Alfano Timoshenko

MODELLO DI TRAVE DI TIMOSHENKO

L. Rosati, G. Alfano

Indice

1 Richiami sul modello di trave di Eulero-Bernoulli 2

2 Cinematica del modello di Timoshenko 3

3 Relazioni differenziali di equilibrio 4

4 Equazioni differenziali della linea elastica 64.1 La soluzione in assenza di carichi distribuiti per la trave a rigidezza

costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5 Elemento finito cubico 75.1 Derivazione della matrice di rigidezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.2 Mensola caricata in un estremo con una forza . . . . . . . . . . . . . . 105.3 Mensola caricata in un estremo con una coppia . . . . . . . . . . . . . 115.4 La matrice di rigidezza esatta dell’elemento . . . . . . . . . . . . . . . 125.5 Esempio numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6 Elemento finito lineare 156.1 Trasformazione isoparametrica e legame spostamenti deformazioni . . . 166.2 Legame costitutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.3 Matrice di rigidezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.4 Vettore delle forze equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.5 Il problema del ‘locking’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.5.1 Sottointegrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.6 Esempio numerico: convergenza del metodo . . . . . . . . . . . . . . . 216.7 Analogia tra il modello di trave di Timoshenko e quello di piastra di

Reissner-Mindlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1

L. Rosati, G. Alfano - Modello di trave di Timoshenko 2

1 Richiami sul modello di trave di Eulero-Bernoulli

Il modello di trave inflessa, noto anche come modello di trave di Eulero-Bernoulli, sibasa su due ipotesi: la prima è quella di ‘conservazione delle sezioni piane’, per cui lesezioni rette della trave rimangono piane anche a deformazione avvenuta; la secondaè quella di assenza di scorrimenti nella trave, per cui le sezioni rette, a deformazioneavvenuta, rimangono ortogonali all’asse deformato. In conseguenza di tale ipotesi ledue funzioni che governano la cinematica della trave sono lo spostamento assialew equello trasversalev dell’asse della trave (figura 1). Infatti, la rotazioneφ della sezioneretta è data da (figura 2):

φ = −tan−1v′ (1)

y

z

φ( )z

w(z)

v(z)

Figura 1: Cinematica del modello di Eulero-Bernoulli

y

z

φ(z)

(z) α

αtang = -v'(z)

φ = α(z) (z)

(z)

Figura 2: Relazione tra spostamento trasversale e rotazione nel modello di EuleroBernoulli

Nell’ipotesi di piccoli spostamenti, che si adotterà costantemente nel seguito, si haφ = −v′ e la curvaturaχ e la deformazione estensionaleεa della trave sono legate allefunzioniw ev dalle note relazioni:

χ = −v′′ εa = w′ (2)

Accoppiando le relazioni (2), che descrivono la cinematica del modello, alle relazio-ni di equilibrio differenziale, e facendo l’ipotesi di comportamento elastico lineare, sigiunge alle equazioni differenziali della linea elastica:

E I v′′′′ = q E A w′′ = −p (3)


avendo indicato conq ep i carichi distribuiti trasversale ed assiale.Nel modello di Eulero-Bernoulli al taglio non è associata alcuna energia di defor-

mazione in quanto non è definita una deformazione (di scorrimento) ad esso duale. Iltaglio in tale modello assume dunque un puro significato statico, ed è definito come laderivata del momento flettente.

2 Cinematica del modello di Timoshenko

Il modello di trave di Timoshenko è il più semplice modello della teoria tecnica del-la trave che tenga conto degli scorrimenti che avvengono nella trave per effetto dellasollecitazione tagliante.

In tale modello si conserva l’ipotesi di conservazione delle sezione piane, validaanche per il modello di Eulero-Bernoulli, ma si rimuove quella di conservazione del-l’ortogonalità fra sezione retta ed asse deformato. La variazione dell’angolo formato trala sezione retta e l’asse indeformato rappresenta allora lo ‘scorrimento’, indicato conγ,e va interpretato come un valore medio degli scorrimenti che puntualmente si avrebberoin un modello più raffinato, ad esempio tridimensionale.

Come usuale lo scorrimentoγ è assunto positivo se la sezione retta ruota in sen-so antiorario rispetto all’asse deformato (figura 3) sicché risulta, nell’ipotesi di piccolispostamenti:

γ = φ + v′ (4)

γ γ = φ

v'

φ = 0 = v'

v' = 0

(a) (b)

Figura 3: Espressione dello scorrimento come sovrapposizione di due casi: (a) perφ = 0 e v′ 6= 0 si haγ = v′; (b) perφ 6= 0 e v′ = 0 si haγ = φ. In generale, perφ 6= 0ev′ 6= 0 si haγ = φ + v′.

Si osserva che il modello di Eulero-Bernoulli si ottiene da quello di Timoshenkoimponendo che si abbia costantementeγ = 0, ottenendo così la relazioneφ = −v′.

La curvaturaχ della trave è data, sempre nell’ipotesi di piccoli spostamenti, dalladerivata diφ:

χ = φ′ (5)

La rotazioneφ non può essere però ottenuta come derivata dello spostamento tra-sversale e rappresenta una funzione indipendente del problema. Pertanto, le funzioniche definiscono la cinematica sono tre, ovverow, v e φ, e definiscono gli ‘spostamenti


generalizzati’ del modello. Le ‘deformazioni generalizzate’ sono definite dalla curvatu-raχ, dallo scorrimentoγ e dalla deformazione assialeεa, e sono legate agli spostamentidalle relazioni:

χ= φ′

γ= φ + v′

εa= w′

(6)

3 Relazioni differenziali di equilibrio

Le relazioni differenziali di equilibrio del modello si possono ricavare mediante ladualità statico-cinematica, ovvero il principio dei lavori virtuali.

In particolare, in questa parte si mostrerà come, definendo le caratteristiche dellasollecitazione come enti duali delle deformazioni introdotte nel modello, scrivendo illavoro virtuale interno ed integrando per parti, si ottiene l’espressione del lavoro vir-tuale esterno. Da essa si ottengono quindi le relazioni che legano i carichi applicati,internamente ed agli estremi, alle caratteristiche della sollecitazione.

Figura 4: Carichi esterni agenti nell’interno e sugli estremi della trave.

Le caratteristiche duali delle deformazioni, ovvero che compiono lavoro per esse,sono il momento flettenteM , duale della curvaturaχ, il taglio T , duale dello scorri-mentoγ, e lo sforzo normaleN , duale della deformazione assialeεa. Su una trave dilunghezzal, il lavoro virtuale interno si scrive dunque:

Lint =

∫0

l

M χ dz +

∫0

l

T γ dz +

∫0

l

N εa dz (7)


Sostituendo le relazioni cinematiche (6) nella (7), ed integrando per parti, si ottiene:

Lint=

∫0

l

M φ′ dz +

∫0

l

T (φ + v′) dz +

∫0

l

N w′ dz =

=

∫0

l

(−M ′) φ dz +

∫0

l

T φ dz +

∫0

l

(−T ′) v dz +

∫0

l

(−N ′) w dz+

+M φ

∣∣∣∣∣l

0

+T v

∣∣∣∣∣l

0

+N w

∣∣∣∣∣l

0

=

=

∫0

l

(T −M ′) φ dz +

∫0

l

(−T ′) v dz +

∫0

l

(−N ′) w dz+

+M(l) φ(l)−M(0) φ(0) + T (l) v(l)− T (0) v(0) + N(l) w(l)−N(0) w(0)

(8)

Si può porre allora (figura 4):

m = T −M ′ coppie flettenti distribuite

q = −T ′ carico trasversale distribuito

p = −N ′ carico assiale distribuito

(9)

ed inoltre, agli estremi:

Mo = −M(0) Ml = M(l) coppie agli estremi

Fo = −T (0) Fl = T (l) forze trasversali agli estremi

Ho = −N(0) Hl = N(l) forze assiali agli estremi

(10)

Sostituendo le (9) e le (10) nell’ultimo termine della (8) si ottiene l’espressione dellavoro virtuale esterno:

Lext=

∫0

l

m φ dz +

∫0

l

q v dz +

∫0

l

p w dz+

+Ml φ(l) + Mo φ(0) + Fl v(l) + Fo v(0) + Hl w(l) + Ho w(0)

(11)

Si ottiene dunque:Lint = Lext (12)

che sintetizza il principio dei lavori virtuali.Le relazioni (9) rappresentano le equazioni differenziali di equilibrio del modello di

Timoshenko. Le condizioni al contorno ad esse associate sono le relazioni (10).


4 Equazioni differenziali della linea elastica

Nell’ipotesi di elasticità lineare si hanno le seguenti semplici relazioni di proporzionalitàtra le deformazioni generalizzate e le caratteristiche della sollecitazione:

M = Kf χ

T = Ks γ

N = Ka εa

con:

Kf = E I rigidezza flessionale

Ks = G As rigidezza a taglio

Ka = E A rigidezza assiale

(13)

dove ad esempio, nel caso della sezione rettangolare,As = A/1.2.Sostituendo le relazioni cinematiche (6) nelle relazioni elastiche (13), si ottiene:

M = Kf φ′

T = Ks (φ + v′)

N = Ka w′

(14)

Sostituendo infine queste ultime nelle relazioni differenziali di equilibrio (9), si ottieneil seguente sistema di equazioni differenziali dell’equilibrio elastico:

Ks (φ + v′)− (Kf φ′)′ = m

[Ks (φ + v′)]′ = −q

(Ka w′)′ = −p

(15)

La terza equazione governa il comportamento estensionale della trave e risulta di-saccoppiata dalle prime due. Essa è perfettamente analoga a quella per il modello diEulero-Bernoulli.

Le prime due equazioni sono invece tra loro accoppiate e sostituiscono per il modellodi Timoshenko l’equazione differenziale (3) valida per la trave inflessa.

4.1 La soluzione in assenza di carichi distribuiti per la trave a rigi-dezza costante

Ai fini dell’implementazione agli elementi finiti risulta particolarmente importante con-siderare il caso in cui le rigidezzeKf , Ks e Ka risultino costanti lungo la lunghezzadella trave, e risolvere per esso il sistema omogeneo di equazioni differenziali associatoalle (15), ovvero il problema ottenuto ponendo identicamentem = q = p = 0.

La terza equazione si riscrive:w′′ = 0 (16)

e fornisce una variazione lineare dellaw lungo la trave.Le prime due equazioni si riscrivono come segue:Ks (φ + v′) = Kf φ′′

Ks (φ + v′)′ = 0(17)


Derivando la prima e sostituendo la seconda a primo membro si ottiene:

Kf φ′′′ = 0 ⇒ φ′′′ = 0 (18)

da cui si ricava un’espressione quadratica dellaφ:

φ(z) = c1 + c2 z + c3z2

2(19)

Dalla seconda delle (17) si ricava invece:

v′′ = −φ′ = −c2 − c3 z (20)

dalla quale si ricava un’espressione cubica dellav:

v(z) = −φ′ = c4 + c5 z − c2z2

2− c3

z3

6(21)

Sostituendo la (20) e la (18) nella prima delle (17) si ottiene la relazione:

Kf c3 = Ks (c1 + c5) (22)

con la quale una delle costanti può essere espressa in funzione delle altre.Si conclude pertanto quanto segue.

Con il modello di Timoshenko, la soluzione esatta per una trave non soggetta acarichi distribuiti né a coppie distribuite, ed avente rigidezza costante, prevede unavariazione cubica dello spostamento trasversale, quadratica della rotazione e linearedello spostamento assiale. Tale soluzione dipende da 4 costanti indipendenti chevanno determinate mediante le condizioni al contorno.

Tale risultato consentirà di ricavare alcune importanti proprietà della soluzione otte-nuta mediante il metodo degli elementi finiti.

5 Elemento finito cubico

Si è visto in generale che, se le funzioni di forma utilizzate nel metodo degli elementifiniti generano un sottospazio dello spazio degli spostamenti che contiene la soluzioneesatta, e se l’integrazione numerica è esatta, allora il metodo fornisce effettivamente lasoluzione esatta.

Si consideri allora una travatura per la quale si adotta il modello di Timoshenko cheè stata discretizzata in un certo numero di elementi finiti. Si assuma inoltre che non visono carichi distribuiti né coppie distribuite, e che quindi si hanno solo forze e coppieconcentrate nei nodi tra elemento ed elemento (figura 5).

In base al risultato precedente, in ogni elemento finito della travatura la soluzioneprevede una variazione cubica dello spostamento trasversale, quadratica della rotazione


Figura 5: Travatura con sole forze e coppie applicate sui nodi della discretizzazione.

e lineare dello spostamento assiale. Se dunque si adottano funzioni di forma di taletipo, la soluzione del metodo degli elementi finiti coinciderà con la soluzione esatta delproblema.

Per una travatura non caricata solamente con carichi nodali, come quella di figura6.a, è possibile ancora ottenere la soluzione esatta se si opera per sovrapposizione deglieffetti seguendo il classico approccio del metodo degli spostamenti. Infatti, bloccandotutti i gradi di libertà nodali si riduce il problema ad un insieme di elementi trave inca-strati agli estremi (sistema (b) di figura 6), per i quali è possibile in generale ottenere lasoluzione del problema in modo esatto.

Caricando in nodi di un secondo schema (sistema (c) di figura 6) con l’opposto dellereazioni dei vincoli fittizi ottenute sullo schema con i gradi di libertà bloccati, si ottieneun travatura per la quale il metodo degli elementi finiti fornisce la soluzione esatta.

= +

(a) (b) (c)

Figura 6: Travatura generalmente caricata.

Pertanto, per una travatura generalmente caricata, a partire dalla soluzione ottenutacon il metodo degli elementi finiti (schema (c)) è possibile pervenire alla soluzione esat-ta aggiunge per ogni elemento trave la soluzione dello schema con gli estremi incastrati(schema (b)). La maggior parte dei programmi effettivamente aggiunge tale soluzio-


ne, almeno per quanto riguarda i diagrammi delle caratteristiche e relativamente ai piùcomuni schemi di carico distribuito o concentrato all’interno della travi .

5.1 Derivazione della matrice di rigidezza

Mentre per l’elemento finito della trave di Eulero-Bernoulli è immediato costruire fun-zioni di forma duali degli spostamenti e delle rotazioni di estremità che forniscano unavariazione cubica degli spostamenti, una procedura analoga per l’elemento di Timoshen-ko è relativamente più laboriosa. Si adotterà allora una procedura del tutto equivalenteper ricavare la matrice di rigidezza dell’elemento trave di Timoshenko che si basa sulsignificato fisico dei coefficienti della matrice di rigidezzaK.

A tale scopo si ricorda che, ordinati i parametri di spostamento dell’elemento travein un vettoreu, ed i corrispondenti parametri di forza in un vettoref :

u =

w1

v1

φ1

w2

v2

φ2

f =

H1

F1

M1

H2

F2

M2

(23)

La relazione dell’equilibrio elastico per l’elemento fornisce:

f = Ku →

H1

F1

M1

H2

F2

M2

=

K11 0 0 K14 0 0

0 K22 K23 0 K25 K26

0 K32 K33 0 K35 K36

K41 0 0 K44 0 0

0 K52 K53 0 K55 K56

0 K62 K63 0 K65 K66

w1

v1

φ1

w2

v2

φ2

(24)

dove gli zeri inseriti già tengono conto del disaccoppiamento tra il comportamentoestensionale e quello a flessione e taglio. In virtù di tale disaccoppiamento, la relazioneprecedente può decomporsi nelle due seguenti altre:

H1

H2

=

K11 K14

K41 K44

w1

w2

F1

M1

F2

M2

=

K22 K23 K25 K26

K32 K33 K35 K36

K52 K53 K55 K56

K62 K63 K65 K66

v1

φ1

v2

φ2

(25)


Gli elementiK11 e K41 sono pertanto pari alle forze assialiH1 e H2 che nasconoper uno spostamento assiale unitario positivo del primo estremo, ovvero perw1 = 1 ew2 = 0: K11 K14

K41 K44

1

0

=

K11

K41

(26)

mentre gli elementiK41 eK44 sono pari alle forze assialiH1 eH2 che nascono per unospostamento assiale unitario positivo del secondo estremo, ovvero perw1 = 0 ew2 = 1:K11 K14

K41 K44

0

1

=

K41

K44

(27)

Si vede facilmente che la matrice di rigidezza nella (25)1 è quella del pendolo:

K11 K14

K41 K44

=

E A

l−E A

l

−E A

l

E A

l

(28)

Per ricavare gli elementi della matrice di rigidezza nella (25)2 conviene allora risol-vere preliminarmente i due problemi della mensola caricata in un estremo con una forzao con una coppia.

5.2 Mensola caricata in un estremo con una forza

Si consideri la mensola di figura 7 caricata con una forza all’estremo.

F

Figura 7: Trave a mensola caricata con una forzaF sull’estremità.

L’espressione analitica del momento e del taglio è data da:

M(z) = −F (l − z) T (z) = F (29)

Dalle (14)1−2 si ottiene:

φ′ = − F

Kf

(l − z) v′ + φ =F

Ks

(30)

Integrando la prima relazione tenendo conto cheφ(0) = 0 si ha:

φ(z) = −F l z

Kf

+F z2

2 Kf

; (31)


sostituendo tale relazione nella seconda ed integrando, tenendo conto chev(0) = 0, siricava:

v(z) =F l z2

2 Kf

− F z3

6 Kf

+F

Ks

z (32)

Si ottendono i valori nell’estremoz = l:

φ(l)= −F l2

2 Kf

= − F l2

2 E If

v(l)=F l3

3 Kf

+F

Ks

l =F l3

3 E I+

F

G As

l =F l3

3 E I

(1 + 3

E I

G As l2

) (33)

Ponendo:

α =E I

G As l2(34)

il risultato precedente si riscrive:

φ(l) = − F l2

2 E If

v(l) =F l3

3 E I(1 + 3 α) (35)

Si ricava dunque per la rotazione dell’estremo la stessa espressione nota per la traveinflessa, mentre per lo spostamento l’espressione della trave inflessa va moltiplicata peril fattore adimensionale(1 + 3 α).

5.3 Mensola caricata in un estremo con una coppia

Ragionando in modo analogo, si ricava che per la mensola caricata con una coppiaall’estremo (figura 8) le espressioni della rotazione e dello spostamento all’estremitàsono identiche a quelle ben note per la trave inflessa:

φ(l) =M l

E Iv(l) = − M l

2 E I(36)

D’altra parte in tale caso il taglio identicamente nullo si traduce in uno scorrimentoanch’esso nullo, per cui la soluzione coincide con quella della trave inflessa.

Figura 8: Trave a mensola caricata con una coppiaM sull’estremità.


5.4 La matrice di rigidezza esatta dell’elemento

Gli elementi della terza colonna della matrice di rigidezza nella (25)2 si ottengonoponendov1 = φ1 = φ2 = 0 ev2 = 1:

F1

M1

F2

M2

=

K22 K23 K25 K26

K32 K33 K35 K36

K52 K53 K55 K56

K62 K63 K65 K66

0

0

1

0

=

K25

K35

K55

K65

(37)

ovvero mediante la soluzione del problema di figura 9. Essa può conseguirsi con ilmetodo delle forze, scrivendo le equazioni di congruenza:

φ(l) = 0 v(l) = 1 (38)

Ovvero tenendo conto delle (35) e (36):−X1 l2

2 E If

+X2 l

E I= 0

X1 l3

3 E I(1 + 3 α)− X2 l

2 E I= 1

(39)

Si ottiene:

X1 =12 E I

l31

1 + 12 α= F2 X2 =

6 E I

l21

1 + 12 α= M2 (40)

v = 12

X 2

X 1

Figura 9: Schema conv1 = φ1 = φ2 = 0 ev2 = 1.

Con semplici relazioni di equilibrio si ricava:

F1 = −F2 = −X1 M1 = −M2 + F2 l = −X2 + X1 l (41)


e quindi:

K25 = F1 = −12 E I

l31

1 + 12 α

K35 = M1 =6 E I

l21

1 + 12 α

K55 = X1 =12 E I

l31

1 + 12 α

K65 =6 E I

l21

1 + 12 α

(42)

Ragionando in modo analogo per lo schema di figura 10, si ricava la quarta colonnadella matrice di rigidezza nella (25)2:

K26 = F1 = −6 E I

l21

1 + 12 α

K36 = M1 =2 E I

l

1− 6 α

1 + 12 α

K56 = X1 =6 E I

l21

1 + 12 α

K66 =4 E I

l

1 + 3 α

1 + 12 α

(43)

= 12φ

X 2

X 1

Figura 10: Schema conv1 = φ1 = v2 = 0 eφ2 = 1.

Le prime due colonne si ricavano semplicemente per analogia tra gli schemi ed in


definitiva la matrice di rigidezza completa è la seguente:

K =

E Al

0 0 −E Al

0 0

0 12 E Il3

11+12 α

−6 E Il2

11+12 α

0 −12 E Il3

11+12 α

−6 E Il2

11+12 α

0 −6 E Il2

11+12 α

4 E Il

1+3 α1+12 α

0 6 E Il2

11+12 α

2 E Il

1−6 α1+12 α

−E Al

0 0 E Al

0 0

0 −12 E Il3

11+12 α

6 E Il2

11+12 α

0 12 E Il3

11+12 α

6 E Il2

11+12 α

0 −6 E Il2

11+12 α

2 E Il

1−6 α1+12 α

0 6 E Il2

11+12 α

4 E Il

1+3 α1+12 α

(44)

5.5 Esempio numerico

Si consideri la trave di acciaio di figura 11 in cui sono riportati anche i dati geometrici edel materiale.

Si vuole calcolare lo spostamentouL dell’estremità, che può decomporsi in unaparte dovuta esclusivamene alla deformazione di tipo flessionale e di una dovuta alloscorrimento.

Si ha in particolare:

ul,esatto=q L4

8 E I+

1

G As

q L2

2=

q L4

8 E I+

2 (1 + ν)

E As

q L2

2=

=10 · 10004

8 · 209000 · 15, 91 · 106+

2 · (1 + 0, 3) · 10 · 10002

209000 · 902, 859 · 2=

= 0.375918 + 0.068893 = 0.444812 mm

(45)

La differenza percentuale tra la soluzione ottenuta con i modelli di Timoshenko e diEulero-Bernoulli, rapportata alla soluzione del modello di Timoshenko, vale:

e =0.444812− 0.375918

0.444812∗ 100 = 15, 4882%

La soluzione ottenuta con l’elemento finito ‘esatto’ èuL = 0.4448116918262, ed èesatta fino all’ultima cifra significativa utilizzata nella (45).

Incrementando la lunghezza aL = 5000 mm, si ha invece:

uL,esatto = 96.235102 + 1.102293 = 97.3374 mm (46)

e la differenza percentuale tra la soluzione ottenuta con i modelli di Timoshenko e diEulero-Bernoulli, rapportata alla soluzione del modello di Timoshenko, vale:

e =97.3374− 96.235102

97.3374∗ 100 = 1, 132446%

La soluzione ottenuta con l’elemento finito ‘esatto’ èuL = 97.33739552708, edanche in questo caso è esatta fino all’ultima cifra significativa utilizzata nel calcolomanuale.


q

L

Sezione: IPE 200A

I = 15.91E6 mmx4

A = 952.859mmsy2

zx

y

E = 2.09E5 MPa

ν = 0.3

Materiale: Acciaio

q = 1000 mm

Figura 11: Esempio numerico.

6 Elemento finito lineare

Si è visto che nell’ipotesi di elasticità lineare è possibile ottenere la matrice di rigidezzaesatta mediante una formulazione che risulta equivalente alla scelta di funzioni di formarispettivamente cubiche, quadratiche e lineari inv, φ ew.

In alcuni casi può essere conveniente adottare un diverso tipo di elemento finito ba-sato su funzioni di forma lineari per tutte le funzioni incognite. Ciò è possibile perché,nella scrittura del lavoro virtuale interno, compaiono solo le derivate prime delle fun-zioni, per cui per garantire la buona posizione del problema discretizzato è sufficienteche le funzioni siano continue con le loro derivate prima all’interno dell’elemento, esemplicemente continue nei punti nodali. In tal modo, infatti, le derivate delle funzionirisultano costanti a tratti e sono dunque integrabili in quanto funzioni continue a menodi un insieme di misura nulla costituito dai nodi in cui si concentreranno in generaledelle discontinuità.

L’elemento finito lineare non fornisce la soluzione esatta del problema, se non per ilcaso particolare di una trave elastica soggetta ad un momento flettente costante. Essorisulta però conveniente per problemi caratterizzati da nonlinearità di tipo meccanico,problematica particolarmente attuale in quanto è spesso richiesto di svolgere analisi nonlineari di edifici adottanto legami momento/curvatura non lineari.

Per problemi non lineari, infatti, non valgono le equazioni (15) e dunque la sceltadi funzioni cubiche, quadratiche e lineari rispettivamente perv, φ e w non conducealla soluzione esatta. Prevale, pertanto, la necessità di limitare l’onere computazionaleassociato a ciascun elemento a causa dell’elevato numero di elementi richiesto nellezone in cui si ha il comportamento non lineare.


Modello con un elemento: asse della trave (rosso); carico distribuito (azzurro); vincoli ( verde).

Risultati per la formulazione esatta: diagramma del momento (marrone chiaro); configurazione deformata (rosso); azioni nodali equivalenti (azzurro).

Figura 12: Trave a mensola con carico distribuito: discretizzazione ed output grafico.

6.1 Trasformazione isoparametrica e legame spostamenti deforma-zioni

Le funzioni di forma dell’elemento sono, come detto, lineari e definite sull’elemento diriferimento in cui l’ascissaζ varia fra−1 e+1 (figure 13 e 14). Si ha dunque:

v(ζ) =1− ζ

2v1 +

1 + ζ

2v2 φ(ζ) =

1− ζ

2φ1 +

1 + ζ

2φ2

w(ζ) =1− ζ

2w1+

1 + ζ

2w2

(47)

Ordinando in un unico vettoreu le componentiv, φ ew e nel vettorep i gradi di libertàdell’elemento, si ha:

u(ζ) = N(ζ)p (48)


con:

u(ζ) =

w(ζ)

v(ζ)

φ(ζ)

e p =

w1

v1

φ1

w2

v2

φ2

(49)

N(ζ) =

1− ζ

20 0

1 + ζ

20 0

01− ζ

20 0

1 + ζ

20

0 01− ζ

20 0

1 + ζ

2

(50)

z z 2

z 1

+1−1 ζ 0

Elemento di riferimento

Elemento reale

Figura 13: Elemento di riferimento ed elemento reale.

+1−1

ζ

1

+1−1

ζ

1

1− ζ 2

1+ ζ 2

Figura 14: Funzioni di forma lineari.

L’elemento è isoparametrico e quindi la trasformazione dall’elemento di riferimentoa quello reale è ancora governata dalle stesse funzioni di forma lineari e si ha:

z(ζ) =1− ζ

2z1 +

1 + ζ

2z2 (51)


La derivata della mappa di trasferimento è data da:

dz

dζ=

z2 − z1

2=

l

2(52)

avendo indicato conl = z2 − z1 la lunghezza dell’elemento.La curvaturaχ è allora data da:

χ = φ′ =dφ

dz=

dφ

dζ

dζ

dz=

dφ

dζ

1dz

dζ

=φ2 − φ1

2

2

l=

φ2 − φ1

l(53)

Con analoghi passaggi si ricava per lo scorrimento l’espressione:

γ = v′ + φ =v2 − v1

l+

1− ζ

2φ1 +

1 + ζ

2φ2 (54)

e per la deformazione assiale:

εa = w′ =w2 − w1

l(55)

Ordininando in un unico vettoreε, che rappresenta la ‘deformazione generalizzata’del modello,χ, γ e εa:

ε =

χ

γ

εa

(56)

le tre relazioni precedenti si possono condensare in un’unica relazione matriciale:

ε(ζ) = B(ζ)p (57)

dove la matriceB(ζ) è quella che lega i vettori dei gradi di libertà dell’elemento alvalore puntuale delle deformazioni generalizzateε(ζ), ed è data da:

B(ζ) =

0 0 −1

l0 0

1

l

0 −1

l

1− ζ

20

1

l

1 + ζ

2

−1

l0 0

1

l0 0

(58)

6.2 Legame costitutivo

Si considererà qui per semplicità il caso del legame elastico sebbene, come si è detto,l’elemento lineare sia soprattutto da utilizzare per problemi non lineari. Ordinando lecaratteristiche della tensione in un unico vettoreσ della ‘tensione generalizzata’, si ha:

σ = D ε con:σ =

M

T

N

D =

E I 0 0

0 G As 0

0 0 E A

(59)


6.3 Matrice di rigidezza

Le espressioni (48), (57) e (59) sono quelle classicamente utilizzate nel metodo deglielementi finiti per un qualsiasi tipo di elemento. In questo caso il dominio di riferi-mentoΩ è l’intervallo [−1, 1]. L’espressione della matrice di rigidezza è dunque quellaclassicamente ricavata, ovvero:

K =

∫−1

+1

BT (ζ)DB(ζ)dζ (60)

L’integrale viene calcolato numericamente mediante la regola di integrazione di Gauss,ottenendo quindi:

K =Ng∑i=1

BT (ζi)DB(ζi) Wi (61)

avendo indicato conNg il numero di punti d’integrazione utilizzati.Nel caso elastico in esame e nell’ipotesi fatta di materiale omogeneo nell’elemento,

le componenti della funzione integranda sono funzioni al più quadratiche, per cui 2punti di Gauss sono sufficienti per ottenere l’integrazione esatta. Si vedrà però che èopportuno scegliere un solo punto di Gauss per eliminare il cosiddetto problema dellocking.

6.4 Vettore delle forze equivalenti

Ordinate le funzioni carichi distribuiti e coppie distribuiti nel vettoref :

f =

p(ζ)

q(ζ)

m(ζ)

(62)

anche l’espressione delle forze nodaliq equivalenti è quella classicamente ricavata nelmetodo degli elementi finiti, ovvero:

q =

∫−1

+1

NT (ζ) f(ζ) dζ (63)

L’integrale viene calcolato poi numericamente:

q =Ng∑i=1

NT (ζi) f(ζi) Wi (64)

6.5 Il problema del ‘locking’

Quando il parametroα, introdotto nella (34), tende a zero la deformazione a taglio tendead essere trascurabile rispetto alla deformazione di tipo flessionale.


Fl

21

Figura 15: Problema deklocking.

Pertanto, se la formulazione dell’elemento finito non consente di avere simulta-neamente scorrimento identicamente nullo (γ = 0) e curvatura flessionale non nulla(χ 6= 0), l’elemento acquista un’eccessiva rigidità che ne rallenta la convergenza. Taleè il caso dell’elemento finito lineare per la trave di Timoshenko.

Per capire meglio tale problema si consideri l’esempio costituito dalla mensola di fi-gura 15, discretizzata con un solo elemento. Lo scorrimento e la curvatura nell’elementosono dati dalle formule (54) e (53):

γ =v2 − v1

l+

1− ζ

2φ1 +

1 + ζ

2φ2 χ =

φ2 − φ1

l(65)

Essendo in questo casov1 = φ1 = 0, si ottiene:

γ =v2

l+

1 + ζ

2φ2 χ =

φ2

l(66)

Utilizzando la regola d’integrazione numerica di Gauss con due punti di integrazionesi ottiene in questo caso l’integrazione esatta. I punti hanno posizioneζi = ±1/

√3 e

pesoWi = 1 entrambi. Imponendo uno scorrimento identicamente nullo, si ottienedunque:

γ = 0 ⇒

v2

l+

1 + 1√3

2φ2 = 0

v2

l+

1− 1√3

2φ2 = 0

⇒ v2 = φ2 = 0 (67)

Sostituendo nella (66)2 si deduce che ancheχ = 0. Dunque, l’integrazione esatta,ottenuta con due punti di Gauss, produce un completo ‘bloccaggio cinematico’ (locking)nel caso limite in cui si assuma infinita la rigidezza a taglio.

In realtà lo scorrimento non è mai veramente nullo e dunque il problema dellockingsi traduce in una convergenza del metodo degli elementi finiti estremamente lenta e nellanecessità di utilizzare un eccessivo numero di elementi ovvero, in ultima analisi, in unascarsissima efficienza computazionale.

6.5.1 Sottointegrazione

Per rimediare al problema dellocking nell’elemento finito lineare per la trave di Ti-moshenko si ricorre al cosiddetto metodo della sottointegrazione, che consiste nel-


l’utilizzare un solo punto di Gauss al posto dei due che conducono all’integrazioneesatta.

La posizione dell’unico punto di Gauss è al centro (ζ = 0) ed il suo peso èW = 2,per cui con tale procedura l’imposizione di uno scorrimento nullo equivale a porre:

v2

l+

φ2

2= 0 (68)

e quindi ad imporre semplicemente che siav2 = −φ2, che possono essere in generalenon nulli.

Si può mostrare che, nel caso dell’elemento lineare in esame, la procedura di sottoin-tegrazione non introduce modi spuri ad energia nulla, ovvero moti rigidi addizionali perl’elemento.

6.6 Esempio numerico: convergenza del metodo

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 5 10 15 20 25 30

Elemento Lineare

Soluzione Esatta

N. elementi

u (mm)

Figura 16: Convergenza dell’elemento lineare: spostamento dell’estremità.

Si considera di nuovo l’esempio di figura 11 nel casoL = 1000 mm, e si risolve ilproblema discretizzando la trave in un numeroN di elementi. La figura 16 mostra ildiagramma ottenuto riportando sulle ascisse il numero di elementi e sulle ordinate lospostamento verticale dell’estremità della mensola. Si vede chiaramente che all’aumen-tare del numero di elementi la soluzione tende rapidamente ad un asintoto orizzontaleche coincide con la soluzione esatta del problema.

Il risultato è anche evidente dal grafico di figura 17 che riporta l’errore percentualecommesso al variare del numero di elementi.

Nella figura 18 si sono riportati i diagrammi del momento ottenuti con le diversediscretizzazioni.


0

10

20

30

0 5 10 15 20 25 30 35

e %

N. elementi

Figura 17: Convergenza dell’elemento lineare: errore percentuale.

N=1 N=2

N=4 N=8

N= 16 N=32 Figura 18: Convergenza dell’elemento lineare: configurazione deformata e diagramma

del momento.

6.7 Analogia tra il modello di trave di Timoshenko e quello di pia-stra di Reissner-Mindlin

Oltre alla sua utilità per i problemi non lineari, di cui si è già detto, un secondo motivoper cui l’elemento finito lineare per la trave di Timoshenko risulta di grande interesse


è costituito dall’analogia esistente tra la formulazione del modello di Timoshenko peril problema monodimensionale delle travature, e quella del modello bidimensionale diReissner-Mindlin per le piastre, che rappresente il più semplice modello di piastra traquelli che tengono conto della deformabilità a taglio.

Per le piastre la formulazione analoga a quella di Eulero-Bernoulli per le travi è co-stituita dal modello di Kirchhoff. E’ utile sottolineare però che mentre la formulazionedi un elemento finito per la trave di Eulero-Bernoulli è agevole ed efficace, e dunquelargamente utilizzata, per le piastre la formulazione di un elemento finito per il modellodi Kirchhoff risulta complessa e computazionalmente non molto efficace, per cui si pre-ferisce spesso adottare elementi finiti basati sul modello di Reissner-Mindlin anche perproblemi in cui la deformazione a taglio risulta effettivamente trascurabile.

Si capisce dunque quanto sia importante che l’elemento finito per la piastra di Reissner-Mindlin fornisca, al limite per lo spessore tendente a zero, il comportamento della pia-stra di Kirchhoff. Ma anche per gli elementi finiti per la piastra di Mindlin-Reissnernasce il problema dellocking. Peraltro, per le piastre, il metodo della sottointegrazio-ne non conserva il rango della matrice di rigidezza e quindi introduce alcuni modi adenergia nulla che in alcuni casi possono condurre a soluzioni inaccettabili.

Alfano Timoshenko

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