algebraIeII-0708

7/30/2019 algebraIeII-0708

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UNIVERSITA DEGLI STUDI DI MILANO

Corsi di laurea in Matematicae in Matematica per le applicazioni

LEZIONI DI ALGEBRA

di V. ZAMBELLI

anno accademico 2007/08

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Questi appunti riportano lo schema delle lezioni dei Corsi di Algebra I e Algebra II tenuti per i Corsi dilaurea in Matematica e in Matematica per le applicazioni.Lo studente puo essere guidato da essi nella lettura di testi di Algebra in cui gli stessi (e altri) argomentisono trattati in modo piu approfondito: ad esempio

P.M.Cohn, Classic Algebra, 2000 John WileyM.Curzio, P.Longobardi, M.Maj, Lezioni di algebra, 1994 LiguoriE.Marchionna, C.Marchionna Tibiletti, Lezioni di algebra, MassonS.Franciosi, F.de Giovanni, Lezioni di Algebra, 1992 AracneP.Quattrocchi, G.Rinaldi, Algebra, 1995 Zanichelli

Lo studente puo trovare utile e interessante la consultazione di testi quali

P.M.Cohn, Algebra Vol.I, 1981; Vol.II, 1989 John WileyM.Artin, Algebra, 1997 Bollati BoringhieriL.Childs, Algebra: unintroduzione concreta, 1989 ETS EditriceR.B.J.T.Allenby, Rings, Fields and Groups, 1982 Edward Arnold

Ogni capitolo si conclude con una serie di TEMI. Per buona parte di essi viene dato qualche suggerimen-to per la risoluzione anche richiamando Proposizioni ed Esercizi che possono talvolta essere applicatidirettamente, talaltra suggerire un procedimento.

Raccolte di esercizi si trovano anche inM.Curzio, P.Longobardi, M.Maj, Esercizi di Algebra, 1994 LiguoriC.Marchionna Tibiletti, V.Zambelli, Esercizi di Algebra, 1993 MassonS.Franciosi, F.de Giovanni, Esercizi di Algebra, 1992 Aracne

R.Ciampi Procesi, R.Rota, Algebra moderna, Esercizi, 1992 ed.VeschiA.Ragusa, C.Sparacino, Esercizi di Algebra, 1992 Zanichelli

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INDICE

I. Numeri interi; divisibilita e fattorizzazione.1. 1. I numeri interi e i numeri naturali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. 1. Principio di induzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. 1. Divisibilita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64. 1. Numeri primi, teorema di fattorizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II. Relazioni di equivalenza e relazioni dordine.1. 1. Relazioni fra insiemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. 1. Relazioni di equivalenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Congruenze aritmetiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. 1. Relazioni dordine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

2. Reticoli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

III. Applicazioni, prodotto di applicazioni.1. 1. Applicazioni fra insiemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Prodotto di applicazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

IV. Strutture algebriche: semigruppi, gruppi, anelli, moduli, algebre, reticoli.Sottostrutture di una struttura algebrica.1. 1. Operazioni e leggi di composizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212. 1. Proprieta associativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. Semigruppi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223. Sottosemigruppi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

3. 1. Elemento neutro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242. Monoidi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. 1. Elemento inverso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252. Gruppi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263. Sottogruppi di un gruppo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5. 1. Proprieta distributiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302. Anelli, corpi, campi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303. Sottoanelli, sottocorpi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334. Lanello (Zn; +, ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345. Anelli di polinomi. Lanello K[x]: divisibilita e fattorizzazione. Radici. . . . . . . 356. Domini a fattorizzazione unica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6. 1. Moduli su un anello; spazi vettoriali. Algebre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .482. Sottomoduli di un A-modulo. Sottoalgebre di una A-algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . 493. Ideali destri e sinistri di un anello. Ideali di una A-algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7. 1. Reticoli come strutture algebriche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522. Reticoli e anelli di Boole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543. Sottoreticoli di un reticolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554. Il reticolo delle sottostrutture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8. 1. Isomorfismo. Automorfismi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569. 1. Prodotto cartesiano di strutture algebriche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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V. Sottostruttura generata da una parte di una struttura algebrica.1. 1. Sottosemigruppo generato da una parte di un semigruppo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

2. 1. Sottogruppo generato da una parte di un gruppo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .722. Gruppi ciclici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733. Prodotto di due sottogruppi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

3. 1. Sottoanello generato da una parte di un anello.Sottoanello fondamentale in un anello dotato di unita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

2. Caratteristica in un anello. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773. Sottocorpo generato da una parte di un corpo.

Sottocorpo minimo.Campo dei quozienti di un dominio dintegrita in un corpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

4. 1. Sottomodulo generato da una parte di un A-modulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

2. Ideali finitamente generati e ideali principali in un anello.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

813. Domini ad ideali principali. Domini euclidei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

VI. Quoziente di una struttura algebrica rispetto ad una congruenza.1. 1. Congruenza in una struttura algebrica.

Struttura quoziente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912. Gli anelli (Z, +, ) e (Q; +, ) come strutture quoziente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .913. Immersione di un dominio di integrita in un campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2. 1. Laterali di un sottogruppo in un gruppo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .932. Teorema di Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943. Sottogruppo normale. Gruppo quoziente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3. 1. Ideali di un anello. Anello quoziente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992. Ideali e anelli quoziente di K[x]. Campi di Galois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1004. 1. A-modulo quoziente. A-algebra quoziente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

VII. Omomorfismo fra strutture algebriche.1. 1. Omomorfismo fra gruppi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1092. 1. Omomorfismo fra anelli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2. Ideali massimali, ideali primi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1143. 1. Omomorfismo di A-moduli e di algebre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

VIII. Prodotto diretto, somma diretta.1. 1. Prodotto diretto di sottogruppi.

Teorema di decomposizione per gruppi abeliani finiti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1242. 1. Somma diretta di ideali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253. 1. Somma diretta di A-sottomoduli e di ideali di unalgebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

IX. Elementi di teoria dei campi.1. 1. Estensioni di campi.

Chiusura algebrica di un campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292. Estensione semplice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2. 1. Campo di spezzamento di un polinomio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1322. Campi finiti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

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I. NUMERI INTERI;DIVISIBILITA E FATTORIZZAZIONE

1.1. I numeri interi e i numeri naturali.

Indicheremo con Z linsieme {0, 1, 2, . . .} dei numeri interi (relativi), con N linsieme{1, 2, . . .} dei numeri naturali e con N0 linsieme N {0}.Linsieme dei numeri naturali verra identificato con linsieme dei numeri interi positivi.

(cfr. IV, 8.1)In Z sono state introdotte le operazioni di addizione e moltiplicazione che godono delleseguenti proprieta:1. laddizione e la moltiplicazione sono associative , ovvero per ogni a,b,c Z si ha

(a + b) + c = a + (b + c)

(a b) c = a (b c);2. laddizione e la moltiplicazione sono commutative, ovvero per ogni a, b Z si ha

a + b = b + a

a b = b a;

3. la moltiplicazione e distributiva rispetto alladdizione, ovvero per ogni a,b,c Z si haa (b + c) = a b + a c;

4. i numeri 0 e 1 sono tali che a + 0 = a e a 1 = a per ogni a Z;5. per ogni a Z esiste a Z tale che a + (a) = 0;6. per ogni a, b Z con a = 0 e b = 0 e a b = 0;7. per a,b,c Z con c = 0 luguaglianza a c = b c implica a = b;8. per a, b Z e a b = 1 se e solo se a = b = 1 o a = b = 1;9. per a,b,c,d Z se a b e c d, allora a + c b + d;10. per a,b,c Z se a b e c > 0, allora a c b c.

2.1. Principio di induzione.

PRINCIPIO DI INDUZIONE A]. Sia S un sottoinsieme di N0 tale che 0 S e tale che,se n S, anche n + 1 S; allora S = N0.Altre formulazioni del Principio di Induzione, equivalenti alla A], sono le seguenti:PRINCIPIO DI INDUZIONE B]. Sia S e un sottoinsieme di N0 tale che 0 S e tale che,se m S per ogni m n, anche n + 1 S; allora S = N0.PRINCIPIO DI INDUZIONE C] Sia S un sottoinsieme di N0 che soddisfa alle seguenticondizioni: i) esiste no N0 tale che no S, ii) se per ogni intero m tale che no m n em S, anche n + 1 S. Allora appartengono ad S tutti gli interi maggiori o uguali ad no.

Se P(n) e un enunciato in cui interviene un intero positivo n, lenunciato puo essere

dimostrato vero per ogni n (se lo e!) facendo induzione su n, ovvero considerandolinsieme S degli interi positivi per i quali P(n) e vero.

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In alcuni casi puo esistere un intero positivo no tale che lenunciato P(n) perde significatoo e falso per n < no; si applichera il Principio di Induzione nella forma C].

Il principio di Induzione e equivalente anche alPRINCIPIO DEL MINIMO. Ogni sottoinsieme non vuoto di N0 ammette elementominimo.

3.1. Algoritmo della divisione.

Teorema 3.1.1. Dati a, b Z con b > 0, esistono e sono univocamente determinati q, r Ztali che

a = bq+ r e 0 r < b(q e r vengono detti rispettivamente quoziente e resto della divisione fra a e b.)

Pera 0 si prova la tesi facendo induzione su a.Sea < 0, postoa = bq+ r con 0 r < b, si haa = b(q) perr = 0 ea = b(q1)+(br)con 0 b r < b per r = 0.

Corollario 3.1.2. Dati a, b Z con b = 0, esistono e sono univocamente determinatiq, r Z tali che a = bq+ r e 0 r < |b|(dove |b| indica il valore assoluto di b).

Esistono q, r Z tali che a = |b|q+ r con 0 r < |b|; se b < 0, a = b(q) + r.

Definizione. Dati a, b Z, diciamo che a divide b (e scriviamo a|b) se e solo se esistec Z tale che b = ac.Definizione. Dati a, b Z, si dice che un intero d Z e massimo comun divisore di ae b (brevemente: d e M.C.D.(a, b)) se e solo se

1) d|a e d|b,2) se c Z e c|a, c|b, allora c|d

Teorema 3.1.3. Siano a, b Z.I] Esiste M.C.D.(a, b) (che si puo determinare con lalgoritmo delle divisioni successivese a e b non sono nulli);

II] se d e M.C.D.(a, b), anche e soltanto d e M.C.D.(a, b);III] se d e M.C.D.(a, b), esistono x, y Z tali che d = ax + by.

I] Se b = 0, a e M.C.D.(a, b).Sia b = 0; esistonoq0, r0 Z tali che a = bq0 + r0 con 0 r0 < |b|.Se r0 = 0, b e M.C.D.(a, b). Se r0 = 0, esistono q1, r1 Z tali che b = r0q1 + r1 con0 r1 < r0.Se r1 = 0, esistono q2, r2 Z tali che r0 = r1q2 + r2 con 0 r2 < r1.Si procede cos con divisioni successive

ri1 = riqi+1 + ri+1 con 0 ri+1 < ri.

Esiste un intero n tale che rn+1 = 0; si verifica che rn e M.C.D.(a, b).II] Se d e M.C.D.(a, b), d e d si dividono a vicenda. Da d = kd e d = hd segue d = khd;se d = 0, e hk = 1 e quindi h = k = 1.III] Per induzione su i si prova che esistonoxi, yi Z tali cheri = axi +byi; essendod = rn,si ha la tesi.

Definizione. Due interi a, b Z\{0} vengono detti primi fra loro o coprimi se ammet-tono come divisori comuni solo +1 e -1 (ovvero se 1 e M.C.D.(a, b)).

Teorema 3.1.4. Due interi a, b Z\{0} sono coprimi se e solo se esistono x.y Z tali che1 = xa + yb. (Identita di Bezout).

Se a e b sono coprimi, la tesi segue da III] del Teorema 3.1.3.

Viceversa, se1 = ax+by e sed eM.C.D.(a, b), alloraa = ad, b = bd e quindi1 = (ax+by)d;ne segue d = 1.

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Esercizio 1. Siano a, b1, b2 Z\{0}; se a divide il prodotto b1b2 e a e primo con b1, allora a divide b2.Esercizio 2. Siano a, b1, b2, . . . , bn Z\{0}; a e primo con ogni bi per i = 1, 2, . . . , n se e solo se a eprimo con il prodotto b1b2 . . . bn. (Induzione su n)

Esercizio 3. Siano a1, a2, . . . , an Z\{0} divisori di un intero b a due a due coprimi; allora anche ilprodotto a1a2 an e un divisore di b. (Per lesercizio precedente basta dimostrare la tesi per n = 2).

4.1 Numeri primi, teorema di fattorizzazione

Definizione. Numero primo e ogni numero naturale p, maggiore di 1, i cui divisoriin N sono solo 1 e p.

Se p e un numero primo ed a un numero naturale, maggiore di 1, p e primo con a se esolo se p non divide a.Tenendo presente lEsercizio 1 in 3.1 si deduce cheTeorema 4.1.1. Sia n un numero naturale, maggiore di 1; n e primo se e solo se, ogniqualvolta n divide un prodotto a1a2 ar con ai N, n divide almeno uno dei fattori ai.

Si faccia induzione su r.

Teorema 4.1.2. Ogni numero naturale a N, maggiore di 1, e primo o puo esserescritto come prodotto di numeri primi; tale scrittura e unica a meno dellordine in cuisi scrivono i fattori.

Si faccia induzione su a; la tesi e vera per a = 2. Sia a > 2; se a non e primo, sara a = bccon 1 < b < a, 1 < c < a. Per induzione b e c sono primi o prodotto di primi e quindi a eprodotto di primi.Sia a = p1p2 pn = p1p2 pm con pi, pj primi per ogni i, j. Poiche p1 divide il prodottop1p

2 pm, p1 divide almeno uno dei fattoripj ; possiamo supporre chep1 dividap1. Essendo

p1 primo, e p1 = p1 e quindi p2 pn = p2 pm. Per induzione segue n = m e, cambiando

eventualmente lordine dei fattori, pi = pi per i = 1, 2, . . . , n.

Corollario 4.1.3.(Euclide) Esistono infiniti numeri primi.Per assurdo supponiamo che linsieme

Pdei numeri primi sia finito; sia

P=

{p1, p2, . . . , pn

}.

Posto a = p1p2 pn + 1, a non e divisibile per alcun pi e questo e assurdo per il Teorema4.1.2.

Esercizio 1. Si mostri che esistono infiniti numeri primi del tipo 4 n 1 con n N. (Si osservi che ilprodotto di due numeri interi del tipo 4n + 1 e un numero dello stesso tipo e che ogni numero primo,diverso da 2, e del tipo 4n + 1 o 4n 1.)Esercizio 2. Si mostri che esistono infiniti numeri primi del tipo 6n 1 con n N.

Dal Teorema 4.1.2 si deduce un teorema di fattorizzazione per gli interi relativi.

Definizione. Intero primo e ogni numero intero del tipo +p o p, dove p e un numeronaturale primo.

Teorema 4.1.4. Ogni numero intero a, diverso da 0, +1,

1, e primo o puo essere scrittocome prodotto di interi primi. Se a = p1 pr = q1 qs con p1, . . . , pr, q1, . . . , q s interi primi,allora e r = s e, cambiando eventualmente lordine dei fattori, pi = qi o pi = qi per ognii = 1, . . . , r.

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II. RELAZIONI DI EQUIVALENZAE RELAZIONI DORDINE

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1. Relazioni fra insiemi.

Definizione. Una relazione (o corrispondenza) da un insieme S ad un insieme T e

un qualunque sottoinsieme

del prodotto cartesianoS

T

.Per indicare che (s, t) (con s S, t T) si usa spesso anche la notazione s t e si diceche la relazione associa allelemento s di S lelemento t di T.Particolari relazioni sono la relazione vuota e la relazione totale.

Esempi.1. Siano S linsieme dei punti e T linsieme delle rette di un piano; sia la relazione cheassocia ad un punto s S una retta t T se e solo se s appartiene a t. Ad ogni elementodi S sono associati dalla piu elementi di T e ogni elemento di T e associato dal la apiu elementi di S.2. Sia la relazione definita da N a N ponendo per n, m N

n m se e solo se m divide propriamente nNe ad 1 ne ad alcun numero primo e associato dalla un elemento di N; per ogni

elemento n N con n = 1 esiste qualche m N tale che mn, ad esempio m = 2n.

Se in particolare linsieme T coincide con linsieme S, si parlera di relazione in S.

Una relazione in un insieme S puo godere di alcune notevoli proprieta:riflessiva: s s per ogni s S;simmetrica: per s, t S se s t, allora t s;transitiva: per s,t,v S se s t e t v, allora s v;antisimmetrica: per s, t S se s t e t s, allora s = t.Osservazioni.1. Una relazione in un insieme S e simmetrica e antisimmetrica se e solo se essa si

riduce alla relazione identica su un sottoinsieme T di S: precisamente T = {x S| esistey S tale che x y}.2. Sia una relazione simmetrica e transitiva; e riflessiva se e solo se per ogni s Sesiste t S tale che st.3. Una relazione in S puo non godere di alcuna delle quattro proprieta sopra citate.Ad esempio in S = {a,b,c} si consideri la relazione definita dal seguente sottoinsieme diS S:

{ (a, a), (a, b), (b, a), (a, c) }Esercizio 1. Nellinsieme S = {a,b,c} si definiscano relazioni che godono di una o piu delle quattroproprieta sopra citate, ma non delle altre.

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2.1. Relazioni di equivalenza.

Definizione. Ogni relazione in un insieme (non vuoto) S, che gode delle proprietariflessiva, simmetrica e transitiva, viene detta relazione di equivalenza in S.

Esempi.1. La relazione identica e la relazione totale in un insieme S sono relazioni di equivalen-za.2. Nellinsieme delle rette del piano (o dello spazio) la relazione che associa ad una rettas una retta t se e solo se t coincide con s o e parallela ad s, e di equivalenza.La relazione che associa ad una retta s una retta t se e solo se t coincide con s o eincidente ad s, e di equivalenza?3. Nel prodotto cartesiano N0N0 e equivalenza la relazione definita da

(m, n) (r, s) se e solo se m + s = r + nper m,n,r,s N0.4. Nel prodotto cartesiano Z(Z\{0}) e equivalenza la relazione definita da

(a, b) (c, d) se e solo se ad = bcper a, c Z e b, d Z\{0}.5. In Z e equivalenza la relazione definita da

a b se e solo se a + b e pariper a, b Z.

Definizione. Sia una relazione di equivalenza in un insieme S e sia a S; linsieme{a} = { x S| a x } viene detto classe di equivalenza rappresentata dallelemento a.Esercizio 1. Per ognuna delle relazioni di equivalenza indicate negli esempi che precedono si indichi daquali elementi e costituita la classe di equivalenza rappresentata da un dato elemento.

Proposizione 2.1.1. Sia una relazione di equivalenza in un insieme S.

1] Per ogni a S si ha a {a}.2] Per ogni a, b S sono tra loro equivalenti le condizioni seguenti:i) a b;

ii) {a} = {b}.iii) {a} {b} = ;

Le classi di equivalenza di in S costituiscono pertanto una partizione di S, cioe unacollezione di sottoinsiemi non vuoti di S tale che ogni elemento di S appartiene ad unoe uno soltanto di tali sottoinsiemi.

1] E a {a} poiche e a a.2] i) = ii). Siax {b}; da a b e b x segue a x e quindi x {a}. Essendo anche b a,allo stesso modo si prova che, se y {a}, allora y {b}.ii) = iii). Ovvio.iii) = i). Sia c {a} {b} ovvero a c e b c; allora c b per la proprieta simmetrica equindi a b per la proprieta transitiva.

Viceversa, si verifica facilmente la Proposizione che segue.Proposizione 2.1.2. Siano {Xi}iI una partizione di un insieme S e la relazione in Sdefinita da

a b se e solo se a, b Xi per qualche i I; e una relazione di equivalenza, le cui classi di equivalenza sono i sottoinsiemi Xi.

Definizione. Sia e una relazione di equivalenza in un insieme S: linsieme, i cuielementi sono le classi di equivalenza di , viene detto insieme quoziente di S rispettoa e verra indicato con S

o con S/.

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2.2. Congruenze aritmetiche.

Sia n un intero fissato; sia n la relazione definita in Z ponendo per a, b Za n b se e solo se n divide b a

Per n = 0 e per n = 1 la relazione n si riduce rispettivamente alla relazione identica ealla relazione totale; inoltre la relazione n coincide con la relazione n. Pertanto si

supporra sempre n 2.La relazione n e una relazione di equivalenza che viene detta congruenza modulo n.Per essa si usa anche la notazione a b (mod n) al posto di a n b.Per a Z la classe di equivalenza a cui appartiene a viene solitamente indicata con ilsimbolo [a]n o con il simbolo {a}n; la classe [a]n e costituita da tutti e soli gli interi deltipo a + kn che si ottengono al variare di k in Z.Le classi di equivalenza della relazione n vengono dette classi di resti modulo n esono esattamente [0]n, [1]n, . . . , [n 1]n: infatti per a, b Z, posto a = q1n + r1, b = q2n + r2 con0 ri < n, e a n b se e solo se r1 = r2.Linsieme delle classi di resti modulo n verra indicato con Zn.

Proposizione 2.2.1.

1] Per a,b,c,d Z se a n b e c n d, allora a + c n b + d e ac n bd.2] Se k Z e primo con n e ka n kb, allora a n b.1] Se b = a + hn,d = c + kn con h, k Z, allora b + d = (a + c) + (h + k)n e bd =ac + (ak + ch + hkn)n con h + k,ak + ch + hkn Z.2] Sia k(b a) = kb ka = hn con h Z; se n e primo con k, n divide b a. (cfr. I, 3.1Esercizio1)

Esercizio 1. Mostrare che la congruenza modulo 2 coincide con la relazione definita nellEsempio 5 in2.1.

Esercizio 2. Sia a Z ; si provi che esiste qualche x Z tale che sia ax n 1 se e solo se a e primo conn. Si mostri che in tal caso gli interi x cosiffatti costituiscono una classe di resti mod n.

Esercizio 3. Siano n1, n2, . . . , nr interi positivi a due a due coprimi; per a1, a2, . . . , ar Z esiste qualchex

Z tale che sia x

ni ai per ogni i.(Teorema cinese dei resti)

Definizione. Sia n un intero positivo; si indica con (n) il numero degli interi t, primicon n, tali che 1 t n. viene detta funzione di Eulero.Teorema 2.2.2 (Eulero, 1707-1783) Sia n un intero positivo; per ogni intero a, primocon n, si ha a(n) n 1 .Caso particolare del Teorema di Eulero e ilTeorema 2.2.3 (Fermat, 1601-1665) Sia p un numero primo; per ogni intero a si haap p a.I Teoremi di Eulero e di Fermat potranno essere provati piu avanti come conseguenza diIV, 5.2 Esercizio 2, di IV Proposizione 5.4.1 e di VI Corollario 2.2.2.

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3.1. Relazioni dordine.

Definizione. Ogni relazione in un insieme (non vuoto) S, che gode delle proprietariflessiva, transitiva e antisimmetrica, viene detta relazione dordine in S.

Spesso per indicare relazioni dordine si usano simboli del tipo , , .Un insieme S, in cui e definita una relazione dordine , verra indicato con (S, ) e verradetto insieme ordinato o parzialmente ordinato rispetto alla .Definizione. Una relazione dordine in un insieme S verra detta totale se e solo seper ogni a, b S si ha a b o b a (due qualsiansi elementi di S sono confrontabili); intal caso linsieme S verra detto totalmente (o linearmente) ordinato rispetto alla .Un insieme totalmente ordinato viene spesso detto anche catena.

Esempi.1. In N0 la relazione definita ponendo per a, b N0

a b se e solo se c N0 tale che b = a + ce una relazione dordine totale e ci fornisce lusuale ordinamento dellinsieme dei numeri

naturali.2. In N0 la relazione definita ponendo per a, b N0

a b se e solo se c N0 tale che b = ace una relazione dordine non totale.3. NellinsiemeP(X) delle parti di un insiemeX la relazione diinclusione insiemisticadefinita ponendo per A, B P(X)

A B se e solo se A Be una relazione dordine (non totale, se X possiede almeno due elementi distinti).

Se un insieme S e ordinato rispetto ad una relazione , S e anche ordinato rispetto allarelazione duale definita ponendo a b se e solo se b a per ogni a, b S.

Definizione. Siano (S, ) un insieme ordinato e T un sottoinsieme non vuoto di S:minorante di T e un qualunque elemento k S tale che k t per ogni t T;minimale in T e un elemento t T per cui non esiste alcun t T , t = t tale chesia t t;minimo in T e un elemento m T tale che m t per ogni t T.

Considerando in S la relazione dordine duale si introducono i concetti di maggiorante,massimale, massimo di T.Definizione. Siano (S, ) un insieme ordinato e T un sottoinsieme non vuoto di S:

maggiorante di T e un qualunque elemento k S tale che t k per ogni t T;massimale in T e un elemento t T per cui non esiste alcun t T , t = t tale chesia t t;massimo in T e un elemento m

T tale che t

m per ogni t

T.

E importante osservare che un sottoinsieme T di un insieme ordinato S puo non possedereelementi del tipo sopra definito.Ad esempio, si consideri N0 ordinato rispetto alla relazione definita nellEsempio 2.Il sottoinsieme T di N0, costituito dai numeri primi non ha minimo e ammette comeminorante soltanto 1; ogni suo elemento e minimale. Il sottoinsieme V = {6, 12, 18, 24} haminimo 6, ma non ha massimo; V ammette come minoranti 1, 2, 3, 6 e come maggiorantitutti i multipli di 72. Il sottoinsieme W = {2n | n N } non ammette elementi massimali;0 e lunico maggiorante di W.

Ricordiamo il seguenteAssioma o Lemma di Zorn. Sia (S; ) un insieme ordinato; se ogni sottoinsieme di S,

totalmente ordinato rispetto alla , ammette un maggiorante, allora esiste in S qualcheelemento massimale.

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Definizione. Siano (S, ) un insieme ordinato e T un sottoinsieme non vuoto di S;si chiama massimo minorante o estremo inferiore di T il massimo (se esiste)dellinsieme (se non e vuoto) dei minoranti di T; si chiama minimo maggioranteo estremo superiore di T il minimo dei maggioranti di T. Essi vengono indicati rispet-tivamente con infT e sup T.

Osservazioni. Siano (S; ) un insieme ordinato e T un sottoinsieme di S.1. Se T ha minimo (massimo) m, allora m e lunico elemento minimale (rispettivamente,massimale) di T e anche m =infT (risp. m =sup T).2. Se T possiede un unico elemento minimale (massimale) t, non e detto che t siaminimo (risp. massimo) di T. Ad esempio si puo considerare nellinsieme S dellEsercizio1 che segue il sottoinsieme T = {2n, 5, 1/5 | n Z}: 1/5 e lunico elemento minimale (manon e minimo!) di T e 5 e lunico elemento massimale (ma non e massimo!) di T.

Proposizione 3.1.1. Sia S un insieme ordinato tale che per ogni sottoinsieme nonvuoto T di S esiste infT. Certamente S ha minimo, ma puo non avere massimo; se S hamassimo, allora per ogni sottoinsieme non vuoto T di S esiste sup T.

Lelemento infS e minimo di S.Se S ha massimo m, per ogni sottoinsiemeT linsieme W dei maggioranti di T non e vuoto,

poiche m W; esiste pertanto infW. Per ogni t T e per ogni w W e t w; t e unminorante di W e quindi t infW. Ne segue che infW e un maggiorante di T e quindiinfW W; allora infW e il minimo di W, ovvero infW = sup T.

3.2. Reticoli.

Definizione. Un insieme ordinato (S, ), in cui esistono inf{a, b} e sup {a, b} per ognia, b S, viene detto reticolo.Gli insiemi ordinati considerati in 3.1 negli Esempi 1,2,3 sono reticoli.Linsieme costituito dai dischi del piano e dallinsieme vuoto, ordinato rispetto allin-clusione insiemistica, non e un reticolo.Ogni insieme totalmente ordinato e un reticolo.

Esercizio 1. Nellinsieme S dei numeri razionali positivi si consideri la relazione definita ponendo pera, b S

a b se e solo se n N tale che b = na;si mostri che (S, ) e un reticolo.Esercizio 2. Nellinsieme S dei numeri reali positivi si consideri la relazione definita ponendo pera, b S

a b se e solo se n N tale che b = na;si mostri che S e ordinato rispetto alla , ma non e un reticolo.Esercizio 3. Ogni insieme ordinato finito ammette elementi massimali ed elementi minimali; ogni reticolofinito possiede massimo e minimo.

Esercizio 4. Se un reticolo ammette un elemento minimale (massimale), allora ammette minimo (mas-

simo).Esercizio 5. Sia (S; ) un insieme ordinato.Per s1, s2 S si scriva s1 < s2 per indicare che s1 s2 con s1 = s2.Sia T = S S = {(a, b) | a, b S}; si definisca in T una relazione ponendo per (a, b), (c, d) T

(a, b) (c, d) se e solo se e a < c oppure a = c e b d.Si verifichi quanto segue.

I] e una relazione dordine in T.II] (T; ) e totalmente ordinato se e solo se (S; ) e totalmente ordinato.

III] Sia (S; ) non totalmente ordinato; (T; ) e reticolo se e solo se (S; ) e reticolo dotato di massimoe di minimo.

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TEMI II.

1. Sia n un intero maggiore di 1 e sia p il minimo primo che divide n. Si mostri cheI] M.C.D.(p 1, n) = 1;

II] p non divide 2n 1 (e quindi n non divide 2n 1).Sugg. I] Se d =M.C.D.(p

1, n)

= 1, esiste un primo q che divide d.

II] Proposizione 2.2.1. Per p = 2 e 2p1 1 (modp); se fosse anche 2n 1 (modp), da1 = xn + y(p 1) conx, y Z si dedurrebbe un assurdo.

2. Nellinsieme Q+ dellinsieme dei numeri razionali positivi si consideri la relazione definita ponendoa b se e solo se esiste n N0 tale che 2n(a b) Z

Si verifichi che e una relazione di equivalenza e si mostri chei) se p e un numero primo dispari, le classi di equivalenza { 1

p}, { 1p2 }, . . ., { 1pr }, . . ., (con r N) sono

distinte;ii) se p e q sono primi distinti, per ogni r, s N le due classi { 1

pr} e { 1qs } sono distinte.

Le classi {12}, { 122 }, . . ., { 12r }, . . . sono distinte tra loro?

Sugg. Proposizione 2.1.1; 1pr

1ps

conr

s se e solo se esistono n

N0 et

Z tali che2n(psr

1) = tps,

assurdo per r = s, I Teorema 4.1.1.

3. Sia X = {x = 2r3s | r, s N }; per x1, x2 X si ponga x1 x2 se e solo se esiste n N tale chex2 = x

n1 .

i) Si verifichi che, rispetto alla relazione sopra definita, X e un insieme ordinato, non totalmenteordinato.

ii) Si mostri che (X; ) possiede elementi minimali, ma non possiede minimo.iii) (X; ) possiede elementi massimali?iv) (X; ) e un reticolo?

Sugg. i) 22 3 e 2 32 non sono confrontabili.ii) Se 1 =M.C.D.(r, s), lelemento 2r3s e minimale; 3.1 Osservazioni.

iv) Linsieme {22

3, 2 32

} non ammette ne maggioranti ne minoranti.4. In N si definisca una relazione ponendo ab se e solo se a e b hanno lo stesso numero di cifre e a b(dove a b indica lusuale ordinamento in N) ; si provi che e una relazione dordine.(N, ) e totalmente ordinato? Ammette minimo o massimo? Quali sono gli elementi minimali e glielementi massimali? E un reticolo?

Sugg. 1 e 10 non sono confrontabili.1, 10 sono elementi minimali; 9, 99 sono elementi massimali.3.2 Esercizio 4.

5. Si scriva ogni n N nella forma n = 5rk con r N0, k N e M.C.D.(5, k) = 1.Si considerino le relazioni e definite in N ponendo

(5rk) (5sh) se e solo se r + s e pari(5rk) (5sh) se e solo se 5rk = 5sh oppure r < s.

I] Si mostri che e una relazione di equivalenza e se ne determinino le classi di equivalenza distinte.

II] Si verifichi che (N, ) e un insieme ordinato, non totalmente ordinato. (N, ) e un reticolo?Si mostri chei) ogni sottoinsieme Y di N ammette elementi minimali, mentre esistono sottoinsiemi di N privi di

elementi massimali;ii) un sottoinsieme non vuoto Y di N ammette minoranti se e solo se in Y esiste al piu un numero

non divisibile per 5;iii) un sottoinsieme Y di N e privo di maggioranti se e solo se per ogni r N0 esiste in Y qualche

numero divisibile per 5r.III] Esistono sottoinsiemi non vuoti di N dotati di minimo? dotati di massimo?

Esistono sottoinsiemi non vuoti di N privi di minimo? privi di massimo?

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6. Sia (L; ) un reticolo; per ogni a, b L con a b si ponga Xa,b = {x L | a =inf{b, x} }.Si osservi che Xa,b non e vuoto e ammette minimo.

I] Si provi che, se (L; ) e il reticolo costituito dalle parti di un insieme non vuoto Srispetto allinclusioneinsiemistica, ogni insieme Xa,b ammette massimo.

II] Si mostri con esempi che possono esistere a, b L tali che Xa,b non ha massimo sia nel caso L finitoche nel caso L infinito.

Sugg. I] Per A B S si consideri A (S B).II] Si consideri il diagramma di Hasse

3,2 Esercizio 1.

7. Siano (S, ) un insieme parzialmente ordinato ed R una relazione di equivalenza in S. Nellinsiemequoziente SR si consideri la relazione definita ponendo

[x]R

[y]R

se e solo se esiste y

[y]R

tale che a

y per ogni a

[x]R

.Si provi quanto segue.

I] e antisimmetrica e transitiva;II] sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni:

i) e riflessiva,ii) per ogni x S la classe [x]R ammette massimo rispetto alla relazione definita in S,

iii) per ogni x, y S e [x]R [y]R se per ogni a [x]R esiste b [y]R (b dipendente eventualmenteda a) tale che a b.

8. Sia una relazione simmetrica in un insieme X; per ogni x X esista y X tale che xy. Si definiscain X una relazione ponendo per x1, x2 X

x1x2 se e solo se esistono y0, y1, . . . , yn X tali che x1 = y0, x2 = yn, yiyi+1 per 0 i n 1I] Si verifichi che e una relazione di equivalenza in X.

II] In X=N\{1} si consideri la relazione simmetrica definita da ab se e solo se M.C.D.(a, b) = 1: qualisono le classi di equivalenza della corrispondente relazione ?

9. Siano (S; ) un insieme parzialmente ordinato ed R una relazione di equivalenza in S. Nellinsiemequoziente SR si consideri la relazione definita ponendo

[x]R [y]R se e solo se per ogni a [x]R esiste b [y]R tale che a b.Si provi quanto segue.

I] e riflessiva e transitiva;II] se S e finito, e antisimmetrica;

III] per S= Z e ordinamento naturale, si puo scegliere la relazione R in modo che non sia antisim-metrica;

IV] condizione sufficiente affinche sia antisimmetrica e che per x, y

S da x

y

z e xR

z segua xR

y.Mostrare che la condizione non e necessaria.

10. Sia Sun insieme non vuoto; per ogni A, B P(S) si ponga AB = (AB)\(AB) = (A\B)(B\A).Fissato K P(S), si definisca in P(S) la relazione ponendo per X1, X2 P(S)

X1 X2 se e solo se KX1 KX2.Si provi quanto segue.

I] (P(S), ) e un insieme ordinato, dotato di massimo e di minimo.II] Se K e linsieme vuoto, la relazione coincide con la relazione ; se K = S, la relazione coincide

con la relazione .III] Se K e un sottoinsieme proprio di S, allora (P(S), ) non e totalmente ordinato.IV] (P(S); ) e totalmente ordinato se e solo se S e costituito da un solo elemento.

11. Sia R linsieme di tutte le relazioni in un insieme non vuoto S; per 1, 2 R si ponga

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1 2 se e solo se x1y implica x2y (per x, y S)I] Si verifichi che e relazione dordine in R e che (R; ) e un reticolo.

II] Detto Elinsieme delle relazioni di equivalenza in S, si mostri che Ee un sottoreticolo di (R; ) se esolo se S possiede al piu due elementi.

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III. APPLICAZIONI

PRODOTTO DI APPLICAZIONI

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1.1. Applicazioni fra insiemi.

Definizione. Siano S e T due insiemi non vuoti; una applicazione da S a T e unarelazione da S a T che associa ad ogni elemento s S un elemento t T, univocamentedeterminato da s.

Linsieme delle applicazioni da un insieme S ad un insieme T viene indicato con TS.

Una applicazione f da S a T viene solitamente indicata con f : S T.Se allelemento s

S la f associa lelemento t

T, si usa scrivere t = f(s) (o anche t = sf

o t = sf) e dire che t e immagine di s e s e retroimmagine o controimmagine di tnella f.Se X e un sottoinsieme di S, si indica con f(X) linsieme {f(x) | x X}; se Y e un sottoin-sieme di T, si indica con f1(Y) linsieme {w S| f(w) Y}. Se X S, allora f1[f(X)] X;se Y T, allora f[f1(Y)] Y.Osservazione. Sia S linsieme dei numeri razionali positivi; la relazione da S a N cheassocia ad r/s (con r, s N) il numero naturale r + s non e una applicazione da S a N,mentre lo e la relazione che associa ad r/s il numero naturale (r + s)/M.C.D.(r, s).

Esercizio 1. La relazione in Zn, definita da [a]n [(1)aa]n, e una applicazione da Zn a Zn se e solose n e pari.

Definizione. Si dice che una applicazione f : S T esuriettiva se per ogni t T esiste almeno un s S tale che f(s) = t;iniettiva se per ogni t T esiste al piu un s S tale che f(s) = t;

(ovvero se da f(s1) = f(s2) con s1, s2 S segue s1 = s2);biiettiva se e suriettiva e iniettiva.

La relazione identica in un insieme S e una applicazione biiettiva da S a S; essa vienedetta applicazione identica su S e indicata con IS o 1S.Se S e T sono finiti e sono costituiti dallo stesso numero di elementi, unapplicazionef : S T e iniettiva se e solo se e suriettiva.Esempio 1.f: ZZ con f(2a) = f(2a + 1) = a per ogni a Z e suriettiva, non iniettiva;f: Z

Z con f(a) = 2a per ogni a

Z e iniettiva, non suriettiva;

f: ZZ con f(a) = |a| per ogni a Z non e iniettiva ne suriettiva;f: ZZ con f(a) = a + 2 per ogni a Z e biiettiva.Esercizio 2. Sia f: Zn Zn lapplicazione definita da f([a]n) = [ra]n, dove r e un intero fissato. Siprovi che sono tra loro equivalenti le condizioni seguenti:

i) r e primo con n;ii) f e iniettiva;

iii) f e suriettiva.

Esercizio 3. Sia f : S T una applicazione; si provi cheI] f e iniettiva se e solo se per ogni sottoinsieme X di S e f1(f(X)) = X;

II] f e suriettiva se e solo se per ogni sottoinsieme Y di T e f(f1(Y)) = Y.Esercizio 4.

i) Si verifichi che esiste una applicazione biiettiva tra Z e linsieme quoziente (N0N0)/ con definitain II.2.1 Esempio 3.

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ii) Si verifichi che esiste unapplicazione biiettiva tra Q e linsieme quoziente (Z (Z\{0}))/ con definita in II.2.1 Esempio 4.

Definizione. Sia f : S T una applicazione biiettiva; viene detta inversa della flapplicazione f1 : T S definita ponendo per t T, s S

f1(t) = s se e solo se f(s) = tEsempio 2. Se f: Z9 Z9 e lapplicazione biiettiva (cfr.Esercizio 2) definita da f([a]9) =[2a]9, f1 e lapplicazione da Z9 a Z9 definita da f1([a]9) = [5a]9.Esercizio 5. Sia f lapplicazione da Z a Z definita ponendo per ogni x Z

f(x) =

(1)x+1x, se x < 0;(1)xx + 1, se x 0.

Si verifichi che f e biiettiva e si determini f1.

1.2. Prodotto di applicazioni.

Definizione. Siano S , T , V insiemi e f : S T, g : T V applicazioni; si chiama prodotto

delle applicazionif

eg

la relazione

daS

aV

definita das v

(cons

S

,v

V

) se esolo se v = g[f(s)].Si provano facilmente le Proposizioni che seguono.Proposizione 1.2.1. Il prodotto di due applicazioni f : S T e g : T V e unaapplicazione da S a V, che verra indicata con f g o con g f.Proposizione 1.2.2. Sia f : S T unapplicazione; allora

i) ISf = f = f IT;ii) se f e biiettiva, e f f1 = IS e f1f = IT.

Proposizione 1.2.3. Siano f : S T, g : T V, h : V W applicazioni; sono definiti iprodotti f g, (f g)h,gh,f(gh) e sussiste luguaglianza (f g)h = f(gh).

Proposizione 1.2.4. Siano f : S

T, g : T

V applicazioni; allora

I]i) se f e g sono iniettive, f g e iniettiva;ii) se f e g sono suriettive, f g e suriettiva;iii) se f e g sono biiettive, f g e biiettiva.

II]i) se f g e iniettiva, f e iniettiva;ii) se f g e suriettiva, g e suriettiva;

iii) se f g e biiettiva, f e iniettiva e g e suriettiva.

Esercizio 1. Sia f : S T unapplicazione;i) f e iniettiva se e solo se esiste unapplicazione g : T S tale che f g = IS;

ii) f e suriettiva se e solo se esiste unapplicazione h : T S tale che hf = IT;iii) f e biiettiva se e solo se esiste unapplicazione k : T S tale che f k = IS e kf = IT.

Esercizio 2. Sia S un insieme con almeno due elementi e sia f unapplicazione di S in se. Si mostri chesono tra loro equivalenti le condizioni che seguono:

i) f e biiettiva;ii) esiste una ed una sola applicazione g di S in se tale che f g = IS;

iii) esiste una ed una sola applicazione h di S in se tale che hf = IS.

Esercizio 3. Siano f, g le applicazioni di Q in se definite da

f(x) =

4x + 1 per x 0,x per x < 0

g(x) =

x + 1 per x 0,2x + 2 per x < 0.

Si mostri che f g e biiettiva, mentre gf non e ne iniettiva ne suriettiva.Lapplicazione f e iniettiva? e suriettiva?

Lapplicazione g e iniettiva? e suriettiva?

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TEMI III.

1. Sia S un insieme; siano f e g due applicazioni da S a S tali che f g = IS (IS identita su S).Si provi che

I] f e iniettiva;II] se linsieme S e finito, allora e anche gf = IS;

III] se linsieme S e infinito, puo essere f g = IS e gf = IS.Sugg. I] Proposizione 1.2.4

II] f e biiettiva, esiste f1; Proposizione 1.2.2III] Esempio: S =N0; f(n) = n + 1 per ogni n N0; g(0) = 0, g(n) = n 1 per ogni n N

2. Sia n un intero relativo fissato; sia n lapplicazione da Z a Z definita da

n(x) =

nx se x 0;x se x < 0, x dispari;x/2 se x < 0, x pari

.Si provi che n e iniettiva se e solo se n e un intero positivo pari e che n e biiettiva se e solo se n = 2.

Sugg. Se n < 0, n(1) = n(2n); se n > 0 e n dispari, n(1) = n(n).3. Sia r un intero fissato; si consideri la relazione r fra Z75 e Z90 definita ponendo per a, b Z

[a]75 r [b]90 se e solo se b = ra

I] Si determinino i valori di r per i quali r e una applicazione da Z75 a Z90.II] Fra tali valori di r ne esistono alcuni per i quali r e suriettiva o iniettiva?

Sugg. I] Se [a]75 = [a]75, deve essere [ra]90 = [ra]90

II] r([15]75) = r([0]75) con [15]75 = [0]75.

4. Siano X e Y due insiemi non vuoti; sia f : X Y una applicazione.Si provi che un insieme T puo essere messo in corrispondenza biunivoca con f(X) se e solo se esistonodue applicazioni : X T suriettiva e : T Y iniettiva tali che f = .Sugg. f : X f(X) e suriettiva; Proposizione 1.2.4

Se : T f(X) e biiettiva, = f 1 e suriettiva.Se f = , e f(X) = [(X)] = (T); : T f(X) e biiettiva.

5. Sia f : X Y unapplicazione da un insieme X ad un insieme Y.I] Si provi che sono tra loro equivalenti le condizioni

a) f e suriettiva;b) per ogni sottoinsieme T di X e f(X T) Y f(T);c) esiste V X tale che f(X V) Y f(V).

II] Si provi che sono tra loro equivalenti le condizioni

h) f e iniettiva;k) per ogni sottoinsieme T di X e f(X T) Y f(T).

III] Si mostri che non sono tra loro equivalenti le condizionih) f e iniettiva;l) esiste V X tale che f(X V) Y f(V).

Sugg. I] c) a): per ogni y Y, e y f(V) f(X) o y Y f(V) f(X V) f(X).II] k) h) Se f(x1) = f(x2) conX1 = x2,per T = {x1} si haf(x2) f(X T) e f(x2) Y f(T).III] per y Y e V = {v X| f(v) = y} e soddisfatta la condizione l) anche se f non e iniettiva.

6. Siano e applicazioni da N a N definite da

(x) = x + 1, se x e dispari;

x 1, se x e pari e x 10;x, se x = 2, 4, 6, 8.

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(x) =

1, se x = 1;x 1, se x e dispari e x = 1;x + 1, se x e pari.

Si provi cheI] non e ne iniettiva ne suriettiva;

II] e biiettiva;III] = ;IV] e non sono ne iniettive ne suriettive.

Sugg. I] (1) = 2 = (2); 3 (N)IV] Proposizione 1.2.4.

7. Si considerino le applicazioni f, g : Q Q definite come segue:

f(x) =

x 1, per x 0;2 x, per 0 < x < 2 ;x + 1, per x 2;

g(x) = x + 1, per x 0;2

x, per 0 < x < 2 ;

x 1, per x 2.I] Si costruisca lapplicazione f g.

II] Si stabilisca se le applicazioni f g, f, g sono iniettive e/o suriettive.III] Si stabilisca se lapplicazione gf e suriettiva e/o iniettiva.

Sugg. I] f g = IQII] Proposizione 1.2.4: f iniettiva, g suriettiva. 0 f(Q), g(0) = g(2).III] Proposizione 1.2.4.

8. Sia f : S T unapplicazione da un insieme S ad un insieme T. Si provi che f e suriettiva se e solose e cancellabile a sinistra rispetto al prodotto di applicazioni (i.e. se g, h sono applicazioni dallinsiemeT ad un insieme V tali che f g = f h, allora g = h).Si mostri con qualche esempio che, se f e suriettiva, puo non essere cancellabile a destra.

Sugg. 1.2 Esercizio 1, ii).

9. Sia f : X X unapplicazione di un insieme X in se.Si provi quanto segue.1) f, vista come relazione in X, e riflessiva se e solo se e f = IX .2) f, vista come relazione in X, e simmetrica se e solo se e f2 = IX .3) f, vista come relazione in X, e antisimmetrica se e solo se per ogni x X tale che sia x = f2(x) e

anche x = f(x).4) f, vista come relazione in X, e transitiva se e solo se e f2 = f.

Si provi quindi che, se f = IX , allorai) se f e transitiva, f non e ne iniettiva ne suriettiva;

ii) se f e simmetrica, f e biiettiva, ma non vale il viceversa;iii) se f e antisimmetrica, f puo essere iniettiva o suriettiva, ma puo anche non esserlo.

10. Siano m, n interi maggiori di 1; si considerino gli insiemi Zm e Zn delle classi di resti mod m e mod nrispettivamente. Sia G = { ([a]m, [b]n) | a, b Z}.Fissato r N, si consideri lapplicazione fr : G G definita ponendo per ogni a, b Z

fr : ([a]m, [b]n) ([ra]m, [rb]n)Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni:

i) M.C.D.(r,mn) = 1;ii) M.C.D.(r, m) =M.C.D.(r, n) = 1;

iii) lapplicazione fr e biiettiva.

Sugg. ii)

iii) II, Proposizione 2.2.1,2]iii) ii) Se d =M.C.D.(r, m) = 1 e m = dm, allora f(([m]m, [0]n)) = f(([0]m, [0]n)).

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11. Si definisca in Q una relazione ponendo per a, b Qa b se e solo se a b Z

Si verifichi cheI] e una relazione di equivalenza;

II] esiste una applicazione biiettiva tra linsieme quoziente Q/ e linsieme delle radici complessedellunita.

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IV. STRUTTURE ALGEBRICHE: GRUPPI, ANELLI, MODULI.

SOTTOSTRUTTURE DI UNA STRUTTURA ALGEBRICA.

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1.1. Operazioni e leggi di composizione.

Definizione. Siano S , T , V tre insiemi non vuoti; si chiama legge di composizione(binaria) fra S e T con risultato in V una applicazione f da S T a V. Piu in generale sichiama operazione fra S e T con risultato in V unapplicazione f da un sottoinsieme diS T a V.Per indicare che v = f((s, t)) con v

V, s

S, t

T si preferisce usare notazioni del tipo

v = s t oppure v = s t, ecc.Per S = T = V si parla di operazioni e leggi di composizione interne.

Esempi.1. Laddizione e la moltiplicazione sono leggi di composizione in N0 , Z, Q , R , C. Lasottrazione e operazione in N0 e legge di composizione in Z. La divisione e operazione inZ e in Q ed e legge di composizione in Q\{0}.2. In N0 la legge definita da a b=M.C.D.(a, b) e legge di composizione.3. In N0 la legge definita da a b = m.c.m.(a, b) e legge di composizione.4. Nellinsieme dei punti dello spazio e legge di composizione quella definita da A B = Cse A = B e il punto C e il simmetrico di A rispetto a B oppure se A = B = C.

5. Nellinsieme dei punti dello spazio e legge di composizione quella definita da AB = Cse C e il punto medio del segmento AB.6. Nellinsieme XX delle applicazioni di un insieme X in se stesso il prodotto di appli-cazioni e legge di composizione.7. In un reticolo (R; ) sono definite due leggi di composizione e ponendo ab =inf{a, b}e a b =sup{a, b} per ogni a, b R.

Una legge di composizione in un insieme finito S = {s1, s2, . . . , sn} puo essere indicata dauna tavola di composizione: si scrivera

s1 s2 . . . sn

s1 s11 s12 . . . s1n

s2 s21 s22 . . . s2n. . . . . . . . . . . . . . .sn sn1 sn2 . . . snn

dove sij = si sj per ogni i, j {1, 2, . . . , n}.

Gli Esempi mostrano che unoperazione in un insieme S puo non essere commutativa.Definizione. Unoperazione in un insieme S viene detta commutativa se per ognia, b S per cui e definito a b e definito anche b a ed e a b = b a.Esercizio 1. Nellinsieme XX (delle applicazioni di un insieme X in se) il prodotto e commutativo se esolo se X e costituito da un solo elemento.

Il termine struttura algebrica indica un insieme S in cui sono definite una o piuoperazioni , , . . .; essa verra indicata con (S; , , . . .).

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2.1. Proprieta associativa.

Definizione. Sia unoperazione in un insieme S; si dice che e associativa se perogni a,b,c S per cui sono definiti a b e (a b) c sono definiti anche b c e a (b c) ed e(a b) c = a (b c).Fra gli esempi dati in 1.1 sono associative le operazioni 2, 3 e 6.

Teorema 2.1.1. Se e una legge di composizione associativa in un insieme S, scelticomunque n elementi s1, s2, . . . , sn S (n 3), coincidono tutti i prodotti che con questielementi si possono costruire associandoli diversamente, ma nellordine dato.(Ad esempio, per n = 4 si ha [(s1 s2) s3] s4 = (s1 s2) (s3 s4) = s1 [s2 (s3 s4)] =s1 [(s2 s3) s4] = [s1 (s2 s3)] s4.)

Proviamo la tesi facendo induzione su n; per ipotesi la tesi e vera per n = 3.Sia n > 3; proviamo che ogni prodotto p coincide con lelemento{[(s1 s2) s3] } sn.Sara p = p1 p2, dove p1 e un prodotto costruito associando in qualche modo s1, s2, . . . , sre p2 e un prodotto costruito associando sr+1, . . . , sn (con 1 r n 1).Se r n 2, per lipotesi di induzione sara p2 = p3 sn, dove p3 e un prodotto susr+1, . . . , sn1 o p3 = sn1 per r = n 2; allora p = p1 (p3 sn) = (p1 p3) sn.Se r = n 1, sara p2 = sn e p = p1 sn.In ogni caso sara p = p sn, dove p e un prodotto costruito associando s1, s2, . . . , sn1;per lipotesi di induzione sara p = [(s1 s2) ] sn1 e da cio segue la tesi.

Se e associativa, e lecito quindi scrivere s1 s2 sn.OsservazioneLoperazione definita in N0 ponendo a b =M.C.D.(a, b) e associativa; pertanto restadefinito anche M.C.D.(a1, a2, . . . , ar) comunque si scelgano r 2 e a1, a2, . . . , ar N0. Siprova (per induzione su r) che, se d =M.C.D.(a1, a2, . . . , ar), esistono x1, x2, . . . , xr Z tali ched = x1a1 + x2a2 + + xrar.

2.2. Semigruppi.

Definizione. Sia S un insieme (non vuoto) in cui e definita una legge di composizione; se la e associativa, la struttura (S; ) viene detta semigruppo.

Esempi.1. N0, Z, Q, R, C sono semigruppi tanto rispetto alladdizione quanto rispetto allamoltiplicazione; (Z, -) non e un semigruppo.2. SeX e un insieme non vuoto, XX e un semigruppo rispetto al prodotto di applicazioni.(cfr. III, Proposizione 1.2.3)3. Se (R; ) e un reticolo, (R; ) e (R; ) sono semigruppi (dove e sono definiti comein 1.1 Esempio 7).

Definizione. Sia (S; ) un semigruppo; si definiscono per induzione le potenze di unelemento s S con esponente intero positivo ponendo per ogni s S

s1 = s e sn+1 = sn s

Proposizione 2.2.1. Sia (S; ) un semigruppo; per ogni s S e per ogni m, n N si hasm sn = sm+n e (sm)n = smn

Induzione su n. Pern = 1 le uguaglianze sono vere per definizione. Inoltre

sm sn+1 = sm (sn s) = (sm sn) s = sm+n s = sm+n+1

(sm)n+1 = (sm)n sm = smn sm = smn+m = sm(n+1).

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2.3 Sottosemigruppi.

Definizione. Sottosemigruppo di un semigruppo (S; ) e un sottoinsieme non vuotoH di S, che e semigruppo rispetto alloperazione definita in S.

N0 e un sottosemigruppo tanto di (Z;+) quanto di (Z; ).Linsieme delle applicazioni iniettive (o suriettive) di un insieme X in se stesso e un

sottosemigruppo del semigruppo (XX ; ). (cfr. 2.2 Esempio 2)Linsieme degli interi negativi e sottosemigruppo di (Z;+), ma non di (Z; ).Un sottoinsieme H di un semigruppo (S; ) e un sottosemigruppo se e solo se e chiusorispetto alloperazione definita in S, ovvero per ogni h1, h2 H e h1 h2 H.Esercizio 1. Sia (S; ) un semigruppo; sia s S. Linsieme H = {sn | n N} e un sottosemigruppo di(S; ) a cui appartiene lelemento s e che e contenuto in ogni sottosemigruppo di (S; ) a cui appartiene s.

Proposizione 2.3.1. Sia {Hi}iI una famiglia non vuota di sottosemigruppi di unsemigruppo (S; ): linsieme

iI Hi (se non e vuoto) e un sottosemigruppo di S.

Siano x, y

iI Hi; e x, y Hi per ogni i I e quindi x y Hi per ogni i I ovverox y

iIHi.

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3.1. Elemento neutro.

Definizione. Sia (S; ) un insieme dotato di legge di composizione; un elemento e Sviene detto elemento neutro se per ogni s S si ha

s e = s = e s.(Z; +) ammette come elemento neutro 0; (Z; ) ammette come elemento neutro 1.Osserviamo pero che, ad esempio, (Z; - ) non ammette elemento neutro; tuttavia lele-mento 0 e tale che n 0 = n per ogni n Z.Ancora, definita in un qualsiasi insieme S, con piu di un elemento, una legge di compo-sizione (associativa) ponendo a b = b per ogni a, b S, si osserva che non esiste elementoneutro; tuttavia ogni elemento e neutro se e scritto a sinistra in un prodotto.Definizione. Sia (S; ) un insieme dotato di legge di composizione; un elemento e Sviene detto elemento neutro a sinistra (elemento neutro a destra) se per ognis S si ha e s = s (s e = s).Proposizione 3.1.1. Sia una legge di composizione in un insieme S; se esistono inS un elemento neutro a sinistra es e un elemento neutro a destra ed, allora es = ed. Inparticolare se esiste in S un elemento neutro, questo e unico.

Basta osservare che ed = es ed, poiche es e elemento neutro a sinistra e che es = es ed,poche ed e neutro a destra.

3.2. Monoidi.

Definizione. Un semigruppo (S; ) dotato di elemento neutro viene detto monoide.

N0, Z, Q, R, C sono monoidi tanto rispetto alladdizione quanto rispetto alla moltipli-cazione.Con riferimento agli Esempi in 1.1 sono monoidi 2, 3 e 6.Linsieme

P(X) delle parti di un insieme X e un monoide sia rispetto allintersezione che

rispetto allunione.

Definizione. Sia (S; ) un monoide con elemento neutro e; per ogni s S poniamos0 = e

Proposizione 3.2.1. Sia (S; ) un monoide; per ogni s S e per ogni m, n N0 si hasm sn = sm+n e (sm)n = smn.

(Si confronti con la Proposizione 2.2.1.)Si devono verificare le uguaglianze per m = 0 o n = 0.

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4.1. Elemento inverso.

Definizione. Sia una legge di composizione in un insieme S con elemento neutro e;un elemento s S viene detto inverso di un elemento s S se e solo se

s s = e = s s.Definizione. Sia una legge di composizione in un insieme S con elemento neutro e;ogni elemento di S, che ammette inverso, viene detto invertibile o unitario.

In (Z, +) ogni elemento ha inverso, mentre in (Z, ) solo +1 e 1 hanno inverso.Negli Esempi 2, 3 in 1.1 solo lelemento neutro ha inverso.

Nel monoide XX delle applicazioni di un insieme X in se hanno inverso tutte e sole leapplicazioni biiettive (cfr.III, 1.2 Esercizio 1, iii) ).

Si e pero osservato (nello stesso Esercizio) che se f XX e iniettiva, esiste g XX taleche f g = IX, mentre se f e suriettiva, esiste h XX tale che hf = IX .Definizione. Sia una legge di composizione in un insieme S con elemento neutro e;

sia s S. Un elemento t S viene detto inverso destro di s ses t = e,

mentre viene detto inverso sinistro di s set s = e.

In generale un elemento puo avere inverso destro e inverso sinistro distinti; ad esempio,si consideri linsieme S = {a,b,c,e} con le legge di composizione definita dalla seguentetavola

e a b c

e e a b ca a c e bb b b a e

c c e b alelemento e e neutro e lelemento a ha inverso destro b e inverso sinistro c.

Invece in (XX , ), se unapplicazione f ha inverso destro g e inverso sinistro h, allora f ebiiettiva e g = h = f1 (cfr. III.1.2, Esercizi 1 e 2); cio dipende dal fatto che il prodottodi applicazioni e associativo.

Proposizione 4.1.1. Sia (S; ) un monoide; se un elemento s S ha inverso destro t Se inverso sinistro v S, allora t = v.In particolare, se s S ammette inverso in S, ne ammette uno solo.

Siae lelemento neutro in S; dast = e = vs seguev = ve = v(st) = (vs)t = et = t.

Definizione. Sia (S; ) un monoide con elemento neutro e; se s S ammette inversos S, per ogni intero negativo n poniamosn = (s)n.In particolare sara s1 = s; per questa ragione nel seguito indicheremo con s1 linverso(quando esista) di un elemento s di un monoide S.

Proposizione 4.1.2. Sia (S; ) un monoide; sia s S un elemento che ammette inverso.Per ogni m, n Z si ha

sm sn = sm+n e (sm)n = smn.(cfr. con Proposizione 3.2.1.)

Le uguaglianze sono da verificare per m < 0 o n < 0.

Esercizio 1. Sia (S : ) un semigruppo; sia a S. Siano a e a le applicazioni di S in S definite ponendoa(s) = sa e a(s) = as per ogni s S.Si provi che sono tra loro equivalenti le condizioni seguenti:

i) (S; ) e un monoide e lelemento a e invertibile;

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ii) a e a sono suriettive;Si provi che la condizione i) implica la condizioneiii) a e a sono iniettive,

ma non e equivalente ad essa.

4.2. Gruppi.Definizione. Si chiama gruppo un monoide (S; ) in cui ogni elemento ha inverso.Lelemento neutro di un gruppo viene spesso detto unita.Se loperazione e commutativa, si usa dire che il gruppo e abeliano.Se linsieme S e finito, il numero dei suoi elementi viene detto ordine del gruppo.

Esempi.1. (Z; +), (Q; +), (R; +), (C; +), (Q\{0}; ), (R\{0}; ), (C\{0}; ) sono gruppi abeliani.2. Per ogni insieme non vuoto X linsieme SX delle applicazioni biiettive di X in se eun gruppo rispetto al prodotto di applicazioni; il gruppo (SX ; ) e abeliano se e solo se Xpossiede al piu due elementi.

3. Siano (S; ) un monoide eV linsieme degli elementi invertibili diS: (V; ) e un gruppo.4. Il gruppo simmetrico. Per X = {1, 2, . . . , n} il gruppo (SX ; ) viene indicato con Sn(o anche con Sym(n)) e viene chiamato gruppo simmetrico su n lettere.Il gruppo Sn ha ordine n!Per Sn si usera una notazione del tipo :

=

1 2 . . . na1 a2 . . . an

dove {a1, a2, . . . , an} e una permutazione di {1, 2, . . . , n} tale che (i) = ai per i = 1, . . . , n,oppure, piu spesso, una notazione del tipo

= (b11, b12, . . . , b1r1

)(b21, b22, . . . , b2r2

) . . . (bs1, bs2, . . . , bsrs

) ()

(con s 1, ri 1, r1 + + rs = n, bij = blk se e solo se i = l, j = k), dove (bij) = bi(j+1) per1 j ri1 e (biri) = bi1 per i = 1. . . . , s.Se ri = 1 per qualche i (ovvero se (bi1) = bi1), si omette in generale nella scrittura () iltermine (bi1).Ad esempio sia n = 8 e sia

=

1 2 3 4 5 6 7 85 6 1 4 3 8 2 7

;

si scrivera = (1, 5, 3)(2, 6, 8, 7).Con questa convenzione di scrittura, i termini (1, 5, 3) e (2, 6, 8, 7) possono essere vistianche come elementi di S8; precisamente

= (1, 5, 3) =

1 2 3 4 5 6 7 85 2 1 4 3 6 7 8

,

= (2, 6, 8, 7) =

1 2 3 4 5 6 7 81 6 3 4 5 8 2 7

,

Si verifica che = = (prodotto di applicazioni).Ogni sostituzione del tipo (x1, x2, . . . , xr) viene dettaciclo di lunghezza r. La() permetteallora di dire che la sostituzione e prodotto di cicli disgiunti (e quindi a due a duepermutabili) di lunghezze r1, r2, . . . , rs.

Esercizio 1. Sia X un insieme con almeno due elementi; sia (SX ; ) il gruppo costituito dalle applicazioni

biiettive di X su X (rispetto al prodotto di applicazioni).I] Si mostri che il gruppo (SX ; ) non e ridotto allunita.

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II] Si provi che sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni:i) linsieme X possiede esattamente due elementi;

ii) il gruppo (SX ; ) e abeliano;iii) esiste SX , = I (I applicazione identica) tale che = per ogni SX .

Per stabilire se (S; ) e un gruppo puo essere utile valersi del seguente criterio.

Proposizione 4.2.1. Sia (S; ) un semigruppo; (S; ) e un gruppo se (e solo se) esistein S un elemento neutro a destra e e per ogni s S esiste s S tale che s s = e ( s einverso destro di s rispetto ad e).Analogo enunciato con sinistro al posto di destro.

Per le Proposizioni 3.1.1 e 4.1.1 occorre (e basta) provare che per ogni s S e e s = s es s = e.Da s s = e si deduce

e (s s) = e e = ee quindi, essendo associativa,

(e s) s = e = s s

Per ipotesi esiste s S tale che s s = e; allora[(e s) s] s = (s s) s

e quindi(e s) (s s) = s (s s)

(e s) e = s ee s = s.

Ancora da s s = e si deduces (s s) = s e

(s s) s = s

[(s s) s] s = s s(s s) (s s) = e

(s s) e = es s = e

Proposizione 4.2.2. Sia (S; ) un semigruppo; (S; ) e un gruppo se e solo se per ognia, b S esistono x, y S tali che a x = b e y a = b.Tali elementi x e y sono univocamente determinati.

Sia (S; ) un gruppo; per ogni a, b S, indicato con a linverso di a in S, ea (a b) = (a a) b = e b = b(b a) a = b (a a) = b e = b;

pertanto esistono x = a b e y = b a tali che a x = b e y a = b.Mostriamo che x e univocamente determinato.Sia x S tale che a x = b; si deduce

a (a x) = a b(a a) x = a b

e x = a bx = a b.

Analogo ragionamento per y.

Viceversa, sia(S; ) un semigruppo in cui per ogni a, b S esistonox, y S tali chea x = be y a = b.Scelto a S, esiste e S tale che a e = a; per ogni s S esiste y S tale che y a = s.Si deduce

y (a e) = y a(y a) e = y a

s e = s;cio prova che e e elemento neutro a destra.Per ogni s S esiste x S tale che s x = e; x e inverso destro di s.Per la Proposizione 4.2.1 (S; ) e un gruppo.

Esercizio 2. Sia (S; ) un semigruppo; (S; ) e un gruppo se possiede uno ed un solo elemento neutro adestra e e per ogni s S esiste un inverso sinistro s S. (Suggerimento: si osservi che, se s s = e,

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allora e (s s) = (s s) (s s) = e.)

E importante segnalare la seguente proprieta dei gruppi.Proposizione 4.2.3. In un gruppo (G; ) valgono le leggi di cancellazione o sempli-ficazione, ovvero per a,b,c G se a c = b c o se c a = c b, allora a = b.

Sia a c = b c; detto c linverso di c in G, si ha(a c) c = (b c) ca (c c) = b (c c)

a e = b ea = b.

Consideriamo gli Esempi dati in 1.1 e osserviamo che:i) nel monoide (N0 ; +) valgono le leggi di cancellazione, ma il monoide non e un

gruppo;ii) in 2 e in 3 non valgono le leggi di cancellazione;

iii) in 4 e in 5 valgono le leggi di cancellazione, ma non si tratta di gruppi.

Esercizio 3. Ogni semigruppo finito, in cui valgono le leggi di cancellazione, e un gruppo.

Esercizio 4. Linsieme delle applicazioni iniettive (o suriettive) di un insieme X in se e un monoide

rispetto al prodotto di applicazioni; e un gruppo? Valgono in questo monoide le leggi di cancellazione?

4.3. Sottogruppi di un gruppo.

Definizione. Sottogruppo di un gruppo (G; ) e un sottoinsieme non vuoto di G, chee gruppo rispetto alloperazione definita in G.

I sottoinsiemi {1G} e G di un gruppo (G; ) sono sottogruppi, che vengono detti impropri;il sottogruppo {1G} viene anche detto sottogruppo banale.Per indicare che un sottoinsieme H di un gruppo G e un sottogruppo di G, si usa scrivere(H; ) (G; ) o piu brevemente H G.Esempi.1. (Z; +) (Q; +) (R; +) (C; +).2. Fissato n Z linsieme Hn = {kn | k Z } e un sottogruppo del gruppo (Z; +).3. Linsieme delle similitudini sulla retta reale (ovvero delle applicazioni a,b : R Rcon a, b R, a = 0 definite da a,b(x) = ax + b per ogni x R), linsieme T delle traslazioni( ovvero delle applicazioni 1,b definite da 1,b(x) = x + b per ogni x R), linsieme delle omotetie (ovvero delle applicazioni a,0 definite da a,0(x) = ax per ogni x R) sonosottogruppi del gruppo SR costituito da tutte le applicazioni biiettive della retta reale inse; inoltre e T .4. Il gruppo alterno. Si e visto in 4.2 Esempio 4 che ogni sostituzione su n letterepuo essere scritta come prodotto di cicli. Osserviamo pero che ogni ciclo puo esserescritto come prodotto di scambi (o trasposizioni):

(a1, a2, a3, . . . , ar) = (a1, a2)(a1, a3) (a1ar) :ne segue che ogni sostituzione puo essere scritta come prodotto di scambi.Ad esempio, sara

= (1, 5, 3)(2, 6, 8, 7) = (1, 5)(1, 3)(2, 6)(2, 8)(2, 7);

si osservi pero che e anche

= (1, 5)(3, 5)(1, 3)(1, 5))(2, 8)(2, 6)(6, 8))(2, 8)(2, 7).

Non e dunque unica la decomposizione di una sostituzione in prodotto di scambi. Si puo

tuttavia dimostrare che e univocamente determinata la parita del numero degli scambidi cui una sostituzione e prodotto.

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Cio giustifica la definizione che segue.Definizione. Una sostituzione Sn viene detta pari (o dispari) se puo essere de-composta in prodotto di un numero pari (rispettivamente, dispari) di scambi.

E facile verificare che linsieme delle sostituzioni pari su n lettere e un sottogruppo delgruppo simmetrico Sn, che viene detto sottogruppo alterno e indicato con An o con

Alt(n); e |An| =n!2 .

5. Si chiama gruppo di trasformazioni su un insieme X un qualunque sottogruppodel gruppo SX costituito dalle applicazioni biiettive di un insieme X su se stesso rispettoal prodotto di applicazioni.(cfr.4.2 Esempio 2.)In questa accezione i sottogruppi , T, presentati nellEsempio 3 vengono detti gruppodelle similitudini, gruppo delle traslazioni, gruppo delle omotetie.

Proposizione 4.3.1. Se H e un sottogruppo di un gruppo (G; ), lunita di H coincidecon lunita di G e linverso in H di un elemento h H coincide con linverso di h in G.

Siano 1H e 1G rispettivamente lunita di H e lunita di G; per ogni h H e 1Hh = 1Gh = he quindi 1H = 1G per la Proposizione 4.4.5.Siano rispettivamente h1H e h

1G linverso di h in H e in G; da h

1H h = 1H = 1G = h

1G h

segue h1H = h1G .

Proposizione 4.3.2.i) Un sottoinsieme H di un gruppo (G; ) e un sottogruppo di G se (e solo se) per ogni

h1, h2 H si ha h1h2 H e h11 H.ii) Un sottoinsieme H di un gruppo (G; ) e un sottogruppo di G se (e solo se) per ogni

h1, h2 H si ha h1h12 H.iii) Un sottoinsieme finito H di un gruppo (G; ) e un sottogruppo di G se (e solo se) per

ogni h1, h2 H si ha h1h2 H.i) Dallipotesi segue 1G = h

1h H.ii) Perh1 = h2 H si deduce1G H. Per ognih H scegliendoh1 = 1G eh2 = h si deduceh1 H. Per ogni h, k H scegliendo h1 = h e h2 = k1 si deduce hk = h(k1)1 H.iii) Sia h

H; linsieme

{hr

|r

N

}e contenuto in H ed e pertanto finito. Esistono allora

due interi positivi r es tali che hr = hr+s = hrhs; ne segue 1G = hs H eh1 = hs1 H.Esercizio 1. Sia n un intero tale che n = rs con 1 < r < n (r, s interi). Si mostri che linsiemeH = {[rk]n | k Z } e un sottogruppo di ordine s del gruppo (Zn;+).Esercizio 2. Sia (G; ) un gruppo.1) Se H e un sottogruppo di G,

CG(H) = { x G | xh = hx per ogni h H}e un sottogruppo di G detto centralizzante di H in G.In particolare il centralizzante di G in G viene detto centro di G e indicato con Z(G).

2) Per a GCG(a) = { x G | xa = ax}

e un sottogruppo di G detto centralizzante di a in G.

Esercizio 3. In G =R\{1} si consideri loperazione definita da a b = ab + a + b per ogni a, b G.Si provi che

I) (G; ) e un gruppo;II) H = {h G | h > 1} e un sottogruppo di (G; );

III) K = {k G | 2 < k 0} e un insieme chiuso rispetto alla , ma non e un sottogruppo di (G; );IV) L = {0, 2} e sottogruppo di (G; ).Esercizio 4. Sia (G; ) un gruppo; sia a G. Si provi che linsieme H = {an | n Z } e un sottogruppodi (G; ). (cfr. Esempio 2.)

Proposizione 4.3.3. Sia {Hi}iI una famiglia non vuota di sottogruppi di un gruppo(G; ): linsieme

iI Hi e un sottogruppo di G.

LinsiemeiI Hi e un sottosemigruppo di G per la Proposizione 2.3.1.Sex iI Hi, x Hi per ognii I; allorax1 Hi per ognii I e quindix1 iI Hi.29


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5.1. Proprieta distributiva.

Definizione. Sia (S; , ) una struttura algebrica in cui sono definite due operazioni; sidice che vale la proprieta distributiva a sinistra di rispetto a se e solo se per ognia,b,c S per cui sono definiti b c e a (b c), sono definiti anche a b, a c, (a b) (a c) ed e

a (b c) = (a b) (a c)In modo analogo si enuncia la proprieta distributiva a destra. ((b c) a = (b a) (c a).)Esempi.1. In (N ; +, ), (Q ; +, ), (R ; +, ), (C ; +, ) valgono le proprieta distributive (a destrae a sinistra) della moltiplicazione rispetto alladdizione, ma non quelle delladdizionerispetto alla moltiplicazione.2. In (N0; , ), con e definite come in 1.1 Esempi 2 e 3, valgono le proprietadistributive di ognuna delle due operazioni rispetto allaltra.3. Nellinsieme M delle applicazioni di N in N definiamo unoperazione

ponendo per

f, g M e per ogni n Nf g : n f(n) + g(n).

Il prodotto di applicazioni e distributivo a sinistra rispetto alloperazione , ma non adestra.

Quando in un insieme S sono definite due leggi di composizione (e soprattutto quandouna delle due e distributiva rispetto allaltra) si usa indicarle con i simboli e +, anchese S non ha nulla a che vedere con gli abituali insiemi numerici e, di conseguenza, e +non sono le abituali operazioni di moltiplicazione e addizione.

5.2. Anelli, corpi, campi.

Definizione. Si chiama anello una struttura algebrica (A; +, ) che soddisfa alle seguenticondizioni:i) (A; +) e un gruppo abeliano;

ii) (A; ) e un semigruppo;iii) valgono le proprieta distributive a destra e a sinistra di rispetto a +.

Se loperazione (che verra detta prodotto) e commutativa, si dice che lanello ecommutativo.

Lelemento neutro del gruppo (A; +) viene indicato con 0 o con 0A e detto zero; linversodi a A rispetto alloperazione + (che verra detta somma) viene indicato con a edetto opposto di a. La potenza n-esima di a A rispetto alla somma viene indicatacon na.

Si usa scrivere a b al posto di a + (b).Proposizione 5.2.1. Sia (A; +, ) un anello; valgono le seguenti proprieta:

i) a0 = 0a = 0 per ogni a A;ii) a (b) = (a) b = (a b) per ogni a, b A;

iii) a (b c) = (a b) (a c) e (b c) a = (b a) (c a) per ogni a,b,c A;iv) n(a b) = (na) b = a (nb) per ogni a, b A e per ogni n Z;v) se a, b A e a b = b a, allora (a + b)n = an + bn +n1i=1 niaibni per ogni n N.

i) Per ogni b A si ha a b = a (b+0)=a b + a0; da a b = a b + a0 segue a0=0poiche (A; +) e un gruppo.ii)Ea b + a (b) = a [b + (b)] = a0=0; daa b + a (b) =0 seguea (b) = (a b).iii)a (b c) = a [b + (c)] = a b + a (c) = a b + [(a c)] = a b a c.

iv) Proviamo che (na) b = n(a b).Pern = 0 e (0a) b =0b =0=0(a b).

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Pern > 0 per induzione si deduce (na) b = [(n 1)a + a] b = [(n 1)a] b + a b == (n 1)(a b) + (a b) = n(a b).Pern = 1 la tesi segue da ii).Pern < 1, posto n = (1)n con n > 0, si ha(na) b = [(na)] b = [(na) b] == [n(a b)] = n(a b).v) Induzione su n.

Esercizio 1. In un anello (A; +, ) puo esistere qualche elemento z =0 tale che sia a z = z a = z perogni a A?

Se esiste in (A; +, ) un elemento neutro rispetto al prodotto, esso viene detto unitadellanello e viene spesso indicato con 1A o anche semplicemente con 1; se lanello possiedealmeno due elementi, lunita (quando esiste) e diversa dallo zero 0 dellanello.

Se lanello A possiede unita e un elemento a A ammette inverso rispetto al prodotto,lelemento a viene detto unitario o invertibile e il suo inverso viene indicato con a1.

Esercizio 2. In un anello dotato di unita linsieme degli elementi unitari e un gruppo rispetto al prodotto.(cfr. 4.2 Esempio 3)

Esempi.

1. (Z; +, ), (Q; +, ), (R; +, ), (C; +, ) sono anelli commutativi, dotati di unita, rispettoalle operazioni di addizione e moltiplicazione dellAlgebra classica.

2. (RR; +, ) e un anello commutativo, dotato di unita, rispetto alle operazioni + e cosdefinite:

f + g : x f(x) + g(x)

f g : x f(x)g(x)dove la somma e il prodotto scritti alla destra delle frecce indicano le usuali operazioni

in R.Un elemento f e unitario se e solo se f(x) = 0 per ogni x R.Si osservi che (RR; +, ) (dove indica il prodotto di applicazioni definito in III, 1.2) none un anello!

3. Linsieme dei vettori dello spazio e un anello rispetto al la somma di vettori e alprodotto vettoriale?

4. Sia

Mat2(Q) =

=

a11 a12a21 a22

| aij Q

;

definiamo in Mat2(Q) una somma e un prodotto ponendoa11 a12a21 a22

+

b11 b12b21 b22

=

a11 + b11 a12 + b12a21 + b21 a22 + b22

a11 a12a21 a22

b11 b12b21 b22

=

a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22

(Mat2(Q ); +, ) e un anello non commutativo, dotato di unita. Lelemento e unitariose e solo se e a11a22 = a12a21.Lanello Mat2(Q) viene detto anello delle matrici di ordine 2 ad elementi razionali.Il gruppo moltiplicativo degli elementi unitari dellanello Mat2(Q ) viene detto gruppogenerale lineare di grado 2 su Q e viene indicato con GL(2,Q).

Allo stesso modo si definiscono gli anelli Mat2(Z), Mat2(R), Mat2(C) e piu in generaleMat2(A), dove (A; +, ) e un qualsiasi anello commutativo.

Definizione. Si chiama corpo un anello (K; +, ) (non ridotto al solo zero) in cui linsieme

degli elementi diversi dallo zero 0 e un gruppo rispetto al prodotto definito nellanello.Un corpo commutativo viene detto campo.

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Proposizione 5.2.2. Un anello (A; +, ) (non ridotto al solo zero) e un corpo se e solose possiede unita e ogni elemento diverso da 0 e unitario.

Sia a b =0 con a, b A; supposto a =0, esiste a1 A e quindi b = 1A b = (a1 a) b =a1 (a b) = a10=0. Ne segue che (A\{0}; ) e un gruppo.

Tra gli Esempi dati sopra solo (Q; +, ), (R; +, ), (C; +, ) sono corpi, anzi campi.Esercizio 3. Sia (A; +, ) un anello dotato di unita sinistra e tale che ogni elemento diverso dallo zeroammette inverso sinistro; si provi che lanello A e un corpo.

Sussiste il seguente Teorema, di cui omettiamo la dimostrazione.Teorema di Wedderburn. Ogni corpo finito e commutativo.

Esercizio 4. Si consideri linsieme H delle matrici quadrate di ordine 2 ad elementi in C del tipo

dove indica il complesso coniugato di .Rispetto alla somma e al prodotto definiti come nellEsempio 4, H e un corpo non commutativo, notocome corpo dei quaternioni di Hamilton (1805-1865).

Esercizio 5. Sia (K; +, ) un campo; siano a,b,c,d K con b = 0 e d = 0. Si provi che valgonole uguaglianze

ab1 + cd1 = (ad + bc)(bd)1

(ab1)(cd1) = (ac)(bd)1.

(Si noti che scrivendo ab

al posto di ab1 le uguaglianze diventanoab

+ cd

= ad+bcbc

ab

cd

= acbd

ben note regole di calcolo frazionario.)

Osservazione. In un anello (A; +, ) puo essere a b =0 (con a, b A) anche se e a =0 eb

=0.

Consideriamo lEsempio 2 dato sopra. Lo zero dellanello (RR; +, ) e lapplicazionez : RR tale che z(x) = 0 per ogni x R. Siano f, g : RR definite come segue:

f(x) =

1, per x = 0,0, per x = 0;

g(x) =

1, per x = 2,0, per x = 2;

E f g = z con f = z e g = z.Definizione. Sia (A; +, ) un anello; un elemento a A viene detto divisore dello zerose e a =0 ed esiste b A, b =0 tale che a b = 0 o b a = 0.

Ovviamente ogni corpo e privo di divisori dello zero; (Z; +, ) e un anello privo di divisoridello zero, ma non e corpo.Definizione. Si dice che in un anello (A; +, ) valgono le leggi di cancellazione rispettoal prodotto se e solo se per a,b,c A con a =0 da a b = a c segue b = c e da b a = c asegue b = c.

Proposizione 5.2.3. Un anello (A; +, ) e privo di divisori dello zero se e solo se in essovalgono le leggi di cancellazione rispetto al prodotto.

Sia (A; +, ) privo di divisori dello zero; siano a,b,c A tali che a b = a c con a =0. Si ha0=(a b) (a c) = a (b c) e quindi 0=b c ovvero b = c.Viceversa valgano in (A; +, ) le leggi di cancellazione rispetto al prodotto; sianoa, b A talichea b =0. Se a =0, da a b = a0 si deduce b =0.

Proposizione 5.2.4. Ogni anello finito, non ridotto al solo zero e privo di divisori dellozero, e un corpo. (cfr. anche Esercizio 3 in 4.2).

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Sia (A; +, ) un anello finito, privo di divisori dello zero; se 0= a A, per ogni n N ean =0 e linsieme {an |n N } e finito. Esistono pertanto due interi positivi s, t tali cheas = as+t = as at = at as.Per ogni b A si ha allora as b = as at b e b as = b at as; essendo as =0, si deduceb = at b = b at e pertanto at e unita dellanello A.Lelementoa ammette allora come inverso at1 (che coincide con a per t = 1).Per la Proposizione 5.2.2 (A; +, ) e un corpo.

Esercizio 6. Si mostri che lanello (Mat2(A); +, ) possiede divisori dello zero. Esercizio 7. Sia A un anello dotato di unita.

1) Si mostri che nessun elemento unitario e divisore dello zero.2) Si provi che se A e finito, i divisori dello zero sono tutti e soli gli elementi non unitari, diversi dallo

zero.

3) Se A =Mat2(Q) o se A =Mat2(Z) esistono elementi non unitari, diversi dallo zero, che non sonodivisori dello zero?

Un anello commutativo, privo di divisori dello zero, viene detto dominio dintegrita.

Definizione. Un anello (A; +, ), tale che sia a b =0 per ogni a, b A, viene detto zero-anello.Ogni gruppo abeliano G puo essere visto come zero-anello, assumendo come somma lalegge di composizione definita in G e definendo il prodotto con a b =0 per ogni a, b G(dove 0 indica lelemento neutro di G).

5.3. Sottoanelli, sottocorpi.

Definizione. Sottoanello di un anello (A; +, ) e un sottoinsieme H di A, che e un anellorispetto alla somma e al prodotto definiti in A.

Scriveremo (H; +, ) (A; +, ).Un sottoanello H di un anello (A; +, ) e dunque un sottogruppo del gruppo additivo (A; +),che e anche sottosemigruppo del semigruppo (A;

).

Pertanto un sottoinsieme H di un anello (A; +, ) e un sottoanello se e solo se per ognih1, h2 H si ha h1 h2 H e h1h2 H.I sottoinsiemi {0} e A di un anello (A; +, ) sono sottoanelli (detti impropri) di A.Esempi.

1. Fissato n Z, linsieme Hn = {kn | k Z} e un sottoanello dellanel lo (Z; + ).2. (Z; +, ) e un sottoanello di (Q;+, ), che e a sua volta sottoanello di (R; +, ).

Se H e un sottoanello di un anello A, il fatto che H possieda unita e indipendente dal fattoche la possieda A; anche nel caso che entrambi possiedano unita, le due unita possonocoincidere o essere diverse.

Esempio 3. Nellanello (Mat2(Z), +, ) si considerino il sottoanelloA =

2a b0 0

| a, b Z

e il sottoanello

B =

b 00 0

| b Z

;

Mat2(Z) possiede unita, A non la possiede eB possiede unita diversa dallunita diMat2(Z).

Un sottoanello di un anello (A; +, ), che sia corpo rispetto alla somma e al prodottodefiniti in A, viene detto sottocorpo.Se A e un corpo, un suo sottoanello H puo non essere sottocorpo, ad esempio A =Q

e H =Z. Anche se A non e un corpo, un suo sottoanello puo essere corpo; ad esempionellanello Mat2(Q) il sottoanello

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C =

a 00 a

| a Q

e un sottocorpo.Esercizio 1. Sia k R fisso. Sia

A = a + kb b

b a | a, b R

I] Si verifichi che A e un sottoanello commutativo dellanello (Mat2(R);+,).II] Si determinino i valori di k per i quali lanello (A; +, ) e un sottocampo di (Mat2(R);+,).

III] Si mostri che l anello (A; +, ) e un campo se e solo se e privo di divisori dello zero.Se (K; +, ) e un corpo, un suo sottoinsieme H e sottocorpo se e solo se (H; +) e sottogruppodel gruppo additivo (K; +) e (H\{0}; ) e un sottogruppo del gruppo (K\{0}; ).Pertanto se H e un sottocorpo di un corpo K, ad H appartengono lunita di K e linverso(in K) di ogni elemento non nullo di H.

Proposizione 5.3.1.1) Se {Hi}iI e una famiglia non vuota di sottoanelli di un anello (A; +, ), il sottoinsieme

iI Hi e un sottoanello di A.

2) Se{

Hi}i

I e una famiglia di sottocorpi di un corpo (K; +,

), il sottoinsieme iI Hi eun sottocorpo di K.

Corollario 5.3.2. Lintersezione di tutti i sottocorpi di un corpo (K; +, ) e un sottocorpoK0, che viene detto sottocorpo minimo di K; esso e infatti minimo nella famiglia deisottocorpi di K, ordinata rispetto allinclusione insiemistica.

5.4. Lanello (Zn; +, ) delle classi di resti mod n.In II.2.2 sono state introdotte la congruenza e le classi di resti modulo n in Z e si emostrato che la congruenza modulo n e compatibile con la somma e il prodotto definitiin Z (cfr. Proposizione II.2.2.1); da cio segueProposizione 5.4.1.1) Sono ben definite in Zn le seguenti leggi di composizione di somma e prodotto:

[a]n + [b]n = [a + b]n

[a]n [b]n = [ab]n2) (Zn, +, ) e un anello commutativo, dotato di unita.3) Un elemento [a]n Zn e unitario se e solo se e M.C.D.(a, n) = 1.

1) Se [a]n = [a]n e [b]n = [b]n, allora [a + b]n = [a + b]n e [ab]n = [ab]n.

2) [1]n e lunita dellanello.3) [a]n e unitario in (Zn; +, ) se e solo se esiste [b]n Zn tale che [a]n [b]n = [1]n ovvero see solo se esiste b Z tale che ab 1 (mod n). La tesi segue da II.2.2 Esercizio2.

Applicazione. La prova del 9, la prova dell11.

Proposizione 5.4.2. Sono tra loro equivalenti le seguenti condizioni:i) (Zn, +, ) e un campo;

ii) (Zn, +, ) e privo di divisori dello zero;iii) n e un numero primo.

i) ii): ovvio.ii) iii):se n non fosse primo, sarebbe n = rs con r, s N, 1 < r < n, 1 < s < n; allora[r]n [s]n = [0]n con [r]n = [0]n e [s]n = [0]n.iii) i):se[a]n = [0]n, n non dividea; essendon primo, e 1=M.C.D.(n, a) e quindi[a]n e unitarioin (Zn; +, ).

Per ogni numero primo p esiste dunque un campo finito di ordine p, precisamente(Zp, +, ).

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Esercizio 1. Nellanello (Zn; +, ) esiste qualche elemento [a]n = [0]n tale che [a]2n = [0]n se e solo seesiste qualche primo p tale che p2 divide n.

Esercizio 2. Sia n un intero tale che n = rs con 1 < r < n (r, s interi).

1) Linsieme H = {[rk]n | k Z } e un sottoanello dellanello (Zn; +, ) di ordine s.2) Lanello (H; +, ) possiede unita se e solo se e M.C.D.(r, s) = 1; in tal caso lunita di (H; +, ) e diversa

dallunita di (Zn; +, ).3) H e un sottocorpo di Zn se e solo se s e un numero primo che non divide r.Esercizio 3. Siano n N con n 2 e k N con 1 k < n.Si definisca in Zn unoperazione ponendo per ogni [a]n, [b]n Zn

[a]n [b]n = [kab]n

I] Si verifichi che (Zn; +, ) e un anello, non zero-anello.

II] Si provi che lanello (Zn; +, ) possiede unita se e solo se e M.C.D.(k, n) = 1.

III] Si provi che se e M.C.D.(k, n) = 1, ogni elemento non nullo dellanello (Zn; +, ) e un divisore dellozero.

5.5. Anelli di polinomi. Lanello K[x]: divisibilita e fattorizzazione. Radici.

LAlgebra classica ci offre altri esempi notevoli di anelli: gli anelli di polinomi in unao piu indeterminate a coefficienti interi, razionali, reali, complessi. Vogliamo ritrovarequesti anelli come caso particolare di anelli di polinomi su un anello (A; +, ).Sia P linsieme delle successioni = (a0, a1, a2, . . .) di elementi di A per le quali esisteun intero n tale che an+t = 0A per ogni t > 0; chiameremo polinomio una successionecosiffatta.Per ogni polinomio , diverso dal polinomio zero 0=(0A, 0A, 0A, . . .), si definisce il gradocome lintero n tale che an = 0A e an+t = 0A per ogni t > 0; an viene detto coefficientedirettivo del polinomio.Definiamo in P unoperazione di somma e unoperazione di prodotto come segue.Siano = (a0, a1, a2, . . .) e = (b0, b1, b2, . . .) due polin

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