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ON T H E G R O W T H A N D D E C A Y OF W A V E F R O N T S IN A M I X T U R E

OF L I N E A R E L A S T I C M A T E R I A L S

by Ray M. Bowen (Houston, U. S. A.)

and Thomas W. Wright (*) (Aberdeen, U. S. A.)

SUMMARY. This work concerns the propagation of wave fronts in a mixture of fluids

and isotropic solids. Only mechanical effects are included. In the statement of the field equa-

tions the importance of buoyancy forces is stressed. These forces arise from a local interaction

among the constituents of the mixture and are present even in the absence of diffusion. It is shown that there are as many longitudinal waves possible as there are constituents and that there are as many transverse waves possible as there are solid constituents. Rules for the evolution of discontinuities on wave fronts are deduced, and it is shown that diffusion causes

a decay in the wave strength in addition to the usual geometric decay familiar from classical

elasticity.

1. INTRODUCTION

Th i s w o r k c o n c e r n s the p r o p a g a t i o n of s ingular su r faces or w a v e f ronts

of a rb i t ra ry s h a p e in a mix tu re of N mater ia ls cons i s t i ng of M fluids and

N - - M ( ~ 0) i so t rop ic sol ids. T h e mode l of the mix tu re u n d e r s tudy is one

whe re the de fo rma t ion of each cons t i t uen t is small , and the g o v e r n i n g equa t i ons

are linear.

In Sect ion 2, the l inearized e q u a t i o n s of mot ion are s ta ted. T h e s e equa t i ons are

the ones der ived in the theory of d i f fus ion first p re sen ted by B o w e n & Wiese [1].

(*) Introduced by C. Truesdell.

14 - R e n d . Circ . M a l e m . P a l e r m o - S e r i e I I - T o m o X X I - A n n o 1972

236 Gxus~PpE RUSSO

A volte, e per comodith, ta generica matrice tr iangolare verrh indicata con

la scrit tura :

a, a,,+, a2~ . . . a,,,

0 a 2 a,,+2 . . . am_~ n (n + 1)

2

0 0 0 . . . a,,

Volendo usare il normale s imbol ismo matriciale, la generica matrice trian-

golare ~ del t ipo:

~ 1 1 G~'I2 " " " ~l , t t

~ 2 l ~ 2 2 " " ' ~ '2n

~ n l O~2n " " " ~ n n

con le seguenti relazioni tra le due scri t ture:

~ i ~ = 0 per i > j ; ~ , .~=ae;

j - - i - - I

% = a k con k = ~--'~r l ) + i per i < j . 0

Con i k si indica la matrice nella quale a k ~ l e a h = 0 per h : ~ k .

Ennion i (4). Si consideri 1o spazio vettoriale T di d imensione m sul cam-

po K per il quale c i j = i k (i, j~---1, 2 . . . . , n); ( k ~ l , 2, . . . , m ~ n ( n + l ) / 2 )

sono elementi dE una base, cio~ l ' insieme T di tutti gli elementi del t ipo:

:r ~ ~ % c i i , (i, j ~ 1, 2, . . . , n; aij E K). i ( j

Se ad i k ~ ctj si fa cor r i spondere la matrice quadra ta di ordine 'n~ ad

elementi in K avente tutti gli elementi nulli, t ranne quello collocato nel posto

(i j ) the ~ uguale all 'unit~ di K, si pu6 introdurre un prodot to matriciale, righe

per colonne, delle c;~; basandosi sulla predetta moltiplicazione delle ik, si

O) Per necessita tipografiche si son dovute mutare le "m" in "n" e le "n" in " m " ; tuttavia, per uniformare il linguaggio a quello di [5] e [6], si ~ preferito mantenere inalterati alcuni termini quali: "ennione", "ennonario", etc..

A L C U N E C O N S I D E R A Z I O N 1 S U L L E T R A S F O R M A Z I O N I L I N E A R I DI U N A RETTA " E N N O N A R I A " 237

introduce in T u n prodotto distribuitivo, facendo assumere cosi a T u n a

struttura di anello isomorfo all'anello delle matrici triangolari, di ordine ,n,, ad

elementi in K.

Si definisce, quindi, " e n n i o n e " l'elemento generico di T.

Si introducono poi gli ideali Th di T (h = 1, 2 . . . . , n) i cui elementi

sono gli elementi di T aventi il coefficiente ah~ di c~ (h-----1, 2, . . . , n) nullo.

Gli elementi di Th vengono detti "ennioni s ingolari"

Punti e rette di un piano ennonario. I1 piano ennonario ~ l'insieme di punti

e rette cosi definiti:

a) Punto: una terna ordinata di ennioni dati a meno d'un fattore destro

non singolare: (x, y, z ) = (x~, y~, z~) con la condizione che x, y, z non ap-

partengano allo stesso ideale Th;

b) t?etta: il duale del punto, cio~ una terna ordinata di ennioni, data a

meno di un fattore sinistro non singolare: (u, v, w) = (ku, kv, kw) con u, v, w

non appartenenti allo stesso ideale Th;

c) Si dirh poi che un punto P ( x , y, z) appartiene alia retta (u, v, w) se:

u x -t- v y -t- w z = O.

Immagine di un punto e di una retta di un piano ennonario in uno spazio

proiettivo su K a 3 n - - 1 dimensioni. Partendo da un $3,-I sopra un campo K,

si costruisce il nido di spazi:

S3,,_,DS3,,_,D .. . D S s D S 2.

Si chiamano " p u n t i " gli S._, di ,~._, tali che la loro intersezione con

$3k-1 (k ~ 1, 2, . . . , n) sia un Sk_l. Si chiamino " r e t t e " gli $2._1 di $3.-1 tali

che la loro intersezione l',~3k_t sia un $2k_1.

Questa definizione dei " p u n t i " e delle " r e t i e " d/t luogo precisamente ad

una struttura di incidenza isomorfa al piano ennonario su K, quando come

relazione di incidenza punto-retta si assuma l'inclusione degli spazi chiamati

" punti " e " rette ".

Rette per due punti. Si dimostra in [5] che in un piano ennonario esistono

coppie di punti A, A' per cui passa una sola retta (coppie ordinarie), coppie

di punti per cui passano oohl+i,,+'"+ht rette con h~ ~ h~ < . . . < hl (hi = h)

(rette di specie h~--1-h~ ~ . . . -q-hi) e coppie di punti, infine, per cui non passa

alcuna retta (coppie eccezionali).

238 G I U S E P P E RUSSO

Trasformazioni lineari della retta ennonaria. In [6] s'~ dimostrato che la pih

generale trasformazione lineare

c~x + ~y = x" ~

7 x + ~y = y '~ con ~ 0

ove % ~, 7, ~ sono ennioni e x, y, x', y ' ennioni tali che ognuna delle coppie

non appar tenga allo stesso T,,, si pub ottenere come prodotto di ~ . , A,,,,

A~-trasformazioni ove una:

A.-trasformazione ~ del tipo: x + ~ y = x" ~, y = y" ~,

&~-trasformazione ~ del tipo : cox = x'~, y ~ y'~,

~- tras formazione ~ del tipo: x = x'~, y = y',o,

con le consuete condizioni per x, y, ~, x' , y" e ~.

2. PROSPETTIVITA SU UN PIANO ENNONARIO

N e l $3._, proiettivo si considerino l Sn_l secante 1 $3k_1 del nido secondo

un Sk_, (k = 1, 2, . . . , n) e due spazi a 2 n - 1 dimensioni S~n_l e S~n_l se-

canti, r ispett ivamente, l'S3k_, del nido secondo un $2k-1 e S~k_1.

Supponiamo inoltre che:

(1) S" n_, N S~n_l ---- 0

(2) s L x c~ s;o_l = 0

(3) S2~_, N S ;_ , = S~

ove S~ seca l'Sa~_ , del nido secondo un Sk_,.

D'ora in poi supporremo che gli S._ I e gli $2~_1 sechino ' - 1 Sak_l del nido,

rispettivamente, secondo un Sk_1 e un S2k_,, (k----1, 2 . . . . , n).

Sia S~_1 un sottospazio di $2._,. Per le ipotesi fatte su S~'_1 e Sen-l, il i loro spazio congiungente 6 un S2n_,.

L $2~_, 6 tale che:

(4) n S & , = So_I. S;o_l

Facciamo corrispondere all S,~, di S~_1, S,,_, di Ss Una tale cord-

spondenza, al variare di S ' ~_, in $2~_, e di S" in S' ~-, 2~-1, evidentemente biuni-

voca, ~ una prospettivit~t di centro S~_,.

A L C U N E C O N S I D E R A Z I O N I S U L L E T R A S F O R M A Z I O N I L I N E A R I DI U N A RETTA " E N N O N A R I A ~' 239

Se indichiamo con A' , a, a', rispettivamente un punto e due rette del piano

ennonario di cui S',,_~, $2~_~, S~n_l sono le relative immagini iperspaziali, si

viene a stabilire una corrispondenza tra i punti A i di a e quelli di A "i di a',

quando si assumono come punti corrispondenti di a e di a ' quei punti le cui

immagini iperspaziali sono, rispettivamente, gli S,I_1 e S~t_~ di ,~3n-~ appartenenti

ad $2~_~ e S~_~ rispettivamente soddisfacenti le condizioni (1), (2), (3), (4).

Chiameremo ancora "prospettivitd" una tale corrispondenza.

Si deduce facilmente che:

a) (A*, a) e (A*, a') costituiscono, ognuna, una coppia ordinaria,

b) (a, a') costituiscono, anche loro, una coppia ordinaria,

c) (A*, Ai), (A*, A 'i) costituiscono infine coppie ordinarie.

Viceversa se a, a ' ed A sono due rette e un punto soddisfacenti le con-

dizioni a) e b), si pub associare ad ogni punto A i E a, il punto A 'i E a ' ;

tale corrispondenza 6 biunivoca e facilmente si vede che ha come immagine

iperspaziale una prospettivit/t tra due spazi $2,,_~ e S2"n_~ di un ~_~ di centro

un SL,.

3. Aa-CONFIGURAZIONE

Siano S~_~, S~_~, S~_, tre sottospazi dello spazio proiettivo $3~-1 i quali

siano immagini iperspaziali di tre punti d 'un piano ennonario. Supponiamo

inoltre che:

(5) sL , n sL, = sL , n sL , = sL, n sL , = 0.

Indichiamo, rispettivamente, con:

s;_, = sL , v sL ,

(6) G_, = sL, u sL,

s;_, = sL , u sL ,

i loro spazi congiungenti.

(7)

Siano : S 4 ~_~ un sottospazio di S~n_~ tale che:

sL, n sL , = sL , n sL~ = o

2 4 0 GIUSEPPE RUSSO

(8)

Poich6 :

(9)

allora

(9')

3 ed S~_, un sottospazio di $2._, tale che:

s ~ s 2 = s ~ , n s ' = 0 . n--I n n--1 -- n~ ,

S, s L , n 2~ = o,

(12)

e

(13)

sL , ns2_, = o.

Da queste ipotesi segue che i tre sottospazi S~_,, S.3_,, S~_, di $2',,_,, si

proiettano da S~'_,, r ispettivamente, nei tre spazi S~._,, S~n_,, $4._, soddisfa-

centi le condizioni:

(10) 2 3 = S 3 S ' ' S 2 = S ' $2._, n S2n-, 2.-, n 2.-, = $2._, N 2.-, .- , .

Dalle condizioni (90 e (I0) si deduce che i due spazi $2_, ed S~', si

proiettano da S~_, su S~_,, mediante, rispettivamente, gli spazi S~._, e S~._,,

negli spazi S~_, ed S~'_, ed ~:

sL, n s;_, = 0 .

Analogamente, dal fatto che:

(11) S 3 , S 2 S 3 = S 2 4 ----- S ' ._, N S . _ , = 0 ; 2,-, N 2.-, ,_ , n s2._, n_,

un qualsivoglia S 7 di S 3 , , 6 ~_, 2~_, si proietta su $2._,, mediante I $2,,_, congiungente

S~_, e S,~_,, in un S~_, di S~._, univocamente determinato.

Poich6 :

s ~ n s L , = 0

2 3 2 S 4 ! 2n--I n S2n_ 1 n ~ sn_ 1 S2n-i 2 n - i

- - ~ 6 1 7 8 I 'S~ , viene proiettato dall Sn_ 1 sulI'S~._, mediante I S2~_ ~ congiungente Sn_ 1 e

sL,, ne,'SL,. Chiameremo ~la-configurazione, la configurazione su descritta.

ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLE TRASFORMAZIONI LINEARI DI UNA RETTA {~ENNONAR1A" 241

La ~a-configurazione sul piano ennonar io si ottiene immedia tamente , inter-

pre tando gli S,,_, e gli $2,,_1 di $3n-1 r ispet t ivamente, come punti e rette del

p iano ennonario. Siano (Fig. 1) S ' , S 2, S 3 tre .$3

punti del piano ennonar io dei quali -3~ [

S),_1, S~_~, S,~_~ sono le relative ira- [~,~

magini iperspaziali ; dalle condizioni $4 (5) discende che S ' , S 2, S a costi- . ~

tuiscono una terna ordinaria. 4 L S~_~, scelto con le condizioni

(7), dh un punto S 4 sulla s ~ tale ~ /

che S: , S 3, S 4 cost i tuiscano una --'"4- terna ordinaria. $~' S~

Dalla scelta di S ~ n-~ con la con-

dizione (8) segue la scelta d 'un pun- to S 5 di s 3 tale c h e l a coppia S ~, S ~

risulta ordinaria. \ \ Dalle condizioni (9) e (10) se- \

gue che le coppie (S' , s'), (S ~, S 4)

sono ordinarie e quindi la terna di $ 6 punti S 3, S 2, S 4 si proietta da S ~

helle tre rette ordinar ie s 2, s 3, s ~. Fig. 1

Per il fatto poi che valgano le (9") e (10), la coppia ordinaria (S ~, S ~) viene proiettata da S 4 su s 2, mediante le rette s ~, s 4, nella coppia ordinaria

(S ~, S').

Analogamente , per il fatto che valgono le (11), un qualsivoglia punto S 7 d i s 3 viene proiet tato da S 3 su s 4 in un S 8, un ivocamente determinato.

Dalle (12) e (13) si deduce che S 8 si proietta da S 6, mediante la s ~,

nell 'unico punto di intersezione, S 9, d i s ~ con s 3.

4. COORDINATIZZAZIONE

Per le ipotesi (5) poss iamo scegliere i tre spazi S~_1, S~_1, S~_I dell'S3n_~

proiett ivo riferito ad un s is tema di r iferimento proiett ivo 01, 0 2 , . . . , 03n e al

punto unith 0, come spazi generati, r ispet t ivamente, dai punt i :

0 1 , 0 4 , 07 . . . . , 02n--1 ; 0 2 , 05 . . . . , 03n--1 ; 03 , 06 , �9 . �9 , 0 3 n "

16 - R e n d . Circ , M a t e m . P a l e r m o - Serie II - T o m o XXI - Anno 1972

242 GIUSEPPE RUSSO

Poich6 $24_, per cui:

(14)

si ha :

(15)

2 S 3 4 2~-,, 2.-,, S~_~, soddisfano le condizioni (10), per ogni S~ di

s L , n s L , s ' o , s o = o - : ._, A S . _ , : S ._ , N ._,

S~ -= S~ = O.

1 1 Per il fatto, poi, che 8,_, n $2,_, = 0, allora ~ anche

S ' S 2 = S~'_, 2u--, r ] 2n-1

e poich~ per ipotesi

so_, n sL, =

sarh

(16) s~ n s~n_, : o.

Allora ogni spazio ad n - 1 dimensioni come S~ come Io spazio generato dagli n punti:

S~ 1, 1,0 . . . . ,0), S~ 1, 1, 1,0, ... , 0) . . . . ,

Dalla validit~ delle (11) segue che:

s L , n s~o_~ = ~ (17)

e quindi

08)

pub essere considerato

s~(o, o, o, . . . , ~, 1, 1).

8 3 s . ~ _ , n ~_, _ - ~.

Segue quindi c h e l a proiezione su S:n_, degli spazi S~_,, $2_,, S~ da

S~_, sono, rispettivamente, S~_,, S~_,, S~~ L'S~~ pub essere pensato quindi,

come generato dagli n punti:

S~~ 1 , 0 , . . . , 0 ) , S~~ 1, 1 , 0 , . . . , 0 ) , . . . , S,~~ O, O, . . . , 1, 1,0).

Per il fatto che S~_,NS~,_, ~ O, I'S~_, pub considerarsi come generato

dagli n punti:

S~(Xll , 1, 0, 0), 5 ... s : ( h ~ , . . . , , , s 2 ( h 2 , o , o , h ~ , l , o . . . . . o ) . . . . . o , o , h . , o , o , x..,~ o ) .

ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLE TRASFORMAZ1ONI LINEARI DI UNA RETTA " E N N O I q A R I A " 2 4 3

3 Un quals ivogl ia spazio a n - 1 d imens ioni di $2._~ che ind ich iamo S 7 n--l~

pub considerarsi come generato dagli n punt i :

S[(x , , , Yl,, O, . . . , 0),

S~(x,~, y,~, o, x~ , y~, o . . . . , o), . . . ,

S t ( x , , , y,o, o, x2,,, y,o, o, . . . , x~n, y~o, o).

lmmedia tamen te si deduce che l'S,~_, pu6 considerars i generato dagli n punt i :

$6(~.11, O, - - 1 , 0 . . . . . 0),

S~(X,2 , O, O, )'22, O, - - 1 , O, . . . , 0), . . . ,

S~ O, O, 7"2~, O, 0 . . . . , 7. , O, - - 1 ) ,

mentre l'S.S , dello spazio S~._,, pub considerars i generato dagli n punt i :

S~ (x,,, y,,, y, , , o . . . . . o),

S~ (x,2, y,2, y,2, x22, y2~, ~22, o . . . . . o) . . . . ,

S~ (x, . . . . . . . . , y~ y ~ , x ~ , Y2~, Y~ " x,,~ y ~ y,,~).

3 ~ 7 Per il fatto infine che S~_~ appar t iene all $2._~ e all Ss pu6 essere

considerato come generato dagli n punt i :

S~(X,,y,, + x, , , y, , , O, . . . , 0),

S~(X,,y,~ + X,2y~2 + x,~, y,~, O, L~Y~2 + x~, Y~2, O, . . . , 0), . . . ,

S~ ~ (X,, y,~ + X, 2y2~ + )',~ Y~, + x , . , y,; , 0 . . . . , ~,~ y ~ + x~,, y,,~, 0).

Se poi pens iamo S~_~ come generato dagli n punt i :

S~ (x;,, y;,, o , . . . , o),

S~(xi~, y~, o, x;~, y;~, o . . . . . o), . . . ,

S~(xL, y;o, o . . . . . x;o, y;o, o),

avremo che le relazioni the legano le coordinate dei punt i S~ (i = 1, 2, . . . , n)

244 GIUSEePE RUSSO

saranno del tipo (vedi [6] (15'))

1 0 . . . 0 ) , , )'12 . . .

0 1 . . . 0 0 ~'22 . . . i2.

(19) 0 0 . . . 1 0 0 . . . k,,

0 0 . . . 0 1 0 . . . 0

0 0 . . . 0 0 1 . . . 0

0 0 . . . 0 0 0 . . . 1

t 1

t~

n--1

t~

t~

L2n

t;

r

! . - 1

<

Per il fatto poi che ad ogni S~_, di ,~3~-~ secante 1',~3k_ , secondo un Sk_, e

ad ogni $2~_~ secante 1',~3k_1 secondo un S2k_~ corrispondono, sul piano ennonario,

r ispett ivamente, un punto ed una retta, si deduce immediatamente che i punti

del piano ennonario, le cui immagini in $3~-~ sono gli spazi considerati prece-

dentemente, avranno coordinate ennonarie :

S ' ( l , O, 0), S2(0, 1, 0), S3(0, O, 1), S~ l, 1), S4(0, 1, l),

s '~ 1, o), s~(~, 1, o), ST(x, y, o), S~(L o, - -1 ) , S~(x, y, y).

Per il fatto poi che S 9 sta sulla congiungente S ~, S ~ e sulla congiungente

S 6, S s, si deduce che le sue coordinate sono ( k y - . ~ x, y, 0).

Se quindi indichiamo con (x', y ' , 0) le coordinate di S ~, quest 'ul t ime sono

legate alle precedenti dalle relazioni:

(20) x --k ),Y = x'~, y = y '~ .

Le (20) come s'6 visto in [6] altro non sono che le A~-trasformazioni

della retta ennonaria di cui, la (19), ne 6 l ' immagine iperspaziale.

,.5. Aa-TRASFORMAZION! COME P R O D O T T O DI PROSPETTIVITA

Poich~ in una Aa-configurazione

S 3 3 ._, N $2._, = ~,

sL, n s;o_, =0,

cio~ le coppie: (S 3, s3), (S 3, s4), (S 6, s4),

e:

S~_, 4 N $2,,_1 - - O,

S~_, N S 3~._, = O,

(S 6, s 3) sono ordinarie, la corr ispondenza

fra i punti come S T ed S 9 d i s 3 della zla-configurazione, ~ il prodotto di due

prospettivit/~. Segue che : Ogni Aa-trasformazione ~ il prodotto di due prospettivitd.

ALCUNE CONSIDERAZ1ONI SULLE TItASFORMAZ|O.N1 LINEARI DI UNA [tETTA 'LENNONARIA J' 245

6 . Am-CONFIGURAZIONE

Siano S),_~, S~_~, S~_~ tre sot tospazi dello spazio proiett ivo ~ _ ~ i quali

siano immagini di tre punti di un piano ennonario.

Supponiamo che:

( 2 ] ) S l - , ['~ S2--I = S~-- l n S3_l = S2_! n S~_ 1 = O.

lndichiamo, r ispett ivamente, con:

s;,,_, = sL, u s,L,

s:o_, = sL, u s'_,

s:,,_, s'_, u s'

(22)

i loro spazi congiungenti.

Su S ~ ~,,_~ scegliamo un S~_~ tale

(23) S,I_, N S J_,

Scegliamo poi su S ~ S 5 2n--I 1i l l n--I

sL, n s L ,

che:

= sL, ns ,L l = o.

tale the :

(24) = S~_, n S.~_, = i~.

' : S 2 allora ~: S,~ ~NS2~_, f~; Poichh S,~_, N S,-,_, = 0 e $2,,_ 1 N $2,,_, ~_, , _ = 4 2 .g3 G.<:~ _ S ~ allora 6 anche S,~_~OS2,,_~ f~. poich6 inoltre S,~_~NS,~_~= ft ed ~,,_~ ~,,_~-- ,,__~, =

Segue che i tre spazi, ad intersezione a due a due vuote, S ~,,_,, S 5~_~, 8~_~3

vengono proiettati da S 4 ~_~ su S;~ , mediante i tre spazi congiungenti S 3 4 5 1 6 3 2~-~, $2~_~, nei tre spazi S~_~, S,,_~, S~_1 i quali hanno, evidentemente, a due

a due, intersezione vuota. Inoltre:

(25)

e quindi

(26)

s,L, n s L , = o

s , L n s L , = 0.

Sia ora S~_1 uno spazio di S~._1 tale che:

(27) sL, n s j , = s ,L n sL , = o.

Per Sd_, si possono fare considerazioni analoghe a queile fatte per S.4_,.

! tre spazi S ~ 5 3 S 6 . - i , S.~_1, S._~ si proiet tano da S~_, su 2,,-,, nei tre spazi

S~_~, S 8._~, S 3._, i quali hanno, a due a due, intersezione vuota.

2 4 6 G t U S E P P E R U S S O

Dal fatto che:

3 (28) S 6 ' 2 S 3 = S ~ segue $6_1 f3 S~_1 0. n--1 ~ Sn--I ~ ~ e $2n-1 ~'~ 2 n - 1 n - - I

Poich6 :

' ~ " 5 '1 = 0. (29) S .6_1AS3._1=0 e S 2 . _ , A S ~ n _ I = S . _ I si ha: S ._ IN 2~-1

Allora un qualsiasi S o 3 .-1 di $2~_1 viene proiettato da $6_;,

1'S~_1 = S2_I U 89_,, sull 'S~._l, nell'S2~_l, univocamente determinato.

Per il fatto che:

mediante

2 3 ~ 1 3 (30) S,~_1 f'l S~_, 0 e $2,,_~ N $2,,_1 S._~ , si avr/~: S~_, CI $2,,_~ 0.

Poich6 inoltre 6:

(30") S ~ , N S 2 _ 1 = 0 e S ~ 3 = 1 = - 2,-, A S~,_1 S,,_1, si avr~: $2_~ N $2~,,_~ 0

cosicch6 I 'S ~~ di ; 8 3 S " $2,,_1 si proietta da S._, sulla $2._, in un univocamente �9 '1--1 ,t--1

determinato.

Chiameremo ~m-configurazione, la configurazione su descritta.

La &,-configurazione sul piano ennonario si ottiene interpretando gli Sn_, e

gli $2~_ 1 di $3~-1, rispettivamente, come punti e rette del piano ennonario.

S 6

59

Fig. 2

~3

3 3

Siano, (Fig. 2), S 1, S 2,

S 3 tre punti del piano en-

nonario di cui Sn~_l, S~_1,

S,~_1 sono le relative im-

magini iperspaziali. Per le

(21) i tre punti S 1, S 2, S 3

cost i tuiscono una terna or-

dinaria.

lndichiamo con s 3, s 1,

s 2 le relative congiungenti.

La scelta dell'S~_l con

le condizioni (23) conduce

alla determinazione di un

punto S 4 su s 3 tale che la

terna S 2, S 4, S 1 risulti or-

dinaria.

ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLE TRASFORMAZIONI LINEARI DI UNA RETTA ~ENNONARIA" 247

La scelta poi dell'S~_~ con le condizioni (24) conduce alla determinazione d 'un punto S S su s t tale c h e l a terna S 2, S 5, S 3 risulti ordinaria.

Dal fatto che le coppie (S 4, S 2) e (s 3, s') sono ordinarie, segue che ~ pure

ordinaria la coppia (S 4, st); dal fatto che le coppie (S 4, S t) e (s 3, s 2) sono

ordinarie, segue che 6 pure ordinaria la coppia (S 4, s2). Allora, la terna ordi- naria S 2, S 5, S 3 viene proiettata da S 4 su s 2 mediante le rette s 3, s 4, s ~, costi-

tuenti a loro volta una terna ordinaria, nei tre punti S ', 56 , S 3 costi tuenti ,

anch'essi , una terna ordinar ia; risultano, inoltre, coppie ordinarie, le coppie : (S', S 5) e (S' , 86).

Dal fatto che sono ordinarie le coppie (s 4, s3), (S 4, 82), (84, S 5) segue che

ordinario il tr iangolo S 4, S 2, $5; dal fatto, inoltre, che sono ordinarie le coppie (s 4, s3), (S 4, S'), (S 4, S 6) segue che ~ ordinario il t r iangolo S 4, S 6, $7; dal fatto,

infine, che sono ordinarie le coppie (s t , s3), (S 3, $6), (S a, S 5) segue che ~ pure

ordinario il t r iangolo S 3, S 6, S 5.

La scelta dell 'S2_, sull 'S~,_, con le condizioni (27) conduce alla de termina-

zione di un punto S 7, su s 3, cost i tuente con S t e d S 2 una terna ordinaria.

Per siffatto punto possono farsi considerazioni analoghe a quelle fatte per 8 4 .

I tre punti S 2, S s, S 3 vengono proiettat i su s 2 da S 7 mediante le tre rette,

costi tuenti una terna ordinaria, s 3, s 6, s 7 nei tre punti S I , S 8, S 3 costi tuenti a

Ioro volta una terna ordinaria. Con considerazioni analoghe a quelle precedentemente fatte per i triangoli

8 4 , S 2 , 8 5 ; S 4 ' S 6 , s l ; 8 3 ' S 6 , 8 5 ;

si perviene al fatto che sono ordinari i triangoli

S 7, S 4, $5; S ~, S 8, S'; S 3, S 8, S 5.

|I ratio che valgono le (28) e (29) si traduce sul piano ennonario nel ratio

che, essendo ordinarie le coppie (S 6 , S') ed (s ~, s3), sar~t ordinaria la coppia

(S 6, s3), ed essendo ordinarie le coppie (S 6, S 3) e (s 2, st), sar~ ordinaria la

coppia (S 6, s'). Allora un qua lunque punto S 9 di s ~ viene proiet tato da S 6,

mediante la s 8, su s t , nel punto S '~ un ivocamente determinato.

I1 fatto poi che valgono le (30) e (30') si traduce, sul piano ennonario,

nel fatto che, e s sendo ordinarie le coppie (S s, S t) e (s 2, s3), risulter/~ ordinaria

la coppia (S 8 , sa), ed essendo ordinarie le coppie (S 8, S 3) e (s 2, s'), r isulta

ordinaria la coppia (S 8, st). Allora il punto S ~~ di s ~ viene proiet tato da S 8 su

s 3, mediante la s 9, nel punto Stt un ivocamente determinato.

248 GIUSEPPE RUSSO

7. COORDINATIZZAZIONE

1 2 3 Per le ipotesi (21) possiamo scegliere i tre spazi S._1, S ._ , , S._~ del-

l'S3n_ ~ proiettivo, riferito ad un sistema di riferimento proiettivo 0~, 02 . . . . ,03. e

al punto unitfi 0, come gli spazi individuati, r ispettivamente, dai punti:

01 , 04 , 0 7 , "" �9 , 03n__2; 02 , 05 , 0 8 . . . . , 03,'l--1 ; 0 3 , 0 6 . . . . , 0 3 n ~

Con considerazioni analoghe a quelle fatte nel n. 4, scelto un S~ 1 su

$2~._~ in modo che:

sL, n sL , = sL, n sL, -- o,

possiamo considerare S~ come generato dagli n punti:

S o (1, 1, 1 , 0 . . . . , 0), S ~ 0, 1, 1, 1, 0 . . . . . 0) . . . . , S ~ 0, 0 . . . . , 0, 1, 1, 1)

ed S.4_1 come generato dagli n punti:

S~(l, 1, o , . . . , o), s:(o, o, o, 1, 1, o , . . . , o ) , . . . , s~(o, o, o , . . . , o, 1, 1, o).

Per il fatto che S~_1(3S~_1 = 0 possiamo considerare l'S.5~ come generato

dagli n punti :

S; ~(0, "~11, 1, 0 . . . . ,0) , S~(O, O, O, O, 7~, 1, O, O, ..., 0), ..., S?, (0, O, 0 . . . . , O, y ..... 1).

Analogamente, per il fatto che S.~_1CI 8,1,_1 ~ 0 e S.~_, f'l S.2_, = 0, possiamo

considerate 1'8.7_1 come generato dagli n punti

S[ (~ , , 1, 0 , . . . , 0), S : (~ , , O, O, ),~, 1, O, . . . , 0),

s : G ~ , o, o, ~ , o, o, ~,3~, 1, o, . . . , o) . . . . , s ; (~ ,~ , o, o, ~ , o, o . . . . , ), ..... 1, o)

con ~.~ =;~ O.

Un qualsiasi S,9, di S~,,_~ si potrfi considerare come generato dagli n punti:

S~,(x,,, y , , , 0 , . . . , 0),

S~ (Xl~, y,~, O, x~2, y=, O, . . . , 0 ) , . . . , S~ (x1,, YI,,, O, x2n, Y2~, O, . . . , x .... y , , , 0).

2 Tenuto conto che l'S~_, giace sia su S*~,-, che su S~,,_,, 1o si pu6 consi-

derare come generato dagli n punti :

S,~(y,,, O, - - 1 , O, O, . . . , 0),

S:(O, O, O, 722, O, - - 1 , 0 . . . . . 0), . . . , S~(O, O, O, . . . , y .... O, - - 1 ) .

A L C U N E C O N S I I ) E R A Z I O N I S U L L E T R A S F O R M A Z I O N I L I N E A R I D I U N A R E T I ' A C ~ E N N O I ~ A R I A " 249

6 S 2 Dal fatto che S s,,_, giace sia su $2,,_1 che su 2,-~, si deduce che esso

pub essere considerato come generato dagli n punti :

s~(>, , . ; , o, 1, o, o), , - . . . , s~ (>.,2~%, o, o, ~ . ; ~ , o, - 1 , o . . . . , o),

s : (;q~,f,~, o, o, % , f , , o, o, ~ , o, - 1 . . . . , o), . . . ,

S,~(I,. %. , 0, 0, ~2~'L., 0, 0 . . . . , I . , ,7 .... 0, - - 1 ) .

I0 ~ $ Ancora, per il fatto che S,,_1 giace sia sull'S~,,_~ che sull $2~_~, poss iamo

considerare I'S '~ , - i come generato dagli n punti :

10 --1 ~I--1 S, (0, y,,, ";. x,,, O, . . . , 0), S~ ~ Y,2, ,,, x,~, O, Y22, 7~-2'x22, O, . . . , 0), I0 --1 --1 -- S~ (0, y~, 7,, x,,, O, y~,, 7~ x~,, O, y~, "f~ x33 , 0 . . . . . O ) . . . . .

s~~ y,,,, r , - , 'x ,~, o, y~,,, .;~'x~,,, . . . , o, y ..... .;,- ' ,x,,,).

3 , O 1'~'" giace sia sullS2,,_~ che sull $2,,_~, poss iamo Infine, tenuto conto che ~,,_~

considerar lo come generato dagli 17 punt i :

, . . . , R ~ ( ) . . . , . S~ ' ( t , , x . , y,, O, 0), v2 . . . x ,~ -I- ).,~x~, Y,2, O, tvxv_, y2;, O, O) . . . .

S, i ' ( ) . , x, , § ).,2 x2, § -I- ~.,, x ..... y,, , , o, . . . , ~.,~ x . . . . y .. . . o).

Se poi pensiamo '-n-~ come generato dagli n punti

S~'(x;,, y;,, 0 . . . . . 0), S;'(x;2, Y;2, O, x;2, Y;2, 0 . . . . . O) . . . . .

S." (x;o, y;,,, O, , xZ , y;,o, o)

avremo che le relazioni che legano le coordinate dei punti S]' ( i = 1 , 2 . . . . . n),

allorch~ avremo indicate con t j e t) le coordinate ( i=1 , 2, . . . , n) ( j = l , 2 . . . . . 2n)

nei due sistemi, sa ranno del tipo (vedi [6], (20)):

(31)

t . )',2 " " t~ . 0 0 . . . 0

0 )'22 " " t2. 0 0 . . . 0

0 0 . . . ).,,, 0 0 . . . 0

0 0 . . . 0 1 0 . . . 0

0 0 . . . 0 0 1 . . . 0

0 0 . . . 0 0 0 . . . 1

t !

t~

,*z--1

t2

t,

f- "2n

t; t;

u - I

t; t;

2 5 0 GIUSEPPE RUSSO

Poich6 ad ogni S,_~ d i S3n--1 secante l'S3k_ , secondo un Sk_1 e ad ogni

$2~_~ di $3n-1 secante 1'$3k_1 secondo un S2k_~ corrisponde sul piano ennonario,

rispettivamente, un punto ed una retta, si deduce immediatamente che i punti

del piano ennonario, le cui immagini in $3,~-1 sono gli spazi ad n - - I dimensioni

precedentemente considerati, avranno coordinate ennonarie:

s ' o , o , o ) , s ~(o, ~ ,o) , s ~ (o ,o , 1), s ~0 , 1, 1),

S~(O, T, 1), S6(T, O, - -1) , ST(X, 1, 0),

con ;~ ennione non singolare,

s ~ (~'r, o, - - 1), s ~ (x, y, o),

con x, y ennioni non singolari,

S ~~ y, y- 'x) , S ~'(~,x, y, 0).

Se indichiamo con (x', y', 0) le coordinate di S " , queste ultime sono legate

alle precedenti dalle relazioni:

(32) ~.x = x',o, y = y ' p

con p ennione non singolare.

8. Am-TRASFORMAZIONI COME PRODOTTO DI PROSPETTIVITA

Se associamo ad ogni punto S 9 di s 3 il punto S '1 di s 3 ottenuto nella

Am-configurazione, si ottiene una trasformazione della tetra ennonaria in s6 in

cui le coordinate dei punti corrispondenti sono legate dalle (32) che altro non

rappresentano se non le equazioni di una Am-trasformazione. Poich6, come s'h gi& visto, le coppie (S 6, s3), (S 6, sl), (S 8, s~), (S 8, s 3) sono

ordinarie, la corrispondenza, determinata da una Am-configurazione, tra i punti

S 9 ed S" di s 3, pub essere, evidentemente, ottenuta come prodotto di due pro-

spettivit&. Segue che: Ogni A,,-trasformazione ~ il prodotto di due prospettivitd.

9. Ai- CONFIOURAZIONE

Consideriamo la Am-configurazione e supponiamo che la S~_~ coincida con 11 7 3 I S._~. Sia ora S._L uno spazio arbitrario di $2._~. Poich6:

2 (32') S2_~NS 3~_, = 0 e ,.q2_,fhS2~_, 0,

I'S,j_, viene proiettato su ,_q2 , da $2_, mediante la 825~_~, in un S2_~.

A L C U N E C O N S I D E R A Z I O N I S U L L E T R A S F O R M A Z I O N I L I N E A R I D I U N A R E T T A ' ~ E N N O N A R I A '~ 251

Poich~ :

(33) S.4_1 ('/$2:._1 = 0 e S."_~ N SI._1 - - 0

1 11 ~ b 10 1'$2, viene proiettato su $2~_1 da S._~, mediante 1S2~_1, in un S,,_~.

Poich6 infine :

_ S 1 6 3 (34) G ~ ~.-1=0 e &-lfqS~~

10 3 ~ 4 9 IS._, viene proiettato da $ 6 , su $2,,_~, mediante I S2._~, in un Sn_l univocamente

determinato.

Chiameremo 5~-configurazione, la configurazione su descritta.

La 5~-configurazione del piano ennonario si ottiene immediatamente inter-

pretando gli S._~ e $2~_1 di ,~3.-1 come punti, r ispettivamente, come rette del

piano ennonario.

Dal fatto che valgono

le (32) si deduce immedia-

tamente che, scelto un pun-

to S 7 arbitrario su s 3, esso

viene proiettato su s 2 da S 5,

mediante la s 5, in un pun-

to S 8.

Dal fatto che valgono

le (33) si deduce poi che

S 8 viene proiettato su s l

da S " , mediante la s o , in

un S '~ Dal fatto i n f i n e che

valgono le (34) si deduce

SG

/

Fig. 3

che l 'S 1~ viene proiettato da S 6 su s 3,

mente determinato.

mediante la s 4, in un punto S 9 univoca-

10. COORDINATIZZAZIONE

Gli spazi Sn_l,t Sn_1,2 Sn_1,3 $4.-1, possono considerarsi generati, ognuno da n

punti, come nel caso della 5m-configurazione. Poich~ S~t~ = S~_~, 1o si potrh

S r t - - l " considerare come generato dagli stessi n punti che generano 4

2 5 2 O~USZP~'E RUSSO

Essendo, poi, S.7_1 uno spazio qualsivoglia di S:._I ad n - 1 d imensioni ,

1o si potr/~ considerare come generato dagli n punt i :

S~(xI,, y,, , 0, . . . , 0), S~(x,2 , Y12, 0, x22, Y22, 0 . . . . . 0) . . . . ,

S~ (x , . , y , . , o , . . . , x~., y . . , o).

Analogamente al caso della ~m-configurazione, S~_1 si considererh generato

dagli n punt i :

816('~'11, 0, - - 1 , 0 . . . . . 0), 826(0, 0, 09 "(22, 0, - - l : , 0, . . . , 0) . . . . .

s ~ ( o , o , o . . . . , r ..... o , - - 1 ) .

Con considerazioni analoghe a quelle fatte nel N O 7, potremo cons iderare :

1) S~_~ come generato dagli n punt i :

s,~(o, 1, rT,', o, . . . , o), s~(o, o, o, o, 1, r ; ) , o . . . . , o) . . . . ,

--1 St~ (0, O, O, . . . , O, 1, ~nn)"

2) S,~_, come generato dagli n punt i :

l l -1 -- S ~ ( x , , , O, - - r l , Y , , , O, . . . , 0), S~(x ,2 , O, - - r,, Y,2, x22, O, - - y ~ ' y ~ , O, . . . , 0), . . . ,

S,T (x,,,, o, - r ; ; , ' y , , , x~.,, o, - . , , ~ ' y2,, . . . , x ..... o, -"r,7,~ y,,) .

3) S,I~ come generato dagli n punt i :

S,'~ x,, , ~',, 'y,,, 0 , . . . , 0), S)~ x,~, (,,y12, O, x=~, ~';~y~,, 0 , . . . , O) . . . . ,

8,1,~ x. , , y~ 'y , . , O, x2,,, y;=ty2., . . . , O, x ..... T~2 Y. . ) .

4) S,~_, come generato dagli n punt i :

STty , , . . . . . . . . . . . . , x,, , O, 0), o S~ (y,~, x~ 2, O, y~, x~, O, 0),

S. ~ x , . , O, Y2,,, x~,,, 0 . . . . , y,,~, x . , , , 0).

Se poi pens iamo S~~ come generato dagli n punt i :

S~(x; , , y . , o . . . . , o), S:(x;=y,~, o, x ~ , y;~, o , . . . , o) . . . . ,

s~ (x;,,, y ; . , o . . . . . x Z , yL., o),

avremo che le relazioni che legano le coordinate degli SO (i = 1, 2, . . . , n),

A L C U N E C O N S I D E R A Z I O N I S U L L E T R A , $ F O R M & Z I O N I L I N E A R I DI U N A RETTA ~ E N N O l V , A R 1 A ' ' 253

allorch6 avremo indicate con tj e t~ le coordinate nei due sistemi ( j z l , 2 . . . . . 2n),

saranno del tipo (vedi [6] (23)):

(35)

0 0 . . . 0 1 0 . . . 0

0 0 . . . 0 0 1 . . . 0

0 0 . . . 0 0 0 . . . 1

1 0 . . . 0 0 0 . . . 0

0 1 . . . 0 0 0 . . . 0

. . . . , . . . . . . �9

0 0 . . . 1 0 0 . . . 0

t 1

t~

t~ t,

t;

2n--1

t;

Poich~ ad ogni S._1 di $3.-1 secante I'-$3._ 1 secondo un S~_~ e ad ogni

$2~_~ di $3,,-~ secante l'S3k_ ~ secondo un $2k-1 cor r i spondono sul piano ennonario,

r ispett ivamente, un punto e una retta, si deduce immedia tamente che i punti

del piano ennonario, le cui immagini in ,~3.-1 sono gli spazi ad n - - 1 dimensioni

di cui sopra, avranno coordinate ennonar ie :

S'(I, 0, 0), $2(0, 1, 0), 83(0, 0, 1), S 4 ( 1 , l, l)l $ 5 ( 0 , l , ,~--1) ,

S 6(~,, o, - 1), S ' (x , y, o),

con x, y ennioni non singolari ;

S'(x, o, - z - ' y ) , S~(y, x, o), s'~ x, z- 'y ) .

Se indichiamo con (x' , y ' , 0) le coordinate di S 9, queste ultime saranno

legate alle precedenti dalle relazioni:

(36) y = x ' ~, x = y '

con ~ ennione non singolare.

11. Ai-TRASFORMAZIONI COME PRODOTTO DI PROSPETTIVIT]k

Se associamo ad ogni punto S 9 di s 3 il punto S T di s 3 ot tenuto nella

hi-configurazione, si ottiene una t rasformazione della retta ennonar ia in s6 in

cui le coordinate di punti corr ispondent i sono legate dalle (36) che non sono

altro che le equazioni di una a i - t r as fo rmaz ione (vedi [6]).

254 GIUSEPPE RUSSO

Poich~, come abbiamo gi/t visto, sono ordinarie le coppie:

(8 ~i, S3), (8 5, 82), (8 4, S2), (8 4, Sl), (86~, SI), (8 o 83),

la trasformazione della retta ennonaria in s~ determinata mediante la h~-confi-

gurazione, ~ evidentemente ottenuta come prodotto di tre prospettivit/~. Segue che:

Ogni A~-Irasformazione ~ il prodotto di tre prospettivitd.

Poich~ come s'6 visto in [6] la pi~ generale trasformazione lineare della

retta ennonaria in s6 si pub ottenere come prodotto di un numero finito di Aa,

An,, Ai-trasformazioni, segue che:

La pi~ generale trasformazione lineare della retta ennonaria, si pu6 ottenere

come prodotto di un numero finito di prospettivitd.

Palermo, Luglio 1972.

BIBLIOGRAFIA

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