Analisi bivariataAnalisi bivariataPassiamo allo studio delle relazioni tra variabili

Andremmo a cercare se esiste una relazione tra due o più variabili, cioè se esiste una variazione concomitante tra i valori, una COVARIAZIONE, ad esempio al variare del titolo di studio varia il reddito.

Si tratta di una relazione statistica probabilistica: l’affermazione al crescere del titolo di studio cresce il reddito vale in termini medi. Noto che c’è questa relazione ma possono esserci eccezioni (sicuramente nei casi studiati avrò degli individui che si comportano in modo diverso) ma, in media, la relazione regge.

Si tratta di una relaziona causale, di tipo causa effetto. La statistica ci dice soltanto che esiste una relazione, sta al ricercatore definire, dove possibile, la relazione di causa ed effetto.

Tipi di relazioni tra Tipi di relazioni tra variabilivariabili

Una variabile è detta esplicativa o indipendente se spiega o influenza le variazioni di una variabile dipendente

Si parla di dipendenza logica tra due o più caratteri quando tra questi sono ipotizzabili relazioni di causa ed effetto

Si parla di indipendenza logica quando tra due o più caratteri si presuppone a priori con non può esistere nessuna relazione di causa effetto.

L’analisi delle dipendenza studia come le modalità di un carattere dipendano da un altro carattere. Il legame tra i caratteri è unidirezionale o asimmetrico

L’analisi dell’interdipendenza studia come le modalità di un carattere variano al variare di un altro carattere. Il legame tra i due caratteri è bidirezionale o simmetrico.

Tabelle di contingenzaTabelle di contingenzaPer studiare la relazione tra 2 variabili iniziamo

facendo una tabella di contingenza, o tabella a doppia entrata, o incrocio, o tabella doppia

La colonna e la riga dei totali si chiama: FREQUENZA MARGINALE

r x c è l’ORDINE della tavola e sta indicare il numero di righe per il numero di colonne

La DIMENSIONE della tavola indica il numero di variabili coinvolte (a 2 dimensioni, a 3 …)

Si calcolano poi la percentuale di riga, la percentuale di colonna e la percentuale sul totale

Tabelle di contingenzaTabelle di contingenzaQUALE % scegliere?

Se sto cercando di cogliere la relazione tra due variabili esiste una regola:

Si sceglie la % di colonna quando si vuole analizzare l’influenza che la variabile posta in colonna ha sulla variabile posta in riga

Si sceglie la % di riga quando si vuole analizzare l’influenza che la variabile posta in riga ha sulla variabile posta in colonna

Tabelle di contingenzaTabelle di contingenzaE se vogliamo esaminare i profili di un

fenomeno?

Possiamo confrontare i valori delle % di riga e di colonna con i valori delle % marginali

Tabella di contingenzaTabella di contingenzay1 y2 … yj … yc totale

x1 n11 n12 … n1j … n1c n10

x2 n21 n22 … n2j … n2c n20

… … … … … … … …xi ni1 ni2 … nij … nic ni0

… … … … … … … …xr nr1 nr2 … nrj … nrc nr0

totale n01 n02 … n0j … n0c n

Tabelle di contingenzaTabelle di contingenzaCostruzione secondo alcuni criteriPARSIMONIOSITA’ – riportare solo le % che

servonoTOTALI – riportare sempre i totali di riga e di

colonna (in % o in valore assoluto)BASI DELLE % - se riporto solo le % è meglio

riportare anche i totali (N) sui quali è calcolata la % - sotto un numero ragionevole di unità N non ha senso calcolare le %

CIFRE DECIMALI– sono previsti arrotondamenti e riporto di 1 o al massimo 2 cifre decimali

INTESTAZIONE – le tavole devono essere sempre intestate

Test del chi-quadratoTest del chi-quadratoEsiste un criterio oggettivo per dire che tra due variabili esiste

o non esiste una relazione?

Sì per tabelle di contingenza di un campione sufficientemente grande (N>100) è ed il testo del chi-quadrato χ2

Il test del χ2 si utilizza in presenza di caratteri qualitativi nominali ma può essere applicato a caratteri qualitativi ordinali o quantitativi divisi in classi

Test del chi-quadratoTest del chi-quadratoTest statistico di verifica delle ipotesi – il primo passo è

formulare una ipotesi, chiamata ipotesi nulla o H0 secondo la quale nella popolazione non esiste una relazione tra le variabili e cercheremo di dimostrare con i dati che questa ipotesi è falsa, non è compatibile con i nostri dati

Se l’ipotesi nulla H0 viene respinta, automaticamente accettiamo l’ipotesi alternativa o ipotesi di ricerca H1 che sostiene l’esistenza della relazione.

Se tra le 2 variabili della tabella di contingenza non ci fosse relazione (ci fosse indipendenza) come sarebbero le frequenze della tavola?

Frequenze atteseFrequenze atteseDobbiamo costruire la tabella teorica di frequenze attese in caso di

assenza di relazione tra le 2 variabili

Nell’esempio, in caso di assenza di relazione, l’età non influirebbe sulla propensione al viaggio

Questo accade quando le percentuali di chi viaggia e di chi non viaggia sono uguali nelle tre classi d’età e quindi sono uguali a quanto accade in tutta la popolazione della tavola

nij = frequenza congiunta della cella di incrocio tra la variabile Xi e la variabile Yi

ni0 = frequenza marginale della variabile Xi

n0j = frequenza marginale della variabile Yi

nij attesa = ( ni0 * n0j ) / n

Test del chi quadratoTest del chi quadrato

L’indice chi-quadrato χ2

misura la distanza della distribuzione di frequenza osservata dalla distribuzione di frequenza attesa che si avrebbe in caso di indipendenza

Tale distanza è funzione delle differenze tra le frequenze osservate e quelle teoriche e sono pari a

cij = nij - nij attesa

χ2 = ∑ c2

ij / nij attesa

All’aumentare degli scarti in valore assoluto fra le frequenze osservate e quelle teoriche il χ2 aumenta. L’indice è nullo quando le frequenze osservate sono uguali a quelle attese e sono in un caso di indipendenza

Test del chi quadratoTest del chi quadrato

Quanto deve essere grande il χ2 per poter dire con ragionevole certezza che la distribuzione osservata presenta una associazione? Potrebbe capitare che l’associazione tra le variabili sia da attribuire ad errori casuali….

La statistica ci dice quanto un certo valore del chi quadrato è sufficientemente piccolo da poter essere attribuito ad errori casuali e quindi pur non essendo = 0 è tuttavia compatibile con l’ipotesi nulla (H0) di indipendenza tra variabili

La statistica ci dice per ogni valore del chi quadrato qual è la probabilità che esso derivi da una popolazione con indipendenza. Se troviamo una prob= 0,50 (50%) non possiamo respingere l’ipotesi nulla di indipendenza

Anche se troviamo una prob = 0,10 (10%) non possiamo respingerla

Per convenzione si respinge l’ipotesi nulla di indipendenza se p<= 0,05, cioè se il valore del chi quadrato è così grande da avere solo il 5% o meno di probabilità di essere dovuto al caso

Test del chi quadratoTest del chi quadrato

Questi valori di riferimento si trovano sulle tavole del chi-quadrato o vengono stilati dai calcolatori

Le tavole sono riferite ai gradi di libertà di una distribuzione

Gradi di libertà = gl = (numero di righe -1)*(numero di colonne – 1)