d e l l a A l c u n e c o n d i z i o n i s u f l i c i e n t i p e r l ' e s i s t e n z a e l ' u n i c i t h

s o l u z i o n e di u n a d i s e q u a z i o n e v a r i a z i o n a l e n o n c o e r c i v a (*).

GIA~I~A~CO BO~TARO (Genova) (**)

S u m m a r y . - I give some hypothesis for existence and uniqueness of the solution of a va~'iational inequality i~, non coe~'eive ]orm.

O. - I n t r o d u z i o n e e ipotes i .

Lo studio delle disequazioni v~riuzionali ~ stato affrontato da vari autori (v. ad esempio [15] per una abbondante bibllografia) ; nellu muggior 1)arte dei casi ~ s ta ta f~tt~ r ipotes i della coercivit~ della form~ biline~re per ot tenere l 'esistenza e Punicit~ dell~ soluzione. I1 caso non coercivo ~ stato affrontato in [10]. Qui faremo ipotesi che permet tono di considerare anche forme non coercive per le quali ~ possibile dimo- strare il teorema di esistenza e unicit~ utilizzando opportune t roncature delle funzioni che sono gi~ s ta te impiegate per problemi di equuzioni variazionati in [1], [2], [6], [14]. In ta]i ipotesi r ientrano alcuni casi purt4colari s tudiat i in [3] e [9].

Sia $2 an aperto di R" a f ront iera loca~lmente lipsehitziana~ sia H~(~) lo spazio o t tenuto completando r ispetto a]la norma

(o.1) I] u TI.,(.) = {11 ~ ]l i,(.) + iE u~]t i~(~)} +

o r e

(0.2) 2 5" tl~ltL,(~) = . . i=1

il sottospazio di C1(9) per cui il secondo membro di (0.1) resta finito. Sia Ho1(/2) la chiusura in Hl(12) di C~(9), sia V uno spazio di Hilber t con la norma (0.1) t~le che H~(/2) c V c H~(~) e sia K un convesso chiuso di V.

Consideriamo una forma bilineare continua,

(0.3) a: V × V--> R

(*) Entrata in Redaziono il 6 giugno 1974. (**) Lavoro eseguito nell'ambito del <( Centro di studi por la Matematica e la Fisica teo-

rica ~> del C.N.R. presso l'Universit~ di Genova.

188 GIA~FRX~CO BOTTAt~O: Alc~ne condizioni su]/ivienti per l'esistenza, ecc.

e supponiamo che esistano ~, fi, y t re forme bilineari continue su V × V~ godenti delle

seguenti propr ie tg per ogni u, u ' , v e V:

(o .4) a = a + fl + ~,

(0.5) a ( u , v ) = ~ ( v , v ) se u~,v~j=v~%j q.o. i ; j = l , . . . ,n

(0.6)

(0.7) fl(u, v) = fl(u', v) se u~v ---- u'~v q.o.

(0 .8)

ore, se £ ~ la a algebra degli insiemi misurabfli Lebesgue in f2,

(0.9) m: ~ -+R+

una misura assolutamente cont inua r ispet to a quella di Lebesgue

(0.10) y(u, v)>~ttfuvdx se uv>O q.o. # ~ R + .

Perb se K c H~(~) e [2 ~ l imitato supporremo soltanto che sia

(0.10)' y ( u , v ) > 0 se uv>O q.o.

Nel seguito porremo 8 = rain(#, v) se K ¢ H~(f2) oppure se f2 non ~ l imitato, por-

remo invece 8 = ~ se K ¢ Ho1(~2) e [2 ~ l imitato. I n en t rambi i casi m(~2) < 8 implica

la coercivit~ di a su K, caso s tudia to in [13]. Pe r ogni T e V ' (duale di V) si pub ricercaa'e una sotuzione u e K dell~ disequa-

zione v~rizionale

(0.11) a(u, u -- v) < (T , u - - v) per ogni v e K

ove < . , .> ~ la dualit~ f ra V' e V. Nel § 1 daremo condizioni sugicienti per l 'esistenza di una soluzione di (0.10)

quando /2 sia l imitato, nel § 2 s tudieremo un t eorema di esistenza di una soluzione in un convesso ]imite (in t m ' o p p o r t u n a convergenza [11]) di una successione di con- vessi su ciascuno dei quali ~ no ta l 'esi tenza di una soluzion% nel § 3 enunceremo con-

dizioni sufficienti per l 'unicit~, nel § 4 alcune generalizzazioni di r isultati precedenti ,

nel § 5 daremo alcuni esempi o re si applicano i teoremi precedenti .

(2) Con l[~]Iv intendiamo llulIH~(~) salvo nel caso in cui ~2 ~ limitato e ~ c H~(#2) in tale oaso {I~I{~ ( ~ ) = 1{%{1~'(~) •

G ~ t ~ m ~ c o BO~TARO: Alcune condizioni su]/ieienti per t'esistenza, eec. 189

Def in i amo unu funz ione che ci p e r m e t t e r £ di e sp r imere pifi s e m p l i c e m e n t e le con- s iderazioni successive. P e r ogni h ~ R U { + oo} e pe r ogni k e R , O < k < h pon i~mo

pe r - - ~ < t < +

h - / ~ pe r h < t

t - - I z ~> k < t < h

(0.12) Gkh(t) ~ 0 ~> - - k < t < k se h ~ R

t+k ~> --h<t<--k

k - - h ~> t < - - h

f t - - k per k < t

( o . 1 3 ) G ~ . ( t ) = o ~> - k < t < k

t + k >~ t<--k

e se u e V def ini~mo

(0.14) /2(u, k, h) : {x~ ~9: k < tu(x)t<h , u~(x) :/:0}

o r e tg(u, k, h) ~ defini to u m e n o di insiemi di mi su ru nullu~ d ipendendo dall~ scel t~

del r u p p r e s e n t ~ n t e di u.

1. - T e o r e m a di e s i s tenza .

L z y z ~ A 1.1. - Si~ u e V, pe r ogni k e R+ si h~nno :

u (k) = G ~ . ~ ( u ) e V (1.1)

e

(1.2)

(1 .3 )

(1.4)

uu(~)> (u(~)) ~

u~(uCk))x ~ = (uCk))~,(u(~))~ i, j = 1, ..., n

(u(k))~ u (k) -- u~ u (k)

F i s sa to ~ ~ R+ ~ 9ossibfle d e t e r m i n a r e r n u m e r i reuli kl > k~ > ... > k~ = 0 t~li che,

pos to % = Gk~(u) ~ % = G~,j~._~(u) (s = 2, ..., r), si ~bbiu, pe r ogai s = 1~ ..., r, u~ e V e

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

(1.9)

m(supp u~) <

u~, u ~ = us~ ~ us~ ~ i~ j ~ 1~ ...~ n

u l + ...~-u~----u

190 GIA~'FI~A:NC0 BOTTARO: Alcune condizioni suNi~ienti per l'esistenza~ ecc.

Ino l t re si h~

(1.10) r < a - ~ m ( ~ ) + 1 .

D~0SCRAZI0~E. - La dimostrazione di tale l emma 6 di fa t to gi~ contenuta in quellg degli analoghi lemmi di [1] e [2].

Indichiumo soltunto le var iunt i da porture nella dimostruzione dellu seconda par te de1 lemmg, relat ive glla. seeltg dei k~ (per le not~zioni v. [2]).

Se re(f2) < ¢ sia k~ = 0, se invece m(f2) > ~ sia k~ un numero tale che

(cib ~ possibfle per l ' ipotesi (0.9)). Definito kj_~, si~ k ~ = 0 Be m(f2(u, 0, lc~_I))<~, invece sia kj un numero rule che m(Q(u, k~, kj_~))= ~ se m(f2(u, 0, kj_~))> ~. Lu

successione dei kj ~ def ini t ivamente nulls, infutti poich6 gli insiemi ~2(u, k~ k~_~) son o u due a due disgiunti se fosse k~ > 0 per ogn i j ~ N s i ~vrebbe m(~(u , k~, k~_~)) =

e cib 6 assurdo. De t to allor~ kr il pr imo elemento hullo si ha ~z ~ ~ ~ ... > ~_i > O.

Per quanto visto precedentemente ne segue ( r - - 1 ) ¢ < m ( f 2 ) . I1 resto della dimo- strazione prosegae come in [2].

P roveremo or~ il

TEOR. 1.2. -- Se datu a come in (0.3) si suppone che ~9 sia l imi ta to e che esist~ e R tale che

(1.11) a(u, u) + ;.(u, u)v(.) > v ]lu l[~, v e R+

Mlor~ per ogni R ~ R + indicato con K~ = { v ~ K : ]lvIIv<R} esiste un~ soluzione K n di

(1.12) a(u, u -- v) < (T , u -- v} per ogni v ~ K R .

DI)][OST]~AZIO:NE. -- Per ogni w ~ Z~(~) esiste unic~ u ~ K~([15]) soluzione di

a ( u , u - v ) + i t (u , u - v)L~(a) < . t (w , u - v)L~(~) + ('2, u - v}

per ogni v ~ K~. Viene allora ~d esscre definito un operatore

J : L~(,.Q) ->-K~

tale che J (w) -~ u. J ~ continuo e l imita to; infutti se wl, w2 ~ L2(f2) Mlora

a(Jwi, Jw~ -- v) + ~(Jw~, Jw~ -- v)~(~)~)~(w.~, J w ~ - v)~(~) ~- (T , J w ~ - v} (i ~ 1, 2)

GIAI~FRAt~CO BOTTARO: A leune condizioni suf] icienti per 17 esistenza, eee. 191

Caleolando l 'espressione p receden te p o n e n d o una vo l t a v = Jw~ e 17altra v ---- Jw~

e s o m m a n d o si o t t i ene :

a ( J w l - Jw2, J w l - Jw2) -~ X ( J w x - Jw2, J w ~ - Jw~)~(a) <~ ~ ( w ~ - w~, J w ~ - Jw~)L~(~ )

da cui

che dh

Poichb r i m m e r s i o n e

c o m p a t t a [13] si h a che

I] - II-'(,) < I)-I

i : H~(~9) -~ L~(~9)

i o J : Lq~9) -+ L~(~9)

c o m p a t t a e qu iad i pe r ii teor. di SC~AT~nR [8] poichb i o J ( K ~ ) c K n convesso limi-

t a ro e chiuso esiste un p u n t o fisso u ~ K ~ : J u = u ciob tale che

a(u, u -- v) + ~(u, u -- v)L~(a ) <~ ~(u7 u -- v)z~(a ) + <T, u -- v>

per ogni v e K~:

TEoR. 1.3. - Sia u ~ K ~ ( R ~ [07 ~- c¢]) una even tua le soluzione della disequ~-

zione (1.12). Se 01tre alia ipotesi f a t t e su a ne l l ' in t roduzione si ha che

(1.13) u - - u s e K s = 1, ..., r

o r e u~ b la funz ione associuta ad u he1 1emma 1.1 alloru si ha

(1.14) I1 ulI r < 0 IIT IIr'

o r e 0 = (2 (~/~)m(a)+l- 1)(2/~)

DI~IOSTR, AZIO]NE. - Cos t ru iamo ul , ..., u,

Si ha a l lora che

k~

- - I t s

come nel l e m m a 1.1 a v e n d o pos to ~ = ~/2

p e r ks -1 < t~

per ks < u ~ < k ~ _ l

p e r - - k s < u < k s

pe r - - k~_l < u < - - ks

pe r u < - - k,_1

192 GIANFI~A1NCO :BOTTAtLO: A l c u n e e o n d i z i o n i s u / ] i c i e n t i p e r l ' e s i s t e n z a , ecc.

(con o w d o significato dei simboli se k~_~ = oo) da cui

0

( ~ - ~ ) ~ = ~

0

@z

u ~ K~ implica che u - - u~ e K~ s = 1, ..., r

pe r ks_~ < u

pe r k8 < u < / G _ ~

p e r - - k ~ < u < k ~

pe r - - k~_~ < u < - - k~

pe r u < ~ ks_x

da cui

P o n e n d o allora nella disequazione (1.12) v = u - - u s si ha

a(u, ~) < <T, u~> 8---~1~ . . . j r

--: ~(~,, ~ ) + ~(~1~-... + ~ , - , ) + y(~, ~ ) > ~ li~,~t~,(~)+ S--1

q~ S

$=1

allor~

onde

, - 1

t = l

/I~]lv = ~ II~li < (2~--x)~ [ITltv,<O]IT]!v,.

TEon. 1.4. - Se oltre le ipotesi f a t t e ne l r i n t roduz ione ~2 ~ l imi ta to e va lgono

la (1.11) e la (1.13) r e la t iv~mente ad ogni v ~ K ~llora esiste una soluzione u ~ K

dJ (0.11) e per essa vale 1~ stessa (1.14).

DI~OSTI~AZI0i~E.- Sia R > O ] [ T ] I v , ~ nel convesso K R esiste per il t eo r ema 1.2.

una soluzione u E K ~ c K di (1.12), per tale u vale la stessa (1.14) per il teor. 1.3.

P r o v i a m o ehe tale u 5 una soluzione di (0.11). Pe r ogni v e K ~ K ~ , esiste w a K ~

tale e h e w = ~ -? e (v - - u ) , ¢ e [0, 1], bas ra scegliere e ---- R - - ! lu l lv / l lv - - u I l v ( R > llUIIv

per la s t ima (1.14)). Al lora si ha

e a ( u , u - - v) = a ( u , e ( u - - v) ) = a ( u , u - - w ) <~ < T , ~t - - w> : e < T , u - - v > .

Poichb la (0.11) ~ o v v i a m e n t e ver i f icata per v ~ K R , la (0.11) vale per ogni v e K .

G~A~F~A~Co B o ~ A a o : Aleune condizioni su//ieienti per l~esistenza~ ecv. 193

2. - T e o r e m a di c o n v e r g e n z a .

Pr ima di enunciare il t eorema diamo Mcune definizioni.

Sia B uno spazio di Banach siano K, K~ (n ~ N) sott insiemi eonvessi di B Mlora

DE~'I~IZIO~E 2 . 1 . - Dieiamo che i eonvessi K~ eonvergono M eonvesso K se

K c s-lim' K~, w-lira" K~ c K o re

s-lira' K~ = {v ~ B, 3vn ~ K~, v~-~ v in B} ,

w-lim" K ~ = {v~B, 3v,~ ~ K ~ , v , ~ v in B} .

])E:FIS~IZIONE 2.2. -- Sia a una fo rma bilineare cont inua su uno spazio di Banach separabile B, dieiamo che a 5 pseudomonotona se per ogni successions {%}n~Nc B, v~--~0, tale che lira supa(v~, v.)<O, ~llora tima(v~, v~)= O.

Diamo Mlora 1~ seguente condizione sufficiente di pseudomonotonia negli spazi V.

TEo~. 2.3. - Si~ a come nella definizione (0.3), ~9 sia l imi ta to e supponiamo che esistano due forme bilineari a, T, continue su V tMi che

(2.1) a = o" + "t"

(2.2) (r(v, v) > 0

(2.3) ~(v, v)<~llvll~l[vIh:<~), ~zR+

per ogni v e V. Allora a ~ pseudomonotona in V.

DI~OSTt~AZtO~E. - Sia v n ~ 0 in g tale che t im sup a(v,, v~)<0.

Allora per il t eo rema dell 'uniforme l imitatezza esiste M e R+ tale che ]]% 1[ u < M e per il t eo rema di I~ELHCH [13] V~--> 0 in L2(tg) allora

t T (%, %)t< ~ 11% H, I I % II.(.) < ~ f[ ~. II ~(~,),

ne segue che lira sup a (v~ v~).<<0, m a poich~ a(v~, v~)>0 si ha che lira a(v,,, v,~)= O.

TEOR. 2.4. - Sia a una fo rma bilineare cont inua pseudo monotona su uno spazio

di Banach riflessivo B, siano K~(n e N) e K convessi di B tMi che K=-->K. Sia / ' ~ B ' (duMe di B) e supponiamo c h e l a disequazione

(2.4) a(u, u -- v) <.< <T, u -- v>

sia verif icata da u~ ~ K,, per ogni v e K,~: Se esiste M e R + tale che

(2.5) Ilu.It < ~ vn~N

1 3 - .AnnaIi di 2¢latematica

194 GXA~RA~CO B o ~ h n o : Aleune condizioni su/]icienti per l'esistenza, etc.

al lora esiste u ~ K soluzione di (2.4) per ogni v ~ K, u ~ l imite debole di u n ' e s t r a t t a

della successione u , e flu II < M.

DB[0STigAZI0~E. -- Poich~ le u~, sono di n o r m a l imi ta ta esis~e u n a e s t r a t t a u ~

debo lmente convergen te a4 u ~ K perch~ w-lira" K~ c K.

Poich6 K c s-l im' K . esiste u n a successione ~ --> u, u . ~ K~. Al lora

per h --> c~, poich6 la successione degli u~ 6 l imi t a t a ed a 6 u n a f o r m a con t inua ; ne

segue che lira sup a(u,~, u,~ - - u ) < 0 e quindi l im sup a ( u , ~ - u, u,~ -- u)<.< O, daU'ipo-

tesi di p s e u d o m o n o t o n i a l im a(u~,~ - - u, u ~ - - u) =- 0 per cui l im a(un, ,, un~-- u) = O. Pe r ogni v E K poich~ K c s-lira' K~ esistono v~-+ v, v~ ~ K . .

Allor~ a(%,,, u ~ - v~h ) = a(u~, % ~ - u) + a(%~, u - v) + a(u~, v -- %~), da cui per

la l imita tezz~ degli u~ e la continuit/~ della f o r m a

a(u, u - - v ) ---- ] im a(un~, u - - v ) = l im a(u,~, u ~ - - v~) ~< lira (T , u ~ - - v ~ } =- (T , u - - v} . h - ~ c ~ h--> oo

Poich~ le sfere sono debohnen te chiuse ][u]l < M .

3. - T e o r e m a di u n i c i t h .

TEOl¢. 3.1. - Se oltre alle ipotesi fa t te ne l l ' in t roduzione su a, per ogni v~ e v~ e K e per ogni k~> 0 si ha

(3.1) v~ -- (vl - - v~)(k) ~ K

(ove (v l - - v2) (k) ~ la funzione associa ta a~ v~-- v2 nel l e m m a 1.1) al lora esiste al p iu u n a soluzione di (0.11).

D]~OST~AZIO~E. - Siano ul e u~ e K s o h z i o n i di (0.11); 9 o n e n d o

V ~ - - l t i - -

si o t t iene

u~ ~ u~) (~) u, 2 in a(u,, u~- -v )<<T, u~- -v} (i = 1, 2)

ci6 ~ lecito perch~ (ul-t-u~)/2 e K; ora poich~ G k o o ( - - t ) = - Gkoo(t ) si ha s o m m a n d o e d iv idendo per 2:

a I -~ , < 0 .

GYA~A~Co ]~OTTAI¢0: Alcune condizioni suffieienti per l'esistenza, eee. 195

Scegli~mo, se u~V:u~, 0 < 2 k < l t ~ -u ~ I I~ (o ) e rule che

cib ~ possibile perchb ~(v, lc, c~)'~ 0 se k l tlvl]~¢o(o) per ogni v ~ V; dul lemm~ 1.1 si h~ allora

o>°(" 2 ' = ~ [ ~ ' +

+ ~ \ - v - ' _ _ _ , ~[ 2 '

= ~!t-~-) ' t T J )T

+ ~ \ - -5- - ! .(o> ~--~--/

), du cui ((u~--u~)/2)(k)= 0 q.o. in Q, ciob per definizione di Gk. ~ si h~ l (u~ - u~)/21<k q.o. d~ cui Ilu~-u2IIL~(o)<2k contro la defmizione di k.

4. - Alcune general izzazioni .

TEOR. 3.1. - Sia Uo e H l ( ~ ) ; u c K ~ soluzione di (0.11) se e solo se ~ = u + Uo soluzione di

(4.1) a(~, ~ - ~) < <T + Luo, ~ - - ~}

per ogni ~ R = {~eHl(12): ~ - - u o e K } e ore

(4.2) L: V - ~ V'

l~operatore continuo t~le che

(4.3) a(u, v) : (Lu , v} per ogni u, v ~ V

196 GIAI~!cA~co BOTTARO: Alcune condizioni su//icienti per l'esistenza, ece.

DI-~0STICAZZ0NE. - Sono relazioni equivalenti

a(u, u - v) < <~, u - ~>

a(u ÷ uo, (u + u o ) - (v + Uo)) < </' + Luo, (u ÷ u o ) - (v ÷ uo)>

per ogni v e K

per ogni v ¢ K

per ogni ~ e / ~

Con. 4.2. - Se oltre alle ipotesi fa t te nell~introduzione ~ ~ limitato~ vale ls (1.11) ed esiste u0 e HI (~) tale che valga la (1.13) per ogni ~ a / ~ allora esiste una soluzione u e K di (0.11) e per essa. vale la stima:

(~.~)

D~OS~gAZIONE. - Ovvia eonseguenza del teor. 1.4 e del teor. 4.1 con ~ -~ max(l~ 0) se uo ~ H~(~) oppure se ~ verifica l 'ipotesi (0.10), da noi presa in considerazione solo quando K ¢ Hol(~) oppure Q ~ non limitato. Se K c H~(~), ~ ~ l imitato e u0 ~ Ho~(~0), poieh~ vale solo la (0.10)', il teor. 1.3 fornisee una maggiorazione soltanto del gra-

diente di u~ ma si pub ragionare eosh

= u01I~,<~><2 I[uoIl~0<~) + ]I(~ +

< 2 c ( ~ ) 2 II u~ H ~L~(~) + e II uo II ~(a) + 0~ ]I T -? Luo l] ~. <

ore c(~) 5 la costante che entra nella disuguaglianza di ~'lCIEDRICHS [13]. Posto + (1 + ' a io.amo.to del too,.

eo~ R > ~(]lu0II~(~) + ]1T + Z~oit ~').

TE0~. 4.3. - Oltre alle ipotesi fa t te nell ' introduzione, sia a pseudomonotona, valgano la (1.11) e la (1.13) re la t ivamente ad ogni v ~ K. Per ogni n ¢ N sia 9~ = ----{z e f2: Ix I < n } e sia st~6 Co(R ~) una sueeessione di funzioni tall che J l . = 1 su .O._~, supp st, c S(0, n) 0 < )~.~ < 1, t~.~.t l imitato indipendentemente d a n .

Sia K ~ = {Jt~v, v ~ K } e supponiamo che w-lim'rK, c K . Allora esiste una soluzione u a K di (0.11) e per essa vale la stima (1.11).

]:)II~0STI~AZI01~E. -- Poich~ il eonvesso K~ ~ costituito da elementi a supporto in 9~ lo si pub pensare eonvesso di V(9~) (definito analogamente ad [1]). Per tan to per il teor. 1.4 esiste una soluzione u., e K~ della disequazione variazionale

a(u~,u~- -v )<<T,u~--v> per ogni v ~ K ~

Allora dal teor. 1.3

I]u,,ll~<OlITilv,

G I A ~ A ~ C O BOTTA~0: Alcune eondizioni su/]icienti per l'esistenza, eee. 197

potendosi prolungare u~ come funzione nulla in tu t to £2 come visto in [1]. I1 nostro asserto discende allora dal teor. 2A se proviamo che K c s-]Jm'K.: ma cib ~ su- bito visto poich~ v e K , 2 ~ v e K . e 2~v->v in V.

Co~. 4.4. - Se helle ipotesi del teor. 4.3 si sostituisce K c o n / ~ si h~ aneora l'esi- stenza di u E K soluzione di (0.11) e per essa vale 1~ stessa (4.4).

DI-~OSTRAZI0i"~E. -- Conseguenza del cor. 4.2 e det teor. 4.3.

O S S E R V A Z I 0 1 ~ E ~ . 5 . -- Si pub avere l 'esistenza di una soluzione della disequa- zione (0.11) anche quando la form~ (0.3) sia degenere cio~ tale che per essa valga

invece della (0.6) la

(~.5) ~(u, u) > f~lu~f ~ dx

o re v: Q --> R+ ~ tale che inf v > 0 (essendo Q~/~ = {x e ~ : dist (x, ~.Q) <~ l /n ) ) e sod-

disfa ad ipotesi descritte in [12] e qualora il problemu sia posto in opportuni spazi con pesi. In fa t t i si vede facilmente che in tall spuzi possono essere dimostrati teoremi analoghi al teor. 1.3, 1.4 e 3.1.

5. - Applieazloni.

Consideriamo la seguente forma bilineare

(5.1) a: Ho~(~) × H~o(~) -~ R

ore per ogni u, v e Ho~(tQ)

(5.2) a( u, v ) = f [~,~ ( a~ ~, ÷ d~ ~ ) % ~- ( ~ b~ ~,-~ cul v] dx D

essendo

(5.3) a~je/~(t2) ; b~, d~eL-(~9), eeL~/2(t2)+L~(~9)

i d = 1

D ~2

# e R + ( # > 0 se 39 limitato) e ~ = ~ 1 ~ ; ~1, 92eC~(tg), ~ > 0 .

per q.o. x e £ 2

198 GIA~I~I~AXC0 BOTTARO: Aleune eondizioni su]ficienti per l'esistenza, eee.

Considel~amo anche la seguente forma bilineaxe

(5.4) b: V x V - > R

o re v ~ il sottospazio chiuso di H~(~2) cosi definito, (essendo ~2 sper to a front iers l ipschitzisns imfformemente regolare [4])

(5.5) V = (ue l t~ ( l "2 ) :u = 0 su Fo sul senso di HI(~)}

e /'o e sottoinsieme chiuso di ~ (/1 = ~ t g \ I o ) b ~ cosl definita per ogni u, v ~ V

(5.6)

essendo

(5.7) a~j ~ L°°(Q) ; b~, d, E I/~(zQ) ,

g e ~n-~(F~) + ~°(F~)

~t

i , J=l

.0 Z' 1 f2

per q.o. xc~Q

facile verificare che sis Is form~ (5.1) che 1s (5.4) nelle ipotesi sopraelencate verifica.no ~utte le condizioni poste nell ' introduzione sll~ forma (0.3) definendo

\n/2

ove S ~ la costante di Sobolev ([1] e [2]). Tenendo conto del lemma 3.1 di [14] si prova che per le stesse forme vMgono le ipotesi (1.11) e (2.1), (2.2), (2.3) e per il teorema 2.3 a e b sono ~llora pseudomonotone se Y2 ~ l imitato; se ~ non ~ limitato, la pseudo- monotonia sara he] seguito sempre suppost~.

Seguendo [3] e [9] indichi~mo alcuni esempi di convessi; in essi sono verificste tu t t e te ipotesi che permet tono, grazie ai teoremi dei § 1, 2, 4 di p ro r a t e l 'esistenza e l 'unicit~ della soluzione di (0.11).

Siano

K~ = {ueHl(zQ), u~>V su E nel senso di H~(9), u- -VeHol( tg)} ;

(1) Naturalmente nell'ultimo integrale u 6 v rappresentano 16 tracce d i . e v su FI~

G ~ r ¢ ~ c o B o ~ n ~ o : Aleune condizioni suMieienti per l'esistenza, eve. 199

eve ~eH~(~2) ed E ~ relat ivumente ehiuso in ~ ;

K~ = {ue V: u > 0 su /"1 nel sense di H~(t2)} ;

Ka = {ue V: Iu(x) [<l q.o. in R} ;

K,-----{ue V: lug(x)]<1 q.o. in R} .

Diamo era un breve cenno di come possono essere applicati i teoremi precedenti per avere esistenzu e unicit~ della soluzione di (0.11).

Per /£1 si pone uo------~ nel corollario 4.2 (o 4.4, se Y2 non ~ limit~to) in tal mode g l = {~eHo~(tg): ~>0 su ~ nel sense di H~(~9)}; poich~ g ( x ) > ~ ( x ) q.o. se ~(x)> 0 r ipotes i su K per ot tenere l 'esistenzu della soluzione di (0.11) ~ soddisfatt~. Si vede altresi facilmente c h e l a condizione sul convesso del cor. ~.4 ~ verifieuta. Per l 'unicit~, osservato ehe

v~-kk per v ~ ÷ k ~ v ~

v~ -- (v~ -- v~) (~) = v~ ~ v~ -- k < v~ < v~ ÷ k

v~ -- k ~ v~ ~ v~ -- k

da cui max(v1, v~)>~v~--(v~--v~)(k)>min(v~, v2), segue che ~ ~pplicabile il teor. 3.1. Per K , i teor. 1.4 (o 4.3 se ~2 non ~ limitato) sono applicabfli non appen~ si osservi

ehe v~($)>~0 se v(x)>~O (~ bene seegliere dei r~ppresentant i precis~ti nel sense delle capacit~ [7] per definire le ~roncature). Anche il teor. 3.1, gra.zie a lle considerazioni precedent4 ~ applic~bile. Per K~ e K4 i teoremi 1.4 (oppure 4.3 se t9 ~ non limit~to) sono utilizzabili non ~ppen~ si osservi che l u - - u ~ I < l u [ q.o. in ~ , I(u--u~)~I<Iu~ I q.o. in tg. Anehe la tesi del teor. 3.1 v~le pereh~ per K~ si ha

Iv1-- ( v l - v2)(k)[<max([min(v~, v2)[, ]m~x(v~, v2)]) q.o. in /2 ,

per qu~nto sopr~ notato. E per K , si ha

=

(v~)~ per v~ -k k < vl

(vl)~ ~ v~ -- k < v l< v~ ÷ k

(v~)~ ~ vl < v, - - k

Consideri~mo ora questi t re convessi:

Ks----{ueHo~(Y2), ~ p < u < ~ ' q.o. in R}

go= v:

K,----- {ue V: ]Iu]I~,(a)<l}

eve 9, ~' e//~(~9)

200 GIA~F~A~CO BOTTA~O: Aleune condizioni su]]ieienti per l'esistenza, ecc.

Si pub sllor~ osservare che in eisscuno di questi riesce l imit~ts ls norms qusdr~- tic~ o dells funzione o d e l suo grsdiente, se ne deduce ~ncora rif~cendo uso del lemms 3.1 di [1~] che ls form~ a ~ coercivs su K~ e ls form~ b ~ cocrcivs su K~ e Kv e quindi si possono spplicsre i teor. di [15]. Comunque si riconosce immedi~tsmeute per qusnto gi~ osservato nelle consider~zioni rels t ive si precedenti con~essi che il teor. 1.3 d~ snche in questi casi una maggiorszione dell~ soluzione (o t tenuts nel K~ come ncl cor. 4.2).

Per K~ e K7 ovvi~mente di qus si t rae chese 01] T I[ v' < 1 ogni soluzione u di (0.10) soluzione di

b(u, v) : <T, v> per ogni v ~ V .

bene comunque nots re che per t~li convessi ~ ~pplieabile il teor. 1A (o ~.3) per l 'esistenza, ma non sono soddisfst te le ipotesi del teor. 3.1 che d~ l'unicit~.

Studismo infine un ult imo convesso, sl quMe il teor. 1.4 non ~ immedis tamente a, pplicsbile; l 'esistenzs dells soluzione s~r~ o t t enu t s fseendo uso dei teoremi del § 2. Sis dunque ~v ~ H~(~), ~v < 0 su ~t9 nel senso di H~(~9), E relst ivsmen~e chiuso in ~9 e

Ks : {ueH~(~), u > ~ su E nel senso di H~(t9)}.

]~ fscile verificare che le ipotesi del teorem~ 3.1 sono soddisfst te dsl eonvesso Ks grszie slle eonsiderszioni fa t te re l s t ivsmente sl convesso K~, e quindi ~ ~ssicurats l 'unicit~ della soluzione. Supponismo per ors ehe ~ sis l imitsto.

Grszie si teoremi di [1~] (o di [2]) ~ possibile determinare ls soluzione z ~ H~(~9) del problems

a(z, v) = <T, v> per ogni v e Ho~(.Q).

Sis sl lors ~v'= msx(~v, z), ~" : F -- ~v'. Allors ~v' ~ Hl(t9), perch5 9 < 0 su ~ . Sis fl: Y2-~ R+ definits d~ fl(x) : dist(x, ~t9) e sis Z ~ C~([ 0, 1]), non negativs, uguMe a 0 in un intorno di 0 e ugu~le sd 1 in un intorno di 1; posto /~ : rain(nil, i), Z'fl~ sono funzioni lipschitzisne e se ~2~(x) = (g./~)(~)F"(x) si h s ehe ~ ~ H~(.Q), ~v.(.~) = = ~J(x) se x ~ ~9\t9~/~ o re Y)~/~ : {x e Y2: dist(x, ~ 9 ) < 1/n}. Consideri~mo Mlors i convessi Ks . : {u~H~(Y2); u > ~ v ' + F~, su E he1 senso di H~(12)}. Poich~ F r + F . ~ e H~([2) per qu~nto dimostrs to relat iv~mente sl eonvesso K~ esiste 1~ soluzione u . ~ H~([2) delle disequszioni

a(u~ u~--v)<<T, u . - - v } per ogni v E K s .

Siu ora ~eH~o(12), ~>0 q.o. su /2 posto v = u ~ + ~ si ha v > u ~ > w ' + ~ . duuque v e Ks~, ne risulta

a(u.,, ~ )><T, ~> per ogni ~ > 0 .

Si ha allor~

a(u~--z, ~)>0 per ogni $ > 0 .

GZA~R,A~CO BOTT~O: Atcune condizioni su]]i ienti per l'esistenza, ece. 201

Da [5] si deduce che u~>~z. Osserviamo che y/'~< 0 dunque ~v~<O e quindi ~0'-F ~ < ~0'. 0 r~ si ha che u ~ > ~ ~ su 1~ nel senso di H~(~): infat t i se z(x)>~f(x), u.(x)>~z(x)= = V ( x ) ; se ~(x) > z(x), V'(z) = ~(x) - m a x ( ~ ( x ) , z(x)) = o d a eui ~ ( x ) = 0 e u s ( x ) >

> ~'(x) ÷ ~s(x) se x ~ E le diseguaglianze precedenti valgono a meno di insiemi di capacit~ nulla in ~2 ma questa por ta la diseguaglianza nel senso di H~(/2) per i risul- t a t i di [7]). Se allora definiamo il convesso K ' = {u e H~(£2), u>~p' su E nel senso di H1(~9)} si ha the, per ogni n e N, u. e K' e

a(u., us - -v )<<T, u . - -v> per ogni v ~ K ' .

Applicundo altora il cor. 4.2 con uo----- ~' si ha ehe

H u~ {{.:(~) < II v' ][.:(~) + 0 H ~ - Lv' 11.-,(~)

(anzi dal teor. 3.]. si potrebbe osservare che us 6 una successione costante). Ora L: H1(~9)->H-~(~9) & limitato, da [14]

da [6] (o du [2]) Iizl],~o(a)<O]lTII,-~(~); se ne deduce

= 2{lvll.,<~>(1 + 0{[~l]) + 01[TI[.-,<~>(2 + 0[IZ{[) •

Grazie ~1 teor. 2.3 6 allora applicabile il teor. 2.4 che assicura l 'esistenza delia soluzione

non appena si provi che Ks~ --> Ks. Dimostr iamo che w-lim 'r Ks~ c K s: se u ~ - ~ v ~ e K s . ~ si deve p r o r a t e c h e v ¢ Ks, in tanto v ~ H~(~), ci sono aUora per il t eorema di Banach Saks delle medie convesse u '~ -~v in H~(~), facendo le stesse medie con- vesse sulle ~s~ e chiamatele ~'s. si ha che u '~> V ' , ~ - ~ ' su E nel senso di HI(~), ma ~' + ~:~(x) -> ~(x) per ogni x e / 2 (uvendo scelto per ~ e ~:~ un rapl)resentante eapacitario precisato) perch~ se x ef2\tO11~,(y/-F ~:~)(x)----~(x). Inol t re ragionando come nel teor. 5.1 [7] si ha che u:~ ha una es t ra t ta convergente a v a meno di insiemi di capacit~ nullu, ne segue che v(x)> ~(x) su E ~ meno di insiemi di capacit~ nulla e quindi ancora per i r isultat i di [7] v > ~ su E nel senso di Hl(tg). Ci tes ta soltanto da provare che Ks c s-lim' Kss: sia allora u ~ Ks, esiste u~ e Clo(t9) tale che u~-> - ~ u - - F ' in HI(~), s u p p u ~ c t g \ Q 1 / , ; sia infat t i v~-->u--y/, v .~ Clo(~), sia nl il p r imo indice per eui supp. v~ c t~\\~l~,~ poni~mo u~ ----- u~ . . . . . u~_~ = 0, %~ ------ v~ sia poi n~ il primo indice maggiore di n~ tale che supp v~ c ~ 9 \ ~ . e poniamo u,~+~ = . . . . . ~,~_----v~, u,~----v~. Cosi lorocedendo si ott iene una successione us ~ C0~(~) u~ -~ u -- ~' in H~(~), supp u . c t ~ \ t g ~ .

202 GIAgFRANCO B0~r'rAt¢O: Aleune condizioni suMicienti per l~esistenza~ ece.

Sia allors u'. ---- max(u~, ~0~) ÷ ~p' risulta u', ~ Ks , . Infa t t i u'~ e Ho~(sg) perchg ~o" ~< 0 su SD, basra allors provsre che msx(u~, %o")~> ~ . su E nel senso di H~(t?). Cib segue, scelti al solito dei rappresentsnt i precisati [7], dal fa t to ehe % ~< 0, ~J = % in ~9\f21~ ~ e u~ = 0 in D ~ . Ci bss t s ~llora provare che u'~-+ u in H~(D), o eib the g lo stesso max(u~, ~o") - + m a x ( u - - ~', ~o") = u - - ~', perch6 u > ~ ' + ~'~ = ~. Posto allors % = = u . -- ~o", 9 = u - ~v la tesi d ivents max(9 . , 0) -~max(~, 0) od snehe I9~l-+I 91 in H~(~?) essendo the % - + ~ in H~(D). ]~ ovvio ehe ]%I-+ ]q~l in L~(D), sisno

A~ = { x e g : q~o(x)>O e ~(x)< O} u {xe ~9: q~.(x)<O e ~(x) > 0},

B~ = {x e 9 ; ~ ( x ) > O, e ~(x) > O} ~ {x e ~9: ~ ( x ) < 0 e ~(x) < O} ;

risulta allora (cfr. [1~])

t} An Bn

Ar~ Bn A~ 1~

An

infat t i sia A'~ un~ successione es t ra t t s ds A, tale che IA'~[-+ lim sup A,[; ora

D A~ r2

Ne segue che c'~ un ' es t ra t t a X~ t~12->0 q.o. e quindi poich~ i7't> 0 su A,~ si ha

che Z ~ --> 0 q.o., dal teorema di convergenza dominata essendo ~ l imitato IA~**t -+ 0;

dunque limlA~l ---- 0. Assicurata cosl l 'esistenz~ di nn~ soluzione della disequszione (0.3) relat iva al compat to Ks nel caso di Y2 limitato, si pub allor~ togtiere tale ipotesi, osservando che nel caso di .O non l imi ts to si ~ supposto tt positivo e questo permet te di avcre delle maggiomzioni della soluzione che non dipendono da t9 si pub Mlors rifare il ragion~mento dei teoremi 4.1 e 4.3 per svere l 'esistenzs dells soluzione.

C'~ infine ds notare c h e s e E c ~2, ~o pub essere modificats fuori di E in modo che ~o ~H~(£2), r icadendo cosl nel caso del convesso K~, se invece E arriva fino alls fron- t iers l ' ipotesi ~0 ~< 0 su ~2 (3 E ~ necessaria ed ~nehe in questo easo ~ possibile modi- ficare la y~ fuori di /~ in modo che F~<0 su 8D.

Osserviamo che aw'emmo po~uto applicare il cot. 4.2 scegliendo uo = msx(~o, 0) oppure u, ---- -- ~o'. Abbiamo r i tenuto interessante seguire un 'a l t ra s t rads perch~ oltre a dare un esempio di spplicszione del teor. del § 2 mostra come il loroblem~ con F eH~(Y2) sia equivalente sd un problema in cui ~o E H~(tg).

GIANFRAI~CO :BOTTARO: Aleune eondizioni suHieienti per lYsistenza, ecc. 203

B I B L I O G R A F I A

[1] G. F. BOTTARO, Problema al eontorno misto per equazloni ellittiche di tipo variazionale su insiemi non limitati, Rend. Accad. Iqaz. Lincci, 55 (1973).

[2] G. F. BOTWARO - M. E. M~-RI~A, Problema di Dirichlet per equazioni ellittiehe di tipo variazionale su insiemi non limitati, Boll. U.M.I. , (4) B (1973), pp. 46-56.

[3] H. B]~i~zIs - G. STAMPACCmA, Sur la rggularit~ de ta solution d'inequations elliptiques, Bull. Sur. Math. Franc., 96 {1968), pp. 153-180.

[4] F. BROWD]~, On the spectral theory o/ elliptic di]fevential operator, I , Math. Annalcn, 142 (1961), pp. 22-130.

[5] M. CI4Icco, Principle di massimo /orte per sottosoluzioni di e~tazioni ellittiehe di tipo variazionale, Boll. U.M.I. , (3) 22 (1967), pp. 368-372.

[6] M. C~ICCO, On a priori inequality concerning elliptic second order partial di]ferential equations o] variational type, Matematichc (Catania), 26 (1971), pp. 173-182.

[7] M. CHICCO, Con]ronto fra due modi di de]inire le diseguagtianze per le funzioni di HI(~), Boll. U.M.I. , (4) 4 (1971), pp. 668-676.

[8] N. DU~FORD - J. SCI~WARTZ, Linear operator, eel. I, Interscicnco, l~cw York, 1958. [9] L. LIONS, Quelquds mgthodes de rdsolution des problvmes aux limites non lindaires, Dunod,

Paris, 1969. [10] L. LIONS - G. STAM~XCCI~IA, Variational inequalities, Comm. Pure Applied Math., 20

(1967), pp. 493-519. [11~ U. Mosco, Convergence of Convex Sets and o] Solutions o] Variational Inequalities Advances

in Mathematics, 3, no. 4 (1969), pp. 510-585. [12] V. MVI~THY - G. STA~rACC]gIA, Boundary value problems ]or some degenerate elliptic

operator, Ann. Mat. Pm-a e Appl., (4) 8{) (1968), pp. 1-122. [13] J. N~As , Les methodes direetes darts la thgorie des equations elliptiques, Edition de l'Aca-

demie Teh4eoslov~quc dos Sciences, Pragua, 1967. [14] G. STAMPACCHIA, E~uations eltiptiques du second ordre ~ coe/]ieients discontinuous, S6mi-

nairc de Math6mat:ique sup4ricurcs, Univorsit6 de Montreal, 4 session, 6t6 1965, Les presses de l'Universit6 de Montreal, 1966.

[15] G. STA~I~ACCmA, Variational inequalities, N.A.T.0. School Venisc (juin 1968), pp. 101-193.