Alcuni elementi di meccanica negli spazi curvi.

Memoria di GIUSEPPE VITALI (a Bologna).

Sunto. - L'A. espone detti elementi col metodo della rappresentazione funzionale, metodo che, come egli dice, nella sostanza equivale al metodo vettoriale~ ma nella forma lo supera per ta scorrevolezza e per la naturalezza. L'A. approfitta della pubblicazione per sotto. lineare alcune osservazioni, delle quali pensa di dover trar partite in altra occasione.

Non mi prove ad indicare l 'ul t imo fine scientifico a cui tendo con questa

succinta pubblicazione. Penso che era non avrei tutti gli elementi per esprl-

mermi in mode chiaro. Posse soltanto dire c h e l a definizi0ne c h e figura nel

§ 3 ed il contenuto del § 5 costituiseono dei mater iale che r ichiaaler6 ill

a l t ra occasione.

Per era basra che l ' a t tenzione del let tore si soffermi sul fine immediate

e modesto di questa pubblicazione, che 6 l 'esposizione semplice, malgrado il

punto di vista tanto generale, di Mcuni elementi della meccanica.

Come in altre questioni, anche qui la semplicitg 6 ot tenuta col metodo

della rappresentazione funzionale di cui he date parecchi saggi hello studio

della geometr ia (~).

Questo metodo 6 equivalente nella sostanza al metodo vettoriale, ma lo

supera nella forma per la scorrevolezza e per la naturMezza.

La nora si compone di 5 paragrafi. Nel § 1 si parla di vet tori e di

campo di vettori in una var ie th ad n dimensioni, e si esaminan0 gli elementi

analitiei che servono ad individuarli.

Nel § 2 si esamina il mote di un punto in una varietg ad n dimensioni

e se ne trae Ia nozione di accelerazione.

Nel § 3 si considerano i campi di forze e le lore azioni sui punti mate-

riali. Qui si vuol seguire la concezione classica. Perb si 6 indotti ad at t r ibuire

ad ogni punto mater ia le ed in relazione a ciascun campo di forze nel quale

sia immerse, due masse, ehe io ehiamo m a s s a i n e r t e e m a s s a a t t i v a .

(t) ~. VITALI, Geometria hello spazio tTilbertiano, (Zanichelli, Bologna 1929). Citer6 nel seguito questo libro colla sigla ~, C~. H. ,,.

76 G. V I ~ L I : Alcun i ele,menti di meccanica negli spazi curvi

Nei § 4 si d imost ra un t eo rema che in c i rcostanze par t icolar i pub age-

volare la risoluzione del problema del moto di uu punto mater ia le in presenza

di un campo di forze. Se ne fa l' applicazione allo studio del moto nello spazio

euclideo .a tre dimensioni, quando le forze del canape siano tut te dire t te verso

un medes imo punto 0 ed infine siano proporzional i i nve r samen te al quadra to

della dis tanza del punto di applicazione da 0.

Nel § 5 si immag ina che lo spazio ambiente sia una ipersfera di uno

spazio l ineari a 4 dimellsioni, si affronta in questo spazio sferico il problema

analogo a quello par t icolare t ra t ta to nel paragrafo preeedente . Ne viene ehe,

postulando l ' az ione rec iproca di due corpi mater ia l i in modo analogo al con-

sueto (legge di NEWTON), le leggi del mote sono come le consuete, non si

ver i f icherebbero spostamenti dei perieli dei pianeti . Uaa postulazione pifl fan-

tasiosa di det ta azione reciproca, potrebbe per6 port, ire a leggi che ilnpliche-

rebbero tall spostamenti , e con par t icolare de terminazione di costanti si potrebbe

o t tenere quello che si ritie~m essere lo spostamento del perietio di Mercurio.

§ 1. V e t t o r i .

1. DEF. Se V,, 6 una var ie th ad n dimensioni, se P 6 ul~ punto di V, ,

se F 6 un paramet ro (~) di una direzione taugente a V, in P, si direr che F

6 un v e t t o r e di V, uscente da P.

2 . Sia

(1) f(t; u) utm de t e rmhmnte di V,, (~).

Ev iden temen te se P 6 un punto

uscente da /), si avrh F - - Y . , f i F ~,

od f(u)

di V , , e se F 6 un vet tore di V,~

dove te F f sono delle convenient i costanti r ispetto a, t, e che per le sostitu-

zioni invertibil i sulle var iabi l i u si compor tano come gli e lement i di un con-

t rovar ian te ad un apice di classe 1 (s).

Si ponga

• Z ,a l , . jF (4). 1

(t) ,~ G. H. ~), 1 a. 87. (~) ,, G. H. ,), p. 85. (3) ,~ (~. It. )), p. 155. (4) ,, G. ~ . ~, p. 181.

G. VI~ iLI : Alcuni elementi di meccanica negli sloazi curvi 77

Si ha subi to

ed a n c h e 9 g

F ' = lej ('). i

Inf ine si pub a g g i u n g e r e che le Fj si compor t ano , pe r le sost i tuzioni inver -

tibili sulle var iab i l i u, c o m e un covar im~te ad un indice di c]asse 1.

DEF. Le F * si dicono le componenti cont~'ova~'ianti del ve t t o r e F, e

le Fj si dieono te componenti cova~'ianti del ve t t o r e F.

Le fb rmule p r e c e d e n t i p r o v a n o che gli e l e m e n t i :

1. ° Ve t to re

2. ° Componen t i con t rov~r i an t i del ve t to re

3. ° Componen t i c o v a r i a n t i del ve t t o r e

sono tutti noti qua, ndo se ne conosca uno.

3. DEP. Quando p e r ogni punto del la varietA Vn 6 da to un ve t t o r e si

dice che si hit un campo di veltori. Le c o m p o n e n t i dei v e t t o r i di un c a m p o r i su l tano a l lo ra funzioni delle n

va r i ab i l i u.

T a l v o l t a ci c a p i t e r g di c o n s i d e r a t e un et tmpo di ve t to r i va r i ab i l e col

t empo. S e ~ ind ica la m i s u r a del t empo, a l lo ra le componen t i 4el ve t to r i ri-

su l t e r anno ol t re che funzioni del le u a n c h e funzioni di z.

4. DEF. Un c~mpo di ve t tor i i nd ipenden te dal t empo si dice conse~'vativo.

s% essendo F~ le sue componen t i covar i~n t i , la

jF;du;

6 un d i f fe renz ia le e sa t to ; e la funz ione U di cui le F 3. sono le d e r i v a t e par -

ziali si d ice il potenziale del c a m p o di forze.

(1)

§ 2. A c c e l e r a z i o n e .

1. II moto di un pun to in V u si h a dando le u~ in funzione di -c.

S u p p o n i a m b t h e sia u~ = ud':) (i = 1, 2, ..., n).

(l) ~ @. t:I. ,,, p. 181.

78 G. VITALI: Alcuni elemenli eli meccanica negli spazi curvi

Allora la f ( u ) d i v e n t a una funzioue di

deseriver/~ una c u r v a C.

Ind ieando con aceent i le de r iva t e

punto P, si ha (2) (3)

z t h e ind iehe remo con ¢?(z), la quale

p r ime e seeonde r i spet to a z nel

¢~' = Ef f iu i'

dove il s imbolo di GHRISTOFFEL e di classe 1.

2. Cons ider iamo un valore di z ed i nd ich iamo con P i l punto di C in

cui si t rova il mobi le ne l l ' i s t an te -~ e con 7 la geode t ica ('~) di V, t angen te

a C in P .

Supponiamo t h e a pa r t i r e da P il mobi le p rosegua it suo m o v i m e n t o

su 7 con moto uni forme e di velocit/~ uguale a quel la c h e i l mobile ha rag-

giunto in P. P e r questo moto le u~ r i su l t e rmmo ce r t e flmzioni di % t h e sa-

ranno in gene ra l e d ive rse dalle (1), e che noi ind iche remo con

(1') ui - " wi(z) (i ~" 1, 2, ..., n).

Co r r i sponden t emen te la f (u) d iven te r~ una punto-funzione di z che indiehe-

remo con +(%

Ind icando sempre con aeeent i le de r iva t e p r ime e seconde r ispet to a z,

nel punto 1 ), si av r~

(4) w { ~ u{ ,

ma in gene ra l e non sa ranno uguali le w{' ed u{'.

Se ~ indica la l unghezza di a rco della 7, essendo 7 una geode t ica di V, ,

si aw't~ lungo 7

d~w~ ~ dw, . dw~ ~_ 0 (i ~ 1, 2, n) (3). (5) -d~ - - ~ + ~v"~C"~ 7 g d~ "" '

In pa r t i co la re la (5) va r rh nel punto P.

Se inol t re v ~ la g r a n d e z z a del la veloci t~ lungo 7, ossia se

(6) v ~ = E,.~ar, ~u,.'u~', si avr/~ hmgo 7, (7 ) d ~ ~ v . dx, e quindi, per la (5), si avr / t

X~ f , i t t (8) w{' + -,.~(J~.sw,. w~ ~ 0 (i ~ 1, 2, ..., n),

(~) << @. I t . ~ pp. 201~ 202. (~) <~ G. I t . >>, p. ~26. (3j ,~ G. H . ,,, p. 228.

G. VI~L~: Alc,a~ti elementi di meccauica negli spazi curvi 79

poich6 per la (7) il primo membro della (8)

moltiplicato per v t Tenendo conto delle (4) e delle (8), si ha nel punto P

vale il primo membro della (5)

(23 ¢'= ®'

(3') ~" = ~,.~f~, ~u,.%', e dalle (3) e (3') si ha

(Y') ¢p" -~ +" + ~f~(u~" + Y~,.~G~u,. u~ ).

Osserviamo inoltre che nel punto P

(9) ~ = ~.

[v. (2)] [v. (3)]

3. Si ha allora, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al secondo,

1 ~('~ + dx) = ~?(x) q- ~'('Od~: + ~ ¢~"(':)dz ~

1 +"(.z)dG +(~ + &) = +(z) + q/('O& + 9

e, tenendo conto delle (2'), (3") e (9), si ha

(10) ~(Z + & ) -- ~ ( ~ + & ) - - - ~ ~f~(ui + ~ , , s G s U , ~ s ) & •

4. I1 parametro che figura nel secondo membro di (10) individua una di-

rezione orientata dello spazio tangente in P a Vn, Ia quale direzione 6 indi-

pendente dal valore di dz. Uno dei parametr i di tale direzione orientata

(11) ~,f,(u," + ~ G~u/u;). DEF. II parametro (11) 6 un vettore de l l a V,, che diremo l ' acce leraz ione

del punto mobile nell ' istante • (relativa all 'unith di tempo scelta). Se con AJ si indicano le componenti controvarianti di questa accelera-

zione e con A,. le sue componenti covariauti, si ha subito

' E C j .... A~ = u s ' + ,.s r ~ r ~s e

A,. -- ~a,.,sAS.

§ 3. C a m p o d i f o r z e .

I. DEF. Un campo di vettori F, di componenti controvarianti F~, si dice

un campo di forze , quando rappresenta uno state fisico della variet~ V, ,

80 G. VITAL1: A l c u n i e l emen t i di m e c c a n i c a neg l i spaz i c u r v i

corrispondentemente al quale ad ogni punto materiale vengono associati due

humeri m~ ed ma (~) ehe chiamer6 massa i n e r t e e ~mssa a t t i va , tali ehe per

effetto del eampo di forze il punto materiale debba muoversi in modo ehe

siano soddisfatte le relazioni

(1) m~A~ =: maFJ ( j = 1, 2, ..., n) (2),

dove le AJ sono le eomponenti eontrovarianti dell 'aeeelerazione. Le (1)s i

possono anehe serivere

(1') m,A~ = m a F j (j = 1, 2, ..., n).

2. Le (1) sono n e~uazioni differenziali ordinarie del seeondo ordine

sopra n funzioni incognite uj delia variabile z, quindi esse individuano una

soluzione quando di questa soluzione sono dati i valori iniziali delle uj e

delle loro derivate.

In altri termini u n c a m p o di f o r z a d e t e r m i n a in modo un ico i l moto

d i un p u n l o mate~ ' ia le quando d i questo p u n t o si conosca la p o s i z i o n e e

la velocitg~ i n i z i a l e .

3. Derivando i due membri della

V ~ ~ ~ r s a r , sUr'Uj~

applicando la regola di derivazione assoluta lungo una curva dei sistemi

composti (3), e dividendo per 2, si ottiene

v . v' --~ ~.~, ,,aj, ,.u,.'( u./' + E~,~ C~kuh'uk') = ~.j~.aj, ,.u,.' A¢ = ~ ,ur 'A , . ,

e moltiplicando per m~, e tenendo conto delle (1') si ha

m~ . v . v' = ma" Z,.F,,ur' ed infine

(2) d m~. v ~ 2 - - m a.y.ÈFÈdu,,.

~. D E F . L'espressione

2

(i) D e t e r m i n a t i a l l ' i n fuo r i di u n medes imo fat tore. (~) Se, p e r esempio, iI campo di forze ~ quel lo gene ra to da l la p r e senza di u n a massa

mater iMe, pe r il nos t ro pun to ma te r i a l e si h a : m i - ~ ma ~ massa ma te r i a l e del punto. Se il campo b gene ra to da u n a massa elet t r ica, pe r i l pun to ma te r i a l e mi ~ l a ' m a s s a ma te r i a l e ed ma b la s ua massa elei t r ica .

(3) ~ G. R. ~, p. 225.

G. VITALS: Atcuni elementi di meccanica negli spazi curvi 81

si dice fo~'za viva, e l 'espressione

ma" ~,, F~du,. si ch iama lavoro e lementare .

Pe r la, (2) si ha al lora il

TEOR. It differenziate del la forza v iva ~ uguale a.1 lavoro e lementaxe.

5. Se il campo di forze

equazioni (1') d iven tano

e, pifl per disteso,

(3)

La (2) d iven ta

(2')

che, in tegrando, d'~

(4)

c o u s e r v t ~ t i v o ~ e s e U 6 il suo potenziale , le

3U m~A.j : m a.~_uj~ (j i-- l, 2, ..., n).

~U " E a ' " m~[~,.a,.,.ju,. -~- ~,h ,,k, ju,. uh ] - - ma o~.~°'J

d ~nl. v ~ _ _ m a d U ~

2

Yft ~ • V 2

2 - - m a U + costante.

( j = 1, 2, ..., n).

6. Poniamo V 2

(5) L - - mi- + ma" U.

Le (3). si possono compend ia r e nella formula var iazionale

~SLdz = 0 (6)

per tutte le variazioni delle u nulle agli es t remi di in tegrazione.

Infatt i le equazioni di EULERO sono

(7)

e, poich~

d ~L dz ~u./

e

d $L ~L O,

d~ ~uj ~i~

d - - m, . ~ Z,.a,.,ju,/ --- mi[E,.a,.,~ur" +- Y,,.h(a,.k,j q- a,,.~,)ur'uh']

~L ~U

si vede che le (7) d iven tano appunto le (3), L a fbrmubt var iaz ionale (6) cost i tuisce il pr inc ip io di HAMILTON nella V,,.

A n n a l l d l M a t e m a t i o a , Serie IV, Tomo IX. 11

8 2 G. VICAI~I: Alcuni elementi di 'meccanica negli sl)azi c.u.rvi

§ 4. S u l m o t o p e r p a r t i e o l a r i c a m p i d i f o r z e .

1. DEF. Se V ~ una variet~t ad n dimensioni, un 'a l t ra variet~ V' ad m

dimensioni (m < n) contenuta in V si dice una vera var ie td geodetica di V

se tutte le geodetiche di V' sono anche geodetiche di V.

2. TEOR. Se V ~ una variet~ ad n dimensioni the contiene una vera

variet~ geodetiea V' ad m dimensioni (m < n ) , se C 5 un campo di forze

in V tale ehe le sue forze applieate ai punti di V' siano tangenti a V', il

moto di un punto sotto l 'azione di C si svolge tutto sopra V', se inizialmente

il punto giaee su V' e la sua velocit~ iniziale 8 tangente a V'.

DIM. Supponiamo e h e l a V' sia la

U r n + t - - - ~tm_t_ 2 . . . . . ~t n - - - 0 .

~t t) Se Z~a~ , f lu , . du , g il quadrato dell 'elemento lineare, e se si indiea con a~.

ei5 ehe diventa a~.,~ quando vi si faeeia u,~+~ = 0, um+~ = 0,..., u,, = 0, il

quadrato dell 'elemento lineare di V' ~ dato da

m 0 E,.~ar, sdu,.du~ , 1

ed i relativi simboli di C H R I S T O F F E L , the indicher6 con I({s si ottengono dai

corrispondenti di V facendo in essi um+~ -~ O, U,n+~ = 0, . . . , un ~ O.

Poich~ tutte le geodetiche di V' sono geodetiehe in V, e per queste geo-

detiche deve essere um+l = O, urn+2 = O, ... ~ u,, = O, e quindi u~' = u~" --" 0 ( p = m + l , m + 2 ~ . . . , n) le

u j ' + Y,r,C~,~u,.'u~'--O ( p - - m + 1, m-+-2,. . . , n), 1

diventano per esse

~ K ~ , , u / u , ' = O ( p = m + l , m + 2 , . . . , n), 1

e~ poich~ in un punto quMunque di V' una geodetica di V' pu6 avere qu~-

lunque direzione, sarS~

(1) K~,~-- 0 (r, s - ' I , 2, . . . , m ) ( p - - m + 1, m + 2 , . . . , n).

Le equazioni del moto in V sono

( ) I t (2) m~ u./' + ~ , C ~ u,, u, = m,F~. 1

(~. VIT~LI: Alcun i elementi di meccanica negli spazi c~trvi 83

E v i d e n t e m e n t e indicando con GJ ci6 che

um+~ --- Um+~ = ... --- U,, ~ O, si h~

(3) G ~ - - 0

Sos t i tu iamo nelle (2) lo z e r o al posto del le

Ul~:~ U ~ I, ~t~ rt

d iven ta F ~ quando vi si ponga

( p = m + 1, m + 2 , . . . , n).

( p - ~ r e + l , m + 2 , . . . , n),

esse d iven tano

( - ) '~ J l t _ _ (4) wi ~ / ' -~ ~, . ,K~u, . u, - - m a G -~ { j = I, 2, ..., m) , 1

le u t t ime n - m equa, zioni (2) r i su l tando sodd i s f~ te in virtfl del le (1) e (3).

Ora le (4) harem una soluzione d e t e r m i n a t a quando sono fissati i valori

iniziali delle u j . uj' ( j - ~ 1, 2, ..., m) .

Ques ta soluzione ias ieme con u p s 0 (p----- r e + l , m + 2 , . . . , n)

d~t una soluzione di (2) t h e iniz i~lmente passa per un punlo di V' ed ha ve-

locit~t iniziale t angen te a V'. E s iccome questi e lement i iniziali individu~no

la soluzione di (2) col dati inizbdi t~ppartenenti n V', possia, mo dire che una

soluzione di (2) col dati iniziali appa r t enen t i ~ V' fornisce una linen gia-

cen te in V'.

Oss. Consegue che tut te le vol te che si ha un campo di forze in una

w~riet~ V, e i dati iniziati (l~l moto soao contenut i in una v e r a var ie t~ geo-

detica, V' di V, la quale con tenga inol t re tut te le forze del campo uscent i

dai suoi punti , il p rob l ema del moto in V si r iduce a d un p rob lema ana-

logo in V'.

3. Supponiamo c h e n = 3, e cl~e V sia lo spazio eucl ideo a 3 dimensioni .

Supponiamo poi che le forze di un campo C (in V) siano d i re t te tut te verso

un punto 0 (di V).

Sia no ta la posizione e la velocit~t iniziale di un punto mate r ia le . Quest i

e lemcnt i iniziali ed il punto 0 i l ldividuano un piano II, che, essendo una v e r a

va r i e t~ geodetica, del la V, e con tenendo tut te le forze di C appl ica te ai suoi

punti, d eve con tenere , pel teor. prec. , la c u r v a descr i t t a dal mobile.

E la Iegge del m o v i m e n t o si pub s tud ia re su II.

P e r questo assumiamo su 17[ un s is tema di coord ina te polari con polo in 0.

In tal caso il quadra to d e l l ' e l e m e n t o l ineare di H 6 dato da

dp ~ + ~ d 0 L

84 G. Vn,)~LI: Alcuni elementi di meccanica negli spazi curvi

Ident i f icando ~ con u~ e 0 con u~, si t rova

e c o n s e g u e n t e m e n t e

__. -= Ca ~ 1 ¢ ~ i 2 a ~ 2 C~ - - Cia C~ C . - - 0, la - - ~, Caa = - - ~-

Inoltre , per I ' ipotes i fa t ta sul campo di forza~ 6 F a -----0.

Se poi noi supponiamo che la forza sia i n v e r s a m e n t e p roporz iona le al

quad ra to del la d i s tanza del punto di appl icaz ione da 0~ a v r e m o

F ~ ~ /h ----- cos tan te reale) , ~a

e poich6 r isul ta inol t re

esiste un potenz ia le

_ _ h a F , = ~ , G = o ,

U = M ' . ! ,

e si ha la re laz ione v a 1

(5) m~ -~ - - m ~ h '~ - - - K

Inol t re una delle equazioni del moto 6

da cui si r i c a v a

% Se Si VU01e~

(6)

Ora, posto

(7)

e quiudi

si ha

0 " + 2 - - = 0 (a),

log 0' + log pa = costante ,

(K== cos tan te reale) (~).

0'f~ a ~ H ( H - - costante).

1

p'_= __ ~ ' ,

v ~ = ~'~ + p~O '~ _____ ~*~'~ +. ~0 ''~,

(~) Ved i la (4) del § 3. (2) Ved i la (1) deI § 3 con j = 2 .

G. VITALI: Alcuni elementi di meccanica negli spazi cu,~wi 85

e, pe r le (6) e (7), o s se rvando ehe ~' d~.fi, dO " '

= kdo] + '

e quindi la (5) d iven t a

(S) [dO] - - - - + 2b~. + a,

dove b e d a sono conven ien t i costant i .

L a (8) si pub s c r i ve r e

d O / - - (~ -

Da ques ta si ha, p. es:

b) ~ + c, dove c - - a + b L

d 0 _ - d! V1 --~%'

dove

= ( ~ - b ) : V c .

Limi t i amoci al caso in cui c ~> 0 e quindi in cui Vc ~ reale, ed in tegr iamo.

Abbiamo 0 - - 0 o - - a rc cos ~,

con 0 o costante , e quindi ---- c o s (0 - - 0o) ,

- - b + V c . c o s (0 - 0o),

1 V c --- [1 + e cos (0 - - Oo)]b' b

Ques ta ~ l ' e q u a z i o n e di. una conica della quale un fuoco ~ il polo del

s i s tema di coord ina te .

§ 5. U n p r o b l e m a d i m o t o i n u n o s p a z i o s f e r i c o a 3 d i m e n s i o n i .

1. Cons ider iamo uno spazio eucl ideo a 4 dimensioui S~ con tenen te l 'or i-

gine 0 dello spa zio hi lber t iano, ed indichiamo con

¢?~, % , ¢73, 74

4 pa r ame t r i normal i e a 2 a 2 or togonal i ~ppar tenent i ad S , .

86 G. V I ~ L ~ : Alcuni eleme,ttti di meccanica negli spazi curvi

Cons ide r i amo inol t re

nan te la punto- funzione

dove

1~ va r i e th V a 3 d imensioni t h e h a pe r de te rmi-

X~o i -i- X~% -~- X3~ ~ -~ X4%,

x~ = R.(1 - - cos u)

X , 2 = R ' s e l l ~ ' C , OS V

~:=~ = k . s e l l ~ . s e n v . c o s w

~36~ ----- R - s e n ?~ • S e l l V * S e l l W

R, essendo una cos tante , ed u~ v~ w essendo 3 eoordina, te curv i l inee .

L a V 4 uno spazio sfer ico (a 3 d imensioni ) con tenu to in $4, di r agg io R

e di cen t ro R ~ .

2. Lo spazio l inea re

x~--~R.h, con l h i l l , (h cos tante)

tag l ia V in una sibra, il cui raggio , ~ R~sento~ dove ~o soddisfa a l la re la-

z ione 1 - - cos to - - h.

Ques t a s fe ra 5 il l u o g o dei punti di V t h e ha rem da 0 una d i s t anza

geode t i ca = R~o.

3. I m a g i n i a m o che da 0 si p ropagh i lungo a]le geode t i che di V un fiusso

che crei un c a m p o C di forze i n v e r s a m e l l t e p ropo rz iona l e a l ia superf ic ie su

cui si d i s t r ibu isce e quindi p ropo rz iona l e a l t ' i n v e r s o del q u a d r a t o di R . s e n u ~

e che le forze r isul t ino t angen t i a de t te geode t i che e r ivo l te verso 0.

Poich~ la posiz ione iniziale e la d i rez ione delltt ve loc i th iniziale del punto

mobi le i nd iv iduano una. s fe ra di V pe r O, la qua le ~ una v e r a variet/~ geo-

de t i ca di V, ed 4 tale che tut te le forze del c a m p o C app l i ca t e ai suoi punt i

g iacc iono in essa, si v e d e t h e il p r o b l e m a del moto pub esse re s tudia to su

ques t a sfera , t h e poss iamo i m a g i n a r e co iuc idere col la w = 0.

4. A b b i a m o dunque una s fe ra V' di eui

una d e t e r m i n a n t e , dove x~ : R . ( t - - cos u)

X 2 ---" R ' S e l l ~ ' C O S V

X a - - - R " S e l l t t ' S e l l V~

ed in essa un c a m p o di forze di componel l t i

h u F t __ I~ '2 : O.

R ~ s e n ~ ~t

G. VITALI: Alcun i e lement i eli meccanica negli spazi curvi 87

Le fo rze ~el e a m p o a m m e t t o n o il p o t e n z i a l e

k ~ COt ~t U - - - -

R ~

II q u a d r a t o d e l l ' e l e m e n t o l i n e a r e 6 da to da

ds ~ --- R~(du~ + sen ~ udv~),

e, ne l l ' i po tes i m~ - - ma~ l' e q u a z i o n e de l le fo r ze v i v e d i v e n t a :

(1) u '~ + sen 2 u . v '~" == 2k ~ co t u + K,

d o v e k---. h : R ~ e K 6 u n a c o n v e n i e n t e e o s t a n t e .

L a

d i v e n t ~

(2) d a cu i

A 2 ~ F 2

V" + 2 co t U.U' .V ' ~ 0

log V' + 2 log sen u --- log H,

d o v e H 6 u n a cos t an t e , ed inf ine

(3) v ' s e n ~ u = H .

S o s t i t u e n d o in (1) l a v ' e he si r i e a v a da (3), si ha

H 2 (4) u ~ = K + 2), ~ co t u

s e l l ~ u ~

ed inf ine o s s e r v a n d o c h e d~t y f S e n ~ 7A

d v - - v' - - H u',

si v e d e che , m o l t i p l i c a n d o la (4) p e r - - SeIl 4 U

, e s sa d i v e n t a H :

e, pos to

(5)

( ~_du_~ K + 2 ) , ~ c o t ~ s e , V u sen ' s t

\ d r ] - - H~ '

- - d u = c o t u , da cui d E - - s e n ~ u

dv] M + 2 N ' ~ sen ~ u '

d o v e M - ~ K : H 2, N - ~ ) , :H.

88 G. VIT,~H: A l c u n i e lement i di meccanica negl i spaz i curv i

Ma

e la (5) diventa

1 1 4- cot 2 tt~

s e n ~ ~t

d v ] = M , + - -

con M ~ M - - t .

Separando le variabili, si ha p. es.

d v --- V ~ (~ - - N ) ~ 4- (M, 4- N~) '

da cui

ossia

V ~ a r c COS -/- V o VM~ + N ~

- - N + cos (v - - vo)" ¥M~ + N ~

a t g u =

1 + e cos (v - - %)

dove a ed e sono delle costanti.

Si vede allora che la traiettoria ~ una linea chiusa.

5. I1 risu.ltato ottenuto ci induce a fare Mcune considerazioni:

a) Se si imagina che lo spazio ordinario sia uno spazio sferico conte-

nuto in un S~ e che sopra di esso i corpi materiali si at traggano secondo la

legge di NEWTON, O in ~altri termini se si imagina the l 'azione di un punto

materiale A sopra un 'al t ro punto materiale B si traduca in una forza attrat-

tiva diretta tangenzialmente in B alia geodetica che congiunge A con B,

(circolo massimo) ed inversamente proporzionale a l l ' a rea delia superficie

(sfera) dei punti che hanno da A uguale distanza geodetica (~)~ sullo spazio

sferico il moto di un pianeta Si comporterit come nelle ipotesi classiche e

non si presenter& spostamento di perielio.

b) L' ipotesi fatta alia lettera a) significa che la forza attraente di cui

vi si parla ~ inversamente proporzionale al quadrato della distanza rettilinea

(cio~ distanza nell' $4) di B da A.

c) Si sa the EI~CSTEI~¢ ha dato una formula che spiega lo spostamento

del perielio di Mercurio (2). In questa formula ia forza at t rat t iva dei corpi

0) F o r z a eatcola ta al p r imo passaggio dell ' azione ]?el pun to B. (2) T, LEVI-CIVITA, F o n d a m e n t i d i Meccanica Re la t i v i s t i ca (ed. Zanichel l i , 1928~ p. 123).

G. VI~ALI: Alc'uni eleme~tti di meccanica negli slJazi cttrvi 89

la somm~ di due, r i s p e t t i v a m e n t e i n v e r s a m e n t e proporz ional i al qua~drato e

~1 cubo dell~ d is tanza del corpo ~ t t r~ea te al corpo at tr~tto. Le cose andreb-

be ro i~ modo ~nalogo se si pe~sasse es is tere uno spazio fisico F l i n e , r e e

a 4 d imensioni e che lo spazio ma te r i a l e M (quello iu c u i 1~ mate r i~ si d e v e

m uo ve re ) sia uno sp~tzio sferico a 3 d imensioni immerso in F, se inol t re si

pensasse che d~ un corpo ma te r i a l e escano due forze, l~ pr im~ t h e si propt~g'~

s o l t a n t o in M e (/he si difibnda su sfere conce~ltrich% e che sar/~ n~turtt le

pens~re i n v e r s a m e n t e p roporz iona le al quadra to dell~ distanz~, Ia seconda

che si p ropag~ in F e che si diff0nda su spazi sferici a 3 dime~sioni con-

centr ic i , e che sttrg~ na tu ra l e pens~re, inversamer~te p roporz iona le al cubo

del la dis tanza. P rob~b i lmen t e le cose non sara~mo cosi, e n e mm~n c o sar~t

possibi le su questo indir izzo imbas t i re una. t eor ia che soddisfi il nostro spiri to.

Tut t~vi~ pub v~le r l~ pena che io abbit~ esposta ques ta cons ideraz ione .

AnnaU di Matematica, Ser ie I V , Tomo I X . 12