Alberto Carraminana~ INAOE, Tonantzintla @ l nea, 3 de ...

Radiacion electromagnetica Transferencia radiativa Cuerpo negro Sistemas cuanticos Moleculas Radiacion solar Termica infrarroja

Fısica atmosferica - Cap 3. Radiacion en la atmosfera

Alberto Carraminana

INAOE, Tonantzintla @ lınea, 3 de marzo de 2021


Radiacion en la atmosfera - temas

Temas

1. Radiacion electromagnetica

2. Transferencia radiativa

3. Radiacion de cuerpo negro

4. Sistemas cuanticos

5. Radiacion solar en la atmosfera terrestre

6. Radiacion termica infrarroja en la atmosfera


Radiacion en la atmosfera - referencias

Algunas referencias

I “Atmospheric science”, Wallace & Hobbs, ed. Academic Press, 2nd edition.

I “An introduction to atmospheric physics”, Andrews, ed. Cambridge, 2nd edition.

I “An introduction to atmospheric radiation”, Liou, ed. Academic Press, 2nd ed.

I “Radiative processes in astrophysics”, Rybicki & Lightman.

I “Classical electrodynamics”, Jackson, ed. Wiley, 3rd edition.

I “Quantum mechanics”, Cohen-Tannoudji, Diu & Laloe, ed. Wiley.


Radiacion electromagnetica - ecuaciones de Maxwell

I La electrodinamica clasica se basa las ecuaciones de Maxwell. En el vacıo estasecuaciones describen a los campos electrico (~E ) y magnetico (~B), con densidadesde carga y corriente (ρ,~) localizadas en alguna region,

∇ · ~E = ρ/ε0, ∇× ~B − 1

c2

∂ ~E

∂t= µ0~, ∇× ~E +

∂ ~B

∂t= 0, ∇ · ~B = 0, (1)

con ε0, µ0 las permeabilidades electrica y magnetica del vacıo1.I Para describir campos electromagneticos en un medio se emplea el desplazamiento

electrico ~D = ε~E , mientras que ~B = µ ~H denota la induccion magnetica, con ~H elcampo magnetico. Los campos estan afectados por las permeabilidades electrica ymagnetica del medio, ε, µ.

I Las dos ecuaciones “inhomogeneas”de Maxwell se re-escriben en un medio como,

∇ · ~D = ρ, ∇× ~H − ∂ ~D

∂t= ~. (2)

1ε0 = e2/2αhc = 8.854 188× 10−12 F/m, µ0 = 2αh/e2c = 1.256 637× 10−6 H/m ' 4π10−7 H/m.


Radiacion electromagnetica - ondas electromagneticas

I En el vacıo y en ausencia de fuentes las ecuaciones de Maxwell son,

∇ · ~E = 0, ∇× ~B − 1

c2

∂ ~E

∂t= 0, ∇× ~E +

∂ ~B

∂t= 0, ∇ · ~B = 0. (3)

I Usando ∇× (∇× ~a) = ∇(∇ · ~a)−∇2~a obtenemos una ecuacion de onda paracada campo,

∇2 ~E − 1

c2

∂2 ~E

∂t2= 0, ∇2 ~B − 1

c2

∂2 ~B

∂t2= 0,

I Las soluciones son funciones armonicas, del tipo,

~E (~r , t) = E0e1 expi(~k · ~r − ωt)

, ~B(~r , t) = B0e2 exp

i(~k · ~r − ωt)

, (4)

donde k2 − ω2/c2 = 0. Reemplazando en (3),

~k · ~E = 0, ~k × ~B +ω

c2~E = 0, ~k × ~E − ω~B = 0, ~k · ~B = 0. (5)

de donde ~k ⊥ ~E , ~k ⊥ ~B, ~E ⊥ ~B, B0 = E0/c .


Ondas electromagneticas

I El vector de onda se relaciona con la longitud de onda: ~k = (2π/λ)k, con k ladireccion de propagacion.

I La frecuencia angular se relaciona con la frecuencia: ω = 2πν.

I De donde la relacion de dispersion k2−ω2/c2 = 0 se puede escribir como λν = c .

I Los campos ~E , ~B se situan en el plano perpendicular al vector de propagacion ~k .Su comportamiento determina la polarizacion.

I Si ~k = kz : (i) e1 = x ⇒ e2 = y, e1 = y ⇒ e2 = −x: dos modos depolarizacion lineal; (ii) e1 = (x ± i y)/

√2 ⇒ e2 = (∓i x + y)/

√2 dos modos

de polarizacion circular.

I Para ondas electromagneticas en un medio se tiene λν = c/n, con n =√εµ/ε0µ0

el ındice de refraccion (n > 1).

I La solucion mas general a la ecuacion de onda es una superposicion de ondasmonocromaticas.


Ondas electromagneticas

I La propagacion de energıaelectromagnetica sedescribe mediante elvector de Poynting,

~S = ~E × ~H =

√ε

µ|E0|2 k ,

(6)con unidades [W m−2].

I En descripcion cuantica,la radiacion EM estaformada de “cuantos”deenergıa E = hν, con h laconstante de Planck2.

2h = 6.626 069× 10−34 JHz−1 = 4.135 667× 10−15 eVHz−1.


Espectro electromagnetico

Espectro electromagnetico

Respuesta del ojo humano


Espectro visible e infrarrojo

Ondas EM: λν = c . Es comun el uso del numero de onda, ν = 1/λ, en cm−1.

Banda λ ν (cm−1) ν (Hz)

Lyman α 126 nm 79,365 2.38× 1015

Ultravioleta (U) 360 nm 27,780 8.33× 1014

Azul (B) 440 nm 22,727 6.81× 1014

Visual (V) 550 nm 18,182 5.45× 1014

Rojo (R) 700 nm 14,286 4.28× 1014

Infrarrojo cercano (I) 900 nm 11,111 3.33× 1014

Infrarrojo cercano (J) 1.25 µm 8,000 2.40× 1014

Infrarrojo medio (M) 5.0 µm 2,000 6.00× 1013

Infrarrojo medio (N) 10.2 µm 980 2.94× 1013

Infrarrojo medio (Q) 21 µm 476 1.43× 1013


Transferencia radiativa

1. Definiciones: intensidad especıfica, flujo de energıa.

2. Emision espontanea; absorcion y emision inducida; dispersion.

3. Ecuacion de transferencia radiativa.

4. Lıneas de Fraunhofer y ley de Kirchhoff.

5. Radiacion de cuerpo negro, funcion de Planck.

6. Emision termica, atmosferas plano-paralelas.


Transferencia radiativa - definiciones

I Para describir la propagacion de radiacion se define la intensidad especıfica, Iν oIλ, como el flujo de energıa, por unidad de area y tiempo, angulo solido, y bandaespectral,

dEdA dt

= Iν(~r , n, t) · (k · n) dΩ dν = Iλ cos θ dΩ dλ , (8)

con cos θ = k · n.

I La intensidad puede ser integrada sobre intervalo espectral,

I =

∫Iν dν =

∫Iλ dλ → [W m−2sr−1].

Unidades Iν : [W m−2sr−1Hz−1]; Iλ : [W m−2sr−1µm−1].

I Siendo distribuciones tenemos, Iν dν = −Iλ dλ ⇒ Iλ = (c/λ2) Iν .


Transferencia radiativa - conservacion de la intensidad

Un haz de radiacion: dA→ 0, dΩ→ 0

Por construccion,

dA2 = r2 dΩ1, dA1 = r2 dΩ2,

de donde dA1 dΩ1 = dA2 dΩ2. Sino hay absorcion o emision de ra-diacion en el trayecto, la conser-vacion de energıa implica,

dE (1) = dE (2) ⇒ I (1)ν = I (2)

ν ,

conservacion de la intensidad.


Transferencia radiativa - flujo de energıa

I A partir de la intensidad se define el flujo de energıa por intervalo espectral(W m−2µm−1, W m−2Hz−1) e integrado (W m−2),

Fν =

∫Iν cos θ dΩ, F =

∫Fν dν =

∫Fλ dλ . (9)

I Para fuentes con tamano angular pequeno,

Fλ ' Iλ cos θ? ∆Ω?.

I El Sol visto desde la Tierra: F = 1367 W m−2, ∆Ω ' 6.84× 10−5sr,

⇒ I = F/∆Ω ' 2× 107 W m−2 sr−1.

I El Sol tiene una luminosidad L = 3.84× 1026 W, y un radio R = 6.96× 108 m,de donde el flujo de la radiacion en su superficie,

F =L

4πR2

= 6.31× 107 W m−2 ⇒ I ′ =Fπ' 2× 107 W m−2 sr−1 = I.


El flujo de energıa por intervalo espec-tral (W m−2µm−1, W m−2Hz−1) e integra-do (W m−2), esta definido como,

Fν =

∫Iν cos θ dΩ,

Para fuentes con tamano angular pequeno,

Fλ ' Iλ cos θ? ∆Ω,

con θ? el angulo cenital de la fuente.


Transferencia radiativa - absorcion

I En el vacıo no hay procesos de absorcion o emision de radiacion, por lo que seconserva Iλ a lo largo de un haz (s),

dIλds

= 0 ⇔ Iλ = constante.

I La presencia de un medio da lugar a absorcion de radiacion de acuerdo a,

dIλds

= −αλIλ , (10)

con αλ el coeficiente de absorcion (unidades m−1).I El coeficiente de absorcion depende de la densidad de absorbedores (n) y su

seccion eficaz (σλ, en cm2),

αλ = nσλ = ρκλ,

con κλ coeficiente de opacidad (g−1cm2), ρ densidad de masa.I El inverso del coeficiente de absorcion es el camino libre medio, `λ = 1/αλ.


Transferencia radiativa - emision espontanea e inducida

I El proceso de absorcion (10) provoca la atenuacion exponencial de la intensidad,Iλ(s) = Iλ(0)e−τλ , con la profundidad optica definida por,

τλ ≡∫ s

0αλ ds

′ . (11)

I Se distinguen los medios opticamente delgados (“transparentes”: τλ 1), yopticamente gruesos (“opacos”: τλ 1).

I Un medio tambien pierde energıa mediante la emision espontanea de radiacion,descrita con el coeficiente de emision, jλ [W m−3sr−1µm−1], tal que,

dIλds

= jλ ⇒ Iλ(s) = Iλ(0) +

∫ s

0jλ(s ′) ds ′.

I Se puede emplear tambien la emisividad especıfica: ελ = 4πjλ/ρ. [W kg−1]I Finalmente, la emision estimulada funciona de manera analoga a la absorcion,

pero incrementa la intensidad del haz. Corresponde a una contribucion negativa alcoeficiente de absorcion.


Ecuacion de transferencia radiativa

I Considerando conjuntamente emision (espontanea e inducida) y absorcion,

dIλds

= −αλ Iλ + jλ. (12)

I Si solo consideramos absorcion (jλ = 0), se tiene una atenuacion exponencial,Iλ(s) = Iλ(0)e−τλ , con profundidad optica τλ.

I La ecuacion de transferencia se plantea tambien en terminos de la profundidadoptica,

dIλdτλ

= −Iλ + Sλ, (13)

definiendo la funcion fuente Sλ ≡ jλ/αλ.I Para Sλ constante se obtiene,

Iλ(τλ) = Iλ(0) e−τλ + Sλ(1− e−τλ

),

con lımites: τλ 1→ Iλ(τλ) ' Iλ(0); τλ 1→ Iλ(τλ) ' Sλ.


Transferencia radiativa - Dispersion

I Analogo al proceso de absorcion es el de dispersion: absorcion y re-emision deradiacion modificando su direccion de propagacion sin alterar su longitud de onda.

I Para incluir la dispersion se emplea la intensidad media, Jλ, promedio de laintensidad sobre todas las direcciones,

Jλ =1

4π

∫Iλ dΩ ,

I La dispersion remueve radiacion del haz, de forma proporcional a su intensidad y

de acuerdo al coeficiente de dispersion α(d)λ , redistribuyendola de manera

isotropica. La contribucion de la dispersion a la ecuacion de transferencia es,

dIλds

= −α(d)λ (Iλ − Jλ). (14)

I En la atmosfera terrestre son importantes los procesos de dispersion de Rayleigh yde Mie.


Dispersion - radiacion dipolar, dispersion de Rayleigh

I Una carga q en movimiento acelerado produce radiacion con una potencia P dadapor,

dP(t)

dΩ≈ q2a2

4πc3sin2 θ ⇒ P(t) =

2q2a2

3c3,

con θ el angulo entre la aceleracion (~a) y la lınea de vision. La aceleracion puededeberse a una oscilacion causada por luz incidente.

I Para un sistema de cargas con momento dipolar ~d =∑

qi~ri ,

dP(t)

dΩ≈ |

~d |2

4πc3sin2 θ ⇒ P(t) =

2|~d |2

3c3.

I El espectro de emision dipolar esta dado por la transformada de Fourier,

dP(ω)

dΩ=

ω4

2πc3| ~dω|2 sin2 θ, P(ω) =

4ω4

3c3| ~dω|2 . (15)

I La dispersion de luz por atomos o moleculas es de tipo dipolar electrico.


Transferencia radiativa - Dispersion

Figura: Procesos de dispersion y dispersion multiple. La radiacion es dispersada conservando sulongitud de onda, pero la seccion eficaz de dispersion puede depender de λ.


Ecuacion de transferencia radiativa - caso general

I La ecuacion de transferencia radiativa, sin dispersion, tiene solucion general,

dIλdτλ

= −Iλ + Sλ ⇒ Iλ(τλ) = Iλ(0) e−τλ +

∫ τλ

0Sλ(τ ′λ) e(τ ′λ−τλ) dτ ′λ.

Para Sλ constante se obtiene, Iλ(τλ) = Iλ(0) e−τλ + Sλ (1− e−τλ) , conIλ(τλ) ' Iλ(0), si τλ 1; Iλ(τλ) ' Sλ, si τλ 1.

I Si la emision es termica: Sλ = Bλ(T ), la funcion de Planck para T (~r).I La ecuacion de transferencia considerando dispersion (αd

λ), absorcion (αaλ) y

emision es,dIλds

= −(αaλ + αd

λ)Iλ + jλ + αdλJλ

para emision termica y empleando el coeficiente de extincion dτλ = (αaλ + αd

λ) ds,se obtiene,

dIλdτλ

= −Iλ + Sλ con Sλ =αaBλ(T ) + αd

λJλ

αaλ + αd

λ

. (16)


Radiacion de cuerpo negro - Lıneas de Fraunhofer

I Un gas absorbe y emiteradiacion en longitudes deonda que lo identifican.

I Un material que es buenabsorbedor a una λ dada,es buen emisor a esamisma λ.

I Un mal absorbedor es malemisor.

I Un absorbedor (emisor)perfecto es un cuerponegro.


Ley de Kirchhoff

Figura: Ilustracion de la ley de Kirchhoff.


Espectro solar


Radiacion de cuerpo negro - Ley de Kirchhoff

I Gustav Kirchhoff desarrollo el principiode absorcion ⇔ emision, enfocado alequilibrio entre materia y radiacion.

I Mostro que el equilibrio radiativo secumple para toda frecuencia, todopunto y toda direccion, de manera queen equilibrio termodinamico,

jν = ανBν(T ) , (17)

con jν , αν coeficientes emision yabsorcion del objeto.

I Bν(T ) es una funcion universal de latemperatura, independiente del objeto.


Radiacion de cuerpo negro - la funcion de Planck

I La emision de un cuerpo negro es isotropica y descrita por la funcion de Planck,

Bν(T ) =2hν3/c2

ehν/kT − 1⇔ Bλ(T ) =

2hc2/λ5

ehc/λkT − 1. (18)

I Al integrar sobre el espectro se obtiene la ley de Stefan-Boltzmann3,

B(T ) =

∫ ∞0

Bν(T ) dν =

∫ ∞0

Bλ(T ) dλ =σ

πT 4. (19)

I Campo isotropico ⇒ F = 0. Al integrar sobre medio hemisferio,

F (T ) =

∫ π/2

0

∫ 2π

0B(T ) cos θ d(cos θ) dφ = σT 4.

I El maximo de la funcion de Planck cumple la ley de Wien, λmaxT ≈ 2.898 mmK .I Planck obtuvo la expresion (18) de forma empırica. En un analisis estadıstico

mostro que requiere intercambios de energıa E = nhν, con n entero y h constante.3σ = 2π5k4/15h3c2.


Radiacion atmosferica

Las dos componentes de radiacionatmosfera estan diferenciadas:(1) la radiacion solar tiene maxi-mo en λ = 0.5µm, con 90 % deemision entre 0.32 y 2.16 µm.(2) la radiacion atmosferica tienemaximo en λ = 11.4µm, con 90 %de emision entre 7.34 y 48.9 µm(⇒ 1,400 a 200 cm−1).


Emision termica en atmosferas plano-paralelas

En muchos casos es posible y conveniente emplear una geometrıa plano-paralela.

I La trayectoria del haz esta descrita pords = ±dz/ cos θ = ±dz/µ, conµ = cos θ relativo a la vertical y elsigno a conveniencia para un hazincidente o emergente.

I Condicion a la frontera normalmenteτλ = 0 en z →∞ para haz incidente;τλ = 0 en z = 0 para haz emergente.

I Simetrıa acimutal, de forma queIλ = Iλ(z , θ) = Iλ(z , µ),

I Medio estructurado verticalmente,T (~r) = T (z), ρ = ρ(z).


Emision termica en atmosferas plano-paralelas

Bajo equilibrio termodinamico local, laecuacion de transferencia se escribe,

µ

αλ

dIλdz

= −Iλ + Bλ [T (z)] , (20)

con αλ = ρ(z)κλ.


Sistema cuanticos

1. Sistema de dos niveles

2. Fundamentos cuanticos: estados y funcion de onda

3. Ecuacion de Schrodinger y sistemas basicos

4. Atomos: hidrogeno y otros atomos

5. Moleculas; moleculas de la atmosfera


Sistema cuantico de dos niveles

I En 1916 Einstein realiza un analisis de la interaccion entre radiacion y materiabasada en un sistema cuantico idealizado de dos niveles de energıa.

I La radiacion puede ser absorbida con una transicion 1→ 2; puede estimular laemision de mas radiacion y una transicion 2→ 1; o ser emitida de formaespontanea (2→ 1).


Sistema cuantico de dos niveles - coeficientes de Einstein

I La emision espontanea esta cuantificada por la probabilidad de transicion porunidad de tiempo, A21.

I La absorcion se cuantifica con la probabilidad de transicion B12J, producto delcoeficiente B12 y la intensidad media de la radiacion,

Jν =1

4π

∫Iν dΩ, J(ν) =

∫ ν+∆ν

ν−∆νJν φ(ν ′) dν ′,

con φ(ν) respuesta del sistema alrededor de ν = (E2 − E1)/h.

I La emision inducida esta dada por la probabilidad de transicion por unidad detiempo B21J, con B21 el coeficiente respectivo.

I El equilibrio estadıstico entre los dos niveles, con poblaciones n1,2, requiere

n1B12J = n2A21 + n2B21J ⇒ J =A21/B21

(n1/n2)(B12/B21)− 1, (21)


Sistema de dos niveles - ancho de lınea

I La funcion φ(ν) cuantifica el ancho de lalınea.

I La transicion tiene un ancho naturalderivado de la relacion de incertidumbre∆E∆t >∼ ~, con ∆t ∼ A. La separacionentre niveles, ∆E , no esta plenamentedeterminada.

I En la practica tienden a ser dominanteslos ensanchamientos debidos a procesosfısicos como el ensanchamiento termico(Doppler) y el colisional (de presion).


Sistema cuantico de dos niveles - coeficientes de Einstein

A temperatura ambiente kT ' 0.025 eV.

I Hay una relacion de equilibrio estadısticoentre las poblaciones de dos niveles bajoequilibrio termodinamico,

n1/n2 = (g1/g2)e(E2−E1)/kT ,

con gi peso estadıstico nivel energetico i .

I Junto con el equilibrio entre materia yradiacion, J(ν) = Bν(T ), se obtienen lasrelaciones entre coeficientes de Einstein,

g1 B12 = g2 B21, A21 =2hν3

c2B21.

(22)


Sistema cuantico de dos niveles - balance detallado

I Las relaciones entre coeficientes de Einstein se cumplen de forma general,independientemente de que haya o no un estado de equilibrio.

I De ellas resultan la relaciones de balance detallado, con los coeficientes de emisiony absorcion en el caso general,

jν =hν

4πφ(ν) n2A21, αν =

hν

4πφ(ν) (n1B12 − n2B21) .

I Dados dos estados cuanticos (1) y (2), es posible determinar los coeficientes detransicion, en particular A2→1.


Sistemas cuanticos - funcion de onda

I La mecanica cuantica permite la descripcion de sistemas fısicos basicos, comoatomos y moleculas.

I Los sistemas fısicos son descritos mediante su funcion de onda, ψ(qk , t), con qklas coordenadas que describen al sistema (k = 1, . . .N, para N grados de libertad).

I La funcion de onda es en general una funcion compleja. Su norma representa ladensidad de probabilidad para cada coordenada. En una dimension, la probabilidadde observar x en un intervalo dado, [x0, x1], es,

P(x0 ≤ x ≤ x1) =

∫ x1

x0

|ψ(x , t)|2 dx ,

para una funcion de onda normalizada,∫ +∞

−∞|ψ(x , t)|2 dx = 1.

I La funcion de onda contiene toda la informacion de un sistema fısico.


Sistemas cuanticos - variables fısicas

I Las variables fısicas medibles (A) se representan mediante operadores que actuansobre la funcion de onda, modificandola,

Aψ(qk , t) = ϕ(qk , t).

I El valor observado de una cantidad fısica es su promedio sobre la funcion de onda.Para una partıcula,

〈A〉 =

∫ψ∗(~r , t)Aψ(~r , t) d3r . (23)

I Toda medicion tiene una incertidumbre asociada: ∆A =√〈A2〉 − 〈A〉2.

I Los operadores de coordenadas (por ejemplo x) y de los momentos asociados (porejemplo px) cumplen,

x ψ(x , t) = x ψ(x , t); px ψ(x , t) = −i~ ∂∂xψ(x , t) , (24)

I Todo sistema fısico cumple el principio de incertidumbre: ∆x∆px ≥ ~/2.


Sistemas cuanticos - el Hamiltoniano clasico

I En mecanica clasica se define el Hamiltoniano, expresado en terminos decoordenadas generalizadas (qk) y sus respectivos momentos (pk = ∂Ecin/∂qk).

I Dos ejemplos:

Ecin =1

2mx2 ⇒ px =

∂Ecin

∂x= mx ⇒ Ecin =

p2x

2m,

Ecin =1

2mr2θ2 ⇒ pθ =

∂Ecin

∂θ= mr2θ ⇒ Ecin =

p2θ

2mr2.

I El Hamiltoniano se define como la suma de las energıas cinetica y potencial enterminos de las coordenadas qk , pk. En una dimension (cartesiana),

H =p2

2m+ U(q). (25)

I Las ecuaciones de movimiento se conocen como ecuaciones de Hamilton,

qk =∂H

∂pk, pk = − ∂H

∂qk.


Sistemas cuanticos - Operador Hamiltoniano

I En mecanica cuantica se emplea el operador Hamiltoniano para determinar laevolucion temporal de un sistema, a traves de su funcion de onda ψ,

Hψ = i~∂ψ

∂t⇒

[p2

2m+ U

]ψ = i~

∂ψ

∂t. (26)

I Considerando las expresiones para los operadores (24), se expresa la ecuacion deSchrodinger como,

− ~2

2m∇2ψ + U ψ = i~

∂ψ

∂t. (27)

I Para un potencial independiente del tiempo, se puede plantear la funcion de ondacomo superposicion de estados estacionarios, ϕ(~r), de energıa E ,

ψ(~r , t) =∑k

ϕk(~r)e−iEk t/~. (28)


Ecuacion de Schrodinger - estados estacionarios

I En la ecuacion de Schrodinger, dado un potencial independiente del tiempo,

− ~2

2m∇2ψ + U(~r)ψ = i~

∂ψ

∂t,

se puede plantear la funcion de onda como una superposicion de estadosestacionarios, ϕ(~r), de energıa E ,

ψ(~r , t) =∑j

ϕj(~r) e iEj t/~.

I Las funciones ϕj deben cumplir la ecuacion de Schrodinger para estadosestacionarios,

Hϕj = Ejϕj ⇒ − ~2

2m∇2ϕj + U(~r)ϕj = Ejϕj , (29)

con H el operador Hamiltoniano y Ej el valor propio correspondiente.


Ecuacion de Schrodinger: sistemas de interes

Un vistazo a algunos sistemas fısicos de interes:

I Partıcula libre,

I Rotor rıgido,

I Oscilador armonico,

I Atomo de hidrogeno,

I Atomos,

I Moleculas.


Ecuacion de Schrodinger: partıcula libre en una dimension

I Para una partıcula libre en una dimension (U = 0), la ecuacion de Schrodinger,

− ~2

2m

d2ϕ

dx2= E ϕ ⇒ ϕ(x) = A e ikx + B e−ikx , (30)

con k =√

2mE/~ ⇒ E (k) = ~2k2/2m.I La energıa puede tomar cualquier valor del continuo E > 0. Tomando B = 0,

〈p〉 =

∫ +∞

−∞ϕ∗(x)

(−i~dϕ(x)

dx

)dx = ~k .

I La normalizacion de (30) diverge (→∞): la partıcula no esta localizada, mientrasque el momento esta plenamente determinado (∆p = 0).

I La solucion general es de la forma,

ϕ(x) =

∫ +∞

−∞A(k) e ikxdk ⇒ ψ(x , t) =

∫ +∞

−∞A(k) exp i (kx − ω(k)t) dk,

con A(k) una funcion normalizada, ω(k) = ~k2/2m.


Ecuacion de Schrodinger: partıcula libre en una dimension

I La solucion general a laecuacion de Schrodingerpara la partıcula libre noesta normalizada:∆p = 0⇐⇒ ∆x →∞.

I Una solucion moduladaacota ∆x a valores finitos:∆p >∼ ~/∆x 6= 0.

I La funcion de onda tiendea dispersarse con el tiempo:

〈x(t)〉 = 〈x(0)〉+〈~k/m〉 t,

∆x = ∆x(0) + (∆p/m)t.


Ecuacion de Schrodinger: rotor rıgido

I El rotor rıgido proporciona una descripcion de larotacion molecular.

I El rotor rıgido esta constituido por dos masas, m1 ym2, unidas por el vector ~r = ~r1 − ~r2, y restringidas auna separacion |~r | fija.

I En ausencia de un potencial,

H =|~p1|2

2m1+|~p2|2

2m2=|~pcm|2

2M+|~p|2

2m=|~pcm|2

2M+|~L|2

2I,

con M = m1 + m2 masa total; m = m1m2/M masareducida; ~pcm = el momento del centro de masa;I = mr2 = el momento de inercia de dos masaspuntuales; ~L = ~r × ~p = el momento angular.



I Referido al centro de momento, tenemos el Hamiltoniano, en coordenadasesfericas,

H =L2

2I=

p2θ + p2

φ sin2 θ

2I, (31)

de donde la ecuacion de Schrodinger,

−~2

2I

1

sin2 θ

[sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂ϕ

∂θ

)+∂2ϕ

∂φ2

]= E ϕ(θ, φ). (32)

I Las soluciones son los armonicos esfericos, ϕ(θ, φ) = Ym` (θ, φ), con ` entero

positivo (` = 0, 1, 2, . . . ) y m entero, positivo o negativo, tal que |m| ≤ `.I Los armonicos esfericos son de la forma,

Ym` (θ, φ) = C`m P

|m|` (cos θ) e imφ,

con Pm` funciones asociadas de Legendre y C`m coeficientes de normalizacion tales

que la integral de |Ym` (θ, φ)|2 sobre angulo solido sea igual uno.



I La energıa esta restringida a unconjunto discreto de valores,

⟨L2⟩

= `(`+1)~2 ⇒ E` = `(`+1)~2

2I.

I La diferencia entre dos nivelesconsecutivos, ∆E`→`−1 = ` (~2/I ).

I Para moleculas comunes en laatmosfera se tiene ~2/I ∼ 0.001 eV.

I Hay g` = 2`+ 1 estados de energıa E`(nivel de degeneracion; peso estadısticodel nivel de energıa).


Ecuacion de Schrodinger: oscilador armonico

El oscilador armonico es util para describir vibraciones moleculares.

I Desarrollo cuadratico de potencial alrededor de un mınimo,

U(x) = U(x0)+

(dU

dx

)0

(x−x0)+1

2

(d2U

dx2

)0

(x−x0)2+. . .

I La ecuacion de Schrodinger para el oscilador 1D,

− ~2

2m

d2ϕ

dx2+

1

2mω2x2 ϕ = E ϕ.

I Solucion con estados de energıa equi-espaciados,

En =

(n +

1

2

)~ω, n = 0, 1, . . .

con estado base: E0 = ~ω/2.


Ecuacion de Schrodinger: el atomo de hidrogeno

I Ecuacion de Schrodinger para un nucleo (qN = +Ze, con Z = 1 para hidrogeno)atrayendo un electron (q = −e),

− ~2

2m∇2ϕ− Ze2

rϕ = E ϕ.

I Desarrollada en coordenadas esfericas,

− ~2

2m

1

r

∂2

∂r2(rϕ) +

(L2

2mr2− Ze2

r

)ϕ = E ϕ ,

con ~L = ~r × ~p el momento angular.

I Cada funcion de onda esta descrita por cuatro numeros cuanticos: ϕn,`,m,ms .

I Son productos de polinomios de Laguerre (Rn`(r), parte radial), armonicosesfericos (Ym

` (θ, φ), parte angular en potenciales centrales) y espın electronico.


Ecuacion de Schrodinger: el atomo de hidrogeno

I Un estado estacionario del atomo de hidrogeno esta descrito por los cuatronumeros cuanticos n, `,m,ms.

I El numero cuantico principal, n, indica el nivel de energıa,

En = −1

2

(e2

a0

)Z 2

n2= −13.6 eV

(Z 2

n2

),

con a0 = ~2/me2 el radio de Bohr, y n = 1, 2, . . . .Se puede escribir como En = −(Ze2/2az)(1/n2), con az = a0/Z .

I El numero cuantico de momento angular:⟨L2⟩

= `(`+ 1)~2, con ` = 0, . . . , n− 1.

I El numero cuantico magnetico, m, se asocia a la proyeccion del momento angularsobre un eje de referencia: 〈Lz〉 = m~, con m = −`, . . . ,+`.

I El numero cuantico de espın: ms = ±1/2.


5.3.1. Sistemas hidrogenoides

Figura: Los niveles de energıa de un sistemahidrogenoide dependen del numero cuanticoprincipal, En = E1/n

2.Existe una pequena dependencia con losnumeros cuanticos `,m,ms que apareceal considerar la estructura fina del atomo.Estados con distinto momento angular sedistinguen con la secuencia de letras: s(` = 0), p (` = 1), d (` = 2), f (` = 3).

Hay gn = 2n2 estados para el nivel n.


Sistemas cuanticos - espectroscopıa del hidrogeno

Las series espectroscopicas del hidrogeno estan dadas por transiciones a nivelesdeterminados:

I Serie de Lyman: n1 → n2 = 1.Las transiciones se distinguen con letras griegas: Lyα (2→ 1) λ = 1215.7A; Lyβ(3→ 1), Lyγ (4→ 1), etc. . . Estas transiciones caen en el ultravioleta y seobservan desde el espacio.

I Serie de Balmer: n1 → n2 = 2.Transiciones Hα (3→2) λ = 6564A; Hβ (4→2) λ = 4863A; Hγ (5→2). Lıneas enel visible y ultravioleta cercano, observables desde la Tierra.

I Series de Paschen (n1 → 3), Brackett (n1 → 4), Pfund (n1 → 5): IR cercano.

I Lıneas de recombinacion:Aparecen en radio, desde n1 1 o transiciones entre niveles altos. Por ejemplo,110→ 109, denominada 109α, a una frecuencia de 5.009 GHz.


Sistemas cuanticos: atomos con muchos electrones

I No hay solucion analıtica para atomos mas complejos que el hidrogeno.

I El potencial efectivo que percibe cada electron tiene simetrıa aproximadamenteesferica, permitiendo el uso de armonicos esfericos (`,m).

I Lo que permite describir cualitativamente el estado de un atomo con Z electronesmediante 4Z numeros cuanticos,

nk , `k ,mk ,ms.k , k = 1, . . . ,Z ,

con nk = 1, 2, . . . ; `k = 0, . . . , nk − 1; mk = −`k , . . . ,+`k ; ms.k = ±1/2.

I No puede haber dos electrones con mismos numeros cuanticos.

I Los niveles de energıa dependen de nk , `k, de manera que,

En` > En′` para n > n′; En` > En`′ para ` > `′.

I Secuencia de estados base:1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s, 5f, 6d.

Secuencia de energıa de losniveles base de los elementosquımicos.

Z χ (eV) n ` ConfiguracionH 1 13.6 1 0 1sHe 2 24.6 1 0 1s2 Z χ (eV) n ` Configuracion

Li 3 5.39 2 0 [He] 2s Na 11 5.14 3 0 [Ne] 3sBe 4 9.32 2 0 [He] 2s2 Mg 12 7.64 3 0 [Ne] 3s2

B 5 8.30 2 1 [He] 2s2 2p Al 13 5.98 3 1 [Ne] 3s2 3pC 6 11.3 2 1 [He] 2s2 2p2 Si 14 8.15 3 1 [Ne] 3s2 3p2

N 7 14.5 2 1 [He] 2s2 2p3 P 15 10.6 3 1 [Ne] 3s2 3p3

O 8 13.6 2 1 [He] 2s2 2p4 S 16 10.4 3 1 [Ne] 3s2 3p4

F 9 17.4 2 1 [He] 2s2 2p5 Cl 17 13.0 3 1 [Ne] 3s2 3p5

Ne 10 21.6 2 1 [He] 2s2 2p6 Ar 18 15.8 3 1 [Ne] 3s2 3p6

K 19 4.34 4 0 [Ar] 4sCa 20 6.11 4 0 [Ar] 4s2

Cuadro: Configuracion base y primer potencial de ionzacion (χ) de los primeros 20 elementos:χ decrece con n, tiende a crecer con `, aumentando al pasar de un elemento Z impar a par. Lacapa 4s empieza a ser ocupada antes que la 3d.


Moleculas - moleculas en la atmosfera terrestre

I La atmosfera terrestre tiene condiciones propicias para congregar a los atomos enmoleculas, completando sus capas externas.

I Las moleculas mas abundantes en la atmosfera estan formadas por los elementosmas abundantes: principalmente H, C, N, O.

I De importancia en el balance energetico de la atmosfera: N2, O2, O3, H2O, CO2,CH4, N2O, ...

I Las moleculas de descripcion mas directa son las diatomicas: O2, N2, H2, CO...I Un poco mas complejas son las moleculas triatomicas lineales: CO2, N2O, ...I Un poco mas complejas son las moleculas triatomicas no-lineales: H2O, O3, ...I Un poco mas complejas las moleculas multi-atomicas 3D: CH4, NH3, ...I La interaccion de la radiacion con un sistema depende de su momento dipolar:

Aif =4ω3

if

3~c3

∣∣∣⟨f ∣∣∣~d∣∣∣ i⟩∣∣∣2 .Las moleculas con mayor momento dipolar son mas activas.


Moleculas - moleculas diatomicas

I Las moleculas diatomicas muestran las caracterısticas genericas de las moleculas.I Los niveles de energıa se separan, de forma jerarquica, en tres componentes:

(i) Componente electronica: los electrones dan cohesion a la molecula, quetiende a estar en un estado de mınima energıa. La escala electronica esta dictadapor las dimensiones del radio de Bohr, a = ~2/me2,

Eel ∼e2

a∼ 10 eV .

(ii) Componente vibracional: la distancia de equilibrio entre los nucleosdetermina el modo vibracional de la molecula,

Ma2ω2 ∼ e2

a⇒ ω ∼

(e2/Ma3

)1/2 ⇒ Evib = ~ω ∼(mM

)1/2Eel ∼ 0.1 eV .

(iii) Componente rotacional: la rotacion de la molecula da lugar a sub-nivelesenergeticos dentro de la estructura vibracional,

Erot ∼ ~2/I ∼ ~2/Ma2 ∼(mM

)Eel ∼ 0.001 eV .


Moleculas - moleculas diatomicas

Nivel / banda energıa λ ν

Electronico Eel ∼ e2/a 10 eV 100 nm 100,000 cm−1

Vibracional (m/M)1/2Eel 0.1 eV 10 µm 1000 cm−1

Rotacional (m/M)Eel 0.001 eV 1 mm 10 cm−1

Cuadro: Niveles de energıa en una molecula diatomica. Dada kT ' 0.025 eV, las estructuraselectronicas tienden a estar en el nivel base y las rotacionales ocupadas en varios niveles. Lastransiciones vibracionales son particularmente activas.


Moleculas - niveles energeticos

Figura: A la izquierda la estructura electronica define un punto de equilibrio, alrededor del cualse presenta vibraciones moleculares. A la derecha, a los niveles vibracionales se agregan losniveles rotacionales, formando una estructura roto-vibracional (figs. de Liou).


Moleculas - modos vibracionales

I Moleculas con una estructura mas compleja (H2O, CO2, CH4, O3, N2O) tienenuna mayor variedad de modos vibracionales, torsionales (y tambien rotacionales).

I Algunas vibraciones inducen momento dipolar.


Moleculas - radiacion y moleculas

I Los niveles electronicos interaccionan con UV y visible a partir de la parte alta dela atmosfera. UV causa foto-ionizacion y disociacion (→ quımica de laestratosfera).

I Moleculas diatomicas homonucleares (N2, O2, ...) solo tienen un modo vibracionaly carecen de momento dipolar. Poco interactivas en el IR termico.

I Moleculas triatomicas lineales (CO2, N2O) tienen tres modos vibracionales ycarecen momento dipolar permanente. Manifiestan dipolo inducido.

I Moleculas triatomicas no lineales (H2O, O3) tiene tres modos fundamentales devibracion y momento dipolar.

I Metano (CH4; tambien el amoniaco NH3) tiene simetrıa cuasi-esferica (tetraedro),cuatro modos vibracionales, sin momento dipolar permanente, pero sı inducido.


Moleculas - moleculas de la atmosfera

Dos paginas para la descripcion de moleculas:

1. Estructuras moleculares en webbook.nist.gov

2. Base de datos HITRAN. Con informacion espectroscopica. Requiere cuenta.

Molecula Dimension D Estructura

H2 (H-H)=0.74A.N2 (N≡N)=1.0976A. triple enlace N≡NO2 (O=O)=1.21A. doble covalenteO3 1.278A angulo 116.8.CO2 (C=O)=1.15A Ligaduras lineales O=C=O (tipo π)

H2O (H-O)=0.96A Angulo 104.5.

CH4 (H-C)=1.087A Angulo entre vertices 109.5.

NH3 (N-H)=1.02A Angulo 106.75.N2O (N≡N)=1.126A, (N=O)=1.186A N≡N-O ↔ N=N=O


Radiacion en la atmosfera terrestre

La radiacion en la atmosfera se distin-gue en dos componentes:

I radiacion solar en el visible(UV+IR), temperatura de color5780 K. Maximo en 0.5 µm, conemision entre 0.2 y 3.0 µm(ν = 3, 300→ 50, 000 cm−1).

I radiacion termica atmosferica,IR, de temperatura caracterıstica255 K. Maximo en 11 µm conemision entre 5.0 y 60 µm(ν = 150→ 2, 000 cm−1).


Radiacion solar - emision ultravioleta

Espectro del Sol en el ultra-violeta como se observa fue-ra de la atmosfera. Se mues-tran curvas de cuerpo negrocomo referencia. La radia-cion solar con λ <∼ 300 nmes absorbida en la atmosferaalta.


Radiacion solar - absorcion UV

Para un haz descendente con angulo de in-cidencia θ podemos escribir,

µ∂Iλ∂τλ

= Iλ ⇒ Iλ(z , µ) = I()λ e−τλ(z)/µ .

con µ = cos θ y la intensidad de la radiacion

solar fuera de la atmosfera dada por I()λ . A

una altura z el espesor optico debido a unamolecula de coeficiente de opacidad κλ yabundancia relativa r es

τλ(z) =

∫ ∞z

rρ(z)κλ dz ' τλ(0) e−z/H ,

aproximando la atmosfera como isotermicay para r constante.


Radiacion solar - absorcion en la atmosfera

El maximo deposito de energıaradiativa se da cuando ∂Iλ/∂zes maximo ⇒ τλ/µ = 1.


Radiacion atmosferica


Radiacion solar - absorcion UV


Radiacion solar - absorcion y dispesion

I La absorcion del UV ocurre a partir de las capas mas altas, incluso arriba de lamesosfera.

I Nitrogeno molecular con un papel menor: UV entre 0.145 y 0.112 µm.

I Oxıgeno molecular absorbe radiacion UV con λ entre 0.20 y 0.26 µm; relevantepara formar ozono.

I Ozono: capa influenciada por la quımica de la estratosfera. Disociacion de O3 porradiacion UV con λ < 0.31µm; calentamiento atmosferico importante.

I Absorcion de luz solar en el rojo e infrarrojo mayormente por H2O en la troposfera.

I La dispersion es importante en el visible, principalmente violeta y azul. Sedistinguen las dispersiones de Rayleigh y de Mie, mediante el parametrox = 2πr/λ.


Radiacion solar - absorcion + dispersion


Dispersion


Dispersion Rayleigh & Mie


Dispersion de Rayleigh

El calculo del coeficiente de dispersion por Rayleigh (1871) arroja,

αλ = nσλ =32π3

3n

1

λ4|N − 1|2 ,

con n la densidad numerica del aire (m−3), N ' 1 + 2.78× 10−4 el ındice de refracciondel aire.

Color λ `λ e−smin/`λ e−smax/`λ

Rojo 650 nm 188 km 0.96 0.21Verde 520 nm 77 km 0.90 0.024Azul 410 nm 30 km 0.76 6.5× 10−5

Cuadro: Dispersion de luz solar a tres longitudes de onda. La atenuacion mınima corresponde alcenit; la maxima al amanecer y anochecer. De “Classical electrodynamics”, Jackson.


Dispersion de Rayleigh

Radiacion solar fuera de laatmosfera (A), y al cenit desdeel nivel del mar (B). Las lıneasdiscontinuas representan el es-pectro estimado al cenit (supe-rior) y al amanecer/anochecer(inferior) considerando unica-mente dispersion de Rayleigh(sin absorcion). Fig. 10.4 Jack-son.


Problemas

I Calcular la temperatura de la fotosfera del Sol si F = 1368 W/m2,d = 1.5× 1011 m, y R = 7.0× 108 m.

I El calculo de la temperatura en la Tierra si el albedo terrestre es A = 0.3.

I ¿Cuanta energıa recibe el cuerpo humano en radiacion IR atmosferica?

I ¿Cuanta energıa emite el cuerpo humano en radiacion IR?

I Demostrar que para una atmosfera isotermica ∂Iλ/∂z es maximo en τ/µ = 1.


Radiacion termica en la atmosfera

I La emision termica de laatmosfera ocurre en el infrarrojointermedio, alrededor deλ >∼ 10µm⇔ ν <∼ 1000 cm−1.

I El proceso consiste en laabsorcion de radiacion visible(solar) e infrarroja, y re-emisionen el infrarrojo por moleculasatmosfericas, en particular H2O,CO2, O3 y CH4


Opacidades infrarrojo - nitrogeno y oxıgeno

Radiacion termica: 150 <∼ ν <∼ 2000 cm−1. Radiacion solar: ν >∼ 3300 cm−1.


Opacidades infrarrojo - agua



Opacidades infrarrojo - dioxido de carbono



Opacidades infrarrojo - ozono y oxido nitroso



Opacidades infrarrojo - metano



Radiacion en la atmosfera - transferencia de radiacion termica

I Se resuelve de forma numerica (lınea por lınea) o metodos aproximados laecuacion de transferencia para radiacion termica, sin dispersion, en una atmosferaplano-paralela

µ∂Iλ∂τλ

= Iλ(τλ, µ)− Bλ[T (τλ)] , (33)

con µ = cos θ, y

τλ(z) =

∫ ∞z

ρ(z)κλ r dz .

teniendo ρ(z) comportamiento exponencial en z .I El resultado puede expresarse en terminos de Fλ el flujo radiativo monocromatico

(9) y la distribucion de Planck,

d2Fλdτ2

λ

= 3Fλ − 4πdBλdτλ

. (34)

Al integrarse sobre λ se obtiene el flujo neto de energıa en diferentes niveles.


Radiacion en la atmosfera - equilibrio radiativo en atmosfera gris

Un modelo ilustrativo es el equilibrio radiativo en una atmosfera gris (Emden 1913):I no se considera el transporte de calor por otros procesos, como conduccion,

conveccion y calor latente.I Equilibrio radiativo monocromatico ⇒ dFλ/dτλ = 0, de donde (??) implica,

3Fλ = 4πdBλdτλ

. (35)

I En el caso de una atmosfera gris el espesor optico no depende de λ, es decirτλ = τ , y se tiene una solucion lineal Bλ(τ).

I Definiendo condiciones a la frontera en τ = 0, la parte superior de la atmosfera, seobtiene, se obtiene

T 4(τ) = T 4(0)

(1 +

3τ

2

).

En general se tiene una discontinuidad, Tg 6= T (τg ), con τg , la profundidadoptica de la atmosfera.


Radiacion en la atmosfera - equilibrio radiativo en atmosfera gris


Atmosfera gris: tres casos


Atmosfera gris en equilibrio radiativo

I Al aumentar τg aumenta el gradiente de temperatura y disminuye ladiscontinuidad en el suelo.

I Un ajuste a lo observado puede ser:

T (0) = 200 K, T (τg ) = 250 K ⇒ Tg = 272.4 K.

I Los perfiles de temperatura son adecuados.

I las discontinuidades a nivel del suelo son muy altas, y los gradientes por encimade 6.5 K/km.

I Modelo simplista: (1) se considera una atmosfera gris; (2) no se toma en cuentael calentamiento por absorcion de radiacion solar de la capa estratosferica deozono; (3) no se consideran procesos dinamicos y termodinamicos.


Enfriamiento y calentamiento de capas atmosfericas

Se puede describir el calentamiento, en una capa atmosferica dada, a traves del flujoradiativo,

dh

dt= ρcp

dT

dt= −dF

dz,

con F = F+ − F− el flujo neto. Se debe considerar la contribucion de cada intervalode frecuencia, (

dT

dt

)ν

= − 1

ρcp

dFνdz

=2π

cp

∫ +1

−1κνr(Iν − Bν)dµ ,

que se aproxima definiendo un angulo medio, µ = 0.66.(dT

dt

)ν

= −2π

cp

∫ 1

0κνr Bν(z)eτν/µdµ = − π

cpκνr Bν(z)

eτν/µ

µ


Perfiles de enfriamiento - calentamiento


Radiacion monocromatica terrestre

Intensidad de radiacion mo-nocromatica terrestre, medi-da desde el espacio y compa-rada con espectros de cuerponegro de referencia.


Radiacion monocromatica terrestre

Figura: Temperatura de brillo de la radiacion monocromatica terrestre, ubicando regiones deabsorcion por moleculas atmosfericas.

Alberto Carraminana~ INAOE, Tonantzintla @ l nea, 3 de ...

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