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Alessandro Petrolini - Dipartimento di Fisica dell’Università di Genova and INFN - ItaliaThursday 10th January, 2013

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Esercitazioni di Fisica Generale 1Esercizi e Problemi di Meccanica

AA 2012 - Thursday 10th January, 2013

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2 Thursday 10th January, 2013– PRELIMINARE !

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Contents

1 Introduzione 11.1 Referenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Sulla risoluzione dei problemi di fisica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1 In generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Esercitazione guidata FG1 - 19/11/12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.1 L’aereo e il vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.2 Due pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.3 Il calciatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.4 Il trenino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.5 Un piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Esercitazione guidata FG1 - 08/01/13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.1 Davide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.2 Un sistema massa-molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.3 Un’esplosione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.4 Un satellite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Problemi risolti di: Giancarlo Cella, Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, Pisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6 Problemi selezionati da: I. E. Irodov, Problems in geneal physics, MIR publishers, Moscow . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Calcolo vettoriale 72.1 Il giocatore di golf (HRK4 3.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Spostamento delle lancette dell’orologio (HRK4 3.12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 La ruota (HRK4 3.16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Il missile e il radar (HRK4 3.24) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Prodotto scalare e vettoriale in componenti cartesiane ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6 Prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.7 Prodotto di un vettore con se stesso (HRK4 3.31) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.8 Proprietà distributiva del prodotto scalare e vettoriale (HRK4 3.44) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.9 Interpretazione geometrica del prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.10 Area di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.11 Teorema dei coseni (di Carnot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.12 Teorema dei seni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.13 Volume di un parallelepipedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.14 Triplo prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.15 Scomposizione di un vettore in componenti rispetto ad un versore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.16 Invarianza per rotazioni del prodotto scalare di due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.17 Diagonali interne di un cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.18 Metodo del raddoppio dell’angolo di prua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.19 Identità trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.20 ♠ Soluzione di equazioni vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.21 ♠ Legge di Snell della rifrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Grandezze fisiche e misure 113.1 Fuso orario e circonferenza della Terra (HRK4 1.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 L’orologio che va avanti (HRK4 1.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Mese siderale e mese lunare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 L’ettaro (HRK4 1.18) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.5 La misura di Eratostene del diametro della Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.6 Misura del diametro della Terra con un metro e un cronometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.7 Unità astronomica, anno-luce e parsec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.8 Misura della distanza Terra-Sole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.9 Dimensioni del Sole e della Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.10 Il sistema di localizzazione GPS (HRK4 1.26) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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3.11 L’unità di massa atomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.12 Massa molecolare media dell’aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.13 L’aria in una stanza (HRK4 1.30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.14 Densità del gas interstellare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.15 Il chilogrammo standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.16 Distanza tra gli atomi del ferro (HRK4 1.36) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.17 La vecchia definizione del metro (HRK4 1.37) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Cinematica in una dimensione 134.1 Il jet in volo radente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 L’auto da corsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Moto in una dimensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4 Lo scontro fra i treni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5 Achille e la tartaruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.6 Il problema del bagnino e il principio del tempo minimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.7 L’uccello che vola tra i due treni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.8 Il cane e il plotone di soldati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.9 Moto in una dimensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.10 Moto unidimensionale generico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.11 Accelerazione di un elettrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.12 Controllo automatico di velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.13 Velocità di caduta delle gocce di pioggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.14 Accelerazione di gravità su un altro pianeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.15 Misura del tempo di reazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.16 La caduta da un edificio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.17 Proprietà del moto di un grave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.18 La palla lanciata verso il suolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.19 Metodo per misurare l’accelerazione di gravità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.20 La palla che cade davanti alla finestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.21 Oggetto visto da una finestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.22 Moto in fluido viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.23 Oggetto che cade e rimbalza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.24 La profondità del pozzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.25 Il problema dei semafori sincronizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.26 Il cacciatore che spara all’uccello su un ramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.27 Il centometrista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Cinematica nel piano e nello spazio 175.1 Il tubo a raggi catodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Il tiro delle freccette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3 Il moto del proiettile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.4 Il bombardiere e la contraerea - Il cacciatore e la lepre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.5 La pietra lanciata verso l’altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.6 Gittata massima del cannone e gittata lungo un piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.7 Parabola di sicurezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.8 Salto in lungo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.9 Il cannone sulla collina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.10 Aggiustamento del tiro del cannone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.11 La ruota panoramica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.12 Stelle di neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.13 Distanza minima tra due aereoplani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.14 Distanza minima tra due oggetti in moto arbitrario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.15 Oggetti superluminali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.16 ♠ Raggio di curvatura della traiettoria di un grave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.17 ♠ Accelerazione tangenziale ed accelerazione normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.18 Velocità e accelerazione nel moto armonico bidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.19 Velocità e accelerazione in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.20 Velocità areolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.21 Il cannone sulla collina e quello in basso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.22 ♠ Il missile che insegue l’aereo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.23 Determinazione della traiettoria di una EAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.24 L’auto di passaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.25 La battaglia navale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

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Thursday 10th January, 2013– PRELIMINARE ! 5

5.25.1 Una misura di g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Cinematica rotazionale 216.1 Conversione di velocità angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2 Moto del Sole nella galassia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.3 La freccia lanciata verso una ruota che gira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.4 La ruota della diligenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.5 Giorno solare e giorno siderale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.6 La pulsar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.7 Periodo sinodico dei pianeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.8 Moto circolare non uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.9 La cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.10 Velocità alla superficie terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.11 Misura della velocità della luce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.12 La cinghia di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.13 Moto con accelerazione angolare costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.13.1 Cinematica di un CD/DVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.13.2 Misura della velocità della luce con il metodo di Fizeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7 Cinematica relativa 237.1 L’auto sotto la pioggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.2 L’aereo e il vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.3 Moto di un grave dentro un ascensore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.4 La barca che attraversa il fiume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.5 Aberrazione non relativistica della luce stellare (di Bradley) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.6 Moto libero osservato da un Reference Frame ruotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.7 ♠ Il cannoncino sulla giostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.8 ♠ Barca che attraversa il fiume puntando il timone al punto di arrivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.9 ♠ Il problema della barca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.10 Il volo intercontinentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.11 Pistone e biella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.12 La scala che scivola giù dal muro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8 Dinamica elementare del punto materiale 258.1 La nave a vela solare (HRK4 5.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.2 Il dinamometro e la tensione della fune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.3 L’ascensore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.4 Il salto sul pavimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.5 Il blocco trascinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.6 La fune per calare un oggetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.7 Il blocco sospeso a due corde (HRK4 §5.10E4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.8 Due blocchi che scivolano giù dal tavolo (HRK4 §5.11E8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.9 L’auto trainata sul pendio (HRK4 5.42) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.10 L’aereo a reazione (HRK4 5.48) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.11 Il piano inclinato sull’ascensore (HRK4 5.51) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.12 La scimmia sulla carrucola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.13 I tre blocchi trascinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.14 I due blocchi a contatto (HRK4 5.56) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.15 Tensione di una fune con massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.16 Piano inclinato (HRK4 5.59) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.17 Dinamica dell’ascensore (HRK4 5.61) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.18 La macchina di Atwood (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.19 Due particelle legate (HRK4 5.64) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.20 La sbarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.21 Il pendio (HRK4 6.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.22 Il libro schiacciato contro il muro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.23 La cassa da spostare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.24 Il mucchio di sabbia (HRK4 6.13) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.25 Il piano inclinato sulla bilancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.26 Due blocchi che scivolano dal pendio (HRK4 6.25) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.27 Moto di un oggetto soggetto a forza crescente in presenza di attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.28 Blocco lanciato su per un piano inclinato con attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.29 Blocchi e carrucola (HRK4 6.17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.30 Configurazione ottimale per trascinare una cassa su un piano con attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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8.31 Problema del ristagno in presenza di attrito statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.32 Le due masse sul piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.33 Il traino della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.34 L’auto in curva - La virata dell’aereoplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.35 L’auto sulla strada con dossi e avvalamenti (HRK4 6.44) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.36 Misuratore di velocità angolare a forza centrifuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.37 ♠ Il blocco che scivola su un piano inclinato libero (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.38 Il piano oscillante con la massa sopra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.39 Resistenza del mezzo proporzionale alla velocità - Il cannone - La pioggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.40 ♠ Resistenza del mezzo proporzionale al quadrato della velocità - Il paracadute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.41 ♠ La catena che scivola dal bordo del tavolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

9 Dinamica elementare in un Sistema di Riferimento non inerziale 319.1 Il peso apparente in ascensore (HRK4 §5.10E7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319.2 La cassa sull’autocarro che frena (Oha 6.24) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319.3 La moneta sul piatto del giradischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319.4 Il rotore del Luna Park (HRK4 §6.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319.5 L’imbuto ruotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319.6 Periodo di un pendolo in un treno in curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319.7 Direzione della verticale e peso apparenti sulla Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319.8 Calcolo approssimato della deviazione verso est della caduta dei gravi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319.9 Deviazione verso ovest di un oggetto lanciato verso l’alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329.10 Oggetto fermo visto da una giostra in moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

10 Lavoro, energia, quantità di moto e momento angolare del punto materiale 3310.1 Accelerazione di protoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3310.2 Collisioni tra comete e la Terra e crateri prodotti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3310.3 La catena sul tavolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3310.4 La palla non elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3310.5 Il blocco che cade sulla molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3310.6 Potenza sviluppata da un transatlantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3310.7 La centrale idroelettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3410.8 L’argano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3410.9 La potenza dell’automobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3410.10La potenza dell’aereoplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3410.11L’automobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3410.12Covarianza del teorema lavoro-energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3410.13Regolatore a forza centrifuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3410.14Il cubetto entro la calotta sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3410.15Il pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3510.16Il blocco spinto su per un piano inclinato da una molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3510.17Il blocco frenato dalla molla in fondo ad un piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3510.18Tarzan e la liana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3510.19Il punto materiale che cade da una semisfera rovesciata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3510.20♠ Il punto materiale che cade lungo un profilo qualunque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3510.21Il pendolo balistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3510.22Il giro della morte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3510.23Punto materiale attaccato alla molla ruotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610.24Il potenziale di Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610.25L’atomo di idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610.26Scala Richter della magnitudo di un terremoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610.27Momento angolare di una particella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610.28Momento angolare nel Sistema Solare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610.29Legge di variazione del momento angolare al variare del polo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610.30Accelerazione angolare che accompagna la contrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

11 Dinamica dei sistemi 3911.1 Centro di massa del sistema Terra-Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.2 Distanza di due particelle dal loro centro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.3 L’uomo che sale sulla mongolfiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.4 Il cannone sul vagone ferroviario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.5 La molecola dell’ammoniaca (HRK4 9.10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.6 La catena che scivola (HRK4 9.13) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.7 Il peso di Judy (HRK4 9.15) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

DRAFT


11.8 Centro di massa di un oggetto composto (HRK4 9.17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.9 Centro di massa di una lastra composta (HRK4 9.18) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.10Centro di massa del liquido in un serbatoio (HRK4 9.20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.11Il primo teorema di Guldino per il calcolo del centro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.12Il secondo teorema di Guldino per il calcolo del centro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.13La corsa sul vagone ferroviario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.14La mitragliatrice (HRK4 9.33) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.15Il distacco dell’ultimo stadio del missile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.16Decadimento di un nucleo radioattivo (HRK4 9.37) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.17Le persone che corrono sul vagone (HRK4 9.41) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.18Teorema di Koenig per due particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.19Teorema di Koenig per tre o più particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.20Teorema dello pseudo-lavoro (HRK4 §9.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.21Il vagone merci sotto la pioggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.22Il jet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4111.23Energia cinetica relativistica (HRK4 9.27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4111.24Elettrone relativistico (HRK4 9.28) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4111.25Il blocco che scivola su un piano inclinato libero (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4111.26Il nastro trasportatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4111.27La macchina di Atwood (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4111.28Momento d’inerzia di un’asta sottile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4111.29Momento angolare di un manubrio ruotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4111.30Momento angolare di un sistema: variazione al variare del polo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4111.31Momento angolare di un sistema: componente orbitale e di spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4111.32Momento angolare nel Reference Frame del centro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.33Oggetto in rotazione attorno ad un asse (HRK4 12.08) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.34Il volano (HRK4 12.10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.35Raggio di girazione (HRK4 12.11) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.36Momento di inerzia come limite di una sommatoria (HRK4 12.12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.37Rotazione della Terra (HRK4 12.25) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.38Blocchi più carrucola (HRK4 12.29) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.39La ciminiera che cade e si rompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.40Il disco ruotante appoggiato al tavolo con attrito (HRK4 12.40) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.41Lo yo-yo (HRK4 12.47) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.42Caduta lungo una guida (HRK4 12.50) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.43Variazione sul problema dello yo-yo (HRK4 12.51) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.44Il tappeto che si srotola (HRK4 12.52) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.45L’oggetto incognito che rotola (HRK4 12.54) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.46La ruota dell’aereoplano che striscia al suolo (HRK4 12.56 & Oha 10.49) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.47La sfera che rotola sul piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.48Impulso angolare (HRK4 13.09) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.49Il tiro della palla al biliardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.50Centro di percussione di una mazza da baseball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4311.51Evoluzione del sole in una nana bianca (HRK4 13.27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4311.52La scheggia che salta dal disco in rotazione (HRK4 13.35) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4311.53Lo scioglimento delle calotte polari (HRK4 13.40) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4311.54Dinamica della nascita della Terra (HRK4 13.41) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4311.55Quantizzazione del momento angolare (HRK4 13.44 & 13.45) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

12 Statica 4512.1 L’automobile nel fango (HRK4 14.09) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4512.2 Equilibrio di un sistema (HRK4 14.10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4512.3 La massa di un regolo graduato (HRK4 14.14) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4512.4 La ruota che sale il gradino (HRK4 14.19) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4512.5 La carrucola (HRK4 14.22) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4512.6 L’insegna appesa (HRK4 14.23) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4512.7 Equilibrio di una asta (HRK4 14.25) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4512.8 La mensola (HRK4 14.29 & 14.30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4512.9 Trave incernierata al muro e sorretta da una corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4512.10La scala appoggiata al muro (HRK4 E14.3 & E14.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4512.11L’auto che frena (HRK4 14.36) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4512.12Lo scalatore (HRK4 14.42) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4512.13Il tunnel (HRK4 14.48) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

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13 Altri Esercizi e Problemi vari 47

14 Altri Esercizi e Problemi da Halliday-Resnick(-Krane) 4914.1 Misure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5014.2 Calcolo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5114.3 Cinematica del punto materiale in una dimensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5214.4 Cinematica del punto materiale nel piano e nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5314.5 Cinematica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5414.6 Dinamica elementare del punto materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5514.7 Lavoro, energia, impulso, quantità di moto, momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5614.8 Meccanica dei sistemi di particelle, urti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5714.9 Meccanica rotazionale, Meccanica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5814.10Statica, Elasticità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5914.11Oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6014.12Gravitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

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Chapter 1

Introduzione

1.1 Referenze• Iro := I. E. Irodov, Problems in General Physics, ISBN 5-03-000800-4, MIR publishers Moscow, (1988)

• HR := Halliday-Resnick (3 ed., 1978, Casa Editrice Ambrosiana)

• HRK4 := Halliday-Resnick-Krane (4 ed., 1994, Casa Editrice Ambrosiana)

• HRK5 := Halliday-Resnick-Krane (5 ed., ?, Casa Editrice Ambrosiana)

• AF: Alonso-Finn

• Oha := Ohanian

• BerM := Berkeley Physics Course, Vol. 1, Mechanics, (1965, McGraw-Hill)

• BerEM := Berkeley Physics Course, Vol. 2, Electricity and Magnetism, (1965, McGraw-Hill)

• BerW := Berkeley Physics Course, Vol. 3, Waves, (1968, McGraw-Hill)

• Spi := M. R. Spiegel, Theoretical Mechanics, (1967, McGraw-Hill); MeccanicaRazionale,(1974,ETASKompassLibri,CollanaSCHAUM)

1.2 Sulla risoluzione dei problemi di fisicaThursday 10th January, 2013Seguire le procedure ed evitare sempre di improvvisare o andare ad intuito: è il modo migiore per sbagliare.

1.2.1 In generale

1. Leggere più volte con attenzione il testo e raffigurarsi il fenomeno fisico in questione. Cercare di estrarre tutte le informazionidal testo; spesso le informazioni non sono espresse in modo diretto o esplicito. In un esercizio tutte le informazioni sono esplicitenel testo; in un problema sono necessarie informazioni o passi intermedi non esplicitamente indicati nel testo. Notare che i datifisici comuni (per esempio massa e raggio della Terra, massa e carica elettrica di un elettrone o le comuni constanti fisiche)spesso non sono esplicitamente indicati nel testo.

2. Convertire subito all’inizio tutti i dati numerici in unità del SI, per evitare miscugli di unità incompatibili e vedere subito irapporti tra le grandezze omogenee.

3. Provare a capire la fisica del problema, prima di lanciarsi nella soluzione e nei dettagli matematici. Spesso si possono ottenererisposte approssimate usando ipotesi semplificatrici; si può raffinare in seguito la soluzione, per successive approssimazioni.

4. Fare gli opportuni disegni o schemi, che sono sempre utili (indispensabili).

5. Decidere il Sistema di Riferimento (se non inerziale prendere nota delle forze fittizie).

6. Scegliere il Sistema di Coordinate entro il sistema di riferimento scelto, quello che sembra più comodo.

7. Decidere e definire con estrema precisione il sistema (o i sistemi) a cui applicare le leggi fisiche.

8. Applicare le leggi fisiche al sistema, cercando di tradurre in equazione tutte le informazioni che si possono evincere dal testo.

9. Le grandezze fisiche conservate del problema sono sempre di grande aiuto per semplificare la soluzione del problema. Se sonoprensenti conviene di solito usarle prioritariamente.

10. Contare, nelle equazioni scritte, le incognite e le variabili: se ci sono meno equazioni che variabili cercare altre equazioni, siarileggendo il testo per informazioni esplicite, sia riflettendo sul fenomeno fisico per informazioni non esplicitamente propostenel testo, sia chiedendosi quali grandezze sono conservate.

11. Non dimenticare che ogni problema di fisica è un modello, sempre semplificato, di un fenomeno fisico. Non pretendere di tenerconto di tutto, ma adeguarsi al testo e alle ipotesi del problema e al bouns senso...

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12. Non fare l’errore di cercare di rispondere a domande che non sono state fatte ma limitarsi a cercare di ricavare quello che vienechiesto anche perchè potrebbero mancare nle testo le informazioni per ricavare di più.

13. Risolvere sempre le equazioni in forma simbolica fino alla fine, sostituire sempre i valori numerici per ottenere il risultatonumerico, ma solo nella formula finale.

14. Verificare le corrette dimensioni delle formule scritte.

15. Verificare sempre che i risultati, sia la formula simbolica che i risultati numerici, appaiano sensati.

16. Se le equazioni danno più soluzione di quante se ne attendono prestare attenzione a sceglire quella giusta per il problema, dato iltesto del problema. Cercare di interpretare le altre soluzioni, per maggior sicurezza (talvolta l’interpretazione delle altre soluzioninon è affatto semplice...).

17. Analizzare con cura tutti i possibili casi limite delle formule ottenute: casi con speciali valori dei vari parametri per cui lasoluzione si trova immediatamente senza risolvere le equazioni; verificare che la soluzione sia sensata e in accordo con laformula. Analizzare con cura che i parametri influenzano la risposta nel modo che ci si attende.

18. Ove possibile e ci sia tempo, risolvere lo stesso problema con scelte diverse, come: diverso sistema di riferimento, diversosistema di coordinate, diversa scelta del sistema, ....

19. Scrivere tutto in modo ordinato e procedere sempre con diligenza; fare tutti i passaggi in dettaglio per evitare errori banali.

1.2.2 Meccanica

1. Elencare le forze e i momenti che agiscono sul sistema dall’esterno: forze a contatto, forze a distanza e forze inerziali. Se siusano due o più sistemi porre attenzione alla corretta aplicazione del principio di azione e reazione: se A esercita su B unaforza/momento allora B esercita su A una forza/momento uguali e opposti.

2. Le reazioni vincolari sono sempre incognite da determinarsi dalle equazioni del moto.

3. Ricercare gli eventuali vincoli cinematici, relazioni tra le incognite che derivano dal moto che si assume.

4. In presenza di attrito statico: supporre che il corpo stia in quiete, calcolare la forza di attrito statico necessaria e verificare sel’attrito statico può fornire una forza così grande; se si, sta in quiete, se no si muove e si deve re-impostare il problema con attritocinetico.

5. Se vengono richieste forze o momenti è sempre necessario scrivere prima o poi le equazioni cardinale della meccanica. Altri-menti molti problemi possono essere risolti usando solo le leggi di conservazione.

6. Ove possibile e ci sia tempo, risolvere lo stesso problema con scelte diverse, come: diverso sistema di riferimento, diverso sistemadi coordinate, diversa scelta del sistema, uso della seconda equazione cardinale della dinamica con un polo differente, uso delleleggi cardinali piuttosto che dei principi di conservazione, verificare la compatibilità dei risultati ottenuti da due osservatori inmoto relativo.

7. Prendere con attenzione i detti comuni che valgono di solito ma non sono leggi generali. Esempio: una reazione vincolarenormale non fa lavoro se e solo se il vincolo è fisso; se il vincolo è mobile può fare lavoro.

8. Ricordare che ci sono grandezze invarianti per cambiamento tra sistemi di riferimento inerziali e grandezze che cambiano.Esempio: una velocità cambia, una velocità relativa non cambia. Esempio: il lavoro e l’energia cinetica cambiano.

1.3 Esercitazione guidata FG1 - 19/11/121.3.1 L’aereo e il vento

HRK4 4.73 HRK5 4.P26 HRK5 4.E41Un pilota vola verso est da A a B e quindi torna verso ovest in A.Sia v′ la velocità dell’aereo rispetto all’aria, u quella del vento rispetto al suolo e l la distanza tra A e B. Si supponga che l’aereo si

muova a velocità di modulo costante.• Se u = 0 mostrare che la durata del viaggio è t0 = 2l/v′.• Supponendo che il vento soffi verso est mostrare che la durata del viaggio è

tE =t0

1−u2/v′2.

• Quanto dura il viaggio se il vento soffia verso ovest?• Supponendo che il vento tiri verso nord mostrare che la durata del viaggio è

tN =t0√

1−u2/v′2,

e calcolare in che direzione deve puntare l’aereo per raggiungere B da A.

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1.3.2 Due pulegge

HRK5 8.P11Due pulegge di raggio rA = 10 cm e rB = 25 cm sono collegate da una cinghia. La puleggia A ha una accelerazione angolare

costante, α = 1.6 rad/s2, partenda da ferma.• Calcolare dopo quanto tempo la ruota B ruota a velocità angolare ω = 100 rad/s.• All’istante di cui sopra, calcolare la velocità e l’accelerazione di un punto sul bordo della seconda puleggia.

1.3.3 Il calciatore

Un calciatore è in grado di imprimere al pallone una velocità iniziale di 25 m/s.Entro quale intervallo di angolo d’alzo deve calciare se vuole segnare una rete dalla distanza di D= 50 m dalla porta, alta h= 3.4 m?

SoluzioneRisolvere la disequazione:

0≤ y[x = D]≤ h 25.8511≤ θ ≤ 31.0964 oppure 62.7938≤ θ ≤ 64.1489

1.3.4 Il trenino

Un "treno" di blocchetti identici di massa m sono trainati lungo una guida lineare orizzontale con attrito. Si calcoli:• la forza necessaria al traino se la velocità è costante, sapendo che la forza che tira il quinto blocco è tre volte quella che agisce

sul quindicesimo;• la forza necessaria al traino se il treno si muove con accelerazione costante a.

1.3.5 Un piano inclinato

Un blocco di massa m = 7.96 kg è fermo su un piano inclinato di angolo θ = 22 sull’orizzontale. I coefficienti di attrito radentesono µs = 0.25 e µc = 0.15. Calcolare:• la forza minima parallela al piano inclinato che impedisce al blocco di scivolare giú;• la forza minima parallela al piano inclinato per effetto della quale il blocco comincerà a scivolare verso l’alto;• il valore della forza parallela al piano tale che il corpo sale con velocità costante.

1.4 Esercitazione guidata FG1 - 08/01/131.4.1 Davide

Davide fa ruotare una pietra di massa m = 100 g all’estremità di una fune lunga L = 0.4 m in un piano posto ad un’altezzaH = 1.50 m da terra quando, raggiunta la velocità angolare ω0 = 2 giri/s, la fune si rompe. Si determini:

1. l’accelerazione radiale della pietra al momento della rottura della fune;

2. il modulo della forza totale esercitata dalla fune sulla pietra al momento della rottura della fune;

3. la velocità scalare della pietra nel punto di impatto con il terreno;

4. la distanza del punto di impatto al suolo dal punto in cui la corda si è rotta.

1.4.2 Un sistema massa-molla

Un sistema massa-molla (m = 0.2 kg e k = 0.8 N/m) si trova inizialmente compresso di una lunghezza L0 = 20 cm rispetto allaposizione di riposo (x = 0). La guida orizzontale su cui si muove il blocco m è liscia per x < 0; per x > 0, invece, la guida è scabra concoefficiente d’attrito dinamico µd = 0.1. Determinare:

1. la velocità della massa quando passa per la prima volta per x = 0;

2. la posizione del primo punto di inversione della velocità nel tratto x > 0;

3. la velocità al secondo passaggio per x = 0.

1.4.3 Un’esplosione

Una microcarica provoca un’esplosione che separa un blocco di massa M = 3.6 kg fermo su una superficie orizzontale in dueblocchi. Il blocco 1 parte in direzione orizzontale verso sinistra. Vengono misurati la sua velocità v1 = 3.0 m/s e la sua massam1 = 2.7 kg. Il secondo blocco incontra una zona in cui l’attrito non è trascurabile e si ferma dopo aver percorso un tratto di lunghezzaL = 44 m.

1. Calcolare il coefficiente di attrito tra il blocco 2 e la superficie nel tratto con attrito.

2. Se il blocco 2 avesse incontrato un piano inclinato liscio quale altezza avrebbe potuto raggiungere?

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1.4.4 Un satellite

Un satellite viene lanciato con un missile in direzione est, con una velocità iniziale rispetto alla Terra di modulo v′0 = 6.0 km/s, adun angolo α = 60 rispetto all’orizzontale. Si supponga che, subito dopo il lancio che produce le condizioni iniziali sopra descritte, ilmissile proceda a motore spento, soggetto solo all’attrazione gravitazionale della Terra e che la massa complessiva sia m = 1.2 ton.

1. Se il missile è stato lanciato da una località che si trova ad una latitudine λ = +10: determinare la massima distanza che puòraggiungere dal centro della Terra.

2. Se il missile è stato lanciato dall’equatore, determinare quanto dovrebbe valere v′0, per raggiungere la quota di un satellitegeo-stazionario come quota massima.

3. Si supponga che al momento in cui il missile è alla massima quota (quella dell’orbita geo-stazionaria) si accenda per un breveintervallo di tempo un razzo che spinge il missile in direzione tangenziale per farlo passare su un’orbita circolare: di quanto devefar aumentare la velocità del missile per passare ad un’orbita circolare?

4. Passato sull’orbita geo-stazionaria, il missile sgancia il satellite attraverso un’esplosione che spinge indietro tangenzialmentequel che resta del missile (di massa µ = 300 kg), che ormai inutile, cade verso Terra, arrivando a Terra con velocità VF =10.3 km/s. Trascurando ogni effetto dell’atmosfera, determinare la velocità del missile subito dopo lo sgancio del satellite e lanuova velocità del satellite.

1.5 Problemi risolti di: Giancarlo Cella, Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, PisaTratti da: http://www.df.unipi.it/~cella/ueg/uegbook.pdfVersione del 14 dicembre 2012

1.1 Periodo di un pendolo1.3 Pendolo sulla luna2.1 Triplo prodotto vettoriale2.2 Matrice di rotazione2.3 Il prodotto vettoriale come operatore3.1 Profondità di un pozzo3.2 Lunghezza di una traiettoria3.3 Raggiungere un oggetto che accelera3.12 Caduta di una moneta3.13 Lancette dell’orologio5.3 Moto viscoso5.9 Oscillatore con attrito5.10 Asta incernierata5.11 Disco rotante5.14 Catena che cade5.15 Carrucola5.26 Filo che si avvolge5.27 Molle in serie e in parallelo5.30 Urto tra una massa e un sistema composto5.31 Urto anelastico con sistema composito5.32 Massima compressione5.33 Sbarra vincolata5.39 Molla e attrito5.40 Carrucola con attrito5.47 Lancio di un proiettile da una pedana mobile5.54 Orbite circolari su un cono5.79 Urto con un piano inclinato5.82 Razzo in un campo gravitazionale costante5.83 Razzo vincolato5.84 Razzo a più stadi5.85 Forze di marea5.88 Moto di una scodella5.93 Caduta in un fossato5.95 Materia oscura5.110 Formica su un giradischi5.114 Un pendolo su un blocco mobile5.115 Urto con un cuneo mobile5.118 Modello di urto non istantaneo5.123 Un pendolo in un ascensore5.124 Urto contro un corpo composito5.128 Proiettile con attrito viscoso: traiettoria

http://www.df.unipi.it/~cella/ueg/uegbook.pdf

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5.131 Sistema a tre corpi: energia nel sistema del centro di massa5.132 Nastro trasportatore

1.6 Problemi selezionati da: I. E. Irodov, Problems in geneal physics, MIR publishers, Moscow1.1181.1191.1201.1211.1241.1251.1281.1341.1351.1431.1641.1651.1711.1721.1891.1931.2001.2011.2181.2191.2201.2211.2231.2241.2251.2261.2271.2281.2311.232

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Chapter 2

Calcolo vettoriale

2.1 Il giocatore di golf (HRK4 3.8)2.2 Spostamento delle lancette dell’orologio (HRK4 3.12)2.3 La ruota (HRK4 3.16)2.4 Il missile e il radar (HRK4 3.24)2.5 Prodotto scalare e vettoriale in componenti cartesiane ortogonali

HRK4 3.35 & 3.36Esprimere in termini delle componenti cartesiane ortogonali il prodotto scalare e vettoriale dei due vettori a = a1e1 +a2e2 +a3e3

e b = b1e1 +b2e2 +b3e3. Si usino le relazioni tra i vettori base, e1, e2 ed e3, di un sistema di coordinate cartesiane ortogonali,

ei ·ek = δik ei×ek = ∑j

εik je j i, j,k = 1,2,3 , (2.5.1)

dove il simbolo δik (delta di Kronecker) è definito come

δik =

1 se i = k0 se i 6= k

(2.5.2)

e il simbolo εik j è definito come

εik j =

+1 se i, j,k permutazione pari di 1,2,3−1 se i, j,k permutazione dispari di 1,2,30 se almeno due indici uguali

(2.5.3)

2.6 Prodotto vettorialeHRK4 3.37Dati due vettori a = a1e1 +a2e2 +a3e3 e b = b1e1 +b2e2 +b3e3, dimostrare che il loro prodotto vettoriale si può scrivere, in

termini delle componenti cartesiane ortogonali dei vettori, come un determinante formale,

a×b =

∣∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣∣ . (2.6.1)

2.7 Prodotto di un vettore con se stesso (HRK4 3.31)2.8 Proprietà distributiva del prodotto scalare e vettoriale (HRK4 3.44)2.9 Interpretazione geometrica del prodotto vettoriale

HRK4 3.45 & 3.46Due vettori a e b sono applicati nello stesso punto. Dimostrare che il prodotto vettoriale è un vettore il cui modulo è uguale al

doppio della superficie A del triangolo delimitato dai due vettori e avente come terzo lato il segmento che unisce i vertici dei duevettori,

A =12|a×b| . (2.9.1)

Ovvero è uguale alla superficie del parallelogrammo delimitato dai due vettori. Può questo fatto suggerire un modo per rappresentarenello spazio un elemento di superficie orientato tramite un vettore?

7

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2.10 Area di un triangoloDimostrare che l’area di un triangolo i cui vertici sono individuati dai tre vettori a, b e c, aventi lo stesso punto di applicazione vale

A =12|a×b + b×c + c×a| . (2.10.1)

Suggerimento. Due lati del triangolo sono u = a− c e v = b− c; usare il problema 2.9.

2.11 Teorema dei coseni (di Carnot)HRK4 3.24Dati tre vettori a, b e c tali che a = b− c, e detti rispettivamente α , β e γ gli angoli opposti ai lati a, b e c del triangolo, dimostrare

il teorema di Carnot:a2 = b2 + c2−2bccosα . (2.11.1)

Suggerimento. Moltiplicare la relazione a = b− c scalarmente per se stessa.

2.12 Teorema dei seniDati tre vettori a, b e c tali che a = b− c, e detti rispettivamente α , β e γ gli angoli opposti ai lati a, b e c del triangolo, dimostrare

il teorema dei seni:sinα

a=

sinβ

b=

sinγ

c. (2.12.1)

Suggerimento. Moltiplicare la relazione a = b− c vettorialmente per b e per c.

2.13 Volume di un parallelepipedoHRK4 3.47Dati tre vettori a, b e c aventi lo stesso punto di applicazione dimostrare che il volume V del parallelepipedo generato dai tre vettori

valeV = |a·(b×c)| . (2.13.1)

2.14 Triplo prodotto vettorialeAF 3.25Dimostrare le identità

a×(b×c) = b(a·c)− c(a·b) , (2.14.1)

(a×b)×c = b(a·c)−a(c·b) . (2.14.2)

Suggerimento. Una possibilità è esprimere i tre vettori in componenti cartesiane e svolgere esplicitamente i calcoli usandola 2.6.1. Alternativamente si scelga un Coordinate System opportuno con l’asse x diretto lungo c e l’asse y in modo che b sia nelpiano xy e verificarlo mediante lo sviluppo diretto. Si noti che per passare dalla prima alla seconda equazione basta scambiare acon c.

2.15 Scomposizione di un vettore in componenti rispetto ad un versoreDati un vettore x e un versore n dimostrare che il vettore può essere scomposto nelle sue componenti parallele e ortogonale al

versore n tramite la relazionex = (x·n)n+ n×(x×n) . (2.15.1)

Suggerimento. Utilizzare l’equazione 2.14.1

2.16 Invarianza per rotazioni del prodotto scalare di due vettoriHRK4 3.53Dimostrare che il prodotto scalare di due vettori, a e b, è invariante per rotazioni del Coordinate System. Si supponga, per

semplicità, di lavorare nel piano xy anziché nello spazio tri-dimensionale. Si considerino le componenti dei due vettori a e b rispettoad un sistema di assi x′y′ ruotato di una angolo θ rispetto al sistema originale xy. Si calcoli il prodotto scalare usando le componentidei due vettori rispetto al Coordinate System x′y′. Si verifichi che il risultato ottenuto coincide con quello che si ottiene usando lecomponenti rispetto al sistema xy. Il prodotto dei due vettori è cioè indipendente dall’angolo θ che misura la rotazione del CoordinateSystem x′y′ rispetto al Coordinate System xy.

2.17 Diagonali interne di un cuboDeterminare l’angolo θ formato da due diagonali interne di un cubo.

Risposta cosθ = 1/3

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2.18 Metodo del raddoppio dell’angolo di pruaOha 3.12Un possibile metodo per misurare la distanza di una nave da un faro è il seguente. Si supponga che la nave si muova su una

traiettoria rettilinea e si misuri l’angolo α tra la traiettoria della nave e la direzione in cui è visto il faro. Si misuri lo spazio percorsodalla nave dall’istante in cui si misura l’angolo α fino a quando lo stesso angolo, tra la traiettoria della nave e la direzione in cui è vistoil faro vale, 2α . Dimostrare che la distanza dal faro in questo istante vale quanto lo spazio percorso dalla nave tra le due misure.

2.19 Identità trigonometricaHRK4 3.29Sia N un numero intero, N > 1. Dimostrare che

k=N−1

∑k=0

cos2πkN

= 0

k=N−1

∑k=0

sin2πkN

= 0

Suggerimento. Si consideri la somma di N vettori applicati nell’origine e aventi lo stesso modulo ciascuno dei quali forma unangolo 2π/N con il precedente.

2.20 ♠ Soluzione di equazioni vettorialiSpi 1.139 & 1.140Dimostrare che l’equazione vettoriale

A×X = B (2.20.1)

può venire risolta rispetto a X se e solo seA·B = 0 e A 6= 0 se B 6= 0 . (2.20.2)

Dimostrare che in tal caso la soluzione generale è

X =B×A

A2 +λA λ scalare arbitrario (2.20.3)

Dimostrare che l’equazione vettorialeA·X = p (2.20.4)

ha come soluzione generale

X =pAA2 + V×A V vettore arbitrario (2.20.5)

2.21 ♠ Legge di Snell della rifrazioneSi consideri un piano ed un versore u normale al piano e applicato nel punto O del piano. Si consideri un vettore α0 applicato in O

che forma un angolo θ0 con u ed un secondo vettore α1 applicato in O che forma un angolo θ1 con u. Se la relazione tra i due angoli èsinθ1 = k sinθ0 (legge di Snell della rifrazione) determinare l’espressione esplicita di α1 in funzione di α0 e u.

Suggerimento. Una possibilità è osservare che il vettore α1 è una combinazione lineare dei vettori α0 e u e imporre poi lalegge di Snell utilizzando la decomposizione 2.15.1.

Risposta α1 =±ucosθ1 + k [α0−u(α0 ·u)]/α0. Il segno ± dipende dall’angolo tra u e α0.

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Chapter 3

Grandezze fisiche e misure

3.1 Fuso orario e circonferenza della Terra (HRK4 1.4)3.2 L’orologio che va avanti (HRK4 1.9)3.3 Mese siderale e mese lunare

HRK4 1.13Il tempo che la Luna impiega a ritornare in una data posizione rispetto alle stelle è detto mese siderale, Tsid. L’intervallo di tempo

tra due fasi identiche della Luna è detto mese lunare, Tlun. 1) Perché il mese lunare è più lungo del mese siderale? 2) Calcolare lalunghezza del mese lunare medio sapendo che il periodo di rotazione della Terra attorno al Sole (anno siderale) vale 365.256 giorni eche il mese siderale vale Tsid = 27.32166 giorni. Si veda anche il problema 6.7.

Risposta 2) Tlun = 29.53059 giorni (medio).

3.4 L’ettaro (HRK4 1.18)3.5 La misura di Eratostene del diametro della Terra

Si narra che Eratostene, nel terzo secolo a.c., misurò il raggio della Terra osservando che il giorno del solstizio d’estate il Sole amezzogiorno era sulla verticale di Siene (oggi Assuan) mentre ad Alessandria, situata sullo stesso meridiano 810 km più a nord, il solefaceva un angolo di 715

′′con la verticale. Che valore ricavò?

Risposta R = 6.40·103 km

3.6 Misura del diametro della Terra con un metro e un cronometroSi supponga di osservare il tramonto del sole sul mare calmo stando sdraiati sulla spiaggia. Si faccia partire un cronometro appena

il lembo superiore del Sole scompare sul mare. A questo punto ci si alzi in piedi elevando i propri occhi di h = 1.70 m rispetto al livelloprecedente. Si fermi il cronometro quando si vede sparire di nuovo il lembo superiore del Sole. Se l’intervallo di tempo misurato valet = 11.1 s determinare il raggio della Terra.

Risposta R = 5.22·106 m (che differisce del 20% dal valore accettato del raggio medio della Terra).

3.7 Unità astronomica, anno-luce e parsecHRK4 1.23L’Unità Astronomica ( AU) è un unità di misura di lunghezza impiegata in astronomia pari alla distanza media della Terra dal Sole,

1.496·1011 m. L’anno luce ( ly = light year) è un unità di misura di lunghezza impiegata in astronomia pari alla distanza percorsa dallaluce nel vuoto in un anno. Il parsec ( pc) è un unità di misura di lunghezza impiegata in astronomia pari alla distanza alla quale unoggetto ha una parallasse annuale di un secondo di arco. Questa è la distanza alla quale il raggio medio dell’orbita della Terra (cioè1 AU) sottende un secondo di arco. La velocità della luce vale c = 2.998·108 m/s. 1) Calcolare la lunghezza in metri di un anno-lucetenendo conto che l’anno della definizione di anno-luce è l’anno siderale, pari a 365.256 giorni di 24 ore. 2) Esprimere il parsec inmetri e in anni luce.

Risposta 1) 1 ly = 9.461·1015 m. 2) 1 pc = 3.262 ly = 3.086·1016 m

3.8 Misura della distanza Terra-SoleSupponendo di conoscere la distanza Terra-Luna (d = 3.84·108 m) si potrebbe determinare la distanza Terra-Sole considerando

l’istante in cui la Luna è al primo quarto o all’ultimo quarto. In tal caso essa è al vertice di un triangolo rettangolo. L’angolo formatoin queste condizioni tra la Luna e il Sole vale α = 8951′′.

Risposta AU = d/cosα = 1.496·1011 m

3.9 Dimensioni del Sole e della LunaHRK4 1.25

11

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La distanza media tra Terra e Sole è 390 volte la distanza media tra Terra e Luna. Si consideri un’eclisse totale di Sole e si calcoli1) il rapporto tra il diametro del Sole e quello della Luna, 2) il rapporto tra i volumi del Sole e della Luna. Se l’angolo sotto cui si vedela Luna dalla Terra vale 0.52

e la distanza media tra Terra e Luna vale 3.84·105 km calcolare 3) il diametro della Luna.

Risposta 1) 390; 2) 5.9·107; 3) 3.5·103 km.

3.10 Il sistema di localizzazione GPS (HRK4 1.26)3.11 L’unità di massa atomica

AF 2.1Le masse atomiche e molecolari sono solitamente espresse in Unità di Massa Atomica ( u), che è definita come 1/12 della massa

dell’atomo di Carbonio 12, pari a 1.6605·10−27 kg. Esprimere in kg le masse degli atomi di 1) idrogeno (massa atomica A= 1.00794 u)e 2) ossigeno (massa atomica A = 15.9994 u).

Risposta 1) 1.674·10−27 kg. 2) 2.657·10−26 kg.

3.12 Massa molecolare media dell’ariaAF 2.5L’aria è composta da circa 20% di ossigeno e da circa 80% di azoto ed entrambi i gas hanno una molecola biatomica. 1) Calcolare

la massa molecolare media dell’aria. 2) Stimare il numero di molecole in un cm3 di aria in condizioni standard (STP: temperatura0 C e pressione 1 atm), sapendo che la densità dell’aria relativa all’acqua in tali condizioni vale ρ = 1.2922·10−3.

Risposta 1) 28.8 g/mol. 2) 2.7·1019 molecole.

3.13 L’aria in una stanza (HRK4 1.30)3.14 Densità del gas interstellare

AF ???La densità del gas interstellare nella nostra galassia è stimata essere circa 1·10−21 kg/m3 e consiste in prevalenza di idrogeno.

Stimare il numero di atomi per cm3 .

Risposta N/V = 0.6 atomi/ cm3 .

3.15 Il chilogrammo standardHRK4 1.35Il chilogrammo standard è un cilindro circolare di platino-iridio (10% Ir e 20% Pt) la cui altezza è uguale al diametro, h = D =

39 cm. 1) Calcolare la densità della lega di platino-iridio e confrontarla con le densità del platino e dell’iridio puri. 2) Dimostrareche, per un cilindro circolare di volume fissato, l’uguaglianza tra diametro e altezza produce il cilindro con la superficie minima,minimizzando così gli effetti di contaminazione alla superficie.

Risposta 1) ρ = 21.5 g/cm3. A 25 C si ha ρPt = 21.5 g/cm3 e ρIr = 22.5 g/cm3.

3.16 Distanza tra gli atomi del ferro (HRK4 1.36)3.17 La vecchia definizione del metro (HRK4 1.37)

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Chapter 4

Cinematica in una dimensione

4.1 Il jet in volo radenteHRK4 2.8

4.2 L’auto da corsaHRK4 2.D.4Un’automobile da corsa, durante una batteria di qualificazione di due giri, percorre il primo giro con una velocità scalare media

di 90 km/h. Il conducente vuole percorrere il secondo giro in modo che la velocità scalare media complessiva sui due giri salga a180 km/h, per poter ottenere la qualificazione. Dimostrare che ciò è impossibile.

4.3 Moto in una dimensioneHRK4 2.12

4.4 Lo scontro fra i treniDue treni viaggiano in verso opposto su un binario rettilineo. Se il primo treno si muove a velocità costante v1 = 120 km/h, il

secondo a velocità costante v2 = 30 m/s e al tempo t = 0 si trovano a distanza a = 80 km, calcolare dopo quanto tempo avviene loscontro e la posizione dei treni a quell’istante rispetto alla posizione iniziale del primo treno. Si risolva il problema sia dal punto divista del capostazione a terra che da quello dei macchinisti. Si risolva inoltre il problema anche per via grafica oltre che analitica.

Risposta t0 = 1.26·103 s; x1(t0) = 42.1·103 m.

4.5 Achille e la tartarugaIl filosofo greco Zenone propose nell’antichità il seguente paradosso (di Achille e la tartaruga). Supponiamo che al tempo t = 0

Achille si metta a correre per raggiungere una tartaruga che dista da lui a e che si mette a scappare. Sia V la velocità di Achille ev la velocità della tartaruga con V v. Il veloce Achille non potrà mai raggiungere la lenta tartaruga perché giunto alla posizionea, occupata dalla tartaruga al tempo t = 0, questa si sarà spostata (pur se di poco) in un altra posizione; quando Achille raggiungeràquesta seconda posizione la tartaruga si sarà ancora spostata (pur se di poco) in un’altra posizione e così via all’infinito. Achillenon raggiungerà dunque mai la tartaruga in quanto per fare ciò sarebbero necessari un numero infinito di passi. Spiegare l’apparenteparadosso.

Risposta Si ricordi la formula della somma della serie geometrica: S = ∑+∞

k=0 xk = 1/(1− x) per |x|< 1.

4.6 Il problema del bagnino e il principio del tempo minimoUn bagnino avvista una bagnante che chiede aiuto. La velocità con cui il bagnino può correre sulla spiaggia vale V , la velocità

con cui può nuotare vale v, v <V , la distanza tra il bagnino e la riva vale D, quella della bagnante dalla riva vale d e la distanza tra ilbagnino e la bagnante, misurata lungo la riva supposta rettilinea, vale h. Determinare le caratteristiche della traiettoria che deve seguireil bagnino per raggiungere la bagnante nel minore tempo possibile.

Risposta Tale traiettoria è quella che seguirebbe la luce. Il principio analogo in ottica è detto principio di Fermat. La traiettoriarisultante soddisfa alla legge della rifrazione (di Snell) dell’ottica geometrica.

4.7 L’uccello che vola tra i due treniHRK4 2.12Due treni viaggiano lungo un binario rettilineo in versi opposti alla velocità di 34 km/h. Un uccello che vola alla velocità costante

di 58 km/h parte da uno dei treni quando questi si trovano alla distanza di 102 km e vola verso l’altro treno lungo il binario. Raggiuntoil secondo treno inverte il suo moto e si dirige verso il primo treno raggiunto il quale inverte ancora il suo moto e così via. 1) Quantivoli fa l’uccello prima che i due treni si scontrino? 2) Quale è lo spazio totale percorso dall’uccello?

Risposta 1) Infiniti. 2) 87 km

13

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4.8 Il cane e il plotone di soldatiUn plotone di soldati si muove in linea retta a velocità costante vP. Un cane, che cammina a velocità costante vC, parte dalla

coda del plotone diretto verso la testa e quando la raggiunge inverte il suo moto dirigendosi verso la coda. Il cane raggiunge la codadel plotone nell’istante in cui questa si trova nella posizione in cui si trovava la testa del plotone all’istante in cui il cane è partito.Determinare il rapporto tra la velocità del cane e quella del plotone.

Risposta vC/vP = 1+√

2

4.9 Moto in una dimensioneHRK4 2.13

4.10 Moto unidimensionale genericoHRK4 2.26Un oggetto si muove lungo l’asse x secondo la legge oraria

x(t) = at2−bt3 + k sinαt

dove x è espresso in metri e t in secondi. 1) Determinare le dimensioni delle costanti a, b, k e α . Si supponga che, in unità del SistemaInternazionale di unità di misura, le costanti valgano a = 3, b = 1, k = 1 e α = π/2. 2) Determinare la posizione della particella dopo4 s. 3) Determinare la velocità della particella al tempo t = 0 e dopo 4 s. 4) Determinare la velocità media nell’intervallo di tempo trat = 0 s e t = 4 s. 5) Se k = 0 determinare dopo quanto tempo l’oggetto raggiunge il massimo valore di x.

Risposta 1) [a] = LT −2, [b] = LT −3, [k] = L , [α] = T −1; 2) x(t = 4) =−16 m;

4.11 Accelerazione di un elettroneHRK4 2.27

4.12 Controllo automatico di velocitàHRK4 2.44

4.13 Velocità di caduta delle gocce di pioggiaHRK4 2.50

4.14 Accelerazione di gravità su un altro pianetaHRK4 2.55

4.15 Misura del tempo di reazioneHRK4 2.57

4.16 La caduta da un edificioHRK4 2.66

4.17 Proprietà del moto di un graveUn grave è lanciato verso l’alto con velocità iniziale v0 = 5 m/s a partire dalla quota x0 = 1.8 m. Determinare, trascurando la

resistenza dell’aria, 1) dopo quanto tempo il grave raggiunge il punto di quota massima; 2) quanto vale la quota massima; 3) quantotempo impiega a ridiscendere alla quota da cui è partito; 4) quale è la sua velocità nell’istante in cui si ritrova alla quota da cui è partito;5) dopo quanto tempo cade a terra. Dimostrare che il moto è simmetrico rispetto all’istante in cui il grave si trova alla quota massima.

Risposta 1) t0 = 0.510 s; 2) x(t0)− x0 = 1.27 m; 3) t0; 4) −v0; 5) 1.301 s.

4.18 La palla lanciata verso il suoloUna palla viene lanciata verso il suolo con velocità iniziale v0 = 1 m/s diretta verso il basso da una quota H = 100 m. 1) Deter-

minare dopo quanto tempo raggiunge il suolo. 2) Determinare da quale quota avrebbe dovuto partire da fermo il grave per trovarsinelle condizioni iniziali date. 3) Determinare la velocità media del grave nella caduta.

Risposta 1) 4.41 s; 2) 100.051 m; 3) 22.7 m/s.

4.19 Metodo per misurare l’accelerazione di gravitàHRK4 2.73Il seguente metodo è stato impiegato per misurare il valore dell’accelerazione di gravità g. Si lancia una palla verticalmente verso

l’alto entro un tubo a vuoto e la si osserva mentre, salendo prima e ricadendo poi, passa davanti a due traguardi U e L posti a distanzanota H. Se ∆tL rappresenta l’intervallo di tempo tra i due passaggi al livello L e ∆tU rappresenta l’intervallo di tempo tra i due passaggial livello U, dimostrare che l’accelerazione di gravità g vale:

g =8H

∆t2L−∆t2

U

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4.20 La palla che cade davanti alla finestraHRK4 2.74Una palla d’acciaio viene lasciata cadere dal tetto di un edificio con velocità iniziale nulla. Un osservatore ad una finestra alta

d = 120 cm nota che la palla impiega ∆t = 0.125 s ad attraversare in lunghezza la finestra. La palla continua a cadere, urta il suoloelasticamente (si supponga istantaneo l’urto) e riappare al bordo inferiore della finestra ∆T = 2 s dopo essere passata per lo stessopunto durante la caduta. Quanto è alto l’edificio?

Risposta 20.4 m.

4.21 Oggetto visto da una finestraHRK4 2.75

4.22 Moto in fluido viscosoSi supponga che un punto materiale sia in caduta non libera nel campo di gravità terrestre con equazione del moto

x(t) =mk

(mgk− v0

)e−

ktm−1

+ mgtk

+ x0

dove m è la massa del corpo, g l’accelerazione di gravità e k una costante assegnata. 1) Si determini le dimensioni della costante k, 2)il significato fisico delle due costanti x0 e v0, 3) il valore limite cui tendono la velocità e l’accelerazione in funzione del tempo.

Risposta 1) [k] =MT −1; 2) x0 e v0 sono rispettivamente posizione e velocità al tempo t = 0; 3) limt→∞ v(t)=mg/k e limt→∞ a(t)=0.

4.23 Oggetto che cade e rimbalzaUn grave è lasciato cadere con velocità iniziale nulla, rimbalza elasticamente al suolo, invertendo istantaneamente la propria

velocità, e risale. 1) Determinare l’espressione del tempo T che impiega dal momento del lancio, alla quota x, fino al momento in cuirisale ad una quota h assegnata 2) Determinare da quale quota va lasciato cadere affinché tale tempi sia minimo.

Risposta 1) T =√

2/g[2√

x−√

x−h]; 2) Il tempo minimo si ha per x = 4h/3.

4.24 La profondità del pozzoSpi 3.63

4.25 Il problema dei semafori sincronizzatiSym x.yy Wal x.yySu una strada sono disposti semafori a distanza regolare d. Il periodo del ciclo del semaforo vale T . Passando per un verde a che

velocità costante si deve proseguire per continuare a prendere sempre il verde?

4.26 Il cacciatore che spara all’uccello su un ramo4.27 Il centometrista

HRK5 2.P17

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Chapter 5

Cinematica nel piano e nello spazio

5.1 Il tubo a raggi catodiciHRK4 4.5

5.2 Il tiro delle freccetteHRK4 4.13

5.3 Il moto del proiettileHRK4 4.14

5.4 Il bombardiere e la contraerea - Il cacciatore e la lepreHRK4 4.9 - 4.47Si supponga di avvistare un bombardiere che, volando a quota h = 1600 m e con velocità v = 500 km/h, si dirige verso una

postazione di contraerea. Si vuole colpire l’aereo quando si trova sopra un punto a distanza a = 2 km dalla postazione, cioè appenaentrato entro la portata della batteria di contraerea ma prima che si avvicini troppo. Si trascura inizialmente l’effetto della forzadi gravità sul moto del proiettile e si punta perciò il cannone nella direzione del bombardiere con alzo pari a θ = arctan(h/a). 1)Sapendo che la velocità con cui vengono sparati i proiettili dalla contraerea vale v0 = 600 m/s a che distanza b (misurata al suolo) deveessere l’aereo al momento dello sparo? 2) Si discuta l’errore commesso con questa approssimazione. 3) Se immediatamente prima diessere colpito l’aereo sgancia una bomba dove cadrà la bomba rispetto alla postazione? Si applichi il risultato trovato al problema delcacciatore che, avvistata una lepre in corsa con v = 15 m/s, punta il fucile perpendicolarmente alla traiettoria rettilinea della lepre e sicalcoli l’angolo di anticipo con cui deve sparare per colpirla nel momento un cui questa passa davanti al fucile.

Risposta 1) b = 2.59 km; 2) Errore sulla quota del proiettile ∆ycorr =−89.4 m; 3) 0.508 km oltre la postazione.

5.5 La pietra lanciata verso l’alturaHRK4 4.23

5.6 Gittata massima del cannone e gittata lungo un piano inclinatoHRK4 4.21 - 4.44 BBM 2.1.8Sia dato un cannone che spara proiettili con velocità iniziale v0 = 500 m/s ad un angolo θ dal suolo. 1) Determinare l’equazione

della traiettoria del proiettile e l’angolo a cui deve essere puntato il cannone per ottenere la gittata massima trascurando la resistenzadell’aria. 2) Nel caso il cannone si trovi alla base di un pendio rettilineo che forma un angolo α con l’orizzontale determinare la gittatalungo il pendio. 3) Nel caso di sparo in pianura determinare l’angolo di lancio per cui la massima altezza raggiunta dal proiettile èuguale alla gittata.

Risposta 2) G = 2v20 cos2 θ (tanθ − tanα)/(gcosα).

5.7 Parabola di sicurezzaBBM 2.1.6 HRK4 4.20Dato un cannone che spara colpi con una velocità iniziale di v0 1) determinare il luogo dei punti che non sono raggiungibili dai

proiettili sparati dal cannone; 2) determinare l’altezza massima raggiunta dal proiettile.

5.8 Salto in lungoHRK4 4.24 - 4.32Nelle Olimpiadi del 1968 a Città del Messico Bob Beamon stabilì il record mondiale con un salto in lungo di l = 8.90 m. Suppo-

nendo che la velocità iniziale al momento del salto sia stata pari a v0 = 9.50 m/s, pari circa a quella di un corridore dei 100 metri, esapendo che l’accelerazione di gravità a Città del Messico vale g = 9.78 m/s2 quale è la differenza tra il record e la massima gittataottenibile in assenza di aria? Se Beamon avesse compiuto lo stesso salto a Berlino (g = 9.81 m/s2), mantenendo gli stessi valori di θ

e v0, quanto avrebbe saltato?

5.9 Il cannone sulla collinaHRK4 4.46

17

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5.10 Aggiustamento del tiro del cannoneOha 4.33In artiglieria è pratica abituale sparare una successione di colpi di prova prima di iniziare a sparare per ottenere l’effetto voluto.

L’artigliere prima spara prima un colpo al di qua del bersaglio, poi un colpo al di là e apporta le necessarie correzioni al tiro in base airisultati dei due colpi in modo da colpire il bersaglio. Si supponga che il primo colpo, sparato con alzo 720′′, atterri 180 m al di quadel bersaglio mentre il secondo, sparato con angolo di tiro 735′′, atterri 120 m oltre il bersaglio. Quanto vale l’angolo di proiezionecorretto per colpire il bersaglio?

5.11 La ruota panoramicaHRK4 4.54

5.12 Stelle di neutroniHRK4 4.57

5.13 Distanza minima tra due aereoplaniLe equazioni del moto di due aereoplani, in un Coordinate System in cui l’origine coincide con l’aereoporto, gli assi x e y sono

paralleli al suolo e l’asse z è verticale e orientato verso l’alto, sono

x1(t) =a1tex +b1tey + c1t2ez

x2(t) =(a2t +a20)ex +(b2t +b20)ey +(c20− c2t2)ez

Il primo aereoplano è in fase di decollo mentre il secondo è in fase di atterraggio. Determinare a quale istante i due aereoplani sitrovano alla distanza minima e il valore della distanza minima tra i due aereoplani supponendo che le varie costanti, tutte espresse inunità del Sistema Internazionale, valgano a1 = 1, b1 = 2, c1 =+3, a2 = 0, b2 = 2, c2 =−3, a20 = 1, b20 = 1, c20 = 10.

Risposta t0 = 1 s, d = 101.

5.14 Distanza minima tra due oggetti in moto arbitrarioUn punto materiale si muove nello spazio con equazione del moto generica

x(t) = x1(t)e1 + x2(t)e2 + x3(t)e3 (5.14.1)

1) Dimostrare che condizione sufficiente affinché la distanza del punto dall’origine abbia un minimo relativo è

x·v = 0 v2 + x·a > 0 (5.14.2)

2) Si generalizzi il risultato per determinare la condizione sufficiente affinché la distanza tra due punti materiali, in moto con equazionedel moto x1(t) e x2(t), un minimo relativo.

Risposta Si studi la condizione di minimo del quadrato della distanza del punto dall’origine in funzione del tempo: d2 = x·x.

Risposta 2) La condizione 5.14.2 viene espressa in termini della posizione e velocità relative xR ≡ x1− x2 e vR ≡ v1− v2.

5.15 Oggetti superluminaliGli astronomi hanno scoperto oggetti che emettono getti di materia ad altissima velocità. Se la distanza dell’oggetto dalla Terra è

nota (sia d) la misura della velocità angolare alla quale si vede il getto muoversi sulla sfera celeste permette di determinare la velocitàcon cui il getto di materia è emesso dal nucleo centrale. In alcuni casi sono stati osservati getti in moto con velocità apparente superiorealla velocità della luce, fatto in apparente contraddizione con la teoria della relatività speciale. Mostrare come sia possibile ottenerevelocità apparenti superiori a quella della luce e come ciò non contrasti con la relatività speciale considerando l’emissione del gettoad un angolo θ rispetto alla linea di vista dell’osservatore terrestre. 1) Determinare la relazione tra velocità apparente e quella realedel getto di materia. 2) Determinare la velocità apparente di un sistema in cui la direzione di emissione del getto forma un angoloθ = 9.2 con la direzione di vista supponendo la velocità di emissione pari a v = 0.987c (questa si può determinare dallo studio dellospostamento Doppler delle linee spettrali). 3) Determinare il valore dell’angolo θ per cui la velocità apparente del getto sulla sferaceleste è massima e il valore di tale velocità massima.

Risposta 1) vapp(θ) = vsinθ/(1− (v/c)cosθ); 2) vapp = 6.14c; 3) cosθmax = v/c.

5.16 ♠ Raggio di curvatura della traiettoria di un graveSi consideri il moto di un proiettile sparato da un cannone con velocità iniziale v0 = 450 m/s con un alzo pari a θ = 31. Si deter-

mini in quale punto della traiettoria l’accelerazione normale è massima, quanto vale, il raggio di curvatura e il valore dell’accelerazionetangenziale in quel punto. Si determini inoltre l’andamento del raggio di curvatura della traiettoria in funzione del tempo.

Risposta Si utilizzi la rappresentazione intrinseca dell’accelerazione

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5.17 ♠ Accelerazione tangenziale ed accelerazione normaleDato un punto materiale in moto con equazione del moto x(t) determinare le componenti tangenziale e normale dell’accelerazione.

5.18 Velocità e accelerazione nel moto armonico bidimensionale5.19 Velocità e accelerazione in coordinate polari5.20 Velocità areolare

dSdt

=12

x×v (5.20.1)

5.21 Il cannone sulla collina e quello in bassoSpi 3.77

5.22 ♠ Il missile che insegue l’aereoBBM 2.1.15

5.23 Determinazione della traiettoria di una EASSi osserva lo sciame prodotto nell’atmosfera da un raggio cosmico primario (EAS). Sapendo la velocità con cui si muove lo sciame

e osservandolo con un rivelatore avente una risoluzione temporale di 10 ns determinare la traiettoria.

5.24 L’auto di passaggioHRK5 8.P12

5.25 La battaglia navaleUna nave da battaglia è sul lato ovest di una piccola isola montuosa, la cui vetta è a h = 1800 m. Una nave nemica può avvicinarsi

fino a D = 2500 m dal lato est dell’isola e può sparare proiettili con una velocità iniziale di v0 = 250 m/s. Se la costa orientale è, inorizzontale, a d = 300 m dall vetta, quali sono le distanze dalla riva orientale in cui la nave può essere al sicuro da bombardamentodella nave nemica?

5.25.1 Una misura di g

HRK5 2.P33Al National Physical Laboratory in Gran Bretagna hanno eseguito una misurazione di g lanciando verticalmente in alto una sfera

di vetro in un tubo a vuoto e lasciandola ricadere.Sia ∆tI l’intervallo di tempo fra i due passaggi della sfera a un livello inferiore, ∆tS l’intervallo di tempo fra i due passaggi a un

livello superiore. Posta H la distanza tra i due livelli, si dimostri che:

g =8H

∆t2I −∆t2

S.

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Chapter 6

Cinematica rotazionale

6.1 Conversione di velocità angolariHRK4 11.01

6.2 Moto del Sole nella galassiaHRK4 11.03

6.3 La freccia lanciata verso una ruota che giraHRK4 11.09

6.4 La ruota della diligenzaHRK4 11.10

6.5 Giorno solare e giorno sideraleHRK4 11.11

6.6 La pulsarHRK4 11.21

6.7 Periodo sinodico dei pianetiHRK4 11.22Si supponga che il moto della Terra, di Marte e di Venere attorno al Sole sia un moto circolare uniforme con centro nel Sole, che

le orbite siano tutte coplanari e che il periodo di rivoluzione (periodo siderale) dei tre pianeti, sia rispettivamente TT = 365.26 giorni,TM = 687 giorni e TV = 224.7 giorni. Determinare il periodo sinodico di Marte e Venere, cioè il periodo di tempo tra due successivecongiunzioni o due successive opposizioni del pianeta. Per un pianeta interno, quale Venere, la congiunzione è definita come lacircostanza in cui il pianeta, la Terra e il Sole sono allineati. Si distingue tra congiunzione inferiore, quando il pianeta è tra il Sole e laTerra, e congiunzione superiore quando il pianeta e la Terra si trovano da parti opposte rispetto al Sole. Anche per un pianeta esterno,quale Marte, sono possibili due circostanze in cui il pianeta, la Terra e il Sole sono allineati. Quando il pianeta e la Terra si trovano daparti opposte rispetto al Sole si parla di congiunzione mentre se la Terra si trova tra il Sole e il pianeta si parla di opposizione. Si vedaanche il problema 3.3.

Risposta T ′V = 584 giorni; T ′M = 2.135 anni.

6.8 Moto circolare non uniformeHRK4 4.65

6.9 La cicloideHRK4 4.66

6.10 Velocità alla superficie terrestreHRK4 11.30

6.11 Misura della velocità della luceHRK4 11.34

6.12 La cinghia di trasmissioneHRK4 11.35

6.13 Moto con accelerazione angolare costanteHRK4 11.37

6.13.1 Cinematica di un CD/DVD

HRK4 11.38 HRK5 8.P11

21

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6.13.2 Misura della velocità della luce con il metodo di Fizeau

HRK5 8.P9Uno dei primi metodi per la misura della velocità della luce è il cosiddetto interferometro di Fizeau. Un fascio di luce attraversa

una fenditura del bordo esterno di una ruota dentata, viaggia verso uno uno specchio e, riflesso da questo, torna sulla ruota dentata perpassare attraverso una fenditura successiva della ruota dentata.

Si supponga che la ruota abbia raggio di R = 5.0 cm e che sul suo bordo siano stati ricavati n = 500 denti. Misurando la velocitàdella luce con lo specchio posto a L = 500 m dalla ruota si è ottenuto c = 3.0·108 m/s.• Si calcoli la velocità, angolare, supposta costante, della ruota dentata.

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Chapter 7

Cinematica relativa

7.1 L’auto sotto la pioggiaHRK4 4.70Si supponga che la pioggia cada verticalmente con velocità v = 7.8 m/s rispetto al suolo. Un’auto si muove in linea retta con

velocità V = 55 km/h. 1) Quale angolo formano con la verticale le tracce delle gocce di pioggia sul finestrino dell’auto? 2) Quale è lavelocità delle gocce di pioggia osservata dall’auto.

7.2 L’aereo e il ventoHRK4 4.73Un pilota vola verso est da A a B e quindi torna verso ovest in A. Sia v la velocità dell’aereo rispetto all’aria, u quella dell’aria

rispetto la suolo e l la distanza tra A e B. Si supponga che l’aereo si muova a velocità costante. Se u = 0 mostrare che la durata delviaggio è t0 = 2l/v. Supponendo che l’aria si muova verso est (o ovest) mostrare che la durata del viaggio è

tE =t0

1−u2/v2

Supponendo che l’aria si muova verso nord (o sud) mostrare che la durata del viaggio è

tN =t0√

1−u2/v2

7.3 Moto di un grave dentro un ascensoreHRK4 4.76Un ascensore sale con un’accelerazione a = 1.22 m/s2 diretta verso l’alto. Nell’istante in cui la sua velocità vale v0 = 2.44 m/s

un bullone mal fissato cade dal soffitto posto ad un’altezza h = 2.74 m dal suolo dell’ascensore. Calcolare il tempo che impiega ilbullone ad arrivare al suolo dell’ascensore e la distanza percorsa dal bullone rispetto alla tromba dell’ascensore. Calcolare la velocitàdel bullone quando tocca il pavimento dell’ascensore sia rispetto al Reference Frame dell’ascensore che a quello fisso a terra. Si risolvail problema sia nel Reference Frame dell’ascensore che in quello fisso a terra e si confrontino i risultati.

7.4 La barca che attraversa il fiumeHRK4 4.79Una barca può muoversi alla velocità di 6.44 km/h, rispetto all’acqua, e la corrente del fiume ha velocità di 3.22 km/h. 1) In quale

direzione deve vogare se vuole raggiungere la riva opposta nel punto di fronte a quello di partenza? 2) Se il fiume è largo 6.44 kmquanto tempo impiega ad attraversarlo? 3) Quanto tempo impiega a remare 3.22 km più a valle e quindi nuovamente verso il punto dipartenza? 4) Quanto tempo impiega a remare 3.22 km più a monte e quindi nuovamente verso il punto di partenza? 5) In quel direzionedeve vogare per raggiungere la riva opposta nel minor tempo possibile e quanto vale questo tempo?

7.5 Aberrazione non relativistica della luce stellare (di Bradley)La direzione di provenienza della luce stellare è soggetta al fenomeno dell’aberrazione (scoperta da Bradley nel 1727) a seguito del

quale la direzione apparente della stella cambia durante l’anno a causa del moto della Terra attorno al Sole. Supponendo che la velocitàdella luce rispetto al Reference Frame in cui il Sole è in quiete sia c e che la Terra ruoti attorno al Sole con velocità vT determinarel’angolo di aberrazione, cioè l’angolo tra la direzione vera della stella e quella in cui viene osservata per effetto del moto della Terra.Sapendo che il valore massimo dell’angolo di aberrazione misurato dagli astronomi vale ∆α = 20.5′′ determinare la velocità mediadella Terra nella sua orbita e il raggio dell’orbita sapendo che il periodo siderale della Terra vale T = 365.26 giorni

7.6 Moto libero osservato da un Reference Frame ruotanteUn punto materiale si muove con velocità costante v0 rispetto al Reference Frame del Laboratorio xyz. Il punto materiale viene

osservato da un Reference Frame costituito da un disco orizzontale di raggio R = 30 cm che ruota con velocità angolare ω0 = 3 giri/sattorno all’asse z del Reference Frame del Laboratorio. All’istante iniziale il punto si trova a distanza r0 = 7 cm dall’asse ed havelocità v0 = 15 m/s diretta perpendicolarmente al vettore r0. Determinare il modulo della velocità del punto rispetto al ReferenceFrame solidale col disco ruotante quando questo raggiunge il bordo del disco. Determinare l’andamento in funzione del tempo dellecomponenti radiali della velocità del punto materiale rispetto al Reference Frame del Laboratorio.

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7.7 ♠ Il cannoncino sulla giostraSu una giostra di raggio R che ruota attorno al suo asse con velocità angolare costante Ω è sistemato un cannoncino, la cui bocca

è situata esattamente sull’asse della giostra, che spara un proiettile con velocità v0 parallela al suolo. Descrivere il moto del proiettile,dallo sparo al suo arrivo al bordo della giostra, dal punto di vista dell’osservatore solidale con la giostra e mostrare che i risultati chesi ottengono sono equivalenti a quelli dell’osservatore solidale con il suolo.

7.8 ♠ Barca che attraversa il fiume puntando il timone al punto di arrivoSpi 1.144

7.9 ♠ Il problema della barcaUn uomo deve attraversare un fiume di larghezza L la cui corrente si muove a velocità costante u, con un barca che si può muovere

con velocità V rispetto all’acqua. L’uomo può correre sulla riva con velocità v. Quale traiettoria conviene seguire per arrivare nel piùbreve tempo possibile in un punto dell’altra sponda esattamente di fronte a quallo di partenza ?

7.10 Il volo intercontinentaleHRK5 4.E41Un volo intercontinentale di D = 4300 km richiede nel verso da est a ovest 50 min di più che nel verso opposto. La velocità

dell’aereo rispetto all’aria è di v = 960 km/h . Che cosa si può dire riguardo i venti in quota che esso incontra?

7.11 Pistone e biella

7.12 La scala che scivola giù dal muro

Una scala lunga L è appoggiata ad un muro verticale con il piede di base a distanza D dal muro verticale.Se la scala inizia a scivolare verso terra determinare l’equazione della traiettoria del punto centrale della scala. Determinare

l’equazione della traiettoria di un generico punto a distanza x, con 0≤ x≤, dal piede di base della scala.

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Chapter 8

Dinamica elementare del punto materiale

8.1 La nave a vela solare (HRK4 5.9)8.2 Il dinamometro e la tensione della fune

HRK4 5.24Due pesi di massa 10 kg sono connessi da una fune e pendono ai due lati di una puleggia, in equilibrio. Sulla fune è inserito un

dinamometro e si suppone trascurabile la massa della fune e del dinamometro. 1) Quale è la lettura del dinamometro? Uno dei duepesi viene rimosso e la fune legata al suolo. 2) Quale è la lettura del dinamometro in questa seconda configurazione?

Risposta 1) 98.1 N; 2) 98.1 N.

8.3 L’ascensoreHRK4 5.28Un ascensore di massa 2812 kg è sollevato dal suo cavo con un’accelerazione che, ad un certo istante, vale 0.91 m/s2. 1) Quale è

la tensione del cavo? 2) Quale è la tensione quando l’ascensore è accelerato verso il basso di 0.91 m/s2 ma si muove verso l’alto?

Risposta 1) 30·103 N; 2) 25·103 N.

8.4 Il salto sul pavimentoHRK4 5.29Un uomo di massa 83 kg salta giú da un tavolo su un pavimento di cemento da un’altezza di 0.48 m. Arrivando al suolo non flette

le ginocchia e il suo moto si arresta perciò in circa d = 2.2 cm. 1) Quale è l’accelerazione media dell’uomo dall’istante in cui tocca ilsuolo all’istante in cui è fermo? 2) Quale è la forza media esercitata dal pavimento sulla struttura ossea dell’uomo per fermarlo?

Risposta 1) 210 m/s2; 2) 17·103 N.

8.5 Il blocco trascinatoHRK4 5.33Un blocco di massa 5.1 kg viene trascinato su un piano orizzontale privo di attrito da una fune che esercita una forza di 12 N ad

un angolo di 12 rispetto all’orizzontale. 1) Quale è l’accelerazione del blocco? Il modulo della forza viene lentamente aumentato. 2)Quale è il valore della forza all’istante prima che il blocco si sollevi dal suolo? 3) Quale è il valore dell’accelerazione all’istante primache il blocco si sollevi dal suolo?

Risposta 1) 2.1 m/s2; 2) 120 N; 3) 21 m/s2.

8.6 La fune per calare un oggettoHRK4 5.34Come può essere calato da un tetto un oggetto di massa 100 kg usando una fune che ha una carico di rottura di 500 N senza che la

corda si spezzi?

8.7 Il blocco sospeso a due corde (HRK4 §5.10E4)8.8 Due blocchi che scivolano giù dal tavolo (HRK4 §5.11E8)8.9 L’auto trainata sul pendio (HRK4 5.42)8.10 L’aereo a reazione (HRK4 5.48)8.11 Il piano inclinato sull’ascensore (HRK4 5.51)8.12 La scimmia sulla carrucola

HRK4 5.D.25 & 5.54 & Spi 3.88Una scimmia è appesa ad un capo di una fune ideale che passa attorno ad una carrucola supposta priva di massa e di attrito.

All’altro capo, all’altezza della scimmia, è appeso uno specchio che ha la stessa massa della scimmia. 1) Può la scimmia allontanarsi

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dalla propria immagine riflessa nello specchio arrampicandosi sulla corda, scendendo lungo la corda o lasciandosi cadere? 2) Se lascimmia si arrampica ad una velocità di 1 m/s quale è il moto dello specchio?

8.13 I tre blocchi trascinatiHRK4 5.55Tre blocchi di massa m1 = 1.2 kg, m2 = 2.4 kg e m3 = 3.1 kg giacciono su un piano orizzontale senza attrito e sono connessi da due

funi aventi, rispettivamente, la tensione T12 (quella che connette i blocchi 1 e 2) e T23 (quella che connette i blocchi 2 e 3). Il blocco3 è tirato da una terza fune la cui tensione è T3 = 6.5 N. 1) Determinare le due tensioni T12 e T23. 2) Determinare l’accelerazione delsistema.

Risposta 1) T12 = 1.2 N, T23 = 3.5 N; 2) 0.97 m/s2.

8.14 I due blocchi a contatto (HRK4 5.56)8.15 Tensione di una fune con massa

HRK4 5.58Una fune inestensibile e omogenea di lunghezza L e massa m è appesa al soffitto e sorregge un peso di massa M. 1) Determinare,

in condizioni di equilibrio, l’andamento della tensione lungo la fune. 2) Determinare la condizione sotto la quale si può trascurare lavariazione della tensione della fune e il valore della tensione costante in tale caso. 3) Si supponga di avere a che fare con una catenacostituita da 5 anelli di massa 100 g sollevata con un’accelerazione costante pari ad a = 2.50 m/s2 Si determini la forza risultanteagente su ciascun anello e la forza esterna che agisce sul primo anello.

8.16 Piano inclinato (HRK4 5.59)8.17 Dinamica dell’ascensore (HRK4 5.61)8.18 La macchina di Atwood (1)

HRK4 5.63Una forza F diretta verso l’alto è applicata all’asse di una puleggia. Si supponga che la carrucola e la fune siano di massa

trascurabile, che la fune sia perfettamente flessibile e inestensibile e che non ci siano attriti. Agli estremi della fune, passante sullacarrucola, sono appesi due corpi di massa m1 = 1.2 kg e m2 = 1.9 kg. 1) Determinare l’accelerazione delle due masse e la tensionedella fune nel caso la forza F sia quella necessaria a sorreggere la carrucola (ad esempio nel caso che la carrucola sia appesa al soffitto).Si supponga poi che l’oggetto di massa m2 sia a contatto col suolo. 2) Determinare quale è il valore massimo del modulo della forzaF che consente all’oggetto di restare attaccato al suolo senza sollevarsi. 3) Quale è la tensione della fune se F = 110 N e quantovale l’accelerazione delle due masse? 4) Se è data l’accelerazione verso l’alto della carrucola, A, quale è l’accelerazione massima checonsente alla massa m2 di non sollevarsi dal suolo ?

Risposta 1) a1 =−a2 = g m2−m1m2+m1

, T1 = T2 = T = 2m1m2m1+m2

g, F = 4m1m2m1+m2

g; 2) F < 2m2g = 37.3 N; 3) T = F/2 = 55 N; a1 =F

2m1−g =

36.0 m/s2, a2 =F

2m2−g = 19.1 m/s2.

8.19 Due particelle legate (HRK4 5.64)8.20 La sbarra

HRK4 6.5Una sbarra orizzontale è usata per sostenere tra due muri un peso di massa 75 kg appeso al centro della sbarra. Le due forze, di

uguale modulo, che la sbarra esercita contro i due muri possono essere variate cambiando la lunghezza della sbarra tramite un sistemadi vite e molla. Solo l’attrito tra le estremità della sbarra e i muri sorregge la sbarra e il coefficiente di attrito statico vale 0.41. Quale èil minimo valore della forza che la sbarra deve esercitare contro il muro affinché si abbia equilibrio?

8.21 Il pendio (HRK4 6.8)8.22 Il libro schiacciato contro il muro

HRK4 6.9 & Oha 6.39Una forza orizzontale F = 53.4 N spinge un blocco di massa m = 2.27 kg contro un muro verticale. Il coefficiente di attrito statico

tra il muro ed il blocco vale µs = 0.60 e quello di attrito cinetico vale 0.40. Il blocco è inizialmente fermo. 1) Il blocco inizierà amuoversi? 2) Quale è la forza esercitata sul blocco dal muro? Si cambia la direzione della forza esercitata sul libro in modo da formareun angolo θ rispetto alla parete (misurato a partire dall’alto). 3) Quale è il modulo della forza minimo affinché il libro non cada? 4) Perquale valore dell’angolo θ il modulo di tale forza assume il valore minimo possibile e quanto vale tale valore minimo? 5) Se l’angoloθ è maggiore dell’angolo retto (cioè se la forza spinge verso il basso) occorrerà esercitare una forza notevole per impedire al libro dicadere. Per quale valore dell’angolo θ risulta comunque impossibile sostenere il libro?

8.23 La cassa da spostareHRK4 6.10Una cassa di 136 kg di massa è appoggiata al pavimento. Un uomo tenta di spostarla spingendola con una forza orizzontale di

412 N. Il coefficiente di attrito statico tra la cassa e il suolo vale 0.37. 1) Dimostrare che la cassa non si muove. Un secondo uomoaiuta il primo sollevando la cassa. 2) Quale minima forza verticale deve applicare perché la cassa si muova? 3) Se il secondo uomo

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applica una forza orizzontale invece che verticale quale minima forza, oltre a quella applicata dal primo uomo, deve applicare perchéla cassa si muova?

8.24 Il mucchio di sabbia (HRK4 6.13)8.25 Il piano inclinato sulla bilancia

Un blocco di massa m è appoggiato senza attrito su un piano inclinato di angolo θ e massa M che appoggia su una bilanciaorizzontale. Il coefficiente di attrito statico tra il piano inclinato e la bilancia vale µs. 1) A quale condizione deve soddisfare µs affinchéil piano inclinato non scivoli durante la discesa del blocco? 2) Quale è il peso R letto della bilancia?

Risposta 1) msinθ cosθ ≤ µs(M+mcos2 θ); 2) R = Mg+mgcos2 θ ≤ g(M+m).

8.26 Due blocchi che scivolano dal pendio (HRK4 6.25)Una cassa è appoggiata sul pianale scabro di un autocarro. Il coefficiente di attrito statico tra la cassa e il pianale è µs. Se l’autocarro

frena bruscamente la cassa scivola in avanti. Quanto vale la decelerazione massima che l’autocarro può avere in frenata se la cassadeve restare ferma?

8.27 Moto di un oggetto soggetto a forza crescente in presenza di attritoUn punto materiale di massa m è fermo su un piano orizzontale. I coefficienti di attrito statico e cinetico sono rispettivamente µs e

µc. Il punto materiale è soggetto ad una forza orizzontale, dipendente dal tempo, F = kt. Descrivere il moto del punto materiale. 1) Aquale istante t0 inizia a muoversi? 2) Quale è l’andamento dell’accelerazione in funzione del tempo?

Risposta 1) t0 = µsmg/k; 2) a(t) = 0 per t < t0, a(t) = kt/m−µcg per t > t0.

8.28 Blocco lanciato su per un piano inclinato con attritoUn blocco di massa m viene lanciato su per un piano inclinato di angolo θ con velocità iniziale v0. Se i coefficienti di attrito statico

e cinetico tra il piano inclinato e il blocco sono rispettivamente µs e µc (con µs ≥ µc) si determini il moto del blocco.

8.29 Blocchi e carrucola (HRK4 6.17)8.30 Configurazione ottimale per trascinare una cassa su un piano con attrito

HRK4 6.20 & 6.22 & Oha 6.40 & I. E. Irodov, Problems in General Physics, ISBN 5-03-000800-4, MIR publishers Moscow,(1988) 1.67

Si supponga di dover trascinare una cassa al suolo tramite una fune. La massa della cassa vale m e il coefficiente di attrito cineticotra cassa e suolo vale µc = 0.25. Si schematizzi la cassa come un punto materiale. 1) Determinare la direzione ottimale a cui bisognadirigere la fune per trascinare la cassa di moto rettilineo uniforme applicando la forza minima e il valore di tale forza minima. Se lafune ha una tensione di rottura pari a Tmax = 1.22·103 N e se il coefficiente di attrito statico tra la cassa e il suolo vale µs = 0.35 qualeè il valore massimo della massa della cassa che si può trascinare?

Risposta 1) tanθ = µc; F = µcmg/√

1+µ2c ; 2) mg≤ Tmax

√1+µ2

s /µs.

8.31 Problema del ristagno in presenza di attrito staticoUn blocco di massa m è posizionato su un piano inclinato di angolo θ . Il coefficiente di attrito statico tra il piano e il blocco vale

µs. Una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo x0 è disposta parallelamente alla superficie del piano inclinato e collega ilblocco al vertice superiore del piano inclinato. Determinare per quale intervallo di posizioni il blocco resta in equilibrio.

8.32 Le due masse sul piano inclinatoHRK4 6.29Due oggetti di massa m1 = 1.65 kg e m2 = 3.22 kg sono collegati da un’asta di massa trascurabile parallela al piano inclinato su cui

i due oggetti scivolano con la massa m2 posta in bassa rispetto alla massa m1. L’angolo del piano inclinato è θ = 29.5 e i coefficientidi attrito cinetico tra le due mese e il piano sono rispettivamente µ1 = 0.226 e µ1 = 0.127. 1) Calcolare la comune accelerazione deidue oggetti. 2) Calcolare la tensione della sbarra. 3) Come si modificano le due risposte precedenti se le posizioni delle due massesono invertite?

8.33 Il traino della slittaHRK4 6.30 & 6.31 & AF 7.75Si supponga di dover trascinare una slitta di massa M il cui coefficiente di attrito cinetico con il suolo sia µc. Sopra la slitta è

appoggiata una cassa di massa m e il coefficiente di attrito statico tra la cassa e la slitta vale µs. Se alla slitta è applicata una forzaorizzontale F determinare il valore massimo di tale forza affinché la cassa non scivoli sopra la slitta e l’accelerazione del sistema inquesta condizione.

8.34 L’auto in curva - La virata dell’aereoplanoHRK4 6.34 & 6.35 & 6.42 & 6.47 Oha 6.61 & AF 7.76Si deve progettare una strada con un tratto di curva circolare il cui raggio di curvatura è R = 100 m. Si determini l’angolo

di inclinazione ottimale della strada nel tratto di curva affinché un’auto con velocità v0 = 70 km/h possa percorrerla senza dipendere

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dall’aderenza dei pneumatici in modo cioè che la sola reazione normale della strada fornisca la forza centripeta necessaria. Supponendoche la curva sia costruita con questo angolo ottimale determinare la massima velocità che un auto può tenere senza perdere aderenzanel caso in cui il coefficiente di attrito statico tra i pneumatici e la strada vale µaa = 0.75 (asfalto asciutto), µab = 0.50 (asfalto bagnato),µg = 0.25 (ghiaccio).

8.35 L’auto sulla strada con dossi e avvalamenti (HRK4 6.44)8.36 Misuratore di velocità angolare a forza centrifuga

Oha 6.76Un disco orizzontale ruota attorno al proprio asse con velocità angolare costante e ignota ω . Al bordo del disco, che ha raggio R,

è appeso un pendolo di lunghezza l che può ruotare solo nel piano verticale passante per l’asse di rotazione del disco. L’angolo α cheil pendolo forma con la verticale dipende perciò dalla velocità angolare del disco e può quindi essere usato per misurare la velocitàangolare. Si determini la relazione che lega la velocità angolare del disco ω , il suo raggio R, la lunghezza l del pendolo e l’angolo α .Si veda anche il problema 10.13

8.37 ♠ Il blocco che scivola su un piano inclinato libero (1)HRK4 5.68 & Spi 8.27 & You 5.84Un piano inclinato di massa M e angolo θ è appoggiato su un tavolo e sorregge un blocco di massa m. Si supponga che tra il piano

inclinato e il tavolo e tra il piano inclinato e il blocco non ci sia attrito. Il sistema viene lasciato libero con blocco e piano inclinato inquiete. 1) Quale è l’accelerazione del piano inclinato e quali sono le componenti orizzontale e verticale dell’accelerazione del blocco?Queste accelerazioni si riducono ai valori corretti nel caso in cui M m? Quale accelerazione orizzontale del piano è necessaria,rispetto al tavolo, affinché il corpo resti fermo rispetto al piano? Quale forza orizzontale bisogna applicare al sistema per ottenerequesto risultato?

8.38 Il piano oscillante con la massa sopraUn piano orizzontale può oscillare lungo la verticale con legge del moto armonico di pulsazione ω grazie ad un molla opportuna.

Il piano parte da fermo dalla quota x =−x0 < 0 rispetto alla posizione di riposo della molla, posta alla quota x = 0. Una massa m giacesul piano, in quiete rispetto allo stesso nel momento in cui il piano viene rilasciato. 1) Determinare sotto quali condizioni la massa sistacca dal piano e in quale posizione. 2) Determinare la velocità della massa all’istante dello stacco.

Risposta 1) Lo stacco si ha per x(t) tale che x(t)ω2 ≥ g. 2) v = ωx0

√1−g2/ω4x2

0 quando x = g/ω2.

8.39 Resistenza del mezzo proporzionale alla velocità - Il cannone - La pioggiaHRK4 6.70 & 6.71 & 6.72 & 6.73 & AF 7.58 & Cap 11.1Discutere il moto di un punto materiale soggetto ad una forza costante (per esempio la forza di gravità) e ad una resistenza del

mezzo proporzionale alla velocità FR =−kv dove k è una costante positiva che dipende dalle caratteristiche dell’oggetto e del mezzo.Si consideri il moto di un proiettile sparato con velocità iniziale v0. Si introduca Coordinate System con asse x parallelo al suolo enella direzione verso cui è sparato il proiettile e asse y verticale diretto verso l’alto. Si mostri che la legge oraria

x(t)− x0(t) =vx0

b

[1− e−b∆t

](8.39.1)

y(t)− y0(t) =−gb

∆t +1b2 (gvy0 +b)

[1− e−b∆t

](8.39.2)

in cui k ≡ mb e ∆t ≡ t− t0, soddisfa l’equazione del moto. Si mostri che la velocità è data dalle relazioni

vx(t) =vx0e−b∆t (8.39.3)

vy(t) =−gb+

1b(gvy0 +b)e−b∆t (8.39.4)

8.40 ♠ Resistenza del mezzo proporzionale al quadrato della velocità - Il paracaduteAF 7.59 & 7.86 & I. E. Irodov, Problems in General Physics, ISBN 5-03-000800-4, MIR publishers Moscow, (1988) 1.104 &

Cap 11.4Un oggetto si muove sotto l’azione di una forza costante F in un mezzo che presenta una forza resistente FR = −bvv dove b è

una costante positiva che dipende dalle caratteristiche dell’oggetto e del mezzo. Supponendo che l’oggetto parta all’istante t = 0 dallaposizione x = x0 = 0 con velocità v0 parallela a F dimostrare che la velocità limite è data da

vL =√

F/b

che l’andamento della velocità in funzione del tempo è dato da

v = vL(v0 + vL)ebvLt/m +(v0− vL)e−bvLt/m

(v0 + vL)ebvLt/m− (v0− vL)e−bvLt/m

e che la relazione tra velocità e spazio percorso è

v2 = F/b+[v2

0−F/b]

e−2b(x−x0)/m

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8.41 ♠ La catena che scivola dal bordo del tavoloHRK4 9.60 & Spi 3.85 & 3.86 & 3.111Una catena ideale, perfettamente flessibile e inestensibile, di lunghezza L e densità per unità di lunghezza λ , scivola dal bordo di

un tavolo. 1) Supponendo che non ci sia attrito, che la catena parta da ferma e che all’istante iniziale una parte lunga x0 di essa pendadal bordo del tavolo dimostrare che il tempo occorrente alla catena per scivolare dalla tavola vale√

Lgx2

0logL+

√L2− x2

0 (8.41.1)

Si supponga ora che il coefficiente di attrito cinetico tra la catena e il piano del tavolo valga µc. 2) Determinare l’accelerazione dellacatena in funzione della lunghezza x della parte di catena che pende dal bordo del tavolo. 3) Dimostrare che in tal caso, supponendoche nella posizione iniziale la forza di attrito statico non sia in grado di tenere ferma la catena, il tempo occorrente alla catena perscivolare dalla tavola vale √

Lg(1+µ)

log

L+

√L2− [x0 (1+µ)−Lµ]2

x0 (1+µ)−Lµ

(8.41.2)

4) Se il coefficiente di attrito statico vale µs dimostrare che la catena non cade dal tavolo se e solo se

x0 (1+µs)≤ µsL (8.41.3)

Risposta 2) a = (g/L)(x(1+µc)−µcL)...omissis.......omissis.......omissis....

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Chapter 9

Dinamica elementare in un Sistema di Riferimento non inerziale

9.1 Il peso apparente in ascensore (HRK4 §5.10E7)9.2 La cassa sull’autocarro che frena (Oha 6.24)9.3 La moneta sul piatto del giradischi

HRK4 6.46Una moneta è sistemata a r = 13 cm dall’asse del piatto di un giradischi. Si osserva che la moneta non si muove quando il giradischi

ruota alla velocità angolare di 33.3 giri/min mentre scivola via quando il giradischi ruota alla velocità angolare di 45.0 giri/min.Determinare entro quali limiti è compreso il coefficiente di attrito statico tra la moneta e il piatto del giradischi.

9.4 Il rotore del Luna Park (HRK4 §6.3)9.5 L’imbuto ruotante

HRK4 6.53Un piccolo cubo di massa m è deposto all’interno di un imbuto che ruota con velocità angolare costante ω . La parete dell’imbuto

forma un angolo θ con l’orizzontale, il coefficiente di attrito statico tra il cubo e la parete dell’imbuto vale µs e il cubo si trova a distanzar dall’asse di rotazione. 1) Determinare il valore massimo della velocità angolare per cui il cubo non si muove rispetto all’imbuto. 2)Determinare il valore minimo della velocità angolare per cui il cubo non si muove rispetto all’imbuto.

Risposta 1) ωmax =√

g(tanθ+µs)r(1−µs tanθ) ; 2) ωmin =

√g(tanθ−µs)

r(1+µs tanθ) ;

9.6 Periodo di un pendolo in un treno in curvaSpi 6.80Il periodo di un pendolo semplice vale T . Dimostrare che il periodo T ′ dello stesso pendolo quando si trova appeso al soffitto di

un treno che percorre un binario circolare di raggio R con velocità di modulo v0 vale

T ′ = T√

Rg√v4

0 +R2g24

9.7 Direzione della verticale e peso apparenti sulla TerraBBCMRZ 2.3.12 & HRK4 6.54 & Spi 6.14 & 6.60Si supponga che il Reference Frame solidale con il Sole sia un Reference Frame inerziale e si considerino i moti di rivoluzione

e di rotazione della Terra supponendo l’orbita del moto di rivoluzione circolare con centro nel Sole ed entrambi i moti di rivoluzionee rotazione uniformi. Introducendo un Reference Frame Oxyz solidale con la Terra e avente origine nel suo centro discutere i varicontributi dell’accelerazione di trascinamento del Reference Frame. Si supponga la Terra di forma sferica e con una distribuzioneinterna di massa a simmetria sferica e si supponga inoltre che la forza peso che agisce su un punto materiale di massa m alla superficiedella Terra valga

F p =−GMT m

r3 r

dove MT = 5.98·1024 kg è la massa della Terra, G = 6.67·10−11 m3s−2kg−1 è la costante di gravitazione universale, e r è il vettoreposizione del punto materiale rispetto al centro della Terra, supponendo r < RT e sapendo che RT = 6.38·103 km. Determinare ladirezione della verticale apparente alla superficie della Terra e il valore del peso apparente alla latitudine di 45. Si assuma il periododi rivoluzione della Terra Triv = 365.25 giorni (periodo siderale), il periodo di rotazione della Terra Trot = 23.93 ore (giorno sideralepari a 86160 s, diverso dal giorno solare medio) e il raggio dell’orbita terrestre pari a R = 1.496·1011 m.

9.8 Calcolo approssimato della deviazione verso est della caduta dei graviAF E6.3 & Spi 6.15 & 6.16 & 6.17Si stimi approssimativamente l’entità della deviazione verso est di un grave in una (breve) caduta libera da fermo alla superficie

terrestre nell’emisfero nord. Di quanto devia verso est un grave lasciato cadere da un’altezza h = 100 m alla latitudine di 45?

31

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9.9 Deviazione verso ovest di un oggetto lanciato verso l’altoAF 6.33Un punto materiale è lanciato verticalmente verso l’alto con velocità v0. Dimostrare che ricadrà in un punto spostato verso ovest

di una distanza pari a

∆y =43

ω cosλ

√8h3

g(9.9.1)

dove h è l’altezza a cui sale il punto materiale.

Suggerimento. Si riveda il problema 9.8 risolvendolo nel caso generale di velocità iniziale non nulla. Si applichi il risultatoottenuto alle due fasi di salita e di discesa

9.10 Oggetto fermo visto da una giostra in motoUn bambino si trova fermo al centro di una giostra che ruota con velocità angolare costante Ω. Egli osserva i suoi genitori che sono

fermi a terra ma che, dal suo punto di vista, si muovono di moto circolare uniforme rispetto al centro della giostra. Nella descrizionedel bambino chi fornisce la forza centripeta necessaria per mantenere i genitori in moto circolare uniforme?

...omissis....

...omissis....

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Chapter 10

Lavoro, energia, quantità di moto e momento angolare del punto materi-ale

10.1 Accelerazione di protoniHRK4 7.20Un protone (nucleo dell’isotopo più leggero dell’atomo di idrogeno) può essere accelerato da un acceleratore lineare lungo un tratto

rettilineo con accelerazione a = 3.60·1015 m/s2. Un protone entra in un tratto accelerante lungo l = 3.50 cm con una velocità inizialev0 = 2.40·107 m/s. 1) Si calcoli la velocità del protone al termine dell’accelerazione. 2) Si calcoli il guadagno di energia cinetica delprotone. La massa del protone vale m = 1.67·10−27 kg. Si ignorino gli effetti relativistici sul moto del protone.

10.2 Collisioni tra comete e la Terra e crateri prodottiHRK4 7.29Una cometa di massa m = 8.30·1011 kg urta la Terra con velocità relativa v = 30 km/s. 1) Si calcoli l’energia cinetica della cometa

espressa in megatoni di TNT. Un megatone di TNT corrisponde all’energia liberata nell’esplosione di un milione di tonnellate ditritolo ed è pari a 4.2·1015 J. Il diametro del cratere prodotto da una grande esplosione è proporzionale alla radice cubica dell’energiasviluppata; con un megatone di TNT si produce un cratere di diametro circa pari a D = 1 km. 2) Quanto misura il diametro D delcratere prodotto dall’impatto della cometa sulla Terra?

Risposta 1) K = 9.0·104 megatoni di TNT; 2) D = 45 km.

10.3 La catena sul tavoloHRK4 7.23Una catena è trattenuta ad un estremo su un tavolo privo di attrito con una quarto della sua lunghezza che pende dal bordo. Se la

catena è lunga l ed ha massa m quale è il lavoro L che occorre fare per portare sul tavolo la parte pendente della catena?

Risposta L = mgl/32.

10.4 La palla non elasticaHRK4 7.31Una palla, rimbalzando su un selciato di cemento, perde una frazione f = 15% della sua energia cinetica. Con quale velocità

v0 bisogna lanciare la palla verticalmente verso il basso dall’altezza h = 12.4 m affinché risalga alla stessa quota h? Si trascuri laresistenza dell’aria.

Risposta v0 = 6.55 m/s.

10.5 Il blocco che cade sulla mollaHRK4 7.33Un blocco di massa m = 263 g è lasciato cadere verticalmente sopra una molla di costante elastica k = 2.52·102 N/m. Il blocco

colpisce la molla che si accorcia di ∆x = 11.8 cm prima di fermarsi momentaneamente. Quanto lavoro viene compiuto nella compres-sione della molla 1) dalla forza di gravità Lg, 2) dalla molla Lm? 3) Quanto vale la velocità del blocco v1 un istante prima di colpirela molla? 4) Se la velocità iniziale della molla viene raddoppiata quale è il valore della compressione ∆x′ della molla? Si ignorino gliattriti.

Risposta 1) Lg = 304 mJ; 2) Lm =−1.75 J; 3) v1 = 3.32 m/s; 4) ∆x′ = 22.5 cm.

10.6 Potenza sviluppata da un transatlanticoHRK4 7.42Il transatlantico Queen Elizabeth II è equipaggiato con un motore diesel che sviluppa una potenza massima di P = 32 kW alla

velocità di crociera di v = 32.5 nodi. Quanto vale la forza esercitata dalle eliche sull’acqua in queste condizioni?

33

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10.7 La centrale idroelettricaHRK4 7.44Da una cascata alta h = 96.3 m scendono ogni minuto V = 7.38·105 m3 di acqua. Supponendo che un generatore idroelettrico sia

in grado di convertire in energia elettrica una frazione f = 58.0% dell’energia cinetica acquistata dall’acqua nella caduta calcolare lapotenza sviluppata dal generatore. La densità dell’acqua è ρ = 1 g/cm3.

10.8 L’arganoHRK4 7.47Un blocco di granito di massa m = 1380 kg viene trascinato su per un piano inclinato alla velocità costante di v = 1.34 m/s da un

argano. Se il coefficiente di attrito cinetico tra il blocco e il piano vale µs = 0.41 e se l’altezza e la lunghezza della base del pianoinclinato valgono rispettivamente h = 28.2 m e b = 39.4 m, quale potenza W deve sviluppare l’argano?

Risposta W = 16.6 kW.

10.9 La potenza dell’automobileHRK4 7.52Si dimostri che la velocità v raggiunta da un’automobile di massa m che viaggia sviluppando una potenza costante P vale, in

funzione dello spazio x percorso dall’auto partendo da ferma, v = [3xP/m]1/3.

10.10 La potenza dell’aereoplanoHRK4 7.53Si supponga che la resistenza aereodinamica al moto di un aereoplano sia D = bv2, con b una costante che dipende dalle proprietà

del mezzo e dell’aereoplano ma non dalla velocità. 1) Si dimostri che la potenza sviluppata da un aereoplano che naviga orizzontal-mente a velocità costante v è proporzionale a v3. 2) Di quale fattore p′ occorre aumentare la potenza dei motori per far crescere lavelocità di v′ = 25%?

Risposta 2) p′ = 1.95

10.11 L’automobileHRK4 7.57La resistenza al moto di un’automobile dipende dall’attrito al suolo, che è in prima approssimazione indipendente dalla velocità, e

dalla resistenza dell’aria, che dipende dal quadrato della velocità. Per una particolare automobile, che pesa P = 1.2·104 N, la resistenzatotale al moto è data dalla relazione R = a+bv2 con a = 300 N e b = 1.8 N s2/ m2. Si calcoli la potenza P necessaria per accelerarela macchina di A = 0.92 m/s2 quando la velocità vale v = 80 km/h.

Risposta P = 69 hp.

10.12 Covarianza del teorema lavoro-energiaHRK4 7.59Si considerino due osservatori uno solidale con il suolo e l’altro su un treno che si muove con velocità u costante rispetto al suolo.

Entrambi osservano una particella, inizialmente ferma rispetto al treno, accelerare per effetto di una forza applicata in avanti per untempo t. 1) Si dimostri che per entrambi gli osservatori il lavoro fatto dalla forza uguaglia la variazione di energia cinetica dellaparticella e che tale lavoro vale, rispettivamente per l’osservatore, al suolo e quello sul treno, Ls = 1/2ma2t2 +maut Lt = 1/2ma2t2 2)Si spieghi la diversità del lavoro fatto dalla stessa forza nei due sistemi in termini del diverso percorso della particella nel tempo t vistodai due sistemi. 3) Si spieghi la diversità delle energie cinetiche della particella nei due sistemi in termini dell’energia necessaria perfermare la particella nei due sistemi.

10.13 Regolatore a forza centrifugaHRK4 7.58Un regolatore consiste in due sferette di massa m = 200 g attaccate ad un asse verticale ruotante mediante due asticelle rigide,

di lunghezza l = 10 cm, vincolate a muoversi nel piano dell’asse di rotazione. Quando l’angolo θ formato dalle due sferette con laverticale raggiunge il valore θ0 = 45

le sfere toccano le pareti del cilindro entro il quale è inserito il regolatore. 1) Quale è la velocità

minima di rotazione che consente alle sfere di toccare le pareti del cilindro? 2) Se il coefficiente di attrito cinetico tra le sferette e lepareti vale µc = 0.35 quanto vale la potenza dissipata quando l’asse ruota con velocità angolare ω = 300 giri/min? Si veda anche ilproblema 8.36

...omissis....

10.14 Il cubetto entro la calotta sfericaHRK4 8.5Un piccolo cubetto di ghiaccio viene lasciato scivolare all’interno di un contenitore a forma di semisfera di raggio r = 23.6 cm

partendo dal bordo. Se l’attrito è trascurabile quanto vale la velocità v del cubetto quando raggiunge il fondo del contenitore?

Risposta v = 2.15 m/s.

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10.15 Il pendoloHRK4 8.8Un pendolo è formato da una massa m fissata all’estremo di una sbarra leggera di lunghezza L vincolata all’altro estremo a ruotare

nel piano verticale. La massa può quindi muoversi solo lungo una circonferenza nel piano verticale. Il pendolo partendo dalla posizioneorizzontale riceve una spinta verso il basso in modo tale da arrivare a fermarsi nella posizione verticale. Supponendo trascurabili gliattriti determinare la velocità iniziale da fornire alla palla.

10.16 Il blocco spinto su per un piano inclinato da una mollaHRK4 8.19Un blocco di massa m = 1.93 kg è posto a contatto con una molla compressa che è situata alla base di un piano inclinato di angolo

θ = 27.0

e privo di attrito. La molla, di costante elastica k = 20.8 N/cm, viene compressa di ∆x0 = 18.7 cm e quindi lasciata andare.Quanta strada d percorre il blocco lungo il piano inclinato prima di fermarsi? Si misuri la posizione finale del blocco rispetto a quellainiziale.

Risposta d = 4.24 m.

10.17 Il blocco frenato dalla molla in fondo ad un piano inclinatoHRK4 8.20Una molla ideale priva di massa se sottoposta ad una forza F = 268 N si comprime di d = 2.33 cm. Un blocco di massa m= 3.18 kg

è lasciato andare da fermo dall’alto di un piano inclinato che ha un angolo θ = 32.0

alla cui base è posta la molla. Il blocco si fermamomentaneamente dopo aver compresso la molla di ∆x = 5.48 cm. 1) Quanto strada ha percorso il blocco fino a questo istante? 2)Quale è la velocità del blocco un istante prima di toccare la molla?

10.18 Tarzan e la lianaHRK4 8.28Tarzan, la cui massa è m = 81.63 kg, salta da una collinetta appeso ad una liana di lunghezza L = 15.24 m. Dalla cima della

collinetta da cui si lancia al punto più basso della traiettoria Tarzan scende di h = 2.60 m. Se la liana ha un carico di rottura diT = 1112.1 N riesce a resistere senza spezzarsi?

10.19 Il punto materiale che cade da una semisfera rovesciataSpi 3.82 & AF 8.31 & Oha 7.55 & HRK4 8.36 & I. E. Irodov, Problems in General Physics, ISBN 5-03-000800-4, MIR

publishers Moscow, (1988) 1.87Un ragazzo di massa m è seduto in cima ad una grande calotta di ghiaccio di forma semisferica con raggio R. Si supponga nullo

l’attrito tra il ragazzo e il ghiaccio. Se il ragazzo incomincia a scivolare partendo da fermo in quale punto si stacca dalla calotta? Perquale valore della velocità iniziale v0, orizzontale, il ragazzo si stacca subito? Quale è la sua velocità all’istante dello stacco? Quale èla sua traiettoria dopo lo stacco?

10.20 ♠ Il punto materiale che cade lungo un profilo qualunqueBBM 2.3.7Si consideri una generalizzazione del problema 10.19. Un punto materiale di massa m scivola lungo una guida piana posta in un

piano verticale con la concavità rivolta verso il basso. La guida è descritta dalla funzione g(x,y) = 0 dove l’asse x è orizzontale e l’assey è diretto verticalmente verso il basso. Il raggio di curvatura della guida, variabile, è la funzione ρ(x,y). 1) Determinare in funzionedi θ , v e ρ la condizione di distacco del punto dalla superficie. 2) Sapendo che il punto materiale viene lanciato dalla quota y0 convelocità v0 tangente alla guida determinare la quota y a cui avviene il distacco dalla guida in funzione di y, y0, ρ , θ e v0.

Suggerimento. Si usi Coordinate System intrinseco al profilo della superficie

Risposta 1) Il punto si stacca quando gcosθ − v2/ρ = 0. 2) Il punto si stacca quando ρ(x,y)gcosθ − v20 +2g(y− y0) = 0.

10.21 Il pendolo balisticoOha 7.51 & 7.52Un punto materiale è appeso in quiete ad una fune ideale di lunghezza R (un pendolo). Si colpisce il punto materiale con una forza

impulsiva in modo tale da fornirgli, all’istante iniziale, una velocità v0 in direzione orizzontale. Quale deve essere il valore minimodella velocità iniziale affinché il punto materiale compia tutta la circonferenza? Quanto vale il valore massimo della tensione assuntodalla fune?

10.22 Il giro della morteHRK4 8.37Una particella di massa m si muove all’interno di una guida circolare di raggio R disposta nel piano verticale. La velocità della

particella nel punto più basso della sua traiettoria vale v0. 1) Quale è il valore minimo vmin della velocità v0 che consente alla particelladi effettuare un giro completo senza perdere contatto con la guida? 2) La velocità v0 vale v0 = 0.775vmin. Sia θ l’angolo che descrivela posizione della particella entro la guida, a partire dalla posizione orizzontale. In tale modo la posizione iniziale della particella èθ0 =−π/2 rad. Per quale valore di θ la particella perde contatto con la guida?

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Risposta 1) vmin =√

5gR; 2) sinθ = 1/3....omissis....

10.23 Punto materiale attaccato alla molla ruotanteUn punto materiale di massa m ruota in una traiettoria circolare con velocità angolare costante ω attorno ad un punto cui è collegato

da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo d. Determinare la distanza di equilibrio, r0 sia usando le equazioni cardinaliche considerazioni energetiche.

Risposta r0 = kd/(k−mω2

)10.24 Il potenziale di Yukawa

HRK4 8.45Il cosidetto potenziale di Yukawa

U(r) ==r0

rU0e−r/r0 (10.24.1)

fornisce una descrizione approssimata dell’interazione tra due nucleoni (cioè protoni e neutroni), i costituenti del nucleo atomico. Lacostante r0 vale circa r0 ' 1.5·10−15 m mentre la costante U0 vale circa U0 ' 50 MeV. 1) Si determini la corrispondente espressionedella forza F(r) tra due nucleoni. 2) Per rendersi conto del suo corto raggio di azione si calcoli il rapporto del modulo di tale forze perr = 2r0,4r0,10r0 con il valore F(r = r0).

Risposta 1) F(r) =−U0(r0r−2 + r−1

)e−r/r0 ; 2) 0.14, 0.0078, 6.8·10−6.

10.25 L’atomo di idrogenoHRK4 8.58In un atomo di idrogeno il modulo della forza di attrazione tra il protone del nucleo, carico positivamente, e l’elettrone che orbita

attorno al nucleo, carico negativamente, vale

F(r) = ke2

r2 (10.25.1)

dove e è la carica dell’elettrone, k una costante universale ed r la distanza tra protone ed elettrone. Si supponga il protone fisso. Siimmagini quindi che l’elettrone si muova inizialmente lungo una circonferenza di raggio r1 attorno al protone e che successivamentesalti improvvisamente su un orbita di raggio r2. 1) Si calcoli la variazione dell’energia cinetica dell’elettrone. 2) Si calcoli la variazionedi energia potenziale dell’atomo. 3) Di quanto è cambiata in questo processo l’energia totale dell’atomo? Tale energia è spesso liberataoppure assorbita sotto forma di radiazione elettromagnetica.

10.26 Scala Richter della magnitudo di un terremotoHRK4 8.62Nella scala Richter la magnitudo M di un terremoto è legata all’energia liberata E, espressa in Joule, dall’equazione

logE = 1.44M+5.24 (10.26.1)

1) Il terremoto di San Francisco del 1989 fu di magnitudo M = 7.1. Quanta energia venne liberata? 2) A quale massa è equivalente,secondo la relazione relativistica tra massa ed energia

E = mc2 (10.26.2)

tale energia?

10.27 Momento angolare di una particellaHRK4 13.1 & 13.3Dimostrare che per un punto materiale che si muove in un piano il momento angolare è perpendicolare al piano del moto. Di-

mostrare che il momento angolare rispetto ad un qualunque polo di una particella in moto rettilineo uniforme è costante.

10.28 Momento angolare nel Sistema SolareHRK4 13.4 & Berkeley Physics Course, Vol. 1, Mechanics, (1965, McGraw-Hill) §6.6Calcolare il momento angolare totale di tutti i pianeti associato al loro moto di rivoluzione attorno al Sole. Quale è la frazione del

momento angolare totale associata al pianeta Giove?

Suggerimento. Si noti che il contributo di alcuni pianeti al momento angolare totale di rivoluzione attorno al Sole è del tuttotrascurabile

10.29 Legge di variazione del momento angolare al variare del poloSia lO il momento angolare di un punto materiale rispetto al polo O. Dimostrare che il momento angolare rispetto al polo X è dato

dalla relazionelX = lO + [X−O]×p (10.29.1)

Si veda anche il problema 11.30.

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10.30 Accelerazione angolare che accompagna la contrazioneAF 8.43 & Berkeley Physics Course, Vol. 1, Mechanics, (1965, McGraw-Hill) §6.4 & §6.5Un punto materiale di massa m si muove con velocità v0 lungo una traiettoria circolare di raggio r0 su un tavolo orizzontale privo

di attrito. Il punto è mantenuto nella sua orbita circolare da una fune che passa attraverso un’apertura senza attrito al centro del tavoloe trattenuta all’altro capo da una forza costante F0. Determinare l’espressione di F0 in funzione dei parametri dati. Supponendo chela forza venga aumentata molto lentamente fino al valore F e che l’orbita finale sia circolare determinare le caratteristiche dell’orbitafinale. Determinare il lavoro fatto dalla forza F per cambiare il raggio dell’orbita e il valore finale della velocità angolare.

...omissis....

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Chapter 11

Dinamica dei sistemi

11.1 Centro di massa del sistema Terra-LunaHRK4 9.3Quanto dista dal centro della Terra il centro di massa del sistema Terra-Luna?

11.2 Distanza di due particelle dal loro centro di massaHRK4 9.4Dimostrare che il rapporto tra le distanze x1 e x2 di due particelle dal loro centro di massa è uguale all’inverso del rapporto delle

masse m1 ed m2: x1/x2 = m2/m1.

11.3 L’uomo che sale sulla mongolfieraHRK4 9.7Un uomo di massa m è appeso ad una scala di corda sospesa ad una mongolfiera di massa M. Il sistema è fermo rispetto al suolo.

1) Se l’uomo inizia ad arrampicarsi con velocità v rispetto alla scala, quale è la direzione e il modulo della velocità che la mongolfieraacquista rispetto al suolo? 2) Cosa succede quando l’uomo si ferma?

Risposta 1) mv/(M+m) verso il basso; 2) il pallone si mette di nuovo in quiete.

11.4 Il cannone sul vagone ferroviarioHRK4 9.9Un piccolo cannoncino si trova entro un vagone ferroviario chiuso di lunghezza L con una riserva di proiettili. Il cannone viene

fatto sparare verso destra e il vagone rincula a sinistra. I proiettili sparati dal cannone restano entro il vagone dopo aver urtato le pareti.1) Dopo che tutti i proiettili sono stati sparati quale è il massimo spostamento teoricamente possibile che il vagone può avere avutoverso sinistra rispetto alla sua posizione iniziale? 2) Quale è la velocità del vagone dopo che tutti i proiettili sono stati sparati?

Risposta 1) L; 2) zero.

11.5 La molecola dell’ammoniaca (HRK4 9.10)11.6 La catena che scivola (HRK4 9.13)11.7 Il peso di Judy (HRK4 9.15)11.8 Centro di massa di un oggetto composto (HRK4 9.17)11.9 Centro di massa di una lastra composta (HRK4 9.18)11.10 Centro di massa del liquido in un serbatoio (HRK4 9.20)11.11 Il primo teorema di Guldino per il calcolo del centro di massa

Si consideri un filo piano a forma di semicirconferenza con raggio R e di massa M. Si usi un Coordinate System cartesianeortogonali con centro nel centro di curvatura del semicirconferenza, asse x coincidente con il diametro e asse y nel piano del filo e converso positivo dalla parte del filo. 1) Determinare la posizione del centro di massa per calcolo diretto. 2) Determinare la posizionedel centro di massa usando il primo teorema di Guldino: "La superficie di un solido di rotazione, generato dalla rotazione di una lineapiana attorno ad un asse che giace nel piano della linea e che non interseca la linea stessa, è data dal prodotto della lunghezza dellalinea per la lunghezza della circonferenza percorsa dal centro di massa della linea".

Risposta 1) xCM = 0 e yCM = 2R/π .

11.12 Il secondo teorema di Guldino per il calcolo del centro di massaHRK4 9.21Si consideri una lamina piana a forma di semicerchio con raggio R e di massa M. Si usi un Coordinate System cartesiane ortogonali

con centro nel centro di curvatura del semicerchio, asse x coincidente con il diametro e asse y nel piano della lamina e con verso positivodalla parte della lamina. 1) Determinare la posizione del centro di massa per calcolo diretto. 2) Determinare la posizione del centro

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di massa usando il secondo teorema di Guldino: "Il volume di un solido di rotazione, generato dalla rotazione di una superficie pianaattorno ad un asse che giace nel piano della superficie e che non interseca la superficie stessa, è dato dal prodotto dell’area dellasuperficie per la lunghezza della circonferenza percorsa dal centro di massa della superficie".

Risposta 1) xCM = 0 e yCM = 4R/3π .

11.13 La corsa sul vagone ferroviarioHRK4 9.31Un vagone ferroviario di massa M si muove su un binario rettilineo con velocità costante u0 in assenza di attrito apprezzabile. Sul

vagone si trova un uomo, inizialmente fermo rispetto al vagone. L’uomo si mette a correre lungo il vagone in verso opposto a quellodel moto del vagone e quando salta giú dalla coda del vagone la sua velocità rispetto al vagone ha modulo vR. 1) Determinare, subitodopo che l’uomo è saltato giú, la velocità del vagone, V , e dell’uomo, v, rispetto al suolo.

Risposta 1) V = u0 +m/(m+M)vR; v = u0−m/(m+M)vR.

11.14 La mitragliatrice (HRK4 9.33)11.15 Il distacco dell’ultimo stadio del missile

HRK4 9.35L’ultimo stadio di un missile viaggia a velocità u0 = 7600 km/s ed è composto dalla sonda spaziale di massa m = 150 kg e dal

serbatoio vuoto dell’ultimo stadio, di massa M = 290 kg. Le due parti sono bloccate insieme da un fermo che mantiene compressa unamolla. All’istante in cui si decide il distacco dell’ultimo stadio il fermo viene rimosso e la molla allontana così le due parti impartendoloro una velocità relativa vR = 910 km/s. Si supponga che tutte le velocità giacciano sulla stessa direzione. 1) Quali sono le velocitàfinali del serbatoio, V , e della capsula, v? 2) Quale è l’energia cinetica del sistema prima e dopo la separazione? Se sono diversespiegare perché.

Risposta 1) V = 7290 km/s; v = 8200 km/s. 2) K0 = 1.271·1010 J; K f = 1.275·1010 J.

11.16 Decadimento di un nucleo radioattivo (HRK4 9.37)11.17 Le persone che corrono sul vagone (HRK4 9.41)11.18 Teorema di Koenig per due particelle

HRK4 9.49 & Spi 7.25Dimostrare che, nel caso di due particelle di massa m1 ed m2, il teorema di Koenig si può riscrivere nella forma

K =12MV 2

CM +12

µv2REL (11.18.1)

dove M = m1 +m2, VCM è la velocità del centro di massa, µ indica la massa ridotta della coppia e vREL è la velocità relativa delle dueparticelle.

11.19 Teorema di Koenig per tre o più particelleSpi 7.97Dimostrare che per un sistema di tre particelle con massa m1, m2, m3 l’energia cinetica relativa al centro di massa, come risulta dal

teorema di Koenig, può essere espressa tramite la relazione

12

3

∑k=1

mkv′k2=

12

[m1m2v2

12 +m2m3v223 +m3m1v2

31

m1 +m2 +m3

](11.19.1)

Suggerimento. La dimostrazione dell’uguaglianza tra le due espressioni è lunga e tediosa ma del tutto banale. Si puòesprimere v′k come vk−VCM e sviluppare il primo membro della 11.19.1. Raccogliendo poi opportunamente i vari termini si ottieneil secondo membro.

11.20 Teorema dello pseudo-lavoro (HRK4 §9.7)11.21 Il vagone merci sotto la pioggia

HRK4 9.56Un vagone ferroviario merci aperto, che pesa 9.75 ton, si sta muovendo a velocità costante v = 1.36 m/s lungo un binario piano

rettilineo, con attrito trascurabile. Inizia a piovere violentemente e la pioggia cade verticalmente rispetto al suolo. 1) Determinare lavelocità del vagone dopo che ha raccolto 0.5 ton di acqua. 2) Occorre fare delle ipotesi addizionali per poter rispondere?

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11.22 Il jetHRK4 9.59Un jet viaggia alla velocità di V = 184 m/s. Il motore prende VIN = 68.2 m3 di aria, pari a una massa MIN = 70.2 kg, ogni secondo.

L’aria è usata per bruciare m= 2.92 kg di combustibile al secondo. L’energia prodotta è usata per comprimere i prodotti di combustioneed espellerli all’indietro alla velocità di v = 497 m/s rispetto all’aereo. 1) Determinare la spinta del motore. 2) Determinare la potenzasviluppata dal motore.

Risposta 1) F = 23.4·103 N; 2) W = 4.31·106 W.

11.23 Energia cinetica relativistica (HRK4 9.27)11.24 Elettrone relativistico (HRK4 9.28)11.25 Il blocco che scivola su un piano inclinato libero (2)

HRK4 5.68 & 9.43 & Spi 8.27Risolvere il problema 8.37 utilizzando le equazioni cardinali della meccanica dei sistemi.

11.26 Il nastro trasportatoreHRK4 E9.13 & 9.55Un nastro trasportatore orizzontale si muove a velocità costante v sotto l’azione del motore. Della sabbia viene caricata sul nastro

ad un ritmo costante con velocità nulla relativa al suolo. Determinare la potenza che deve applicare il motore per mantenere il nastroin moto a velocità costante. Si assuma che la sabbia venga scaricata dall’altro estremo del nastro con velocità nulla relativa al nastro.

11.27 La macchina di Atwood (2)HRK4 12.E6Si riconsideri il moto della puleggia del problema 8.18 nel caso in cui la puleggia abbia massa M non trascurabile rispetto alle

masse in gioco, momento di inerzia I e raggio R. si supponga che la fune, ideale e priva di massa, non strisci sulla carrucola. 1)Determinare l’accelerazione delle due masse. 2) Determinare il moto del centro di massa delle due masse. Risolvere il problema siausando le equazioni cardinali che considerazioni energetiche.

Risposta 1) a1 =−a2 =−Rα = g [m2−m1]/[m2 +m1 + I/R2

]; 2) aCM =−g [m2−m1]

2 / [m2 +m1]2.

11.28 Momento d’inerzia di un’asta sottile

Determinare, usando solo le proprietà generali dei momenti di inerzia, il momento d’inerzia di un’asta sottile di massa M elunghezza L rispetto ad un asse perpendicolare all’asta passante per il suo centro.

Suggerimento. Si utilizzi l’additività dei momenti di inerzia rispetto ad un asse, la proporzionalità del momento di inerziaalla massa e al quadrato delle dimensioni, e il teorema di Steiner. Si immagini di suddividere idealmente l’asta al centro in dueparti uguali.

11.29 Momento angolare di un manubrio ruotanteUn manubrio è formato da un’asta rigida di massa trascurabile e lunghezza 2r che connette due masse puntiformi di massa m. L’asta

ruota con velocità angolare costante ω attorno ad un asse verticale passante per il centro dell’asta formando un angolo costante θ conl’asse di rotazione. 1) Determinare l’espressione del momento angolare dell’asta rispetto al suo centro. 2) Determinare il momentodella forza richiesto per mantenere l’asta in rotazione a velocità angolare costante.

11.30 Momento angolare di un sistema: variazione al variare del poloSi dimostri che il momento angolare di un sistema varia al variare del polo secondo la stessa legge con cui varia il momento

angolare di una particella (problema 10.29, equazione 10.29.1)

LX = LO + [X−O]×P (11.30.1)

11.31 Momento angolare di un sistema: componente orbitale e di spinHRK4 13.7 & 13.8Il momento angolare totale di un sistema di particelle rispetto ad un polo O in un Reference Frame inerziale è definito da

L = ∑k

rk×pk (11.31.1)

1) Si usino le relazioni

rk =rCM + r′k (11.31.2)pk =mkvCM + p′k (11.31.3)

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per esprimere il momento angolare totale in termini delle grandezze r′k e p′k relative al centro di massa. 2) Si dimostri come il momentoangolare totale può essere decomposto in una parte orbitale ed una parte di momento angolare rispetto al centro di massa, L′, dettaanche momento angolare di spin, tramite la relazione

L = M rcm×V CM +L′ (11.31.4)

11.32 Momento angolare nel Reference Frame del centro di massa...omissis....Si consideri il momento angolare di un sistema di particelle relativo al Reference Frame del centro di massa, il Reference Frame

che ha origine nel centro di massa del sistema e si muove solidalmente con esso senza ruotare rispetto al Reference Frame del Lab-oratorio. Si denotino, rispettivamente, con rk e pk posizione e quantità di moto della k-esima particella rispetto al Reference Framedel Laboratorio e r′k e p′k le stesse quantità rispetto al Reference Frame del centro di massa. Si dimostri che il momento angolare delsistema rispetto al Reference Frame del centro di massa si può esprimere con le tre espressioni equivalenti

LCM =∑k

r′k×pk (11.32.1)

LCM =∑k

rk×p′k (11.32.2)

LCM =∑k

r′k×p

′k (11.32.3)

11.33 Oggetto in rotazione attorno ad un asse (HRK4 12.08)11.34 Il volano (HRK4 12.10)11.35 Raggio di girazione (HRK4 12.11)11.36 Momento di inerzia come limite di una sommatoria (HRK4 12.12)11.37 Rotazione della Terra (HRK4 12.25)11.38 Blocchi più carrucola (HRK4 12.29)11.39 La ciminiera che cade e si rompe

HRK4 §11.5 & 12.33 & 12.38 & Am. J. Phys. 45(2), 1977, 182Una ciminiera di forma cilindrica, massa M e altezza L molto maggiore del suo diametro viene abbattuta alla base da una carica

esplosiva e inizia a cadere rigidamente. Il centro di massa della ciminiera si trova ad un’altezza d rispetto alla base (B). 1) Determinarel’accelerazione radiale e tangenziale della cima della ciminiera (C) in funzione dell’angolo θ che la ciminiera forma con la verticale.2) Scrivere le equazioni del moto della cima della ciminiera. 3) Determinare lo sforzo in direzione perpendicolare alla ciminiera infunzione della posizione lungo la ciminiera.

Risposta 1) aR =− 2MgdL(1−cosθ)IB

; aT = MgdLsinθ

IB.

11.40 Il disco ruotante appoggiato al tavolo con attrito (HRK4 12.40)11.41 Lo yo-yo (HRK4 12.47)11.42 Caduta lungo una guida (HRK4 12.50)11.43 Variazione sul problema dello yo-yo (HRK4 12.51)11.44 Il tappeto che si srotola (HRK4 12.52)11.45 L’oggetto incognito che rotola (HRK4 12.54)11.46 La ruota dell’aereoplano che striscia al suolo (HRK4 12.56 & Oha 10.49)11.47 La sfera che rotola sul piano inclinato

HRK4 12.53 & 13.18Una sfera omogenea di massa M e raggio R inizia a rotolare da ferma giú da un piano inclinato di angolo α , 0 ≤ α ≤ 90.

Supponendo che la sfera rotoli senza strisciare determinare l’accelerazione del centro di massa, l’accelerazione angolare e la condizionesotto la quale la sfera rotola senza strisciare. Si risolva il problema usando sia le equazioni cardinali che i principi di conservazione.

11.48 Impulso angolare (HRK4 13.09)11.49 Il tiro della palla al biliardo

BO §6.10 & HRK4 12.60 & 13.19 & 13.23 & 13.24 & 13.25Una palla da biliardo omogenea di massa M e raggio R è appoggiata a riposo sul tavolo da biliardo. Un giocatore la colpisce con

la stecca disposta orizzontalmente, a distanza h dal piano del biliardo e nel piano mediano verticale della sfera. 1) Determinare la

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relazione tra la velocità iniziale v0 e la velocità angolare iniziale ω0. 2) Determinare sotto quali condizioni la palla inizia a rotolaresenza strisciare. 3) Nel caso la palla parta strisciando determinare dopo quanto tempo smette di strisciare e per iniziare un moto dipuro rotolamento.

11.50 Centro di percussione di una mazza da baseballAF 10.23Una mazza da baseball di massa M è appoggiata su un piano orizzontale, diretta lungo l’asse y crescente, con l’estremo dalla parte

del manico coincidente con l’origine. Il centro di massa giace all’ordinata yCM. Una forza impulsiva, diretta lungo l’asse x nel versopositivo, agisce sulla mazza ad un’ordinata yCM + h. 1) Determinare se esiste un punto della mazza che resta inizialmente fisso aseguito dell’impulso in funzione del valore di h.

11.51 Evoluzione del sole in una nana bianca (HRK4 13.27)11.52 La scheggia che salta dal disco in rotazione (HRK4 13.35)11.53 Lo scioglimento delle calotte polari (HRK4 13.40)11.54 Dinamica della nascita della Terra (HRK4 13.41)11.55 Quantizzazione del momento angolare (HRK4 13.44 & 13.45)

...omissis....

...omissis....

...omissis....

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Chapter 12

Statica

12.1 L’automobile nel fango (HRK4 14.09)12.2 Equilibrio di un sistema (HRK4 14.10)12.3 La massa di un regolo graduato (HRK4 14.14)12.4 La ruota che sale il gradino (HRK4 14.19)12.5 La carrucola (HRK4 14.22)12.6 L’insegna appesa (HRK4 14.23)12.7 Equilibrio di una asta (HRK4 14.25)12.8 La mensola (HRK4 14.29 & 14.30)12.9 Trave incernierata al muro e sorretta da una corda

HRK4 E14.5Una trave rigida uniforme di lunghezza L = 3.3 m e massa M = 8.5 kg è incernierata ad un muro ad un estremo. All’altro estremo

è collegata una fune ideale attaccata al muro che la sorregge. L’angolo tra la trave e l’orizzontale è 0≤ β ≤ 90 e l’angolo tra la funee l’orizzontale è α . La distanza tra la cerniera e il punto in cui la fune è attaccata al muro vale d = 2.1 m. Un peso di massa m = 56 kgè attaccato all’estremo della trave. 1) Determinare la reazione della cerniera, R, e la tensione della fune, T , nel caso in cui β = 30.

Risposta 1) T = 814 N; Rx = 804 N; Ry = 506 N.

12.10 La scala appoggiata al muro (HRK4 E14.3 & E14.4)12.11 L’auto che frena (HRK4 14.36)12.12 Lo scalatore (HRK4 14.42)12.13 Il tunnel (HRK4 14.48)

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Chapter 13

Altri Esercizi e Problemi vari

1. Si risolva il seguente problema usando esclusivamente l’algebra vettoriale. Sia data una piramide retta a base quadrata di lato le altezza h e si consideri una delle sue facce laterali.

(a) Si determini l’angolo θ formato, al vertice della piramide, tra i due spigoli della faccia della piramide.

(b) Verificare che il risultato ottenuto è corretto nei casi limite:

i. h→+∞;ii. h→ 0;

iii. l→+∞;iv. l→ 0.

2. Siano dati i due vettoria = a1e1 +a2e2 b = b1e1 +b3e3 ,

dove a1, a2, b1 e b3 sono costanti. Calcolare a×b.

3. Siano dati i due vettoria = a1e1 +a2e2 b = xe1 +b2e2 .

Determinare il valore di x per cui a e b sono perpendicolari.

4. Si consideri un moto lungo una linea retta (asse x) per cui l’accelerazione soddisfa alla:

a[v] = g− kv2 v[t = 0] = 0 x[t = 0] = 0 ,

dove g e k sono costanti. Determinare v = v[t] e x = x[t].

5. Si consideri un punto materiale la cui equazione del moto è data da:

x[t] = x0 cosωt y[t] = y0 sinωt z[t] = kt ,

con x0, y0, ω e k costanti opportune. Si calcoli l’accelerazione del punto materiale e si verifichi che è sempre perpendicolareall’asse z.

6. Si consideri un punto materiale la cui equazione del moto piano è data da:

x[t] = x0 cosωt y[t] = y0 sinωt

con x0, y0 ed ω costanti opportune e positive. Si calcoli:

(a) la componente tangenziale e quella normale dell’accelerazione;

(b) la componente radiale e quella trasversale dell’accelerazione.

7. Un cannone spara lungo un pendio in salita. Se il cannone spara con alzo α e se il pendio forma un angolo β con l’orizzontale(con β < α) si determini:

(a) quanto deve valere il modulo v0 della velocità iniziale del proiettile affinché questo colpisca un punto posto a distanza Llungo il pendio;

(b) per una velocità iniziale fissata, v0, determinare per quale valore dell’alzo α il proiettile cade alla massima distanza possi-bile dal cannone lungo il pendio.

8. Un punto materiale si muove nel piano x− y con equazione del moto:

x[t] = A y[t] = k (t− t0)

con A > 0, k > 0 e t0 costanti opportune.

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• Determinare la velocità angolare e l’accelerazione angolare con cui il moto del punto materiale è visto da un osservatoreposto nell’origine.

• Determinare la velocità radiale e quella tangenziale.

9. Un’auto percorre una strada rettilinea in pianura. C’è del vento che soffia lungo la stessa direzione della strada e nello stessoverso del moto dell’auto. Per questo la pioggia che cade con velocità di modulo v0 fa un certo angolo θ con la verticale. Sel’auto si muove con legge oraria

x[t] = At (1− exp(−t/λ ))

con A > 0 e λ > 0 costanti opportune.

Determinare, in funzione del tempo, l’angolo con la verticale che fanno le tracce delle gocce di pioggia sui finestrini lateralidell’auto.

10. Un aereo viaggia di moto rettilineo uniforme, velocità v0, ad una quota costante. Ad un certo istante passa esattamente sopra laverticale del centro di una giostra che ruota con velocità angolare Ω costante attorno ad un asse verticale.

(a) Determinare l’accelerazione con cui il moto dell’aereo è visto da un osservatore che si trova al centro della giostra e ruotasolidalmente con essa (componenti radiale e trasversale).

11. Un blocchetto di massa m giace su un piano orizzontale. I coefficienti di attrito statico e cinetico tra il blocchetto e il piano sonoµs e µc, con µs > µc. Una fune è collegata al blocchetto e viene tirata formando un angolo θ con l’orizzontale.

(a) Determinare per quale angolo θ il modulo della forza necessario per mantenere il blocchetto in moto rettilineo uniforme èminimo.

(b) Se θ = 0, il blocchetto è inizialmente fermo e il modulo della forza applicata dipende dal tempo secondo la relazioneF(t) = kt2, con k > 0 costante, determinare il moto del blocchetto in funzione del tempo.

12. Due blocchetti di masse m1 ed m2 sono collegati da una fune ideale. Il blocchetto 1 è poi collegato ad una seconda fune idealee, tramite questa fune, il tutto viene appeso ad un soffito.

(a) Determinare le tensioni delle due funi

(b) Se le due funi sono identiche e l’esperimento viene ripetuto con masse di valore progressivamente crescente quale delledue funi è piu probabile che si rompa per prima ? Perché‘ ?

13. Una puleggia ideale ha un peso di massa m che pende ad un estremo della sua fune ideale. All’altro capo della fune c’è un uomodi massa M.

(a) Se l’uomo si arrampica sulla fune con accelerazione costante A rispetto alla puleggia (verso l’alto) determinare il motodella massa m.

(b) Se M = m e l’uomo si arrampica sulla fune con velocità costante V determinare il moto della massa m.

14. Una moneta è sistemata a r = 13 cm dall’asse del piatto di un giradischi. Si osserva che la moneta non si muove quando ilgiradischi ruota alla velocità angolare di 33.3 giri/min mentre scivola via quando il giradischi ruota alla velocità angolare di45.0 giri/min.

(a) Determinare entro quali limiti è compreso il coefficiente di attrito statico tra la moneta e il piatto del giradischi.

(b) La moneta cade fuori dal piatto del giradischi e resta ferma a terra. Descrivere la dinamica della moneta rispetto ad unsistema di riferimento solidale con il piatto del giradischi.

15. Si dimostri che il teorema lavoro-energia per un punto materiale è covariante, cioè che la legge assume la stessa forma per tutti iSistemi di Riferimento Inerziali. Si ricordi che, in meccanica classica, le forze sono assolute, cioè sono le stesse in ogni Sistemadi Riferimento Inerziale. Si usi la forma infinitesimale:

mv ·dvdt

= F ·v

16. Un campo di forze nel piano ha componenti:Fx = y Fy =−x

(a) Disegnare le linee di forza del campo.

(b) Dimostare che il campo non è conservativo.

DRAFT

Chapter 14

Altri Esercizi e Problemi da Halliday-Resnick(-Krane)

49

DRAFT


14.1 Misure

Problema vedi anche Commenti

HRK4 1-23 *

HRK4 1-25 *

HRK4 1-26 *

HRK4 1-37 *

Oha 1-29 *

Oha 1-33 *

DRAFT


14.2 Calcolo vettoriale


HRK4 3-16

HRK4 3-24

HRK4 3-25 HR 2-12 *

HRK4 3-29 HR 2-19 *

HRK4 3-31 HR 2-23 *

HRK4 3-35 HR 2-31 *

HRK4 3-36 HR 2-33 *

HRK4 3-44 HR 2-38 *

HRK4 3-45 HR 2-27 *

HRK4 3-46 HR 2-28 *

HRK4 3-47 HR 2-29 *

HRK4 3-53 HR 2-39 *

DRAFT


14.3 Cinematica del punto materiale in una dimensione


HRK4 2-08

HRK4 2-09

HRK4 2-12 HR 3-05

HRK4 2-13

HRK4 2-26 HR 3-29 *

HRK4 2-27 HR 3-09 *

HRK4 2-44

HRK4 2-50

HRK4 2-55

HRK4 2-57

HRK4 2-66

HRK4 2-73 *

HRK4 2-74 HR 3-43 *

HRK4 2-75 HR 3-46

Oha 1-26 *

Oha 1-49 *

DRAFT


14.4 Cinematica del punto materiale nel piano e nello spazio


HRK4 4-05 HR 4-13

HRK4 4-09

HRK4 4-13

HRK4 4-14

HRK4 4-20

HRK4 4-21

HRK4 4-23

HRK4 4-24 HR 4-17 *

HRK4 4-32 HR 4-17 *

HRK4 4-44 HR 4-19 *

HRK4 4-46 HR 4-22

HRK4 4-47 HR 4-21

HRK4 4-54

HRK4 4-57 HR 4-23 *

HRK4 4-66 HR 4-33 *

Oha 4-33 *

Oha 4-37 *

DRAFT


14.5 Cinematica relativa


HRK4 4-73 HR 4-40 *

HRK4 4-76 HR 3-45 *

HRK4 4-79 HR 4-38 *

DRAFT


14.6 Dinamica elementare del punto materiale


HRK4 5-09

HRK4 5-24 HR 5-02 *

HRK4 5-28 HR 5-21

HRK4 5-29 HR 5-10

HRK4 5-33

HRK4 5-34 HR 5-17

HRK4 5-42

HRK4 5-48

HRK4 5-51 HR 5-35 *

HRK4 5-54 HR 5-28 *

HRK4 5-55 HR 5-15 *

HRK4 5-56 HR 5-03

HRK4 5-58 HR 5-32

HRK4 5-59 HR 5-19

HRK4 5-61 HR 5-25 *

HRK4 5-63 HR 5-27 *

HRK4 5-64 HR 5-31 *

HRK4 5-68 HR 5-34 *

HRK4 6-05

HRK4 6-08

HRK4 6-10

HRK4 6-13

HRK4 6-14 HR 6-03

HRK4 6-17 HR 6-18 *

HRK4 6-22

HRK4 6-23

HRK4 6-29 HR 6-14 *

HRK4 6-31 HR 6-17

HRK4 6-34 HR 6-27

HRK4 6-35 *

HRK4 6-40 HR 6-23 *

HRK4 6-44

HRK4 6-47

HRK4 6-48

HRK4 6-53 HR 6-38 *

HRK4 6-54 HR 6-36 *

Oha 5-29 *

Oha 5-33 *

Oha 6-39 *

Oha 6-51 *

Oha 6-52 *

Oha 6-67 *

DRAFT


14.7 Lavoro, energia, impulso, quantità di moto, momento angolare


HRK4 7-09 *

HRK4 7-20 HR 7-15 *

HRK4 7-29 *

HRK4 7-31 *

HRK4 7-33 *

HRK4 7-42

HRK4 7-44

HRK4 7-47 *

HRK4 7-52

HRK4 7-53

HRK4 7-57

HRK4 7-58

HRK4 7-59 HR 7-21 *

HRK4 8-05

HRK4 8-08

HRK4 8-18

HRK4 8-19

HRK4 8-20 HR 7-19

HRK4 8-27 HR 7-24 *

HRK4 8-28 *

HRK4 8-32 *

HRK4 8-36 HR 7-34 *

HRK4 8-37 HR 7-26 *

HRK4 8-56 HR 7-39 *

HRK4 8-58 *

HRK4 8-62

Oha 7-31

Oha 7-42

Oha 7-51

Oha 7-52

Oha 7-53

Oha 8-15 *

Oha 8-16 *

DRAFT


14.8 Meccanica dei sistemi di particelle, urti


HRK4 9-03

HRK4 9-04

HRK4 9-07

HRK4 9-09 *

HRK4 9-10 *

HRK4 9-13 *

HRK4 9-15 *

HRK4 9-17

HRK4 9-18

HRK4 9-20

HRK4 9-21

HRK4 9-27 *

HRK4 9-28

HRK4 9-31

HRK4 9-33

HRK4 9-37

HRK4 9-41 *

HRK4 9-43 *

HRK4 9-49 *

HRK4 9-55

HRK4 9-56

HRK4 9-59

HRK4 10-03 *

HRK4 10-04 *

HRK4 10-07

HRK4 10-12

HRK4 10-15

HRK4 10-16

HRK4 10-18

HRK4 10-27

HRK4 10-30

HRK4 10-39

HRK4 10-40

HRK4 10-41

HRK4 10-43

HRK4 10-54

HRK4 10-55

HRK4 10-58 *

DRAFT


14.9 Meccanica rotazionale, Meccanica del corpo rigido


HRK4 11-01

HRK4 11-03

HRK4 11-09

HRK4 11-10 *

HRK4 11-11 *

HRK4 11-21 *

HRK4 11-22 *

HRK4 11-30

HRK4 11-34 *

HRK4 11-35

HRK4 11-37

HRK4 11-38 *

HRK4 12-08

HRK4 12-10

HRK4 12-11 *

HRK4 12-12

HRK4 12-25

HRK4 12-29 *

HRK4 12-38 *

HRK4 12-39 *

HRK4 12-40 *

HRK4 12-47

HRK4 12-50 *

HRK4 12-51

HRK4 12-52

HRK4 12-53

HRK4 12-54

HRK4 12-56 *

HRK4 12-60 *

HRK4 13-04

HRK4 13-07 *

HRK4 13-08 *

HRK4 13-09 *

HRK4 13-18

HRK4 13-19 *

HRK4 13-23 *

HRK4 13-24 *

HRK4 13-25 *

HRK4 13-27 *

HRK4 13-35 *

HRK4 13-38

HRK4 13-40

HRK4 13-41

HRK4 13-44 *

HRK4 13-45 *

DRAFT


14.10 Statica, Elasticità


HRK4 14-04

HRK4 14-05

HRK4 14-09

HRK4 14-10

HRK4 14-14

HRK4 14-19 *

HRK4 14-22

HRK4 14-23

HRK4 14-25 *

HRK4 14-29

HRK4 14-30

HRK4 14-36 *

HRK4 14-42

HRK4 14-48

DRAFT


14.11 Oscillazioni


HRK4 15-07

HRK4 15-11

HRK4 15-17

HRK4 15-21 *

HRK4 15-22 *

HRK4 15-25 *

HRK4 15-31

HRK4 15-34

HRK4 15-35

HRK4 15-37

HRK4 15-44

HRK4 15-53 *

HRK4 15-61 *

DRAFT


14.12 Gravitazione


HRK4 16-15 *

HRK4 16-18 *

HRK4 16-27 *

HRK4 16-29

HRK4 16-34

HRK4 16-42

HRK4 16-48 *

HRK4 16-52 *

HRK4 16-61

HRK4 16-75 *

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