ACTA LATINOAMERICANA DE · Carmen Evarista Matías Pérez, Lesly A.Mejía R. Educación virtual...

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA

Volumen 20

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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA. VOLUMEN 20 Editor: Cecilia Rita Crespo Crespo / Comité Latinoamericano de Matemática Educativa Editores Asociados: Patricia Lestón, Teresa Cristina Ochoviet, Carlos Oropeza Legorreta Diseño de portada: Patricia Sánchez Aguilar Derechos reservados. © Comité Latinoamericano de Matemática Educativa Se autoriza la reproducción total o parcial, previa cita a la fuente. ISBN 978970 - 9971 - 13 - 2

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Comité Latinoamericano de Matemática Educativa (CLAME)

www.clame.org.mx

Consejo Directivo (2004-2008)

Gustavo Martínez Sierra Presidente [email protected] Germán Beitía Secretario [email protected] Joaquín Padovani Tesorero [email protected] Juan Raúl Delgado Rubí Vocal Caribe [email protected] Edison de Faria Vocal Centroamérica [email protected] Gisela Montiel Espinosa Vocal Norteamérica [email protected] Cecilia Crespo Crespo Vocal Sudamérica [email protected]

Consejo Consultivo

Egbert Agard Ricardo Cantoral Fernando Cajas Guadalupe de Castillo Evarista Matías Rosa María Farfán Teresita Peralta

Comisión de admisión

Gabriela Buendía Eugenio Carlos Sandra Castillo

Comisión de Promoción Académica

Javier Lezama Yolanda Serres Leonora Díaz Moreno Mayra Castillo Uldarico Malaspina

Comité Internacional de Relme

Leonora Díaz Moreno Gustavo Bermúdez Olga Pérez González Hugo Parra

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http://www.clame.org.mx/

Comité Científico de Evaluación

Agard, Egbert Alanís, Juan Antonio Arcos, Ismael Ardila, Analida Ávila Godoy, Ramiro Bermúdez, Gustavo Beyer, Walter Blanco, Haydeé Blanco, Ramón Buendía Abalos, Gabriela Cabañas Sánchez, María Guadalupe Cadoche, Lilian Camacho, Alberto Campistrous, Luis Cantoral, Ricardo Carlos Rodríguez, Eugenio Carrasco, Eduardo Carrillo, Hugo Castañeda, Apolo Castillo, Sandra Cordero Osorio, Francisco Crespo Crespo, Cecilia Cribeiro Díaz, Josefina Cruz, Cipriano Dalcín, Mario De Faria, Edison Díaz Moreno, Leonora Dolores, Crisólogo Engler, Adriana Espinoza, Lorena Espinoza, Pedro Farfán, Rosa María Gaita Ipaguirre, Rosa Cecilia Garbin, Sabrina Grijalva, Agustín Gutiérrez Alvarez, Milagros Homilka, Liliana Ibarra Olmos, Silvia Lara Galo, Claudia

Lestón, Patricia Lezama, Javier Mántica, Ana María Marcolini Bernardi, Josefina Marta Martínez Sierra, Gustavo Mingüer Allec, Luz María Miranda Montoya, Eduardo Molfino, Verónica Molina, Juan Gabriel Montiel Espinsa, Gisela Muñoz, Germán Ochoviet, Teresa Cristina Ojeda Salazar, Ana María Oktaç, Asuman Olave, Mónica Oropeza Legorreta, Carlos Ortega del Rincón, Tomás Osorio Abrego, Héctor Parra, Hugo Pérez González, Olga Lidia Pérez, María del Carmen Piceno Rivera, Juan Carlos Ponteville, Christiane Reséndiz, Evelia Rizo Cabrera, Celia Rosas Mendoza, Alejandro Ruiz, Blanca Salat, Ramón Sánchez Aguilar, Mario Sardella, Oscar Scaglia, Sara Serres, Yolanda Sierra, Modesto Tejada de Castillo, Guadalupe Testa Rodríguez, Yacir Valero, Socorro Velázquez Bustamante, Santiago Zúñiga, Leopoldo

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Tabla de contenidos CATEGORÍA 1: Análisis del currículum y propuestas para la enseñanza de las matemáticas Conflictos cognitivos que emergen en la resolución de problemas relativos al límite

Noé Miranda Valle, Catalina Navarro Sandoval, Elika Sugey Maldonado Mejía Dificultades en la interpretación geométrica de algunos conceptos en álgebra lineal

Carlos Oropeza L., Javier Lezama A. Las secuencias didácticas con enfoque constructivista: El caso de la función valor absoluto

María Guadalupe Ordaz Arjona Desarrollo de la dimensión emocional y cambio en el auto-concepto matemático a través de resolución de problemas

José Daniel Martínez González La enseñanza de la función cuadrática en el bachillerato. Resultados de un proyecto de desarrollo docente

Silvia Elena Ibarra Olmos; Lorena Fernández Sesma Resolución de problemas antiguos que involucran al Teorema de Pitágoras

Mario Dalcín, Mónica Olave Un informe sobre el significado personal logrado en el tema intervalos de confianza por alumnos de una facultad de ciencias veterinarias

Teresita E.Terán, Mercedes Anido de López Algunas inconsistencias en el sistema axiomático deductivo de los Elementos de Euclides y sus implicaciones en el aprendizaje de la geometría

Marco Antonio Morales Salmerón, Santiago Ramiro Velázquez Bustamante Visión absolutista del principio de identidad en el currículo escolar de matemáticas

Andrea L. López Pineda, Beatriz Moreno Carrillo Cuatro instrumentos de conocimiento que comparten un aire de familia: particular-general, representación, metáfora y contexto

Vicenç Font

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El conocimiento de los estilos de aprendizaje como estrategia para un aprendizaje autónomo

Ana María Craveri, María del Carmen Spengler

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La importancia de la visualización geométrica como estrategia de análisis Héctor E.Rubio Scola, Roberto López, Mercedes Anido 67

El uso de computadora y cañón para el desarrollo del entendimiento matemático de fracciones en 4° de primaria

Iliana Miriam López Jarquín, Simón Mochón Cohen La argumentación y enseñanza del teorema fundamental del cálculo en profesores de bachillerato

Juan Carlos Ponce Campuzano Una ingeniería didáctica como estrategia de diseño de unidades curriculares

Ileana Pluss Dificultades en el aprendizaje de matemática. Obstáculos y errores en el aprendizaje del concepto de dependencia e independencia lineal

Mónica Caserio, Martha Guzmán, Ana María Vozzi Análisis de los esquemas de traducción de enunciados del lenguaje natural al lenguaje de la lógica proposicional

Angelino Feliciano Morales, José Luis Ramírez Alcántara La centración en problemas de probabilidad basados en el razonamiento proporcional

Greivin Ramírez Arce, Esteban Ballestero Alfaro La lógica dialéctica y el cálculo diferencial

Rafael Jiménez Martínez La enseñanza de la modelación en clase de física y de matemáticas

Ruth Rodríguez Gallegos La modelación matemática en la solución de problemas con apoyo de ecuaciones diferenciales de primer orden

Jorge Ávila Arciniega, Emma Antonia Jáuregui Medina, Elena Nesterova El cambio de variable: ¿un proceso matemático o un artificio de la matemática?

Ramón Flores Hernández El aprendizaje del tema “transformada de Laplace de funciones definidas por intervalos” con apoyo del conocimiento previo sobre la función escalón unitario

Emma Antonia Jáuregui Medina, Jorge Ávila Arciniega, Elena Dmitrievna Nesterova

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Estrategia didáctica para flexibilizar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática en la universalización de la educación superior

Dámasa Martínez Martínez, Aida María Torres Alfonso, Andrés Tellería Rodríguez, Lázaro Dibut Toledo

Nociones matemáticas y desarrollo de procesos cognitivos de alumnos [6, 8] con percepción auditiva diferenciada

Ignacio Garnica Dovala, Hilda Eneyda González Ortiz Ecuaciones de segundo grado: su historia

Mario Dalcín, Mónica Olave Ecuaciones de primer grado: su historia

Mario Dalcín, Mónica Olave Grupo de estudos curriculares de educação matemática - GECEM

Carmen Teresa Kaiber; Claudia Lisete Oliveira Groenwald Investigando e renovando a prática escolar em matemática

Carmen Teresa Kaiber, Claudia Lisete Oliveira Groenwald La extrapolación en ingeniería en alimentos

María del Carmen Valderrama Bravo, Juan Alfonso Oaxaca Luna, Julio Moisés Sánchez Barrera, Carlos Rondero Guerrero

Medios y enseñanza de estocásticos en el tercer ciclo de educación primaria

María Patricia Flores Marroquín Lugares geométricos: ¿cuál es su rol en la enseñanza de la demostración en geometría?

Verónica Molfino, Greisy Winicki-Landman, Javier Lezama Andalón Construcción colegiada y aplicación de un examen criterial alineado con el currículo para evaluar a gran escala un curso de cálculo diferencial

José Alvaro Encinas Bringas, Ruth Rivera Castellón, Maximiliano De Las Fuentes Lara

La construcción de la recta tangente en puntos de inflexión: Un método alternativo en la articulación de saberes

Oleksandr Karelin, Carlos Rondero Guerrero, Anna Tarasenko Problemas en el desarrollo de habilidades lectomatemáticas

José Octavio Camelo Romero, Ricardo Ulloa Azpeitia Un estudio descriptivo de las interacciones en el aula. Elemento de análisis en la reprobación y rezago de cálculo

Estelita García, Eddie Aparicio

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Una caracterización de las clases de cálculo en el área de ciencias

Erika García, Eddie Aparicio El programa de la disciplina matemática para la carrera de ingeniería forestal en Cuba

María del Carmen Acuña Salcedo, Madelén Garófalo Novo, Ignacio Estévez Valdés, Domingo Pimienta Barquín

Solución de ecuaciones de grado superior mediante estrategias de aprendizaje basado en problemas y el uso de objetos de aprendizaje

Ricardo Ulloa Azpeitia, Ana Luisa Estrada Esquivel Tratamiento didáctico de las funciones reales de una variable: proceso de modelación

Elsa Caridad Ramírez García Desarrollo y formación de habilidades en la asignatura de estadística en contexto de universalización de la enseñanza

Raúl Báez Olazábal, Doris Prieto Valdés, Irma Gonzáles Jiménez, Raúl Báez Prieto

La resolución de problemas y el uso de técnicas estadísticas en el contexto de la carrera de ingeniería mecánica

Raúl Báez Olazábal, Doris Prieto Valdés, Raul Báez Prieto, Edry García Cisneros

La habilidad procesar datos. Consideraciones metodológicas para su desarrollo en el noveno grado de la secundaria básica

Ricardo Sánchez Casanova, Olga Lidia Pérez González, Fermín Hurtado Curbelo

¿Pueden los estudiantes usar la función como medio de expresión en el lenguaje matemático?

Ramón Blanco Sánchez, Alexia Nardín Anarela, Yosbel Morales Olivera Metodología para la impartición de tópicos de estadística y probabilidades en la enseñanza preuniversitaria en Cuba

Larisa Zamora Matamoros, Isabel Alonso Berenguer Ingeniería didáctica referida al concepto de fracción

Yaneth Ríos García La representación geométrica desde la perspectiva de la tranferencias de registros

María Lourdes Rodríguez González, Louremy Ricardo Rodríguez, Cila Mola Reyes

Un modelo matematico del contenido de planes de estudio universitarios

José Manuel Ruiz Socarras, Gaspar Barreto Argilagos, Ramón Blanco Sánchez

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Resolución de problemas con utilización de conocimientos del mundo real

Marger da Conceição Ventura Viana, Marcos Paulo Freitas Gomes Realidades e desafios da educação matemática para os ticunas da comunidade do Umariaçu – Tabatinga/Amazonas

Lucélida de Fátima Maia da Costa, José Camilo Ramos de Souza Comprensión de las ideas de covariancia, correlación y regresión en estudiantes de nivel superior

Ignacio Delgado Escobar; Ana María Ojeda Salazar Utilizando la estadística como herramienta para el análisis de la situación sociocultural, y laboral de alumnos pertenecientes al nivel polimodal de escuelas técnicas, de la provincia de tucumán y de sus respectivas familias

Mario Avila, Ana Ibañez, Hilda Motok, Juan Carlos Pérez, Graciela Abraham, Mabel Rodriguez Anido, Norma Campos, Marta Ronveaux, Carolina García

Acciones para el desarrollo de las habilidades para el aprendizaje en estadística una propuesta en la carrera de bibliotecología y ciencias de la información

Doris Prieto Valdés, Raúl. Báez Olazábal, Dominica Legañoa Ferrá, Irma Gonzáles Jiménez, Raúl Báez Prieto

Matemática con literatura

Irene Zapico, Silvia Tajeyan CATEGORÍA 2: El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación profesional La RELME a sus veinte años

Ricardo Cantoral Principales tendencias que se revelan en los trabajos presentados en las RELME

Luis Campistrous Profesores de matemáticas y sus concepciones: el caso de los parámetros de la parábola

Mario Sánchez Aguilar Formación de profesores. diversas concepciones que afectan el quehacer docente y competencias iniciales de profesores del nivel medio superior

Rosa María Farfán Márquez, Leticia Sosa Guerrero

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El cálculo escolar universitario. un estudio de su problemática en una facultad de ciencias

Eddie Aparicio La motivación y el uso de estrategias de aprendizaje en estudiantes universitarios

Liliana Milevicich, Alejandro Lois Los sistemas de representación de Z en futuros profesores de matemática

Parra S. Hugo Los docentes como evaluadores de una instancia de evaluación docente

Mercedes Anido, Héctor E. Rubio Scola La noción de configuración epistémica como herramienta de análisis de textos matemáticos: su uso en la formación de profesores

Vicenç Font, Juan D. Godino Las matemáticas básicas: una experiencia en la Universidad Autónoma de Tamaulipas

Evelia Reséndiz Balderas, Ramón Llanos Portales, Jorge Loredo Osti, Griselda Hdz. C.

Las explicaciones de los profesores del nivel medio superior. un estudio de la semejanza como objeto de enseñanza aprendizaje

Hermes Nolasco Hesiquio, Santiago R. Velázquez Bustamante Coherencias cognitivas vs matemáticas en el estudio del cambio

Leonora Díaz Moreno Los métodos en la enseñanza de la matemática. una experiencia en el contexto histórico-cultural de los alumnos de la carrera de educación básica y de educación media

Carmen Evarista Matías Pérez, Lesly A.Mejía R. Educación virtual usando tecnología de redes para la formación a distancia, de profesores de matemáticas

Gamboa Hinojosa Jesús, Ávila Godoy Ramiro Una investigación sobre competencias docentes

Mercedes Anido de López, Martha Elena Guzmán

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CATEGORÍA 3: Consideración de aspectos socioepistemológicos en el análisis y el rediseño del discurso matemático escolar Intuición y visualización: demostración en la convergencia de sucesiones

Nancy Janeth Calvillo Guevara, Ricardo Arnoldo Cantoral Uriza Lo periódico en la relación de una función y sus derivadas

Angeles Alejandra Ordóñez Morales, Gabriela Buendía Abalos Estudio de lo periódico en diferentes contextos: identificación y uso de la unidad de análisis

Rosa Isela Vázquez Camacho, Gabriela Buendía Abalos Uso de las ideas matemáticas y científicas de los incas, en la enseñanza - aprendizaje de la geometría

Enrique Huapaya Gómez, César E. Salas Valverde ¿Cómo en el ejercicio de la práctica de modelación de un sistema de resortes se construyen modelos multilineales?

María Esther Magali Mendez Guevara, Jaime L. Arrieta Vera Gráfica de la función logaritmo: una discusión entre los acercamientos escolares tradicionales y la construcción geométrica de Agnesi (1748)

Renata Ivonne López Sánchez, Marcela Ferrari Escolá La algoritmia; una práctica social de las comunidades de ingenieros en sistemas computacionales

Magdalena Rivera Abrajan, Jaime Arrieta Vera La noción de variable. Un estado del arte

Enrique Javier Gómez Otero, Crisólogo Dolores Flores Clasificación de la matematización de la economía desde un punto de vista socioepistemológico

Saúl Ezequiel Ramos Cancino y Germán Muñoz Ortega Las prácticas de modelación de los estudiantes ante la problemática de la contaminación del Río de la Sabana

Arrieta Jaime, Carbajal Héctor, Díaz Josué, Galicia Adriana, Landa Lorena, Mancilla Víctor, Ricardo Medina, Ernesto Miranda

Usos de las gráficas y sus repercusiones en el aprendizaje de la matemática

Crisólogo Dolores Flores Formas básicas de graficación y su relación con situaciones de movimiento

Claudia Flores Estrada

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La medición de la absorción de luz de soluciones químicas, una práctica social de ingenieros bioquímicos

Galicia Adriana, Arrieta Jaime, Landa Lorena Una red de modelos y la construcción de los logaritmos

Marcela Ferrari Escola, Rosa Maria Farfán Márquez Sobre la vida escolar de la raíz cuadrada en el nivel básico

Domingo de Guzmán Lorenzo Rosario, Maria Patricia Colín Uribe La emergencia de los logaritmos como herramienta para facilitar cálculos

Marisol Hernández Sánchez, Marcela Ferrari Escolá El uso de las gráficas en la confrontación entre la continuidad euleriana y la estabilidad de las ecuaciones diferenciales de segundo orden

Fidel Morales Couoh; Francisco Cordero Osorio Categorías de uso de las gráficas en ingeniería

Alba Gabriela Lara Medina, Francisco Cordero Osorio El uso de las gráficas en la mecánica de fluidos. El caso de la derivada

Teresa Guadalupe Parra Fuentes, Francisco Cordero Osorio La construcción social de saberes matemáticos. El caso del tratamiento de la información

Santiago Ramiro Velázquez Un estudio sobre la construcción social de la noción de promedio en un contexto probabilística

Allan Takeshi De la Cruz Oliva El reconocimiento de argumentaciones por reducción al absurdo en escenarios académicos y no académicos

Cecilia Crespo Crespo Demostraciones matemáticas: un recorrido a través de la historia desde una visión socioepistemológica

Cecilia Crespo Crespo Aspectos numéricos y gráficos de la derivada de orden superior

Ricardo Cantoral Uriza, Mario Sánchez Aguilar, Juan Gabriel Molina Zavaleta

Entorno sociocultural y cultura matemática en profesores del nivel superior de educación. Estudio de caso en el Instituto Tecnológico de Oaxaca. Una aproximación socioepistemológica. Resultados

Luz María Minguer Allec, Javier Lezama Andalón

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La modelación matemática en el contexto de ingeniería civil a través de la interpolación y la predicción

Hipólito Hernández Pérez, Germán Muñoz Ortega, Gabriela Buendía Abalos Sobre la construcción escolar de la función trigonométrica: la transición

realesradianesgrados →→Claudia Leticia Méndez Bello, Gustavo Martínez Sierra, Elika Sugey Maldonado Mejía

Análisis socioepistemológico de los procesos de matematización de la predicción en la administración industrial

Eduardo Ortiz Hernández, Germán Muñoz Ortega La didáctica y la cognición de los ángulos negativos y mayores a 360º y sus funciones trigonométricas: un estudio en el nivel medio superior

Jorge Martínez Tecolapa, Gustavo Martínez Sierra Proporcionalidad y anticipación, un nuevo enfoque para la didáctica de la trigonometría

Gisela Montiel Espinosa Las series numéricas infinitas en la india en los siglos VI al XVI

Alejandro Miguel Rosas Mendoza Los procesos de convención matemática y la inclusión de las funciones trigonométricas en el marco del análisis euleriano

Gustavo Martínez Sierra CATEGORÍA 4: Uso de la tecnología en el proceso de aprendizaje de las matemáticas Retos y desafíos ante las puertas de la tecnología

Juana Acosta Ganém El juego utilizando calculadora graficadora como medio para la enseñanza de las ecuaciones paramétricas

Ruth Rivera Castellón, Maximiliano De Las Fuentes Lara, José Alvaro Encinas Bringas

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617

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Propuesta de una estrategia para la enseñanza de tópicos de computación a estudiantes de licenciatura en matemática

Jorge Rey Díaz Silvera, Larisa Zamora Matamoros Campo de dirección. Método de las isoclinas, en la solución de ecuaciones diferenciales de primer orden

Pedro Castañeda Porras, Arelys Quintero Silverio, Aura Matilde Moreno Fierro

Experiencia en el uso del asistente matemático derive, en la solución de problemas físicos y/o geométricos

Pedro Castañeda Porras, Arelys Quintero Silverio, Pablo R. Chávez Hernández El ordenador como recurso didáctico en la resolución de problemas

Liliana Milevicich, Alejandro Lois UNIVERSIMAT, entorno para la comprensión de la matemática en el proceso de universalización de la educación superior

Andrés Tellería Rodríguez, Dámasa Martínez Martínez, Aida María Torres Alfonso, Angel Aljadis Díaz Peña, Yuniesky Carralero Cuellar

Entornos virtuales para el logro de comprensión de objetos matemáticos

Aída María Torres Alfonso, Dámasa Martínez Martínez, Andrés Tellería Rodríguez

Estrategias para el aprendizaje significativo en matemática

Liliana Milevicich, Alejandro Lois Objetos para aprendizaje que integran un ambiente virtual

Rafael Pantoja Rangel, Ricardo Ulloa Azpeitia Diseño de un curso en línea de ecuaciones diferenciales y su efecto sobre el aprendizaje de los estudiantes

Edgar Gilberto Añorve Solano, Elena Dmitrievna Nesterova El laboratorio de computación para la enseñanza de la matemática. Una forma constructiva para el aprendizaje

Rafael Jiménez M, Rosa Vázquez C, Milagros Gutiérrez Á. Visualizando conceptos de la geometría moderna con el apoyo del software Cabrí

María del Pilar Rosado Ocaña La enseñanza de la probabilidad y estadística usando Statgraphics

José Guadalupe Torres Morales, Rosario del Pilar Gibert Delgado Funciones con Derive... A distancia: categorización y análisis de errores matemáticos

Mercedes Anido, Susana Marchisio, Patricia Có, Sandra Mansilla, Marisa

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xiv

Piraíno, Mónica del Sastre, Ana Sadagorsky, Graciela Paván, Erica Panella Una propuesta generadora de aprendizaje autónomo

Mabel Medina, Héctor Rubio Scola, H. Mercedes Anido La comprensión del concepto de variable a través del trabajo con la hoja electrónica de cálculo

Alejandro Olea Díaz Impacto del uso de calculadoras avanzadas en la formación estadística de estudiantes de ingeniería

Enrique Hugues Galindo, Maricela Armenta Castro, Gerardo Gutiérrez Flores, Manuel Alfredo Urrea Bernal

Interpolación y modelado de curvas

Edison De Faria Campos Dos enfoques para medir la relación entre actitudes hacia las matemáticas y aprovechamiento matemático: La experiencia mexicana con EMAT

José Gabriel Sánchez, Sonia Ursini Pensamiento algorítmico, tecnología y aprendizaje de la matemática numérica

Eugenio Carlos Rodríguez Diseño de software para la enseñanza del conteo en educación preescolar

Patricia Martínez, Marina Kriscautzky Las prácticas de modelación virtual

César López Godoy, Marisol Juárez Calderón, Jaime L. Arrieta Vera El uso de la calculadora graficadora en la preparación matemática de los estudiantes para el ingreso a la universidad

Esther Ansola Hazday, Eugenio Carlos Rodríguez, Pablo Gómez Fuentes, Nelson Hernández Reyes

Sistema de enseñanza/aprendizaje inteligente para grafos

Natalia Martínez Sánchez, Gheisa Ferreira Lorenzo, Zoila Zenaida García Valdivia, Maikel León Espinosa

Una didáctica para el tratamiento de las situaciones de aprendizaje de la geometría con un enfoque dinámico en la escuela

Celia Rizo Cabrera, Luis Campistrous Pérez Algunas consideraciones sobre los problemas matemáticos aplicados a las asignaturas modelación mecánica y física

Alexia Nardín Anarela, Nereida Pupo Cintras, Máximo Montes de Oca Paredes

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700

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Presentación El Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (Alme), es publicada anualmente por el Comité Latinoamericano de Matemática Educativa (Clame), en cumplimiento de sus propósitos de posibilitar el intercambio y difusión entre colegas del área de la matemática educativa con la finalidad de orientar acciones en beneficio de los sistemas escolares de América Latina. El Alme tiene carácter de publicación periódica y si bien los artículos que la integran provienen de trabajos que fueron previamente expuestos en la Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa (Relme), son presentados en forma de artículos y sometidos posteriormente a dicha reunión, a la evaluación rigurosa de pares especialistas en dicho campo. Esta publicación se compone de trabajos en los que docentes e investigadores latinoamericanos de matemática educativa exponen sus experiencias, propuestas e investigaciones, mostrando los productos de una comunidad activa de creciente profesionalización y fortalecimiento de esta disciplina. De esta manera, se trata de una tarea que se plantea año tras año el objetivo de lograr difundir mediante una publicación de nivel académico, el estado del arte en materia de docencia e investigación en el campo de la matemática educativa en Latinoamérica. En este caso, las exposiciones tuvieron lugar durante Relme 20, llevada a cabo en Camagüey (Cuba) durante 2006. El Comité Editor y Comisión Académica del Alme 20 estuvo formado por colegas de distintos países latinoamericanos que colaboraron en dicha edición. Los trabajos han sido organizados según cuatro categorías:

Categoría 1: Análisis del Currículum y Propuestas para la Enseñanza de las Matemáticas.

Categoría 2: El Pensamiento del Profesor, sus Prácticas y Elementos para su Formación.

Categoría 3: Consideración de Aspectos Socioepistemológicos en el Análisis y Rediseño del Discurso Matemático Escolar.

Categoría 4: Uso de la Tecnología en el Proceso de Aprendizaje de las Matemáticas.

xvii

Los miembros del Comité Editor y Comisión Académica del Alme 20, agradecemos a todos los profesores e investigadores que enviaron sus artículos. Pusimos nuestra mayor atención en la constitución de este documento y nos sentimos orgullosos de haber podido participar en él prestando este servicio académico. Agradecemos a los árbitros por su contribución solidaria y profesional, como asimismo y de manera especial a todos los colegas que de manera generosa y entusiasta nos regalaron su tiempo, inteligencia y creatividad para la realización de este proyecto.

Comisión Académica del Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 2007.

Mayo 2007

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CATEGORÍA 1: Análisis del currículum y propuestas para la enseñanza de las matemáticas

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol. 20

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Análisis del currículum y propuestas para la enseñanza de las matemáticas

3

CONFLICTOS COGNITIVOS QUE EMERGEN EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS RELATIVOS AL LÍMITE

Noé Miranda Valle, Catalina Navarro Sandoval y Elika Sugey Maldonado Mejía Unidad Académica de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Guerrero. (México)

[email protected], [email protected], [email protected] Campos de investigación: resolución de problemas. Nivel educativo: superior

Palabras clave: conflictos cognitivos, problemas, límite Resumen En la presente investigación, se muestran algunos resultados sobre conflictos cognitivos que emergen en la resolución de problemas que involucran la noción de límite. Con la intención de detectar qué conflictos cognitivos emergen en el proceso o intento de resolución de dos problemas en particular; uno de ellos es una paradoja, éste en el sentido de Northrop (2002); y el otro, un problema que involucra el concepto de límite. La aplicación de los problemas se desarrolló con estudiantes de nivel superior de la Universidad Autónoma de Guerrero. Antecedentes Dentro de los antecedentes se cuenta con la propuesta de Flores (2004) que sugiere emplear paradojas para provocar conflictos cognitivos en profesores de matemáticas en formación, quienes deben compartir una visión epistemológica constructivista de la matemática, y para lo cual se debe romper con la visión unidimensional de la misma a partir del paradigma de la reflexión en la acción. Una investigación fue realizada por Movshovitz y Hadass (1990), quienes consideran que para la formación de los profesores-estudiantes se deben integrar contenidos de matemáticas, psicología y pedagogía, para ello plantearon una paradoja relacionada con la demostración de la irracionalidad del número 2, observando que la actitud predominante fue de desesperación y angustia por detectar o no el error. Otra investigación es la de Ramírez (2004) que da a conocer las distintas reacciones que provocaron algunas paradojas planteadas a profesores de matemáticas y física, sobresaliendo su reacción reflexiva en la que expresaron su deseo de mayor análisis para la resolución, creyendo que estaban mal planteadas o que había algún error en ellas. La investigación que combina el concepto de límite y paradoja es la de Sacristán (2003), en la que se trabajó procesos infinitos en un ambiente de exploración computacional con el fin de ayudar a los estudiantes a experimentar diversos contextos y construir diversas representaciones externas del concepto e interactuar con ellas. Particularmente, exploró algunas sucesiones y series infinitas mediante figuras geométricas recursivas, específicamente, la Curva de Koch que condujo a los estudiantes a una paradoja: El perímetro infinito está formado por segmentos de longitud cero, al decir: la longitud de cada segmento era dada por la fórmula

n3

1 , un valor que se aproxima a cero a medida que n crece. Otra

investigación que se consideró es la de Hitt (2003) que muestra los obstáculos de aprendizaje del límite y continuidad de funciones, que en el caso del límite se menciona que los obstáculos están en la palabra “límite” y “tiende hacia”, destacando que “el límite de la función no es alcanzado”. Por lo anterior, se plantea como problema de investigación qué conflictos cognitivos emergen en el proceso o intento de resolución de dos problemas relativos al concepto de límite.

mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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Conflictos cognitivos La historia muestra que las paradojas del infinito promovieron reflexiones profundas en relación a los conceptos matemáticos, que llevaron a conclusiones más satisfactorias, a definiciones más precisas y rigurosas, resolviendo el problema causado por el infinito potencial y el infinito actual. Sin embargo, la matemática escolar sigue enfrentando diferentes dificultades entre la intuición y lo formal, como ejemplo se muestra la siguiente afirmación: “Una función constante kxf =)( no tiene límite”. ¿Por qué? Porque “no satisface” la siguiente definición: Sea a un número real contenido en un intervalo abierto y sea f una función definida en todo el intervalo (cerrado), excepto posiblemente en a , y sea L un número real. Entonces Llím f(x)

ax=

→ significa que )(xf puede acercarse arbitrariamente a L

si x se elige suficientemente cercano a a (pero ax ≠ ). Ya que si se aplica la definición se observa que hay “un absurdo” o una imposibilidad para responder la pregunta: ¿a qué valor L puede acercarse una función constante si x se elige lo suficientemente cercano a a ? “Contradicciones” como esta inciden en la falta de una explicación satisfactoria e intuitiva, lo cual constituye un conflicto cognitivo, hecho que fue obtenido o corroborado con tres estudiantes en una experiencia de clase. Las respuestas emitidas constituyeron un factor más para proseguir la búsqueda de otros conflictos cognitivos. Entendiendo que un conflicto cognitivo es un estado de desequilibrio que surge cuando una concepción que tiene un individuo entre en conflicto con alguna otra concepción que lleva el mismo individuo, o bien con el ambiente externo, según Aguilar y Oktac (2004); es decir, un conflicto cognitivo es un estado de desequilibrio psíquico de un sujeto, un estado de contradicciones existentes entre las imágenes del concepto propias del estudiante y el concepto en sí (el concepto científico). Un conflicto cognitivo es creado en forma consciente por el docente y no necesariamente es provocado por la cuestión epistemológica del concepto. Para resolver un conflicto cognitivo es necesario tomar consciencia de su existencia, es decir, interiorizar la situación conflictiva, que demanda una modificación de los esquemas mentales y cambio de las imágenes del concepto. Mientras no ocurra esa interiorización o toma de conciencia de la existencia del conflicto no se hará algo por parte del sujeto para superarlo y por tanto, no se produce la equilibración y el aprendizaje. Sin embargo, Duit y Treagust (1998) señalan que los conflictos cognitivos no necesariamente producen cambios conceptuales o desarrollo cognitivo, pues existen ciertos factores o causas que inhiben ese cambio o desarrollo, entre ellos son:

a) Los estudiantes son, frecuentemente, incapaces de comprender la nueva teoría porque sus concepciones previas proporcionan una interpretación esquemática; b) Las nuevas concepciones no resultan inteligibles y plausibles para los estudiantes; c) Los estudiantes son incapaces de comprender los nuevos puntos de vista porque no poseen suficientes ‘conocimientos previos’; d) Sin una cierta cantidad de conocimientos previos, los argumentos a favor de las nuevas concepciones no pueden ser comprendidas; e) Los estudiantes comprenden una nueva teoría, pero no creen en ella.

Finalmente, los conflictos cognitivos se clasifican (por Duit y Treagust) en tres clases primarias:

1) Conflictos entre predicciones de los estudiantes y el resultado del experimento; 2) Conflictos entre las ideas de los estudiantes y las de los profesores; 3) conflictos entre las ideas de los estudiantes.


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Descripción de los problemas Previo al desarrollo de la investigación se realizó un estudio del concepto de límite, para tener mayor conocimiento sobre el tema, en tres aspectos: epistemológico, didáctico y cognitivo. En el aspecto epistemológico se encontró, entre otros, que Zenón de Elea (495-435 a. C.) con sus paradojas evocó el concepto de límite; D’Alembert (1717-1783) llamaba a una cantidad el límite de una segunda cantidad variable, si la segunda puede aproximarse a la primera hasta diferir de ella en menos que cualquier cantidad dada (sin dejar nunca a coincidir con ella) (Boyer, 2001). Weierstrass (1815-1897), fue quien formalizó el concepto mediante la definición conocida actualmente como épsilon-delta, δε − . Dentro de este aspecto Cornú (1991) señala los obstáculos epistemológicos siguientes: El fracaso de la unión entre geometría y aritmética, tal como ocurre en el caso del cálculo del área del círculo; la noción de lo infinitamente grande e infinitamente pequeño; el aspecto metafísico de la noción de límite; y ¿el límite es alcanzado o no? Dentro del aspecto didáctico se encontró que el concepto, presenta dificultades u obstáculos debido a su naturaleza, al currículo y a los métodos de enseñanza del profesor (D’ Amore, 2005). En la revisión de planes y programas de estudio del nivel medio superior de esta universidad, se encontró que para las preparatorias se tiene el libro de texto: Matemáticas V (Calculo Diferencial), donde se expone una de las paradojas de Zenón (Fernández, 2005; Hitt, 2003); mientras que en la licenciatura no se expone ninguna para formar el concepto de límite y su definición, sino solamente en el tratamiento de las series infinitas de dos textos bibliográficos. En el aspecto cognitivo Sierpinska (1985, citado en Cantoral, et al, 2000) presenta obstáculos de aprendizaje, tales como: la persona rehúsa admitir que el paso al límite es una operación matemática, la dificultad de eliminar el problema del infinito al tomar tantos términos como sean necesarios, se fija más la atención en funciones monótonas, y se usa más el lenguaje natural que símbolos usuales en el paso al límite. Como resultado del anterior análisis se eligieron dos problemas con características geométricas que involucran el concepto de límite mediante procesos infinitos y la situación límite. Los estudiantes que participaron en esta investigación son de nivel superior de esta Unidad Académica, mismos que ya habían cursado Cálculo Diferencial e Integral I y Geometría Euclidiana. Los problemas fueron planteados a manera de proposición con sus respectivas de figuras geométricas y son los siguientes: 1. No existe ningún polígono regular inscrito en un círculo, o circunscrito al mismo, de n≥3,

N∈n , lados cuya área sea igual al del círculo, i.e., π r2. 2. Las semicircunferencias, cuyos diámetros son los n≥3 lados del polígono regular inscrito

tienen como límite a la circunferencia que circunscribe a ese polígono, o sea, 2 π r. El primer problema es una afirmación verdadera, pues no se indica que n “tiende al infinito” y cuando se indica esa operación entonces se dice que el área del círculo es el límite del área de polígonos regulares inscritos y circunscritos. El segundo es una afirmación falsa, ya que es una paradoja en el sentido de Northrop (2002), donde tanto la observación (mirada) como la intuición fallan. Los diámetros de las semicircunferencias son polígonos regulares inscritos, Pn, en la circunferencia cuyo límite es


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ella misma; mientras que la longitud de las n-semicircunferencias es 2 n

nPC π= , y al pasar al

límite se tiene, r rπ (PlímClím nnnn

2

2)2

2 πππ ===

∞→∞→.

La solución de los dos problemas exige el dominio de conceptos de geometría y trigonometría, tales como: el ángulo central de un círculo; razones trigonométricas; fórmula del área de un triángulo, la fórmula de la circunferencia r 2πC = como límite del perímetro de un polígono regular inscrito de n lados, nP , cuando n tiende al infinito, es decir,

rPlím nn 2π=∞→; y la razón de la circunferencia con respecto a su radio es la misma cualquiera

que sea el tamaño de la circunferencia, i. e. , π=r

c2

.

En ambos casos, en un primer momento se les indicó emitir un juicio, en forma individual e intuitiva, diciendo si la afirmación era falsa o verdadera. En un segundo momento se organizó a los estudiantes en equipos de tres integrantes para que discutieran sus respuestas anteriores y posteriormente mostraran las respuestas a la que llegarían en equipo. Resultados En la resolución del primer problema participaron trece estudiantes, de los cuales siete respondieron que la afirmación era verdadera, es decir, n no puede tender a ∞+ , pues n es un número natural; seis respondieron que era falsa, interpretando el área del círculo como límite de áreas de los polígonos regulares inscritos y circunscritos, ignorando que el número de lados de dichos polígonos es n≥3, donde N∈n , o sea, dieron el paso al límite: n tiende a ∞+ , por lo que, las respuestas fueron intuitivas en el sentido de Fischbein (1978, 1987).

En el segundo momento, discutieron sus respuestas individuales, de donde surgió una propuesta de solución, de todos y cada uno de los equipos, entre las cuales se muestra la siguiente:


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Donde se observa que la frase “tiende a” lo manejan como aproximación, el límite no se alcanza, tal como lo definió D’Alembert, y efectivamente, no operan adecuadamente con el límite. Su idea entra en conflicto con la idea matemática que consiste en mostrar claramente que su respuesta es

correcta. Además, al calcular el límite del “área” 2

nlrA = cuando +∞→n el “área es infinita”.

Otros, insistieron en que el límite es 2rπ sin poder mostrarlo, y sólo el equipo cuatro pudo mostrar este resultado. En la resolución del segundo participaron doce estudiantes, de los cuales once respondieron que la afirmación era verdadera, pues es fija la idea: la respuesta intuitiva debe coincidir siempre con la respuesta formal o matemática. Tomaron la idea de solución del equipo cuatro que mostró la respuesta matemática en el problema anterior. A continuación mostramos una realización:

Como se observa, se obtuvo la contradicción de π=2 y creen que hay un error en la suposición, y pese a ello se generalizó y se obtuvo 2=n . Pero la mayoría, simplemente dio una respuesta puramente intuitiva, que en este caso no coincide con la matemática. Este es

otro conflicto encontrado, por no tener en cuenta que π=r

c2

siempre es la misma cualquiera

que sea el tamaño de la circunferencia.


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Conclusiones Las conclusiones son resultado de todo el trabajo realizado, entre ellas, son: la enseñanza tradicional procede a introducir el concepto de límite mediante funciones y sucesiones monótonas, generalmente; no introduce el concepto de límite mediante problemas de carácter geométrico; tampoco emplea paradojas relativas al concepto, por considerarlas como exclusivas de la comunidad matemática; si un estudiante no logra resolver el problema planteado, sea paradoja o no, tiene dos opciones en su proceder posterior, por lo menos:

a) ser más consciente de sus disposiciones de los conocimientos matemáticos y de sus limitaciones, por lo que para eliminarlas necesitará investigar y estudiar con detenimiento ciertos aspectos. b) bloquearse y fortalecer la idea de que la matemática es difícil, por lo que hay que renunciar a ella o resignarse a aceptar su existencia como teoría.

Sin más ánimo de profundización o de investigación. Por lo que se sugiere incorporar las paradojas en el sistema de enseñanza, pues son un medio de construcción o reconstrucción del conocimiento, según muestra la historia. Referencias bibliográficas Aguilar, P. y Oktaç A. (2004). Generación del conflicto cognitivo a través de una actividad de

criptografía que involucra operaciones binarias. Relime 7(2), 117-143. Boyer, C. (2001). Historia de la matemática. Madrid, España: Alianza Editorial. Cantoral, R. et al. (2000). Desarrollo del Pensamiento matemático. México: Trillas. D’ Amore, B. (2005). Bases filosóficas, pedagógicas, epistemológicas y conceptuales de la

Didáctica de la Matemática. México: Clame-Reverté. Fernández, J. et al. (2005). Matemáticas V. Cálculo Diferencial. Libro de texto de bachillerato.

Guerrero: UAG-Gobierno del Estado. Fischbein, E. (1978). ‘Intuition in Mathematics Education’, Osnabrϋcker Schriftenzϋr Mathematik 1,

148-176. Fischbein, E. (1987). Intuition in Science and Mathematics. An educational approach. Netherlands:

Klumer Academic Publishers. Flores, P. (2004). Paradojas matemáticas para la formación de profesores (Mathematical paradoxes for

teachers education). Revista sobre la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, SUMA No. 31. P. 27.

Hitt, F. (2003). El concepto de infinito: obstáculo en el aprendizaje de límite y continuidad de funciones. En E. Filloy (Ed.), Matemática Educativa: Aspectos de la investigación actual (pp. 91-111). México: Centro de Investigación y de Estudios Avanzados-FCE.

Northrop, E. (2002). Paradojas matemáticas. México: Limusa. Ramírez, J. (2004). Los profesores ante problemas paradójicos: una invitación a la reflexión. En

Resúmenes de la 18ª Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa. Tuxtla Gutiérrez, Chiapas, México. 2004.

Sacristán, A. (2003). Dificultades y paradojas del infinito: experiencias en un ambiente de exploración computacional. En E. Filloy (Ed.), Matemática Educativa: Aspectos de la investigación actual (pp.262-279). México: Centro de Investigación y de Estudios Avanzados-FCE.


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DIFICULTADES EN LA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE ALGUNOS CONCEPTOS EN ÁLGEBRA LINEAL

Carlos Oropeza L., Javier Lezama A. UNAM, CICATA-I.P.N. (México)

[email protected], [email protected] Campo de investigación: pensamiento matemático avanzado, Nivel educativo: superior Palabras clave: dependencia lineal, independencia lineal, representaciones geométricas

Resumen En esta exploración se reportan algunas dificultades relacionadas con la interpretación geométrica de los polinomios de segundo grado en el concepto de dependencia e independencia lineal. La naturaleza abstracta de la asignatura de Álgebra Lineal, provoca dificultades en el entendimiento de los conceptos que ésta aborda y como una cuestión importante ligada a la percepción espacial que no sólo se reduce a la geometría, se trata de la visualización en matemáticas. En este trabajo se presenta propuesta una alternativa para que los estudiantes puedan hacer uso de las representaciones geométricas con la intención de aportar ciertos rasgos de claridad en el entendimiento del concepto referido, una vez que se acepte usar el isomorfismo para representar las funciones polinomiales de orden n como una representación de vectores en el espacio 1+nR . Introducción La Matemática Educativa se ha ocupado del aprendizaje matemático y de los procesos de enseñanza en el nivel universitario por más de 30 años. Ha intentado mejorar nuestra comprensión de las dificultades que los alumnos encuentran al aprender matemáticas y las disfunciones del sistema didáctico; también ha intentado encontrar vías que permitan superar tales dificultades. La enseñanza y aprendizaje del álgebra lineal en las carreras ingeniería presentan múltiples dificultades, razón por la cual se han promovido reflexiones profundas en torno a la búsqueda de presentaciones diferentes del tema en cuestión. Es común que en la enseñanza convencional del álgebra lineal, la mayor parte de conceptos se presentan como definiciones formales de objetos cuya existencia no tiene (en la mayoría de los casos) conexión con conocimientos previos ni argumentos geométricos o físicos que motiven la definición presentada. Los problemas asociados se resuelven usando la definición formal junto con argumentos derivados de la lógica. Esto hace que muchos estudiantes perciban que la materia es demasiado abstracta y que los contenidos son objetos que no tienen relación con algo que se pueda aplicar en la realidad. Los orígenes teóricos del estudio, sobre los que se basa este documento, consisten en la comprensión de que una reforma educativa referente a la enseñanza de las matemáticas no puede tener lugar en ausencia de una noción de los procesos de pensamiento del alumno. Aunado a la reconocida complejidad intrínseca de las matemáticas, aparece la dimensión cognoscitiva de la didáctica que es particularmente relevante (Balacheff, 1990). Entre los problemas relativos al aprendizaje del álgebra lineal, están las diferentes representaciones que puede tener un mismo objeto como por ejemplo el cero que puede representar un vector, un escalar o un espacio vectorial, y que los libros de texto hacen uso indistinto de estas diferentes formas de interpretación; y para las cuales no resulta muy claro para un estudiante que se trata del mismo objeto. O bien, como señala Sierpinska (1996) el alumno se encuentra, entonces, con dos representaciones diferentes de la suma de vectores, una geométrica con una definición formal y otra enteramente formal para espacios vectoriales generales.


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Una posición pragmática a seguir podría ser la de que no se usen varias representaciones de un objeto matemático, pero, como lo señala Duval (1993): …las diferentes representaciones semióticas de un objeto matemático son absolutamente necesarias. En efecto, los objetos matemáticos no son directamente accesibles por la percepción, o por la experiencia intuitiva inmediata como son los objetos comúnmente llamados “reales” o “físicos” (pág.38). Las representaciones semióticas juegan un papel fundamental en la actividad matemática. Continuando con estas ideas, tenemos en consecuencia que la aprensión de los objetos matemáticos y obliga a la interacción de diferentes representaciones semióticas. Hemos dividido el presente trabajo en dos partes, la primera relativa a las dificultades que hay en la articulación de diferentes sistemas semióticos de representación del concepto de función. La segunda trata sobre errores en el uso de tales sistemas y repercusiones en la enseñanza, a través de análisis de casos. En lo que sigue utilizaremos el sistema semiótico de representación en el sentido que lo utiliza Duval. Suponemos que el aprendizaje no es visto como aislado en un vació cognoscitivo, sino dentro de un contexto sociocultural (Vygotsky, 1962); por lo tanto, en una visión constructivista del pensamiento (Von Glasersfeld, 1987) la cognición del que aprende, mientras sea personal y de interés individual, es también vista enfáticamente como que tiene lugar en un ambiente de aprendizaje. Una figura geométrica, un enunciado en lengua natural, una formula algebraica, una grafica son representaciones semióticas que pertenecen a sistemas semióticos diferentes. Generalmente, se considera a las representaciones semióticas como un simple medio de exteriorización de las representaciones mentales para fines de comunicación, es decir, para volverlas visibles o accesibles a otros. Ahora bien, este punto de vista es engañoso. Las representaciones no solamente son necesarias para fines de comunicación, si no que son igualmente esenciales para la actividad cognitiva del pensamiento. A partir de lo dicho anteriormente nos proponemos explorar:

El uso de las representaciones geométricas con la intención de que los estudiantes puedan incorporarlas en la comprensión del tema en estudio.

La noción que tienen los estudiantes del concepto de dependencia e independencia lineal de los polinomios de segundo grado expresados como espacios vectoriales.

Contenido de la experiencia Definición: Un conjunto de vectores {v1, v2,.....,vk} de un espacio vectorial V es LINEALMENTE DEPENDIENTE si existen escalares c1, c2....,ck, al menos uno de los cuales no sea 0, tales que: c1v1 + c2v2+.....+ ckvk = 0 Un conjunto de vectores que no es linealmente dependiente se dice que es LINEALMENTE INDEPENDIENTE. (Grossman, 2005). Por otra parte, centramos nuestra atención en el hecho de que se puede establecer un isomorfismo, entre el conjunto de polinomios nP con el espacio vectorial

1+nR , este hecho requirió de estudio en cuanto a la definición formal de esta idea. A continuación se muestran las conclusiones del establecimiento de dicha idea:

Como [ ]cbacbxaxf ,,: 2 →++ es lineal y biyectiva, se deduce que 1: nnf P R

+→ es

isomorfa y entonces se dice que los espacios vectoriales nP y 1nR + son isomorfos.


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Tomando como fundamento la consideración anterior se construyó una experiencia en la cual el punto central consiste en manipular una serie de polinomios de segundo grado, parte de la puesta en escena de la actividad puede apreciarse en las siguientes dos figuras. En la primera de ellas, se puede apreciar que el grupo de estudiantes reportan una tendencia por relacionar los puntos de intersección entre las parábolas analizadas y el concepto de dependencia e independencia lineal de las mismas. También se puede apreciar que esta idea los conduce a plantear otros sistemas distintos, en donde en particular este equipo de estudiantes hace la propuesta de un conjunto de polinomios que los conduce en su solución a una inconsistencia a la cual no pudieron darle una interpretación en su significado.

Figura 1

En la segunda figura, podemos apreciar como el grupo de estudiantes (del mismo equipo), inicia una extensión de su idea inicial que proponen como interpretación geométrica de los polinomios de segundo grado, misma que tiene que ver con las intersecciones de las parábolas que grafican. Cabe precisar que se mantienen en esa idea hasta la parte de retroalimentación de la actividad, a pesar de que en su reporte (figura 2) se encuentran indicios del rompimiento de esta idea tal como se puede observar en la última de la gráficas que dibujan y que justamente se alcanza en el momento de la exposición del material por parte de los equipos.


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Figura 2

El diseño de las actividades ha experimentado ciertas modificaciones, tal es el caso de la utilización del software matemático usado como instrumento verificador de resultados. Una pequeña muestra de ello se presenta a continuación. Los siguientes ejemplos han sido resueltos con la ayuda de las librerías de Maple versión 9.5. Se tienen dos polinomios 322 −− xx y 962 −+− xx en los cuales se debe determinar si son linealmente dependientes o independientes.

>restart:with(linalg): • a:=: Sintaxis de Maple • sol:=: • gaussjord();

En el resultado obtenido se observa que el conjunto de polinomios son linealmente independientes, ya que en la solución del sistema de ecuaciones los escalares son igual a cero. En su gráfica correspondiente se puede apreciar que a pesar de que las parábolas comparten una raíz son linealmente independientes.

>plot({x^2-2*x-3,-x^2+6*x-9},x=-4..7); Ahora se presenta un segundo ejemplo analizado, en el cual se hace uso del isomorfismo. La actividad consiste en estudiar tres polinomios de segundo grado linealmente dependientes: -2x²+x, x²-4x, 8x²-7x.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000010001


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Estableciendo los polinomios de estudio -2x²+x, x²-4x, 8x²-7x como vectores, se tiene:

• V1:=; • V2:=; • V3:=;

De la ecuación de la forma general obtenemos que: Resolviendo el sistema de ecuaciones: Como podemos observar los vectores se encuentran contenidos en un plano y por tanto en 3R son linealmente dependientes. También podemos observar, que los resultados obtenidos son los mismos, es decir, que en este apartado puede ayudar a identificar la equivalencia que se establece al hacer uso de un análisis polinomial con respecto a usar un análisis vectorial en tercera dimensión. Conclusiones Algunas de las reflexiones que nos ha proporcionado la puesta en escena de las actividades mostradas son las siguientes: La mayoría de los equipos participantes aceptan con naturalidad y con poca dificultad trabajar en el ambiente geométrico ya que según sus comentarios, afirman que el manejo gráfico de las parábolas lo han utilizado en varios cursos previos a la experiencia.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−=

000741

812:A

[ ]0,0,0:=b ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 111 t_,_t7

6,_t725soluciones

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

210

1V⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=14

0

2V⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=87

0

3V

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 000

87

0

14

0

210

321 ccc

725

1 =c 76

2 −=c

03 =c


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La actividad provoca el rompimiento de la idea inicial de los estudiantes en relación al concepto de la dependencia e independencia lineal de los polinomios de segundo grado, la cual interpretan como intersección o no de las raíces en las graficas de las parábolas que se analizan. El uso de la representación como vectores libres en el plano tridimensional de los polinomios de segundo grado (en algunos grupos de trabajo), provoca conflicto para interpretar la dependencia e independencia lineal; esto se debe a la poca práctica que algunos estudiantes tienen en el manejo de representaciones en tres dimensiones. Sin embargo, para los equipos que sí cuentan con experiencia suficiente para graficar vectores en tercera dimensión, este hecho les permite trabajar con menor dificultad. Hacer uso del isomorfismo entre los polinomios de segundo grado y los vectores en el espacio

3R , podría proporcionar una estrategia que favorezca el entendimiento del concepto de la dependencia e independencia lineal. El reconocimiento de utilizar el software matemático como un instrumento verificador de resultados tanto analíticos como geométricos, sólo provoca en algunos grupos de estudiantes la inquietud por extender su estudio a un mayor número de ejemplos. Referencias bibliograficas Balacheff, N. (1990). Perspectivas futuras para la investigacion en la psicología de la educación en

matemáticas. En el Grupo Internacional Kilpatrick J., Nesher P., para la psicología de la educación en matemáticas. Matemáticas y Cognición: Una síntesis de investigacion por le Grupo Internacional para la psicología de la educación en matemáticas. Capítulo 7, págs.135-148. Cambridge University Press, Reino Unido.

Duval, R. (1988). Graphiques et equations: I’ Articulation de deux registres. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives 1, págs. 235-253.

Grossman, S. (1996). Álgebra Lineal. D.F., México: Mc Graw-Hill. Piaget J. (1968). La formation du symbole chez I’ enfant. Nauchâtel, Delachaux & Niestlè. Sierpinska, A. (1996). Problems related to the design of the teaching and learning process in linear

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Press. Von Glasersfeld, E. (1987). Aprendizaje como una actividad constructiva. C. Janvier (Ed.) Problemas

en la representación de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, EUA: Lawrence Erlbaum Associates, Inc., Publishers.


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LAS SECUENCIAS DIDÁCTICAS CON ENFOQUE CONSTRUCTIVISTA: EL CASO DE LA FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

María Guadalupe Ordaz Arjona Universidad Autónoma de Yucatán (México)

[email protected] Campo de investigación: gráfica y funciones. Nivel educativo: superior

Palabras clave: secuencia didáctica, constructivismo, función, valor absoluto Resumen El presente escrito reporta los resultados de una investigación desarrollada en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán (UADY) con el propósito de valorar la utilidad del uso de una secuencia didáctica basada en un enfoque constructivista, para conducir a los alumnos a la construcción del concepto de función valor absoluto. Introducción Tradicionalmente, se ha considerado que el éxito en la enseñanza de las matemáticas depende de un profesor ejemplar, suponiendo que el aprendizaje de los alumnos depende únicamente de la atención que presten a la exposición del profesor, del dominio que éste tenga del contenido del curso, así como de sus habilidades docentes. Cantoral et al (2000) señalan que una creencia ampliamente difundida respecto a la relación entre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas supone una relación de transferencia simple de la enseñanza hacia el aprendizaje, el alumno “graba” lo que se le comunica por medio de la enseñanza, pero las investigaciones contemporáneas demuestran lo inexacto de este punto de vista y hacen evidente que los alumnos construyen regularmente conocimientos que no forman parte del discurso de la enseñanza y resultan con frecuencia inadecuados e incluso erróneos desde el punto de vista matemático. Hoy en día emergen concepciones que consideran la actividad matemática en un sentido más amplio, según las cuales, toda actividad humana depende de una enorme variedad de restricciones de naturaleza cultural, histórica e institucional. Factores como la motivación, la afectividad, la imaginación, la comunicación, los aspectos lingüísticos o de representación desempeñan un papel fundamental en la conformación de las ideas matemáticas entre los estudiantes. Desde esta perspectiva nuestra forma de aprender matemáticas es el resultado de construcciones sucesivas, cuyo objetivo es garantizar el éxito de nuestra actuación ante una cierta situación. Esta visión rompe con el esquema clásico de enseñanza, según el cual el maestro enseña y el alumno aprende. El papel del profesor en esta perspectiva es mucho más activo; sobre él recae mucho más la responsabilidad del diseño y coordinación de las situaciones de aprendizaje; enseñar debe ahora consistir en crear las condiciones que produzcan la apropiación del conocimiento por parte de los estudiantes, mientras que para el estudiante, aprender debe implicar involucrarse en una actividad intelectual cuya consecuencia final es la disponibilidad de un conocimiento.


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La problemática El actual plan de estudios de las escuelas preparatorias de la Universidad Autónoma de Yucatán, propone el uso de un nuevo paradigma bajo el cual, el estudiante de matemáticas debe construir nuevos conocimientos a partir de otros previos, y que dichos conocimientos sean significativos y no sólo memorísticos. Sin embargo, al entrar en marcha dicho plan de estudios, los profesores se encuentran con la falta de las herramientas adecuadas para conducir a sus alumnos a lograr este objetivo. Es así que nuestro énfasis está en el diseño de actividades adecuadas para favorecer el aprendizaje significativo de los estudiantes, mediante acciones que le permitan analizar, conjeturar, construir su propio conocimiento. Por otra parte, si abordamos la problemática de la enseñanza de la matemática y particularmente del concepto de función, tenemos que es un de los más difíciles tanto para enseñar como para aprender y que su enseñanza tiende a sobrevalorar los procedimientos analíticos y la algoritmización, dejando de lado los argumentos visuales (Cantoral, Montiel 2001). La problemática que se aborda en esta investigación tiene su origen en situaciones de precálculo y cálculo, propiamente en el nivel medio superior y superior. En la enseñanza en ambos niveles, la noción de función valor absoluto resulta esencial para las definiciones de conceptos fundamentales referentes al cálculo diferencial e integral. Sin embargo, la mayoría de las veces en su estudio, únicamente se enumeran las propiedades de éste, sin preocuparse por el uso de situaciones de enseñanza que permitan la asimilación del concepto por parte de los estudiantes y aún alumnos que han ingresado a una licenciatura del área de matemáticas, muestran no haber comprendido el concepto de “función valor absoluto”, lo cual en un principio pareciera no ser un problema, pero que a la larga se ve reflejado en Cálculo que es una de las asignaturas con mayor índice de reprobación, aún a nivel superior, como lo

reportan Ávila y Aparicio (2006), ya que al pedir evaluar ∫−

+3

3

2 dxx , a estudiantes que han

cursado tres cursos de cálculo de nivel superior, cometen errores de tipo conceptual, entre los cuales se encuentran aquellos relacionados con el concepto de valor absoluto, por ejemplo: Consideraciones metodológicas Nuestra investigación se basó en el empleo de la metodología de la investigación cualitativa y entre las actividades desarrolladas, destacamos:


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Una prueba diagnóstica denominada test precurso, aplicada a 20 estudiantes y cuyo objetivo era determinar si los estudiantes tenían los requisitos previos principalmente de álgebra, además de explorar sobre sus conocimientos en relación al concepto de función valor absoluto y los errores cometidos por los alumnos que se deban a la falta de comprensión de dicho concepto. Con base en la prueba diagnóstica que da muestra de los mismos errores reportados en (Aparicio, Ávila 2006), se diseñó una secuencia didáctica, entendiendo ésta como un conjunto de actividades ordenadas, estructuradas y articuladas con grados crecientes de complejidad para la consecución de ciertos objetivos. Las secuencias deben estar diseñadas de manera tal que permitan al estudiante tener acercamientos iniciales al contenido y avanzar paulatinamente a niveles más amplios de comprensión y generalización. La secuencia didáctica elaborada en este trabajo pretende llevar al alumno a construir la definición de función valor absoluto, así como propiciar que transite libremente por los registros de representación gráfico y analítico, con énfasis en el análisis de las gráficas, se consideraron tanto para el diseño como en la implementación de la secuencia aspectos constructivistas como son: partir del nivel de desarrollo del alumno, posibilitar que los alumnos realicen aprendizajes significativos por si solos y procurar que los alumnos modifiquen sus esquemas de conocimiento; teniendo en cuenta además, que en la perspectiva constructivista, es la actividad del sujeto lo que resulta primordial; no hay “objeto de enseñanza” sino “objeto de aprendizaje” (Moreno, 1992). La secuencia didáctica consta de seis actividades diseñadas mediante preguntas que permitan al alumno conjeturar ideas relacionadas con el concepto de función valor absoluto. La esencia para la realización de dicha secuencia fue el análisis de las rectas cxy −= y )cx(y −−= y la intersección de las mismas. Dichos análisis se hace con el apoyo del software graphmatica, que permitió visualizar el comportamiento de las gráficas de las funciones, se consideró el uso del mismo, sabiendo que la tecnología es un medio entre el estudiante y desarrollo de pensamientos matemáticos y tiene la capacidad de ofrecernos medios alternativos de expresión matemática (Moreno, 1992). En la implementación de la secuencia didáctica intervinieron tres aspectos: la puesta en escena de la secuencia, los estudiantes que participaron en la misma y la dinámica que se utilizó para llevar a efecto la secuencia. A continuación se explica en que consistió cada uno de estos elementos. La puesta en escena de la secuencia tuvo lugar en la ciudad de Mérida, en las instalaciones de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán, en una sala de cómputo, equipada con computadoras para cada alumno y una para el profesor, 2 videocámaras, videoproyector, aire acondicionado, etc. Participaron seis estudiantes los cuáles eran recién egresados de bachillerato y admitidos a la Facultad de Matemáticas para cursar las carreras de Licenciatura en Enseñanza de las Matemáticas, Actuaría y Ciencias de la Computación, éstos conformaron dos equipos de trabajo, uno de ellos era aquellos estudiantes que en el test precurso no respondieron correctamente ninguna cuestión del apartado correspondiente a la función valor absoluto y que al entrevistarnos decían no haberlo abordado en el bachillerato, los otros tres estudiantes, reconocían haberlo visto en bachillerato, y que al entrevistarlos a pesar de haber respondido correctamente al menos dos reactivos no supieron dar una justificación aceptable al porqué de su respuesta. La secuencia didáctica se abordó mediante un taller con duración de 4 sesiones de una hora treinta minutos cada una, en cada sesión del mismo, los estudiantes fueron quienes trabajaron la mayor parte del tiempo, la resolución de cada actividad constaba de dos etapas, en la


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primera los estudiantes la abordaban individualmente y en la segunda en equipo. A cada estudiante se le proporcionó hojas de trabajo que corresponden a las actividades de que consta la secuencia, los estudiantes respondieron a los cuestionamientos que se les hacía en cada actividad apoyándose en el software graficador, posteriormente se trabajó la actividad en equipo, se les pidió que discutan sus resultados de cada actividad y llegaron a una conclusión plasmando sus resultados en una hoja de trabajo por equipo. Después de la resolución individual y la discusión en equipo, se llevó a cabo la discusión del desarrollo de la misma con todo el grupo integrando los resultados para después formalizar la idea o concepto objeto de estudio. Después de cierto número de actividades, se le propondrá al alumno otra en la cuál deberá generalizar la definición de valor absoluto funciones de la forma cxy −= donde c es un número real cualquiera, esta actividad con el propósito de llevarlos al desequilibrio, posteriormente se les proporciona una actividad en la que pueden confrontar las respuestas dadas en la actividad anterior, así como ver diferentes casos que le permitan la acomodación y finalmente se les pide generalizar, no sólo a funciones de la forma

cxy −= sino caxy −= cuando 1a ≠ . Una vez concluido el taller, se les aplicó una prueba denominada test postcurso el cual tenía como propósito evaluar el avance de los estudiantes después de cursar el taller, así como valorar el impacto de la secuencia didáctica con enfoque constructivista. Resultados Los resultados del test postcurso muestran que hubo una mejora del 95 % respecto a los resultados obtenidos en el test precurso en lo que respecta al concepto de función valor absoluto, sin embargo, esto no es suficiente para dar una conclusión, por lo cual, una vez efectuada la puesta en escena, se procedió al análisis de los datos: las actividades efectuadas por los estudiantes, los videos, grabaciones y notas. Para dar lectura a los datos se acudió al análisis a priori, para tratar lo hipotético, y al análisis a posteriori, para tratar lo que realmente hicieron los estudiantes, y finalmente se confrontaron ambos análisis. Como ejemplo, mostraremos las respuestas de uno de los estudiantes en donde se muestra su avance al resolver cada una de las actividades: Actividad 1 Actividad 2

Actividad 3 Actividad 4

Actividad 5

Después de analizar diversos casos particulares correctamente, no da respuesta alguna. Sin embargo como equipo responden correctamente:


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Actividad 6

Al igual que en el ejemplo anterior, la investigación muestra gran avance en cada uno de los estudiantes, tanto para los que no habían abordado dicho concepto en bachillerato como los que si reconocían haberlo abordado y recordaban la definición. Como lo señala la teoría de Asimilación de Ausubel, el alumno aprende significativamente cuando es capaz de relacionar las nuevas ideas con algún aspecto esencial de su estructura cognitiva, al respecto, nos pudimos percatar, que varios de los problemas presentados por los alumnos, son debidos a la falta de comprensión del concepto de función, lo cual no se consideró como requisito en el test precurso, pero que consideramos es de suma importancia para comprender el caso particular de la función valor absoluto. Se pudo observar que hubo aprendizaje significativo por parte del alumno, pues aunque al final de la actividad aún presenta algunas dificultades para definir la función, al interactuar con el software y las gráficas de las funciones, el alumno logra atribuir significado a lo que está realizando, pudiendo transitar por más de un registro de representación del concepto en cuestión, además de que logra observar las transformaciones que sufre la función x)x(f =

cuando es afectado por un parámetro, en este caso “c”, esto es, al considerar cx)x(f −= . Nos pudimos percatar que las respuestas dadas por el alumno al resolver la actividad individualmente, varían notablemente respecto a las presentadas después de discutir con sus compañeros, el desarrollo alcanzado por el alumno individualmente, lo que cada alumno fue capaz hacer solo, puede compararse con el desarrollo potencial del mismo, observando que aquello que no fue capaz de hacer por si mismo, le fue posible hacerlo con ayuda de sus compañeros, lo cual mostró su desarrollo potencial. En general, podemos decir que se logró que los alumnos discutan, reflexionen, conjeturen, así como convenir en una respuesta, muestran cierto progreso a medida que se van enfrentando a las actividades, logran generalizar la definición para cualquier valor real, recurren a las gráficas antes de dar una respuesta, lo cual muestra que se logró cierto avance respecto a que no sea lo algebraico quien domine. Sin embargo, los alumnos siguen presentando problemas que aparentemente son de notación pero que se deben entre otras cosas a problemas más importantes como son los debidos al dominio del concepto de función, a pesar de dar respuestas correctas, sus argumentaciones muestran que es necesario hacer un análisis más profundo de los factores que lo llevan a cometer los errores, no sólo en el concepto de función sino en otros conceptos propios del Cálculo, además de que al hacer la confrontación entre el análisis a priori y el a posteriori, concluimos entre otras cosas que la secuencia debe ser rediseñada en base a un análisis de los factores que influyen en los estudiantes y los llevan a cometer esos errores conceptuales, pero que en sí, las secuencias didácticas sin son una herramienta útil, tanto para profesores como para estudiantes en lo referente al logro de aprendizajes significativos y a la construcción del conocimiento por parte de los estudiantes.


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Referencias bibliográficas Aparicio, E., Ávila, E. (2006). Un estudio de las dificultades que presentan estudiantes en el área de

cálculo. En Memorias del V Encuentro de Investigación Educativa. Mérida, Yucatán, México. Cantoral, R., Farfán, R., Cordero, F., Alanís J., Rodríguez, R. y Garza, A. (2000). Desarrollo del

pensamiento matemático. México: Trillas. Cantoral, R., Montiel, G. (2001). Funciones: Visualización y Pensamiento Matemático. México:

Prentice-Hall. Moreno, L. (1992). Fundamentación cognitiva del currículo de matemáticas. Madrid, España: Síntesis.


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DESARROLLO DE LA DIMENSIÓN EMOCIONAL Y CAMBIO EN EL AUTO-CONCEPTO MATEMÁTICO A TRAVÉS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

José Daniel Martínez González [email protected]

Campo de investigación: factores afectivos. Nivel educativo: básico Palabras clave: dominio afectivo, resolución de problemas, auto-concepto y rendimiento matemático

Resumen Esta investigación tiene como interés central dilucidar si alumnos de secundaria pueden lograr, mediante el trabajo en un taller extracurricular de resolución de problemas, competencias emocionales como la toma de conciencia y control de sus emociones, que les permita cambiar de manera positiva su auto-concepto matemático. La información obtenida del trabajo experimental aún se encuentra en proceso de análisis, sin embargo, los resultados preliminares muestran que el gusto y el nivel de auto-confianza como descriptores del auto-concepto matemático son buenos predictores del rendimiento matemático. Introducción Este documento muestra el análisis de los resultados de la aplicación del primer instrumento metodológico en la investigación que se lleva a cabo con estudiantes de tercer grado de educación media básica. El estudio se realiza en el marco de un taller extracurricular de resolución de problemas, y pretende afirmar que los sujetos que logran desarrollar competencias emocionales como la autoconciencia y el autocontrol de sus emociones; cambian de manera positiva su auto-concepto matemático. Las preguntas de investigación son las siguientes: • ¿Qué áreas de competencia emocional desarrollan los estudiantes a través del trabajo en el

club de resolución de problemas? • ¿El desarrollo de competencias emocionales genera en los estudiantes cambios

significativos acerca de su auto-concepto como resolutores de problemas y como estudiantes de matemáticas?

Marco Teórico En la resolución de problemas interviene una gama de aspectos cognitivos y metacognitivos. Estos aspectos son los más estudiados en el ámbito de la investigación en Matemática Educativa, pero no son los únicos susceptibles de estudio; se están dejando de lado los aspectos afectivos. Posiblemente esto se deba a la idea de que las matemáticas son algo puramente intelectual, donde el comportamiento relativo a las emociones no juega un papel esencial (Gómez-Chacón, 2003). En los procesos metacognitivos que se desarrollan para resolver un problema, un estudiante resiste ciertas emociones. Entonces, los aspectos afectivos y en particular las emociones juegan un papel esencial en la resolución de un problema, sin embargo, poco se han estudiado de manera sistemática aspectos sicológicos que relacionan a las matemáticas con los alumnos como las actitudes, las creencias, las emociones, los valores, el estilo atribucional, apreciaciones, gustos, preferencias, sentimientos, temperamento y estilo de aprendizaje (Sánchez, 2005).

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El desarrollo del meta-afecto, –como la toma de conciencia que el sujeto hace de sus propias emociones (observar, identificar y nombrar emociones)–, constituye la habilidad fundamental que da paso al control, la organización y utilización inteligente de esos impulsos (Gómez-Chacón, 2003). La adquisición de estas competencias (desarrollo de la dimensión emocional) le permitirá al sujeto superar los bloqueos cognitivos en la resolución de un problema que le provocan reacciones emocionales desfavorables (interacción afecto-cognición). Por otra parte, las creencias relacionadas con el auto-concepto, la auto-confianza y el gusto son una de las componentes de conocimiento subjetivo implícito del individuo (basado en la experiencia) sobre las matemáticas y su enseñanza y aprendizaje, tienen una fuerte estabilidad y están compuestas por elementos afectivos, evaluativos y sociales. Estas creencias en relación con las matemáticas tienen una marcada componente afectiva en los estudiantes y se consideran un predictor del rendimiento matemático (Bermejo, 1996; Gómez-Chacón, 1997). Así, el entrenamiento en la resolución de problemas que pone atención en los aspectos afectivos y en la interacción afecto-cognición, puede constituirse como un plan emergente con el propósito de elevar el nivel de auto-concepto matemático de los estudiantes. En cuanto a la relación entre la dimensión afectiva y emocional y la influencia que ésta ejerce en el aprendizaje de las matemáticas, fundamentalmente en la resolución de problemas, Guerrero y Blanco (Blanco, Gil & Guerrero, 2005) han diseñado un programa psicopedagógico para la intervención en los trastornos emocionales en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, inspirado en el modelo de resolución de problemas de Polya (2000), partiendo de la hipótesis de que las creencias, las actitudes, los pensamientos y las emociones explican una gran parte del resultado y rendimiento en matemáticas, siendo sus principales objetivos resolver problemas de matemáticas, adiestrar al alumno en el afrontamiento de situaciones de ansiedad y manejar emociones. A partir de esta revisión, considero que tanto los aspectos afectivos como los cognitivos y sobre todo, la regulación de la interacción de ambos, son factores de éxito en el desempeño escolar en matemáticas. Además, el desarrollo de la dimensión emocional de los alumnos influye en su sistema de creencias. A la vez, éstas inciden directamente en el autoconcepto que los alumnos tienen como resolutores de problemas y como estudiantes de matemáticas. La investigación se llevará a cabo a partir de esta perspectiva teórica. Aspectos metodológicos La investigación se llevó a cabo con 10 estudiantes de 3er grado (14-15 años) del turno vespertino de una secundaria técnica (educación media básica) en el estado de Jalisco, México. Tuvo una duración de 12 sesiones de dos horas cada una. Se realizó en el marco de un taller extracurricular de resolución de problemas, en el que los alumnos asistieron tres veces por semana antes de su entrada normal a clases. La metodología es de corte cualitativo. Los instrumentos utilizados fueron: cuestionario inicial; entrevista y observación participante durante el trabajo experimental y cuestionario final, tal como se muestra en el siguiente esquema:

DURANTE ELTRABAJO EXPERIMENTAL 12 Sesiones de enseñanza CUESTIONARIO

INICIAL ENTREVISTA Sesión 3

ENTREVISTA Sesión 6

ENTREVISTA Sesión 10

CUESTIONARIO FINAL

Observación participante y


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Cuestionario inicial. Permitió medir el nivel de Auto-concepto matemático de los alumnos antes del trabajo experimental. Se aplicó a un grupo de 27 estudiantes de 3er grado de secundaria, con el propósito primordial de seleccionar a 10 sujetos susceptibles de estudio. Esta selección se hizo a través de la categorización de los sujetos según la relación: Auto-concepto Matemático (ACM) – Rendimiento Matemático (RM). Esta categorización ACM – RM es posible de la siguiente manera; en cuanto al auto-concepto matemático que tienen los sujetos, el cuestionario permitió catalogarlos en uno de los niveles bajo, regular y alto. Así mismo, los estudiantes se catalogaron de acuerdo a los promedios de calificación en matemáticas como altos, regulares o bajos en el nivel de rendimiento matemático. Así, considerando el binomio ACM – RM, los sujetos se ubicaron en una de las siguientes categorías: BB, BR, BA, RB, RR, RA, AB, AR y AA. (p. ej. BA significa que el estudiante resultó Bajo en ACM y Alto en RM ) Este cuestionario se basó en la Escala Actitudes hacia las Matemáticas y Matemáticas y Matemáticas Enseñadas con Computadora (AMMEC), que Ursini et al. (2004) elaboró y validó para la identificación de género y actitudes hacia las matemáticas enseñadas con computadora. Esta escala se divide en sub-escalas, de las cuales se tomaron dos para formar el Cuestionario ACM; una referida al Gusto por las matemáticas, que consta de 11 preguntas y otra, de 6 preguntas, relacionadas a la Auto-confianza y auto-eficacia en matemáticas. Entrevista. Los diez sujetos seleccionados fueron entrevistados y video-grabados en tres ocasiones a lo largo del trabajo experimental, en la tercera, la sexta y la décima sesiones. Las entrevistas tuvieron una doble funcionalidad: como recolector de datos identificando, constatando y especificando los cambios y la evolución de los procesos meta-afectivos desarrollados por los sujetos; y como parte del mismo proceso de autoconciencia y utilización de las emociones a través de la reconstrucción de los procesos de solución. De manera cualitativa, las entrevistas complementaron la instrucción afectiva en el taller. Las entrevistas se basaron en la reconstrucción del proceso de solución de los problemas, considerando los cambios cognitivos aparentes para identificar a través de ellos las reacciones emocionales del sujeto. Observaciones. La triangulación de observaciones durante las sesiones de enseñanza significó otro instrumento que permitió interpretar cualitativamente los resultados de las entrevistas y del cuestionario. Cuestionario Final. En la sesión final se aplicó nuevamente el Cuestionario ACM con el propósito de contrastar los resultados respecto del Auto-concepto matemático de los sujetos antes y después del trabajo experimental.


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Análisis de resultados A continuación se muestra la categorización Auto-concepto Matemático (ACM) – Rendimiento Matemático (RM) de los 27 estudiantes a partir de la aplicación inicial del cuestionario ACM:

SUJETO ACM RMCATEGORÍA ACM –

RMG A R AR

AA A A AAT A A AAK A A AAL A A AAJ A A AAO A R ARQ R A RAU A R ARP R A RAC A R ARH R R RRV R R RRR R A RAI R R RRZ R R RRB R R RRS B A BAA R B RBF B A BAE B R BRN B R BRY B R BRM R B RBX B A BAW B B BBD B B BB

La tabla anterior permite ver que 10 alumnos (casi 2 de cada 5) se ubican entre las primeras cuatro categorías ACM – RM: BB, BR, BA y RB. En las categorías RR, RA, AR y AA, que en general pueden considerarse de regulares a altas, se ubican los demás sujetos. En cada categoría RR, RA y AA se ubican 4 sujetos y ningún estudiante aparece en la categoría AB. A partir de la aplicación del cuestionario, se seleccionaron los diez alumnos ubicados en las categorías BB, BR, BA y RB, los cuales se presentan en la tabla de abajo, indicando la categoría ACM – RM, y el resultado de cada sub-escala. SUJETO ACM – RM ACM GUSTO AUTO CONFIANZA W-JORGE BB B B B D-BRUNO BB B B B E-IVÁN BR B R B N-EDGAR BR B R B Y-ROSARIO BR B B R F-RAQUEL BA B B R S-JOSUE BA B R B X-ANDREA BA B B B M-ÁNGELA RB R R R A-JESSICA RB R R R

Análisis del

ACTA LATINOAMERICANA DE · Carmen Evarista Matías Pérez, Lesly A.Mejía R. Educación virtual...

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