AdS/CFTとOTO

大阪大学素粒子論研究室

西田充宏

OTO相関関数時間順序積になっていない相関関数

t1 > t2 > t3 > t4

時間順序

hO1(t1)O2(t2)O3(t3)O4(t4)i

hO1(t1)O3(t3)O2(t2)O4(t4)iOTO 相関関数

TO 相関関数

Q　なぜOTOが注目されているのか？

A　カオスと関係があるから

カオス初期条件に大きく依存する現象

例 Lorenz equations

dx

dt

= �(y � x)

dy

dt

= x(⇢� z)� y

dz

dt

= xy � �z

x(t) + �(t)

x(t)

||�(0)||

difference at t = 0 difference at t||�(t)|| ⇡ ||�(0)||e�Lt

リャプノフ指数 が正ならば 系はchaotic

�L

①OTO相関関数は 量子論のカオスの指標になる

OTO４点相関関数

at large t

hVW (t)VW (t)i� ⇠ f0 � f1e�Lt

なら 系はchaotic�L > 0

[Larkin, Ovchinnikov, 1969] [Kitaev, 2014][Maldacena, Shenker, Stanford, 2015]・・・

②SYKモデルの OTO相関関数は計算することができる

•　　個のマヨラナフェルミオンが相互作用している １次元量子力学モデル

N

H =X

1i,j,k,lNjijlk i j l k

•Large 、　limitで２点相関関数がべき関数になるN J

•リャプノフ指数が計算でき、�L = 2⇡/�

jijkl•結合定数　　はガウス分布に従う　　

[Kitaev, 2015][Sachdev, Ye, 1993] [Maldacena, Stanford, 2016]・・・

③ブラックホールで OTO相関関数が計算できる

'L(0) 'R(0)

特異点

ホライズン

相関関数 ブラックホール時空上の ２点間の距離AdS/CFT対応

リャプノフ指数 �L = 2⇡/�SYKモデルと

ブラックホールが関係？

[Shenker, Stanford, 2013] [Roberts, Stanford, 2014]

[Almheiri, Polchinski, 2014] [Engelsoy, Martens, Verlinde, 2016]

1. カオスとOTO

2.SYKモデルのOTO

3.ブラックホールとOTO

Outline

バタフライ効果初期条件の小さな差が

後に大きな差を生み出すこと

Title of Edward Lorenz’s talk in 1972 "Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?"

Lorenz butterfly

量子力学でのバタフライ効果

が時間発展のもとで指数的増加すること

交換子と初期値依存性の関係

[q(t), p] i~{q(t), p} = i~@q(t)

@q(0)

半古典極限

の初期値依存性q(t)

h·i� = Z�1tr[e��H ·]

�h[W (t), V (0)]2i�

QFTのための正則化

QM QFT正則化

y4 =1

Ze��H

交換子の１つを虚時間方向に 　　ずらす。

�tr⇥y2[W (t), V ]y2[W (t), V ]

⇤�h[W (t), V (0)]2i�

�/2

OTO相関関数とバタフライ効果

F (t) = tr[yV yW (t)yV yW (t)]OTO相関関数

� tr⇥y2[W (t), V ]y2[W (t), V ]

⇤

=tr[y2W (t)V y2VW (t)] + tr[y2VW (t)y2W (t)V ]

� F (t+ i�4)� F (t� i�

4)

�tr⇥y2[W (t), V ]y2[W (t), V ]

⇤

が指数的増加 が指数的増加

�F (t)

TO相関関数は 指数的増加をしないと仮定

例　2次元 Large CFTc

�h[W (t), V (0)]2i�

� � log c

�h[W (t), V (0)]2i�

t

1

ce

2⇡� t

の略図

リャプノフ指数�L = 2⇡/�

[Roberts, Stanford, 2014]

OTO相関関数のリャプノフ指数 �L

f0, f1 : 定数

OTO相関関数のリャプノフ指数は 時間発展のもとでの指数的増加 およびカオスの指標になる。

at large t

tr[yV yW (t)yV yW (t)] ⇠ f0 � f1e�Lt

1.カオスとOTO

2.SYKモデルのOTO

3.ブラックホールとOTO

Outline

SYKモデルH =

X

1i,j,k,lNjijlk i j l k

•　　個のマヨラナフェルミオンが相互作用している １次元量子力学モデル

N

jijkl•結合定数　　はガウス分布に従う　　

hjijkli = 0 hj2ijkli =J2

N3

[Kitaev, 2015][Sachdev, Ye, 1993]

ガウス分布jijkl結合定数　　　は偶数個存在しなければいけない　　

1 1

2

3

4

5

6 / j1234j1256j3456

1 1

2

3

4

/ j21234

Large limitNフェルミオンの数　　を大きくする N

hj2ijkli =J2

N3

1

3

1

2

3

/ N3/N3 = N0

2 4

3 2

5 / N5/N6 = N�1

考慮するダイアグラムの数が減る

Large limitJ相互作用　　を大きくする J

Schwinger-Dyson 方程式 （Large limit）

= +

N

exact propagator

free propagator

Large limitで無視できる（　　　に比例）J J�1/2

Large 、　limitで２点相関関数がべき関数になるN J

Schwinger-Dyson 方程式 （Large 、 limit）N J

= +0

h i(⌧) i(0)i = =b

|⌧ |1/2sgn(⌧)

exact propagator

　ゼロ温度 虚時間 ⌧

べき関数は臨界現象やCFTでよく出てくる分布

SYKモデルのOTOのリャプノフ指数h i(t) j(0) i(t) j(0)i

⇠ + + + · · ·/ e 2⇡� t

•SYKモデルのリャプノフ指数は �L = 2⇡/�

•無限個のダイアグラムの寄与

SYKモデルのまとめ

•　　個のマヨラナフェルミオンが相互作用している １次元量子力学モデル

N

H =X

1i,j,k,lNjijlk i j l k

•Large 、　limitで２点相関関数がべき関数になるN J

•リャプノフ指数が計算でき、�L = 2⇡/�

jijkl•結合定数　　はガウス分布に従う　　

1. カオスとOTO

2.SYKモデルのOTO

3.ブラックホールとOTO

Outline

AdS/CFT対応とは？

場の理論と重力理論の間の等価性[J. M. Maldacene, 1997]

共形対称性AdS時空の 対称性

SO(d+ 1, 1)d-次元 d+1-次元

CFTをAdS時空の観点から再解釈できる

OTO相関関数のAdSブラックホール時空 による幾何学的解釈

CFTの２点相関関数 は 　　　AdS時空での２点間の距離　　　と関係

h'(x)'(y)i

h'(x)'(y)i ⇠ e�md(x,y)

` : AdS radius ’s conformal dimension: '

d(x, y)

|0i AdS3CFTの真空

W (�tw)| ieternal black hole

+摂動

Thermo field double state

| i eternal black hole[J. M. Maldacena, 2001]

� = m`

OTO相関関数の AdSブラックホール時空による幾何的解釈

'L(0) 'R(0)

W (�tw)

eternal black hole with perturbationW (�tw)

OTO相関関数は 　と　　　の間の距離と関係'L(0) 'R(0)

[S. H. Shenker, D. Stanford, 2013]

特異点ホライズン

h |W †(�tw)'L(0)'R(0)W (�tw)| ih |W †W | i ⇠

1

1 + E8M e2⇡� tw

!2m`

| i = 1Z1/2

X

n

e��En/2|niL|niR| i : thermo field double state m : mass of in AdS side '` : AdS radius E : perturbation energy of WM : black hole’s mass � : inverse Hawking temperature

OTO相関関数のAdSブラックホール時空を用いた計算結果

[S. H. Shenker, D. Stanford, 2013]

h |W †(�tw)'L(0)'R(0)W (�tw)| ih |W †W | i ⇠

1

1 + E8M e2⇡� tw

!2m`

⇠ 1� Eml4M

e2⇡� tw

✓1 � E

8Me

2⇡� tw

◆

リャプノフ指数�L = 2⇡/�

CFT側の計算とAdS側の計算が一致

ブラックホールと量子論のカオスが関係？

2次元 Large CFTの計算と一致c[Roberts, Stanford, 2014]

•OTO相関関数は量子論のカオスの指標になる

•SYKモデルのOTO相関関数は 　計算することができる

•ブラックホールで 　OTO相関関数が計算できる

まとめ

�L = 2⇡/�

�L = 2⇡/�