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Stefania Pozio Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Stefania Pozio

Nucleo: Spazio e Forme

PREREQUISITI

conoscenza delle altezze, mediane,

bisettrici e assi di un triangolo

ATTIVITÁ

Altezze, mediane,

bisettrici e assi nei triangoli

Scheda di lavoro 1

Le altezze nei

triangoli

Scheda di lavoro 2

Le bisettrici nei triangoli

Scheda di lavoro 3

Le mediane nei

triangoli

VALUTAZIONE ATTIVITÁ

All’interno delle schede di lavoro

Scheda di lavoro 4

Gli assi nei triangoli

Scheda per attività

per le eccellenze


Introduzione

Tematica: Altezze, mediane, bisettrici e assi di un triangolo.

Finalità e obiettivi di apprendimento: l’obiettivo di questa attività è quello di far lavorare

gli studenti su modelli di triangoli costruiti in carta o in cartoncino, far localizzare altezze,

mediane, bisettrici e assi senza l’uso di riga e/o squadra, ma sfruttando le loro proprietà, e,

infine, insegnare loro ad utilizzare il software Geogebra che permette di avere una visione

dinamica delle proprietà di questi segmenti particolari.

Metodologia: si tratta sempre di attività laboratoriali da svolgersi in piccoli gruppi o

singolarmente. L’unità è divisa in quattro diverse attività. Per ciascuna di esse è stata messa a

punto una scheda rivolta all’insegnante in cui è spiegato come far svolgere agli studenti tale

attività. Ogni attività è divisa in due fasi: nella prima fase si lavora con le mani per costruire

triangoli di diversi tipi di carta o cartoncino e per individuare una volta le altezze, un’altra le

bisettrici, un’altra ancora le mediane e infine, gli assi. Nella seconda parte si lavora al

computer utilizzando Geogebra.


Descrizione dell’attività

Condizione, problema o stimolo da cui nasce l'attività

In prima media, quando si cominciano ad analizzare i triangoli e a studiarne le loro proprietà,

si affronta anche l’argomento che riguarda la localizzazione e costruzione delle altezze,

bisettrici, mediane e assi di un triangolo. Molto spesso questo argomento si limita a far

disegnare agli studenti i tre diversi tipi di triangoli (acutangoli, rettangoli ottusangoli) e a far

disegnare questi segmenti “speciali” con l’uso della riga e della squadra, ma, come sostiene la

Castelnuovo:

1) il disegno non suggerisce dei problemi perché offre un numero finito di casi (…);

2) non conduce all’osservazione per il fatto che è statico;

3) non può fornire un’immagine reale di una situazione spaziale.

(Didattica della matematica pag. 85-86)

Ecco dunque da che cosa è nata l’esigenza di un’attività pratica che riguardava questo

argomento.

Inoltre, ormai l’era dell’informatica mette a disposizione gratuitamente dei software come

Geogebra che hanno delle enormi potenzialità per far comprendere meglio determinati

concetti, ma che ancora sono sotto utilizzati sia dagli insegnanti, ma soprattutto dagli studenti.

Prerequisiti richiesti ai ragazzi per svolgere l’attività

Per tutte le attività è necessario che gli studenti sappiano cosa siano le altezze, le mediane, le

bisettrici e gli assi di un triangolo. È sufficiente che ne conoscano la definizione, ma non è

necessario che abbiano già provato a disegnarli con la riga e/o la squadra.

Strumenti forniti agli allievi

Per tutte le attività proposte gli studenti devono avere con loro un righello, un paio di forbici,

del cartoncino (Attività 1 e Attività 3) o dei fogli di carta di tipo A4 (Attività 2 e Attività 4). Per

l’Attività 1 è necessario un filo a piombo (è sufficiente un filo ogni 2-3 studenti). Per l’Attività 3

è necessario un ago con del filo per cucire colorato, uno per ogni studente.

Inoltre, per poter realizzare la seconda fase di ciascuna attività sono necessari i computer,

possibilmente uno per studente. Necessario, ma non indispensabile, un computer per

l’insegnante collegato ad un videoproiettore, in modo che gli studenti possano più facilmente

seguire le istruzioni.

Organizzazione della classe e metodologia

Tutte le attività dovrebbero essere svolte singolarmente, o al massimo in coppia, in modo da

dare a tutti la possibilità di svolgere un’attività pratica. L’insegnante deve coordinare il lavoro e

dare agli studenti le istruzioni necessarie per svolgere il lavoro in modo corretto. Dovrebbe

cercare di controllare che gli studenti lavorino con precisione, eventualmente invitarli a rifare il

lavoro nel caso fosse stato fatto in modo troppo approssimativo. Al termine di ogni fase è

necessario fermarsi per far emergere dagli studenti tutte le possibili osservazioni e anche

uguaglianze e differenze rispetto a ciò che è emerso nell’attività precedente.

Alla fine si potrebbe far costruire agli studenti un quadro sinottico del seguente tipo che

riassume un po’ tutte le loro osservazioni:


Nome Definizione Punto d’incontro Caratteristiche

particolari

Nome Interno

(tipo di

triangolo)

Esterno (tipo

di triangolo)

Altezza Perpendicolare

dal vertice al

lato opposto

Ortocentro Sì (triangolo

acutangolo)

Sì (triangolo

ottusangolo)

Nel triangolo rettangolo

l’ortocentro coincide con

il vertice dell’angolo

retto.

Bisettrice Segmento che

divide a metà

ciascun angolo

del triangolo

Incentro Sempre Mai L’incentro rappresenta il

centro della

circonferenza inscritta

nel triangolo.

È equidistante dai lati

del triangolo.

Mediana Segmento che,

partendo da un

vertice, arriva

alla metà del

lato opposto.

Baricentro Sempre Mai È il punto di equilibrio

del triangolo.

Divide la mediana in due

parti di cui una il doppio

dell’altra.

Asse Perpendicolare

a un lato nel

punto medio

Circocentro Sì (triangolo

acutangolo)

Sì (triangolo

ottusangolo)

Nel triangolo rettangolo

il circocentro coincide

con il punto medio

dell’ipotenusa.

Il circocentro

rappresenta il centro

della circonferenza

circoscritta al triangolo.

È equidistante dai

vertici.

Per quanto riguarda la seconda fase di ciascun attività, quella relativa al lavoro al computer,

ciascuna meta scheda riporta le istruzioni che è necessario seguire per le diverse costruzioni.

Sarebbe utile se il docente potesse avere a disposizione un computer collegato ad un

videoproiettore su cui proiettare di volta in volta le diverse schermate riportate sulla meta

scheda per facilitare gli studenti nella comprensione delle istruzioni.

Fasi e tempi

L’unità comprende 4 diverse attività articolate, ciascuna, in due fasi dello stesso lavoro

(l’Attività 4 è suddivisa in 3 fasi). Le attività non devono necessariamente essere svolte

nell’ordine in cui sono state numerate. Tutta l’unità dovrebbe essere svolta nell’arco di quattro

settimane, un’attività a settimana. È meglio mantenere questo ritmo in modo da non far

passare troppo tempo tra un’attività e l’altra e, nello stesso tempo, in modo da dare il tempo

agli studenti di riflettere sugli stimoli forniti. I tempi di svolgimento sono stati stimati uguali

per tutte le attività, anche se, ovviamente, la fase 2, quella che riguarda il lavoro al computer,

richiederà, man mano che le attività vengono svolte, sempre meno tempo nello svolgimento in

quanto gli studenti dovrebbero diventare sempre più “esperti” nel lavorare con Geogebra.


Attività 1

Le altezze nei triangoli

Tipologia: attività laboratoriale con costruzione di modelli in cartoncino di triangoli di diverso

tipo e relativa individuazione delle altezze, mediane, bisettrici e assi.

Obiettivo didattico: lo scopo di questa attività è di far visualizzare concretamente le altezze,

mediane, bisettrici e assi perché, come afferma la Castelnuovo: “più tempo i nostri ragazzi

avranno dato allo studio del concreto, quanto più tempo avranno perduto nell’osservare, tanto

meglio passeranno dopo alla comprensione delle forme astratte”.

(Didattica della matematica p.75)

Tempo: 3 ore (1 ora + 2 ore)

Fase 1

A ogni alunno fate disegnare e ritagliare su un

cartoncino (va bene il cartoncino delle scatole

dei Corn Flakes) tre triangoli, uno acutangolo,

uno rettangolo e uno ottusangolo (Foto 1).

Costruite un filo a piombo utilizzando del filo da

cucire colorato e un dado di acciaio.

Le dimensioni sono indicative. È meglio che

ciascun alunno disegni un triangolo diverso dai

suoi compagni in modo da avere una maggiore

quantità di esempi e poter quindi effettuare

delle generalizzazioni. I triangoli devono essere

abbastanza grandi, con lati maggiori di 10-12

cm.

Foto 1: i triangoli


Dividete gli alunni a coppie. Fate prendere il triangolo

acutangolo. Uno studente poggia il triangolo su un lato

e fa passare il filo a piombo per il vertice opposto (vedi

Foto 2), l’altro, con una matita, segna, sul triangolo, il

punto in cui il filo a piombo tocca il lato. Poi, con il

righello, traccia l’altezza unendo il punto trovato con il

vertice opposto.

Fate ripetere lo stesso procedimento per gli altri due lati

(Foto 3).

In questo modo dovrebbero aver trovato l’ortocentro.

Foto 2: la costruzione della prima altezza

Foto 3: la costruzione della seconda e terza altezza


Ora fate ripetere lo stesso procedimento con il triangolo rettangolo. Gli

studenti dovrebbero osservare subito che il filo a piombo coincide con i

cateti e quindi i cateti rappresentano due delle tre altezze. L’ortocentro

si trova in corrispondenza del vertice dell’angolo retto (Foto 4).

Fate ripetere lo stesso procedimento con il triangolo ottusangolo. Gli studenti vedranno

immediatamente che due delle tre altezze non cadono all’interno del triangolo e quindi

l’ortocentro dovrà trovarsi necessariamente fuori dal triangolo (Foto 5). Per far visualizzare

l’ortocentro in un triangolo ottusangolo, fate disegnare a ciascun alunno un triangolo

ottusangolo su un foglio e, con l’aiuto di riga e squadra, fate individuare l’ortocentro.

Foto 4: le altezze nel triangolo rettangolo

Foto 5: le altezze nel triangolo ottusangolo


Fase 2

In questa seconda fase, la costruzione delle altezze viene fatta utilizzando Geogebra. Questo

software si può scaricare gratuitamente da Internet. Andate all’indirizzo

http://geogebra.softonic.it/ e poi cliccate su Download.

Quando aprite Geogebra vi appare il seguente foglio.

http://geogebra.softonic.it/

http://geogebra.softonic.it/


Se cliccate su Visualizza avete la possibilità di far apparire (o sparire) sia gli assi che la griglia.

Per costruire il triangolo, cliccate con il tasto sinistro

del mouse sull’angolino in basso a destra del

riquadro indicato dalla freccia rossa e poi su

Poligono.

Individuate i vertici del triangolo cliccando

sulla griglia con il tasto sinistro del mouse

e poi nuovamente sul vertice iniziale.

Seguite sempre le istruzioni che appaiono

in alto a destra (riquadro rosso).

Ora dovete tracciare le altezze.

Cliccate con il tasto sinistro del

mouse sull’angolino in basso a destra

del riquadro indicato dalla freccia e

poi su Retta perpendicolare. Seguite

le istruzioni (cliccate sul vertice e sul

lato opposto e vi apparirà la

perpendicolare).

Una volta tracciate le tre altezze,

per trovare l’ortocentro dovete


cliccare sul riquadro indicato dalla freccia rossa e poi su Intersezione di due punti. A questo

punto, vi posizionate sull’ortocentro e vi cliccate sopra, sempre con il tasto sinistro del mouse.

Vi si apre questa piccola finestrella. Si deve cliccare una volta su Retta d e poi su Retta e

E a questo punto appare il punto D (ortocentro).

Cliccate sul primo riquadro e poi su

Muovi (freccia rossa). Spostatevi

con il mouse sul punto C (o sul

punto A o sul punto B) e, tenendo

premuto il tasto sinistro del mouse

spostate il vertice.

Ovviamente via via che trascinate il

vertice, l’ortocentro si sposta e si

avvicina sempre più all’angolo la

cui ampiezza è vicino a 90° per

arrivare sul vertice dell’angolo retto

nel triangolo rettangolo e poi uscire

fuori nel triangolo ottusangolo.

Discutetene con i vostri studenti.


Attività 2

Le bisettrici nei triangoli

Tipologia: attività laboratoriale con costruzione di modelli in carta di triangoli di diverso tipo e

relativa individuazione delle bisettrici.

Obiettivo didattico: lo scopo di questa attività è di far costruire e visualizzare concretamente

le bisettrici perché, come afferma la Castelnuovo: “più tempo i nostri ragazzi avranno dato allo

studio del concreto, quanto più tempo avranno perduto nell’osservare, tanto meglio

passeranno dopo alla comprensione delle forme astratte”.



Fase 1

Fate disegnare e ritagliare a ogni alunno

tre triangoli di carta, uno acutangolo, uno

rettangolo e uno ottusangolo (Foto 1).

Possono anche essere uguali a quelli

costruiti nell’Attività 1.

Anche in questo caso è meglio che ciascun

alunno disegni un triangolo diverso dai

suoi compagni in modo da avere una

maggiore quantità di esempi e poter

quindi effettuare delle generalizzazioni.

Foto 1: i triangoli


Prendete il primo triangolo (nella Foto 2 è il

triangolo ottusangolo) e dividete manualmente

un angolo perfettamente a metà, piegando il

triangolo in due parti uguali in corrispondenza

del vertice, in modo che due lati combacino.

Ripetete lo stesso procedimento per gli altri

due angoli (Foto 3).

Una volta terminata questa operazione,

che cosa potete far notare agli studenti?

Anche le bisettrici si incontrano tutte in

un unico punto: l’incentro (Foto 3).

Foto 2: la costruzione delle bisettrici

Bisettrice 1 Bisettrice 2

Bisettrice

3 Incentro

Foto 3: l’incentro nel triangolo ottusangolo


Fate ripetere lo stesso procedimento sul

triangolo acutangolo (Foto 4).


triangolo rettangolo (Foto 5).

Foto 4: l’incentro nel triangolo acutangolo

Foto 5: l’incentro nel triangolo rettangolo

Bisettrice 1 Bisettrice 2

Bisettrice 3 Incentro

Bisettrice 1

Bisettrice 2



Mettete vicini i tre triangoli piegati.

Che cosa dovete far notare agli studenti? Che

l’incentro è sempre interno ai triangoli, al

contrario dell’ortocentro (Foto 6).

Foto 6: i tre triangoli piegati


Fase 2

In questa seconda fase, la costruzione delle bisettrici viene fatta utilizzando Geogebra.

Per l’apertura del file, seguite le istruzioni fornite all’inizio della Fase 2 dell’Attività 1.

Costruite (e fate costruire ai vostri

studenti) un triangolo qualsiasi oppure

uguale a quello da cui siete partiti per

tracciare le altezze, partendo dal riquadro

Poligono.

Ora costruite le bisettrici. Cliccate con il

tasto sinistro del mouse sull’angolino in

basso a destra del riquadro indicato dalla

freccia e poi su Bisettrici. Cliccate, con il

tasto sinistro del mouse, sul vertice C, poi

sul vertice A e infine sul vertice B per

ottenere la bisettrice dell’angolo A.

Successivamente cliccate sul vertice A, poi

sul vertice B e infine sul vertice C per

ottenere la bisettrice dell’angolo B e così

via.


Una volta trovate le tre bisettrici, per

poter individuare l’incentro dovete

cliccare sul riquadro Intersezione tra due

punti. Spostatevi sull’incentro e vi

apparirà il solito piccolo riquadro.

Cliccate prima su Retta d e

poi su Retta e e così vi

apparirà il punto che

rappresenta l’incentro.

Ma le rette che Geogebra ha tracciato sono veramente le bisettrici degli angoli in A, B e C?

Misuriamo con Geogebra ogni metà angolo e verifichiamo se sono uguali.

Cliccate sul riquadro indicato

dalla freccia rossa e poi su

Angolo. Seguite le istruzioni.

Attenzione, se volete misurare

l’angolo convesso, dovete

cliccare sui tre punti in senso

orario. Ad esempio per

misurare l’angolo DAC dovete

cliccare in questo ordine:

prima sul punto D, poi su A e

poi su C. Se cliccate nell’ordine

inverso, Geogebra restituisce

la misura del corrispondente

angolo concavo.


Osservate i valori delle ampiezze

degli angoli riportati sia sul disegno

che a sinistra: sono tutti uguali a

due a due.

Una volta individuato l’incentro è possibile

spostare il vertice C per ottenere triangoli di

tipo diverso e per verificare che l’incentro, al

contrario dell’ortocentro, in tutti i triangoli

cade sempre all’interno. Per spostare il vertice

C cliccate sul primo riquadro e poi su Muovi

(freccia rossa). Poi spostatevi su C e, tenendo

premuto il tasto sinistro del mouse, spostate

il vertice dove volete. Otterrete tutti i tipi di

triangoli che volete, sempre con l’incentro

all’interno.


Attività 3

Le mediane nei triangoli

Tipologia: attività laboratoriale con costruzione di modelli in cartoncino di triangoli di diverso

tipo e relativa individuazione delle mediane.


le mediane perché, come afferma la Castelnuovo: “più tempo i nostri ragazzi avranno dato allo





Fase 1

Fate costruire a ogni alunno tre triangoli

di cartoncino, uno acutangolo, uno

rettangolo e uno ottusangolo (Foto 1).

Anche in questo caso è meglio che

ciascun alunno disegni un triangolo

diverso dai suoi compagni in modo da

avere una maggiore quantità di esempi

e poter quindi effettuare delle

generalizzazioni.

La misura di almeno due dei lati di

ciascun triangolo dovrebbe essere un

numero intero per facilitare la

costruzione delle mediane.

Foto 1: i triangoli


Con l’aiuto di un righello tracciate

con una matita, su ogni triangolo,

le tre mediane e trovate il

baricentro (Foto 2).

Fate le vostre osservazioni.

Prendete un ago in cui avete fatto passare del

filo da cucire colorato a cui avete fatto un

piccolo nodo sul fondo e bucate il triangolo in

corrispondenza del baricentro (Foto 3).

Appendete il triangolo al filo. Se il baricentro

è costruito con precisione, il triangolo

dovrebbe restare in posizione orizzontale

(Foto 4).

Foto 2: le mediane e il baricentro

Foto 3: il baricentro nel triangolo acutangolo

Triangolo rettangolo

Triangolo acutangolo

Triangolo ottusangolo

Foto 4: il triangolo acutangolo appeso per il baricentro


Fate ripetere lo stesso procedimento sul triangolo rettangolo (Foto 5) e sul triangolo

ottusangolo (Foto 6).

Foto 5: il triangolo rettangolo appeso per il baricentro

Foto 6: il triangolo ottusangolo appeso per il baricentro


Fase 2

In questa seconda fase, la costruzione delle mediane viene fatta utilizzando Geogebra.



studenti) un triangolo qualsiasi oppure

uguale a quello da cui siete partiti per

tracciare le altezze, partendo dal riquadro

Poligono.

Ora dovete tracciare le mediane. Cliccate

con il tasto sinistro del mouse sull’angolino

in basso a destra del riquadro indicato dalla

freccia e poi su Punto medio o centro.

Cliccate, con il tasto sinistro del mouse, sul

segmento a, poi sul segmento b e infine sul

segmento c.

Successivamente cliccate sul riquadro indicato

dalla freccia e poi su Segmento tra due punti.

Cliccate su ciascun vertice e sul punto medio

del lato opposto corrispondente (A con D, B

con E, C con F).


Individuate il baricentro cliccando sul riquadro

indicato dalla freccia e poi su Intersezione tra

due oggetti.

Una volta individuato il baricentro è possibile spostare il vertice C (o i vertici A e B) per

ottenere triangoli di tipo diverso e per verificare che il baricentro, come l’incentro, in tutti i

triangoli cade sempre all’interno. Per spostare il vertice C cliccate sul primo riquadro e poi su

Muovi (freccia rossa). Poi spostatevi su C e, tenendo premuto il tasto sinistro del mouse,

spostate il vertice dove volete. Otterrete tutti i tipi di triangoli che volete, sempre con l’incentro

all’interno.


Fate scoprire agli studenti un’altra caratteristica del baricentro, quella cioè di dividere la

mediana in due parti di cui una è doppio dell’altra.

Fate misurare loro la

distanza tra il baricentro e

un vertice e tra il baricentro

e il punto medio del lato

opposto a quel vertice.

Per misurare questa

distanza, cliccate sul

riquadro indicato dalla

freccia rossa e poi su

Distanza. Seguite le

istruzioni. Vi appariranno i

valori sia sul disegno che

sulla sinistra. Provate anche

con gli altri vertici e fate

trarre le conclusioni ai vostri

studenti.


Attività 4

Gli assi nei triangoli

Tipologia: attività laboratoriale con costruzione di modelli in carta di triangoli di diverso tipo e

relativa individuazione degli assi.


gli assi perché, come afferma la Castelnuovo: “più tempo i nostri ragazzi avranno dato allo





Fase 1

Su fogli A4, fate disegnare e ritagliare a

ogni alunno tre triangoli di carta, uno

acutangolo, uno rettangolo e uno

ottusangolo (Foto 1). Possono anche

essere uguali a quelli costruiti nell’Attività

2. Il triangolo ottusangolo deve essere

ritagliato solo su due lati. Il terzo lato,

quello più lungo non deve essere

ritagliato.

Anche in questo caso è meglio che ciascun

alunno disegni triangoli diversi da quelli

disegnati dai suoi compagni in modo da

avere una maggiore quantità di esempi e

poter quindi effettuare delle

generalizzazioni.

Foto 1: i triangoli


Prendete il primo

triangolo (nella Foto 2a è

il triangolo acutangolo) e

dividete manualmente un

lato perfettamente a

metà, piegando il

triangolo in due parti

uguali in modo che due

vertici coincidano.

Ripetete lo stesso procedimento per gli altri due lati

(Foto 2b).

Una volta terminata questa operazione, che cosa potete far

notare agli studenti? Anche gli assi si incontrano tutti in un

unico punto: il circocentro (Foto 3).

Foto 2a: la costruzione degli assi

Foto 3: il circocentro nel triangolo acutangolo

Foto 2b: la costruzione degli assi

Asse 1

Asse 2

Asse 3 Circocentro



triangolo rettangolo (Foto 4). Dove si trova il

circocentro?


triangolo ottusangolo (Foto 5). Dove si trova

il circocentro?

Foto 4: il circocentro nel triangolo rettangolo

Foto 5: il circocentro nel triangolo ottusangolo

Bisettrice 1

Bisettrice 2


Asse 3

Asse 1

Asse 2

Circocentro

Asse 3

Asse 2

Circocentro

Asse 1


Mettete vicini i tre triangoli

piegati.

Discutete con gli studenti sulle

differenze tra i vari tipi di triangoli.

Nel triangolo acutangolo, il

circocentro è interno, in quello

rettangolo coincide con la metà

dell’ipotenusa, in quello

ottusangolo è esterno. Quindi il

circocentro si comporta come

l’ortocentro (Foto 6).

Foto 6: i tre triangoli piegati


Fase 2

In questa seconda fase, la costruzione degli assi viene fatta utilizzando Geogebra.



studenti) un triangolo qualsiasi cliccando

sul riquadro Poligono.

Ora costruite gli assi. È molto

semplice. Cliccate con il tasto

sinistro del mouse sull’angolino in

basso a destra del riquadro

indicato dalla freccia e poi su

Asse di un segmento. Cliccate,

con il tasto sinistro del mouse,

sul lato a, poi sul lato b e infine

sul lato c per ottenere i tre assi.


Una volta trovati i tre assi, per

poter individuare il circocentro

dovete cliccare sul riquadro

Intersezione tra due punti.

Spostatevi sul circocentro e

cliccate su ciascun asse. Vi

apparirà il circocentro.

Cliccate sul primo riquadro e poi su Muovi

(freccia rossa). Spostatevi con il mouse

sul punto C (o sul punto A o sul punto B)

e, tenendo premuto il tasto sinistro del

mouse spostate il vertice.

Che cosa notate?


Fate misurare con il comando Distanza, la distanza del circocentro da ciascun vertice. Che cosa

notate? Se queste distanze sono tutte uguali, che cosa possiamo concludere?

Fase 3

Possiamo concludere che il punto di incontro degli assi si chiama circocentro perché

rappresenta il centro della circonferenza circoscritta al triangolo, cioè la circonferenza che

passa per i suoi tre vertici.

Con l’aiuto di Geogebra, troviamo

questa circonferenza. È molto facile.

Cliccate sul riquadro indicato dalla

freccia rossa e poi su Circonferenza

per tre punti.

Cliccate sui tre vertici del triangolo.

Se, una volta trovata la

circonferenza non dovreste

riuscire a visualizzarla tutta,

come nel caso del disegno qui

a fianco, cliccate sull’ultimo

riquadro e poi su Muovi la

Vista Grafica. A questo punto

posizionatevi sulla

circonferenza e, tenendo

premuto il tasto sinistro del

mouse, trascinate la

circonferenza verso il basso in

modo da visualizzarla tutta.


Una volta ottenuta la

circonferenza, cliccare sul

primo riquadro, poi su

Muovi. Poi spostatevi su

C e, tenendo premuto il

tasto sinistro del mouse,

spostate il vertice dove

volete. Potrete osservare

che la circonferenza

rimane sempre

all’esterno.


Attività per le eccellenze

La retta di Eulero

La Retta di Eulero è la retta passante per l'ortocentro, il baricentro e il circocentro di un

triangolo.

Fate disegnare un triangolo qualsiasi ai vostri studenti e fate trovare loro l'ortocentro, il

baricentro e il circocentro secondo le istruzioni delle Attività precedenti.

Ortocentro

Baricentro

Circocentro


Con il comando

Mostra/nascondi (illustrato a

pag. 3 delle Attività per le

eccellenze - circonferenza

inscritta) nascondete tutte le

altezze, gli assi e le mediane

fino ad ottenere questa figura

in cui appaiono solo i punti

medi e i tre punti notevoli.

Cliccate sul riquadro indicato dalla

freccia e poi su Retta per due

punti. Cliccate sui punti G e H.

Ottenete la retta di Eulero.

Retta di Eulero


Spostate il vertice C e osservate con gli studenti i diversi spostamenti della retta di Eulero e,

ovviamente, dei tre punti notevoli.

Fate trovare agli studenti anche l’incentro e discutete con loro sui risultati ottenuti.


Attività per le eccellenze

Come trovare la circonferenza inscritta in un triangolo

Una caratteristica dell’incentro è di essere equidistante da tutti i lati del triangolo, cioè di

mantenere sempre la stessa distanza da ogni lato. Fate verificare questo ai vostri alunni.

Come?

Innanzitutto ricordate loro il concetto di distanza. Che cosa indica la distanza di un punto da un

segmento? Indica la perpendicolare condotta dal punto alla retta (o al segmento). Quindi,

troviamo nel nostro disegno, le tre perpendicolari che partendo dall’incentro arrivano su

ciascun lato.

Cliccate con il mouse sul riquadro

indicato dalla freccia rossa e poi su

Retta perpendicolare. Cliccate su D e

poi sul segmento a e vi apparirà la

prima perpendicolare. Poi cliccate su D

e poi sul segmento b e vi apparirà la

seconda perpendicolare, infine su D e

sul segmento c.

Individuate i punti di intersezione tra

ciascuna perpendicolare e il lato

corrispondente cliccando su

Intersezione tra due punti. Spostatevi

con il mouse sui punti di intersezione,

cliccateci sopra per individuarli.

Per essere sicuri di esservi posizionati

correttamente sul punto di intersezione,

assicuratevi che vi appaia questo

riquadro.


Per misurare la distanza tra

l’incentro e ciascun lato del

triangolo, cliccate sul riquadro

indicato dalla freccia rossa e poi

su Distanza. Vi appariranno i

valori sia sul disegno che sulla

sinistra.

I valori ovviamente sono identici.

L’incentro è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo. Con l’aiuto di Geogebra,

disegniamo questa circonferenza.

Innanzitutto “puliamo” il disegno, cioè nascondiamo le rette e cancelliamo i valori delle

distanze.

Per cancellare i valori delle distanze sul disegno è

sufficiente posizionarsi sul testo, cliccare sul tasto

destro del mouse e poi su elimina.


Per “nascondere” le rette

cliccare sull’ultimo

riquadro, e poi su

Mostra/nascondi oggetti.

Cliccare su ogni retta (sono

6) finché non diventano

tutte e sei in grassetto e

poi cliccare sul primo

riquadro (freccia rossa). A

questo punto sia le

bisettrici che le

perpendicolari sono

nascoste.


Cliccare sul riquadro indicato dalla

freccia e poi su Circonferenza per

tre punti. Seguire le istruzioni,

cioè cliccare sui punti E, F e G.

Una volta ottenuta la

circonferenza, cliccare sul primo

riquadro, poi su Muovi. Poi

spostatevi su C e, tenendo

premuto il tasto sinistro del

mouse, spostate il vertice dove

volete. Potrete osservare che la

circonferenza rimane sempre

all’interno.

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