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Insiemi, gruppi, numeri reali

Indice

0 Presentazione

1 Insiemi, gruppi, numeri reali

2 Topologia e successioni

3 Limiti e continuit

4 Calcolo differenziale

5 Calcolo integrale

6 Numeri complessi7 Equazioni differenziali di base

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Insiemi, gruppi, numeri reali

Insiemi e relazioni

Inizieremo con un po diteoria elementare degli insiemi :

rappresentazioni, elementi (), sottoinsiemi ();

operazioni (unione, intersezione, differenza, ...);

P(X)(parti diX), prodotto cartesianoX Y.

In un insieme, unarelazione unapossibile parentelatra due oggetti.

Nellinsieme degli esseri umani la relazionecoetaneo riflessiva, simmetrica, transitiva(equivalenza) ;

E la relazione voler bene a... ?

In Z la relazione riflessiva, antisimmetrica, transitiva(ordine)e anche totale (ordine totale) .

InP(X), la relazione lo ?

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Funzioni, cardinalit

Quello difunzione il concetto attorno cuiruota tutta la Matematica.

Funzione f :X Y: regola che associa a ogni x X (dominio)uno e un solo ben preciso elementoimmagine f(x) Y (codominio).

Questa una funzione Questa NON LO Funzione iniettiva Funzione sur iett iva Funzione biiet tiva

Due insiemi si diconoequipotenti(o con la stessa cardinalit) se cuna biiezione tra essi (si dice anche in corrispondenza biunivoca).

Se gli insiemi sono finiti,niente di nuovo: due insiemi sono equipotenti se e solose hanno lo stesso numero di elementi.

La novit per gli infiniti, maspuntano cose buffe: es.,gli interi sono equipotentiai soli numeri pari(un insieme pu essere equipotente a un suo sottoinsieme).

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Insiemi, gruppi, numeri reali

Strutture algebriche: gruppi, anelli, corpi

Sullinsieme Z, loperazione+:

(1) associativa(cio(a+b) +c=a+ (b+c));

(2) ha unelemento neutro(lo 0);

(3) ogni elementoa Z ha uninverso(loppostoa, per cuia+ (a) =0).

Un insiemeGcon unoperazione con queste propriet si dicegruppo(commutativose a b= b a). ilil concetto centrale dellAlgebra.

Un insiemeAcon due operazioni+, tali che(A,+) gruppo comm.e associativa e distributiva rispetto+si diceanello.Se inoltre anche(A \ {0},) gruppo, lanello Asi dicecorpo.

(N,+) , (Z, ) , (Q,+) , (Q, ) sono gruppi?

Dato un insieme X, linsiemeGX ={f :X Xbiiettive} un gruppo per lacomposizione(ovvero(g f)(x) :=g(f(x))), non commutativo.

(Z,+, ),(Q,+, ), e (P(X),,) sono anelli (unitari e commutativi). Corpi?

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I numeri reali come completamento dei razionali

Non tutte le grandezzepossono essererappresentateda un numero razionale...

se fosse

2= mn

conm, n N coprimi... (mn

)2 =12 +12 =2 m2 =2n2

m2 pari mpari m2 =2n2 divisibile per 4 n2 pari npari ... assurdo!

I razionali Q sonoun corpo totalmente ordinato(bene!), ma pieno dilacune cos (male...). Colmandole si hanno ireali R, corpo totalmenteordinato ecompleto, in biiezione coi punti di unaretta(coord. ascisse).

Completezza di R esistenzasup-inf (non confondere conmax-min)Se X = [a, b] , allora sup X =max X = b; seY = [a, b[ , allora sup Y = b mentre max Ynon esiste!Razionali e irrazionali(ex-lacune:

2, , e) sono entrambidensiin R.

Lirrazionale

2 approssimato a piacere dalla sequenza di numeri razionali 1, 1410 , 141100 ,

14141000 ,

1414210000 , ...

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