzione, pensate alle differenze esistenti tra i

diversi percorsi scolastici e al fatto che una parte rilevante di “giovani” (dovremmo anche

metterci d’accordo sulla fascia d’età che ci interessa) potrebbe aver terminato gli studi.

Raggiungere tutti è quasi impossibile, ma trovare un campione rappresentativo non è certo

facile.

Ai giorni nostri per i sondaggi di opinione esistono strumenti molto potenti come i social

media, che permettono di raggiungere un’utenza enorme in tempi molto ristretti. Il fatto che

le loro banche dati non siano pubbliche, però, rappresenta un bell’ostacolo all’oggettività e

all’indipendenza dei risultati.

3. La statistica monovariata

3.1 Distribuzioni di frequenze

3.1.1 Frequenze assolute

Supponiamo di aver rilevato i pesi di 200 studenti maschi di una scuola:

allievo peso

1. 64.7 kg

2. 72.6 kg

……………………..

200. 67.9 kg

Un metodo per osservare e analizzare le caratteristiche di questo set di dati consiste nel

raggrupparlo in classi, allestendo una tabella come quella della pagina seguente (si procede

in pratica a un conteggio). I dati così tabellati costituiscono una sorta di sintesi dei dati

originali, con il vantaggio che se ne ha una migliore visione d’insieme e lo svantaggio che

una parte dell’informazione è andata perduta. Si tratta qui di trovare il giusto equilibrio tra


ciò che si perde e ciò che si guadagna (proprio come succede per qualsiasi sintesi o

riassunto). In questo caso è importante la scelta relativa alla suddivisione in classi: poche

classi ampie rappresentano una grande perdita di informazione, mentre molte classi di

piccola ampiezza potrebbero significare una sintesi insufficiente (e quindi poco utile).

Un suggerimento sul numero di classi ottimale da usare ce lo fornisce la seguente semplice

regola: NNumClassi dove N è il numero di osservazioni raccolte1. Nel nostro caso la

radice di 200 è circa 14, ma per brevità ci accontentiamo di una sintesi in 8 classi.

Classe di peso (kg) X

(valore centrale)

f

(frequenza della classe)

60-62

intervallo della classe: [60,62[; i

limiti della classe sono 60 e 62

61

è una stima del peso medio degli

studenti appartenenti a questa classe

9

numero di studenti con un peso

compreso tra 60 e 62 kg

62-64 63 25

64-66 65 30

66-68 67 58

68-70 69 38

70-72 71 27

72-74 73 10

74-76 75 3

tot. 200

1 Poiché il numero ottimale delle classi dipende dalle caratteristiche della distribuzione empirica,

deve essere sempre verificato che con la regola proposta non si ottenga una eccessiva o insufficiente

rappresentazione della situazione.


Da questa tabella si nota che esiste una sorta di “normalità” che potremmo definire come un

peso attorno ai 67 kg, caratteristica di un gran numero di studenti, in contrapposizione ad

una “eccezionalità”, rappresentata da pochi studenti che sono più leggeri (verso i 60 kg) o

più pesanti (verso i 75 kg) rispetto a questa “normalità” che è relativa a questo gruppo di

200 giovani.

Questo modo di raccogliere i dati in relazione alla frequenza con cui compaiono prende il

nome di distribuzione e diventa ancora più semplice da interpretare se la si rappresenta

graficamente, di solito in forma di istogramma2.

Interpretando questo grafico, ci si accorge che i dati sono compresi in un intervallo: non

sono stati trovati studenti sotto i 60 kg né sopra i 76 kg. Questo intervallo prende il nome di

campo di variazione.

Si vede inoltre questa caratteristica forma a campana (si parla di distribuzione normale) che

corrisponde all’ammassarsi di molti individui in una zona centrale e alla diminuzione del

loro numero man mano che ci si allontana da questo centro (sia verso il basso che verso

l’alto) verso “regioni meno popolate” (cioè pesi che si riscontrano più raramente).

In alternativa all’istogramma, è possibile rappresentare i dati in una forma più “lisciata”

congiungendo i punti medi delle sommità dei rettangoli, ottenendo così una linea continua:

2 Per semplicità in questo corso useremo solo istogrammi con classi di uguale ampiezza. Nel caso di

istogrammi con classi di ampiezze diverse si presti attenzione al fatto che sulla scala delle y

compare il numero di studenti rilevato in un intervallo di 2 kg (quindi una densità).

0

10

20

30

40

50

60

70

59 61 63 65 67 69 71 73 75 77

freq

uen

za (

n°

di s

tud

enti

)

peso (kg)


questo grafico prende il nome di poligono delle frequenze. Si noti che l’area sotto la linea

corrisponde a quella dei rettangoli dell’istogramma.

3.1.2 Frequenze relative

Quando le frequenze vengono espresse come percentuale del totale, esse assumono un

carattere più generale e ci danno un’informazione sulla porzione che esse rappresentano nel

nostro campione. Si parla in questo caso di frequenze relative. Usando le frequenze relative,

è possibile fare dei confronti diretti tra dati raccolti in campioni diversi: nel nostro caso

potremmo confrontare i dati dei nostri 200 studenti con altri dati, relativi ad esempio a 450

studenti della stessa età, in quanto sono riportati alla stessa scala (0-100%).

Quando si calcolano le frequenze relative, occorre prestare attenzione al fatto che, a causa di

eventuali arrotondamenti che non si compensano, il totale risultante potrebbe differire dal

valore che ci aspettiamo (100%). In questo caso saranno necessari piccoli aggiustamenti in

uno o due valori percentuali calcolati.

Proviamo a ricavarle dai nostri dati sul peso:

0

10

20

30

40

50

60

70

59 61 63 65 67 69 71 73 75 77

freq

uen

za (

n°

di s

tud

enti

)

peso (kg)


Peso (kg) X

(valore centrale)

f %

(frequenza relativa)

f(

(frequenza assoluta)

60-62 61 4.5 9

62-64 63 25

64-66 65 30

66-68 67 58

68-70 69 38

70-72 71 27

72-74 73 10

74-76 75 3

tot. 200

Rappresentate su un istogramma, le frequenze relative producono un grafico identico a

quello delle frequenze assolute, a parte la scala che si legge sull’asse verticale.

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

35.0%

59 61 63 65 67 69 71 73 75 77

freq

uen

za (

n°

di s

tud

enti

)

peso (kg)


Da questo grafico però, è più facile tirare conclusioni del tipo “meno del 5% degli studenti

ha un peso inferiore a 62 kg” oppure “quasi un terzo degli studenti ha un peso compreso tra

66 e 68 kg”, che sono considerazioni che potrebbero essere confrontate con quelle fatte su

un qualsiasi altro campione di persone con caratteristiche simili al nostro.

Esercizio 1: dai seguenti dati raggruppati, relativi a 400 ragazze della stessa età dei nostri

studenti, ricavate le frequenze relative e rappresentatele su un istogramma da confrontare

con il grafico qui sopra. Quali differenze/analogie si osservano tra le due distribuzioni?

Commentate.

X (kg) 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69

f 4 24 56 68 84 76 48 20 12 8

Esercizio 2: Supponete che i 200 studenti e le 400 ragazze facciano parte della stessa scuola

e che i loro pesi siano stati raccolti senza fare distinzioni di sesso. Allestite la tabella che ne

risulterebbe e rappresentate l’istogramma corrispondente. Cosa notate?


3.1.3 Frequenze cumulate

Cumulare le frequenze significa sommarle progressivamente passando in rassegna le classi.

Il cumulo può esser fatto partendo sia dal basso che dall’alto.

Peso (kg) X

(valore centrale)

f

(frequenza assoluta)

fcum

(frequenza cumulata

dal basso)

60-62 61 9 9

62-64 63 25 34

64-66 65 30 64

66-68 67 58 122

68-70 69 38 160

70-72 71 27 187

72-74 73 10 197

74-76 75 3 200

200

Questi valori rappresentano nel nostro caso il numero di studenti che abbiamo passato in

rassegna fino a un certo peso, che corrisponde la limite superiore della classe. Dalla nostra

tabella possiamo dedurre velocemente che 122 studenti hanno un peso inferiore a 68 kg,

Anche per le frequenze cumulate può risultare utile la trasformazioni in percentuali: si parla

allora di frequenze cumulate relative.

Se rappresentiamo graficamente l’andamento di queste fcum in funzione del peso (facendo

attenzione che corrispondano ai limiti superiori delle loro classi), otteniamo una

caratteristica curva che prende il nome di ogiva.


Questa curva descrive come aumenta il numero di studenti “passati in rassegna” in un

ipotetico rango dove stanno allineati dal più basso al più alto.

Grazie a questa curva, noi possiamo ad es. stimare in corrispondenza di quale altezza siamo

giunti al 50% dei nostri studenti. Il valore di peso corrispondente è circa 67.3 kg. Possiamo

quindi dire che la metà dei nostri studenti ha un peso inferiore (o superiore!) a 67.3 kg.

Si tratta di approssimazioni che dipendono dall’accuratezza con cui si è tracciato il grafico,

tuttavia si possono ricavare informazioni sull’andamento dei nostri dati in maniera veloce e

attendibile.

Esercizio 3: ricavate dal grafico la soglia di peso sotto la quale troviamo il 25% del nostro

campione. Quale percentuale dei nostri studenti ha un peso maggiore di 70 kg?

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

n°

stu

den

ti

peso (kg)


3.2 Indicatori di centralità

Gli indicatori sono valori rappresentativi (un unico numero scaturito da tutti i dati).

Gli indicatori di centralità (o indici di posizione) dovrebbero fornirci l’indicazione della

posizione centrale attorno alla quale i dati si distribuiscono in maniera più o meno uniforme

3.2.1 La media aritmetica

È senz’altro il più famoso indicatore di centralità.

Lo si ricava sommando tra loro tutti i dati nxxx ,......,, 21 e dividendo il totale per il loro

numero:

n

xxxX n

......21 Media aritmetica semplice

Oppure, se i numeri kxxx ,......,, 21 compaiono con le frequenze kfff ,......,, 21

k

kk

fff

xfxfxfX

......

......

21

2211 Media aritmetica ponderata

Ad esempio per i 10 numeri 1423 4321

1,6,6,6,6,8,8,5,5,5

ffff

:

6.510

1666688555

X

che è lo stesso di 6.51423

1648253

X

Nel secondo caso si dice che il valore 5 ottiene ponderazione (o peso) pari a 3. Questa

ponderazione può essere anche interpretata come l’importanza che si dà a ognuno dei valori

utilizzati per il calcolo della media


Prendiamo il caso di una valutazione scolastica:

1°sem 2°sem Esame scritto Esame orale

4.5 5 4 5.5

Supponiamo che la nota dell’esame scritto conti doppio rispetto alle altre tre, la nota finale

sarebbe dunque:

6.45

23

1211

15.5241515.4

Abbiamo qui attribuito ponderazione 1 alle note di semestre e dell’esame orale,

ponderazione 2 alla nota dell’esame scritto. Si ottiene lo stesso risultato assegnando peso 4

alla nota dell’esame scritto e peso 2 alle altre tre (provare per credere: come mai?).

La media ponderata ci torna utile nel caso di dati raggruppati. Infatti, per restare sul nostro

esempio dei pesi, sappiamo che 9 di loro hanno un peso compreso tra 60 e 62 kg.

Stimiamo il loro peso medio come 61 (il valore centrale della classe) e facciamo i nostri

calcoli come se avessimo 9 studenti che pesano 61 kg.

Possiamo calcolare la media dei nostri 200 studenti come segue:

27.67200

375107327713869586730652563961

Ricordiamo che si tratta di una stima della vera media aritmetica calcolata sui dati grezzi, e

che dipende dal modo in cui si scelgono le classi.

Esercizio 4: calcolate la media del peso delle 400 ragazze del capitolo 3.1.2

X (kg) 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69

f 4 24 56 68 84 76 48 20 12 8 400

fX

N

Xf

X

N

i

ii

1


Esercizio 5: 4 varietà di riso sono state mescolate ottenendo un miscuglio di 95 kg

Quantità (kg) 30 40 15 10

Prezzo al kg 2 2.10 2.50 2.80

Trovate il prezzo al kg del miscuglio (media ponderata dei prezzi).

Esercizio 6: Un gestore di fondi ha investito in modo differenziato 20 milioni ricavandone

diversi rendimenti

Capitale investito (Fr.) 8'500’000 5'800’000 3'600’000 2'100’000

Rendimento 1.5% 2% 1.75%0 2.5%

Trovate il tasso medio relativo ai 20 milioni (media ponderata dei tassi).

3.2.2 La mediana

La mediana di un insieme di valori ordinati per grandezza è il valore centrale (o la media

aritmetica dei due valori centrali).

es. 1. 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10 mediana: 6

es. 2. 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18 mediana: (9+11)/2=10

Nel caso di dati raggruppati si procede di nuovo con una stima, visto che non si dispone più

dei dati grezzi.

Usiamo il solito esempio del peso degli studenti. Visto che N=200, dobbiamo stimare il

peso equivalente al 100° studente (abbiamo già fatto qualcosa di simile quando abbiamo

parlato di ogiva). Ci tornano utili anche le frequenze cumulate, infatti ci serve la classe in

cui fcum supera la soglia del 100 (classe mediana).


Il limite inferiore della classe mediana è 66, quindi il peso mediano sarà

66 + un certo valore.

Dobbiamo trovare il peso della 100a persona, che è la 36a della classe mediana:

100 - 64 (somma frequenze classi precedenti) = 36.

Questa persona peserà 66 + y

Supponendo che il peso delle persone all'interno della classe mediana sia

distribuito in modo uniforme (crescente), y può essere ricavata così:

y = (2 kg : 58) . 36 = 1,24

l’intervallo 66-68 (equivalente a 2 kg), viene suddiviso in 58 parti uguali,

ciascuna corrispondente a uno studente: poiché noi dobbiamo avanzare

all’interno della classe mediana di 36 studenti, moltiplichiamo per questo

numero il piccolo intervallo di peso occupato da ciascun studente.

Il peso mediano è dunque: 66 + 1.24 = 67.24

Peso (kg) X f fcum

60-62 61 9 9

62-64 63 25 34

64-66 65 30 64

66-68 67 58 122 Classe mediana

68-70 69 38 160

70-72 71 27 187

72-74 73 10 197

74-76 75 3 200

tot. 200


Oss. 1. Il risultato trovato significa quindi che 100 studenti pesano più di 67.24 kg e 100

pesano meno di 67.24 kg (è il dato centrale!)

3.2.3 La moda

La moda di un insieme di valori è il valore che si presenta con la più alta frequenza, cioè il

valore che compare più spesso.

es. 1. 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18 moda: 9

es. 2. 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 in questo caso la moda non è definita

es. 3. 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 possono esistere 2 o più mode

es. 4. Abitazioni costruite in una città, suddivise per numero di locali:

N° locali N° abitazioni

1 120

2 350

3 730

4 1270

5 1090

6 700

7 280

Si può dire che gli appartamenti di quella città hanno tipicamente 4 stanze.

Per dati raggruppati si può stimare quale moda il valore centrale della classe con la più alta

frequenza, o più semplicemente, indicare l’intera classe modale.

Nel caso dei pesi degli studenti avremo quindi 67 kg oppure classe modale:66-68.


3.2.4 Indicatori di centralità a confronto

Sebbene siano tutte e tre indicatori di centralità, media mediana e moda ci danno questa

indicazione partendo da presupposti diversi, è quindi sempre necessario tener conto del

modo in cui sono ricavate prima di procedere con le interpretazioni.

Nel nostro esempio del peso degli studenti otteniamo tre valori molto vicini tra loro, poiché

la distribuzione è regolare e simmetrica. Nel caso di distribuzioni asimmetriche, (dove i

valori lontani dalla media non si comportano nello stesso modo verso il basso e verso

l’alto), ci si accorge che i tre indicatori reagiscono in modo diverso tra loro: la moda resta

inchiodata al punto culminante dell’istogramma, mentre media e mediana vengono attratte

(la media con maggior forza della mediana) dai valori estremi che si situano lontano dal

culmine.

Vediamo un esempio, tratto da un esame di maturità della nostra scuola. Si tratta dei risultati

di un’indagine dell’Ufficio del Medico Cantonale ticinese relativa ai tempi di intervento

delle ambulanze.


Salta subito all’occhio che la distribuzione è asimmetrica poiché (per fortuna dei pazienti)

molti interventi hanno richiesto tempi brevi e pochissimi hanno richiesto attese oltre i 20

minuti. Le code della nostra curva sono diverse tra loro.

I tre indicatori Moda=4.50 Mediana=6.36 Media=7.94

sono rappresentati in quest’ordine dalle frecce sull’istogramma

Provate, come esercitazione, a ricavarli voi stessi.

Vediamo che in questo caso i tre indicatori si scostano tra loro: i valori molto alti (oltre i 20

minuti) seppur poco numerosi attraggono verso di sé la media e la mediana. La mediana

viene detta “robusta” perché resiste maggiormente a questo genere di attrazione di quanto

faccia la media.

Come abbiamo fatto noi stessi con questo esempio, l’interpretazione dei dati e dei loro

indicatori risulta più facile e sicura se fatta sulla base della loro rappresentazione grafica

(istogramma).

3.3 Indicatori di dispersione

Questi indicatori ci danno un’informazione relativa a come i dati si distribuiscono attorno a

un valore centrale (come ad es. la media).

Una critica che si è sentita più volte nei confronti della statistica, è che “se io mangio due

polli e tu nemmeno uno, la media dice che ne abbiamo mangiato uno a testa ma tu sei morto

di fame”, sebbene il tono sia quello di una battuta, dietro questa frase si nasconde una

grande verità: la media ci dà un’informazione relativa alla centralità, unicamente. Se

vogliamo ottenere altre informazioni sui nostri dati, dobbiamo calcolare altri indicatori.

Nel caso dei nostri polli, se oltre alla media fornissimo anche il campo di variazione, (si

veda il prossimo capitolo) che vale 2-0=2, potremmo facilmente distinguere il nostro

esempio da un altro caso ipotetico, in cui ognuna delle due persone mangia un pollo, perché

sebbene la media rimanga 1, il campo di variazione questa volta sarebbe 1-1=0.


3.3.1 Il campo di variazione

È la differenza fra il valore massimo ed il valore minimo dei dati:

Esempio a) 8, 9, 10, 15, 18 campo di variazione: 10

Esempio b) 3, 5, 6, 7, 10, 12, 15, 18 campo di variazione: 15

Esempio c) 3, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 18 campo di variazione: 15

Il campo di variazione è 15 sia in b), sia in c), sebbene ci sia più dispersione in b) che in c),

dove la maggior parte dei dati si concentrano attorno ai valori centrali.

Ha il pregio di poter essere calcolato facilmente, ma proprio a causa di ciò, non è molto

significativo dal punto di vista del contenuto di informazione.

Nel caso di dati raggruppati, il campo di variazione può essere stimato come la differenza

tra il limite superiore della classe con i valori più alti e quello inferiore della classe con i

valori più bassi.

3.3.2 Lo scarto quadratico medio (o scarto tipo)

Quando si parla di scarto, si intende la distanza (differenza) di un dato dal valore centrale.

Es. 1: provate a calcolare gli scarti dalla media per uno degli esempi del capitolo 3.3.1.

Che cosa succede se calcoliamo il valore medio di questi scarti? Come lo spiegate?

Lo scarto quadratico medio è la media degli scarti (elevati al quadrato) rispetto alla media (è

quindi un indicatore che va accoppiato ad essa).

In sostanza si tratta di misurare tutte queste differenze, elevarle al quadrato per impedire che

le differenze negative compensino quelle positive, trovare la media di questi valori e

calcolarne la radice per compensare la distorsione introdotta con l’elevamento al quadrato.

La formula corrispondente è la seguente:

n

xxxxxxs n

22

2

2

1 .........


Nota: il metodo con cui viene calcolato s non distingue il modo in cui variano i dati sopra e

sotto la media. Ne consegue che esso si rivela particolarmente adatto a distribuzioni

simmetriche rispetto alla media.

Nel caso di dati raggruppati, le parentesi (gli scarti) al quadrato sono moltiplicate per le

frequenze e il numero n risulta dalla somma di tutte le frequenze (quindi calcoliamo una

media ponderata tra gli scarti dei valori centrali delle classi usando le frequenze come

ponderazione).

n

nn

fff

xxfxxfxxfs

.......

.........

21

22

22

2

11

Con l’uso del simbolo di sommatoria, questa formula può essere sintetizzata ulteriormente

n

i

i

n

i

ii

f

xxf

s

1

2

1

Esercizio 7: provate a calcolare s per gli esempi a), b) e c) del capitolo 3.3.1 e di

interpretarne il significato.

3.3.3 Lo scarto interquartile e il box-plot (diagramma a scatola).

Lo scarto interquartile si ricava utilizzando lo stesso metodo con cui viene calcolata la

mediana. Ricordiamo che la mediana è il valore in corrispondenza del quale il set di dati da

analizzare si spacca in due metà uguali. Ciò significa che metà dei dati è inferiore alla

mediana e l’altra metà è superiore. È però possibile, con lo stesso metodo di calcolo,

ricavare un valore che sia ad esempio maggiore del 30% dei dati (e quindi minore del

rimanente 70%). Questo particolare valore prende il nome di 30° percentile. In quest’ottica

il primo quartile corrisponde al 25° percentile (1/4 =25%), il secondo quartile è la mediana e


il terzo quartile è il 75° percentile. Se, oltre alla mediana, che ci dà un’indicazione di

centralità, calcoliamo anche il primo e il terzo quartile, abbiamo un’indicazione della

dispersione di metà dei nostri dati nelle vicinanze della mediana, se poi a queste

informazioni aggiungiamo i valori minimo e massimo, abbiamo una descrizione

dell’andamento dei nostri dati che si può leggere in modo simile alle curve di livello di una

cartina topografica.

Vediamo un esempio: nel caso degli interventi delle ambulanze del cap. 3.2.4, il totale degli

interventi considerati è 200. Il primo quartile si situa quindi in corrispondenza del 50°

intervento ( ¼ di 200) nei nostri dati ordinati. Visto che nella prima classe si trovano già 34

valori, per arrivare a 50 ne mancano 16. Nella seconda classe abbiamo 61 interventi:

dividiamo i tre minuti di ampiezza di questa classe per 61 e ne utilizziamo 16 da aggiungere

al limite inferiore (3 min): 1661

33 3.79 cioè ¼ degli interventi ha richiesto meno di

3.79 minuti (circa 3 minuti e 48 secondi).

Calcoliamo ora il terzo quartile. Dalle frequenze cumulate vediamo che in corrispondenza di

9 minuti abbiamo cumulato 137 interventi, mentre a 12 arriviamo a 166. Per trovare la

posizione del 150° intervento ( ¾ di 200) dividiamo l’ampiezza di 3 minuti della classe 9-12

per 29 e moltiplichiamo questo tempo che separa un intervento dal successivo per i 13

interventi che mancano (150-137=13), aggiungiamo poi questo valore al limite inferiore

della classe (9): 1329

39 10.34 cioè ¾ degli interventi ha richiesto meno di 10.34 minuti

(circa 10 minuti e 20 secondi).

Possiamo raccogliere tutte le informazioni in un grafico a scatola (box-plot) che ci dà

un’informazione sintetica ma al tempo stesso sufficientemente dettagliata dei nostri dati


La cosa che salta subito all’occhio in questo diagramma, è l’asimmetria: non solo la

mediana non si trova al centro del campo di variazione, ma il quarto che la precede è più

compresso (si trova in un intervallo più piccolo) del quarto che la segue. Infatti la mediana

non si trova al centro nemmeno del rettangolo formato da 1° e 3° quartile.

Questa asimmetria è del resto molto ben visibile nel rispettivo istogramma: la

rappresentazione grafica dei nostri dati è dunque senz’altro il miglior inizio e uno strumento

imprescindibile per la nostra analisi.

Anche per i dati grezzi è possibile ricavare un qualsiasi percentile. Allo scopo si può usare

la seguente regola: 𝑖 =𝛼

100∙ (𝑛 + 1) dove i rappresenta l’indice (la posizione all’interno

della sequenza ordinata) del dato che diventerà il nostro indicatore, α è la posizione

percentuale desiderata (nel caso della mediana α=50) e n è il numero dei dati di cui

disponiamo.

Nella maggior parte dei casi troveremo per i un valore non intero (al contrario di quanto ci

aspettiamo, trattandosi di un indice), per cui si arrotonderà all’intero più vicino, con una

sola eccezione: quando la parte decimale di i vale esattamente 0,5 l’indicatore è la media

aritmetica dei due dati con gli indici tra i quali è compreso i.

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36

minuti

1° q

uartile

2° q

uartile

3° q

uartile

Valo

re min

imo

Valo

re massim

o


4. Statistica bivariata

Al contrario di quanto abbiamo visto finora, al momento di raccogliere dei dati, non ci si

accontenta di prendere nota unicamente del peso di una persona. Anzi, spesso per un’unica

persona vengono raccolte parecchie informazioni (si parla allora di statistica multivariata).

Noi qui ci accontentiamo del caso di due variabili.

Restando fedeli al nostro esempio sui dati fisici di una persona, potremmo interessarci ad

altezza e peso, che sono due variabili quantitative continue (si veda il cap 2.1), oppure al

colore degli occhi e dei capelli, che sono variabili qualitative.

Le tabelle seguenti potrebbero rappresentare il risultato delle nostre indagini:

Nome Altezza in cm Peso in kg

Aldo 175 70

Giovanni 165 56

Giacomo 158 54

… … …

Nome Colore dei capelli Colore degli occhi

Amelia nero nero

Brigitta biondo azzurro

Mariuccia rosso verde

… … …

Quando si ha a disposizione un elenco con decine di righe, in che modo è possibile

visualizzare questi dati per poterci ragionare sopra?


Nel caso delle variabili quantitative continue, lo strumento più indicato è un grafico di

dispersione (scatter plot) nel quale ogni coppia di valori appare come un puntino con le

corrispondenti coordinate cartesiane.

Sapreste identificare i puntini che corrispondono ad Aldo, Giovanni e Giacomo?

Quello che salta all’occhio, è che i punti si dispongono a formare una nuvoletta in uno

spazio ristretto del nostro grafico: non troviamo soggetti con un peso inferiore a 40 kg e alti

meno di un metro e mezzo. Possiamo quindi zoomare il nostro diagramma sulla parte che ci

interessa (nota: in seguito a questo zoom sarebbe utile riflettere sull’importanza delle scale

degli assi e su quanto il grafico appare modificato in seguito alle nostre scelte di scala)

0

20

40

60

80

100

120

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210

Pes

o

Altezza


Anche visto così ingrandito, il grafico ha una sua particolarità, i dati sembrano ammassarsi

attorno alla diagonale del riquadro, lasciando deserte due aree approssimativamente

triangolari. Questo è ragionevole se si pensa al significato che avrebbe un punto in queste

aree: ad esempio il punto (155;105) che si trova al centro del rettangolino in alto a sinistra,

corrisponderebbe ad una persona bassina (1 metro e 55 cm) e parecchio pesante (105 kg)

che, se non impossibile, è quanto meno piuttosto improbabile da incontrare. Ecco perché è

logico che si trovino pochi punti via via che ci si allontana da una ipotetica retta che

potremmo tracciare seguendo l’andamento della nostra nuvola di punti.

Cosa possiamo dedurre da queste osservazioni?

Intanto che le due grandezze considerate non sono indipendenti una dall’altra. In statistica si

parla di correlazione. La correlazione è una grandezza misurabile che possiede un suo

indicatore. L’indice di correlazione lineare (r) ad esempio, esprime quanto bene la nostra

nuvola di punti possa approssimare un’ipotetica retta (detta retta di regressione).

L’indice r assume valori compresi tra -1 e 1 e va interpretato come segue:

40

50

60

70

80

90

100

110

150 160 170 180 190 200 210

Pes

o

Altezza


r=0 le due variabili sono totalmente incorrelate (questo significa che non c’è alcun

legame apparente tra loro), i punti riempiono il grafico in modo omogeneo.

r=+1 Le due variabili sono totalmente correlate e i punti sul grafico sono allineati su

una retta perfetta con pendenza positiva (quando una variabile aumenta, aumenta

anche l’altra)

r=-1 Le due variabili sono totalmente correlate e i punti sul grafico sono allineati su

una retta perfetta con pendenza negativa (quando una variabile aumenta, l’altra

diminuisce)

Tra questi valori limite (che nella realtà è improbabile ottenere) esistono valori intermedi

che rispecchiano nuvole di punti più o meno diffuse.

La regola per calcolare r è la seguente

yxN

i

N

i ii

N

i ii

N

i

N

i ii

N

i ii

ss

yxCov

yyN

xxN

yyxxN

yyxx

yyxxr

.

11

1

1 1

22

1

1 1

22

1

N

yyxxyxCov

N

i ii

1, è la covarianza tra x e y mentre i due termini al

denominatore sono gli scarti quadratici medi che abbiamo visto nel capitolo 3.3.2.

Il numero r scaturisce dunque da un confronto tra la “variabilità congiunta” di x e y con le

due “variabilità separate” di ciascuna di esse.

Naturalmente quando si raccolgono dei dati con un legame tra loro, non sempre essi si

allineano a formare una retta, ma può capitare di vedere tendenze con la forma di linee

curve (a dipendenza del tipo di funzione che lega le due variabili). In casi come questo il

nostro indicatore r non è più così significativo, in quanto “progettato” per riconoscere delle

rette. Illuminante a questo proposito è il fatto che i punti che si trovano su una parabola, se

si considera un intervallo simmetrico attorno al vertice, hanno un valore di r=0.

Per questo motivo, come già detto per la statistica univariata, la base di ogni riflessione deve

essere la rappresentazione grafica. Il nostro occhio è in grado di riconoscere delle regolarità


o delle tendenze in modo molto efficiente e comunque è buona regola non fidarsi mai di un

solo indicatore.

Torniamo ora al caso delle variabili qualitative (colore di occhi e capelli). Raggruppare e

visualizzare graficamente questo tipo di dati che non hanno valori numerici richiede uno

strumento diverso dallo scatter plot, si può ricorrere a quella che viene chiamata tabella di

contingenza (tabella delle frequenze congiunte), che si riempie procedendo a una conta delle

persone che hanno la stessa coppia di valori, nel nostro caso potremmo ottenere il risultato

seguente:

Occhi Totali

Azzurri Grigi Verdi Marroni Neri

Cap

elli

Biondi 26 5 2 2 1 36

Rossi 3 0 8 3 0 14

Castani 13 7 3 35 18 76

Neri 2 2 1 19 29 53

Totali 44 14 14 59 48 179

Quali informazioni riusciamo a estrarre da questa tabella?

Su un totale di 179 persone 76 hanno i capelli castani, quindi possiamo dire che circa il

42% delle persone prese in considerazione ( %4242.0179

76 ) ha i capelli castani.

D’altra parte possiamo osservare che, sempre in relazione al totale 179, sono 8 ad avere

contemporaneamente occhi verdi e capelli rossi, cioè circa il 4%.

Se però ci occupiamo solo della parte di popolazione che ha i capelli biondi, possiamo

calcolare che il 72% di essi ha gli occhi azzurri (26 su 36).

Esercizio 8: calcolate, per il nostro campione, le seguenti percentuali

a) persone con i capelli neri

b) persone che hanno sia occhi che capelli neri


c) tra le persone con i capelli castani, quante hanno gli occhi marroni?

d) tra le persone con gli occhi marroni, quante hanno i capelli castani?

e) supponendo che questo campione sia rappresentativo della popolazione ticinese, qual è la

probabilità, per una persona con i capelli castani, di avere gli occhi di colore nero?

Proviamo a visualizzare la nostra tabella su un grafico 3D :

Sono qui visualizzate le frequenze di ogni categoria in relazione al totale del campione.

Nei 4 grafici seguenti, invece, per ogni tipo di capello sono mostrate le frequenze

percentuali (relative a un solo tipo di capello) del colore degli occhi.

Biondi

Rossi

Castani

Neri

0

10

20

30

40

Azzurri Grigi Verdi Marroni Neri

Azzurri72%

Grigi14%

Verdi5%

Marroni6%

Neri3%

Biondi

Azzurri22%

Grigi0%

Verdi57%

Marroni21%

Neri0%

Rossi


Ovviamente è possibile anche rappresentare le ripartizioni del colore dei capelli per ogni

colore di occhi (cinque grafici con quattro categorie ciascuno). Appare abbastanza

chiaramente che colori scuri di occhi compaiono spesso accoppiati a colori scuri di capelli,

mentre le combinazioni chiaro – scuro sono più rare. Questo fatto si può osservare anche

nell’istogramma della pagina precedente, ma non in modo così immediato: il fatto che nei

grafici a torta i dati siano riportati in percentuale all’interno di un’unica categoria ci

semplifica il lavoro di interpretazione.

Un altro vantaggio del grafico a torta rispetto alla tabella o all’istogramma è che ci presenta

le frequenze espresse in percentuale (frequenze relative), azzerando le differenze dovute alle

diverse numerosità delle categorie.

Azzurri17%

Grigi9%

Verdi4%

Marroni46%

Neri24%

CastaniAzzurri

4%Grigi4%

Verdi2%

Marroni36%

Neri54%

Neri


5 Soluzioni degli esercizi proposti

Cap 3.1.2 es 1

valore centrale 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69

frequenza assoluta 4 24 56 68 84 76 48 20 12 8

frequenza relativa 1% 6% 14% 17% 21% 19% 12% 5% 3% 2%

La forma del grafico è simile a quella dei compagni maschi, solo spostata verso il basso di

circa 8 kg, le ragazze formano una popolazione in cui la “normalità” rispetto al peso

corporeo assume un valore più basso di quello dei ragazzi.

Cap 3.1.2 es 2

valore centrale 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75

fass ragazze 4 24 56 68 84 76 48 20 12 8 0 0 0

fass ragazzi 0 0 0 0 0 9 25 30 58 38 27 10 3

totale 4 24 56 68 84 85 73 50 70 46 27 10 3

0%

5%

10%

15%

20%

25%

51 53 55 57 59 61 63 65 67 69

freq

uen

za r

elat

iva

valore centrale della classe


Le due popolazioni sommate formano qualcosa di simile a una nuova campana, tuttavia è

possibile scorgere due picchi, che corrispondono ai massimi delle due distribuzioni.

Ogni popolazione può nascondere al suo interno 2 o più popolazioni diverse (nel nostro caso

maschi e femmine). Si parla in questo caso di una distribuzione bimodale, ed è poco

sensato, quando si abbia il sospetto di una tale sovrapposizione, trarre conclusioni di

carattere generale (ad es il peso medio di questo gruppo sarà una media delle due medie, ma

sarebbe meglio analizzare i dati di maschi e femmine separatamente).

Cap 3.1.3 es 3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75

freq

uen

za a

sso

luta

valore centrale della classe

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

n°

stu

den

ti

peso (kg)


Come si legge dal grafico, il 25% degli studenti ha un peso inferiore a 65 kg, mentre il 20%

di loro pesa più di 70 kg 8che è lo stesso che dire che l’80% pesa meno di 70 kg)

Cap 3.2.1 es 4

X (kg) 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69

f 4 24 56 68 84 76 48 20 12 8 400

fX 204 1272 3080 3876 4956 4636 3024 1300 804 552 23704

26.59400

237041

N

Xf

X

N

i

ii

Cap 3.2.1 es 5

20.295

5.209

10154030

80.21050.21510.240230

medioprezzo

Cap 3.2.1 es 6

%8.101795.020000000

359000

2100000360000058000008500000

100

5.22100000

100

75.13600000

100

25800000

100

5.18500000

int

medio

Cap 3.3.2 es 7

Esempio a) 8, 9, 10, 15, 18

125

60

5

18151098

x

5

63234

5

1218121512101291282222222222

9.35

74


Esempio b) 3, 5, 6, 7, 10, 12, 15, 18

5.98

76

8

181512107653

x

8

5.9185.9155.9125.9105.975.965.955.9322222222

9.48

190

Esempio c) 3, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 18

5.108

84

8

181111111010103

x

8

5.10185.10115.10115.10115.10105.10105.10105.10322222222

8.38

114

Cap 4 es 8

a) %3030.0179

53

b) %1616.0179

29

c) %4646.076

35

d) %5959.059

35

e) %2424.076

18


Cap 5.1

1 Il venditore fornisce un’indicazione che sembrerebbe di variabilità. Potrebbe trattarsi

del campo di variazione del consumo o forse, vedendo i dati reali della tabella, di

un’indicazione approssimativa del valore medio (corrisponde peraltro con la nostra

classe modale ). La sua indicazione non è statisticamente rigorosa ma probabilmente

dettata dall’esperienza.

Il costruttore fornisce dei dati statisticamente più rigorosi, infatti distingue tre diverse

popolazioni tra gli automobilisti, in base all’uso che faranno del veicolo. Si tratta di tre

indicatori di centralità (medie o mediane) calcolati in condizioni distinte di test

dell’automobile (in autostrada i consumi sono molto diversi che nel traffico di una

città, peraltro non è dato di sapere cosa significhi esattamente misto)

2 Dividendo il totale dei litri consumati per il totale dei chilometri percorsi si calcola di

fatto la media ponderata dei consumi istantanei.

Per capirlo possiamo immaginare che l’auto abbia un consumo di 8.0 litri/100km per

20 km e poi di 7.0 litri/100km per altri 30km.

La media ponderata dei due consumi sarebbe allora:

100

4.7

50

7.3

50

1.26.1

3020

30100

0.720

100

0.8

-dal secondo passaggio si vede già che al numeratore abbiamo il totale dei litri

consumati e al denominatore il totale dei chilometri percorsi (cioè il calcolo effettuato

da Barella).

3 Un’auto presenta un consumo di carburante differente a seconda del percorso abituale

(come indicato nella consegna 1) è poi abbastanza logico pensare che la cosa dipenda

anche dal carico (peso complessivo), dalla qualità e dal modo in cui sono gonfiati gli

pneumatici, da carichi sul tetto che presentino un’aumentata resistenza all’aria, perfino

dal tempo meteorologico (temperatura, umidità, vento…), dall’uso più o meno intenso

degli apparecchi elettrici e elettronici di bordo, dal tipo di carburante usato e dallo stile

di guida del conducente. Inoltre un errore di misura è possibile (sia prodotto dal

contachilometri che dal display della pompa di benzina che mostra i litri erogati e


dall’accuratezza con cui Barella riempie il serbatoio ogni volta allo stesso livello).

Questo elenco non è completo, è possibile che gli studenti trovino altre fonti di

variabilità.

4 Media=1380.75/185=7.46

Classe modale: 7-7.5 (corrisponde bene all’indicazione del venditore) e moda=7.25

Per la mediana, vediamo che le frequenze cumulate passano da 44 a 106 (e superano la

metà di 185) tra 7 e 7.5 litri (classe modale= classe mediana), quindi, con la regola di

interpolazione lineare

39.75.062

442

185

7

Med

5 SQM= 84.0185

8162.129

6 numero di casi con un consumo tra 5.7 e 7.1 : 625

12894

5

351.8

che espresso in percentuale del totale equivale a %2828.0185

8.51

7 Media-SQM = 7.46 - 0.84 = 6.62

Media+SQM = 7.46 + 0.84 = 8.3

0

10

20

30

40

50

60

70

4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11

ModaMedia

Mediana

Med

ia -

SQM

Med

ia

+SQ

M


8 I tre indicatori di centralità ci danno un valore che potrebbe idealmente rappresentare il

consumo della nostra auto se dovesse sparire la variabilità. In altri termini potrebbe

essere il consumo che misureremmo se la nostra auto consumasse sempre allo stesso

modo. Questi valori collimano bene con l’indicazione del venditore che ha voluto

semplificare il più possibile l’informazione da dare al cliente e si è rivelato corretto,

anche se non statisticamente rigoroso. La casa produttrice ha fornito dei valori che

devono essere stati misurati su un banco di prova e a condizioni ottimali. Sebbene si

possa credere che questi dati siano stati raccolti ed esaminati in modo scientifico, è

probabile che nei test eseguiti alcune cause di variabilità che l’auto incontra sulla

strada siano state (intenzionalmente o meno si può discutere) tralasciate, ridotte o

eliminate. Difatti risultano sensibilmente inferiori al consumo reale di Barella (che

però potrebbe avere uno stile di guida particolarmente aggressivo o utilizzare l’auto in

un modo che ne aumenti il consumo).

L’indicatore di variabilità ci dà un’indicazione dell’intervallo entro il quale troviamo

una parte consistente dei valori misurati (i 2/3 circa). Abbiamo misurato un consumo

di 7.16 ±0.84 l ogni 100 km percorsi. Notiamo una lieve asimmetria nella curva

(evidenziata anche dalla discrepanza di media, mediana e moda), che comunque non

dovrebbe invalidare il valore di questo intervallo.

Cap 5.2

a) Dal confronto dei due istogrammi si vede uno spostamento di circa una classe: i dati

del 2001 sembrano essere spostati di circa mezz’ora verso sinistra rispetto a quelli del

2008. Questo starebbe a significare che i tempi realizzati nel 2001 siano mediamente

migliori di quelli registrati nel 2008. Alcuni forse noteranno nella distribuzione del

2001 una maggiore asimmetria, che si può ricondurre al fatto che la curva non può

spostarsi con la stessa facilità verso sinistra (sotto le 2 ore non è sceso ancora

nessuno e comunque correre in meno di tre ore è cosa per pochi) e verso destra

(correre tutti più lentamente è non solo possibile, ma anche facile…).

Il raffronto delle due ogive può esser fatto interpretando le curve come il numero di

atleti giunti all’arrivo col passar del tempo. Visto che la linea intera “decolla” prima e

si trova più in alto rispetto a quella tratteggiata fino circa alle 6 ore, ne deduciamo

che in qualsiasi momento compreso tra 2 e 6 ore dalla partenza, gli atleti che avevano

terminato la gara nel 2001 erano di più di quelli che lo avevano fatto nel 2008

realizzando lo stesso tempo. Dopo le 6 ore la situazione si inverte, ma questo è

dovuto al fatto che nel 2008 hanno corso circa 3000 atleti in più. Se avessimo

confrontato tra loro le due ogive delle frequenze relative, questo punto di incontro

sarebbe stato spostato al valore massimo del tempo.


La differenza del numero di partecipanti tuttavia può avere la sua importanza: questi

elementi di coda potrebbero anche essere quelli meno motivati a partecipare ad una

maratona con tempo freddo (quindi non c’erano nel 2001).

b) Media 2001=122’516/28’390=4.32

media 2008=149’504.75/31’343=4.77

scarto quadratico medio 2001=78.0

28390

59.17078

scarto quadratico medio 2001=90.0

31343

7671.25459

Il gruppo del 2001 aveva quasi mezz’ora di vantaggio su quello del 2008 ed era meno

disperso.


c) Dagli istogrammi si vede che la classe con la frequenza più alta si trova tra 4 e 4.5

ore nel 2001 e tra 4.5 e 5 ore nel 2008. L’osservazione fatta con la moda corrisponde

bene con quella relativa alle medie nel punto b).

d) 2001: 5.2129228390

4

3

14195283902

1

5.7097283904

1

2008: 2350731343

4

3

15672313432

1

7836313434

1

e) Partendo da questi valori sull’asse delle y, si devono leggere i corrispondenti quartili

sull’asse delle x per ciascuna curva e utilizzarli per costruire i box plot come si vede

alla pagina seguente.


f) 2001: 46891.0

28390

70795

26732297672548

che corrisponde al 47%

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20000

22000

24000

26000

28000

30000

32000

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5

Nu

me

ro d

i co

nco

rre

nti

Tempo misurato all'arrivo (in ore)

2001 2008

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5

Bo

x p

lot

ann

o 2

00

1

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5

Bo

x p

lot

ann

o 2

00

8


2008: 28231.0

31343

61575

24282169737532

che corrisponde al 28%

qui la differenza è veramente notevole: mentre nel 2001 quasi la metà dei concorrenti

ha tenuto una media sopra i 10km/h, nel 2008 solo poco più di un quarto è riuscito a

fare altrettanto.

g) Che la maratona del 2001 sia andata complessivamente molto meglio di quella del

2008 appare chiaramente da tutte le osservazioni fatte nei punti precedenti. Ma se

questo fatto sia correlato direttamente alla temperatura andrebbe verificato con altre

indagini, ad esempio con una statistica bivariata su molte coppie di valori

temperatura - tempo medio (ciascuna relativa a una maratona diversa), oppure con

uno studio in cui si faccia correre la stessa tratta allo stesso atleta a temperature

diverse, ponendo attenzione a quali altri parametri possano influire sulle sue

prestazioni (è ipotizzabile ad es. che un atleta norvegese sia disturbato da temperature

sopra i 30° mentre uno etiope decisamente meno, e che a temperature sotto i 5° la

situazione si ribalti).

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