A cura di

Maria Angela Varone

Dato un quadrato quanto deve misurare il

lato di un nuovo quadrato per avere area

doppia di quello di partenza?

La duplicazione del quadrato

dal Menone di Platone

 Socrate[ si rivolge a Menone] – Osserva, ora, da questo dubbio come scoprirà la verità, ricercando insieme a me, mentre io non farò altro che interrogarlo, senza insegnargli. E fa’ bene attenzione che tu non mi colga ad insegnargli o a spiegargli, e non solo ad interrogarlo intorno alle sue convinzioni.

Socrate – Dimmi, dunque: non è di quattro piedi questa superficie ( abcd )? Comprendi?

Ragazzo – Sì. Socrate – Potremmo aggiungere ad essa

quest’altra eguale ( befc)?

Ragazzo – Sì.

Socrate – E quest’altra terza, uguale a ciascuna di queste ( cfgh )?

Ragazzo – Sì.

Socrate – E non potremmo anche completare la figura in questo angolo ( dchi)?

Ragazzo – Certamente.

Socrate – E non risulteranno queste quattro superfici eguali?

Ragazzo – Sì-

Socrate – E, allora, tutto questo intero (aegi), quante volte diventa più grande di questo (abcd)?

Ragazzo – Quattro volte.

Socrate – Per noi, invece, doveva essere il doppio; o non ricordi?

Ragazzo – Certamente.

Socrate – E questa linea tracciata da un angolo all’altro (bd, bf, fh, hd), non viene forse a dividere a metà ciascuna di queste superfici?

Ragazzo – Sì.

Socrate – Non si ottengono, dunque, queste quattro linee uguali racchiudenti quest’area qui (bfhd)?

Ragazzo – Sì, si ottengono.

Socrate – Considera allora: quanto grande è questa superficie (bfhd)?

Ragazzo – Non lo so.

Socrate – Di questi quadrati, che sono quattro, ciascuna linea non ha tagliato internamente la metà di ciascuno ? O no?

Ragazzo – Sì.

Socrate – E quante ve ne sono di queste metà in questa figura ( bfhd)?

Ragazzo – Quattro.

Socrate – E quante in quest’altra (abcd)?

Ragazzo – Due.

Socrate – E il quattro che cos’è rispetto al due?

Ragazzo – Il doppio.

Socrate – Questa superficie, dunque, di quanti piedi diventa?

Ragazzo – Di otto piedi.

Socrate – Da quale linea?

Ragazzo – Da questa (db).

Socrate – Da quella che abbiamo tracciata da un angolo all’altro del quadrato di otto piedi?

Ragazzo – Sì.

Socrate – Coloro che se ne intendono chiamano questa linea diagonale; sicché, se essa ha nome diagonale, allora dalla

diagonale, come tu dici, o ragazzo di Menone, si può ottenere l’area doppia.

Ragazzo – Certamente, o Socrate.

“Misuriamo la diagonale”

Supponiamo per semplicità che il quadrato in esame abbia lato pari ad una unità. Ormai

abbiamo scoperto che il quadrato di area doppia rispetto a quello dato è il quadrato che ha per

lato la diagonale.

dLato: misura una unità l

L’area del quadrato di partenza misurerà 12 = 1, mentre l’area del nuovo quadrato dovendo misurare il doppio, misurerà 2 unità, per trovare la misura del lato basterà soltanto cercare quel numero che elevato al quadrato fa 2.

?

22

d

d

…ma c’è un numero razionale che al quadrato fa esattamente

due?

1,442 = 2,0736 1,432 = 2,0449

1,412 = 1,98811,4142 =1,999396

1,4152 = 2,002225

1,414212 =1,9999899241,41422 =1,99996164

n

m

la quale abbia per quadrato il numero 2

22

n

m

con m e n numeri interi non nulli: possiamo pensare i numeri interi m e n primi tra di loro, perché se avessero un fattore comune potremmo sempre eliminarlo, dividendo per esso tanto il numeratore m quanto il denominatore n (per esempio, se m =14, n = 10, al loro posto possiamo mettere i due numeri 7 e 5, ottenuti da essi eliminando il fattore comune 2 )

 Supponiamo che esista una frazione

Dovrebbe essere, dunque :

22

2

22

222 nmn

m

n

m

m e n essendo primi tra di loro, non possono essere tutti e due pari. Sono allora possibili tre casi: 1) m è dispari, n è pure dispari; 2) m è dispari, n è pari; 3) m è pari, n è dispari.   Facciamo vedere che tutti e tre i casi possibili sono invece impossibili.

Il caso 1) è da escludere. Infatti, se m e n sono dispari, sono dispari anche m2 e n2 il quadrato di un numero contiene gli stessi fattori del numero, ripetuto ciascuno due volte; se un numero non è divisibile per 2, non lo è neppure il suo quadrato). Ma il doppio di n2 , cioè 2 n2 , è pari, e non può essere uguale al numero dispari m2 .

Il caso 2) è impossibile. Infatti, se m è dispari, m2 è dispari, come prima … e più di prima, 2 n2 è pari (già n2 è pari).

Infine, anche il caso 3) non si può verificare. Infatti, se m è pari, è divisibile almenoper 2 (forse anche per una potenza di 2), e perciò il suo quadrato è divisibilealmeno per 2 x 2 = 4. Se n è dispari, n2 è pure dispari, 2 n2 è divisibile solo per 2, e non per 4; perciò è assurdo perché il primo numero è divisibile per 4, il secondo no. …

Questa dimostrazione è tradizionalmente attribuita a Pitagora ed è certamente un prodotto della scuola pitagorica: Si trova però anche negli Elementi di Euclide (libro X). Il metodo usato per la dimostrazione è il cosiddetto metodo per assurdo.

“ La reductio ad absurdum, tanto amata da Euclide è una delle più belle armi di un matematico. E’ un gambetto molto più raffinato di qualsiasi gambetto degli scacchi: un giocatore di scacchi può offrire in sacrificio un pedone o anche qualche altro pezzo, ma il matematico offre la partita.”

G.H.Hardy Apologia di un matematico

 Possiamo quindi concludere “che tutte le frazioni non bastano” per esprimere tutte le grandezze, e che esiste un’altra categoria di numeri che da questo punto in poi chiameremo numeri irrazionali.I numeri irrazionali sono numeri che non possono essere scritti sotto forma di decimali, né di decimali periodici, se si cerca di scrivere un irrazionale in termini decimali, si ottiene un numero che continua per sempre senza una struttura regolare e coerente.Con le “moderne notazioni” l’unico modo per esprimere la misura esatta della diagonale del quadrato di lato 1 è , ogni tentativo di scriverlo in forma decimale può soltanto essere un’approssimazione ad es.1,414213562373……

2

E’ facile dedurre che

221

22 24211 infatti

Per cui

1 2

2

?l’estremo destro dell’intervallo, cioè 2, è il valore approssimato per eccesso a meno di una unità.

Per cui l’estremo sinistro dell’intervallo, cioè l’1, è il valore approssimato per difetto a meno di una unità

mentre

Cerchiamo adesso di individuare con precisione la posizione di all’interno dell’intervallo.2

Se procediamo per tentativi troviamo ad esempio che

296.14.1 2 225.25.1 2 e che

per cui sicuramente 5.124.1

1 21,5

1,4

?

1,4 è il valore approssimato per difetto a meno di di unità

10

1

1,5 è il valore approssimato per eccesso a meno di di unità

10

1

Questo vuol dire che se si sostituisce con 1.4 oppure con 1.5 si commette un errore al massimo di 0.1.

2

Procedendo con questo metodo otteniamo risultati che possiamo schematizzare nella seguente tabella:

10

1

100

1

1000

1

valore per difetto Valore per eccesso Errore Max

1 2 1

1.4 1.5

1.41 1.42

1.414 1.415

1.4142 1.4143

…. ….  

10000

1

Questo procedimento, non ha mai termine e genera due classi di numeri i cui elementi sono gli infiniti valori approssimati rispettivamente per difetto e per eccesso di :

2

;...415,1;42,1;5.1;2

;...414.1;41.1;4.1;1

e

d

C

C

1 21,51,4

1,41 1,42

1,414 1,415

2

Ce Cd

Si può facilmente vedere che le due classi Cd e Ce godono delle seguenti proprietà:

Le classi sono separate, cioè ogni elemento della prima classe è sicuramente minore di ogni elemento della seconda classe:

ed CeCded

Fra le due classi c’è un avvicinamento indefinito, infatti fissato un qualsiasi numero razionale è sempre possibile trovare un

dechetaliCeeCd ed

E questo può avvenire qualsiasi sia la scelta di

Le classi con tali proprietà si dicono contigue . Nel nostro caso “determina e separa” le due classi in questione. Si può dimostrare che tale elemento separatore è unico.

2

Si definisce numero irrazionale l’ elemento separatore di una coppia di classi contigue di numeri razionali che rappresentano i suoi valori approssimati rispettivamente per difetto e per eccesso.

Fine