EQUAZIONI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI:

Caso non omogeneo: 1. Risolvere prima e trovare il suo integrale generale 2. Pongo

dalla quale trovo

che devono soddisfare l’equazione

dalla quale ricavo . Vale lo stesso per Se allora devo porre

Se ho ad es. devo porre che dovrà soddisfare

l’equazione dalla quale ricaverò ad es.

, e ponendo ricaverò

3. L’integrale generale sarà ad esempio:

SISTEMI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI:

Autovettore Generalizzato: dove autovettore relativo a

Matrice Esponenziale: data la matrice A si definisce

Integrale Generale: ;

Casi particolari

Stabilità della soluzione nulla:

• Problema di Cauchy:

• Classificazione:

Coordinate polari: relazioni dinamiche

Cicli Limite:

Classificazione delle Traiettorie (orbite):

Punti Critici = Punti stazionarie (di equilibrio) ; Se l’unico punto critico è l’origine; Se il sistema ha un luogo di punti stazionari dato dalle soluzioni di ,

quindi c’è una retta di punti critici coincidente con l’autovettore relativo all’autovalore nullo.

Le traiettorie periodiche corrispondo ai livelli energetici che sono confinati nella buca di potenziale

Traiettorie: Le traiettorie non costanti si trovano facendo

che integrato da l’equazione delle

traiettorie:

Se Gli autovettori di un sistema sono le uniche traiettorie (orbite) rettilinee Se Le traiettorie (orbite) rettilinee sono infinite

Luogo dei punti:

Teorema: se sappiamo trovare la soluzione dell’equazione delle traiettorie

la soluzione generale dell’equazione delle traiettorie è un integrale primo.

Dimostrazione: sia una soluzione dell’equazione delle traiettorie

. In forma

implicita data da , derivo rispetto a x:

, uso

Conseguenza: le linee di livello di sono insieme di traiettorie. Osservazione: integrali primi = ”sistemi conservativi”, l’integrale primo si conserva lungo le traiettorie

Riferimento Canonico (esempio):

, corrispondenti alle rette

Il riferimento canonico è

corrispondente al sistema differenziale

la

cui soluzione è

Linearizzazione: Si costruisce la matrice Jacobiana del sistema

, si valuta nel punto critico e si

trovano gli autovalori e si studia la natura del punto critico: colle, nodi e fuoco hanno il medesimo comportamento nel sistema non linearizzato, mentre la perturbazione di un centro o di una stella sono più delicati. Sistemi Hamiltoniani e Integrali Primi:

Se

allora il sistema è hamiltoniano, posso calcolare l’intergale (linee di livello) come:

ed ha significato fisico di energia meccanica

Viceversa dovrò integrare come

Teorema: se un sistema è hamiltoniano, H è un integrale primo. Dimostrazione:

Funzione di Liapunov: V è una funzione di liapunov per il sistema autonomo

nell’intorno A

dell’origine se: 1.

2.

Teorema: L’esistenza di una funzione di Liapunov garantisce che l’origine, punto d’equilibrio, sia stabile. Se

inoltre:

allora l’origine è asintoticamente stabile.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL I ORDINE

Equazione di Bernoulli:

Equazioni omogenee: : pongo

Teorema di asintotica stabilità: siano g una funzione di classe (in modo che valga il teorema di esistenza e unicità locale per i problemi di Cauchy) e g è positivo in un intorno sinistro di e negativa in un suo intorno destro. (alternativamente, ). Allora è un punto di equilibrio asintoticamente stabile.

Th. Esistenza di Peano: se f è continua in un aperto di e , allora esiste almeno una soluzione del P.C.

Th. Esistenza e unicità locale: se e sono continue in un aperto , allora esiste un intorno t.c. il P.C. ha una soluzione definita in .

Th. Prolungabilità : data un’equazione: , soddisfacente l’ipotesi del Th. di esistenza e unicità locale in una striscia . Se inoltre , , allora la soluzione al P.C. assegnato in può essere prolungata su tutto [a,b]

Punto di equilibrio: data l’equazione differenziale del I ordine autonoma si chiama punto di equilibrio un punto t.c. . Al punto di equilibrio corrisponde la soluzione costante . [Se si parte da si rimane sempre in ].

Punto di equilibrio stabile: se esiste un t.c. se , la soluzione esiste e , [una soluzione che parte abbastanza vicino a si mantiene sempre abbastanza vicina].

Punto di equilibrio asintoticamente stabile: se è stabile e inoltre per [una soluzione che parte abbastanza vicina a non solo ci si mantiene sempre abbastanza vicina ma converge a ].

Punto di equilibrio instabile: se non è stabile. [esistono soluzioni che partono vicino quanto si vuole a ma che non si mantengono sempre vicino a ].

Criterio di stabilità asintotica per equazioni autonome a tempo continuo: se , e

, allora è

è

Dimostrazione: , per ipotesi allora esiste un intorno di ,

in cui f’ è negativa,

per continuità di f’, scelgo t.c. . Denoto con

la soluzione che parte da . Voglio mostrare che ossia

. Calcoliamo la derivata prima usando il th. di Lagrange:

, siccome b dipende da t, anche dipende

dal tempo: , in quest’intervallo

w è

t.c.

EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE DEL I ORDINE

Equazioni lineari omogenee: soluzione generale: , Equazioni lineari non omogenee:

se soluzione generale:

, soluzione che parte da :

se soluzione generale:

Punto di equilibrio: (sulla retta della fase corrisponde a una soluzione costante) deve soddisfare t.c.

Punto di equilibrio stabile: t.c. essendo la soluzione che parte da

Punto di equilibrio asintoticamente stabile: se è stabile; inoltre, t.c.

e è la soluzione che parte da

Punto di equilibrio instabile se non è stabile.

Criterio di stabilità per linearizzazione per eq. autonome a tempo discreto (t+1): se

e , allora:

Dimostrazione [caso asintotica stabilità]: per continuità (della derivata prima) in cui (f contrae ) . Conseguentemente . Uso il th. di Lagrange scegliendo a,b qualsiasi in : quindi f contrae . Sia e sia la soluzione con condizione iniziale . Voglio mostrare che

e dimostro che

con