A cura di Ivana Niccolai1 Dalla felce al… fiocco di neve! Alla scoperta delle configurazioni...

A cura di Ivana Niccolai 1

Dalla felce al… fiocco di neve!

Alla scoperta delle configurazioni nascoste della natura

31/08/2004


Un frattale IFS: La felce


Osserviamo una felce.. Una felce consiste in una serie di fronde,

disposte su entrambi i lati di un fusto centrale. La stessa descrizione si applica alle fronde.

In molte felci, anche le sottofronde hanno lo stesso tipo di struttura delle fronde e della felce stessa.


Autosimilarità La felce è autosimile, essendo composta di

copie di sé stessa in scala ridotta. I matematici idealizzano l’autosimilarità

della natura, che è approssimativa, in un’autosimilarità perfetta.

La felce è un frattale IFS (Iterated Function System), cioè ottenuto iterando un insieme di trasformazioni del piano.


Idealizzazione dell’autosimilarità della

natura

I matematici studiano le configurazioni naturali costruendo forme ideali, versioni chiare delle strutture naturali, che sono meno regolari.

I matematici idealizzano l’autosimilarità della natura, che è approssimativa, in un’autosimilarità perfetta.


La felce del matematico La felce del matematico ha una struttura

dettagliata anche a scale molto più piccole di un atomo e perfino alla scala della più piccola lunghezza significativa dell’universo fisico, vale a dire la lunghezza di Planck (1,616 * 10-35 m, all’incirca 10 trilionesimi di trilionesimi di trilionesimi di metro).


Un frattale IFS: Crystal


Divisione della punta (1/2) La causa principale delle configurazioni a

forma di felce è un fenomeno noto come “divisione della punta”. Certe combinazioni di umidità e temperatura creano condizioni in cui le superfici piane sono dinamicamente instabili.


Divisione della punta (2/2) Se su una superficie piana si sviluppa una

sporgenza, questa cresce più velocemente delle altre regioni. La sporgenza diventa sempre più grande fino a dare origine a una gran quantità di nuove sporgenze più piccole. E’ come un germoglio che si sviluppa , la cui punta si divide ripetutamente in due o più germogli più piccoli (di qui il nome di “divisione della punta”).


Rottura di simmetria L’intero processo della divisione della

punta, può essere visto, con l’occhio del matematico, come una cascata di eventi di rottura di simmetria, che rompono la simmetria traslazionale di una superficie piana.


Dendrite Il risultato della rottura di simmetria, nel

caso di un cristallo di ghiaccio in formazione, è una configurazione, simile a una felce, nota come dendrite.

Il fiocco di neve, quanto meno per alcuni scopi, si può utilmente considerare come un frattale.


Compito della matematica Nella scienza, la matematica ha il compito

importante di astrarre caratteristiche semplici da un mondo complicato. Analizzandole, si può scoprire la semplicità che sta alla base delle leggi naturali.

Per comprendere il fiocco di neve è sensato astrarre le sue caratteristiche semplici.


Modellizzazione matematica

Ai fini di una modellizzazione matematica, possiamo supporre che il fiocco di neve abbia una simmetria esagonale perfetta e che presenti configurazioni di ramificazioni frattali.


Il fiocco di neve e la sua modellizzazione matematica


Confronto tra frattale e fiocco di neve

Un frattale è un’astrazione matematica; un fiocco di neve è un oggetto reale.

Anche i fiocchi di neve hanno quella caratteristica combinazione di ordine e disordine: l’ordine è la simmetria esagonale e il disordine sono le complicate configurazioni ramificate a forma di felce.


La bellezza del fiocco di neve


Il fascino dei fiocchi di neve E’ proprio la combinazione di simmetria e

irregolarità a rendere tanto affascinanti i fiocchi di neve.

Verso la fine del secolo scorso Martin Golubitsky si rese conto che esiste un modo semplice di combinare simmetria e caos in un unico sistema matematico.


Simmetria e caos La simmetria e il caos non sono

mutuamente esclusivi, ma sono le due facce di una stessa moneta dinamica. Dal punto di vista matematico, la simmetria e il caos possono coesistere e, quando lo fanno, creano bellissimi attrattori simmetrici.


Creazione di configurazioni dendritiche

Se si scrivono le equazioni dinamiche con la simmetria esagonale del fiocco di neve, scegliendo i coefficienti in modo tale che la dinamica sia caotica, si possono ottenere attrattori caotici con simmetria esagonale.

Rimpolpando un po’ le equazioni matematiche , con un caos simmetrico, si possono creare configurazioni dendritiche.


Immagine di attrattori creati con equazioni a simmetria

esagonale


Biforcazione La parola “catastrofe” non è più di moda;

oggi si preferisce usare il termine più neutro “biforcazione”.

Se lo stato di un sistema cambia in maniera cospicua per effetto di piccoli cambiamenti esterni, gli scienziati dicono che si è realizzata una biforcazione.


Un particolare tipo di biforcazione

In natura, la formazione della neve è una biforcazione nello stato di un sistema di molecole d’acqua.

La formazione dei fiocchi di neve è legata a un importante tipo di biforcazione: il congelamento.


Transizioni di fase Un piccolo cambiamento di temperatura

produce un grosso cambiamento qualitativo nella struttura molecolare e nelle proprietà fisiche dell’acqua.

I principali cambiamenti dello stato fisico della materia si chiamano “transizioni di fase”.

La cristallizzazione è una transizione di fase.


Fattori che determinano le varie forme dei cristalli di

ghiaccio (1/2)Condizioni atmosferiche diverse portano a cristalli di ghiaccio di forme diverse e i fattori più importanti, che determinano tale varietà di forme, sono:

la temperatura; la sovrassaturazione (che riguarda la

quantità di vapore acqueo presente nell’aria), cioè l’umidità disponibile.


Inoltre: I valori numerici di questi fattori

determinano la forma generale del cristallo;

i dettagli minuti dipendono dalle condizioni caotiche nelle nubi.

Fattori che determinano le varie forme dei cristalli di

ghiaccio (2/2)


Una grande varietà di forme I cristalli di ghiaccio presentano una

grande varietà di forme. La più semplice, la lamina esagonale, si

forma a temperature appena al di sotto del punto di congelamento (tra 0° e –3°) e a bassi livelli si sovrassaturazione (meno del 30%)


Cristalli dendritici simili a felci (1/2)

Sempre tra 0° e –3°, ma a livelli più alti di sovrassaturazione (al di sopra del 30%), la simmetria traslazionale di un bordo piatto si rompe e la dinamica va incontro a una biforcazione; le piccole irregolarità vengono amplificate e sul bordo si formano punte e si verifica un processo simile alla divisione della punta, che si ha nei processi di sviluppo frattali.


La regolarità geometrica del reticolo cristallino fa sì che questo processo di sviluppo frattale generi cristalli dendritici simili a felci.

Cristalli dendritici simili a felci (2/2)


Presentazione di alcune forme dei cristalli di neve

(1/2) Intorno al livello di sovrassaturazione del

30%, si trovano molte altre forme di cristalli di ghiaccio, a seconda della temperatura.

Tra – 3° e – 5° i cristalli sono a forma di aghi

Tra – 5° e – 8° il ghiaccio forma prismi esagonali cavi


Tra – 8° e – 12° e di nuovo tra – 16° e –24° si osservano sottili lamine con decorazioni simmetriche

Tra – 12° e – 16° ricompaiono i cristalli dendritici e, a temperature più basse (- 24°) ricompaiono i prismi cavi.

Presentazione di alcune forme dei cristalli di neve

(2/2)


Affermazione di Jan Stewart

Ian Stewart, professore di matematica all’Università di Warwick, in Gran Bretagna, nel suo libro “Che forma ha un fiocco di neve?”, Bollati Boringhieri Editore, ha affermato: “Laddove il bambino vedeva una felce su una finestra ghiacciata, oggi l’adulto vede lo sviluppo frattale di molecole cristalline e la simmetria nascosta delle forze della natura”.


Il fiocco di neve di Kochè un frattale L-SYSTEM


L-SYSTEM (Lindenmayer-System)

Lindenmayer è il nome del biologo olandese che nel 1968 inventò una formalizzazione (L-SYSTEM) della descrizione del processo di generazione dei rami delle piante, adatta per essere implementata con programmi di computer graphics.


Costruzione del fiocco di neve di Koch 1/2

Si parte da un triangolo equilatero e si incolla un triangolo più piccolo, di lato pari a 1/3 del lato originario, sul segmento centrale di ogni lato, ottenendo una stella a sei punte.


Costruzione del fiocco di neve di Koch 2/2

Si ripete, poi, la procedura con altri 12 triangoli, di lato pari a 1/9 del lato originario, poi con altri 48 triangoli di lato pari a 1/27 del lato originario e così via…


Perimetro infinito del fiocco di neve di Koch

La forma del fiocco di neve di Kock ha un perimetro infinito (ogni stadio della costruzione ne moltiplica la lunghezza per 4/3)


Il fiocco di neve di Koch assomiglia a un fiocco di neve

vero? Il fiocco di neve, inventato alla fine del

secolo XIX dal matematico svedese Helge von Koch, è troppo regolare, per assomigliare a un fiocco di neve vero, ciò nonostante coglie alcune caratteristiche della sua forma ad albero, perché tali caratteristiche fanno ricordare ai matematici la simmetria esagonale e le configurazioni di ramificazioni frattali.

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